数学史课件第四章 方程求解与代数符号化
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和
1 5 2
4.2.4 b 四元术
“四元术”则规定了含有两个、三个或 四个未知数的方程的布列方法。 未知数设为 “天”、“地”、“人”、 “物”，就相当于现在的x、y、z、ω， 用“太”表示常数项，放于筹式的中心； 表示未知数的天、地、人、物的系数分 别放在“太”的下方、左方、右方和上 方。 例如，方程 3x + 2y +3z + 4w +5 = 0的布列方法是： 4 2 太5 3
古巴比伦人还讨论了某些三次方程和双二次方程 的解法，这些解法则记录在一些数表上。
图4。1普林顿第322号泥版——勾股数表
4.1.2《九章算术》的“方程术”
《九章算术》中的“方程章”，是世 界上最早的系统研究代数方程的专门论 著。它在世界数学历史上，最早创立了 多元一次方程组的筹式表示方法，以及 它的多种求解方法。 《九章算术》把这些线性方程组的解 法称为“方程术”，其实质相当于现今 的矩阵变形方法。方程术是通过对方程 的系数矩阵实施遍乘、直除的变换（即 连续相减）实现减元、获取方程解的过 程。
4.2.2花拉子米的“代数学”
“代数学”（algebra）这个词来 源于花拉子米所著的一本书。原意是 “还原”，专指把负项移到方程另一边 使之变成正项的方法。 花拉子米的还原和对消运算分别 对应于现在方程的移项和合并同类相运 算。其中的配方法，给出了解一元二次 方程的公式，并得到了二次方程的两个 根。尽管这些方法在花拉子米的著作中 是用实际问题的解法被纪录下来的，但 它们具有求解方程的一般方法的意义
4.2.3 印度的代数学
从公元5世纪到12世纪，印度数学对 世界数学的影响较大的有两个方面。 最先制定了现在世界上通用的数码 及记数制度，并在这个基础上形成了整 套计算技术。 另一方面是建立了包括分数、负数、 无理数的代数学，并给出了二次方程的 一般解法。他们认识到二次方程有两个 根，而且可以包括负根和无理根。
4.1.3 开方法解方程
中国古代把解二次方程x2 + bx = c 的方法称作“带从开方”；把解三次方 程x3 + bx2 + cx=d的方法称作“带从 开立方”。 北宋数学家刘益（公元11~12世纪人） 使用“增乘开方法”求解一元高次方程。
如，使用“增乘开方法”解 －x2 +60x = 864. 列三行横式 －1 60 864 补零（前移一位， －100 600 864 （2 说明商为二位数）， 首商得2，增乘一次 －200 －800 —100 400 64 －200 再增乘一次， －100 200 64 去零（后移一位）， －1 20 64 （4 次商得4，增乘一次 4 _－64 －1 16 0 恰好减尽。故得方程根 x=24。
在花拉子米系统地研究了六种类型的 一次和二次方程及其解法， ax2 = bx， ax2 = c，ax = c，ax2 + cx = c， ax2 + c = bx，bx + c = ax2 对于前三种类型方程，花拉子米把方 程ax2 = bx看作线性方程，抛弃了零根， 对于后三种类型方程，花拉子米的解法相 当于现在的配方法。花拉子米首先叙述了 用根号表示方程根的法则，然后给出它的 几何证明。 花拉子米实际上已经给出了首项系数 为1的一元二次方程的求根公式。
4.1早期的方程求解方法
4.1.1 配方法与数表法 古巴比伦的第13901号泥版，记述了这样 一个问题： “把正方形的面积加上正方形边长的三分 之二得35/60①，求该正方形的边长。”
x
p / 2
2
q p/2
图4.1 普林顿322号泥版 这个问题相当于求解方程 x2+（2/3） x=35/60。古巴比伦人的解法则相当于将方程 x2 + px = q的系数代入公式
4.1.4 几何方法解方程
开平方口诀（“开平方不用慌，20倍前商 加后商”）的几 何推导方法
图4.4 面积法开平方 由于面积55225值是一个万位数，可以估计出它的边長是个三位数，令其 边长是三位数。 (100 a+ 10 b+ c)2 = 55225. 为此，先估计a = 2，如图4.4，于是在AB上截取AE = 200, 以A为一边做 正放形AEFG, 从正方形ABCD中减去它，得“曲尺形”EBCDGF 的面积： 55225 — 40000 = 15225。 为估计b，用EF 的2倍（定法）去试除这个余数，得b = 3。 在EB 上截取 EH = 30，以AH为一边再作正方形AHIJ。从图上可知： 矩形FH的面积 = 矩形FJ的面积=30×EF =300×200. 正方形的 FI的面积=302。 因此，从正方形ABCD减去正方形AHIJ所余的更 细的“曲尺形”的面积为 15225 —（2×30×200 +302）= 2325。 最后估计个位数，用HI＝230的2倍去试除这个 余数，得c＝5。在HB上截取HK＝5,再以AK为一 边做正方形AKLM ，从正方形ABCD减去它，得 2325 —（2×5×230 + 52）= 0。 即K与B重合，AB之长恰好为235，此即所求的 平方根：2352 = 55225。
对于更多复杂的方程，其 系数在算筹中的放置方法， 如图4.10。 图 4.10 四 元方程的筹算布列方法 “四元术”给出了 在筹图上求解多元方程的 方法——消元法 如，两个多项式相加减， 只须将表示多项式的筹式 中的“太”的位置对齐， 将对应元素相加减； 用某元的幂乘方程时，只 须将原方程的筹式做平移； “互隐通分相消”的操作 过程较为复杂，是将二元 的方程化为一元方程的关 键方法，也是“四元术” 最为精彩的一部分。我们 将通过实例说明它的具体 使用方法。
古希腊尺规作图方法求解一次和二次方程
一次方程ax=b，x是a、b、1的第四比例项：a∶b=1∶x， 因而可以用尺规作图的方法求得x图4.5解方程x2－ px+q2=0的几何方法 假如r和s表示二次方程x2－px+q2=0的两个根，其中p和q 是正整数，且q≤p/2（这后一个条件，保证r和s都为正 数）。用几何方法求解这个方程的根，就等价于由给定线 段P和q求出线段r和s。用现代数学中的韦达定理可知 r+s=p，rs=q2。于是相应的几何方法可以是： 作一个正方形，使它的面积等于给 定的正方形，而它的相邻两边的乘 积等于给定的一个线段长。为此， 可由图4.5得到上述的方程几何求 解方法。
4.2.4 天元术与四元术
天元术——一元高次方程的筹式布列方法
如方程：－2x2+654x=0 与 －x4+15245x2－ 6262506.25=0,图4.7 用天元术在筹图中布列 方程 在筹算中表示为：
用现代数字表示，这两个方Leabharlann Baidu改写为：
6 5 4元 5
0 4 5 0 1 太 —2
－6 2 6 2 5 0 6 2
0 0 1 1 0 0 0
0 －6 太 (1) 1 1 0
1 －5 太 1
(2)
0 （4）下移一位，得
(4)×x,得
0 －1 0 0
0 － 6太 5 － 6 0 0
0
5 －1 1
太 －6 0 0
－6－6x+5xy+x3y=0 （ 6） (6) 即(－6－6x)+(5x+x3)y=0 0 0
这样就化为只含天、地二元的两行方程。 （2）与（6）互隐通分相消： 由（2）（6）消去y: 由内二行相乘，得 由（－5+x）(5x+x3) 太 =－25x+5x2-5x3+x4 (7) －25 ( 用(2)的右列乘上(6)的 5 （ 7） 左列，称为内二行相乘） －5 1 由外二行相乘，得 由（1+x）(－6－6x) － 6太 =－6－12x－6x2 (8)
4.3 数学符号化的意义
4.3.1促进数学理论形成 用符号代替数字和运算是数学发展的瓶颈 “中国代数学在14世纪以后停滞不前的事实， 主要由于它不完善的、无适应的符号。” 数学的符号化，使数学理论的体系更严密， 并且具有普遍性、适应性。
1世纪的波斯数学家海牙姆（约 1044~约1123）给出了三次方程的几何 解法。这种方法是在使用直尺和圆规作 图的前提下，再允许画某一特定的圆锥 曲线，便可以解得三次方程。
4.2 代数的符号化
4.2.1 丢番图的缩记符号
丢番图将未知量称为“题中的数”，并用记号δ表示， 相当于现在的x。未知量的平方记为△，“△”是希腊 单字“△YNAMIE”(dynami，幂)的第一个字母。未知量 的立方记为K，“K”是单词希腊单字“KYBOE” (cubos,立 方)的第一个字母。未知量的四次方，丢番图用△△来 表示，他称之为“平方平方”；五次方用△K表示，称 为“平方立方”；六次方用KK表示，称为“立方立方”， 以此类推。他还用一些符号表示分数，例如，他用s表 示，减号很像V的倒置，再加上这个角的平行线。在一 个表达式中，L表示等号，加法他是用并列来表示的， 而乘法和除法则通过累加累减去进行。在他的符号系统 中，没有加法、乘法和除法的运算记号。所有的负项集 中到一起，前面写一个减号。任何未知数之幂的数字系 数用相应的希腊字母来表示，写在表示这个幂的符号之 后。如果存在常数项，则用来表示，“”是希腊文中 “monads”（MONA△E∑，意为“单位”）一词的缩写。
4.2.5方程的公式解
大术》（卡当，1545年）中记载了缺二次项的三次方程的解法： 求解方程 x3+mx=n，其中m与n是正数。 卡当引入t与u两个参数量，并令 t—u=n， （ 1） 以及 （tu）=（）3 . （2） 然后他断言 x= . （3） 他利用（1）及（2）进行消元并解所得的二次方程，得出 t = + ， u = —. 这里我们也像卡当那样取正根。求出了t和u后,并用（3）给出x的 一个值
在“方程章”问题的解法中还可以发现下 述方程变形的性质： 如果方程的两边都加上（或减去）同一数， 那么所得的方程和原方程是同解方程。如果方 程两边同乘以（或除以）一个不等于零的数， 那么所得的方程和原方程是同解方程。 刘徽：“程，课程也。群物总杂，各列有 数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三 物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之 方程。”法。
《大术》中解四次方程的费拉利解法。 设方程 x4+bx3+cx2+dx+e=0。 移项后得 x4+bx3=—cx2—dx—e。 在左边加上（bx）2配成平方。得 （x2+bx）2=（b2—c2）x2—dx—e。 两边再加上（x2+bx）y+y2，得 （x2+bx）2+（x2+bx）y+y2 =（b2—c+y）x2+（by—d）x+y2—e。 （1） 若使右边这个x的二次式的判别式等于零，就能使这一边成为x 的一次式的完全平方。于是设 （by—d）2—4（b2—c+y）（y2—e）=0 （ 2） 这是y的一个三次方程。选取这个三次方程的任一个根代入替（1） 中的y。根据左边也是个完全平方这一事实,取平方根，得到x的 一个二次式，它等于x的两个互为正负的线性函数之一。解出这 两个二次方程便得到x的4个根。若从（2）中选取另一个根就会 从（1）引出一个不同的方程，但会得到同样的四个根。
4.2.6走出缩记法
法国数学家韦达寻找出一种求解各种类型代数方程的通用方 法过程中，第一个有意识地、系统地使用了字母。 通常他用辅音字母来表示已知量，用元音字母表示未知量。 韦用拉丁语表示各次方幂。例如，现在的a, a2, a3，韦达记作 A,A quadratum,A cubum,，有时还缩写减化为A，AQ，AC。韦达 使用了“+”和“—”分别表示加法与减法，但没有使用固定符号来 表示乘号和等号，仍然用文字来说明。如恒等式 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a+b)3, 韦达的写法是 a cubum + b in a quadr.3 + a in b quadr.3 + b cubo equaliacubum. “类的算术”（Iogistica speciosa）,以区别于“数的算术” （Iogistica numerosa）, 类的算术是施行于事物的类或形式的运算，而数的算术仅仅 与具体的数字有关。韦达的这些论述，第一次将代数与算术区分 开来，使类的算术（即代数）成为研究一般类型的数学形式和方 法的学问。 在引入字母符号之后,韦达就发现了三、四方程一般解的方法。
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4.2.4 b 四元术
“四元术”则规定了含有两个、三个或 四个未知数的方程的布列方法。 未知数设为 “天”、“地”、“人”、 “物”，就相当于现在的x、y、z、ω， 用“太”表示常数项，放于筹式的中心； 表示未知数的天、地、人、物的系数分 别放在“太”的下方、左方、右方和上 方。 例如，方程 3x + 2y +3z + 4w +5 = 0的布列方法是： 4 2 太5 3
古巴比伦人还讨论了某些三次方程和双二次方程 的解法，这些解法则记录在一些数表上。
图4。1普林顿第322号泥版——勾股数表
4.1.2《九章算术》的“方程术”
《九章算术》中的“方程章”，是世 界上最早的系统研究代数方程的专门论 著。它在世界数学历史上，最早创立了 多元一次方程组的筹式表示方法，以及 它的多种求解方法。 《九章算术》把这些线性方程组的解 法称为“方程术”，其实质相当于现今 的矩阵变形方法。方程术是通过对方程 的系数矩阵实施遍乘、直除的变换（即 连续相减）实现减元、获取方程解的过 程。
4.2.2花拉子米的“代数学”
“代数学”（algebra）这个词来 源于花拉子米所著的一本书。原意是 “还原”，专指把负项移到方程另一边 使之变成正项的方法。 花拉子米的还原和对消运算分别 对应于现在方程的移项和合并同类相运 算。其中的配方法，给出了解一元二次 方程的公式，并得到了二次方程的两个 根。尽管这些方法在花拉子米的著作中 是用实际问题的解法被纪录下来的，但 它们具有求解方程的一般方法的意义
4.2.3 印度的代数学
从公元5世纪到12世纪，印度数学对 世界数学的影响较大的有两个方面。 最先制定了现在世界上通用的数码 及记数制度，并在这个基础上形成了整 套计算技术。 另一方面是建立了包括分数、负数、 无理数的代数学，并给出了二次方程的 一般解法。他们认识到二次方程有两个 根，而且可以包括负根和无理根。
4.1.3 开方法解方程
中国古代把解二次方程x2 + bx = c 的方法称作“带从开方”；把解三次方 程x3 + bx2 + cx=d的方法称作“带从 开立方”。 北宋数学家刘益（公元11~12世纪人） 使用“增乘开方法”求解一元高次方程。
如，使用“增乘开方法”解 －x2 +60x = 864. 列三行横式 －1 60 864 补零（前移一位， －100 600 864 （2 说明商为二位数）， 首商得2，增乘一次 －200 －800 —100 400 64 －200 再增乘一次， －100 200 64 去零（后移一位）， －1 20 64 （4 次商得4，增乘一次 4 _－64 －1 16 0 恰好减尽。故得方程根 x=24。
在花拉子米系统地研究了六种类型的 一次和二次方程及其解法， ax2 = bx， ax2 = c，ax = c，ax2 + cx = c， ax2 + c = bx，bx + c = ax2 对于前三种类型方程，花拉子米把方 程ax2 = bx看作线性方程，抛弃了零根， 对于后三种类型方程，花拉子米的解法相 当于现在的配方法。花拉子米首先叙述了 用根号表示方程根的法则，然后给出它的 几何证明。 花拉子米实际上已经给出了首项系数 为1的一元二次方程的求根公式。
4.1早期的方程求解方法
4.1.1 配方法与数表法 古巴比伦的第13901号泥版，记述了这样 一个问题： “把正方形的面积加上正方形边长的三分 之二得35/60①，求该正方形的边长。”
x
p / 2
2
q p/2
图4.1 普林顿322号泥版 这个问题相当于求解方程 x2+（2/3） x=35/60。古巴比伦人的解法则相当于将方程 x2 + px = q的系数代入公式
4.1.4 几何方法解方程
开平方口诀（“开平方不用慌，20倍前商 加后商”）的几 何推导方法
图4.4 面积法开平方 由于面积55225值是一个万位数，可以估计出它的边長是个三位数，令其 边长是三位数。 (100 a+ 10 b+ c)2 = 55225. 为此，先估计a = 2，如图4.4，于是在AB上截取AE = 200, 以A为一边做 正放形AEFG, 从正方形ABCD中减去它，得“曲尺形”EBCDGF 的面积： 55225 — 40000 = 15225。 为估计b，用EF 的2倍（定法）去试除这个余数，得b = 3。 在EB 上截取 EH = 30，以AH为一边再作正方形AHIJ。从图上可知： 矩形FH的面积 = 矩形FJ的面积=30×EF =300×200. 正方形的 FI的面积=302。 因此，从正方形ABCD减去正方形AHIJ所余的更 细的“曲尺形”的面积为 15225 —（2×30×200 +302）= 2325。 最后估计个位数，用HI＝230的2倍去试除这个 余数，得c＝5。在HB上截取HK＝5,再以AK为一 边做正方形AKLM ，从正方形ABCD减去它，得 2325 —（2×5×230 + 52）= 0。 即K与B重合，AB之长恰好为235，此即所求的 平方根：2352 = 55225。
对于更多复杂的方程，其 系数在算筹中的放置方法， 如图4.10。 图 4.10 四 元方程的筹算布列方法 “四元术”给出了 在筹图上求解多元方程的 方法——消元法 如，两个多项式相加减， 只须将表示多项式的筹式 中的“太”的位置对齐， 将对应元素相加减； 用某元的幂乘方程时，只 须将原方程的筹式做平移； “互隐通分相消”的操作 过程较为复杂，是将二元 的方程化为一元方程的关 键方法，也是“四元术” 最为精彩的一部分。我们 将通过实例说明它的具体 使用方法。
古希腊尺规作图方法求解一次和二次方程
一次方程ax=b，x是a、b、1的第四比例项：a∶b=1∶x， 因而可以用尺规作图的方法求得x图4.5解方程x2－ px+q2=0的几何方法 假如r和s表示二次方程x2－px+q2=0的两个根，其中p和q 是正整数，且q≤p/2（这后一个条件，保证r和s都为正 数）。用几何方法求解这个方程的根，就等价于由给定线 段P和q求出线段r和s。用现代数学中的韦达定理可知 r+s=p，rs=q2。于是相应的几何方法可以是： 作一个正方形，使它的面积等于给 定的正方形，而它的相邻两边的乘 积等于给定的一个线段长。为此， 可由图4.5得到上述的方程几何求 解方法。
4.2.4 天元术与四元术
天元术——一元高次方程的筹式布列方法
如方程：－2x2+654x=0 与 －x4+15245x2－ 6262506.25=0,图4.7 用天元术在筹图中布列 方程 在筹算中表示为：
用现代数字表示，这两个方Leabharlann Baidu改写为：
6 5 4元 5
0 4 5 0 1 太 —2
－6 2 6 2 5 0 6 2
0 0 1 1 0 0 0
0 －6 太 (1) 1 1 0
1 －5 太 1
(2)
0 （4）下移一位，得
(4)×x,得
0 －1 0 0
0 － 6太 5 － 6 0 0
0
5 －1 1
太 －6 0 0
－6－6x+5xy+x3y=0 （ 6） (6) 即(－6－6x)+(5x+x3)y=0 0 0
这样就化为只含天、地二元的两行方程。 （2）与（6）互隐通分相消： 由（2）（6）消去y: 由内二行相乘，得 由（－5+x）(5x+x3) 太 =－25x+5x2-5x3+x4 (7) －25 ( 用(2)的右列乘上(6)的 5 （ 7） 左列，称为内二行相乘） －5 1 由外二行相乘，得 由（1+x）(－6－6x) － 6太 =－6－12x－6x2 (8)
4.3 数学符号化的意义
4.3.1促进数学理论形成 用符号代替数字和运算是数学发展的瓶颈 “中国代数学在14世纪以后停滞不前的事实， 主要由于它不完善的、无适应的符号。” 数学的符号化，使数学理论的体系更严密， 并且具有普遍性、适应性。
1世纪的波斯数学家海牙姆（约 1044~约1123）给出了三次方程的几何 解法。这种方法是在使用直尺和圆规作 图的前提下，再允许画某一特定的圆锥 曲线，便可以解得三次方程。
4.2 代数的符号化
4.2.1 丢番图的缩记符号
丢番图将未知量称为“题中的数”，并用记号δ表示， 相当于现在的x。未知量的平方记为△，“△”是希腊 单字“△YNAMIE”(dynami，幂)的第一个字母。未知量 的立方记为K，“K”是单词希腊单字“KYBOE” (cubos,立 方)的第一个字母。未知量的四次方，丢番图用△△来 表示，他称之为“平方平方”；五次方用△K表示，称 为“平方立方”；六次方用KK表示，称为“立方立方”， 以此类推。他还用一些符号表示分数，例如，他用s表 示，减号很像V的倒置，再加上这个角的平行线。在一 个表达式中，L表示等号，加法他是用并列来表示的， 而乘法和除法则通过累加累减去进行。在他的符号系统 中，没有加法、乘法和除法的运算记号。所有的负项集 中到一起，前面写一个减号。任何未知数之幂的数字系 数用相应的希腊字母来表示，写在表示这个幂的符号之 后。如果存在常数项，则用来表示，“”是希腊文中 “monads”（MONA△E∑，意为“单位”）一词的缩写。
4.2.5方程的公式解
大术》（卡当，1545年）中记载了缺二次项的三次方程的解法： 求解方程 x3+mx=n，其中m与n是正数。 卡当引入t与u两个参数量，并令 t—u=n， （ 1） 以及 （tu）=（）3 . （2） 然后他断言 x= . （3） 他利用（1）及（2）进行消元并解所得的二次方程，得出 t = + ， u = —. 这里我们也像卡当那样取正根。求出了t和u后,并用（3）给出x的 一个值
在“方程章”问题的解法中还可以发现下 述方程变形的性质： 如果方程的两边都加上（或减去）同一数， 那么所得的方程和原方程是同解方程。如果方 程两边同乘以（或除以）一个不等于零的数， 那么所得的方程和原方程是同解方程。 刘徽：“程，课程也。群物总杂，各列有 数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三 物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之 方程。”法。
《大术》中解四次方程的费拉利解法。 设方程 x4+bx3+cx2+dx+e=0。 移项后得 x4+bx3=—cx2—dx—e。 在左边加上（bx）2配成平方。得 （x2+bx）2=（b2—c2）x2—dx—e。 两边再加上（x2+bx）y+y2，得 （x2+bx）2+（x2+bx）y+y2 =（b2—c+y）x2+（by—d）x+y2—e。 （1） 若使右边这个x的二次式的判别式等于零，就能使这一边成为x 的一次式的完全平方。于是设 （by—d）2—4（b2—c+y）（y2—e）=0 （ 2） 这是y的一个三次方程。选取这个三次方程的任一个根代入替（1） 中的y。根据左边也是个完全平方这一事实,取平方根，得到x的 一个二次式，它等于x的两个互为正负的线性函数之一。解出这 两个二次方程便得到x的4个根。若从（2）中选取另一个根就会 从（1）引出一个不同的方程，但会得到同样的四个根。
4.2.6走出缩记法
法国数学家韦达寻找出一种求解各种类型代数方程的通用方 法过程中，第一个有意识地、系统地使用了字母。 通常他用辅音字母来表示已知量，用元音字母表示未知量。 韦用拉丁语表示各次方幂。例如，现在的a, a2, a3，韦达记作 A,A quadratum,A cubum,，有时还缩写减化为A，AQ，AC。韦达 使用了“+”和“—”分别表示加法与减法，但没有使用固定符号来 表示乘号和等号，仍然用文字来说明。如恒等式 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a+b)3, 韦达的写法是 a cubum + b in a quadr.3 + a in b quadr.3 + b cubo equaliacubum. “类的算术”（Iogistica speciosa）,以区别于“数的算术” （Iogistica numerosa）, 类的算术是施行于事物的类或形式的运算，而数的算术仅仅 与具体的数字有关。韦达的这些论述，第一次将代数与算术区分 开来，使类的算术（即代数）成为研究一般类型的数学形式和方 法的学问。 在引入字母符号之后,韦达就发现了三、四方程一般解的方法。