北理工《自动控制理论Ⅱ》课程学习资料(六)27

北理工《自动控制理论Ⅱ》拓展资源（六）
第三章李雅普诺夫稳定性分析下
利用Matlab进行李雅普诺夫稳定性分析
1 对称矩阵的定号性（正定性）的判定
判别对称矩阵的定号性（正定性）的方法主要有：
塞尔维斯特定理的判别法：主要用于判别正定和负定，难以判别非正定、非负定和不定；
特征值判别法的计算量大且计算复杂，其计算精度和数值特性有局限性；
合同变换法计算简单，稍加改进可成为一个良好的判别矩阵定号性的数值算法。

因此采用求解线性方程组的主元消元法的思想，编制基于合同变换法的矩阵定号性（正定性）的判定函数posit_def()。

通过该函数可以方便地判定对称矩阵的定号性。

函数posit_def()的源程序为：
function sym_P=posit_def(P) %定义函数posit_def()
[m,n]=size(P); %取P矩阵的维数大小n
if n>1 %若n>1，则对P进行合同变换
for i=1:n-1 %对非对角线元素进行消元
for j=i:n dia_v(j)=abs(P(j,j));end %取未消元的对角线绝对值
[mindv,imin]=max(dia_v(i:n)); %求对角线绝对值的最大值
imin=imin+i-1;
if mindv>0
if imin>i
a=P(imin,:); P(imin,:)=P(i,:); P(i,:)=a; %将对角线绝对值最大值所在的行和列与当前行列交换
b=P(:,imin); P(:,imin)=P(:,i); P(:,i)=b;
end
for j=i+1:n %对当前行列的非对角线元素进行消元
x=P(i,j)/P(i,i);
P=(:,j)=P(:,j)-P(:,i)*x; P(j,:)=P(j,:)-P(I,:)*x;
end end end end
for i=1:n %取所有对角线元素
dia_vect(i)=P(I,i);
end
mindv=min(dia_v); maxdv=max(dia_v); %计算对角线元素的最大与最小值
if mindv>0 %若最小值>0，则矩阵正定
sym_P=’positive’;
else if mindv>=0 %若最小值>=0，则矩阵非负定
sym_P=’nonnegat’;
else if maxdv<0 %若最大值<0，则矩阵负定
sym_P=’negative’;
else if maxdv<=0 %若最大值<=0，则矩阵非正定
sym_P=’nonposit’;
else %否则为不定
sym_P=’undifini’;
end
判定矩阵正定性的函数posit_def()的主要调用格式为sym_P=posit_def(P)
其中，输入矩阵P须为对称矩阵，输出sym_P为描述矩阵P的符号串。

输出sym_P 为’positive’，’nonnegat’，’negative’，’nonposit’和’undifini’分别表示输入矩阵P为正定、非负定（半正定）、负定、非正定（半负定）与不定。

2 求解连续李雅普诺夫矩阵代数方程的函数lyap()
基于此函数求解李雅普诺夫方程所得对称矩阵解后，通过判定该解矩阵的正定性来判定线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性。

函数lyap()的主要调用格式为P=lyap(A,Q)，其中，矩阵A和Q分别为连续时间李雅普。