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第十四章傅里叶光学
E~x, y
H u , v e x jd 0 p u 2 v 2
而 FTE ~x1,y1 AFTtx1,y1ATu,v
tx1,y1 d 0
tlx2,y2
f
将 H u , v e x jd 0 p u 2 v 2 和 F E ~ T x 1 ,y 1 A T u ,v 代入
晕效应越小。渐晕效应的存在，将使后焦面上得不到完全的物
体频谱。
二、透镜的成像性质
E~x1,y1 E~x1,y1
在此只考虑点物成像问题：
F
1、点物距透镜无穷远
如图，在紧靠透镜前平面上的
f
光场分布为一常数，设为1，则
光波透过透镜后，若不考虑透
镜的有限孔径，在紧靠透镜后
平面上的光场分布为
E ~x1,y1~ tx1,y1ex pi kx122fy12会聚球面波
E~x1,y1 、紧靠透镜之前的平面上的复振幅分布E~x2,y2
面上的复振幅分布 E~x,y 。
和后焦
用振幅为A的单色平面波垂直照明物体，物体的复振幅透过率
为 tx1,y1 ，则紧靠物体之后的平面上的复振幅分布为
E ~ x 1 ,y 1 A tx 1 ,y 1
根据频谱理论计算光波传播到紧靠透镜之前的平面上的场分布为
则紧靠透镜之后的平面上的复振幅分布为 E~x1,y1 E~x1,y1
Ex1,y1tlx1,y1Ex1,y1
Atx1,y1expj2kf
x12y12
E~x, y
tx1,y1 tlx1,y1 f
光波从透镜传播f距离到达后焦面上所产生的场分布，可根据 菲涅耳衍射公式的FT 表示式来计算
E ~ x ,y eii z x 1 1 k e p z x 2 iz 1 k x p 2 y 2 F E ~ T x 1 ,y 1 e x 2 iz 1 k x p 1 2 y 1 2 u x z 1v y z 1
傅里叶光学第4章-透镜的位相调制和傅里叶变换性质课件
其中，
tl
x,
y
exp
j
k 2f
x2 y2
P
x,
y
exp
j
k 2f
x2 y2
表示透镜对入射波前的位相调制；
P x, y 表示透镜对于入射波前大小范围的限制。
2、透镜的傅里叶变换性质
✓ 回顾一下：利用透镜实现夫琅和费衍射，可以在透镜的焦平面上得到 入射场的空间频谱，即实现傅里叶变换的运算。
下面具体分析一下厚度函数(x,y)和透镜主要结构参数(构成透镜的两个球 面的曲率半径R1和R2)之间的关系。
x, y 1 x, y 2 x, y
将透镜一剖为二
x2 y2
1 R12
1
x2 y2 2R12
1
x,
y
01
R1
R12
x2 y2
01
R1
1
1
x2 y2
U f
xf , yf
Af jd
2
exp
j
k 2d
xf 2 yf 2
•T
xf d
,
yf d
对应的强度分布为
I f
xf , yf
Af d 2
2
T
xf d
,
yf d
2
2、透镜的傅里叶变换性质
总结一下：
✓ 在单色平面波照明下，无论物体位于透镜前方、后方还是紧靠透镜， 在透镜的后焦面上都可以得到物体的功率谱；对于这样的照明方式，透 镜后焦面常称为傅里叶变换平面或（空间）频谱面。
2、透镜的傅里叶变换性质
✓ 如果d=f，物体在透镜前 焦面，二次位相弯曲消失， 后焦面的光场分布是物体准 确的傅里叶变换。
✓ 如果d=0，物体在透镜前端面， 由于变换式前的二次位相因子， 使物体的频谱也产生一个位相 弯曲。
2-1衍射和傅里叶光学基础详解
2.1.1 标准形式的一维非初等函数
（1） 矩形函数
又称为门函数，表示为
rect(x)
rect x 或 x
1
1 rect(x) 1/ 2
0
x 1/ 2 x 1/ 2 x 1/ 2
x -1/2 O 1/2
rect( x)dx 1
曲线下面积为1，表示矩形光源、狭缝或矩形孔的透射率
（2）sinc 函数
与某函数相乘使其极性翻转
sgn(x)
1 x
0 -1
（5）阶跃函数
• 定义：
1 step(x) 1/ 2
0
x0 x0 x0
step(x )
1 x
0
表示刀口或直边衍射物体或开关信号等
（6）圆柱函数
1 circ(r) 1/ 2
0
r 1 r 1 r 1
Circ (r)
1
y
x
O
1
circ(
x2 a
y2
22
1、直角坐标系中的二维非初等函数
(1)二维矩形函数，定义式为：
1
rect(x, y) rect(x)rect( y) 1/ 2
0
————可分离变量函数
| x | 1/ 2and | y | 1/ 2 | x || y | 1/ 2
| x | 1/ 2and | y | 1/ 2
rect(x, y)
1
在光学问题中，常用来描述一个均匀 照明方形小孔的振幅透射系数。
二维矩形函数的一般表达式为：
1
1
2
rect( x x0 , y y0 ) rect( x x0 )rect( y y0 )
图11
ab
傅里叶光学课件 02_02基尔霍夫衍射理论
光波的传播过程就是光波衍射过程假设与近似(1)整个光波场内光矢量振动方向不变,或只考虑光矢量的一个分量;(2)衍射屏的最小尺度远大于波长.(3)观测距离远大于波长．光波衍射的线性系统分析基尔霍夫波衍射理论(书2.1惠更斯－菲涅耳原理与基尔霍夫衍射理论一、惠更斯－菲涅耳原理子波(次波)相干叠加0exp()(,)jkr K r θθdU (Q )0)jkr Σ••QrΣnθθS 1S 20exp()1(cos 2jkr r θi是在无限大不透光屏上有一开孔的情况下推导出的. 但可以推广到其它任何复杂的衍射屏。
只是此时，公式中:()()()i P U P t P =入射到衍射屏上的光场的复振幅分布，衍射屏的复振幅透过率。
光波衍射过程是线性系统变换基尔霍夫衍射积分公式为:1e (x )p j krjkr j r 1exp()1(cos 2λ=i 此式是一个叠加积分，满足线性系统的叠加性和均匀性。
因此衍射过程（光波从衍射平面到观察平面的传播过程）可以看作是一个线性系统。
是该线性系统的脉冲响应(点扩散函数可以看作是: 衍射屏上P 点的一个单位脉冲在场产生的复振幅分布。
它描述了衍射系统的特性。
相干光场在自由空间传播的平移不变性2z距z 足够大），且观察范围较0cos 1θ≈(U x 0r Si(x 0这表明，在满足一定条件下，衍射屏上各次波源在场点处所产生的复振幅分布具有相同的分布形式，只是发生了也就是说，具有平移不变性。
可写成卷积形式：21exp jk z zλ⎡+⎣0)(,)y h x x y y −−相干光场在自由空间传播的脉冲响应的近似表达式21exp jk z j zλ⎡⎣220)()1y y z ⎡+−=⎢⎣一、菲涅耳近似(傍轴近似) →菲涅耳衍射在衍射屏和观察范围确定后，当项以后的高次项，不会引起明显的相位误差。
高次项中，起主要作用的是第3项，即当由第20()(28x x zπλ⎡−+⎣201()(8x x λ⎡−+⎣exp()exp jkz jk j z λ⎡=⎢⎣系统的脉冲响应可表示为：菲涅耳衍射的脉冲响应，仍具有平移不变性0002(,)exp exp()exp 2U x y jk jkz x jk j z z λ∞−∞⎡⎢⎣⎡+⎢⎣∫二、夫琅禾费近似（远场近似）→在菲涅耳近似的基础上，如果z 进一步增大，且进一步限定衍射屏透光区域，以至于：2max 2π 可以忽略，忽略该项所引起的相位误差很小22)y y x ⎤−exp())exp jkz x jk j z λ⎛=⎜⎝22exp 2(2y x j x z z πλ⎞+⎡−⎟⎢⎣⎠000)(,;,)y h x y x y dx 则衍射的光场分布为:从上式可以看出：夫琅禾费衍射仍是线性系统，但不是平移不变系统，不再具有平移不变性。
傅里叶光学课件 05_06傅里叶变换全息
x+
yo − yr
λ zo
y
⎤ ⎥
⎫⎪ ⎬
⎦ ⎭⎪
5.6.10
可见，基元全息图是正余弦条纹图样，条纹的空间频率为：
u = xo − xr , v = yo − yr
λ zo
λ zo
5.6.11
不同的物点(xo, yo)在全息图上所产生条纹的空间频率不 同，或者说全息图上的空间频率与物点之间具有一一对应的 关系。这一点与FT全息图的特征类似。
=
ro
2
+
G
2
⎡ + ro exp ⎢−
⎣
jk
x2 + y2 2f
⎤ ⎥
exp [ −
⎦
j2π
bv
]iexp
⎡ ⎢
⎣
jk
x2 + y2 2f
⎤ ⎥ G(u, v) ⎦
+ ro
exp
⎡ ⎢ ⎣
jk
x2 + 2f
y2
⎤ ⎥
exp
[
⎦
j2π bv]iexp
⎡ ⎢− ⎣
jk
x2 + 2f
y2
⎤ ⎥
G∗
(
u,
−∞ −∞
u = x ,v = y ,
5.6.1
λf λf
其中：(xo,yo)是物面的空间坐标， f 是透镜焦距，(u,v)是空间 频率坐标，(x,y)是记录面（频谱面）的空间坐标。
¾参考光波由位于物面上(0,-b)的点源产生。空域表示为：
r( xo , yo ) = roδ (0, yo + b)
y1
分布的共轭。沿y轴方向的宽度Wy 。
第三、四项都是实像，关于原点对称分布.
傅里叶光学
课堂练习解答（ 课堂练习解答（续）
在利用常用函数的傅里叶变换表的时候，必须建立观察面坐标与频率 坐标之间的关系
fx = x λz , fy = y λz
进而夫琅和费衍射可以表示为
a a x0 x0 + exp( jkz ) k 2 2 4 rect 4 exp j U ( x, y , z ) = x + y Frect a a jλ z 2z x 2 2 f x = , f y = y
这就是夫琅和费衍射公式。在夫琅和费近似条件下，观察面上的场 分布等于衍射孔径上场分布的傅里叶变换和一个二次位相因子的 乘积 对于仅响应光强不响应位相的一般光探测器，夫琅和费衍射和光场 的傅里叶变换并没有区别
夫琅和费衍射举例
1 矩孔与单缝衍射 2 双缝衍射 3 圆孔衍射
矩孔,单缝, 矩孔,单缝,和圆孔的夫琅和费衍 射图样
2
向P点会聚的照明球面波在孔径平面上的确入射光场可以简化为
U 0 (x0 , y 0 ) = k 2 A 2 exp[ jkz ]exp j x0 + ( y 0 b ) z 2z
[
]
菲涅耳衍射举例（ 菲涅耳衍射举例（续2） 举例
设孔径的振幅透过率函数为 t (x0 , y 0 ) ，则在会聚光照明下透过孔径 的光场分布为
l2 ly sin c 2 I ( x, y ) = 2λz λz 2 m2 m l 2 lx 2 l sin c + sin c ( x + f 0 λz ) + sin c 2 ( x f 0 λz ) λz 4 λz 4 λz
课堂练习
如下图所示的宽度为a 的单狭缝，它的左右两半部分之间引入位相 差 π 。采用单位振幅单色平面波垂直照明，求距离为 z 的观察平 面上的夫琅和费衍射的强度分布。试画出沿 x 方向的截面上的强 度分布图。
第6章 傅里叶光学基础 (1)
= α F {g} + β F {h} ，即两个（或多个）函数之加权和 A． 线性定理。 F {α g + β h}
的傅里叶变换就是各自的傅里叶变换的加权和。 B．相似性定理。若 F{g ( x, y )} = G ( f X , fY ) ，则 F{g (ax, by )} = 1 f X fY , G ab a b (6-7)
5
对非周期函数也可以作傅里叶分析，只是其频率取值不再是离散的，而是连 续的。 （1） 二维傅里叶变换 非 周 期 函 数 g ( x, y ) 在 整 个 无 限 xy 平 面 上 满 足 狄 里 赫 利 条 件 ， 而 且
∫∫
∞
−∞
g ( x, y ) dxdy 存在，则有
= g ( x, y ) 其中
6
即空域 ( x, y ) 中坐标的“伸展” ，导致频域 ( f X , fY ) 中坐标的压缩，加上频域的 总体幅度的一个变化。 C．相移定理。若 F{g ( x, y )} = G ( f X , fY ) ，则 F {g ( x − = a, y − b)} G ( f X , fY ) exp[ − j 2π ( f X a + fY b)] 即原函数在空域的平移，将使其频谱在频域产生线性相移。 D． 帕塞瓦尔定理。若 F{g ( x, y )} = G ( f X , fY ) ，则 (6-8)
−bn an
图 6-1 画出了锯齿波及它的振幅频谱图形。由图看出，周期函数的频谱具有 分立的结构。
f ( x)
cn
O
x
(a )
O
f1 f 2 f 3 f 4 (b)
fn
图 6-1 锯齿波及其频谱 将一个系统的输入函数 g ( x) 展开成傅里叶级数，在频率域中分析各谐波的 变化，最后综合出系统的输出函数，这种处理方法称作频谱分析方法。频谱分析 方法在光学中的应用， 为认识复杂的光学现象及进行光信息处理提供了全新的思 路和手段。 6.1.4 傅里叶变换
傅里叶光学简介25页PPT
46、பைடு நூலகம்律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
第十四章傅里叶光学-文档资料
u
x y 1 v 1 d0 d0
~ x E 2, y 2
Ex ,y 1 1
~ Ex, y
t x ,y l 2 2
t x ,y 1 1
~ 而 FT E x ,y 1 1 A FT tx ,y A T u , v 1 1
2 f
~ ~ x E ,y 1 1 E x ,y 1 1
~ Ex, y
f
f
表明：透镜后焦面上的光场分布正比于 tl x ,y 衍射物体平面上复振幅的傅里叶变换。 tx 1 1 f ,y 1 1
jk 2 2 exp 2f x y ，后焦面上的位相分布与物体频谱的位相分布不
tx, y
tl x, y f
~ 2）紧靠透镜之后的平面上的复振幅分布E x ,y 1 1
~ 3）后焦面上的复振幅分布 Ex, y
,y 物体的复振幅透过率为tx ，则物体与透镜之间的平面上的 1 1 复振幅分布为 ~ E x , y A t x , y 1 1 1 1
k 2 2 代入上式得到 ~ 将 E x , y A t x , y exp j x y 1 1 1 1 1 1
jk 2 1 2 Ex, y exp x y j f 2f ~ x y FTEx 1, y 1 u 1 v 1
但是这种FT关系不是准确的。由于变换式前存在位相因子
一样，但他对观察平面上的强度分布没有影响，其光强为
A x y I x , y T , f f f f
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傅里叶光学实验傅里叶光学原理的发明最早可以追溯到1893年阿贝（Abbe ）为了提高显微镜的分辨本领所做的努力。
他提出一种新的相干成象的原理，以波动光学衍射和干涉的原理来解释显微镜的成像的过程，解决了提高成像质量的理论问题。
1906年波特（Porter ）用实验验证了阿贝的理论。
1948年全息术提出，1955年光学传递函数作为像质评价兴起，1960年由于激光器的出现使相干光学的实验得到重新装备，因此从上世纪四十年代起古老的光学进入了“现代光学”的阶段，而现代光学的蓬勃发展阶段是从上世纪六十年代起开始。
由于阿贝理论的启发，人们开始考虑到光学成像系统与电子通讯系统都是用来收集、传递或者处理信息的，因此上世纪三十年代后期起电子信息论的结果被大量应用于光学系统分析中。
两者一个为时间信号，一个是空间信号，但都具有线性性和不变性，所以数学上都可以用傅立叶变换的方法。
将光学衍射现象和傅立叶变换频谱分析对应起来，进而应用于光学成像系统的分析中，不仅是以新的概念来理解熟知的物理光学现象，而且使近代光学技术得到了许多重大的发展，例如泽尼克相衬显微镜，光学匹配滤波器等等，因此形成了现代光学中一门技术性很强的分支学科—傅里叶光学。
实验原理：我们知道一个复变函数f(x,y)的傅立叶变换为：( 1 )⎰⎰+-=ℑ=dxdy vy ux 2i y x f y x f v u F )](exp[),()},({),(πF (u,v)叫作f(x,y)的傅立叶变换函数或频谱函数。
它一般也为复变函数，f(x,y)叫做原函数，也可以通过求 F(u,v)逆傅立叶变换得到原函数f(x,y)：（2）⎰⎰+=ℑ=-dudv vy ux 2i v u F v u F y x f 1)](exp[),()},({),(π在光学系统中处理的是平面图形，当光波照明图形时从图形反射或透射出来的光波可用空间两维复变函数（简称空间函数）来表示。
在这些情况下一般都可以进行傅里叶变换或广义的傅里叶变换。
《傅里叶光学基础》课件
傅里叶光学是光学领域的重要基础知识，本课程将介绍傅里叶光学的基本原 理和应用领域，包括光通信、计算机技术和医疗影像。
傅里叶光学基础知识
1 传输函数
了解传输函数的概念以及在傅里叶光学中的作用。
2 光学变换
学习傅里叶变换和反变换，以及它们在光学领域的应用。
3 频谱分析
掌握频谱分析的方法和技巧，以及如何应用于光学系统的研究。
总结与展望
本课程回顾了傅里叶光学的基础知识和应用，介绍了其在光通信、计算机技 术和医疗影像中的重要性。希望通过本课程的学习，您能深入了解傅里叶光 学的原理和应用，并在相关领域取得更好的成就。
数据压缩
了解傅里叶光学在数据压缩领域的应用，如JPEG图像压缩算法。
频谱分析
学习傅里叶光学在信号处理和频谱分析中的作用。
傅里叶光学在现代医疗影像中的应用
1
CT扫描
掌握傅里叶光学在CT扫描中的重建算法和图
磁共振成像
2
像重建技术。
了解傅里叶光学在磁共振成像中的采样技术
和图像重建方法。
3
超声成像
学习傅里叶光学在超声成像中的频域分析和
傅里叶光学在光通信中的应用
高速数据传输
了解傅里叶光学在光通信中的高 速数据传输方案和技术。
光纤通信系统
探索调制与解调
学习傅里叶光学在光调制和解调 中的原理和技术。
傅里叶光学在现代计算机技术中的应 用
图像处理
探索傅里叶光学在图像处理中的应用，如图像滤波和频域图像增强。
分子影像学
4
图像增强技术。
探索傅里叶光学在分子影像学中的应用，如 光学断层成像和荧光成像技术。
傅里叶光学的发展现状
第十四章傅里叶光学
E ( x1 , y1 )
2、点物在距透镜有限远的光轴上 、 设点物S位于距透镜为 l 的光轴上， 设点物 位于距透镜为 的光轴上， 则投射到透镜上的光波就是从S点 则投射到透镜上的光波就是从 点 发出的发散球面波。在傍轴近似下， 发出的发散球面波。在傍轴近似下， 它在透镜前平面上的场分布为
x12 + y12 ~ E ( x1 , y1 ) = A exp ik 2l
由于不考虑透镜的有限孔径大小， 由于不考虑透镜的有限孔径大小，则透镜的复振幅透过率为
2 2 x1 + y1 tl (x1 , y1 ) = exp − ik 2f
则紧靠透镜之后的平面上的复振幅分布为
E ′(x1 , y1 ) = tl ( x1 , y1 ) ⋅ E ( x1 , y1 ) k 2 2 = A ⋅ t (x1 , y1 ) exp− j x1 + y1 2f
(
)
{
}
所以
~ (x , y ) = A exp jk E jλ f 2 f
x y d0 2 2 1 − x + y ⋅ T , λf λf f
(
)
可见后焦面上的复振幅分布仍然正比于物体的傅里叶变换， 可见后焦面上的复振幅分布仍然正比于物体的傅里叶变换，到 有一个位相弯曲。 物体紧靠透镜结论与前面一致， 有一个位相弯曲。当 d 0 = 0 时，物体紧靠透镜结论与前面一致， 当 时 d 0 = f，式子变为 x y
tl ( x1 , y1 ) f
但是这种FT关系不是准确的。 但是这种 关系不是准确的。由于变换式前存在位相因子 关系不是准确的
jk 2 exp x + y2 2 f
《傅里叶光学》课件
光通信
利用傅里叶光学原理实现高速光信号的传输和处 理，提高通信容量和速度。
3
光学仪器设计
傅里叶光学在光学仪器设计中的应用，如干涉仪 、光谱仪等。
傅里叶光学的发展前景和挑战
发展前景
随着光子技术的不断发展，傅里叶光学在光通信、光学仪器、生物医学等领域的应用前 景广阔。
傅里叶光学在光学显微镜、光谱仪和 OCT等生物医学成像技术中被广泛应 用。
光电子器件
利用傅里叶光学原理设计的光电子器 件，如光调制器、光滤波器和光开关 等。
02
傅里叶变换
傅里叶变换的定义和性质
傅里叶变换的定义
将一个时域信号转换为频域信号的过 程，通过正弦和余弦函数的线性组合 来表示信号。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换在信号处理中的应用
频域滤波
通过在频域对信号进行滤波，可以实现信号的降噪、增强等处理 。
信号压缩
利用傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，从而实现对信号的 压缩和编码。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中也有广泛应用，如图像滤波、图像增强、 图像压缩等。
03
光学信号的傅里叶分析
光学信号的表示和测量
05
傅里叶光学的实践应用
傅里叶光学的实验技术
光学干涉实验
利用干涉现象研究光的波动性质，验证傅里叶光学的 基本原理。
光学衍射实验
通过衍射实验观察光的衍射现象，理解傅里叶光学中 的衍射理论。
光学频谱分析实验
利用傅里叶变换对光信号进行频谱分析，研究光波的 频率成分。
傅里叶光学的应用案例
1 2
图像处理
干涉和衍射在光学系统中的应用
傅里叶变换光学课件
相因子判断法
• 知道了衍射屏的屏函数，就可以确定衍射场，进 而完全确定接收场。
• 但由于衍射屏的复杂性以及衍射积分求解的困难， 完全确定屏函数几乎是不可能的。
• 采取一定的近似方法获取衍射场的主要特征。 • 了解了屏函数的位相，则能通过研究波的位相改
变来确定波场的变化。这种方法称为相因子判断法。 • 一般都是在傍轴近似下进行判断。
52
除0级外，全开放 53
振动（电场强度）分布 像平面
4F系统
• 物平面O，变换平面T，像平面I：OTI系统
54
空间频率滤波举例 1. 网格实验
频 谱
像
(a)
(b)
(c)
焦平面 谱面
像面
(d)
55
➢若只让焦平面上的亮点透过在象平面上出现清洁 的光栅图形--其它图形滤掉。 ➢若挡住焦平面上的亮点在象平面上出现消除了光栅 线条的图形。
45
空间滤波
• 空间频率与波的衍射角相关， 可以据此做成低通、高通或带通的滤波装置
衍射屏或物的空间频率
低通
高通
带通
46
低通
高通
带通
47
阿贝（1874）—波特（1906）空间滤波实验 • 以黑白光栅为物，单色平行光照射 • 在傅氏面上加一可调狭缝，观察像的变化
48
像平面 可调光阑
傅氏面
黑白光栅
49
(c)
(d)
61
θ调制
0级
x
1级
光缝
花白 底白 叶白
蓝绿红 蓝绿红 蓝绿红
花
叶
底 红 绿蓝
白
底
蓝绿 红
花 叶
62
相衬显微镜
• 很薄的透明样品，例如生物切片，对光的 吸收很小，因而不同的部分反差较小，在 显微镜下观察，不容易分辨细节。这类样 品，不会引起透射光振幅的改变，所以不 是振幅型的；但由于各处折射率并不相同， 因而透射光的相位会有改变，是相位型的。
物理光学A---第六章 傅里叶光学
频 谱 面
物 面 高频信息
阿贝成像原理的意义在于:它以一种新的 频谱语言来描述信息,它启发人们用改造频谱 的方法来改造信息.
3.空间滤波和光学信息处理
(1)
x
阿贝-波特空间实验
光
x
a / d 1/ 3
光 栅
栅 的
频
谱
频 谱 面
像 面
光栅的像是一 条条直条纹
光栅的夫琅和费衍射图样,记 录下光栅的空间频率信息.
x
光 栅 的 频 谱
I ( x)
傅氏面上的光阑 只让零级通过. 它是一个低通滤 波器.
屏幕上光 强分布
屏上无条纹
控制频谱就控制了像面
x
光 栅 的 频 谱
傅氏面上的光 阑让零级和正 负一级通过.
屏幕上光 强分布,是 基频和直 流成分
屏上有细小 的 亮 条 纹.．
2 cos( 2 5 p0 x) 5
上式表明,图中表示的矩形波可以分解为不同频 率的简谐波,这些简谐波的频率为
1 3 5 p , , , , d d d
这里p称为空间频率. P0是p的基频.
有时称P0=1/d是矩形波函数的频率,但这 不是严格意义上的频率, 只有简谐波(正弦波 和余弦波)的频率才是严格意义上的频率. 透过率函数也可用复数傅里叶级数表示:
失网 格 的 像 灰 尘 消
(3)
调制实验
用白光照明透明物体,物体的不同部分是 由不同取向的透射光栅片组成.频谱面上(除 零级外)干涉主极大呈彩色.物面上不同的部 分的频谱在不同方向上. 将一个方向的频谱, 只保留一种颜色,滤掉其余的颜色,其对应的 象面上,就显示出该频率的颜色来.
5-第五章傅里叶光学
平面波的复振幅分布与空间频率
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2π 2π E ( x) A exp i z0 cos γ exp i x cos α λ λ 2π A 'exp i x cos α λ
~
λ x方向空间周期： d x cos α
参考书
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Introduction to Fourier Optics_Third edition, Dec. 2004.
吕乃光，傅里叶光学，第二版，机械工业出版社，2007 吕乃光，周哲海，傅里叶光学 概念.题解，机械工业出版社， 2008 Ronald N. Bracewell, The Fourier transform and its application, Third edition, McGrawHill, 2000
本章内容和组织结构
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5.6 相干成像系统分析及相干传递函数 成像系统的普遍模型，成像系统的线性和空间不变性，点扩展函数概 念，扩展物体成像，相干传递函数（CTF）概念。 5.7 非相干成像系统分析及光学传递函数 非相干成像系统的光学传递函数（OTF）概念，CTF与OTF的关系， 典型孔径的OTF。 5.8 阿贝成像理论和阿贝-波特实验 阿贝二次衍射成像理论，阿贝-波特实验及空间滤波概念。 5.9 相干光学信息处理 相干光学信息处理的应用：泽尼克相衬显微镜、激光束去噪、集成电 路瑕疵检查、图像加减、图像识别。 5.10 非相干光学信息处理 非相干光学处理的应用：孔径光阑的高斯切趾及变迹。
二维傅里叶变换
二维傅里叶变换：
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E ( x, y) ε(u, v) exp i 2π ux vy dudv
高二物理竞赛傅里叶变换光学课件
第这1、二样阿步 ，贝是在成各输像衍出理射平论班面（作上1为得87新到3年的两）次个波函源数发乘出积球的面傅次里波叶，变在换o像，(面或x1上两,y互个1相函)e叠数x加乘p，积{i形的成傅f物里(体叶x1的逆2 像变。换y（12 )在}采e用xp的{反演i 坐2标f 系(x下1）x，1 输y出1平y面1)光}d场x的1d复y振1幅分布为
费衍射，在透镜后焦面P2上形成一系列衍射斑；
从频域来看，通过乘法运算，系统改变了输入信息的空间频谱结构，这就是空间滤波或频域综合的含义；
根④成据方，系 向 因统滤此的波它光器的学，频参它谱数阻分，挡布得〔在知或X、所允Y成许轴的〕的的像特附严放定近考大方格。率向虑为上推的-到1导。频透谱是分镜量：通孔过，径可影以突响出某，些4方f向系性特统征成，检像查集过成程电路中掩膜，时透，因镜为集的成电傅路里的图叶形都变是换由一些规则的、互相垂直的矩型线段组
2
y1y
2 )}dx1dy 1
不怕路远，就怕志短。 无所求则无所获。
cFF {P(x ,y1)}F {o(x1,y1)}
志之所向，金石为开，谁能御之? 才自清明志自高。
cP
(x
2
,y
2
)O(
x2 f
,y2 f
) cP(ffx
, ffy
)O(fx
,fy
)
光
学
第五章 变换光学与全息照相
1、4f 系统 物理意义：
儿童有无抱负，这无关紧要，可成年人则不可胸无大志。
f
[(x1
x 2 )2
(y1 y 2 )2)}
dudv
虽长不满七尺，而心雄万丈。
c F 男子千年志，吾生未有涯。
11-6 光波的傅里叶分析 物理光学 教学课件
线性系统中 不同振幅、相位、频率的单色光波 叠加 复杂波（非单色波） 复杂波 傅里叶分解 不同振幅、相位、频率的单色光波
一、非简谐周期波的分析 周期波： 相邻的相等时间和空间内运动完全重复一次的波
分析方法：用傅立叶级数定理作周期波的分解 傅里叶级数定理：一个空间周期为 2 的周期函数f(z)满足狄里赫
分析： （1）波列包含有 k 0 以外其它空间频率取值为k的无数个单色波
（2）存在一个有限空间频率范围△k，决定着实际光源的光强度
强度的第一对零值对应的频宽的一半：
k
k
k0
L
（3）光波单色性的表示 (a) k 2
L 2L
波列长度2L长， △k小； 2L→∞，△k→0
光波单色性好
单一角频率 的光波 简谐波是理想单色光波
2
z
2
f (z)
+1
2
/2
0
z
-1 矩形周期波
（2） 求傅里叶系数
f z是奇函数 A0 0, An 0
Bn
2
0
f
zsin
nkzdz
2
n
1 cosn
B1
4
,
B2
0,
B3
4
3
,
B4
0,
B5
4
5
,
（3） 写出 f(z)
则矩形波的傅里叶级数表示式为
f
z
4
sin
kz
1 3
s
in
3k
z
Hale Waihona Puke 1 5sink
利条件[f(z)在一周期内只有有限个极值点和第一类不连续点]，则 f(z)可以用下式的傅里叶级数表示：
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傅里叶光学实验傅里叶光学原理的发明最早可以追溯到1893年阿贝（Abbe ）为了提高显微镜的分辨本领所做的努力。
他提出一种新的相干成象的原理，以波动光学衍射和干涉的原理来解释显微镜的成像的过程，解决了提高成像质量的理论问题。
1906年波特（Porter ）用实验验证了阿贝的理论。
1948年全息术提出，1955年光学传递函数作为像质评价兴起，1960年由于激光器的出现使相干光学的实验得到重新装备，因此从上世纪四十年代起古老的光学进入了“现代光学”的阶段，而现代光学的蓬勃发展阶段是从上世纪六十年代起开始。
由于阿贝理论的启发，人们开始考虑到光学成像系统与电子通讯系统都是用来收集、传递或者处理信息的，因此上世纪三十年代后期起电子信息论的结果被大量应用于光学系统分析中。
两者一个为时间信号，一个是空间信号，但都具有线性性和不变性，所以数学上都可以用傅立叶变换的方法。
将光学衍射现象和傅立叶变换频谱分析对应起来，进而应用于光学成像系统的分析中，不仅是以新的概念来理解熟知的物理光学现象，而且使近代光学技术得到了许多重大的发展，例如泽尼克相衬显微镜，光学匹配滤波器等等，因此形成了现代光学中一门技术性很强的分支学科—傅里叶光学。
实验原理：我们知道一个复变函数f(x,y)的傅立叶变换为：( 1 )⎰⎰+-=ℑ=dxdy vy ux 2i y x f y x f v u F )](exp[),()},({),(πF (u,v)叫作f(x,y)的傅立叶变换函数或频谱函数。
它一般也为复变函数，f(x,y)叫做原函数，也可以通过求 F(u,v)逆傅立叶变换得到原函数f(x,y)：（2）⎰⎰+=ℑ=-dudv vy ux 2i v u F v u F y x f 1)](exp[),()},({),(π在光学系统中处理的是平面图形，当光波照明图形时从图形反射或透射出来的光波可用空间两维复变函数（简称空间函数）来表示。
在这些情况下一般都可以进行傅里叶变换或广义的傅里叶变换。
逆傅里叶变换公式（2）说明一个空间函数f(x,y)可以表示成无穷多个基元函数exp[i 2 (ux +vy )]的线性迭加，是相应于空间频率u ,v 的权重，dudv v u F ),(F (u ,v )称为f (x ,y )的空间频谱。
为了下面的说明更方便，介绍几个常用的非初等函数和它们的性质：（1）矩形函数： (3)0211{)(r 00≤-=-a x x a x x ect 它以x 0为中心，宽度为a （a >0），高度为1，两维矩形函数可以表示为两个一维矩形函数的乘积：((by y rect a x x rect 00--（2）sinc 函数： (4)()((a x x a x x sin a x x sinc 000--=-ππ（3）圆域函数： (5)other 0a y x 1a y x circ 2222≤+=+{)((4) 函数： 函数用来表示物理上的点光源，它是一个广义函数。
它的定义式为：(6)other 00y 0,x y x ==∞={),(δ或 (7)⎰⎰=),(),(),(00dxdy y x y x φφδ其中 (x,y)叫做检验函数，要求为连续、可微函数。
函数的性质：a.筛选性质：设函数f(x,y)在（x 0,y 0）连续，则有(8)),(),(),(0000y x f dxdy y y xx y x f =--⎰⎰δb.坐标缩放性质：设a 、b 为实常数，则有 (9)),(),(y x ab 1by ax δδ=c.可分离变数性：(10))()(),(y x y x δδδ=d.与普通函数乘积的性质：设函数f(x,y)在（x 0,y 0）连续，则有(11)),(),()(),(000000y y x x y x f y y x x y x f --=--δδ，(5)梳状函数：一维梳状函数定义为： 其中n 为整数。
(12)∑∞∞=-=n a n x ax comb )()(δ 两维梳状函数定义：(13))()()(by comb ax comb by ax,comb =在光学成像的过程中如果将一个平面图形放在一个理想的透镜（傅立叶变换透镜）的前焦平面上，在透镜的后焦平面就可以得到它的准确的傅立叶变换，即得到它的频谱函数。
反之如果将一个平面图形的频谱放在一个理想的透镜的前焦平面上，在透镜的后焦平面就可以得到此平面图形（不过图形的坐标要反转）。
从电子学的通讯理论我们知道，如果对信号的频谱进行处理（如滤波处理）再将信号还原就可以改变信号的性质，如去除信号的噪声等等。
因此等效地可以在透镜的后焦平面上放置各种形状和大小的光阑改变图形的频谱，再对此图形用第二个透镜成像就可以对图形进行处理，得到经过处理的图形。
这个过程叫作光学信息处理，在透镜的后焦平面上放置的光阑叫做空间滤波器。
函数变换式exp [- (x 2+y 2)]rect (x )rect (y )(x ,y )exp [j (x +y )]Comb(x )comb(y )Circ(r) 22y x r +=exp [- (u 2+v 2)]Sinc(u )sinc(v )1 (u -1/2,v -1/2)Comb(u )comb(v )J 1(2 )/ 注：J 1()为22v u +=ρ一阶贝塞尔函数. 表1常用的几种函数的傅里叶变换式最典型的空间滤波系统—两个透镜（光学信息处理系统或傅立叶光学变换系统）叫作4f 系统，如图1所示，激光经过扩束准直形成平行光照明物平面(其坐标为x 1,y 1)，透过物平面的光的复振幅为物函数f(x 1,y1),这一光波透镜1到达后焦平面（频谱面）就得到物函数的频谱，其坐标为(u ,v )，再经透镜2 在透镜2的象平面上可以得到与物相等大小完全相似但坐标完全反转的象，设其坐标为(x 2,y 2)。
此时我们将坐标完全反转后可以认为得到原物的完全相同的象。
关于物平面和频谱面的尺寸大小的问题是实验中很重要的。
为了便于问题的讨论，假定物平面和频谱面的坐标单位相同，物函数f(x 1,y 1)的坐标x 1、y 1和频谱函数F(u,v)的坐标u 、v 的关系为, 其中 为光的波长，f 为透镜的焦距。
以矩孔为例，如果fy v f x u λλ11,==矩孔的长为a ，宽为b ，则频谱面得到的衍射图形即矩孔的频谱为[注1](14) [注1 ]矩孔的数学表达式为，根据前面的傅里叶变换的缩放性质和表1可以推得式(14))((by rect a x rect 由此可以计算出频谱面上中央主极大（图2 右图中央的方斑）的宽度为，高度为af λ。
可以知道频谱面尺寸的大小与物平面图形尺寸成反比，与透镜焦距f 成正比，所以为bf λ物平面透镜1频谱面透镜2像平面图1 4f 系统光路bvbv au au A v u F 0ππππsin sin ),(=三级实验讲义 赵伟 郑虹 傅里叶光学实验了得到较大尺寸的频谱图用于完成实验的透镜的焦距要求较长。
图2右图所画的不是物函数的频谱，而是其功率谱。
因为任何光的探测器都只能对光强有反映，所以我们观察到的只是频谱的强度分布即模的平方—功率谱。
对方孔来说其频谱与功率谱的尺寸相同。
空间滤波器由于其特性和功能不同可以进行不同的分类，按其功能可以分为：1．低通滤波：在频谱面上放如图3(1）所示的光阑，只允许位于频谱面中心及附近的低频分量通过，可以滤掉高频噪音。
2．高通滤波：在频谱面上放如图3(2)所示的光阑，它阻挡低频分量而让高频分量通过，可以实现图像的衬度反转或边缘增强。
3． 带通滤波：在频谱面上放如图3(3)所示的光阑，它只允许特定区域的频谱通过，可以去除随机噪音。
4．方向滤波：在频谱面上放如图3(4)或（5）所示的光阑，它阻挡或允许特定方向上的频谱分量通过，可以突出图像的方向特征。
以上滤波光阑因透光部分是完全透光，不透光部分是将光全部挡掉，所以称作“二元振幅滤波器”。
还有各种其他形式的滤波器，如：“振幅滤波器”、“相位滤波器”和“复数滤波器”等。
5．相幅滤波器：是将位相转变为振幅的滤波器,它的重要应用就是把”位相物体”显现出来，所谓位相物体是指那些只有空间的位相结构而透明度却一样的透明物体。
如生物切片、油膜、热塑等，它们只改变入射光的位相而不影响其振幅。
所以人眼不能直接看到透明体中的位相分布也就是它们的形状和结构，利用相幅转换技术就能使人眼看到透明体的形状和结构，从而扩展了人眼的视觉功能。
为了实验的便利常常利用一个透镜完成空间滤波实验（阿贝成像装置）：如图4所示，这个装置最早是由阿贝（Abbe ）于1893年提出的。
1906年波特（Porter ）用实验验证了阿贝的理论，科学地说明了成像质量与系统传递的空间频谱之间的关系。
在这种情况下，由于物面与透镜的前焦平面不物面透镜频谱面象面图4 一个透镜的傅里叶变换系统图3图3 各种形式的空间滤波器图2 矩形透光孔和它的频谱图三级实验讲义赵伟郑虹傅里叶光学实验重合，根据傅立叶光学的理论可以知道在透镜的后焦平面上得到的不是物函数的严格的傅立叶变换（频谱），不过只有一个位相因子的差别，对于一般情况的滤波处理可以不考虑。
这个光路的优点是光路简单，是显微镜物镜成像的情况—可以得到很大的象以便于观察，这正是阿贝当时要改进显微镜的分辨本领时所用的光路。
实验内容：测小透镜的焦距f1（付里叶透镜f2=45.0CM）.光路：直角三棱镜→望远镜（倒置）（出射应是平行光）→小透镜→屏思考：如何测焦距？1.夫琅和费衍射：光路：直角三棱镜→光栅→屏（此光路满足远场近似）（1）利用夫琅和费衍射测一维光栅常数；光栅方程：dsinθ=kλ其中,k=0,±1, ±2, ±3,…请自己选择待测量的量和求光栅常数的方法。
记录一维光栅的衍射图样、可看到哪些级？记录 0级、±1级、±2级光斑的位置；（2）记录二维光栅的衍射图样.图5 实验光路图3.观察并记录下述傅立叶频谱面上不同滤波条件的图样或特征；光路：直角三棱镜→光栅→小透镜→滤波范本（位于空间频谱面上）→屏思考：空间频谱面在距小透镜多远处？图样应是何样？（1）一维光栅：（滤波范本自制，一定要注意戴眼镜保护；可用一张纸，一根针扎孔来制作，也可用其他方法）.a.滤波范本只让 0级通过;b.滤波范本只让0、±1级通过;c.滤波范本只让0、±2级通过;（2）二维光栅：a.滤波范本只让含0级的水平方向一排点阵通过；b.滤波范本只让含0级的竖直方向一排点阵通过；c.滤波范本只让含0级的与水平方向成45O一排点阵通过；d.滤波范本只让含0级的与水平方向成135O一排点阵通过.三级实验讲义赵伟郑虹傅里叶光学实验图7 二维光栅的空间滤波4.“光”字屏滤波：物面上是规则的光栅和一个汉字组成迭加，在实验中我们要得到如下结果：a．在象面上仅看到一个汉字“光” ；应如何操作？写出相应过程.b．如何操作可看到像面上是“光”字中仅有横条纹，或“光”字中仅有竖条纹.思考题:1、在实验内容（1）中如果挡掉零级光斑，让所有高级衍射光斑透过，在象平面得到的像是什么样的？分析以下情况a.光栅透光缝a<光栅周期d/2，b. 光栅透光缝a>光栅周期d/2，c. 光栅透光缝a=光栅周期d/2。