2422切线长定理1
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吗？
A
O
P
B
经过圆外一点作圆的切线，这点和 切点之间的线段的长，叫做这点到 圆的切线长。
A
O
P
B
切线和切线长是两个不同的概念，
切线是直线，不能度量；
切线长是线段的长，这条线段的两个端点分 别是圆外一点和切点，可以度量。
A
1
O
M2
⌒
P
证明：
B
∵PA、PB是⊙o的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP
P
B
相相等等的线弧段：：AA⌒PF==BB⌒PF,AO=BO,AE=BE 垂直关系：AO⊥PA,AB ⊥ OP,BO ⊥ BP
例1 如图，已知⊙O的半径为3cm.点P和圆 心O的距离为6cm，经过点P有⊙O的两条切
线PA 、 PB,则切线长为_3___3_cm，这两条
切线的夹角为_6_0__°__， ∠ AOB_1__2_0_°_。
已知⊙O及⊙O外的一点P，PA与⊙O相切于A 点，连接OA、OP，如果将⊙O沿直线OP翻折， 存在一点与A点重合吗？
A
O
P
B PA、根 的 它P据 一 也B圆 点 是所你O的B⊙在，B能轴o的且的与对发落一直P称现在条B线性之圆半O，分A上径间存别与，。的在是连P关与A接⊙A系，点OoB两重，合则条切线。
根有据什你么的关直 系观 ？判断，猜想图中又POAA是=O否B，等O于P=POB？P，∠1与∠2又
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL） ∴PA=PB，∠1=∠2
A
O
P
B
切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线 长相等，这一点和圆心的连线平分两条切 线的夹角。
切线长定理的拓展 A
D
O EF
内心
B
B
C
D C
三角形的内切圆：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
A
三角形的内心：
三角形的内切圆的圆心
B
（即三角形三条角平分线的交点）
O
C
例题：如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别 相切于点D、E、F，且AB=9cm,BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的长。
求OB的长.
C E
D
A
·O B
如图：用两根带有刻度的木条做一个夹角为 60°的工具尺，你能用它量出一个圆的半径吗？ 若量出角的顶点到切点的距离为10cm，试求这 个圆半径的近似值。
A
在边长为3cm，4cm，5cm的三角形 x 的铁皮上剪下一个最大的圆，
x
F
9﹣x
求此圆的半径
E
B O
13﹣x
9﹣x
D
13﹣x
C
圆的外切四边形的两组对边和相等。
已知：四边形ABCD的边 AB，BC，CD，DA 和圆O分别相切于L，M，N，P。
探索圆外切四边形边的关系。
DN C P OM
A
LB
DN=DP=x AP=AL=y CN=CM=z
B
。
P
O
A
形成性练习：
点P和圆心O的距离为6cm ，过P有圆O 的两条切线PA、PB。
①若半径为3cm,求切线长、切线夹角 ∠APB。
②若∠APB=600 ，OP=6cm,求 半径及 AP。
③若AB=6cm, ∠APB=600 , 求OP.
A
O
P
B
拓展： 如图，从⊙O外一点P作⊙O的两条切线， 分别切⊙O于A 、B，在AB上任取一点C作⊙O的 切线分别交PA 、PB于D 、E
=117.5°
O C
练习2
△ABC的内切圆半径为 r , △ABC的周长为 l ,求△ABC 的面积。 （提示：设内心为O，连接OA、OB、OC。）
A 解：连接OA、OB、OC，则
S=
1 2
AB
×
r
+
1 2
AC
×
r
+
1
2 BC × r
= 1(AB +AC+BC) × r
2
= 1lr
2
r rr Or
（1）若PA=2，则△PDE的周长为__4__；若PA=a， 则△PDE的周长为_____。2a
（2）连结OD 、OE，若∠P=40 °，则 ∠DOE=__7_0__°;若∠P=k,∠DOE=__(_1_80___k)____ 度 。
2
A
D
P
C
Baidu Nhomakorabea
·
O
E B
例2. 已知：P为圆O外一点，PA，PB 为圆O的切线，A，B为切点，BC是 直径。
B C
小结：
（1）切线长定理。 （2）连接圆心和切点是我 们解决切线长定理相关问题 时常用的辅助线。
巩固性练习：
1．已知：如图，△ABC 中，∠ABC=90 ， AB上一点O，以O为圆心的⊙O交OA于E， 切AC于D，AD＝2，AE＝1，求CD的长。
A
E D
o BC
3、如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、 BC是切线，点A、E、B为切点， (1) 求证：OD ⊥ OC (2)若BC=9，AD=4，
BL=BM=w
练习．某梯形中位线为18cm,且梯形有 内切圆，求梯形周长。
A
B
D
C
练习1
如图，△ABC中，∠ ABC=50°，∠ACB=75 °，点O
是⊙O的内心，求∠ BOC的度数。
A
解：∵点O是⊙O的内心 ∴∠OBC=1/2∠ABC=25°
∠OCB=1/2∠ACB=37.5°
B
∴ ∠BOC=180°﹣25°﹣37.5°
求证：AC∥OP。
CA
O
P
B
反思：在解决有关
A
圆的切线长的问题
时，往往需要我们
构建基本图形。
。
O
P
B
（1）分别连结圆心和切点（直角） （2）连结两切点（等腰三角形）
（3）连结圆心和圆外一点（角平分线）
一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一 块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大 呢？
思考
A
A
N OM
A
O
P
B
经过圆外一点作圆的切线，这点和 切点之间的线段的长，叫做这点到 圆的切线长。
A
O
P
B
切线和切线长是两个不同的概念，
切线是直线，不能度量；
切线长是线段的长，这条线段的两个端点分 别是圆外一点和切点，可以度量。
A
1
O
M2
⌒
P
证明：
B
∵PA、PB是⊙o的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP
P
B
相相等等的线弧段：：AA⌒PF==BB⌒PF,AO=BO,AE=BE 垂直关系：AO⊥PA,AB ⊥ OP,BO ⊥ BP
例1 如图，已知⊙O的半径为3cm.点P和圆 心O的距离为6cm，经过点P有⊙O的两条切
线PA 、 PB,则切线长为_3___3_cm，这两条
切线的夹角为_6_0__°__， ∠ AOB_1__2_0_°_。
已知⊙O及⊙O外的一点P，PA与⊙O相切于A 点，连接OA、OP，如果将⊙O沿直线OP翻折， 存在一点与A点重合吗？
A
O
P
B PA、根 的 它P据 一 也B圆 点 是所你O的B⊙在，B能轴o的且的与对发落一直P称现在条B线性之圆半O，分A上径间存别与，。的在是连P关与A接⊙A系，点OoB两重，合则条切线。
根有据什你么的关直 系观 ？判断，猜想图中又POAA是=O否B，等O于P=POB？P，∠1与∠2又
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL） ∴PA=PB，∠1=∠2
A
O
P
B
切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线 长相等，这一点和圆心的连线平分两条切 线的夹角。
切线长定理的拓展 A
D
O EF
内心
B
B
C
D C
三角形的内切圆：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
A
三角形的内心：
三角形的内切圆的圆心
B
（即三角形三条角平分线的交点）
O
C
例题：如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别 相切于点D、E、F，且AB=9cm,BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的长。
求OB的长.
C E
D
A
·O B
如图：用两根带有刻度的木条做一个夹角为 60°的工具尺，你能用它量出一个圆的半径吗？ 若量出角的顶点到切点的距离为10cm，试求这 个圆半径的近似值。
A
在边长为3cm，4cm，5cm的三角形 x 的铁皮上剪下一个最大的圆，
x
F
9﹣x
求此圆的半径
E
B O
13﹣x
9﹣x
D
13﹣x
C
圆的外切四边形的两组对边和相等。
已知：四边形ABCD的边 AB，BC，CD，DA 和圆O分别相切于L，M，N，P。
探索圆外切四边形边的关系。
DN C P OM
A
LB
DN=DP=x AP=AL=y CN=CM=z
B
。
P
O
A
形成性练习：
点P和圆心O的距离为6cm ，过P有圆O 的两条切线PA、PB。
①若半径为3cm,求切线长、切线夹角 ∠APB。
②若∠APB=600 ，OP=6cm,求 半径及 AP。
③若AB=6cm, ∠APB=600 , 求OP.
A
O
P
B
拓展： 如图，从⊙O外一点P作⊙O的两条切线， 分别切⊙O于A 、B，在AB上任取一点C作⊙O的 切线分别交PA 、PB于D 、E
=117.5°
O C
练习2
△ABC的内切圆半径为 r , △ABC的周长为 l ,求△ABC 的面积。 （提示：设内心为O，连接OA、OB、OC。）
A 解：连接OA、OB、OC，则
S=
1 2
AB
×
r
+
1 2
AC
×
r
+
1
2 BC × r
= 1(AB +AC+BC) × r
2
= 1lr
2
r rr Or
（1）若PA=2，则△PDE的周长为__4__；若PA=a， 则△PDE的周长为_____。2a
（2）连结OD 、OE，若∠P=40 °，则 ∠DOE=__7_0__°;若∠P=k,∠DOE=__(_1_80___k)____ 度 。
2
A
D
P
C
Baidu Nhomakorabea
·
O
E B
例2. 已知：P为圆O外一点，PA，PB 为圆O的切线，A，B为切点，BC是 直径。
B C
小结：
（1）切线长定理。 （2）连接圆心和切点是我 们解决切线长定理相关问题 时常用的辅助线。
巩固性练习：
1．已知：如图，△ABC 中，∠ABC=90 ， AB上一点O，以O为圆心的⊙O交OA于E， 切AC于D，AD＝2，AE＝1，求CD的长。
A
E D
o BC
3、如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、 BC是切线，点A、E、B为切点， (1) 求证：OD ⊥ OC (2)若BC=9，AD=4，
BL=BM=w
练习．某梯形中位线为18cm,且梯形有 内切圆，求梯形周长。
A
B
D
C
练习1
如图，△ABC中，∠ ABC=50°，∠ACB=75 °，点O
是⊙O的内心，求∠ BOC的度数。
A
解：∵点O是⊙O的内心 ∴∠OBC=1/2∠ABC=25°
∠OCB=1/2∠ACB=37.5°
B
∴ ∠BOC=180°﹣25°﹣37.5°
求证：AC∥OP。
CA
O
P
B
反思：在解决有关
A
圆的切线长的问题
时，往往需要我们
构建基本图形。
。
O
P
B
（1）分别连结圆心和切点（直角） （2）连结两切点（等腰三角形）
（3）连结圆心和圆外一点（角平分线）
一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一 块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大 呢？
思考
A
A
N OM