14.1 无向图 有向图概念
chap14 有向图
有向H图的应用
任务的最佳排序问题：假设有任务t1, t2, …tn需在
同一设备上串行执行，从任务ti转到任务tj所需的 设备调整时间是aij，如何排任务执行次序，使设 备调整需时间最少？
1、建图：建立有向图D, 顶点对应于要执行的任务，
vivjA(D)当且仅当aijaji。边vivj带权aij。
T的高度为3 ;
T中的蓝色结点及弧构成 T的一个以v2为根的子树.
27
有序树
定义14.3.3：若对一个树T的结点(弧)从
上至下，同一层结点(弧)从左至右规定了 一个次序，则称T为有序树。 v0 有序树的编号：
v1 v2 v3
v21
v211 v212
v22
v213
v31
28
m元(有序)树
定义14.3.4：设T是(有序)树，m 1。
3 v3
D D’
17
竞赛图
竞赛图：完全图的定向图称为竞赛图。
n阶竞赛图可用来表示n个选手之间进行
循环赛的胜负状态。
有一人全胜，其余各胜 一场： 有一人全输，其余各胜 两场：
18
竞赛图都含有向H通路
有向图D的有向H通路是指一条包含D的所有顶
点的有向通路（有向哈密尔顿通路）。 推论14.2.1：每个竞赛图都含有向H通路。 证明：设D是竞赛图， D的基础图G是完全图， 于是， (G) = |V(D)| =p , 由定理14.2.1知，D中含长为p–1的有向通路， 也就是说，该通路上包含了所有的p个顶点， 即为有向H通路。
3(a). D 中任何一条有向(u, v)-通路(u≠v)P均满足 (u)≠(v) 3(b). D 中的任何弧(u,v) v 1 的首尾不同色 2 4. 总之，基础图G的 任何两个邻接的顶 点在下均不同色， 4 即是G的正常(k+1) v2 着色。 故k≥ (G) –1
干货非常详细的有向图模型与无向图模型原理总结
干货非常详细的有向图模型与无向图模型原理总结本文是小编结合了多个图模型的经典文章所作的一个总结，对于一谈到图模型和马尔科夫知识就产生厌恶的同学，本文会带你循序渐进的去理解图模型的算法原理。
目录1. 为什么要用有向图模型和无向图模型2. 有向图模型的条件独立概率表示方法3. 无向图模型的条件独立概率表示方法4. 有向图模型举例——贝叶斯网络5. 有向图模型举例——隐马尔科夫模型6. 无向图模型举例——马尔科夫随机场7. 小结概率建模在机器学习领域有着广泛的应用，如贝叶斯分类、隐马尔可夫模型和条件随机场。
在实际的人工智能项目中，我们常常面对高维空间的特征，若以概率的角度去构建机器学习模型，你首先需要做的就是分析高维特征空间的联合概率举例来说，对于K维随机向量，其联合概率为高维空间的分布，一般难以建模。
假设每个随机变量为离散值并有m 个取值，下面开始介绍如何估计随机向量X的联合概率P(X)。
1）最直接的方法是分析随机变量中所有可能的组合，每个随机变量有m个取值，K维随机向量X共有的可能取值，若要通过该方法正确的构建模型，则需要大量的训练数据。
若每一个可能的随机向量X 的联合分布用一个参数表示，那么构建该模型需要参数，当m=2，K=100时，模型参数的大小约为，这大大超出了目前计算机的存储能力。
这里需要提醒的一点是随机向量X共有的可能取值，而模型参数个数是的原因是所有可能取值的概率和等于1，即自由度降低了1。
2）我们对模型结构进行独立性假设，假设随机变量是相互独立的，那么随机向量X的联合概率为：独立性假设相比于第一种方法大大的减少了模型参数个数，如m=2，K=100时，模型参数个数是100，第一种方法的模型参数约为。
3）针对前两种估计联合概率方法的缺点，我们对模型结构进行了条件独立性假设，如果在给定的条件下相互独立，则联合概率有：上式是条件独立性的一个例子，独立性假设大大的减少了模型参数量，举个例子来说：假设有四个二值变量，用第一种方法计算联合概率，那么模型需要个参数。
无向图及有向图
第7章 图的概念
本章学习： 1. 无向图及有向图 2. 通路、回路、图的连通性 3. 图的矩阵表示 4. 最短路径及关键路径
13
今日内容
无向图及有向图 图的一些相关概念 度 握手定理 子图相关概念 图同构
14
预备知识
有序积: A×B={ <x,y> |x∈A∧y∈B} 有序对: <x,y>≠<y,x> 无序积: A&B={ (x,y) |x∈A∧y∈B} 无序对: (x,y)=(y,x) 多重集: {a,a,a,b,b,c}≠{a,b,c} 重复度: a的重复度为3, b的为2, c的为1
26
例：点点、边边之间的相邻关系
27
顶点的度数
定义 设G＝<V,E>为一无向图，v∈V，称v作 为边的端点次数之和为v的度数，简称为度， 记做 dG(v)。 在不发生混淆时，简记为d(v)。
设D＝<V，E>为有向图，v∈V，
称v作为边的始点次数之和为v的出度，记做 d+D(v)，简记作d+(v)。 称v作为边的终点次数之和为v的入度，记做
握手定理
定理7.2 设有向图D=<V,E>， V = {v1, v2,…, vn},,|E|=m，则
n
n
d vi d vi m
i 1
i 1
34
度数列
设G＝<V,E>为一个n阶无向图，V＝{v1,v2,…,vn}，称d(v1) ，d(v2)，…，d(vn)为G的度数列。
对于顶点标定的无向图，它的度数列是唯一的。 反之，对于给定的非负整数列d＝{d1,d2,…,dn}，若存在V
d+ (v4)=1
第14章-图基本概念
不同的圈（以长度3的为例） ① 定义意义下 无向图：图中长度为l（l3）的圈，定义意义下为2l个 有向图：图中长度为l（l3）的圈，定义意义下为l个 ② 同构意义下：长度相同的圈均为1个
试讨论l=3和l=4的情况
v 的关联集 I( v ) { e |e E ( G ) e 与 v 关 } 联 ② vV(D) (D为有向图)
v的后继D 元 (v)集 {u|uV(D)v,u E(D)uv} v的先驱D 元 (v)集 {u|uV(D)u,v E(D)uv} v的邻域ND(v)D (v)D (v) v的闭邻N域 D(v)ND(v){v}
2 m d (v) d (v) d (v)
v V
v V 1
v V 2
由于2m, d(v) 均为偶数，所以 d(v) 为偶数，但因为V1中
vV2
vV1
顶点度数为奇数，所以|V1|必为偶数.
12
握手定理应用
补例1 无向图G有16条边，3个4度顶点，4个3度顶点，其 余顶点度数均小于3，问G的阶数n为几？ 解 本题的关键是应用握手定理. 设除3度与4度顶点外，还有x个顶点v1, v2, …, vx， 则
8
多重图与简单图
定义14.3 (1) 无向图中的平行边及重数:如果关联一对顶点的无向边多
于1条，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。 (2) 有向图中的平行边及重数（注意方向性） 如果关联一对顶点的有向边多于1条，并且这些边的始点与
终点相同，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。 (3) 多重图：含平行边的图称为多重图。 (4) 简单图：既不含平行边也不含有环的图。 在定义14.3中定义的简单图是极其重要的概念
14.1 无向图 有向图概念解析
14
2
顶点和边的关系-关联
ek
vi
vj
பைடு நூலகம்
定义 设ek=(vi, vj)是无向图G=<V,E>的一条 边, 称vi, vj为ek的端点, ek与vi ( vj)关联. 若vi vj, 则称ek与vi ( vj)的关联次数为1; 若vi = vj, 则称ek为环, 此时称ek与vi 的关 联次数为2; 若vi不是ek端点, 则称ek与vi 的关联次数 为0. 无边关联的顶点称作孤立点.
问:e1与v1的关联次 数是多少 e2与v1和v2的关联 次数是多少?
15
相邻(点相邻，边相邻，邻接到）
对无向图 G=<V,E>, vi,vjV, ek,elE, 若 (vi,vj) 组成一条边 , 则称 vi,vj 相邻 (点相邻); v1和v2点相邻 若ek,el至少有一个公共端点 , 则称 ek,el相邻(边相邻). e2和e3边相邻. 对有向图有类似定义 . 设 ek=vi,vj 是有 向图的一条边 ,又称vi 是 ek的始点 , vj
像这样由结点和边组成的离散结构就是本章讨论的图.
5
图论的应用
图论广泛应用于建立和处理离散对象及其关系, 如:关系(关系图)\网络\运筹规划等
在计算机科学领域:算法设计\操作系统\网络理论,都 有广泛应用. 其他领域:生物学\经济\控制论\运筹学等
6
第5章 图的基本概念
5.1 无向图及有向图
7
基本概念 无序积AB :用来表示无向图的边.
10
有向图
定义 有向图D=<V,E>, 其中 (1) V是顶点集, 元素也称为顶点 (2) E是边集,为笛卡儿积VV的多重子集，其元素 称为有向边，简称边.
无向图,有向图
无向图【定义】一个无向图(undirected graph)是一个二元组<V,E>，其中：1.V是非空集合，称为顶点集。
2.E是V中元素构成的无序二元组的集合，称为边集。
【解释】直观来说，若一个图中每条边都是无方向的，则称为无向图。
（1）无向边的表示无向图中的边均是顶点的无序对，无序对通常用圆括号表示。
【例】无序对(vi，vj)和(vj，vi)表示同一条边。
（2）无向图的表示【例】下面(b)图中的G2和(c)图中的G3均是无向图，它们的顶点集和边集分别为：V(G2)={v1，v2，v3，v4}E(G2)={(vl，v2)，(v1，v3)，(v1，v4)，(v2，v3)，(v2，v4)，(v3，v4)}V(G3)={v1，v2，v3，v4，v5，v6，v7}E(G3)={(v1，v2)，(vl，v3)，(v2，v4)，(v2，v5)，(v3，v6)，(v3，v7)}注意：在以下讨论中，不考虑顶点到其自身的边。
即若(v1，v2)或<vl，v2>是E(G)中的一条边，则要求v1≠v2。
此外，不允许一条边在图中重复出现，即只讨论简单的图。
3．图G的顶点数n和边数e的关系（1）若G是无向图，则0≤e≤n(n-1)/2恰有n(n-1)/2条边的无向图称无向完全图(Undirected Complete Graph)（2）若G是有向图，则0≤e≤n(n-1)。
恰有n(n-1)条边的有向图称为有向完全图(Directed Complete Graph)。
注意：完全图具有最多的边数。
任意一对顶点间均有边相连。
【例】上面(b)图的G2就是具有4个顶点的无向完全图。
有向图【定义】有向图是一个二元组<V,E>，其中1.V是非空集合，称为顶点集。
2.E是V×V的子集，称为弧集。
【解释】直观来说，若图中的每条边都是有方向的，则称为有向图。
有向图中的边是由两个顶点组成的有序对，有序对通常用尖括号表示，如<vi,vj>表示一条有向边，其中vi是边的始点，vj是边的终点。
《离散数学》第6章图的基本概念
一、通路，回路。 1、通路 (回路)
—— G 中顶点和边的交替序列
v0e1v1e2
el vl ，其中 ei (vi 1 , vi )(无向图)，
或 ei vi 1 , vi (有向图)， v0 ——始点，
vl ——终点，称 为 v0 到 vl 的通路。当 v0 vl
时， 为回路。 2、简单通路，简单回路。 简单通路 (迹) 简单回路 (闭迹) 复杂通路 (回路)
3、初级通路，初级回路。 初级通路 (路径) 初级回路 (圈)
初级通路 (回路) 简单通路 (回路)， 但反之不真。
4、通路，回路 的长度—— 中边的数目。
例1、(1)
图(1)中，从 v1 到 v6 的通路有：
1 v1e1v2e5v5e7v6
2 v1e1v2e2v3e3v4e4v2e5v5e7v6 3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
设 V v1, v1,
, vn 为图 G 的顶点集，称 , d (vn ) 为G 的度数序列。
d (v1 ), d (v2 ),
2、握手定理。
定理1： 设图 G V , E 为无向图或有向图，
V v1, v1,
则
, vn ，E m ( m为边数)，
d (v ) 2 m
图论简介 图论是一个古老的数学分支，它起源于游戏 难题的研究。图论的内容十分丰富，应用得相当 广泛，许多学科，诸如运筹学、信息论、控制论、 网络理论、博弈论、化学、生物学、物理学、社 会科学、语言学、计算机科学等，都以图作为工 具来解决实际问题和理论问题。随着计算机科学 的发展，图论在以上各学科中的作用越来越大， 同时图论本身也得到了充分的发展。本课程在第 六、七章中介绍与计算机科学关系密切的图论的 基础内容。
有向图与无向图的性质与算法
有向图与无向图的性质与算法1. 引言在图论中，有向图和无向图是两种最基本的图模型。
它们在表达和解决各类实际问题时具有重要的应用价值。
本文将介绍有向图和无向图的性质以及相关算法，以便读者对其有更深入的理解。
2. 有向图的性质有向图是由一系列顶点和有方向的边组成的图模型。
以下是有向图的几个重要性质：2.1 有向边的方向性与无向图不同，有向图中的边是有方向的，它们从一个顶点指向另一个顶点。
这种方向性在描述一些实际问题时非常有用，比如描述物流运输的路径。
2.2 顶点的入度和出度有向图中的每个顶点都有一个入度和一个出度。
顶点的入度是指指向该顶点的边的数量，而出度是指从该顶点出发的边的数量。
通过计算入度和出度，我们可以了解顶点在图中的连接情况。
2.3 有向环和拓扑排序有向图中存在一个重要的概念，即有向环。
有向环是指从一个顶点出发，经过若干个有向边后又回到该顶点的路径。
有向环在一些问题的分析和解决中具有特殊意义。
而拓扑排序是一种常用的对有向无环图进行排序的方法，它可以按照顶点之间的依赖关系进行排序。
3. 无向图的性质无向图是由一系列顶点和无方向的边组成的图模型。
以下是无向图的几个重要性质：3.1 无向边的无方向性与有向图不同，无向图中的边是无方向的，它们连接着两个顶点，代表了两个顶点之间的关系。
无向图可以用来表示一些没有方向性的问题，比如社交网络中的好友关系。
3.2 顶点的度数无向图中的顶点的度数是指与该顶点相连的边的数量。
顶点的度数越高，说明该顶点在图中的重要性越高，具有更多的连接关系。
3.3 联通性和连通分量无向图中有一个关键性质，即联通性。
若两个顶点之间存在一条连接它们的路径，则称这两个顶点是连通的。
连通分量则是将图中所有连通的顶点分为若干个集合，每个集合内的顶点都是连通的。
4. 算法与应用4.1 有向图的最短路径算法有向图中的最短路径算法是指寻找从一个顶点到另一个顶点的最短路径的方法。
其中，Dijkstra算法和Bellman-Ford算法是常用的有向图最短路径算法。
图的基本概念 无向图及有向图
d (v4)=4
d (v5)=2
31
最大(出/入)度,最小(出/入)度
在无向图G中， 最大度: Δ(G) = max{ dG(v) | v∈V(G) } 最小度: δ(G) = min{ dG(v) | v∈V(G) } 在有向图D中， 最大出度: Δ+(D) = max{ dD+(v) | v∈V(D) } 最小出度: δ+(D) = min{ dD+(v) | v∈V(D) } 最大入度: Δ-(D) = max{ dD-(v) | v∈V(D) } 最小入度: δ-(D) = min{ dD-(v) | v∈V(D) } + + - 简记为Δ, δ, Δ , δ , Δ , δ
i 1
i
证明 必要性。由握手定理显然得证。 充分性。由已知条件可知，d中有偶数个奇数 度点。 奇数度点两两之间连一边，剩余度用环来实现。
5 3
3
1
例7.1： 1. (3, 3, 2, 3), (5, 2, 3, 1, 4)能成为图的度 数序列吗？为什么？ 2. 已知图G中有10条边，4个3度顶点，其余顶点的 度数均小于等于2，问G中至少有多少个顶点？为 什么？ 解： 1.由于这两个序列中，奇数度顶点个数均为奇数， 由握手定理的推论可知，它们都不能成为图的度 数序列。 2.显然，图G中的其余顶点度数均为2时G图的顶点 数最少. 设G图至少有x个顶点. 由握手定理可知， 3×4+2×(x-4)=2 ×10 解得: x=8 所以G至少有8个顶点。
度数列举例
按顶点的标定顺序，度数列为 4,4,2,1,3。
度数列举例
按字母顺序， 度数列：5,3,3,3 出度列：4,0,2,1
图的基本概念
图的基本概念图是一种直观的离散模型，由于其在众多领域中的广泛应用，越来越引起人们的兴趣，其应用领域包括计算机科学、化学、运筹学、电子工程、语言学和经济学。
我们这一讲学习三种图模型，即无向图、有向图和加权图，看看它们可以表示哪些事物，然后研究两个问题，即欧拉回路问题和汉密尔顿回路问题。
1. 无向图无向图是由有限个点和这些顶点之间的若干连线所组成的。
例如，下面的无向图由3个顶点和5条边组成。
我们把这个图用集合语言描述如下：({v 1, v 2, v 3}, {{v 1, v 1}, {v 1, v 2}, {v 1, v 3},{v 2, v 3},{v 2, v 3}})多重集（multi-set ）：集合中同一个元素可出现多次。
定义1.1 设V 是非空的有限集合，E 是V 上的无序对所组成的有限多重集，则称二元组(V ,E)为无向图（undirected graph ），其中V 称为顶点集，其中的元素称为顶点（vertex ）或者结点（node ），E 称为边集，其中的无序对称为无向边（undirected edge ），简称边。
边{v 1, v 2}通常简记为v 1v 2，并称该边连接顶点v 1和v 2，其中的顶点称为这条边的端点（ends 或end-points ）。
只有一个端点的边称为环（loop ）。
具有相同端点的两条边统称为平行边或者多重边。
不含环和平行边的无向图称为简单无向图。
作为数学模型，其中顶点表示一些不同的对象，边表示两个对象之间的某种联系。
例1.2 Bacon 数查找任意演员的Bacon 数的网址： 。
例1.3 并行计算的循环模型例1.4 并行计算的超立方体模型（hypercube ）2. 有向图定义2.1 若V 是非空的有限集， E 是V 上的有序对组成的有限多重集，则称(V , E)为有向图。
有向边(a,b)通常简记为ab ，其中顶点a 和b 分别称为该有向边的始起点和终点。
图论--图的基本概念
图论--图的基本概念1.图：1.1⽆向图的定义：⼀个⽆向图G是⼀个有序的⼆元组<V,E>，其中V是⼀个⾮空有穷集，称作顶点集，其元素称作顶点或结点。
E是⽆序积V&V的有穷多重⼦集，称作边集，其元素称作⽆向边，简称边。
注意：元素可以重复出现的集合称作多重集合。
某元素重复出现的次数称作该元素的重复度。
例如，在多重集合{a,a,b,b,b,c,d}中，a,b,c,d的重复度分别为2，3，1，1。
从多重集合的⾓度考虑，⽆元素重复出现的集合是各元素重复度均为1的多重集。
1.2有向图的定义：⼀个有向图G是⼀个有序的⼆元组<V,E>，其中V是⼀个⾮空有穷集，称作顶点集，其元素称作顶点或结点。
E是笛卡尔积V✖V的有穷多重⼦集，称作边集，其元素为有向边，简称为边。
通常⽤图形来表⽰⽆向图和有向图：⽤⼩圆圈（或实⼼点）表⽰顶点，⽤顶点之间的连线表⽰⽆向边，⽤带箭头的连线表⽰有向边。
与1.1，1.2有关的⼀些概念和定义：（1）⽆向图和有向图统称为图，但有时也把⽆向图简称作图。
通常⽤G表⽰⽆向图，D表⽰有向图，有时也⽤G泛指图（⽆向的或有向的）。
⽤V(G),E(G)分别表⽰G的顶点集和边集，|V(G)|,|E(G)|分别是G的顶点数和边数，有向图也有类似的符号。
（2）顶点数称作图的阶，n个顶点的图称作n阶图。
（3）⼀条边也没有的图称作零图，n阶零图记作N n。
1阶零图N1称作平凡图。
平凡图只有⼀个顶点，没有边。
（4）在图的定义中规定顶点集V为⾮空集，但在图的运算中可能产⽣顶点集为空集的运算结果，为此规定顶点集为空集的图为空图，并将空图记作Ø。
（5）当⽤图形表⽰图时，如果给每⼀个顶点和每⼀条边指定⼀个符号（字母或数字，当然字母还可以带下标），则称这样的图为标定图，否则称作⾮标定图。
（6）将有向图的各条有向边改成⽆向边后所得到的⽆向图称作这个有向图的基图。
（7）若两个顶点v i与v j之间有⼀条边连接，则称这两个顶点相邻。
第十四章 图的基本概念
(5）（4，4，3，3，2，2）
v4 v1
v3 v2 v1
v6
v2 v3
v6
v5
v4
v5
在画图时，由于顶点位置的不同，边的直、 曲不同，同一个图可能画出不同的形状。 像这种形状不同，但本质上是同一个图的现 象称为图同构。 定 义 1 4 . 5 设 两 个 无 向 图 G1=<V1，E1>， G2=<V2，E2>，如果存在双射函数f：V1→V2， 使得对于任意的e=（vi，vj）E1当且仅当e’=（ f(vi)，f(vj)）E2，并且e与e’的重数相同，则称 G1和G2是同构的，记作G1≌G2。 对于有向图可类似定义。
d (vi ) 2m且 d (vi ) d (vi ) m
i 1 i 1 i 1 n n n
推论 任何图（无向的或有向的）中，奇度顶 点的个数是偶数。
定义 设G=<V,E>是n阶无向图,V={v1，v2，… ，vn},称d(v1),d(v2),…,d(vn)为G的度数列.对于顶点 标定的无向图,它的度数列是唯一的. 同样可定义有向图的度数列、出度列和入度列。 图G的度数列为 4，4，2，1，3 图D的度数列为 5，3，3，3 出度列为4，0，2，1 入度列为1，3，1，2
定义14.1（无向图） 一个无向图是一个有序的二元组<V，E>， 记作G，即G=<V，E>，其中 ⑴ V={v1，v2，…，vn}是非空集合，称为G 的顶点集,V中元素称为顶点或结点； ⑵ E={e1，e2，…，en}是无序积V&V的一个 多重子集，称为的边集,E中的元素称为无向边 ，简称边。 由定义知，图G中的边ek是V的两个元素vi， vj的无序对（vi ,vj），称vi，vj是ek的端点. 当vi=vj时，称ek为环（loop）.
14.1 无向图 有向图概念
5
图论的应用
图论广泛应用于建立和处理离散对象及其关系, 如:关系(关系图)\网络\运筹规划等
在计算机科学领域:算法设计\操作系统\网络理论,都 有广泛应用. 其他领域:生物学\经济\控制论\运筹学等
6
第5章 图的基本概念
5.1 无向图及有向图
7
基本概念 无序积AB :用来表示无向图的边.
9
无向图
定义 一个无向图 G 是一个二元组 , 即 G=<V,E>, 其中 (1) V是一个非空集合,称为G的顶点集(vertex)， V中元素称为顶点或结点. (2) E为无序积VV的一个多重子集(元素可以重 复出现 ) ，称为G的边集 ,E中元素称为无向边， 简称边(edge). 用 无 序 对 (a,b) 表 示 连 接 顶 点 a 和 顶 点 b 的 边,(a,b)=(b,a). 例如, G=<V,E>如图所示, 其中V={v1, v2, …,v5}, E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)} 注意:连接v2,v3的边有两条. 无向图的边没有方向.
注:在有向图中,有向边<a,b>,是有方向的, 箭头从a指向b,表示a是起点,b是终点.
11
边的另一种表示方法:
为了表示的方便,边的还有另一种表示法:用ek表示 无向边或有向边. 如下图e1=(v1,v1), e2=(v1,v2)
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7}
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7}
12
相关概念与规定
通常用G(Graph)表示无向图.
判断一个图是否有环无向图有向图讲解
一、无向图:方法1:如果存在回路，则必存在一个子图，是一个环路。
环路中所有顶点的度〉=2。
n算法：第一步：删除所有度<=1的顶点及相关的边，并将另外与这些边相关的其它顶点的度减一。
第二步：将度数变为1的顶点排入队列，并从该队列中取出一个顶点重复步骤一。
如果最后还有未删除顶点，则存在环，否则没有环。
n算法分析：由于有m条边，n个顶点。
i)如果m〉=n，则根据图论知识可直接判断存在环路。
（证明:如果没有环路,则该图必然是k棵树 k>=1.根据树的性质,边的数目m = n-k.k〉=1，所以：m<n）ii)如果m〈n 则按照上面的算法每删除一个度为0的顶点操作一次（最多n次），或每删除一个度为1的顶点（同时删一条边)操作一次（最多m次）.这两种操作的总数不会超过m+n。
由于m〈n，所以算法复杂度为O（n).注：该方法，算法复杂度不止O（V），首先初始时刻统计所有顶点的度的时候，复杂度为（V + E），即使在后来的循环中E>=V，这样算法的复杂度也只能为O（V + E)。
其次,在每次循环时，删除度为1的顶点，那么就必须将与这个顶点相连的点的度减一，并且执行delete node from list[list［node］]，这里查找的复杂度为list[list［node]]的长度,只有这样才能保证当degree[i]=1时，list［i]里面只有一个点。
这样最差的复杂度就为O（EV)了.方法2:DFS搜索图,图中的边只可能是树边或反向边，一旦发现反向边,则表明存在环。
该算法的复杂度为O(V).方法3：摘自：http：///lzrzhao/archive/2008/03/13/2175787。
aspxPS：此方法于2011—6-12补充假定:图顶点个数为M,边条数为E遍历一遍，判断图分为几部分(假定为P部分，即图有 P 个连通分量）对于每一个连通分量，如果无环则只能是树，即：边数＝结点数－1只要有一个满足边数 > 结点数－1原图就有环将P个连通分量的不等式相加，就得到：P1:E1=M1-1P2:E2=M2—1.。
有向图的名词解释
有向图的名词解释一、有向图的名词解释有向图是指把由几个点及其连线所构成的一种有序图形称为有向图。
有向图按其点和连线所经过的路径，分为点有向图和连通有向图；按照顶点和边的关系，可以分为单向有向图和无向有向图；按照边与顶点的数目，又可分为简单有向图和非简单有向图。
在实际应用中，若不要求一定给出有向图的具体表示方法，常采用以下命名方式。
将点和边的集合记作(1)将点和边的连接记作(2)( 3)。
例如用一个有向边围成的空间，称为一个n边有向图(n≥0)。
例如将由n个点所组成的有向图记作x0-1，也就是说x0-1是由一个顶点x的集合点(x∈{(0， 1)，(0， 2)}， n≥0)所组成的有向图。
例如在有向图中，每个顶点只出现一次，故有向图又叫一次图。
有向图是一类重要的图，例如电路网络图、运输线路图等都是有向图。
这类图具有层次清楚、网络结构简单、便于计算等优点。
有向图具有以下两个基本性质：(1)同度线必互相平行，或者至少平行的那条边平行。
(2)如果两条边不平行，则从一条边出发的直线必能到达另一条边，反之亦然。
有向图是由一些不同特征的有向子图构成的，每一个有向子图对应着一类特殊的有向图。
如在图论中可用x0-1表示x0图，也就是说， x0-1图有唯一确定的开始和结束，但没有开始和结束的图。
有向图可分为有向可连通图和有向不可连通图。
无向图就是这样的有向图。
有向图在图论中有广泛的应用。
这类图可由矩阵构成。
每一个n×n的矩阵都叫做一个n阶有向图，记作y。
因此，有向图是非空的当且仅当它的非空子集是无向图。
一个有向图x的子集f的任何一点p有且仅有一条路径不经过其余点而到达该点，即有向图x的每一点都至多有一条路径。
图的强连通性(strong connectivity)定义为存在两个不同图x与y有着不同度数的边集合，使得对任意两个点p，存在一条不同路径从p到y的p而又到x的一个点的集合。
(1)在无向图上，如果每个顶点被有向边(有向边)环绕的数目都是固定的，那么，该无向图就是简单有向图。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
11
边的另一种表示方法:
为了表示的方便,边的还有另一种表示法:用ek表示 无向边或有向边. 如下图e1=(v1,v1), e2=(v1,v2)
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7}
E={e1,e2,e3,e4,e5,e在任何无向图和有向图中，奇度顶点的个数必 为偶数.
证 设G=<V,E>为任意图，令 V1={v | vVd(v)为奇数} V2={v | vVd(v)为偶数} 则V1∪V2=V, V1∩V2=，由握手定理可知
2m d (v ) d (v) d (v)
像这样由结点和边组成的离散结构就是本章讨论的图.
5
图论的应用
图论广泛应用于建立和处理离散对象及其关系, 如:关系(关系图)\网络\运筹规划等
在计算机科学领域:算法设计\操作系统\网络理论,都 有广泛应用. 其他领域:生物学\经济\控制论\运筹学等
6
第5章 图的基本概念
5.1 无向图及有向图
7
基本概念 无序积AB :用来表示无向图的边.
手定理的推论矛盾.
26
课堂练习---------习题: 5.1 （1，2，3） 5.2
第1,2学时完
27
多重图与简单图
定义 (1) 在无向图中,如果有2条或2条以 上的边关联同一对顶点, 则称这些边为 平行边, 平行边的条数称为重数. (2)在有向图中,如果有2条或2条以上的边 具有相同的始点和终点, 则称这些边为 有向平行边, 简称平行边, 平行边的条 数称为重数. (3) 含平行边的图称为多重图. (4) 既无平行边也无环的图称为简单图. 注意:简单图是极其重要的概念
是 ek 的终点, vi邻接到 vj, vj邻接于 vi.
a邻接于b, a是起点,b是终点
16
邻域和关联集
设无向图G, vV(G) v的邻域 N(v)={u|uV(G)(u,v)E(G)uv} v的闭邻域 N (v) = N(v)∪{v} v的关联集 I(v)={e|eE(G)e与v关联} 设有向图D, vV(D) v的后继元集 D (v )={u|uV(D)<v,u>E(G)uv} v的先驱元集 D (v )={u|uV(D)<u,v>E(G)uv} N ( v ) ( v ) v的邻域 D D D (v) v的闭邻域 N D (v) N D (v) {v}
20
握手定理
定理 1 任意无向图和有向图的所有顶点度数之和都 等于边数的2倍. 上图度数和为6,边为3 定理 2: 有向图的所有顶点入度之和等于出度之和等 于边数.
b a 度数和:2+1+1=4 边:2 c 顶点: a 入度: 0 出度: 2 b 1 0 c 1 0
入度和:1=1=2 出度和:2
注意与笛卡儿积的区别 A×B={<a1,b1>,<a1,b2>,<a2,b1>,<a2,b2>} A×A={<a1,a1>,<a1,a2>,<a2,a1>,<a2,a2>}
8
多重集合: 元素可以重复出现的集合. 在多重集合中: {1,1,2,2,3} ≠{1,2,3} 在集合论中,同一个元素在集合中多次出现被 认为是一个元素,如: {1,1,2,2,3}={1,2,3} 多重集合的概念引入是为了表示图的平行边.
2
1 图论的起源
图论的起源可以追溯到1736年, 瑞士数学家欧拉(Eular)(1707-1783)成功解决了当 时很有名的哥尼斯堡七桥问题, 并发表了第一篇图论论文,欧拉成为图论的创始人.
哥尼斯堡位于立陶宛的普雷格尔河畔 河中有有两个小岛和七座桥. 居民们提出的问题是:可否从城市或岛上的 一点出发,经由七桥,并且只经过每座桥一次, 然后回到原地.
10
有向图
定义 有向图D=<V,E>, 其中 (1) V是顶点集, 元素也称为顶点 (2) E是边集,为笛卡儿积VV的多重子集，其元素 称为有向边，简称边.
用 有 序 对 <a,b> 表 示 顶 点 a 指 向 顶 点 b 的 边,<a,b>≠<b,a>
右图是有向图，试写出它的V和E V={a,b,c,d} E={<a,a>,<a,b>,<a,b>,<a,d>,<c,b>,<d,c>,<c,d>} 注意:顶点a指向b的边<a,b>有两条, <d,c>,<c,d>是两条方向相反的边.
问:e1与v1的关联次 数是多少 e2与v1和v2的关联 次数是多少?
15
相邻(点相邻，边相邻，邻接到）
对无向图 G=<V,E>, vi,vjV, ek,elE, 若 (vi,vj) 组成一条边 , 则称 vi,vj 相邻 (点相邻); v1和v2点相邻 若ek,el至少有一个公共端点 , 则称 ek,el相邻(边相邻). e2和e3边相邻. 对有向图有类似定义 . 设 ek=vi,vj 是有 向图的一条边 ,又称vi 是 ek的始点 , vj
设A={a,b,c},R={<a,b>,<a,c>}
b c b
a
c a
30
同构的定义
定义 设G1=<V1,E1>, G2=<V2,E2>为两个无向图,若存在双射函 数 f: V1V2, 使得对于任意的
vi,vjV1, (vi,vj)E1当且仅当
(f(vi),f(vj))E2，
并且, (vi,vj)与 (f(vi),f(vj)) 的重数相同，则称G1与G2是同构的， 记作G1G2.
图论
1
图论部分前言
图论(Graph theory)是一门古老而年轻的学科. 古老 : 早在 18 世纪 , 学者们便运用图为工具来解决 一些实际问题. 年轻 : 直到 20 世纪中后期 , 尤其是随着计算机科学 与技术的发展,图的理论和应用研究逐渐得到重视, 图论作为一个数学分支,才确立了它的地位.
28
多重图与简单图(续)
例如
e5和e6 是平行边 重数为2 不是简单图
e2和e3 是平行边,重数为2 e6和e7 不是平行边(why?) 不是简单图
29
图的同构（了解）
用图解表示法来表示一个图时,结点在平面 上排列的位置是没有限制的,因此,用一个事 物之间的关系可能画出不同形状的图 这样的图叫同构(G1G2).
设A,B为两集合, AB={(x,y) | xA且yB} AB为A与B的无序积, (x,y)叫无序对.
跟有序对不同,对无序对,无论x,y是否相同 ,有 (x,y)=(y,x). 如: (3,5)=(5,3)
例如:设A={a1,a2},B={b1,b2},则 A&B={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2)} A&A={(a1,a1),(a1,a2),(a2,a2)}
例:
设G1=<V1,E1>,G2=<V2,E2>,存在一个双射函数f: V1V2,使得f(vi)=ui. v1 v2 v3
v4
G1
v5
u1
u2
u3 u4 G2
u5
31
如何判断图是否同构?
同构的必要条件, 但它们都不是充分条件: ① 边数相同，顶点数相同 ② 度数列相同 ③ 对应顶点的关联集相同，等等 若破坏必要条件，则两图不同构 但这些都是必要条件,不是充分条件. 至今没有找到判断两个图是否同构的有效算法 ,还只能根据定义 来判断
12
相关概念与规定
通常用G(Graph)表示无向图.
D(Directed graph)表示有向图, 也常用G泛指无向图和有向图,
n 阶图: n个顶点的图 有限图: V, E都是有穷集合的图,本书只讨 论有限图 零图: 边集E= 平凡图: 1 阶零图 空图: 顶点集V=
13
5.5例题分析: p134
例如 d(v1)=4, d(v2)=4, d(v3)=2,
d(v4)=1, d(v5)=3, (G)=4, (G)=1, v4是悬挂顶点, e7是悬挂边, e1是环
18
有向图的度数
设D=<V,E>为有向图, vV, v的出度d+(v): v作为边的始点次数之和 v的入度d(v): v作为边的终点次数之和 v的度数(度) d(v): v作为边的端点次数之和 d(v)= d+(v)+ d-(v) D的最大出度+(D), 最小出度+(D) 最大入度(D), 最小入度(D) 最大度(D), 最小度(D)
例如 d+(a)=4, d-(a)=1, d(a)=5, d+(b)=0, d-(b)=3, d(b)=3, +(D)=4, +(D)=0, (D)=3, (D)=1, (D)=5, (D)=3.
19
顶点度数和边数的关系—握手定理
握手定理是图论中的基本定理. 它是欧拉在1736年给出的 主要包括两个定理,一个推论.要求能熟练应 用.
9
无向图
定义 一个无向图 G 是一个二元组 , 即 G=<V,E>, 其中 (1) V是一个非空集合,称为G的顶点集(vertex)， V中元素称为顶点或结点. (2) E为无序积VV的一个多重子集(元素可以重 复出现 ) ，称为G的边集 ,E中元素称为无向边， 简称边(edge). 用 无 序 对 (a,b) 表 示 连 接 顶 点 a 和 顶 点 b 的 边,(a,b)=(b,a). 例如, G=<V,E>如图所示, 其中V={v1, v2, …,v5}, E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)} 注意:连接v2,v3的边有两条. 无向图的边没有方向.