第五章 联立方程组模型的估计[43页]
联立方程模型估计
例1：设有如下的农产品供需模型：
供给函数： Qt 0 1 Pt 1t 需求函数： Q P Y
t 0 1 t 2 t
2t
供需均衡量Q与价格P为内生变量，消费个人收入Y 为前定变量。
表 12.1 1970~1991 年美国作物产量指数（Q） 、价格指数（P）与个人消费支出（Y） 单位：1977 年=100，1982 年美元 Q P Y 年份 Q P Y 年份 Q P Y 年份 1970 77 52 3152 1978 102 105 6384 1986 109 107 11843 1971 86 56 3372 1979 113 116 7035 1987 108 106 12568 1972 87 60 3658 1980 101 125 7677 1988 92 126 13448 1973 92 91 4002 1981 117 134 8375 1989 107 134 14241 1974 84 117 4337 1982 117 121 8868 1990 114 127 14996 1975 93 105 4745 1983 88 128 9634 1991 111 130 15384 1976 92 102 5241 1984 111 138 10408 1977 100 100 5772 1985 118 120 11184
Y X Y X
2
1 Y1 X 2 2 Y2 X 2 1 X 1 X 2 X 2 1 Y1 X 3 2 Y2 X 3 1 X 1 X 3 X 3
3
Y X
1
1 Y1 X 1 2 Y2 X 1 1 X 1 X 1 X 1
联立方程组模型
联立方程组模型
联立方程组模型在数学中是非常常见的一种模型，它可以帮助我们解决许多实际问题。
在这篇文章中，我们将详细讨论联立方程组模型的基本概念和应用。
联立方程组模型是由一组方程组成的数学模型，每个方程都包含多个未知数。
这些未知数可以是实数、复数或矩阵等不同类型的数学对象。
联立方程组模型可以用来描述许多实际问题，例如经济学、物理学、工程学等领域中的问题。
在联立方程组模型中，我们可以使用不同的解法来求解未知数的值。
其中最常见的解法是高斯消元法。
这种方法可以将联立方程组转化为一个简单的三角形方程组，从而求出所有的未知数。
除此之外，我们还可以使用矩阵方法、行列式方法等多种不同的解法来求解联立方程组。
联立方程组模型在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，我们可以使用联立方程组模型来研究不同的经济现象之间的关系。
在物理学中，我们可以使用联立方程组模型来描述物体的运动状态。
在工程学中，我们可以使用联立方程组模型来优化工程设计，提高工程效率。
除了使用联立方程组模型来求解未知数的值，我们还可以使用联立方程组模型来进行分类。
例如，在机器学习中，我们可以使用联立
方程组模型来对不同的数据进行分类。
在数据挖掘中，我们可以使用联立方程组模型来识别数据中的异常值。
联立方程组模型是一种非常重要的数学模型，它在许多实际问题中都有着广泛的应用。
我们可以使用不同的解法来求解未知数的值，或者使用联立方程组模型来进行分类。
无论在哪个领域中，联立方程组模型都是一种非常有用的数学工具，它可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
5 联立方程模型
恒等式（identity relation）
恒等式亦称定义式，是人为定义的一种变量 间的恒等关系。如凯恩斯收入决定模型中的（2） 式（国民收入恒等式）：
Yt Ct I t
又如： 净投资=资本存量的变动 =期末资本存量－期初资本存量
中央财经大学统计学院 边雅静 8
中央财经大学统计学院 边雅静
24
可识别和不可识别方程
定义：如果对于一个方程，我们无法通过取它所在模 型中各方程的线性组合的方法，得到另一个与该方程统计形 式完全相同．考虑某农产品供求模型： 1 0 Q t = 0 1 Pt u 1t
Q t = 0 1Pt u 2 t
Q Q
S
D
21
中央财经大学统计学院 边雅静
如果只用可观测变量来建立模型，我们可令Q代表市场 出清量，从而有 Qt = α + β Pt + ut Qt = + Pt + vt
这里的问题在于，模型中两个方程具有完全相同的统计 形式： Qt=截距+斜率×Pt+随机误差项 这就提出了下面的问题：给定P和Q的数据，如何能知 道我们是在估计需求曲线还是在估计供给曲线？
中央财经大学统计学院 边雅静
10
内生变量（Endogenous Variables）
对联立方程模型系统而言，已经不能用被解释变 量与解释变量来划分变量，而将变量分为内生变 量和外生变量两大类。 内生变量是具有某种概率分布的随机变量，它的 参数是联立方程系统估计的元素。 内生变量是由模型系统决定的，同时也对模型系 统产生影响。 内生变量一般都是经济变量。
中央财经大学统计学院 边雅静 16
模型的形式
联立方程模型的估计课件
详细描述
该模型假设货币供应和需求之间存在某种关 系，例如货币供应和需求都受到其他因素的 影响。通过联立方程模型，我们可以估计这 些关系，并进一步了解通货膨胀和货币价值 的变化对经济的影响。
案例四：经济增长模型
总结词
该模型通过经济增长的驱动因素，探讨了如何促进经济的长期稳定增长。
详细描述
该模型假设经济增长受到多种因素的影响，例如技术进步、投资、劳动力等。通过联立方程模型，我 们可以估计这些因素对经济增长的影响，并进一步了解如何促进经济的长期稳定增长。
的差异，评估模型的预测能力和解释能力。 根据评估结果，可以对模型进行修正和改进，
以提高模型的精度和可靠性。
联立方程模型估计的注意事项与挑战
内生性问题
总结词
内生性问题是指模型中的一个或多个解释变量与误差项相关，导致估计结果偏误。
详细描述
内生性问题的出现通常是由于解释变量与误差项相关，这会导致OLS估计量不一致。为 了解决内生性问题，可以采用工具变量法（IV）进行估计。
04
随着人工智能和机器学习技术的发展，未来联立方程模型的估计方法 将更加智能化和自动化。
THANKS
感谢观看
联立方程模型估计的步骤与流程
数据收集与整理
数据准备
在进行联立方程模型估计之前，需要收集相关的数据并进行整理。数据来源可以是调查、统计或其他 途径，需要确保数据的准确性和完整性。数据整理包括数据清洗、缺失值处理、异常值检测等步骤， 以确保数据质量。
模型设定与识别
模型构建
根据研究目的和问题背景，选择合适的联立方程模型进行设定。模型设定需要考虑变量之间的关系、因果关系等因素，并确 定模型的形式和结构。在模型设定后，需要进行识别，确定模型中变量的内生性和外生性，为后续的参数估计提供基础。
第五章 联立方程组模型地估计
第五章 联立方程组模型的估计第一节 概述一、联立方程的概念在实际经济活动中，变量之间不仅仅是存在单项的因果关系。
还会存在如下的情况：第一，由于两个变量之间存在双向因果关系，用单一方程模型就不能完整的描述这两个变量之间的关系。
第二，为全面描述一项经济活动只用单一方程模型是不够的。
这时应该用多个方程的组合来描述整个经济活动。
这样的例子比如市场均衡模型（具体容是什么？）宏观经济学中的国民收入模型（具体容是什么？）。
这类问题涉及的就是联立方程模型的问题。
简单来讲，联立方程模型就是描述变量间联立依存性的方程体系。
比如如下的简单的宏观经济模型：()C Y T I Y Y C I G αβγδ=+-⎧⎪=+⎨⎪=++⎩在这个模型中，有三个方程，一个消费方程，一个投资方程和一个均衡方程。
比较这个由三个方程组成的一个经济模型和前边我们已经学过的由一个方程组成的经济模型。
我们能够发现什么呢？（1、从变量所处的位置上来看；2、从变量的分类上看；3、从变量之间的经济含义上看）二、模型中变量的分类1、生变量：（由模型变量所决定的变量）其数值是在所考虑的经济系统模型本身所决定的，它一般是被解释变量（在其他的方程中也可以作为解释变量出现），且是模型求解的结果。
生变量的性质：第一、生变量与随机误差项是相关的；第二，它的值是在参数估计之后，由方程组所解出来的值第三，它的值可以是预测结果，也可以是政策后果。
2、外生变量：（由模型外变量所决定的变量）它是由系统外部因素所影响而不由所考虑的模型系统所决定的变量，但他影响模型系统生变量的值。
外生变量的性质：第一，外生变量必须事先给定；第二，外生变量可以分为政策性外生变量（经济调控的手段）和非政策性外生变量（时间趋势、自然条件）3、前定变量：外生变量和滞后变量（滞后生变量和滞后外生变量）的统称。
前定变量的性质：第一，前定变量与模型的随机误差性不相关；第二，在模型中作为解释变量出现。
注意：1、联立方程模型和单一方程的变量的分类有什么差异？（联立方程模型的分类、单一方程中的分类）2、生变量与外生变量的划分不是绝对的，随着新的行为方程的加入，外生变量可以转化为生变量；随着行为方程的减少，生变量也可以转化为外生变量。
联立方程模型的估计
,
23
14 22 22 12
, 24
12 23 22 12
v1
u1 u2
22 12
,
v2
22u1 22
12u2 12
联立方程模型的识别
例题5.5：过度识别的模型
在本例中，有7个待估结构系数，却有8个简化系数， 无法确定唯一的结构系数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
联立方程模型的识别
例题5.6：不可识别
Q D
Q
t
S
t
Q
D
t
11 21
QS t
12 Pt 22 Pt
Q
u1t u2t
P Q
11 21
v1 v2
11
11 22
21 12
, 21
2211 22
cov( Y t , u t ) E {[ Y t E ( Y t )][ u t E ( u t )]}
1
1 1
E(
u
2 t
)
1
1 1
2
0
联立性偏误
联立性偏误：OLS估计量的有偏性
1
(
Ct
C )(Yt Y (Yt Y )2
)
i
程中内生
变量的个
数
ki：该方程中前定变量的个数
K：模型中前定变量的个数
若K ki mi 1，方程不可识别 若K ki mi 1，方程恰可识别 若K ki mi 1，方程过度识别
联立方程组
联立方程组
联立方程组是指两个或多个方程构成的一组方程，它们之间存在一种联系，即所有的方程都必须同时成立。
联立方程组有助于解决更复杂的数学问题，因为它可以将复杂的问题分解为一组更容易求解的方程。
一般来说，联立方程组由一组未知量(变量)和一组方程构成，这些方程中的未知量相互联系。
举个例子，假设你有两个方程： y=2x+1 和 x=3y-2 。
这就构成了一个联立方程组，其中变量 x 和 y 相互联系。
要求解这组方程，就必须同时求出 x 和 y 的值。
联立方程组可以用来求解复杂的数学问题，比如投影、空间平面上的几何图形、物理学中的力学问题等。
在计算机科学中，联立方程组也可以用来求解更复杂的算法问题。
联立方程组的最基本的求解方法是通过判断的方法，也就是说，一旦知道了方程组的未知量，就可以判断各方程是否成立。
这种方法虽然简单，但是随着方程组数量的增加，求解起来就会变得非常复杂。
因此，引入了更高效的数值解法，比如解析法、迭代法、牛顿法等。
解析法是利用知识表达式将联立方程组转换成可以求解的简单式，从而求解出未知量的值。
迭代法则是通过迭
代过程不断逼近未知量的值，从而求解出未知量的值。
牛顿法则是利用牛顿迭代公式求解联立方程组，从而求出未知量的值。
总之，联立方程组是一种把复杂问题分解为一组更容易求解的方程，从而求得未知量的值的数学工具。
它可以用来求解更复杂的数学问题，也可以用于计算机科学中的算法问题，具有广泛的应用前景。
《计量经济学》-联立方程模型
γ 2k
X
kt
u2t
L L L L L L
bg1Y1t b Y g2 2t L b Y gg gt γ X g1 1t γ X g2 2t L γ X gk kt ugt
结构方程的个数等于内生变量的个数，称为完备模型
10
结构型的矩阵表示（一）
b11 b12 L
b21
b22
L
L L L
c5
a2b1 a b
,
c6
a3b1 a b
17
1.结构方程的识别
恰好识别：通过简化模型的参数估计值和参数关系式可以得到 结构方程的参数估计值的惟一解，该结构方程恰好识别
过度识别：通过简化模型的参数估计值和参数关系式可以得到 结构方程的参数估计值的多个解，该结构方程过度识别
不可识别：通过简化模型的参数估计值和参数关系式可以得不 到结构方程的参数估计值，该结构方程不可识别
u1t
u2
t
Ut
u
BYt ΓXt Ut
或
B
Γ
Yt Xt
Ut
12
2. 简化型
Ct
a1b2 1 a1
b1
Yt 1
a1 1 a1
b1
Gt
u1t
a1u2t b1u1t 1 a1 b1
It
b2 ( 1
1 a1 ) a1 b1
Yt
1
b1 1 a1 b1
Gt
u2 t
第九章
联立方程模型
主要内容
联立方程模型的概念 联立方程模型的形式 模型的识别 联立方程模型的参数估计
2
一. 联立方程模型的概念
由若干个单一线性经济计量方程构成联立方程组，描述整个经 济系统的模型称为联立方程经济计量模型，简称联立方程模型
联立方程组模型
5
❖ 这个模型通常是研究市场均衡价格和销售量决定规
律的，因此 和 是决P定t1 Y和t 的条件Pt 。 Qt ❖ 我们称被决定的 和 P为t 模Q型t 的“内生变量”。
❖ 内生变量对应单方程模型中的被解释变量，不称被 解释变量而称内生变量的原因，主要是它们在一个 方程中可能是被解释变量，但在其他方程中又常常 作为解释变量出现。
7
❖ 外生变量和滞后内生变量这两种在当期是给定
的变量，统称为联立方程组模型的“前定变 量”。
❖ 区分和明确联立方程组模型的内生变量和前定 变量非常重要。
❖ 通常一个联立方程组模型的内生变量数量与方 程个数相等，而且能够表示成每个内生变量被
其他变量（包括外生、滞后内生的前定变量， 也包括其他内生变量）决定的标准形式。
❖ 根据是否反映经济关系随时间演变的过程， 可分为动态模型和静态模型等。
❖ 举例：一个简单的微观市场均衡模型。
3
❖ 这个微观市场均衡模型包括一个供给函数、一 个需求函数、以及一个均衡方程，具体形式如
下： QtS 1 2 Pt 3 Pt1 1t QtD 1 2 Pt 3Yt 2t
❖ 为了进行参数估计和分析的需要，常常要把结 构式模型变换为各个内生变量都只是前定变量 函数的形式。我们称这种形式的联立方程组模 型为“简约式模型” 。
❖ 由于内生变量数与方程个数相等，这种变换一 般不难做到。
11
❖ 例如供求均衡模型就可以通过线性变换化为 下面的形式：
Qt
1 21 122
23 122
9
❖ 其中
1 ' 1 / 2 , 2 ' 1/ 2 , 3 ' 3 / 2 , '2t 2t / 2
化工系统工程 第五章联立方程法
XN
i 1
X
i
A
A
i
1
i
X
i
B
i
A
i
1
B i X L
可见非线性方程组可化为线性方程处理
2019/1/19 第五章 联立方程法 9
化环院：路平
6 非线性方程组迭代解法
基本迭代法
同时修正法——Jacobi法 逐次修正法一Gauss－Seidel法 逐次超松弛法一SOR法 迭代收敛判据的选择
化环院：路平
3 联立方程组中微分方程的处理
直接求解含有部分微分方程的联立方程组有困难。 解决的办法： 1）将含有微分方程的方程块，包括边界条件（代数形式 的或微分形式的）分隔独立出来，用数值积分的方法求 解。 2）将微分方程，包括导数形式的边界条件，改写成差分 方程，或直接从严格微分模型开发近似代数模型。这类 替代微分模型的近似代数方程组都必须在迭代收敛过程 中随时更新其方程参数，以保持各迭代点附近近似模型 与严格模型的等效性。
化环院：路平
第五章 联立方程法
序贯模块法是将系统所有方程分解成小方程组求 解，问题迭代嵌套层数多。 联立方程法的基本思想是将描述过程系统的所有 方程全部联立起来，数学上为庞大的非线性方程 组，其变量包含所有的内部变量和外部变量。稳 态模拟的求解就可视为一个原则上与过程系统结 构无关，甚至与化工背景无关的纯数学问题。只 要解决这样的大型非线性方程组求解算法，便能 进行过程系统的稳态模拟。
第五章 联立方程法
2019/1/19
7
化环院：路平
不可再分子方程块的切断
将方程组表示为 关联矩阵。 在关联矩阵中圈出行中非零元素最少的某一变量为切断变 量。 删除切断变量所在列和该列非零元素所在行中其他非零元 素所在列的变量及方程，得到简化关联矩阵。 若某行仅一个非零元素，则该非零元素所在行方程可单独 求解，得该非零元素所在列的变量，删除该非零元素所在 的行和列得简化关联矩阵。 同理重复上述步骤，直到关联矩阵为零列。 按删除顺序可计算得各变量，最终计算得切断变量，并与 初值比较，是否一致，作为修正切断变量假设值的依据。 重复以上过程，直至满足收敛要求。
第五章 联立方程组模型的估计
第五章 联立方程组模型的估计第一节 概述一、联立方程的概念在实际经济活动中，变量之间不仅仅是存在单项的因果关系。
还会存在如下的情况：第一，由于两个变量之间存在双向因果关系，用单一方程模型就不能完整的描述这两个变量之间的关系。
第二，为全面描述一项经济活动只用单一方程模型是不够的。
这时应该用多个方程的组合来描述整个经济活动。
这样的例子比如市场均衡模型（具体内容是什么）宏观经济学中的国民收入模型（具体内容是什么）。
这类问题涉及的就是联立方程模型的问题。
简单来讲，联立方程模型就是描述变量间联立依存性的方程体系。
比如如下的简单的宏观经济模型：()C Y T I Y Y C I G αβγδ=+-⎧⎪=+⎨⎪=++⎩在这个模型中，有三个方程，一个消费方程，一个投资方程和一个均衡方程。
比较这个由三个方程组成的一个经济模型和前边我们已经学过的由一个方程组成的经济模型。
我们能够发现什么呢（1、从变量所处的位置上来看；2、从变量的分类上看；3、从变量之间的经济含义上看）二、模型中变量的分类1、内生变量：（由模型内变量所决定的变量）其数值是在所考虑的经济系统模型本身内所决定的，它一般是被解释变量（在其他的方程中也可以作为解释变量出现），且是模型求解的结果。
内生变量的性质：第一、内生变量与随机误差项是相关的；第二，它的值是在参数估计之后，由方程组所解出来的值第三，它的值可以是预测结果，也可以是政策后果。
2、外生变量：（由模型外变量所决定的变量）它是由系统外部因素所影响而不由所考虑的模型系统所决定的变量，但他影响模型系统内生变量的值。
外生变量的性质：第一，外生变量必须事先给定；第二，外生变量可以分为政策性外生变量（经济调控的手段）和非政策性外生变量（时间趋势、自然条件）3、前定变量：外生变量和滞后变量（滞后内生变量和滞后外生变量）的统称。
前定变量的性质：第一，前定变量与模型的随机误差性不相关；第二，在模型中作为解释变量出现。
联立方程模型的估计.pptx
一． 什么是联立方程模型 二． 联立性偏误 三． 联立方程模型的识别 四． 联立方程模型的估计
什么是联立方程模型
例题5.1：需求与供给模型
Q D
Q
t
S
t
0 0
1Pt 1Pt
2Yt 2Tt
u（t 结构方程） v（t 结构方程）
Q
D
t
Q（S 恒等式） t
内生变量：Q D、Q S、P
外生变量： Y、T
什么是联立方程模型
例题5.2：IS模型
C
t
It
0 0
1Ytd 1rt
u（t 结构方程） v（t 结构方程）
Tt 0 1Yt w（t 结构方程）
Ytd Yt T（t 恒等式）
Yt Ct It G（t 恒等式）
内生变量：C、Y、Y d、T、I、r
外生变量： G
什么是联立方程模型
例题5.3：犯罪率与警察部门规模
Crimet 0 1Policet 2 Edut u（t 结构方程）
Policet
0
1Crimet
v（t 结构方程）
内生变量： Crime 、Police
外生变量： Edu
参看课本例题15.1、15.2
什么是联立方程模型
几个概念
,
12
13 22 12
,
13
14 22 12
, 14
23 22 12
21
2211 22
12 21 12
, 22
2213 22 12
,
23
14 22 22 12
, 24
12 23 22 12
v1
u1
22
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外生变量和滞后变量(包括滞后内生变量和滞后 外生变量)的统称，一般假定前定变量与模型的随机 误差项是不相关的。由于外生变量的值在模型求解 之前给定，滞后变量则取前期的历史值，也是已知 的，故而它们都是“前定”的变量。
第五章 联立方程组模型的估计
第二节 模型的结构式与简化式
2021年3月10日星期三
二、模型的简化式 模型的简化式是指将结构式模型中的每个内生
变量都只表示成前定变量和随机扰动项的函数。
求得简化式的两种方法： （1）直接估计法 （2）间接估计法
第五章 联立方程组模型的估计
第二节 模型的结构式与简化式
21世纪经济学系列教材 普通高等教育“十五”、“十一五”国家级规划 教材
计量经济学
（第四版）
赵国庆
中国人民大学出版社
联立方程组模型的估计
计量经济学 第五章
重点问题
2021年3月10日星期三
❖ 模型的结构式与规范式之间的转化 ❖ 模型识别 ❖ 联立方程组模型的参数估计：ILS、2SLS
第五章 联立方程组模型的估计
cik X k ui
(i 1,2,, m)
则完备的线性模型的一般结构式形式为：
11Y1 12Y2 1mYm 11X1 12 X 2 1k X k u1 21Y1 22Y2 2mYm 21X1 22 X 2 2k X k u2
m1Y1 m2Y2 mmYm m1X1 m2 X 2 mk X k um
主要内容
2021年3月10日星期三
❖第一节 概述 ❖第二节 模型的结构式与简化式 ❖第三节 模型的识别问题 ❖第四节 模型识别的条件 ❖第五节 联立方程组模型的估计方法 ❖第六节 模型的应用与检验 ❖第七节 计算实例与方法评价
第五章 联立方程组模型的估计
第一节 概述
2021年3月10日星期三
一、研究对象
2021年3月10日星期三
简化式参数与结构式参数对应关系
结构式模型
Qd 11 12P 13Y u1 (*)
Qs 21 22P 23T u2 (**)
Qd Qs Q
(***)
式(*)减式（**），整理得：
P 11 21 13 Y 23 T u1 u2
22 12 22 12
第五章 联立方程组模型的估计
第一节 概述
2021年3月10日星期三
2.方程
(1)行为方程：它描述居民、企业和政府的经济行为。 行为关系建立在相应的经济理论基础之上。这类方程都 带有随机误差项，因此也称为随机方程。
(2)技术方程：表示生产的技术关系，它也是随机方程。
(3)定义方程：由它定义某一经济变量与其他经济变量 的恒等关系。此类方程中既无未知参数也无随机误差项。
P 11 12Y 13T v1 Q 21 22Y 23T v2
并且简化式参数与结构式参数对应关系为
11
11 22
21 12
21
22 11 22
1221 1212 Nhomakorabea13 22 12
22
22 13 22 12
13
22
23 12
23
1223 22 12
22 12
22 12
再将
乘
22
以式(*)减去12乘以式(**)得
Q 2211 1221 2213 Y 1223 T 22u1 12u2
22 12
22 12
22 12
22 12
第五章 联立方程组模型的估计
第二节 模型的结构式与简化式
2021年3月10日星期三
由此得到简化式模型
21
22
2
m
Y2
21
22
2k
X2
第五章 联立方程组模型的估计
第二节 模型的结构式与简化式
2021年3月10日星期三
一、模型的结构式
模型中的每个随机方程的被解释变量不仅是内 生变量，而且还是由其他内生变量、前定变量和随 机误差项所表示的变量，这种方程称为结构方程， 其中所含参数称为结构参数。
教材145页的Klein模型就是结构式模型
描述和分析相互关联的经济行为和经济结构。 例：微观经济学市场均衡模型，宏观经济学中国 民收入模型。
第五章 联立方程组模型的估计
第一节 概述
2021年3月10日星期三
二、联立方程组模型若干基本概念
1.变量
(1)内生变量： 其数值是在所考虑的经济系统模型本身内所
决定的，它一般是被解释变量(在其他的方程中 也可作为解释变量)，且是模型求解的结果。
(4)平衡方程：表示经济系统均衡或平衡状态的恒等关 系式。
第五章 联立方程组模型的估计
第一节 概述
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不能对方程组模型中每一个随机方程单独使用 OLS对其参数进行估计的原因：
由于联立方程组模型的随机方程中会出现与随机 误差项相关的内生解释变量，因此违背了前面章节中 所约定的关于最小二乘估计的基本假定，从而使普通 最小二乘法估计的参数是有偏且不一致的。
式中ij
和
即为结构参数
ij
第五章 联立方程组模型的估计
第二节 模型的结构式与简化式
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完备的线性模型的缩写形式为：
m
k
ijYj ij X j ui
j 1
j 1
(i 1,2, m)
完备的线性模型的矩阵形式为：
11 12 1m Y1 11 12 1k X1 u1
内生变量与随机误差项是相关的
建模时往往要求模型中的方程个数等于内生
变量的个数，满足这一要求的联立方程组模型被
称为完备的，完备性是方程组存在惟一解的必要
条件。
第五章 联立方程组模型的估计
第一节 概述
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(2)外生变量： 它是由系统外部因素所影响而不由所考虑的模
型系统所决定的变量，但它却影响模型系统内生变 量的解值。
简化式中随机误差项与结构式随机误差项的关系为：
1
u1
22
u2
12
v2
22u1 22
12u2 12
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第二节 模型的结构式与简化式
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三、线性模型结构式的一般形式
设线性联立方程组规范形式为：
Yi bi1Y1 bi2Y2 bii Y 1 i1 bii Y 1 i1 bimYm ci1 X1 ci2 X 2