复数的向量表示1
平面向量的极坐标和复数形式
平面向量的极坐标和复数形式平面向量是数学中重要的概念之一，在解决各种几何和物理问题时都起着重要作用。
为了更方便地描述和计算平面向量，人们引入了极坐标和复数形式的表示方法。
本文将探讨平面向量的极坐标和复数形式，分析它们的特点和应用。
一、极坐标表示法1. 极坐标系简介在平面直角坐标系中，我们通常用x轴和y轴来表示平面上的点。
然而，在描述向量时，使用极坐标表示法更为方便。
极坐标系由极轴和极径组成，其中极轴是一条过原点的直线，极径则是从原点到点P 的有向线段。
2. 极坐标的表示方式对于点P(x, y)的极坐标表示为(r, θ)，其中r为点P到原点的距离，θ为极轴与OP的夹角。
根据三角函数的定义，我们可以得到以下关系：x = rcosθy = rsinθ根据这些关系，我们可以将给定的平面向量转换为极坐标形式。
3. 平面向量的极坐标形式对于平面向量AB，它的起点为原点O，终点为点B(x, y)。
我们可以得到以下关系：→→→AB = x i + y j = r(cosθ i + sinθ j) = r∠θ其中r为向量AB的模长，θ为向量AB与x轴的夹角。
这就是平面向量的极坐标形式。
二、复数表示法1. 复数的定义复数是由实数部分和虚数部分组成的数，一般可以表示为a + bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位。
复数可以看作是平面上的点，实部表示横坐标，虚部表示纵坐标。
2. 平面向量与复数的关系在平面上，向量可以表示为由原点出发的有向线段，而复数也可以看作是由原点出发的有向线段。
因此，我们可以将平面向量与复数进行对应。
3. 平面向量的复数形式对于平面向量AB，通过将其坐标表示为复数形式，我们可以得到：→→AB = x i + y j = x + yi其中x为向量AB的x坐标，y为向量AB的y坐标。
这就是平面向量的复数形式。
三、应用案例1. 极坐标和复数形式的互相转换通过极坐标和复数形式的转换，可以简化向量的运算和描述。
(完整版)复数知识点总结
复数一、复数的概念1. 虚数单位i（1） 它的平方等于1-，即 2i 1=-；（2） 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．（3） i 的乘方： 4414243*i 1,i i,i 1,i i,N n n n n n +++===-=-∈，它们不超出i b 的形式．2. 复数的定义形如i(,)R a b a b +∈的数叫做复数， ,a b 分别叫做复数的实部与虚部3. 复数相等 i i a b c d +=+，即,a c b d ==，那么这两个复数相等4. 共轭复数 i z a b =+时，i z a b =-． 性质：z z =；2121z z z z ±=±；1121z z z z ⋅=⋅； );0()(22121≠=z z z z z 二、复平面及复数的坐标表示1. 复平面在直角坐标系里，点z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i z a b =+可用点(,)Z a b 来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴为实轴，y 轴出去原点的部分称为虚轴．2. 复数的坐标表示 点(,)Z a b3. 复数的向量表示 向量OZ ．4. 复数的模在复平面内，复数i z a b =+对应点(,)Z a b ，点Z 到原点的距离OZ 叫做复数z 的模，记作z ．由定义知，z =．三、复数的运算1. 加法 (i)(i)()()i a b c d a c b d +++=+++．几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z +对应的向量为12(,)OZ OZ a c b d +=++．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．2. 减法 (i)(i)()()i a b c d a c b d +-+=-+-．几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z -对应的向量为1221(,)OZ OZ Z Z a c b d -==--．12()()i z z a c b d -=-+-=1Z 、2Z 两点之间的距离，也等于向量12Z Z 的模．3. 乘法 ()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±.4. 乘方 m n m n z z z +⋅= ()m n mn z z = 1212()n n n z z z z ⋅=⋅5. 除法 ()()()()()()()()22a bi c di ac bd bc ad i a bi a bi c di c di c di c di c d+-++-++÷+===++-+. 6. 复数运算的常用结论 （1） 222(i)2i a b a b ab +=-+， 22(i)(i)a b a b a b +-=+（2） 2(1i)2i +=， 2(1i)2i -=-（3） 1i i 1i +=-， 1i i 1i-=-+ （4） 1212z z z z ±=±， 1212z z z z ⋅=⋅， 1122z z z z ⎛⎫=⎪⎝⎭，z z =．（5） 2z z z ⋅=， z z =（6） 121212z z z z z z -≤+≤+ （7） 1212z z z z ⋅=⋅，1212z z z z ⋅=⋅，nn z z = 四、复数的平方根与立方根1. 平方根 若2(i)i a b c d +=+，则i a b +是i c d +的一个平方根，(i)a b -+也是i c d +的平方根． （1的平方根是i ±．） 2. 立方根 如果复数1z 、2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．（1） 1的立方根： 21,,ωω．12ω=-+，212ωω==--，31ω=． 210ωω++=． （2） 1-的立方根：111,22z z -=+=-． 五、复数方程1. 常见图形的复数方程（1） 圆：0z z r -=（0r >，0z 为常数），表示以0z 对应的点0Z 为圆心，r 为半径的圆（2） 线段12Z Z 的中垂线：12z z z z -=-（其中12,z z 分别对应点12,Z Z ）（3） 椭圆： 122z z z z a -+-=（其中0a >且122z z a -<），表示以12,z z 对应的点F1、F2为焦点，长轴长为2a 的椭圆（4） 双曲线： 122z z z z a ---=（其中0a >且122z z a ->），表示以12,z z 对应的点F1、F2为焦点，实轴长为2a 的双曲线2. 实系数方程在复数范围内求根（1）求根公式：1,21,21,20 20 20 2b x a b x a b x a ⎧-∆>=⎪⎪⎪-∆==⎨⎪⎪-±∆<=⎪⎩一对实根一对相等的实根一对共轭虚根 （2） 韦达定理：1212b x x a cx x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩。
复数及向量
面上的点( x , y ) 表示.
复数 z x iy 还可以用复平面上的 向量oz 表示.
y
该复数和向量也有一一 对应关系
z x iy
z ( x, y )
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
o
x
x
9
3、向量的概念及运算
日常中我们所遇到的量可以分为两类：一类量用一个数值便可以完 全表示，比如面积、温度、时间或质量等都属于这一类，这一类质 量称为数量（或标量）；另一类量，除了要用一个数以外，还要指 明它的方向才能够完全表示,比如速度、加速度、力等都属于这一类， 这一类的量称为向量（或矢量）。 向量可以用一条有向线段形象地表示，线段的方向表示向量的方 向，它的长度称为向量的模。 零向量的方向可以看作是任意的。模等于1的向量叫做单位向 量。两个向量的方向相同、模相等时，称它们是相等的向量, 因此，一个向量经过平移后与原向量相等。与的模相同而方向 相反的向量叫做 的负向量
( x yi )( x yi ) x 2 ( yi )2 x 2 y 2 .
结论：两个共轭复数 z, z 的积是实数.
即： zz x y .
2 2
8
2、复平面
复数 z x iy 与有序实数对 ( x , y ) 成一一 对应. 因此, 一个建立了直角坐标系 的平面可以 用来表示复数 , 通常把横轴叫实轴或 x 轴, 纵轴 叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平 面叫复平 面. 复数 z x iy 可以用复平
2. 两复数的积: z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ). z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 3. 两复数的商: z x 2 y 2 i x 2 y 2 . 2 2 2 2 2
复数的向量表示
例2.复数z
sin
3
i cos
6
,则 z
6
__2___
例3.复数z=4+ti的模小于5,则实数t的取值范围是_________. -3 < t < 3
例4.已知实数m满足不等式│log2m+4i│≤5,
则m的取值范围是_________. 1 m 8 8
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(1)|z|=4;
(2)2<|z|<4.
y
y
o
x
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o
x
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1.IT复SM平/ IT面IL 问题
例1.当实数m为何值时,复数
(m2-
8m+15)+(m2+3m-28)i 在复平面中的对应点: (1)位于第四象限;
5.2 复数的向量表示 ITSM / ITIL
任何一个复数z = a + bi ,都可以由一个有序实数对( a , b) 唯一确 定;有序实数对( a , b) 与平面直角坐标系中的点是一一对应的.
复数z = a + bi 可用点Z(a,b)表示,这个建
y
立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复
平面, x 轴叫做实轴, y 轴叫做虚轴.
(1)若z1 z2 ,求的值;
6
(2)若z1 z2 ,求的值. Copyright © Sino-i Technology Limited All rights reserved
复数的几何意义
复数的几何意义一、复数的几何意义1、复数的几何表示：bi a z +=与复平面内的点）（b ,a Z 之间是一一对应的，即任何复数bi a z +=都可以用复平面内的点）（b ,a Z 来表示。
2、复数的向量表示：直角坐标系内的点）（b ,a Z 与始点在原点的向量）（b ,a OZ =是一一对应的，因此，复数bi a z +=也与向量）（b ,a OZ =一一对应，其中复数0对应零向量，任何复数bi a z +=可以表示为复平面内以原点O 为起点的向量OZ ，我们把这种表示像是叫做复数的向量表示法。
复数z=a+bi ↔复平面内的点Z （a ，b ）↔平面向量OZ 3、复数的模的几何意义复数z=a+bi 在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离. 即 |Z |=|a+bi |=4、复数的加法与减法的几何意义加法的几何意义 减法的几何意义22b a + Z( )xoZ 1Z 2ZZ 2Z1yy oxz 1z 2≠0时， z 1+z 2对应的向量是以OZ 1、OZ 2、为邻边的平行四边形OZ 1ZZ 2的对角线OZ ， z 2-z 1对应的向量是Z 1Z 2 5、 复数乘法与除法的几何意义z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2）①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→显然积对应的辐角是θ1+θ2 < 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→逆时针旋转θ2角模变为oz 1→的r 2倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。
< 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→顺时针旋转θ2角模变为r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。
1.1复数的表示及其运算
cos
2kπ n
i sin
2kπ n
(k 0, 1, 2, )
当 k 0,1,2, ,n 1时,得到 n 个相异的根 :
w0
r
1 n
cos
n
i
sin
n
,
w1
r
1 n
cos
2π n
i
sin
2π n
,
对于 x, y R, 称 z x yi或 z x iy 为复数.
实部（Real）
记做：Re(z)=x
虚部(Imaginary) 记做：Im(z)=y
当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数;
当 y 0时, z x 0i x为实数.
3. 两复数相等: 当且仅当它们的实部和虚部分别相等.
n(cosn i sin n ) r(cos i sin )
于是 n r, cosn cos , sin n sin ,
显然 n 2kπ, (k 0, 1, 2, )
故
1
rn,
2kπ ,
n
w
n
z
r
1 n
z1 z2 z1 z2 z1 z2
等号成立的充要条件是 z1, z2位于同一直线上．
y
几何意义如图：
z2 z1 z2
z1 z2
z1
o
x
5、 复数的三角表示法
利用直角坐标与极坐标的关系
x r cos
y
复数的概念及复数的几何意义
复数的概念及复数的几何意义复数是数学中一种特殊的数形式，由实数和虚数组成。
在复数形式中，虚数单位i满足i²=-1、一个典型的复数可以表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部。
复数的几何意义可以通过使用复平面来解释。
复平面是由实数轴和虚数轴组成的平面，将复数表示为平面上的点。
实部对应于横坐标，虚部对应于纵坐标。
根据这个表示法可以将复数表示为平面上的点。
实部和虚部可以是任意实数，因此复数在平面上可以表示为平面上的任意点。
平面上的坐标点(a,b)对应于复数a+bi。
平面上的原点(0,0)对应于复数0，纵坐标为0的点(0,b)对应于纯虚数bi，而横坐标为0的点(a,0)对应于纯实数a。
复数的运算可以通过在复平面上进行向量运算来实现。
两个复数的加法就是将两个向量叠加在一起，而减法就是将一个向量从另一个向量中减去。
乘法可以通过将复数旋转和缩放来实现。
复数的模可以用勾股定理推导得出：对于复数a+bi，它的模等于√(a²+b²)，表示为，a+bi。
模是复数的长度或距离原点的距离。
两个复数的模的乘积等于它们的乘积的模，即，a+bi， * ，c+di， = ，(a+bi)(c+di)。
复数的共轭是将虚部取负得到的，即a-bi是复数a+bi的共轭。
共轭复数在复平面上呈镜像关系，共轭对称于实轴。
复数的实部是自身的共轭，虚部取负是自身的共轭。
通过使用复数，可以解决许多实数范围内无法解决的问题。
例如，求根公式中的虚数单位i是由复数域推导而来。
复数也广泛应用于工程学、物理学和信号处理等领域。
实际上，电路和信号可以使用复数进行建模和分析。
总之，复数是数学中重要的概念之一，它由实数和虚数组成，并可以通过复平面表示。
复数的几何意义在于将复数表示为平面上的点，实部对应于横坐标，虚部对应于纵坐标。
复数可以进行向量运算，包括加法、减法、乘法和取共轭。
复数的模是其到原点的距离，模的乘积等于乘积的模。
复数的共轭是虚部取负得到的。
1-1复数及其表示
e i cos i sin ,
则复数z r (cos i sin )可以表示为：
z re i
27
例 1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
(1) z 12 2i; ( 2) z sin i cos ; 5 5
解
(1) r z 12 4 4, 因 z 在第三象限,
2 2 2 2 2 2 2 2
( z1 z2 )2 ,
两边同时开方得 z1 z2 z1 z2 .
31
例 3 求下列方程所表示的曲线:
(1) z i 2; ( 3) Im(i z ) 4.
( 2) z 2i z 2 ;
解 (1) 方程 z i 2 表示所有与点 i 距离
复变函数论
•电 学
•热 学
复变函数 在电路原理、自动控制原理以及“信号与 系统”方面有着重要的应用。 3
1）应用于积分的计算。如
0
2
sin x dx 2 x( x 1)
2
u u 2）求解偏微分方程。 如： 2 2 0。 x y
3）应用于计算渗流问题。
例如：大坝、钻井的浸润曲线。
, 证明 : 例 2 设 z1 , z 2 为两个任意复数 (1) z1 z 2 z1 z 2 ; (2) z1 z 2 z1 z 2 .
证 (1) z1 z2 ( z1 z2 )( z1 z2 )
( z1 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z1 )( z2 z2 ) z1 z2 .
19
（3）复数的向量表示法
复数z x iy也可用复平面上的向量 OP 表示
向量具有两个重要的属 性：长度、方向 .
复数与向量的关系
重视复平面上复数与向量得联系作用平面向量与复数就是高中数学得重要内容,联系紧密，联系就是在复平面进行得。
随着知识得发展,相互对应相互促进就是联系得主要体现。
复数中得概念、运算等在向量中可以作出几何解释;向量得运算，可以对应有关得复数运算、复数与向量得这种联系,只要我们需要,可以将它们组合起来，在计算推理中发挥它们得联系作用,将就是一件高效快乐得事情、一复数商与内积得联系复数运算,向量运算之间得许多联系,在现有课本里就是可以学习到得，下面我们来瞧复数商与内积得联系、例 1 复数z=a+bｉ，ｚ=a＋bi，它们得三角式分别为z=|z｜(cｏｓθ+isinθ), z=|ｚ|(cosθ+ｉsinθ)，对应得向量分别就是＝(ａ,ｂ)、＝(a，b)、然后复数作商:代数式作商:=;-－-－---－-－--－(１)三角式作商:=[cｏｓ(θ－θ）+ｉｓin(θ-θ)],-－－-－-(2)比较(1)（2）式,可得 [cos（θ－θ)]=, (3)［sｉn(θ-θ）]= (4)则从中可得下列变式：(1)复数对应向量间得夹角余弦公式:ｃos(θ-θ)= ，（我們总可以适当选择θ、θ得主值范围,使得|θ-θ|∈，所以与得夹角就就是|θ－θ|)、(2) 向量内积:·=ａa+ｂb=||·｜｜ｃos(θ-θ)、若对(４）取绝对值得到:|×|=｜ab-ab｜=||·|sin(θ-θ)｜，这就是空间平面上向量叉积得绝对值,就是以线段oz、ｏz为邻边得平行四边形得面积公式、复数商运算式中,隐含着向量间得夹角公式,向量得内积,平行四边形面积得公式、若复数代数式得三角式分别就是,然后，将它们得代数式,三角式分别相乘,比较结果,同样可以得到上面得三个式子、数学中得这种相互包容联系,真就是体现了数学中得统一与谐之美、二复数向向量表示上得转化联系利用复数与向量得联系,复数可以向向量表示上得转化，使有些复数得问题转化为向量问题或构造向量图像去处理,借向量之力去解决复数问题、例2 已知复数z、z得模为１,z+ｚ，求复数、解：根据题意，设复数对应得向量为,以这两个向量为邻边，边长为1,构作一个平行四边形,并建如图１得直角坐标系、记,对应向量、∵对应得复数就是x∴，∠ｚoz=60,ﻩ本题在解题得思路上借助了复数向向量转化得作用、复数向向量转化就是较常用得思想方法、此题纯粹用代数方法去做,计算量就是较大得、例３复平面内,已知动点Ａ,B所对应得复数得辐角为定值,分别θ、-θ,,O为原点,ΔAＯB得面积就是定值S,求ΔAOＢ得重心M所对应得复数模得最小值、图2、解:根据题设,设向量对应复数且|,则有,∵ 图2∴＝=≥=∴ ｜z|=|,即重心M 所对应得复数模得最小值(=时,取最小值)、该题用向量方法可较简捷获解、复数向向量表示上得转化得特点就是:能将复数条件化为特殊得向量图形, 或构造一个向量运算，然后,顺利进行推理运算,求得结果、三 向量向复数表示上得转化联系利用复数与平面向量得联系,由向量向复数表示上得转化,使向量问题转化为复数问题或构造复数得结论去处理,借复数之力去解决向量问题,并使人觉得返朴归真之感、例4已知三个不共线得向量且证明:可构成一个三角形、证明:不妨设对应复数得三角式分别为：,且、o i r i r i r =+++++∴)sin (cos )sin (cos )sin (cos 333222111θθθθθθ＝0 (2)由(１）,（2)解得不共线,可构成一个三角形、从证明过程知道,其逆也成立得,故此命题可写成充要条件得形式、该题纯粹用向量概念去证明就是比较简单得,但学生听了后,并觉得没有复数解明白、 向量向复数表示上得转化得特点就是:转化为复数问题后能构造出复数得某些结论或某些代数公式,从而通过它们去实现目标完成、四 复数与向量并用联系用多种形式表示一个命题得方法,在数学中就是常用得手段，而且就是常用常新,也就是知识、思想、方法融会贯通得重要途径、如有些命题既可以用复数表示、也可以用向量表示，对于这类命题得处理自然要选择合适得形式来表示,或者就是两者并用,实现相互左证,这样可以使问题明了简单、例5已知线段ＡＢ得中点Ｃ,以ＡC 与C Ｂ为对角线作平行四边形A ＥＣＤ与BFCG ，又作平行四边形CF ＨＤ与CGK Ｅ,求证H 、C 、Ｋ三点在一条直线上,且CK ＝C Ｈ,如图３、证明：以C 为原点,A Ｂ为X 轴建立直角直角坐标系、设向量对应复数那么,向量对应复数分别为;又、分别对应复数、∵ ,图3 ∴ ,∴平行,但又有公共点C,故Ｈ、C 、K 三点共线,且CK=CH 、例6已知(k=１，2,……,ｎ）就是单位圆上得n 个等分点,就是该圆上任意一点，求证 为一定值、如图４、证明:以单位圆得圆心Ｏ为直角坐标得原点，ＯP 为Ｘ轴,建立坐标系，则∠ (当k=n 时,假定此角为2)，∵ 点，对应向量就是，则其长为1,向量与，即、∴ = =()()(.....)()()()2211op op op op op op op op op op op op n n -⋅-++-⋅-+-⋅- =)......(2||||......||||21222221n n op op n op op op ++⋅-++++=２n-２=2n,为定值、在这两个问题解决得过程中，我们既用了复数,又用到了向量及它们之间得等价结论、复数与向量并用得特点就是:并用表示后,相互之间有左证作用或有等价结论,而且在各自得范围内有顺利进行计算推理得可能、在平面图中，证明点共线,直线平行，直线垂直,判断三角形得形状等时,经常用复数与向量之间来转换、或并用来表示命题得,从而实现共同之目得、复数与平面向量之间得联系就是很多得,既有数形联系,又有等价结论联系、用好这些联系得意义就是很大得、在教学中能揭示这些联系,可以活跃思维,培养兴趣,提高学习得积极性,提高学习得效率、 要牢固掌握这些联系,关键在平时要理清复数与向量得对应联系，并把它们装在心中,拿在手中,落实在应用中,千万别将它们分离、例４已知就是单位圆上得ｎ个等分点(按逆时针排列),o 就是原点,求证:证明:以单位圆得圆心Ｏ为直角坐标得原点,OP 为X 轴,建立直角坐标系，则∠ (当k=n 时,假定此角为2)、∵ 点,对应向量就是,则其长为1,向量与,∴ 、这种等分圆周得有关向量求与问题,通过复数之后,可以转化为复数数列求与来完成、。
复数的各类表达形式
复数的各类表达形式一、代数形式表示形式：表示一个复数复数有多种表示形式，常用形式z=a+bi 叫做代数形式。
二、几何形式点的表示形式：表示复平满的一个点在直角坐标系中，以x为实轴，y为虚轴，O为原点形成的坐标系叫做复平面，这样所有复数都可以复平面上的点表示被唯一确定。
复数z=a+bi 用复平面上的点z(a，b )表示。
这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。
也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。
三、三角形式表示形式复数z＝a+bi化为三角形式，z＝r(cosθ+sinθi)。
式中r=∣z∣=√(a^2+b^2)，是复数的模(即绝对值)；θ是以x轴为始边，射线OZ为终边的角，叫做复数的辐角，记作argz，即argz=θ=arctan(b/a)。
这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。
四、指数形式表示形式将复数的三角形式z＝r( cosθ+isinθ)中的cosθ+isinθ换为exp(iθ)，复数就表为指数形式z＝rexp(iθ)。
向量在数学与物理中，既有大小又有方向的量叫做向量〔亦称矢量〕，在数学中与之相对的是数量，在物理中与之相对的是标量。
向量的运算法那么1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法那么和三角形法那么。
OB+OA=OC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减〞a=(x,y)b=(x',y') 那么a-b=(x-x',y-y').如图：c=a-b 以b的结束为起点，a的结束为终点。
3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
当λ>0时，λa与a同方向当λ<0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
复数复数的概念
共轭复数的定义
对于两个复数a+bi和c+di，如果 它们的实部和虚部分别互为相反 数，那么它们就互为共轭复数。
共轭复数的表示
共轭复数通常用大括号{}来表示 ，即{a+bi}={a-bi}。
共轭复数的性质
如果两个复数互为共轭复数，那 么它们的模相等，即|a+bi|=|abi|。同时它们的实部和虚部分别 相等，即{a+bi}={a-bi}={a+bi} 。
复数的概念
xx年xx月xx日
目录
• 复数的定义 • 复数的表示 • 复数的应用 • 复数的历史 • 复数的运算 • 复数的拓展
01
复数的定义
定义
要点一
复数
在数学中，复数是指形式为a+bi的数 ，其中a和b是实数，i是虚数单位。
要点二
复数表示
复数通常用平面直角坐标系上的点来 表示，其中横坐标为实部a，纵坐标 为虚部b。
对其他领域的影响
工程领域
在电子工程中，利用复数可以表示交流电的电压和电流，从而 实现对电路的分析和设计。
物理领域
在量子力学中，波函数通常是复数形式，描述了粒子的状态和 行为。
计算领域
在数值分析和计算中，复数可以用于表示和处理信号、图像等 数据，提高计算精度和效率。
05
复数的运算
加法与减法
实部与虚部分别相加或相减
除法公式
$z_1 \div z_2 = (a_1 \times a_2 + b_1 \times b_2) / (a_2 \times b
06
复数的拓展
多重复数
定义
多重复数是指一个复数在加法或乘法运算下不能唯一确定的数。
复数的向量表示
复数的向量表示在数学和物理学中，复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为a + bi的形式，其中a是实部，b是虚部，而i是虚数单位。
在向量表示中，复数可以被视为一个二维向量，由实部和虚部组成。
复数向量的表示可以提供更加简洁和方便的计算方式，尤其在涉及到向量运算和旋转操作的时候。
1. 复数向量的定义复数可以表示为一个向量(a, b)，其中a是实部，b是虚部。
这个向量可以用来表示复数的位置和方向。
2. 复数向量的运算对复数向量进行加法和乘法操作时，可以将其视为二维向量的运算。
具体地，复数向量的加法和乘法运算如下：加法：对于两个复数向量(a1, b1)和(a2, b2)，它们的加法运算为(a1 + a2, b1 + b2)。
乘法：对于两个复数向量(a1, b1)和(a2, b2)，它们的乘法运算为(a1 * a2 - b1 * b2, a1 * b2 + a2 * b1)。
3. 复数向量的表示和坐标系复数向量可以使用笛卡尔坐标系或极坐标系来表示。
在笛卡尔坐标系中，复数向量可以被视为一个有序对(a, b)，其中a是复数的实部，b是虚部。
而在极坐标系中，复数向量可以通过模长和幅角来表示。
笛卡尔坐标系：复数向量(a, b)可以被视为从坐标原点开始的有向线段，其中a表示线段的水平长度，b表示线段的垂直长度，且a和b的单位相同。
极坐标系：复数向量可以使用模长（也叫向量的长度）r和幅角（也叫向量的方向）θ来表示，即(r, θ)。
模长r表示复数向量与原点的距离，幅角θ表示向量与水平轴之间的夹角。
4. 复数向量的旋转由于复数向量可以表示为一个有向线段，因此可以通过旋转操作来改变复数向量的方向。
假设有一个复数向量(a, b)，我们希望将它顺时针旋转θ角度。
那么，我们可以通过以下公式计算旋转后的复数向量(a', b')：a' = a * cos(θ) - b * sin(θ)b' = a * sin(θ) + b * cos(θ)同样，如果我们希望将复数向量(a, b)逆时针旋转θ角度，那么可以使用以下公式计算旋转后的复数向量(a', b')：a' = a * cos(θ) + b * sin(θ)b' = -a * sin(θ) + b * cos(θ)5. 总结复数的向量表示为(a, b)，其中a是实部，b是虚部。
复数的向量表示
复数模的性质： （） = z 1 z （2）z1 − z 2 ≤ z1 + z 2 ≤ z1 + z 2 （3） 1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2 z z1 z1 （4） = （z 2 ≠ 0） z2 z2
1 例1.求复数z1 = 3 + 4i及z 2 = − − 2i的模, 2 并且比较它们的模的大小.
是复数z= 点Z(a,b), 向量 OZ 是复数 a + bi ( a , b∈R) ∈ 的另外两种表示形式,它们都是复数 它们都是复数z= 的另外两种表示形式 它们都是复数 a + bi 的几何表示. 的几何表示
复数z= 复数 a + bi ( a , b∈R) ∈
一一对应
复平面上的点Z(a,b) 复平面上的点
2 2
4.复数 复数模的图形问题 复数,复数模的图形问题 复数 复数z=icosθ,θ∈[0,2π)的几何表示是 ) 的几何表示是( 例1.复数 复数 ∈ 的几何表示是 (A)虚轴 (B)虚轴除去原点 虚轴; 虚轴除去原点; 虚轴 虚轴除去原点 (C) 线段 线段PQ,点P,Q的坐标分别为 的坐标分别为(0,1),(0,-1); 点 的坐标分别为 (D) C中线段 中线段PQ,但应除去原点 但应除去原点. 中线段 但应除去原点 C 例2.设z= x + yi ( x , y∈R),在复平面上画出满 设 ∈ 在复平面上画出满 足下列条件的点Z的集合所表示的图形 的集合所表示的图形: 足下列条件的点 的集合所表示的图形 (1)x∈R＋且y∈R; (2) │x│≤4且0<│y│<2; (3) ∈ ∈ 且 │z│≤2且x+y=2; 且 (4)z= x + yi, x<0, y>0,且x2 +y2 <9. 且
高中数学的复数运算的公式分析
高中数学的复数运算的公式分析1.知识网络图2.复数中的难点1复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明.2复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练.3复数的辐角主值的求法.4利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会.3.复数中的重点1理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点.2熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角.复数有代数，向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容.3复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复数中的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容.4复数集中一元二次方程和二项方程的解法.4. ⑴复数的单位为i，它的平方等于-1，即.⑵复数及其相关概念：① 复数—形如a + bi的数其中;② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a;③ 虚数—当时的复数a + bi; ④ 纯虚数—当a = 0且时的复数a + bi，即bi.⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部注意a，b都是实数⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.⑶两个复数相等的定义：.⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若为复数，则若，则.×[为复数，而不是实数]若，则.√ ②若，则是的必要不充分条件.当，时，上式成立 5. ⑴复平面内的两点间距离公式：. 其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离. 由上可得：复平面内以为圆心，为半径的圆的复数方程：.⑵曲线方程的复数形式：①为圆心，r为半径的圆的方程. ②表示线段的垂直平分线的方程. ③为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程若，此方程表示线段. ④表示以为焦点，实半轴长为a的双曲线方程若，此方程表示两条射线.⑶绝对值不等式：设是不等于零的复数，则①. 左边取等号的条件是，右边取等号的条件是. ②. 左边取等号的条件是，右边取等号的条件是. 注：.6. 共轭复数的性质：a + bi注：两个共轭复数之差是纯虚数. ×[之差可能为零，此时两个复数是相等的] 7⑴①复数的乘方：②对任何，及有③注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论. ②在实数集成立的. 当为虚数时，，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：若是1的立方虚数根，即，则. 8. ⑴复数是实数及纯虚数的充要条件：①. ②若是纯虚数.⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：. 9. ⑴复数的三角形式：. 辐角主值：适合于0≤<的值，记作. 注：①为零时，可取内任意值. ②辐角是多值的，都相差2的整数倍. ③设则.⑵复数的代数形式与三角形式的互化：，，.⑶几类三角式的标准形式：10. 复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于的一元二次方程时，应注意下述问题：①当时，若>0，则有二不等实数根;若=0，则有二相等实数根;若<0，则有二相等复数根为共轭复数. ②当不全为实数时，不能用方程根的情况. ③不论为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.11. 复数的三角形式运算：棣莫弗定理：高中数学口诀一、《集合与函数》内容子交并补集，还有幂指对函数。
复数的向量表示
y b
o
x
|Im(z)| b
三、例题分析
例1:试求实数m的值或取值范围,使复数z=(m2-m+2)+
(m2-3m+2)i在复平面内的对应点在
(1)实轴的负半轴上;
(2)第二象限.
m2 m 2 0 1 m 2
解:(1)
m
2
3m
2
0
m 1或2
m 1.
-1
O
1x
1
例4:画出满足下列条件的复数z的对应点的图形:
(1)1≤Re(z)≤2;
(2)|z|=2且Re(z)>Imz;
(3)z=-1+ai且|z|≤ 2.
y
解:(1) y
(2)
O1 2x
(3)由已知得 (1)2 a2 2 | a | 1.
所以轨迹是连接(-1,-1) 与(-1,1)的线段(包括端 点).
显然有| z || z | . z 0 | z | 0.
注意:任意两个复数不一定可以比较大小,但它们的模 由于都是非负的实数,所以一定能比较大小.
z=a+bi
Z(a,b)
OZ
一一对应
4.复平面上的区域或轨迹问题
复数与点的一一对应,使复数问题与解析几何问题相互 转化.如果复数的实部与虚部是一对实变量,那么对应 的点在复平面上就是动点.如果变量按某种条件变化, 那么复平面上对应点就构成具有某种特征的点的集合 或轨迹,这样就把数与形有机地结合起来了.
平面向量OZ b
我们常把复数z=a+bi说成点Z或向
Z:a+bi
量OZ,并规定,相等的向量表示同 一个复数.
复数向量的1范数
复数向量的1范数
复数向量的1范数是指对向量中各元素的绝对值，求和，再求其1次幂，用公式表示为$\|a\|_1=\sum_{i=1}^n|a_i|$。
其中，$a_i$表示向量$a$的第$i$个元素。
在数学中，范数可以用来衡量向量的大小和距离。
1范数表示向量中所有元素绝对值之和，它反映了向量中元素的总强度或总大小。
在某些情况下，1范数可以用来度量向量的长度或距离，例如在机器学习和信号处理中，常常使用1范数来度量向量的长度或距离。
需要注意的是，不同的范数有不同的数学性质和应用场景，具体选择哪种范数需要根据实际情况来确定。
复数的向量表示
复数的向量表示教学目标（1）掌握向量的有关概念：向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量；（2）理解并掌握复数集、复平面内的点的集合、复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系；（3）掌握复数的模的定义及其几何意义；学习数学学习教学建议一、知识结构物理二、重点、难点分析本节的重点是复数与复平面的向量的一一对应关系的理解；难点是复数模的概念．复数可以用向量表示，二者的对应关系为什么只能说复数集与以原点为起点的向量的集合一一对应关系，而不能说与复平面内的向量一一对应，对这一点的理解要加以重视．在复数向量的表示中，从复数集与复平面内的点以及以原点为起点的向量之间的一一对应关系是本节教学的难点．复数模的概念是一个难点，首先要理解复数的绝对值与实数绝对值定义的一致性质，其次要理解它的几何意义是表示向量的长度，也就是复平面上的点到原点的距离．三、教学建议学习物理2．理解并掌握复数集、复平面内的点集、复平面内以原点为起点的向量集合三者之间的关系如图所示，建立复平面以后，复数与复平面内的点形成—一对应关系，而点又与复平面的向量构成—一对应关系．因此，复数集与复平面的以为起点，以为终点的向量集形成—一对应关系．因此，我们常把复数说成点Z或说成向量．点、向量是复数的另外两种表示形式，它们都是复数的几何表示．相等的向量对应的是同一个复数，复平面内与向量相等的向量有无穷多个，所以复数集不能与复平面上所有的向量相成—一对应关系．复数集只能与复平面上以原点为起点的向量集合构成—一对应关系．2．这种对应关系的建立，为我们用解析几何方法解决复数问题，或用复数方法解决几何问题创造了条件．3．向量的模，又叫向量的绝对值，也就是其有向线段的长度．它的计算公式是，当实部为零时，根据上面复数的模的公式与以前关于实数绝对值及算术平方根的规定一致．这些内容必须使学生在理解的基础上牢固地掌握．4．讲解教材第182页上例2的第（1）小题建议．在讲解教材第182页上例2的第（1）小题时．如果结合提问的图形，可以帮助学生正确理解教材中的“圆”是指曲线而不是指圆面（曲线所包围的平面部分）．对于倒2的第（2）小题的图形，画图时周界（两个同心圆）都应画成虚线．5．讲解复数的模．讲复数的模的定义和计算公式时，要注意与向量的有关知识联系，结合复数与复平面内以原点为起点，以复数所对应的点为终点的向量之间的一一对应关系，使学生在理解的基础上记忆。
高二年级数学-寒假教案-复数的概念与坐标表示
高二年级数学-寒假教案-复数的概念与坐标表示排列组合习题巩固1.3位旅客，到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？2.有甲、乙、丙三项任务, 甲需2人承担, 乙、丙各需1人承担.从10人中选派4人承担这三项任务, 不同的选法共有多少种？3. 七个同学排成一横排照相。
（1）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？（2）某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？（3）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？（4）甲、乙必须相邻的排法有多少种？（5）甲必须在乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种？复数的概念一、虚数单位：（1）规定，i2=﹣1，即i是﹣1的一个平方根。
我们把形如a+bi（a、b∈R）的数叫做复数。
全体复数组成的集合叫做复数集，用C表示（2）单个复数用z表示，即z=a+bi（a、b∈R），a和b分别叫做复数z=a+bi的实部（Rez）与虚部（Imz）。
b=0时，复数z是实数；b≠0时，z叫做虚数；当a=0且b≠0时，z叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z是实数0.（3）实数集R是复数集C的真子集，即R C例1、判断下列结论是否正确：（1）a、b∈R，则a+bi是虚数；（2）b ∈R ，则bi 是纯虚数；（3）z=a （a ∈R ）不是复数；（4）z=a+bi （a 、b ∈N ﹡）是虚数例2、写出复数2+3i ，﹣3+21i ，﹣31i ，﹣3﹣5i 的实部和虚部，哪个数是纯虚数？例3、实数m 取什么数值时，复数z=m+1+（m ﹣1）i 是：（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？二、复数相等如果两个复数z 1=a+bi （a ，b ∈R ）和z 2=c+di （c ，d ∈R ）的实部与虚部分别相等，即a=c 且b=d ，那么这两个复数相等，记作a+bi=c+di例4、已知（3﹣10i ）y+（﹣2+i ）x=1﹣9i ，求实数x 、y 的值【练习一】1. 判断下列命题的真假。
复数1的三角形式
复数1的三角形式复数1可以写成1+0i的形式，其中1表示实部，0表示虚部。
在三角形式中，复数1可以表示为模长为1，辐角为0的形式。
具体来说，模长表示复数到原点的距离，辐角表示复数与实轴的夹角。
对于复数1来说，它到原点的距离为1，与实轴的夹角为0，因此可以用模长和辐角的形式表示为1∠0。
在三角形式中，模长和辐角是复数的两个重要属性。
模长表示复数的大小，辐角表示复数的方向。
对于复数1来说，它的模长为1，表示这个复数的大小为1。
而辐角为0，表示这个复数的方向与实轴重合，即为正方向。
因此，复数1的三角形式为1∠0。
复数1的三角形式在数学和物理等领域有着广泛的应用。
在电路分析中，复数常用于描述交流电路中的电流和电压。
复数的三角形式可以直观地表示电流和电压的大小和相位差。
当电流和电压的相位差为0时，它们的三角形式中的辐角为0，表示它们同相。
而当相位差不为0时，辐角的大小就表示它们之间的相位差。
除了在电路分析中的应用，复数的三角形式还可以用于表示向量的旋转和平移。
在平面几何中，复数可以表示一个向量，而复数的三角形式可以表示这个向量的旋转和平移。
模长表示向量的大小，辐角表示向量的方向。
当向量的辐角为0时，表示向量与实轴重合，即向右平移。
而当辐角为π/2时，表示向量与虚轴重合，即向上平移。
通过改变辐角的大小，可以实现向量的旋转和平移。
复数1的三角形式为1∠0。
在三角形式中，模长表示复数的大小，辐角表示复数的方向。
复数1的三角形式在电路分析和平面几何等领域有着广泛的应用。
它可以用于表示电流和电压的相位差，以及向量的旋转和平移。
通过理解和应用复数1的三角形式，我们可以更好地理解和解决与其相关的问题。