函数奇偶性课件公开课
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函数的奇偶性(精辟讲解)精品PPT课件
f(x)＝－f(－x)． (2)可用定义法，也可以用特殊值代入，如 f(1)＝f(－1)， 再验证． (3)可考虑 f(x)在[－2,2]上的单调性．
解 (1)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数， ∴f(0)＝0，当 x<0 时，－x>0， 由已知 f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝－f(x)． ∴f(x)＝－x2－x＋1.
所以 f(x)在(0，＋∞)内单调递增．
故|lg x|>1，即 lg x>1 或 lg x<－1，
解得
x>10
或
1 0<x<10.
点评 解决本题的关键在于利用函数的奇偶性把不等
式两边的函数值转化到同一个单调区间上，然后利用函
数的单调性脱掉符号“f”．
题型三 函数的奇偶性与周期性 例 3 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，
域是否关于原点对称．若对称，再验证 f(－x)＝±f(x)或
其等价形式 f(－x)±f(x)＝0 是否成立．
解 (1)由x32－－x32≥≥0
，得 x＝±3.∴f(x)的定义域为{－3,3}．
又 f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.即 f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．
基础自测
1．下列函数中，所有奇函数的序号是__②__③____．
①f(x)＝2x4＋3x2；②f(x)＝x3－2x； ③f(x)＝x2＋x 1；④f(x)＝x3＋1. 解析 由奇偶函数的定义知：①为偶函数；②③为奇函
数；④既不是偶函数，也不是奇函数． 2．若函数 f(x)＝2x＋2 1＋m 为奇函数，则实数 m＝_－__1__.
f (x) 0x2 x 1
解 (1)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数， ∴f(0)＝0，当 x<0 时，－x>0， 由已知 f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝－f(x)． ∴f(x)＝－x2－x＋1.
所以 f(x)在(0，＋∞)内单调递增．
故|lg x|>1，即 lg x>1 或 lg x<－1，
解得
x>10
或
1 0<x<10.
点评 解决本题的关键在于利用函数的奇偶性把不等
式两边的函数值转化到同一个单调区间上，然后利用函
数的单调性脱掉符号“f”．
题型三 函数的奇偶性与周期性 例 3 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，
域是否关于原点对称．若对称，再验证 f(－x)＝±f(x)或
其等价形式 f(－x)±f(x)＝0 是否成立．
解 (1)由x32－－x32≥≥0
，得 x＝±3.∴f(x)的定义域为{－3,3}．
又 f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.即 f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．
基础自测
1．下列函数中，所有奇函数的序号是__②__③____．
①f(x)＝2x4＋3x2；②f(x)＝x3－2x； ③f(x)＝x2＋x 1；④f(x)＝x3＋1. 解析 由奇偶函数的定义知：①为偶函数；②③为奇函
数；④既不是偶函数，也不是奇函数． 2．若函数 f(x)＝2x＋2 1＋m 为奇函数，则实数 m＝_－__1__.
f (x) 0x2 x 1
函数的奇偶性课件PPT(共20张PPT)
已知f(x)，g(x)是定义域为R的函数，
并且f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下
图补充完整。
y
y
o
x
f(x)
o
x
g(x)
欣赏下面的图片，你在生活中发现有什么地方用 到了今天的知识吗？
欣赏下面的图片，你在生活中发现有什么地方 用到了今天的知识吗？
欣赏下面的图片，你在生活中发现有什么地方用到 了今天的知识吗？
3、什么是轴对称图形和中心对称图形。
y
y=x
2
9 从图象上你能发 如果定义域关于原点对称，且对定义域内的任意一个x
2、通过具体函数，让学生经历奇函数、偶函数定义的讨论，体验数学概念的建立过程，培养其抽象的概括力。
8 如果定义域关于原点对称，且对定义域内的任意一个x
从图象上你能发现什么吗？
现什么吗？
已知f(x)，g(x)是定义域为R的函数，并且f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整。
f(-1)=1 =f(1) 已知f(x)，g(x)是定义域为R的函数，并且f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整。
-3 -2 -1 0 1 2 3 已知f(x)，g(x)是定义域为R的函数，并且f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整。
观察图象，你能发现它们的共同特征吗？
6 4
y
y=x
2
6y 4
y=
1 x
2
42 -2 -4 -6
246 x
42 -2 -4 -6
246 x
f(-3)=3 =-f(3) f(-2)=2 =-f(2)
f(-1)=1 =-f(1)
f(-3)=- 13=-f(3) f(-2)=- 12=-f(2)
函数的奇偶性课件(公开课)
y
5 4 3 2 1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -1 -2 -3 -4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -1 -2 -3 -4
x
f ( x) x 2
-3 -2 -1 0 1 2
3
x
f ( x) x
-3 -2 -1 0 1 2
3 3
9 4
1 0 1 4 9
3 2 1 0 1 2
函数图 象关于y 轴对称
这样的函数我们称之为偶函数
函数奇偶性的定义一（“形”的角度）
一般地，图象关于原点对称的函数叫做奇函数 . 反之，奇函数的图象一定关于原点对称 . y 一般地，图象关于 轴对称的函数称为偶函数 . y 反之，偶函数的图象一定关于 轴对称. f ( x) 当函数 是奇函数或偶函数时，称函数具有 奇偶性.
请同学们回答一下什么是轴对称图形？
轴对称图形：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线 两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条 直线叫做对称轴.
1 请同学们观察函数 f ( x) x与函数 f ( x) 的图象 . x
函数图 象关于 原点对 称
这样的函数我们称之为奇函数
请同学们观察函数 f ( x) x2与函数f ( x) x的图象 .
答：定义域必须关于原点对称！
偶函数定义： 一般地，如果对于函数 f ( x ) 定义域内的任意一个x ， 都有 f ( x) f ( x)成立，则称函数 f ( x ) 为偶函数. f ( x ) 和 f ( x )的值相等，即 反之，偶函数 f ( x ) 中， f (- x) f ( x) .
该函数是非奇非偶函数
（4）f ( x) x 1
《函数的奇偶性》函数 PPT教学课件
∴f(x)是偶函数.
解:(1)∵由
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
(4)设 f(x)=(x-2)
∵由
+2
-2
≥ 0,
思维辨析
当堂检测
+2
.
-2
得 x≤-2 或 x>2,
-2 ≠ 0,
∴函数的定义域为(-∞,-2]∪(2,+∞),
不关于原点对称.
∴f(x)=(x-2)
+2
既不是奇函数也不是偶函数.
课前篇
自主预习
一
二
3.做一做
(1)下列函数是偶函,2]
B.y=x3-x2
C.y=x3
D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]
答案:D
(2)下列函数中,既是奇函数又是减函数的为(
A.y=x-1
B.y=3x2
1
C.y=2
答案:D
D.y=-x|x|
)
课前篇
探究三
思维辨析
当堂检测
4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4;当
x∈(0,+∞)时,f(x)=
.
解析:方法一:由于是填空题,故可采用直接代换法,将x用-x代替,
D.f(x)=x2+x4
答案:AD
当堂检测
)
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.有下列说法:
①偶函数的图像一定与y轴相交;
②若y=f(x)是奇函数,则由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;
③既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈R;
解:(1)∵由
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
(4)设 f(x)=(x-2)
∵由
+2
-2
≥ 0,
思维辨析
当堂检测
+2
.
-2
得 x≤-2 或 x>2,
-2 ≠ 0,
∴函数的定义域为(-∞,-2]∪(2,+∞),
不关于原点对称.
∴f(x)=(x-2)
+2
既不是奇函数也不是偶函数.
课前篇
自主预习
一
二
3.做一做
(1)下列函数是偶函,2]
B.y=x3-x2
C.y=x3
D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]
答案:D
(2)下列函数中,既是奇函数又是减函数的为(
A.y=x-1
B.y=3x2
1
C.y=2
答案:D
D.y=-x|x|
)
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4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4;当
x∈(0,+∞)时,f(x)=
.
解析:方法一:由于是填空题,故可采用直接代换法,将x用-x代替,
D.f(x)=x2+x4
答案:AD
当堂检测
)
课堂篇
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思维辨析
当堂检测
2.有下列说法:
①偶函数的图像一定与y轴相交;
②若y=f(x)是奇函数,则由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;
③既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈R;
3.3.2函数的奇偶性(1)省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
第10页
解：f(x)在(0,+∞) 上为增函数，作出f(x) 一部分图象；
(1)依据f(x)为奇函数能够作出另一部分图象， 由图象可知， f(x)在区间(-∞,0)上为增函数。
(2)依据f(x)为偶函数能够作出另一部分图象， 由图象可知， f(x)在区间(-∞,0)上为减函数。
第7页
二.奇函数和偶函数定义域特征
函数f(x)=x2定义 域为(-∞,+∞),函数 为偶函数；
函数f(x)= x3定义 域为[-2, 2],函数为 奇函数；
若定义域改为(-∞,2],
函数不是偶函数(当然 也不是奇函数பைடு நூலகம்。
若定义域改为[-1,2],
函数不是奇函数(当然 也不是偶函数)。
结论：奇函数和偶函数定义域一定关于原点对称。
反之，若函数定义域不关于原点对称，则这个函数一定 是非奇非偶函数。
假如函数图象关于原点对称,则函数就叫做奇函数. 作关于原点对称曲线时，可分两步进行，先作关于y轴对 称曲线，再作关于x轴对称曲线。 二.奇函数和偶函数定义域特征 奇函数和偶函数定义域一定关于原点对称。 反之，若函数定义域不关于原点对称，则这个函数一定 是非奇非偶函数。 三.奇函数和偶函数定义 假如对于函数y=f(x)定义域内任意一个x,都有: (1) f(x)=-f(x),则这个函数叫做奇函数；(2) f(-x)=f(x),则这个函数 叫做偶函数。 作业:P824,P858,9 练习册: P368， P375
第3页
再看函数图象：f(x)=x，g(x)=x3，h(x)=x-1 ：
这一组函数特征是： 图象关于原点轴对称。 假如函数图象关于原点轴对称,则函数就叫做 奇函数.
第4页
例:依据奇偶性,作出 函数f(x)图象另一部分. (1) f(x)为偶函数 ； (2) f(x)为奇函数。
解：f(x)在(0,+∞) 上为增函数，作出f(x) 一部分图象；
(1)依据f(x)为奇函数能够作出另一部分图象， 由图象可知， f(x)在区间(-∞,0)上为增函数。
(2)依据f(x)为偶函数能够作出另一部分图象， 由图象可知， f(x)在区间(-∞,0)上为减函数。
第7页
二.奇函数和偶函数定义域特征
函数f(x)=x2定义 域为(-∞,+∞),函数 为偶函数；
函数f(x)= x3定义 域为[-2, 2],函数为 奇函数；
若定义域改为(-∞,2],
函数不是偶函数(当然 也不是奇函数பைடு நூலகம்。
若定义域改为[-1,2],
函数不是奇函数(当然 也不是偶函数)。
结论：奇函数和偶函数定义域一定关于原点对称。
反之，若函数定义域不关于原点对称，则这个函数一定 是非奇非偶函数。
假如函数图象关于原点对称,则函数就叫做奇函数. 作关于原点对称曲线时，可分两步进行，先作关于y轴对 称曲线，再作关于x轴对称曲线。 二.奇函数和偶函数定义域特征 奇函数和偶函数定义域一定关于原点对称。 反之，若函数定义域不关于原点对称，则这个函数一定 是非奇非偶函数。 三.奇函数和偶函数定义 假如对于函数y=f(x)定义域内任意一个x,都有: (1) f(x)=-f(x),则这个函数叫做奇函数；(2) f(-x)=f(x),则这个函数 叫做偶函数。 作业:P824,P858,9 练习册: P368， P375
第3页
再看函数图象：f(x)=x，g(x)=x3，h(x)=x-1 ：
这一组函数特征是： 图象关于原点轴对称。 假如函数图象关于原点轴对称,则函数就叫做 奇函数.
第4页
例:依据奇偶性,作出 函数f(x)图象另一部分. (1) f(x)为偶函数 ； (2) f(x)为奇函数。
函数的奇偶性课件(公开课中职班)
物理学中的应用
电磁学
奇偶性在电磁学中有着广泛的应用， 例如在研究电磁波的传播、电磁场的 分布以及电磁力的作用时，常常需要 利用函数的奇偶性进行分析和计算。
波动方程
在研究波动现象时，如声波、水波等 ，函数的奇偶性可以帮助我们更好地 理解波的传播规律和特性。
经济学中的应用
金融分析
在金融数据分析中，奇偶性可以帮助我们更好地理解和预测股票、债券等金融 产品的价格走势。例如，股票价格的波动可能呈现出一定的周期性，而函数的 奇偶性可以帮助我们判断这种周期性的规律。
非奇非偶函数的定义
既不是奇函数也不是偶函数的函数称为非奇非偶函数。
非奇非偶函数的特性
非奇非偶函数的图像既不关于原点对称，也不关于y轴对称。
非奇非偶函数的例子
正切函数、正弦函数等。
02 奇偶性的判断方法
定义法
判断步骤包括：首先确定函数定义域是否关于原点对 称，然后计算$f(-x)$并与$f(x)$比较，最后根据定义 判断$f(-x)$与$f(x)$的关系得出结论。
函数的奇偶性课件(公开课中职班)
目录
• 函数奇偶性的定义 • 奇偶性的判断方法 • 奇偶性在生活中的应用 • 奇偶性的扩展知识 • 习题与解答
01 函数奇偶性的定义
奇函数
01
02
03
奇函数的定义
如果对于函数$f(x)$的定 义域内任意一个$x$，都 有$f(-x)=-f(x)$，则称 $f(x)$为奇函数。
统计学
在统计学中，数据的分布和变化规律常常可以用函数来描述，而函数的奇偶性 可以帮助我们更好地分析这些数据，例如判断数据的对称性、偏态等。
计算机科学中的应用
图像处理
在图像处理中，奇偶性可以帮助我们分析和处理图像的对称性、翻转等操作。例 如，在图像识别和计算机视觉中，可以利用函数的奇偶性进行特征提取和匹配。
3.2.1 函数的奇偶性 课件(共26张PPT)(2024年)
f(x)
g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x)
偶函数 偶函数 偶函数
f(x)g(x
)
f[g(x)]
注
意:f[g(x)]
偶函数 偶函数 偶函数 中,g(x)的
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 值域是f(x)
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 的定义域
奇函数 奇函数 奇函数
活动二：新知探究
偶函数的定义：
一般地，设函数 f（x）的定义域为 I ，如果∀x∈I,都
有-x∈I,且f(-x)=f(x), 那么函数 f（x）就叫做偶函数.
活动二：新知探究
偶函数的几点说明：
（1）偶函数的定义域必关于原点对称，即若 x 是定义域内的
一个值，则 –x 也一定在定义域内.
（2）“函数 f（x）为偶函数”是“函数 f（x）图象关于y轴对
奇函数 偶函数 奇函数 的子集.
活动二：新知探究
类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图象
关于y轴对称”这一特征吗？
不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况
x
···
-3
-2
-1
0
1
2
3
···
f(x)=x²
···
9
4
1
0
1
4
9
···
g(x)=2-|x|
···
-1
0
1
2
1
0
-1
···
可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等.
称”的充要条件.
活动二：新知探究
1
探究：观察函数 f(x)=x和g(x)= 的图象，你能发现这两个函数
函数奇偶性完整(公开课课件)ppt课件
精品课件
21
(3)f(x)=0 (xR)
解:函数f(x)的定义域为R． ∵ f(-x)=f(x)=0， 又 f(-x)=-f(x)=0， ∴f(x)为既奇又偶函数．
(4) f(x)=x+1
解:函数定义域为R． ∵ f(-x)= -x+1， - f(x)= -x-1, ∴f(-x)≠f(x),且f(-x)≠ –f(x). ∴f(x)为非奇非偶函数.
临沂三中 李法学
精品课件
3
教学目标
➢1、理解奇函数、偶函数的概念； ➢2、函数奇偶性的判断； ➢3、奇、偶函数图象的性质
【重点】函数奇偶性的概念
【难点】函数奇偶性的判断
精品课件ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
观察下列两个函数图象并思考以下问题：
（1）这两个函数图象有什么共同特征吗？
这两个 函数的图像
（2）当自变量x取一对相反数时,相应的
说明f(-x)与f(x)都有意义，
即-x、x必须同时属于定义域，
因此偶函数的定义域关于原点对称的。
精品课件
7
思考：（1）下列函数图像是偶函数的图像吗?
y
y
y
。
1
x
1x
-1 1
x
f (x) x2
f(x)x2 x(,1] f(x)x2（x1） x(,1] [1,)
（2）下列说法是否正确，为什么？
①若f (－2) = f (2)，则函数 f (x)是偶函数． ②若f (－2) ≠ f (2)，则函数 f (x)不是偶函数．
● f(x)就叫做偶函数.
● 2、奇函数的图象关于
对称。
● 二、判断正误：
● 1、偶函数的图形不一定关于y轴对称…………（ ）
《函数的奇偶性》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】
坐标控制
f(x) = x
横坐标相反，纵坐标相反（如图）．
y
A: (–2.12, –2.12) 4
A': (2.12, 2.12)
3
f(xA')
A'
2
1
xA
O
–4 –3 –2 –1
–1
xA' 1 2 3 4x
追问3 你能用函数语言描述该特征吗？
–2
A
f(xA)
–3
–4
当函数的自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相反．
1 2xA' 3 4x
此时点A与点A′就是一组对称点．
追问2
新知探究
控刻度线 等单位长
你能说说这组对称点的坐修 坐标改 标刻 控度 制之间的关系吗？
f(x) = x2
横坐标相反，纵坐标相同（如图）．
y
A: (–2.29, 5.25) A': (2.29, 5.25) 8
7
f(xA)6 f(xA')
若点A是原点O，则对称点就是它本身；
A': (2.12, 2.12)
3
f(xA')
A'
2
若点A不是原点，将A绕原点O旋转180°得到A′，
1
xA
O
–4 –3 –2 –1
–1
xA' 1 2 3 4x
此时点A与点A′就是一组对称点．
–2
A
f(xA)
–3
–4
新知探究 坐标初始
坐标网格
隐藏刻度
控刻度线
追问2 你能说说这组对称点等修单改的位刻长度坐标之间的关系吗？
追问4
新知探究 坐标初始
《奇函数偶函数》课件
偶函数在其定义域内可导 或不可导，但偶函数在y轴 两侧的导数符号相反。
奇函数和偶函数的性质
01
奇偶性是函数的固有属 性，不随函数图像的平 移、伸缩或翻转而改变 。
02
奇函数和偶函数的定义 域必须关于原点对称。
03
奇函数和偶函数的定义 域可以是全体实数、正 实数、非负实数等。
04
奇函数APTER 02
奇函数和偶函数的图像
奇函数的图像
奇函数的图像关于原点对称，即对于 任意点$P(x, y)$在奇函数上，关于原 点对称的点$P'(-x, -y)$也在该奇函数 上。
奇函数的图像在坐标轴上的交点数量 是偶数。
奇函数的图像可能出现在第一、三、 五或七象限，但不可能出现在第二、 四象限。
奇函数的图像
奇函数的图像关于原点对 称。
奇函数的性质
奇函数在其定义域内可导 或不可导，但奇函数在原 点的导数一定为0。
偶函数的定义
偶函数的定义
如果对于函数$f(x)$的定 义域内任意一个$x$，都 有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
偶函数的图像
偶函数的图像关于y轴对称 。
偶函数的性质
数的性质和应用
06
思考题
总结词：拓展思维
总结词：培养创新能力
总结词：思考奇偶函数在 实际生活中的应用
总结词：激发探索精神
总结词：探究奇偶函数与 其他数学知识的联系
总结词：尝试设计一些有 趣的奇偶函数问题
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
偶函数的图像
偶函数的图像关于y轴对称，即 对于任意点$P(x, y)$在偶函数上 ，关于y轴对称的点$P'( - x, y)$
奇函数和偶函数的性质
01
奇偶性是函数的固有属 性，不随函数图像的平 移、伸缩或翻转而改变 。
02
奇函数和偶函数的定义 域必须关于原点对称。
03
奇函数和偶函数的定义 域可以是全体实数、正 实数、非负实数等。
04
奇函数APTER 02
奇函数和偶函数的图像
奇函数的图像
奇函数的图像关于原点对称，即对于 任意点$P(x, y)$在奇函数上，关于原 点对称的点$P'(-x, -y)$也在该奇函数 上。
奇函数的图像在坐标轴上的交点数量 是偶数。
奇函数的图像可能出现在第一、三、 五或七象限，但不可能出现在第二、 四象限。
奇函数的图像
奇函数的图像关于原点对 称。
奇函数的性质
奇函数在其定义域内可导 或不可导，但奇函数在原 点的导数一定为0。
偶函数的定义
偶函数的定义
如果对于函数$f(x)$的定 义域内任意一个$x$，都 有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
偶函数的图像
偶函数的图像关于y轴对称 。
偶函数的性质
数的性质和应用
06
思考题
总结词：拓展思维
总结词：培养创新能力
总结词：思考奇偶函数在 实际生活中的应用
总结词：激发探索精神
总结词：探究奇偶函数与 其他数学知识的联系
总结词：尝试设计一些有 趣的奇偶函数问题
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
偶函数的图像
偶函数的图像关于y轴对称，即 对于任意点$P(x, y)$在偶函数上 ，关于y轴对称的点$P'( - x, y)$
函数的奇偶性及其应用PPT课件(人教版)
f (x)，若存在 x，使f (-x)＝－f (x)，则函数y＝×f (x)一定是奇函数．( )③
不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( )④若f(x)是定义在R上的奇
函数,则f×(0)=0.( ) ×
√
题型一 ——函数奇偶性的判断
一看
二算
三判
1.判断下列函数的奇偶性
（1）f (x) x 1 （2）
图象关于y轴对称 ②f (x) = f (-x) =f (|x|)
定义域关于原点对称
（2）奇函数
①对于∀x∈I，都有-x∈I
图象关于原点对称 ②-f (x) = f (-x)
定义域关于原点对称
对于奇函数y=f(x)，若0∈I，则必有f(0)=0；
巩固概念
判断正误．①函数 f (x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．( )②对于函数y＝
（3）f
(x)
x 1，x 0 x 1，x 0
题型二 ——函数奇偶性的应用
1.若 f (x)＝ax2－bx＋1是定义域为[a，a＋1]的偶函数，则a=____,b=____
题型二 ——函数奇偶性的应用
2. 已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示。 （1）画出在区间[－5，0]上的图象； （2）写出使f (x)<0的x的取值集合．
题型二 ——函数奇偶性的应用
4. 若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x),满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则 f(x)解析式为________________
4 小结
1.函数的奇偶性的定义及图象： 2.判断函数的奇偶性的方法： 3.函数的奇偶性的应用：
函数奇偶性及其应用
1 知识点复习
1.从“形”上认识函数的奇偶性 y y=x2
不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( )④若f(x)是定义在R上的奇
函数,则f×(0)=0.( ) ×
√
题型一 ——函数奇偶性的判断
一看
二算
三判
1.判断下列函数的奇偶性
（1）f (x) x 1 （2）
图象关于y轴对称 ②f (x) = f (-x) =f (|x|)
定义域关于原点对称
（2）奇函数
①对于∀x∈I，都有-x∈I
图象关于原点对称 ②-f (x) = f (-x)
定义域关于原点对称
对于奇函数y=f(x)，若0∈I，则必有f(0)=0；
巩固概念
判断正误．①函数 f (x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．( )②对于函数y＝
（3）f
(x)
x 1，x 0 x 1，x 0
题型二 ——函数奇偶性的应用
1.若 f (x)＝ax2－bx＋1是定义域为[a，a＋1]的偶函数，则a=____,b=____
题型二 ——函数奇偶性的应用
2. 已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示。 （1）画出在区间[－5，0]上的图象； （2）写出使f (x)<0的x的取值集合．
题型二 ——函数奇偶性的应用
4. 若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x),满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则 f(x)解析式为________________
4 小结
1.函数的奇偶性的定义及图象： 2.判断函数的奇偶性的方法： 3.函数的奇偶性的应用：
函数奇偶性及其应用
1 知识点复习
1.从“形”上认识函数的奇偶性 y y=x2
1 第1课时 函数奇偶性的概念(共45张PPT)
【解】 (1)因为 x∈R， 所以－x∈R， 又因为 f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1| ＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|) ＝－f(x)， 所以 f(x)为奇函数. (2)因为函数 f(x)的定义域为{－1，1}， 关于原点对称，且 f(x)＝0， 所以 f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， 所以 f(x)既是奇函数又是偶函数.
解：(1)由题意作出函数图象如图所示：
(2)由图可知，单调递增区间为(－1，1). (3)由图可知，使 f(x)<0 的 x 的取值集合为(－2，0)∪(2，＋∞).
巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性. (2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象. (3)根据奇(偶)函数关于原点(y 轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的 函数图象. [注意] 作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称 点为(－x0，－y0)，关于 y 轴的对称点为(－x0，y0).
C.坐标原点对称
D.直线 y＝x 对称
解析：选 C.函数 f(x)＝1x－x 是奇函数，其图象关于坐标原点对称.
3.(2020·武汉高一检测)函数 f(x)＝x＋x22＋a＋8 3为奇函数，则实数 a＝
(
)
A.－1
B.1
C.－32
D.32
解析：选 C.由题得 f(x)为奇函数，则 f(0)＝0，即 0＋2a＋3＝0，所以 a＝
探究点 2 奇、偶函数的图象 已知函数 y＝f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x≤0 时，f(x)＝x2＋2x.
现已画出函数 f(x)在 y 轴左侧的图象，如图所示.
(1)请补出完整函数 y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数 y＝f(x)的递增区间； (3)根据图象写出使 f(x)<0 的 x 的取值集合.
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(1) f(x)=x3+2x； (2) f(x)=2x4+3x2； 解: 函数定义域为R． ∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2 =2x4+3x2 = f(x) ∴f(x)为偶函数． 解: 函数定义域为R． ∵f(-x)=(-x)3+2(-x) = -x3-2x = -(x3+2x) = - f(x) ∴f(x)为奇函数．
(3) f ( x ) 1 x 2 x 2 1
(4)f(x)=|x+1|-|x-1|
解:函数的定义域为{-1,1},
f (1) f (1) f (1) 0.
∴f(x)既是偶函数, 又是奇函数.
1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x ,
如果都有f(-x)=-f(x)⇔f(x)为奇函数. 如果都有f(-x)=f(x) ⇔f(x)为偶函数. 2.两个性质: 一个函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称. 一个函数为偶函数⇔它的图象关于y 轴对称. 3.判断函数奇偶性的步骤 ①考查函数定义域是否关于原点对称； ②判断f(-x)＝±f(x)之一是否成立； ③作出结论.
思考1：函数f(x)=2x+1是奇函数吗？是 偶函数吗？ y
分析：函数的定义域为R 但是f(-x)=2(-x)+1 = -2x+1
∴ 2 0 f(x) -1 1
f(x)=2x+1
f(-x) ≠ - f(x)且f(-x) ≠
x
∴f(x)既不是奇函数也不是偶函 数。（也称为非奇非偶函数） 如右图所示：图像既不关于原点 对称也不关于y轴对称。
2 x 2 x, x 0, 故f ( x ) 2 x 2 x, x 0.
o
x
偶函数定义：
如果对于函数定义域内的 任意一个x ,都有f(-x）=f(x)。那 么f(x)就叫偶函数。
奇函数定义：如果对于函数定
义域内的任意一个x ,都有f(-x） =-f(x)那么f(x)就叫奇函数。
函数y=x3的图像
概念形成
2.奇函数的概念
设函数的定义域为数集D，如果对于任意的 x D
都有 x D 且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做
奇函数.
奇函数的特征:
①解析式的基本特征：
f (-x)=-f (x)
②图像特征:关于原点对称.
下列函数是偶函数吗?
y y x y
1
。
1 x
那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.
(3) 函数的奇偶性是函数的整体性质.
奇、偶函数的性质:
一个函数f(x)是偶函数的充要条件是,它的图象 是以y轴为对称轴的轴对称图形; 一个函数f(x)是奇函数充要条件是,它的图象 是以坐标原点为对称中心的中心对称图形.
（1）图像法
（2）定义法
图象法
例1.根据下列函数图象,判断函数奇偶性.
例2.判断下列函数的奇偶性:
（1） f ( x) x ;
3
2
1 f ( x) x 2 ; （2） x
(3)
先确定定义域,再 验证f(x)与f(-x)之 间的关系.
f ( x) x 2 x 2 ;
3 f ( x ) x 解:(1)对于函数 ，其定义 域为(,) ，因为对定义域内的
Y=x2
当x1=1, x2= -1时， f(-1)=f(1) 当x1=2, x2= -2时， f(-2)=f(2) 对任意x，f(-x)=f(x)
-x x
偶函数的图像特征
偶函数的 图象关于 Y轴对称.
函数y=x2的图像
概念形成
1. 偶函数的概念
设函数的定义域为数集D，如果对于任意的 x D
奇函数; 偶函数; 既奇又 偶函数; 非奇非 偶函数.
判定函数的奇偶性的步骤： (1)先求函数的定义域； ①若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为 非奇非偶函数. ②若定义域是关于原点对称的区间,进入第二步; (2)计算f(－x)化向 f ( x ) 的解析式； ①若等于 f ( x ),则函数是偶函数, ②若等于－f ( x ),则函数是奇函数, ③若不等于 f ( x ) ,则函数是非奇非偶函数 (3)结论. 有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑判定 f(-x)±f(x)=0或判定f(x)/f(-x)=±1.
y y
偶
x
奇
x
2 f ( x) 2 x 11
y
f ( x) x
-1
2
非奇 非偶 x
y
-1 1
奇
x
f ( x) x 2 , x [1,2]
f ( x) x 3 , x [1,1]
定义法
课本例4
用定义法判断函数奇偶性解题步骤:
(1)先确定函数定义域,并判断 定义域是否关于原点对称;
思考 : 通过练习,你发现了什么规律?
注意： (1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的 奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;而 函数的单调性是函数的局部性质.
(2)由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇 偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意 一个 x ，则 -x 也一定是定义域内的一个自变量 (即定义域关于原点对称)．
【难点】函数奇偶性的判断
【教法】自学辅导法、讨论法、讲授法
【学法】归纳——讨论——练习 【教学手段】多媒体电脑与投影仪
两个分别关于X轴、y轴或原点o对称的点， 其坐标各具有什么特征呢？
观察下列两个函数图象并思考以下问题： （1）这两个函数图象有什么共同特征吗？ （2）当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值如 y 何? y
都有 x D 且 f(-x)=f(x), 那么函数 f(x) 就叫做
偶函数.
偶函数的特征:
①解析式的基本特征： f (-x)=f (x) ②图像特征:关于y轴对称.
再观察下列函数的图象，它们又有什么样的特点 y 规律呢？
x0 O x0 x
fx = x3
f ( x)
1 ( x 0) x
f ( x) x2 x (,1]
-1
1
x
f ( x) x2（x 1）
f ( x) x 2 x (, 1] [1, )
对于奇、偶函数定义的几点说明:
(1) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条 件。
[-b,-a]
o
[a ,b]
x
(2) 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，
2.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2),f(2), f(-1),f(1)及f(-x) 解: f(-2)=(-2)3=-8, f (2)=8 (x,y) f(-2)= - f(2) f(-1)=(-1)3=-1, f(1)=1 f(-1)= - f(1) (-x,-y) f(-x)=(-x)3=-x3 f(-x)=- f(x)
例3.已知f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=x2－2x, 求当 x＜0时,f(x)的解析式,并画出此函数 f(x) y 的图象. 解:∵f(x)是奇函数, ∴f(-x)=－f(x). ∵当x≥0时,f(x)=x2－2x, ∴当x＜0时,-x>0, f(-x) = (-x)2-2(-x) = x2+2x, 即 -f(x)= (x2+2x),∴ f(x)=-x2-2x.
1 y xห้องสมุดไป่ตู้
y
当x1 1, x2 1时， f (1) f (1).
-x -1 -1 1 1
对任意x, 都有 f ( x) f ( x)
x x
引例
1.已知函数f(x)=x2,求f(-2),f(2), f(-1),f(1),及f(-x) , 并画出它的图象． 解: f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4 f(-2)=f(2) f(-1)=(-1)2=1 f(-x)=(-x)2=x2 f(1)=1 f(-x)=f(x) f(-1)=f(1) 思考 :(1)这两个函数图象有什么共同特征吗？ (2)从解析式上如何体现上述特征？
(5)f(x)=0 (xR)
解:函数f(x)的定义域为R． ∵ f(-x)=f(x)=0， 又 f(-x)=-f(x)=0， ∴f(x)为既奇又偶函数． (6) f(x)=x+1
解:函数定义域为R． ∵ f(-x)= -x+1， - f(x)= -x-1, ∴f(-x)≠f(x),且f(-x)≠ –f(x). ∴f(x)为非奇非偶函数. 根据奇偶性, 函数可划分为四类:
1奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内， ①若有f(-x)=-f(x), 则f(x)叫做奇函数；
②若有f(-x)=f(x), 则f(x)叫做偶函数。
2图象性质: 奇函数的图象关于原点对称;
偶函数的图象关于y轴对称.
3判断奇偶性方法：图象法，定义法。 4定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提
思考2：完成课本页的练习
思 考：
小结：
● 奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内，把 任意一个x换成-x，(x,-x均在定义域内） ①若有f(-x)=-f(x), 则f(x)叫做奇函数； ②若有f(-x)=f(x), 则f(x)叫做偶函数。 ● 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必 要条件。 ● 性质: 奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y轴对称. ● 判断奇偶性方法：图象法，定义法。
天才就是百分之一的灵感加上百分之九十九的汗水！ 书 少 成功 山 壮 =有 艰苦的劳动 不 勤 路 努 奋、守 勤力 为 ，老 径，学 +正确的方法 纪、团结、进取！ 大 海 徒 无伤 + 崖 少谈空话 苦作舟 悲
教学目标
奇函数的概念； 偶函数的概念；
函数奇偶性的判断；
【重点】函数奇偶性的概念
(3) f ( x ) 1 x 2 x 2 1
(4)f(x)=|x+1|-|x-1|
解:函数的定义域为{-1,1},
f (1) f (1) f (1) 0.
∴f(x)既是偶函数, 又是奇函数.
1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x ,
如果都有f(-x)=-f(x)⇔f(x)为奇函数. 如果都有f(-x)=f(x) ⇔f(x)为偶函数. 2.两个性质: 一个函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称. 一个函数为偶函数⇔它的图象关于y 轴对称. 3.判断函数奇偶性的步骤 ①考查函数定义域是否关于原点对称； ②判断f(-x)＝±f(x)之一是否成立； ③作出结论.
思考1：函数f(x)=2x+1是奇函数吗？是 偶函数吗？ y
分析：函数的定义域为R 但是f(-x)=2(-x)+1 = -2x+1
∴ 2 0 f(x) -1 1
f(x)=2x+1
f(-x) ≠ - f(x)且f(-x) ≠
x
∴f(x)既不是奇函数也不是偶函 数。（也称为非奇非偶函数） 如右图所示：图像既不关于原点 对称也不关于y轴对称。
2 x 2 x, x 0, 故f ( x ) 2 x 2 x, x 0.
o
x
偶函数定义：
如果对于函数定义域内的 任意一个x ,都有f(-x）=f(x)。那 么f(x)就叫偶函数。
奇函数定义：如果对于函数定
义域内的任意一个x ,都有f(-x） =-f(x)那么f(x)就叫奇函数。
函数y=x3的图像
概念形成
2.奇函数的概念
设函数的定义域为数集D，如果对于任意的 x D
都有 x D 且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做
奇函数.
奇函数的特征:
①解析式的基本特征：
f (-x)=-f (x)
②图像特征:关于原点对称.
下列函数是偶函数吗?
y y x y
1
。
1 x
那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.
(3) 函数的奇偶性是函数的整体性质.
奇、偶函数的性质:
一个函数f(x)是偶函数的充要条件是,它的图象 是以y轴为对称轴的轴对称图形; 一个函数f(x)是奇函数充要条件是,它的图象 是以坐标原点为对称中心的中心对称图形.
（1）图像法
（2）定义法
图象法
例1.根据下列函数图象,判断函数奇偶性.
例2.判断下列函数的奇偶性:
（1） f ( x) x ;
3
2
1 f ( x) x 2 ; （2） x
(3)
先确定定义域,再 验证f(x)与f(-x)之 间的关系.
f ( x) x 2 x 2 ;
3 f ( x ) x 解:(1)对于函数 ，其定义 域为(,) ，因为对定义域内的
Y=x2
当x1=1, x2= -1时， f(-1)=f(1) 当x1=2, x2= -2时， f(-2)=f(2) 对任意x，f(-x)=f(x)
-x x
偶函数的图像特征
偶函数的 图象关于 Y轴对称.
函数y=x2的图像
概念形成
1. 偶函数的概念
设函数的定义域为数集D，如果对于任意的 x D
奇函数; 偶函数; 既奇又 偶函数; 非奇非 偶函数.
判定函数的奇偶性的步骤： (1)先求函数的定义域； ①若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为 非奇非偶函数. ②若定义域是关于原点对称的区间,进入第二步; (2)计算f(－x)化向 f ( x ) 的解析式； ①若等于 f ( x ),则函数是偶函数, ②若等于－f ( x ),则函数是奇函数, ③若不等于 f ( x ) ,则函数是非奇非偶函数 (3)结论. 有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑判定 f(-x)±f(x)=0或判定f(x)/f(-x)=±1.
y y
偶
x
奇
x
2 f ( x) 2 x 11
y
f ( x) x
-1
2
非奇 非偶 x
y
-1 1
奇
x
f ( x) x 2 , x [1,2]
f ( x) x 3 , x [1,1]
定义法
课本例4
用定义法判断函数奇偶性解题步骤:
(1)先确定函数定义域,并判断 定义域是否关于原点对称;
思考 : 通过练习,你发现了什么规律?
注意： (1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的 奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;而 函数的单调性是函数的局部性质.
(2)由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇 偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意 一个 x ，则 -x 也一定是定义域内的一个自变量 (即定义域关于原点对称)．
【难点】函数奇偶性的判断
【教法】自学辅导法、讨论法、讲授法
【学法】归纳——讨论——练习 【教学手段】多媒体电脑与投影仪
两个分别关于X轴、y轴或原点o对称的点， 其坐标各具有什么特征呢？
观察下列两个函数图象并思考以下问题： （1）这两个函数图象有什么共同特征吗？ （2）当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值如 y 何? y
都有 x D 且 f(-x)=f(x), 那么函数 f(x) 就叫做
偶函数.
偶函数的特征:
①解析式的基本特征： f (-x)=f (x) ②图像特征:关于y轴对称.
再观察下列函数的图象，它们又有什么样的特点 y 规律呢？
x0 O x0 x
fx = x3
f ( x)
1 ( x 0) x
f ( x) x2 x (,1]
-1
1
x
f ( x) x2（x 1）
f ( x) x 2 x (, 1] [1, )
对于奇、偶函数定义的几点说明:
(1) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条 件。
[-b,-a]
o
[a ,b]
x
(2) 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，
2.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2),f(2), f(-1),f(1)及f(-x) 解: f(-2)=(-2)3=-8, f (2)=8 (x,y) f(-2)= - f(2) f(-1)=(-1)3=-1, f(1)=1 f(-1)= - f(1) (-x,-y) f(-x)=(-x)3=-x3 f(-x)=- f(x)
例3.已知f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=x2－2x, 求当 x＜0时,f(x)的解析式,并画出此函数 f(x) y 的图象. 解:∵f(x)是奇函数, ∴f(-x)=－f(x). ∵当x≥0时,f(x)=x2－2x, ∴当x＜0时,-x>0, f(-x) = (-x)2-2(-x) = x2+2x, 即 -f(x)= (x2+2x),∴ f(x)=-x2-2x.
1 y xห้องสมุดไป่ตู้
y
当x1 1, x2 1时， f (1) f (1).
-x -1 -1 1 1
对任意x, 都有 f ( x) f ( x)
x x
引例
1.已知函数f(x)=x2,求f(-2),f(2), f(-1),f(1),及f(-x) , 并画出它的图象． 解: f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4 f(-2)=f(2) f(-1)=(-1)2=1 f(-x)=(-x)2=x2 f(1)=1 f(-x)=f(x) f(-1)=f(1) 思考 :(1)这两个函数图象有什么共同特征吗？ (2)从解析式上如何体现上述特征？
(5)f(x)=0 (xR)
解:函数f(x)的定义域为R． ∵ f(-x)=f(x)=0， 又 f(-x)=-f(x)=0， ∴f(x)为既奇又偶函数． (6) f(x)=x+1
解:函数定义域为R． ∵ f(-x)= -x+1， - f(x)= -x-1, ∴f(-x)≠f(x),且f(-x)≠ –f(x). ∴f(x)为非奇非偶函数. 根据奇偶性, 函数可划分为四类:
1奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内， ①若有f(-x)=-f(x), 则f(x)叫做奇函数；
②若有f(-x)=f(x), 则f(x)叫做偶函数。
2图象性质: 奇函数的图象关于原点对称;
偶函数的图象关于y轴对称.
3判断奇偶性方法：图象法，定义法。 4定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提
思考2：完成课本页的练习
思 考：
小结：
● 奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内，把 任意一个x换成-x，(x,-x均在定义域内） ①若有f(-x)=-f(x), 则f(x)叫做奇函数； ②若有f(-x)=f(x), 则f(x)叫做偶函数。 ● 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必 要条件。 ● 性质: 奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y轴对称. ● 判断奇偶性方法：图象法，定义法。
天才就是百分之一的灵感加上百分之九十九的汗水！ 书 少 成功 山 壮 =有 艰苦的劳动 不 勤 路 努 奋、守 勤力 为 ，老 径，学 +正确的方法 纪、团结、进取！ 大 海 徒 无伤 + 崖 少谈空话 苦作舟 悲
教学目标
奇函数的概念； 偶函数的概念；
函数奇偶性的判断；
【重点】函数奇偶性的概念