人教版_2021中考数学专题复习——相似三角形

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2021中考数学专题复习相似三角形的应用能力提升训练题2(附答案详解)

2021中考数学专题复习:相似三角形的应用能力提升训练题1（附答案详解） 1．如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m 的竹竿的影长是0．8m ，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1．2m ，又测得地面的影长为2．6m ，请你帮她算一下，树高是（）A ．3．25mB ．4．25mC ．4．45mD ．4．75m 2．如图所示，在离某建筑物4m 处有一棵树，在某时刻，1.2m 长的竹竿垂直地面，影长为2m ，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为2m ，则这棵树高约有多少米( )A ．6.4米B ．5.4米C ．4.4米D ．3.4米 3．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上．已知纸板的两条边DF ＝50cm ，EF ＝30cm ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5m ，CD ＝20m ，则树高AB 为（）A ．12mB ．13.5mC ．15mD ．16.5m 4．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE 测量建筑物的高度，已知标杆BE 高1.5m ，测得 1.2AB m =，12.8BC m =，则建筑物CD 的高是( )A ．17.5mB ．17mC ．16.5mD ．18m5．在小孔成像问题中，如图所示，若为O 到AB 的距离是18 cm ，O 到CD 的距离是6 cm ，则像CD 的长是物体AB 长的（）A ．13B ．12C ．2倍D ．3倍 6．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC =8，∠B =∠DAC ，则线段 AC 的长为（）A ．43B ．42C ．6D ．47．如图一天晚上，小颖由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1米，当她继续往前走到D 处时，测得影子DE 的长刚好是自己的身高，已知小颖的身高为1.5米，那么路灯A 的高度AB 为（）A ．8米B ．6米C ．4.5米D ．3米 8．在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为1.5米的人的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是（）.A ．18米B ．16米C ．20米D ．15米 9．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上.已知纸板的两条直角边40DE cm =，20EF cm =，测得边DF 离地面的高度 1.5AC m =，8CD m =，则树高AB 是（）A ．4米B ．4.5米C ．5米D ．5.5米10．数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米．则树高为（）A．3.0m B．4.0m C．5.0m D．6.0m11．如图，物理课上张明做小孔成像试验，已知蜡烛与成像板之间的距离为24cm，要使烛焰的像A′B′是烛焰AB的2倍，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛_____cm的地方．12．小明在离路灯底部6m处测得自己的影子长为1.2m，小明的身高为1.6m，那么路灯的高度为_____m．13．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.6米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为____米．14．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m.15．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为21m，那么这根旗杆的高度为_______m．16．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有井径5尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸．问井深几何？”意思是：如图，井径5BE =尺，立木高5AB =尺，4BD =寸0.4=尺，则井深x 为__________尺．17．如图，小颖周末晚上陪父母在斜江绿道上散步，她由路灯下A 处前进3米到达B 处时，测得影子BC 长的1米，已知小颖的身高1.5米，她若继续往前走3米到达D 处，此时影子DE 长为____米．18．如图，在河对岸有一矩形场地ABCD ，为了估测场地大小，在笔直的河岸l 上依次取点E ，F ，N ，使AE ⊥l ，BF ⊥l ，点N ，A ，B 在同一直线上．在F 点观测A 点后，沿FN 方向走到M 点，观测C 点发现∠1＝∠2．测得EF ＝15米，FM ＝2米，MN ＝8米，∠ANE ＝45°，则场地的边AB 为_______米，BC 为_______米．19．如图，身高1.8米的小石从一盏路灯下B 处向前走了8米到达点C 处时，发现自己在地面上的影子CE 长是2米，则路灯的高AB 为_____米．20．如图，校园内有一棵与地面垂直的树，树高为53米，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60 角时，第二次是阳光与地面成30角时，则两次测量的影长差为______米.21．如图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标作为点A再在河的这边选点B 和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．此时如果测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，求两岸间的大致距离AB．22．西安市的大雁塔又名“慈恩寺塔”，是国家级文物保护单位，玄奘为保存由天竺经丝绸之路带回长安的经卷主持修建了大雁塔，最初五层，后加盖至九层，是西安市的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B 正好在同一直线上，测得EC=4米，将标杆CD向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上(点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上)，这时测得FG=6米，GC=53米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB．23．如图，是一座横跨沙颖河的斜拉桥，拉索两端分别固定在主梁l和索塔h上，索塔h垂直于主梁l，垂足为D．拉索AE，BF，CG的仰角分别是α，45°，β，且α+β＝90°（α＜β），AB＝15m，BC＝5m，CD＝4m，EF＝3FG，求拉索AE的长．（精确到1m，参考数据：5≈2.24，2≈1.41）24．如图1是一把折叠椅子，图2是椅子完全打开支稳后的侧面示意图，AB表示地面所在的直线，其中AD和BC表示两根较粗的钢管，EG表示座板平面，//EG AB，交AC于点F，且13CFAF=，AB长60cm，60DAB∠=︒，75ABC∠=︒，FG长24cm，CD长24cm，（1）求座板EG的长；（2）求此时椅子的最大高度（即点D到直线AB的距离）．（结果保留根号）25．如图，小华和小康想用标杆来测量河对岸的树AB的高，两人在确保无安全隐患的情况下，小康在F处竖立了一根标杆EF，小华走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离DC＝16米；然后，小华在C处蹲下，小康平移标杆到H处时，小华恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离MC＝0.8米．已知EF＝GH＝2.4米，CF＝2米，FH＝1.6米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在CD上，CD⊥AC，EF⊥AC，CH⊥AC，AB⊥AC，根据以上测量过程及测量数据，请你求出树AB的高度．26．学习了相似三角形的知识后，爱探究的小明下晚自习后利用路灯的光线去测量了一路灯的高度，并作出了示意图：如图，路灯（点P）距地面若干米，身高1.6米的小明站在距路灯的底部（O点）20米的A点时，身影的长度AM为5米；（1）请帮助小明求出路灯距地面的高度；（2）若另一名身高为1.5米小龙站在直线OA上的C点时，测得他与小明的距离AC为7米，求小龙的身影的长度．27．如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG=4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度．28．（1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD 的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．AB、AD、DC之间的等量关系为；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D在线段AE上，且∠EDF=∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．29．小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度。

2021年中考数学专题汇编：相似三角形及其应用(含答案)

2021中考数学专题汇编：相似三角形及其应用一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，DE ∥BC ，若AD=2，AB=3，DE=4，则BC 等于 ( )A .5B .6C .7D .82. （2020·永州）如图，在ABC 中，2//,3AE EF BC EB =，四边形BCFE 的面积为21，则ABC 的面积是（）A. 913B. 25C. 35D. 633. （2020·嘉兴）如图，在直角坐标系中，△OAB 的顶点为O （0，0），A （4，3），B （3，0）．以点O 为位似中心，在第三象限内作与△OAB 的位似比为13的位似图形△OCD ，则点C 坐标为（）A ．（﹣1，﹣1）B ．（4,13--） C ．（41,3--） D ．（﹣2，﹣1）4. (2019•巴中)如图ABCD ，F 为BC 中点，延长AD 至E ，使13DE AD =∶∶，连接EF 交DC 于点G ，则:DEG CFG S S △△=A ．2∶3B ．3∶2C ．9∶4D ．4∶95. （2020·河南）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，边BC 在x 轴上，顶点A ，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，点D 的坐标为( )A. (32，2)B. (2，2)C. (114，2) D. (4，2)6. （2020·河北）在图5所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形ABCD 的位似图形是A.四边形NPMQB.四边形NPMRC.四边形NHMQD.四边形NHMR7. (2019•贺州)如图，在ABC △中，D E ，分别是AB AC ，边上的点，DE BC ∥，若23AD AB ==，，4DE =，则BC 等于A ．5B ．6C．7 D．88. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB 的垂直平分线，垂足为E.若BC＝3，则DE的长为()A. 1B. 2C. 3D. 49. （2020•丽水）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则ABCDEFGHSS正方形正方形的值是（）A．12+B．22+C．52-D．15410. （2020·新疆）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE 的面积为1，则BC的长为·······················································（）A．25B．5 C．45D．10二、填空题（本大题共8道小题）11. 如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC长为.12. 在某一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时同地测得一栋楼的影长为90 m，则这栋楼的高度为m.13. （2020·郴州）在平面直角坐标系中，将AOB∆以点O为位似中心，32为位似比作位似变换，得到11OBA∆.已知)3,2(A，则点1A的坐标是．14. 如图，在R t△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为_________．FE DBC A15. (2019•泸州)如图，在等腰Rt ABC△中，90C=︒∠，15AC=，点E在边CB上，2CE EB=，点D在边AB上，CD AE⊥，垂足为F，则AD长为__________．16. （2020·杭州）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把BCE△沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，2AE=，则DF=______，BE=______．FDBEAC17. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于________．18. （2020·长沙）如图，点P 在以MN 为直径的半圆上运动，（点P 与M ,N 不重合）PQ ⊥MN ，NE 平分∠MNP ，交PM 于点E ，交PQ 于点F . (1)PMPEPQPF ＋＝____________． (2)若MN PM PN •＝2,则NQMQ＝____________． F E NMP三、解答题（本大题共4道小题） 19. （2020·凉山州）（7分）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC ，边BC ＝120 mm ，高AD ＝80mm ，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？20. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，CD ∥AB ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点E ，求DE 的长.HKFEBA21. 已知：在等边△ABC中，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，且∠BAE ＝∠CBD＜60°，DH ⊥AB ，垂足为点H .(1)如图①，当点D 、E 分别在边AC 、BC 上时，求证：△ABE ≌△BCD ；(2)如图②，当点D 、E 分别在AC 、CB 延长线上时，探究线段AC 、AH 、BE 的数量关系；(3)在(2)的条件下，如图③，作EK ∥BD 交射线AC 于点K ，连接HK ，交BC 于点G ，交BD 于点P ，当AC ＝6，BE ＝2时，求线段BP 的长．22. 已知在△ABC中，AB 边上的动点D 由A 向B 运动（与A ，B 不重合），同时，点E 由点C 沿BC 的延长线方向运动（E 不与C 重合），连接DE 交AC 于点F ，点H 是线段AF 上一点.(1)如图①，若△ABC 是等边三角形，DH ⊥AC ，且D ，E 的运动速度相等，求HFAC的值.(2)如图②，若在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且点D ，E的运动速度之比是：1，求HFAC的值；(3)如图③，若在△ABC 中，AB=AC ，∠ADH=∠BAC=36°，记ACBC=m ，且点D ，E 的运动速度相等，试用含m 的代数式表示HFAC的值.图① 图② 图③2021中考数学专题汇编：相似三角形及其应用-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】B [解析]∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴=，即=，解得BC=6，故选B .2. 【答案】B【详解】解：∵//EF BC ∴AEF B AFE C ∠=∠∠=∠， ∴AEF ABC ∽ ∵23AE EB = ∴25AE AB = ∴255242AEB ABCS S ⎛⎫==⎪⎝⎭ ∴421AEBBCFESS =四边形 ∵21BCFE S =四边形 ∴AEBS =4∴=25ABCS故选：B ．3. 【答案】B【解析】本题考查了在坐标系中，位似图形点的坐标.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k ，那么与原图形上的点（x ，y ）对应的位似图形上的点的坐标为（kx ，ky ）或（–kx ，–ky ）.由A （4,3），位似比k ＝13，可得C （413,--）因此本题选B ．4. 【答案】D【解析】设DE x =，∵13DE AD =∶∶，∴3AD x =， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，3BC AD x ==， ∵点F 是BC 的中点，∴1322CF BC x ==， ∵AD BC ∥，∴DEG CFG △∽△，∴224()()392DEG CFG S DE x S CF x ===△△，故选D ．5. 【答案】B【解析】∵点A ，B 的坐标分别为(-2，6)和(7，0)，∴OC=2，AC=6，OB=7， ∴BC=9，正方形的边长为2．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，设正方形与x 轴的两个交点分别为G 、F ，∵EF ⊥x 轴，EF=GF=DG=2，∴EF ∥AC ，D ，E 两点的纵坐标均为2， ∴EF BF AC BC ，即269BF ，解得BF=3.∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2，∴ D 点的横坐标为2，∴点D 的坐标为 (2，2)．6. 【答案】A【解析】解析：连接AO 并延长AO 至点N ，连接BO 并延长PO 至点P, 连接CO 并延长CO 至点M, 连接DO 并延长DO 至Q ，可知12AO BO CO DO NO PO MO QO ====，所以以点O 为位似中心，四边形ABCD 的位似图形是四边形NPMQ ，故答案为A.7. 【答案】B【解析】∵DE BC ∥，∴ADE ABC △∽△， ∴AD DE AB BC=，即243BC =，解得：6BC =，故选B ．8. 【答案】A【解析】∵AD 是∠BAC 的平分线，AC ⊥BC ，AE ⊥DE, ∴DC ＝DE ，AE ＝AC .又∵DE 是AB 的垂直平分线，∴BE ＝AE ，即AB ＝2AE ＝2AC, ∴∠B ＝30°.设DE ＝x ，则BD ＝3－x .在Rt △BDE 中，x 3－x＝12，解得x ＝1，∴DE的长为1.9. 【答案】C【解析】∵四边形EFGH 为正方形，∴∠EGH ＝45°，∠FGH ＝90°，∵OG ＝GP ，∴∠GOP ＝∠OPG ＝67.5°，∴∠PBG ＝22.5°，又∵∠DBC ＝45°，∴∠GBC ＝22.5°，∴∠PBG ＝∠GBC ，∵∠BGP ＝∠BG ＝90°，BG ＝BG ，∴△BPG ≌△BCG ，∴PG ＝CG ．设OG ＝PG ＝CG ＝x ，∵O为EG，BD的交点，∴EG＝2x，FG2=x.∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF＝CG＝x，∴BG＝x2+x，∴BC2＝BG2+CG2()2222(21)422x x x=++=+，∴()22422222ABCDEFGHxSS x+==+正方形正方形，因此本题选D．10. 【答案】A【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理．如答图，过点E作EG⊥BC于G，过点A作AH⊥BC于H．又因为DF⊥BC，所以DF∥AH∥EG，四边形DEGF是矩形．所以△BDF∽△BAH，DF＝EG，所以DFAH＝BDBA，因为D为AB中点，所以BDBA＝12，所以DFAH ＝12．设DF＝EG＝x，则AH＝2x．因为∠BAC＝90°，所以∠B＋∠C＝90°，因为EG⊥BC，所以∠C＋∠CEG＝90°，所以∠B＝∠CEG，又因为∠BHA＝∠CGE＝90°，AB＝CE，所以△ABH≌△CEG，所以CG＝AH＝2x．同理可证△BDF∽△ECG，所以BFEG＝BDEC，因为BD＝12AB＝12CE，所以BF＝12EG＝12x．在R t△BDF中，由勾股定理得BD＝22DF BF+＝221()2x x+＝5x，所以AD＝5x，所以CE＝AB＝2AD＝5x．因为DE∥BC，所以AEAC＝ADAB＝12，所以AE＝12AC＝CE＝5x．在R t△ADE中，由勾股定理得DE＝22AD AE+＝225()(5)2x x+＝52x．因△DEF的面积为1，所以12DE·DF＝1，即12×52x·x＝1，解得x＝255，所以DE＝52×255＝5，因为AD＝BD，AE＝CE，所以BC＝2DE＝25，因此本题选D．二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】[解析]∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴=，即=，∴AC=或AC=-(舍去).12. 【答案】5413. 【答案】（，2）【解析】∵将△AOB 以点O 为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A 1OB 1，A （2，3），∴点A 1的坐标是：（×2，×3），即A 1（，2）．故答案为：（，2）．14. 【答案】5485【解析】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质．已知∠ACB ＝90°，AC ＝3， BC ＝4，由勾股定理，得AB ＝5．CD ⊥AB ，由三角形的面积，得CD ＝AC BC AB ⋅＝125．易得△ABC ∽△ACD ∽△CBD ，由相似三角形对应边成比例，得AD ＝AC AC AB ⋅＝95，BD ＝BC BC AB ⋅＝165．过点E 作EG ∥AB 交CD于点G ，由平行线分线段成比例，得DG ＝12CD ＝65，EG ＝85，所以DF ADGF EG=，即956855DF DF =-，所以DF ＝，故答案为5485． GF E DB CA15. 【答案】92【解析】如图，过D 作DH AC ⊥于H ，则∠AHD =90°，∵在等腰Rt ABC △中，90C =︒∠，15AC =， ∴15AC BC ==，45CAD ∠=︒， ∴∠ADH =90°–∠CAD =45°=∠CAD ， ∴AH DH =，∴CH =AC –AH =15–DH ，∵CF AE ⊥，∴90DHA DFA ∠=∠=︒，又∵∠ANH =∠DNF ，∴HAF HDF ∠=∠，∴ACE DHC △∽△，∴DH CH AC CE =， ∵2CE EB =，CE +BE =BC =15，∴10CE =， ∴151510DH DH -=， ∴9DH =，∴2292AD AH DH =+=，故答案为：92．16. 【答案】2 5－1【解析】设BE ＝x ，则AB ＝AE ＋BE ＝2＋x ．∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝2＋x ，AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠BEC ．由折叠得∠BEC ＝∠DEC ，EF ＝BE ＝x ，∴∠DCE ＝∠DEC ．∴DE ＝CD ＝2＋x ．∵点D ，F ，E 在同一条直线上，∴DF ＝DE －EF ＝2＋x －x ＝2．∵AB ∥CD ，∴△DCF ∽△EAF ，∴DC EA ＝DF EF ．∴22x +＝2x ，解得x 1＝5－1，x 2＝－5－1．经检验，x 1＝5－1，x 2＝－5－1都是分式方程的根．∵x ＞0，∴x ＝5－1，即BE ＝5－1．17. 【答案】78 【解析】如解图，过A 作AH ⊥BC ，∵AB ＝15，AC ＝20，∠BAC ＝90°，∴由勾股定理得，BC ＝152＋202＝25，∵AD ＝5，∴DC ＝20－5＝15，∵DE ⊥BC ，∠BAC ＝90°，∴△CDE ∽△CBA ，∴CE CA ＝CD CB ，∴CE ＝1525×20＝12.法一：BC·AH ＝AB·AC ，AH ＝AB·AC BC ＝15×2025＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.法二：DE ＝152－122＝9，由△CDE ∽△CAH 可得，CD CA ＝ED HA ，∴AH ＝9×2015＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.18. 【答案】1；215－【解析】本题考查了圆的基本性质，角平分线性质，平行相似，相似判定与性质，（1）作EH ⊥MN ，又∵MN 是直径，NE 平分∠MNP ，PQ ⊥MN ，∴易证出PE ＝EH ＝HF ＝PF ，EH ∥PQ ，∴△EMH ∽△PMQ ，∴PQ PF PQ EH PM ME ＝＝，∴1＝＋＝＋PM PE PM ME PM PE PQ PF ；（2）由相似基本图射影型得：解得MN QN PN •＝2又∵MN PM PN •＝2，∴QN ＝PM ，设QN ＝PM ＝a ，MQ ＝b ，由相似基本图射影型得：解得MN MQ PM •＝2，∴()b a b a ＋＝2解得()251a b ＋－＝或()251a b －－＝（舍去）∴215－＝＝a b NQ MQ ；因此本题答案为1；215－． F EQ N M P三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：设这个正方形零件的边长为x mm ，则△AEF 的边EF 上的高AK ＝(80－x)mm ．∵四边形EFHG 是正方形，∴EF ∥GH ，即EF ∥BC ．∴△AEF ∽△ABC ． ∴EF AK BC AD =，即8012080x x -=．∴x ＝48．∴这个正方形零件的边长是48 mm ．20. 【答案】解:∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD.∵AB ∥CD ，∴∠D=∠ABD ，∴∠CBD=∠D ，∴CD=BC=6.在Rt △ABC 中，AC===8.∵AB ∥CD ，∴△ABE ∽△CDE ，∴====，∴CE=AE ，DE=BE ，即CE=AC=×8=3.在Rt △BCE 中，BE===3， ∴DE=BE=×3=.21. 【答案】(1)证明：∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝∠C ＝∠CAB ＝60°，AB ＝BC ，在△ABE 和△BCD 中，⎩⎨⎧∠BAE ＝∠CBDAB ＝BC∠ABE ＝∠BCD， ∴△ABE ≌△BCD (ASA)；(2)解：∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝∠CAB ＝60°，AB ＝BC ，∴∠ABE ＝∠BCD ＝180°－60°＝120°.∴在△ABE 和△BCD 中，⎩⎨⎧∠BAE ＝∠CBDAB ＝BC∠ABE ＝∠BCD， ∴△ABE ≌△BCD (ASA)，∴BE ＝CD .∵DH ⊥AB ，∴∠DHA ＝90°，∵∠CAB ＝60°，∴∠ADH ＝30°，∴AD ＝2AH ，∴AC ＝AD －CD ＝2AH －BE ；(3)解：如解图，作DS ⊥BC 延长线于点S ，作HM ∥AC 交BC 于点M ，解图∵AC ＝6，BE ＝2，∴由(2)得AH ＝4，BH ＝2,与(1)同理可得BE ＝CD ＝2，CE ＝8，∵∠SCD ＝∠ACB ＝60°，∴∠CDS ＝30°，∴CS ＝1，SD ＝3，BS ＝7，∵BD 2＝BS 2＋SD 2＝72＋(3)2，∴BD ＝213，∵EK ∥BD ，∴△CBD ∽△CEK ，∴CB CE ＝CD CK ＝BD EK ，∴CK ＝CD ·CE CB ＝2×86＝83，EK ＝CE ·BD CB ＝8×2136＝8133. ∵HM ∥AC ，∴∠HMB ＝∠ACB ＝60°，∴△HMB 为等边三角形，BM ＝BH ＝HM ＝2， CM ＝CB －BM ＝4，又∵HM ∥AC ，∴△HMG ∽△KCG ，∴HM KC ＝MG CG ，即382＝MG 4－MG，∴MG ＝127，BG ＝267，EG ＝407， ∵EK ∥BD ，∴△GBP ∽△GEK ，∴BP EK ＝GB GE ， ∴BP ＝261315.22. 【答案】(1)过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，解图①∵△ABC 是等边三角形，∴△AGD 是等边三角形，∴AD =GD ，由题意知CE =AD ，∴CE =GD∵DG ∥BC ，∴∠GDF =∠CEF ，在△GDF 与△CEF 中，GDF CEF GFD EFC CE GD ⎧⎪⎨⎪=∠=∠∠∠⎩=， ∴△GDF ≌△CEF （AAS ），∴CF =GF ， ∵DH ⊥AG ，∴AH =GH ，∴AC =AG +CG =2GH +2GF =2（GH +GF ）=2HF ， ∴AC HF=2； (2)如解图②，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，解图②由题意知，点D ，E 3:1， ∴3，AD CE = ∵∠ABC =90°，∠BAC =30°，∴3，AD GD = ∴，AD AD CE GD = ∴GD =CE ，∵DG ∥BC ，∴∠GDF=∠CEF ，在△GDF 和△CEF 中，，GDF CEF GFD EFC GD CE ∠=∠∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩=∴△GDF ≌△CEF （AAS ），∴CF =GF ，∵∠ADH =∠BAC =30°，∴AH =HD ，∵∠AGD =∠HDG =60°，∴GH =HD ，∴AH =HG ，∴AC =AG +CG =2GH +2GF =2（GH +GF ）=2HF ， ∴AC HF=2； (3)如解图③，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，解图③∵DG ∥BC ，∴△AGD ∽△ACB ，∴=，GD BC m AG AC = ∵∠ADH =∠BAC =36°，AC=AB ，∴∠GHD =∠HGD =72°，∴GD =HD =AH ， ∴=，AH GD m AG AG= ∵AD =CE ， ∴==，GD GD GD m AD AG CE = ∵DG ∥BC ，∴△GDF ∽△ECF ，∴=，GD GF m CE CF= ∴GH +FG =m （AH +FC ）=m （AC-HF ），即HF =m （AC-HF ），∴1.=AC m HF m +。

2021届中考数学精品冲刺复习相似三角形之四大模型

似三角形，如图：
总结：AACB ＝AAEF ，∠CAE＝∠BAF―→△ACE∽△ABF．
跟踪训练
7．如图，点 A 在线段 BD 上，在 BD 的同侧作等
腰直角三角形 ABC 和等腰直角三角形 ADE，CD
与 BE，AE 分别交于点 P，M．对于下列结论：
①△BAE∽△CAD；②MP·MD＝MA·ME；③2CB2
＝CP·CM．其中正确的是
A．①②③
B．①
C．①②
(A ) D．②③
模型二：A 字型【模型归纳】有一个公共角(∠A)，此时需要从已知条件、图中隐含条件或通过证
明得另一对角相等．若题中未明确相似三角形对应顶点，则需要分类讨论．
【重要结论】 1．图④、⑤：AC2＝AD·AB． 2．图⑤：(1)CD2＝AD·BD；(2)BC2＝BD·AB． 3．双垂直模型常会在二次函数综合题中考查，常用到分类讨论思想，即未确定两三角形对应顶点时常通过不确定对应边列关系式求解．
跟踪训练 1．如图，⊙O 中，弦 AB 与弦 CD 相交于点 E，DE＝1．5，CE＝4，AE＝2，则 BE＝__3_____．
2．如图，在▱ABCD 中，点 E 在 DA 的延长线上，且 AE＝13 AD，连接 CE 交 BD 于点 F，则 EF∶FC 的值是__4_∶__3_______．
跟踪训练
3．如图，在△ABC 中，点 D 是 AB 边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，
AC＝2，△ADC 的面积为 1，则△BCD 的面积为
(C )
A．1
B．2
C．3
D．4
4．如图，直线 y＝12 x＋1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，点 B 在直线 y＝12 x＋1 上且点 B 的纵坐标为 3，点 P 在 x 轴上且不与坐标原点 O 重合，当以 A，B，P 为顶点的三角形与△AOC 相似时，点

初三中考数学专题复习：二次函数综合题(相似三角形问题)含答案

中考数学专题复习：二次函数综合题（相似三角形问题）1．如图①，二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 是抛物线上一动点．(1)求二次函数的表达式．(2)当点P 不与点A 、B 重合时，作直线AP ，交直线BC 于点Q ，若①ABQ 的面积是①BPQ 面积的4倍，求点P 的横坐标．(3)如图①，当点P 在第一象限时，连接AP ，交线段BC 于点M ，以AM 为斜边向①ABM 外作等腰直角三角形AMN ，连接BN ，①ABN 的面积是否变化？如果不变，请求出①ABN 的面积；如果变化，请说明理由．2．如图，二次函数2314y x bx =++的图像经过点()8,3A ，交x 轴于点B ，C （点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点D ．(1)填空：b = ______；(2)点P 是第一象限内抛物线上一点，直线PO 交直线CD 于点Q ，过点P 作x 轴的垂线交直线CD 于点T ，若PQ QT =，求点P 的坐标；(3)在x 轴的正半轴上找一点E ，过点E 作AE 的垂线EF 交y 轴于F ，若AEF 与EFO △相似，求OE 的长．3．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴的交点()0,6C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点(),P m n 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设PBC 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式(指出自变量m 的取值范围)和S 的最大值；(3)点M 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点M 、点N 使得①CMN ＝90°，且∆CMN 与OBC ∆相似，如果存在，请求出点M 和点N 的坐标．4．如图，抛物线L 1：y ＝ax 2﹣2x ＋c （a ≠0）与x 轴交于A 、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣3），抛物线的顶点为D ．抛物线L 2与L 1关于x 轴对称．(1)求抛物线L 1与L 2的函数表达式；(2)已知点E 是抛物线L 2的顶点，点M 是抛物线L 2上的动点，且位于其对称轴的右侧，过M 向其对称轴作垂线交对称轴于P ，是否存在这样的点M ，使得以P 、M 、E 为顶点的三角形与△BCD 相似，若存在请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，已知直线4y x =+与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点C ，抛物线21y x kx k =++-的图象经过点A 和点C ，与x 轴的另一个交点是点B ．(1)求出此抛物线的解析式； (2)求出点B 的坐标；(3)若在y 轴的负半轴上存在点D ．能使得以A ，C ，D 为顶点的三角形与①ABC 相似，请求出点D 的坐标．6．如图1，已知抛物线23y ax bx =++经过点()1,5D ，且交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，已知点()1,0A -，(),P m n 是抛物线在第一象限内的一个动点，PQ BC ⊥于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)当PQ =m 的值；(3)是否存在点P ，使BPQ 与BOC 相似？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c的对称轴是x＝－32且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；(2)点P为线段AB上的动点，求AP＋2PC的最小值；(3)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与①ABC 相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于A(−1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，顶点为点D，抛物线的对称轴与BC相交于点E，与x轴相交于点F．(1)求抛物线的函数关系式；(2)连结DA，求sin A的值；(3)若点H线段BC上，BOC与BFH△相似，请直接写出点H的坐标．9．如图，抛物线y＝1-2x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是第一象限内抛物线上的动点，连接PB ，PC ，当S △PBC ＝720S △ABC 时，求点P 的坐标； (3)点N 是对称轴l 右侧抛物线上的动点，在射线ED 上是否存在点M ，使得以点M ，N ，E 为顶点的三角形与①OBC 相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于1,0A 、()3,0B -两点，与y 轴交于点C ，设抛物线的顶点为D ．(1)求该抛物线的表达式与顶点D 的坐标； (2)试判断BCD △的形状，并说明理由；(3)探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与BCD △相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ≠0）与x 轴交于点A ，B ．与y 轴交于点C ．连接AC ，BC ．已知ABC 的面积为2．(1)求抛物线的解析式；(2)平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于P ，Q 两点．过P ，Q 向x 轴作垂线，垂足分别为G ，H ．若四边形PGHQ 为正方形，求正方形的边长；(3)抛物线上是否存在一点N ，使得①BCN ＝①CAB ﹣①CBA ，若存在，请求出满足条件N 点的横坐标，若不存在请说明理由．12．如图，二次函数2y x bx c =-++的图像与x 轴交于点A （－1，0），B （2，0），与y 轴相交于点C ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)若点M 在此抛物线上，且在y 轴的右侧．①M 与y 轴相切，过点M 作MD ①y 轴，垂足为点D ．以C ，D ，M 为顶点的三角形与①AOC 相似，求点M 的坐标及①M 的半径长．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2()0y ax bx c ac =++≠与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．若线段OA OB OC 、、的长满足2OC OA OB =⋅，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线22(0)y ax bx a =++≠为“黄金”抛物线，其与x 轴交点为A ，B （其中B 在A 的右侧），与y 轴交于点C ．且4OA OB =(1)求抛物线的解析式；(2)若P 为AC 上方抛物线上的动点，过点P 作PD AC ⊥，垂足为D ． ①求PD 的最大值；①连接PC ，当PCD 与ACO △相似时，求点P 的坐标．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 、B 两点，其中1,0A ，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，过点B 作x 轴垂线，在该垂线上取点P ，使得①PBC 与①ABC 相似，请求出点P 坐标；(3)如图2，在线段OB 上取一点M ，连接CM ，请求出12CM BM +最小值．15．如图，抛物线y ＝ax 2+k （a ＞0，k ＜0）与x 轴交于A ，B 两点（点B 在点A 的右侧），其顶点为C ，点P 为线段OC 上一点，且PC ＝14OC ．过点P 作DE ①AB ，分别交抛物线于D ，E 两点（点E 在点D 的右侧），连接OD ，DC ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标；（用含a ，k 的式子表示） (2)猜想线段DE 与AB 之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)若①ODC ＝90°，k ＝﹣4，求a 的值．16．如图，抛物线223y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，连接AC ，已知B (﹣1，0)，且抛物线经过点D (2，﹣2)．(1)求抛物线的表达式；(2)若点E 是抛物线上第四象限内的一点，且2ABES=，求点E 的坐标；(3)若点P 是y 轴上一点，以P ，A ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P 点的坐标．17．如图，在直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）和B （4，0），与y 轴交于点C ，点P 是抛物线上的动点（不与点A ，B ，C 重合）．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在第一象限时，设①ACP 的面积为S 1，①ABP 的面积为S 2，当S 1＝S 2时，求点P 的坐标； (3)过点O 作直线l ①BC ，点Q 是直线l 上的动点，当BQ ①PQ ，且①BPQ ＝①CAB 时，请直接写出点P 的坐标．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x＋3与两坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2＋bx＋c 过点A和点B，并与x轴交于另一点C，顶点为D．点E在对称轴右侧的抛物线上．(1)求抛物线的函数表达式和顶点D的坐标；(2)若点F在抛物线的对称轴上，且EF①x轴，若以点D，E，F为顶点的三角形与①ABD相似，求出此时点E的坐标；(3)若点P为坐标平面内一动点，满足tan①APB＝3，请直接写出①P AB面积最大时点P的坐标及该三角形面积的最大值．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OC＝2OB＝6OA＝6，点P是第一象限内抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC与OP，交于点D，当S△PCD：S△ODC的值最大时，求点P的坐标；(3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N．使①CMN＝90°，且①CMN与①BOC 相似，若存在，请求出点M、点N的坐标．20．如图，抛物线y＝x2＋bx＋12（b＜0）与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），且OB＝3OA．(1)请直接写出b＝，A点的坐标是，B点的坐标是；(2)如图（1），D点从原点出发，向y轴正方向运动，速度为2个单位长度/秒，直线BD交抛物线于点E，若BE＝5DE，求D点运动时间；(3)如图（2），F点是抛物线顶点，过点F作x轴平行线MN，点C是对称轴右侧的抛物线上的一定点，P 点在直线MN上运动．若恰好存在3个P点使得①P AC为直角三角形，请求出C点坐标，并直接写出P点的坐标．答案1．(1)y ＝﹣x 2+2x +3．(2)P 352或 (3)①ABN 的面积不变，为4．2．(1)2-(2)5⎛ ⎝⎭或5⎛ ⎝⎭(3)4或493．(1)2246y x x =-++(2)S 关于m 的函数表达式为239(03)S m m m =-+<<，S 的最大值是274 (3)存在，M （1，8），N （0，172）或M （74，558），N （0，838）或M （94，398），N （0，38）或M （3，0），N （0，﹣32）4．(1)抛物线L 1：223y x x =--，抛物线L 2：2y x 2x 3=-++；(2)435(,)39M 或(4,5)M -．5．(1)254y x x =++(2)点B 的坐标为（－1，0）(3)点D 的坐标是（0，－203） 6．(1)215322y x x =-++ (2)1或5(3)存在；P （53，529）7．(1)抛物线表达式为：213222y x x =--+；(2)AP +2PC 的最小值是4；(3)存在M(0,2)或(-3,2)或(2,-3)或(5,-18)，使得以点A 、M 、N 为顶点的三角形与ABC 相似．8．(1)y =-x 2+2x +3(3)点H 的坐标为(1，2)或(2，1)9．(1)21382y x x =++ (2)P 1（1，10.5），P 2（7，4.5）(3)存在，（3，8）或(3,5或（3，11）30．(1)y ＝﹣x 2﹣2x +3，（﹣1，4）；(2)直角三角形，理由见解析；(3)存在，（0，0）或（0，﹣13）或（－9，0）11．(1)y ＝﹣13x 2+23x +1(2)﹣6﹣(3)存在，5或11712．(1)22y x x =-++； (2)M 的坐标为（12，94），（32， 54 ），（3，-4），①M 的半径长为12或32或313．(1)213222y x x =--+(2)①PD ①P 坐标为(3,2)-或325()28，-14．(1)243y x x =-+(2)P 点坐标为()3,9或()3,215．(1)点A 、B 、C 的坐标分别为(、、(0，k ) (2)DE ＝12AB(3)a ＝1316．(1)224233y x x =--(2)E ，-1)(3)P 点的坐标(0，2)或(02)或(0，﹣2或(0，54)17．(1)213222y x x =-++ (2)点P 的坐标为（103，139）(3)点P 的坐标为（32，﹣2）或（32，﹣2）或（173，﹣509）18．(1)y ＝x 2﹣4x +3，（2，﹣1）(2)（5，8）或（73，89-）(3)①P AB ，此时P ）19．(1)y ＝﹣2x 2+4x +6 (2)点P 的坐标为（32，152） (3)存在，M 、N 的坐标分别为（3，0）、（0，﹣32）或（94，398）、（0，38）或（1，8）、（0，172）或（74，558）、（0，838）20．(1)﹣8，（2，0），（6，0）(2)3秒或212秒 (3)C 点坐标为（143，﹣329），P 点的坐标为（103，﹣4）或（﹣103，﹣4）或（11027，﹣4）。

2021年中考复习相似三角形模型二级结论

必考相似三角形模型 1.A 型条件：DE ∥BC结论：① ACAE AB AD = ②... 2.斜A 型条件：∠ADE=∠B结论：①AC AD AB AE ⋅=⋅②B 、C 、D 、E 四点共圆3.特殊斜A 型条件：∠ACD=∠B结论: 2AC AB AD =⋅4. 双A 型条件：DE ∥BC结论：CGBG EF DF = 5. A 型面积应用条件：在△ABC 内部截矩形DEFG,DE 在BC 上结论：当EF 为中位线时矩形DEFG 面积最大6. X 型条件：AB ∥CD结论：①OCOB OD OA = ②...7. 斜X 型条件：∠A=∠C结论：①OC OB OD OA ⋅=⋅② A 、B 、C 、D 四点共圆8. 梯形条件：AD ∥FG ∥BC 结论：EF=EG9. 旋转型条件：①△OCD ∽△OAB②将△OCD 旋转得图2结论：①△OAC ∽△OBD②延长AC 交BD 于点E ，则∠AEB=∠AOB ③A 、B 、E 、O 四点共圆10.母子型条件：①AC ⊥BC,CD ⊥AB 结论：射影定理AB AD AC ⋅=2；AB BD BC ⋅=2；BD AD CD ⋅=211.双垂直型条件:AB ⊥CD结论：①△OAB ∽△DAE ∽△DCB ∽△OCE②BA BD BC BO ⋅=⋅12.共享型条件:∠B=∠C 结论：①AC AE AB AD ⋅=⋅ ②B 、C 、F 、D 四点共圆13.K 型条件:∠B=∠ACE=∠D结论：①K 型相似△ABC ∽△CDE ；②尺规作图取点C:以AE 为直径画圆14.对称型条件:∠B=∠D, ∠ACB=∠DCE结论：①对称相似△ABC ∽△EDC②尺规作图取点C:对称15.一线三等角条件:∠B=∠ACE=∠D结论：△ABC∽△CDE16.一线三等角+角平分线条件：①∠B=∠ACE=∠D；②∠CAB=∠CAE 结论：①△ABC∽△CDE∽△ACE②∠CEA=∠CED③BC=CD17.一线三等角+平行线条件：①∠B=∠ACE=∠D；②AE∥BD结论：①△ABC∽△CDE∽△ECA ②AB=DE。

2021年河北省中考复习数学《相似三角形》专题复习(人教版)(Word版附答案)

节相似三角形1．若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（）A．增加了10% B．减少了10%C．增加了(1＋10%) D．没有改变2．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似．图①乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．图②A．两人都对 B．两人都不对C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对3．如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）4．(2020·河北中考)在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形 ABCD 的位似图形是（）A ．四边形NPMQB ．四边形NPMRC ．四边形NHMQD ．四边形NHMR5.在平面直角坐标系中，已知点A (－4，2)，B (－6，－4)，以原点O 为位似中心，相似比为12 ，把△ABO 缩小，则点B 的对应点B ′的坐标是（）A ．(－3，－2)B ．(－12，－8)C ．(－3，－2)或(3，2)D ．(－12，－8)或(12，8)6.如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .已知AB ＝1，BC ＝3，DE ＝1.2，则DF 的长为（）A ．3.6B ．4.8C ．5D ．5.2 7.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE ∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A.ABAE＝AGAD B．DFCF＝DGADC．FGAC＝EGBD D．AEBE＝CFDF8.(2020·邯郸丛台区三模)如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若DF＝2，求FC的长度．9．(2020·温州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q.若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（）A.14B．15C．83D．6510．(2020·黔东南中考)如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E为CD 的中点，连接AE，BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝．11.如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5).(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，并求出△A2B2C2的面积．12．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（）A.△ABC∽△A′B′C′B．点C，O，C′三点在同一直线上C．AO∶AA′＝1∶2D．AB∥A′B′13．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．(1)在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1(点A，B的对应点分别为A1，B1)，画出线段A1B1；(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；(3)以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是个平方单位．节相似三角形1．若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比(D)A．增加了10% B．减少了10%C．增加了(1＋10%) D．没有改变2．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似．图①乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．图②A．两人都对 B．两人都不对C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对3．如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C)4．(2020·河北中考)在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形 ABCD 的位似图形是(A )A ．四边形NPMQB ．四边形NPMRC ．四边形NHMQD ．四边形NHMR5.在平面直角坐标系中，已知点A (－4，2)，B (－6，－4)，以原点O 为位似中心，相似比为12 ，把△ABO 缩小，则点B 的对应点B ′的坐标是(C )A ．(－3，－2)B ．(－12，－8)C ．(－3，－2)或(3，2)D ．(－12，－8)或(12，8)6.如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .已知AB ＝1，BC ＝3，DE ＝1.2，则DF 的长为(B )A ．3.6B ．4.8C ．5D ．5.2 7.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE ∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是(D)A.ABAE＝AGAD B．DFCF＝DGADC．FGAC＝EGBD D．AEBE＝CFDF8.(2020·邯郸丛台区三模)如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若DF＝2，求FC的长度．【解答】(1)证明：∵BD＝2AD，CE＝2AE，∴ADAB＝AEAC＝13.又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC；(2)解：∵△ADE∽△ABC，∴DEBC＝ADAB＝13，∠ADE＝∠ABC.∴DE∥BC.∴△DEF∽△CBF.∴DFCF＝DECB，即2CF＝13.∴FC＝6.9．(2020·温州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q.若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为(A)A.14B．15C．83D．6510．(2020·黔东南中考)如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E为CD的中点，连接AE，BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝4 3．11.如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5).(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，并求出△A2B2C2的面积．解：(1)如图，△A1B1C1即为所求作的三角形；(2)如图，△A2B2C2即为所求作的三角形．分别过点A2，C2作y轴的平行线，过点B2作x轴的平行线．∵A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)，△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，∴A 2(－2，4)，B 2(4，2)，C 2(8，10).∴S △A 2B 2C 2＝（2＋8）×102－12 ×2×6－12 ×4×8＝28., 12．如图，以点O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的2倍得到△A ′B ′C ′，以下说法中错误的是(C )A.△ABC ∽△A ′B ′C ′B ．点C ，O ，C ′三点在同一直线上 C ．AO ∶AA ′＝1∶2D ．AB ∥A ′B ′13．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O ，A ，B 均为网格线的交点．(1)在给定的网格中，以点O 为位似中心，将线段AB 放大为原来的2倍，得到线段A 1B 1(点A ，B 的对应点分别为A 1，B 1)，画出线段A 1B 1；(2)将线段A 1B 1绕点B 1逆时针旋转90°得到线段A 2B 1，画出线段A 2B 1； (3)以A ，A 1，B 1，A 2为顶点的四边形AA 1B 1A 2的面积是个平方单位．解：(1)如图，线段A 1B 1即为所求； (2)如图，线段A 2B 1即为所求；(3)20.[由图可得，四边形AA 1B 1A 2为正方形， ∴四边形AA 1B 1A 2的面积是(22＋42 )2＝20.]。

2021年中考临考专题训练：相似三角形及其应用(含答案)

2021中考临考专题训练：相似三角形及其应用一、选择题 1. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC .若BD ＝2AD ，则( )A. AD AB ＝12B. AE EC ＝12C. AD EC ＝12D. DE BC ＝122. 下列命题是真命题的是( )A .如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为2∶3B .如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9C .如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为2∶3D .如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为4∶93. （2020·永州）如图，在ABC 中，2//,3AE EF BC EB ，四边形BCFE 的面积为21，则ABC 的面积是（）A. 913B. 25C. 35D. 634. （2020·重庆A 卷）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A（1,2）,B （1,1），C （3,1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF ，使△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF 的长度为（）A ．5B ．2C ．4D ．255. (2019•重庆)下列命题是真命题的是A ．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为2∶3B ．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9C ．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为2∶3D ．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为4∶96. (2019•贵港)如图，在ABC △中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE BC ∥，ACD B ∠=∠，若2AD BD =，6BC =，则线段CD 的长为A ．23B ．32C ．26D ．57. （2020·嘉兴）如图，在直角坐标系中，△OAB 的顶点为O （0，0），A （4，3），B （3，0）．以点O 为位似中心，在第三象限内作与△OAB 的位似比为13的位似图形△OCD ，则点C 坐标为（）A ．（﹣1，﹣1）B ．（4,13--） C ．（41,3--） D ．（﹣2，﹣1）8. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB 的平分线交BC 于D ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为E.若BC ＝3，则DE 的长为( ) A . 1 B . 2 C . 3 D . 4二、填空题9. 如图，在△ABC 中，∠ACD=∠B ，若AD=2，BD=3，则AC长为.10. 在某一时刻，测得一根高为1.8 m 的竹竿的影长为3 m ，同时同地测得一栋楼的影长为90 m ，则这栋楼的高度为 m .11. (2019•大庆)如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC ，AC 的中点，AD 与BE 相交于点G ，若DG=1，则AD=__________．12. 如图，在▱ABCD 中，过对角线BD 上一点P 作EF ∥BC ，GH ∥AB ，且CG=2BG ，S △BPG =1，则S ▱AEPH = .13. （2020·南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF 的顶点都在网格线的交点上，设△ABC 的周长为C 1，△DEF 的周长为C 2，则12C C 的值等于 ▲ ． ABCDEF14. （2020·杭州）如图是一张矩形纸片，点E 在AB 边上，把BCE △沿直线CE 对折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，连接DF ．若点E ，F ，D 在同一条直线上，2AE ，则DF =______，BE =______．FDBE A C15. (2019•辽阳)如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO CO ，分别在x 轴，y 轴上，A 点的坐标为(86)-，，点P 在矩形ABOC 的内部，点E 在BO 边上，满足PBE △∽CBO △，当APC △是等腰三角形时，P 点坐标为__________．16. （2020湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知R t △ABC 是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与R t △ABC 相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是．三、解答题 17. (2019•张家界)如图，在平行四边形ABCD 中，连接对角线AC ，延长AB 至点E ，使BE AB =，连接DE ，分别交BC ，AC 交于点F ，G ． (1)求证：BF CF =；(2)若6BC =，4DG =，求FG 的长．18. 如图，AB是☉O的直径，点C为的中点，CF为☉O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF.(1)求证:△BFG≌△CDG;(2)若AD=BE=2，求BF的长.19. 如图，☉O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与☉O相交于E，F两点，P是☉O外一点，且P在直线OD上，连接PA，PC，AF，满足∠PCA=∠ABC.(1)求证:PA是☉O的切线;(2)证明:EF2=4OD·OP;(3)若BC=8，tan∠AFP=，求DE的长.20. （2019·上海）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．（1）求证：∠E ═12∠C ；（2）如图2，如果AE ＝AB ，且BD ∶DE ＝2∶3，求cos ∠ABC 的值；（3）如果∠ABC 是锐角，且△ABC 与△ADE 相似，求∠ABC 的度数，并直接写出ADEABC S S 的值．21. 在矩形ABCD 中，AD ＝4，M 是AD 的中点，点E 是线段AB 上一点，连接EM并延长交线段CD 的延长线于点F . (1)如图①，求证：△AEM ≌△DFM ；(2)如图②，若AB ＝2，过点M 作MG ⊥EF 交线段BC 于点G ，求证：△GEF 是等腰直角三角形；(3)如图③，若AB ＝23，过点M 作MG ⊥EF 交线段BC 的延长线于点G ，若MG=nME ，求n 的值.22. 如图，AB是⊙O 的直径，点E 为线段OB 上一点(不与O 、B 重合)，作EC ⊥OB交⊙O 于点C ，作直径CD 过点C 的切线交DB 的延长线于点P ，作AF ⊥PC 于点F ，连接CB .(1)求证：AC 平分∠FAB ； (2)求证：BC 2＝CE ·CP ；(3)当AB ＝43且CF CP ＝34时，求劣弧BD ︵的长度．23. 如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k(k>1)，且△ABC的三边长分别为a、b、c(a>b>c)，△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1.(1)若c＝a1，求证：a＝kc；(2)若c＝a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；(3)若b＝a1，c＝b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k＝2？请说明理由．24. 如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.(1)如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF＝3S△EDF，求AE的长；(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA.①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；②求EF的长．2021中考临考专题训练：相似三角形及其应用-答案一、选择题1. 【答案】B【解析】∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∵BD ＝2AD ，∴AD AB ＝AE AC ＝13，∴AE EC ＝12，故选B .2. 【答案】B3. 【答案】B【详解】解：∵//EF BC ∴AEF B AFE C ∠=∠∠=∠， ∴AEF ABC ∽ ∵23AE EB = ∴25AE AB = ∴255242AEB ABCS S ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ∴421AEBBCFESS =四边形 ∵21BCFE S =四边形 ∴AEBS =4∴=25ABCS故选：B ．4. 【答案】D【解析】∵A （1,2）,B （1,1），C （3,1），∴AB=1，.∵△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为2，∴DF=2AB=2．5. 【答案】B【解析】A 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是假命题；B 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是真命题；C 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题；D 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题，故选B ．6. 【答案】C【解析】设2AD x =，BD x =，∴3AB x =， ∵DE BC ∥，∴ADE ABC △∽△， ∴DE AD AE BC AB AC ==，∴263DE xx=， ∴4DE =，23AE AC =， ∵ACD B ∠=∠，ADE B ∠=∠，∴ADE ACD ∠=∠， ∵A A ∠=∠，∴ADE ACD △∽△， ∴AD AE DEAC AD CD==，设2AE y =，3AC y =，∴23AD yy AD=，∴AD =4CD=，∴CD = 故选C ．7. 【答案】B【解析】本题考查了在坐标系中，位似图形点的坐标.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k ，那么与原图形上的点（x ，y ）对应的位似图形上的点的坐标为（kx ，ky ）或（–kx，–ky）.由A（4,3），位似比k＝13，可得C（413,--）因此本题选B．8. 【答案】A【解析】∵AD是∠BAC的平分线，AC⊥BC，AE⊥DE, ∴DC＝DE，AE＝AC.又∵DE是AB的垂直平分线，∴BE＝AE，即AB＝2AE＝2AC, ∴∠B＝30°.设DE＝x，则BD＝3－x.在Rt△BDE中，x3－x＝12，解得x＝1，∴DE的长为1.二、填空题9. 【答案】[解析]∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴=，即=，∴AC=或AC=-(舍去).10. 【答案】5411. 【答案】3【解析】∵D、E分别是BC，AC的中点，∴点G为△ABC的重心，∴AG=2DG=2，∴AD=AG+DG=2+1=3．故答案为：3．12. 【答案】4[解析]由“平行四边形的对角线把平行四边形分成两个全等的三角形”可推出▱AEPH的面积等于▱PGCF的面积.∵CG=2BG，∴BG∶BC=1∶3，BG∶PF=1∶2.∵△BPG∽△BDC，且相似比为1∶3，∴S△BDC=9S△BPG=9.∵△BPG∽△PDF，且相似比为1∶2，∴S△PDF=4S△BPG=4.∴S▱AEPH=S▱PGCF=9-1-4=4.13.2【解析】由图形易证△ABC与△DEF相似，且相似比为1:21:22．14. 【答案】25－1【解析】设BE ＝x ，则AB ＝AE ＋BE ＝2＋x ．∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝2＋x ，AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠BEC ．由折叠得∠BEC ＝∠DEC ，EF ＝BE ＝x ，∴∠DCE ＝∠DEC ．∴DE ＝CD ＝2＋x ．∵点D ，F ，E 在同一条直线上，∴DF ＝DE －EF ＝2＋x－x ＝2．∵AB ∥CD ，∴△DCF ∽△EAF ，∴DC EA ＝DF EF ．∴22x +＝2x ，解得x 1＝5－1，x 2＝－5－1．经检验，x 1＝5－1，x 2＝－5－1都是分式方程的根．∵x ＞0，∴x ＝5－1，即BE ＝5－1．15. 【答案】326()55-，或(43)-，【解析】∵点P 在矩形ABOC 的内部，且APC △是等腰三角形， ∴P 点在AC 的垂直平分线上或在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上； ①当P 点在AC 的垂直平分线上时，点P 同时在BC 上，AC 的垂直平分线与BO 的交点即是E ，如图1所示，∵PE BO ⊥，CO BO ⊥， ∴PE CO ∥， ∴PBE △∽CBO △，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(86)-，， ∴点P 横坐标为﹣4，6OC =，8BO =，4BE =， ∵PBE △∽CBO △， ∴PE BE CO BO =，即468PE =，解得：3PE =，∴点(43)P -，． ②P 点在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上，圆弧与BC 的交点为P ，过点P 作PE BO ⊥于E ，如图2所示，∵CO BO ⊥，∴PE CO ∥， ∴PBE △∽CBO △，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(86)-，， ∴8AC BO ==，8CP =，6AB OC ==， ∴22228610BC BO OC =+=+=，∴2BP =， ∵PBE △∽CBO △， ∴PE BE BP CO BO BC ==，即：26810PE BE ==，解得：65PE =，85BE =， ∴832855OE =-=，∴点326()55P -，，综上所述：点P 的坐标为：326()55-，或(43)-，，故答案为：326()55-，或(43)-，．16. 【答案】解：∵在R t △ABC 中，AC ＝1，BC ＝2，∴AB ，AC ：BC ＝1：2，∴与R t △ABC 相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE ，EF ＝2，DF ＝5的三角形， ∵，∴△ABC ∽△DEF ，∴∠DEF ＝∠C ＝90°，∴此时△DEF 的面积为：22＝10，△DEF 为面积最大的三角形，其斜边长为：5．故答案为：5．三、解答题17. 【答案】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD CD ∥，AD BC =， ∴EBF EAD △∽△， ∴BF BEAD EA=， ∵BE =AB ，AE =AB +BE ， ∴12BF AD =， ∴1122BF AD BC ==， ∴BF CF =．(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD CD ∥， ∴FGC DGA △∽△， ∴FG FC DG AD =，即142FG =，解得，2FG =．18. 【答案】解:(1)证明:∵C 是的中点，∴=. ∵AB 是☉O 的直径，且CF ⊥AB ，∴=，∴=，∴CD=BF.在△BFG 和△CDG 中，∵∴△BFG ≌△CDG (AAS).(2)如图，过C 作CH ⊥AD ，交AD 延长线于H ，连接AC ，BC ，∵=，∴∠HAC=∠BAC.∵CE⊥AB，∴CH=CE.∵AC=AC，∴Rt△AHC≌Rt△AEC(HL)，∴AE=AH.∵=，∴CD=BC.又∵CH=CE，∴Rt△CDH≌Rt△CBE(HL)，∴DH=BE=2，∴AE=AH=AD+DH=2+2=4，∴AB=4+2=6.∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠BEC，∵∠EBC=∠ABC，∴△BEC∽△BCA，∴=，∴BC2=AB·BE=6×2=12，∴BF=BC=2.19. 【答案】解:(1)因为点D是AC中点，所以OD⊥AC，所以PA=PC，所以∠PCA=∠PAC，因为AB是☉O的直径，所以∠ACB=90°，所以∠ABC+∠BAC=90°，因为∠PCA=∠ABC，所以∠PAC=∠ABC，所以∠PAC+∠BAC=90°，所以PA⊥AB，所以PA是☉O的切线.(2)因为∠PAO=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA，所以△PAO∽△ADO，所以=，所以AO2=OD·OP，所以EF2=AB2=(2AO)2=4AO2=4OD·OP.(3)因为tan∠AFP=，所以设AD=2x，则FD=3x，连接AE，易证△ADE∽△FDA，所以==，所以ED=AD=x，所以EF=x，EO=x，DO=x，在△ABC中，DO为中位线，所以DO=BC=4，所以x=4，x=，所以ED=x=.20. 【答案】解：（1）证明：如图1中，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∠E＝90°－∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝1 2∠BAC，同理∠ABD＝12∠ABC，∵∠ADE＝∠BAD＋∠DBA，∠BAC＋∠ABC＝180°－∠C，∴∠ADE＝12(∠ABC＋∠BAC)＝90°－12∠C，∴∠E＝90°－(90°－12∠C)＝12∠C ．（2）解：延长AD 交BC 于点F ．∵AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠E ，BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠EBC ， ∴∠E ＝∠CBE ，∴AE ∥BC ，∴∠AFB ＝∠EAD ＝90°，＝，∵BD ：DE ＝2：3，∴cos ∠ABC ＝＝＝．（3）∵△ABC 与△ADE 相似，∠DAE ＝90°，∴∠ABC 中必有一个内角为90° ∵∠ABC 是锐角，∴∠ABC ≠90°．当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，∵∠E ＝12∠C ，∴∠ABC ＝∠E ＝12∠C ，∵∠ABC ＋∠C ＝90°，∴∠ABC ＝30°，此时＝2－．当∠C ＝∠DAE ＝90°时，∠E=12∠C ＝45°，∴∠EDA ＝45°， ∵△ABC 与△ADE 相似，∴∠ABC ＝45°，此时＝2－．综上所述，∠ABC ＝30°或45°，＝2－3或2－2．21. 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠EAM ＝∠FDM ＝90°， ∵M 是AD 的中点， ∴AM ＝DM ，在△AME 和△DMF 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠FDBAM ＝DM∠AME ＝∠DMF， ∴△AEM ≌△DFM (ASA)；(2)证明：如解图①，过点G 作GH ⊥AD 于H ，解图①∵∠A ＝∠B ＝∠AHG ＝90°， ∴四边形ABGH 是矩形， ∴GH ＝AB ＝2， ∵M 是AD 的中点， ∴AM ＝12AD ＝2，∴AM ＝GH ，∵MG ⊥EF ，∴∠GME ＝90° ∴∠AME ＋∠GMH ＝90°. ∵∠AME ＋∠AEM ＝90°， ∴∠AEM ＝∠GMH ，在△AEM 和△HMG 中，⎩⎨⎧AM ＝GH∠AEM ＝∠GMH ∠A ＝∠AHG， ∴△AEM ≌△HMG ， ∴ME ＝MG ，∴∠EGM ＝45°，由(1)得△AEM ≌△DFM ， ∴ME ＝MF ， ∵MG ⊥EF ， FMG EMG ≌△△∴， ∴GE ＝GF ，∴∠EGF ＝2∠EGM ＝90°， ∴△GEF 是等腰直角三角形．(3)解：如解图②，过点G 作GH ⊥AD 交AD 延长线于点H ，解图②∵∠A ＝∠B ＝∠AHG ＝90°， ∴四边形ABGH 是矩形， ∴GH ＝AB ＝23， ∵MG ⊥EF ，∴∠GME ＝90°，∴∠AME ＋∠GMH ＝90°， ∵∠AME ＋∠AEM ＝90°， ∴∠AEM ＝∠GMH ，又∵∠A ＝∠GHM ＝90°， ∴△AEM ∽△HMG ，∴EM MG ＝AMGH，在Rt △GME 中，tan ∠MEG ＝MGEM ＝ 3.∴n =322. 【答案】(1)证明：∵PF 切⊙O 于点C ，CD 是⊙O 的直径， ∴CD ⊥PF ，又∵AF ⊥PC ， ∴AF ∥CD ，∴∠OCA ＝∠CAF ， ∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ， ∴∠CAF ＝∠OAC ， ∴AC 平分∠FAB ；(2)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵∠DCP ＝90°，∴∠ACB ＝∠DCP ＝90°，又∵∠BAC ＝∠D ， ∴△ACB ∽△DCP ， ∴∠EBC ＝∠P ， ∵CE ⊥AB ，∴∠BEC ＝90°， ∵CD 是⊙O 的直径， ∴∠DBC ＝90°， ∴∠CBP ＝90°， ∴∠BEC ＝∠CBP ， ∴△CBE ∽△CPB ， ∴BC PC ＝CECB，∴BC 2＝CE ·CP ；(3)解：∵AC 平分∠FAB ，CF ⊥AF ，CE ⊥AB ， ∴CF ＝CE ，∵CF CP ＝34， ∴CE CP ＝34，设CE ＝3k ，则CP ＝4k ， ∴BC 2＝3k ·4k ＝12k 2， ∴BC ＝23k ，在Rt △BEC 中，∵sin ∠EBC ＝CE BC ＝3k 23k ＝32， ∴∠EBC ＝60°，∴△OBC 是等边三角形， ∴∠DOB ＝120°，∴BD ︵＝120π·23180＝43π3.23. 【答案】(1)证明：∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为k (k >1)， ∴aa 1＝k .∴a ＝ka 1，又∵c ＝a 1，∴a ＝kc . (2)解：取a ＝8，b ＝6，c ＝4，同时取a 1＝4，b 1＝3，c 1＝2. 此时a a 1＝b b 1＝cc 1＝2，∴△ABC ∽△A 1B 1C 1且c ＝a 1.(3)解：不存在这样的△ABC 和△A 1B 1C 1.理由如下：若k ＝2，则a ＝2a 1，b ＝2b 1，c ＝2c 1. 又∵b ＝a 1，c ＝b 1，∴a ＝2a 1＝2b ＝4b 1＝4c ， ∴b ＝2c .(12分)∴b ＋c ＝2c ＋c ＜4c ＝a ，与b ＋c >a 矛盾，故不存在这样的△ABC 和△A 1B 1C 1，使得k ＝2.24. 【答案】(1)如解图①，∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，解图①∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ， ∴S △AEF ＝S △DEF ，∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ， ∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF ，∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ，∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF ， ∴14△△AEF ACB S S=， ∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°， ∴△AEF ∽△ABC ， ∴2△△（）AEF ACB S AE AB S =， ∴214（）=，AE AB 在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2，即AB ＝42＋32＝5， ∴(AE 5)2＝14， ∴AE ＝52；(2)①四边形AEMF 是菱形．证明：如解图②，∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处， ∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ，又∵MF ∥CA ， ∴∠CEM ＝∠EMF ， ∴∠CAB ＝∠CEM ， ∴EM ∥AF ，∴四边形AEMF 是平行四边形，而AE ＝ME ， ∴四边形AEMF 是菱形，解图②②如解图②，连接AM ，与EF 交于点O ，设AE ＝x ，则AE ＝ME ＝x ，EC ＝4－x ， ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°， ∴Rt △ECM ∽Rt △ACB ， ∴EC AC ＝EMAB，∵AB ＝5， ∴445-，x x=解得x ＝209，21 ∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169，在Rt △ECM 中，∵∠ECM ＝90°， ∴CM 2＝EM 2－EC 2，即CM＝（209）2－（169）2＝43，∵四边形AEMF 是菱形，∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF ， ∴S AEMF 菱形＝4S △AOE ＝2OE ·AO ，在Rt △AOE 和Rt △ACM 中， ∵tan ∠EAO ＝tan ∠CAM ， ∴OE AO ＝CMAC ，∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ，∴S AEMF 菱形＝6OE 2，又∵S AEMF 菱形＝AE ·CM ，∴6OE 2＝209×43，解得OE ＝2109，∴EF ＝2OE ＝4109.。

2021年中考真题相似三角形比例线段比例相似三角形的判定相似三角形的性质试题解析试卷

2021年中考真题相似三角形比例线段比例相似三角形的判定相似三角形的性质一．试题（共45小题）1．（2021•哈尔滨）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝2，BD ＝3，AC ＝10，则AE 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．62．（2021•淄博）如图，AB ，CD 相交于点E ，且AC ∥EF ∥DB ，点C ，F ，B 在同一条直线上．已知AC ＝p ，EF ＝r ，DB ＝q ，则p ，q ，r 之间满足的数量关系式是（）A ．1r +1q=1pB ．1p+1r=2qC ．1p+1q=1rD ．1q+1r=2p3．（2021•台湾）如图，菱形ABCD 中，E 点在BC 上，F 点在CD 上，G 点、H 点在AD 上，且AE ∥HC ∥GF ．若AH ＝8，HG ＝5，GD ＝4，则下列选项中的线段，何者长度最长？（）A ．CFB ．FDC ．BED ．EC4．（2021•德阳）我们把宽与长的比是√5−12的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD 是黄金矩形，边AB 的长度为√5−1，则该矩形的周长为．5．（2021•百色）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝72°，∠ACB 的平分线CD 交AB 于点D ，则点D 是线段AB 的黄金分割点．若AC ＝2，则BD ＝．6．（2021•郴州）如图是一架梯子的示意图，其中AA 1∥BB 1∥CC 1∥DD 1，且AB ＝BC ＝CD ．为使其更稳固，在A ，D 1间加绑一条安全绳（线段AD 1）量得AE ＝0.4m ，则AD 1＝ m ．7．（2021•大庆）已知x2=y 3=z4，则x 2+xy yz= ．8．（2021•宿迁）如图，在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝5，点D 、E 分别在BC 、AC 上，CD ＝2BD ，CE ＝2AE ，BE 交AD 于点F ，则△AFE 面积的最大值是．9．（2021•上海）如图所示，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，S △ABD S △BCD=12，则S △BOC S △BCD= ．10．（2021•贵港）下列命题是真命题的是（） A ．同旁内角相等，两直线平行 B ．对角线相等的四边形是矩形 C ．对角线互相垂直的四边形是菱形 D ．两角分别相等的两个三角形相似11．（2021•湘潭）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别为边AB ，AC 上的点，试添加一个条件：，使得△ADE 与△ABC 相似．（任意写出一个满足条件的即可）12．（2021•绵阳）如图，在△ACD 中，AD ＝6，BC ＝5，AC 2＝AB （AB +BC ），且△DAB ∽△DCA ，若AD ＝3AP ，点Q 是线段AB 上的动点，则PQ 的最小值是（）A ．√72B ．√62C ．√52D ．8513．（2021•巴中）如图，△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且AD DB=AE EC=12，下列结论正确的是（）A ．DE ：BC ＝1：2B ．△ADE 与△ABC 的面积比为1：3 C ．△ADE 与△ABC 的周长比为1：2D ．DE ∥BC14．（2021•湘西州）如图，在△ECD 中，∠C ＝90°，AB ⊥EC 于点B ，AB ＝1.2，EB ＝1.6，BC ＝12.4，则CD 的长是（）A ．14B ．12.4C ．10.5D ．9.315．（2021•贵港）如图，在正方形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且EF ＝2AE ＝2CF ，连接DE 并延长交AB 于点M ，连接DF 并延长交BC 于点N ，连接MN ，则S △AMD S △MBN=（）A ．34B ．23C ．1D ．1216．（2021•河北）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB ＝（）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm17．（2021•临沂）如图，点A ，B 都在格点上，若BC =2√133，则AC 的长为（）A ．√13B ．4√133C ．2√13D ．3√1318．（2021•温州）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD 如图所示．过点D 作DF 的垂线交小正方形对角线EF 的延长线于点G ，连结CG ，延长BE 交CG 于点H ．若AE ＝2BE ，则CG BH的值为（）A ．32B ．√2C ．3√107D ．3√5519．（2021•遂宁）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若△ADE 的面积是3cm 2，则四边形BDEC 的面积为（）A．12cm2B．9cm2C．6cm2D．3cm2 20．（2021•济南）如图，一个由8个正方形组成的“C”模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M，N，O，P，Q都在矩形ABCD的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边AB的长为．21．（2021•沈阳）如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5．四边形ABEF是正方形，点D是直线BC上一点，且CD＝1．P是线段DE上一点，且PD=23DE．过点P作直线l与BC平行，分别交AB，AD于点G，H，则GH的长是．22．（2021•朝阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，连接AC，过点D作DC1⊥AC 于点C1，以C1A，C1D为邻边作矩形AA1DC1，连接A1C1，交AD于点O1，过点D作DC2⊥A1C1于点C2，交AC于点M1，以C2A1，C2D为邻边作矩形A1A2DC2，连接A2C2，交A 1D 于点O 2，过点D 作DC 3⊥A 2C 2于点C 3，交A 1C 1于点M 2；以C 3A 2，C 3D 为邻边作矩形A 2A 3DC 3，连接A 3C 3，交A 2D 于点O 3，过点D 作DC 4⊥A 3C 3于点C 4，交A 2C 2于点M 3…若四边形AO 1C 2M 1的面积为S 1，四边形A 1O 2C 3M 2的面积为S 2，四边形A 2O 3C 4M 3的面积为S 3…四边形A n﹣1O n C n +1M n 的面积为S n ，则S n＝．（结果用含正整数n 的式子表示）23．（2021•镇江）如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AC ，AB 上，△ADE ∽△ABC ，M ，N 分别是DE ，BC 的中点，若AM AN=12，则S △ADE S △ABC= ．24．（2021•鞍山）如图，△ABC 的顶点B 在反比例函数y =kx （x ＞0）的图象上，顶点C 在x 轴负半轴上，AB ∥x 轴，AB ，BC 分别交y 轴于点D ，E ．若BE CE =CO AD=32，S △ABC ＝13，则k ＝．25．（2021•阜新）如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC 与△CDE 的周长比为．26．（2021•牡丹江）如图，矩形ABCD 中，AD =√2AB ，点E 在BC 边上，且AE ＝AD ，DF ⊥AE 于点F ，连接DE ，BF ，BF 的延长线交DE 于点O ，交CD 于点G ．以下结论： ①AF ＝DC ，②OF ：BF ＝CE ：CG ，③S △BCG =√2S △DFG ，④图形中相似三角形有6对，则正确结论的序号是．27．（2021•徐州）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BA 、BC 上，且AD DB=CE EB=32，△DBE 与四边形ADEC 的面积的比．28．（2021•营口）如图，矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝4，点E 是AB 边上一点，AE ＝3，连接DE ，点F 是BC 延长线上一点，连接AF ，且∠F =12∠EDC ，则CF ＝．29．（2021•烟台）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A 处立一根垂直于井口的木杆AB ，从木杆的顶端B 观察井水水岸D ，视线BD 与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为米．30．（2021•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC＝2，则MN的长为．31．（2021•吉林）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1m时，它离地面的高度DE为0.6m，则坝高CF为m．32．（2021•东营）如图，正方形ABCB1中，AB=√3，AB与直线l所夹锐角为60°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4…，依此规律，则线段A2020A2021＝．33．（2021•大庆）已知，如图①，若AD是△ABC中∠BAC的内角平分线，通过证明可得AB AC =BDCD，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图②，在△ABC中，BD＝2，CD＝3，AD是△ABC的内角平分线，则△ABC的BC边上的中线长l的取值范围是．34．（2021•随州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，OD平分∠AOC交AC于点G，OD＝OA，BD分别与AC，OC交于点E，F，连接AD，CD，则OGBC的值为；若CE＝CF，则CFOF的值为．35．（2021•山西）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD＝3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6√2，则AB的长为．36．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝5，BC＝10，四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上，那么△AEM与四边形BCME的面积比为．37．（2021•南充）如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC=√3AB＝3BD，则AD：AC的值为．38．（2021•遂宁）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五个结论：①∠ABF＝∠DBE；②△ABF∽△DBE；③AF⊥BD；④2BG2＝BH•BD；⑤若CE：DE＝1：3，则BH：DH＝17：16．你认为其中正确是．（填写序号）39．（2021•牡丹江）Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝17，BC＝8，矩形CDEF的另三个顶点D，E，F均在Rt△ABC的边上，且邻边之比为1：2，画出符合题意的图形，并直接写出矩形周长的值．40．（2021•南通）如图，利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上，DE⊥AC，BC ⊥AC，垂足分别为E，C．若测得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，楼高BC是多少？41．（2021•贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知△ABC，且AB＞AC．（1）在AB边上求作点D，使DB＝DC；（2）在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB．42．（2021•鄂州）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且∠ABE＝∠CDF．（1）探究四边形BEDF的形状，并说明理由；（2）连接AC，分别交BE、DF于点G、H，连接BD交AC于点O．若AGOG =23，AE＝4，求BC的长．43．（2021•玉林）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．（1）求证：△DFC∽△AED；（2）若CD=13AC，求S△DFCS△AED的值．44．（2021•山西）阅读与思考请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．图算法图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：F=95C+32得出，当C＝10时，F＝50．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法．再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？我们可以利用公式1R =1R1+1R2求得R的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．任务：（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：①用公式1R =1R1+1R2计算：当R1＝7.5，R2＝5时，R的值为多少；②如图，在△AOB中，∠AOB＝120°，OC是△AOB的角平分线，OA＝7.5，OB＝5，用你所学的几何知识求线段OC的长．45．（2021•黄冈）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．（1）求证：△ABC∽△DEC；（2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的长．2021年中考真题相似三角形比例线段比例相似三角形的判定反比例函数的性质参考答案与试题解析一．试题（共45小题）1．（2021•哈尔滨）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝2，BD ＝3，AC ＝10，则AE 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：∵DE ∥BC ， ∴AD AB=AE AC，∵AD ＝2，BD ＝3，AC ＝10， ∴22+3=AE 10，∴AE ＝4．故选：B ．2．（2021•淄博）如图，AB ，CD 相交于点E ，且AC ∥EF ∥DB ，点C ，F ，B 在同一条直线上．已知AC ＝p ，EF ＝r ，DB ＝q ，则p ，q ，r 之间满足的数量关系式是（）A ．1r +1q=1pB ．1p+1r=2qC ．1p+1q=1rD ．1q+1r=2p【解答】解：∵AC ∥EF ， ∴EF AC=BF BC，∵EF ∥DB ，∴EF BD =CF BC ， ∴EF AC +EF BD=BF BC+CF BC=BF+CF BC=BC BC=1，即r p+r q=1，∴1p+1q=1r．故选：C ．3．（2021•台湾）如图，菱形ABCD 中，E 点在BC 上，F 点在CD 上，G 点、H 点在AD 上，且AE ∥HC ∥GF ．若AH ＝8，HG ＝5，GD ＝4，则下列选项中的线段，何者长度最长？（）A ．CFB ．FDC ．BED ．EC【解答】解：∵AH ＝8，HG ＝5，GD ＝4， ∴AD ＝8+5+4＝17， ∵四边形ABCD 为菱形， ∴BC ＝CD ＝AD ＝17， ∵AE ∥HC ，AD ∥BC ， ∴四边形AECH 为平行四边形， ∴CE ＝AH ＝8，∴BE ＝BC ﹣CE ＝17﹣8＝9， ∵HC ∥GF ， ∴DF FC=DG GH，即DF17−DF=45，解得：DF =689， ∴FC ＝17−689=859， ∵859＞9＞8＞689，∴CF 长度最长，故选：A ．4．（2021•德阳）我们把宽与长的比是√5−12的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD 是黄金矩形，边AB 的长度为√5−1，则该矩形的周长为 2√5+2或4 ．【解答】解：分两种情况：①边AB 为矩形的长时，则矩形的宽为√5−12×（√5−1）＝3−√5， ∴矩形的周长为：2（√5−1+3−√5）＝4； ②边AB 为矩形的宽时，则矩形的长为：（√5−1）÷√5−12=2，∴矩形的周长为2（√5−1+2）＝2√5+2；综上所述，该矩形的周长为2√5+2或4．5．（2021•百色）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝72°，∠ACB 的平分线CD 交AB 于点D ，则点D 是线段AB 的黄金分割点．若AC ＝2，则BD ＝ 3−√5 ．【解答】解：∵AB ＝AC ＝2， ∴∠B ＝∠ACB ＝72°，∠A ＝36°， ∵CD 平分∠ACB ， ∴∠ACD ＝∠BCD ＝36°， ∴∠A ＝∠ACD ， ∴AD ＝CD ，∵∠CDB ＝180°﹣∠B ﹣∠BCD ＝72°， ∴∠CDB ＝∠B ， ∴BC ＝CD ， ∴BC ＝AD ，∵∠B ＝∠B ，∠BCD ＝∠A ＝36°， ∴△BCD ∽△BAC ， ∴BC ：AB ＝BD ：BC ， ∴AD ：AB ＝BD ：AD ，∴点D 是AB 边上的黄金分割点，AD ＞BD ， ∴AD =√5−12AB =√5−1，∴BD ＝AB ﹣AD ＝2﹣（√5−1）＝3−√5，故答案为：3−√5．6．（2021•郴州）如图是一架梯子的示意图，其中AA 1∥BB 1∥CC 1∥DD 1，且AB ＝BC ＝CD ．为使其更稳固，在A ，D 1间加绑一条安全绳（线段AD 1）量得AE ＝0.4m ，则AD 1＝ 1.2 m ．【解答】解：∵BB 1∥CC 1， ∴AE EF=AB BC，∵AB ＝BC ， ∴AE ＝EF ，同理可得：AE ＝EF ＝FD 1， ∵AE ＝0.4m ，∴AD 1＝0.4×3＝1.2（m ），故答案为：1.2． 7．（2021•大庆）已知x2=y 3=z4，则x 2+xy yz=56．【解答】解：设x 2=y 3=z 4=k ，∴x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ， ∴x 2+xy yz=4k 2+2k⋅3k 3k⋅4k=10k 212k 2=56，68．（2021•宿迁）如图，在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝5，点D 、E 分别在BC 、AC 上，CD ＝2BD ，CE ＝2AE ，BE 交AD 于点F ，则△AFE 面积的最大值是43．【解答】解：连接DE ．∵CD ＝2BD ，CE ＝2AE ， ∴CD BD=CE AE=2，∴DE ∥AB ， ∴△CDE ∽△CBA ， ∴DE BA =CD CB =23，∴DF AF=DE BA=23，∵DE ∥AB ， ∴S △ABE ＝S △ABD ， ∴S △AEF ＝S △BDF ， ∴S △AEF =25S △ABD ， ∵BD =13BC =53，∴当AB ⊥BD 时，△ABD 的面积最大，最大值=12×53×4=103， ∴△AEF 的面积的最大值=25×103=43，39．（2021•上海）如图所示，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，S △ABD S △BCD=12，则S △BOC S △BCD=23．【解答】解：过D 作DM ⊥BC 于M ，过B 作BN ⊥AD 于N ，如图：∵AD ∥BC ，DM ⊥BC ，BN ⊥AD ， ∴四边形BMDN 是矩形，DM ＝BN ， ∵S △ABD S △BCD=12，∴12AD⋅BN 12BC⋅DM =12，∴AD BC=12，∵AD ∥BC ， ∴OD OB =AD BC =12，∴OBBD =23，∴S △BOC S △BCD=23，故答案为：23．10．（2021•贵港）下列命题是真命题的是（） A ．同旁内角相等，两直线平行 B ．对角线相等的四边形是矩形 C ．对角线互相垂直的四边形是菱形 D ．两角分别相等的两个三角形相似【解答】解：A 、同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B 、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D 、两角分别相等的两个三角形相似，正确，是真命题，符合题意，故选：D ．11．（2021•湘潭）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别为边AB ，AC 上的点，试添加一个条件： ∠ADE ＝∠C （答案不唯一），使得△ADE 与△ABC 相似．（任意写出一个满足条件的即可）【解答】解：添加∠ADE ＝∠C ，又∵∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ACB ，故答案为：∠ADE ＝∠C （答案不唯一）．12．（2021•绵阳）如图，在△ACD 中，AD ＝6，BC ＝5，AC 2＝AB （AB +BC ），且△DAB ∽△DCA ，若AD ＝3AP ，点Q 是线段AB 上的动点，则PQ 的最小值是（）A ．√72B ．√62C ．√52D ．85【解答】解：∵△DAB ∽△DCA ， ∴AD BD =CD AD， ∴6BD=5+BD 6，解得：BD ＝4（负值舍去），∵△DAB ∽△DCA ， ∴AC AB=CD AD=96=32，∴AC =32AB ，∵AC 2＝AB （AB +BC ）， ∴（32AB ）2＝AB （AB +BC ），∴AB ＝4， ∴AB ＝BD ＝4，过B 作BH ⊥AD 于H ， ∴AH =12AD ＝3，∴BH =√AB 2−AH 2=√42−32=√7， ∵AD ＝3AP ，AD ＝6， ∴AP ＝2，当PQ ⊥AB 时，PQ 的值最小，∵∠AQP ＝∠AHB ＝90°，∠P AQ ＝∠BAH ， ∴△APQ ∽△ABH ， ∴AP AB =PQ BH，∴24=√7， ∴PQ =√72，故选：A ．13．（2021•巴中）如图，△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且AD DB=AE EC=12，下列结论正确的是（）A ．DE ：BC ＝1：2B ．△ADE 与△ABC 的面积比为1：3 C ．△ADE 与△ABC 的周长比为1：2D ．DE ∥BC 【解答】解：∵AD DB=AE EC=12，∴AD ：AB ＝AE ：AC ＝1：3， ∵∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴DE ：BC ＝1：3，故A 错误； ∵△ADE ∽△ABC ，∴△ADE 与△ABC 的面积比为1：9，周长的比为1：3，故B 和C 错误； ∵△ADE ∽△ABC ， ∴∠ADE ＝∠B ， ∴DE ∥BC ．故D 正确．故选：D ．14．（2021•湘西州）如图，在△ECD 中，∠C ＝90°，AB ⊥EC 于点B ，AB ＝1.2，EB ＝1.6，BC ＝12.4，则CD 的长是（）A ．14B ．12.4C ．10.5D ．9.3【解答】解：∵EB ＝1.6，BC ＝12.4， ∴EC ＝EB +BC ＝14， ∵AB ⊥EC ，∴∠ABE ＝90°， ∵∠C ＝90°， ∴∠ABE ＝∠C ，又∵∠E ＝∠E ， ∴△ABE ∽△DCE ， ∴BA CD =EB EC ，即1.2CD=1.614，解得：CD ＝10.5，故选：C ．15．（2021•贵港）如图，在正方形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且EF ＝2AE ＝2CF ，连接DE 并延长交AB 于点M ，连接DF 并延长交BC 于点N ，连接MN ，则S △AMD S △MBN=（）A ．34B ．23C ．1D ．12【解答】解：设AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝3a ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAE ＝∠DCF ＝45°，∠DAM ＝∠DCN ＝90°，在△DAE 和△DCF 中， {DA =DC∠DAE =∠DCF AE =CF， ∴△DAE ≌△DCF （SAS ）， ∴∠ADE ＝∠CDF ，在△DAM 和△DCN 中， {∠ADM =∠CDN DA =DC ∠DAM =∠DCN，∴△DAM ≌△DCN （ASA ）， ∴AM ＝CN ， ∵AB ＝BC ， ∴BM ＝BN ， ∵CN ∥AD ， ∴CN AD=CF AF=13，∴CN ＝AM ＝a ，BM ＝BN ＝2a ， ∴S △ADM S △BMN=12⋅AD⋅AM 12⋅BM⋅BN =3a×a 2a×2a=34，故选：A ．16．（2021•河北）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB ＝（）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm【解答】解：如图：过O 作OM ⊥CD ，垂足为M ，过O 作ON ⊥AB ，垂足为N ，∵CD ∥AB ，∴△CDO ∽ABO ，即相似比为CD AB，∴CD AB=OM ON，∵OM ＝15﹣7＝8，ON ＝11﹣7＝4， ∴CD AB=OM ON，6AB =84，∴AB ＝3，故选：C ．17．（2021•临沂）如图，点A ，B 都在格点上，若BC =2√133，则AC 的长为（）A ．√13B ．4√133C ．2√13D ．3√13【解答】解：作CD ⊥BD 于点D ，作AE ⊥BD 于点E ，如右图所示，则CD ∥AE ， ∴△BDC ∽△BEA ， ∴BC BA=BD BE =26，∴2√133BA=26，解得BA ＝2√13，∴AC ＝BA ﹣BC ＝2√13−2√133=4√133，故选：B ．18．（2021•温州）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD 如图所示．过点D 作DF 的垂线交小正方形对角线EF 的延长线于点G ，连结CG ，延长BE 交CG 于点H ．若AE ＝2BE ，则CG BH的值为（）A ．32B ．√2C ．3√107D ．3√55【解答】解：如图，过点G 作GT ⊥CF 交CF 的延长线于T ，设BH 交CF 于M ，AE 交DF 于N ．设BE ＝AN ＝CM ＝DF ＝a ，则AE ＝BM ＝CF ＝DN ＝2a ，∴EN ＝EM ＝MF ＝FN ＝a ， ∵四边形ENFM 是正方形，∴∠EFH ＝∠TFG ＝45°，∠NFE ＝∠DFG ＝45°， ∵GT ⊥TF ，DF ⊥DG ，∴∠TGF ＝∠TFG ＝∠DFG ＝∠DGF ＝45°， ∴TG ＝FT ＝DF ＝DG ＝a ，∴CT ＝3a ，CG =√(3a)2+a 2=√10a ， ∵MH ∥TG ， ∴△CMH ∽△CTG ，∴CM ：CT ＝MH ：TG ＝1：3， ∴MH =13a ， ∴BH ＝2a +13a =73a ， ∴CG BH=√10a73a =3√107，故选：C ．19．（2021•遂宁）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若△ADE 的面积是3cm 2，则四边形BDEC 的面积为（）A ．12cm 2B ．9cm 2C ．6cm 2D ．3cm 2【解答】解：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点， ∴DE ∥BC ，且AD AB=12，∴△ADE ∽△ABC ，∴△ADE 的面积：△ABC 的面积＝1：4， ∴△ADE 的面积：四边形BDEC 的面积＝1：3， ∵△ADE 的面积是3cm 2， ∴四边形BDEC 的面积是9cm 2，故选：B ．20．（2021•济南）如图，一个由8个正方形组成的“C ”模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M ，N ，O ，P ，Q 都在矩形ABCD 的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边AB的长为20√1313．【解答】解：连接EG，则∠OEP＝90°，由题意得，小正方形的边长为1，∴OP=√OE2+EP2=√32+22=√13，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠A＝90°，∠MQP＝90°，∴∠BMQ＝∠CQP＝90°﹣∠MQP，同理∠EPO＝∠CQP＝90°﹣∠QPC，∴∠BMQ＝∠EPO，又∠OEP＝∠B＝90°，∴△OEP∽△QBM，∴OEQB =EPBM=OPQM=√134，∴BM=√134=√134=8√1313，QB=√134=√134=12√1313，∵∠B＝∠A＝90°，∠NMQ＝90°，∴∠BMQ ＝∠ANM ＝90°﹣∠AMN ，在△QBM 和△MAN 中， {∠A =∠B∠BMQ =∠ANM QM =MN =4， ∴△QBM ≌△MAN （AAS ）， ∴AM ＝QB =12√1313， ∴AB ＝BM +AM =8√1313+12√1313=20√1313．故答案为：20√1313．21．（2021•沈阳）如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5．四边形ABEF 是正方形，点D 是直线BC 上一点，且CD ＝1．P 是线段DE 上一点，且PD =23DE ．过点P 作直线l 与BC 平行，分别交AB ，AD 于点G ，H ，则GH 的长是13或59．【解答】解：∵△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， ∴AC 2+BC 2＝25，AB 2＝25， ∴AC 2+BC 2＝AB 2， ∴△ABC 为直角三角形，①当点D 位于C 点左侧时，如图：设直线l 交BE 于点M ，∵l ∥BC ， ∴BM BE=D 1P D 1E，∠MGB ＝∠ABC ，又∵四边形ABEF 是正方形，且PD 1=23D 1E ， ∴BE ＝AB ＝5，∠EBA ＝90°，即BM 5=23，解得：BM =103，∵∠MGB ＝∠ABC ，∠EBA ＝∠ACB ＝90°， ∴△GBM ∽△BCA ， ∴GB BM =BC AC ，∴GB103=43，解得：GB =409， ∴AG ＝AB ﹣GB =59， ∵l ∥BC ，∴△AGH ∽△ABD 1， ∴GH BD 1=AG AB，∵CD 1＝1，∴BD 1＝BC ﹣CD 1＝3， ∴GH 3=595，解得：GH =13；②当点D 位于C 点右侧时，如图：与①同理，此时CD 2＝BC +CD 1＝5， ∴GH 5=595，解得：GH =59，综上，GH 的长为13或59，故答案为：13或59．22．（2021•朝阳）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，连接AC ，过点D 作DC 1⊥AC 于点C 1，以C 1A ，C 1D 为邻边作矩形AA 1DC 1，连接A 1C 1，交AD 于点O 1，过点D 作DC 2⊥A 1C 1于点C 2，交AC 于点M 1，以C 2A 1，C 2D 为邻边作矩形A 1A 2DC 2，连接A 2C 2，交A 1D 于点O 2，过点D 作DC 3⊥A 2C 2于点C 3，交A 1C 1于点M 2；以C 3A 2，C 3D 为邻边作矩形A 2A 3DC 3，连接A 3C 3，交A 2D 于点O 3，过点D 作DC 4⊥A 3C 3于点C 4，交A 2C 2于点M 3…若四边形AO 1C 2M 1的面积为S 1，四边形A 1O 2C 3M 2的面积为S 2，四边形A 2O 3C 4M 3的面积为S 3…四边形A n ﹣1O n C n +1M n 的面积为S n ，则S n ＝ 9×4n−15n+1．（结果用含正整数n 的式子表示）【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝BC ＝2，CD ＝AB ＝1， ∴AC =√AB 2+BC 2=√12+22=√5， ∵DC 1•AC ＝AB •BC ， ∴DC 1=AB⋅BC AC =√5=2√55，同理，DC 2=2√55DC 1＝（2√55）2，DC 3＝（2√55）3， ……， D ∁n ＝（2√55）n， ∵DC 1CC 1=tan ∠ACD =ADCD=2， ∴CC 1=12DC 1=√55， ∵tan ∠CAD =DC 1AC 1=CD AD =12， ∴A 1D ＝AC 1＝2DC 1=4√55， ∴AM 1＝AC 1﹣C 1M 1＝2DC 1−12DC 1=32×DC 1=3√55，同理，A 1M 2=32×DC 2， A 2M 3=32×DC 3， ……，A n ﹣1M n =32×D ∁n ，∵四边形AA 1DC 1是矩形， ∴O 1A ＝O 1D ＝O 1A 1＝O 1C 1＝1，同理∵DC 2•A 1C 1＝A 1D •DC 1，∴DC 2=A 1D⋅DC 1A 1C 1=4√55×2√552=45，在Rt △DOC 中，O 1C 2=√O 1D 2−DC 22=√12−(45)2=35=34DC 2，同理，O 2C 3=34DC 3， O 3C 4=34DC 4， ……，O n C n +1=34DC n +1，∴S 1=S 四边形AO 1C 2M 1=S △ADM 1−S △O 1DC 2=12×AM 1×DC 1−12×O 1C 2×DC 2＝（34−310）DC 12=920DC 12=925，同理，S 2=S △A 1DM 2−S △O 2DC 3=920DC 22=920×(2√55)4=9×453，S 3=920DC 32=920×(2√55)6=9×4254，……，S n =920DC n 2=920×(2√55)2n =9×4n−15n+1．故答案为：9×4n−15n+1．23．（2021•镇江）如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AC ，AB 上，△ADE ∽△ABC ，M ，N分别是DE ，BC 的中点，若AM AN=12，则S △ADE S △ABC=14．【解答】解：∵M ，N 分别是DE ，BC 的中点， ∴AM 、AN 分别为△ADE 、△ABC 的中线， ∵△ADE ∽△ABC ， ∴DEBC =AMAN =12，∴S △ADE S △ABC =（DE BC）2=14，故答案为：14．24．（2021•鞍山）如图，△ABC 的顶点B 在反比例函数y =kx （x ＞0）的图象上，顶点C 在x 轴负半轴上，AB ∥x 轴，AB ，BC 分别交y 轴于点D ，E ．若BE CE=CO AD=32，S △ABC ＝13，则k ＝ 18 ．【解答】解：如图，过点B 作BF ⊥x 轴于点F ．∵AB ∥x 轴，∴△DBE ∽△OCE ， ∴DB CO =BE CE =DE EO ，∵BE CE =CO AD =32， ∴DB CO=DE EO=BE CE=CO AD=32，设CO ＝3a ，DE ＝3b ，则AD ＝2a ，OE ＝2b ， ∴DB 3a=32，OD ＝5b ，∴BD =9a 2， ∴AB ＝AD +DB =13a2， ∵S △ABC =12⋅AB ⋅OD =12×13a 2×5b =13， ∴ab =45，∵S 矩形ODBF ＝BD •OD =9a2⋅5b =45ab2=18，又∵反比例函数图象在第一象限， ∴k ＝18，故答案为18．25．（2021•阜新）如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC 与△CDE 的周长比为 2：1 ．【解答】解：如图，分别过点A 、点E 作AM ⊥BD ，EN ⊥BD ，垂足分别为点M 、N ，则∠AMB ＝∠END ＝90°，∵BM ＝2，DN ＝1，AM ＝4，EN ＝2， ∴BM DN=AM EN，∴△ABM ∽△EDN ， ∴∠ABM ＝∠EDN ，AB ED=BM DN=21=2，∴AB ∥EN ， ∴∠BAC ＝∠EDC ，又∠ACB ＝∠DCE ， ∴△ABC ∽△CDE ，∴△ABC 与△CDE 的周长之比为2：1．故答案为：2：1．26．（2021•牡丹江）如图，矩形ABCD 中，AD =√2AB ，点E 在BC 边上，且AE ＝AD ，DF ⊥AE 于点F ，连接DE ，BF ，BF 的延长线交DE 于点O ，交CD 于点G ．以下结论： ①AF ＝DC ，②OF ：BF ＝CE ：CG ，③S △BCG =√2S △DFG ，④图形中相似三角形有6对，则正确结论的序号是 ①② ．【解答】解：①∵AE ＝AD ，AD =√2AB ， ∴AE =√2AB ，即△ABE 是等腰直角三角形， ∴∠BAE ＝45°，∴∠DAF ＝90°﹣45°＝45°，即△AFD 为等腰直角三角形， ∴AF ＝DF ， ∵AD ∥BC ， ∴∠ADE ＝∠DEC ，∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE，∴∠AED＝∠DEC，又∵∠DFE＝∠DCE＝90°，DE＝DE，∴△DFE≌△DCE（AAS），∴DF＝DC，即AF＝DC，故①正确；②由①知△AFD为等腰直角三角形，如图1，作FH⊥AD于H，连接CF，∴点H是AD的中点，∴点F是BG的中点，即BF＝FG＝FC，∵∠AEB＝45°，∴∠EFC＝∠ECF=12∠AEB＝22.5°，∴∠FCG＝∠FGC＝90°﹣22.5°＝67.5°，∵∠OFE＝∠AFB=12（180°﹣45°）＝67.5°，∠OEF＝90°﹣∠EDF＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠FCG＝∠FGC＝∠OFE＝∠OEF，∴△GFC∽△FOE，∴OF：FC＝EF：CG，又∵FC＝BF，EF＝CE，∴OF：BF＝CE：CG，即②正确；③令AB＝1，则AD＝AE＝BC=√2，∴CE=√2−1，∵∠GBC＝∠EDC，∠DCE＝∠BCG＝90°，∴△BCG∽△DCE，∴BC CG=DC CE，即√2CG =√2−1， ∴CG ＝2−√2，∴DG ＝1﹣（2−√2）=√2−1， ∴CG =√2DG ，∴S △BCG =√2S △DFG 不成立，即③不正确；④根据角相等可以得出图形中相似三角形如下：△ABE ∽△AFD ，这是1对；△ABF ∽△OEF ∽△ADE ，可组成3对；△BCG ∽△DCE ∽△DFE ，又可组成3对；△BEF ∽△BOE ∽△DOG ∽△FDG ，还可组成6对，综上，图形中相似三角形有13对，故④不正确．故答案为：①②．27．（2021•徐州）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BA 、BC 上，且AD DB=CE EB=32，△DBE 与四边形ADEC 的面积的比421．【解答】解：∵AD DB=CE EB=32，则设AD ＝3m ，DB ＝2m ，CE ＝3k ，EB ＝2k ，∴BD AB =2m 2m+3m =25，EB BC=2k 2k+3k=25，∴BD AB=EB BC=25，又∠B ＝∠B ， ∴△DBE ∽△ABC ．相似比为25，面积比S △DBE S △ABC=(25)2=425，设S △DBE ＝4a ，则S △ABC ＝25a ， ∴S 四边形ADEC ＝25a ﹣4a ＝21a ， ∴S △DBE ：S 四边形ADEC =421．故答案为：421．28．（2021•营口）如图，矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝4，点E 是AB 边上一点，AE ＝3，连接DE ，点F 是BC 延长线上一点，连接AF ，且∠F =12∠EDC ，则CF ＝ 6 ．【解答】解：如图，连接EC ，过点D 作DH ⊥EC 于H ．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AD ＝BC ＝4，AB ＝CD ＝5， ∵AE ＝3，∴DE =√AD 2+AE 2=√42+32=5， ∴DE ＝DC ， ∵DH ⊥EC ， ∴∠CDH ＝∠EDH ，∵∠F =12∠EDC ，∠CDH =12∠EDC ， ∴∠CDH ＝∠F ，∵∠BCE +∠DCH ＝90°，∠DCH +∠CDH ＝90°， ∴∠BCE ＝∠CDH ，∴∠BCE ＝∠F ，∴EC ∥AF ，∴BE AE=CB CF ， ∴23=4CF ，∴CF ＝6，故答案为：6．29．（2021•烟台）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A 处立一根垂直于井口的木杆AB ，从木杆的顶端B 观察井水水岸D ，视线BD 与井口的直径AC 交于点E ，如果测得AB ＝1米，AC ＝1.6米，AE ＝0.4米，那么CD 为 3 米．【解答】解：由题意知：AB ∥CD ，则∠BAE ＝∠C ，∠B ＝∠CDE ，∴△ABE ∽△CDE ，∴AB CD =AE CE ， ∴1CD =0.41.6−0.4， ∴CD ＝3米，故答案为：3．30．（2021•包头）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，过点B 作BD ⊥CB ，垂足为B ，且BD ＝3，连接CD ，与AB 相交于点M ，过点M 作MN ⊥CB ，垂足为N ．若AC ＝2，则MN 的长为 65 ．【解答】解：∵∠ACB ＝90°，BD ⊥CB ，MN ⊥CB ，∴AC ∥MN ∥BD ，∠CNM ＝∠CBD ，∴∠MAC ＝∠MBD ，∠MCA ＝∠MDB ＝∠CMN ，∴△MAC ∽△MBD ，△CMN ∽△CDB ，∴MC MD =AC BD =23，MN BD =CM CD ， ∴CM CD =25， ∴MN 3=25， ∴MN =65．故答案为：65． 31．（2021•吉林）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m 的竹竿AC 斜靠在石坝旁，量出竿上AD 长为1m 时，它离地面的高度DE 为0.6m ，则坝高CF 为 2.7 m ．【解答】解：如图，过C 作CF ⊥AB 于F ，则DE ∥CF ，∴AD AC =DE CF ，即14.5=0.6CF ，解得CF ＝2.7，故答案为：2.7．32．（2021•东营）如图，正方形ABCB 1中，AB =√3，AB 与直线l 所夹锐角为60°，延长CB 1交直线l 于点A 1，作正方形A 1B 1C 1B 2，延长C 1B 2交直线l 于点A 2，作正方形A 2B 2C 2B 3，延长C 2B 3交直线l 于点A 3，作正方形A 3B 3C 3B 4…，依此规律，则线段A 2020A 2021＝ 2×（√33）2020 ．【解答】解：根据题意可知AB 1＝AB =√3，∠B 1AA 1＝90°﹣60°＝30°，∴tan ∠B 1AA 1=A 1B 1AB 1=√33， ∴A 1B 1＝AB 1×√33=√3×√33=1，AA 1＝2A 1B 1＝2，A 2B 2＝A 1B 2×√33=A 1B 1×√33=√33，A 1A 2＝2A 2B 2＝2×√33，A 3B 3＝A 2B 3×√33=A 2B 2×√33=√33×√33=（√33）2，A 2A 3＝2A 3B 3＝2×（√33）2， ∴A 2021B 2021＝A 2020B 2021×√33=（√33）2020，A 2020A 2021＝2A 2021B 2021＝2×（√33）2020，故答案为：2×（√33）2020． 33．（2021•大庆）已知，如图①，若AD 是△ABC 中∠BAC 的内角平分线，通过证明可得AB AC =BD CD ，同理，若AE 是△ABC 中∠BAC 的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图②，在△ABC 中，BD ＝2，CD ＝3，AD 是△ABC 的内角平分线，则△ABC 的BC 边上的中线长l 的取值范围是 12＜l ＜252 ．【解答】解：∵AD 是△ABC 的内角平分线，AB AC =BD CD ，∵BD ＝2，CD ＝3，∴AB AC =23，作∠BAC 的外角平分线AE ，与CB 的延长线交于点E ，∴AB AC =BE CE ， ∴BE 5+BE =23， ∴BE ＝10，∴DE ＝12，∵AD 是∠BAC 的角平分线，AE 是∠BAC 外角平分线∴∠EAD ＝90°，∴点A 在以DE 为直径的圆上运动，取BC 的中点为F ，∴DF ＜AF ＜EF ，∴12＜l ＜252，故答案为：12＜l ＜252．解法2：∵AD 是△ABC 的内角平分线，∴AB AC =BD CD ，∵BD ＝2，CD ＝3，∴AB AC =23，可设AB ＝2k ，AC ＝3k ，在△ABC 中，BC ＝5，∴5k ＞5，k ＜5，∴1＜k ＜5，E 是BC 边的中点，延长AE 至A '，使得AE ＝A 'E ，连结A 'C ，∴A 'C ＝AB ，∴k ＜2l ＜5k ，∴12＜l ＜252，故答案为：12＜l ＜252．34．（2021•随州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，O 为AB 的中点，OD 平分∠AOC交AC 于点G ，OD ＝OA ，BD 分别与AC ，OC 交于点E ，F ，连接AD ，CD ，则OG BC 的值为 12 ；若CE ＝CF ，则CF OF 的值为 √2 ．【解答】解：①在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，O 为AB 的中点，∴OA ＝OC ＝OB ，∵OD 平分∠AOC ，∴OG ⊥AC ，且点G 为AC 的中点，∴OG ∥BC ，且OG =12BC ，即OG BC =12； ②∵OD ＝OA ，∴OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠OBD ，∵OG ⊥AC ，∴∠DGE ＝90°，∴∠GDE +∠DEG ＝90°，∵CE ＝CF ，∴∠CEF ＝∠CFE ，∵∠CEF ＝∠DEG ，∠CFE ＝∠OFB ，∠ODB ＝∠OBD ，∴∠OFB +∠OBD ＝90°，∴∠FOB ＝90°，即CO ⊥AB ，∴△OBC 是等腰直角三角形，∴BC ：OB =√2：1；由（1）知，OG ∥BC∴△BCF ∽△DOF ，∴CF OF =BC OD =BC OB =√2．故答案为：12；√2． 35．（2021•山西）如图，在△ABC 中，点D 是AB 边上的一点，且AD ＝3BD ，连接CD 并取CD 的中点E ，连接BE ，若∠ACD ＝∠BED ＝45°，且CD ＝6√2，则AB 的长为 4√13 ．【解答】解：如图，取AD 中点F ，连接EF ，过点D 作DG ⊥EF 于G ，DH ⊥BE 于H ，设BD ＝a ，∴AD ＝3BD ＝3a ，AB ＝4a ，∵点E 为CD 中点，点F 为AD 中点，CD ＝6√2，∴DF =32a ，EF ∥AC ，DE ＝3√2，∴∠FED ＝∠ACD ＝45°，∵∠BED ＝45°，∴∠FED ＝∠BED ，∠FEB ＝90°，∵DG ⊥EF ，DH ⊥BE ，∴四边形EHDG 是矩形，DG ＝DH ，∴四边形DGEH 是正方形，∴DE =√2DG ＝3√2，DH ∥EF ，∴DG ＝DH ＝3，∵DH ∥EF ，∴∠BDH ＝∠DFG ，∴△BDH ∽△DFG ，∴BD DF=BH DG ， ∴a32a =BH 3，∴BH ＝2，∴BD =√BH 2+DH 2=√4+9=√13，∴AB ＝4√13，故答案为：4√13．36．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AD ＝5，BC ＝10，四边形EFGH 和四边形HGNM 均为正方形，且点E 、F 、G 、N 、M 都在△ABC 的边上，那么△AEM 与四边形BCME 的面积比为 1：3 ．【解答】解：∵四边形EFGH 和四边形HGNM 均为正方形，∴EF ＝EH ＝HM ，EM ∥BC ，∴△AEM ∽△ABC ，∴AP AD =EM BC ， ∴5−EF 5=2EF 10， ∴EF =52，∴EM ＝5，∵△AEM ∽△ABC ，∴S △AEM S △ABC =（EM BC）2=14， ∴S 四边形BCME ＝S △ABC ﹣S △AEM ＝3S △AEM ，∴△AEM 与四边形BCME 的面积比为1：3，故答案为：1：3．37．（2021•南充）如图，在△ABC 中，D 为BC 上一点，BC =√3AB ＝3BD ，则AD ：AC 的值为 √33．【解答】解：∵BC =√3AB ＝3BD ，∴BC AB =AB DB =√3，∵∠B ＝∠B ，∴△ABC ∽△DBA ，∴AC AD =BC AB =√3,∴AD :AC =√33,故答案为：√33． 38．（2021•遂宁）如图，正方形ABCD 中，点E 是CD 边上一点，连结BE ，以BE 为对角线作正方形BGEF ，边EF 与正方形ABCD 的对角线BD 相交于点H ，连结AF ，有以下五个结论：①∠ABF ＝∠DBE ；②△ABF ∽△DBE ；③AF ⊥BD ；④2BG 2＝BH •BD ；⑤若CE ：DE ＝1：3，则BH ：DH ＝17：16．你认为其中正确是 ①②③④ ．（填写序号）【解答】解：①∵正方形ABCD 和正方形BGEF ，∴△ABD 和△FBE 都是等腰直角三角形，∴∠ABD ＝∠FBE ＝45°，∴∠ABF ＝∠DBE ；∴①正确，符合题意；②∵△ABD 和△FBE 都是等腰直角三角形，∴AB BD =BF BE ，又∵∠ABF ＝∠DBE ，∴△ABF∽△DBE，∴②正确，符合题意；③∵△ABF∽△DBE，∴∠F AB＝∠EDB＝45°，∴AF⊥BD；∴③正确，符合题意；④∵∠BEH＝∠EDB＝45°，∠EBH＝∠DBE，∴△BEH∽△BDE，∴BEBD =BHBE，∴BE2＝BD×BH，∵BE=√2BG，∴2BG2＝BD×BH，∴④正确，符合题意；⑤∵CE：DE＝1：3，∴设CE＝x，DE＝3x，∴BC＝4x，在Rt△BCE中，由勾股定理知：BE=√17x，∵BE2＝BD×BH，∴17x2=4√2x×BH，∴BH=17√28x，∴DH=158√2x，∴BH：DH＝17：15，∴⑤错误，不符合题意；故答案为：①②③④．39．（2021•牡丹江）Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝17，BC＝8，矩形CDEF的另三个顶点D，E，F均在Rt△ABC的边上，且邻边之比为1：2，画出符合题意的图形，并直接写出矩形周长的值．。

人教版相似三角形专题复习

相似三角形
基本图形
学以致用 ☞
A
1.若△ABC∽△ADE，你可以得出什么结论？
D B
“A”型
角： ∠ADE= ∠ B ∠ AED= ∠C
E 边：DE ∥ BC
AD AE DE .
C AB AC BC
AD

AE .
DB EC
DB EC . AB AC
2.添加一个条件，使△AOB∽ △ DOC
三边对应成___比__例____，三个角对应___相_等____的两个三角形叫做相似三角形．
判定两个三角形相似的主要方法：
A
1、预备定理： ∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC。
DE
B
C
2、判定定理1:两个角对应相等,两三角形相似。
3、判定定理2:两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
4、判定定理3:三边对应成比例，两三角形相似。
• 年轻的生命，如初升的旭日。愿充满朝气的你们，拥有灿烂的明天！
【学习目标】
①回忆三角形相似的概念，巩固两个三角形相似的性质与判定。
②归纳总结相似三角形的基本模型.会解几类常见的试题.
③通过动脑想,动口说,动笔写解决问题,加深对三角形相似的理解.积累解题经验。
活动一：相关概念的复习
相似三角形的定义：
A
B
O 解：角： ∠B= ∠ C或∠ A= ∠ D 边：AB ∥ CD
AO：OD=BO：CO
C
D
“X” 型
3、D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似。
解：角： ∠B= ∠ 2或∠ 1= ∠ C 边： AD：AC=AE：AB

相似三角形的判定和性质-备战2023年中考数学考点微专题

考向5.6 相似三角形的判定和性质【知识要点】1、相似三角形：两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

说明：证两个三角形相似时和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边。

2、相似比：相似三角形对应边的比k，叫做相似比（或叫做相似系数）。

3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

说明：这个定理反映了相似三角形的存在性，所以有的书把它叫做相似三角形的存在定理，它是证明三角形相似的判定定理的理论基础。

4、三角形相似的判定定理：（1）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么就两个三角形相似。

可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

（2）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

（3）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。

（4）直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

说明：以上四个判定定理不难证明，以下判定三角形相似的命题是正确的，在解题时，也可以用它们来判定两个三角形的相似。

第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。

第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形．相似。

5、相似三角形的性质：（1）相似三角形性质1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。

专题24 相似三角形判定与性质(解析版)2021年中考数学必考34个考点高分三部曲

∴
，
∴
，
∴DG＝，
，可得 EG∥BC，则∠1＝∠AHC，根据 DF∥AH，可得
5
∵DE＝，
∴
＝，
∴EG∥BC， ∴∠1＝∠AHC，又∵DF∥AH， ∴∠AHC＝∠DFC， ∠1＝∠DFC．【例题 5】（2020 年湖南省张家界市）如图，在平行四边形 ABCD 中，连接对角线 AC，延长 AB 至点 E，使 BE＝AB，连接 DE，分别交 BC，AC 交于点 F，G．（1）求证：BF＝CF；（2）若 BC＝6，DG＝4，求 FG 的长．
比的平方是解题的关键．
分 AE：ED＝2：3、AE：ED＝3：2 两种情况，根据相似三角形的性质计算即可． ①当 AE：ED＝2：3 时， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AE：BC＝2：5， ∴△AEF∽△CBF， ∴S△AEF：S△CBF＝（）2＝4：25；
②当 AE：ED＝3：2 时，同理可得，S△AEF：S△CBF＝（）2＝9：25。
11
A．2：3
B．3：2
C．9：4
D．4：9
【答案】D．
【解析】先设出 DE＝x，进而得出 AD＝3x，再用平行四边形的性质得出 BC＝3x，进而求出 CF，最后用相
似三角形的性质即可得出结论．
设 DE＝x， ∵DE：AD＝1：3， ∴AD＝3x， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，BC＝AD＝3x， ∵点 F 是 BC 的中点，
【答案】楼的高度 OE 为 32 米．【解析】设 E 关于 O 的对称点为 M，由光的反射定律知，延长 GC、FA 相交于点 M，连接 GF 并延长交 OE 于点 H， ∵GF∥AC，
3
∴△MAC∽△MFG，

2021年人教版数学中考第一轮专题训练相似三角形

相似三角形命题点1 平行线分线段成比例定理1．(2020·四川成都)如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 和DF 被l 1，l 2，l 3所截，AB ＝5，BC ＝6，EF ＝4，则DE 的长为（） A ．2 B ．3C ．4D ．103第1题图第2题图2．(2020·黑龙江哈尔滨)如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 在AC 边上，过点E 作EF ∥BC ，交AD 于点F ，过点E 作EG ∥AB ，交BC 于点G ，则下列式子一定正确的是（）A ．AE EC ＝EF CDB ．EF CD ＝EG ABC ．AF FD ＝BG GCD ．CG BC ＝AF AD命题点2 相似三角形的判定与性质3．(2020·广西玉林)一个三角形木架三边长分别是75cm ，100cm ，120cm ，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm 和120cm 的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边(允许有余料)，则不同的截法有（）A ．一种B ．两种C ．三种D ．四种4．(2020·云南昆明)在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC 是格点三角形，在图中6×6的正方形网格中作出格点三角形△ADE (不含△ABC )，使得△ADE ∽△ABC (同一位置的格点三角形△ADE 只算一个)，这样的格点三角形一共有（）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个第4题图第5题图5．(2020·山东临沂)如图，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，H 为AF 与DG 的交点．若AC ＝6，则DH ＝．命题点3 位似图形6．(2020·安阳模拟)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC 的三个顶点均在格点(网格线的交点)上．以原点O 为位似中心，画△A 1B 1C 1，使它与△ABC 的相似比为2，则点B 的对应点B 1的坐标是（）A ．(4，2)B ．(1，12)C.(1，12)或(－1，－12)D ．(4，2)或(－4，－2)7．(2020·山东德州)在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(－2，1)，以原点O 为位似中心，把线段OA 放大为原来的2倍，点A 的对应点为A ′.若点A ′恰在某一反比例函数的图象上，则该反比例函数的解析式为_ ．8．(2020·黑龙江绥化)在平面直角坐标系中，△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比等于12，并且是关于原点O 的位似图形，若点A 的坐标为(2，4)，则其对应点A 1的坐标是_ _．课后练习1．(2020·贵州毕节)已知a b ＝25，则a ＋b b 的值为（）A.25 B ．35C ．75D ．232．(2020·贵州遵义)如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝6，过点D 作DE ⊥BA ，交BA 的延长线于点E ，则线段DE 的长为（）A ．125B ．185C ．4D ．245第2题图第3题图3．(2020·湖南郴州)如图，在平面直角坐标系中，将△AOB 以点O 为位似中心，23为位似比作位似变换，得到△A 1OB 1，已知A (2，3)，则点A 1的坐标是(43,2).4．(2020·四川乐山)把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F .则AFAC＝_ __．第4题图第5题图5．(2020·四川宜宾)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，连接CD 交BE 于点O .若AC ＝8，BC ＝6，则OE 的长是．6．(2020·江苏苏州)如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，DF ⊥AE ，垂足为F .(1)求证：△ABE ∽△DF A .(2)若AB ＝6，BC ＝4，求DF 的长．7．(2020·上海)已知，如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，AD 上， BE ＝DF ，CE 的延长线交DA 的延长线于点G ，CF 的延长线交BA 的延长线于点H .(1)求证：△BEC∽△BCH.(2)如果BE2＝AB·AE，求证：AG＝DF.相似三角形命题点1 平行线分线段成比例定理1．(2020·四川成都)如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 和DF 被l 1，l 2，l 3所截，AB ＝5，BC ＝6，EF ＝4，则DE 的长为( D ) A ．2B ．3C ．4D ．103第1题图第2题图2．(2020·黑龙江哈尔滨)如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 在AC 边上，过点E 作EF ∥BC ，交AD 于点F ，过点E 作EG ∥AB ，交BC 于点G ，则下列式子一定正确的是( C )A ．AE EC ＝EF CDB ．EF CD ＝EG ABC ．AF FD ＝BG GCD ．CG BC ＝AF AD命题点2 相似三角形的判定与性质3．(2020·广西玉林)一个三角形木架三边长分别是75cm ，100cm ，120cm ，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm 和120cm 的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边(允许有余料)，则不同的截法有( B )A ．一种B ．两种C ．三种D ．四种4．(2020·云南昆明)在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC 是格点三角形，在图中6×6的正方形网格中作出格点三角形△ADE (不含△ABC )，使得△ADE ∽△ABC (同一位置的格点三角形△ADE 只算一个)，这样的格点三角形一共有( C )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个第4题图第5题图5．(2020·山东临沂)如图，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，H 为AF 与DG 的交点．若AC ＝6，则DH ＝__1__．命题点3 位似图形6．(2020·安阳模拟)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC 的三个顶点均在格点(网格线的交点)上．以原点O 为位似中心，画△A 1B 1C 1，使它与△ABC 的相似比为2，则点B 的对应点B 1的坐标是( D )A ．(4，2)B ．(1，12)C.(1，12)或(－1，－12)D ．(4，2)或(－4，－2)7．(2020·山东德州)在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(－2，1)，以原点O 为位似中心，把线段OA 放大为原来的2倍，点A 的对应点为A ′.若点A ′恰在某一反比例函数的图象上，则该反比例函数的解析式为__y ＝－8x__．8．(2020·黑龙江绥化)在平面直角坐标系中，△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比等于12，并且是关于原点O 的位似图形，若点A 的坐标为(2，4)，则其对应点A 1的坐标是__(4，8)或(－4，－8)__．课后练习1．(2020·贵州毕节)已知a b ＝25，则a ＋b b 的值为( C )A.25 B ．35C ．75D ．232．(2020·贵州遵义)如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝6，过点D 作DE ⊥BA ，交BA 的延长线于点E ，则线段DE 的长为( D )A ．125B ．185C ．4D ．245第2题图第3题图3．(2020·湖南郴州)如图，在平面直角坐标系中，将△AOB 以点O 为位似中心，23为位似比作位似变换，得到△A 1OB 1，已知A (2，3)，则点A 1的坐标是(43,2).4．(2020·四川乐山)把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F .则AF AC ＝__35__．第4题图第5题图5．(2020·四川宜宾)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，连接CD 交BE 于点O .若AC ＝8，BC ＝6，则OE 的长是__9511__．6．(2020·江苏苏州)如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，DF ⊥AE ，垂足为F .(1)求证：△ABE ∽△DF A .(2)若AB ＝6，BC ＝4，求DF 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∠B ＝90°， ∴∠AEB ＝∠DAF . ∵DF ⊥AE ， ∴∠AFD ＝90°， ∴∠B ＝∠AFD ， ∴△ABE ∽△DF A .(2)∵E 是BC 的中点，BC ＝4， ∴BE ＝2.∵AB ＝6，∠B ＝90°， ∴AE ＝AB 2＋BE 2＝62＋22＝210. ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ＝BC ＝4.由(1)知△ABE ∽△DF A ， ∴AB DF ＝AE AD， ∴DF ＝AB ·AD AE ＝6×4210＝6105.7．(2020·上海)已知，如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，AD 上， BE ＝DF ，CE 的延长线交DA 的延长线于点G ，CF 的延长线交BA 的延长线于点H .(1)求证：△BEC ∽△BCH .(2)如果BE 2＝AB ·AE ，求证：AG ＝DF . 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴CD ＝CB ，∠D ＝∠B ，CD ∥AB . ∵DF ＝BE ，∴△CDF ≌△CBE (SAS)， ∴∠DCF ＝∠BCE . ∵CD ∥BH ， ∴∠H ＝∠DCF ， ∴∠BCE ＝∠H . ∵∠B ＝∠B ， ∴△BEC ∽△BCH . (2)证明：∵BE 2＝AB ·AE ， ∴BE AB ＝AEBE. ∵AG ∥BC ，∴△AEG ∽△BEC ， ∴AE BE ＝AG BC ， ∴BE AB ＝AG BC. ∵DF ＝BE ，BC ＝AB ， ∴BE ＝AG ＝DF ，即AG ＝DF .。

2021年中考数学压轴题专项训练14：相似三角形(含答案)

相似三角形1．已知，如图，△ABC 中，AB ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上一点，BD ＝1，AD +AC =8．（1）找出图中的一对相似三角形并证明；（2）求AC 长．【解析】解：（1）△BAD△△BCA ，理由如下： AB ＝2，BC ＝4，BD ＝1，∴121,=242BD AB AB BC ==， ∴1=2BD AB AB BC =，又△B=△B ，∴△BAD△△BCA ；（2）由（1）得：1=2AD AC ，即2AC AD =， AD +AC =8，∴28AD AD +=，解得：83AD =， ∴163AC =． 2．如图，在ABC ∆中，6AB AC ==，5BC =，D 是AB 上一点，2BD =，E 是BC 上一动点，连接DE ，作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F .（1）求证：DBE ECF ∆∆；（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；【解析】（1）证明：△AB AC =， △B C ∠=∠；△DEF B ∠=∠，∠+∠=∠+∠CEF DEF B BDE ， △BDE CEF ∠=∠. △DBEECF ∆∆.（2）△DBEECF ∆∆（已证）.△::BD CE BE CF =； △F 为AC 的中点，6AC =， △3CF =.设BE x =，则5CE x =-；又2BD =， △()2:5:3x x -=，解得2x =或3. 故BE 长为2或3.3．如图，是一个照相机成像的示意图．（1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？【解析】解：根据物体成像原理知：△LMN△△LBA，△MN LC AB LD=．（1）△像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，△35504.9LD=，解得：LD=7．△拍摄点距离景物7 m．（2）拍摄高度AB是2m的景物，拍摄点离景物LC=4m，像高MN不变，是35mm，△35LC24=，解得：LC=70．△相机的焦距应调整为70mm．4．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M，若△AFG＝△ACD．（1）求证：△△MFC△△MCA；△若AB＝5，AC＝8，求CFBE的值．（2）若DM＝CM＝2，AD＝3，请直接写出EF长．【解析】（1）△证明：△△AFG＝△ACD，△△FCA+△F AC＝△FCA+△MCF，△△F AC＝△MCF，△△FMC＝△CMA，△△MFC△△MCA．△解：△四边形AEFG，四边形ABCD都是矩形，△FG△AE，CD△AB，△△AFG＝△F AE，△ACD＝△CAB，△△AFG＝△ACD，△△F AE＝△CAB，△△AEF＝△ABC＝90°，△△AEF△△ABC，△AFAC＝AEAB，△AF AE ＝ACAB， △△F AE ＝△CAB ， △△F AC ＝△EAB ， △△F AC △△EAB ， △FC EB＝AC AB ＝85．（2）解：△四边形ABCD 是矩形， △△D ＝90°，AD ＝BC ＝3， △DM ＝MC ＝2，AD ＝3， △CD ＝4，AM 22AD DM +2232+13AC 22AD CD +2234+5，△△MFC △△MCA ， △CM AM ＝FM CM， △FM ＝2CM AM ＝41313，△AF ＝AM ﹣FM 913， △△AEF △△ABC ， △EF BC＝AFAC ， △3EF＝913135，△EF27135．已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E．（1）如图1，若△ABC=△ADC=90°，求证：ED△EA=EC△EB；（2）如图2，若△ABC=120°，cos△ADC=35，CD=5，AB=12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积．【解析】解：（1）证明：△△ADC＝90°，△△EDC＝90°，△△ABE＝△CDE.又△△AEB＝△CED，△△EAB△△ECD，△EB EA ED EC=，△ED EA EC EB=．（2）过点C作CG△AD于点D，过点A作AH△BC于点H，△CD ＝5，cos△ADC ＝35， △DG ＝3，CG ＝4. △S △CED ＝6， △ED ＝3， △EG ＝6.△AB ＝12，△ABC ＝120°，则△BAH ＝30°， △BH ＝6，AH ＝63 由（1）得△ECG△△EAH ，△EG CGEH AH=， △EH ＝93△S 四边形ABCD ＝S △AEH －S △ECD －S △ABH ＝116393663622⨯-⨯＝75183-． 6．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 是高，BE 平分ABC ∠，BE 分别与AC ，CD 相交于点E ，F ．（1）求证：AEB CFB ∆∆∽．（2）求证：AE ABCE CB=．（3）若5CE =，25EF =6BD =，求AD 的长．【解析】证明：（1）90ACB ∠=︒90ACD BCD ∴∠+∠=︒CD 为AB 边上的高，90ADC ∴∠=︒90A ACD ∴∠+∠=︒A BCD ∴∠=∠， BE 是ABC ∠的平分线，ABE CBE ∴∠=∠AEB CFB ∴∆∆∽；（2）ABE CBE ∠=∠，A BCD ∠=∠，CFE BCD CBE A ABE ∴∠=∠+∠=∠+∠ CEF A ABE ∠=∠+∠，CEF CFE ∴∠=∠CE CF ∴=AEB CFB ∆∆∽AE ABCF CB ∴= AE ABCE CB∴=；（3）如图，作CH EF ⊥于HCE CF =，CH EF ⊥5EH FH ∴==22225(5)25CH EC EH ∴=-=-=由BFD CFH ∆∆∽，DF BDHF CH∴=， 525=3DF ∴=，8CD CF DF =+=，由ACD CBD ∆∆∽AD CDCD BD ∴= 886AD ∴= 323AD ∴=．7．如图，在平面直角坐标系x0y 中，直线BC 和直线OB 交于点B ，直线AC 与直线BC 交x 轴于点C ，OA=4， 11,2OC AB AB y ==⊥轴，垂足为点A ，AC 与OB 交于点M ． (1)求直线BC 的解析式；(2)求阴影部分的面积．【解析】解：（1）14,12OA OC AB ===，所以点A 坐标为（0，4)，点C 坐标为（1，0），又AB y ⊥轴，点B 坐标为（2，4），设直线BC 的表达式为y =kx +b ，将点B ，C 坐标代入表达式，得240k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：k =4，b =﹣4，所以直线的表达式为44y x =-． (2)AB y ⊥轴，△AB △x 轴，MOCMBA ∴△△，△12CM OC AM AB ==， △122AOCBOCS OC OA S =⨯⨯==，△1233MOCAOCSS ==， △S 阴影2102233OCA OCB OCMSS S=+-=+-=．8．在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．（1）如图1，若BC=2BA，求△CBE的度数；（2）如图2，当AB=5，且AF FD=10时，求BC的长；（3）如图3，延长EF，与△ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=12AD时，求ABBC的值．【解析】解：（1）△四边形ABCD是矩形，△△C=90°，△将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，△BC=BF，△FBE=△EBC，△C=△BFE=90°，△BC=2AB，△BF=2AB，△△AFB=30°，△四边形ABCD是矩形，△AD//BC，△△AFB=△CBF=30°，△△CBE=12△FBC=15°；（2）△将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，△△BFE=△C=90°，CE=EF，又△矩形ABCD中，△A=△D=90°，△△AFB+△DFE=90°，△DEF+△DFE=90°，△△AFB=△DEF，△△FAB△△EDF，△AF AB DE DF=，△AF•DF=AB•DE，△AF•DF=10，AB=5，△DE=2，△CE=DC-DE=5-2=3，△EF=3，2222325EF DE-=-=255=△BC=AD=AF+DF=25535=．（3）过点N作NG△BF于点G，△NF=12AD△NF=12 BF，△△NFG=△AFB，△NGF=△BAF=90°，△△NFG△△BFA，△12 NG FG NFAB FA BF===，设AN=x，△BN平分△ABF，AN△AB，NG△BF，△AN=NG=x，AB=BG=2x，设FG=y，则AF=2y，△AB2+AF2=BF2，△(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，解得y=43 x，△BF=BG+GF=410233x x x+=．△231053AB AB xBC BF x===．9．如图，抛物线y ＝﹣12（x+1）（x ﹣n ）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，△ABC 的面积为5．动点P 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位的速度向点B 运动，过P 作PN△x 轴交BC 于M ，交抛物线于N ．（1）求抛物线的解析式；（2）当MN 最大时，求运动的时间；（3）经过多长时间，点N 到点B 、点C 的距离相等？【解析】（1）△抛物线y ＝()()112x x n -+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C △A （﹣1，0），B （n ，0），C （0，2n），n ＞0 △AB ＝n+1，OC ＝12n 由S △ABC ＝12×AB×OC ＝5 △()1154n n += △()120n n += △取正根n ＝4 △y ＝()()1142x x -+-＝12-x 2+32x+2；（2）由（1），B （4，0），C （0，2）△直线BC 为2y x =-+ 设M （m,12-m+2），N （m,12-m 2+32m+2） △MN ＝213122222m m m ⎛⎫⎛⎫-++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝2122m m -+＝()21222m --+△当m ＝2时，MN 最大 △OP ＝2△AP ＝3，即经过3s ，MN 最大；（3）如下图所示，作BC 的中垂线，与BC 交于点D ，与y 轴交于点E ，与抛物线交于点N ，△△CDE ～△COB △12CD CO DE OB == 由（2），得BC ＝5D （2，1）△DE ＝2CD ＝5△CE ＝5 △OE ＝3 △E （0，-3） △直线DE 为y ＝2x -3由12-x2+32x+2＝2x-3移项整理得：12x2+12x-5＝0△x2+x-10＝0取正根x＝1412-△OP141 -+△AP＝1412141+N到点B、点C的距离相等．10．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD 于点M．（1）求证：△MFC△△MCA；（2）求证△ACF△△ABE；（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3355．【解析】解：（1）四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，45ACD AFG ∴∠=∠=︒， CFM AFG ∠=∠，CFM ACM ∴∠=∠， CMF AMC ∠=∠， MFC MCA ∴△∽△；（2）四边形ABCD 是正方形，90ABC ∴∠=︒，45BAC ∠=︒， 2AC AB ∴=，同理可得2AF AE =，∴2AF ACAE AB= 45EAF BAC ∠=∠=︒，CAF BAE ∴∠=∠，ACF ABE ∴△∽△；（3）1DM =，2CM =，123AD CD ∴==+=，22223110AM AD DM ∴=++，MFC MCA △∽△，∴CM FMAM CM =210FM =，210FM ∴=， 310AF AM FM ∴=-=， ∴2355AG AF ==即正方形AEFG 35511．如图，函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ）两点，m ，n 分别是方程x 2﹣2x ﹣3＝0的两个实数根，且m ＜n ．（△）求m ，n 的值以及函数的解析式；（△）设抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴的另一个交点为C ，抛物线的顶点为D ，连接AB ，BC ，BD ，CD ．求证：△BCD △△OBA ；（△）对于（△）中所求的函数y ＝﹣x 2+bx +c ，（1）当0≤x ≤3时，求函数y 的最大值和最小值；（2）设函数y 在t ≤x ≤t +1内的最大值为p ，最小值为q ，若p ﹣q ＝3，求t 的值．【解析】（I ）△m ，n 分别是方程x 2﹣2x ﹣3＝0的两个实数根，且m ＜n ，用因式分解法解方程：（x +1）（x ﹣3）＝0， △x 1＝﹣1，x 2＝3， △m ＝﹣1，n ＝3， △A （﹣1，0），B （0，3），把（﹣1，0），（0，3）代入得，103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，△函数解析式为y ＝﹣x 2+2x +3．（ II ）证明：令y ＝﹣x 2+2x +3＝0，即x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，△抛物线y ＝﹣x 2+2x +3与x 轴的交点为A （﹣1，0），C （3，0）， △OA ＝1，OC ＝3， △对称轴为1312x -+==，顶点D （1，﹣1+2+3），即D （1，4）， △223332BC =+=22112BD +=224225CD ，△CD 2＝DB 2+CB 2，△△BCD 是直角三角形，且△DBC ＝90°， △△AOB ＝△DBC ，在Rt△AOB 和Rt△DBC 中，22AO BD ==，232BO BC ==△AO BOBD BC=，△△BCD△△OBA；（III）抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1，顶点为D（1，4），（1）在0≤x≤3范围内，当x＝1时，y最大值＝4；当x＝3时，y最小值＝0；（2）△当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的左侧，当x＝t时取得最小值q＝﹣t2+2t+3，最大值p ＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，令p﹣q＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3﹣（﹣t2+2t+3）＝3，即﹣2t+1＝3，解得t＝﹣1．△当t+1＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去；△当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线分别在对称轴的两侧，此时p＝4，令p﹣q＝4﹣（﹣t2+2t+3）＝3，即t2﹣2t﹣2＝0解得：t1＝3，t2＝13；或者p﹣q＝4﹣[﹣（t+1）2+2（t+1）+3]＝3，即3t=；△当t＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去；△当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的右侧，当x＝t时取得最大值p＝﹣t2+2t+3，最小值q＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，令p﹣q＝﹣t2+2t+3﹣[﹣（t+1）2+2（t+1）+3]＝3，解得t＝2．综上，t＝﹣1或t＝2．12．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，AC＝BC，以C为顶点作等腰直角三角形CMN．使△CMN＝90°，连接BN，射线NM交BC于点D．（1）如图1，若点A，M，N在一条直线上，△求证：BN+CM＝AM；△若AM＝4，BN＝32，求BD的长；（2）如图2，若AB＝4，CN＝2，将△CMN绕点C顺时针旋转一周，在旋转过程中射线NM交AB于点H，当三角形DBH是直角三角形时，请你直接写出CD的长．【解析】证明：（1）△如图，过点C作CF△CN，交AN于点F，△△CMN是等腰直角三角形，△△CNM＝45°，CM＝MN，△CF△CN，△ACB＝90°，△△FCN＝△ACB，△CFN＝△CNF＝45°，△△ACF＝△BCN，CF＝CN，且AC＝BC，△△ACF△△BCN（SAS），△AF＝BN，△CF＝CN，CM△MN，△MF＝MN＝CM，△AM＝AF+FM＝BN+CM△△AM＝4，BN＝32，BN+CM＝AM，△CM＝MN＝52，△△ACF△△BCN，△△CAF＝△CBN，△△CAF+△ACF＝△CFN＝45°，△BCN+△MCD＝△MCN＝45°△△CAF＝△MCD，且△CAF＝△CBN，△△MCD＝△CBN△CM△BN△△MCD△△NBD，△CMD＝△BND＝90°△CM MDBN ND=＝53△MD＝53 ND△MD+ND＝MN＝5 2△ND＝15 16在Rt△DNB中，BD22NB DN+389（2）若△BDH＝90°，如图，此时点M与点D重合，△△CMN是等腰直角三角形，CN＝2△CM＝MN2△CD2若△BHD＝90°，如图，△△BHD＝90°，△B＝45°，△△BDH＝45°△△CDN＝45°＝△N△CD＝CN＝2．。

2021年中考数学三轮冲刺：相似三角形及其应用含答案

2021中考数学三轮冲刺：相似三角形及其应用一、选择题1. 下列命题是真命题的是 ( )A .如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为2∶3B .如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9C .如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为2∶3D .如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为4∶92. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB 和AC 边上，DE ∥BC ，M 为BC 边上一点(不与点B ，C 重合)，连接AM 交DE 于点N ，则 ( )A .=B .=C .=D .=3. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A 1B 1C 1相似的是 ( )4. (2019•雅安)若34ab =∶∶，且14a b +=，则2a b -的值是A ．4B ．2C ．20D ．145. （2020·重庆B 卷）如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心．已知OA :OD =1:2，则△ABC 与△DEF 的面积比为（） A ．1:2 B ．1:3 C ．1:4D ．1:56. （2020·河南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为( )A. (32，2) B. (2，2) C. (114，2) D. (4，2)7. （2020·重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1,2）,B（1,1），C（3,1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF的长度为（）A．5B．2C．4D．25 8. 如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝22，BD＝3，则AB的长为()A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题9. 如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC长为.10. 在某一时刻，测得一根高为1.8 m 的竹竿的影长为3 m ，同时同地测得一栋楼的影长为90 m，则这栋楼的高度为 m.11. （2020·南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在网格线的交点上，设△ABC 的周长为C 1，△DEF 的周长为C 2，则12C C 的值等于 ▲ ．ABCDEF12. （2020·吉林）如图，////AB CD EF ．若12=AC CE ，5BD =，则DF =______．13. （2020·东营）如图，P为平行四边形ABCD 边BC 边上一点，E 、F 分别为PA 、PD 上的点，且PA=3PE ，PD=3PF ，△PEF 、△PDC 、△PAB 的面积分别记为S 、1S 、2S ，若S =2，则1S +2S = ．14. (2020·绥化)在平面直角坐标系中，△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比等于12，并且是关于原点O 的位似图形，若点A 的坐标为(2，4)，则其对应点A 1的坐标是______． 15. （2020·杭州）如图是一张矩形纸片，点E 在AB 边上，把BCE △沿直线CE 对折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，连接DF ．若点E ，F ，D 在同一条直线上，2AE =，则DF =______，BE =______．FDBE A C16. （2020·深圳）如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，∠ABC ＝∠DAC＝90°，tan ∠ACB ＝12，BO OD ＝43，则S △ABDS △CBD＝________．ODCBA三、解答题 17. （2020·通辽）如图，⊙O 的直径AB 交弦（不是直径）CD 于点P ，且PC 2＝PB •P A ，求证：AB ⊥CD ．PDCBO A18.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC.P 为△ABC 内部一点，且∠APB=∠BPC=135°. (1)求证:△P AB ∽△PBC ; (2)求证:P A=2PC ;(3)若点P 到三角形的边AB ，BC ，CA 的距离分别为h 1，h 2，h 3，求证:=h 2·h 3.19. （2020·苏州）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，DF AE ，垂足为F .（1）求证：ABE DFA ∆∆∽；（2）若6AB =，4BC =，求DF 的长.20. 已知AB 是半径为1的圆O 直径，C 是圆上一点，D 是BC 延长线上一点，过D 点的直线交AC 于E 点，交AB 于F 点，且△AEF 为等边三角形． (1)求证：△DFB 是等腰三角形； (2)若DA ＝7AF ，求证CF ⊥AB.21. 如图，△ABC中，∠ACB ＝90°，D 为AB 上一点，以CD 为直径的⊙O 交BC 于点E ，连接AE 交CD 于点P ，交⊙O 于点F ，连接DF ，∠CAE ＝∠ADF. (1)判断AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若PF ∶PC ＝1∶2，AF ＝5，求CP 的长．22. （2020·江苏徐州）我们知道：如图①，点B 把线段AC 分成两部分，如果BC ABAB AC=，那么称点B 为线段AC 的黄金分割点.51-. （1）在图①中，若AC =20cm ，则AB 的长为 cm ；（2）如图②，用边长为20cm 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD 得折痕EF ，连接CE ，将CB 折叠到CE 上，点B 的对应点H ，得折痕CG .试说明：G 是AB 的黄金分割点；（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a 的正方形ABCD 的边AD 上任取点E （AE >DE ），连接BE ，作CF ⊥BE ，交AB 于点F ，延长EF 、CB 交于点P .他发现当PB 与BC 满足某种关系时，E 、F 恰好分别是AD 、AB 的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.A CB HGADPE FDA图① 图 ② 图③23. 如图，AB为半圆的直径，O 为圆心，OC ⊥AB ，D 为BC ︵的中点，连接DA 、DB 、DC ，过点C 作DC 的垂线交DA 于点E ，DA 交OC 于点F . (1)求证：∠CED ＝45°； (2)求证：AE ＝BD ；(3)求AOOF 的值．24. （2020·泰安）（12分）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB 与∠ECD 恰好为对顶角，∠ABC ﹦∠CDE ﹦90°，连接BD ，AB ﹦BD ，点F 是线段CE 上一点．探究发现：（1）当点F 为线段CE 的中点时，连接DF （如图（2）），小明经过探究，得到结论：BD ⊥DF ．你认为此结论是否成立？___________．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：若BD ⊥DF ，则点F 为线段CE 的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．问题解决：（3）若AB ＝6，CE ＝9，求AD 的长．ABC DEF EDCBA图（1）图（2）备用图答案一、选择题 1. 【答案】B2. 【答案】C[解析]根据DE ∥BC ，可得△ADN ∽△ABM ，△ANE ∽△AMC ，再应用相似三角形的性质可得结论. ∵DN ∥BM ，∴△ADN ∽△ABM ，∴=，∵NE ∥MC ，∴△ANE ∽△AMC ，∴=，∴=.故选C .3. 【答案】B[解析]根据勾股定理分别表示出已知三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两个三角形相似可得结果，△A 1B 1C 1各边长分别为1，，选项A 中阴影三角形三边长分别为:，3，三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似;选项B 中阴影三角形三边长分别为:，2，，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似;选项C中阴影三角形三边长分别为:1，，2，三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似;选项D 中阴影三角形三边长分别为:2，，三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似，故选B .4. 【答案】A【解析】由a ∶b =3∶4知34b a =，所以43ab =．所以由14a b +=得到：4143aa +=，解得6a =．所以8b =．所以22684a b -=⨯-=．故选A ．5. 【答案】C【解析】本题考查了相似三角形的性质， ∵△ABC 与△DEF 位似，且1=2OA OD ，∴211=24ABC DEFS S⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此本题选C ．6. 【答案】B【解析】∵点A ，B 的坐标分别为(-2，6)和(7，0)，∴OC=2，AC=6，OB=7，∴BC=9，正方形的边长为2．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，设正方形与x 轴的两个交点分别为G 、F ，∵EF ⊥x 轴，EF=GF=DG=2，∴EF ∥AC ，D ，E 两点的纵坐标均为2， ∴EF BF AC BC ，即269BF，解得BF=3.∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2，∴ D 点的横坐标为2，∴点D 的坐标为 (2，2)．7. 【答案】D【解析】∵A （1,2）,B （1,1），C （3,1），∴AB=1，BC=2,AC=5.∵△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为2，∴DF=2AB=2．8. 【答案】B【解析】由垂径定理可得DH ＝2，所以BH ＝BD 2－DH 2＝1，又可得△DHB ∽△ADB ，所以有BD 2＝BH·BA ，(3)2＝1×BA ，AB ＝3.二、填空题 9. 【答案】 [解析]∵∠ACD=∠B ，∠CAD=∠BAC ，∴△ACD ∽△ABC ， ∴=，即=， ∴AC=或AC=-(舍去).10. 【答案】5411. 2【解析】由图形易证△ABC 与△DEF 相似，且相似比为2所以周长比为2故答案为：22．12. 【答案】10【解析】∵////AB CD EF ，∴AC BDCE DF=，又∵12=AC CE ，5BD =，∴512DF =，∴10DF =，故答案为：10．13. 【答案】18【解析】本题考查了相似三角形的判定、性质，三角形的面积，解题的关键是根据已知条件推出相似三角形，并由相似比得到面积比．∵PA=3PE ，PD=3PF ，∠APD =∠EPF ，∴△PEF ∽△PAD ，相似比为1︰3，∵△PEF 的面积为S =2，∴PAD S ∆=9S=9×2=18， ∴1S +2S =PAD S ∆=18．14. 【答案】(－4，－8)或(4，8)【解析】∵△ABC 和△A1B1C1的相似比等于12，∴△A1B1C1和△ABC 的相似比等于2．因此将点A(2，4)的横、纵坐标乘以±2即得点A1的坐标，∴点A1的坐标是(－4，－8)或(4，8)．15. 【答案】21 【解析】设BE ＝x ，则AB ＝AE ＋BE ＝2＋x ．∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝2＋x ，AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠BEC ．由折叠得∠BEC ＝∠DEC ，EF ＝BE ＝x ，∴∠DCE ＝∠DEC ．∴DE ＝CD ＝2＋x ．∵点D ，F ，E 在同一条直线上，∴DF ＝DE －EF ＝2＋x －x ＝2．∵AB ∥CD ，∴△DCF ∽△EAF ，∴DC EA ＝DF EF ．∴22x +＝2x ，解得x 1－1，x 2－1．经检验，x 1－1，x 2－1都是分式方程的根．∵x ＞0，∴x－1，即BE1．16. 【答案】332【解析】法1：过B 点作BE //AD 交AC 于点E ，则△ADO ∽△EBO ，由∠DAC ＝90°，得到BE ⊥AD ，∴AO OE ＝OD OB ＝34，由tan ∠ACB ＝12，可得CE ＝2BE ＝4AE ， ∴S △ABDS △CBD＝AO OC ＝34＋(3＋4)×4＝332．法2：如图，过点D 作DM ∥BC ，交CA 的延长线于点M ，延长BA 交DM 于点N ，得到△ABC ∽△ANM ，△OBC ∽△ODM ，进而得出对应边成比例，AB BC ＝ANNM ＝tan ∠ACB ＝12，BC DM ＝OB OD ＝43；又∵∠ABC ＝∠DAC ＝90°，∴∠BAC ＋∠NAD ＝90°，∵∠BAC ＋∠BCA ＝90°，∴∠NAD ＝∠BCA ，∴△ABC ∽△DAN ，得出对应边之间关系，AB BC ＝DNNA ＝12，设AB ＝a ，DN ＝b ，则BC ＝2a ，NA ＝2b ，MN ＝4b ，得DM ＝32a ，∴4b ＋b ＝32a ，即ODCBAEb＝310a，进而表示三角形的面积，得到S△ABDS△CBD＝12AB⋅DN12BC⋅NB＝ab2a⋅(a＋2b)＝310a22a⋅1610a＝332．三、解答题17. 【答案】解：如图，连结AC，BD．∵∠A=∠D，∠C=∠B，∴△ACP∽△DBP，∴APDP=CPBP，∴PC•PD＝PB•P A，∵PC2＝PB•P A，∴PC=PD，即AB平分CD，∵CD是弦（不是直径），AB是直径，∴AB⊥CD．PDCBOA18. 【答案】证明:(1)在△ABP中，∠APB=135°，∴∠ABP+∠BAP=45°，又△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，即∠ABP+∠CBP=45°，∴∠BAP=∠CBP，又∠APB=∠BPC=135°，∴△P AB∽△PBC.(2)由(1)知△P AB∽△PBC，∴===，∴=·=2，即P A=2PC.(3)方法一:如图①，过点P作边AB，BC，CA的垂线，垂足分别为Q，R，S，则PQ=h1，PR=h2，PS=h3，在Rt△CPR中，=tan∠PCR==，∴=，即h 3=2h 2.又由△P AB ∽△PBC ，且=，得:=，即h 1=h 2， ∴=h 2·h 3.方法二:如图②，过点P 作边AB ，BC ，CA 的垂线，垂足分别为Q ，R ，S ，连接SQ ，SR ，RQ ，易知四边形ASPQ ，四边形BRPQ 都有外接圆， ∴∠PSQ=∠P AQ ，∠PQR=∠PBR ，由(1)可知∠P AB=∠PBC ，∴∠PSQ=∠PQR.又∵∠SPQ=∠QPR=180°-45°=135°，∴△PSQ ∽△PQR ， ∴=，即PQ 2=SP ·PR ，∴=h 2·h 3.19. 【答案】解：证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴90B ∠=︒，AD BC .∴AEB DAF ∠=∠， ∵DF AE ⊥，∴90DFA ∠=︒.∴B DFA ∠=∠，∴ABE DFA ∆∆∽.解：（2）∵ABE DFA ∆∆∽，∴AB AE DF AD =.∵4BC =，E 是BC 的中点，∴114222BE BC ==⨯=.∴在Rt ABE ∆中，222262210AE AB BE +=+=.又∵4AD BC ==，∴6210DF=，∴610DF =.20. 【答案】(1)证明：∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∵△AEF 是等边三角形，∴∠EAF ＝∠EFA ＝60°，∴∠ABC ＝30°，∴∠FDB ＝∠EFA －∠B ＝60°－30°＝30°，(2分)∴∠ABC ＝∠FDB ，∴FB ＝FD ，∴△BDF 是等腰三角形．(3分)(2)解：设AF ＝a ，则AD ＝7a ，解图如解图，连接OC ，则△AOC 是等边三角形，由(1)得，BF ＝2－a ＝DF ，∴DE ＝DF －EF ＝2－a －a ＝2－2a ，CE ＝AC －AE ＝1－a ，在Rt △ADC 中，DC ＝（7a ）2－1＝7a 2－1，在Rt △DCE 中，tan 30°＝CE DC ＝1－a 7a 2－1＝33，解得a ＝－2(舍去)或a ＝12，(5分)∴AF ＝12，在△CAF 和△BAC 中，CA AF ＝BA AC ＝2，且∠CAF ＝∠BAC ＝60°， ∴△CAF ∽△BAC ，∴∠CFA ＝∠ACB ＝90°，即CF ⊥AB.(6分)21. 【答案】解：(1)AB 与⊙O 相切．理由如下：∵∠ACB ＝90°，∴∠CAE ＋∠AEC ＝90°，又∵∠AEC ＝∠CDF ，∠CAE ＝∠ADF ，∴∠CDF ＋∠ADF ＝90°，∴∠ADC ＝90°，又∵CD 为⊙O 的直径，∴AB 与⊙O 相切．(3分)(2)如解图，连接CF ，解图∵CD 为⊙O 的直径，∴∠CDF ＋∠DCF ＝90°，又∵∠CDF ＋∠ADF ＝90°，∴∠DCF ＝∠ADF ，又∵∠CAE ＝∠ADF ，∴∠CAE ＝∠DCF ，又∵∠CPA ＝∠FPC ，∴△PCF ∽△PAC ，∴PC PA ＝PF PC ，(6分)又∵PF ∶PC ＝1∶2，AF ＝5，故设PF ＝a ，则PC ＝2a ，∴2a a ＋5＝a 2a ，解得a ＝53，∴PC ＝2a ＝2×53＝103.(8分)22. 【答案】解：（1）10.解：∵AB AC =，AC=20，∴AB=10.（2）延长CG 交DA 的延长线于点J ，由折叠可知：∠BCG=∠ECG ，∵AD ∥BC ，∴∠J=∠BCG=∠ECG ，∴JE=CE.由折叠可知：E 、F 为AD 、BC 的中点，∴DE=AE=10，由勾股定理可得：∴EJ=∴AJ=JE-AE=，∵AJ ∥BC ，∴△AGJ ∽△BGC，∴AG AJ BG BC ===,∴G 是AB 的黄金分割点. J（3）PB=BC ，理由如下：∵E 为AD 的黄金分割点，且AE>DE ，∴AE= a. ∵CF ⊥BE ，∴∠ABE+∠CBE=∠CBE+∠BCF=90˚,∴∠ABE=∠FCB,在△BEA 和△CFB 中，∵90ABE FCB AB BC A FBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△BEA ≌△CFB ，∴BF=AE= a.∴AF BF BF AB =,∵AE ∥BP ，∴△AEF ∽△BPF,∴AE AF BF PB BF AB ==, ∵AE=BF,∴PB=AB ，∴PB=BC.23. 【答案】(1)证明：∵∠CDA ＝12∠COA ＝12×90°＝45°，又∵CE ⊥DC ，∴∠DCE ＝90°，∴∠CED ＝180°－90°－45°＝45°；(2)解：如解图，连接AC ，∵D 为BC ︵的中点，∴∠BAD ＝∠CAD ＝12×45°＝22.5°，而∠CED ＝∠CAE ＋∠ACE ＝45°，∴∠CAE ＝∠ACE ＝22.5°，∴AE ＝CE ， ∵∠ECD ＝90°，∠CED ＝45°，∴CE ＝CD ，又∵CD ︵＝BD ︵，∴CD ＝BD ，∴AE ＝CE ＝CD ＝BD ， ∴AE ＝BD ；解图(3)解：设BD ＝CD ＝x ，∴AE ＝CE ＝x ，由勾股定理得，DE ＝2x ，则AD ＝x ＋2x ，又∵AB 是直径，则∠ADB ＝90°，∴△AOF ∽△ADB ，∴AO OF ＝AD DB ＝x ＋2x x ＝1＋ 2.24. 【答案】（1）是；（2）结论成立．理由如下：∵BD ⊥DF ，ED ⊥AD ，∴∠BDC ＋∠CDF ﹦90°，∠EDF ＋∠CDF ﹦90°． ∴∠BDC ﹦∠EDF ．∵AB ﹦BD ，∴∠A ﹦∠BDC ．∴∠A ﹦∠EDF ．又∵∠A ﹦∠E ，∴∠E ﹦∠EDF ．∴EF ﹦FD ．又∠E ＋∠ECD ﹦90°，∴∠ECD ﹦∠CDF ．∴CF ﹦DF ．∴CF ﹦EF ．∴F 为CE 的中点．（3）在备用图中，设G 为EC 的中点，则DG ⊥BD ．∴GD ﹦12 EC ﹦92 ．又BD ＝AB ＝6，在Rt △GDB 中，GB ＝62＋(92)2 ＝152 ．∴CB ＝152 —92 ＝3．在Rt △ABC 中，AC ＝62＋32 ＝3 5 ．由条件得：△ABC ∽△EDC ．∴3 5 9 ＝3CD ．∴CD ＝9 5 5 ． ∴AD ＝AC ＋CD ＝3 5 ＋9 5 5 ﹦24 5 5 ．FE D CB A A BC D EG。

2021中考数学真题8 相似三角形

专题八相似三角形1.如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H。

给出下列结论：①△ABE≌△DCF；②FP:PH=3:5 ；③DP2=PH·PB；④2.设△ABC的面积为1，如图①将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2，……，依此类推，则Sn可表示为_____ 。

3.已知正方形ABC1D1的边长为，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3（如图所示），以此类推若A1C1=2，且点A，D2，D3，，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是_____ 。

4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_____ 。

5.如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD=AB=4，连接AD，BE⊥AB，AE是∠DAB的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为_____ 。

6.如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为(8,0)、(0,y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP，EC。

当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为_____ 。

7.如图的△ABC中有一正方形DEFG,其中D在AC上,E、F在AB上,直线AG分别交DE、BC于M、N两点.若∠B=90°，AB=4，BC=3，EF=1，则BN的长度为____________8.如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相9. 如图①，△ ABC 中，∠ ABC ＝45°， AH ⊥ BC 于 H ，点 D 在 AH 上，且 DH ＝ CH ，连结 BD.将△ BHD 绕点 H 旋转，得到△ EHF(点 B ， D 分别与点 E ， F 对应)，连接 AE.如图②，当点 F 落在 AC 上时( F 不与 C 重合)，若 BC ＝4，tan ∠ ACH ＝3，则 AE ＝_____.10. 如图，在反比例函数xy 2-=的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第一象限内有一点C ，满足AC=BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数xk y =的图象上运动，若tan ∠CAB=2，则k 的值为________边形的变形度。

中考数学相似三角形专题复习一

1 / 2相似三角形专题复习一：线段的比、黄金分割1、在比例尺1：10000的地图上，相距2cm 的两地的实际距离是（）。

A ．200cm B ．200dm C ．200m D ．200km 2．已知线段a=10，线段b 是线段a 上黄金分割的较长部分，则线段b 的长是 3．若则下列各式中不正确的是（）A ．B ．C ．D ．4、若52=-yy x ，则y x =_________。

已知32=y x ，则yx yx +-=_________。

5、若045=-y x 且0≠xy ，则x ∶y =_________。

6、2和8的比例中项是_________；线段2㎝与8㎝的比例中项为_________。

7、如果两个相似三角形的面积比为3∶4，则它们的周长比为_________。

8、已知a ：b ：c ＝2 ：3 ：4，且2a ＋3b －2c ＝10，求a ， b ，c 的值。

相似三角形专题复习二：相似的性质1、如果两个相似三角形的面积比为3∶4，则它们的周长比为_________。

1.1已知△ABC∽△DEF，且AB ：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为 2、如图,DE ∥BC ，AD ∶BD=2∶3，则ΔADE 的面积∶四边形DBCE 的面积=_________。

2.1如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE ∽△CAB ，（3）△CDE 的面积与△CAB 的面积之比为1：4.其中正确的有：（）个3、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，△ADE 与△BCE 面积之比为4 ：9，那么△ADE 与△ABE 面积之比为________4、如图，在△ABC 中，矩形DEFG ，G 、F 在BC 上，D 、E 分别在AB 、AC 上，AH ⊥BC 交DE 于M ，DG ∶DE ＝1∶2，BC ＝12 cm ，AH ＝8 cm ，求矩形的各边长。

2021年初三数学总复习单元练习相似三角形

初三数学总复习单元练习－相似三角形部分一、填空题：1、若b m m a 2,3==：则_____:=b a 。

2、已知653z y x ==：且623+=z y ：则__________,==y x 。

3、在Rt △ABC 中：斜边长为c ：斜边上的中线长为m ：则______:=c m 。

4、反向延长线段AB 至C ：使AC ＝21AB ：那么BC ：AB ＝。

5、如果△ABC ∽△A ′B ′C ′：相似比为3：2：若它们的周长的差为40厘米：则 △A ′B ′C ′的周长为厘米。

6、如图：△AED ∽△ABC ：其中∠1＝∠B ：则()()()AB BC AD _________==。

第6题图第7题图7、如图：△ABC 中：∠ACB ＝90°：CD ⊥AB 于D ：若∠A ＝30°：则BD ：BC ＝。

若BC ＝6：AB ＝10：则BD ＝：CD ＝。

8、如图：梯形ABCD 中：DC ∥AB ：DC ＝2cm ：AB ＝3.5cm ：且MN ∥PQ ∥AB ： DM ＝MP ＝PA ：则MN ＝：PQ ＝。

第8题图第9题图9、如图：四边形ADEF 为菱形：且AB ＝14厘米：BC ＝12厘米：AC ＝10厘米：那BE ＝厘米。

10、梯形的上底长1.2厘米：下底长1.8厘米：高1厘米：延长两腰后与下底所成的三角形的高为厘米。

二、选择题：11、下面四组线段中：不能成比例的是（） E A D B C 1 C B D A D CM P N QABA 、4,2,6,3====d c b aB 、3,6,2,1====d c b a C 、10,5,6,4====d c b a D 、32,15,5,2====d c b a12、等边三角形的中线与中位线长的比值是（）A 、1:3B 、2:3C 、23:21 D 、1：3 13、已知754z y x ==：则下列等式成立的是（） A 、91=+-y x y x B 、167=++z z y x C 、38=-+++z y x z y x D 、x z y 3=+14、已知直角三角形三边分别为b a b a a 2,,++：()0,0>>b a ：则=b a :（）A 、1：3B 、1：4C 、2：1D 、3：115、△ABC 中：AB ＝12：BC ＝18：CA ＝24：另一个和它相似的三角形最长的一边是36：则最短的一边是（）A 、27B 、12C 、18D 、2016、已知c b a ,,是△ABC 的三条边：对应高分别为c b a h h h ,,：且6:5:4::=c b a ：那么c b a h h h ::等于（）A 、4：5：6B 、6：5：4C 、15：12：10D 、10：12：1517、一个三角形三边长之比为4：5：6：三边中点连线组成的三角形的周长为30cm ：则原三角形最大边长为（）A 、44厘米B 、40厘米C 、36厘米D 、24厘米18、下列判断正确的是（）A 、不全等的三角形一定不是相似三角形B 、不相似的三角形一定不是全等三角形C 、相似三角形一定不是全等三角形D 、全等三角形不一定是相似三角形19、如图：△ABC 中：AB ＝AC ：AD 是高：EF ∥BC ：则图中与△ADC 相似的三角形共有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、多于3个第19题图第20题图20、如图：在平行四边形ABCD 中：E 为BC 边上的点：若BE ：EC ＝4：5：AE 交BD AE F G B DC于F ：则BF ：FD 等于（）A 、4：5B 、3：5C 、4：9D 、3：8三、解答题：21、已知()3:2:=-y y x ：求yx y x 2352-+的值。

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中考专题复习——相似三角形一.选择题1. (2021年山东省潍坊市)如图,Rt △ABAC 中,AB ⊥AC ,AB =3,AC =4,P 是BC 边上一点,作PE ⊥AB 于E,PD ⊥AC 于D ,设BP =x ,则PD+PE =( )A.35x + B.45x -C.72D.21212525x x -A BCDE P2。

(2021年乐山市)如图(2)，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h 为( ) A 、815 B 、 1 C 、 43 D 、853．(2008湖南常德市)如图3，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论:(1)DE=1，(2)AB 边上的高为3，(3)△CDE ∽△CAB ，(4)△CDE 的面积与△CAB 面积之比为1:4.其中正确的有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4.(2008山东济宁)如图，丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部，已知丁轩同学的身高是 1.5m ，两个路灯的高度都是9m ，则两路灯之间的距离是( )D A ．24m B ．25m C ．28m D ．30mB图35.(2008 江西南昌)下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是( )B6.(2008 重庆)若△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 的相似比为2︰3，则S △ABC ︰S △DEF 为( )A 、2∶3B 、4∶9C 、2∶3D 、3∶27.(2008 湖南长沙)在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为( ) C A 、4.8米B 、6.4米C 、9.6米D 、10米8．(2008江苏南京)小刚身高1.7m ，测得他站立在阳关下的影子长为0.85m 。

紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起手臂超出头顶 ( ) AA.0.5mB.0.55mC.0.6mD.2.2m9．(2008湖北黄石)如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与左图中ABC △相似的是( )B10．(2008浙江金华)如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P 处放一水平的平面镜,光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是( )B A 、6米 B 、8米 C 、18米 D 、24米11、(2008湖北襄樊)如图1,已知AD 与VC 相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°, ∠D=30°,则∠AOC 的大小为( )BA.60°B.70°C.80°D.120°12.(2008湘潭市) 如图，已知D 、E 分别是ABC ∆的AB 、 AC 边上的点，,DE BC //且A ．B ．C ．D ．ABCA ．B ．C ．D ．1ADEDBCE SS :=:8,四边形那么:AE AC 等于( ) BA ．1 : 9B ．1 : 3C ．1 : 8D ．1 : 213.(2008 台湾)如图G 是❒ABC 的重心，直线L 过A 点与BC 平行。

若直线CG 分别与AB 、A L 交于D 、E 两点，直线BG 与AC 交于F 点，则❒AED 的面积:四边形ADGF 的面积=？( )D(A) 1:2 (B) 2:1 (C) 2:3 (D) 3:214.(2008 台湾) 图为❒ABC 与❒DEC 重迭的情形，其中E 在BC 上，AC 交DE 于F 点，且AB // DE 。

若❒ABC 与❒DEC 的面积相等，且EF =9，AB =12，则DF =？( ) B(A) 3 (B) 7 (C) 12 (D) 15 。

15.(2008贵州贵阳)6．如果两个相似三角形的相似比是1:2，那么它们的面积比是( )1:2B ．1:4C．D ．2:116.(2008湖南株洲)如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，若6BC =，则DE 等于( )A ．5B ．4C ．3D ．2二、填空题1.(2021年江苏省南通市)已知∠A ＝40°，则∠A 的余角等于＝________度.2.(08浙江温州)如图，点12A A A ，，123B B B ，，在射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥，2132A B A B ∥2，323A B B △的面积分别为1，4BA C DEABCDEF第4题BCD E A3.(2008福建省泉州市)两个相似三角形对应边的比为6，则它们周长的比为________。

4.(2021年浙江省衢州市)如图，点D 、E 分别在△ABC 的边上AB 、AC 上，且AB C AED ∠=∠，若DE=3，BC=6，AB=8，则AE 的长为_________5.(2021年辽宁省十二市)如图4，D E ，分别是ABC △的边AB AC ，上的点，DE BC ∥，2ADDB=，则:ADE ABC S S =△△ ． 6.(2021年天津市)如图，已知△ABC 中，EF ∥GH ∥IJ ∥BC ，则图中相似三角形共有对．7.(2008新疆乌鲁木齐市)我们知道利用相似三角形可以计算不能直接测量的物体的高度，阳阳的身高是1.6m ，他在阳光下的影长是1.2m ，在同一时刻测得某棵树的影长为3.6m ，则这棵树的高度约为 m ．8.(2008江苏盐城)如图，D E ，两点分别在ABC △的边AB AC ，上，DE 与BC 不平行，当满足条件(写出一个即可)时，ADE ACB △∽△．9．(2008泰州市)在比例尺为1︰2000的地图上测得AB 两地间的图上距离为5cm ，则AB 两地间的实际距离为 m ．10.(2021年杭州市).在Rt △ABC 中，∠C 为直角，CD ⊥AB 于点D,BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是和；并写出它的面积比 .三、简答题1 2 34第1题图AG EH FJ I BCDBAECDB 图41．(2021年陕西省)阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达，顶部不易到达)，他们带了以下测量工具:皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种．．测量方案． (1)所需的测量工具是: ； (2)请在下图中画出测量示意图；(3)设树高AB 的长度为x ，请用所测数据(用小写字母表示)求出x ．2．(2021年江苏省南通市)如图，四边形ABCD 中，AD ＝CD ，∠DAB ＝∠ACB ＝90°，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为F ，DE 与AB 相交于点E. (1)求证:AB ·AF ＝CB ·CD(2)已知AB ＝15cm ，BC ＝9cm ，P 是射线DE 上的动点.设DP ＝xcm(x ＞0)，四边形BCDP 的面积为ycm 2.①求y 关于x 的函数关系式；②当x 为何值时，△PBC 的周长最小，并求出此时y 的值.D PAEF CB3.(2008 湖南怀化)如图10，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG,AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ．求证:(1)CG AE =；(2).MN CN DN AN •=•4.(2008 湖南益阳)△ABC 是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG ，使正方形的一条边DE 落在BC 上，顶点F 、G 分别落在AC 、AB 上. Ⅰ.证明:△BDG ≌△CEF ；第1题图AB CD E F G 图 (1)Ⅱ. 探究:怎样在铁片上准确地画出正方形.小聪和小明各给出了一种想法，请你在．．．Ⅱ．a ．和Ⅱ．．b ．的两个问题中选择一个你喜欢的．．．．．．．．．．．．．．问题解答．．．．. ．如果两题都解，只以．．．．．．．．．Ⅱ．a ．的解答记分．．．．．. Ⅱa . 小聪想:要画出正方形DEFG ，只要能计算出正方形的边长就能求出BD 和CE 的长，从而确定D 点和E 点，再画正方形DEFG 就容易了.设△ABC 的边长为2 ，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化) .Ⅱb . 小明想:不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是:①在AB 边上任取一点G ’，如图作正方形G ’D ’E ’F ’；②连结BF ’并延长交AC 于F ；③作FE ∥F ’E ’交BC 于E ，FG ∥F ′G ′交AB 于G ，GD ∥G ’D ’交BC 于D ，则四边形DEFG 即为所求.你认为小明的作法正确吗？说明理由.5.(2008 湖北恩施) 如图11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC =∠AGF =90°，它们的斜边长为2，若∆ABC 固定不动，∆AFG 绕点A 旋转，AF 、AG 与边BC 的交点分别为D 、E (点D 不与点B 重合,点E 不与点C 重合),设BE =m ，CD =n.(1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明. (2)求m 与n 的函数关系式，直接写出自变量n 的取值范围.(3)以∆ABC 的斜边BC 所在的直线为x 轴，BC 边上的高所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC 上找一点D ，使BD =CE ，求出D 点的坐标，并通过计算验证AB CD E FG 图 (3)G ′F ′ E ′ D ′ A B CD E FG 图 (2)BD 2＋CE 2=DE 2.(4)在旋转过程中,(3)中的等量关系BD 2＋CE 2=DE 2是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.6. (08浙江温州)如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．(1)求点D 到BC 的距离DH 的长；(2)求y 关于x 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(3)是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．7.(08山东省日照市)在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点(不与A ，B 重合)，过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ．(1)用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； (2)当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？(3)在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？8．(2008湖北咸宁)如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB 的顶点都在格点上，请在网格中画出．．．．．△OAB 的一个位似图形，使两个图形以O 为位似中心，且所画图形与△OAB 的位似比为2︰1．(答案如右图)9．(2008安徽)如图，四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点R 为DE 的中点，BR 分别交AC CD ，于点P Q ，．(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外)； (2)求::BP PQ QR ．10. (2021年杭州市)如图:在等腰△ABC 中，CH 是底边上的高线，点P 是线段CH 上不与端B 图 1A BC D ER P H QA (第8题图)BOA B C D E POR。