第一章 变分法的基本问题
变分法练习题掌握变分法的最小化问题与变分方程
变分法练习题掌握变分法的最小化问题与变分方程变分法练习题: 掌握变分法的最小化问题与变分方程在数学和物理学中，变分法是一种重要的数学工具，用于解决函数的最小化问题和变分方程。
变分法通过将一个函数作为变量，并在其上进行微小变化，来找到使某个泛函达到最小值的函数。
本文将介绍变分法的基本概念以及应用，并通过练习题来加深对变分法的理解。
一、最小化问题在最小化问题中，我们希望找到一个函数，使得某个泛函达到最小值。
泛函是定义在函数空间上的函数，通过将一个函数映射到一个实数来描述函数的性质。
最小化问题可以用以下形式的泛函来表示：$$ J[y] = \int_{a}^{b} F(x, y, y')dx $$其中，$y$是定义在区间$[a, b]$上的函数，$y'$表示$y$关于自变量$x$的导数，$F(x, y, y')$是一个给定的函数。
我们的目标是找到一个函数$y$，使得$J[y]$达到最小值。
为了解决最小化问题，我们首先要假设函数$y$在区间$[a, b]$上有足够的光滑性，即$y$满足一定的边界条件。
然后，我们引入变分法的基本概念——变分。
二、变分变分是指在一个函数上进行微小变化。
对于给定的函数$y(x)$，我们可以引入一个新的函数$y(x)+\epsilon \eta(x)$，其中$\epsilon$是一个趋近于零的常数，$\eta(x)$是任意函数。
函数$\eta(x)$称为变分函数，它的选择可以是任意的，只需满足边界条件。
三、变分法的基本原理通过变分的引入，我们可以构造一个新的函数：$$ J[y+\epsilon \eta] = \int_{a}^{b} F(x, y+\epsilon \eta, (y+\epsilon\eta)')dx $$然后，我们对上述函数关于$\epsilon$求导，再让$\epsilon$趋近于零，即可得到泛函$J[y]$的变分。
泛函$J[y]$的变分可以表示为：$$ \delta J(y, \eta) = \frac{dJ}{d\epsilon}|_{\epsilon=0} = \int_{a}^{b}\left(\frac{\partial F}{\partial y}\eta + \frac{\partial F}{\partial y'}\eta'\right) dx $$利用分部积分法，我们可以将上式转化为：$$ \delta J(y, \eta) = \int_{a}^{b} \left(\frac{\partial F}{\partial y} -\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right)\right) \eta dx +\left[\frac{\partial F}{\partial y'}\eta\right]_{a}^{b} $$根据变分法的基本原理，当$\delta J(y, \eta) = 0$时，函数$y$使得泛函$J[y]$达到极值。
变分法PPT
Variational Methods
变分法简介
基本概念 经典变分问题 变分运算 变分的算法
基本概念
泛函 泛函是一个函数的表达式，取值取决于该表达式中的函
数，泛函是函数的函数。
I x2 F x, y, ydx x1
1) 除变量x外，泛函还可以包含其他的独立变量； 2) 除函数y(x)外，泛函还可以包含有许多以上述独立变量
y
yx
dy dx
x
y y y a
y y y a
利用δ沿可变曲线将F写成： F x, y y, y y
在任意x处，将F展开成关于y和y`的泰勒级数：
F
x,
y
y,
y
y
F
x,
y,
y
F y
y
F y
y
O
2
∴ F x, y y,
F的全变分：
y
y
F
x,
y,
y
F y
y
F y
y
O
2
(T) F F x, y y, y y F x, y, y
一阶变分：
F F y F y
y y
x2 F x, y y, y ydx x1
x2 F x, y, ydx
x1
x2 x1
F y
y
F y
y
dx
O
2
(T)I I I
x2 x1
2F y 2
y2
2
2F yy
y
y
2F
y2
y2
dx
I取极值的条件： I 0
F d F 0 y dx y
具有多个因变量：
I
第1章变分法
接近度的任何函数 y1(x) 上的值，即
J[ y0 (x)] ≥ J1[ y1(x)] ，
(1.1.10)
则称泛函 J[ y(x)] 在函数 y0 (x) 上达到相对极大值.如果泛函 J[ y(x)] 在函数 y0 (x)
的零级ε-邻域，(1.1.10)式总是成立，那么称 J[ y(x)] 在函数 y0 (x) 上达到相对强极
的 y0 (x) n 级ε-邻域.
y y = y1 (x, y)
y = y (x, y)+ε y = y (x, y) y = y (x, y)−ε
x0
x1 x
图 1.2
定义 4 设 J[ y(x)] 是定义在某个函数类{y(x)}上的泛函，如果存在ε >0，使
得它在函数 y0 (x) 上的值不小于它在函数类{y(x)}中且与 y0 (x) 有某确定级数的ε-
A(0, 0) x
M(x, y)
B(a, b) y
图 1 1.
如图 1.1，以 A 点为坐标原点，Ox 轴取在水平方向，Oy 轴铅直向下.设 y = y(x)
是连接点 A(0, 0) 和 B(a,b) 的一条光滑曲线，质点沿这条曲线下滑.因初速度为零，
故质点下滑到任意点 M (x, y) 的速率为
v = 2gy
§1.1 泛函和泛函的极值问题
1.1.1 泛函的概念
先从一个最简单的例子引进泛函的概念. 例 1 设已给 x 轴上两点 x = x0 和 x = x1 ，y = y(x) 是定义在区间[x0, x1] 上的有
连续一阶导数的函数，则曲线 y = y(x) 的长为
∫ l[ y(x)] = x1 1+ y′2 dx ， x0
变量 J 是函数 y(x) 的泛函，记之为 J = J[ y(x)].而此函数集称为泛函 J[ y(x)] ]的定 义域，有时也称为泛函的容许函数.简言之，泛函是函数集 Y 到数域 R 上的一个 映射，映射的自变元是一个函数，而属于 Y 的每一个函数 y(x) 称为容许函数.读 者不难自己类似的给出依赖于多个函数的泛函的定义.
变分法原理
变分法原理变分法是数学中一种非常重要的方法，它在物理学、工程学、经济学等领域都有着广泛的应用。
变分法的核心思想是寻找函数的极值，通过对函数进行微小的变化，来求解极值问题。
在本文中，我们将介绍变分法的基本原理及其在不同领域中的应用。
首先，让我们来看一下变分法的基本原理。
对于一个函数f(x)，我们希望找到它的极值点。
为了简化问题，我们可以假设函数f(x)在一个区间[a, b]上连续且可微。
现在，我们要找到一个函数φ(x)，它在区间[a, b]上也连续且可微，并且满足φ(a)= α，φ(b) = β，其中α和β为给定的常数。
我们定义一个新的函数J(φ) = ∫[a, b] L(x, φ(x), φ'(x)) dx，其中L(x, y, y')为关于x, y, y'的函数。
那么，我们的目标就是找到一个φ(x)，使得J(φ)取得极值。
为了实现这一目标，我们引入变分。
对于φ(x)，我们对它进行微小的变化，即φ(x) + εη(x)，其中ε为一个足够小的正数，η(x)为任意的可微函数，并且满足η(a) = η(b) = 0。
然后，我们计算J(φ(x) + εη(x))关于ε的导数，并令其为0。
通过求解这个方程，我们可以得到一个关于η(x)的方程。
这个方程就是欧拉-拉格朗日方程，它是变分法的基本方程之一。
通过欧拉-拉格朗日方程，我们可以得到φ(x)满足的微分方程。
解这个微分方程，就可以得到函数φ(x)的表达式。
这个表达式就是我们要找的函数，它使得J(φ)取得极值。
这就是变分法的基本原理。
除了数学中的应用，变分法在物理学中也有着重要的应用。
例如，它可以用来求解拉格朗日力学中的运动方程，以及量子力学中的路径积分。
在工程学中，变分法可以用来求解弹性力学中的边界值问题，以及优化问题中的约束条件。
在经济学中，变分法可以用来求解效用最大化和生产函数最优化等问题。
总之，变分法是一种非常重要的数学方法，它在不同领域中都有着广泛的应用。
课件_ch01变分法简介_v1
第三个变分问题：等周问题
在满足 x (s 0 ) = x (s1 ), y(s 0 ) = y(s1 ) 和条件
L(x (s ), y(s )) =
ò
s2
s1
ædx (s )ö ædy(s )ö ÷ ÷ ç ÷ ÷ 1+ç + ds = constant (a) ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ds ds è ø è ø
注 1：有两个可以选取的函数 x = x (s ), y = y(s ) 注 2：也是边界已定的变分， x (s 0 ) = x (s1 ), y(s 0 ) = y(s1 ) 注 3： y = y(x ), z = z (x ) 之间必须满足的条件(a)也是一个泛函
1.2
变分的基本概念
变分原理 variational principle： 把一个物理学问题 （或其他学科的问 题）用变分法化为求泛函极值（或驻值）的问题。 如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理的 某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果解除了所有的约束 条件，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。 1964 年，钱伟长教授明确提出了引进拉格朗日成子（ Lagrange multiplier）把有约束条件的变分原理化为较少（或没有）约束条件的变 分原理的方法。 日本的鹫津一郎教授、中国科学院院士钱伟长教授和刘高联教授等 都是这方面的世界级大师。
这里假定 y(x ) 是在某一函数类（容许函数）中任意的改变。
2 微分与变分
所谓很小的改变量系指变量函数 y(x ) 与 y1(x ) 的接近程度。 当 dy = y1(x ) - y(x ) 的模很小 时，称 y(x ) 与 y1(x ) 有零阶接近度。当下面诸模都很小时
《变分法》课程教学大纲
《变分法》课程教学大纲
课程名称：变分法学分：2学时：32 实验学时：0
适用（学科）专业：应用数学执笔人：王杰
学科负责人签字：单位负责人签字：
一、课程目的
本课程主要是系统学习变分法的基本理论和方法，用广泛的变分方法来解决弹性力学的边值问题，建立弹性力学的几个变分原理，从这些变分原理出发，用一致的方法导出各种类型弹性力学的平衡方程。
二、课程学习要求
了解变分方法在工程实际问题中的应用，建立弹性力学的边值问题的数学模型。
为进一步学习有限元理论，塑性力学等奠定必要的理论基础
三、教学内容与学时分配
第一章绪论（2学时）
第一章变分问题与泛函极值（6学时）
第三章变分极值问题解答（2学时）
第四章含有多个未知数的变分问题（4学时）
第五章依赖于多元函数的泛函（4学时）
第六章弹力的变分方法（4学时）
第七章虚功原理综述（2学时）
第八章位移、应力变分法（8学时）
四、教材及主要参考资料
教材:自编讲义。
参考书: 《弹性力学》徐芝纶编著高等教育出版社
《弹性和塑性力学的变分法》鹫津久一郎著《广义变分原理》钱伟长著。
经典物理学中的变分问题
经典物理学中的变分问题变分问题是数学中的一个重要分支，也是物理学中的一个基础性问题。
它通过一个函数的最大值或最小值来描述物理系统的性质。
变分问题的研究直接涉及到很多领域的问题，包括力学、电磁学、热力学等等。
本文将重点讨论经典物理学中的变分问题，介绍变分问题的基本定义和求解方法，同时介绍变分问题在物理学中的应用。
1. 变分问题的基本定义变分问题是一个在函数空间内的极值问题，它是一种求解特定函数的变化情况和性质的方法。
通常情况下，变分问题描述的是给定函数的最小值或最大值。
它的基本形式为：Minimize J(y) = ∫ a b f(x, y, y') dx其中，f(x, y, y')是与函数y及其导数有关的函数，a、b是区间端点。
变分问题不仅是数学中的一个重要问题，同时也是物理学中的一个基础性问题。
物理学中的变分问题主要源于拉格朗日力学和哈密顿力学，通过解决变分问题可以得到物理系统的规律和性质。
2. 变分问题的求解方法为了求解变分问题，需要采用数学中的一些工具和方法。
下面是求解变分问题的一些基本方法：2.1 欧拉-拉格朗日方程欧拉-拉格朗日方程是用来求解变分问题的一种重要方法。
它的基本形式为：∂f/∂y- d/dx (∂f/∂y')=0其中 f(x, y, y')是拉格朗日量，y(x)是定义在区间[a,b]上的未知函数。
欧拉-拉格朗日方程的解是y(x)的一条光滑曲线。
2.2 经典极小化方法经典极小化方法是另一种用来求解变分问题的方法，它的基本思想是极小化给定函数J(y)。
此方法的优点是可以求解非线性、高阶和多维问题，但缺点是计算量较大。
2.3 线性变分法线性变分法是一种求解变分问题的特殊方法，仅适用于一些简单的线性问题。
线性变分法的基本思想是将变分问题转化为一个线性问题，然后再求解它。
3. 变分问题在物理学中的应用变分问题在物理学中有广泛的应用。
下面介绍几个典型的例子：3.1 悬链线问题悬链线问题是最早的变分问题之一。
变分法基本原理
变分法基本原理【1】变分法（Variational method）是一种数学方法，用于解决泛函的极值问题。
泛函是把函数映射到实数的映射，而泛函的极值问题是要找到使得泛函取得极值的函数。
变分法广泛应用于物理学、工程学、应用数学等领域中的最优化问题。
【2】变分法的基本原理可以概括为以下几个步骤：步骤一：定义泛函首先，要明确定义所研究的泛函。
泛函可以是一个函数的积分、一个函数的级数或者其他数学表达式。
要根据具体问题的特点来选择合适的泛函。
步骤二：提出变分函数接下来，通过引入一个假设的函数（称为变分函数）作为泛函的自变量，使泛函成为这个变分函数的函数。
变分函数通常具有一定的约束条件，如满足特定边界条件或其他限制条件。
步骤三：计算变分利用变分函数的小扰动，即在该函数上加上一个小的修正项，计算泛函的变分。
变分是泛函在变分函数上的一阶近似变化率。
步骤四：应用欧拉-拉格朗日方程将变分代入到泛函中，得到泛函的表达式。
然后，通过应用欧拉-拉格朗日方程，将泛函转化为一个微分方程。
这个微分方程是通过对变分函数求导，然后令导数为零得到的。
步骤五：求解微分方程解决微分方程，得到最优解的表达式。
这个最优解是使得泛函取得极值的函数。
【3】变分法的基本原理是通过引入一个变分函数，将泛函的极值问题转化为求解一个微分方程的问题。
这种方法的优势在于可以将复杂的极值问题转化为求解微分方程的问题，简化了求解的过程。
【4】变分法在物理学中的应用非常广泛。
例如，它可以用于求解经典力学中的最小作用量原理，即通过将作用量泛函取极值来得到物体的运动方程。
此外，变分法还可以应用于量子力学中的路径积分方法、场论中的泛函积分等问题的求解。
【5】总之，变分法是一种数学方法，用于求解泛函的极值问题。
它的基本原理是通过引入一个变分函数，将泛函的极值问题转化为求解一个微分方程的问题。
变分法广泛应用于物理学、工程学、应用数学等领域，并具有很好的应用前景。
变分法
§1 变分法简介作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：约翰·伯努利（Johann Bernoulli ，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem ）。
它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。
这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。
约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。
后来欧拉（Euler Lonhard ，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。
有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题(The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。
在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary ）。
伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。
变分法基本引理
变分法基本引理变分法是数学中一种重要的数学工具，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
其基本引理为变分法的核心思想，是变分法的基础和出发点。
本文将围绕变分法基本引理展开讨论，介绍其基本概念、原理和应用。
一、引言变分法是数学中研究变量函数的极值问题的一种方法。
其基本思想是通过将极值问题转化为一个函数的极值问题，从而求解原问题。
变分法的基本引理是变分法的基础，为后续的推导和应用提供了重要的理论支持。
二、变分法基本引理的概念变分法基本引理是对于函数的变分的一种数学表述。
它指出，如果函数在某一点处取得极值，那么在该点处的变分为零。
换言之，如果一个函数在某一点处的变分不为零，那么该点不是函数的极值点。
三、变分法基本引理的原理变分法基本引理可以通过泛函导数的概念来理解。
泛函导数是对函数的变分的一种推广，它表示函数在某一点处的变分相对于该点处的微小变动的比率。
根据变分法基本引理，如果一个函数在某一点处的泛函导数为零，那么该点是函数的极值点。
四、变分法基本引理的应用变分法基本引理在实际问题中有着广泛的应用。
以经济学为例，我们可以将经济系统的效用函数看作一个泛函，通过变分法求解该泛函的极值，得到最优的经济决策。
类似地，变分法在物理学中的应用也十分广泛，例如用于求解最短路径、最小作用量和最小曲面等问题。
五、变分法基本引理的思考虽然变分法基本引理在理论和应用上都具有重要的意义，但在实际问题中的应用也面临一定的挑战。
首先，变分法需要对变分进行严格的数学推导，这对于一些复杂的问题来说是一项困难的任务。
其次，变分法在求解极值问题时并不一定能得到全局最优解，而可能仅能得到局部最优解。
六、结论变分法基本引理是变分法的核心思想，是变分法的基础和出发点。
通过对变分法基本引理的理论分析和应用示例的介绍，我们可以看到变分法在实际问题中的重要性和应用价值。
在今后的研究和应用中，我们应进一步深化对变分法的理解，不断拓展其应用领域，为解决复杂问题提供更有效的数学工具。
数学的变分法
数学的变分法数学的变分方法是一种研究函数变化的数学工具，被广泛应用于数学分析、物理学等领域。
它通过寻找函数的变化率最小值或最大值，揭示了许多自然界和社会现象的规律。
本文将介绍变分法的基本原理和主要应用，以及一些经典的变分问题。
一、变分法的基本原理在介绍变分法之前，我们需要先了解变分和变分算子的概念。
变分是指通过微小的函数偏移来研究一个函数的性质。
而变分算子是对这种微小的函数偏移进行数学上的描述。
变分法的基本思想是通过对一个函数进行变分，得到它的一阶变分和二阶变分，然后利用边界条件和变分的性质，求解出变分方程的解。
具体步骤如下：1. 假设函数的解是一个特定形式的函数表达式，其中包含一个或多个未知的参数。
2. 对这个函数进行变分，得到函数的一阶变分和二阶变分。
3. 将变分代入原方程，得到一个含有未知参数的函数方程。
4. 利用边界条件，求解出未知参数的值。
5. 将参数代入原方程，得到函数的解。
二、变分法的主要应用变分法具有非常广泛的应用领域，下面将介绍其中的几个重要应用。
1. 物理学中的作用量原理作用量原理是变分法在物理学中的重要应用之一。
它通过对作用量进行变分，得到物理系统的基本方程。
作用量原理在经典力学、电磁学、量子力学等领域均有广泛应用，是研究物理系统的基本工具。
2. 凸优化问题凸优化是变分法在应用数学领域的典型应用之一。
它研究如何寻找一个凸函数的最小值或最大值。
变分法可以帮助我们建立凸函数的变分问题，并通过求解变分问题来解决凸优化问题。
3. 经典的变分问题变分法在数学中的一个重要应用是解决一些经典的变分问题，比如著名的布拉赫罗恩极小曲面问题。
这个问题是在确定一个特定边界条件下，找到曲面的形状使其表面积最小。
三、经典的变分问题经典的变分问题是对变分法应用的经典案例，下面将介绍其中的两个。
1. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中的一个基本方程，描述了微观粒子的运动行为。
通过对薛定谔方程进行变分，可以得到微观粒子的能量本征值和能量本征态。
数学中的变分法
数学中的变分法数学中的变分法是一种重要的数学分析方法，它在各个领域具有广泛的应用。
本文将介绍变分法的基本概念、原理和应用，以及一些典型的例子。
一、基本概念1.1 变分问题在数学中，变分法主要用于研究变分问题。
所谓变分问题，是指要找到一个函数，使得特定的泛函取得极值。
泛函是一个对函数进行操作的函数，通常表示为一个积分形式。
1.2 泛函泛函是一个映射，它将一个函数空间中的每个函数映射到一个实数。
泛函的极值问题是变分法关注的核心内容。
二、原理与方法2.1 欧拉-拉格朗日方程变分法的核心思想是通过欧拉-拉格朗日方程来求得泛函的极值。
欧拉-拉格朗日方程是微分方程的一种形式，其推导基于变分学习中的一些基本假设。
2.2 性质与特点变分法具有以下性质和特点：（1）对连续问题和离散问题皆适用；（2）使用变分法可以简化求解过程；（3）可以应用于求解一些无法通过传统数学方法解决的问题。
2.3 常用方法常见的变分法方法包括变分法、极大极小值原理、最小二乘方法等。
这些方法在不同的数学问题中有不同的应用。
三、应用领域3.1 物理学中的应用变分法在物理学中有广泛的应用，例如，它可以用于解决力学、电磁学、量子力学等领域的问题。
其中，著名的费马原理和哈密顿原理就是基于变分法的。
3.2 工程学中的应用在工程学中，变分法可以应用于结构力学、流体力学、电气工程等领域。
例如，通过应用变分法，可以得到最优化设计问题的解。
3.3 经济学中的应用变分法在经济学中也有一些应用。
例如，在经济学中，当我们面临一个最优决策问题时，可以把问题转化为一个泛函的极值问题，并使用变分法求解。
四、典型例子4.1 最短路径问题最短路径问题是图论中的一个经典问题。
我们可以通过变分法来解决最短路径问题，其中泛函表示为路径长度的积分形式。
4.2 边值问题边值问题是微分方程中常见的问题。
通过应用变分法，我们可以将边值问题转化为泛函的极值问题，并进一步求解。
4.3 牛顿-莱布尼兹公式牛顿-莱布尼兹公式是微积分中的重要定理之一。
变分法基础 老大中
变分法基础老大中引言变分法是一种应用数学中的方法，用于求解函数极值问题。
它通过对函数的一次变化（即变分）来推导出极值条件，从而得到函数的极值。
变分法广泛应用于物理学、工程学和经济学等领域，是一种强大且灵活的工具。
本文将介绍变分法的基础知识和应用。
变分问题的基本概念在介绍变分法之前，我们先来了解一下变分问题的基本概念。
变分问题通常涉及一个函数和一个约束条件，我们的目标是找到满足约束条件的函数，使得某个性能指标最优化。
假设我们有一个函数y(x)，其中x为自变量，y为因变量。
我们希望找到一个函数y(x)，使得满足一定的约束条件，并且某个性能指标最小或最大。
这个问题可以表示为一个函数的极值问题，可以通过变分法来解决。
变分法的基本原理变分法的基本原理是在一个函数的变化上进行优化。
我们假设y(x)是我们想要优化的函数，而y(x)+δy(x)是一个与y(x)相近的函数，其中δy(x)是一个变分。
变分表示函数y(x)的微小变化。
通过对变分进行操作，我们可以得到一个优化问题。
欧拉-拉格朗日方程变分法的重要工具是欧拉-拉格朗日方程。
欧拉-拉格朗日方程给出了在满足约束条件的情况下，函数极值点的一种判定方法。
欧拉-拉格朗日方程可以通过对变分法的应用来推导出来。
欧拉-拉格朗日方程的一般形式如下：$$\\frac{{\\partial F}}{{\\partial y}} -\\frac{{\\mathrm{d}}}{{\\mathrm{d}x}}\\left(\\frac{{\\partial F}}{{\\partialy'}}\\right) = 0$$其中，F是一个与y(x)和y’(x)相关的函数，y’表示y关于自变量x的导数。
这个方程可以通过变分法推导出来，并且是变分问题的一个重要结论。
示例：求解最短路径问题我们可以通过一个具体的例子来演示变分法的应用。
假设我们想要求解两点间的最短路径问题。
设我们有一个平面上的点A和点B，我们希望找到连接点A和点B的最短路径。
(完整版)变分法简介(简单明了易懂)
§1 变分法简介作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：约翰·伯努利（Johann Bernoulli ，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem ）。
它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。
这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。
约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。
后来欧拉（Euler Lonhard ，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。
有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。
在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary ）。
伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。
变分基本知识及变分法
第一章 变分原理与变分法1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则）一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理：昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理；对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。
变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。
Examples :① 光线最短路径传播；② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）；③CB AC EB AE +>+Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理；在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。
二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论数学上的泛函定义定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间的（映射）关系特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→⊂r J )(|}Examples :① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间 数域‖A ‖1 = ∑=ni ij ja 1max ；∑=∞=nj ij ia A 1max；21)(1122∑∑===n j ni ij a A② 函数的积分： 函数空间数域 D ⊂=⎰n ba n f dxx f J )(Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。
Discussion ：① 判定下列那些是泛函：)(max x f f b x a <<=；x y x f ∂∂),(； 3x+5y=2； ⎰+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。
物理问题中的泛函举例① 弹性地基梁的系统势能i. 梁的弯曲应变能： ⎰=∏l b dx dxw d EJ 0222)(21ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ⎰=∏0221 iii. 外力位能： ⎰-=∏l l qwdx 0iv. 系统总的势能：000;})({221222021===-+=∏⎰dxdww x dx qw kw dxw d EJ l泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系统势能。
变分基本知识及变分法
第一章 变分原理与变分法1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则）一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理：昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理；对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。
变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。
Examples :① 光线最短路径传播；② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）；③CB AC EB AE +>+Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理；在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。
二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论数学上的泛函定义定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间的（映射）关系特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→⊂r J )(|}Examples :① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间 数域‖A ‖1 = ∑=ni ij ja 1max ；∑=∞=nj ij ia A 1max；21)(1122∑∑===n j ni ij a A② 函数的积分： 函数空间数域 D ⊂=⎰n ba n f dxx f J )(Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。
Discussion ：① 判定下列那些是泛函：)(max x f f b x a <<=；x y x f ∂∂),(； 3x+5y=2； ⎰+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。
物理问题中的泛函举例① 弹性地基梁的系统势能i. 梁的弯曲应变能： ⎰=∏l b dx dxw d EJ 0222)(21ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ⎰=∏0221 iii. 外力位能： ⎰-=∏l l qwdx 0iv. 系统总的势能：000;})({221222021===-+=∏⎰dxdww x dx qw kw dxw d EJ l泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系统势能。
变分法及其应用
变分法及其应用1．变分问题2．泛函与泛函的极值3．变分基本定理4．无约束泛函的极值问题5．带约束泛函的极值问题6．变分法在最优控制中的应用1. 变分问题变分法是17世纪末开始发展起来的一个数学分支。
微积分研究了函数的极值。
变分法是为了研究泛函的极值问题而产生的。
而泛函的极值问题在力学、最优控制等领域经常遇到。
为了解变分法所研究问题的特点，先介绍几个例子。
例 1.1（最速降线问题）。
设一质量为m 的质点，在重力作用下，从定点A 沿曲线下滑到定点B ，试确定一条曲线，使质点下滑的时间最短。
假定（1）A ，B 两点不在同一铅直线上，（2）质点在A 点处的初速为0v ，（3）不计曲线上的摩擦力和周围介质的阻力。
取坐标系xOy ，A 点的坐标为00(,)x y ， B 点的坐标为11(,)x y ，过A ，B 两点任取一条 光滑曲线l ，设其方程为01:(),l y y x x x x =≤≤。
若质点从点A 沿曲线l 下滑到任意一点(,)P x y 处的速率为v ，由能量守恒定律可得22001()()2m v v mg y y -=-， 其中g 为重力加速度。
记 图1.1 最速降线2002v y gα=-， 则v =若s 表示弧 AP 的长度，由微分学知识，dsv dt=，并且ds =，则ds dt v ==。
沿曲线l 从A 点下滑到B 点所需时间为1xTldsT dtv===⎰⎰⎰。
（1.1）对于过A，B两点的每一条光滑曲线l，由积分（1.1）都有唯一确定的T值与之对应，即T是依赖于曲线()y y x=的，不妨记[]T T y=。
如果记集合1010011{()|()[,],(),()}D y x y x C x x y x y y x y=∈==，则最速降线问题归结为在集合D上求泛函[]T T y=的极小值问题，即求()y x D∈，使得1minxx=⎰。
这个问题由约翰.贝努利（Johann Bernoulli）1696年提出并研究。
求解高等数学常见的变分法问题
求解高等数学常见的变分法问题在高等数学中，变分法是一个极为重要的工具。
在求解有关泛函、微积分、微分方程等等的问题时，也需要用到这种方法。
但对于大部分学生来说，面对变分法的问题时，会感到畏惧和无从下手。
因此，本文将详细地探讨求解高等数学常见的变分法问题的方法和技巧。
一、变分法的定义及原理变分法是处理问题时用到的一种数学方法，它是数学、物理、工程、经济等领域中的一种常用工具。
所谓变分法，简单来说，就是研究某个函数的性质时，通过对这个函数进行变化，从而获得其性质的方法。
比如，对于某个函数，我们可以通过对它进行微小的变化，从而求出其最小值或最大值。
变分法的原理基于泛函的极值问题。
泛函是一种映射，用于将函数的集合映射到实数集上。
在变分法中，我们需要寻找一个函数，使得其在给定的条件下可以使泛函达到最小值或最大值。
这种方法被广泛应用于很多领域，例如物理学、建筑学、工程学等等。
二、常见的变分法问题以下是一些常见的变分法问题：1. 求解最速降线问题：对于两个点，通过曲线连接它们，使得路径的长度最短。
2. 求解布尔诺利问题：对于液压机械，如何使得机械的液压能最大化。
3. 求解拉盖朗日问题：根据给定的约束条件，如何使得泛函的极值最小。
4. 求解哈密顿问题：对于系统的某些能量和约束的变化，如何寻找系统的变化量。
5. 求解凸性问题：研究某种特殊的函数，寻找其函数图像的性质。
这些问题是变分法的经典问题，它们在高等数学中被广泛地讨论。
三、求解变分法问题的方法对于上述这些变分法问题，求解的方法总体上可以分为以下几个步骤：1. 确定泛函及函数空间：首先需要确定泛函的形式以及函数属于哪个函数空间。
2. 利用欧拉-拉格朗日方程：此方程是变分法求解问题的关键，它可以将泛函最佳化问题转换成求解常微分方程问题。
3. 求解常微分方程：根据欧拉-拉格朗日方程构造一个常微分方程，并利用一系列技巧求解该方程。
4. 求解极值：将所求得的解代入泛函中，最终得到泛函的极值。
变分法的基本原理
变分法的基本原理
变分法是一个数学和物理学中的基本原理，用于解决求极值的问题。
它的基本思想是将要求解的函数表示为一个参数化的函数形式，然后根据极值的必要条件，通过对函数进行变分操作，得到一个关于未知参数的方程，进而求解该方程来确定极值。
具体来说，假设我们要求解一个函数f(x)，其中x是一个变量，而f(x)是一个依赖于x的函数。
我们将f(x)写成x的函数形式：f(x) = F[x(x)]，其中F[x(x)]是一个关于函数x的函数。
现在，
我们希望找到使函数f(x)取得极值的函数x(x)，即要找到满足
条件δf(x) = 0的函数x(x)。
在变分法中，我们引入一个待定函数z(x)作为近似解，称为变
分函数。
我们可以写成x(x) = z(x) + εη(x)，其中ε是一个无穷
小量，η是一个任意函数。
将近似解代入到δf(x) = 0的表达式中，并保留到一阶无穷小量，得到一个关于η(x)的方程。
然后，我们要求满足边界条件的η(x)，以唯一确定满足条件δf(x) = 0
的近似解z(x)。
最后，我们解决这个方程，得到满足条件δf(x) = 0的函数z(x)，即原始问题的近似解。
然后，我们可以通过适当的数值计算或者分析来确定z(x)的特征和性质，从而得到原始问题的极值解
或最优解。
总的来说，变分法通过引入一个待定函数作为近似解，将原问题转化为求解方程的问题。
通过对近似解进行变分操作，得到一个关于未知参数的方程，并通过解决这个方程来确定极值解。
这种方法在数学和物理学的许多领域中都有广泛的应用，包括优化问题、微分方程、泛函分析等。
第一章 变分法的基本问题
)e t
公式（2.19）给出了具体的必要条件： 0 [欧拉方程] 2 j ( j ) 0 其中 2 1 由于这个方程是齐次的，它的通解为：
* (t ) A1er1t A2er 2t
T
0
d p(t ) Fy Fy dt 0 dt
（2.17)
步骤3 由于p(t ) 是任意的，因此可以得到： d Fy Fy 0 对于所有 t [0, T ] (2.18) dt 欧拉方程 d 或 Fy Fy 对于所有 t [0, T ] (2.18) dt
T T dV d Fy p(t )dt p(t ) Fydt 0 0 0 d dt
T T dV d 以上推导得到： Fy p(t )dt p(t ) Fydt 0 0 0 d dt dV 对推导得到的 进行整理： d T T dV d Fy p(t )dt p(t ) Fydt 0 0 d dt
一、社会损失函数 2 2 社会损失函数为： (Y f Y ) p ( 0) (2.39) 其中， Y 为实际收入，Y f 为理想实际收入，p 为实际 通货膨胀率。 Y f Y与 p 的关系用附加预期的菲利普斯曲线来表示： p (Y f Y ) ( 0) (2.40) 其中， 表示预期通货膨胀率。 预期通胀率 的形成被假定为自适应的： (2.41) ( d dt) j( p ) (0 j 1) 由（2.40)式和(2.41)式，得： j (Yf Y ) 重新整理，得： (Y f Y ) j (2.42) （2.42)式代入(2.40)式，得： p ( j ) (2.43) （2.42)和(2.43)式代入(2.39)式，得社会损失函数： ( , ) ( j )2 ( j )2 (2.44)
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)e t
公式（2.19）给出了具体的必要条件： 0 [欧拉方程] 2 j ( j ) 0 其中 2 1 由于这个方程是齐次的，它的通解为：
* (t ) A1er1t A2er 2t
（2.14）
T T dV 以上推导得到： Fy p (t )dt Fy p(t )dt 0 0 0 d 步骤2
根据分部积分公式：
t b
t a
vdu vu t a udv
t a
t b
t b
（2.15）
令 v Fy 和 u p(t ) 。于是我们得到：
2
V ( y) (ty y2 )dt
0
T
F ty y
因为y(0) y(1) 1, 所以c1 1 4 和c2 1,
1 2 1 因此，极值曲线为：y t t 1 4 4
*
第二节 欧拉方程的推广
一、多个状态变量的情况
当给定问题中具有 n 1 个状态变量时，泛函变为：
( n1) 设y x1, y x2 ,, y xn1
那么高阶导数泛函可以转化为多个状态变量的泛函:
dt V y, x1,, xn 1 T 0 F [t , y , x1 ,, xn 1 , xn 1 ]
第三节 应用——通货膨胀和失业之间的折衷
d Fy 0 (2.18) 以上推导得到欧拉方程： Fy dt
步骤4 因为F是一个具有三个自变量 (t , y, y) 的函数， 所以偏导数 Fy 也是具有三个同样自变量的函数。
dFy
Fy dy Fy dy dt t y dt y dt Fty Fyy y(t ) Fyy y(t )
dt V y1 ,, yn T 0 F [t , y1 ,, yn , y1 ,, yn ]
并且对于每个状态变量都有一对初始条件和终结条件。
n 个变量的欧拉方程组为： d Fyj Fyj 0 对于所有 t [0, T ] dt
( j 1,2,, n)
特征方程(9.43)的解称为特征根或特征值.
显然 , 函数 y=eλx 是方程 (9.42) 的解的充分必要
条件是,常数λ为特征方程(9.43)的解,即λ为特征根. 由上述分析可知 , 求方程 (9.42) 特解的问题转 化为求特征方程(9.43)的根的问题. λ2+aλ+b=0 (9.43)
因特征方程(9.43)是λ的二次代数方程,故可能 有两个根,记为λ1, λ2.下面根据判别式 > △=a2－4b< =0 (9.44)
例：垄断企业的利润函数
垄断企业的动态需求函数： Qd D( P, P)
Qs D( P, P) 垄断企业的总收益函数：R PQ R( P, P) 垄断企业的总成本函数：C C (Q) C[ D( P, P)]
Qs Qd
垄断企业的总利润函数：
R C R( P, P) C[ D( P, P)] ( P, P)
T
0
d p(t ) Fy Fy dt 0 dt
（2.17)
步骤3 由于p(t ) 是任意的，因此可以得到： d Fy Fy 0 对于所有 t [0, T ] (2.18) dt 欧拉方程 d 或 Fy Fy 对于所有 t [0, T ] (2.18) dt
*
(2.27)
*
这几个方程与边界条件一起,可以确定解 y1 (t ), , yn (t )
二、高阶导数的情况
考虑一个含有 y ( t ) 的高阶导数的泛函，即：
(n) V y T F [ t , y , y , y , , y ]dt 0
( n 1) 并且 y, y , y ,, y 都有一对初始条件和终结条件,即 共有 2 n 个边界条件。 可以转化为含有 n 个状态变量及其一阶导数的一个等 价函数：
s.t.
y (0) A y (T ) Z
y(t ) y* (t ) p(t )
* y (t ) y ' (t ) p(t )
dt V ( y ) T 0 F [t , y (t ), y (t )]
变为：
V ( ) F[t , y* (t ) p(t ), y* ' (t ) p(t )]dt
的三种不同情况,分别进行讨论.
(1) △>0时,特征根为相异实根:
1 1 (a ), 2 ( a ) 2
这时齐次方程(9.42)有两个特解
(9.45)
y1 e ,
1x
y2 e
x
2 x
y1 ( 1 2 ) x e e 因 y2
为
常数
故特解y1和y2线性无关.因此,方程(9.42)的通解
[通解]
1 2 , r 4 其中 r 1 2 2 并且可知， r 1 0和 r 2 0 设 t 0 和 t T ，并利用边界条件得： r1T r 2T A A2e 0 A 1e 1 A 2 0 r 2t r1t e e 解这两个方程，得： A1 r1t 0 r 2 t A2 r1t 0 r 2 t e e e e r 1 0, r 2 0 A 1 0, A 2 0
dFy du dv dt p(t )dt dv dt dt 和 du dt dt dt
把这些表达式代入（2.15），其中a=0，b=T。我们得到： T d T T d T p(t ) Fydt F p ( t ) dt F p ( t ) p ( t ) F dt y y y 0 0 0 0 dt dt
（2）开始状态
t y(t )
y(t )
（3）弧的前进方向
y(t ) dy / dt
存在某个函数F，将弧值赋予弧，即从无限小的弧 (曲线)到弧值(实数)的影射，表示为：F[t , y(t ), y' (t )]
目标泛函就是弧值之和：V [ y]
t
T
0
F[t , y(t ), y' (t )]dt
具有边界条件：y(0) y(1) 1
Fy t 2 y Fy 0 d d Fy ，可得： Fy 0 根据欧拉方程 Fy dt dt Fy 常数 t 2 y 常数 1 y t c1 2 1 2 * 根据直接积分，得 y 4 t c1t c2
T F T F dy dV F dy dt ( )dt 0 0 d y d y d T Fy p(t ) Fy p(t ) dt
y(t )
y(t )
0
我们得到极值曲线的必要条件的更具体的形式：
T T dV Fy p (t )dt Fy p(t )dt 0 0 0 d
附录：二阶常系数齐次线性方程的通解
二阶常系数非齐次线性微分方程一般形式为
y'' ay' by f ( x )
(9.41)
其中a,b为已知常数,f(x)为已知函数 .称f(x)为方程
(9.41)的非齐次项.方程(9.41)的对应齐次方程为
y'' ay' by 0
(9.42)
加总T期的总利润函数，得到目标泛函：
T
0
( P, P)dt
如果收益函数或成本函数随时间变化，目标泛函：
T
0
(t , P, P)dt
第一节 欧拉方程
一、欧拉方程的推导
变分法的基本问题
最大化或最小化 V ( y )
T 0
F [t , y (t ), y(t )]dt ( A给定) (T , Z给定)
一、社会损失函数 2 2 社会损失函数为： (Y f Y ) p ( 0) (2.39) 其中， Y 为实际收入，Y f 为理想实际收入，p 为实际 通货膨胀率。 Y f Y与 p 的关系用附加预期的菲利普斯曲线来表示： p (Y f Y ) ( 0) (2.40) 其中， 表示预期通货膨胀率。 预期通胀率 的形成被假定为自适应的： (2.41) ( d dt) j( p ) (0 j 1) 由（2.40)式和(2.41)式，得： j (Yf Y ) 重新整理，得： (Y f Y ) j (2.42) （2.42)式代入(2.40)式，得： p ( j ) (2.43) （2.42)和(2.43)式代入(2.39)式，得社会损失函数： ( , ) ( j )2 ( j )2 (2.44)
第一章 变分法的基本问题
主要内容： 一、欧拉方程 二、欧拉方程的推广
允许的路径集合 （曲线）
路径值集合 （实线）
泛函的概念
通常函数：从实数到实数的映射。 泛函：从路径（曲线）到实数的映射。
目标泛函的概念
无限小的 一条弧
连续时间路径上识别一条弧，需要三样信息： (t ) y （1）开始时间
二、问题 政策制定者的目标： 最小化 ( , )et dt 0 满足 (0) 0
T
(T ) 0 (T给定) 和 三、解路径 被积函数为： F ( , )e t
j 1 2 t F 2( ) e 2 2 j j 2 t 1 2 t F e 二阶导数： F 2( )e 2 2 j j 1 2 t Ft 2 ( ) e 2 j2 j