第三章机器人运动学PPT课件

单位主矢量相对于坐标系{A}的方向余弦组成：
xB
yB
zB
xA
yA
zA
其中：cos cos(xB , xA )
既表示了刚体F在{A}系中的方位，也描述了{B}系在{A}系中的 姿态。
3.1.2.2 坐标变换
一、坐标平移
如图3-5，坐标系{B}与{A} 方向相同，但原点不重合。
图3-5 坐标平移
此式称为平移方程。其中 是B系中的原点在A系中的表示。
xA
OB
30o xB
yA yB 30o
所以有：
cos 300 sin 300 0 0.866 0.5 0
A B
R
R(
z,300
)
sin
300
cos 300
0
0.5
0.866 0
0
0
1 0
0 1
10
A PBO
5
0
最后得： APBAR BP APBO
9.098 12.562
第三章 机器人的运动学
3.1 工业机器人运动学
3.1.1 相关知识回顾
一、行列式和矩阵 1. 行列式按照行（或列）展开法则：行列式等于它的任意一行 （或列）各元素与其对应的代数余子式乘积之和。
2.行矩阵 3.列矩阵 4.矩阵相等：两同型矩阵（行数和列数都相等）对应元素相等。
5.单位矩阵：主对角线元素为1，其它所 有的元素都为0的方阵。 6.矩阵的运算 （1）矩阵的加法：两同型矩阵的对应元素相加。
，它的齐
次坐标就是
，即满足Px=ωPx/ω，Py=ωPy/ω，
Pz=ωPz/ω（ω是非零整数）。可以看出，在三维直角坐标系中，
由于ω取值的不同，一个点的齐次坐标的表达不唯一。
齐次坐标不仅可以规定点的位置（ω为非零整数），还可以
用来规定矢量的方向（第四个元素为零时）。列向量
（2）矩阵与数相乘：该数与矩阵各元素相乘。
（3）矩阵与矩阵相乘： （4） 矩阵的转置：把矩阵的行换成同序数的列，记为
7. 矩阵的逆（逆矩阵） 8. 分块矩阵：分块后的矩阵与普通矩阵的运算相同。
9. 正交矩阵：如果
，则A为正交矩阵。它满足：
如果
是正交矩阵，则
行列式和矩阵的区别：矩阵是按一定方式排成的数表；行列式是 一个数。
四、矢量的叉积（矢量积或叉乘积）
其中矢量c的模为:
图3-3叉乘积
其中θ是a和b间小于等于1800的夹角，若将a按右手法则绕c转 θ角至b，右手拇指指向为c的正方向（如图3-3），c与a、b两者垂 直。
若a和b用分量的形式表示为: 则
a和b的点乘为： 将点乘和叉乘应用于右手笛卡尔坐标系的单位矢量i，j，k，有：
三、矢量的点积（内乘积或标量积）
其中θ是a和b两矢量间的夹角，如图3-2所示。 令b=i （i为b方向上的单位矢量），则
图3-2标量积
换句话说：一个矢量在另一个矢量上的投影等于该矢量与另一矢量 方向上单位矢量的点积。
再令a=j （j 为a方向上的单位矢量），则
即两矢量方向上单位矢量的点乘等于两矢量夹角的余弦。
和 A PCO APBO
进而有
例3.2 已知坐标系{B}初始位姿与{A}重合，首先{B}相对{A}的zA轴
转30°，再沿{A}的xA轴移动10个单位，并沿{A}的yA轴移动5个单
位。求位置矢量 和旋转矩阵 。若
,求 。
解：
zB zA
OB OA
xA30oxB
yB 30o
yA
zA zB
OA
(10,5,0)
z'θ z
z' θ z
z z'
y' θy
y' y
y' θy
x x’
x θ x’
x θ x’
x’ y’ z’ x
y
z
x’ y’ z’ x y z
x’ y’ z’ x y z
例3.1 若从基坐标系 ({B})到手爪坐标系 ({E})的旋转变换 矩阵为 。（1）画出两坐标系的相互方位关系（不考虑{E}的 原点位置）；（2）如果给出OE({E}系的原点）在{B}中的位置矢 量为（1，2，2），画出两坐标系的相对位姿关系；（3）求a，b， c的值。
0
3.1.2.3 齐次坐标与齐次变换
复合变换式
可以表示成等价的齐次变换式。
AP
1
A B
R
0
A
PBO 1
BP 1
A P BAR BP APBO
11
简写成 综合地表示了平移和旋转变换。
一、齐次坐标
一般来说，以N+1维矢量表达N维位置矢量的方法称为齐次 坐标表示法。
在三维直角坐标系中，一个点可以表示 为
二、直角坐标系
若基矢量相互正交，即它们在原点o处两 两相交成直角，则它们构成直角坐标系或笛卡 儿坐标系。
若按右手法则绕oz轴转900可以使ox轴转向 oy轴，则称为右手坐标系；按左手法则形成的 坐标系称左手坐标系。
斜角坐标系
图3-1 （a）右手坐标系
本课程使用右手坐标系。
图3-1 （b）左手坐标系
二、坐标旋转
图3-6 坐标旋转
如图3-6，{B}与{A}有共同的坐标原点，但方位不同。令
和
分别是{A}和{B}中的单位主矢量，点P 在两
坐标系中各坐标轴上的坐标分量分别为：
和
所以有 利用点乘的性质和上式共同求解得
将
代入上面三式中并写成矩阵形式得
Hale Waihona Puke 上式简写为： 此式称为坐标旋转方程。其中旋转矩阵 表示了坐标系{B}相 对于{A}的方位，正好与刚体姿态的描述相同。同理也可得
和 都是正交矩阵，因此满足
由 与 互逆，可得
若把 写成行向量的形式 每一个元素都是一个列向量。容易得出 （称正交条件）：
，则其中 满足六个约束条件
旋转矩阵的几何意义：旋转矩阵在几何上表示了发生相互旋 转的两坐标系各主轴之间的相互方位关系。
因此写出三个基本的旋转矩阵，即分别绕x、y和z轴转θ角的旋转 矩阵：
3.1.2 位姿描述与齐次变换
3.1.2.1 刚体位置姿态（位姿）描述
a) 位置的描述
采用直角坐标描述点的位置，因此，刚体F的位置描述，即OB 点在{A}中描述可用一个3×1的列矢量 （位置矢量）表示，即
其中Px、Py和Pz是点OB在{A}系中的三个坐标分量。
b) 姿态（方位）的描述
采用旋转矩阵来表示刚体姿态（方位） ，即由{B}系的三个
解：
(1)
xE yE zE xB
yB
zB
(3) a=0，b=1，c=0
zB
xB
yE
zE xE yB
(2)
zB
(1,2,2)
zE xE
yB
xB
yE
三、一般变换
最一般的情况：坐标系{B}的原点既不与{A}重合，方位也不相同。 {C}系与｛Ｂ｝系原点重合，但 方位不同，所以得
{C}系与｛A｝系原点不重合， 但方位相同，所以得