用动量定理推导气体压强公式和理想气体状态方程

用动量定理推导气体压强公式和理想气体状态方程

云南省玉溪第一中学周忠华

摘要：容器内气体压强的产生是由于大量气体分子频繁地撞击容器壁而使容器壁受到持续的压力，压强的大小就等于容器壁上单位面积上受到的压力。我们可以选取一定时间内与容器壁某一面积发生碰撞的气体分子作为研究对象，对它们应用动量定理，求出容器壁对这些气体分子的弹力，从而求出气体压强。得到气体的压强公式后，我们可以很自然地推导出质量一定的理想气体的状态方程。

关键词：动量定理、气体压强、理想气体状态方程

普通高中物理（必修加选修）第二册第十二章气体的压强这一节内容，教材为解释气体压强的产生和大小是通过两个演示实验来完成的。第一个实验是在玻璃罩内放一个充气不多的气球，然后用抽气机将罩内的空气逐渐抽离，抽气过程中可以看到气球体积不断膨胀，用这个实例说明气球内的气体确实对球皮产生了由内向外的压强；第二个演示实验是把大量的小滚珠均匀地倒在电子秤盘上，倾倒的过程中可以观察到滚珠对秤盘产生了持续的、均匀的压力，用这个实验来模拟大量的气体分子频繁地撞击容器壁会产生压强。这两个实验的优点是比较直观，学生看后基本上都能定性地感知气体压强的存在和产生的原因，但这两个实验都偏重于直观印象，缺乏充分严密的数学推证，许多学生对教材如此解释压强感到过于简单，说两个实验都不能给出决定气体压强大小的数学公式。为解决这个问题，笔者通过多年的教学实践发现，可以应用高中学生学习过的相关知识，对与容器壁发生碰撞的气体分子用动量定理，推导出容器内的气体压强公式，较好地解决了这个问题，下面我谈谈我的处理方法。

常温常压下的气体分子间隙很大，分子间距达到分子直径数量级

的10倍以上，分子间的相互作用力已经十分微弱，可以忽略不计。气体分子除了相互碰撞和与容器壁发生碰撞外，可近似认为气体分子不再受到其他任何作用力。把气体分子与容器壁的碰撞看作是完全弹性碰撞，这样就可以很方便地用动量定理计算出容器壁上被碰撞处的压力和压强。

为了讨论问题的方便，我们假设有一个容积为V 的容器，容器内所装气体分子的总数为N,容器内单位体积内分子数为n,其中n=N V

，每个气体分子质量为m,我们在这个容器的内壁附近作一个小的正立方体，见下图。小立方体与容器内壁相接触的底面积为s,令小立方体的边长为l=v Δt,其中v 为气体分子平均速率，Δt 是我们所取的一小段考查的时间间隔。小立方体内气体分子的总数为N ′, N ′=nsl=nsv Δt ，在Δt 内，这个小立方体内的气体分子有六分之一都将与接触面S 发生碰撞。之所以只取六分之一，是因为气体分子做杂乱无章的热运动时向各个方向运动的概率相等，而空间上存在前、后、左、右、上、下六个方位，任意一个时刻向某一方位运动的分子数即为总数的六分之一。设容器壁上考查面s 对这些气体分子的作用力为F ,对这个小立方体中在Δt 的时间内与考查面s 发生碰撞的气体分子应用动量定理得：

'126

F t N mv ∆= ，其中2mv 为每个气体分子与容器壁碰撞后动量变化的大小，将压力F =ps 和'N = nsv Δt 代入上式得：

126

ps t nsv t mv ∆=∆⋅，消去左右两边的相同项s t ∆，得压强： p 2

13

nmv =

因为气体分子平均动能为k E =

212

mv 所以容器壁上碰撞处的压强为p =22132n mv ⋅=23k nE 又因为气体分子平均动能与热力学温度成正比，即k E =kT ， 所以压强p=23n kT ，其中n 为容器内单位体积的气体分子数，k 为与波尔兹曼常数有关的常量，T 为热力学温度。

从推导可知，在常温常压下，容器内质量一定的气体，压强的大小与两个因素有关，一个是容器内单位体积内的分子数n ，另一个是热力学温度T ，或者说分子平均动能k E 。

现在我们由气体压强公式推导容器内一定质量的理想气体状态方程。

因为容器中单位体积内分子数n=

N V , 且气体压强p=23n kT 所以气体压强公示可写成 p=

23N V kT 上面的等式左右两边同乘于V 得到：

pV =23

Nk T ，再把等式两边同除于T 得： 23

pV Nk T ==恒量， 其中，N 为容器内气体分子的总数，k 为与玻尔兹曼常数有关的常量，取气体初末两个状态列等式，公式就可以写成：

112212

p V p V T T ==恒量， 这就是理想气体状态方程。