不定积分解题技巧汇编
不定积分求解方法及技巧小汇总
没有定积分供解要领及本领小汇总之阳早格格创做纲要：归纳没有定积分基础定义，本量战公式，供没有定积分的几种基础要领战本领，枚举各别典型例子，使用本领解题.一．没有定积分的观念与本量定义1 如果F（x）是区间I上的可导函数，而且对付任性的x∈I，有F’(x)=f(x)dx则称F（x）是f(x)正在区间I上的一个本函数.定理1（本函数存留定理）如果函数f(x)正在区间I上连绝，那么f(x)正在区间I上一定有本函数，即存留可导函数F（x），使得F（x）=f(x)（x∈I）简朴的道便是，连绝函数一定有本函数定理2 设F（x）是f(x)正在区间I上的一个本函数，则（1）F（x）+C也是f(x)正在区间I上的本函数，其中C是任性函数；（2）f(x)正在I上的任性二个本函数之间只出入一个常数.定义2 设F（x）是f(x)正在区间I上的一个本函数，那么f(x)的部分本函数F（x）+C称为f(x)正在区间I上的没有定积分，记为⎰f(x)d(x),即⎰f(x)d(x)=F(x)+C其中暗号⎰称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表白式，x称为积分变量，C称为积分常数.本量 1 设函数f(x)战g(x)存留本函数，则⎰[f(x)±g(x)]dx=⎰f(x)dx±⎰g(x)dx.本量 2 设函数f(x)存留本函数，k为非整常数，则⎰kf(x)dx=k⎰f(x)dx.二．换元积分法的定理如果没有定积分⎰g(x)dx没有简单曲交供出，然而被积函数可领会为g(x)=f[ϕ(x)]ϕ’(x).搞变量代换u=ϕ(x),并注意到ϕ‘（x）dx=dϕ(x),则可将变量x 的积分转移成变量u的积分，于是有⎰g(x)dx=⎰f[ϕ(x)]ϕ’(x)dx=⎰f(u)du.如果⎰f(u)du不妨积出，则没有定积分⎰g(x)dx的估计问题便办理了，那便是第一类换元法.第一类换元法便是将复合函数的微分法反过去用去供没有定积分.定理1 设F(u)是f(u)的一个本函数，u=ϕ(x)可导，则有换元公式⎰f[ϕ(x)] ϕ’(x)dx=⎰f(u)du=F(u)+C=F[ϕ(x)]+C.第一类换元法是通过变量代换u=ϕ(x),将积分⎰f[ϕ(x)ϕ’(x)dx化为⎰f(u)du.然而有些积分需要用到形如x=ϕ(t)的变量代换，将积分⎰f(x)dx化为⎰f[ϕ(t)]ϕ’(t).正在供出后一积分之后，再以x=ϕ(t)的反函数t=ϕ1-(X)戴回去，那便是第二类换元法.即.⎰f(x)dx={⎰f[ϕ(t)]ϕ’(t)dt})(1Xt-=ϕ为了包管上式创造，除被积函数应存留本函数除中，还应有本函数t=ϕ1-（x ）存留的条件，给出底下的定理.定理2 设x=ϕ(t)是单调，可导的函数，而且ϕ‘（t ）≠0.又设f[ϕ(t)]ϕ’(t)具备本函数F （t ）,则⎰f(x)dx=⎰f[ϕ(t)]ϕ’(t)dt=F(t)+C=F[ϕ1-(x)]+C其中ϕ1-（x ）是x=ϕ（t ）的反函数.三．时常使用积分公式1 基础积分公式（1）⎰kdx=kx+C(k 是常数)； （2）⎰xudx=1u x 1u +++C(u ≠-1);（3）⎰xdx =ln x +C ； （4）⎰2x 1dx+=arctanx+C;(5)⎰2x1dx -=arcsinx+C; (6)⎰cosxdx=sinx+C;(7)⎰sinxdx=-cosx+C ;(8)⎰x2cos dx=⎰sec 2xdx=tanx+C;(9)⎰xdx 2sin =⎰csc2xdx=-cotx+C;(10)⎰secxtanxdx=secx+C;(11)⎰cscxcotxdx=-cscx+C; (12)⎰e x dx=e x +C; (13)⎰a x dx=e x +C; (14)⎰shxdx=chx+C; (15)⎰chxdx=shx+C.(16)⎰tanxdx=-ln cosx +C; (17)⎰cotxdx=lnsinx+C;(18)⎰secxdx=ln tanx secx ++C; (19)cscxdx=ln xcot cscx -+C;(20)⎰22x a dx +=ax x lna 1+-a +C;(21)⎰22xa dx -=arcsinax +C;(22)⎰22x a dx +=ln(x+22a x ++C; (23)⎰22ax dx -=ln 22a x x -++C.四．解没有定积分的基础要领四．供没有定积分的要领及本领小汇总~1.利用基础公式.（那便已几道了~）2.第一类换元法.（凑微分）设f(μ)具备本函数F(μ).则 其中)(x ϕ可微.用凑微分法供解没有定积分时，最先要严肃瞅察被积函数，觅找导数项真量，共时为下一步积分搞准备.当真正在瞅没有领会被积函数特性时，无妨从被积函数中拿出部分算式供导、测验考查，或者许从中不妨得到某种开迪.如例1、例2：例1：⎰+-+dx x x x x )1(ln )1ln(【解】)1(1111)'ln )1(ln(+-=-+=-+x x x x x xC x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+⎰⎰2)ln )1(ln(21)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：⎰+dx x x x 2)ln (ln 1【解】x x x ln 1)'ln (+=3.第二类换元法：设)(t x ϕ=是单调、可导的函数，而且)(')]([.0)('t t f t ϕϕϕ又设≠具备本函数，则有换元公式第二类换元法主假如针对付多种形式的无理根式.罕睹的变更形式需要死记会用.主要有以下几种：4.分部积分法.公式：⎰⎰-=νμμννμd d分部积分法采与迂回的本领，规出亡面，挑简单积分的部分先搞，最后完毕没有定积分.简曲采用νμ、时，常常鉴于以下二面思量：（1）落矮多项式部分的系数 （2）简化被积函数的典型举二个例子吧~！ 例3：dx xx x ⎰-⋅231arccos【解】瞅察被积函数，采用变更x t arccos =,则 例4：⎰xdx 2arcsin 【解】⎰⎰--=dxx x x x x xdx 22211arcsin 2sin arcsin上头的例3，落矮了多项式系数；例4，简化了被积函数的典型.偶尔，分部积分会爆收循环，最后也可供得没有定积分. 正在⎰⎰-=νμμννμd d 中，νμ、的采用有底下简朴的顺序： 将以上顺序化成一个图便是：时，是无法供解的.5.几种特殊典型函数的积分.（1）有理函数的积分有理函数)()(x Q x P 先化为多项式战真分式)()(*x Q x P 之战，再把)()(*x Q x P 领会为若搞个部分分式之战.（对付各部分分式的处理大概会比较搀纯.出现⎰+=nn x a dx I )(22时，记得用递推公式：121222)1(232))(1(2----++-=n n n I n a n a x n a x I ） 例5：dx x x x x x ⎰+--+223246)1(24【解】=++-++=+--+223222346223246)1(24)1()1(24x x x x x x x x x x x x 22322)1(241++-+x x x x x故没有定积分供得.（2）三角函数有理式的积分ν万能公式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+-=+=2tan 12tan 1cos 2tan 12tan 2sin 222x xx x x x 化为有理函数可用变换2tan )cos ,(sin )cos ,(sin xt dx x x Q x x P =⎰的积分，然而由于估计较烦，应尽管预防.对付于只含有tanx （或者cotx ）的分式，必化成xx xx sin cos cos sin 或.再用待定系数xb x a x b x a B x b x a A sin cos )sin'cos'()sin cos (++++去搞.（3）简朴无理函数的积分普遍用第二类换元法中的那些变更形式. 像一些简朴的，应机动使用.如：共时出现x x +1和时，可令t x 2tan =；共时出现xx -1和时，可令t x 2sin =；共时出现x x arcsin 12和-时，可令x=sint ；共时出现x x arccos 12和-时，可令x=cost 等等.教习完没有定积分，感触那部分真量对付咱们思维的机动性央供很大，该当加大习题量，达到睹多识广的效验，搞完习题注意归纳，以及类似题手段整治.死记三角函数公式，没有定积分基础公式，掌握百般供积分的要领.。
不定积分求解方法及技巧小汇总
不定积分求解方法及技巧小汇总不定积分是求解函数的原函数的过程，在数学领域中具有广泛的应用。
下面是一些不定积分的求解方法和技巧的小汇总。
1.基本积分法则：基本积分法则是不定积分中最基本的方法。
它是指通过学习和掌握常见函数的不定积分，从而求解更复杂的函数的不定积分。
常见的函数和它们的积分表达式如下：- 幂函数：∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C- 正弦函数：∫sin(x) dx = -cos(x) + C- 余弦函数：∫cos(x) dx = sin(x) + C- 指数函数：∫e^x dx = e^x + C2.分部积分法：分部积分法是用于求解两个函数的乘积的不定积分。
它利用了积分的乘法法则，将乘积的积分转化为两个函数的不定积分的组合形式。
分部积分法的公式如下：∫u dv = uv - ∫v du具体步骤是选择一个函数作为u，选择另一个函数的导函数作为dv，利用公式求出v和du，然后代入公式进行计算。
3.替换法（换元积分法）：替换法是通过进行变量替换来简化求解不定积分的过程。
对于一些复杂的函数形式，通过合理的变量替换，可以将其转化为较为简单的形式，从而便于求解。
常见的变量替换有以下几种：- 代数替换：将一个复杂的代数表达式进行替换，使其转化为一个简单的形式。
例如，将∫(x^2 + 1)^2 dx 替换为∫u^2 du，其中u = x^2 + 1- 三角替换：将一个复杂的三角函数表达式进行替换，使其转化为一个简单的形式。
例如，将∫(sinx + cosx)^2 dx 替换为∫(1 + sin(2x)) dx，其中2x = u。
- 指数替换：将一个复杂的指数函数表达式进行替换，使其转化为一个简单的形式。
例如，将∫e^(x^2) dx 替换为∫(1/2) e^u du，其中u = x^24.三角函数的积分：对于三角函数的积分，有一些常用的积分公式，可以帮助简化求解的过程。
常见的三角函数积分公式如下：- ∫sin(ax) dx = - 1/a cos(ax) + C- ∫cos(ax) dx = 1/a sin(ax) + C- ∫tan(ax) dx = (-1/a) ln，cos(ax)， + C- ∫cot(ax) dx = (1/a) ln，sin(ax)， + C5.偏微分法：当被积函数可以表示为两个变量的偏导数之和时，可以使用偏微分法进行求解。
不定积分解法总结
不定积分解法总结不定积分（即原函数）是微积分中的一个重要概念，它用于求函数的积分。
与定积分不同，不定积分不需要明确的区间范围，因此结果是一个常数加上一个关于变量的函数。
不定积分的解法非常多样化，下面我将总结一些常用的不定积分解法。
1.代数法则代数法则是解决不定积分的最基本的方法之一、根据代数法则，我们可以将一个复杂的函数分解成几个简单的函数的和或者乘积，然后分别对这些简单函数求不定积分。
常用的代数法则包括：- 常数法则：∫c dx = cx + C (其中c是常数，C是任意常数)- 基本运算法则：∫(f(x) ± g(x)) dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx2.数量积分法对于形如f(g(x))g'(x)的积分，可以使用数量积分法进行求解。
该方法的基本思想是将f(g(x))g'(x)中的g'(x)看作f(g(x))的导数，然后根据不定积分的定义找到f(g(x))的原函数。
3.换元积分法换元积分法是解决不定积分的重要方法之一，它通过引入一个新的变量来简化积分。
换元积分法的基本思想是将被积函数中的一个变量用另一个变量表示，然后根据链式法则进行求解。
4.分部积分法分部积分法是求解不定积分的常用方法，它将被积函数进行分解，然后将积分号移至其中一个分解函数上。
该方法的基本思想是利用乘积的导数公式来简化积分。
5.偏导数积分法偏导数积分法是解决不定积分的一种特殊方法，适用于一些特殊的函数形式。
该方法的基本思想是将一个多元函数对一个变量的偏导数看作另一个变量的导数，并进行相应的求导运算。
6.牛顿-莱布尼茨公式7.三角换元法三角换元法是解决含有三角函数的不定积分的一种方法。
该方法的基本思想是将三角函数用三角恒等式表示成另一个三角函数，然后利用换元积分法进行求解。
8.分式分解法分式分解法适用于含有分式的不定积分，它将分式分解成几个简单的分式的和或者乘积，然后分别对这些简单的分式进行不定积分求解。
不定积分的解法汇总
不定积分的解法汇总不定积分是高等数学中的重要概念，也是微积分的基础知识之一。
对于一个函数f(x)，求其不定积分就是求出所有的原函数 F(x)，使得 F'(x) = f(x)。
求不定积分的方法很多，下面分别介绍几种比较常见的方法。
一、基本积分公式法基本积分公式是指一些常见函数的不定积分公式，例如：∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C∫sinx dx = -cosx + C如果能够通过观察函数 f(x) 的表现形式，将其转化为基本积分公式中的形式，就可以直接使用基本积分公式求出其不定积分。
例如，要求∫x^3 dx，显然可以使用基本积分公式中的公式∫x^n dx =(x^(n+1))/(n+1) + C，将 n = 3 带入得到：二、换元法换元法是一种通过变量替换来简化函数表达式以求出不定积分的方法。
设 u = g(x)，经过变量替换后，原式可转化为∫f(g(x))g'(x) dx = ∫f(u) du，这表明通过变量替换可以将一个函数表达式 x 转化为另一个函数表达式 u。
例如，要求∫2x cos(x^2+1) dx，可以令 u = x^2+1，那么有：du/dx = 2x → dx = du/2x将 u 和 dx 的表达式代入原式得：三、分部积分法分部积分法是一种通过求乘积的微分来求不定积分的方法。
它是利用乘积的导数公式d(uv)/dx = udv/dx + vdu/dx。
对于一个有限积分表达式∫u(x)v'(x) dx，我们可以通过分部积分得到：∫u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x) dx其中，u(x) 和 v'(x) 互相乘积得到被积函数 u(x)v'(x)，再对其进行积分。
∫x sinx dx = -x cosx + ∫cosx dx = - x cosx + sinx + C如果一个含平方根的式子可以表示为 a^2 - x^2 或者 a^2 + x^2，那么可以通过三角换元法来将其转化为三角函数的形式。
不定积分技巧总结
不定积分技巧总结
不定积分是微积分中的重要内容，下面总结一些常用的不定积分技巧：
1. 分部积分法：对于两个函数的乘积，可以利用分部积分法将其转化为一个函数的导数与另一个函数的积的形式，从而简化计算。
2. 代换法：对于复杂的函数，可以通过代换变量来简化计算。
常见的代换变量包括三角函数、指数函数、对数函数等。
3. 部分分式分解法：对于有理函数，可以通过部分分式分解将其拆分为多个简单的分式，从而更容易进行积分计算。
4. 凑微分法：对于一些特殊形式的函数，可以通过凑微分的方式将其转化为已知的积分形式，从而简化计算。
5. 倒代换法：对于一些特殊的函数形式，可以通过倒代换的方式将其转化为已知的积分形式，从而简化计算。
6. 利用对称性：对于一些具有对称性的函数，可以利用对称性简化计算，如奇偶函数的积分等。
7. 利用积分表：对于常见的函数，可以利用积分表中的已知结果来进行计算，减少计算量。
8. 利用特殊函数性质：对于一些特殊函数，可以利用其性质来简化
计算，如指数函数、对数函数等。
9. 利用积分性质：对于积分的性质，如线性性质、积分区间可加性等，可以利用这些性质简化计算。
10. 利用对数微分法：对于一些特殊的函数形式，可以利用对数微分法将其转化为已知的积分形式，从而简化计算。
需要注意的是，不定积分的计算有时需要多种技巧的结合运用，而且不同的函数形式可能需要不同的方法来求解，因此在实际应用中需要根据具体情况选择合适的方法。
(整理)求不定积分的方法及技巧小汇总~
求不定积分的方法及技巧小汇总~1.利用基本公式。
（这就不多说了~）2.第一类换元法。
（凑微分） 设f(μ)具有原函数F(μ)。
则C x F x d x f dx x x f +==⋅⎰⎰)]([)()]([)(')]([ϕϕϕϕϕ其中)(x ϕ可微。
用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。
当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。
如例1、例2： 例1：⎰+-+dx x x xx )1(ln )1ln(【解】)1(1111)'ln )1(ln(+-=-+=-+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+⎰⎰2)ln )1(ln(21)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：⎰+dx x x x 2)ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+=C x x x x x dx dx x x x +-==++⎰⎰ln 1)ln (ln )1(ln 1223.第二类换元法：设)(t x ϕ=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ϕϕϕ又设≠具有原函数，则有换元公式⎰⎰=dt t t f dx f )(')]([x)(ϕϕ第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。
常见的变换形式需要熟记会用。
主要有以下几种：achtx t a x t a x a x asht x t a x t a x a x ta x t a x x a ===-===+==-；；：；；：；：csc sec )3(cot tan )2(cos sin )1(222222 也奏效。
，有时倒代换当被积函数含有：：tx c bx ax x t dcx bax d cx b ax tb ax b ax m n nnn 1)6()5()4(2=++⋅=++++=++4.分部积分法. 公式：⎰⎰-=νμμννμd d分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。
不定积分的解法汇总
不定积分的解法汇总不定积分，也称为不定积分或者原函数，是微积分中的一个重要概念，它是确定函数的不定积分。
不定积分的解法涉及到多种技巧和方法，掌握这些技巧和方法可以帮助我们更加灵活地求解不定积分。
本文将对不定积分的解法进行汇总，包括常用的积分公式、基本积分法、分部积分法、换元积分法等内容，希望能够帮助大家更好地掌握不定积分的解法。
一、常用的积分公式1. 幂函数积分公式当被积函数为幂函数时，可以通过直接积分法求解。
定义在区间[a, b]上的幂函数f(x)=x^n的不定积分为∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C,其中C为常数。
2. 三角函数积分公式当被积函数为三角函数时，可以通过三角函数的性质和积分公式求解。
sin(x)的不定积分为∫sin(x) dx = -cos(x) + C,cos(x)的不定积分为∫cos(x) dx = sin(x) + C。
3. 指数函数和对数函数积分公式当被积函数为指数函数或对数函数时，可以利用指数函数和对数函数的性质求解。
指数函数e^x的不定积分为∫e^x dx = e^x + C，对数函数ln(x)的不定积分为∫ln(x) dx = x * ln(x) - x + C。
二、基本积分法基本积分法又称为换元积分法，它是求不定积分的基本方法之一。
基本积分法的步骤如下：1. 选择适当的换元变量u，使得被积函数中的一部分可以变成u的导数；2. 对被积函数进行合理的替换，将被积函数变为u的函数；3. 求出u的不定积分；4. 将u的不定积分转换为原函数中的自变量。
对于不定积分∫2x * (x^2 + 1)^3 dx，我们可以选择u=x^2+1，然后求出du=2x dx。
接着将被积函数中的2x dx替换为du，得到∫(u^3) du，然后求出u的不定积分，最后用u的原函数替换进行还原得到不定积分的结果。
四、其他积分法除了基本积分法和分部积分法外，还有其他一些常用的积分法，如换元积分法、有理函数积分法、反常积分法等。
求不定积分的方法及技巧小汇总
求不定积分的方法及技巧小汇总1.代换法：代换法是求不定积分中最常用的方法之一、通过选择适当的变量代换，将原来的积分转化为简单的形式，然后再进行计算。
常用的代换包括三角代换、指数代换和递推代换等。
2.部分分式分解法：部分分式分解法适用于形如 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 的有理函数的不定积分求解。
通过将有理函数分解为若干个简单分式的和，然后进行单个分式的积分，最后再将结果合并即可。
3.分部积分法：分部积分法适用于求解两个函数的乘积积分。
通过选择一个函数作为导函数（求导），选择另一个函数作为被积函数（不定积分），将原问题转化为一个更简单的形式。
分部积分法可以多次使用，以一步步简化被积函数的形式。
4.瑕点积分法：瑕点积分是对具有瑕点的函数进行积分的方法。
瑕点是函数在一些点上不连续或者无界的情况。
对于具有瑕点的函数，我们可以将其分解为若干个分段连续的函数，然后对每个分段进行积分得到结果。
5.特殊函数的积分：常见的特殊函数如三角函数、指数函数、对数函数等，都有其特殊的积分形式。
熟悉这些特殊函数的积分形式，能够帮助我们更快地求解不定积分。
6.奇偶性和周期性：对于具有奇偶性和周期性的函数，可以利用这些特性简化积分的计算。
对于奇函数而言，可以利用对称性简化积分；对于偶函数而言，可以使函数在积分区间上的部分抵消。
对于周期函数而言，可以将积分区间分解为整个周期内的多个区间进行积分。
7.数列和级数的积分：数列和级数也可以进行积分运算。
对于数列而言，可以将积分转化为求极限的形式。
对于级数而言，可以通过逐项积分来进行求解。
数列和级数的积分求解有利于我们研究数学分析和级数收敛性。
8.对称性和几何意义：有些函数在图像上具有对称性或者几何意义。
通过观察函数的图像特点，可以帮助我们选择合适的积分方法，简化计算过程。
例如，具有奇对称性的函数在积分过程中可以简化。
9.積分表：由於一些函数具有固定的积分形式，我们可以根据已知的积分规则和积分表进行查表，以快速求解不定积分。
求不定积分的方法及技巧小汇总
求不定积分的方法及技巧小汇总不定积分是微积分中的重要概念，也是求解函数原函数的过程。
下面是一些常见的不定积分方法及技巧的小汇总：1.常数法则：对于f(x)的不定积分，它的原函数是F(x)，则c*f(x)的不定积分是c*F(x)+C，其中c是任意常数。
2.基本积分法则：根据几个基本函数的不定积分规则，可以通过不定积分表格找到函数的原函数。
常见的基本函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
3.替换法：当被积函数较为复杂时，可以通过替换变量的方法简化问题。
比如，可以进行代换u=g(x)，然后计算新的被积函数。
这种方法常用于利用代数方法简化三角函数积分、根式求积分等问题。
4. 分部积分法：分部积分法适用于两个函数相乘的积分。
根据公式∫u*dv = u*v - ∫v*du，可以把一个复杂的积分问题分解成两个简单的积分问题。
5.凑微分法：有时可以通过对被积函数凑微分的方法来求不定积分。
比如，当被积函数为两个函数的乘积时，可以通过凑微分的方法将其转化为一个更容易求解的形式。
6.换元积分法：换元积分法也是一种常用的不定积分方法。
通过进行变量替换，可以将原函数的形式转化为更容易求解的形式。
换元积分法常用于求解含有根式、三角函数的函数积分。
7.部分分式分解法：当被积函数是有理函数时，可以通过部分分式分解的方法将其转化为一系列基本函数相加的形式，然后对每一项进行求解。
8.初等函数不可积分：有些函数是不可积分的，没有解析解。
对于这种情况，只能通过数值积分等数值方法求解。
9.利用对称性：对于一些具有对称性的函数，可以利用对称性进行简化。
比如，偶函数的不定积分是奇函数，反之亦然。
10.利用递推公式：对于一些特定的函数序列，可以利用递推公式进行简化。
比如，斐波那契数列的递推公式可以用于求解斐波那契函数的不定积分。
以上是一些常见的不定积分方法及技巧的小汇总。
需要注意的是，在实际应用中，不定积分常常需要结合具体的函数形式和特点，选取适当的方法求解。
不定积分的解题方法与技巧
一． 直接积分法（公式法）利用不定积分的运算性质和基本积分公式直接求出不定积分二． 第一类换元法 1.当遇到形如⎰++cbx ax dx2的不定积分，可分为以下三种情况： （1）当0>∆时，可将原式化为()()21x x x x --，其中，21,x x 为c bx ax++2的两个解，则原不定积分为：()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡------=--⎰⎰⎰221112211x x x x d x x x x d x x x x x x dx ()C x x x x x x +---=2112ln 1（2）当0=∆时，可利用完全平方公式，化成()()⎰--2k xk x d 。
然后根据基本积分公式即可解决。
（3）当0<∆时，可先给分母配方，多利用C x x dx+=+⎰arctan 12解决。
2.当被积函数是三角函数的乘积时，拆开奇次项去凑微分。
当被积函数为三角函数的偶次幂时，常用半角公式降幂；若为奇次，则拆一项去凑微分，剩余的偶次用半角公式降幂。
三．第二类换元法 1.三角代换当被积函数含有22x a -时，令x=asint 或x=acost ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππt 。
当被积函数含有22x a +时，令x=tant ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππt 。
当被积函数含有22a x -时，令x=±asect ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πt2.倒代换当分母中因子次数较高时，可考虑倒代换。
三． 分部积分法口诀：反对幂指三，谁后谁先微。
意思是：反三角函数，对数函数，幂函数，指数函数，三角函数，谁在后面谁先被微分。
分部积分法一般用于两个函数相乘且两个函数属于口诀中五种函数中的两个。
四．有理函数的积分 1.形如()ka -x 1的有理函数，它所对应的部分分式是()()()kk221a -x A a -x A a -x A +⋯⋯++ 2.形如()kqpx ++2x1的有理函数，它所对应的的部分分式是()()()k2kk 2222211xx x qpx C x B qpx C x B q px C x B ++++⋯⋯++++++++3.非以上二者形式的有理函数，采取固定分项步骤（其实，就是上述两种方法的综合）： 部分分式项数为原有理函数的分母整体的次数和。
求不定积分的方法总结
求不定积分的方法总结一、简单的不定积分方法总结：1. 一元函数的基本积分表：包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等的基本积分公式。
2. 函数的换元积分法：将被积函数作一定的代换，使之变得容易积分。
3. 分部积分法：将含有多项式部分和指数部分的函数进行分部积分，求出更简单的不定积分。
4. 三角函数的积分公式和半角公式：利用三角函数的积分公式，可以将复杂的三角函数不定积分化简为简单形式。
5. 有理函数的积分：对有理函数进行分解为部分分式后，根据基本积分表求出每一项的积分，再合并得到结果。
6. 看破与看似：对于某些形式复杂的函数，通过巧妙的观察可以使用简单的方法进行求解。
7. 不定积分与定积分的关系：利用定积分的性质，将不定积分转化为定积分进行求解。
8. 函数的对称性：如果被积函数具有对称性，可以利用对称性来简化不定积分的计算。
9. 反常积分：对于无穷区间的不定积分，常用极限的性质将其转化为反常积分进行求解。
10. 使用计算工具：当被积函数极为复杂或不易求出解析解时，可以使用数值积分等计算工具进行求解。
二、复杂的不定积分方法总结（需要较高的积分技巧）：1. 除有理分式：对于形如有理多项式除以多项式的分式，可以通过部分分式展开、多项式除法等方法进行积分。
2. 参数积分：当被积函数含有参数时，根据参数的不同取值选择不同的积分方法，将参数积分与常积分相结合。
3. 微分方程法：对于某些特定类型的函数，可以将其看作微分方程的解，通过求解微分方程来获得不定积分。
4. 特殊函数的积分：对于高级函数的积分，如椭圆函数、贝塞尔函数等，可以利用特殊函数的性质和积分公式求解。
5. 积分表的扩展：利用变量代换、函数展开式等方法，将已知积分表中的公式进行扩展和变形，得到更广泛适用的积分公式。
6. 奇偶变换：对于被积函数具有奇偶对称性的情况，可以利用奇偶变换将原函数化简为更易积分的形式。
7. 复合函数积分法：对于复杂的函数，将其分解为复合函数的形式，再进行积分运算。
不定积分的求解技巧总结
不定积分的求解技巧总结不定积分是微积分中的重要内容，用于求解函数的原函数。
下面总结一些常用的不定积分求解技巧。
一、基本积分公式法基本积分公式是指一些常用的函数的不定积分公式，主要包括：1. 常数函数的不定积分：∫a dx = ax + C，其中a为常数，C为任意常数。
2. 幂函数的不定积分：∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n不等于-1，C为任意常数。
3. 指数函数的不定积分：∫a^x dx = (a^x)/(ln(a)) + C，其中a为正常数且不等于1，C为任意常数。
4. 对数函数的不定积分：∫1/x dx = ln|x| + C，其中x 不等于0，C为任意常数。
5. 三角函数和反三角函数的不定积分：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，∫cos(x) dx = sin(x) + C，∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C，等等。
二、分部积分法分部积分法通过对不定积分中函数的乘积进行分解，使得原积分转化为另一种形式的积分，从而简化计算。
其公式为：∫u dv = uv - ∫v du。
三、换元法（第一类换元法）换元法利用代数替换或三角函数代换的方式，将不定积分中的变量进行换元，从而简化积分的计算。
常用的代换方式有：1. 代数替换：常用的代数替换有三角函数代换、指数函数代换、对数函数代换、有理函数代换等。
2. 三角函数代换：可以通过利用三角函数之间的恒等关系进行推导，并将不定积分中的其他函数转化为三角函数的形式，然后进行换元求解。
四、分式分解法对于分式的部分或全部进行分解，将不定积分转化为更加简单的形式，常用的分式分解方法有：1. 部分分式分解：将一个分式表示为几个分式的和或差的形式。
2. 偏差分解：对于分母为多项式乘方的分式，将分子分解成多个不同次数的多项式相乘的形式。
五、参数微分法对于一些特殊的函数，可以通过引入参数的方式进行求解。
求不定积分方法总结
1、不定积分的线性性成立的前提是，f和g都有不定积分！这个性质在计算不定积分时，经常用！一般都是把难计算的不定积分，转化为一个个容易计算的不定积分。
例题就不说了，看书。
2、分部积分法这是一个很有效的计算积分的方法！一定要掌握！从本师的教学经验来看〔别丢鸡蛋！〕，初学者〔就是你们了！〕往往在两个地方犯难：〔1〕不知道怎么凑微分〔2〕不知道把谁当u，谁当v另外，一个不定积分的计算，可能需要好几次分部积分。
我们来道普通的例题。
3、有理函数的积分有理函数的积分，是一类常见的不定积分。
它有一套通用的方法求解，并且很多不定积分，经过适当的换元后，可以转化成有理函数的不定积分来计算！所以，这种类型的不定积分，一定要掌握！其中P和Q是某的多项式函数。
这个类型的积分，主要是通过拆项，化成简单的不定积分来计算。
下面的步骤，其实就是教你怎么拆项。
(1) 用辗转相除法，将被积函数化成一个多项式和“真分式”的和：(2)h(某)是多项式函数，积分不要太简单！现在就是要计算右边这个积分了。
(3)对Q(某)因式分解。
因为我们考虑的是实系数多项式，由＊＊定理，多项式Q(某)一定能分解成下面两种类型的因子的乘积：(4) 利用待定系数法，将r/Q拆分，拆成简单的分式的和。
举例说明：然后，右边同分，比拟等式两边分子的系数。
这样就会得到待定系数的一个一次方程组，解之〔非常简单〕，算出待定系数。
例子1例子2后面都会，不写了。
记得反带回去，最后要是某的表达式！还有每日＋C！4、第一类换元〔凑分法〕u=g(某)，主要是要记牢常见的求导公式，然后多从右往左看。
5、第二类换元，某=u(t)要注意，u(t)必须是单调的！所以一般要指明t的取值范围。
这里，换元的.技巧非常多，本师也只掌握了其中一些常用的。
(1) 倒代换某=1/t使用的对象特征很明显来个例子t<0时，类似处理，最后再下结论。
(2)这种形状的积分，直接换元掉根号。
例子说明一切！(3) 三角换元这是让大家又爱又恨的积分法。
不定积分的解法汇总
不定积分的解法汇总
不定积分是微积分中的重要概念，可以用来求解函数的原函数或者积分函数。
在学习和应用不定积分的过程中，有很多不同的解法和技巧可以帮助我们更好地理解和计算不定积分。
下面我们将汇总一些常见的不定积分解法，希望对大家的学习和应用有所帮助。
1. 代数运算法
代数运算法是求不定积分时最基础的方法之一。
通过对函数进行代数运算，可以把原函数化简为更容易求解的形式，包括因式分解、配方法、分部积分等。
代数运算法在不定积分中经常被用到，是其他方法的基础和前提。
2. 分部积分法
分部积分法是求不定积分时常用的一种方法。
它是根据积分的乘法法则推导出的，用于求解乘积函数的积分。
分部积分法的基本思想是将一个复杂的积分化简为两个较简单的积分之和，通过不断应用分部积分公式，最终把原函数化简为易于求解的形式。
3. 换元积分法
换元积分法是求不定积分时另一个重要的方法。
它是通过变量代换的方式，将原函数中的变量进行替换，从而将复杂的不定积分化简为简单的形式。
换元积分法经常用于求解含有三角函数、指数函数、对数函数等的不定积分，是求解此类积分的常用技巧。
5. 完全微分形式法
完全微分形式法是求不定积分时的一种特殊技巧。
通过观察原函数的形式，可以将其写成完全微分的形式，从而方便地对原函数进行求解。
完全微分形式法常用于求解一些具有特殊形式的不定积分，如某一阶微分方程的解法中。
不定积分解法汇总
1、 换元积分法1.1、第一换元法（凑微分法）令)(x u u =，若已知⎰+=C x F dx x f )()(，则有[][]C x F dx x x f +='⎰)()()(ϕϕϕ 其中)(x ϕ是可微函数，C 是任意常数。
（1）a b ax d ab x d dx )((1)(+=+=、)0≠，a b 为常数 具体应用为⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax adx b ax m m=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++++⋅+C b ax aC m b ax a m ln 11)(11)1()1(-=-≠m m（2）)(111b x d a dx x a a ++=+)()1(11b ax d a a a ++=+ a (、b 、a 均为常数，且)1,0-≠≠a a 。
例如：x d dx xx x d dx x dx xdx 21),(32,212=== （3）)ln (1ln 1b x a d a x d dx x +==b a ,(为常数，)0≠a（4）,0(ln )(,>==a aa d dx a de dx e x xxx且)1≠a ； （5）);(sin cos ),(cos sin x d xdx x d xdx =-=（6）)cot (csc ),(tan sec 22x d xdx x d xdx -== （7）x sin d dx x 2sin 2=（8）)(arctan 112x d dx x =+)(arcsin 112x d dx x =- （9）22x 1d dx x -1x --=，22x 1d dx x 1x +=+在具体问题中，凑微分要根据被积函数的形式特点灵活运用，例如求⎰+dx x x f 211)(arctan 时，应将dx x dx 21+凑成x d arctan ；求dx xx arc f ⎰+211)cot (时，应将dx x 211+凑成x darc cot -；而求dx x x ⎰+212时，211x +就不能照搬上述两种凑法，应将xdx 2凑成2dx ，即)1(222x d dx xdx +==。
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不定积分解题技巧探讨数学与计算机科学学院 数学与应用数学（s ） 2011031103 作者：方守强 指导老师：邓勇平【摘要】在微分学中不定积分是数学分析的一个重要内容，我们经常用的解题方法有：直接积分法、换元积分法和分部积分法等。
在我们接触过的有限的教材中，不定积分显得十分简明，但是利用基本积分公式及其性质，只能求出部分相对简单的积分，对于一些比较复杂的积分，则有一定难度。
有时，我们在计算中会发现有的不定积分是无法用直接的方法来计算的，这就要求我们在平时的学习中，多进行归纳总结和概括推广。
针对我们在学习中经常遇到的一些困难，本文将总结求不定积分的几种基本方法和技巧，列举一些典型例子，运用技巧解题。
【关键词】 不定积分；难度；典型；技巧引言《数学分析》是数学与应用数学专业的大学生必修的基础理论课程,其核心任务是训练逻辑思维、应用技巧、提高学生研究能力和分析问题解决问题的能力,为今后其他数学课程的学习提供可靠的理论基础和强有力的解决问题的工具。
不定积分是积分学的基础，掌握的深浅会影响相关课程的学习和理解,对于学习其他知识也有着相当重要的意义。
对不定积分求解方法进行探讨，不仅会使求解不定积分的方法易于掌握，而且有助于提高对不定积分概念的理解和学习，激发学生学习数学的兴趣。
为此，在前人的基础上，本文对常规的不定积分求解方法进行了一些归纳总结及探讨。
一:不定积分的概念与性质定义1 如果F （x ）是区间I 上的可导函数，并且对任意的x ∈I ，有)()(x f x F ='dx 则称F （x ）是f(x)在区间I 上的一个原函数。
定理1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I 上连续，那么f(x)在区间I 上一定有原函数，即存在可导函数F （x ），使得)()(x f x F ='（x ∈I ）。
定理2 设F （x ）是f(x)在区间I 上的一个原函数，则（1） F （x ）+C 也是f(x)在区间I 上的原函数，其中C 是任意函数； （2） f(x)在I 上的任意两个原函数之间只相差一个常数。
定义2 设F （x ）是f(x)在区间I 上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F （x ）+C 称为f(x)在区间I 上的不定积分，记为()⎰dx x f ,即()()⎰+=C x F dx x f 。
其中记号⎰称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x 称为积分变量，C 称为积分常数。
性质1 设函数f(x)和g(x)存在原函数，则()()[]()()⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f性质2 设函数f(x)存在原函数，k 为非零常熟，则()()⎰⎰=dx x f k dx x kf 。
附：常用积分公式（1）⎰kdx=kx+C(k 是常数)； （2）⎰x udx=1u x 1u +++C(u ≠-1);（3）⎰x dx =ln x +C ； （4）⎰2x1dx +=arctanx+C; (5)⎰2x1dx -=arcsinx+C; (6)⎰cosxdx=sinx+C;(7) ⎰sinxdx=-cosx+C ; (8)⎰x2cos dx =⎰sec 2xdx=tanx+C; (9)⎰xdx 2sin =⎰csc 2xdx=-cotx+C; (10) ⎰secxtanxdx=secx+C; (11) ⎰cscxcotxdx=-cscx+C; (12) ⎰e x dx= e x+C; (13) ⎰a xdx= e x+C; (14) ⎰shxdx=chx+C; (15) ⎰chxdx=shx+C. (16) ⎰tanxdx=-ln cosx +C; (17)⎰cotxdx=ln sinx +C; (18)⎰secxdx=ln tanx secx ++C;(19) cscxdx=ln x cot cscx -+C; (20)⎰22x a dx +=ax x ln a 1+-a+C;(21)⎰22x a dx -=arcsinax+C; (22) ⎰22x a dx +=ln(x+22a x ++C;(23) ⎰22a x dx -=ln 22a x x -++C.二：求不定积分的方法及技巧小汇总(一):不定积分的直接积分法一般地，我们把将被积函数进行适当的恒等变形后，利用不定积分的性质和基本积分公式，求出不定积分的方法称为直接积分法。
直接积分法是建立在不定积分线性运算法则（∑⎰⎰∑===ni ii ni iidx x x fk fk11))(()(）和不定积分基本积分公式之上的，求解不定积分的一般思路是：先将被积函数变形为积分公式中被积函数的代数和运算及数乘运算，然后应用不定积分的基本积分公式和线性运算法则来求解。
例 2.1 求不定积分：⎰dx x x x22sin cos 2cos【解】⎰⎰⎰-=-=dx x x dx x x x x dx xx x )cos 1sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222 .tan cot sec csc 22c x x xdx xdx +--=-=⎰⎰例 2.2 ⎰+-+-+dx xx x x )1111(【解】⎰⎰--+-+=+-+-+dx xx x x dx x x x x )1)1(1)1(()1111(2222 ⎰⎰+=-=--++=.arcsin 2121)1()1(22c x dx xdx xx x例 2.3()⎰--dx x x 21010【解】()⎰--dx x x 21010=()⎰-+-dx x x 2101022()()[]d x xx⎰-+=-2101022=()C x x x +---2101010ln 2122(二):不定积分的换元积分法1:第一换元积分法（凑微分法）：令)(x u u = 若已知⎰+=C x F dx x f )()(，则有[][]C x F dx x x f +='⎰)()()(ϕϕϕ其中)(x ϕ是可微函数，C 是任意常数。
应用第一换元法应熟悉下列常见的微分变形。
a b ax d ab x d dx )((1)(+=+=、)0≠，a b 为常数 具体应用为（1）⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax a dx b ax mm =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++++⋅+C b ax aC m b ax a m ln 11)(11)1()1(-=-≠m m（2） )(111b x d a dx x a a++=+ )()1(11b ax d aa a ++=+，a (、b 均为常数，且)1,0-≠≠a a 。
例如：x d dx xx x d dx x dx xdx 21),(32,212===（3）)ln (1ln 1b x a d ax d dx x +==b a ,(为常数，)0≠a （4）,0(ln )(,>==a aa d dx a de dx e x xxx且)1≠a ； （5）);(sin cos ),(cos sin x d xdx x d xdx =-= （6）)cot (csc ),(tan sec 22x d xdx x d xdx -== （7）)(arctan 112x d dx x=+ （8）)(arcsin 112x d dx x=-在具体问题中，凑微分要根据被积函数的形式特点灵活运用。
例2.4：⎰+-+dx x x xx )1(ln )1ln(【解】)1(1111)'ln )1(ln(+-=-+=-+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+⎰⎰2)ln )1(ln(21)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2.5：⎰+dx x x x 2)ln (ln 1【解】x x x ln 1)'ln (+=C x x x x x dx dx x x x +-==++⎰⎰ln 1)ln (ln )1(ln 122例 2.6：⎰xdx x 53cos sin【解】⎰⎰⎰-==xdx x xdx x x xdx x 525253cos sin sin cos sin cos sin()()⎰⎰+-=-=--=C xx x d x x x xd x 685752cos cos cos cos cos cos cos cos 1例2.7：计算⎰+dx x b x a x x 2222cos sin cos sin ，22a b ≠【解】⎰⎰+=+xb x a xdx x dx xb x a xx 2222222cos sin cos sin cos sin cos sin()()⎰⎰++-=++-=xb x a x b x a d b a x b x a x b x a d b a 22222222222222222222c o s s i n 2c o s s i n 1c o s s i n 2c o s s i n 1 C x b x a ba ++-=222222c o s s i n 12第二换元积分法：设)(t x ϕ=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ϕϕϕ又设≠具有原函数，则有换元公式⎰⎰=dt t t f dx f )(')]([x)(ϕϕ第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。
常见的变换形式需要熟记会用。
主要有以下几种：achtx t a x t a x a x asht x t a x t a x a x ta x t a x x a ===-===+==-；；：；；：；：csc sec )3(cot tan )2(cos sin )1(222222也奏效。
，有时代换当被积函数含有：：tx c bx ax x t dcx bax d cx b ax tb ax b ax m n nnn 1)6()5()4(2=++⋅=++++=++例2.8：()⎰+dx x x 11【解】令t x =，则2t x =()()()⎰⎰⎰⎰+=⋅+=+=+dt t tdt t t dt t t dx x x 22221122111111 C x C t +=+=arctan 2arctan 2例2.9：⎰++321x dx【解】令t x =+32，则23-=t x⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=+=++C t t t dt t t s x dx 1ln 23121223 ()C x x x +⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++-+=333221ln 2223例2.10：⎰-dx x a 22【解】 令,sin t a x =则axt arcsin= ⎰⎰⎰=-=-tdt a t da t a a dx x a 2222222cos sin sin⎰⎰⎰+=+==-=-C a xC t dt ta a tda x a dx arcsin sin sin 22222⎰+⎪⎭⎫⎝⎛+=+=C t t a dt t a 22sin 222cos 122C x a x a x a +-+=22221arcsin 2 例2.11:求不定积分：⎰+dx xx211【解】分析：对于例题2.11，若采用第二换元积分法，新得出的积分⎰++-=c t t tdt cot csc ln csc ，比原来的积分显然更易“积出”，而若采用第一换元积分法则过程相对复杂。