两招搞定简单多面体外接球问题

Hale Waihona Puke Baidu
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一道高中数学联赛题的解法探究
■陈
三角函数的最值问题是三角函数性质中的重要内容， 是每 它的解题方法也具有灵活性 年高考和高中数学联赛中的热点， 和多样性． 本文以一道联赛题为例， 介绍十种解法， 供大家参考． 题目： 函数 y = 4 － sinx 的最大值为 3 － cosx ． 4 － sinx ， 化简 3 － cosx
{
， 由正弦函数的有界性知：
| 4 － 3k | 1 + k2 槡
≤ 1．
6 6 6 6 +槡 6 +槡 6 －槡 ， ． 解得： ≤y≤ 故函数 y 的最大值为 4 4 4 属于三角函数， 化为一个角的三角函 点评：从外观上观察， 数， 利用正弦函数的有界性， 这是解决此类问题常见的策略 ． 解法 2 ：（ 几何意义法） 观察函数 y = 4 － sinx 的外形结构， 3 － cosx =
6 6 6 6 +槡 6 +槡 6 －槡 ， ． 解得： ≤k≤ 故函数 y 的最大值为 4 4 4 利用直线与圆有公共点的充要条 点评：同样进行换元后， 件 d ≤ r， 同样利用数形结合的数学思想 ． 解法 4 ：（ 换元、 判别式法） 不妨将 y = 4 － sinθ 的最大值， 3 － cosθ 令 = cosθ 4 －y ， ， 则k = 整理得： kx － y + 4 － 3 k = 0 ． { yx = 3 －x sinθ 4 － sinx 转化为求 k 3 － cosx
2 有一个面是斜三角形， 它却满足图 4 中有 AC + 直角三角形，
PB、 PC 为棱的正方体的外接球， 外接球即是以 PA、 如图 5 ， 球心 O 就是正方体的中心， 所以正方体的体对角线等于球的直径 ． 设 2Ｒ = 2 槡 3， 3， 球的半径为 Ｒ， 即Ｒ = 槡 又因为面 ABC 把正方体的 Ｒ 2Ｒ = 体对角线三等分， 则球心 O 到截面 ABC 的距离 d = Ｒ － 3 3 3 = 槡． 3 ［ 贵州省息烽县第一中学 （ 55100） ］
x = cosθ 4 － sinθ 4 －y ， ， 则k = 令 的最大值， 整理得：kx － y + 3 － cosθ 3 －x y = sinθ 4 － 3k = 0． y） 在直线 kx － y + 4 － 3 k = 0 上， 因此点 M（ x， 同时又在单
2 2 位圆 x + y = 1 上， 因为直线与圆有公共点， 得到 d ≤ r， 即
健
2 2 直线的斜率公式， 又由隐含条件 sin θ + cos θ = 1 联想到单位
圆， 进而以形助数． 解法 3 ：（ 数形结合法） 不妨将 y = 4 － sinx 转化为求 k = 3 － cosx
解法 1 ：（ 利用三角函数的有界性） 因为 y = 得到： sinx － ycosx = 4 － 3 y， 所以 sin（ x － φ） = | 4 － 3y 1 + y2 槡 | ≤ 1． 4 － 3y 1 + y2 槡
两招搞定简单多面体外接球问题
■ 舒飞跃
此类 近年来， 高考题中常常出现简单多面体外接球问题， 问题能有效考查学生的空间想象能力， 它自然受到命题者的青 睐． 简单多面体外接球问题实质上是解决球的半径和确定球心 的位置问题， 解决这一问题从两个方面入手可以有效解决球心 与球半径， 下面笔者就这一问题谈一谈自已的想法， 供参考． 一、 深入理解球的定义， 转化为常见结论， 准确定位球心 在空间中， 如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的 距离都相等， 那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心 ． 由上面的性质， 可以得到下列简单多面体外接球的球心的 如下结论． 结论 1 ： n 棱锥有外接球的球心在过底面多边形外接圆的 圆心且垂直 于 底 面 的 直 线 上， 具体的位置通过计算后准确 找到． 结论 2 ：n 棱台有外接球的球心是在上 、 下底面多边形的外 接圆的圆心的连线的直线上， 具体位置可通过计算准确找到 ． 结论 3 ：n 直棱柱有外接球的球心是在上 、 下底面多边形的 外接圆的圆心的连线的中点 ． （ 特别地， 正方体与长方体的外接球的球心是其体对角线 中点． ） 例1 一个几何体的三视 图如图 1 所示， 其中正视图是 一个正三角形， 则这个几何体 的外接球的表面积为 ． 解：由三视图作出原几何 体是三棱锥 A － BCD， 如图 2 所 示， 平面 ABD ⊥ 平面 BCD， 取 BD 的 中 点 为 O1 ，连 结 AO1 ， CO1 ， 因 △ABD 边长为 4 的正三 角形， △BCD 是等腰直角三角 2， ∠BCD = 90 ° ， 形， 且 BC = CD = 2 槡 有 AO1 ⊥ 平面 BCD， 则球心 O 在线段 AO1 上， 连结 BO． 设外接球的半径为 Ｒ，
y） 在直线 kx － y + 4 － 3 k = 0 上， 因此点 M（ x， 同时又在单
2 2 位圆 x + y = 1 上．
联立
{ kx － y + 4 － 3k = 0，整理得： （1 + k ） x
x2 + y2 = 1
2
2
+ 2 k（ 4 －
3 k） x + 9 k2 － 24 k + 15 = 0 6 －槡 6 6 6 +槡 ， 由 Δ ≥ 0， 解得： ≤k≤ 故函数 y 的最大值为 4 4 6 +槡 6 ． 4 换元后， 联想到直线和圆， 通过 点评：先进行适当地转化、
3 － Ｒ） 2 ， Ｒ2 = 2 2 + （ 2 槡 解得 Ｒ =
2 以 S 球 = 4 πＲ =
4槡 3 ， 所 3 图2 图4 图5 途径 4 ：长方体中得到图 4 形状的四面体只满足有三个面是
64 π ． 3
点评：因为三棱锥的底面是一个直角三角形， 外接圆的圆 心正好是直角三角形斜边上的中点 ． 这里对我们找外接球的球 心提供了一些思考．
4 ） 与动点（ cosx， 可以联想到斜率的表达式 ． 其本质是定点 p（ 3 ， sinx） 连线的斜率， sinx） 的轨迹是一个单位圆 ． 设 而动点（ cosx， 4 ） 的直线方程为 y － 4 = k（ x － 3 ） ， 过点 P（ 3 ， 即 kx － y + 4 － 3 k = 0． 如图 1 ， 当斜率取得最大值时， 该 直线是单位圆的一条切线， 故原点到该 直 线 的 距 离 为 1 ，则： | 4 － 3 k | = 6 6 ±槡 1 + k2 ， ． 解得：k = 槡 4 因 此， 函 数 函 数 y 的 最 大 值 6 6 +槡 ． 为 4 联想到 点评：通过观察外形结构， 图1
球
7 2 21 槡 = 槡 ， 所以 r 3 sin∠BAC
图3
AO1 槡
2
+ OO2 1 =
= 4 π Ｒ2 = 4 π ·
13 52 π = ． 3 3
点评：直三棱柱外接球的球心可以用正弦定理先求出三角 形的外接圆的半径， 再利用勾股定计算出球心的位置 ． 二、 发现简单多面体的结构特征 ， 补形成长方体或正方体 准确定位球心 正方体与长方体的外接球的球心是其体对角线中点 ． 以下 是常见几何体补成正方体或长方体的思考途径 ． 途径 1 ：求对棱相等的四面体中的空间角 、 线段长、 四面体 与球的合体问题， 可以补形成正方体或长方体（ 对棱相等且六 条棱不全等的四面体补形为长方体， 六棱全等四面体补形为正 方体） ， 再利用向量或它们的几何性质很容易完成解答 ． 途径 2 ：共顶点三棱相互垂直且长度不相等四面体可补形 图1 为长方体解决． 途径 3 ：注意解题时， 利用线线垂直、 线面垂直转化为四个 面都是直角三角形从而使问题得到求解 ．
AD2 + CD2 = 2 AB2 ． 若四面体满足这些条件时， 可以考虑补形为 长方体处理． 例3 （ 2012 年高考辽宁） 已知正三棱锥 P － ABC， A、 点 P、 B、 C 都在半径为槡 PB、 PC 两两互相垂直， 3 的球上． 若 PA、 则球心 到截面 ABC 的距离为 ． PB、 PC 两两互相垂直， 解：因为 PA、 故正三棱锥 P － ABC 的
2 2 2 在 Ｒt△BOO1 中， 因 BO = OO1 + BO1 ，
例2
（ 2009 年高考题改编） 直三棱柱 ABC － A1 B1 C1 的各 ．
AC = 槡 3， 顶 点都在同一球面上， 若 AB = AA1 = 4 ， ∠BAC = 30 ° ， 则此球的表面积等于 解：如图 3 ， 设三角形 ABC 和 A1 B1 C1 的外 O2 ， OA， O1 A ， 心分别为 O1 、 连结 O1 O2 ， 取 O1 O2 则 O 点到直棱柱 ABC － A1 B1 C1 各 的中点为 O， 顶点的距离相等． 即球心为 O， 由余弦定理知， BC2 = AB2 + AC2 － 2 AB·AC·cos∠BAC = 7 ， 7， 所以 BC = 槡 设 △ABC 外接圆的半径为 r， 则 得 2r = 由正弦定理， 21 = 槡 ． 3 外接球的半径 Ｒ = AO = 在 Ｒt△AOO1 中， ． 所以 S 3 槡 13