第一章 变分法的基本问题

T F T F dy dV F dy dt ( )dt 0 0 d y d y d T Fy p(t ) Fy p(t ) dt
y(t )
y(t )
0
我们得到极值曲线的必要条件的更具体的形式：
T T dV Fy p (t )dt Fy p(t )dt 0 0 0 d
（2）开始状态
t y(t )
y(t )
（3）弧的前进方向
y(t ) dy / dt

存在某个函数F，将弧值赋予弧，即从无限小的弧 (曲线)到弧值(实数)的影射，表示为：F[t , y(t ), y' (t )]
目标泛函就是弧值之和：V [ y]
t


T
0
F[t , y(t ), y' (t )]dt
d Fy 0 (2.18) 以上推导得到欧拉方程： Fy dt
步骤4 因为F是一个具有三个自变量 (t , y, y) 的函数， 所以偏导数 Fy 也是具有三个同样自变量的函数。
dFy
Fy dy Fy dy dt t y dt y dt Fty Fyy y(t ) Fyy y(t )
（2.14）
T T dV 以上推导得到： Fy p (t )dt Fy p(t )dt 0 0 0 d 步骤2
根据分部积分公式：

t b
t a
vdu vu t a udv
t a
t b
t b
（2.15）
令 v Fy 和 u p(t ) 。于是我们得到：

T
0
d p(t ) Fy Fy dt 0 dt
（2.17)
步骤3 由于p(t ) 是任意的，因此可以得到： d Fy Fy 0 对于所有 t [0, T ] (2.18) dt 欧拉方程 d 或 Fy Fy 对于所有 t [0, T ] (2.18) dt


附录：二阶常系数齐次线性方程的通解
二阶常系数非齐次线性微分方程一般形式为
y'' ay' by f ( x )
(9.41)
其中a,b为已知常数,f(x)为已知函数 .称f(x)为方程
(9.41)的非齐次项.方程(9.41)的对应齐次方程为
y'' ay' by 0
(9.42)
*
(2.27)
*
这几个方程与边界条件一起,可以确定解 y1 (t ), , yn (t )
二、高阶导数的情况
考虑一个含有 y ( t ) 的高阶导数的泛函，即：
(n) V y T F [ t , y , y , y , , y ]dt 0
( n 1) 并且 y, y , y ,, y 都有一对初始条件和终结条件,即 共有 2 n 个边界条件。 可以转化为含有 n 个状态变量及其一阶导数的一个等 价函数：
0
T
一、欧拉方程的推导
对于函数 I ( x)
y
y(t ) y* (t ) p(t )
F (t, x)dt a b I ( x) 莱布尼兹法则： Fx (t , x )dt a dx

b
y* (t ) p(t )
T t
步骤1 首先用 来表示V，并求导：
T * * V ( ) T F [ t , y ( t ), y ( t )] dt F [ t , y ( t ) p ( t ), y ' (t ) p(t )]dt 0 0
F的一阶导数： F 2(

)e t
公式（2.19）给出了具体的必要条件： 0 [欧拉方程] 2 j ( j ) 0 其中 2 1 由于这个方程是齐次的，它的通解为：
* (t ) A1er1t A2er 2t
( n1) 设y x1, y x2 ,, y xn1
那么高阶导数泛函可以转化为多个状态变量的泛函:
dt V y, x1,, xn 1 T 0 F [t , y , x1 ,, xn 1 , xn 1 ]
第三节 应用——通货膨胀和失业之间的折衷
s.t.
y (0) A y (T ) Z
y(t ) y* (t ) p(t )
* y (t ) y ' (t ) p(t )
dt V ( y ) T 0 F [t , y (t ), y (t )]
变为：
V ( ) F[t , y* (t ) p(t ), y* ' (t ) p(t )]dt
dt V y1 ,, yn T 0 F [t , y1 ,, yn , y1 ,, yn ]
并且对于每个状态变量都有一对初始条件和终结条件。
n 个变量的欧拉方程组为： d Fyj Fyj 0 对于所有 t [0, T ] dt
( j 1,2,, n)

加总T期的总利润函数，得到目标泛函：


T
0
( P, P)dt
如果收益函数或成本函数随时间变化，目标泛函：

T
0
(t , P, P)dt
第一节 欧拉方程
一、欧拉方程的推导
变分法的基本问题

最大化或最小化 V ( y )

T 0
F [t , y (t ), y(t )]dt ( A给定) (T , Z给定)
Biblioteka Baidu'' ay' by 0
(9.42)
设方程(9.42)有特解y=eλx,其中λ为待定常数.将
y e , y' e , y'' e
代入方程(9.42),得 (λ+aλ+b)eλx=0
x
x
2 x
由于eλx≠0,故由上式得 λ2+aλ+b=0 (9.43)
称代数方程(9.43)为方程(9.42)或(9.41)的特征方程,
例：垄断企业的利润函数

垄断企业的动态需求函数： Qd D( P, P)

Qs D( P, P) 垄断企业的总收益函数：R PQ R( P, P) 垄断企业的总成本函数：C C (Q) C[ D( P, P)]
Qs Qd
垄断企业的总利润函数：
R C R( P, P) C[ D( P, P)] ( P, P)
第一章 变分法的基本问题
主要内容： 一、欧拉方程 二、欧拉方程的推广
允许的路径集合 （曲线）
路径值集合 （实线）
泛函的概念
通常函数：从实数到实数的映射。 泛函：从路径（曲线）到实数的映射。
目标泛函的概念

无限小的 一条弧
连续时间路径上识别一条弧，需要三样信息： (t ) y （1）开始时间
的三种不同情况,分别进行讨论.
(1) △>0时,特征根为相异实根:
1 1 (a ), 2 ( a ) 2
这时齐次方程(9.42)有两个特解
(9.45)
y1 e ,
1x
y2 e
x
2 x
y1 ( 1 2 ) x e e 因 y2
为
常数
故特解y1和y2线性无关.因此,方程(9.42)的通解
二、问题 政策制定者的目标： 最小化 ( , )et dt 0 满足 (0) 0
T
(T ) 0 (T给定) 和 三、解路径 被积函数为： F ( , )e t
j 1 2 t F 2( ) e 2 2 j j 2 t 1 2 t F e 二阶导数： F 2( )e 2 2 j j 1 2 t Ft 2 ( ) e 2 j2 j
特征方程(9.43)的解称为特征根或特征值.
显然 , 函数 y=eλx 是方程 (9.42) 的解的充分必要
条件是,常数λ为特征方程(9.43)的解,即λ为特征根. 由上述分析可知 , 求方程 (9.42) 特解的问题转 化为求特征方程(9.43)的根的问题. λ2+aλ+b=0 (9.43)
因特征方程(9.43)是λ的二次代数方程,故可能 有两个根,记为λ1, λ2.下面根据判别式 > △=a2－4b< =0 (9.44)
dFy du dv dt p(t )dt dv dt dt 和 du dt dt dt
把这些表达式代入（2.15），其中a=0，b=T。我们得到： T d T T d T p(t ) Fydt F p ( t ) dt F p ( t ) p ( t ) F dt y y y 0 0 0 0 dt dt
[通解]
1 2 , r 4 其中 r 1 2 2 并且可知， r 1 0和 r 2 0 设 t 0 和 t T ，并利用边界条件得： r1T r 2T A A2e 0 A 1e 1 A 2 0 r 2t r1t e e 解这两个方程，得： A1 r1t 0 r 2 t A2 r1t 0 r 2 t e e e e r 1 0, r 2 0 A 1 0, A 2 0
一、社会损失函数 2 2 社会损失函数为： (Y f Y ) p ( 0) (2.39) 其中， Y 为实际收入，Y f 为理想实际收入，p 为实际 通货膨胀率。 Y f Y与 p 的关系用附加预期的菲利普斯曲线来表示： p (Y f Y ) ( 0) (2.40) 其中， 表示预期通货膨胀率。 预期通胀率 的形成被假定为自适应的： (2.41) ( d dt) j( p ) (0 j 1) 由（2.40)式和(2.41)式，得： j (Yf Y ) 重新整理，得： (Y f Y ) j (2.42) （2.42)式代入(2.40)式，得： p ( j ) (2.43) （2.42)和(2.43)式代入(2.39)式，得社会损失函数： ( , ) ( j )2 ( j )2 (2.44)


T T dV d Fy p(t )dt p(t ) Fydt 0 0 0 d dt
T T dV d 以上推导得到： Fy p(t )dt p(t ) Fydt 0 0 0 d dt dV 对推导得到的 进行整理： d T T dV d Fy p(t )dt p(t ) Fydt 0 0 d dt
2
V ( y) (ty y2 )dt
0
T
F ty y
因为y(0) y(1) 1, 所以c1 1 4 和c2 1,
1 2 1 因此，极值曲线为：y t t 1 4 4
*
第二节 欧拉方程的推广
一、多个状态变量的情况
当给定问题中具有 n 1 个状态变量时，泛函变为：
Fy

d 把它代入(2.18)式，即 Fy Fy 0，得： dt
Fy [Fty Fyy y(t ) Fyy y(t )] 0 Fyy y(t ) Fyy y(t ) Fty Fy 0
(2.19)
欧拉方程 的另一种 形式
例1 求下列泛函的极值曲线。
具有边界条件：y(0) y(1) 1
Fy t 2 y Fy 0 d d Fy ，可得： Fy 0 根据欧拉方程 Fy dt dt Fy 常数 t 2 y 常数 1 y t c1 2 1 2 * 根据直接积分，得 y 4 t c1t c2