大地测量坐标系统及其转换

大地测量坐标系统及其转换雷伟伟河南理工大学测绘学院*************.cn基本坐标系1、大地坐标系坐标表示形式：(,,)L B H大地经度L：地面一点P地的大地子午面NPS与起始大地子午面所构成的二面角；大地纬度B：P地点对椭球面的法线PP K地与赤道面所夹的锐角；大地高H：P地点沿法线到椭球面的距离。

S W2、空间直角坐标系坐标表示形式：(,,) X Y Z以椭球中心O为坐标原点，起始子午面NGS与赤道面的交线为X轴，椭球的短轴为Z 轴（向北为正），在赤道面上与X轴正交的方向为Y轴，构成右手直角坐标系O XYZ。

YW3、子午平面坐标系坐标表示形式：(,,)L x y设P点的大地经度为L，在过P点的子午面上，以椭圆的中心为原点，建立x、y平面直角坐标系。

则点P的位置用(,,)L x y表示。

x坐标表示形式：(,,)L u H设椭球面上的点P 的大地经度为L 。

在此子午面，以椭球中心O 为圆心，以椭球长半径a 为半径，做一个辅助圆。

过P 点做一纵轴的平行线，交横轴于1P 点，交辅助圆于2P 点，连结2P 、O 点，则21P OP 称为P 点的归化纬度，用u 来表示。

P 点的位置用(,)L u 表示。

当P 点不在椭球面上时，则应将P 沿法线投影到椭球面上，得到点0P ，0PP 即为P 点的大地高，0P 点的归化纬度，就是P 点的归化纬度。

P 点的位置用(,,)L u H 表示。

xyP u点在椭球面上时的P u点不在椭球面上时的x坐标表示形式：(,,)L φρ设P 点的大地经度为L ，连结OP ，则POx φ∠=，称为球心纬度，OP ρ=，称为P 点的向径。

P 点的位置用(,,)L φρ表示。

x6、大地极坐标系坐标表示形式：(,)S A以椭球面上某点0P 为极点，以0P 的子午线为极轴，从0P 出发，作一族A ＝常数的大地线和S ＝常数的大地圆。

它们构成相互正交的坐标系曲线，即椭球面上的大地极坐标系，简称地极坐标系。

在大地极坐标系中，点的位置用(,)S A 来表示。

P A =常数S =常数坐标表示形式：1(,,)P X Y Z -以地面测站1P 为原点，建立1P XYZ -坐标系，它的三个坐标轴与空间大地直角坐标系O XYZ -的三个坐标轴平行。

两个坐标系之间是一种简单的平移关系。

Y8、站心赤道极坐标系坐标表示形式：1(,,)P D L -ΦD ：距离； L ：经方向角； Φ：纬方向角；X坐标表示形式：1(,,)P x y z -站心地平直角坐标系是以测站法线和子午线方向为依据的坐标系。

通常有三种不同的定义形式： 1、站心左手地平直角坐标系以测站1P 为坐标原点，以1P 点的法线方向为z 轴（指向天顶为正），以子午线方向为x 轴（向北为正），y 轴与x 、z 轴垂直构成左手系（东向为正）。

2、站心右手地平直角坐标系（z 轴向上）3、站心右手地平直角坐标系（z 轴向下）天顶)x(北))z(天底)（东）站心左手地平直角坐标系站心右手地平直角坐标系站心右手地平直角坐标系（z 轴向上）（z 轴向下）10、站心地平极坐标系坐标表示形式：(,,)P D A Z -在站心地平直角坐标系（左手系）(,,)P X Y Z -中，任意点2P 的位置可以用距离D 、大地方位角A （从测站北方向顺时针量取）、大地天顶距Z 来表示。

则1P DAZ -就构成了站心地平极坐标系。

东)X(P坐标系基本转换一、坐标系转换的基本形式：平移变换newnewY Y P newr oldr rOnew old r r r=+new old X newnew old old Y new old Z X X T r Y r Y r T Z Z T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭new old X new old Y new old Z X X T Y Y T Z Z T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()new old X X ()new old Y ()new old Z Z尺度比例因子new oldoldS S m S -=(1)new old new old new old X X Y m Y Z Z ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二维坐标系sin cos cos sin sin cos cos sin T T S S S S x oB oE EB oE PF y oD EF EC CF oC PC oC PC y x y x αααααααα==+=+===-=+=-=+=-cos sin cos sin sin cos sin cos T S S T S S T Sx x y x x y x y y y αααααααα=+⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎨⎪ ⎪⎪=-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩当旋转方向相反时（逆时针旋转时）cos()sin()sin()cos()cos()sin()sin()cos()T S S T S S T Sx x y y x y x x y y αααααααα=-+-⎧⎨=--+-⎩--⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭三维坐标系newoldX newnewZ旋转矩阵：对右手系逆时针旋转，对左手系顺时针旋转，否则需要改变旋转角度的符号。

123100()0cos sin 0sin cos cos 0sin ()010sin 0cos cos sin 0()sin cos 0001X X X X X Y Y Y Y Y Z Z Z Z Z R R R ωωωωωωωωωωωωωωω⎛⎫ ⎪= ⎪⎪-⎝⎭-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭321()()()new old new Z Y X old new old X X Y R R R Y Z Z ωωω⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当X Y Z ωωω、、均为小角度时，将cos ω、sin ω分别展开成泰勒级数，仅保留其一阶项，则有：cos 1sin ωωω≈≈，舍弃二阶小量，则有：3211()()()11ZY Z Y X ZX YXR R R ωωωωωωωωω-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭当ωω、、不是小角度时，三个旋转矩阵的次序不能交换。

当X Y Z ωωω、、均为小角度时，不论三个旋转矩阵的次序如何交换，都能够得到上面的结果。

反向矩阵：为了使用上的方便，有一些坐标系统定义为左手空间直角坐标系。

为此，在右手空间直角坐标系和左手空间直角坐标系的变换中，需要改变坐标轴的指向，这个可以通过反向矩阵来完成。

123100100100010010010001001001P P P -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭利用123P P P 、、三个反向矩阵，可以分别改变X Y Z 、、轴的指向。

旋转矩阵123R R R 和反向矩阵123P P P 均为正交矩阵有下列性质：111112221333()()()()()()()()()T X X X T Y Y Y T Z Z Z R R R R R R R R R ωωωωωωωωω---==-==-==-1111123321321321[()()()]()()()()()()()()()X Y Z Z Y X T T T Z Y X Z Y X R R R R R R R R R R R R ωωωωωωωωωωωω----===---1112233P P P P P P -==-1-1=基本坐标系间的转换1、子午平面坐标系与大地坐标系之间的关系：()()()() 22222222222222222tan90cot11tan1tan1cos cos1sin1sincos(1)sinsindyB Bdxx y dy b xa b dx a yy x e Bx e Bxa ba B a BxWa e B ay e BWPn N x N BaN y N e BWy PQ BPQ=+=-+==-=--+=⎧==⎪⎪⎨-⎪==-⎪⎩====-==由图可得故而有即有可得如果令则由图可得又由图可得故而22(1)N e Qn Ne-=2、空间直角坐标系与子午平面坐标系的关系：由图易知：cos sin X x L Y x L Z y =⎧⎪=⎨⎪=⎩3、空间直角坐标系与大地坐标系之间的关系：点位描述参见上述两个图（以子午平面坐标系作为二者之间的过渡坐标系） 当P 点位于椭球面上的时候，易得：2cos cos cos sin cos sin (1)sin X x L N B L Y x L N B L Z y N e B ==⎧⎪==⎨⎪==-⎩当P 点不在椭球面上时，设其大地高为H ，图示如下()()0022cos cos cos cos cos sin cos sin (1)sin sin cos cos cos sin (1)sin HnN B L B L N B L n B L N e B B XN H B L YN H B L Z N e H B ρρρρ=+⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫+⎛⎫⎪ ⎪==+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎡⎤-+⎝⎭⎣⎦⎝⎭由上图可知考虑矢量有＝＝故而有4、子午平面坐标系与归化纬度坐标系的关系：xyP u点在椭球面上时的由上图可以看出：cos x a u =带入椭圆方程22221x y a b+=得到sin y b u =故而：cos sin x a u y b u =⎧⎨=⎩归化纬度坐标系也是作为一种过渡坐标系而出现的5、子午平面坐标系与球心纬度坐标系之间的关系：x易知：cos sin x y ρφρφ=⎧⎨=⎩，带入椭圆方程22221x y a b+=，则有：ρ=故而：x y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎩6、大地纬度B 、归化纬度u 、球心纬度φ之间的关系：6.1、B 与u 的关系sin sin cos cos tan B V uB W u u B=⎧⎨=⎩=6.2、u 与φ的关系tan tan u φ=6.3、B 与φ的关系2tan (1)tan e B φ=-易知，一般情况下，有：B u φ>>7、站心地平直角坐标系与站心赤道直角坐标系之间的关系：7.1、左手系坐标系：180L-90B-90B-PZB B90B-90B-90B-P整体旋转示意图局部旋转示意图一ZBB 90B-90B-90B-z首先，将y 轴反向，得'y ；绕'y 轴旋转(90)B -，将z 轴绕至Z 轴处，x 轴绕至'x 轴处；然后，再绕Z 轴旋转(180)L -，即可将P xyz -化为P XYZ -。

'(180)(90)Z y y X x Y R L R B P y Z z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭带入数值化简后得到下式： sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin cos 0sin X B L L B L x x Y B L L B L y A y Z B B z z --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为A 为正交矩阵，故而由P XYZ -化为P xyz -，则为：1sin cos sin sin cos sin cos 0cos cos cos sin sin T x X X B L B L B X y A Y A Y L L Y z Z Z B L B L B Z ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因站心赤道直角坐标系与空间直角坐标系之间仅存在一个简单的平移关系，故而，由站心地平之间坐标系至空间直角坐标系的转换关系为：局部旋转示意图二2sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin cos 0sin ()cos cos sin cos ()cos sin [(1)]sin X Y ZX Y Z X T X Y T Y Z T Z T B L L B L x T B L L B L y T B B z N H B L B L N H B L N e H B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+--⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪-+⎝⎭sin cos cos sin sin cos cos sin cos 0sin L B L x B L L B L y B B z ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭7.2、右手系坐标系：8、站心赤道极坐标系与站心赤道直角坐标系之间的关系：由图易知：cos cos cos sin sin X D L Y D L Z D Φ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=Φ⎪ ⎪ ⎪ ⎪Φ⎝⎭⎝⎭9、站心地平极坐标系与站心地平直角坐标系之间的关系：(东)(Xsin cos sin sin cos X D Z A Y D Z A Z D Z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭几种坐标系间的转换1、空间直角坐标系和大地坐标系之间的转换由前面的讨论可知：()()()22sin arctan cos cos cos sin arctan1sin cos Z Ne BB X N H B L Y Y N H B L L X Z N e H B H N B ⎧+=⎪⎡⎤⎪+⎡⎤⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥=+=⎨⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎡⎤⎣⎦-+⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦=-⎪⎪⎩2、不同二维平面直角坐标系之间的转换不同二维平面直角坐标系之间的变换方式主要有：仿射变换、相似变换、多项式变换 某点在原始坐标系（即源坐标系）中的坐标记为()SS x y ；某点在转换后坐标系（即目标坐标系）中的坐标记为()TT x y 。