浙江专用202x版高考数学大一轮复习第七章不等式推理与证明7.3基本不等式与绝对值不等式
2020版高考数学大一轮复习第七章不等式、推理与证明7.3基本不等式与绝对值不等式课件
1.掌握基本不等式 ab ≤
(a>0,b>0)及其应用.
考向分 析
2.会解|x+b|≤c,|x+b|≥c,|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c 型不等式. 3.了解不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|. 基本不等式主要考查基本运算与转化化归思想,注重与 函数、充要条件、实际应用等交汇.在求函数的最值时, 应特别注意等号成立的条件. 绝对值不等式是最近两年中新增加的内容,并且在最近 几年的高考中考查频繁,难度也比较大.
7.3
基本不等式与绝对值不等式
-2-
2018 年份 基本不 等式 绝对值 不等式 考查要 求
2017 17,4 分
2016
2015
2014
20,14 分(文) 16,4 分(文) 18,15 分(理) 10,5 分(理) 18,15 分(理) 17,4 分 20,14 分(理) 22,14 分(理)
������+������ 2
������������称为正数 a,b 的几何
������+������ 2 (2)ab≤ (a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号. 2 ������2 +������2 ������+������ 2 (3) ≥ (a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号. 2 2 ������ ������ (4) + ≥2 (a,b 同号),当且仅当 a=b 时取等号. ������ ������
关闭
因为 a,b∈R+,且(a+b)(a+2b)+a+b=9, 所以(a+b)(a+2b+1)=9. 所以(2a+2b)(a+2b+1)=18. 又 3a+4b+1=(2a+2b)+(a+2b+1)≥2 (2������ + 2������)(������ + 2������ + 1)=6 2, 当且仅当 2a+2b=a+2b+1 时,等号成立, 所以 3a+4b 的最小值为 6 2-1.
(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第七章不等式、推理与证明7.2二元一次不等式组与简单的线性规
A(1,0)顺时针旋转到直线 AC 均可满足题意,而 k AB =2,kAC=-1,即
C.(-2,1)
D.(-2,4)
-1<<2⇒-4<a<2.故选
B.
关闭
2
关闭
B
解析
-21答案
考点一
考点二
考点三
对点训练 (2021浙江丽水中学模拟)假设实数x,y满足不等式组
2- ≥ 0,
几何的双重形式,多与函数、平面向量、解析几何等问题穿插渗透,
归纳起来常见的命题角度有:(1)求线性目标函数的最值;(2)线性目
标函数的最值求参数;(3)求非线性目标函数的最值.
-16-
考点一
考点二
类型一
考点三
求线性目标函数的最值
≥ 0,
≥ 0,
+ -3 ≥ 0,
【例2】 (2021浙江卷,4)假2-4
考点三 ≤ 0,
二元一次不等式(组)表示平面区域(考点难度★★)
由约束条件
作出可行域如图中阴影所示,
+ 3-4 ≥ 0,
+ 2-4 ≤ 0,
+ 3-4 ≥ 0,
【例1】 假设不等式组
表示
≥0
≥0
若 a≤0,则约束条件表示的平面区域不是三角形,不合题意;
的平面区域是等腰三角形区域,那么实数a的值为
C
关闭
解析
答案
-8知识梳理
双击自测
3.投资生产A产品时,每生产100吨需要资金200万元,需场地200平
方米;投资生产B产品时,每生产100吨需要资金300万元,需场地100
平方米.现某单位可使用资金1 400万元,场地900平方米,那么上述
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.2 基本不等式及其应用课件 文
3.(1)已知不等式恒成立求参数取值范围的一般方法是分离参数
法,且有a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max,a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min;
(2)求最值时要注意其中变量的条件,有些不能用基本不等式的问
题可考虑利用函数的单调性.
12/11/2021
19
考点1
考点2
联系,当已知条件中含有1时,要注意1的代换.另外,解题中要时刻注
意等号能否取到.
12/11/2021
10
考点1
考点2
考点3
对点训练 1 已知 a>0,b>0,a+b=1,求证: 1 +
1
1+
1
≥9.
证明 (方法一)∵a>0,b>0,a+b=1,
1
+
∴1+=1+ =2+.
1
同理,1+=2+.
4.若 a>0,b>0,且 a+b=4,则下列不等式恒成立的是
1
A.
≤
1
4
( D )
1 1
B. + ≤1
C. ≥2
D.a2+b2≥8
解析:4=a+b≥2 (当且仅当 a=b 时,等号成立),
1
1
1
1
即 ≤2,ab≤4, ≥ 4,选项 A,C 不成立; + =
+
4
因为 a-3b+6=0,所以 a-3b=-6.
1
1
4
1
1
4
(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第七章不等式、推理与证明7.1不等关系与一元二次不等式课件
有以下两种方法:
(法一)令 g(x)=m
1 2
- 2
3
+ 4m-6,x∈[1,3].
当 m>0 时,g(x)在区间[1,3]上是增函数,
所以 g(x)max=g(3)⇒7m-6<0,
6
6
所以 m<7 ,所以 0<m<7.
当m=0时,-6<0恒成立;
当m<0时,g(x)在区间[1,3]上是减函数,
-26-
1
①当 a>0 时,原不等式可以化为 a(x-2) - <0,
根据不等式的性质,这个不等式等价于(x-2)· 1
1
1
<0.
因为方程(x-2) - =0 的两个根分别是 2, ,
1
1
所以当 0<a<2 时,2<,
则原不等式的解集是 2 < <
1
1
;
当 a=2 时,原不等式的解集是⌀ ;
当 a> 时,不等式的解集为
<<2 .
-21-
考点一
考点二
考点三
方法总结1.解不含参数的一元二次不等式时,当二次项系数为负
时要先化为正,再根据判别式符号判断对应方程根的情况,然后结
合相应二次函数的图象写出不等式的解集.
2.解含参数的一元二次不等式,要把握好分类讨论的层次,一般按
下面次序进展讨论:首先根据二次项系数的符号进展分类,其次根
(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac> bc;a>b>0,c>d>0⇒ac> bd.
(5)可乘方:a>b>0⇒an> bn(n∈N,n≥1).
(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第七章不等式、推理与证明7.5数学归纳法课件
数学归纳法
-2-
2018
2017
2016 2015 2014
年份
数学归
22(1),4 分
纳法
考查要
会用数学归纳法证明一些简单数学问题.
求
本节内容主要和数列、不等式等问题综合考查,题型以解
考向分
答题为主.能力考查主要为用数学归纳法证明数学命题
析
的能力,分析问题、解决问题的能力,难度为中、高档.
1
1
1
2
3
2
n=k+1不等式左边增添的项数是(
A.k
B.2k-1
C.2k
D.2k+1
)
4.用数学归纳法证明不等式 + +…+ ≤n(n∈N*)时,从 n=k 到
关闭
1
1
1
1
2
3
1
∵当 n=k 时,不等式左边为2 + 3+…+2 ,共有 2k-1 项,
当 n=k+1 时,不等式左边为 + +…+
n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.
2.数学归纳法的适用范围
数学归纳法主要用于解决与正整数 有关的数学命题,证明时,
它的两个步骤(归纳奠基与归纳递推)缺一不可.
-4知识梳理
双击自测
3.数学归纳法的框图表示
-5知识梳理
双击自测
1
1
1
1.用数学归纳法证明 1+2 + 3+…+2 -1<n(n∈N*,n>1)时,第一步应验
即当n=k+1时等式也成立.
根据(1)和(2),可知等式对所有n∈N*都成立.
(浙江专版)高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式及不等式的应用学案-人教版高三全册数
§7.4基本不等式及不等式的应用考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计2013 2014 2015 2016 20171.基本不等式会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.掌握21(2),7分21(2),7分16(文),4分14,约2分15,6分2.不等式的综合应用1.能够灵活运用不等式的性质求函数定义域、值域.2.能够应用基本不等式解决简单的最值问题,熟练掌握运用不等式解决应用题.掌握7,5分16(文),4分10,5分22(2),7分18,15分20,15分20(文),8分20(文),15分17,4分分析解读 1.基本不等式是不等式这章的重要内容之一,主要考查用基本不等式求最值.2.不等式的综合应用问题常结合函数、导数、数列、解析几何等知识,难度较大,不等式的综合应用是高考命题的热点.3.预计2019年高考中,仍会对利用基本不等式求最值进行考查.不等式综合应用问题仍是考查的重点之一,考查仍会集中在与函数、数列、解析几何相综合的题目上,复习时应引起高度重视.五年高考考点一基本不等式1.(2013山东,12,5分)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当取得最大值时,+-的最大值为( )A.0B.1C.D.3答案 B2.(2014浙江文,16,4分)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是.答案3.(2017山东文,12,5分)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.答案84.(2017天津文,13,5分)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为.答案 45.(2013天津,14,5分)设a+b=2,b>0,则当a= 时,+取得最小值.答案-2考点二不等式的综合应用1.(2014浙江,10,5分)设函数f1(x)=x2, f2(x)=2(x-x2), f3(x)=|sin 2πx|,a i=,i=0,1,2,…,99.记I k=|f k(a1)-f k(a0)|+|f k(a2)-f k(a1)|+…+|f k(a99)-f k(a98)|,k=1,2,3,则( )A.I1<I2<I3B.I2<I1<I3C.I1<I3<I2D.I3<I2<I1答案 B2.(2017天津理,8,5分)已知函数f(x)=设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立,则a的取值范围是( )A. B.C.[-2,2]D.答案 A3.(2013课标全国Ⅰ,11,5分)已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是( )A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[-2,1]D.[-2,0]答案 D4.(2013浙江文,16,4分)设a,b∈R,若x≥0时恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2,则ab= .答案-15.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.答案306.(2014重庆,16,5分)若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是.答案7.(2016浙江文,20,15分)设函数f(x)=x3+,x∈[0,1].证明:(1)f(x)≥1-x+x2;(2)< f(x)≤.证明(1)因为1-x+x2-x3==,由于x∈[0,1],有≤,即1-x+x2-x3≤,所以f(x)≥1-x+x2.(2)由0≤x≤1得x3≤x,故f(x)=x3+≤x+=x+-+=+≤, 所以f(x)≤.由(1)得f(x)≥1-x+x2=+≥,又因为f=>,所以f(x)>.综上,<f(x)≤.8.(2015课标Ⅱ,24,10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若ab>cd,则+> +;(2)+> +是|a-b|<|c-d|的充要条件.证明(1)因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,由题设a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+)2.因此+> +.(2)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得+> +.(ii)若+> +,则(+)2>(+)2,即a+b+2>c+d+2.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.9.(2015湖南,16(3),6分)设a>0,b>0,且a+b=+.证明:(1)a+b≥2;(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.证明由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2=2,即a+b≥2.(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则由a2+a<2及a>0得0<a<1;同理,0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾.故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.教师用书专用(10)10.(2013湖南,20,13分)在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明);(2)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小.解析设点P的坐标为(x,y).(1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,x∈R,y∈[0,+∞).(2)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值.①当y≥1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|.因为d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|,(*)当且仅当x=3时,不等式(*)中的等号成立.又因为|x+10|+|x-14|≥24,(**)当且仅当x∈[-10,14]时,不等式(**)中的等号成立.所以d1(x)≥24,当且仅当x=3时,等号成立.d2(y)=2y+|y-20|≥21,当且仅当y=1时,等号成立.故点P的坐标为(3,1)时,P到三个居民区的“L路径”长度之和最小,且最小值为45.②当0≤y≤1时,由于“L路径”不能进入保护区,所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|,此时,d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21.由①知,d1(x)≥24,故d1(x)+d2(y)≥45,当且仅当x=3,y=1时等号成立.综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一基本不等式1.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,9)已知实数m满足|m|≥1,且b=ma+m2+2,则a2+b2的最小值为( )A.2B.4C.D.答案 D2.(2018浙江高考模拟训练冲刺卷一,7)已知b>2a>0,则M=的最小值是( )A.2B.2C.4D.8答案 C3.(2017浙江“超级全能生”3月联考,16)已知1=x2+4y2-2xy(x<0,y<0),则x+2y的取值范围为.答案[-2,-1)4.(2017浙江绍兴质量调测(3月),16)已知正实数x,y满足xy+2x+3y=42,则xy+5x+4y的最小值为. 答案55考点二不等式的综合应用5.(2018浙江杭州二中期中,17)已知正实数x,y满足x+3y++=10,则xy的取值范围为.答案6.(2017浙江宁波期末,16)若正实数a,b 满足(2a+b)2=1+6ab,则的最大值为.答案7.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,16)已知4y>x>0,且+≤m恒成立,则m的最小值是. 答案28. (2016浙江名校协作体测试,13)若存在正实数y,使得=,则实数x的最大值为.答案B组2016—2018年模拟·提升题组一、选择题1.(2018浙江9+1高中联盟期中,6)已知实数a>0,b>0,+=1,则a+2b的最小值是( )A.3B.2C.3D.2答案 B2.(2017浙江镇海中学阶段测试(一),7)已知x2+4xy-3=0,其中x>0,y∈R,则x+y的最小值是( )A. B.3 C.1 D.2答案 A二、填空题3.(2018浙江镇海中学期中,14)设实数x,y满足4x2-2xy+y2=8,则2x+y的最大值为,4x2+y2的最小值为.答案4;4.(2018浙江杭州二中期中,14)已知实数x,y满足则z=y+2x的最小值为;当实数u,v 满足u2+v2=1时,ω=ux+vy的最大值为.答案;25.(2017浙江五校联考(5月),17)设实数x>0,y>0,且x+y=k,则使不等式≥恒成立的k的最大值为.答案26.(2017浙江金华十校联考(4月),17)已知实数x,y,z满足则xyz的最小值为.答案9-327.(2017浙江名校新高考研究联盟测试一,16)已知正数a,b满足3a+b=14,则+的最小值为. 答案 3C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 利用基本不等式求最值的解题策略1.(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,15)已知x>0,y>0,xy=x+2y,若x+2y≥m2+2m恒成立,则实数m 的取值范围是.答案[-4,2]方法2 不等式综合应用的解题策略2.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷一,17)已知正实数x,y满足x++2y+=6,则xy的取值范围为.答案。
(浙江专用)高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式及不等式的应用课件.pptx
当且仅当 b = | a且| a<0,即b=-2a,a=-2时, +1 取| a得| 最小值.
4|a| b
2|a| b
b |a| a 4|a| b 4|a|
评析 本题主要考查均值不等式及其应用,着重考查运算变形能力.
7
考点二 不等式的综合应用
x2 x 3, x 1,
1.(2017天津理,8,5分)已知函数f(x)= 成立,则a的取值范围是( )
tan B tan C 1
= 2(ta,n B tan C)2
tan B tan C 1
令tan Btan C-1=t,则t>0,∴tan Atan Btan C= 2(t =21)2
Btan C=2时,取“=”.
t
≥2t ×(1t2+22)=8,当且仅当t=
∴tan Atan Btan C的最小值为8.
=- tan=B t,an C tan B tan C
1 tan B tan C tan B tan C 1
又△ABC为锐角三角形,
∴tan A= tan>B0,tatnanBC+tan C>0,∴tan Btan C>1,
tan B tan C 1
∴tan Atan Btan C= tan·tBan Bta·ntCan C
②当x>1时,关于x的不等式f(x)≥ x 在a R上恒成立等价于-
2
≤x
2 x
+a≤x x+
2
在2R上恒成立,即
x
有-
3 2
x≤a2x≤
+ x 在2R上恒成立,由于x>1,所以-
2x
≤ 32-x2
2020版高考文科数学第一轮复习课件：第七章 不等式、推理与证明7-3
当且仅当12x＝5x0，即 x＝10 时，取“＝”． 故销售量至少应达到443万件时，才能使技术革新后的销售收 入等于原销售收入与总投入之和．
利用基本不等式求解实际问题的 2 个注意点 (1)利用基本不等式解决实际问题时，应明确其中的数量关 系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不 等式求解． (2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到， 可利用函数单调性求解．
[对点训练]
1．(2018·天津月考)已知 a，b 是正数，且 4a＋3b＝6，则 a(a
＋3b)的最大值是( )
9 A.8
9 B.4
C．3
D．9
[解析] ∵a>0，b>0,4a＋3b＝6，∴a(a＋3b)＝13·3a(a＋3b)≤13
3a＋a2＋3b2＝13×622＝3，当且仅当 3a＝a＋3b，即 a＝1，b＝23时， a(a＋3b)的最大值是 3.故选 C.
[答案] (1)4 (2)6
(1) 利用基本( 均值)不等式时一定要注意应用的前提“一 正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是 指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等” 是指满足等号成立的条件．
(2)在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特征灵 活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本(均值)不 等式．
[答案] C
2．若实数 a，b 满足1a＋2b＝ ab，则 ab 的最小值为(
)
A. 2 B．2 C．2 2 D．4
[解析] 解法一：由已知得1a＋2b＝b＋ab2a＝ ab，且 a>0，b>0，
∴ab ab＝b＋2a≥2 2 ab，当且仅当 a＝4 2，b＝24 2时“＝” 成立．∴ab≥2 2.故选 C.
(浙江专用)高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.3 简单的线性规划课件.pptx
x y
2y 2
5
0,
解得A(-1,2),所以zmax=-1+2×2=3.故选D.
x
∴z的最大值为3+2×3=9.故选D.
12
x 2 y 5 0,
4.(2017山东文,3,5分)已知x,y满足约束条件
x
3则 z0=, x+2y的最大值是
(
)
y 2,
A.-3 B.-1 C.1 D.3
答案 D 本题考查简单的线性规划. 画出可行域如图:
作直线l0:y=- 1 x.
2
经平移可得z=x+2y在点A处取得最大值,由
由于a>0,b>0,所以目标函数z=ax+by在点A(2,1)处取得最小值,即2a+b=2 5. 解法一:a2+b2=a2+(2 5-2a)2=5a2-8 a5+20=( a-54)2+4≥4,即a2+b2的最小值为4. 解法二: a表2 示b2坐标原点与直线2a+b=2 上的点5 之间的距离,故 的最小a值2 为b2
2 =52,即a2+b2的最小值为4.
22 12
4
评析 本题考查线性规划与最值问题,考查学生运算求解能力以及数形结合和转化与化归思想 的应用能力.
2x y 2 0,
4.(2013山东,6,5分)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组
x
2所y 表1 示 0的, 区域上一动点,
3x y 8 0
2
x y 2,
2.(2016山东,4,5分)若变量x,y满足 2x 则3yx2+9y,2的最大值是 ( )
x 0,
A.4 B.9 C.10 D.12 答案 C 作出不等式组所表示的平面区域,如图(阴影部分)所示,
浙江专用高考数学大一轮复习第七章不等式推理与证明考点规范练35数学归纳法
1
A.当 n=6 时,该命题不成立 B.当 n=6 时,该命题成立 C.当 n=4 时,该命题不成立 D.当 n=4 时,该命题成立
答案 C
6.在数列{an}中,已知 a1=2,an+1=3anan+ 1(n∈N*),依次计算出 a2,a3,a4 的值分别为 ;归纳可知 an= .
答案27,123,129 6n2- 5
2
2
解析
a1=2,a2=3
×
2 2
+
1
=
27,a3=3
×
7
2 7
+
1
=
123,a4=3
×
13
2 13
+
1
=12+22+…+k2+(k+1)2+k2+…+22+12. 8.用数学归纳法证明“当 n 为正偶数时,xn-yn 能被 x+y 整除”第一步应验证 n= 时,命题成立; 第二步归纳假设成立应写成 .
答案 2 x2k-y2k 能被 x+y 整除
解析因为 n 为正偶数,故第一个值 n=2,第二步假设 n 取第 k 个正偶数成立,即 n=2k,故应假设成 x2k-
y2k 能被 x+y 整除.
能力提升组
9.用数学归纳;
2
1 ×
3
+
3
1 ×
4+…+n(n1+
1)
=
n
高三数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.2 基本不等式及其应用
∴ 1 + 1 1 + 1 = 2 + ������ 2 + ������
������
������
������
������
=5+2
������ + ������
������ ������
≥5+4=9,
当且仅当������
������
=
������������ ,
即 a=b=12时,等号成立.
∴ 1+1
考点1
考点2
考点3
考点 2 利用基本不等式求最值(多考向)
考向一 求不含等式条件的函数最值
例2(1)下列命题正确的是( )
A.函数 y=x+1的最小值为 2
������
B.函数
y=
������2+3 的最小值为
������ 2+2
2
C.函数 y=2-x-���4���(x>0)的最大值为-2
D.函数 y=2-x-4(x>0)的最小值为-2
+
������ ������
≥2+2=4
当且仅当������
= ������
=
1 2
时,等号成立
.
∴1
������
+
1 ������
+
���1���������≥8
当且仅当������
=
������
=
1 2
时,等号成立
.
考点1
考点2
考点3
-15-
解题心得利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一 种情况,要从整体上把握运用基本不等式,对不满足使用基本不等 式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项,并项,也可 乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等.
(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第七章不等式、推理与证明7.4直接证明与间接证明课件
D.a,b,c都是偶数
关闭
“恰有一个偶数”的对立面是“没有偶数或至少有两个偶数”.
关闭
B
解析
答案
-9知识梳理
双击自测
3.三角形的三边分别为a,b,c,内切圆的半径为r,那么三角形的面
1
积为 S=2(a+b+c)r;四面体的四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,内切球
的半径为 R,类比三角形的面积可得四面体的体积为(
直接,或证明过程中所需要用到的知识不太明确、具体时,往往采
用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易
推导时,常考虑用分析法.用分析法证明的格式为“要证—只需
-22证—〞的格式.
考点一
考点二
考点三
1
对点训练(2018 浙江余姚中学模拟)设 a1> ,对于 n≥1,有
12
an+1= ( + 2) + 1.
原命题成立 的证明方法.
(2)用反证法证明的一般步骤:①反设——假设命题的结论不成立;
②归谬——根据假设进展推理,直到推出矛盾为止;③结论——断
言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立.
-7知识梳理
双击自测
1.要证a2+b2-1-a2b2≤0只要证明(
A.2ab-1-a2b2≤0
2
(+)
C.
2
-1-a2b2≤0
FCG=
=
6
4
,sin∠FCG=
33
11
.
故 CF 与平面 ABCD 所成角的正弦值为
33
11
.
方法总结1.用综合法证明是从条件出发,逐步推向结论,综合法的
(浙江专版)高考数学大一轮复习第七章数列与数学归纳法专题探究课三高考中数列不等式证明的热点题型课件理
第一步：归纳猜想； 第二步：用数学归纳法证明； 第三步：验证n＝1时(2)的结论成立； 第四步：用放缩法证明n≥2时(2)的结论成立； 第五步：验证n＝1时(3)的结论成立. 第六步：用放缩法证明n≥2时(3)的结论成立.
【训练 1】 (2018·温州模拟)数列{an}的各项均为正数，且 an＋1＝an＋a2n－1(n∈N*)， {an}的前 n 项和是 Sn. (1)若{an}是递增数列，求 a1 的取值范围； (2)若 a1>2，且对任意 n∈N*，都有 Sn≥na1－13(n－1)，
于是 Sn＝a1＋a2＋…＋an≥a1＋(n－1)a1－13＝na1－13(n－1). 再证：②当73<a1≤3 时不合题意. 事实上，当 3≥a1>73时，设 an＝bn＋2， 则由 an＋1＝an＋a2n－1 可得 bn＋1＝bn＋bn＋2 2－1，
得bbn＋n 1＝bbnn＋ ＋12≤bb11＋＋12≤23
高考导航 1.数列中不等式的证明是浙江高考数学试题的压轴题；2.主要考查数学归纳 法、放缩法、反证法等数列不等式的证明方法，以及不等式的性质；3.重点考查学生 逻辑推理能力和创新意识.
热点一 数学归纳法证明数列不等式(规范解答)
数学归纳法是解决和正整数有关命题的证明方法，可以借助递推公式，证明由 特殊到一般的结论成立问题.因此，可以在数列不等式的证明中大显身手.
因为由73<a1≤3得13<b1≤1， 于是数列{bn}的前 n 项和 Tn≤b1·1－1－2323n<3b1≤3， 故 Sn＝2n＋Tn<2n＋3＝na1＋(2－a1)n＋3.(*) 令 a1＝73＋t(t>0)，则由(*)式得 Sn<na1＋(2－a1)n＋3＝na1－13(n－1)－tn＋83， 只要 n 充分大，就有 Sn<na1－13(n－1)，
(浙江专用)高考数学大一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 考点规范练33 基本不等式与绝对值不等式
考点规X 练33 基本不等式与绝对值不等式基础巩固组1.下列不等式一定成立的是()A.lg (x 2+14)>lg x (x>0) B.sin x+1sin x ≥2(x ≠k π,k ∈Z ) C.x 2+1≥2|x|(x ∈R ) D .1x 2+1<1(x ∈R )x>0时,x 2+14≥2·x ·12=x ,所以lg (x 2+14)≥lg x (x>0),故选项A 不正确;运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”,而当x ≠k π,k ∈Z 时,sin x 的正负不定,故选项B 不正确;由基本不等式可知,选项C 正确;当x=0时,有1x 2+1=1,故选项D 不正确. 2.若a ,b 都是正数,则(1+x x )·(1+4xx)的最小值为()A.7B.8C.9D.10a ,b 都是正数,∴(1+x x )(1+4xx)=5+x x +4xx≥5+2√xx·4xx=9,当且仅当b=2a>0时取等号.故选C .3.(2018某某平湖模拟)已知a 为实数,则|a|≥1是关于x 的绝对值不等式|x|+|x-1|≤a 有解的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件|a|≥1,得a ≤-1或a ≥1,因为关于x 的绝对值不等式|x|+|x-1|≤a 有解,而|x|+|x-1|=|x|+|1-x|≥|x+1-x|=1,所以a ≥1.所以|a|≥1是关于x 的绝对值不等式|x|+|x-1|≤a 有解的必要不充分条件.故选B .4.若a>b>1,P=√lg x ·lg x ,Q=12(lg a+lg b ),R=lg (x +x 2),则()A.R<P<QB.Q<P<RC.P<Q<RD.P<R<Qa>b>1,∴lg a>lg b>0,12(lg a+lg b)>√lg x·lg x,即Q>P.∵x+x2>√xx,∴lg x+x2>lg√xx=12(lg a+lg b)=Q,即R>Q.∴P<Q<R.5.已知实数x,y满足xy-3=x+y,且x>1,则y(x+8)的最小值是()A.33B.26C.25D.21xy-3=x+y,得y=x+3x-1,∴y(x+8)=(x+3)(x+8)x-1=(x-1)2+13(x-1)+36x-1=x-1+36x-1+13,由x-1>0可知,x-1+36x-1+13≥2×6+13=25,当且仅当x=7时等号成立.故y(x+8)的最小值为25.6.(2018某某余姚中学模拟)若实数a,b满足1x +2x=√xx,则ab的最小值为.√21 x +2x=√xx,∴a>0,b>0,√xx=1x+2x≥2√1x×2x=2√2xx.∴ab≥2√2(当且仅当b=2a时取等号),即ab的最小值为2√2.7.不等式|x-3|+|x+1|>6的解集为.-∞,-2)∪(4,+∞):当x<-1时,不等式化为-(x-3)-(x+1)>6,解得x<-2;当-1≤x≤3时,-(x-3)+(x+1)>6,不成立;当x>3时,(x-3)+(x+1)>6,得x>4.综上可知x∈(-∞,-2)∪(4,+∞).方法二:|x-3|+|x+1|>6表示数轴上到-1和3的距离之和大于6的点的集合,因为-1和3之间的距离为4,所以由不等式的几何意义可知x<-2或x>4.8.(2018某某某某一中模拟)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是.x+2y+2xy=8,∴x·2y=8-(x+2y)≤(x+2x2)2,解不等式得x+2y≥92.故填92.能力提升组9.已知f(x)=a|x-2|,若f(x)<x恒成立,则a的取值X围为()A.a≤-1B.-2<a<0C.0<a<2D.a≥1,得f (x )={x (x -2),x ≥2,x (2-x ),x <2,易知当a ≥0时,f (x )<x 不恒成立,故a<0.在同一直角坐标系中作出y=f (x )与y=x 的图象如图所示,观察可知f (x )<x ⇔-a ≥1,即a ≤-1.故选A . 10.已知xy=1,且0<y<√22,则x 2+4x 2x -2x的最小值为() A.4 B .92C.2√2D.4√2xy=1且0<y<√22,所以x>√2,所以x-2y>0.x 2+4x 2x -2x=(x -2x )2+4xxx -2x=x-2y+4x -2x ≥4,当且仅当x=√3+1,y=√3-12时等号成立.故选A .11.设函数f (x )=|2x-1|,若不等式f (x )≥|x +1|-|2x -1||x |对任意实数a ≠0恒成立,则x 的取值X 围是()A.(-∞,-1]∪[3,+∞)B.(-∞,-1]∪[2,+∞)C.(-∞,-3]∪[1,+∞)D.(-∞,-2]∪[1,+∞),令g (a )=|x +1|-|2x -1||x |(a ≠0),不等式f (x )≥g (a )对任意实数a ≠0恒成立,等价于函数f (x )大于或等于g (a )的最大值,由函数g (a )的解析式,可对a 的取值X 围进行分段讨论,当a ≤-1时,g (a )=x -2-x =-1+2x;当-1<a<0时,g (a )=-3,当0<a<12时,g (a )=3;当a ≥12时g (a )=-x +2x=-1+2x ,从而可得g (a )的最大值为g (a )max =g (12)=-1+212=3,所以有|2x-1|≥3,即2x-1≤-3或2x-1≥3,解得x ≤-1或x ≥2.故选B .12.若实数x ,y 满足xy>0,则x x +x +2xx +2x 的最大值为() A.2-√2 B.2+√2 C.4+2√2 D.4-2√2+2xx +2x=x (x +2x )+2x (x +x )(x +x )(x +2x )=x 2+4xx +2x 2x 2+3xx +2x 2=1+xx x 2+3xx +2x 2=1+1x x+3+2x x≤1+3+2√2=4-2√2,当且仅当xx =2xx,即x 2=2y 2时取等号.故选D .13.若正数x ,y ,a 满足ax+y+6=xy ,且xy 的最小值为18,则a 的值为() A.1 B.2 C.3 D.4x ,y ,a 满足ax+y+6=xy ,且ax+y ≥2√xxx ,即有xy ≥6+2√xxx ,令t=√xx ,即为t 2-2√x t-6≥0,由xy 的最小值为18,可得3√2为方程t 2-2√x t-6=0的解,即有18-6√2x -6=0,解得a=2. 14.已知a>0,b>0,且22+x+1x +2x=1,则a+b 的最小值是,此时a=.√2+12 √2a+b=12(2+a+a+2b )-1=12(2+a+a+2b )·(22+x +1x +2x )-1=12[3+2(x +2x )2+x+2+x x +2x ]-1≥12(3+2√2(x +2x )2+x·2+x x +2x )-1=12+√2,当且仅当a=√2,b=12时取等号.15.设a+b=2,b>0,则当a=时,12|x |+|x |x取得最小值为.234a+b=2,所以12|x |+|x |x=x +x 4|x |+|x |x=x 4|x |+x 4|x |+|x |x,由于b>0,|a|>0,所以x4|x |+|x |x ≥2√x 4|x |·|x |x=1,因此当a>0时,12|x |+|x |x的最小值是14+1=54.当a<0时,12|x |+|x |x的最小值是-14+1=34.故12|x |+|x |x的最小值为34,此时{x4|x |=|x |x,x <0,即a=-2.16.(2018某某余姚中学模拟)已知不等式|x+2|+|x|≤a 的解集不是空集,则实数a 的取值X 围是;若不等式|x 2+x-1|+|x 2+x+1|≥|x +1|-|3x -1||x |对任意实数a 恒成立,则实数x 的取值X 围是.≥2 x ∈(-∞,-2]∪[1,+∞)|x+2|+|x|的最小值为2,∴要使不等式|x+2|+|x|≤a 的解集不是空集,则有a ≥2.化简不等式|x 2+x-1|+|x 2+x+1|≥|x +1|-|3x -1||x |有|x +1|-|3x -1||x |={ -2+2x ,x ≤-1,-4,-1<x <0,4,0<x <13,2x -2,x ≥13,即|x 2+x-1|+|x 2+x+1|≥4.而|x 2+x-1|+|x 2+x+1|={2x 2+2x ,x ≤-1-√52或x ≥-1+√52,2,-1-√52<x <-1+√52,由当2x 2+2x ≥4时满足题意,解得x ≤-2或x ≥1. 故x 的取值X 围是(-∞,-2]∪[1,+∞).17.(2018某某临安模拟)已知函数f (x )=|2x+b|+|2x-b|. (1)若b=1,解不等式f (x )>4.(2)若不等式f (a )>|b+1|对任意的实数a 恒成立,求b 的取值X 围.∵函数f (x )=|2x+b|+|2x-b|,∴b=1时,不等式f (x )>4即|2x+1|+|2x-1|>4, 它等价于{x ≥12,4x >4或{x ≤-12,-4x >4或{-12<x <12,2>4,解得x>1或x<-1或x ∈⌀;故不等式f (x )>4的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).(2)∵f (a )=|2a+b|+|2a-b|=|2a+b|+|b-2a|≥|(2a+b )+(b-2a )|=|2b|, 当且仅当(2a+b )(b-2a )≥0时f (a )取得最小值|2b|;∴令|2b|>|b+1|,得(2b )2>(b+1)2,解得b<-13或b>1.∴b 的取值X 围是(-∞,-13)∪(1,+∞).18.(2018某某某某学军中学高三模拟)已知函数f (x )=ax 2+bx+c (a ,b ,c ∈R ),当x ∈[-1,1]时,|f (x )|≤1. (1)求证:|b|≤1;(2)若f (0)=-1,f (1)=1,某某数a 的值.f (1)=a+b+c ,f (-1)=a-b+c ,所以b=12[f (1)-f (-1)].因为当x ∈[-1,1]时,|f (x )|≤1, 所以|f (1)|≤1,|f (-1)|≤1,所以|b|=12|f (1)-f (-1)|≤12[|f (1)|+|f (-1)|]≤1.f (0)=-1,f (1)=1可得c=-1,b=2-a ,所以f (x )=ax 2+(2-a )x-1.当a=0时,不满足题意,当a ≠0时,函数f (x )图象的对称轴为x=x -22x ,即x=12−1x . 因为x ∈[-1,1]时,|f (x )|≤1,即|f (-1)|≤1,所以|2a-3|≤1,解得1≤a ≤2.所以-12≤12−1x ≤0.所以|x (12-1x )|=|x (12-1x )2+(2-a )(12-1x )-1|≤1, 整理得|(x -2)24x+1|≤1.所以-1≤(x -2)24x +1≤1.所以-2≤(x -2)24x≤0.又a>0,所以(x -2)24x≥0.24x =0,所以a=2.所以(x-2)。