221期末概率论复习

f
(x)
b
1
a
,a
x
b
，其中
0。
0 , 其它
其中 a,b 是未知数，试用矩法求 a,b 的估计量。
6
例 X在 (a, b)上均匀分布. 用样本矩来估计a,
b 的值。
解:已知
E(X ) ba
7
2
E( X 2 )[E( X )]2 D( X ) (ba)2 12
有:
a b 2 A1
ba 12( A2 A12 )
试求总体均值
的置信水平为95%的置信区间：
（1） 已知 2 毫米；（2）若 未知。
14
11.1）
X u1 2
n
n 16, 2, X 30.625
15
u0.975 1.96
(29.625 , 31.605 )
11.2）
X t1 2( n 1)
S n
n 16, S 1.5, t0.975(15) 2.1315 , X 30.625
(992 .16 , 1007 .84)
20
18
18．某地区粮食播种面积总共为 5000万亩，按不重复抽样方法随机 抽取了100亩进行实割实测。调查 结果显示：平均亩产为450公斤， 标准差为52公斤。试以95%的置信 度估计该地区粮食平均亩产量和总 产量的置信区间。
21
18.1) :某地区粮食亩产服从正态分布
ˆ 2 1 n
n i1
2
Xi
是否是总体方差 2 的无偏估计量？
9
8 证:注意到
10
正态分布 X 的 已知, 2 存在但未知。则
ˆ 2
1 n
n i 1
(Xi
)2
A2
2X
2.
E( A2 ) 2 2 2 ,
E(ˆ 2 ) E( A2 2X 2 ) E( A2 ) 2 2
E(ˆ 2
E( S 2
)
)
E(
E(
A2 X 2 )
n ˆ 2 )
E(
n
A2 ) E
E( ˆ 2 )
(X
2)
n
n1
n n1 2
2
2
2
n 1
n 1
n 1 n
10
设 X1, X2 是来自正态总体 N ,1
。
的样本，试证明下列两个估计量
（1） （2）
ˆ1
1 3
X1
2 3
X2;
ˆ2
3 4
i 1
dln(L)
d
n
n
xi
i1
0
ˆ 1
X
6
6．设总体 X 服从几何分布，它的分布律为
PX k (1 p)k1 p, k 1,2,
先用矩法求 p 的估计量。再求 p 的最大似然估 计。
4
6.1）E( X ) k ( 1 p ) k 1 p
5
k 1
p k ( 1
k 1
p ) k 1
p
1 p2
1 p
ˆp 1
X
6.2）
n
பைடு நூலகம்
L
n
p( 1
p)
xi 1
pn( 1
( p ) i1
xi 1 )
i 1 n
ln( L ) ( xi n ) ln( 1 p ) n ln( p )
d ln( L )
dp
(
n i 1
i 1
xi
n)
1 1 p
n
1 p
0
ˆp
1 X
7
7．设总体 X 服从[a,b]上的均匀分布，其分布 密度为
N , 2 ,其中、 2 均未知，现从中随
机抽取100亩，测得亩产样本均值
x 450（公斤），样本标准差 s 52（公
斤），则 的置信度为0.95的置信区间是
X t1 2( n 1)
S n
n 100, S 52,
X 450,
t0.975 (99) u0.975 1.96,
X1
1 4
X2
都是 的无偏估计量，并判断哪一个估计量较有效。
12
10 证:注意到相关公式
13
E(ˆ1) , E(ˆ2 ) ,
D(ˆ1)
5
9
2,
D(ˆ2
)
10 16
2
,
所以无偏估计量 ˆ1 比 ˆ2 更有效.
11 设某批零件的长度 X 服从正态分布 N , 2 ,
从这批零件中随机抽取16个，测得零件长度（单位：毫 米）为 28 28 29 30 30 30 30 31 31 31 31 31 32 32 33 33。
19
15 : 设一批元件的寿命服从正态分布
N , 2 ,其中、 2 均未知，现从中随
机抽取100个元件，测得寿命样本均值
x 1000（小时），样本标准差 s 4（0 小
时），则 的置信度为0.95的置信区间是
X t1 2( n 1)
S n
n 100, S 40,
X 1000,
t0.975 (99) u0.975 1.96,
1
第七章 部分作业答案1 王柱
5
5．设总体 X 服从指数分布，它的分布密度为
ex ,0 x
f (x) 0 , x 0
其中 0 ，试用矩法和最大似然估计法求 的
估计量。
2
5.1) E(
X)
0
x exdx
1
3
ˆ
1 X
n
5.2)
xi
L ( )n (e) i1
n
ln(L) (n) ln( ) xi
(29.825 , 31.425 )
14
14.某一个区民小区共有居民500户。小区 管理者准备采取一项新的供水措施，想了 解居民是否赞成。采用重复抽样的方法随 机抽取了50户，其中有32户赞成，18户反 对。
试在置信概率为95%的条件下，求总体中 赞成该项改革的户数比例的置信区间。
16
17
14. 依据
所以估计量 ˆ 2 为 2 的无偏的估计量.
例
11
分布 X 的 , 2 存在，但未知。 则
估计量
ˆ 2
1 n
n
( xi
i 1
x)2
B2
为有偏的，但是
渐近无偏估计量 。而估计量 样本方差 S2 为无偏的.
证:注意到
ˆ
2
1 n
n i1
(Xi
X
)2
A2
X
2.
E( A2 ) 2 2 2 ,
E( X 2 ) D( X )[E( X )]2 2 /n 2 ,
m n
u1
2
1 m( 1 m )
nn
n
n 50, m 32, 0.05, u0.975 1.96
(0.50695 , 0.77305 )
18
第七章 部分作业答案3 王柱
15
15.从一批电子元件中随机抽取100只，若 被抽取的电子原件的平均寿命为1000小时， 标准差S为40小时，试求该批电子元件的平 均寿命的置信区间（置信概率为95.45%）。
得:aˆ A1
bˆ A1
3( A2 A12 ) X 3( A2 A12 ) X
3
n
n i 1
(Xi
X )2
3
n
n i 1
(Xi
X )2
8
第七章 部分作业答案2 王柱
8 设总体 X 的均值 已知，方差 2 未知，
X1, X2,L , Xn 为来自总体 X 的一个样本。试判断