11知识讲解_正弦函数、余弦函数的性质_基础

正弦函数、余弦函数的性质

【学习目标】

1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义；

2.理解正弦函数、余弦函数在区间]2,0[π上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)．

【要点梳理】

要点一：周期函数的定义

函数)(x f y =，定义域为I ，当I x ∈时，都有)()(x f T x f =+，其中T 是一个非零的常数，则)(x f y =是周期函数，T 是它的一个周期. 要点诠释：

1.定义是对I 中的每一个x 值来说的，只有个别的x 值满足)()(x f T x f =+或只差个别的x 值不满足

)()(x f T x f =+都不能说T 是)(x f y =的一个周期.

2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.

要点二：正弦函数、余弦函数的图象和性质

（1）正弦函数、余弦函数的值域为[]1,1-，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是[]1,1-，因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域．

（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求

sin()y x =-的单调递增区间时，

应先将sin()y x =-变换为sin y x =-再求解，相当于求sin y x =的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先

求定义域．

要点三：正弦型函数sin()y A x ωϕ=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的性质． 函数sin()y A x ωϕ=+与函数cos()y A x ωϕ=+可看作是由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =类似地得到： （1）定义域：R （2）值域：[],A A -

（3）单调区间：求形如sin()y A x ωϕ=+与函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x ωϕ+视为一个“整体”，分别与正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的单调递增（减）区间对应解出x ，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由

)(2

22

2Z k k x k ∈+

≤+≤-

π

πϕωπ

π解出x 的范围所得区间即为增区间，由

)(2

3222Z k k x k ∈+≤+≤+ππϕωππ解出x 的范围，所得区间即为减区间．

（4）奇偶性：正弦型函数sin()y A x ωϕ=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>不一定具备奇偶性．对于函数sin()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为奇函数，当()2

k k z π

ϕπ=±∈时为偶函数；

对于函数cos()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为偶函数，当()2

k k z π

ϕπ=±∈时为奇函数．

要点诠释：

判断函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．

（5）周期：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+的周期与解析式中自变量x 的系数有关，其周期为2T π

ω

=

．

（6）对称轴和对称中心

与正弦函数sin y x =比较可知，当()2

x k k z π

ωϕπ+=±

∈时，函数sin()y A x ωϕ=+取得最大值（或

最小值），因此函数sin()y A x ωϕ=+的对称轴由()2

x k k z π

ωϕπ+=±

∈解出，其对称中心的横坐标

()x k k z ωϕπ+=∈，即对称中心为,0()k k z πϕω-⎛⎫

∈

⎪⎝⎭

．同理，cos()y A x ωϕ=+的对称轴由

()x k k z ωϕπ+=∈解出，对称中心的横坐标由()2

x k k z π

ωϕπ+=±

∈解出．

要点诠释：

若x R ∉，则函数sin()y A x ωϕ=+和函数cos()y A x ωϕ=+不一定有对称轴和对称中心． 【典型例题】

类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域 例1．求函数22sin cos 1y x x =+-的定义域； 【答案】2222,33x k x k k Z ππππ⎧⎫-

≤≤+∈⎨⎬⎩

⎭

【解析】 为使函数有意义，需满足2sin 2x+cos x －1≥0，即2cos 2x ―cos x ―1≤0，解得1

cos 12

x -≤≤．

画出余弦函数的图象或单位圆，如下图所示．

∴定义域为2222,33x k x k k Z ππππ⎧⎫-

≤≤+∈⎨⎬⎩

⎭

． 【总结升华】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，

要注意三角函数的每一步都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．

举一反三：

【变式1】求函数lg(2sin 1)y x =-的定义域 【解析】依题意得2sin x －1＞0，即1sin 2x >，∴5

2266

k x k ππππ+<<+（k ∈Z ）， ∴函数的定义域为522,66x k x k k Z π

πππ⎧

⎫

+<<+∈⎨⎬⎩

⎭

． 例2．求下列函数的值域： （1）y=3―2sin x （2）2sin 23y x π⎛

⎫

=+ ⎪⎝

⎭

，,66x ππ⎡⎤

∈-

⎢⎥⎣

⎦； （3）cos 2

cos 1

x y x -=

-．

【答案】（1）[1，5]（2）[0，2]（3）3,2

⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭