复变函数疑难问题分析
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复变函数疑难问题分析
1. 设z
z z f 1sin )(2=,{}11|<-=z z D 。 1)函数)(z f 在区域D 中是否有无限个零点?2) 若上小题的答案是肯定的,是否与解析函数零点的孤立性相矛盾?为什么?
答: 有无限个零点。可以具体写出其所以零点; 不矛盾。因为这无限多个零点均为孤立零点;不可以展开为洛朗级数。因为0=z 为非孤立的奇点。
2. “函数sin z 在z 平面上是有界的”是否正确?
sin z 在z 平面上无界。 这是因为sin 2iz iz e e z i --=,令(0)z iy y =<,则|sin |||()2iz iz
e e z y i
--=→∞→-∞ 3. “函数z e 为周期函数” 是否正确?
z e 是以2k i π为周期的函数。因为z C ∀∈,221z k i z k i z z e e e e e ππ+==⋅=,k 为整数
4. “()f z z =是解析函数” 是否正确?
()f z z =在z 平面上不解析。因为()f z z x iy ==-,所以(,)u x y x =,(,)v x y y =- 所以1u x ∂=∂,1v y ∂=-∂,0u y ∂=∂,0v x
∂=∂ 但是
11u v x y ∂∂=≠-=∂∂,所以(,)u x y ,(,)v x y 在z 平面上处处不满足..C R -条件 所以()f z z =在z 平面上不解析。
5.根据教材中建立起球面上的点(不包括北极点N )复平面上的点间的一一对应,试求解下列问题。
(1
)复球面上与点1)对应的复数; (2)复数1+i 与复球面上的那个点;
(3)简要说明如何定义扩充复平面。
解:(1)建立空间直角坐标系(以O 点为原点,SON 为z 轴正半轴),则过
点,,1)22P 与点(0,0,2)N 的直线方程
为21z -==-。当0z =时
,x y ==
,所以,,1)22
对应。 (2)复数1i +的空间坐标为(1,1,0)。则直线方程2112
x y z -==-与球面222(1)1x y z ++-=相交,其交点为222(,,)333
,(0,0,2)N (3)z 平面上以个模为无穷大的假想点一北极N 相对应,复平面上加上∞后称为扩充复平面。
6.说明复变函数可微性与解析性的关系。
复变函数()w f z =在点0z 处可导,又称为可微,而()f z 在0z 处的某个邻域内任一点处均可导(可微),则称()f z 在0z 处是解析的。
所以(1)()w f z =在点0z 处可导(可微),但不一定在0z 处是解析的,
(2)()f z 在0z 处解析是指在0z 处的某个邻域内任一点处均可导,
(3)()f z 在区域D 内可微与在区域D 内解析是等价的。
7.()1sin f z z
=在区域D :01z <<上解析且有无穷多个零点,但在区域D 上()f z 不恒等于零,这与解析函数零点孤立性定理相矛盾吗?为什么?
1()sin f z z =在区域D ,01z <<内有无穷多个零点1k z k π
=,但lim 0k k z →∞=,但0D ∉,而区域D 是去心邻域,()f z 在0z =点无意义,所以()f z 在0z =处是
不解析的,也即1()sin f z z
=在D 内解析也有无穷多个零点,但也不恒等于0,与零点孤立性定理不矛盾。
8.复级数1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑都发散,则级数1()n n n a b ∞=±∑和1n n n a b ∞
=∑发散.这个命题是否成
立?为什么?
答.不一定.反例: 221111
1111i ,i n n n n n n a b n n n n ∞∞
∞∞=====+=-+∑∑∑∑发散 但2112()i n n n n a b n ∞∞==+=⋅∑∑收敛;112()n n n n a b n ∞∞==-=∑∑发散; 241111[(
)]n n n n a b n n
∞∞===-+∑∑收敛. 9.下列说法是否正确?为什么?
(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.
(2) 每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.
答: (1) 不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散.
(2) 不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的.
10. 为什么区域R z <||内解析且在区间),(R R -取实数值的函数)(z f 展开成z 的
幂级数时,展开式的系数都是实数?
因为当z 取实数值时,)(z f 与)(x f 的泰勒级数展开式是完全一致的,
而在R x <||内,)(x f 的展开式的系数都是实数。所以,在区域R z <||内,)(z f 展开成z 的幂级数时,它的系数都是实数。
11.由 23...1z z z z z =+++-
2111...1z z z z =+++- 因为011z z z z +=--,所以有结果2332111...11...0z z z z z z
+++++++++=
请解释错误的原因。
答:因为23...1z z z z z
=+++-要求z 1< 而2
111...1z z z z =+++-要求z 1> 所以,在不同区域内2362111...11...011z z z z z z z z z z
+≠+++++++++≠-- 12.0=z 是函数)
/1cos(1)(z z f =的孤立奇点吗?为什么? 解: 因为11()cos()
z f z =的奇点有0z = 1π1π(0,1,2,...)π2π2
k z k z k =+⇒==±±+ 所以在0z =的任意去心邻域,总包括奇点1ππ2z k =
+,当k →∞时,z=0。 从而0z =不是11
cos()z 的孤立奇点.
13. 函数21()(1)
f z z z =-在1z =处有一个二级极点,但根据下面罗朗展开式: 25431111, 11(1)(1)(1)(1)z z z z z z =+-+->----. 我们得到“1z =又是()f z 的本性奇点”,这两个结果哪一个是正确的?为什么? 解: 不对, z=1是f(z)的二级极点,不是本性奇点.所给罗朗展开式不是在
011z <-<内得到的
在011z <-<内的罗朗展开式为
22221111111(1)(1)...(1)1(1)(1)1
z z z z z z z z z =-+=-+--+-+----- 14. 如何证明当∞→y 时,|)sin(|iy x +和|)cos(|iy x +都趋于无穷大?