【免费下载】傅里叶光学讲义

傅里叶光学实验

傅里叶光学原理的发明最早可以追溯到1893年阿贝（Abbe ）为了提高显微镜的分辨本领所做的努力。他提出一种新的相干成象的原理，以波动光学衍射和干涉的原理来解释显微镜的成像的过程，解决了提高成像质量的理论问题。1906年波特（Porter ）用实验验证了阿贝的理论。1948年全息术提出，1955年光学传递函数作为像质评价兴起，1960年由于激光器的出现使相干光学的实验得到重新装备，因此从上世纪四十年代起古老的光学进入了“现代光学”的阶段，而现代光学的蓬勃发展阶段是从上世纪六十年代起开始。由于阿贝理论的启发，人们开始考虑到光学成像系统与电子通讯系统都是用来收集、传递或者处理信息的，因此上世纪三十年代后期起电子信息论的结果被大量应用于光学系统分析中。两者一个为时间信号，一个是空间信号，但都具有线性性和不变性，所以数学上都可以用傅立叶变换的方法。将光学衍射现象和傅立叶变换频谱分析对应起来，进而应用于光学成像系统的分析中，不仅是以新的概念来理解熟知的物理光学现象，而且使近代光学技术得到了许多重大的发展，例如泽尼克相衬显微镜，光学匹配滤波器等等，因此形成了现代光学中一门技术性很强的分支学科—傅里叶光学。

实验原理：

我们知道一个复变函数f(x,y)的傅立叶变换为：

( 1 )

⎰⎰+-=ℑ=dxdy vy ux 2i y x f y x f v u F )](exp[),()},({),(πF (u,v)叫作f(x,y)的傅立叶变换函数或频谱函数。它一般也为复变函数，f(x,y)叫做原函数，也可以通过求 F(u,v)逆傅立叶变换得到原函数f(x,y)：

（2）

⎰⎰+=ℑ=-dudv vy ux 2i v u F v u F y x f 1)](exp[),()},({),(π在光学系统中处理的是平面图形，当光波照明图形时从图形反射或透射出来的光波可用空间两维复变函数（简称空间函数）来表示。在这些情况下一般都可以进行傅里叶变换或广义的傅里叶变换。逆傅里叶变换公式（2）说明一个空间函数f(x,y)可以表示成无穷多个基元函数exp[i 2 (ux +vy )]的线性迭加，是相应于空间频率u ,v 的权重，dudv v u F ),(F (u ,v )称为f (x ,y )的空间频谱。

为了下面的说明更方便，介绍几个常用的非初等函数和它们的性质：

（1）矩形函数： (3)

0211{)(r 00≤-=-a x x a x x ect 它以x 0为中心，宽度为a （a >0），高度为1，两维矩形函数可以表示为两个一维矩形函数的乘积：((b

y y rect a x x rect 00--

（2）sinc 函数： (4)

()((a x x a x x sin a x x sinc 000--=-ππ（3）圆域函数： (5)

other 0a y x 1a y x circ 2222≤+=+{)((4) 函数： 函数用来表示物理上的点光源，它是一个广义函数。它的定义式为：

(6)other 00y 0,x y x ==∞={

),(δ或 (7)

⎰⎰=),(),(),(00dxdy y x y x φφδ其中 (x,y)叫做检验函数，要求为连续、可微函数。

函数的性质：

a.筛选性质：设函数f(x,y)在（x 0,y 0）连续，则有

(8)),(),(),(0000y x f dxdy y y x

x y x f =--⎰⎰δb.坐标缩放性质：设a 、b 为实常数，则有 (9)

),(),(y x ab 1by ax δδ=c.可分离变数性：

(10)

)()(),(y x y x δδδ=d.与普通函数乘积的性质：设函数f(x,y)在（x 0,y 0）连续，则有

(11)

),(),()(),(000000y y x x y x f y y x x y x f --=--δδ，(5)梳状函数：

一维梳状函数定义为： 其中n 为整数。 (12)

∑∞∞=-=

n a n x ax comb )()(δ 两维梳状函数定义：

(13))()()(by comb ax comb by ax,comb =在光学成像的过程中如果将一个平面图形放在一个理想的透镜（傅立叶变换透镜）的前焦平面上，在透镜的后焦平面就可以得到它的准确的傅立叶变换，即得到它的频谱函数。反之如果将一个平面图形的频谱放在一个理想的透镜的前焦平面上，在透镜的后焦平面就可以得到此平面图形（不过图形的坐标要反转）。从电子学的通讯理论我们知道，如果对信号的频谱进行处理（如滤波处理）再将信号还原就可以改变信号的性质，如去除信号的噪声等等。因此等效地可以在透镜的后焦平面上放置各种形状和大小的光阑改变图形

的频谱，再对此图形用第二个透镜成像就可以对图形进行处理，得到经过处理的图形。这个过程叫作光学信息处理，在透镜的后焦平面上放置的光阑叫做空间滤波器。 函数

变换式exp [- (x 2+y 2)]

rect (x )rect (y )

(x ,y )

exp [j (x +y )]

Comb(x )comb(y )

Circ(r) 22y x r +=

exp [- (u 2+v 2)]Sinc(u )sinc(v )1 (u -1/2,v -1/2)Comb(u )comb(v )J 1(2 )/ 注：J 1()为22v u +=ρ一阶贝塞尔函数. 表1常用的几种函数的傅里叶变换式

最典型的空间滤波系统—两个透镜（光学信息处理系统或傅立叶光学变换系统）叫作4f 系统，如图1所示，

激光经过扩束准直形成平行光照明物平面(其坐标为x 1,y 1)，透过物平面的光的复振幅为物函数f(x 1,y

1),这一光波透镜

1到达后焦平面（频谱面）就得到物函数的频谱，其坐标为(

u ,v )，再经透镜2 在透镜2的象平面上可以得到与物相等大小完全相似但坐标完全反转的象，设其坐标为(x 2,y 2)。此时我们将坐标完全反转后可以认为得到原物的完全相同的象。

关于物平面和频谱面的尺寸大小的问题是实验中很重要的。为了便于问题的讨论，假定物平面和频谱面的坐标单位相同，物函数f(x 1,y 1)的坐标x 1、y 1和频谱函数F(u,v)的坐标u 、v 的关系为, 其中 为光的波长，f 为透镜的焦距。以矩孔为例，如果f

y v f x u λλ11,==矩孔的长为a ，宽为b ，则频谱面得到的衍射图形即矩孔的频谱为[注1]

(14) [注1 ]矩孔的数学表达式为，根据前面的傅里叶变换的缩放性质和表1可以推得式(14))((b

y rect a x rect 由此可以计算出频谱面上中央主极大（图2 右图中央的方斑）的宽度为，高度为a

f λ。可以知道频谱面尺寸的大小与物平面图形尺寸成反比，与透镜焦距f 成正比，所以为b

f λ物平面透镜1频谱面透镜2像平面

图1 4f 系统光路

bv

bv au au A v u F 0ππππsin sin ),(=