函数奇偶性课件公开课

(3) f ( x ) 1 x 2 x 2 1
(4)f(x)=|x+1|-|x-1|
解:函数的定义域为{-1,1},
f (1) f (1) f (1) 0.
∴f(x)既是偶函数, 又是奇函数.
1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x ,
如果都有f(-x)=-f(x)⇔f(x)为奇函数. 如果都有f(-x)=f(x) ⇔f(x)为偶函数. 2.两个性质: 一个函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称. 一个函数为偶函数⇔它的图象关于y 轴对称. 3.判断函数奇偶性的步骤 ①考查函数定义域是否关于原点对称； ②判断f(-x)＝±f(x)之一是否成立； ③作出结论.
作业
必做题:课本P58 2 (1)、（２）
选做题：练习册Ａ组２(10)、（14）
检测题
● 一、填空：
● 1、如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有——那么函数 f(x)就叫做偶函数. ● 2、奇函数的图象关于——对称。
● 二、判断：
● 1、偶函数的图形不一定关于y轴对称。（ ） ● 2、y=x 是奇函数。 （ ） x (1,5)
y y
偶
x
奇
x
2 f ( x) 2 x 11
y
f ( x) x
-1
2
非奇 非偶 x
y
-1 1
奇
x
f ( x) x 2 , x [1,2]
f ( x) x 3 , x [1,1]
定义法
课本例4
用定义法判断函数奇偶性解题步骤:
(1)先确定函数定义域,并判断 定义域是否关于原点对称;
x
f ( x) x3
-3 -2 -1 27 8 1 -3
1 x
1 3
0
0
1
1
2
8
3
27
x
f ( x)
-2
1 2
-1
1
2
1 2
3
1 3
1
1
概念形成
例如：对于函数f(x)=x3
(X,f(x))
-x x
返回
(-X,-f(x))
奇函数的图像特征
O
奇函数的 图象关于 原点对称.
Y=x2
当x1=1, x2= -1时， f(-1)=f(1) 当x1=2, x2= -2时， f(-2)=f(2) 对任意x，f(-x)=f(x)
-x x
偶函数的图像特征
偶函数的 图象关于 Y轴对称.
函数y=x2的图像
概念形成
1. 偶函数的概念
设函数的定义域为数集D，如果对于任意的 x D
都有 x D 且 f(-x)=f(x), 那么函数 f(x) 就叫做
偶函数.
偶函数的特征:
①解析式的基本特征： f (-x)=f (x) ②图像特征:关于y轴对称.
再观察下列函数的图象，它们又有什么样的特点 y 规律呢？
x0 O x0 x
fx = x3
f ( x)
1 ( x 0) x
给出函数
(2)求f(-x)，找 f(x)与f(-x)的关系; 判断定义域 若f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数; 是否对称 若f(-x)= - f(x),则f(x)是奇函数.
是
否
(3)作出结论.
f(-x)与f(x)
f(x)是偶函数或奇函数或非奇非偶函 数或即是奇函数又是偶函数。
结论
定义法
练习. 判断下列函数的奇偶性
1 y x
y
Fra Baidu bibliotek
当x1 1, x2 1时， f (1) f (1).
-x -1 -1 1 1
对任意x, 都有 f ( x) f ( x)
x x
引例
1.已知函数f(x)=x2,求f(-2),f(2), f(-1),f(1),及f(-x) , 并画出它的图象． 解: f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4 f(-2)=f(2) f(-1)=(-1)2=1 f(-x)=(-x)2=x2 f(1)=1 f(-x)=f(x) f(-1)=f(1) 思考 :(1)这两个函数图象有什么共同特征吗？ (2)从解析式上如何体现上述特征？
思考1：函数f(x)=2x+1是奇函数吗？是 偶函数吗？ y
分析：函数的定义域为R 但是f(-x)=2(-x)+1 = -2x+1
∴ 2 0 f(x) -1 1
f(x)=2x+1
f(-x) ≠ - f(x)且f(-x) ≠
x
∴f(x)既不是奇函数也不是偶函 数。（也称为非奇非偶函数） 如右图所示：图像既不关于原点 对称也不关于y轴对称。
(5)f(x)=0 (xR)
解:函数f(x)的定义域为R． ∵ f(-x)=f(x)=0， 又 f(-x)=-f(x)=0， ∴f(x)为既奇又偶函数． (6) f(x)=x+1
解:函数定义域为R． ∵ f(-x)= -x+1， - f(x)= -x-1, ∴f(-x)≠f(x),且f(-x)≠ –f(x). ∴f(x)为非奇非偶函数. 根据奇偶性, 函数可划分为四类:
(1) f(x)=x3+2x； (2) f(x)=2x4+3x2； 解: 函数定义域为R． ∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2 =2x4+3x2 = f(x) ∴f(x)为偶函数． 解: 函数定义域为R． ∵f(-x)=(-x)3+2(-x) = -x3-2x = -(x3+2x) = - f(x) ∴f(x)为奇函数．
函数y=x3的图像
概念形成
2.奇函数的概念
设函数的定义域为数集D，如果对于任意的 x D
都有 x D 且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做
奇函数.
奇函数的特征:
①解析式的基本特征：
f (-x)=-f (x)
②图像特征:关于原点对称.
下列函数是偶函数吗?
y y x y
1
。
1 x
【难点】函数奇偶性的判断
【教法】自学辅导法、讨论法、讲授法
【学法】归纳——讨论——练习 【教学手段】多媒体电脑与投影仪
两个分别关于X轴、y轴或原点o对称的点， 其坐标各具有什么特征呢？
观察下列两个函数图象并思考以下问题： （1）这两个函数图象有什么共同特征吗？ （2）当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值如 y 何? y
思考 : 通过练习,你发现了什么规律?
注意： (1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的 奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;而 函数的单调性是函数的局部性质.
(2)由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇 偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意 一个 x ，则 -x 也一定是定义域内的一个自变量 (即定义域关于原点对称)．
3 3 f ( x ) ( x ) x f ( x), 每一个x,都有
所以函数 f ( x) x 3 为奇函数。
奇函数; 偶函数; 既奇又 偶函数; 非奇非 偶函数.
判定函数的奇偶性的步骤： (1)先求函数的定义域； ①若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为 非奇非偶函数. ②若定义域是关于原点对称的区间,进入第二步; (2)计算f(－x)化向 f ( x ) 的解析式； ①若等于 f ( x ),则函数是偶函数, ②若等于－f ( x ),则函数是奇函数, ③若不等于 f ( x ) ,则函数是非奇非偶函数 (3)结论. 有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑判定 f(-x)±f(x)=0或判定f(x)/f(-x)=±1.
那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.
(3) 函数的奇偶性是函数的整体性质.
奇、偶函数的性质:
一个函数f(x)是偶函数的充要条件是,它的图象 是以y轴为对称轴的轴对称图形; 一个函数f(x)是奇函数充要条件是,它的图象 是以坐标原点为对称中心的中心对称图形.
（1）图像法
（2）定义法
图象法
例1.根据下列函数图象,判断函数奇偶性.
● 三、判断下列函数的奇偶性
(1) f ( x) x2 1
(2) f ( x) 2 x, x (1,5)
2.奇偶函数图象的性质:
(1)奇函数的图象关于原点对称.反过来,如果 一个函数的图象关于原点对称,那么这个函 数为奇函数. (2)偶函数的图象关于y轴对称.反过来,如果 一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数 为偶函数 . 奇偶函数图象的性质可用于： ① 判断函数的奇偶性. ②简化函数图象的画法,
天才就是百分之一的灵感加上百分之九十九的汗水！ 书 少 成功 山 壮 =有 艰苦的劳动 不 勤 路 努 奋、守 勤力 为 ，老 径，学 +正确的方法 纪、团结、进取！ 大 海 徒 无伤 + 崖 少谈空话 苦作舟 悲
教学目标
奇函数的概念； 偶函数的概念；
函数奇偶性的判断；
【重点】函数奇偶性的概念
2 x 2 x, x 0, 故f ( x ) 2 x 2 x, x 0.
o
x
偶函数定义：
如果对于函数定义域内的 任意一个x ,都有f(-x）=f(x)。那 么f(x)就叫偶函数。
奇函数定义：如果对于函数定
义域内的任意一个x ,都有f(-x） =-f(x)那么f(x)就叫奇函数。
思考:偶函数与奇函数图象有什么
特征呢?
判断函数奇偶性步骤:
(1)先确定函数定义域,并判断 定义域是否关于原点对称; (2)确定f(x)与f(-x)的关系; (3)作出结论. 若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0, 则f(x)是偶函数; 若f(-x)= - f(x)或f(-x)+f(x)=0, 则f(x)是奇函数.
例2.判断下列函数的奇偶性:
（1） f ( x) x ;
3
2
1 f ( x) x 2 ; （2） x
(3)
先确定定义域,再 验证f(x)与f(-x)之 间的关系.
f ( x) x 2 x 2 ;
3 f ( x ) x 解:(1)对于函数 ，其定义 域为(,) ，因为对定义域内的
o o
f ( x) x 2
x
x
f ( x) x
x
f ( x) x 2
-3 -2 9 4
-1
1
0 0 0 0
1
1
1 1
2 4 2 2
3 9 3 3
x
f ( x) x
-3 -2 -1 1 2 3
● 我们得到: ● 1 这两个函数图象都关于y轴对称. ● 2 从函数值对应表可以看到: ● 当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值相同. 即点(x,f(x))在图象上,相应的点(-x,f(x))也在函数图象 上。 能否利用函数解析式来描述函数图象的特征呢？
思考2：完成课本页的练习
思 考：
小结：
● 奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内，把 任意一个x换成-x，(x,-x均在定义域内） ①若有f(-x)=-f(x), 则f(x)叫做奇函数； ②若有f(-x)=f(x), 则f(x)叫做偶函数。 ● 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必 要条件。 ● 性质: 奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y轴对称. ● 判断奇偶性方法：图象法，定义法。
例3.已知f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=x2－2x, 求当 x＜0时,f(x)的解析式,并画出此函数 f(x) y 的图象. 解:∵f(x)是奇函数, ∴f(-x)=－f(x). ∵当x≥0时,f(x)=x2－2x, ∴当x＜0时,-x>0, f(-x) = (-x)2-2(-x) = x2+2x, 即 -f(x)= (x2+2x),∴ f(x)=-x2-2x.
2.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2),f(2), f(-1),f(1)及f(-x) 解: f(-2)=(-2)3=-8, f (2)=8 (x,y) f(-2)= - f(2) f(-1)=(-1)3=-1, f(1)=1 f(-1)= - f(1) (-x,-y) f(-x)=(-x)3=-x3 f(-x)=- f(x)
1奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内， ①若有f(-x)=-f(x), 则f(x)叫做奇函数；
②若有f(-x)=f(x), 则f(x)叫做偶函数。
2图象性质: 奇函数的图象关于原点对称;
偶函数的图象关于y轴对称.
3判断奇偶性方法：图象法，定义法。 4定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提
f ( x) x2 x (,1]
-1
1
x
f ( x) x2（x 1）
f ( x) x 2 x (, 1] [1, )
对于奇、偶函数定义的几点说明:
(1) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条 件。
[-b,-a]
o
[a ,b]
x
(2) 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，