-2017年大梦杯福建省初中数学竞赛试题

2017年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2017年3月19日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。

每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设a =1a a+的整数部分为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 B【解答】由2226a =+-=，知a =于是1a a +=2111()62866a a +=++=+，214()9a a <+<。

因此，1a a+的整数部分为2。

（注：a ==== 2．方程22()32x x x +=-的所有实数根之和为（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 【答案】 A 【解答】方程22()32x x x +=-化为2222(2)3(2)x x x x -+=-。

即3251060x x x -+-=，2(1)(46)0x x x --+=。

解得1x =。

经检验1x =是原方程的根。

∴ 原方程所有实数根之和为1。

3．如图，A 、B 、C 三点均在二次函数2y x =的图像上，M 为线段AC 的中点，BM y ∥轴，且2MB =。

设A 、C 两点的横坐标分别为1t 、2t （21t t >），则21t t -的值为（ ）A ．3B ．C ．±D ．【答案】 D【解答】依题意线段AC 的中点M 的坐标为221212()22t t t t ++，。

（第3题）由BM y ∥轴，且2BM =，知B 点坐标为221212(2)22t t t t ++-，。

由点B 在抛物线2y x =上，知22212122()22t t t t++-=。

整理，得22221211222282t t t t t t +-=++，即221()8t t -=。

结合21t t >，得21t t -=4．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，D 为线段BC 的中点，E 在线段AB 内，CE 与AD 交于点F 。

若A E E F =，且7AC =，3FC =，则c o s A C B ∠的值为（ ）A ．37 B． C ．314 D【答案】 B【解答】如图，过B 作BK AD ∥与CE 的延长线交于点K 。

则由AE EF =可得，EBK EAF AFE BKE ∠=∠=∠=∠。

∴ EK EB =。

又由D 为BC 中点，得F 为KC 中点。

∴ 3AB AE EB FE EK KF FC =+=+===。

∴BC === ∴cos 7BC ACB AC ∠==。

或解：对直线AFD 及BCE △应用梅涅劳斯定理得，1BD CF EADC FE AB⋅⋅=。

由D 为线段BC 的中点，知BD DC =。

又AE EF =，因此，3AB CF ==。

结合7AC =，90ABC ∠=︒，利用勾股定理得，BC =所以，cos 7BC ACB AC ∠==。

DBA E（第4题）K5．如图，O 为ABC △的外接圆的圆心，R 为外接圆半径，且4R =。

直线AO 、BO 、CO 分别交ABC △的边于D 、E 、F ，则111A DB EC F++的值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】 C【解答】由条件及等比定理，得OAB OAC OAB OAC OAB OACABD ACD ABD ACD ABC S S S S S S OA AD S S S S S ++====+△△△△△△△△△△△， 同理，OAB OBCABCS S OB BE S +=△△△，OBC OAC ABC S S OC CF S +=△△△。

∴()()()2OAB OAC OAB OBC OBC OAC ABCS S S S S S OA OB OC AD BE CF S +++++++==△△△△△△△。

又4OA OB OC R ====， ∴ 111212AD BE CF R ++==。

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．记函数223y x x =-+（12x -≤≤）的最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值为 。

【答案】 8【解答】∵ 2223(1)2y x x x =-+=-+，12x -≤≤，∴ 1x =时，y 取最小值，即2m =；1x =-时，y 取最大值，即6M =。

∴ 8M m +=。

7．已知二次函数2y ax bx c =++（0a >）的图像与x 轴交于不同的两点A 、B ， C 为二次函数图像的顶点，2AB =。

若ABC △是边长为2的等边三角形，则a = 。

【答案】【解答】依题意20ax bx c ++=有两个不同的实根，设为1x ，2x ，则122AB x x =-=。

∵ 12b x x a +=-，12cx x a=，∴ 222212121224()()4()44b c b ac x x x x x x a a a--=+-=--⨯==，即2244b ac a -=。

（第5题）又由222()24b b y ax bx c a x c a a =++=+-+，及0a >，知24b ca-+=-即244b a c -=。

∴24a =，a =8．如图，在ABC △中，AD 为BC 边上的高，M 为线段BC 的中点，且B A D D A M M A ∠=∠=∠。

若2AB =，则ABC △内切圆的半径为 。

【答案】1【解答】依题意，易知D 为BM 中点，12DM MC =。

又AM 平分DAC ∠， ∴12AD MD AC MC ==。

结合AD DC ⊥，得30ACD ∠=︒。

∴ 60DAC ∠=︒，90BAC ∠=︒。

∴AC =4BC =。

∴ ABC △1=。

9．若二次函数2(43)3y x a x a =+-+（23a ≥）的图像与直线2y x =-在y 轴左侧恰有1个交点，则符合条件的所有a 的值的和为 。

【答案】2912【解答】依题意，关于x 的方程2(43)32x a x a x +-+=-，即2(42)320x a x a +-+-=恰有1个负根或者两个相等的负根。

有下列三种情形：（1）方程有两个相等的负根。

则212(42)4(32)0(42)0a a x x a ⎧=---=⎨+=--<⎩△，解得1a =或34a =。

均满足23a ≥。

因此，1a =，34a =符合要求。

（2）方程两根中一根为零，另一根为负数。

则1212320(42)0x x a x x a =-=⎧⎨+=--<⎩，解得23a =。

满足23a ≥。

B（第8题）因此，23a =符合要求。

（3）方程两根中一根为正数，另一根为负数。

则12320x x a =-<，解得23a <。

不满足23a ≥。

综合（1）、（2）、（3），得符合条件的a 的值为1，34，23。

因此，符合条件的所有a 的值的和为322914312++=。

10．若正整数n 恰有90个不同的正因数（含1和本身），且在n 的正因数中有7个连续整数，则正整数n 的最小值为 。

【答案】 25200【解答】∵ 任意连续7个正整数的乘积能被1234567⨯⨯⨯⨯⨯⨯整除， ∴ n 的正因数中必定有22，3，5，7这四个数。

∴ 正整数n 具有形式：12342357n αααα=⨯⨯⨯⨯L （1α，2α，3α，4α为正整数，12α≥）。

由正整数n 恰有90个正因数，知1234(1)(1)(1)(1)90k αααα++++⨯=，其中k 为正整数。

而90分解为4个大于1的正整数的乘积的分解式只有一种：902335=⨯⨯⨯。

∴ 1k =，1234(1)(1)(1)(1)902335αααα++++==⨯⨯⨯。

∴ n 的最小值为422235725200⨯⨯⨯=，此时n 有连续正因数1，2，3，4，5，6，7。

三、解答题（共4题，每小题20分，共80分） 11．求方程2220172018x y x +=的正整数解。

【解答】方程化为22201820170x x y -+=。

将方程视为x 的方程，得22222018420174(10092017)y y =-⨯=-△为完全平方数。

…………………… 5分∴ 2210092017y -为完全平方数。

设22210092017y t -=（t 为非负整数），则22210092017t y -=。

∴ 2(1009)(1009)2017t t y -+=。

∵ 2017为质数，∴ 2017(1009)t -，或2017(1009)t +。

…………………… 10分 又t 为非负整数，且1009t ≤。

∴ 1009t =，或1008t =。

…………………… 15分 ∴ 0y =（舍去），或1y =。

将1y =代入方程，得2201820170x x -+=，解得1x =，或1017x =。

∴ 原方程的正整数解为11x y =⎧⎨=⎩，或20171x y =⎧⎨=⎩。

…………………… 20分12．如图，在等腰三角形ABC中，90ACB∠=︒，M是边AC的中点，D是边BC上一点，直线AD、BM交于点E，且ME MA=。

求证：（1）BE CD=；（2）AC DE AD DB=。

【解答】（1）如图，连结CE。

由条件知，ME MA MC==。

∴CE AE⊥。

…………… 5分∵90ACB∠=︒，∴MAE DCE∠=∠。

∴BED AEM MAE DCE ∠=∠=∠=∠。

又EBD CBE∠=∠，∴BDE BEC△∽△。

∴BE DEBC EC=。

…………… 10分又由CE AD⊥，AC CD⊥，知CDE ACE△∽△。

∴CD DE AC CE=。

由此可得，BE DE CDBC EC AC==，即BE CDBC AC=。

∵BC AC=，∴BE CD=。

…………… 15分（2）由（1）CE AD⊥，AC CD⊥，知CDE ADC△∽△，∴CE AC CD AD=。

又由（1）BDE BEC△∽△，知DE EC DB EB=。

结合（1）中BE CD=，可得AC CE EC DE AD CD EB DB===。

∴AC DEAD DB=。

…………… 20分（第12题）13．若存在正整数n ，p （6p >）使得3246n n n n p ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭成立，其中{}[]x x x =-，[]x 为不超过x 的最大整数。

（1）求p 的最小值；（2）当p 取最小值时，求使3246n n n n p ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭成立，且2017n ≤的正整数n的个数。