复变函数疑难问题分析

复变函数疑难问题分析

1. 设z

z z f 1sin )(2=，{}11|<-=z z D 。 1）函数)(z f 在区域D 中是否有无限个零点？2） 若上小题的答案是肯定的，是否与解析函数零点的孤立性相矛盾？为什么？

答： 有无限个零点。可以具体写出其所以零点； 不矛盾。因为这无限多个零点均为孤立零点；不可以展开为洛朗级数。因为0=z 为非孤立的奇点。

2. “函数sin z 在z 平面上是有界的”是否正确？

sin z 在z 平面上无界。 这是因为sin 2iz iz e e z i --=，令(0)z iy y =<，则|sin |||()2iz iz

e e z y i

--=→∞→-∞ 3. “函数z e 为周期函数” 是否正确？

z e 是以2k i π为周期的函数。因为z C ∀∈，221z k i z k i z z e e e e e ππ+==⋅=，k 为整数

4. “()f z z =是解析函数” 是否正确？

()f z z =在z 平面上不解析。因为()f z z x iy ==-，所以(,)u x y x =，(,)v x y y =- 所以1u x ∂=∂，1v y ∂=-∂，0u y ∂=∂，0v x

∂=∂ 但是

11u v x y ∂∂=≠-=∂∂，所以(,)u x y ，(,)v x y 在z 平面上处处不满足..C R -条件 所以()f z z =在z 平面上不解析。

5.根据教材中建立起球面上的点（不包括北极点N ）复平面上的点间的一一对应，试求解下列问题。

（1

）复球面上与点1)对应的复数； （2）复数1+i 与复球面上的那个点；

（3）简要说明如何定义扩充复平面。

解：（1）建立空间直角坐标系（以O 点为原点，SON 为z 轴正半轴），则过

点,,1)22P 与点(0,0,2)N 的直线方程

为21z -==-。当0z =时

，x y ==

，所以,,1)22

对应。 （2）复数1i +的空间坐标为(1,1,0)。则直线方程2112

x y z -==-与球面222(1)1x y z ++-=相交，其交点为222(,,)333

，(0,0,2)N （3）z 平面上以个模为无穷大的假想点一北极N 相对应，复平面上加上∞后称为扩充复平面。

6．说明复变函数可微性与解析性的关系。

复变函数()w f z =在点0z 处可导，又称为可微，而()f z 在0z 处的某个邻域内任一点处均可导（可微），则称()f z 在0z 处是解析的。

所以（1）()w f z =在点0z 处可导(可微)，但不一定在0z 处是解析的，

（2）()f z 在0z 处解析是指在0z 处的某个邻域内任一点处均可导，

（3）()f z 在区域D 内可微与在区域D 内解析是等价的。

7．()1sin f z z

=在区域D ：01z <<上解析且有无穷多个零点，但在区域D 上()f z 不恒等于零，这与解析函数零点孤立性定理相矛盾吗？为什么？

1()sin f z z =在区域D ，01z <<内有无穷多个零点1k z k π

=，但lim 0k k z →∞=，但0D ∉，而区域D 是去心邻域，()f z 在0z =点无意义，所以()f z 在0z =处是

不解析的，也即1()sin f z z

=在D 内解析也有无穷多个零点，但也不恒等于0，与零点孤立性定理不矛盾。

8.复级数1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑都发散,则级数1()n n n a b ∞=±∑和1n n n a b ∞

=∑发散.这个命题是否成

立?为什么?

答.不一定．反例: 221111

1111i ,i n n n n n n a b n n n n ∞∞

∞∞=====+=-+∑∑∑∑发散 但2112()i n n n n a b n ∞∞==+=⋅∑∑收敛；112()n n n n a b n ∞∞==-=∑∑发散； 241111[(

)]n n n n a b n n

∞∞===-+∑∑收敛. 9.下列说法是否正确?为什么?

(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.

(2) 每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.

答: (1) 不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散.

(2) 不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的.

10. 为什么区域R z <||内解析且在区间),(R R -取实数值的函数)(z f 展开成z 的

幂级数时，展开式的系数都是实数？

因为当z 取实数值时，)(z f 与)(x f 的泰勒级数展开式是完全一致的，

而在R x <||内，)(x f 的展开式的系数都是实数。所以，在区域R z <||内，)(z f 展开成z 的幂级数时，它的系数都是实数。

11.由 23...1z z z z z =+++-

2111...1z z z z =+++- 因为011z z z z +=--,所以有结果2332111...11...0z z z z z z

+++++++++=

请解释错误的原因。

答:因为23...1z z z z z

=+++-要求z 1< 而2

111...1z z z z =+++-要求z 1> 所以,在不同区域内2362111...11...011z z z z z z z z z z

+≠+++++++++≠-- 12.0=z 是函数)

/1cos(1)(z z f =的孤立奇点吗？为什么？ 解: 因为11()cos()

z f z =的奇点有0z = 1π1π(0,1,2,...)π2π2

k z k z k =+⇒==±±+ 所以在0z =的任意去心邻域，总包括奇点1ππ2z k =

+，当k →∞时，z=0。 从而0z =不是11

cos()z 的孤立奇点.

13. 函数21()(1)

f z z z =-在1z =处有一个二级极点，但根据下面罗朗展开式： 25431111, 11(1)(1)(1)(1)z z z z z z =+-+->----. 我们得到“1z =又是()f z 的本性奇点”，这两个结果哪一个是正确的？为什么? 解: 不对, z=1是f(z)的二级极点,不是本性奇点.所给罗朗展开式不是在

011z <-<内得到的

在011z <-<内的罗朗展开式为

22221111111(1)(1)...(1)1(1)(1)1

z z z z z z z z z =-+=-+--+-+----- 14. 如何证明当∞→y 时，|)sin(|iy x +和|)cos(|iy x +都趋于无穷大？