【南航 二院】机械振动基础CH1
机械振动基础
固有频率及固有周期
n
def
k m
只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量 m 有关， 而与运动的初始条件无关，所以称为固有频率。
Tn
def
2
n
2
m k
固有周期
例 图示的直升机桨叶 经实验测出其质量为m， 质心C距铰中心O距离 为l。现给予桨叶初始 扰动，使其微幅摆动， 用秒表测得多次摆动 循环所用的时间，除 以循环次数获得近似 的固有周期，试求桨 叶绕垂直铰O 的转动惯量。
def
e nt e n ( t Td )
n Td
2 1
2
2
欠阻尼系统的衰减振动振动特性：
e. 自由振动中含有的阻尼信息提供了由实验确 定系统阻尼的可能性。通常，可根据实测的 自由振动，通过计算振幅对数衰减率来确定 系统的阻尼比。
Vmax
1 mg( R r ) 2 , m 2
Tref
3 m( R r ) 2 2 m 4
Vmax n T ref
2g 3( R r )
2.3 粘性阻尼系统的自由振动
k (u+ s) cu k m c
s
k m f (t )
c u u
b
m O mg f (t )
c
这种性质称为等时性。
欠阻尼系统的衰减振动振动特性：
c. 阻尼固有频率和阻尼固有周期是阻尼系统自 由振动的重要参数。当阻尼比很小时，它们 与系统的固有频率、固有周期差别很小，甚 至可忽略。 d. 为了描述振幅衰减的快慢，引入振幅对数衰 减率。它定义为经过一个自然周期相邻两个 振幅之比的自然对数
ln
单自由度系统在外激励作用下振动的微分方程
32《机械振动基础》课程教学大纲
《机械振动基础》课程教学大纲一．课程基本信息开课单位：船舶与海洋工程学院课程编号： 01060005b英文名称：Theory of Mechanical Vibration with Applications学时：总计32学时，其中理论授课28学时，实验4学时学分：2.0学分面向对象：机械电子工程、机械设计制造及其自动化专业先修课程：理论力学、材料力学、机械原理、机械设计基础教材：《机械振动与噪声学》，赵玫等编著，科学出版社，2004年9月，第1 版主要教学参考书目或资料：1.《噪声与振动控制技术基础》，盛美萍等编著，科学出版社，2003年9月，第 1 版2.《机械振动控制基础》，李晓雷编著，北京理工大学出版社，2005年9月，第 1 版3.《噪声与振动控制工程手册》，马大猷编著，机械工业出版社，2002年9月，第 1 版4.《动力机械振动与噪声学》，陈端石编著，上海交通大学出版社，2002年8月，第 3 版二．教学目的和任务随着动力机械制造技术的不断发展，人们对动力机械性能的要求越来越高，而振动噪声作为动力机械的一项性能指标，逐步受到人们的关注和重视，所以对动力机械振动噪声的控制具有十分重要的意义。
噪声污染是严重的环境污染之一，随着现代工业化程度的不断提高，噪声污染也日益加剧，严重影响广大人民群众的身心健康，因此噪声控制已经成为环境保护的一项重要内容。
振动是产生噪声的主要原因，因此振动控制不仅可以保护仪器设备和人员不受振动危害，而且采用减振隔振措施也可以有效地控制噪声污染。
本课程作为一门专业课程，其教学目的与任务是通过学习振动噪声的基本理论，使学生掌握振动噪声控制的基本知识，并受到基本技能的训练，为学生以后解决生产实际问题和从事科学研究工作打下理论基础。
学生学完本课程后，应能牢固地掌握振动噪声控制的基本原则和主要途径，初步具有把实际问题抽象为理论模型，并运用所学理论知识来分析和解决实际问题的能力，此外还应学会有关的实验方法和技能。
《机械振动基础》绪论
振动分析与测试
南京航空航天大学振动所
第一阶段：经典动力学的萌芽 第一阶段：
Pythagoras对弦振动的探索 Pythagoras对弦振动的探索
用单弦琴作实验， 用单弦琴作实验，发现振动频率与其 长度成反比。 长度成反比。
在黑暗中摸索！ 在黑暗中摸索！
古希腊学者 Pythagoras BC569-475） （BC569-475）
第二阶段：经典动力学的形成 第二阶段：
线性振动理论（18-19世纪） 线性振动理论（18-19世纪） 世纪 1728年 Euler研究了摆在有阻尼介质中的自由振动。 1728年，Euler研究了摆在有阻尼介质中的自由振动。 研究了摆在有阻尼介质中的自由振动 1739年 Euler研究了振子的简谐受迫振动 解释了共振现象。 研究了振子的简谐受迫振动, 1739年，Euler研究了振子的简谐受迫振动, 解释了共振现象。 1747年 Euler发现质量-弹簧系统的振动是各简谐振动的线性组合。 1747年，Euler发现质量-弹簧系统的振动是各简谐振动的线性组合。 发现质量 1762年 Lagrange建立了线性振动的一般理论 建立了线性振动的一般理论。 1762年，Lagrange建立了线性振动的一般理论。 1834年 建立了分析强迫振动的普遍公式。 1834年，Duhamel 建立了分析强迫振动的普遍公式。 1744年，Euler研究了梁的横向自由振动，导出了铰支、固定和自 1744年 Euler研究了梁的横向自由振动，导出了铰支、 研究了梁的横向自由振动 由三类边界条件下的振形函数与频率方程。 由三类边界条件下的振形函数与频率方程。 1759年 Euler解决了矩形膜的自由振动问题 解决了矩形膜的自由振动问题。 1759年，Euler解决了矩形膜的自由振动问题。 1814-1850年 Poisson、Kirchhoff、Navier建立板弯曲振动理论 建立板弯曲振动理论。 1814-1850年，Poisson、Kirchhoff、Navier建立板弯曲振动理论。
第二节 机械振动基础
第二节机械振动基础一.振动的分类1.按振动产生的原因分为：自由振动、强迫振动、自激振动（1）自由振动是系统受初始干扰或原有外激励力取消后产生的振动（2）强迫振动是系统在外激励力作用下产生的振动（3）自激振动是在没有周期外力作用下.由系统内部激发及反馈的相互作用而产生的稳定的周期振动2.按结构参数的特性分为：线性振动、非线性振动（1）线性振动是系统内的恢复力、阻尼力和惯性力分别与振动位移、速度和加速度成线性关系的一类振动，可用常系数线性微分方程来描述（2）非线性振动式系统内上述参数有一组以上不成线性关系时的振动，此时微分方程中将出现非线性项。
3.按系统的自己度数分为：单自由度系统振动、多自由度系统振动、连续体振动（1）单自由度系统振动是指只用一个独立坐标或能确定的系统振动（2）多自由度系统振动是需要多个独立坐标才能确定的系统振动（3）连续体振动即无限多自由度系统的振动，一般也称弹性体振动，需用偏微分方程来描述自由度数是完全描述系统的一切部位在任何顺时的位置所需要的独立坐标的个数4.按振动的规律分为：简谐振动、周期振动、瞬态振动、随机振动(1)简谐振动是振动量为时间的正弦或余弦函数的一类周期振动(2)周期振动是指振动量可表示为时间的周期函数的一大类振动，可用谐波分析法将其展开成一系列简谐振动的叠加。
(3)瞬态振动是指振动量为时间的非周期函数，通常只在一定时间内存在。
(4)随机振动是指振动量为时间的非确定性函数的一大类振动，只能用概率统计的方法进行研究。
5按振动位移的特征分为：直线振动、圆振动（1）直线振动的特征是振动体上质点的运动轨迹是直线，包括振动体上质点只沿轴线方向振动的纵向振动和振动体上做垂直于轴方向振动的横向振动（又称弯曲振动）（2）圆振动的特征是振动上质点的运动轨迹为圆弧线，对轴线而言，振动体上的质点只作绕轴线的振动，也称角振动或扭转振动。
二、振动的表示方法1.机械振动的一般表示方法机械振动是一种特殊形式的运动。
机械振动学 (1)
第一章 机械振动学基础 第一节 引言机械振动学研究的问题包括以下几个方面的内容： 1..建立物理模型 2.建立数学模型 3.方程的求解 4.结果的阐述第二节 接卸振动的运动学概念 一. 简谐振动物体简谐振动位移的三角函数式 22cos()sin()x A t A t T Tππϕϕ=-=+ 物体简谐振动速度和度的三角函数式cos()sin()2v xAw wt Aw wt πϕϕ==+=++ 22sin()sin()a xAw wt Aw wt ϕϕπ==-+=++ 二. 周期振动 0()sin()2n n a x t A nwt ψ=+∑+ 三. 简谐振动的合成（一） 同方向振动的合成1. 两个同频率振动的合成111sin()x A wt ψ=+ 和 222s i n ()x A w t ψ=+合运动A =11221122sin sin tan cos cos A A A A ψψϕψψ+=+2. 两个不同频率运动的合成111sin x A wt = 和 222s i n x A w t= 合运动12w w < 121122sin sin x x x A wt A w t =+=+12w w 对于12A A A == 2121c o s ()s i n ()22w w w w x A t t -+= 对于21A A 1sin x A wt =式中A A = （二） 两垂直方向振动的合成1. 同频率真懂得合成sin x A wt = s i n y B w t= 合运动 222222cos sin 0x y xyA B ABϕϕ+--= 2. 不同频率振动的合成1s i n x A w t = 2s i n ()y B w t ϕ=+ 合运动 12nw mw = m,n=1,2,3-----第三节 构成机械振动系统的基本元素构成机械振动系统的基本元素有惯性、恢复性和阻尼。
惯性22d xF m dt= 恢复性s F kx =- 阻尼力 d F c x =-第四节 自由度与广义坐标物体在这些约束条件下运动时，用于确定其位置所需的独立坐标就是该系统的自由度数。
第1章 机械振动基础
《机械振动学讲义》§1 绪论所谓振动，广义地讲，指一个物理量在它的平均值附近不停地经过极大值和极小值而往复变化。
机械振动指机械或结构在它的静平衡位置附近的往复弹性运动。
本书涉及的振动如果没有特别说明，均指机械振动。
机械振动所研究的对象是机械或结构，在理论分析中要将实际的机械或结构抽象为力学模型，即形成一个力学系统。
可以产生机械振动的力学系统，称为振动系统，简称系统。
一般来说，任何具有弹性和惯性的力学系统均可能产生机械振动。
振动系统发生振动的原因是由于外界对系统运动状态的影响，即外界对系统的激励或作用。
如果外界对某一个系统的作用使得该系统处于静止状态，此时系统的几何位置称为系统的静平衡位置。
依据系统势能在静平衡位置附近的性质，系统的静平衡位置可以分为稳定平衡，不稳定平衡和随遇平衡等几种情况。
机械振动中的平衡位置是系统的稳定平街位置。
系统在振动时的位移通常是比较小的，因为实际结构的变形一船是比较小的。
在上程和日常生活中有大量的，丰富多彩的振动现象。
例如，车辆行驶时的振动，发功机运转时的振动，演奏乐器时乐器的振动。
在很多情况下机械振动是有害的，比如，车辆行驶时的振动会使乘员感到不适，在用车床加工零件时车刀的振动会使零件的加工精度下降。
而在某些情况下，人们又利用振动进行工作。
比如，建筑1：利用捣固棒的振动使水泥沙浆混合均匀。
对于工程实际中的结构振动问题，人们关心振动会不会使结构的位移、速度、加速度等物理量过大。
因为位移过大可能引起结构各个部件之间的相互干涉。
比如汽车的轮铀与大梁会因为剧烈振动而频繁碰撞，造成大梁过早损坏，并危及行车安全。
又如，汽车行驶中如果垂直振动加速度过大，将会影响汽车的平顺性，给乘员带来不适或危及所载货物的安全。
振动过大也造成结构的应力过大，即产生过大的动应力，有时这种动应力比静应力大的多，容易使结构早期损坏。
另外，振动过大会引起其他的副作用，如剧烈的振动会使结构产生强烈的噪声，等等。
机械振动第01课导论：机械振动基本概念
2 Acos(
t
)
导论
简谐振动及其表示方法
周期
定义：物体作一次完全振 动所需的时间
符号：T
单位：s x Acos( t )
频率
Acos[( t T ) ]
2
T＝2
T
定义：单位时间内物体所作的完全振动的次数
符号：ν 单位：Hz
＝ 1 T 2
导论
简谐振动及其表示方法
谐振动的旋转矢量法
不稳定平衡
处于凸面的球体，当球受到 微小干扰，它将偏离其平衡 位置，而不再恢复原位；
导论
引言
临界平衡
物体处于平衡状态，受到干扰后 离开原来的平衡位置;
干扰撤掉后:
既不回到原来的平衡位置，也 不进一步离开；
而是停留在一个新的位置上平衡；
把物体在原来位置上和现在位置上所处的平衡状态 称为临界平衡
实际上不属稳定平衡。
导论
叠加原理
则有
导论
叠加原理
导论
振动的幅值度量
1. 引言
主要内容
2. 振动的分类
3. 离散系统各元件的特征*
4. 简谐振动及其表示方法*
5. 叠加原理#
6. 振动的幅值度量
导论
振动的幅值度量
振动在时域的幅值特性对度量振动的大小是很重要的。常用 的度量振动幅值的参数有：
1．峰值 振动量的最大值。
引言
1. 1 机械振动的含义(1)
▪ 所谓振动，广义地讲，指一个物理量在它的 平均值附近不停地经过极大值和极小值而反 复变化。
▪ 机械振动指机械或结构在它的静平衡位置附 近的往复弹性运动。
▪ 一般来说，任何具有弹性和惯性的力学系统 均可能产生机械振动。
001-机械振动
机械振动·简谐运动【知识要点】一．振动1．定义：物体（或物体的一部分）在某一中心位置附近做___________运动称为机械振动。
2．振动产生的条件：①物体偏离平衡位置后要受到_________的作用；②阻力要_________。
3．回复力：使振动物体___________________ 的力。
回复力是按照_________来命名的力，它可以是重力在某个方向的分力，也可以是弹力，也可是振动物体所受的几个实际力的合力。
4．平衡位置：振动物体所受________________ 为零的位置。
5．振动特点：①存在某一_______ 位置；②往复运动，即具有_______性。
二．简谐运动1．定义：物体在跟相对平衡位置的位移大小成_________，并且总是指向___________的回复力作用下运动，叫做简谐运动。
2．描述简谐运动的物理量⑴位移（x）：由__________位置指向振动质点所在处的有向线段。
⑵振幅（A）：振动物体离开______位置的最大距离，等于振动位移的最大值。
它反映了振动______，振幅是_____ 量。
⑶周期（T）和频率（f）：振动物体（质点）完成一次_________所需要的时间叫做周期；1s钟内完成_________的次数叫做频率。
周期（或频率）是描述振动_______的物理量。
其大小由振动系统本身性质决定，所以又叫做固有周期（或固有频率）；周期与频率的关系：T = _____________。
3．简谐运动的基本特点⑴动力学特征：回复力F= - kx中“- ”表示回复力的方向与位移方向_______，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数；它是判定一个物体是否做简谐运动的依据。
⑵运动学特征：简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成________而方向_________，是变加速运动；远离平衡位置是x、F回、a、E p均_______，v、E k均________。
机械振动基础李晓蕾知识点总结
机械振动基础李晓蕾知识点总结
一、机械振动基础概念
机械振动是指机械系统在运动过程中发生的振动现象。
机械振动基础是研究机械系统振动的基本理论和方法，包括自由振动、强迫振动、阻尼振动等内容。
二、自由振动
自由振动是指机械系统在无外力作用下，由于初始位移或初始速度而引起的周期性运动。
自由振动的特点是周期性、渐减、共振等。
三、阻尼振动
阻尼是指机械系统受到摩擦力或空气阻力等因素的影响而逐渐减少能量。
阻尼对于机械系统的运行稳定性有重要影响，可以分为线性阻尼和非线性阻尼。
四、强迫振动
强迫振动是指机械系统受到外部周期性力作用时发生的周期性运动。
强迫振动可以分为共鸣和非共鸣两种情况，共鸣时会增加能量并导致损坏。
五、模态分析
模态分析是指对于复杂结构进行分解，将其分解为一系列简单的振动模态，以便于进行分析和计算。
模态分析可以用于机械系统的优化设计和故障诊断等方面。
六、振动测量
振动测量是指对机械系统振动参数进行实时监测和记录，以便于进行
故障诊断和预防性维护。
振动测量可以通过加速度计、速度计、位移
传感器等设备进行。
七、常见故障及处理方法
机械系统常见的故障包括不平衡、失衡、松动等问题。
处理方法包括
平衡校正、紧固螺栓、更换零部件等措施。
八、结论
机械振动基础是研究机械系统运行稳定性和故障诊断的重要基础理论。
了解自由振动、阻尼振动、强迫振动等内容，掌握模态分析和振动测
量技术，能够有效地预防和解决机械系统故障问题。
机械振动第1章：振动理论基础
期T. 解：取位移轴ox，m在平 衡位置时，设弹簧伸长量 为l，则
mg kl 0
k
T F2
m
RJ o
m
aT
mg
x
当m有位移x时
mg T ma
T k(l x)R J a
R 联立得
kx
m
J R2
a
d 2 x
k
dt 2 m J
R2
x0
RJ k
T F2
m
aT
o
m
mg
x
物体作简谐振动
m
O
y
光滑斜面上的谐振子 X
k 0
m
简谐振动的速度、加速度
速度 dx dt Asin(t )
Acos( t 2)
(t ) m cos( t )
速度也是简谐振动 比x领先/2
加速度 a d 2 x dt 2 2 Acos( t )
a(t ) am cos( t a ) 也是简谐振动
(3). 描述简谐振动的特征量---周期、振幅、相位
a、周期T----物体完成一次全振动所需时间。
频率 1 T 物体在单位时间内完成振动的次数。
角频率
2 2 对弹簧振子：
T
T 2 m
k
1 2
2 k m
k m
o
T t
b. 振幅 A 谐振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。
c. 相位 t+ 决定振动物体的运动状态
d2x m kx
dt 2
l0
两端除以质量m，并设
2 n
k m
移项后得:
d2x dt 2
2 n
x
0
st O
机械振动的基础理论研究
机械振动的基础理论研究机械振动是机械工程中的一个重要研究领域，它涉及到机械系统中物体的周期性运动。
在工程实践中，我们常常需要对机械系统的振动进行分析和控制，以确保系统的正常运行和安全性。
机械振动的基础理论研究为我们提供了深入理解和解决这些问题的方法和工具。
机械振动的基础理论主要包括振动力学、振动传递和振动控制等方面的研究。
振动力学研究物体在受到外力作用下的振动特性，通过建立数学模型和方程来描述和分析振动过程。
振动传递研究振动在机械系统中的传递和耦合机制，以及不同部件之间的相互作用。
振动控制研究如何通过设计和控制手段来减小或抑制机械系统的振动，以提高系统的性能和可靠性。
在振动力学的研究中，我们首先需要建立机械系统的数学模型。
这可以通过运动方程或能量方法来实现。
运动方程是描述物体振动过程中运动状态的方程，可以通过牛顿定律和哈密尔顿原理等方法推导得到。
能量方法则是通过能量守恒原理来描述振动过程中能量的转换和损耗。
这些数学模型可以帮助我们预测和分析机械系统的振动特性，如自然频率、振型和振幅等。
振动传递研究的重点是研究振动在机械系统中的传递和耦合机制。
在实际工程中，机械系统通常由多个部件组成，这些部件之间通过连接件相互耦合。
振动在这些部件和连接件之间传递时会发生能量的转换和损耗，从而影响系统的振动特性。
通过研究振动传递的机制，我们可以优化机械系统的设计和结构，以减小振动的传递和耦合效应，提高系统的性能和可靠性。
振动控制研究的目的是通过设计和控制手段来减小或抑制机械系统的振动。
在实际应用中，机械系统的振动往往会对系统的性能和可靠性产生负面影响，如加速磨损、噪声和疲劳破坏等。
因此，我们需要采取措施来控制和减小振动。
振动控制的方法包括主动控制、被动控制和半主动控制等。
主动控制是通过主动施加力或扭矩来减小或抑制振动；被动控制是通过改变系统的刚度、阻尼或质量来减小或抑制振动；半主动控制则是通过控制元件的刚度、阻尼或质量来实现振动的控制。
设备振动标准
X＝X m sin( t )
X
Xm
Sin(2
t T
)
Xm
Sin(2
f
t
)
其中：ω＝2πf f＝1/T
V
dx dt
xm
cos t
Vm
cos
t
Vm
sin(
t＋
2)
a
dv dtBiblioteka d2x dt 22
xm
sint
am
sin t
am sin( t )
am Vm 2 X m Vm X m
根据牛顿定律F=ma，施加在 压电晶体片上的作用力与重 质量和振动加速度成正比。 而压电晶体片输出电荷与作 用在晶体片上的力成正比。 当m一定时，传感器输出电荷 与振动加速度成正比。
它不能作静态测量，只能动态测量。只有在受到连续交变力作用下， 压电晶体才能连续不断产生电荷，在电路中形成电流、电压。
输出信号通过较长导线输到振动仪，即使输入阻抗很高，也会显著 降低传感器的灵敏度，必须先送到前置放大器。
经过一次、二次积分获得振动速度、振动位移，但振动信号衰减 98%以上，灵敏度不足，受外界干扰影响大，在汽轮发电机组上 没有广泛应用。
对于具有滚动轴承或齿轮部件的旋转机械来讲，由于需要获得故障 振动加速度信号，加速度得到广泛应用。
X-质点位移 Xm-位移最大值，振幅(A) T-周期，质点重复同一运行所需最短时间 f-频率，单位时间同一状态出现次数，1/T ω- 圆频率，2πf φ-初始相位角
ω-园频率（rad/s) ,f-频率（Hz) ,T-周期 （s)
振动的三个要素： 幅值、频率（周期）、相位
振动位移、速度和加速度 振动位移对时间求一次、二次导数得到速度、加速度信号。
第二章机械振动理论基础
x(t ) xi cos(2 fi t i )
i 1
至少有一组fm /fn为无理数
准周期振动时历曲线及频谱图 a－时历曲线 b－频谱图
4、瞬态振动 瞬态振动属于非周期振动，是一种只在某一确 定时间段内才发生的振动，可以用各种脉冲函数或 衰减函数描述的振动。
Ae at sin(bt ) t 0 x(t ) 0 t0
二
振动系统力学模型的三要素及自由度
弹簧、质量、阻尼、自由度 1．弹簧 系统线性化后，振动体受到的弹性力与其 位移的一次方成正比，这就是说，若某振动 体一端受一个作用力F，则它的另一端必有一 个大小与F相等，方向与之相反的力作用。力 的大小与弹簧两端点的相对位移成正比
F Kx
2．质量 这是表示力和加速度关系的元件。在力学模型 中，它被抽象为绝对不变形的刚体。
5、随机振动 随机振动是一种非确定性振动，不能用精确的数学关系式 描述，因为这种现象每次观察都是不一样的。
随机振动虽然具有不确定性，但却具有一定统计 规律性。所谓统计规律性，就是在一定条件下多次 重复某项实验或观察某种现象所得结果呈现出的规 律性。
第二节 机械振动系统的建模基础
机械系统的振动量(位移、速度和加速度的幅 值)、频率(或周期)、相位和频谱等，常称为 该系统振动的基本参数。 影响这些基本参数的因素主要是： (1)系统本身结构的动态特性——质量或转动 惯量、刚度和阻尼； (2)系统的工作条件和外部激励的情况。
在工程技术领域中，振动现象也比比皆 是。例如，桥梁和建筑物在阵风或地震激励 下的振动，飞机和船舶在航行中的振动，机 床和刀具在加工时的振动，各种动力机械的 振动，控制系统中的自激振动等。
在许多情况下，振动被认为是消极因素。 例如，振动会影响精密仪器设备的功能，降 低加工精度，加剧构件的疲劳和磨损，从而 缩短机器和结构物的使用寿命。振动还可能 引起结构的大变形破坏，有的桥梁曾因振动 而坍塌；飞机机翼的颤振、机轮的抖振往往 造成事故；车、船和机舱的振动会劣化乘载 条件；强烈的振动噪声会形成严重的公害。
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u(t T0 ) u1(t mT1) u2 (t nT2 ) u1(t) u2 (t) u(t)
振动工程研究所
2. 调制信号——用高频传递低频信号
u(t) 2a cos(2 1 t 2 1 ) sin(2 1 t 2 1 )
2
2
2
2
a (t)sin[2 1 t (t)]
2a cos( 2
1
t
2
1
)
2
2
(t) 1 2
2
a (t) a12 a22 2a1a2 cos[( 2 1 )t 1
a1
a2 sin[( 2 1 )t ( a2 cos[( 2 1 )t
2 1 )] ( 2 1 )]
4
不两
取虚部
向Y轴投影
振动工程研究所
• 简谐振动的合成
频率相同的两简谐振动合成后仍为简谐振动， 且频率不变。
u1(t) a1 sin(0t 1) u2 (t) a2 sin(0t 2 )
用复数法
u(t) u1(t) u2(t)
Im[a1e j(0t1)
a e ] j(0t2 ) 2
Im{[(a1 cos1 a2 cos2 ) j(a1 sin1 a2 sin2 )]e j0t}
• 力平衡
达朗贝尔原理
振动工程研究所
方程分类
• 单自由度系统振动方程
mu(t) cu(t) ku(t) f (t)
• 自由振动方程——无外激励 偏离静平衡 初始条件
mu(t) cu(t) ku(t) 0
由
• 无阻尼自由振动方程略去阻尼突出自由振动的繁 入特点
简
mu(t) ku(t) 0
u +u
a(t)
12
同个
2
的振
谐幅 振、
u0
F1 F2
动 合 成
相 位 、
-2
F3
频 率
-4 0 2 4 6 8 10 12
都
t
同振幅谐振动的包络线通过零点。由两个频率接近的简谐振动合成的拍是一种普遍的物理现象。
振动工程研究所
李沙育（Lissajous）图
• 振动方向相互垂直的简谐振动合成 • Bowditch（鲍迪奇）在1815年首先研究这一族曲线，Lissajous在
2
谐同两 振、个 动频振 合率幅 成接相
近同 且， 可而 通相 约位 的不
4
u +u 12
a(t)
2
u0
-2
-4 0 2 4 6 8 10 12 t 振动工程研究所
几个概念
• 拍:周期振动的一种 • 拍频:注意是拍的节律,不是包络线频率
(差一倍) • 包络线:有两条
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def
a(t)
方程中的惯性项
u
mu
m
f
• 根据D’Alembert原理（动静转换），质量块（无 变形）提供与外力大小相同、方向相反的惯性 力
f m (t) f (t) mu(t)
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建模步骤
• 建立坐标系
原点为静止点(静平衡点) 坐标正向为标示外力方向
• 分离体法（材力，结力）
对质点标明惯性力、弹性力、阻尼力
1857年作更详细研究。
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李沙育图性质
• 如果两个振动的频率成简单的整数比，这样就能合成一个稳定、 封闭的曲线图形。
• 如果这两个相互垂直的振动的频率为任意值，那么它们的合成运 动就会比较复杂，而且轨迹是不稳定的。
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李沙育图用途
• 示波器观测频率与象位的传统工具 • 用于相位差寻找与判定（教学）
第一章 单自由度系统的振动
1
研究的起点----单自由度系统的确定振动
• 是以后研究复杂系统的基础。 • 有助于理解实际工程振动问题。 • 很多实际问题可简化为单自由度问题。
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1.0 振动的描述
1.0.1 简谐振动的表示 • 三要素：振幅、频率、相位（概念复习）
简谐振动的三种表示法
• 三角函数法
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复数法的位移、速度、加速度关系
z ae j e j0t ae j(0t )
z
j0ae j(0t )
ae j(0t / 2) 0
j e j / 2
z
ae 2 j(0t )
0
ae 2 j(0t ) 0
1 e j 振动工程研究所
三种表示法的差异
三角函数最直接、最常用。 旋转向量法是三角函数几何表示，用得不多，直观。 复数法与三角函数是一致的。
u(t) uest
(ms 2 k)u 0
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因为 u 0 ,故得到有特征方程
Im(aej e j0t )
a sin(0t )
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• 不同频率的简谐振动的合成不再是简谐振动
通约 1. 周期振动(频率可
)
u1(t) a1 sin(1t 1) u2 (t) a2 sin(2t 2 )
关键 整数倍数
证
1 m
明
2 n
T2 m , T1 n
T0 T1m T2n
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1.1 单自由度系统振动方程
• 振动系统的组成
三要素：质量，刚度，阻尼
必须要素
• 振动系统的数学模型:
运动方程（力平衡给出方程）
c
k
m u(t) f(t)
mu(t) cu(t) ku(t) f (t)
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方程中的弹性项
fs
u2
u1
f
f
k
def
f s (t) k (t) k[u1 (t) u2 (t)]
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1.2无阻尼单自由度系统的自由振动
方程 mu(t) ku(t) 0 注意
特点 二阶常系数齐次方程
初始条件 (定解条件)
u(0) u0, u(0) u0
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解的形式与试探解
数学理论
微分方程解=通解（+特解）
（1）试探解的提出与代入
实际经验
单频、等幅、初始点
（2）用初始条件定系数
u(t) a sin( 0t )
u
(t
)
0a
s
in(
0t
2
)
注意位移、速度、 加速度之间得相位关 系
u(t)
2 0
a
s
in(
0
t
)
2 0
u
(t
)
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旋转向量法（几何法）——纵轴投影
Im
P
Q
u
a 0t
0
O
Re
Im
Im
a
0
a 0a
0
O
Re
a2 0
O
Re
a
b
c
• 复数法
z aej e j0t aej(0t)
• 弹性恢复力与弹簧两端的相对位移（变形）成 正比，方向相反。 • 弹簧受力有势能；松弛完全放势能（无阻尼）。
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方程中的阻尼项
u2
u1
fd
f
• 粘性阻尼力与物体在介质中的相对运动速度成 正比，方向相反。（最简阻尼形式）
f d (t) c[u1 (t) u2 (t)] f
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