【南航 二院】机械振动基础CH1

u(t) uest
(ms 2 k)u 0
振动工程研究所
因为 u 0 ,故得到有特征方程
u(t T0 ) u1(t mT1) u2 (t nT2 ) u1(t) u2 (t) u(t)
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2. 调制信号——用高频传递低频信号
u(t) 2a cos(2 1 t 2 1 ) sin(2 1 t 2 1 )
2
2
2
2
a (t)sin[2 1 t (t)]
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1.2无阻尼单自由度系统的自由振动
方程 mu(t) ku(t) 0 注意
特点 二阶常系数齐次方程
初始条件 (定解条件)
u(0) u0, u(0) u0
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解的形式与试探解
数学理论
微分方程解=通解（+特解）
（1）试探解的提出与代入
实际经验
单频、等幅、初始点
（2）用初始条件定系数
方程中的惯性项
u
mu
m
f
• 根据D’Alembert原理（动静转换），质量块（无 变形）提供与外力大小相同、方向相反的惯性 力
f m (t) f (t) mu(t)
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建模步骤
• 建立坐标系
原点为静止点(静平衡点) 坐标正向为标示外力方向
• 分离体法（材力，结力）
对质点标明惯性力、弹性力、阻尼力
取虚部
向Y轴投影
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• 简谐振动的合成
频率相同的两简谐振动合成后仍为简谐振动， 且频率不变。
u1(t) a1 sin(0t 1) u2 (t) a2 sin(0t 2 )
用复数法
u(t) u1(t) u2(t)
Im[a1e j(0t1)
a e ] j(0t2 ) 2
Im{[(a1 cos1 a2 cos2 ) j(a1 sin1 a2 sin2 )]e j0t}
• 力平衡
达朗贝尔原理
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方程分类
• 单自由度系统振动方程
mu(t) cu(t) ku(t) f (t)
• 自由振动方程——无外激励 偏离静平衡 初始条件
mu(t) cu(t) ku(t) 0
由
• 无阻尼自由振动方程略去阻尼突出自由振动的繁 入特点
简
mu(t) ku(t) 0
Im(aej e j0t )
a sin(0t )
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• 不同频率的简谐振动的合成不再是简谐振动
通约 1. 周期振动(频率可
)
u1(t) a1 sin(1t 1) u2 (t) a2 sin(2t 2 )
关键 整数倍数
证
1 m
明
2 n
T2 m , T1 n
T0 T1m T2n
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复数法的位移、速度、加速度关系
z ae j e j0t ae j(0t )
z
j0ae j(0t )
ae j(0t / 2) 0
j e j / 2
z
ae 2 j(0t )
0
ae 2 j(0t ) 0
1 e j 振动工程研究所
三种表示法的差异
三角函数最直接、最常用。 旋转向量法是三角函数几何表示，用得不多，直观。 复数法与三角函数是一致的。
1857年作更详细研究。
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李沙育图性质
• 如果两个振动的频率成简单的整数比，这样就能合成一个稳定、 封闭的曲线图形。
• 如果这两个相互垂直的振动的频率为任意值，那么它们的合成运 动就会比较复杂，而且轨迹是不稳定的。
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李沙育图用途
• 示波器观测频率与象位的传统工具 • 用于相位差寻找与判定（教学）
第一章 单自由度系统的振动
1
研究的起点----单自由度系统的确定振动
• 是以后研究复杂系统的基础。 • 有助于理解实际工程振动问题。 • 很多实际问题可简化为单自由度问题。
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1.0 振动的描述
1.0.1 简谐振动的表示 • 三要素：振幅、频率、相位（概念复习）
简谐振动的三种表示法
• 三角函数法
u +u
a(t)
12
同个
2
的振
谐幅 振、
u0
F1 F2
动 合 成
相 位 、
-2
F3
频 率
-4 0 2 4 6 8 10 12
都
t
同振幅谐振动的包络线通过零点。由两个频率接近的简谐振动合成的拍是一种普遍的物理现象。
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李沙育（Lissajous）图
• 振动方向相互垂直的简谐振动合成 • Bowditch（鲍迪奇）在1815年首先研究这一族曲线，Lissajous在
2a cos( 2
1
t
2
1
)
2
2
(t) 1 2
2
a (t) a12 a22 2a1a2 cos[( 2 1 )t ( 2 1 )]
(t)
1
tan 1
a1
a2 sin[( 2 1 )t ( a2 cos[( 2 1 )t
2 1 )] ( 2 1 )]
4
不两
u(t) a sin( 0t )
u
(t
)
0a
s
in(
0t
2
)
注意位移、速度、 加速度之间得相位关 系
u(t)
2 0
a
s
in(
0
t
)
2 0
பைடு நூலகம்
u
(t
)
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旋转向量法（几何法）——纵轴投影
Im
P
Q
u
a 0t
0
O
Re
Im
Im
a
0
a 0a
0
O
Re
a2 0
O
Re
a
b
c
• 复数法
z aej e j0t aej(0t)
2
谐同两 振、个 动频振 合率幅 成接相
近同 且， 可而 通相 约位 的不
4
u +u 12
a(t)
2
u0
-2
-4 0 2 4 6 8 10 12 t 振动工程研究所
几个概念
• 拍:周期振动的一种 • 拍频:注意是拍的节律,不是包络线频率
(差一倍) • 包络线:有两条
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def
a(t)
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1.1 单自由度系统振动方程
• 振动系统的组成
三要素：质量，刚度，阻尼
必须要素
• 振动系统的数学模型:
运动方程（力平衡给出方程）
c
k
m u(t) f(t)
mu(t) cu(t) ku(t) f (t)
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方程中的弹性项
fs
u2
u1
f
f
k
def
f s (t) k (t) k[u1 (t) u2 (t)]
• 弹性恢复力与弹簧两端的相对位移（变形）成 正比，方向相反。 • 弹簧受力有势能；松弛完全放势能（无阻尼）。
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方程中的阻尼项
u2
u1
fd
f
• 粘性阻尼力与物体在介质中的相对运动速度成 正比，方向相反。（最简阻尼形式）
f d (t) c[u1 (t) u2 (t)] f
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