函数导数知识点
(完整版)高中数学导数知识点归纳总结
§14. 导 数 知识要点1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim 0000. 注：①x ∆是增量，我们也称为“改变量”，因为x ∆可正，可负，但不为零.②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ⊇. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系：⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ∆+=0，则0x x →相当于0→∆x .于是)]()()([lim )(lim )(lim 000000x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=∆+=→∆→∆→).()(0)()(lim lim )()(lim )]()()([lim 000'0000000000x f x f x f x f xx f x x f x f x x x f x x f x x x x =+⋅=+⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=→∆→∆→∆→∆⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为xx x y ∆∆=∆∆||，当x ∆＞0时，1=∆∆x y ；当x ∆＜0时，1-=∆∆xy ，故x yx ∆∆→∆0lim不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-4. 求导数的四则运算法则：''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）)0(2'''≠-=⎪⎭⎫⎝⎛v v u v vu v u 注：①v u ,必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设x x x f 2sin 2)(+=，xx x g 2cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和=+)()(x g x fx x cos sin +在0=x 处均可导.5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ϕϕ=或x u x u y y '''⋅= 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数. ⑵常数的判定方法；如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数.注：①0)(φx f 是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)(φx f ，有一个点例外即x =0时f （x ） = 0，同样0)(πx f 是f （x ）递减的充分非必要条件.②一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理）当函数)(x f 在点0x 处连续时，①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注①： 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数：I.0'=C （C 为常数） x x cos )(sin '= 2'11)(arcsin xx -=1')(-=n n nx x （R n ∈） x x sin )(cos '-= 2'11)(arccos xx --=II. x x 1)(ln '=e x x a a log 1)(log '= 11)(arctan 2'+=x x x x e e =')( a a a x x ln )('= 11)cot (2'+-=x x arcIII. 求导的常见方法： ①常用结论：xx 1|)|(ln '=. ②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或))...()(())...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=两边同取自然对数，可转化求代数和形式.③无理函数或形如x x y =这类函数，如x x y =取自然对数之后可变形为x x y ln ln =，对两边求导可得x x x x x y y x y y xx x y y +=⇒+=⇒⋅+=ln ln 1ln '''.导数知识点总结复习经典例题剖析 考点一：求导公式。
导数知识点总结及例题
导数知识点总结及例题一、导数的定义1.1 函数的变化率在生活中，我们经常会遇到函数随着自变量的变化而发生变化的情况，比如一辆汽车的速度随着时间的变化而变化、货物的销售量随着价格的变化而变化等。
这种情况下，我们就需要考虑函数在某一点处的变化率，也就是导数。
对于函数y=f(x)，在点x处的变化率可以用函数的增量Δy和自变量的增量Δx的比值来表示：f'(x) = lim(Δx→0) (Δy/Δx)其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
利用导数的定义，我们可以计算得到函数在某一点处的变化率。
1.2 导数的几何意义导数还有一个重要的几何意义，它表示了函数曲线在某一点处的切线的斜率。
例如，对于函数y=x^2，在点(1,1)处的导数就代表了曲线在这一点处的切线斜率。
这也意味着，导数可以帮助我们理解函数曲线在不同点处的形状和走向。
1.3 导数存在的条件对于一个函数f(x)，它在某一点处的导数存在的条件是：在这一点处函数曲线的切线存在且唯一。
也就是说，如果函数在某一点处导数存在，那么这个点就是函数的可导点。
二、导数的性质2.1 导数与函数的关系导数是函数的一个重要属性，它可以帮助我们理解函数的性质。
例如，导数可以表示函数在某一点处的斜率，可以告诉我们函数曲线的凹凸性，还可以帮助我们找到函数的极值点等。
2.2 导数与导函数当一个函数在某一点处的导数存在时，我们可以使用导数的定义来求出函数在该点处的导数。
我们把这个过程称为求导，求出的导数称为导函数。
导函数的值就是原函数在对应点处的导数值。
2.3 导数的性质导数具有一些重要的性质，比如导数存在的条件、可导函数的和、差、积、商的导数求法则等。
这些性质是我们求解导数的问题时的重要依据，也是我们理解函数性质的基础。
三、求导法则3.1 基本求导法则基本求导法则是求解导数问题的基础，它包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等函数的导数求法。
函数导数的知识点总结
函数导数的知识点总结导数是微积分中一个非常重要的概念，它可以帮助我们研究函数的变化情况，求解最值，以及解决很多实际问题。
在这篇总结中，我们将从导数的定义、性质、求导法则以及应用等方面来详细讨论函数导数的相关知识点。
1. 导数的定义函数的导数可以理解为函数在某一点处的变化率，也可以看作函数在某一点处的斜率。
如果函数y=f(x)在某一点x处可导，则该函数在该点的导数可以表示为：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x))/h其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数，h表示自变量x的增量。
这个定义可以帮助我们理解导数的几何意义，即斜率的概念。
2. 导数的性质导数具有一些重要的性质，这些性质为我们进行导数计算提供了便利，也可以帮助我们更好地理解导数的意义。
（1）可导性与连续性：函数可导必然连续，但是连续函数不一定可导。
（2）导数与函数的关系：导数可以帮助我们研究函数的变化情况、求解函数的最值，并且导数还可以帮助我们判断函数的增减性以及函数的凸凹性。
（3）导数的性质：导数具有线性性、乘积规则、商规则等性质，这些性质为我们进行导数计算提供了便利。
3. 求导法则求导法则是求解导数的基本方法，掌握了这些法则可以帮助我们更高效地进行导数计算。
常见的求导法则包括：（1）常数法则：即常数的导数为0。
（2）幂函数法则：求解幂函数的导数。
（3）指数函数法则：求解指数函数的导数。
（4）对数函数法则：求解对数函数的导数。
（5）三角函数法则：求解三角函数的导数。
（6）复合函数法则：求解复合函数的导数。
（7）隐函数法则：求解隐函数的导数。
（8）参数方程法则：求解参数方程的导数。
4. 应用函数导数在实际问题中有着广泛的应用，包括但不限于：（1）求极值：导数可以帮助我们求解函数的最值，得到函数的极小值和极大值。
（2）判断函数的凸凹性：通过函数的二阶导数，可以帮助我们判断函数在某一区间上的凸凹性。
导数高考知识点总结（最全）
导数知识点归纳及应用●知识点归纳 一、相关概念 1．导数的概念函数y=f(x),y=f(x),如果自变量如果自变量x 在x 0处有增量x D ，那么函数y 相应地有增量y D =f （x 0+x D ）－）－f f （x 0），比值x yDD 叫做函数y=f y=f（（x ）在x 0到x 0+x D 之间的平均变化率，即x y D D =x x f x x f D -D +)()(00。
如果当0®D x 时，x y D D 有极限，我们就说函数y=f(x)y=f(x)在点在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim ®D x x y D D=0lim ®D x x x f x x f D -D +)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0®D x 时，x y D D 有极限。
如果xyD D 不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
处不可导，或说无导数。
（2）x D 是自变量x 在x 0处的改变量，0¹D x 时，而y D 是函数值的改变量，可以是零。
以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f y=f（（x ）在点x 0处的导数的步骤：处的导数的步骤： ① 求函数的增量y D =f =f（（x 0+x D ）－）－f f （x 0）； ② 求平均变化率x y D D =xx f x x f D -D +)()(00；③ 取极限，得导数f’(x 0)=xyx D D ®D 0lim 。
例：设f(x)= x|x|, f(x)= x|x|, 则则f ′( 0)= . [解析]：∵0||lim ||lim )(lim )0()0(lim 0000=D =D D D =D D =D -D +®D ®D ®D ®D x x xx x x f x f x f x x x x ∴f ′( 0)=02．导数的几何意义函数y=f y=f（（x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f y=f（（x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
大一高等数学导数知识点
大一高等数学导数知识点一、导数的定义及性质1.定义：设函数f(x)在点x0的一些邻域内有定义，若极限lim（h→0）[f(x0+h)-f(x0)]/h存在，称该极限为函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。
2.函数在一点处的导数表示函数在该点的变化速率，若导数大，则说明函数变化快；若导数小，则说明函数变化慢。
3.导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数等于其曲线在该点的切线斜率。
4.导数的性质：（1）可加性：(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)（2）可乘性：(f·g)'(x)=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)（3）常值函数的导数为0：(C)'=0（4）乘方函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1)（5）指数函数的导数：(a^x)' = a^x·ln(a)（6）对数函数的导数：(ln(x))' = 1/x（7）三角函数的导数：（i）(sin(x))' = cos(x)（ii）(cos(x))' = -sin(x)（iii）(tan(x))' = sec^2(x)（iv）(cot(x))' = -csc^2(x)（8）反三角函数的导数：（i）(arcsin(x))' = 1/√(1-x^2)（ii）(arccos(x))' = -1/√(1-x^2)（iii）(arctan(x))' = 1/(1+x^2)二、导数的计算法则1.基本计算法则：（1）常数的导数为0（2）幂函数求导：(x^n)' = nx^(n-1)（3）指数函数求导：(a^x)' = a^x·ln(a)（4）对数函数求导：(ln(x))' = 1/x（5）三角函数和反三角函数的导数2.复合函数求导法则：设y=f(g(x))，则y'=f'(g(x))·g'(x)3.乘积法则：(f·g)'=f'·g+f·g'4.商积法则：(f/g)'=(f'·g-f·g')/g^25. 链式法则：若y=f(u)，u=g(x)，则dy/dx = dy/du·du/dx = f'(u)·g'(x)三、导数的应用1.切线方程：设函数f(x)在点x0处可导，其切线方程为y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)2.泰勒展开：对于具有n阶导数的函数f(x)，其泰勒展开式为：f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)^2/2!+…+f^n(x0)(x-x0)^n/n!+Rn(x)其中Rn(x)为拉格朗日余项，满足，Rn(x)，<=M，x-x0，^(n+1)，其中M为常数。
导数知识点归纳总结
导数知识点归纳总结一、导数的定义1. 导数的几何意义导数描述了函数在某一点的切线斜率，即函数曲线在该点的瞬时变化率。
在几何上，导数可以理解为函数曲线在某一点的切线斜率，它表示了函数在该点的瞬时变化情况。
2. 导数的代数定义设函数y=f(x)，在x=a处可导的充分必要条件是改点的柯西收敛序列极限为相同的值。
这个值就是在点a处的导数。
它是一个数值，常常用f'(a)表示。
3. 导数的表示导数通常用f'(x)、dy/dx或y'表示。
4. 导数的图形意义导数的图形意义是函数在某点处的导数等于该点处的切线的斜率，即在该点函数的线性增长率。
二、导数的性质1. 导数存在性函数在某点可导的充分必要条件是函数在该点连续，连续函数一定可以导。
2. 导数的基本性质导数满足加法性、乘法性、常数法则、幂法则、反函数法则、复合函数法则、分段函数法则等性质。
三、求导法则1. 基本函数的导数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的导数。
2. 导数的四则运算导数的四则运算包括两个导数相加、导数与常数相乘、导数的乘积法则、导数的商法则。
3. 高阶导数函数的二阶导数为对其一阶导数进行求导，即f''(x)=(f'(x))'，依次类推，得到高阶导数。
四、导数的应用1. 导数在最值问题中的应用y=f(x)在[a,b]上可导，且在[a,b]的端点不可导，则y=f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，它们一般在驻点或者在区间的端点。
2. 导数在凹凸性与拐点判别中的应用y=f(x)的凹凸性和拐点以及弯曲率的研究，主要利用f''(x)的正负性和零点。
3. 导数在函数图形的创作中的应用利用导数的计算公式，可以绘制函数的图形，描绘函数的特点，掌握图形的整体特征。
4. 导数在微分中的应用微分可以看作函数的变化量，它与导数之间有着密切的联系。
微分和导数的关系可以帮助我们求解函数的变化率、近似值、极限值等问题。
导数知识点概念归纳总结
导数知识点概念归纳总结1. 导数的定义导数的定义是建立在函数的极限概念上的。
设函数y = f(x)，在点x处的导数定义为：\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \]其中，Δx表示x的增量，当Δx趋于0时，上式的极限存在则称函数在点x处可导，这个极限的值就是函数在点x处的导数。
导数表示了函数在某一点处的变化率，可以理解为函数在这一点处的斜率。
2. 导数的性质导数具有一些基本性质，例如：（1）可导函数一定是连续函数，但连续函数不一定可导。
（2）导数存在的充要条件是函数在该点处有切线。
（3）可导函数在一点的导数等于该点的切线的斜率。
（4）导数具有线性运算性质，即\[ (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \]，\[ (k \cdot f(x))' = k \cdot f'(x) \]，其中f(x)和g(x)都是可导函数，k是常数。
（5）复合函数的导数公式，如果y = f(u)，u = g(x)，则\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]。
3. 导数的计算方法对于简单的函数，可以通过导数的定义进行计算。
但是对于一些复杂的函数，使用导数的定义进行计算过于繁琐，因此需要借助一些常用的导数公式和方法来进行计算。
（1）常用函数的导数公式常用函数的导数公式包括：- 幂函数的导数：\[ (x^n)' = nx^{n-1} \]，其中n是常数。
- 指数函数的导数：\[ (a^x)' = a^x \ln a \]，其中a是常数。
- 对数函数的导数：\[ (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} \]，其中a是常数。
- 三角函数的导数：\[ (\sin x)' = \cos x \]，\[ (\cos x)' = -\sin x \]，\[ (\tan x)' = \sec^2 x \]。
导数知识点汇总
导数知识点汇总1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0， 即f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)导数的几何意义函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率． (3)函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数． 2．基本初等函数的导数公式3．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．函数的单调性与导数的关系 已知函数f (x )在某个区间内可导，则(1)如果f ′(x )＞0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增； (2)如果f ′(x )＜0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减； (3)若f ′(x )＝0恒成立，则f (x )在这个区间内是常数函数． 5．理清导数与函数单调性的关系(1)f ′(x )>0(或<0)是f (x )在(a ，b )内单调递增(或递减)的充分不必要条件； (2)f ′(x )≥0(或≤0)是f (x )在(a ，b )内单调递增(或递减)的必要不充分条件 (f ′(x )＝0不恒成立)．注意：由函数f (x )在区间[a ，b ]内单调递增(或递减)，可得f ′(x )≥0(或≤0)在该区间恒成立，而不是f ′(x )>0(或<0)恒成立，“＝”不能少． 6．函数极值的概念函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值． 7．函数的最值（1）在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．（2）若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值． 8．定积分的概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 9．定积分的运算性质(1)⎠⎛a b kf (x ) d x ＝k ⎠⎛ab f (x ) d x (k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )] d x ＝⎠⎛a b f 1(x ) d x ±⎠⎛abf 2(x ) d x ；(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (a ＜c ＜b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x ) d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式．可以把F (b )－F (a )记为F (x )⎪⎪⎪b a，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪b a＝F (b )－F (a )．1．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.712解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3得x ＝0或x ＝1，由图易知封闭图形的面积S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝13－14＝112，故选A.2．⎠⎛01 1－x 2d x 的值为( )A ．2πB ．π C.π2 D.π4解析：如图，y ＝1－x 2(0≤x ≤1)表示以原点为圆心，半径为1的圆位于第一象限的弧，由几何意义知⎠⎛011－x 2d x 即为扇形的面积S ＝π4.3．一物体做变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为________m. 4．设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1的方向和x 轴正向相同，则变力F(x )对质点M 所做的功为________J. (x 的单位：m ，力的单位：N)．[解析](1)由题图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ， 0≤t ≤1，2， 1＜t ≤3，13t ＋1， 3＜t ≤6.因此该物体在12 s ～6 s 间运动的路程为s ＝⎠⎜⎛126v (t )d t ＝⎠⎜⎛1212t d t ＋⎠⎛132 d t ＋⎠⎛36⎝⎛⎭⎫13t ＋1 d t ＝t 2＋2t ⎪⎪⎪⎪31＋⎝⎛⎭⎫16t 2＋t ⎪⎪⎪⎪63＝494(m)． (2)由题意知变力F (x )对质点M 所做的功为⎠⎛110(x 2＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x ⎪⎪⎪⎪101＝342(J)．。
导数知识点总结大全
导数知识点总结大全一、基本概念1.1 导数的定义对于函数y = f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)，它定义为函数在该点的变化率。
导数可以用极限的概念来定义：\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]其中，h表示自变量x的小变化量，当h趋近于0时，这个极限就表示了函数在点x处的导数。
导数也可以表示为函数的微分形式，即dy = f'(x)dx。
1.2 导数的几何意义导数有着重要的几何意义，它表示了函数在某一点上的切线斜率。
对于函数y = f(x)，在点(x, f(x))处的切线的斜率恰好等于函数在该点的导数f'(x)。
这意味着导数可以描述函数在某一点的变化速率和方向。
1.3 导数的物理意义在物理学中，导数也有着重要的物理意义。
对于物理量s关于时间t的函数s(t)，它的导数s'(t)表示了速度的变化率，即s'(t) = ds/dt。
类似地，速度关于时间的函数v(t)的导数v'(t)表示了加速度的变化率，即v'(t) = dv/dt。
因此，导数在描述物理过程中的变化率和速度方面也有着重要的应用。
1.4 导数的符号表示导数的符号表示通常有几种形式，常见的包括f'(x)、dy/dx、y'等。
它们都表示对函数y =f(x)的自变量x求导所得到的结果，即函数在某一点上的变化率或者斜率。
二、导数的性质2.1 导数存在性对于一个函数f(x)，它在某一点上的导数可能存在也可能不存在。
如果函数在某一点上导数存在，那么称该函数在该点上可导。
对于大多数常见的函数，它们在定义域内是可导的，例如多项式函数、三角函数、指数函数等。
但也存在一些特殊的函数，在某些点上导数可能不存在，例如绝对值函数在原点处的导数就不存在。
2.2 导数的连续性如果一个函数在某一点上导数存在，并且它在该点上是连续的，那么称该函数在该点上是可微的。
高中数学导数知识点总结
高中数学导数知识点总结一、导数的基础1. 导数的定义- 导数表示函数在某一点的切线斜率。
- 符号表示：$f'(x)$ 或 $\frac{df}{dx}$。
2. 极限表达- 导数可以用极限表达：$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$。
3. 几何意义- 导数的几何意义是曲线在某一点的切线斜率。
二、导数的计算1. 基本导数公式- 常数函数：$(C)' = 0$。
- 幂函数：$(x^n)' = nx^{n-1}$（其中n为实数）。
- 指数函数：$(a^x)' = a^x \ln(a)$（其中a > 0且a ≠ 1）。
- 对数函数：$(\ln(x))' = \frac{1}{x}$。
- 三角函数：- $(\sin(x))' = \cos(x)$- $(\cos(x))' = -\sin(x)$- $(\tan(x))' = \sec^2(x)$2. 导数的运算法则- 和/差的导数：$(u \pm v)' = u' + v'$。
- 乘积的导数：$(uv)' = u'v + uv'$。
- 商的导数：$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$。
3. 链式法则- 如果有一个复合函数$g(f(x))$，则其导数为：$(g(f(x)))' = g'(f(x)) \cdot f'(x)$。
三、高阶导数1. 高阶导数的定义- 第二导数：函数的导数的导数，表示为$f''(x)$。
- 更高阶导数：同理，可以计算第三导数、第四导数等。
2. 高阶导数的计算- 通过重复应用导数的基本运算法则来计算。
四、导数的应用1. 切线问题- 利用导数求曲线在某一点的切线方程。
高中数学导数知识点归纳总结
高中数学导数知识点归纳总结1.导数的定义-函数f在a点可导的充分必要条件是：存在一个常数k，使得当自变量趋于a时，函数值与f(a)之差与自变量与a之差的比值的极限等于k。
这个常数k就是函数f在a点的导数。
- 导数的定义公式为：f'(x) = lim (f(x + △x) - f(x))/△x(△x→0)2.导数的基本运算法则- 常数法则：如果c是常数，那么dc/dx = 0-乘法法则：(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)-除法法则：(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/g(x)^2- 链式法则：如果y = f(u)且u = g(x)，那么dy/dx = dy/du *du/dx3.导数与函数的关系-函数f在点x=a处可导，则函数f在点x=a处连续。
-可导函数必定在其可导区间内连续，但是连续函数未必可导。
-导数存在的充分必要条件是函数在该点连续且有极限。
4.常见函数的导数- 幂函数：y = x^n，则y' = nx^(n-1)- 指数函数：y = a^x，则y' = a^x * ln(a)- 对数函数：y = ln(x)，则y' = 1/x- 三角函数：sin x的导数是cos x，cos x的导数是-sin x，tan x 的导数是sec^2x5.导数的几何意义-导数表示函数在其中一点上的切线的斜率。
-导数的绝对值表示函数在该点的变化速率，正表示增加，负表示减小。
6.导数的应用-求函数的极值点：对导数函数进行分析，找到其零点。
-求函数的单调区间：根据导数的正负性，确定函数在哪些区间上是增函数或减函数。
-求函数的最大值最小值：结合极值点和边界点来进行判断。
-求曲线的切线和法线：根据导数和函数在其中一点上的数值来确定切线和法线的斜率。
7.高阶导数和导数的计算-高阶导数表示对函数的导数进行多次求导的结果。
导数的知识点
导数的知识点：
导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在某一点的变化率。
以下是导数的一些基本知识点：
1.导数的定义：在数学上，函数f(x) 在某一点x 处的导数表示函数在该点处的变化率，通常记作f'(x) 或者dy/dx。
导数的定义是函数在该点附近的极限。
2.导数的几何意义：函数在某一点的导数可以理解为函数曲线在该点处的切线的斜率。
即，如果函数f(x) 在点x 处可导，则函数图像在该点处的切线的斜率就是f'(x)。
3.导数的计算：导数的计算可以通过多种方法，常见的包括使用导数的定义、求导法则以及常见函数的导数公式。
例如，多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等都有相应的求导公式。
4.导数的性质：导数具有一系列的性质，如常数函数的导数为零、函数和常数的乘积的导数等于函数的导数乘以常数、函数的和的导数等于各项的导数的和等。
5.高阶导数：函数的导数本身也可以再次求导，得到二阶导数、三阶导数等。
这些导数分别表示函数的变化率、变化率的变化率等。
6.导数的应用：导数在物理、工程、经济学等领域有着广泛的应用，如在物体运动学中描述物体的速度、加速度，优化问题中求解最优解，微分方程中描述动态系统的行为等。
导数是微积分的基础，也是应用数学中一个非常重要的工具，对于理解函数的性质和应用数学建模都起着至关重要的作用。
导数常用公式知识点总结
导数常用公式知识点总结一、导数的定义导数是一个函数在某一点的变化率或者斜率，可以看作是函数在该点附近的局部线性逼近。
若函数y=f(x)在点x=a处可导，则其导数f'(a)定义为：f'(a) = lim(h→0) [f(a + h) - f(a)] / h二、基本导数公式1. 常数函数的导数若f(x) = c（c为常数），则f'(x) = 02. 幂函数的导数若f(x) = x^n，则f'(x) = nx^(n-1)3. 指数函数的导数若f(x) = a^x（a>0，且a≠1），则f'(x) = ln(a) * a^x4. 对数函数的导数若f(x) = log_a(x)（a>0，且a≠1），则f'(x) = 1 / (x * ln(a))5. 三角函数的导数若f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)若f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)若f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)6. 反三角函数的导数若f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1 / sqrt(1 - x^2)若f(x) = arccos(x)，则f'(x) = -1 / sqrt(1 - x^2)若f(x) = arctan(x)，则f'(x) = 1 / (1 + x^2)7. 综合运用若f(x) = e^x * sin(x)，则f'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)三、导数的运算法则1. 导数的和与差的法则若f(x)和g(x)在点x处可导，则有：(a) (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)(b) (f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)2. 导数的积的法则若f(x)和g(x)在点x处可导，则有：(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)3. 导数的商的法则若f(x)和g(x)在点x处可导，且g'(x) ≠ 0，则有：(f(x) / g(x))' = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g^2(x)4. 复合函数的导数若y = f(g(x))，且f(u)和g(x)均可导，则有：y' = f'(g(x)) * g'(x)5. 反函数的导数若y = f^-1(x)，且f'(f^-1(x)) ≠ 0，则有：(dy / dx) = 1 / (dx / dy)四、高阶导数1. 一阶导数若f(x)在点x处可导，则其一阶导数记作f'(x)，表示函数在该点的斜率或变化率。
导数所有知识点
导数所有知识点导数是高中数学中的一个重要概念，它是微积分中的一部分。
导数是用来描述函数在某一点的变化率的。
在本篇文章中，我们将系统地探讨导数的所有知识点。
一、导数的定义导数的定义比较简单。
对于函数$f(x)$，在某一点$x_0$处的导数，可以表示为：$$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$其中，$h$表示自变量$x$的增量，即$x=x_0+h$。
这个式子的意义是，在$x_0$处，函数$f(x)$的变化率，与$x$的增量$h$越来越小时，变化率趋于什么值。
这个值就是在$x_0$处的导数。
二、导数的求法1. 暴力法：使用导数的定义式，逐项计算极限。
虽然这种方法直接，但不适用于复杂的函数。
2. 导数的基本公式：根据基本函数的导数公式（如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等）进行求导。
有些函数的导数需要用到其他公式，如积、商、复合等。
3. 隐函数求导法：当函数关系用方程式表示时，若是求某一变量的导数，常常使用隐函数求导法。
三、导数的性质导数具有许多重要的性质，这些性质在求导过程中非常有用。
下面列出几个主要的性质：1. 基本的加法性和乘法性，即$(f\pm g)'=f'\pm g'$，$(fg)'=f'g+fg'$。
这些公式的作用在于把复杂的函数化简成简单的函数求导。
2. 除法的导数公式：$\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$。
3. 链式法则：如果$y=f(u)$，$u=g(x)$，那么求$\dfrac{dy}{dx}$时需要用到链式法则，即$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}=f'(u)\cdot g'(x)$。
四、导数的应用导数有很多应用，常见的包括：1. 斜率和曲线的切线：通过求导数可以求出任意一点的切线斜率。
导数知识点总结最全
导数知识点总结最全一、导数的定义1. 函数的变化率在微积分中，导数是描述函数的变化率的重要工具。
当函数y=f(x)的自变量x在某一点x0处发生微小的增量Δx时，相应的函数值y也会发生微小的增量Δy，即Δy=f(x0+Δx)-f(x0)。
函数f(x)在点x0处的导数定义为：f'(x0)=lim(Δx→0)Δy/Δx=lim(Δx→0)(f(x0+Δx)-f(x0))/Δx该极限存在时，即函数f在点x0处可导，导数f'(x0)就是函数在该点处的变化率。
2. 函数的切线在直角坐标系中，当函数y=f(x)在点x0处可导时，我们可以利用导数来求得函数在该点处的切线。
设切线方程为y=kx+b，则k=f'(x0)，b=f(x0)-f'(x0)x0。
通过这个切线方程，我们可以比较精确地描述函数在某一点的近似变化情况。
二、连续性与可导性1. 连续函数的导数在实际应用中，我们常常需要研究函数在某一点的变化情况。
在微积分中，我们知道，如果函数在某一点可导，则该点也是函数的连续点。
也就是说，可导性是函数连续性的充分条件。
但是，连续性并不是可导性的充分条件，也就是说，函数在某一点连续并不一定可导。
2. 可导函数的连续性对于可导函数来说，它具有一定的光滑性，也就是说，可导函数在某一点处的导数存在且有定义。
因此，可导函数的图像具有一定的光滑性，没有明显的折线或者间断点。
3. 不可导的情况在实际应用中，我们也会遇到一些不可导的函数，这些函数的导数在某些点处不存在。
这种情况常常出现在函数图像发生角点、尖点、间断、垂直渐近线等情况下。
这些函数在不可导点处的导数通常需要通过极限或者其他方法来求得。
三、导数的计算1. 基本函数的导数在微积分中，我们需要掌握一些基本函数的导数。
这些基本函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。
这些基本函数的导数公式对于我们计算更加复杂的函数的导数有着非常重要的作用。
导数的知识点和典型例题
导数的知识点和典型例题导数的基本概念1. 导数的定义导数是微积分中的重要概念，表示函数在某一点上的变化率。
对于函数f(x)，在点x处的导数可以通过以下公式定义：其中，h表示x点附近的一个小增量。
该定义可以简化为下面的形式：2. 导数的几何意义导数的几何意义是切线的斜率。
对于曲线y=f(x)，在点(x, f(x))处的导数即为曲线在该点切线的斜率。
导数正值表示曲线逐渐上升，负值表示曲线逐渐下降。
3. 导数的物理意义导数在物理学中具有速度和加速度的物理意义。
对于位移函数s(t)，其导数s’(t)表示在时刻t的瞬时速度。
二阶导数s’’(t)则表示在时刻t的瞬时加速度。
导数的计算方法1. 基本函数的导数以下是一些常见的函数的导数公式：•常数函数：常数函数的导数为0。
•幂函数：幂函数f(x)=x n的导数为f’(x)=nx(n-1)。
•指数函数：指数函数f(x)=a x的导数为f’(x)=a x * ln(a)，其中ln(a)表示以e为底a的对数。
•对数函数：对数函数f(x)=log_a(x)的导数为f’(x)=1/(x * ln(a))，其中ln(a)表示以e为底a的对数。
•三角函数：三角函数的导数公式如下：–sin(x)的导数为cos(x)。
–cos(x)的导数为-sin(x)。
–tan(x)的导数为sec^2(x)。
•反三角函数：反三角函数的导数公式如下：–arcsin(x)的导数为1/sqrt(1-x^2)。
–arccos(x)的导数为-1/sqrt(1-x^2)。
–arctan(x)的导数为1/(1+x^2)。
2. 导数的基本运算法则导数具有一些基本的运算法则，便于计算更复杂函数的导数：•常数因子法则：对于函数y=c f(x)，其中c为常数，f(x)为可导函数，其导数为y’=c f’(x)。
•和差法则：对于函数y=f(x)±g(x)，其中f(x)和g(x)均为可导函数，其导数为y’=f’(x)±g’(x)。
函数的导数知识点总结
函数的导数知识点总结一、导数的定义1. 导数的概念导数是函数在某一点的切线斜率，也是函数在某一点的瞬时变化率。
在几何角度上，导数是函数图像上一点的切线的斜率。
2. 导数的定义对于函数f(x)，如果函数在点x处的导数存在，则导数定义如下：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h3. 导数的几何意义导数表示函数图像上某一点的切线斜率，即表示函数在该点的瞬时变化率。
二、导数的求法1. 导数的基本求法导数的基本求法有三种：（1）使用导数的定义进行求解；（2）使用导数的基本公式进行求解（如幂函数的导数公式、三角函数的导数公式等）；（3）使用导数的运算法则进行求解（如和差积商的导数、复合函数的导数等）。
2. 不定导数当函数是一般函数形式时，可以使用导数的定义进行求解，也可以根据函数的具体形式使用导数的基本公式进行求导。
3. 定导数当函数是特定的函数形式时，可以根据函数的具体形式使用导数的基本公式进行求导。
三、导数的性质1. 导数的性质导数具有以下性质：（1）可加性：[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)（2）可乘性：[f(x) * g(x)]' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)（3）常数倍性：[c * f(x)]' = c * f'(x)，其中c为常数（4）导数的乘积法则：(f * g)' = f' * g + f * g'2. 高阶导数高阶导数是指对于一个函数的导数再求导数的过程。
如果函数f(x)的导数存在，那么f(x)的导数又称为一阶导数，记作f'(x)。
如果f(x)的一阶导数再求导数，得到的导数称为二阶导数，记作f''(x)。
以此类推，可得到高阶导数。
3. 隐函数导数隐函数是指方程中包含了隐含变量的函数。
导数需要的函数知识点总结
导数需要的函数知识点总结一、导数的定义导数的定义是函数微分学的基础，它描述了函数在某一点处的变化率。
设函数f(x)在区间[a，b]上有定义，在[a，b]内任取一点x0。
若函数在x0处的变化率存在有限的有限值，那么这个有限值称为函数f(x)在x0处的导数，记作f’(x0)。
导数的定义公式如下所示：f'(x0) =lim (x→x0) (f(x)-f(x0))/(x-x0)其中，f(x)是函数f在区间[a，b]上的定义函数，x0是区间[a，b]内的任意一点。
导数的计算经常需要运用极限性质和微分中值定理等知识，通过导数的定义可以得到函数f(x)在x0处的切线斜率以及函数在x0处的变化率。
二、导数的性质1.导数的性质是微分运算的基本性质。
导数具有以下基本性质：（1）导数的线性性：f’(x)=a*f1(x)+b*f2(x)，其中a和b是常数；（2）导数的和差性：(f1(x)±f2(x))’=f1’(x)±f2’(x)；（3）导数的积性：(f1(x)*f2(x))’=f1’(x)*f2(x)+f1(x)*f2’(x)；（4）导数的商性：(f1(x)/f2(x))’=(f1’(x)*f2(x)-f1(x)*f2’(x))/(f2(x))^2, 当f2(x)≠0时。
导数的这些性质是微分运算中的常见规律，它们在导数的计算和性质分析中有重要的应用价值。
2.分段函数的导数对于分段函数f(x)，其导数的存在性和计算方法需要根据不同的情况来分析。
通常情况下，分段函数在每个分段上都是连续的，并且在每个分段上都具有导数。
当分段函数的某个分段上存在端点导数时，这个分段上的导数通常可以通过端点导数的定义来进行计算，并且可以根据导数的性质来求解整体的导数。
因此，在计算分段函数的导数时，需要考虑到分段函数的连续性和端点导数的存在性等信息。
3.复合函数的导数对于复合函数f(g(x))，其导数的计算通常需要运用链式法则。
导数知识点总结手写
导数知识点总结手写一、导数的定义1.1 函数的导数设函数y = f(x)在点x0处有定义，若极限f'(x0) = lim h->0 (f(x0+h)-f(x0))/h存在，则称函数f(x)在点x0处可导，并称这个极限值为f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)。
导数描述了函数在某一点的瞬时变化率，可看做函数曲线在该点处的切线斜率。
1.2 几何意义导数的几何意义可以通过函数图像上的切线来理解。
在点x0处的切线斜率即为函数在该点处的导数值。
导数为正表示函数在该点处递增，导数为负表示函数在该点处递减，导数为零表示函数在该点处取得极值。
1.3 导数的表示除了使用f'(x)表示函数的导数外，导数还可以表示为dy/dx或者y'，表示函数y = f(x)相对于自变量x的导数。
二、导数的性质2.1 可导必连续若函数在某一点可导，则在该点处必然连续，但反之不一定成立。
可导函数一定是连续的，但连续函数不一定可导。
2.2 可导必不断若函数在某一点可导，则在该点处必然具有定义。
可导函数一定是不断的，但不断函数不一定可导。
2.3 和、差、积、商法则对于可导函数f(x)和g(x)，它们的和、差、积、商的导数可以通过以下法则求得：（1）和差法则：[f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x)（2）积法则：[f(x) * g(x)]' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)（3）商法则：[f(x) / g(x)]' = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / [g(x)]^22.4 复合函数法则对于复合函数u = f(g(x))，其导数可以通过链式法则求得：u' = f'(g(x)) * g'(x)2.5 高阶导数若函数f(x)有导数f'(x)，则称f'(x)为f(x)的一阶导数；若f'(x)有导数f''(x)，则称f''(x)为f(x)的二阶导数；以此类推，就可以得到f(x)的任意阶导数。
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高考复习资料指数函数、对数函数与幂函数知识回顾Ⅰ、指数函数的概念及运算性质1n 叫根指数，a 叫被开方数（平方根，立方根，n 次方根的概念）。
0的任何次方根都等于002、两个等式：A 、n>2时，且n N +∈时，n a =B 、n a ；n 00a a a aa ≥⎧=⎨-<⎩3、正数的正分数指数幂的意义：0,,,1)m na a m n N n +=>∈> 正数的负分数指数幂的意义：10,,,1)m nm naa m n N n a-+==>∈>0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
4、指数概念由整数扩充到有理数后，指数的运算性质由5条合并成3条①(0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =⋅>>∈Ⅱ、对数的概念及运算性质1、概念：log ,(0,1)x a y a x y a a =⇒=>≠，以10为底的对数叫做常用对数：10log lg a a =；以e=2.71828为底的对数叫自然对数：log ln e a a =2、对数的性质：对数log ,(0,1)a N a a >≠的性质：①0N >；②log 10a =；③log 1a a =3、对数的运算法则：①log a M N ⋅=____________________；②log aMN=____________________；③log n a M =____________________；④log a =______________；⑤换底公式：log a b =______________；换底公式推论：log nm a b =_______________； ⑥倒数公式：log log 1a b b a ⋅=；⑦对数恒等式：log log 10log 1a b a a a a b ===①②③④log log log a b a b c c ⋅=Ⅲ、指数、对数函数的概念（1）指数函数的概念：函数x y a =叫做指数函数，其中a 是一个大于零且不等于1的常量，函数的定义域为R ； （2）对数函数的概念：函数log a y x =叫做对数函数，其中a 是一个大于零且不等于1的常量，函数的值域是R 。
Ⅳ、幂函数的概念形如y x α=的函数称为幂函数（α为常数），重点掌握111,2,3,,,123α=-时的幂函数及其图像。
Ⅴ、幂函数的性质和图像幂函数的图像分为二大类，三种情况。
A 类：当0a >时，a y x =在第一象限内为增函数，A 类分两种情况；B 类：当0a <时，a y x =在第一象限内为减函数，B 类只有一种情况。
总结：1、所有幂函数在(0,)+∞内有定义，并且过定点(1,1)；2、当0a >时，幂函数图像过原点，且在第一象限内单调递增；3、当0a <时，幂函数在第一象限单调递减。
作法：1、标注(1,1)，根据a 的大小确定单调性；2、根据a 的大小和单调性确定第一象限的图像；3、根据奇偶，定义域确定图像的其余部分。
Ⅵ、指数、对数函数的图像函数与方程及函数模型知识回顾Ⅰ、函数与方程1、实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与一元二次方程系数之间的关系（1）方程有两个不相等的正实数根： （2）方程有两个不相等的负实数根：212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪⋅=>⎪⎩212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪⋅=>⎪⎩0a <1a > 01a <<2、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的区间根问题研究一元二次方程的区间根，一般情况下需要从以下三个方面考虑： （1）一元二次方程根的判别式；（2）对应二次函数区间端点函数值的正负； （3）对应二次函数图像——抛物线的对称轴2bx a=-与区间的端点的位置关系。
设12,x x 是实系数二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两实根，则12,x x 的分布范围与二次方程系数之间的关系如下：3、函数的零点与方程的根的关系（1）一般地，如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。
我们称方程()0f x =的实数根叫做函数()y f x =的零点，函数的零点就是使得函数值为0的自变量的值。
（2）函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根，也就是函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =有零点⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点。
（3）函数()()()F x f x g x =-的零点就是方程()()f x g x =的实数根，也就是函数()y f x =的图像与函数()y g x =图像交点的横坐标。
（4）函数的零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程()0f x =没有实数根⇔函数()y f x =没有零点⇔函数()y f x =的图像与x 轴没有交点。
4、用二分法求方程近似解用二分法求函数()0f x =近似解的一般步骤：第一步：确定一个区间(,)a b ，使得()()0f a f b ⋅<； 第二步：求区间(,)a b 的中点1x ；①若1()0f x =，则1x 就是函数的零点，计算终止；②若1()()0f a f x ⋅<，则令1b x =【此时零点01(,)x a x ∈】；③若1()()0f x f b ⋅<，则令1a x =【此时零点01(,)x x b ∈】第四步：判断是否达到精度ε：即若a b ε-<，则得到零点近似值；否则重复第二、第三、第四步。
Ⅱ、函数模型及其应用1、在区间(0,)+∞上，函数(1)x y a a =>，log (1)a y x a =>和(0)n y x n =>都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一档次上；2、随着x 的增大，(1)x y a a =>的增长速度越来越快，会超过并远远大于(0)n y x n =>的增长速度，表现为指数爆炸；log (1)a y x a =>的增长速度越来越慢。
3、随着x 的增大，(1)x y a a =>的图像逐渐表现为与y 轴平行，而log (1)a y x a =>的图像逐渐表现为与x 轴平行。
4、总会存在一个0x ，当0x x >时，有log n a x x <5、(1)x y a a =>的增长速度大于(0)n y x n =>的增长速度大于log (1)a y x a =>的增长速度。
导数的概念及其运算知识回顾二、基本初等函数的导数公式1、若()f x c =，则'()f x =_________；2、若()nf x x=，则'()f x =__________；3、若()s i n f x x=，则'()f x =___________；3、若()c o s f x x=，则'()f x =_________；5、若()xf x a=，则'()f x =__________；6、若()xf x e =，则'()f x =_________；7、若()log f x x a=，则'()f x =_________；8、若()ln f x x =，则'()f x =__________； 三、两个函数的四则运算的导数1、()'''u v u v ±=±2、()'''uv u v uv =+3、2''()'(0)u u v uv v v v -=≠四、复合函数的导数'''x u x y y u =⋅ 五、导数的几何意义函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率。
也就是说，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率是'0()f x ，相应地，切线方程为'000()()y y f x x x -=-。
导数的应用——函数的单调性知识回顾1、函数单调性的充分条件：设函数()y f x =在某个区间内可导，如果'()0,f x >则()y f x =在这个区间内是单调递增函数；如果'()0,f x <则()y f x =在这个区间内是单调递减函数。
则在该区间内'()0,f x ≥（或0≤）3、函数的最大值与最小值（1）如果在函数定义域I 内存在0x ，使得对任意x I ∈，都有0()()f x f x ≤，则称0()f x 为函数的最大值，记作max 0()y f x =；如果在函数定义域I 内存在0x ，使得对任意x I ∈，都有0()()f x f x ≥，则称0()f x 为函数的最小值，记作min 0()y f x =。
（2）在闭区间[,]a b 上连续的函数()y f x =，在[,]a b 上一定有最大值与最小值。
（3）求可导函数在闭区间最大值与最小值的步骤：①求函数()y f x =在[,]a b 内的极值；②讲函数()y f x =的各极值与()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
点、线、面解题思想与方法专题一、点、线、面关系知识网络⎧⎪⎨⎪⎩公理一:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内平面的基本性质公理二:如果两个平面有一个公共点，那它还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线公理三:经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面平行——公理四:平行于同一直线的两条直线互相平行相交——等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等异面空间两条直线异面直线所成⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线角求法：一找二证三计算直线在平面内——判定：公理一________________________________________________线线平行，则线面平行；判定平行面面平行，则线面平行。