阶段质量检测(一) 导数及其应用

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《导数及其应用》单元测试题(123)

《导数及其应用》单元测试题姓名得分一、选择题（本大题共12小题，共60分，只有一个答案正确）1．函数()22)(x x f π=的导数是（） A x x f π4)(=' B x x f 24)(π=' C x x f 28)(π=' D x x f π16)(='2．函数xx y 142+=单调递增区间是（） A ．),0(+∞ B ．)1,(-∞ C ．),21(+∞ D ．),1(+∞3．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<， 4．若函数b bx x x f 33)(3+-=在()1,0内有极小值，则（）Ａ． 10<b D ． 21<b 5．设x x x f +=3)(，则⎰-22)(dx x f 的值等于（）A.0B.8C.⎰20)(dx x f D.⎰20)(2dx x f 6．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ａ．294e Ｂ．22e Ｃ．2e Ｄ．22e 7．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）8．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（）A ．),3[]3,(+∞--∞B ．]3,3[-C ．),3()3,(+∞--∞D ．)3,3(-9．设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件 10．函数()323922y x x x x =---<<有（）A ．极大值5，极小值27-B ．极大值5，极小值11-C ．极大值5，无极小值D ．极小值27-，无极大值11．设f (x )、g(x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,()()()()f x g x f x g x ''+＞0.且g(2)=0.则不等式f (x )g(x )＜0的解集是（） A ．(－2,0)∪(2,+∞) B ．(－2,0)∪(0, 2)C ．(－∞,－2)∪(2,+∞)D ．(－∞,－2)∪(0, 2)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12. 下列定积分值为1的是（） A ．10tdt ⎰ B 。

人教版2020-2021学年数学选修1-1阶段质量检测(导数及其应用)数学试题

人教版2020-2021学年数学选修1-1阶段质量检测（导数及其应用）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各式正确的是( )A ．()sin cos a a '=(a 为常数)B ．()cos sin x x '=C ．()sin cos x x '=D ．()5615x x '--=-2．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝x e 2C ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x 3．一质点的运动方程为s ＝20＋12gt 2(g ＝9.8 m/s 2)，则t ＝3 s 时的瞬时速度为( )A ．20 m/sB ．29.4 m/sC ．49.4 m/sD ．64.1 m/s 4．若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是A ．B ．C ．D ．5．若曲线2y x mx n =++在点（0，n ）处的切线方程x-y+1=0，则（）A ．m 1=，n 1=B ．1m =-，n 1=C ．m 1=，n 1=-D ．m 1=-，n 1=-6．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足()()10x f x -'≥则必有（）A ．()()()0221f f f +7．函数y ＝2x 3－2x 2在[－1,2]上的最大值为( )A ．－5B ．0C ．－1D ．8 8．已知f (x )＝12 x ＋sin x ，x ∈ππ[,]22-，则导函数f ′(x )是( ) A ．仅有极小值的奇函数B ．仅有极小值的偶函数C ．仅有极大值的偶函数D ．既有极小值也有极大值的奇函数9．已知()y f x =为()0,∞+上的可导函数，且有()()'0f x f x x +>，则对于任意的(),0,a b ∈+∞，当a b >时，有( )A ．()()af a bf b C ．()()af b bf a >D ．()()af b bf a <10．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( ) A ．0≤a ≤21 B ．a ＝0或a ＝7C ．a ＜0或a ＞21D ．a ＝0或a ＝2111．设底面为正三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( )A B C D ．12．若322()7f x x ax bx a a =++--在x=1处取得极大值10，则b a 的值为（） A ．32-或12- B ．32-或12 C ．32- D ．12- 13．下列求导运算正确的是（）A ．2331x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ B ．()21log ln 2x x '= C ．()333log x x e '= D ．()2cos 2sin x x x x '=- 14．函数f (x )＝4x －13x 3的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)和(2，＋∞)D ．(－2,2) 15．若函数f (x )＝log a x 的图象与直线y ＝13x 相切，则a 的值为( ) A ．e2e B ．e 3e C ．5e D ．e 4e 16．若a ＞0，b ＞0，且函数f （x ）=4x 3﹣ax 2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab 的最大值等于（）A ．2B ．3C ．6D ．917．如图所示是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x ＋x 等于( )A ．89 B ．109 C ．169 D ．5418．定义在R 上的函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为( )A ．(－2，－1)∪(1,2)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(0,1)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)19．函数f （x ）=x+2cosx 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是（）A ．2π- B ．2 C ．6π+D ．13π+ 20．若()224ln f x x x x --＝，则()0f x '>的解集为（）A ．()(),12-∞-⋃+∞，B ．()0,∞+C ．()2+∞，D ．()10-, 21．函数f (x )＝x 2＋2m ln x (m <0)的单调递减区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(0C ．D ．(022．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图，则函数y ＝ax 2＋32bx ＋3c 的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2]B ．1[,)2+∞C ．[－2,3]D ．9[,)8+∞ 23．已知()f x 的定义域为()0,∞+，()f x '为()f x 的导函数，且满足()()f x xf x '<-，则不等式()()()2111f x x f x +>--的解集是（） A ．()0,1 B ．()2,+∞ C ．()1,2 D ．()1,+∞24．已知函数f (x )＝a 1()x x -－2ln x ，g (x )＝－a x，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f (x 0)>g (x 0)成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)二、填空题25．函数f(x)＝2x 2－ln x 的单调递增区间是________．26．函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ＝________.27．在平面直角坐标系xoy 中，若曲线2b y ax x=+（,a b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b += .28．若函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a ＞0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围为________．29．设函数f (x )＝x (e x ＋1)＋12x 2，则函数f (x )的单调增区间为________． 30．若曲线x y e -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是________.31．若曲线2()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是_________32．已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()e x f x x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程是_________.三、解答题33．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线y ＝－3x －2，试求函数的极大值与极小值的差．34．已知函数f (x )＝13x 3＋12a -x 2－ax －a ，x ∈R，其中a ＞0. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a 的取值范围．35．已知函数3()ln 42x a f x x x =+--，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于12y x =. （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间与极值.36．已知()1x f x e ax =--. (1)若()f x 在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围．(2)是否存在a ，使()f x 在(],0-∞上单调递减，在[)0,+∞上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．37．为了净化广州水系，拟在小清河建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200 m 2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m ，如果池外壁建造单价为400元/m 2，中间两条隔墙建造单价为248元/m 2，池底建造单价为80元/m 2(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y (元)与x 的函数关系式，并指出定义域；(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低，并求最低造价．38．设函数()()3231132a f x x x a x =++++，其中a 为实数. （1）已知函数()f x 在x=1处取得极值，求a 的值；（2）已知不等式()21f x x x a >--+'对任意()0,a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围，39．已知函数f (x )＝26ax x b-+的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，求y ＝f (x )的解析式． 40．已知函数21()22x f x x x ae =-+- (1)若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程；(2)若()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围．41．已知函数f (x )＝2ax －32x 2－3ln x ，其中a ∈R，为常数．(1)若f (x )在x ∈[1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围；(2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )在x ∈[1，a ]上的最大值．42．两县城A 和B 相聚20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对称A 和城B 的总影响度为0.0065.（1）将y 表示成x 的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离，若不存在，说明理由。

2013年下聿怀中学高二数学阶段性综合练习(导数及其应用)

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23.解：设 f ( x ) = ax 2 + bx + c ，将点（2，4）代入后，得 4a+2b+c＝4
f ' ( x ) = 2ax + b ,将点（0，-5）和（2，-1）分别代入，得
b=-5,4a+b=-1 解得
，c=10,所以 f ( x ) = x 2 - 5x + 10 = ( x - 5 ) 2 + 15
3
D． (1,+¥) ）
B． 16
3
C． 13
3
D． 10
3
3.已知对任意实数 x，有 f ( - x ) = - f ( x )，g ( - x ) = g ( x ) ，且 x > 0 时， f ¢( x ) > 0，g ¢( x ) > 0 ，则 x < 0 时( ) A． f ¢( x) > 0，g ¢( x) > 0 B． f ¢( x) > 0，g ¢( x) < 0 C． f ¢( x ) < 0，g ¢( x ) > 0 D． f ¢( x) < 0，g ¢( x) < 0 4.（理做）设连续函数 f (x) > 0，则当 a < b 时，定积分 òb f ( x )dx 的符号 a A.一定是正的 B.一定是负的C.当 0 < a < b 时是正的，当 a < b < 0 时是负的 D.以上结论都不对） D、不确定
8.已知 f ( x) = 2 x 3 - 6 x 2 + m(m 为常数）在 [-2, 2] 上有最大值 3 ，那么此函数在 [ -2, 2] 上的最小值为（ A．-37 B．-29 C．-5 D．-11

导数1

《导数及其应用》达标检测试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知32()32f x ax x =++且(1)4f '-=，则实数a 的值等于（）A ．193B ．163C ．133D ．1032．设x x f 1)(=则a x a f x f a x --→)()(lim 等于( ) 221211. . . .A B C D a a a a --3. 已知曲线x x y ln 342-=的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为（） A ． 3或－2 B ．3C ．－2D ．21 4. 函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是 ( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(2，＋∞) D ．(1,4) 5. 函数f (x )＝3x 2＋ln x －2x 的极值点的个数是( )A ．无数个B ．2C ． 1D ．06. 函数y=2x 3-3x 2-12x+5在区间[0，3]上最大值与最小值分别是（）A ．5，-15B ．5，-4C ．-4，-15D ．5，-167. 设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为( )A ． 14-B ． 4C ．2D ．12- 8. 若函数f (x )＝12f ′(－1) x 2－2x ＋3，则f ′(1)的值为 ( )A ．0B ．1C ．－3D ．－19.如果函数y=f (x )的图象如右图，那么导函数y=f (x )的图象可能是( )10. 函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)·f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝)21(f c ＝f (3)，则( )A ．a -B ．1a <-C ．1a e<-D ．1a e>-12已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为( )A ．3B ．52 C ．2 D ．32第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13. 函数f(x)＝x excos 的导数是__________ 14. 已知函数f(x)＝－12x2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是____________．15.已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为____________．16. 若曲线()2f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：(本大题共6小题，共74分。

导数及其应用(小题)

)
A．2x－y－4＝0 B．2x＋y＝0 C．x＋y＋1＝0 D．x－y－3＝0
【解析】 ∵f(1)＝－2，∴点(1，－2)在函数的图像上．
1－lnx
1－ln1
∴f′(x)＝ x2 ，∴f′(1)＝ 12 ＝1，∴切线方程是 y－(－2)＝1·(x－1)，即 x－y－3＝0.
故选 D.
(2)已知函数 f(x)＝x3－4x2＋5x－4，则曲线 f(x)过点 A(2，－2)的切线方程为________．
【解析】设切点坐标为(x0，x03－4x20＋5x0－4)， ∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5，∴切线方程为 y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)．又切线过点(x0，x03－4x20＋5x0－4)，∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x02－8x0＋5)(x0－2)．整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得 x0＝2 或 x0＝1. ∴经过 A(2，－2)的曲线 f(x)的切线方程为 x－y－4＝0，或 y＋2＝0.
(2)函数 f(x)＝excosx 的图像在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( )
π A.4
B．0
3π C. 4
D．1
【解析】 f′(x)＝excosx－exsinx，所以 f′(0)＝e0cos0－e0sin0＝1，所以倾斜角 α＝4π.故选 A.
【典例 2】 (求切线方程)
(1)函数 f(x)＝lnx－x 2x的图像在点(1，－2)处的切线方程为(
(3)求曲线 f(x，y)＝0 在(x0，y0)处的切线方程得： ①对 f(x，y)＝0 两边同时对 x 求导(y2 按 x 的复合函数对待)； ②解出 y′＝g(x，y)； ③将(x0，y0)代入上式得斜率； ④点斜式写出方程．

【数学】第三章《导数及其应用》测试(1)(新人教B版选修1-1)

第三章导数及其应用单元测试一、选择题 1 函数()323922y x x x x =---<<有（） A 极大值5，极小值27- B 极大值5，极小值11- C 极大值5，无极小值 D 极小值27-，无极大值 2 若'0()3f x =-，则000()(3)lim h f x h f x h h→+--=（） A 3- B 6- C 9- D 12- 3 曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（） A (1,0) B (2,8) C (1,0)和(1,4)-- D (2,8)和(1,4)-- 4 ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足（） A ()f x =()g x B ()f x -()g x 为常数函数 C ()f x =()0g x = D ()f x +()g x 为常数函数 5 函数xx y 142+=单调递增区间是（） A ),0(+∞ B )1,(-∞ C ),21(+∞ D ),1(+∞ 6 函数xx y ln =的最大值为（） A 1-e B e C 2e D 310 二、填空题 1 函数2cos y x x =+在区间[0,]2π上的最大值是 2 函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为________________ 3 函数32x x y -=的单调增区间为，单调减区间为___________________4 若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 增函数，则,,a b c 的关系式为是5 函数322(),f x x ax bx a =+++在1=x 时有极值10，那么b a ,的值分别为________三、解答题1．已知曲线12-=x y 与31x y +=在0x x =处的切线互相垂直，求0x 的值2 如图，一矩形铁皮的长为8cm ，宽为5cm ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？3 已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-（1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间4 平面向量13(3,1),(,)22a b =-= ，若存在不同时为0的实数k 和t ，使 2(3),,x a t b y ka tb =+-=-+ 且x y ⊥ ，试确定函数()k f t =的单调区间参考答案[综合训练B 组]一、选择题 1 C '23690,1,3y x x x x =--==-=得，当1x <-时，'0y >；当1x >-时，'0y < 当1x =-时，5y =极大值；x 取不到3，无极小值 2 D '0000000()(3)()(3)lim 4lim 4()124h h f x h f x h f x h f x h f x h h→→+--+--===- 3 C 设切点为0(,)P a b ，'2'2()31,()314,1f x x k f a a a =+==+==±，把1a =-，代入到3()2f x x x =+-得4b =-；把1a =，代入到3()2f x x x =+-得0b =，所以0(1,0)P 和(1,4)-- 4 B ()f x ,()g x 的常数项可以任意 5 C 令3'222181180,(21)(421)0,2x y x x x x x x x -=-=>-++>> 6 A 令'''22(ln )ln 1ln 0,x x x x x y x e x x -⋅-====，当x e >时，'0y <；当x e <时，'0y >，1()y f e e ==极大值，在定义域内只有一个极值，所以max 1y e= 二、填空题 1 36+π '12s i n 0,6y x x π=-==，比较0,,62ππ处的函数值，得max 36y π=+ 2 37- '2'3()34,(1)7,(1)10,107(1),0,7f x x f f y x y x =+==-=-==-时 3 2(0,)3 2(,0),(,)3-∞+∞ '22320,0,3y x x x x =-+===或 4 20,3a b a c >≤且 '2()320f x ax bx c =++>恒成立，则220,0,34120a a b ac b ac >⎧><⎨∆=-<⎩且 5 4,11- '2'2()32,(1)230,(1)110f x x a x b f a b f a a b =++=++==+++= 22334,,3119a b a a b b a a b +=-=-=⎧⎧⎧⎨⎨⎨==-++=⎩⎩⎩或，当3a =-时，1x =不是极值点三、解答题 1 解：00'''2'210202,|2;3,|3x x x x y x k y x y x k y x ========331200361,61,6k k x x =-=-=- 2 解：设小正方形的边长为x 厘米，则盒子底面长为82x -，宽为52x - 32(82)(52)42640V x x x x x x =--=-+'2'10125240,0,1,3V x x V x x =-+===令得或，103x =（舍去） (1)18V V ==极大值，在定义域内仅有一个极大值，18V ∴=最大值 3 解：（1）c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，则1c =，'3'()42,(1)421,f x ax bx k f a b =+==+=切点为(1,1)-，则c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(1,1)- 得591,,22a b c a b ++=-==-得 4259()122f x x x =-+ （2）'3310310()1090,0,1010f x x x x x =->-<<>或单调递增区间为310310(,0),(,)1010-+∞ 4 解：由13(3,1),(,)22a b =-= 得0,2,1a b a b === 22222[(3)]()0,(3)(3)0a t b ka tb ka ta b k t a b t t b +--+=-+--+-=33311430,(3),()(3)44k t t k t t f t t t -+-==-=- '233()0,1,144f t t t t =-><->得或；2330,1144t t -<-<<得所以增区间为(,1),(1,)-∞-+∞；减区间为(1,1)-。

苏教版高中数学选择性必修第一册数列、导数及其应用(第4～5章)阶段测试(含答案)

苏教版高中数学选择性必修第一册数列、导数及其应用(第4～5章)阶段测试（含答案）苏教版高中数学选择性必修第一册数列、导数及其应用(第4～5章)阶段测试(满分150分，时间120分钟)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数f(x)＝xsinx，则f′的值为()A．－1B．0C．1D．2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋a8＝16，则S11等于() A．64B．78C．88D．1083．曲线y＝lnx在点(e，f(e))处的切线方程为()A．x－ey＝0B．x－y－e＝0C．ex－y－e＝0D．y－1＝04．已知等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a3＝4，a2a6＝64，则S5等于()A．31B．32C．63D．645．已知函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图所示．设y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为()(第5题)A．∪[2,3]B．∪C．∪[1,2)D．∪∪6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是()A．(－1,2)B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C．(－3,6)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)7．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1,3,6,10，前后两项之差得到新数列2,3,4，新数列2,3,4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为3,4,6,9,13,18,24，则该数列的第19项为()A．160B．174C．184D．1888．已知函数f(x)(x∪R)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)＜，则f(x)＜＋的解集为()A．{x|－1＜x＜1}B．{x|x＜－1}C．{x|x＜－1或x＞1}D．{x|x＞1}二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝0，a4＝8，则() A．Sn＝2n2－6n B．Sn＝n2－3nC．an＝4n－8D．an＝2n10．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”下列说法中正确的有()A．此人第三天走了四十八里路B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C．此人第二天走的路程占全程的D．此人前三天走的路程之和是后三天走的路程之和的8倍11．下列曲线中与直线l：2x－y＋3＝0相切的是()A．曲线C1：y2＝24x B．曲线C2：y＝ln(2x)＋4C．曲线C3：x2－＝1D．曲线C4：y＝2x3－5x2＋6x＋212．设函数f(x)＝lnx，且x0，x1，x2∪(0，＋∞)，下列说法中正确的有()A．若x1＜x2，则＞B．存在x0∪(x1，x2)，x1＜x2，使得＝C．若x1＞1，x2＞1，则＜1D．对任意的x1，x2，都有f＞三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．其中第13题第一个空2分、第二个空3分．13．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝9，a6＝243，则a9＝________，S12＝________.14．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则实数a的取值范围是________. 15．我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(guǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列．经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则立冬的日影子长为________尺．16．已知函数f(x)的定义域为A，若其值域也为A，则称区间A为f(x)的保值区间．若函数g(x)＝x＋m－lnx的保值区间是[e，＋∞)，则实数m的值为________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知函数f(x)＝x3＋2mx2＋nx＋m在x＝－1处取得极值－1.(1)求m，n的值；(2)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．18．(12分)在等比数列{an}中，a1＝1,2a2是a3和4a1的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝2n＋a，求{bn}的前n项和Sn.19．(12分)已知函数f(x)＝x3－4x＋3.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在区间[－3,5]上的最大值与最小值．20．(12分)给出如下条件：①a3＋a8＝－2；②S7＝－28；③a2，a4，a5成等比数列．请在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＋1＝Sn＋an＋2，________.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求Sn的最小值并指明相应的n的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．21．(12分)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1.(1)求证：{Sn＋1}为等比数列．并求出{an}的通项公式．(2)若bn＝，求{bn}的前n项和Tn.是否存在正整数n，使得Tn·2n－1＝n＋50成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由．22．(12分)已知函数f(x)＝＋lnx，g(x)＝x3＋x2－x.(1)若m＝3，求f(x)的极值；(2)若对于任意的s，t∪，都有f(s)≥g(t)，求实数m的取值范围．参考答案与解析1．C 2.C 3.A 4.A 5.A 6.B提示f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)．由题意得f′(x)＝0有两个不同的实数解，所以Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，解得a>6或a1}9.AC10.ABD提示设此人第n天走an里路，则{an}是首项为a1、公比为q＝的等比数列，所以S6＝＝＝378，解得a1＝192.a3＝a1q2＝192×＝48，所以A正确．S6－a1＝378－192＝186,192－186＝6，所以B正确．a2＝a1q＝192×＝96，S6＝94.5＜96，所以C不正确．a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝192×＝336，则后3天走的路程为378－336＝42,42×8＝336，所以D正确11.ABD提示将y＝2x＋3代入y2＝24x，得4x2－12x＋9＝0，则Δ＝(－12)2－4×4×9＝0，所以直线l与曲线C1相切．对于y＝ln(2x)＋4，y′＝，令＝2，解得x＝，代入y＝2x＋3，可得切点为，在曲线C2上，故直线l与曲线C2相切．曲线C3：x2－＝1的一条渐近线为y＝2x，和直线l平行，故直线l与曲线C3相交于一点，不相切．对于y＝2x3－5x2＋6x＋2，y′＝6x2－10x＋6，令6x2－10x＋6＝2，解得x＝或x＝1.将x＝代入y ＝2x＋3，可得切点为，不在曲线上；将x＝1代入y＝2x＋3，可得切点为(1,5)，在曲线上．故直线l与曲线C4相切(第12题)12．BCD提示f′(x)＝.如图，曲线在点B处的切线斜率小于割线AB 的斜率，所以，故D正确13.3814.(－∞，2ln2－2]15.10.5提示设夏至的日影长为a1，公差为d，则解得所以立冬的日影子长为a10＝1.5＋9＝10.5(尺)16.1提示由题意得g(x)＝x＋m－lnx的定义域为[e，＋∞)，值域也为[e，＋∞)．g′(x)＝1－＝(x>0)，易知g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)在[e，＋∞)上单调递增，从而g(x)≥g(e)，于是g(e)＝e，即e＋m－lne＝e，解得m＝117.(1)f′(x)＝3x2＋4mx＋n.由题意知即解得当m＝3，n＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝－3.易知当x－1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当－30，f(x)单调递增；当－22时，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以函数f(x)的增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)；减区间为(－2,2)(2)由(1)知函数f(x)在[－3，－2)上单调递增，在[－2,2]上单调递减，在(2,5]上单调递增，又f(－3)＝×(－3)3－4×(－3)＋3＝6，f(2)＝×23－4×2＋3＝－，f(－2)＝×(－2)3－4×(－2)＋3＝，f(5)＝×53－4×5＋3＝，所以函数f(x)在区间[－3,5]上的最大值为，最小值为－20.(1)因为Sn＋1＝Sn＋an＋2，所以an＋1－an＝2，从而数列{an}是公差d＝2的等差数列．选择条件①：因为a3＋a8＝－2，所以2a1＋9d＝－2，解得a1＝－10.所以an＝2n－12.选择条件②：因为S7＝－28，所以7a1＋d＝－28，解得a1＝－10.所以an＝2n－12.选择条件③：因为a2，a4，a5成等比数列，所以a＝a2a5，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋4d)，解得a1＝－10.所以an＝2n－12(2)解法1：令即解得5≤n≤6，所以a1，a2，a3，a4，a50.所以当n＝5或n＝6时，Sn可取得最小值，最小值为S5＝S6＝(－10)＋(－8)＋…＋(－2)＝－30.解法2：因为Sn＝－10n＋×2＝n2－11n(n∪N*)，所以当n＝5或n＝6时，Sn取得最小值，最小值为S5＝S6＝52－11×5＝－3021.(1)因为Sn＋1－2Sn＝1，所以Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)．由a1＝S1＝1，可推出Sn＋1>0，故＝2，即{Sn＋1}为等比数列．因为S1＋1＝2，公比为2，所以Sn＋1＝2n，即Sn＝2n－1.当n≥2时，Sn－1＝2n－1－1，an＝Sn－Sn－1＝2n－1.a1＝1也满足上式，所以an＝2n－1(2)因为bn＝＝，Tn＝＋＋…＋，所以Tn＝＋＋…＋，两式相减得Tn＝＋＋…＋－＝2－，即Tn＝4－，代入Tn·2n－1＝n＋50，得2n－n－26＝0.令f(x)＝2x－x－26(x≥1)，f′(x)＝2xln2－1>0在x∪[1，＋∞)恒成立，所以f(x)＝2x－x－26在[1，＋∞)单调递增．而f(5)·f(4)3时，f′(x)>0，f (x)单调递增；当00，g(x)单调递增，所以g(x)max＝g(2)＝10.对于任意的s，t∪，f(s)≥g(t)恒成立，即对任意x∪，f (x)＝＋lnx≥1恒成立，即m≥x －xlnx恒成立．令h(x)＝x－xlnx，则h′(x)＝1－lnx－1＝－lnx.令h′(x)＝0，得x＝1.易知当x>1时，h′(x)0，h(x)单调递增．所以当x∪时，h(x)max ＝h(1)＝1，从而m≥1，即m的取值范围是[1，＋∞)。

(完整word版)导数及其应用(1)

强化提升一导数及其应用层次一：导数的概念、意义及简单应用突破点(一) 导数的运算八个公式+三个法则+复合函数求导[例1] (1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ；(2)y ＝ln xx ；(3)y ＝tan x ；(4)y ＝3x e x －2x ＋e ；(5)y ＝ln (2x ＋3)x 2＋1. [方法技巧]00A ．e 2 B ．1 C ．ln 2 D ．e(2)已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 017)＋2 017ln x ，则f ′(1)＝________.[解析] (1)由题意可知f ′(x )＝2 017＋ln x ＋x ·1x ＝2 018＋ln x ．由f ′(x 0)＝2 018，得ln x 0＝0，解得x 0＝1.(2)由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 017)＋2 017x ，所以f ′(2 017)＝2 017＋2f ′(2 017)＋2 0172 017，即f ′(2 017)＝－(2 017＋1)＝－2 018. 故f ′(1)＝1＋2×(－2 018)＋2 017＝－2 018. [答案] (1)B (2)－2 018[方法技巧]对抽象函数求导的解题策略在求导问题中，常涉及一类解析式中含有导数值的函数，即解析式类似为f (x )＝f ′(x 0)x ＋sin x ＋ln x (x 0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f ′(x 0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f ′(x )，令x ＝x 0，[例1]已知函数f(x)＝x3－(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．[解](1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.(2)设切点坐标为(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，又切线过点(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.[方法技巧][例2]设曲线y＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y＝1x(x＞0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为________．[解析] y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，则曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线斜率k 1＝e 0＝1.y ＝1x (x ＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0)，设P (m ，n )，则曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m ＞0)．因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．[答案] (1,1)[例3] 直线y ＝kx ＋1b 的值等于( ) A ．2 B ．－1 C ．1D ．－2[解析] 依题意知，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ×1＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ×1＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C.[答案] C[方法技巧]根据导数的几何意义求参数值的思路根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．层次二：函数的单调性、极值最值突破点(一) 利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间[解] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x .(1)当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； (2)当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； (3)当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a 2a ，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1－a 2a 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1－a 2a ，＋∞时，f ′(x )>0，故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0， 1－a 2a 上单调递减，在 1－a2a，＋∞上单调递增．[方法技巧][例2]已知函数f(x)＝x4＋ax－ln x－32，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x，求函数f(x)的单调区间．[解]对f(x)求导得f′(x)＝14－ax2－1x，由曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x，知f′(1)＝－34－a＝－2，解得a＝54.所以f(x)＝x4＋54x－ln x－32，则f′(x)＝x2－4x－54x2，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5，因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．所以函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区间为(0,5)．[方法技巧]用导数求函数单调区间的三种类型及方法(1)当不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0可解时，确定函数的定义域，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间．(2)当方程f′(x)＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从大到小的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间．(3)不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0及方程f′(x)＝0均不可解时求导并化简，根据f′(x)的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，得单调区间．突破点(二)利用导数解决函数单调性的应用问题利用导数解决函数单调性的应用问题主要有：(1)已知函数的单调性求参数范围问题：此类问题是近几年高考的热点，一般为解答题的第二问，难度中档．有时也以选择题、填空题的形式出现，难度中高档．解决此类问题的关键是转化为恒成立问题，再参变分离，转化为最值问题求解．(1)可导函数在区间(a ，b )上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围；(2)可导函数在区间(a ，b )上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集，即f ′(x )max >0(或f ′(x )min <0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围；(3)若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 上含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．[例1] 已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围； (2)若f (x )在区间(－1,1)上为减函数，求a 的取值范围； (3)若f (x )的单调递减区间为(－1,1)，求a 的值．[解] (1)因为f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x 2－a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3，即a 的取值范围为(－∞，3]．(2)因为f (x )在区间(－1,1)上为减函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，即a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立．因为－1＜x ＜1，所以3x 2＜3，所以a ≥3.即a 的取值范围为[3，＋∞)．(3)因为f (x )＝x 3－ax －1，所以f ′(x )＝3x 2－a .由f ′(x )＝0，得x ＝±3a3(a ≥0)．因为f (x )的单调递减区间为(－1,1)，所以3a3＝1，即a ＝3. 应用结论“函数f (x )在(a ，b )上单调递增⇔f ′(x )≥0恒成立；函数f (x )在(a ，b )上单调递减⇔f ′(x )≤0恒成立”时，切记检验等号成立时导数是否在(a ，b )上恒为0. [易错提醒][例2] (1)若0<x 1<x 2A ．e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1 B ．e x 2－e x 1<ln x 2－ln x 1 C ．x 2e x 1>x 1e x 2 D ．x 2e x 1<x 1e x 2(2)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．[解析] (1)构造函数f (x )＝e x－ln x ，则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x －1x .令f ′(x )＝0，得x e x －1＝0.根据函数y＝e x 与y ＝1x 的图象可知两函数图象交点x 0∈(0,1)，因此f (x )＝e x －ln x 在(0,1)上不是单调函数，无法判断f (x 1)与f (x 2)的大小，故A ，B 错；构造函数g (x )＝e x x ，则g ′(x )＝x e x －e x x 2＝e x (x －1)x 2，故函数g (x )＝e xx 在(0,1)上单调递减，故g (x 1)>g (x 2)，即e x 1x 1>e x 2x 2，则x 2e x 1>x 1e x 2，故选C. (2)设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12， ∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减， ∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)． [答案] (1)C (2)(－∞，－1)∪(1，＋∞)[方法技巧]利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．突破点(三) 利用导数解决函数的极值问题根据函数图象判断函数极值的情况[例1] 设函数象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)[解析] 由图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．[答案] D [方法技巧]知图判断函数极值情况的策略知图判断函数极值情况的思路是：先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x 轴交点的横坐标为函数的极值点．求函数的极值[例2] (2017·桂林、崇左联考)设a >0，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a ln x .(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处切线的斜率； (2)求函数f (x )的极值．[解] (1)由已知x >0.当a ＝2时，f ′(x )＝x －3＋2x ，∴曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处切线的斜率为f ′(3)＝23.(2)f ′(x )＝x －(a ＋1)＋a x ＝x 2－(a ＋1)x ＋a x ＝(x －1)(x －a )x .由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝a .①若0<a <1，当x ∈(0，a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(a,1)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． ∴当x ＝a 时，f (x )取极大值f (a )＝－12a 2－a ＋a ln a ，当x ＝1时，f (x )取极小值f (1)＝－a －12.②若a >1，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(1，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． ∴当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝－a －12；当x ＝a 时，f (x )取极小值f (a )＝－12a 2－a ＋a ln a .③当a ＝1时，x >0时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，f (x )没有极值．综上，当0<a <1时，f (x )的极大值为－12a 2－a ＋a ln a ，极小值为－a －12；当a >1时，f (x )的极大值为－a －12，极小值为－12a 2－a ＋a ln a ；当a ＝1时，f (x )没有极值． [方法技巧][例3] (1)(2017·a 的取值范围是( )A ．(－∞，0) B.⎝⎛⎭⎫0，12C ．(0,1) D ．(0，＋∞)(2)(2017·太原五中检测)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a 的值为________． [解析] (1)∵f (x )＝x (ln x －ax )，∴f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，由函数f (x )有两个极值点，可知f ′(x )在(0，＋∞)上有两个不同的零点，令f ′(x )＝0，则2a ＝ln x ＋1x ，设g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝－ln xx 2，∴g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，又∵当x →0时，g (x )→－∞，当x →＋∞时，g (x )→0，而g (x )max ＝g (1)＝1，∴只需0＜2a ＜1，即0＜a ＜12.(2)由题意得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为在x ＝1处，f (x )有极值10，所以f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，解得a ＝4，b ＝－11或a ＝－3，b ＝3，当a ＝－3，b ＝3时，在x ＝1处，f (x )无极值，不符合题意；当a ＝4，b ＝－11时，符合题意，所以a ＝4. [答案] (1)B (2)4 [方法技巧]已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．突破点(四) 利用导数解决函数的最值问题[例1] 已知函数f (x )＝(x (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．[解] (1)由题意知f ′(x )＝(x －k ＋1)e x .令f ′(x )＝0，得x ＝k －1. f (x )与f ′(x )的情况如下：所以，f (x )(2)当k －1≤0，即k ≤1时，f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当0<k －1<1，即1<k <2时，f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k －1≥1，即k ≥2时，f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. 综上，当k ≤1时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当1<k <2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k ≥2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. [方法技巧]利用导数求函数最值的规律求函数f (x )在区间[a ，b ]上的最值时：(1)若函数在区间[a ，b ]上单调递增或递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值．(2)若函数在闭区间[a ，b ]上有极值，要先求出[a ，b ]上的极值，与f (a )，f (b )比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函数f (x )在区间(a ，b )上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．[例2] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．[解] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0，①当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝⎛⎭⎫23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0，② 由①②，解得a ＝2，b ＝－4.由于切点的横坐标为1，所以f (1)＝4.所以1＋a ＋b ＋c ＝4，得c ＝5.(2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的取值及变化情况如下表所示：所以y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.[方法技巧]解决函数极值、最值问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．(2)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值． 1．已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，则函数f (x )的单调递增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12和(1，＋∞) B ．(0,1)和(2，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫0，12和(2，＋∞) D ．(1,2) 解析：选C 函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x 的定义域是(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －5＋2x ＝2x 2－5x ＋2x＝(x －2)(2x －1)x >0，解得0<x <12或x >2，故函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，12，(2，＋∞)． 2．若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[]1，4上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，518 B.(]－∞，3C.⎣⎡⎭⎫518，＋∞ D.[)3，＋∞解析：选C f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[]1，4上单调递减，则有f ′(x )≤0在[]1，4上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0在[1,4]上恒成立，则t ≥32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[]1，4上恒成立，因为y ＝32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[]1，4上单调递增，所以t ≥32⎝⎛⎭⎫4＋14＝518，故选C.3.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B ．[3，＋∞)C ．[－2,3] D ．(－∞，－2)解析：选D 因为f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ，所以f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由图可知f ′(－2)＝f ′(3)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－4b ＋c ＝0，27＋6b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32，c ＝－18.令g (x )＝x 2＋23bx ＋c 3，则g (x )＝x 2－x －6，g ′(x )＝2x －1，由g (x )＝x 2－x －6>0，解得x <－2或x >3.当x <12时，g ′(x )<0，所以g (x )＝x 2－x －6在(－∞，－2)上为减函数，所以函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为(－∞，－2)． 4．(2017·甘肃诊断考试)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a 0，所以函数f (x )在(－∞，1)上是单调递增函数，所以a ＝f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12＝b ，又f (x )＝f (2－x )，所以c ＝f (3)＝f (－1)，所以c ＝f (－1)<f (0)＝a ，所以c <a <b ，故选C.5．若函数f (x )＝x ＋bx (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f (x )在下列区间上单调递增的是( ) A ．(－2,0) B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D 由题意知，f ′(x )＝1－b x 2，∵函数f (x )＝x ＋bx (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，∴当1－bx 2＝0时，b ＝x 2，又x ∈(1,2)，∴b ∈(1,4)．令f ′(x )＞0，解得x ＜－b 或x ＞b ，即f (x )的单调递增区间为(－∞，－b )，(b ，＋∞)，∵b ∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意，故选D.6．已知y ＝f (x )为(0，＋∞)上的可导函数，且有f ′(x )＋f (x )x >0，则对于任意的a ，b ∈(0，＋∞)，当a >b 时，有( )A ．af (a )<bf (b ) B ．af (a )>bf (b )C ．af (b )>bf (a ) D ．af (b )<bf (a )解析：选B 由f ′(x )＋f (x )x >0得xf ′(x )＋f (x )x >0，即[xf (x )]′x >0，即[xf (x )]′x >0.∵x >0，∴[xf (x )]′>0，即函数y ＝xf (x )为增函数，由a ，b ∈(0，＋∞)且a >b ，得af (a )>bf (b )，故选B.二、填空题7．若幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，则函数g (x )＝e x f (x )的单调递减区间为________．解析：设幂函数为f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，所以12＝⎝⎛⎭⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e x x ＝e x (x 2＋2x )<0，得－2<x <0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．答案：(－2,0)8．已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，∵⎝⎛⎭⎫－x ＋1x max ＝83，∴2a ≥83，即a ≥43. 答案：⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 9．已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)·f ′(x )>0的解集为________．解析：由题图可知，⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)∪(－∞，－1)，f ′(x )<0，x ∈(－1，1)，不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(x )>0，x 2－2x －3>0或⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )<0，x 2－2x －3<0，解得x ∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)∪(－1,1)．答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)∪(－1,1)10．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，解得a ＞－19.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－19，＋∞.答案：⎝⎛⎭⎫－19，＋∞ 三、解答题11．已知函数f (x )＝x －2x ＋1－a ln x ，a >0.讨论f (x )的单调性．解：由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8. ①当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0. 此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＝0，即a ＝2 2 时，仅对x ＝2有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0.此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.所以f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：此时f ⎭⎪⎫∞上单调递增．12．(2017·郑州质检)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎡⎦⎤f ′(x )＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a (1－x )x . 当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)；当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x .∴g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′(t )＜0，g ′(3)＞0.g ′(t )＜0，即3t 2＋(m ＋4)t －2＜0对任意t ∈[1,2]恒成立，由于g ′(0)＜0，故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0，即m ＜－5且m ＜－9，即m ＜－9；由g ′(3)＞0，得m ＞－373. 所以－373＜m ＜－9.即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－373，－9.。

人教版导数及其应用多选题自检题检测试卷

人教版导数及其应用多选题自检题检测试卷一、导数及其应用多选题1．已知函数1(),()122x x f x e g x n ==+的图象与直线y =m 分别交于A ､B 两点，则（）A ．f (x )图像上任一点与曲线g (x )上任一点连线线段的最小值为2+ln 2B ．∃m 使得曲线g (x )在B 处的切线平行于曲线f (x )在A 处的切线C ．函数f (x )-g (x )+m 不存在零点D ．∃m 使得曲线g (x )在点B 处的切线也是曲线f (x )的切线【答案】BCD 【分析】利用特值法，在f (x )与g (x )取两点求距离，即可判断出A 选项的正误；解方程12()(2)m f lnm g e-''=，可判断出B 选项的正误；利用导数判断函数()()y f x g x m =-+的单调性，结合极值的符号可判断出C 选项的正误；设切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D 选项的正误．进而得出结论．【详解】在函数1(),()122xx f x e g x n ==+上分别取点1(0,1),(2,)2P Q，则||2PQ =，而2ln 2<+（注ln 20.7≈），故A 选项不正确； ()x f x e =，1()22x g x ln =+，则()x f x e '=，1()g x x'=，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为()f lnm m '=，曲线()y g x =在点B 处的切线斜率为12121(2)2m m g ee--'=，令12()(2)m f lnm g e-''=，即1212m m e-=，即1221m me -=，则12m =满足方程1221m me -=，m ∴∃使得曲线()y f x =在A 处的切线平行于曲线()y g x =在B 处的切线，B 选项正确；构造函数1()()()22xx F x f x g x m e ln m =-+=-+-，可得1()x F x e x'=-，函数1()xF x e x'=-在(0,)+∞上为增函数，由于1()20F e '<，F '（1）10e =->，则存在1(,1)2t ∈，使得1()0tF t e t'=-=，可得t lnt =-，当0x t <<时，()0F x '<；当x t >时，()0F x '>．∴11()()2222t t min t F x F t e ln m e lnt m ln ==-+-=-++-11132220222t m ln m ln ln m t =+++->+-=++>， ∴函数()()()F x f x g x m =-+没有零点，C 选项正确；设曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，则曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()lnm y m e x lnm -=-，即(1)y mx m lnm =+-，同理可得曲线()y g x =在点C 处的切线方程为1122n y x ln n =+-， ∴11(1)22m n n m lnm ln ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去n 得1(1)202m m lnm ln --++=，令1()(1)22G x x x lnx ln =--++，则11()1x G x lnx lnx x x-'=--=-，函数()y G x '=在(0,)+∞上为减函数，G '（1）10=>，1(2)202G ln '=-<，则存在(1,2)s ∈，使得1()0G s lns s'=-=，且1s s e =．当0x s <<时，()0G x '>，当x s >时，()0G x '<．∴函数()y G x =在(2,)+∞上为减函数，5(2)02G =>，17(8)20202G ln =-<，由零点存定理知，函数()y G x =在(2,)+∞上有零点，即方程1(1)202m m lnm ln --++=有解． m ∴∃使得曲线()y f x =在点A 处的切线也是曲线()y g x =的切线．故选：BCD ．【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，考查了转化思想和数形结合思想，属难题．2．设函数()ln f x x x =，()212g x x =，给定下列命题，其中正确的是（） A ．若方程()f x k =有两个不同的实数根，则1,0k e⎛⎫∈- ⎪⎝⎭； B ．若方程()2kf x x =恰好只有一个实数根，则0k <；C ．若120x x >>，总有()()()()1212m g x g x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立，则m 1≥；D ．若函数()()()2F x f x ag x =-有两个极值点，则实数10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．【答案】ACD【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，且将题意转化为()y f x =与y k =有两个不同的交点，即可判断A 选项；易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，将条件等价于y k =和ln xy x=只有一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断B 选项；当120x x >>时，将条件等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立，即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区间，即可求出m 的范围，即可判断C 选项；2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点，根据导数的符号列出不等式并求解，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，()f x 的定义域(0,)+∞，()ln 1f x x '=+，令()0f x '>，有ln 1x >-，即1x e>，可知()f x 在1(0,)e 单调递减，在1+e∞（，）单调递增，所以极小值等于最小值， min 11()()f x f e e∴==-，且当0x →时()0f x →，又(1)0f =，从而要使得方程()f x k =有两个不同的实根，即()y f x =与y k =有两个不同的交点，所以1(,0)k e∈-，故A 正确；对于B ，易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，()0f x ≠，方程2()kf x x =有且只有一个实数根，等价于y k =和ln xy x=只有一个交点， 2ln 1(ln )-'=x y x ，又0x >且1x ≠，令0y '>，即ln 1x >，有x e >，知ln xy x=在0,1（）和1e （，）单减，在+e ∞（，）上单增， 1x =是一条渐近线，极小值为e ,由ln xy x=大致图像可知0k <或=k e ，故B 错误；对于C ，当120x x >>时，[]1212()()()()m g x g x f x f x ->-恒成立，等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立，即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数，即()()ln 10y mg x f x mx x =-''--'=≥恒成立，即ln 1+≥x m x在(0,)+∞上恒成立，令ln 1()x r x x +=，则2ln ()xr x x -'=，令()0r x '>得ln 0x <，有01x <<，从而()r x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，则max ()(1)1r x r ==，于是m 1≥，故C 正确；对于D ，2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点，等价于()ln 120F x x ax +-'==有两个不同的正根，即方程ln 12x a x+=有两个不同的正根，由C 可知，021a <<，即102a <<，则D 正确. 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数解决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围，解题的关键在于将零点问题转化成两个函数的交点问题，解题时注意利用数形结合，考查转化思想和运算能力．3．若存在常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”．已知函数()22x f x =（x ∈R ），()12g x x =（0x <），()ln h x e x =，（e 为自然对数的底数），则（）A ．()()()m x f x g x =-在302x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递减 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为2- C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]2,1- D ．()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”，方程为2ey ex =-【答案】BD 【分析】对于A ：令()()()m x f x g x =-，利用导数可确定()m x 单调性，进而作出判断；对于B 和C ：利用二次函数的性质以及不等式恒成立的知识求出b 、k 的范围，进而作出判断；对于选项D ：根据隔离直线过()f x 和()h x 的公共点，可假设隔离直线为2e y kx =-；可得到222x ekx ≥-，再利用恒成立得出k 的值，最后尝试利用导数证明()2eh x ≤-，进而作出判断. 【详解】对于A ，()()()2122x m x f x g x x =-=-， ()322121022x m x x x x+'∴=+=>，当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，()m x ∴单调递增，故A 错误；对于B ，C ，设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，22x kx b ≥+对任意x ∈R 恒成立，即2220x kx b --≥对任意x ∈R 恒成立，所以21480k b ∆=+≤，所以0b ≤，又12kx b x ≤+对任意(),0x ∈-∞恒成立，即22210kx bx +-≤对任意(),0x ∈-∞恒成立，因为0b ≤，所以0k ≤且21480b k ∆=+≤，所以22k b ≤-且22b k ≤-，4248k b b ≤≤-，解得20k -≤≤，同理20b -≤≤，所以b 的最小值为2-，k 的取值范围是[]2,0-，故B 正确，C 错误；对于D ，函数()f x 和()h x 的图象在x =∴若存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，则隔离直线方程为(2ey k x -=，即2e y kx =-，则222x ekx ≥-（x ∈R ），得2220x kx e -+≥对x ∈R 恒成立，则()24420k e ∆=-≤，解得k =，此时隔离直线方程为：2e y =-，下面证明()2e h x ≤-，令()()ln 22e e G x h x e x =--=--（0x >），则()x G x x'=，当x =()0G x '=；当0x <<()0G x '<；当x >()0G x '>；∴当x =()G x 取到极小值，也是最小值，即()0min G x G==，()()02e G x h x ∴=--≥在()0,∞+上恒成立，即()2eh x ≤-，∴函数()f x 和()h x存在唯一的隔离直线2ey =-，D 正确. 故选：BD . 【点睛】关键点睛：本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解“隔离直线”的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题，属于难题.4．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()f x f x x'<，则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的有（）A ．()()()1212f x x f x f x +<+B ．()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+ C ．()1122(1)x x f f <D ．()()()1212f x x f x f x <【答案】ABC 【分析】构造()()f x g x x=，由()()f x f x x '<有()0g x '<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，根据各选项的不等式，结合()g x 的单调性即可判断正误.【详解】由()()f x f x x '<知：()()0xf x f x x'-<，令()()f x g x x =，则()()()20xf x f x g x x '-='<，∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，即122112121212()()()()0()g x g x x f x x f x x x x x x x --=<-- 当120x x ->时，2112()()x f x x f x <；当120x x -<时，2112()()x f x x f x >；A ：121()()g x x g x +<，122()()g x x g x +<有112112()()x f x x f x x x +<+，212212()()x f x x f x x x +<+，所以()()()1212f x x f x f x +<+； B:由上得21121212()()()()x f x x x x f x x x -<-成立，整理有()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+； C ：由121x >，所以111(2)(1)(2)(1)21x x x f f g g =<=，整理得()1122(1)x x f f <； D ：令121=x x 且121x x >>时，211x x =，12111()()()()g x g x f x f x =，12()(1)(1)g x x g f ==，有121()()g x x g x >，122()()g x x g x <，所以无法确定1212(),()()g x x g x g x 的大小. 故选：ABC 【点睛】思路点睛：由()()f x f x x '<形式得到()()0xf x f x x'-<， 1、构造函数：()()f x g x x =，即()()()xf x f x g x x'-'=. 2、确定单调性：由已知()0g x '<，即可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.3、结合()g x 单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.5．定义在R 上的函数()f x ，若存在函数()g x ax b =+（a ，b 为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数，下列命题中正确的是（）A ．函数()2g x =-是函数ln ,0()1,0x x f x x >⎧=⎨⎩的一个承托函数B ．函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数C ．若函数()g x ax = 是函数()x f x e =的一个承托函数，则a 的取值范围是[0,]eD ．值域是R 的函数()f x 不存在承托函数【答案】BC 【分析】由承托函数的定义依次判断即可. 【详解】解：对A ，∵当0x >时，()ln (,)f x x =∈-∞+∞， ∴()()2f x g x ≥=-对一切实数x 不一定都成立，故A 错误；对B ，令()()()t x f x g x =-，则()sin (1)sin 10t x x x x x =+--=+≥恒成立， ∴函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数，故B 正确；对C ，令()xh x e ax =-，则()xh x e a '=-，若0a =，由题意知，结论成立，若0a >，令()0h x '=，得ln x a =，∴函数()h x 在(,ln )a -∞上为减函数，在(ln ,)a +∞上为增函数， ∴当ln x a =时，函数()h x 取得极小值，也是最小值，为ln a a a -， ∵()g x ax =是函数()x f x e =的一个承托函数， ∴ln 0a a a -≥，即ln 1a ≤， ∴0a e <≤，若0a <，当x →-∞时，()h x →-∞，故不成立，综上，当0a e 时，函数()g x ax =是函数()xf x e =的一个承托函数，故C 正确；对D ，不妨令()2,()21f x x g x x ==-，则()()10f x g x -=≥恒成立，故()21g x x =-是()2f x x =的一个承托函数，故D 错误. 故选：BC . 【点睛】方法点睛：以函数为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中函数只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．6．已知函数()1ln f x x x x=-+，给出下列四个结论，其中正确的是（） A ．曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为10x y ++= B ．()f x 恰有2个零点C ．()f x 既有最大值，又有最小值D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】BD 【分析】本题首先可根据()10f -=以及13f判断出A 错误，然后根据当0x >时的函数单调性、当0x <时的函数单调性、()10f -=以及()10f =判断出B 正确和C 错误，最后根据()()120f x f x +=得出()121f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据函数单调性即可证得121=x x ，D 正确.【详解】函数()1ln f x x x x=-+的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，当0x >时，()1ln f x x x x=-+，()2221111x x f x x x x -+-'=--=；当0x <时，1ln f x x x x，()2221111x x f x x x x -+-'=--=， A 项：1ln 1110f，22111131f，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为031y x ，即33y x =--，A 错误；B 项：当0x >时，222215124x x x f xx x ，函数()f x 是减函数，当0x <时，222215124x x x f xx x ，函数()f x 是减函数，因为()10f -=，()10f =，所以函数()f x 恰有2个零点，B 正确； C 项：由函数()f x 的单调性易知，C 错误； D 项：当1>0x 、20x >时，因为()()120f x f x +=，所以1222222221111ln lnf x f x x x x fx x x x ，因为()f x 在()0,∞+上为减函数，所以121x x =，120x x >，同理可证得当10x <、20x <时命题也成立，D 正确，故选：BD. 【点睛】本题考查函数在某点处的切线求法以及函数单调性的应用，考查根据导函数求函数在某点处的切线以及函数单调性，导函数值即切线斜率，若导函数值大于0，则函数是增函数，若导函数值小于0，则函数是减函数，考查函数方程思想，考查运算能力，是难题.7．已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点，则a 的可能取值是（） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】CD 【分析】求出()f x 的导数，讨论a 的范围，结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出.【详解】解：∵函数()()()221x f x x e a x =-+-， ∴()()()()()12112xx f x x e a x x e a '=-+-=-+，①若0a =，那么()()0202xf x x e x =⇔-=⇔=，函数()f x 只有唯一的零点2，不合题意； ②若0a >，那么20x e a +>恒成立，当1x <时，()0f x '<，此时函数为减函数；当1x >时，()0f x '>，此时函数为增函数；此时当1x =时，函数()f x 取极小值e -，由()20f a =>，可得：函数()f x 在1x >存在一个零点；当1x <时，x e e <，210x -<-<，∴()()()()()222121x f x x e a x x e a x =-+->-+-()()211a x e x e =-+--，令()()2110a x e x e -+--=的两根为1t ，2t ，且12t t <，则当1x t <，或2x t >时，()()()2110f x a x e x e >-+-->，故函数()f x 在1x <存在一个零点；即函数()f x 在R 上存在两个零点，满足题意； ③若02ea -<<，则()ln 2ln 1a e -<=，当()ln 2x a <-时，()1ln 21ln 10x a e -<--<-=，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()(1)20xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当()ln 2x a =-时，函数取极大值，由()()()()()2ln 2ln 222ln 21f a a a a a ⎡⎤⎡⎤-=---+--⎣⎦⎣⎦(){}2ln 2210a a ⎡⎤⎣⎦=--+<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；④若2e a =-，则()ln 21a -=，当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故函数()f x 在R 上单调递增，函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；⑤若 2e a <-，则()ln 2ln 1a e ->=，当1x <时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120x f x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当()ln 2x a >-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当1x =时，函数取极大值，由()10f e =-<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a 的取值范围为()0,∞+，故选：CD.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.8．已知函数1()2ln f x x x=+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()()*1N n n a f a n +=∈，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是（）A ．21a a C ．100100S <D ．112n n n a a a +⋅+<【答案】AB【分析】A ．计算出2a 的值，与1a 比较大小并判断是否正确；B ．利用导数分析()f x 的最小值，由此判断出1n a >是否正确；C ．根据n a 与1的大小关系进行判断；D ．构造函数()()1ln 11h x x x x=+->，分析其单调性和最值，由此确定出1ln 10n n a a +->，将1ln 10n na a +->变形可得112n n a a ++>，再将112n n a a ++>变形可判断结果. 【详解】A 选项，3221112ln 2ln 4ln 2222a e =+=+<+=，A 正确； B 选项，因为222121()x f x x x x='-=-，所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 单增，所以()(1)1f x f >=，因为121a =>，所以()11n n a f a +=>，所以1n a >，B 正确；C 选项，因为1n a >，所以100100S >，C 错误；D 选项，令1()ln 1(1)h x x x x =+->，22111()0x h x x x x-='=->，所以()h x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0h x h >=，所以1ln 10n n a a +->，则22ln 20n n a a +->，所以112ln 2n n n a a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即112n n a a ++>，所以112n n n a a a ++>，所以D 错误.故选：AB.【点睛】易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：（1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.。

导数及其应用章末检测试题(理)

导数及其应用测试题一:选择题1．设函数0()f x x 在可导，则000()(3)limt f x t f x t t→+--=（）A ．'0()f xB ．'02()f x - C ．'04()f x D ．不能确定 2．（2007年浙江卷）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）3．下列说法正确的是 ( )A ．当f ′(x 0)=0时，则f(x 0)为f(x)的极大值B ．当f ′(x 0)=0时，则f(x 0)为f(x)的极小值C ．当f ′(x 0)=0时，则f(x 0)为f(x)的极值D ．当f(x 0)为函数f(x)的极值且f ′(x 0)存在时，则有f ′(x 0)=0 4．已知函数x x f =)(，在0=x 处函数极值的情况是（）A ．没有极值B ．有极大值C ．有极小值D ．极值情况不能确定5．曲线321x y =在点⎪⎭⎫⎝⎛41,8R 的切线方程是（）A ．02048=-+y xB ．48200x y ++=C ．48200x y -+=D ．4200x y --=6．已知曲线)1000)(100(534002≤≤-++=x x x y 在点M 处有水平切线，则点M 的坐标是（）．A ．（-15，76）B ．（15，67）C ．（15，76）D ．（15，-76） 7．已知函数x x x f ln )(=，则（）A ．在),0(+∞上递增B ．在),0(+∞上递减C ．在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上递增 D ．在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上递减8．（2007年福建卷）已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，9．（2012年高考（湖北理））已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为（）A ．2π5B ．43 C.32 D ．π210．（2012年高考（福建理））如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为（）y x O y xO yx O yxO A ． B ． C ． D ．1- yxO11A ．14 B ．15 C ．16 D ．17二、填空题11．函数53)(23--=x x x f 的单调递增区间是_____________．12．若一物体运动方程如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≤+=)2( )3()3(329)1( )30(2322t t t t s则此物体在1=t 和3=t 时的瞬时速度是________．13．求由曲线1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积为___________．14．（2006年湖北卷）半径为r 的圆的面积S(r)＝πr 2,周长C(r)=2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)’＝2πr ○1，○1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

导数及其应用(1)

导数及其应用（1）一、基础训练：1．曲线(3ln 1)y x x =+在点()1,1处的切线方程为 430x y --= ． 2．已知)1(3)1()(23-'+'+=f x f x x x f ，则)1()1(-'+'f f 的值为 43- . 3．函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 ),2(+∞ . 4．函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为 ()0,1 . 5．函数32()31f x x x =-+在x = 2 处取得极小值.6．若0,0a b >>，且函数()32422f x x ax bx =--+在1x =处有极值，则a b += 6 ．二、例题分析：例1．设函数32()2f x x a x b x a =+++，2()32gx x x =-+，其中x R ∈，,a b 为常数，已知曲线()y f x =与()y g x =在点()2,0处有相同的切线l ．求,a b 的值，并写出切线l 的方程．解：因为()23g x x '=-，所以直线l 的斜率(2)1k g '==，所以切线l 的方程为：2y x =-.由(2)1281(2)8820f a b f a b a '=++=⎧⎨=+++=⎩，得25a b =-⎧⎨=⎩所以a 的值为-2，b 的值为5，切线l 的方程为2y x =-.例2．已知,a b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点．（1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点．解：（1）因为()232f x x ax b '=++，所以()()13201320f a b f a b '=++=⎧⎪⎨'-=-+=⎪⎩，解得30a b =-⎧⎨=⎩经检验：3,0a b =-=符合题意.（2）由题意知：()()()233212g x x x x x '=-+=-+令()0g x '=，解得122,1x x =-='(),()f x f x 随x 的变化情况如下表:所以，()g x 的极小值点为2x =-，()g x 无极大值.例3．函数31()3f x x kx =-,其中实数k 为常数. (I) 当4k =时,求函数的单调区间；(II) 若曲线()y f x =与直线y k =只有一个交点,求实数k 的取值范围. 解:(I)因为2'()f x x k =-当4k =时,2'()4f x x =-,令2'()40f x x =-=,所以122,2x x ==-'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表:所以()f x 的单调递增区间是(,2)-∞-,(2,)+∞ 单调递减区间是(2,2)- (II)令()()g x f x k =-,所以()g x 只有一个零点；因为2'()'()g x f x x k ==- 当0k =时,3()g x x =,所以()g x 只有一个零点0当0k <时,2'()0g x x k =->对R x ∈成立, 所以()g x 单调递增,所以()g x 只有一个零点当0k >时,令2'()'()0g x f x x k ==-=,解得1x =2x =所以'(),()g x g x 随x 的变化情况如下表:()g x 有且仅有一个零点等价于(0g <即2(03g k =<,解得904k << 综上所述,k 的取值范围是94k <备用题：已知函数()ln (1)f x m x m x =+- ()m ∈R .(Ⅰ)当2m =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； (Ⅱ)讨论()f x 的单调性；(III)若()f x 存在最大值M ,且0M >,求m 的取值范围. 解:(Ⅰ)当2m =时,()2ln f x x x =+.22()1x f x x x+'=+=. 所以(1)3f '=. 又(1)1f =, 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是13(1)y x -=-, 即320x y --=. (Ⅱ)函数()f x 的定义域为(0,)+∞, (1)()1m m x mf x m x x-+'=+-=. ①当0m ≤时,由0x >知()10mf x m x'=+-<恒成立, 此时()f x 在区间(0,)+∞上单调递减. ②当m ≥1时,由0x >知()10mf x m x'=+->恒成立, 此时()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.③当01m <<时,由()0f x '>,得1m x m <-,由()0f x '<,得1mx m>-, 此时()f x 在区间(0,)1m m -内单调递增,在区间(,)1m m+∞-内单调递减.(III)由(Ⅱ)知函数()f x 的定义域为(0,)+∞,①当0m ≤或m ≥1时,()f x 在区间(0,)+∞上单调,此时函数()f x 无最大值.②当01m <<时,()f x 在区间(0,)1m m -内单调递增,在区间(,)1m m+∞-内单调递减, 所以当01m <<时函数()f x 有最大值. 最大值()ln 11m m M f m m m m==---. 因为0M >,所以有ln 01m m m m ->-,解之得e1e m >+. 所以m 的取值范围是e(,1)1e+.三、巩固练习：1．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：3103y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ()2,15- .2．已知曲线()ln f x x =在点00(,())x f x 处的切线经过点(0,1)-,则0x 的值为 1 . 3．函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 ()1,11- ．4．函数x x y ln =的单调减区间为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0 ．5．函数()3226f x x x m =-+(m 为常数)在[]2,2-上有最大值3，则此函数在[]2,2-上的最小值是 37- ．6．若函数()3231f x x a x =-+的图象与直线3y =只有一个公共点,则实数a 的取值范围是()1,1-．7．已知()3f x ax bx c =++在2x =处取得极值16c -．（1）求实数,a b 的值；（2）若()f x 有极大值28，求()f x 在[]3,3-上的最小值．解：（1）()23f x ax b '=+；因为()f x 在2x =处取得极值16c -所以()()282212f a b c f a b=++⎧⎪⎨'=+⎪⎩，解得1,12a b ==-经检验：1,12a b ==-符合题意.（2）由（1）知： ()312f x x x c =-+，令()23120f x x '=-=，解得122,2x x =-='(),()f x f x 随x 的变化情况如下表:所以，()f x 的极大值为()282428f c -=-++=，所以12c =.所以()31212f x x x =-+，又()()321,24f f -==-，所以()min 4f x =-.8．已知函数1331(223+-+=x m mx x x f ），m ∈R . （Ⅰ）当1=m 时，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程；（Ⅱ）若)(x f 在区间(2,3)-上是减函数，求m 的取值范围. 解：（Ⅰ）当1=m 时，321()313f x x x x =+-+，又2'()23f x x x =+-，所以'(2)5f =. 又5(2)3f =，所以所求切线方程为 55(2)3y x -=-，即153250x y --=. 所以曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为025315=--y x .（Ⅱ）因为2232('m mx x x f -+=），令'(0f x =），得3x m =-或x m =. ①当0m =时，2'(0f x x =≥）恒成立，不符合题意. ②当0m >时，()f x 的单调递减区间是(3,)m m -，若()f x 在区间(2,3)-上是减函数，则32,3.m m -≤-⎧⎨≥⎩解得3m ≥.③当0m <时，()f x 的单调递减区间是(,3)m m -，若()f x 在区间(2,3)-上是减函数，则2,3 3.m m ≤-⎧⎨-≥⎩，解得2m ≤-.综上所述，实数m 的取值范围是3m ≥或2m ≤-.9．已知函数2()()(0)x f x ax bx c e a =++>的导函数'()y f x =的两个零点为3-和0.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 的极小值为1-，求()f x 的极大值.解：（Ⅰ）22()(2)()[(2)]x x x f x ax b e ax bx c e ax a b x b c e '=++++=++++．令2()(2)g x ax a b x b c =++++， ∵0xe >，∴'()y f x =的零点就是2()(2)g x ax a b x b c =++++的零点，且()f x '与()g x 符号相同．又∵0a >，∴当3,0x x <->或时，()g x >0,即()0f x '>，当30x -<<时，()g x <0,即()0f x '<， ∴()f x 的单调增区间是（-∞，-3），（0，+∞），单调减区间是（-3，0）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x =0是()f x 的极小值点，所以有1,0,93(2)0,c b c a a b b c =-⎧⎪+=⎨⎪-+++=⎩解得1,1,1a b c ===-．所以函数的解析式为2()(1)xf x x x e =+-．又由（Ⅰ）知，()f x 的单调增区间是（-∞，-3）,（0，+∞），单调减区间是（-3，0）. 所以，函数()f x 的极大值为335(3)(931)f e e --=--=．10．已知函数211()ln (,0)22f x x a x a a =--∈≠R . (Ⅰ)当2a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅲ)若对任意的[1,)x ∈+∞,都有()0f x ≥成立,求a 的取值范围.(Ⅰ)2a =时,211()2ln ,(1)022f x x x f =--= 2'(),'(1)1f x x f x=-=-曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程10x y +-=(Ⅱ)2'()(0)a x af x x x x x-=-=>①当0a <时, 2'()0x af x x-=>恒成立,函数()f x 的递增区间为()0,+∞②当0a >时,令'()0f x =,解得x =x =所以函数()f x 的递增区间为+∞,递减区间为(Ⅲ)对任意的[1,)x ∈+∞,使()0f x ≥成立,只需任意的[1,)x ∈+∞,min ()0f x ≥①当0a <时,()f x 在∞[1,+)上是增函数, 所以只需(1)0f ≥ ，而11(1)ln1022f a =--= ，所以0a <满足题意；②当01a <≤时,01<≤,()f x 在∞[1,+)上是增函数,所以只需(1)0f ≥ 而11(1)ln1022f a =--= ，所以01a <≤满足题意；③当1a >时1>,()f x 在上是减函数,∞)上是增函数,所以只需0f ≥即可，而(1)0f f <= ，从而1a >不满足题意；综合①②③实数a 的取值范围为(,0)(0,1]-∞ ．。

【最新】江苏省高三数学一轮典型专题训练：《导数及其应用》(含解析)

江苏省高三数学一轮复习典型题专题训练专题一、导数及其应用一、填空题1、（盐城上期中）若函数x x a x x f ln )3()(2+++=在区间(1,2)上存在唯一的极值点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．2、（南京市高三学情调研）若函数f (x )＝12ax 2－e x ＋1在x ＝x 1和x ＝x 2两处取到极值，且 x 2x 1≥2，则实数a 的取值范围是＿＿＿3、（南京市六校联合体高三上学期12月联考）设直线l 是曲线x x y ln +=22的切线，则直线l 的斜率的最小值是 ▲ ．4、（江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中高三10月月考）函数在点A （2，1）处切线的斜率为 ▲ ．5、（江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中高三月考）若函数f(x)=kx-cosx 在区间()单调递增，则 k 的取值范围是 ▲ .6、（南师附中高三年级5月模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：3103y x x =-+上，且在第四象限内．已知曲线C 在点P 处的切线为2y x b =+，则实数b 的值为．7、（徐州市高三上期中考试）已知函数32()2f x x x a =--，若存在(]0,x a ∈-∞，使0()0f x ，则实数a 的取值范围为 ▲8、（常州上期末）已知函数()ln f x bx x =+，其中b ∈R ．若过原点且斜率为k 的直线与曲线()y f x =相切，则k b -的值为 ▲ ．9、（盐城市高三上学期期中）已知()f x 为奇函数，当0x <时，()2xf x e x =+，则曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为 ▲ ．10、（苏州市高三上学期期末）曲线2xy x e =+在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为．11、（盐城市高三上学期期中）在平面直角坐标系中，曲线21xy e x =++在x ＝0处的切线方程是．12、（盐城市高三上学期期中）已知函数21()()(1)2xf x x m e x m x =+--+在R 上单调递增，则实数m 的取值集合为．13、（南京市、镇江市高三上学期期中）已知e 为自然对数的底数，函数y ＝e x －lnx 在［1，e ］的最小值为＿＿14、（苏锡常镇四市高三教学情况调查（二））已知点P 在曲线C ：212y x =上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为．15、（苏锡常镇四市高三教学情况调查（二））已已知e 为自然对数的底数，函数2()xf x e ax =-的图像恒在直线32y ax =上方，则实数a 的取值范围为．二、解答题1、（南京市高三9月学情调研）已知函数f (x )＝2x 3－3(a +1)x 2＋6ax ，a ∈R ．（1）曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3，求a 的值；（2）若对于任意x ∈(0，+∞)，f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立，求a 的取值范围；（3）若a ＞1，设函数f (x )在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M (a )、m (a )，记h (a )＝M (a )－m (a )，求h (a )的最小值． 2、（南京市高三9月学情调研）已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2．（1）求过原点(0，0)，且与函数f (x )的图象相切的直线l 的方程；（2）若a ＞0，求函数φ(x )＝|g (x )－2a 2f (x )|在区间[1，＋∞) 上的最小值． 3、（南京市六校联合体高三上学期12月联考）已知函数ln (),()xx xf xg x e x==. (1)求()f x 的极大值；(2)当0a >时，不等式()xg x ax b ≤+恒成立，求ba的最小值； (3)是否存在实数k N ∈，使得方程()(1)()f x x g x =+在(,1)k k +上有唯一的根，若存在，求出所有k 的值，若不存在，说明理由.4、（江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中高三10月月考）已知函数，a ∈R.⑴函数y= f(x)在点(2,f(2))处的切线与直线x-2y+1=0垂直，求a 的值； ⑵讨论函数f(x)的单调性； ⑶当a=1时，证明：不等式成立.（其中n!=1×2×3×…×n ，n ∈N*,n ≥2）5、（南京市高三12月联合调研）已知函数21()ln 2f x ax x =+，()g x bx =-，设()()()h x f x g x =-.（1）若()f x 在x 处取得极值，且(1)(1)2f g '=--，求函数()h x 的单调区间；（2）若0a =时函数()h x 有两个不同的零点12,x x .①求b 的取值范围；②求证：1221x x e >. 6、（南京市、盐城市高三上学期期末）若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．设函数f (x )＝x 3－tx 2＋1(t ∈R )．（1）若函数f (x )在(0，1)上无极值点，求t 的取值范围；（2）求证：对任意实数t ，在函数f (x )的图象上总存在两条切线相互平行；（3）当t ＝3时，若函数f (x )的图象上存在的两条平行切线之间的距离为4，问：这样的平行切线共有几组？请说明理由．7、（如皋市高三上学期期末）已知函数()ln 2f x x ax a =-+，其中a ∈R ．（I ）若函数()f x 的图象在1x =处的切线与直线20x ay --=垂直，求实数a 的值；（II ）设函数()()22g x f x ax a =++． (1).求函数()g x 的单调区间；(2)若不等式()0g x >对任意的实数()1x ∈+∞，恒成立，求实数a 的取值范围． 8、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）已知函数()()ln f x x a x =-()a ∈R ．（1）若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若对于任意的正数x ，()0f x ≥恒成立，求实数a 的值；（3）若函数()f x 存在两个极值点，求实数a 的取值范围．9、（苏州市高三上学期期中）设函数()1ln f x ax x =--，a 为常数．（1）当2a =时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若12,x x 为函数()f x 的两个零点，12x x >． ①求实数a 的取值范围； ②比较12x x +与2a的大小关系，并说明理由．10、（南京市高三第三次模拟）已知函数f (x )＝ln x ＋a x ＋1，a ∈R ．（1）若函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝2x ＋b ，求a ，b 的值；（2）记g (x )＝f (x )＋ax ，若函数g (x )在区间(0，12)上有最小值，求实数a 的取值范围；（3）当a ＝0时，关于x 的方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围． 11、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）高三第一次模拟（2月））已知函数()()ln a f x x a x =+∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()f x 的导函数为()f x '，若()f x 有两个不相同的零点12x x ，． ① 求实数a 的取值范围；② 证明：1122()()2ln 2x f x x f x a ''+>+．12、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）已知函数21()2ln 2f x x x ax a =+-∈，R ．（1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上的单调增函数，求0x 的值；（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由．13、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月））已知函数2()1ln ax f x x =+（0a ≠），e 是自然对数的底数．（1）当0a >时，求()f x 的单调增区间；（2）若对任意的12x ≥，1()2e b f x -≥（b ∈R ），求b a 的最大值；（3）若()f x 的极大值为2-，求不等式()e 0x f x +<的解集．14、（苏锡常镇四市高三教学情况调查（一））已知函数()(1)ln (R)f x x x ax a =++∈．（1）若()y f x =在(1，(1)f )处的切线方程为0x y b ++=，求实数a ，b 的值；（2）设函数()()f x g x x=，x ∈[1，e]（其中e 为自然对数的底数）．①当a ＝﹣1时，求()g x 的最大值；②若()()exg x h x =是单调递减函数，求实数a 的取值范围．15、（盐城市2019届高三第三次模拟）设函数x ae x x f -=)(（e 为自然对数的底数，R a ∈）. （1）当1=a 时，求函数)(x f 的图象在1=x 处的切线方程；（2）若函数)(x f 在区间(0,1)上具有单调性，求a 的取值范围；（3）若函数)()()(x f e e x g x -=有且仅有3个不同的零点321,,x x x ，且321x x x <<，113≤-x x ,求证: 1131-+≤+e e x x16、（南师附中高三年级5月模拟）设a 为实数，已知函数()xf x axe =，()lng x x x =+．（1）当a ＜0时，求函数()f x 的单调区间；（2）设b 为实数，若不等式2()2f x x bx ≥+对任意的a ≥1及任意的x ＞0恒成立，求b 的取值范围；（3）若函数()()()h x f x g x =+(x ＞0，x ∈R)有两个相异的零点，求a 的取值范围．参考答案一、填空题 1、 15(,6)2-- 2、[ 2ln2，＋∞） 3、44、122㏑ 5、［－12∞，＋） 6、－13 7、[1,0][2,)-+∞ 8、1e 9、12e-10、2311、32y x =+ 12、{}1- 13、e14、1 15、二、解答题1、解：（1）因为f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，所以f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线斜率k ＝f ′(0)＝6a ，所以6a ＝3，所以a ＝12． ………………………2分（2）f (x )＋f (－x )＝－6(a ＋1)x 2≥12ln x 对任意x ∈(0，+∞)恒成立，所以－(a ＋1)≥2ln xx 2． ………………………4分令g (x )＝2ln xx 2，x ＞0，则g '(x )＝2(1－2ln x )x 3．令g '(x )＝0，解得x ＝e ．当x ∈(0，e)时，g '(x )＞0，所以g (x )在(0，e)上单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，g '(x )＜0，所以g (x )在(e ，＋∞)上单调递减．所以g (x )max ＝g (e)＝1e ， ………………………6分所以－(a ＋1)≥1e ，即a ≤－1－1e，所以a 的取值范围为(－∞，－1－1e ]． ………………………8分（3）因为f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，所以f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )，f (1)＝3a －1，f (2)＝4．令f ′(x )＝0，则x ＝1或a ． ………………………10分 f (1)＝3a －1，f (2)＝4．①当1＜a ≤53时，当x ∈(1，a )时，f '(x )＜0，所以f (x )在(1，a )上单调递减；当x ∈(a ，2)时，f '(x )＞0，所以f (x )在(a ，2)上单调递增．又因为f (1)≤f (2)，所以M (a )＝f (2)＝4，m (a )＝f (a )＝－a 3＋3a 2，所以h (a )＝M (a )－m (a )＝4－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋4．因为h ' (a )＝3a 2－6a ＝3a (a －2)＜0，所以h (a )在(1，53]上单调递减，所以当a ∈(1，53]时，h (a )最小值为h (53)＝827．………………………12分②当53＜a ＜2时，当x ∈(1，a )时，f '(x )＜0，所以f (x )在(1，a )上单调递减；当x ∈(a ，2)时，f '(x )＞0，所以f (x )在(a ，2)上单调递增．又因为f (1)＞f (2)，所以M (a )＝f (1)＝3a －1，m (a )＝f (a )＝－a 3＋3a 2，所以h (a )＝M (a )－m (a )＝3a －1－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋3a －1．因为h ' (a )＝3a 2－6a ＋3＝3(a －1)2≥0．所以h (a )在(53，2)上单调递增，所以当a ∈(53，2)时，h (a )＞h (53)＝827． ………………………14分③当a ≥2时，当x ∈(1，2)时，f '(x )＜0，所以f (x )在(1，2)上单调递减，所以M (a )＝f (1)＝3a －1，m (a )＝f (2)＝4，所以h (a )＝M (a )－m (a )＝3a －1－4＝3a －5，所以h (a )在[2，＋∞)上的最小值为h (2)＝1．综上，h (a )的最小值为827． ………………………16分2、解：（1）因为f (x )＝ln x ，所以f ′(x )＝1x (x ＞0)．设直线l 与函数f (x )的图象相切于点(x 0，y 0)，则直线l 的方程为 y －y 0＝1x 0(x －x 0)，即 y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)．…………………… 3分因为直线l 经过点(0，0)，所以0－ln x 0＝1x 0(0－x 0)，即ln x 0＝1，解得x 0＝e ．因此直线l 的方程为 y ＝1e x ，即x －e y ＝0． …………………… 6分（2）考察函数H (x )＝g (x )－2a 2f (x )＝x 2－2a 2ln x ．H ′(x )＝2x －2a 2x ＝2(x －a )( x ＋a )x(x ＞0)．因为a ＞0，故由H ′(x )＝0，解得x ＝a ． …………………… 8分 ① 当0＜a ≤1时，H ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，H (x )在区间[1，＋∞)上递增，所以 H (x )min ＝H (1)＝1＞0，所以φ(x )min ＝1． …………………… 11分 ② 当a ＞1时，H (x )在区间[1，a ]上递减，在区间[a ，＋∞)上递增，所以 H (x )min ＝H (a )＝a 2(1－2ln a ) ．(ⅰ) 当1－2ln a ≤0，即a ∈[e ，＋∞) 时，H (x )min ＝a 2(1－2ln a )≤0，又H (1)＝1＞0，所以φ(x )min ＝0．(ⅱ) 当1－2ln a ＞0，a ∈(1，e) 时，H (x )min ＝a 2(1－2ln a )＞0，所以φ(x )min ＝a 2(1－2ln a ) ．综上 φ(x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， 0＜a ≤1，a 2(1－2ln a )，1＜a ＜e ，0， a ≥e ． …………………… 16分3、（1）1()x xf x e-'=，令()0f x '=，得1x =. …………………………………2分当1x <时，()0f x '>，则()f x 在(,1)-∞上单调递增，当1x >时，()0f x '>，则()f x 在(1,)+∞上单调递减，故当1x =时，()f x 的极大值为1e．………………………4分（2）不等式()xg x ax b ≤+恒成立，即ln 0x ax b --≤恒成立，记()ln (0)m x x ax b x =-->，则1()(0)axm x x x -'=>，当0a >时，令()0m x '=，得1x a=，………………………………………………6分当1(0,)x a ∈时，()0m x '>，此时()m x 单调递增，当1(,)x a∈+∞时，()0m x '<，此时()m x 单调递减，则max 1()()ln 10m x m a b a==---≤，即ln 1b a ≥--，…8分则ln 1b a a a +≥-，记ln 1()a n a a+=-，则2ln ()(0)a n a a a '=>，令()0n a '=，得1a =当(0,1)a ∈时，()0n a '<，此时()n a 单调递减，当(1,)a ∈+∞时，()0n a '>，此时()n a 单调递增，min ()(1)1n a n ==-，故ba的最小值为1-. ………………………10分（3）记(1)ln ()x x x x s x e x +=-，由2123ln 2(1)0,(2)1102s s e e =>=-<-=，……12分故存在1k =，使()(1)()f x x g x =+在(1,2)上有零点，下面证明唯一性：① 当01x <≤时，()0,(x 1)()0f x g x >+<，故()0s x >，0=)(x s 在(0,1]上无解…………………………………………………………………14分②当1x >时，211ln ()x x x x s x e x -+-'=-，而2110,1ln 0,0x x x x e x -<+->>，此时()0s x '<，()s x 单调递减，所以当1k=符合题意．……………………………16分4、5、解：(1)因为1()f x axx'=+，所以(1)1f a'=+,由(1)(1)2f g'=--可得a=b-3.又因为()f x在2x=处取得极值，所以22(20f'=，所以a= -2,b=1 . …………………………………2分所以2()lnh x x x x=-++，其定义域为（0，+∞）2121(21)(1)()21=x x x x h x x x x x-++-+-'=-++=令()0h x '=得121,12x x =-=，当x ∈（0,1）时，()>0h x '，当x ∈（1,+∞）()<0h x '，所以函数h (x )在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+∞）上单调减. …………………………4分（2）当0a =时，()ln h x x bx =+，其定义域为（0，+∞）.①'1()h x b x=+,当0b ≥,则'()0h x >，()h x 在(0,)+∞上单调递增，不合题意。

一元函数的导数及其应用检测(基础卷)(原卷版)

一元函数的导数及其应用检测（基础卷）单选题（共8小题，每小题5分，共40分）1. 物体运动方程为s (t )＝3t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，若v ＝lim Δt →0s （3＋Δt ）－s （3）Δt＝18 m/s ，则下列说法中正确的是( ) A.18 m/s 是物体从开始到3 s 这段时间内的平均速度B.18 m/s 是物体从3 s 到(3＋Δt )s 这段时间内的速度C.18 m/s 是物体在3 s 这一时刻的瞬时速度D.18 m/s 是物体从3 s 到(3＋Δt )s 这段时间内的平均速度2. 若可导函数f (x )的图象过原点，且满足lim Δx →0f （Δx ）Δx ＝－1，则f ′(0)等于( )A.－2B.2C.－1D.1 3. 若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A.－1B.－2C.2D.04. 已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象可能是( )5. 若函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( )A.a ≤0B.a <1C.a <2D.a ≤136. 已知a 是函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a 等于( )A.－4B.－2C.4D.27. 当0<x <1时，f ()x ＝ln x x ，则下列大小关系正确的是( )A.f 2()x <f ()x 2<f ()xB.f ()x 2<f 2()x <f ()xC.f ()x <f ()x 2<f 2()xD.f ()x 2<f ()x <f 2()x8. 函数f (x )＝3x －x 3在[0，m ]上的最大值为2，最小值为0，则实数m 的取值范围为( )A.[1，3]B.[1，＋∞)C.(1，3]D.(1，＋∞)二、多选题（共4小题，每小题5分，选多部分给2分，多选或错选不给分，共20分）9. 列说法正确的是( )A.若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处也可能有切线B.若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C.若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D.若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在10. 当函数y ＝x 2＋a 2x (a ＞0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0可以是( )A.aB.0C.－aD.a 211. 设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<2π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ的可能取值为( )A.π6B.5π6C.7π6D.11π612. 如图是函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下列判断正确的是( )A.在区间(－2，1)上，f (x )单调递增B.在(1，2)上，f (x )单调递增C.在(4，5)上，f (x )单调递增D.在(－3，－2)上，f (x )单调递增三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 曲线y ＝9x 在点M (3，3)处的切线方程是________.14. 已知函数y ＝12e 2x ＋4－ln(2x ＋5)，则该函数的图象在x ＝－2处的切线的倾斜角为________.15. 函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________.16. 函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则实数a 的取值范围为________.四、解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分，需要写出必要的过程和步骤）17. 求下列函数的导数：(1)y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4； (3)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4； (4)y ＝log 2x 2－log 2x .18. 已知函数f (x )＝ax 2＋ln(x ＋1).(1)当a ＝－14时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围.19. 设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a .(1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？20. 已知函数f (x )＝a ln x －bx 2，a ，b ∈R ，且曲线y ＝f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切.(1)求a ，b 的值；(2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值. 21. 已知函数h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1在区间[k ，2]上的最大值是28，求k 的取值范围.22. 若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )取得极值－43.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的实数根，求实数k 的取值范围.。

高中数学第一章导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义学业分层测评(含解析)新人教A版选修2-2

导数的几何意义学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y ＋2＝0，则f ′(1)＝( ) A ．4 B ．－4 C ．－2 D ．2【解析】由导数的几何意义知f ′(1)＝2，故选D. 【答案】 D2．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 2＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值等于( ) A ．2 B ．－1 C ．1D ．－2【解析】依导数定义可求得y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧12＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C.【答案】 C3．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率k ＝3，则点P 的坐标是( ) A ．(1,1)B ．(－1,1)C ．(1,1)或(－1，－1)D ．(2,8)或(－2，－8)【解析】因为y ＝x 3，所以y ′＝lim Δx →0x ＋Δx 3－x 3Δx ＝lim Δx →0[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]＝3x 2.由题意，知切线斜率k ＝3，令3x 2＝3，得x ＝1或x ＝－1. 当x ＝1时，y ＝1；当x ＝－1时，y ＝－1. 故点P 的坐标是(1,1)或(－1，－1)．【答案】 C4．(2016·某某高二检测)若曲线f (x )＝x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －4＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0【解析】设切点为(x 0，y 0)，∵f ′(x )＝lim Δx →0x ＋Δx 2－x 2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .由题意可知，切线斜率k ＝4，即f ′(x 0)＝2x 0＝4，∴x 0＝2，∴切点坐标为(2,4)，∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0，故选A.【答案】 A5．曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线的斜率为( )A ．2B ．－4C ．3 D.14【解】因为y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →01x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0－1x 2＋x ·Δx ＝－1x 2，所以曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝12＝－4.【答案】 B 二、填空题6．已知函数y ＝f (x )的图象如图115所示，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是__________(填序号)．图115【解析】由y ＝f (x )的图象及导数的几何意义可知，当x <0时f ′(x )>0，当x ＝0时f ′(x )＝0，当x >0时f ′(x )<0，故②符合．【答案】②7．曲线y ＝x 2－2x ＋3在点A (－1,6)处的切线方程是 __________.【解析】因为y ＝x 2－2x ＋3，切点为点A (－1,6)，所以斜率k ＝y ′|x ＝－1＝limΔx →0－1＋Δx2－2－1＋Δx ＋3－1＋2＋3Δx＝lim Δx →0(Δx －4)＝－4，所以切线方程为y －6＝－4(x ＋1)，即4x ＋y －2＝0. 【答案】 4x ＋y －2＝08．若曲线y ＝x 2＋2x 在点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＝0，则点P 的坐标是__________．【解析】设P (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝limΔx →0x 0＋Δx2＋2x 0＋Δx －x 20－2x 0Δx＝lim Δx →0(2x 0＋2＋Δx )＝2x 0＋2.因为点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＝0，所以点P 处的切线的斜率为2，所以2x 0＋2＝2，解得x 0＝0，即点P 的坐标是(0,0)．【答案】 (0,0) 三、解答题9．(2016·某某高二检测)已知抛物线y ＝f (x )＝x 2＋3与直线y ＝2x ＋2相交，求它们交点处抛物线的切线方程．【解】由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3，y ＝2x ＋2，得x 2－2x ＋1＝0，解得x ＝1，y ＝4，所以交点坐标为(1,4)，又Δx ＋12＋3－12＋3Δx＝Δx ＋2.当Δx 趋于0时Δx ＋2趋于2，所以在点(1,4)处的切线斜率k ＝2，所以切线方程为y －4＝2(x －1)，即y ＝2x ＋2. 10．试求过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程．【解】y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝limΔx →0x ＋Δx 2－x 2Δx＝2x .设所求切线的切点为A (x 0，y 0)． ∵点A 在曲线y ＝x 2上， ∴y 0＝x 20，又∵A 是切点，∴过点A 的切线的斜率y ′|x ＝x 0＝2x 0， ∵所求切线过P (3,5)和A (x 0，y 0)两点，∴其斜率为y 0－5x 0－3＝x 20－5x 0－3.∴2x 0＝x 20－5x 0－3，解得x 0＝1或x 0＝5.从而切点A 的坐标为(1,1)或(5,25)．当切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2；当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10.∴所求的切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)和y －25＝10(x －5)，即y ＝2x －1和y ＝10x －25.[能力提升]1．(2016·某某高二检测)设f (x )为可导函数，且满足lim Δx →0f 1－f 1－x2x ＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2【解析】∵limΔx →0f 1－f 1－x2x＝12lim Δx →0f 1－x －f 1－x ＝－1， ∴limΔx →0f 1－x －f 1－x ＝－2，即f ′(1)＝－2.由导数的几何意义知，曲线在点(1，f (1))处的切线斜率k ＝f ′(1)＝－2，故选D. 【答案】 D2．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 2＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值等于( ) A ．2 B ．－1 C ．1D ．－2【解析】依导数定义可求得y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C.【答案】 C3．(2016·某某高二检测)已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a 的值为________．【解析】设切点为P (x 0，y 0)．则f ′(x 0)＝limΔx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝limΔx →0a x 0＋Δx2－ax 2Δx＝lim Δx →0(2ax 0＋a Δx )＝2ax 0，即2ax 0＝1. 又y 0＝ax 20，x 0－y 0－1＝0，联立以上三式，得⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＝1，y 0＝ax 20，x 0－y 0－1＝0，解得a ＝14.【答案】144．已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公切线，求a ，b 的值．【解】因为f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx＝limΔx →0a x ＋Δx2＋1－ax 2＋1Δx＝2ax ，所以f ′(1)＝2a ，即切线斜率k 1＝2a . 因为g ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx＝limΔx →0x ＋Δx3＋b x ＋Δx －x 3＋bx Δx＝3x 2＋b ，所以g ′(1)＝3＋b ，即切线的斜率k 2＝3＋b . 因为在交点(1，c )处有公切线，所以2a ＝3＋b .①又因为c ＝a ＋1，c ＝1＋b ，所以a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ，代入①式，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3.。

第二章函数、导数及其应用阶段质量检测

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)1．函数y ＝log 0.5(2x －1)的定义域是 ( )A ．[1，＋∞) B.⎝⎛⎦⎤12，1 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(－∞，1] 解析：要使原式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0log 0.5(2x －1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >12x ≤1，∴12<x ≤1.答案：B2．(文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋4)，x ＜0，x (x －4)，x ≥0.则函数f (x )的零点个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：当x ＜0时，由x (x ＋4)＝0⇒x ＝－4；当x ≥0时，由x (x －4)＝0⇒x ＝4或x ＝0. 答案：C3．函数f (x )＝ln(1－x 2)的图象只可能是 ( )解析：函数f (x )＝ln(1－x 2)的定义域为(－1,1)，且f (x )为偶函数，当x ∈(0,1)时，函数f (x )＝ln(1－x 2)为单调递减函数；当x ∈(－1,0)时，函数f (x )为单调递增函数，且函数值都小于零，所以其图象为A. 答案：A4．已知P (x ，y )是函数y ＝e x ＋x 图象上的点，则点P 到直线2x －y －3＝0的最小距离为( ) A.55 B.255C.355D.455解析：将直线2x －y －3＝0平移到与函数y ＝e x ＋x 的图象相切时，切点到直线2x －y －3＝0的距离最短，故关键是求出切点的坐标．由y ′＝e x ＋1＝2解得x ＝0，代入函数y ＝e x ＋x 易得y ＝1，点(0,1)到直线2x －y －3＝0的距离为|0－1－3|5＝455.答案：D5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1，log ax ， x ≥1.是R 上的减函数，那么a 的取值范围是 ( )A ．(0,1)B ．(0，13)C ．[17，13)D ．[17，1)解析：依题意有0<a <1且3a －1＜0，得0<a <13，考虑端点x ＝1，则(3a －1)＋4a ≥0得a ≥17.答案：C6．定义在R 上的函数f (x )在(－∞，a ]上是增函数，函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有 ( ) A ．f (2a －x 1)>f (x 2) B ．f (2a －x 1)＝f (x 2) C ．f (x 1)<f (2a －x 2) D ．f (x 1)<f (x 2－2a ) 解析：∵y ＝f (x ＋a )为偶函数， ∴y ＝f (x ＋a )的图象关于y 轴对称， ∴y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称．又∵f (x )在(－∞，a ]上是增函数， ∴f (x )在[a ，＋∞)上是减函数．当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有a －x 1<x 2－a ，即a <2a －x 1<x 2， ∴f (2a －x 1)>f (x 2)．答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中的横线上)7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2x (x ＞0)1－x 2(x ≤0)，则不等式f (x )＞0的解集为________．解析：当x ＞0时，－log 2x ＞0，即log 2x ＜0，∴0＜x ＜1，当x ≤0时，1－x 2＞0，即x 2＜1，∴－1＜x ≤0，综上所述：f (x )＞0的解集为(－1,1)．答案：(－1,1)8．(文)已知曲线C ：y ＝ln x －4x 与直线x ＝1交于一点P ，那么曲线C 在点P 处的切线方程是________________．解析：由已知得y ′＝1x －4，所以当x ＝1时有y ′＝－3，即过点P 的切线的斜率k＝－3，又y ＝ln1－4＝－4，故切点P (1，－4)，所以点P 处的切线方程为y ＋4＝－3(x －1)，即3x ＋y ＋1＝0. 答案：3x ＋y ＋1＝09．对于函数f (x )＝lg(x 2＋ax －a －1)(a ∈R)，给出下列命题：①f (x )有最小值；②当a ＝0时，f (x )的值域为R ； ③当a ＝1时，f (x )的定义域为(－1,0)；④若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是[－4，＋∞)．上述命题中正确的是________(填上所有正确命题的序号)．解析：f (x )＝lg(x 2＋ax －a －1)＝lg[(x ＋a 2)2－a 24－a －1]＝lg[(x ＋a 2)2－(a2＋1)2]①∵(x ＋a 2)2－(a2＋1)2需大于0，无法取到最小值，∴f (x )无最小值，①错误． ②当a ＝0时，f (x )＝lg(x 2－1)，当x >1或x <－1时，x 2－1可取所有正数，故f (x )的值域为R ，②正确． ③当a ＝1时，f (x )＝lg(x 2＋x －2) 令x 2＋x －2>0，∴x <－2或x >1，故③错误．④∵f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，∴g (x )＝x 2＋ax －a －1在[2，＋∞)上为增函数且函数恒正． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≤24＋2a －a －1>0，解得：a >－3.故④错误．答案：②三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(本小题满分12分)是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴恒有一个交点，且只有一个交点．若存在，求出范围，若不存在，说明理由．解：∵Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝(3a －83)2＋89>0，∴f (x )与x 轴有两个交点．若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0.所以a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1.所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0.得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠1.(2)当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解之得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a ＜－15或a ＞1.11．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a ，(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在区间[－2,2]上的最大值为20，求函数f (x )在该区间上的最小值．解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9，令f ′(x )＜0，解得x ＜－1或x ＞3，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)；令f ′(x )＞0，解得－1＜x ＜3，所以函数f (x )的单调递增区间为(－1,3)． (2)因为f (－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，所以f (2)＞f (－2)．因为在区间(－1,3)上，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－1,2)上单调递增．又由于f (x )在(－2，－1)上单调递减，因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a ＝20，解得a ＝－2，故f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝－7，即函数f (x )在区间[－2,2]上的最小值为－7.12．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ax ＋ax－3ln x .(1)当a ＝2时，求f (x )的最小值；(2)若f (x )在[1，e]上为单调函数，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2x ＋2x －3ln x ，f ′(x )＝2－2x 2－3x ＝2x 2－3x －2x 2，令f ′(x )＝0得x ＝2或－12(∵x ＞0，舍去负值)，∴当a ＝2时，函数f (x )的最小值为5－3ln2. (2)∵f ′(x )＝ax 2－3x －ax 2，令h (x )＝ax 2－3x －a ＝a (x －32a )2－9＋4a 24a，要使f (x )在[1，e]上为单调函数，只需f ′(x )在(1，e)内满足：f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立，且等号只在孤立点取得． ∵h (1)＝－3＜0，∴h (e)＝a e 2－3e －a ≤0.∴a ≤3ee 2－1. ①当0≤a ≤3ee 2－1时，f ′(x )≤0恒成立． ②当a ＜0时，x ＝32a∉[1，e]， ∴h (x )＜0(x ∈[1，e])．∴f ′(x )＜0，符合题意．综上可知，当a ≤3ee 2－1时，f (x )在[1，e]上为单调函数．。

2018-2019学年高二数学选修2-2阶段质量检测(一) 导数及其应用

阶段质量检测(一) 导数及其应用 [考试时间：120分钟试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为________． 2．曲线y ＝x 3－4x 在点(1，－3)处的切线的倾斜角为________．3．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x ＋18在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是________．4．y ＝2x 3－3x 2＋a 的极大值为6，则a ＝________. 5．函数y ＝sin xx的导数为________．6．若⎠⎛01(x －k )d x ＝32，则实数k 的值为________． 7．函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递减区间是________． 8．函数f (x )＝3x －4x 3在[0,1]上的最大值为________．9．(山东高考改编)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为________．10．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3(x ≥0)，－x (x <0)，则1－⎰1f (x )d x ＝________.11．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99＝________.12．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．13．周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________． 14．已知f (x )定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )＜－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)＞(x －1)·f (x 2－1)的解集是________________________________．二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ax 2－43ax ＋b ，f (1)＝2，f ′(1)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在(1,2)处的切线方程．16．(本小题满分14分)求下列定积分． (1)12－⎰(1－t 3)d t ； (2)1－π⎰(cos x ＋e x )d x ； (3)12⎰x 3－3x 2＋5x 2d x .17．(本小题满分14分)已知x ＝1是函数f (x )＝13ax 3－32x 2＋(a ＋1)x ＋5的一个极值点．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝2x ＋m 有三个交点，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －2(e ≈2.71，a ∈R )． (1)判断曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与曲线y ＝g (x )的公共点个数； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 时，若函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点，求a 的取值范围．19．(本题满分16分)某公司将进货单价为a 元(a 为常数，3≤a ≤6)一件的商品按x 元(7≤x ≤10)一件销售，一个月的销售量为(12－x )2万件．(1)求该公司经销此种商品一个月的利润L (x )(万元)与每件商品的售价x (元)的函数关系式；(2)当每件商品的售价为多少元时，L (x )取得最大值？并求L (x )的最大值．20．(本小题满分14分)(山东高考)设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数． (1)若 a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点 (1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性．答案1．解析：∵f (x )＝ax 2＋c ，∴f ′(x )＝2ax ，∴f ′(1)＝2a ，又∵f ′(1)＝2，∴a ＝1. 答案：12．解析：∵y ′＝3x 2－4，∴当x ＝1时，y ′＝－1，即tan α＝－1.又∵α∈(0，π)，∴α＝34π.答案：34π3．解析：由题意得f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，因此Δ＝4a 2－12≤0⇒－3≤a ≤3，所以实数a 的取值范围是[－3，3]．答案：[－3，3]4．解析：y ′＝6x 2－6x ＝6x (x －1)，令y ′＝0，则x ＝0或x ＝1.当x ＝0时，y ＝a ，当x ＝1时，y ＝a －1.由题意知a ＝6.答案：65．解析：y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x x ′＝x ·(sin x )′－(x )′·sin x x 2＝x cos x －sin x x 2.答案：x cos x －sin xx 26．解析：⎠⎛01(x －k )d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－kx 10＝12－k ＝32，解得k ＝－1. 答案：－17．解析：∵f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x.令f ′(x )<0，因为x ∈(0，＋∞)，∴2x 2－1<0，即0<x <22，∴函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，22. 答案：⎝⎛⎭⎫0，22 8．解析：f ′(x )＝3－12x 2，令f ′(x )＝0，则x ＝－12(舍去)或x ＝12，f (0)＝0，f (1)＝－1，f ⎝⎛⎭⎫12＝32－12＝1.∴f (x )在[0,1]上的最大值为1. 答案：19．解析：由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 42＝4.答案：410．解析：因为⎠⎛-12f (x )d x ＝⎠⎛-10 (－x )d x ＋⎠⎛01(x 2＋3)d x .因为⎝⎛⎭⎫－12x 2′＝－x ，⎝⎛⎭⎫13x 3＋3x ′＝x 2＋3，所以⎠⎛-11f (x )d x ＝－12x 201-＋⎝⎛⎭⎫13x 3＋3x 10＝236. 答案：23611．解析：由于y ′| x ＝1＝n ＋1，∴曲线在点(1,1)处的切线为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y＝0，得x ＝x n ＝n n ＋1，∴a n ＝lg nn ＋1，∴原式＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg ⎝⎛⎭⎫12×23×…×99100＝lg 1100＝－2. 答案：－212．解析：∵f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ，x >0，∴当0<x <12时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，当x >12时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，依题意得⎩⎨⎧0≤k －1<12，12<k ＋1，k －1<k ＋1.∴1≤k <32.答案：⎣⎡⎭⎫1，32 13．解析：设矩形一边长为x cm ，则邻边长为(10－x )cm ；体积V ＝πx 2(10－x )＝π(10x 2－x 3)，由V ′＝π(20x －3x 2)＝0得x ＝0(舍去)，x ＝203可以判断x ＝203时，V max ＝4 00027π(cm 3)．答案：4 00027π cm 314．解析：令g (x )＝x ·f (x ) 则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＜0.∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数．又∵f (x ＋1)＞(x －1)f (x 2－1)，∴(x ＋1)f (x ＋1)＞(x 2－1)f (x 2－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x 2－1＞0，x ＋1＜x 2－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ＜－1或x ＞1，x ＜－1或x ＞2.∴x ＞2.答案：{x |x ＞2}15．解：(1)f ′(x )＝2ax －43a ，由已知得⎩⎨⎧f ′(1)＝2a －43a ＝1，f (1)＝a －43a ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝52.所以f (x )＝32x 2－2x ＋52.(2)函数f (x )在(1,2)处的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0. 16．解：(1)∵⎝⎛⎭⎫t －14t 4′＝1－t 3，∴⎠⎛-21(1－t 3)d t ＝⎝⎛⎭⎫t －14t 412-＝⎝⎛⎭⎫1－14－(－2－4)＝274.(2)∵(sin x ＋e x )′＝cos x ＋e x ，∴⎠⎛-π0(cos x ＋e x )d x ＝(sin x ＋e x )0-π＝1－e －π＝1－1eπ.(3)⎠⎛24x 3－3x 2＋5x 2d x ＝⎠⎛24⎝⎛⎭⎫x －3＋5x 2d x 取F (x )＝12x 2－3x －5x ，则F ′(x )＝x －3＋5x2， ⎠⎛24x 3－3x 2＋5x 2d x ＝F (4)－F (2)＝⎝⎛⎭⎫12×42－3×4－54－⎝⎛⎭⎫12×22－3×2－52＝54. 17．解：(1)依题意f ′(x )＝ax 2－3x ＋a ＋1，由f ′(1)＝0得a ＝1，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋5.(2)曲线y ＝f (x )与直线y ＝2x ＋m 有三个交点，即13x 3－32x 2＋2x ＋5－2x －m ＝0有三个实数根，令g (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋5－2x －m ＝13x 3－32x 2＋5－m ，则g (x )有三个零点．由g ′(x )＝x 2－3x ＝0得x ＝0或x ＝3.令g ′(x )>0得x <0或x >3；令g ′(x )<0得0<x <3.∴函数g (x )在(－∞，0)上为增函数，在(0,3)上为减函数，在(3，＋∞)上为增函数． ∴函数在x ＝0处取得极大值，在x ＝3处取得极小值．要使g (x )有三个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0，g (3)<0，解得12<m <5. ∴实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，5.18．解：(1)f ′(x )＝ln x ＋1，所以斜率k ＝f ′(1)＝1.又f (1)＝0，曲线在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋ax －2y ＝x －1⇒x 2＋(1－a )x＋1＝0.由Δ＝(1－a )2－4＝a 2－2a －3可知：当Δ＞0时，即a ＜－1或a ＞3时，有两个公共点；当Δ＝0时，即a ＝－1或a ＝3时，有一个公共点；当Δ＜0时，即－1＜a ＜3时，没有公共点．(2)y ＝f (x )－g (x )＝x 2－ax ＋2＋x ln x ，由y ＝0得a ＝x ＋2x ＋ln x ．令h (x )＝x ＋2x ＋ln x ，则h ′(x )＝(x －1)(x ＋2)x 2.当x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，由h ′(x )＝0得x ＝1.所以h (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，1上单调递减，在[1，e]上单调递增，故h min (x )＝h (1)＝3.由h ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e ＋2e －1，h (e)＝e ＋2e＋1，比较可知h ⎝⎛⎭⎫1e ＞h (e)．所以，当3＜a ≤e ＋2e＋1时，函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点．19．解：(1)L (x )＝(x －a )(12－x )2(7≤x ≤10)．(2)L ′(x )＝(12－x )2＋(x －a )(2x －24)＝(12－x )(12＋2a －3x )．令L ′(x )＝0得x ＝2a ＋123或x ＝12.由a ∈[3,6]得2a ＋123∈[6,8]．当2a ＋123∈[6,7]，即3≤a ≤92时，L (x )在[7,10]上是减函数，L (x )的最大值为L (7)＝25(7－a )；当2a ＋123∈(7,8]，即92<a ≤6时，L (x )在⎝⎛⎭⎪⎫7，2a ＋123上是增函数，在[2a ＋123，10]上是减函数．L (x )的最大值为L ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋123＝4(12－a )327综上可知，若3≤a ≤92，则当x ＝7时，L (x )取得最大值，最大值是25(7－a )；若92<a ≤6，则当x ＝2a ＋123时，L (x )取得最大值，最大值是4(12－a )327. 20．解：(1)由题意知a ＝0时，f (x )＝x －1x ＋1，x ∈(0，＋∞)．此时f ′(x )＝2(x ＋1)2.可得f ′(1)＝12，又f (1)＝0，所以曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x －2y －1＝0.(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a x ＋2(x ＋1)2＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a x (x ＋1)2.当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ，由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)，①当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12(x －1)2x (x ＋1)2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a ＜－12时，Δ＜0，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③当－12＜a ＜0，Δ＞0.设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点，则x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a.由x 1＝a ＋1－2a ＋1－a＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a＞0，所以x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减，x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减，综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－12＜a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－(a ＋1)＋2a ＋1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)＋2a ＋1a ，－(a ＋1)－2a ＋1a 上单调递增．。

课时作业10：阶段质量检测（一）　导数及其应用

阶段质量检测(一) 导数及其应用[考试时间：90分钟试卷总分：120分]第Ⅰ卷 (选择题)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．下列各式正确的是( )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)B ．(cos x )′＝sin xC ．(sin x )′＝cos xD ．(x －5)′＝－15x －6 2．函数y ＝x 2cos x 的导数为( )A ．2x cos xB ．－x 2sin xC ．2x cos x ＋x 2sin xD ．2x cos x －x 2sin x 3．f (x )＝ax 3＋2x ，若f ′(1)＝4，则a 的值等于( )A.12B.13C. 2 D ．1 4．使函数y ＝x sin x ＋cos x 是增函数的区间可能是( )A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2 B ．(π，2π)C.⎝⎛⎭⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π)5．函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( )A ．1 B.12C ．0D ．－1 6．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)7．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( )A ．0≤a ≤21B ．a ＝0或a ＝7C ．a <0或a >21D ．a ＝0或a ＝218．曲线y ＝ln (2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5 D ．09．由y ＝－x 2与直线y ＝2x －3围成的图形的面积是( )A.53B.323C.643D ．9 10．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫32，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－∞，－12C.⎝⎛⎭⎫－12，32 D.⎣⎡⎭⎫1，32 第Ⅱ卷 (非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 11.⎠⎛01(x ＋x )d x ＝________.12．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________．13．已知a ≤4x 3＋4x 2＋1对任意x ∈[－1,1]都成立，则实数a 的取值范围是________．14．已知函数y ＝xf ′(x )的图像如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，给出以下说法：①函数f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数；②函数f (x )在区间(－1,1)上单调递增；③函数f (x )在x ＝－12处取得极大值； ④函数f (x )在x ＝1处取得极小值．其中正确的说法________．三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax＋b (a >0)． (1)求f (x )的最小值；(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．16．(本小题满分12分)已知某公司生产的某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件，需另投入 1.9万元，设R (x )(单位：万元)为销售收入，据市场调查知R (x )＝⎩⎨⎧ 10x －130x 3，0≤x ≤10，2003， x ＞10，其中x 是年产量(单位：千件)．(1)写出年利润W 关于年产量x 的函数关系式；(2)年产量为多少时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？17．(本小题满分12分)已知三次方程的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f ′(1)＝0，f ′(2)＝3，f ′(3)＝12.(1)求f (x )－f (0)的表达式；(2)若对任意的x ∈[－1,4]，都有f (x )>f ′(x )成立，求f (0)的取值范围．18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ax 2＋2ln (1－x )(a 为常数)．(1)若f (x )在x ＝－1处有极值，求a 的值并判断x ＝－1是极大值点还是极小值点；(2)若f (x )在[－3，－2]上是增函数，求a 的取值范围．参考答案一、选择题1．选C 由导数公式知选项A 中(sin a )′＝0；选项B 中(cos x )′＝－sin x ；选项D 中(x －5)′＝－5x －6.2．选D y ′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x .3．选D f ′(x )＝3ax 2＋1x ，∴f ′(1)＝3a ＋1＝4，∴a ＝1. 4．选C y ′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，故当x ∈⎝⎛⎭⎫3π2，5π2时，y ′＞0，函数为增函数．5．选A f ′(x )＝3－12x 2，令f ′(x )＝0，则x ＝－12(舍去)或x ＝12，f (0)＝0，f (1)＝－1，f ⎝⎛⎭⎫12＝32－12＝1.∴f (x )在[0,1]上的最大值为1. 6．选D 由图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值，选D.7．选A f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ，当Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数f (x )不存在极值点．8．选A 设与直线2x －y ＋3＝0平行的y ＝ln (2x －1)的切线为l ，切点为(x 0，y 0)，则y ′＝22x －1，由22x 0－1＝2.∴x 0＝1，∴切点为(1,0)，切线l 为：2x －y －2＝0，则易知距离为|－2－3|22＋(－1)2＝ 5.9．选B 解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝2x －3，得交点A (－3，－9)，B (1，－1)．由y ＝－x 2与直线y ＝2x －3围成的图形的面积S ＝⎠⎛－31(－x 2)d x －⎠⎛－31(2x －3)d x ＝－13x 3|1－3－(x 2－3x )|1－3＝323. 10．选D 由f (x )＝2x 2－ln x 可知定义域为(0，＋∞)，所以k －1≥0，k ≥1.故排除B ，C两项，又f ′(x )＝4x －1x ，令f ′(x )＝0，得x ＝12或x ＝－12(舍去)，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增．由题意知⎩⎨⎧ k －1＜12，k ＋1＞12，且k ≥1，得1≤k ＜32. 二、填空题11．答案：76 12．答案：2x －y ＋1＝0解析：曲线方程为y ＝x 3－x ＋3，则y ′＝3x 2－1，又易知点(1,3)在曲线上，有y ′|x ＝1＝2，即在点(1,3)处的切线方程的斜率为2，所以切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.13．答案：(－∞，1]解析：设f (x )＝4x 3＋4x 2＋1，则f ′(x )＝12x 2＋8x ＝4x (3x ＋2)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－23. 又f (－1)＝1，f ⎝⎛⎭⎫－23＝4327，f (0)＝1，f (1)＝9，故f (x )在[－1,1]上的最小值为1，故a ≤1. 14．答案：①④解析：①由图像知，当x ∈(1，＋∞)时，xf ′(x )>0，故f ′(x )>0，f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数，故①正确；②当x ∈(－1,0)时，xf ′(x )>0，故f ′(x )<0；当x ∈(0,1)时，xf ′(x )<0，故f ′(x )<0.综上，当x ∈(－1,0)∪(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在区间(－1,0)(0,1)上是减函数，故②错误；③f (x )在区间(－1,0)上单调递减，故x ＝－12不是极值点，故③错误；④f (x )在区间(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故f (x )在x ＝1处取得极小值，故④正确．三、解答题15．解：(1)法一：由题设和均值不等式可知，f (x )＝ax ＋1ax＋b ≥2＋b ，其中等号成立当且仅当ax ＝1，即当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b . 法二：f (x )的导数f ′(x )＝a －1ax 2＝a 2x 2－1ax 2，当x >1a时，f ′(x )>0，f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增；当0<x <1a 时，f ′(x )<0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减．所以当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b . (2)由题设知，f ′(x )＝a －1ax 2，f ′(1)＝a －1a ＝32，解得a ＝2或a ＝－12(不合题意，舍去)．将a ＝2代入f (1)＝a ＋1a ＋b ＝32，解得b ＝－1.所以a ＝2，b ＝－1.16．解：(1)依题意有：W ＝⎩⎨⎧ 10x －130x 3－10－1.9x ，0≤x ≤10，2003－10－1.9x ，x ＞10.即W ＝⎩⎨⎧ 8.1x －130x 3－10，0≤x ≤10，1703－1.9x ，x ＞10.(2)设f (x )＝－130x 3＋8.1x －10(0≤x ≤10)， f ′(x )＝－110x 2＋8.1，由f ′(x )＝0，得x ＝9或x ＝－9(舍去)．当0≤x ＜9时，f ′(x )＞0；当9＜x ≤10时，f ′(x )＜0，所以当x ＝9时，f (x )取得最大值38.6.当x ＞10时，1703－1.9x ＜1133＜38.6. 所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．17．解：(1)设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝3，27a ＋6b ＋c ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－3，c ＝3，∴f (x )－f (0)＝x 3－3x 2＋3x .(2)f ′(x )＝3x 2－6x ＋3，∵任意的x ∈[－1,4]，f (x )>f ′(x )，∴f (x )－f ′(x )＝x 3－6x 2＋9x ＋f (0)－3>0，∴f (0)>－x 3＋6x 2－9x ＋3.令F (x )＝－x 3＋6x 2－9x ＋3，则F ′(x )＝－3x 2＋12x －9.由－3x 2＋12x －9＝0，得x ＝1，或x ＝3.又F (－1)>F (3)，F (－1)>F (1)，F (－1)>F (4)，故F (x )在[－1,4]上的最大值为F (－1)＝19.故f (0)的取值范围是(19，＋∞)．18．解：(1)f ′(x )＝2ax －21－x，x ∈(－∞，1)， f ′(－1)＝－2a －1＝0，所以a ＝－12. 这时，f (x )＝－12x 2＋2ln (1－x )， f ′(x )＝－x －21－x ＝(x ＋1)(x －2)1－x. ∵x ＜1，∴1－x ＞0，x －2＜0因此，当x ＜－1时f ′(x )＞0，当－1＜x ＜1时f ′(x )＜0∴x ＝－1是f (x )的极大值点．(2)f ′(x )≥0在x ∈[－3，－2]上恒成立，f ′(x )≥0即2ax －21－x≥0. ∴a ≤1－x 2＋x在x ∈[－3，－2]上恒成立， ∵－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14∈[－12，－6]，1－x 2＋x ∈⎣⎡⎦⎤－16，－112 ∴⎝⎛⎭⎫1－x 2＋x min ＝－16，a ≤－16. 即a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－16.。

导数及其应用单元质量评估检测含答案解析高二数学北京海淀

导数及其应用单元质量评估(一)(第一章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列求导运算正确的是( )A.(cos x)′=sin xB.′=cosC.′=-D.′=【解析】选D.A中，(cos x)′=-sin x，B中′=0，C中′=-2x-3，D中′=.2.一个物体的运动方程为s=1-t+t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( )A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.8米/秒【解析】选C.s′=-1+2t，故-1+6=5米/秒.3.已知曲线y=的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选A.已知曲线y=的一条切线的斜率为，因为y′=x=，所以x=1，则切点的横坐标为1.4.下列函数中，在(0，+∞)内递增的是( )A.sin2xB.xe xC.x3-xD.-x+ln(1+x)【解析】选B.选项B中，y=xe x，则在区间(0，+∞)上y′=e x+xe x=e x(1+x)>0.5.函数f(x)=ax3+bx在x=1处有极值-2，则a，b的值分别为( )A.1，-3B.1，3C.-1，3D.-1，-3【解析】选A.因为f′(x)=3ax2+b，所以f′(1)=3a+b=0. ①又x=1时有极值-2，所以a+b=-2. ②由①②解得a=1，b=-3.6.已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y=f(x)的图象大致是( )【解析】选C.当0<x<1时，xf′(x)<0，所以f′(x)<0，故y=f(x)在(0，1)上是减少的;当x>1时，xf′(x)>0，所以f′(x)>0，故y=f(x)在(1，+∞)上是增加的，因此否定A，B，D.7.已知函数f(x)=x2+f′(2)(lnx-x)，则f′(1)=( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.因为f(x)=x2+f′(2)(lnx-x)，所以f′(x)=2x+f′(2);所以f′(1)=2×1+f′(2)×(1-1)=2.8.若函数f(x)=2xf′(1)+x2，则= ()A.-B.C.-D.-【解析】选D.因为f(x)=2xf′(1)+x2，所以f′(x)=2f′(1)+2x，令x=1，得f′(1)=-2，所以f(x)=-4x+x2，则f(-1)=5，而f′(x)=-4+2x，所以f′(-1)=-6，即=-.9.函数f(x)=lnx+ax存在与直线2x-y=0平行的切线，则实数a的取值范围是( ) A.(-∞，2] B.(-∞，2)C.[0，+∞)D.(2，+∞)【解析】选B.函数f(x)=lnx+ax存在与直线2x-y=0平行的切线，即f′(x)=2在(0，+∞)上有解，而f′(x)=+a，即+a=2在(0，+∞)上有解，a=2-，因为x>0，所以2-<2，所以a的取值范围是(-∞，2).10.(2018·青岛高二检测)若函数f(x)=(a>0)在[1，+∞)上的最大值为，则a= ( )A.-1B.C.D.+1【解析】选A.由题意得f′(x)==(x>0)，所以当0<x<时，f′(x)>0，f(x)单调递增;当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减.①当>1，即a>1时，f(x)max=f()==.令=，解得a=，不合题意.②当≤1，即a≤1时，f(x)在[1，+∞)上单调递减，故f(x)max=f(1)=. 令=，解得a=-1，符合题意.综上a=-1.11.已知a，b为正实数，函数f(x)=ax3+bx+2x在[0，1]上的最大值为4，则f(x)在[-1，0]上的最小值为( )A.-B.C.-2D.2【解析】选A.因为a，b为正实数，函数f(x)=ax3+bx+2x，所以导函数f′(x)=3ax2+b+2x ln2，因为a，b为正实数，所以当0≤x≤1时，3ax2≥0，2x ln2>0，所以f′(x)>0，即f(x)在[0，1]上是增函数，所以f(1)最大且为a+b+2=4⇒a+b=2①;又当-1≤x≤0时，3ax2≥0，2x ln2>0，所以f′(x)>0，即f(x)在[-1，0]上是增函数，所以f(-1)最小且为-(a+b)+②，将①代入②得f(-1)=-2+=-.12.已知函数f(x)=x2+2x+aln x，若函数f(x)在(0，1)上单调，则实数a的取值范围是( )A.a≥0B.a<-4C.a≥0或a≤-4D.a>0或a<-4【解析】选C.因为f′(x)=2x+2+，f(x)在(0，1)上单调，所以f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0，1)上恒成立，即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0在(0，1)上恒成立，所以a≥-(2x2+2x)或a≤-(2x2+2x)在(0，1)上恒成立.记g(x)=-(2x2+2x)，0<x<1，可知-4<g(x)<0，所以a≥0或a≤-4.【补偿训练】函数f(x)=ax3-x在R上为减函数，则( )A.a≤0B.a<1C.a<0D.a≤1【解析】选A.f′(x)=3ax2-1，若a=0，则f′(x)=-1<0，f(x)在R上为减函数，若a≠0，由已知条件即解得a<0. 综上可知a≤0.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y=4-x2在x 轴上方的曲线上，则这种矩形中面积最大者的边长为__________.【解析】设点B(x，4-x2)(0<x<2)，则S=2x(4-x2)=-2x3+8x，所以S′=-6x2+8，令S′=0，即x=，另一边长为时，S=-2x3+8x取得最大值.答案:和14.(2018·全国卷Ⅲ)曲线y=e x在点处的切线的斜率为-2，则a=________.【解析】由y=(ax+1)e x，所以y′=ae x+(ax+1)e x=(ax+1+a)e x，故曲线y=(ax+1)e x在(0，1)处的切线的斜率为k=a+1=-2，解得a=-3.答案:-315.如图，y=f(x)是可导函数，直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线，令g(x)=，则g′(4)=__________.【解析】由题图知直线l过点(4，5)与(0，3)，得斜率k==，即f′(4)=，且f(4)=5.g′(x)=′=，g′(4)===-.答案:-16.已知函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是__________.【解析】由题知，x>0，f′(x)=ln x+1-2ax，由于函数f(x)有两个极值点，则f′(x)=0有两个不等的正根，即函数y=ln x+1与y=2ax的图象有两个不同的交点(x>0)，则a>0;设函数y=ln x+1上任一点(x0，1+ln x0)处的切线为l，则k l=y′=，当l过坐标原点时，=⇒x0=1，令2a=1⇒a=，结合图象知0<a<.答案:三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1处取得极值，且f(1)=-1.(1)试求常数a，b，c的值.(2)试判断x=±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由，并求函数的单调区间.【解析】(1)f′(x)=3ax2+2bx+c，由f′(1)=f′(-1)=0，得:3a+2b+c=0，①3a-2b+c=0. ②又f(1)=-1，所以a+b+c=-1，③由①②③解得a=，b=0，c=-.(2)x=-1是函数的极大值点，x=1是函数的极小值点.理由如下:f(x)=x3-x，所以f′(x)=x2-=(x-1)(x+1).当x<-1或x>1时，f′(x)>0，当-1<x<1时，f′(x)<0.所以函数f(x)在(-∞，-1)和(1，+∞)上是增函数，在(-1，1)上是减函数. 因此，当x=-1时函数取得极大值f(-1)=1.当x=1时函数取得极小值f(1)=-1.函数的增区间为(-∞，-1)和(1，+∞)，减区间为(-1，1).18.(12分)(2018·海口高二检测)已知函数f(x)=aln x-bx2，a，b∈R，若不等式f(x)≥x对所有的b∈(-∞，0]，x∈(e，e2]都成立，求a的取值范围.【解析】若不等式f(x)≥x对所有的b∈(-∞，0]，x∈(e，e2]都成立，即aln x-bx2≥x对所有的b∈(-∞，0]，x∈(e，e2]都成立，即aln x-x≥bx2对所有的b∈(-∞，0]，x∈(e，e2]都成立，即aln x-x≥0对x∈(e，e2]都成立，即a≥对x∈(e，e2]都成立，即a大于等于在区间(e，e2]上的最大值，令h(x)=，则h′(x)=，当x∈(e，e2]时，h′(x)>0，h(x)单调递增，所以h(x)=，x∈(e，e2]的最大值为h(e2)=，即a≥，所以a的取值范围为.19.(12分)(2018·北京高考)设函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]e x.(1)若曲线y= f(x)在点(1，f(1))处的切线方程与x轴平行，求a.(2)若f(x)在x=2处取得极小值，求a的取值范围.【解析】(1)因为f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]e x，所以f′(x)=[2ax-(4a+1)]e x+[ax2-(4a+1)x+4a+3]e x=[ax2-(2a+1)x+2]e x. f′(1)=(1-a)e.由题设知f′(1)=0，即(1-a)e=0，解得a=1.此时f(1)=3e≠0，所以a的值为1.(2)由(1)得f′(x)=[ax2-(2a+1)x+2]e x=(ax-1)(x-2)e x.若a>，则当x∈时，f′(x)<0;当x∈(2，+∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在x=2处取得极小值.若a≤，则当x∈(0，2)时，x-2<0，ax-1≤x-1<0，所以f′(x)>0.所以2不是f(x)的极小值点.综上可知，a的取值范围是(，+∞).20.(12分)某厂家拟对一商品举行促销活动，当该商品的售价为x元时，全年的促销费用为12(15-2x)(x-4)万元;根据以往的销售经验，实施促销后的年销售量t=12(x-8)2+万件，其中4<x<7.5，a为常数.当该商品的售价为6元时，年销售量为49万件.(1)求出a的值.(2)若每件该商品的成本为4元时，写出厂家销售该商品的年利润y万元与售价x元之间的关系.(3)当该商品售价为多少元时，厂家销售该商品所获年利润最大？【解析】(1)由已知:当x=6元时，t=49万件，所以49=12(6-8)2+，所以a=2.(2)因为y=(x-4)·t-12(15-2x)(x-4)，所以y=(x-4)·-12(15-2x)(x-4)=12(x-4)(x-8)2-12(15-2x)(x-4)+2=12(x-4)(x-7)2+2(4<x<7.5).(3)y′=12(x-7)2+24(x-4)(x-7)=36(x-7)(x-5)，令y′=0得x=7或x=5.列表如下x (4，5) 5 (5，7) 7 (7，7.5)y′+ 0 - 0 +y ↗50 ↘ 2 ↗又当x=7.5时，y=12(x-4)(x-7)2+2=12.5.故当x=5时，y最大=50，故该商品售价为5元时厂家销售该商品所获年利润最大.【误区警示】实际问题的求解不要忽视作答.21.(12分)已知函数f(x)=x3+(a-1)x2-3ax+1，x∈R.(1)讨论函数f(x)的单调区间.(2)当a=3时，若函数f(x)在区间[m，2]上的最大值为28，求m的取值范围.【解析】(1)由f(x)=x3+(a-1)x2-3ax+1，得:f′(x)=3x2+3(a-1)x-3a=3(x-1)(x+a).令f′(x)=0，得x1=1，x2=-a.①当-a=1，即a=-1时，f′(x)=3(x-1)2≥0，f(x)在(-∞，+∞)上为增函数;②当-a<1，即a>-1时，当x<-a或x>1时，f′(x)>0，f(x)在(-∞，-a)，(1，+∞)内为增函数，当-a<x<1时，f′(x)<0，f(x)在(-a，1)内为减函数;③当-a>1，即a<-1时，当x<1或x>-a时，f′(x)>0，f(x)在(-∞，1)，(-a，+∞)内为增函数，当1<x<-a时f′(x)<0，f(x)在(1，-a)内为减函数.综上，当a<-1时，f(x)在(-∞，1)，(-a，+∞)内为增函数，在(1，-a)内为减函数;当a=-1时，f(x)在(-∞，+∞)上为增函数;当a>-1时，f(x)在(-∞，-a)，(1，+∞)内为增函数，在(-a，1)内为减函数.(2)当a=3时，f(x)=x3+3x2-9x+1，x∈[m，2]，f′(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-1)，令f′(x)=0，得x1=1，x2=-3.当x变化时，f′(x)，f(x)变化状态如下表:由此表可得，f(x)极大值=f(-3)=28，f(x)极小值=f(1)=-4.又f(2)=3<28，故区间[m，2]内必须含有-3，即m的取值范围是(-∞，-3].【补偿训练】已知函数f(x)=x2-2alnx(a∈R且a≠0).(1)若f(x)在定义域上为增函数，求实数a的取值范围.(2)求函数f(x)在区间[1，2]上的最小值.【解析】(1)f′(x)=2x-2×=，若函数f(x)是定义域(0，+∞)上的单调函数，则只能f′(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，即x2-a≥0在(0，+∞)上恒成立，即只要a≤0，又a≠0，实数a的取值范围(-∞，0).(2)f′(x)=，①当a<0时，x∈[1，2]，f′(x)>0，函数递增，所以当x=1时f(x)有最小值，并且最小值为1.②当a>0时，f′(x)===，函数f(x)在区间(0，)上为减函数，在区间(，+∞)上为增函数. (ⅰ)当≤1时，即0<a≤1时，函数在[1，2]上为增函数，所以当x=1时f(x)有最小值，并且最小值为1，(ⅱ)当1<≤2即1<a≤4时，函数在[1，]上为减函数，在[，2]上为增函数;所以当x=时f(x)有最小值，并且最小值为 a-aln a;(ⅲ)当>2即4<a时，函数在[1，2]上递减，所以当x=2时f(x)有最小值，并且最小值为4-2aln 2.22.(12分)已知函数f(x)=lnx-ax2-2x(a<0).(1)若函数f(x)在定义域内单调递增，求a的取值范围.(2)若a=-且关于x的方程f(x)=-x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围.【解析】(1)f′(x)=-(x>0)，依题意f′(x)≥0在(0，+∞)上时恒成立，即ax2+2x-1≤0在(0，+∞)上恒成立.则a≤在(0，+∞)上恒成立，即a≤，x>0，当x=1时，-1取最小值-1，所以a的取值范围是(-∞，-1].(2)a=-，f(x)=-x+b，所以x2-x+ln x-b=0，设g(x)=x2-x+ln x-b(x>0)，则g′(x)=，列表:x (0，1) 1 (1，2) 2 (2，4)g′(x) + 0 - 0 +g(x) ↗-b-↘ln 2-b-2 ↗所以g(x)极小值=g(2)=ln 2-b-2，g(x)极大值=g(1)=-b-，又g(4)=2ln 2-b-2，因为方程g(x)=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根.则得ln 2-2<b≤-.。