北师大版2020-2021九年级数学下册第二章二次函数单元综合培优测试题1(附答案详解)

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九年级数学下册第二章《二次函数》单元测试题-北师大版(含答案)

九年级数学下册第二章《二次函数》单元测试题-北师大版（含答案）一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分)1．抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0-、()3,0，且与y 轴交于点()0,5-，则当2x =时，y 的值为（）A ．5-B ．3-C ．1-D ．52．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线呈抛物线形，羽毛球距地面的高度()m y 与水平距离()m x 之间的关系如图所示，点B 为落地点，且1m OA =，4m OB =，羽毛球到达的最高点到y 轴的距离为3m 2，那么羽毛球到达最高点时离地面的高度为（）A ．25m 4B ．9m 4C ．3m 2D ．25m 163．二次函数222=++y x x 的图象的对称轴是（）A ．=1x -B ．2x =-C ．1x =D ．2x =4．已知二次函数()20y ax bx c a =+-≠，其中0b >、0c >，则该函数的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．5．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为2x =-，下列结论正确的是（）A ．a<0B ．0c >C ．当<2x -时，y 随x 的增大而减小D ．当2x >-时，y 随x 的增大而减小6．已知抛物线22()1y x =-+，下列结论错误的是（）A ．抛物线开口向上B ．抛物线的对称轴为直线2x =C ．抛物线的顶点坐标为(2,1)D ．当2x <时，y 随x 的增大而增大7．关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值68．抛物线y ＝x 2+3上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若y 1＜y 2，则下列结论正确的是( )A ．0≤x 1＜x 2B ．x 2＜x 1≤0C ．x 2＜x 1≤0或0≤x 1＜x 2D ．以上都不对9．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y =-0.01（x -20）2+4，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好位于水面，且AC ⊥x 轴，若OA =5米，则桥面离水面的高度AC 为（）A ．5米B ．4米C ．2.25米D ．1.25米10．下表中列出的是一个二次函数的自变量x 与函数y 的几组对应值：x… -2 0 1 3 …y… 6 -4 -6 -4 …下列各选项中，正确的是A ．这个函数的图象开口向下B ．这个函数的图象与x 轴无交点C ．这个函数的最小值小于-6D ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而增大11．用配方法将二次函数21242y x x =--化为2()y a x h k =-+的形式为（） A ．21(2)42y x =-- B ．21(1)32y x =-- C ．21(2)52y x =-- D ．21(2)62y x =--12．向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的函数表达式为()20y ax bx c a =++≠，若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A ．第7秒B ．第9秒C ．第11秒D ．第13秒二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分)13．某快餐店销售A 、B 两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A 种快餐的利润，同时提高每份B 种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A 种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B 种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的一边AB 在x 轴上，顶点B 在x 轴正半轴上．若抛物线y ＝x 2﹣5x +4经过点C 、D ，则点B 的坐标为______．15．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点(2,0)-，对称轴为直线12x =-．对于下列结论：⊥<0abc ；⊥240b ac ->；⊥0a b c ++=；⊥21(2)4am bm a b +<-（其中12m ≠-）；⊥若()11,A x y 和()22,B x y 均在该函数图象上，且121x x >>，则12y y >．其中正确结论的个数共有_______个．16．二次函数23y ax ax c =-+（a<0，a ，c 均为常数）的图象经过()12A y -，、()22B y ，、()30C y ，三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是 _____．17．如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++，则铅球推出的水平距离OA 的长是_____m ．18．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，其与x 轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x ＝﹣1，则当y ＜0时，x 的取值范围是_____．19．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线20.2 2.25y x x =-++运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m ，则他距篮筐中心的水平距离OH 是_________m ．20．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在正常水位的情况下，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．则当水位下降m=________时，水面宽为5m ？三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分)21．如图，隧道的截面由抛物线DEC 和矩形ABCD 构成，矩形的长AB 为4m ，宽BC 为3m ，以DC 所在的直线为x 轴，线段CD 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．y 轴是抛物线的对称轴，最高点E 到地面距离为4米．(1)求出抛物线的解析式．(2)在距离地面134米高处，隧道的宽度是多少？ (3)如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．22．2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线2117C :1126y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线2C的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．23．如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求点A，点B和点C的坐标；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标．24．李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．(1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？25．如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B1(0,)2，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时DFQ周长的最小值及点Q的坐标．参考答案1．A 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．D 8．D 9．C 10．C 11．D 12．B 13．1264 14．（2，0） 15．316．132y y y << 17．10 18．﹣3＜x ＜1 19．4 20．1.12521．(1)2114y x =-+(2)3 (3)能通过22．（1）213482y x x =-++；（2）12米；（3）3524b ≥．23．（1）A （﹣2，0），B （1，0），C （0，﹣2）．（2）P （12-，12-）24．(1)0.28.4y x =-+(110x ≤≤且x 为整数)．(2)李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．25．（1）()21218y x =--；（2）1（3）226，14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭。

2020—2021年北师大版初中数学九年级下册《二次函数》单元检测题及答案解析10.docx

二次函数检测题时间：120分钟满分：120分一、精心选一选(每小题3分，共30分)1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上，顶点坐标为(3，－2)，那么该抛物线有( A )A．最小值－2 B．最大值－2 C．最小值3 D．最大值3 2．如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是( C )A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2 C．y＝x2＋1 D．y ＝x2＋33．将二次函数y＝x2－2x＋3，化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为( D )A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x－1)2＋4 C．y＝(x＋1)2＋2 D．y＝(x－1)2＋24．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中，错误的是( B )A．a＜0 B．b＞0 C．c＞0 D．b2－4ac＞0,第4题图) ,第6题图) ,第9题图)5．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数y＝x2－2x＋99的零点的个数为( A )A．0 B．1 C．2 D．无法确定6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y ＝bx＋a的图象不经过( D )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．对于抛物线y＝－13(x＋2)2－5，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝2；③顶点坐标为(－2，－5)；④x＞2时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为( C )A．1 B．2 C．3 D．48．(2015·南昌)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)过(－2，0)，(2，3)两点，那么抛物线的对称轴( D )A．只能是x＝－1 B．可能是y轴C．可能在y轴右侧且在直线x＝2的左侧 D．可能在y轴左侧且在直线x＝－2的右侧9．某幢建筑物，从10 m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线形状(抛物线所在平面与地面垂直)，如果抛物线的最高点M离墙1 m，离地面403m(如图)，则水流落地点B离墙的距离OB是( B )A．2 m B．3 m C．4 m D．5 m10．如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是( B )二、细心填一填(每小题3分，共24分)11．若抛物线y＝－mx2＋3mx＋6m＋2经过点(1，0)，那么m的值为__－14__．12．抛物线y＝2x2－bx＋3的对称轴是直线x＝1，则b的值为__4__．13．小汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系式为s＝1100v2，一辆小汽车速度为100 km/h，在前方80 m处停放一辆故障车，此时刹车__会__有危险．(填“会”或“不会”) 14．(2015·龙东地区)抛物线y ＝ax2＋bx＋2经过点(－2，3)，则3b－6a＝__－32__．15．抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是__－3＜x＜1__．16．某同学利用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象时，列出的部分数据如下表：经检查，发现错误，请你根据上述信息写出该二次函数的解析式：__y＝x2－4x＋3__.17．飞机着陆后滑行的距离s(单位：米)与滑行的时间t(单位：秒)的函数关系式是s＝60t－1.5t2，则飞机着陆后滑行__600__米才能停下来．18．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a＋b＋c＞0；④若点B(－52，y1)，C(－12，y2)为函数图象上的两点，则y1＜y2，其中正确的是__①④__.(只填序号)三、耐心做一做(共66分)19．(8分)已知二次函数的图象的顶点是(－1，2)，且经过点(0，1)．(1)求这个二次函数的关系式，并画出它的图象；(2)判断点(－3，－2)是否在这个二次函数的图象上．解：(1)y＝－(x＋1)2＋2，画图象略(2)将x＝－3代入，得y＝－(－3＋1)2＋2＝－2，∴点(－3，－2)在抛物线y＝－(x ＋1)2＋2上20．(8分)已知二次函数y＝ax2＋bx－3的图象经过点A(2，－3)，B(－1，0)．(1)求二次函数的解析式；(2)要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点，应把图象沿y轴向上平移__4__个单位．解：(1)y＝x2－2x－3 (2)421．(9分)如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，且AO＝8，BO＝6，P是线段AB上一个动点，PE⊥AO于E，PF⊥BO于F.设PE＝x，矩形PFOE的面积为S.(1)求出S与x的函数关系式；(2)当x为何值时，矩形PFOE的面积S最大？最大面积是多少？解：(1)在矩形PFOE中，OF＝PE＝x，∵AO＝8，BO＝6，∴tanB ＝AO BO ＝PF BF ，即86＝PF 6－x ，解得PF ＝43(6－x)，∴矩形PFOE 的面积为S ＝PE ·PF ＝x ·43(6－x)＝－43x 2＋8x ，即S ＝－43x 2＋8x (2)∵S ＝－43x 2＋8x ＝－43(x －3)2＋12，∴当x ＝3时，矩形PFOE 的面积S 最大，最大面积是1222．(9分)如图，已知二次函数y ＝－12x 2＋bx ＋c 的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA ，BC ，求△ABC 的面积．解：(1)y ＝－12x 2＋4x －6 (2)配方得y ＝－12(x －4)2＋2，∴对称轴为x＝4，C(4，0)，∴AC＝2，OB＝6，S△ABC＝12 AC·OB＝623．(10分)国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A，B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元，花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相等，销售中发现A型汽车的每周销量y A(台)与售价x(万元/台)满足函数关系式y A＝－x＋20，B型汽车的每周销量y B(台)与售价x(万元/台)满足函数关系式y B＝－x＋14.(1)求A，B两种型号的汽车的进货单价；(2)已知A型汽车的售价比B型汽车的售价高2万元/台，设B型汽车售价为t万元/台，每周销售这两种车的总利润为W万元，求W与t的函数关系式，A，B两种型号的汽车售价各为多少时，每周销售这两种车的总利润最大？最大总利润是多少万元？解：(1)设A种型号的汽车的进货单价为m万元，依题意得50 m＝40m－2，解得m＝10，经检验：m＝10是原分式方程的解，故m －2＝8，则A种型号的汽车的进货单价为10万元，B种型号的汽车的进货单价为8万元(2)根据题意得W＝(t＋2－10)[－(t ＋2)＋20]＋(t－8)(－t＋14)＝－2t2＋48t－256＝－2(t－12)2＋32.∵a＝－2＜0，抛物线开口向下，∴当t＝12时，t＋2＝14，W有最大值为32，则A种型号的汽车售价为14万元/台，B种型号的汽车售价为12万元/台时，每周销售这两种车的总利润最大，最大总利润是32万元24．(10分)(1)抛物线m1：y1＝a1x2＋b1x＋c1中，函数y1与自变量x之间的部分对应值如表：设1P的坐标为__(1，4)__，点C的坐标为__(0，3)__．(2)将抛物线m1沿x轴翻折，得到抛物线m2：y2＝a2x2＋b2x ＋c2，则当x＝－3时，y2＝__12__.(3)在(1)的条件下，将抛物线m1沿水平方向平移，得到抛物线m3.设抛物线m1与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，抛物线m3与x轴交于M，N两点(点M在点N的左侧)．过点C作平行于x轴的直线，交抛物线m3于点K.问：是否存在以A，C，K，M为顶点的四边形是菱形的情形？若存在，请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．解：(3)存在．理由：当y1＝0时，－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，则A(－1，0)，B(3，0)，∵抛物线m1沿水平方向平移，得到抛物线m3，∴CK∥AM，CK＝AM，∴四边形AMKC为平行四边形，当CA＝CK时，四边形AMKC为菱形，而AC＝12＋32＝10，则CK＝10.当抛物线m1沿水平方向向右平移10个单位，此时K(10，3)；当抛物线m1沿水平方向向左平移10个单位，此时K(－10，3)25．(12分)(2015·河池)如图1，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B，与y轴交于C，抛物线的顶点为D，直线l过C 交x轴于E(4，0)．(1)写出D的坐标和直线l的解析式；(2)P(x，y)是线段BD上的动点(不与B，D重合)，PF⊥x轴于F，设四边形OFPC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；(3)点Q在x轴的正半轴上运动，过Q作y轴的平行线，交直线l于M，交抛物线于N，连接CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′，在图2中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)D(1，4)，直线l的解析式为y＝－34x＋3(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，∴A(－1，0)，B(3，0)．又∵D(1，4)，可求线段BD 所在直线的解析式为y ＝－2x ＋6(1<x<3)，∴梯形OFPC 的面积S ＝12(PF ＋CO)×OF ＝12×(－2x ＋6＋3)×x ＝－x 2＋92x(1<x<3)．当x ＝－b 2a ＝94时，面积S 取最大值，最大面积为S ＝－(94)2＋94×92＝8116(3)存在．设Q(t ，0)(t ＞0)，则M(t ，－34t ＋3)，N(t ，－t 2＋2t ＋3)，∴MN ＝|－t 2＋2t ＋3－(－34t ＋3)|＝|t 2－114t|，CM ＝t 2＋（－34t ＋3－3）2＝54t ，∵△CMN 沿CN 翻转，M 的对应点为M ′，M ′落在y 轴上，而QN ∥y 轴，∴MN ∥CM ′，NM ＝NM ′，CM ′＝CM ，∠CNM ＝∠CNM ′，∴∠M ′CN ＝∠CNM ，∴∠M ′CN ＝∠CNM ′，∴CM ′＝NM ′，∴NM ＝CM ，∴|t 2－114t|＝54t ，当t 2－114t ＝54t ，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝4，此时Q 点坐标为(4，0)；当t 2－114t ＝－54t ，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝32，此时Q 点坐标为(32，0)，综上所述，点Q 的坐标为(32，0)或(4，0)。

【九年级】九年级数学下第二章二次函数单元测试题(北师大有答案)

【九年级】九年级数学下第二章二次函数单元测试题（北师大有答案）第二章二次函数一、选择题1.二次函数y=x2+4x?5的图象的对称轴为（）a.x=?4b.x=4c.x=?2d.x=22.二次函数y=（x?1）2?2的顶点座标就是（）a.（1，?2）b.（?1，2）c.（?1，?2）d.（1，2）3.必须获得函数y=2x2-1的图象，应当将函数y=2x2的图象（）a.沿x轴向左平移1个单位b.沿x轴向右平移1个单位c.沿y轴向上位移1个单位d.沿y轴向上位移1个单位4.若a（?3，y1），b（?1，y2），c（2，y3）为二次函数y=x2?2x?3的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）a.y1＜y2＜y3b.y2＜y1＜y3c.y3＜y2＜y1d.y3＜y1＜y25.已知二次函数y=ax2+bx+c，且ac＜0，则它的图象经过( )a.一、二、三象限b.二、三、四象限c.一、三、四象限d.一、二、三、四象限6.方程ax2+bx+c=0的两个根是－3和1，那么二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（）a.x＝－3b.x＝－2c.x＝－1d.x＝17.若将函数y=2x2的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是（）a.y=2（x?1）2?3b.y=2（x?1）2+3c.y=2（x+1）2?3d.y=2（x+1）2+38.二次函数y=3（x?h）2+k的图象如图所示，下列判断正确的是（）a.h＞0，k＞0b.h＞0，k＜0c.h＜0，k＞0d.h＜0，k＜09.y=x2＋（1－a）x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）a.a=5b.a≥5c.a＝3d.a≥310.抛物线y=?3x2+2x?1与坐标轴的交点个数为（）a.0个b.1个c.2个d.3个11.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（0.5，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac?b2=4a；④（a+c）2?b2＜0．其中正确的个数是（）a.1个b.2个c.3个d.4个二、填空题12.抛物线y=?2（x?3）2+4的顶点座标就是________．13.若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与抛物线y=x2?4x+3的图象关于y轴对称，则函数y=ax2+bx+c的解析式为________．14.二次函数y=（x?2m）2+m2，当m＜x＜m+1时，y随x的减小而增大，则m的值域范围就是________．15.抛物线y=?x2?2x+3与x轴交点为________．16.）若二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴没公共点，则m的值域范围就是________17.已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是________．18.若将抛物线y=x2-4x-3的图像向右位移3个单位，则税金抛物线的解析式就是________．19.二次函数y=（a?1）x2?x+a2?1的图象经过原点，则a的值为________．三、答疑题20.已知是x的二次函数，求m的值和二次函数的解析式．21.未知二次函数y=ax2+bx+3的图象过点（?1，8）、（1，0），谋这个二次函数的表达式．22.已知二次函数y=?x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴存有两个交点，谋m的值域范围；（2）如图，二次函数的图象过点a（3，0），与y轴交于点b，直线ab与这个二次函数图象的对称轴交于点p，求点p的坐标．（3）根据图象轻易写下并使一次函数值大于二次函数值的x的值域范围．23.如图，对称轴为直线x=2的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点a和点b，与y轴交于点c，且点a的坐标为（?1，0）（1）谋抛物线的解析式，以及b、c两点的座标；（2）求过o，b，c三点的圆的面积．（结果保留π）参考答案一、选择题cadcdcdbbbd二、填空题12.（3，4）13.y=x2+4x+314.m≥115.（?3，0），（1，0）16.m＞117.x＜?1或x＞518.y=x2-10x+18．19.?1三、答疑题20.解：∵是x的二次函数，∴，Champsaurm=3或m=?1，∴此二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2?4x+1．21.求解：把（?1，8）、（1，0）代入y=ax2+bx+3得，Champsaur，所以二次函数的解析式为y=x2?4x+322.（1）解：∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△=22+4m＞0∴m＞?1（2）求解：∵二次函数的图象过点a（3，0），∴0=?9+6+m∴m=3，∴二次函数的解析式为：y=?x2+2x+3，令x=0，则y=3，∴b（0，3），设立直线ab的解析式为：y=kx+b，∴，解得：，∴直线ab的解析式为：y=?x+3，∵抛物线y=?x2+2x+3，的对称轴为：x=1，∴把x=1代入y=?x+3得y=2，∴p（1，2）（3）求解：根据函数图象所述：x＜0或x＞323.（1）解：由题意得：解得：，∴抛物线解析式为：y=x2?4x?5，当x=0时，x2?4x?5=0，（x+1）（x?5）=0，x1=?1，x2=5，∴a（?1，0），b（5，0），当x=0时，y=?5，∴c（0，?5），∴抛物线解析式为y=x2?4x?5，b点坐标为（5，0），c点坐标为（0，?5）（2）求解：相连接bc，则△obc就是直角三角形，∴过o、b、c三点的圆的直径就是线段bc的长度，在rt△obc中，ob=oc=5，∴bc=5，∴圆的半径为，∴圆的面积为π（）2=π。

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元综合达标测试题(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元综合达标测试题（附答案）一．选择题（共10小题，满分30分）1．在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A．y＝﹣3x B．xy＝2C．y＝ax2+bx+c D．y＝2x2+52．下列各点中，在抛物线y＝x2﹣4上的是（）A．（1，3）B．（﹣1，﹣3）C．（1，﹣5）D．（﹣1，﹣5）3．抛物线y＝﹣（x﹣5）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣5，3）B．（5，3）C．（3，5）D．（5，﹣3）4．将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是（）A．y＝x2﹣1B．y＝x2﹣5C．y＝（x+2）2﹣3D．y＝（x﹣2）2﹣3 5．已知b＞0时，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象如下列四个图之一所示：根据图象分析，a的值等于（）A．﹣2B．﹣1C．1D．26．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加（）A．1m B．2m C．（2﹣4）m D．（﹣2）m 7．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y28．如图，抛物线y1＝a（x+1）2﹣5与抛物线y2＝﹣a（x﹣1）2+5（a≠0）交于点A（2，4），B（m，﹣4），若无论x取任何值，y总取y1，y2中的最小值，则y的最大值是（）A．4B．5C．2D．19．已知函数y＝，若使y＝k成立的x值恰好有两个，则k的值为（）A．﹣1B．1C．0D．±110．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标（﹣2，3），抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，有下列说法：①4a﹣b＝0；②a﹣b+c＝0；③若（﹣4，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2；④b2+3b＝4ac．其中正确的个数有（）A．4B．3C．2D．1二．填空题（共7小题，满分21分）11．已知抛物线y＝（a+3）x2开口向下，那么a的取值范围是．12．请写出一个开口向下，对称轴为直线x＝2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式．13．已知二次函数y＝x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是．14．抛物线y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的对称轴是直线x＝2，且它的最高点在直线y＝x+2上，则m＝，n＝．15．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如下表：x…﹣3﹣20135…y…70﹣8﹣9﹣57…则当x＝2时对应的函数值y＝．16．如图在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点，其顶点为D，若△ABC与△ABD的面积比为3：5，则m值为．17．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝﹣x2+2x+1与y轴交于C点，若点E在抛物线的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，则CE+EF的最小值为．三．解答题（共9小题，满分69分）18．用配方法把二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣m）2+k的形式，并写出该函数图象的顶点坐标．19．已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．（1）求a，b的值；（2）若（5，n），（m，n）是抛物线上不同的两点，求m的值．20．已知二次函数的图象经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），且有最小值为﹣2．（1）求这个函数的解析式；（2）函数的开口方向、对称轴；（3）当y＞0时，x的取值范围．21．已知函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）（1）当m，n取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x轴有交点吗？请判断并说明理由；（2）若它是一个二次函数，假设n＞﹣1，那么：①当x＜0时，y随x的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由；②它一定经过哪个点？请说明理由．22．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（5，0），与y轴交于点C（0，5）．（1）求抛物线的表达式；（2）若点M是抛物线在x轴下方的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值．23．如图1，地面OB上两根等长立柱AO，CB之间悬挂一根近似成抛物线y＝x2﹣x+3的绳子．（1）求绳子最低点离地面的距离；（2）因实际需要，在离AO为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；（3）保持（2）中点N的位置不变，将立柱MN的长度提升为3米，发现抛物线F1和F2的形状和大小都一样，测得抛物线F1和F2的最低点到地面的高度相差0.5米，求抛物线F1对应函数的二次项系数．24．已知二次函数y＝x2+px+q图象的顶点M为直线y＝x与y＝﹣x+m的交点．（1）用含m的代数式表示顶点M的坐标；（2）若二次函数y＝x2+px+q的图象经过点A（0，3），求二次函数的表达式；（3）当m＝6且x满足t﹣1≤x≤t+3时，二次函数y＝x2+px+q的最小值为2，求t的取值范围．25．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件．如果该商品的售价每上涨1元，就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x 元（x为整数）时，月销售利润为y元．（1）求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．（2）当每件商品的售价定为多少元时，可获得的月利润最大？最大月利润是多少？26．在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（2m，4）（m为常数，且m＞0），将点A绕线段AB中点顺时针旋转90°得到点C．经过A、B、C三点的抛物线记为G．（1）当m＝2时，求抛物线G所对应的函数表达式．（2）用含m的式子分别表示点C的坐标和抛物线G所对应的函数表达式．（直接写出即可）（3）当抛物线G在直线x＝﹣2和x＝2之间的部分（包括边界点）的最高点与最低点的纵坐标之差为8时，直接写出m的取值范围．（4）连结AC，点R在线段AC上，过点R作x轴的平行线与抛物线G交于P、Q两点，连结AP、AQ．当点R将线段PQ分成1：3两部分，且△APQ的面积为时，求m的值．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：A、y＝﹣3x是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；B、xy＝2不是二次函数，故此选项不符合题意；C、a＝0时不是二次函数，故此选项不符合题意；D、y＝2x2+5是二次函数，故此选项符合题意；故选：D．2．解：当x＝1时，y＝x2﹣4＝﹣3；当x＝﹣1时，y＝x2﹣5＝﹣3；∴点（﹣1，﹣3）在抛物线上，点（1，3）、（1，﹣5）、（﹣1，﹣5）都不在抛物线上．故选：B．3．解：抛物线y＝﹣（x﹣5）2+3的顶点坐标是（5，3）．故选：B．4．解：将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是y＝（x+2）2﹣3．故选：C．5．解：因为前两个图象的对称轴是y轴，所以﹣＝0，又因为a≠0，所以b＝0，与b＞0矛盾；第三个图的对称轴﹣＞0，a＞0，则b＜0，与b＞0矛盾；故第四个图正确．由于第四个图过原点，所以将（0，0）代入解析式，得：a2﹣1＝0，解得a＝±1，由于开口向下，a＝﹣1．故选：B．6．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±，所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了2﹣4．故选：C．7．解：∵函数的解析式是y＝﹣（x+1）2+a，如右图，∴对称轴是直线x＝﹣1，∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，于是y1＞y2＞y3．故选：A．8．解：由题意可知：y的函数图象如图所示：观察函数图象可知：点A为函数y的图象的最高点，∴y的最大值为4．故选：A．9．解：函数y＝的图象如图：根据图象知道当y＝﹣1或y＝1时，对应成立的x有恰好有2个，则k的值为±1．故选：D．10．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2，∴﹣＝﹣2，∴4a﹣b＝0，因此①正确；∵抛物线的对称轴为x＝﹣2，图象与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）和点（0，0）之间，∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，因此②不正确；∵|﹣4﹣（﹣2）|＜|1﹣（﹣2）|，∴（﹣4，y1）到对称轴的水平距离小于（1，y2）到对称轴的水平距离，且抛物线开口向下，∴y1＞y2，故③正确；∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），∴＝3，∴b2+12a＝4ac，∵4a﹣b＝0，∴b＝4a，∴b2+3b＝4ac，故④正确；∴正确的有：①③④，故选：B．二．填空题（共7小题，满分21分）11．解：∵抛物线y＝（a+3）x2开口向下，∴a+3＜0，∴a＜﹣3．故答案为：a＜﹣3．12．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，令a＝﹣1，设抛物线的关系式为y＝﹣（x﹣h）2+k，∵对称轴为直线x＝2，∴h＝2，把（0，3）代入得，3＝﹣（0﹣2）2+k，解得，k＝7，∴抛物线的关系式为：y＝﹣（x﹣2）2+7，故答案为：y＝﹣（x﹣2）2+7（答案不唯一）．13．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣m，∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∵当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，∴﹣m≤2，解得m≥﹣2．故答案为：m≥﹣2．14．解：∵抛物线y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的对称轴是直线x＝2，且它的最高点在直线y ＝x+2上，∴，当x＝2时，y＝×2+2＝3，∴m＝﹣1，该抛物线的顶点坐标为（2，3），∴3＝[（﹣1）2﹣2]×22﹣4×（﹣1）×2+n，解得，n＝﹣1，故答案为：﹣1，﹣1．15．解：观察表格可知，当x＝﹣3或5时，y＝7，根据二次函数图象的对称性，（﹣3，7），（5，7）是抛物线上两对称点，对称轴为直线x＝＝1，顶点（1，﹣9），根据对称性，x＝2与x＝0时，函数值相等，都是﹣8．16．解：∵y＝x2+mx+2＝（x+）2+2﹣，∴顶点D（﹣，2﹣），C（0，2），∴OC＝2，∵S△ABC＝AB•OC＝AB×2＝AB，S△ABD＝AB•|2﹣|，△ABC与△ABD的面积比为3：5，∴AB：AB•|2﹣|＝3：5，解得：m＝﹣．故答案是：﹣．17．解：如图，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE＝C′E，∴CE+EF＝C′E+EF，∴当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，直线AB的解析式为y＝x+3，∵C（0，1），∴C′（2，1），∴直线C′F的解析式为y＝﹣x+，联立直线C′F和直线AB得：x+3＝﹣x+，解得x＝，代入解得y＝，∴F（，），∴C′F＝＝，即CE+EF的最小值为．故答案为．三．解答题（共9小题，满分69分）18．解：y＝x2﹣4x+5＝（x2﹣8x）+5＝（x2﹣8x+16）+5﹣8＝（x﹣4）2﹣3，∴顶点（4，﹣3）．19．解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，，解得：；（2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1，∴对称轴是直线x＝﹣＝2，∵（5，n），（m，n）是抛物线上不同的两点，纵坐标相同，∴（5，n），（m，n）是对称点，∴＝2，解得m＝﹣1．20．解：（1）由题意得：函数的对称轴为x＝1，此时y＝﹣2，则函数的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣2，把点A坐标代入上式，解得：a＝，则函数的表达式为：y＝x2﹣x﹣（2）a＝＞0，函数开口向上，对称轴为：x＝1；（3）当y＞0时，x的取值范围为：x＞3或x＜﹣1．21．解：（1）①当m＝1，n≠﹣2时，函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）是一次函数，它一定与x轴有一个交点，∵当y＝0时，（n+1）x m+mx+1﹣n＝0，∴x＝，∴函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）与x轴有交点；②当m＝2，n≠﹣1时，函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）是二次函数，当y＝0时，y＝（n+1）x m+mx+1﹣n＝0，即：（n+1）x2+2x+1﹣n＝0，△＝22﹣4（1+n）（1﹣n）＝4n2≥0；∴函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）与x轴有交点；③当n＝﹣1，m≠0时，函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n是一次函数，当y＝0时，x＝，∴函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）与x轴有交点；（2）①假命题，若它是一个二次函数，则m＝2，函数y＝（n+1）x2+2x+1﹣n，∵n＞﹣1，∴n+1＞0，抛物线开口向上，对称轴：﹣＝＝﹣＜0，∴对称轴在y轴左侧，当x＜0时，y有可能随x的增大而增大，也可能随x的增大而减小，②当x＝1时，y＝n+1+2+1﹣n＝4．当x＝﹣1时，y＝0．∴它一定经过点（1，4）和（﹣1，0）．22．解：（1）将（5，0），（0，5）代入y＝x2+bx+c得，解得，∴y＝x2﹣6x+5．（2）设直线BC解析式为y＝kx+n，将（5，0），（0，5）代入y＝kx+n得，解得，∴y＝﹣x+5，设点M坐标为（m，m2﹣6m+5），则点N坐标为（m，﹣m+5），∴MN＝﹣m+5﹣（m2﹣6m+5）＝﹣m2+5m＝﹣（m﹣）2+，∴MN最大值为．23．解：（1）∵＞0，∴抛物线开口向上，抛物线的顶点为最低点，∵y＝x2﹣x+3＝（x﹣4）2+，∴绳子最低点离地面的距离为m；（2）由（1）可知，对称轴为x＝4，则BO＝8，令x＝0得y＝3，∴A（0，3），C（8，3），由题意可得：抛物线F1的顶点坐标为：（2，1.8），设F1的解析式为：y＝a（x﹣2）2+1.8，将（0，3）代入得：4a+1.8＝3，解得：a＝0.3，∴抛物线F1为：y＝0.3（x﹣2）2+1.8，当x＝3时，y＝0.3×1+1.8＝2.1，∴MN的长度为2.1米；（3）∵MN＝3，点M（3，3），∵抛物线F1和F2的形状和大小都一样，∴设抛物线F1的解析式为y＝a（x﹣）2+k1，F2的解析式为y＝a（x﹣）2+k2，抛物线F1和F2的最低点到地面的高度分别为k1和k2，由题意，得k1﹣k2＝0.5，把点M（3，3）分别代入y＝a（x﹣）2+k1和y＝a（x﹣）2+k2，得k1＝3﹣a，k2＝3﹣a，∴3﹣a﹣（3﹣a）＝0.5，解得：a＝．∴抛物线F1对应函数的二次项系数为．24．解：（1）由，得，即顶点M坐标为（m，m）；（2）∵此时二次函数为y＝（x﹣m）2+m过点A（0，3），∴3＝（0﹣m）2+m得m1＝﹣3，m2＝，∴y＝（x+2）2﹣1或y＝（x﹣）2+；（3）当m＝6时，顶点为M（4，2），∴抛物线为y＝（x﹣4）2+2，函数的最小值为2，∵x满足t﹣1≤x≤t+3时，二次函数的最小值为2，∴，解得1≤t≤5．25．解：（1）y＝（30﹣20+x）（180﹣10x）＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；（2）由（1）知，y＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）．∵﹣10＜0，∴当x＝＝4时，y最大＝1960元；∴每件商品的售价为34元．答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元；26．解：（1）由题意可知，点C为抛物线G的顶点，当m＝2时，C（2，6），设G所对应的函数的表达式为y＝a（x﹣2）2+6（a≠0），将点A（0，4）代入y＝a（x﹣2）2+6得4＝4a+6，解得a＝﹣．∴y＝﹣（x﹣2）2+6．（2）∵抛物线对称轴为直线x＝＝m，∴点C坐标为（m，m+4），设抛物线解析式为y＝a（x﹣m）2+m+4，把（0，4）代入y＝a（x﹣m）2+m+4得4＝am2+m+4，解得a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣m）2+m+4．（3）①0＜m≤2时，在直线x＝﹣2和x＝2之间的部分的抛物线最高点为顶点（m，m+4），最低点为直线x＝﹣2与抛物线交点（﹣2，﹣），m+4﹣（﹣）＝8时，解得m＝2．②当m＞2时，图象最高点为直线x＝2与抛物线交点（2，﹣+8），最低点为直线x＝﹣2与抛物线交点（﹣2，﹣），﹣+8﹣（﹣）＝8，∴m＞2符合题意，∴m≥2．（4）作CD⊥PQ于点D，∵点R将线段PQ分成1：3两部分，∴PQ＝4PR＝2PD，∴PR＝RD，∴CD＝RD，∴PQ＝4CD，设CD＝t，则PQ＝4t，∴点Q的坐标为（m+2t，m+4﹣t），∴＝﹣（m+2t﹣m）2+m+4＝m+4﹣t．解得t＝m．∴点Q坐标为（m，m+4），PQ＝m，∵△APQ的面积为，∴m（m+4﹣4）＝，解得m＝或m＝﹣（舍）．∴m＝．。

北师大版2020九年级数学下册第二章二次函数单元综合基础达标训练题1(附答案详解)

北师大版2020九年级数学下册第二章二次函数单元综合基础达标训练题1（附答案详解）1．二次函数y =x 2﹣2x +1与x 轴的交点个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．32．抛物线2(1)y x =-与y 轴的交点坐标为（） A ．(1,0)B ．(-1,0)C ．(0,-1)D ．(0,1)3．已知二次函数2333(11)y x bx b =-+-≤≤当b 从1-逐渐变化到1的过程中，它对应的抛物线位置也随之变化，下列关于抛物线的移动过程描述正确的是（）． A ．先向左上方移动，瑞向左下方移动 B ．先向左下方移动，再向左上方移动 C ．先向右上方移动，再向右下方移动 D ．先向右下方移动，再向右上方移动 4．将二次函数的图象沿x 轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是（） A ．B ．C ．D ．5．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个解的范围是（） x 6.17 6.18 6.19 y－0.03－0.010.02A ．－0.03＜x ＜－0.01B ．－0.01＜x ＜0.02C ．6.18＜x ＜6.19D ．6.17＜x ＜6.186．抛物线y =x 2﹣2x ﹣1，则图象与x 轴交点是（） A ．二个交点 B ．一个交点 C ．无交点 D ．不能确定7．二次函数2y ax bx c =++与一次函数y=ax+c 在同一直角坐标系内的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．8．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（）A ．y=x 2﹣x ﹣2B ．y=﹣12x 2﹣12x+2 C ．y=﹣12x 2﹣12x+1 D ．y=﹣x 2+x+2 9．下列函数中，图象形状、开口方向相同的是( ) ①y ＝－3x 2；②y ＝－12x 2；③y ＝－12x 2－1；④y ＝2x 2＋1；⑤y ＝5x 2－3；⑥y ＝－5x 2＋13. A ．①④B ．②③C ．⑤⑥D ．②③④10．函数222y x x =-++的顶点坐标是（） A ．(1，3)B ．(1-，3)C ．(1，−2)D ．(−1，2)11．如图，抛物线y=﹣2x 2+8x ﹣6与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记作C 1，将C 1向右平移得C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ．若直线y=x+m 与C 1、C 2共有3个不同的交点，则m 的取值范围是（）A ．﹣2＜m ＜18B ．﹣3＜m ＜﹣74C ．﹣3＜m ＜﹣2D ．﹣3＜m ＜﹣15812．在直角坐标系中，函数y= 3x 与y= －x 2+1的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．13．二次函数的图象如图所示，则其表达式为__________．14．把抛物线y=﹣x 2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______．15．请写出一个对称轴为x=3的抛物线的解析式_________．16．已知抛物线y=x 2−2x+2-a 与x 轴有两个不同的交点,则直线y=ax+a 不经过第________________ 象限。

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元综合达标测试题(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元综合达标测试题（附答案）一．选择题（共10小题，满分30分）1．二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是（）A．1B．2C．﹣2D．32．抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣1，3）B．（1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）3．抛物线y＝x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（）A．B．C．﹣4D．44．下列对二次函数y＝﹣（x+1）2﹣3的图象描述不正确的是（）A．开口向下B．顶点坐标为（﹣1，﹣3）C．与y轴相交于点（0，﹣3）D．当x＞−1时，函数值y随x的增大而减小5．抛物线y＝2x2﹣4x+c经过三点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2 6．函数y＝ax+1与y＝﹣ax2+ax+1（a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．7．若将双曲线y＝向下平移3个单位后，交抛物线y＝x2于点P（a，b），则a的取值范围是（）A．0＜a＜B．＜a＜1C．1＜a＜2D．2＜a＜38．小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A的坐标为，则实心球飞行的水平距离OB的长度为（）A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m9．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且经过点A（2﹣m，c），B（m+2，c），则△AOB的面积为（）A．8B．12C．16D．410．已知经过点（﹣1，0）且对称轴为x＝1的二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③4a+2b+c＞0；④2a＝b；⑤3a+c＜0．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共8小题，满分24分）11．函数y＝x2m﹣1+x﹣3是二次函数，则m＝．12．已知抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣2）2+1，则抛物线的对称轴是直线．13．在函数y＝（x﹣1）2+1中，当x＞1时，y随x的增大而．（填“增大”或“减小”）14．将抛物线y＝x2+x﹣1向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则此时抛物线的解析式是．15．抛物线y＝x2+bx+c的图象上有两点A（1，m），B（5，m），则b的值为．16．已知二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的部分对应值如下表：x…123456…y…0﹣3﹣4﹣305…则当x＝0时，y的值为．17．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于两点A（﹣2，p），B（5，q），则不等式ax2+mx+c≤n的解集是．18．若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为．三．解答题（共8小题，满分66分）19．已知y与x2成正比例，并且x＝1时y＝2．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）当x＝﹣1时y的值．20．已知抛物线L：y＝（m﹣2）x2+x﹣2m（m是常数且m≠2）．（1）若抛物线L有最高点，求m的取值范围；（2）若抛物线L与抛物线y＝x2的形状相同、开口方向相反，求m的值．21．已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）的图象经过点A（﹣2，0），过点A作直线l交抛物线于点B（4，m）．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．（2）将抛物线向下平移n（n＞0）个单位，使顶点落在直线l上，求m，n的值．22．已知二次函数y＝x2+2x﹣3．（1）用配方法把这个二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）当﹣4≤x≤0时，结合图象直接写出y的取值范围．23．如图，学校要用一段长为32米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为14米．（1）若矩形ABCD的面积为96平方米，求矩形的边AB的长．（2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？24．已知关于x的二次函数y＝x2﹣2ax+a2+2a．（1）当a＝1时，求已知二次函数对应的抛物线的顶点和对称轴；（2）当a＝2时，直线y＝2x与该抛物线相交，求抛物线在这条直线上所截线段的长度；（3）若抛物线y＝x2﹣2ax+a2+2a与直线x＝4交于点A，求点A到x轴的最小值．25．某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为14元/千克，如果售价为20元/千克，那么每天可售出260千克，如果售价为25元/千克，那么每天可售出210千克，经调查发现：每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若该超市每天要获得利润1920元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定于多少元？（3）若樱桃的售价不得高于28元/千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？26．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标是2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△PBC的周长最小，并求出点P的坐标；（3）在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是﹣2，故选：C．2．解：∵y＝﹣（x﹣1）2+3，∴抛物线顶点坐标为（1，3），故选：B．3．解：∵抛物线y＝x2+x+c与x轴只有一个公共点，∴方程x2+x+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1•c＝0，∴c＝．故选：B．4．解：A、∵a＝﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，正确，不合题意；B、抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣3），故本小题正确，不合题意；C、令x＝0，则y＝﹣1﹣3＝﹣4，所以抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣4），故不正确，符合题意；D、抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，∴当x＞−1时，函数值y随x的增大而减小，故本小题正确，不合题意；故选：C．5．解：∵y＝2x2﹣4x+c，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，∵2﹣1＜1﹣（﹣1）＜1﹣（﹣3），∴y1＞y2＞y3．故选：B．6．解：由函数y＝ax+1与抛物线y＝﹣ax2+ax+1可知两函数图象交y轴上同一点（0，1），抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，在y轴的右侧，A、抛物线的开口方向向下，故选项不合题意；B、抛物线的对称轴在y轴的右侧，故选项符合题意；C、抛物线的开口方向向下，故选项不合题意；D、抛物线的对称轴在y轴的左侧，故选项不合题意；故选：B．7．解：双曲线y＝向下平移3个单位后的函数为y′＝﹣3，∵y′＝﹣3交抛物线y＝x2于点P（a，b），∴﹣3＝a2，整理得，a3+3a﹣2＝0，令y＝a3+3a﹣2，且y随a的增大而增大．当a＝0时，y＝﹣2＜0，当a＝时，y＝+﹣2＝﹣＜0，当a＝1时，y＝1+3﹣2＝2＞0，∴若a3+3a﹣2＝0，则a的取值范围为：＜a＜1．故选：B．8．解：把A代入得：＝﹣×9+k，∴k＝，∴y＝﹣（x﹣3）2+，令y＝0得﹣（x﹣3）2+＝0，解得x＝﹣2（舍去）或x＝8，∴实心球飞行的水平距离OB的长度为8m，故选：C．9．解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（2﹣m，c），B（m+2，c），∴对称轴为直线x＝＝2，∴﹣＝2，∴b＝﹣4，∵点A或点B在y轴上，∴AB＝4，∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，∴b2﹣4c＝0，即16﹣4c＝0，∴c＝4，∴△AOB的面积为：＝8．故选：A．10．解：由图可知，抛物线对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，即b＝﹣2a，∵抛物线开口向下，∴a＜0，b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；由图象经过点（﹣1，0）可得，a﹣b+c＝0，故②错误；∵抛物线对称轴是直线x＝1，∴x＝0和x＝2时，函数值相等，而x＝0时c＞0，∴4a+2b+c＞0，故③正确；∵b＝﹣2a，∴④错误；∵a﹣b+c＝0，b＝﹣2a，∴a﹣（﹣2a）+c＝0，即3a+c＝0，故⑤错误；∴正确的有③，共1个，故选：A．二．填空题（共8小题，满分24分）11．解：∵函数y＝x2m﹣1+x﹣3是关于x的二次函数，∴2m﹣1＝2，∴m＝．故答案为：．12．解：∵y＝﹣3（x﹣2）2+1，∴抛物线对称轴为直线x＝2．故答案为：x＝2．13．解：∵函数y＝（x﹣1）2+1，∴a＝1＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大．故答案为：增大．14．解：∵y＝x2+x﹣1＝（x+）2﹣，∴将抛物线y＝x2+x﹣1向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则此时抛物线的解析式是y＝（x++2）2﹣+3，即y＝x2+5x+8，故答案为：y＝x2+5x+8．15．解：∵抛物线经过A（1，m），B（5，m），∴抛物线对称轴为直线x＝3，∴﹣＝3，解得b＝﹣6，故答案为：﹣6．16．解：依据表格可知抛物线的对称轴为x＝3，∴当x＝0时与x＝6时函数值相同，∴当x＝0时，y＝5．故答案为：5．17．解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（5，q）两点，∴﹣2m+n＝p，5m+n＝q，∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（2，p），Q（﹣5，q）两点，观察函数图象可知：当﹣5≤x≤2时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c的上方，∴不等式ax2+mx+c≤n的解集是﹣5≤x≤2．故答案为﹣5≤x≤2．18．解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣4），∴顶点到x轴的距离为4，∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，∴m＝4，故答案为：4．三．解答题（共8小题，满分66分）19．解：（1）∵y与x2成正比例，∴设y＝kx2（k≠0），∵当x＝1时，y＝2，∴2＝k•12，解得，k＝2，∴y与x之间的函数关系式为y＝2x2．（2）∵函数关系式为y＝2x2，∴当x＝﹣1时，y＝2×1＝2．20．解：（1）∵抛物线L有最高点，∴m﹣2＜0，∴m＜2；（2）∵抛物线L与抛物线y＝x2的性状相同，开口方向相反，∴m﹣2＝﹣1，∴m＝1．21．解：（1）将A（﹣2，0）代入y＝ax2﹣4ax+3得：0＝4a+8a+3，解得，∴抛物线为，∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，∴顶点坐标为（2，4）；（2）把B（4，m）代入得，m＝﹣4+4+3＝3，将A（﹣2，0），B（4，3）代入y＝kx+b得，解得，∴直线AB的解析式为，∵顶点的横坐标为2，把x＝2代入得：y＝2，∴n＝4﹣2＝2．22．解：（1）y＝x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣4，即y＝（x+1）2﹣4；（2）∵y＝（x+1）2﹣4，∴顶点坐标为（﹣1，﹣4），当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0），当x＝0时，y＝﹣3，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3），二次函数的图象如图所示：（3）观察图象得，当x＝﹣1时，y取最小值﹣4，当x＝﹣4时，y取最大值，代入函数得，y＝（﹣4）2+2×（﹣4）﹣3＝16﹣8﹣3＝5．∴当﹣4≤x≤0时，﹣4≤y≤5．23．解：（1）设AB为x米，则BC＝（32﹣2x）米，由题意得：x（32﹣2x）＝96，解得：x1＝4，x2＝12，∵墙长为14米，32米的篱笆，∴32﹣2x≤14，2x＜32，∴9≤x＜16，∴x＝12，∴AB＝12，答：矩形的边AB的长为12米；（2）设AB为x米，矩形的面积为y平方米，则BC＝（32﹣2x）米，∴y＝x（32﹣2x）＝﹣2x2+32x＝﹣2（x﹣8）2+128，∵9≤x＜16，且﹣2＜0，故抛物线开口向下，∴当x＝9时，y有最大值是126，答：AB边的长应为9米时，有最大面积，且最大面积为126平方米．24．解：（1）∵a＝1，∴y＝x2﹣2ax+a2+2a＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴抛物线顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x＝1．（2）把a＝2代入y＝x2﹣2ax+a2+2a得y＝x2﹣4x+8，令x2﹣4x+8＝2x，解得x1＝2，x2＝4，把x＝2代入y＝2x得y＝4，把x＝4代入y＝2x得y＝8，∴直线与抛物线交点坐标为（2，4），（4，8），∴线段长度为＝2．（3）把x＝4代入y＝x2﹣2ax+a2+2a得y＝16﹣8a+a2+2a＝（a﹣3）2+7，∴点A纵坐标为（a﹣3）2+7，∵（a﹣3）2+7≥7，∴点A到x轴最小距离为7．25．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为x＝1，∵A、B关于直线x＝1对称，所以AC与对称轴的交点为点P，此时C△PBC＝PB+PC+BC＝AC+BC，此时△BPC的周长最短，∵点C的横坐标是2，y C＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，∴C（2，﹣3），设直线AC的解析式为y＝mx+n（m≠0），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1，当x＝1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，∴P（1，﹣2）；（3）存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形．∵A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3），设E（x，y），①当AB为对角线时，则，解得：，∴E（0，3）；②当AC为对角线时，则，解得：，∴E（﹣2，﹣3）；③当BC为对角线时，则，解得：，∴E（6，﹣3）．综上所述，E点坐标为（0，3）或（﹣2，﹣3）或（6，﹣3）．。

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元综合同步练习(附答案)

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元综合同步练习（附答案）1．若y＝（m﹣1）是关于x的二次函数，则m的值为（）A．﹣2B．1C．﹣2或1D．2或12．将抛物线y＝x2﹣6x绕原点旋转180度，则旋转后的抛物线解析式为（）A．y＝（x﹣3）2+9B．y＝（x+3）2+9C．y＝﹣（x+3）2+9D．y＝﹣（x﹣3）2+93．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③b＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤a+c＜，其中正确结论的个数是（）A．②③④B．①②⑤C．①②④D．②③⑤4．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2﹣bx与y＝bx+a的图象可能是（）A．B．C．D．5．已知二次函数的图象经过（﹣1，0），（2，0），（0，2）三点，则该函数解析式为（）A．y＝﹣x2﹣x+2B．y＝x2+x﹣2C．y＝x2+3x+2D．y＝﹣x2+x+2 6．已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2+4（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤4的情况下，与其对应的函数值y的最大值为0，则h的值为（）A．﹣1和6B．2和6C．﹣1和3D．2和37．已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（）A．E，F B．E，G C．E，H D．F，G8．已知两点A（﹣3，y1）、B（5，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是（）A．x0＞﹣3B．x0≥5C．1＜x0≤5D．x0＞19．已知函数y＝2018﹣（x﹣m）（x﹣n），并且a，b是方程2018﹣（x﹣m）（x﹣n）＝0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（）A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b 10．二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx ﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t＞﹣5B．﹣5＜t＜3C．3＜t≤4D．﹣5＜t≤4 11．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如表：t01234567…h08141820201814…下列结论：①足球距离地面的最大高度超过20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝；③点（9，0）在该抛物线上；④足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降．其中正确的结论是（）A．②③B．①②③C．①②③④D．②③④12．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝（x+1）2+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为．（用＞号连接）．13．已知二次函数y1＝x2+2x﹣3的图象如图所示．将此函数图象向右平移2个单位得抛物线y2的图象，则阴影部分的面积为．14．已知抛物线y＝﹣2（x+k）2﹣3，当x≥1时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是．15．如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1与a2互为相反数，b1与b2相等，c1与c2互为倒数，那么称这两个函数为“亚旋转函数”．请直接写出函数y＝﹣x2+3x﹣2的“亚旋转函数”为．16．已知二次函数y1＝a1x2+b1x+c1中，函数y1与自变量x之间的部分对应值如下表：x…﹣2﹣11245…y1…﹣5043﹣5﹣12…如果将该函数的图象沿x轴翻折，得到二次函数y2＝a2x2+b2x+c2的图象，则当x＝﹣3时，y2＝．17．已知二次函数y＝﹣x2+4x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（6，0），与y轴交于点B，点P是二次函数图象对称轴上的一个动点，当PB+P A的值最小时，求P的坐标；（3）在（2）的条件下，根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．18．某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y件．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．19．某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元．经市场调查表明，当售价在10元到15元之间（含10元，15元）浮动时，日均销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数表达式．（2）如果规定该种饮料日均的销售量不低于400瓶，当销售单价为多少元时，所得日均毛利润（每瓶毛利润＝每瓶售价﹣每瓶进价）最大，最大日均毛利润是多少？（3）老板决定从该种饮料所得的日均毛利润中提取50元，作为销售员小王当天的额外奖励，且又保证提取后日均毛利润不低于1050元，试确定该种饮料销售单价的范围．20．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标？（2）求出△BCD的面积是多少？21．已知二次函数y＝2x2﹣4x+1（1）用配方法化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）写出该函数的顶点坐标；（3）当0≤x≤3时，求函数y的最大值．22．如图，已知：抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴相交于A、B两点，与y轴的交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式的一般式．（2）若抛物线上有一点P，满足∠ACO＝∠PCB，求P点坐标．（3）直线l：y＝kx﹣k+2与抛物线交于E、F两点，当点B到直线l的距离最大时，求△BEF的面积．23．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃AB边为x米，面积为y平方米．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）如果要围成面积为45m2的花圃，求AB的长度；（3）如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少m2．参考答案1．解：∵y＝（m﹣1）x+m是关于x的二次函数，∴m2+m＝2，且m﹣1≠0，解得：m＝﹣2．故选：A．2．解：抛物线y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9的顶点坐标为（3，﹣9），由于抛物线y＝x2﹣6x绕原点旋转180度后抛物线的顶点坐标为（﹣3，9），并且开口方向相反，则所得抛物线解析式为y＝﹣（x+3）2+9．故选：C．3．解：由图可知，x＝1时，a+b+c＜0，故①正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故②正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0，故③错误；由图可知，x＝﹣2时，4a﹣2b+c＞0，故④错误；当x＝0时，y＝c＝1，∵a+b+c＜0，b＝2a，∴3a+1＜0，∴a＜﹣∴a+c＜，故⑤正确；综上所述，结论正确的是①②⑤．故选：B．4．解：A、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，对称轴x＝﹣＞0，在y轴的右侧，符合题意，图形正确．B、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．C、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，对称轴＝﹣＜0，应位于y轴的左侧，故不合题意，图形错误．D、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象应开口向上，故不合题意，图形错误．故选：A．5．解：∵二次函数的图象经过（﹣1，0），（2，0），（0，2）三点∴设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣2），将点（0，2）代入得2＝﹣2a，解得a＝﹣1故函数解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣2）整理得：y＝﹣x2+x+2故选：D．6．解：∵当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜1≤x≤4，x＝1时，y取得最大值0，可得：﹣（1﹣h）2+4＝0，解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；②若1≤x≤4＜h，当x＝4时，y取得最大值0，可得：﹣（4﹣h）2+4＝0，解得：h＝6或h＝2（舍）．③若1＜h＜4，当x＝h时，y取得最大值4，不合题意；综上，h的值为﹣1或6，故选：A．7．解：∵F（2，2），G（4，2），∴F和G点为抛物线上的对称点，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，∴H（3，1）点为抛物线的顶点，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+1，把E（0，10）代入得9a+1＝10，解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2+1．故选：C．8．解：∵两点A（﹣3，y1）、B（5，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，y1＞y2≥y0，∴该函数图象开口向上，有最小值，对称轴在y轴的右侧，当点B在对称轴左侧时，x0＞5，当点B和顶点重合时，x0＝5，当点B在对称轴右侧时，5＞x0＞，5＞x0＞1，由上可得，x0的取值范围是x0＞1，故选：D．9．解：由2018﹣（x﹣m）（x﹣n）＝0变形得（x﹣m）（x﹣n）＝2018，∴x﹣m＞0，x﹣n＞0或x﹣m＜0，x﹣n＜0，∴x＞m，x＞n或x＜m，x＜n，∵a，b是方程的两个根，将a，b代入，得：a＞m，a＞n，b＜m，b＜n或a＜m，a＜n，b＞m，b＞n，观察选项可知：a＜b，m＜n，只有D可能成立．故选：D．10．解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx与直线y ＝t的交点的横坐标，由题意可知：m＝4，当x＝1时，y＝3，当x＝5时，y＝﹣5，由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，直线y＝t在直线y＝﹣5和直线y＝4之间包括直线y＝4，∴﹣5＜t≤4．故选：D．11．解：由题意，抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，∴h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣4.5）2+20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25m＞20m，故①正确，∴抛物线的对称轴t＝4.5，故②正确，∵t＝9时，h＝0，∴点（9，0）在该抛物线上，故③正确，∵当t＝5时，h＝20，当t＝7时，h＝14，∴足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降，故④正确．∴正确的有①②③④，故选：C．二．填空题（共5小题）12．解：∵y＝（x+1）2+2，∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，A（﹣2，y1）关于直线x＝﹣1的对称点是（0，y1），∵0＜1＜2，∴y3＞y2＞y1故答案为y3＞y2＞y1．13．解：由题意知，y1＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，则顶点坐标是（﹣1，﹣4）．所以，阴影部分的面积为：2×4＝8．故答案是：8．14．解：∵y＝﹣2（x+k）2﹣3，∴对称轴为x＝﹣k，∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∴在对称轴右侧y随x的增大而减小，∵当x≥1时，y随x的增大而减小，∴﹣k≤1，解得k≥﹣1，故答案为：k≥﹣1．15．解：∵y＝﹣x2+3x﹣2中a＝﹣1，b＝3，c＝﹣2，且﹣1的相反数是1，与b相等的数是3，﹣2的倒数是﹣，∴y＝﹣x2+3x﹣2的“亚旋转函数”为y＝x2+3x﹣．故答案是：y＝x2+3x﹣．16．解：由表中的数据可以得到二次函数y1＝a1x2+b1x+c1的图象的对称轴是直线x＝1．所以当x＝﹣3与当x＝5时，所对应的y值相等，均为﹣12．当将二次函数y1＝a1x2+b1x+c1的图象沿x轴翻折，得到二次函数y2＝a2x2+b2x+c2的图象的横坐标与原坐标相等，纵坐标互为相反数，所以当x＝﹣3时，y2＝12．故答案是：12．三．解答题（共8小题）17．解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△＝42+4m＞0．解得：m＞﹣4．（2）连接AB，与对称轴交于点P，此时PB+P A最小．把（6，0）代入y＝﹣x2+4x+m，得﹣62+4×6+m＝0．解得m＝12．故该抛物线解析式是y＝﹣x2+4x+12当x＝0时，y＝12，则B（0，12）．设直线AB的解析式为y＝mx+n，∵A（6，0），B（0，12），∴，解得∴，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+12，∵y＝﹣x2+4x+12＝﹣（x﹣2）2+16，∴对称轴是直线x＝2．把x＝2代入y＝﹣2x+12得，y＝﹣4+12＝8，∴P（2，8）；（3）∵A（6，0），B（0，12），使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜0或x＞6．18．解：（1）当50＜x≤80时，y＝210﹣（x﹣50），即y＝260﹣x，当80＜x＜140时，y＝210﹣（80﹣50）﹣3（x﹣80），即y＝420﹣3x．则；（2）由题意可得，W＝﹣x2+300x﹣10400（50＜x≤80），W＝﹣3x2+540x﹣16800（80＜x＜140）．19．解：（1）设y＝kx+b，把（10，560）和（15，160）代入得：解得：，则y＝﹣80x+1360（10≤x≤15）；（2）设毛利润为w元，则w＝（﹣80x+1360）（x﹣9），＝﹣80x2+2080x﹣12240，＝﹣80（x﹣13）2+1280，∵规定该种饮料日均的销售量不低于400瓶，∴﹣80x+1360≥400，解得：x≤12，∵10≤x≤15，∴10≤x≤12，∵﹣80＜0，∴当10≤x≤12时，w随x的增大而增大，∴当x＝12时，w取得最大值，最大值为1200，答：应将售价定为每瓶12元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1200元；（3）由题意得：﹣80（x﹣13）2+1280＝1050+50，解得：x1＝14.5，x2＝11.5，∴11.5≤x≤14.5，答：确定该种饮料销售单价的范围是：11.5≤x≤14.5．20．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，函数的对称轴为：x＝1，点D（1，﹣4）；（2）过点D作y轴的平行线交BC于点H，将点BC的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线BC的表达式为：y＝x﹣3，故点H（1，﹣2），则HD＝2，△BCD的面积＝HD×OB＝2×3＝3．21．解：（1）y＝2（x2﹣2x）+1＝2（x2﹣2x+1﹣1）+1＝2（x﹣1）2﹣1，（2）顶点坐标为（1，﹣1），（3））∵对称轴为直线x＝1，∴当0≤x＜1时，y随x的增大而减小，当1＜x≤3时，y随x的增大而增大，∴当x＝3时二次函数有最大值，最大值为2×（3﹣1）2﹣1＝8﹣1＝7，即最大值为7．22．解：（1）把C（0，﹣3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得﹣3a＝﹣3，解得a＝1，所以抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3；（2）当点P在直线BC的下方时，如图1，过点B作BE⊥BC交CP的延长线于点E，过点E作EM⊥x轴于点M，∵y＝（x+1）（x﹣3），∴y＝0时，x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴，∵OB＝OC＝3，∴∠ABC＝45°，BC＝3，∵∠ACO＝∠PCB，∴tan，∴BE＝，∵∠CBE＝90°，∴∠MBE＝45°，∴BM＝ME＝1，∴E（4，﹣1），设直线CE的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线CE的解析式为，∴，解得，∴，当点P在直线BC的上方时，过点B作BF⊥BC交CP于点F，如图2，同理求出BF＝，FN＝BN＝1，∴F（2，1），求出直线CF的解析式为y＝2x﹣3，∴，解得：x1＝0，x2＝4，∴P（4，5）．综合以上可得点P的坐标为（4，5）或（）；（3）∵直线l：y＝kx﹣k+2，∴y﹣2＝k（x﹣1），∴x﹣1＝0，y﹣2＝0，∴直线y＝kx﹣k+2恒过定点H（1，2），如图3，连接BH，当BH⊥直线l时，点B到直线l的距离最大时，求出直线BH的解析式为y＝﹣x+3，∴k＝1，∴直线l的解析式为y＝x+1，∴，解得：，，∴E（﹣1，0），F（4，5），∴＝10．23．解：（1）由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为（24﹣3x）米，这时面积y＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x，∵0＜24﹣3x≤10，解得：≤x＜8，∴y＝﹣3x2+24x（≤x＜8）；（2）由条件﹣3x2+24x＝45，化简得x2﹣8x+15＝0，解得x1＝5，x2＝3，∴x＝3不合题意，舍去，即AB的长度为5米；（3）y＝﹣3x2+24x＝﹣3（x2﹣8x）＝﹣3（x﹣4）2+48（≤x＜8），∵a＝﹣3＜0，开口向下，∴当x＝时，y有最大值48﹣3（﹣4）2＝46，故最大面积为46m2。

北师大版2020九年级数学下册第二章二次函数自主学习培优测试卷(附答案详解)

北师大版2020九年级数学下册第二章二次函数自主学习培优测试卷（附答案详解） 1．在平面直角坐标系中，将二次函数y ＝（x ﹣2）（x ﹣4）﹣2018的图象平移后，所得的函数图象与x 轴的两个交点之间的距离为2个单位，则平移方式为（）A ．向上平移2018个单位B ．向下平移2018个单位C ．向左平移2018个单位D ．向右平移2018个单位2．若y=（m ＋1）265mm x --是二次函数，则m= （） A ．－1 B ．7C ．－1或7D ．以上都不对 3．若二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于两个不同点A （x 1，0），B （x 2，0）；且二次函数化为顶点式是y=a （x-h ）2+k ，则下列说法：①b 2-4ac ＞0；②x 1+x 2=2h ；③二次函数y=ax 2+bx+2c （a≠0）化为顶点式为y=a （x-h ）2+2k ；④若c=k ，则一定有h=b ．正确的有（）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④ 4．如图，一次函数y 1＝2x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 图象相交于P 、Q 两点，则函数y ＝ax 2＋(b －2)x ＋c 的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．5．已知二次函数245y x x =--+，若自变量x 分别取1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，则对应的函数值1y ，2y ，3y 的大小关系正确的是（）A ．123y y y >>B ．123y y y <<C ．231y y y >>D ．231y y y <<6．某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件．设每件售价为x 元（x 为非负整数），则若要使每星期的利润最大且每星期的销量较大，x 应为多少元？( )A ．41B ．42C ．42.5D ．437．若A （－4，1y ），B （－3，2y ），C （1，3y ）为二次函数y =x 2+4x －m 的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（）A ．1y ＜2y ＜3yB ．3y ＜1y ＜2yC ．2y ＜1y ＜3yD ．1y ＜3y ＜2y 8．已知点（x 1，y 1），（x 2，y 2）均在抛物线y=x 2﹣1上，下列说法中正确的是（） A ．若y 1=y 2，则x 1=x 2B ．若x 1=﹣x 2，则y 1=﹣y 2C ．若0＜x 1＜x 2，则y 1＞y 2D ．若x 1＜x 2＜0，则y 1＞y 2 9．二次函数()231y x =+的图象上有三点()12,A y ，()23,B y ，()35,C y ，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（）A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．132y y y <<D ．312y y y <<10．已知二次函数y ＝x 2﹣4x+m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0），则关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+m ＝0的两个实数根是（）A ．x 1＝1，x 2＝﹣1B ．x 1＝﹣1，x 2＝2C ．x 1＝﹣1，x 2＝0D ．x 1＝1，x 2＝311．将二次函数y = 12x 2的图象向左移1个单位，再向下移2个单位后所得图象的函数表达式为________．12．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2如图所示，已知A 点坐标为（1，1），过点A 作AA 1∥x 轴交抛物线于点A 1，过点A 1作A 1A 2∥OA 交抛物线于点A 2，过点A 2作A 2A 3∥x 轴交抛物线于点A 3，过点A 3作A 3A 4∥OA 交抛物线于点A 4，过点A 4作A 4A 5∥x 轴交抛物线于点A 5，则点A 5的坐标为_____．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线（0≤x≤3）在x 轴上方的部分，记作C 1，它与x 轴交于点O ，A 1，将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，C 2与x 轴交于另一点A 2．请继续操作并探究：将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，与x 轴交于另一点A 3；将C 3绕点A 2旋转180°得C 4，与x 轴交于另一点A 4，这样依次得到x 轴上的点A 1，A 2，A 3，…，A n ，…，及抛物线C 1，C 2，…，C n ，…．则点A 4的坐标为；Cn 的顶点坐标为 (n 为正整数，用含n 的代数式表示) ．14．若二次函数y ＝mx 2-6mx ＋1（m >0）的图像经过A (2，a )，B (-1，b )，C (3＋2，c )三点，则a ，b ，c 从小到大．．．．排列是____． 15．若关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0的两个实数根分别为x 1=﹣1，x 2=2，则b+c 的值是__．16．请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y 轴的交点坐标为(0,3).此二次函数的解析式可以是______________17．如图，是二次函数k h x y +-=2)(的图象，则其解析式为__________________．18．抛物线y ＝12（x ﹣2）2的顶点坐标是_____． 19．二次函数y ＝x 2－2x ＋m 的图象与x 轴的一个交点的坐标是（－1，0），则图像与x 轴的另一个交点的坐标是_____．20．请写出一个开口向上，顶点为(2，1)的抛物线的解析式_____．21．动物园计划用长为120米的铁丝围成如图所示的兔笼，（不包括顶棚）供学习小组的同学参观，其中一面靠墙，（墙足够长）怎样设计围成的面积最大？22．某服装公司试销一种成本为每件50元的T 恤衫．试销中发现，当销售单价是60元时，售出400件；销售单价每降低1元，多售出10件．设试销中销售单价x （元）时的销售量为y （件）．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）设该公司获得的总利润为P 元，求P 与x 之间的函数关系式；（3）若要销量不低于200件，且获利至少5250元，则售价应在何范围内？23．某公司生产某种商品每件成本为20元，这种商品在未来40天内的日销售量y (件)与时间x (天)的关系如下表：时间x （天）1 3 6 10 ... 日销售量y （件） 94 90 84 76 ...未来40天内，前20天每天的价格m （元/件）与时间x （天）的函数关系式为(1≤x ≤20），后20天每天的价格为30元/件（21≤x ≤40）.（1）分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的y （件）与x （天）之间的函数关系式.（2）当1≤x ≤20时，设日销售利润为W 元，求出W 与x 的函数关系式.（3）在未来40天中，哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？24．（本小题满分10分）在关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+122y x a y x 中．（1）若3a =，求方程组的解；（2）若)3(y x a S +=，当a 为何值时，S 有最小值． 25．如图，若二次函数2y x x 2=--的图像与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点.（1）求A 、B 两点的坐标：（2）若(),2P m -为二次函数2y x x 2=--图像上一点，求m 的值.26．已知二次函数y=x 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：（1）求该二次函数的关系式；（2）当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？（3）若A （m ，y 1），B （m+1，y 2）两点都在该函数的图象上，试比较y 1与y 2的大小．27．如图，线段AB，A（2，3），B（5，3），抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣m2+2m+1与x轴的两个交点分别为C，D（点C在点D的左侧）（1）求m为何值时抛物线过原点，并求出此时抛物线的解析式及对称轴和项点坐标．（2）设抛物线的顶点为P，m为何值时△PCD的面积最大，最大面积是多少．（3）将线段AB沿y轴向下平移n个单位，求当m与n有怎样的关系时，抛物线能把线段AB分成1：2两部分．28．以A（-1，4）为顶点的二次函数的图象经过点B（2，-5），求该函数的表达式．参考答案1．A【解析】【分析】根据平移规律上加下减，即可判断．【详解】二次函数y=(x−2)(x−4)−2018向上平移2018个单位后得到二次函数y=(x−2)(x−4)，该函数与x轴交于(2,0)和(4,0)，两交点之间的距离为2，符合题意，故选：A.【点睛】考查抛物线与x轴的交点，二次函数图象与几何变换，掌握二次函数图象的变换规律是解题的关键.2．B【解析】【分析】令x的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．【详解】由题意得：m2-6m-5=2；且m+1≠0；解得m=7或-1；m≠-1，∴m=7，故选：B．【点睛】利用二次函数的定义，二次函数中自变量的指数是2；二次项的系数不为0．3．C【解析】试题分析：首先根据抛物线与x轴交于两个不同点可得到b2-4ac＞0，根据抛物线的顶点坐标公式为（-，），对称轴x=x==-来进行判断．试题解析：由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于两个不同点A（x1，0），B（x2，0），∴b2-4ac＞0，故①正确；由二次函数化为顶点式是y=a（x-h）2+k，可知x==h，∴x1+x2=2h，故②正确；由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）化为顶点式是y=a（x-h）2+k可知：-=h，=k，∴二次函数y=ax2+bx+2c的顶点横坐标为：-=h，纵坐标为：=≠2k，故③错误；∵=k，c=k，∴=c，解得b=0，∴h=-=0，故④正确；因此正确的结论是①②④．故选C．考点：抛物线与x轴的交点．4．A【解析】【分析】由图像可知一次函数y1＝2x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，即一元二次方程ax2＋bx＋c=2x由两个不等的正实数根，即可得出答案.【详解】由图可知一元二次方程ax2＋bx＋c=2x由两个不等的正实数根即y＝ax2＋(b－2)x＋c与x轴正半轴有两个交点故答案选择A.【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的图像与性质问题.5．A【解析】【分析】根据x1、x2、x3与对称轴的大小关系，判断y1、y2、y3的大小关系．【详解】解：∵二次函数245y x x =--+中，对称轴为：4222(1)b x a -=-=-=-⨯-， ∵1230x x x <<<，10a =-<，∴对称轴右侧y 随x 的增大而减小，∴123y y y >>；故选择：A.【点睛】此题主要考查了函数的对称轴求法和函数的单调性，利用二次函数的增减性解题时，利用对称轴得出是解题关键．6．B【解析】【分析】售价为x 元，则涨价为（x-40）元，可用x 表示出每星期的销量，并得到x 的取值范围．根据总利润=销量×每件利润可得出利润的表达式，利用二次函数的最值可得出答案.【详解】解：由题意得，涨价为（x-40）元，（0≤x≤5且x 为整数），每星期少卖10（x-40）件， ∴每星期的销量为：150-10（x-40）=550-10x ，设每星期的利润为y 元，则y=（x-30）×（550-10x ）=-10（x-42.5）2+1562.5， ∵x 为非负整数，∴当x=42或43时，利润最大为1560元，又∵要求销量较大，∴x 取42元．答：若要使每星期的利润最大且每星期的销量较大，x 应为42元.故选:B.【点睛】本题考查了二次函数的应用，与实际结合得比较紧密，解答本题的关键是表示出涨价后的销量及单件的利润，得出总利润的二次函数的表达式，另外要求我们熟练二次函数最值的求法.7．C【解析】【分析】分别将点的坐标代入二次函数解析式，然后进行判断即可．【详解】解：y 1=（-4）2+4×（-4）m -=16-16m - =m -，y 2=（-3）2+4×（-3）m - =9-12m - =3m --，y 3=12+4×m - 1=1+4m - =5m -，∵-3m -＜m -＜5m -，∴y 2＜y 1＜y 3．故选：C.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于三个函数值的大小不受m 的影响．8．D【解析】试题分析：A 、若y 1=y 2，则x 1=﹣x 2；B 、若x 1=﹣x 2，则y 1=y 2；C 、若0＜x 1＜x 2，则在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，则y 1＜y 2；D 、正确．故选D ．考点：二次函数图象上点的坐标特征．9．A【解析】【分析】首先求出二次函数对称轴1x =-，30a =>，开口向上，再分段讨论函数的增减性即可解答.【详解】二次函数()231y x =+，对称轴为1x =-，30a =>，开口向上当1x <-时，y 随x 的增大而减小，当1x >-时，y 随x 的增大而增大531>>>-∴ y 随x 的增大而增大123y y y ∴<<故选A【点睛】本题考查二次函数增减性的分析，熟练掌握利用顶点式求抛物线对称轴以及分段讨论二次函数增减性是解题关键.10．D【解析】【分析】根据抛物线与x 轴交点的性质和根与系数的关系进行解答．【详解】∵二次函数y=x 2-4x+m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0）∴关于x 的一元二次方程x 2-4x+m=0的一个根是x=1．∴设关于x 的一元二次方程x 2-4x+m=0的另一根是t ．∴1+t=4，解得 t=3．即方程的另一根为3．故答案选：D ．【点睛】本题考查的知识点是抛物线与x 轴的交点，解题的关键是熟练的掌握抛物线与x 轴的交点 .11．y=12（x+1）2﹣2 【解析】分析：平移的与解析式的关系：左右平移，横坐标变化（左加右减），上下平移，纵坐标变化（上加下减）；解：∵二次函数y =12x 2的图象向左移1个单位，再向下移2个， ∴y －2=12（x+1）2,即y =12 (x +1)2﹣2故答案是y =12(x +1)2﹣2。

北师大版2020九年级数学下册第二章二次函数自主学习优生提升测试卷(附答案详解)

北师大版2020九年级数学下册第二章二次函数自主学习优生提升测试卷（附答案详解） 1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为()A ．y=2(x+1)2+8B ．y=18(x+1)2-8C ．y=29(x-1)2+8 D ．y=2(x-1)2-82．在同一坐标系内，一次函数y =ax +b 与二次函数y =ax 2+8x +b 的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．3．在抛物线y=-x 2+1 上的一个点是( )． A ．(1，0)B ．(0，0)C ．（0，-1)D ．（1，I)4．二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，且a≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y…﹣6466…给出下列说法：①抛物线与y 轴的交点为（0，6）；②抛物线的对称轴在y 轴的左侧； ③抛物线一定经过（3，0）点；④在对称轴左侧y 随x 的增大而减增大．从表中可知，其中正确的个数为（） A ．4B ．3C ．2D ．15．如图，抛物线2y x 2x 3=-++与y 轴交于点C ，点(0,1)D ，点P 是抛物线上的动点，若PCD 是以CD 为底的等腰三角形，则tan CDP ∠的值为（） A ．12或12- B ．21+或21-C ．212+或212- D ．12+或12-6．抛物线 y=x2-4的顶点坐标是（）A．（2，0）B．（0，—4）C．（1，—3）D．（—2，0）7．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M（bc，a）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．抛物线y=﹣（x﹣2）2+1经过平移后与抛物线y=﹣（x+1）2﹣2重合，平移的方法可以是（）A．向左平移3个单位再向下平移3个单位B．向左平移3个单位再向上平移3个单位C．向右平移3个单位再向下平移3个单位D．向右平移3个单位再向上平移3个单位9．已知函数：①y=3x﹣1；②y=3x2﹣1；③y=﹣20x2；④y=x2﹣6x+5，其中是二次函数的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠B=60°，M为AB的中点．动点P在菱形的边上从点B出发，沿B→C→D的方向运动，到达点D时停止．连接MP，设点P运动的路程为x，MP 2=y，则表示y与x的函数关系的图象大致为（）A．B．C．D．11．某抛物线有以下性质：①开口向下；②对称轴是y轴；③与x轴不相交；④最高点是原点．其中y=﹣2x2具有的性质是_____．（填序号）12．用配方法把二次函数y=2x2+3x+1写成y=a（x+m）2+k的形式_____．13．将抛物线y=-x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为__________________．14．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交抛物线21x y =（x≥0）与22x y 5=（x≥0）于B 、C两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2于点E ，则DEAB=_．15．抛物线y=x 2﹣5x+6与x 轴交于A 、B 两点，则AB 的长为__．16．对于二次函数y=x 2+2x ﹣5，当x=1.4时，y=﹣0.24＜0，当x=1.45时，y=0.0025＞0；所以方程x 2+2x ﹣5=0的一个正根的近似值是 ________ ．（精确到0.1）．17．若A （11,y -）、B （23,y ）、C （34,y -）为二次函数245y x x =--+的图象上的三个点，则请你用“<”连接123y y y ，，得_____________．18．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(－2，3)，作点A 关于x 轴的对称点，得到点A '，再将点A '向右平移3个单位得到点A ''，则点A ''的坐标是________．19．已知方程2x 2﹣3x ﹣5=0两根为52，﹣1，则抛物线y =2x 2﹣3x ﹣5与x 轴两个交点间距离为_________．20．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②a+c ＜b ；③2a +b>0；④4a+2b+c ＜0；⑤2ax bx c 20++-=有两个不相等的实数根.其中结论正确的有_____________.（填写正确结论的序号）21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象y 1=kx+b 与反比例函数2ny x=的图象交于点A （1，5）和点B （m ，1）．（1）求m的值和反比例函数的解析式；（2）当x＞0时，根据图象直接写出不等式nx≥kx+b的解集；（3）若经过点B的抛物线的顶点为A，求该抛物线的解析式．22．如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A （﹣1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．23．已知二次函数y=﹣2x2+8x﹣6．（1）用配方法求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴；（2）求二次函数的图像与x轴的交点坐标.24．如图，抛物线DG GE的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3）,点D在x轴正半轴上，线段OD=OC.（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点M，使得⊿CDM是以CD为直角边的直角三角形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，,连接QE.若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点的移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由．25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A 点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点．（1）求这个二次函数以及直线BC的解析式；（2）直接写出点A的坐标；（3）当x为何值时，一次函数的值大于二次函数的值．26．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x 轴的正半轴上，OC=8，OE=17，抛物线y=x2﹣3x+m与y轴相交于点A，抛物线的对称轴与x轴相交于点B，与CD交于点K．（1）将矩形OCDE沿AB折叠，点O恰好落在边CD上的点F处．①点B的坐标为（、），BK的长是，CK的长是；②求点F的坐标；③请直接写出抛物线的函数表达式；（2）将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠，点O恰好落在边CD上的点G处，连接OG，折痕与OG相交于点H，点M是线段EH上的一个动点（不与点H重合），连接MG，MO，过点G作GP⊥OM于点P，交EH于点N，连接ON，点M从点E开始沿线段EH向点H运动，至与点N重合时停止，△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2，在点M的运动过程中，S1•S2（即S1与S2的积）的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．27．如图，在平面直角坐标系xOy，已知二次函数y=﹣12x2+bx的图象过点A（4，0），顶点为B，连接AB、BO．（1）求二次函数的表达式；（2）若C是BO的中点，点Q在线段AB上，设点B关于直线CQ的对称点为B'，当△OCB'为等边三角形时，求BQ的长度；（3）若点D在线段BO上，OD=2DB，点E、F在△OAB的边上，且满足△DOF与△DEF全等，求点E的坐标．28．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣13x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b=，c= ；（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；（4）如图②，点N的坐标为（﹣32，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．参考答案1．D【解析】试题分析：由图可知函数图像的对称轴是x=1,函数图像过点（3,0）顶点坐标是（1，-8），设二次函数表达式为y=a（x-h）2+k,对称轴是x=1,所以h=1,将点（3,0），（1，-8）代入表达式可求出解析式为y=2(x-1)2-8.故选D.2．C【解析】试题分析：令x=0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图象经过第一、三象限，从而得解．x=0时，两个函数的函数值y=b，所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，所以，a＞0，所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，所以，A选项错误，C选项正确．故选C．考点: 1. 二次函数的图象；2.一次函数的图象．3．A【解析】分析：根据几个选项，分别将x=1或x=0代入y=-x2+1中，求y的值即可．解答：解：∵当x=1时，y=-x2+1=-1+1=0，当x=0时，y=-x2+1=0+1=1，抛物线过（1，0）或（0，1）两点．故选A．4．B【解析】试题分析：当x=0时y=6，x=1时y=6，x=﹣2时y=0，可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x 2+x+6=﹣（x ﹣）2+，当x=0时y=6，∴抛物线与y 轴的交点为（0，6），故①正确；抛物线的对称轴为x=，故②不正确；当x=3时，y=﹣9+3+6=0， ∴抛物线过点（3，0），故③正确； ∵抛物线开口向下，∴在对称轴左侧y 随x 的增大而增大，故④正确；综上可知正确的个数为3个，故选B ．考点：二次函数的性质． 5．B 【解析】【分析】当△PCD 是以CD 为底的等腰三角形时,则P 点在线段CD 的垂直平分线上,由C 、D 坐标可求得线段CD 中点的坐标,从而可以知道P 点的纵坐标,代入抛物线解析式可求得P 点坐标．【详解】解：作CD 中垂线交抛物线于1P ，2P （1P 在2P 左侧），交y 轴于点E ;连接P 1D ,P 2D ．易得(0,3)C (0,1)D (0,2)E ． ∴122P P y y ==，1DE =．将2y =代入2y x 2x 3=-++中得112x =212x =．∴11PE =，21P E ．∴11tan 1PE CDP ED ==∠，22tan 1P E CDP ED=∠．故选B ． 6．B【解析】形如y=ax 2+k 的顶点坐标为（0，k ）直接求顶点坐标．解：抛物线y=x 2-4的顶点坐标为（0，-4）．故选B ． 7．A 【解析】试题分析：根据抛物线图象与系数的关系即可判断出各系数的符号，进而得出点M （bc，a ）所在的象限.解：从图象得出，二次函数的对称轴在一，四象限，且开口向上， ∴a ＞0，2ba-＞0，因此b ＜0， ∵二次函数的图象与y 轴交于y 轴的负半轴， ∴c ＜0， ∴a ＞0，b c ＞0，则点M （bc，a ）在第一象限．故选A ．点睛：本题主要考查二次函数的图象与系数的关系.结合二次函数的图象得出各系数的符号是解题的关键所在. 8．A 【解析】试题分析：根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解．∵抛物线y=-（x-2）2+1的顶点坐标为（2，1），抛物线y=-（x+1）2-2的顶点坐标为（-1，-2），∴顶点由（2，1）到（-1，-2）需要向左平移3个单位再向下平移3个单位．故选A ．考点：二次函数图象与几何变换． 9．C【解析】根据二次函数的一般形式y=ax2+bx+c (a，b，c为常数，a≠0) 可以判断各备选函数是否为二次函数.函数①：在该解析式的等号右侧不存在含自变量x的二次项，故①不是二次函数；函数②：该解析式符合二次函数的一般形式(其中a=3，b=0，c=-1)，故②是二次函数；函数③：该解析式符合二次函数的一般形式(其中a=-20，b=0，c=0)，故③是二次函数；函数④：该解析式符合二次函数的一般形式(其中a=1，b=-6，c=5)，故④是二次函数；综上所述，本题中一共有②③④三个函数是二次函数.故本题应选C.10．B【解析】【分析】分三种情况：（1）当0≤x≤12时，（2）当12＜x≤2时，（3）当2＜x≤4时，根据勾股定理列出函数解析式，判断其图象即可求出结果．【详解】解：（1）当0≤x≤12时，如图1，过M作ME⊥BC与E，∵M为AB的中点，AB=2，∴BM=1，∵∠B=60°，∴BE=12，ME=3PE12﹣x，在R t△BME中，由勾股定理得：MP2=ME2+PE2，∴y=22 312x⎛⎫+-⎪⎝⎭⎝⎭=x2﹣x+1；（2）当12＜x≤2时，如图2，过M 作ME ⊥BC 与E ，由（1）知BM=1，∠B=60°，∴BE=12，ME=3，PE=x ﹣12， ∴MP 2=ME 2+PE 2，∴y=22312x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =x 2﹣x+1；（3）当2＜x≤4时，如图3，连结MC ，∵BM=1，BC=AB=2，∠B=60°，∴∠BMC=90°，221=3-∵AB ∥DC ，∴∠MCD=∠BMC=90°，∴MP 2=MC 2+PC 2，∴y=223)(2)x +-=x 2﹣4x+7；综合（1）（2）（3），只有B 选项符合题意．故选B ．【点睛】本题考查动点问题的函数图象．11．①②④．【解析】y =－2x 2开口向下，对称轴是y 轴，与x 轴有一个交点，最高点是原点.故答案为①②④.点睛：掌握二次函数的图像及性质.12．y=2(x+34)2-18 【解析】根据y=ax 2+bx+c 写成y=a （x+m ）2+k 的形式为y=ax 2+bx+c= a （x+2)2b a +244ac b a - 可得： y=2x 2+3x +1=2（x +34）2﹣18．故答案是：y=2（x +34）2﹣18． 13．y=-(x-3) 2 -2 (或y=-x 2 +6x-11)【解析】【分析】【详解】解：抛物线2y x =-先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为2(3)2y x =---即2611y x x =-+-，故答案为y=-(x-3) 2 -2 (或y=-x 2 +6x-11)．【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换．14．【解析】试题分析：本题我们可以假设一个点的坐标，然后进行求解．设点C 的坐标为（1，15），则点B 的坐标为，15），点D 的坐标为（1，1），点E 的坐标为1），则，1，则DE AB=5 考点：二次函数的性质15．1【解析】【分析】首先求出抛物线与x 轴的交点，进而得出AB 的长．【详解】当y=0，则0=x 2﹣5x+6，解得：x 1=2，x 2=3，故AB 的长为：3﹣2=1．【点睛】考点：抛物线与x 轴的交点．此题主要考查了抛物线与x 轴的交点，得出图象与x 轴交点是解题关键．16．1.4【解析】由题意得1.4＜x ＜1.45时，-0.24＜y ＜0.0025，二次函数y = x 2＋2x －5与x 轴必有一个交点在1.4到1.45之间，所以方程x 2＋2x －5＝0必有一个实数根在1.4到1.45之间.这个根的近似值为1.4.故答案为1.4.17．231y y y <<【解析】解：当x =﹣1时，y 1=﹣x 2-4x +5=﹣1+4+5=8；当x =3时，y 2=﹣x 2-4x +5=﹣9-12+5=-16；当x =-4时，y 3=﹣x 2-4x +5=﹣16+16+5=5，所以y 2＜y 3＜y 1．故答案为y 2＜y 3＜y 1．点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 18．(1，－3)【解析】∵点A 的坐标是(－2，3)，∴点A 关于x 轴的对称点A′的坐标为(－2，-3)，∴点A′向右平移3个单位的点A ′′的坐标为(1，-3).19．72【解析】试题分析：根据一元二次方程与二次函数的关系可知抛物线与x 轴两交点的横坐标，再根据距离公式即可得出答案.解：∵方程2x 2﹣3x ﹣5=0两根为52，﹣1， ∴抛物线y =2x 2﹣3x ﹣5与x 轴两个交点的横坐标分别为52，﹣1， ∴两个交点间距离为57(1)22--=. 故答案为72. 20．①②③【解析】试题解析：∵函数的开口向下，∴a <0，∵函数与y 轴的正半轴相交，∴c >0， ∵对称轴02b x a =->， ∴b >0，∴abc <0，故①正确.当1x =-时，0.y a b c =-+<即.a c b +<故②正确. ∵对称轴12b x a=->，整理得：2.b a >-即20.a b +>故③正确. 当x =2时，函数的纵坐标大于0，则y =4a +2b +c >0，故④错误.2ax bx c 20++-=即22ax bx c ++=没有实数根.故正确的是：①②③.故答案为：①②③.21．（1）m 的值为5，比例函数的解析式为5y x=；（2）不等式n x≥kx+b 的解集为0＜x≤1或x≥5；（3）该抛物线的解析式是()21154y x =--+. 【解析】试题分析：（1）把点A （1，5）代入y 2=n x ，求得n=5，再把 B （m ，1）代入y 2=5x得m=5，再把A （1，5）、B （5，1）代入y 1=kx+b ，即可得解；（2）根据函数图象及交点坐标即可求解；（3）设二次函数的解析式为设抛物线的解析式为()215y a x =-+，把B （5，1）代入解析式即可得解.试题解析：（1）∵反比例函数2n y x =的图象交于点A （1，5）， ∴5=n ，即n=5，∴y 2=5x， ∵点B （m ，1）在双曲线上．∴1=5m， ∴m=5，∴B （5，1）；（2）不等式n x≥kx+b 的解集为0＜x≤1或x≥5；（3）∵抛物线的顶点为A （1，5），∴设抛物线的解析式为()215y a x =-+，∵抛物线经过B （5，1），∴()21515a =-+，解得14a =-． ∴()21154y x =--+． 22．（1）抛物线解析式为y=x 2+4x+3，一次函数解析式为y=﹣x ﹣1；（2）由图象可知，满足（x+2）2+m≥kx+b 的x 的取值范围为x ≤﹣4或x≥﹣1．【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出m ，再根据对称性求出点B 坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据二次函数的图象在一次函数图象的上面即可写出自变量x 的取值范围．【详解】解：（1）∵抛物线y =（x +2）2+m 经过点A （﹣1，0），∴0=1+m ，∴m =﹣1，∴抛物线解析式为y =（x +2）2﹣1=x 2+4x +3，∴点C 坐标为（0，3），∵抛物线的对称轴是直线x =﹣2，且B 、C 关于对称轴对称，∴点B 坐标为（﹣4，3），∵y=kx+b 经过点A 、B ，∴430k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得11k b =-⎧⎨=-⎩， ∴一次函数解析式为y =﹣x ﹣1，（2）由图象可知，满足（x +2）2+m ≥kx +b 的x 的取值范围为x ≤﹣4或x ≥﹣1．【点睛】本题考查二次函数与不等式、待定系数法求函数的解析式等知识，解答的关键是灵活运用待定系数法确定函数的解析式，能充分利用函数的图象根据条件确定自变量的取值范围. 23．（1）(2，2)，x =2；(2)(3，0) ， (1，0)【解析】试题分析：（1）直接把二次函数的解析式化为顶点式的形式即可得出结论；（2）令y =0，求出x 的值即可．解：(1)∵二次函数y =−2x 2+8x −6=−2(x 2−4x +3)=−2(x 2−4x +4−4+3=−2(x −2)2+2，∴二次函数图象的顶点坐标为(2,2)，对称轴为x =2；(2)∵令y =0,即−2x 2+8x −6=0，解得x =3或1，∴二次函数的图象与x 轴的交点坐标为：(3,0),(1,0).24．（1）21212y x x =-++ (2)符合题意的Ｍ有三点，分别是(2 , 3 )，515，( 15-，5-) (3)存在，在P 点和F 点移动过程中，△PCF 的周长存在最小值，最小值为2．【解析】（1）设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+3. 将C （0，1）代入求得a 的值即可；（2）①C 为直角顶点时，作CM ⊥CD ，CM 交抛物线与点M ，先求得直线CD 的解析式，然后再求得直线CM 的解析式，然后求得CM 与抛物线的交点坐标即可；②D 为直角顶点坐标时，作DM ⊥CD ，先求得直线CM 的解析式，然后将直线CM 与抛物线的交点坐标求出即可；（3）存在. 作点C 关于直线QE 的对称点C /，作点C 关于x 轴的对称点C //，连接C /C //，交QE 于点P ，则△PCE 即为符合题意的周长最小的三角形，由对称轴的性质可知，△PCE 的周长等于线段C /C //的长度，然后过点C /作C /N ⊥y 轴，然后依据勾股定理求得C /C //的长即可. 解：（1）设抛物线的解析式为()223y a x =-+将C （0，1）代入得：()21023a =-+解得:12a =-∴()2211232122y x x x =--+=-++ (2)①C 为直角顶点时如图①:CM⊥CD设直线CD 为1y kx =+,∵OD=OC∴OD=1∴D(1,0)把D(1,0)代入1y kx=+得:1k=-∴1y x=-+∵CM⊥CD,∴易得直线CM为:1y x=+则:211212y xy x x=+⎧⎪⎨=-++⎪⎩解之得:M(2 , 3 ),恰好与Q点重合.分②D为直角顶点时:如图②,易得：直线ＤＭ为1y x=-则：211212y xy x x=-⎧⎪⎨=-++⎪⎩则Ｍ为515或 ( 15，5-综上所述，符合题意的Ｍ有三点，分别是(2 , 3 )，515)，( 15，5-． (3) 在．如图③所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′；而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．）如答图④所示，连接C′E，∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形，∴△QC′E为等腰直角三角形，∴△CEC′为等腰直角三角形，∴点C′的坐标为（4，5）；∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为（0，﹣1）．过点C′作C′N⊥y 轴于点N ，则NC′=4，NC″=4+1+1=6，在=综上所述，在P 点和F 点移动过程中，△PCF 的周长存在最小值，最小值为“点睛”本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式，掌握相互垂直的两条直线的一次项系数乘积为-1是解答问题（2）的关键，利用轴对称的性质将三角形的周长转化为线段C /C //的长是解答问题（3）的关键.25．（1）直线BC 的解析式为y=x ﹣3；抛物线解析式为y=x 2﹣2x ﹣3；（2）A （﹣1，0）；（3）0＜x ＜3时，一次函数的值大于二次函数的值．【解析】试题分析：(1) 由于点B 与点C 既在一次函数的图象上又在二次函数的图象上. 考虑运用待定系数法确定这两个函数的解析式. 先将该一次函数的解析式设为一次函数的一般形式，再将点B 与点C 的坐标代入所设的解析式中得到关于待定系数的方程组，解这个方程组可以确定各待定系数的值，进而确定一次函数的解析式. 由于二次函数解析式的形式已经给出，所以将点B 与点C 的坐标代入该解析式并求得系数b 和c 的值，进而得到二次函数的解析式.(2) 由于该二次函数的图象与x 轴交于A 与B 两点，所以将y =0代入二次函数的解析式并求得相应的x 的值. 根据点B 的坐标，判断对应于点A 坐标的x 值，进而求得点A 的坐标.(3) 若一次函数的值大于二次函数的值，则该一次函数的相应图象应该在该二次函数相应图象的上方. 根据上述结论，观察本题给出的函数图象可知，一次函数图象在点C 与点B 之间的部分位于二次函数图象相应部分的上方. 根据点C 与点B 的横坐标即可得到符合题意的x 的取值范围.试题解析：(1) 设直线BC 的解析式为y =kx +b 1.由题意知，点B (3, 0)和点C (0, -3)在直线BC 上，故将点B 和点C 的坐标分别代入直线BC 的解析式，得113003k b k b +=⎧⎨⋅+=-⎩，解之，得113k b =⎧⎨=-⎩. ∴直线BC 的解析式为y =x -3.由题意知，点B (3, 0)和点C (0, -3)在二次函数的图象上，故将点B 和点C 的坐标分别代入二次函数的解析式，得22330003b c b c ⎧++=⎨+⋅+=-⎩，解之，得23b c =-⎧⎨=-⎩. ∴该二次函数的解析式为y =x 2-2x -3.综上所述，该二次函数的解析式为y =x 2-2x -3，直线BC 的解析式为y =x -3. (2) 点A 的坐标为(-1, 0). 具体求解过程如下. 根据题意，将y =0代入该二次函数的解析式，得 x 2-2x -3=0，解这个关于x 的一元二次方程，得 x 1=3，x 2=-1.∵点B 的坐标为(3, 0)， ∴点A 的坐标为(-1, 0).(3) 由函数的图象可知，在位于点C 与点B 之间的部分图象中，一次函数的图象在二次函数图象的上方.∵点B 的坐标为(3, 0)和点C 的坐标为(0, -3)， ∴当0<x <3时，一次函数的值大于二次函数的值. 点睛：本题考查了二次函数图象和性质的相关知识. 本题的一个难点在于如何通过图象的特征求解相关的不等关系. 一般情况下，当一个函数的函数值大于另一个函数的函数值时，前者的相应图象应该在后者相应图象的上方. 根据这一规律，按照题目所要求的不等关系在图象上找到符合题意的部分，进而找出这些部分所对应的横坐标的范围即可. 26．（1）①10，0，8，10；②（4，8）；③y=x 2﹣3x+5.（2）不变．S 1•S 2=189．【解析】试题分析：（1）①根据四边形OCKB是矩形以及对称轴公式即可解决问题．②在RT△BKF 中利用勾股定理即可解决问题．③设OA=AF=x，在RT△ACF中，AC=8﹣x，AF=x，CF=4，利用勾股定理即可解决问题．（2）不变．S1•S2=189．由△GHN∽△MHG，得，得到GH2=HN•HM，求出GH2，根据S1•S2=•OG•HN••OG•HM即可解决问题．试题解析：（1）如图1中，①∵抛物线y=x2﹣3x+m的对称轴x=﹣=10，∴点B坐标（10，0），∵四边形OBKC是矩形，∴CK=OB=10，KB=OC=8，故答案分别为10，0，8，10．②在RT△FBK中，∵∠FKB=90°，BF=OB=10，BK=OC=8，∴FK==6，∴CF=CK﹣FK=4，∴点F坐标（4，8）．③设OA=AF=x，在RT△ACF中，∵AC2+CF2=AF2，∴（8﹣x）2+42=x2，∴x=5，∴点A坐标（0，5），代入抛物线y=x2﹣3x+m得m=5，∴抛物线为y=x2﹣3x+5．（2）不变．S1•S2=189．理由：如图2中，在RT△EDG中，∵GE=EO=17，ED=8，∴DG==15，∴CG=CD﹣DG=2，∴OG==2，∵CP⊥OM，MH⊥OG，∴∠NPN=∠NHG=90°，∵∠HNG+∠HGN=90°，∠PNM+∠PMN=90°，∠HNG=∠PNM，∴∠HGN=∠NMP，∵∠NMP=∠HMG，∠GHN=∠GHM，∴△GHN∽△MHG，∴，∴GH2=HN•HM，∵GH=OH=，∴HN•HM=17，∵S1•S2=•OG•HN••OG•HM=（•2）2•17=289．考点：二次函数综合题.27．（1）二次函数的表达式为y=﹣12x2+2x；（2）6；（3）点E的坐标为：（83，0）或（83，43）或（23，223）或（4，0）．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求二次函数的表达式；（2）先求出OB和AB的长，根据勾股定理的逆定理证明∠ABO=90°，由对称计算∠QCB=60°，利用特殊的三角函数列式可得BQ的长；（3）因为D在OB上，所以F分两种情况：i）当F在边OA上时，ii）当点F在AB上时，当F在边OA上时，分三种情况：①如图2，过D作DF⊥x轴，垂足为F，则E、F在OA上，②如图3，作辅助线，构建△OFD≌△EDF≌△FGE，③如图4，将△DOF沿边DF翻折，使得O恰好落在AB边上，记为点E；当点F在OB上时，过D作DF∥x轴，交AB于F，连接OF与DA，依次求出点E的坐标即可．试题解析：（1）将点A的坐标代入二次函数的解析式得：﹣12×42+4b=0，解得b=2，∴二次函数的表达式为y=﹣12x2+2x．（2）∵y=﹣12x2+2x=﹣12（x﹣2）2+2，∴B（2，2），抛物线的对称轴为x=2．如图1所示：由两点间的距离公式得：，．∵C是OB的中点，∵△OB′C为等边三角形，∴∠OCB′=60°．又∵点B与点B′关于CQ对称，∴∠B′CQ=∠BCQ=60°．∵OA=4，，∴OB2+AB2=OA2，∴∠OBA=90°．在Rt△CBQ中，∠CBQ=90°，∠BCQ=60°，∴tan60°=BQ BC，．（3）分两种情况：i）当F在边OA上时，①如图2，过D作DF⊥x轴，垂足为F，∵△DOF≌△DEF，且E在线段OA上，∴OF=FE，由（2）得：， ∵点D 在线段BO 上，OD=2DB ，∴OD=23 ， ∵∠BOA=45°， ∴cos45°=OFOD，=43，则OE=2OF=83， ∴点E 的坐标为（83，0）； ②如图3，过D 作DF⊥x 轴于F ，过D 作DE∥x 轴，交AB 于E ，连接EF ，过E 作EG⊥x 轴于G ，∴△BDE∽△BOA， ∴BD DE OB OA = =13， ∵OA=4， ∴DE=43， ∵DE∥OA，∴∠OFD=∠FDE=90°， ∵DE=OF=43，DF=DF ， ∴△OFD≌△EDF，同理可得：△EDF≌△FGE， ∴△OFD≌△EDF≌△FGE，∴OG=OF+FG=OF+DE=43+43=83，EG=DF=OD•sin45°=43， ∴E 的坐标为（83，43）；③如图4，将△DOF 沿边DF 翻折，使得O 恰好落在AB 边上，记为点E ，过B 作BM⊥x 轴于M ，过E 作EN⊥BM 于N ，由翻折的性质得：△DOF≌△DEF，，∵BD=12OD=3，∴在Rt△DBE 中，由勾股定理得：3，则×2，，BM ﹣BN=2，∴点E 的坐标为：（2； ii ）当点F 在AB 上时，过D 作DF∥x 轴，交AB 于F ，连接OF 与DA ， ∵DF∥x 轴， ∴△BDF∽△BOA， ∴BD BFBO BA= ，由抛物线的对称性得：OB=BA ， ∴BD=BF，则∠BDF=∠BFD，∠ODF=∠AFD， ∴OD=OB﹣BD=BA ﹣BF=AF ，则△DOF≌△DAF，∴E 和A 重合，则点E 的坐标为（4，0）；综上所述，点E 的坐标为：（83，0）或（83，43）或（，2）或（4，0）．点睛：本题是二次函数的综合题，考查了利用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理、三角形全等和相似的性质和判定、特殊的三角函数、等边三角形，第三问有难度，正确画图、采用分类讨论的思想是关键．28．（1）b=13，c=4；（2）△APQ不可能是直角三角形，理由见解析；（3）655205-+4）Q′（67，227）．【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣4）．将a=﹣13代入可得到抛物线的解析式，从而可确定出b、c的值；（2）连结QC．先求得点C的坐标，则PC=5﹣t，依据勾股定理可求得AC=5，CQ2=t2+16，接下来，依据CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2列方程求解即可；（3）过点P作DE∥x轴，分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分别为D、E，MD 交x轴与点F，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，首先证明△PAG∽△ACO，依据相似三角形的性质可得到PG=45t，AG=35t，然后可求得PE、DF的长，然后再证明△MDP≌PEQ，从而得到PD=EQ=45t，MD=PE=3+25t，然后可求得FM和OF的长，从而可得到点M的坐标，然后将点M的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（4）连结OP，取OP的中点R，连结RH，NR，延长NR交线段BC与点Q′．首先依据三角形的中位线定理得到EH=12QO=12t，RH∥OQ，NR=12AP=12t，则RH=NR，接下来，依据等腰三角形的性质和平行线的性质证明NH是∠QNQ′的平分线，然后求得直线NR和BC的解析式，最后求得直线NR和BC的交点坐标即可．【详解】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣4），将a=﹣13代入得：y=﹣13x2+13x+4，∴b=13，c=4．（2）在点P、Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形．理由如下：连结QC．∵在点P、Q运动过程中，∠PAQ、∠PQA始终为锐角，∴当△APQ是直角三角形时，则∠APQ=90°．将x=0代入抛物线的解析式得：y=4，∴C（0，4）．∵AP=OQ=t，∴PC=5﹣t，∵在Rt△AOC中，依据勾股定理得：AC=5，在Rt△COQ中，依据勾股定理可知：CQ2=t2+16，在Rt△CPQ中依据勾股定理可知：PQ2=CQ2﹣CP2，在Rt△APQ中，AQ2﹣AP2=PQ2，∴CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2，即（3+t）2﹣t2=t2+16﹣（5﹣t）2，解得：t=4.5．∵由题意可知：0≤t≤4，∴t=4.5不和题意，即△APQ不可能是直角三角形．（3）如图所示：过点P作DE∥x轴，分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分别为D、E，MD交x 轴与点F，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，则PG∥y轴，∠E=∠D=90°．∵PG∥y轴，∴△PAG∽△ACO，∴PG AG APOC OA AC==，即435PG AG t==，∴PG=45t，AG=35t，∴PE=GQ=GO+OQ=AO﹣AG+OQ=3﹣35t+t=3+25t，DF=GP=45t．∵∠MPQ=90°，∠D=90°，∴∠DMP+∠DPM=∠EPQ+∠DPM=90°，∴∠DMP=∠EPQ．又∵∠D=∠E，PM=PQ，∴△MDP≌PEQ，∴PD=EQ=45t，MD=PE=3+25t，∴FM=MD﹣DF=3+25t﹣45t=3﹣25t，OF=FG+GO=PD+OA﹣AG=3+45t﹣35t=3+15t，∴M（﹣3﹣15t，﹣3+25t）．∵点M在x轴下方的抛物线上，∴﹣3+25t=﹣13×（﹣3﹣15t）2+13×（﹣3﹣15t）+4，解得：t=655205-±．∵0≤t≤4，∴t=655205 -+．（4）如图所示：连结OP，取OP的中点R，连结RH，NR，延长NR交线段BC与点Q′．∵点H为PQ的中点，点R为OP的中点，∴EH=12QO=12t，RH∥OQ．∵A（﹣3，0），N（﹣32，0），∴点N为OA的中点．又∵R为OP的中点，∴NR=12AP=12t，∴RH=NR，∴∠RNH=∠RHN．∵RH∥OQ，∴∠RHN=∠HNO，∴∠RNH=∠HNO，即NH是∠QNQ′的平分线．设直线AC的解析式为y=mx+n，把点A（﹣3，0）、C（0，4）代入得：304m nn-+=⎧⎨=⎩，解得：m=43，n=4，∴直线AC的表示为y=43x+4．同理可得直线BC的表达式为y=﹣x+4．设直线NR的函数表达式为y=43x+s，将点N的坐标代入得：43×（﹣32）+s=0，解得：s=2，∴直线NR的表述表达式为y=43x+2．将直线NR和直线BC的表达式联立得：4234y xy x⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得：x=67，y=227，∴Q′（67，227）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，能结合图形运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等进行解题是关键.。

第二章二次函数数学九年级下册-单元测试卷-北师大版(含答案)

第二章二次函数数学九年级下册-单元测试卷-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论：①c＝2；②b2－4ac＞0；③2a＋b＝0；④a＋b＋c＜0．其中正确的为（）A.①②③B.①②④C.①②D.③④2、抛物线y=x2+4x+5是由抛物线y=x2+1经过某种平移得到，则这个平移可以表述为（）A.向左平移1个单位B.向左平移2个单位C.向右平移1个单位 D.向右平移2个单位3、抛物线y=2x2+1的的对称轴是（）A.直线x=B.直线x=C.x轴D.y轴4、已知x是实数，且满足（x﹣2）（x﹣3）=0，则相应的函数y=x2+x+1的值为（）A.13或3B.7或3C.3D.13或7或35、函数y＝kx2－6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A.k＜3B.k＜3且k≠0C.k≤3D.k≤3且k≠06、下列函数属于二次函数的是（）A.y=x－B.y=（x－3）2－x 2C.y= －xD.y=2（x＋1）2－17、用图象法探索二次函数y=x2和反比例函数y=（k不为零）交点个数为（）A.一定是1个B.一定有2个C.1个或者2个D.0个8、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③m（am+b）+b≤a；④（a+c）2＜b2；其中正确结论的个数有（）个.A.1个B.2个C.3个D.49、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b和反比例函数y= 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A. B. C. D.10、下列抛物线中，顶点坐标是（﹣2，0）的是（）A.y=x 2+2B.y=x 2﹣2C.y=（x+2）2D.y=（x﹣2）211、如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=﹣1，点B的坐标为（1，0），则下列结论：①AB=4；②b2﹣4ac＞0；③ab＜0；④a2﹣ab+ac＜0，其中正确的结论有（）个．A.1个B.2个C.3个D.4个12、在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A.y=2x 2B.y=2x﹣2C.y=ax 2D.13、抛物线y=x2﹣6x+5的顶点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限14、若点A（4，y1），B（2，y2），C（-2，y3）是抛物线y=（x-2）2+1上的三点，则y1， y2， y3的大小关系为（）A.y3＞y1＞y2B.y1＞y3＞y2C.y3＞y2＞y1D.y1＞y2＞y315、二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，－3)，则代数式1＋a＋b的值为( )A.－3B.－1C.2D.5二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C2017．若点P是第2016段抛物线的顶点，则P点的坐标为________．17、若二次函数y=x2+bx- 5的对称轴为直线x=2，则关于x的方程x2+bx-5=2x-13的解为________ 。

北师大版数学九年级下册第二章二次函数综合素质评价(含答案)

第二章综合素质评价一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列函数中，一定是二次函数的是()A．y＝ax2＋bx＋c B．y＝x(－x＋1) C．y＝(x－1)2－x2D．y＝1 x22．抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是()A．直线x＝12 B. 直线x＝－12 C. y轴 D. 直线x＝23．已知函数y＝(m＋3)x2＋4是二次函数，则m的取值范围为() A．m＞－3 B．m＜－3 C．m≠－3 D．任意实数4．下表是二次函数y＝x2－x－3的y与x的部分对应值，那么方程x2－x－3＝0的一个近似根是()A．1.2B．2.3C．3.4D．4.55．已知二次函数y＝ax2＋4x－c，当x＝1时，函数值是－5，则下列关于a，c的关系式中，正确的是()A．a＋c＝－1 B．a＋c＝－9 C．a－c＝－9 D．a－c＝－16．已知抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，且抛物线与x轴有交点，则c 的最大值为()A．0 B．2 C．4 D．87．将抛物线y＝2x2－4x＋1先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后抛物线的表达式为()A．y＝2(x＋2)2＋1 B．y＝2(x－4)2＋1C．y＝2(x＋2)2－3 D．y＝2(x－4)2－38．如果点P1(1，y1)，P2(3，y2)和P3(4，y3)均在二次函数y＝－x2＋6x＋c的图象上，那么y1，y2，y3之间的大小关系是()A．y1＜y3＜y2B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y2＜y39．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标与纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点(1，1)，(－2，－2)，(0.5，0.5)，…，都是和谐点．若二次函数y＝ax2＋7x＋c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点(－1，－1)，则此二次函数的表达式为()A．y＝3x2＋7x＋3 B．y＝2x2＋7x＋4 C．y＝x2＋7x＋5 D．y＝4x2＋7x＋2 10．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，下列结论：①a－b＋c＜0；②abc＞0；③2a－b＜0；④3a＋c＝0；⑤b2c2＞4a中，正确的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11．抛物线y＝x2＋2x－3与坐标轴的交点的个数为________．12．图象顶点坐标为(3，1)，形状与函数y＝13x2的图象相同且开口方向相反的函数表达式为__________________．13．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为(－4，0)，对称轴为直线x＝－1，则当y＞0时，x的取值范围为________．14．若A(m－2，n)，B(m＋2，n)为抛物线y＝－(x－h)2＋2 022上的两点，则n＝________．15．如图，有一座抛物线形拱桥，桥下水面宽度AB为20 m，当水位上升3 m时，达到警戒线CD，CD的宽度为10 m．若洪水到来时，水位以每小时0.2 m的速度上升，则再持续________小时水位才能到拱桥顶．三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题8分，共24分．16．已知函数y＝(m2＋2m)x2＋mx＋m＋1.(1)当m为何值时，此函数是一次函数？(2)当m为何值时，此函数是二次函数？17．已知抛物线y＝(m－1)x2＋m2－2m－2的开口向下，且经过点(0，1)．(1)求m的值．(2)求此抛物线的顶点坐标及对称轴．(3)当x为何值时，y随x的增大而增大？18．已知抛物线y＝a(x－1)2＋h经过点(0，－3)和(3，0)．(1)求a，h的值；(2)将该抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线的表达式．四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分．19．已知二次函数图象的顶点坐标为(1，1)，且当x＝3时，y＝3，求该二次函数的表达式，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象．20．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12 m的住房墙，另外三边用27 m长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门．当所围成矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍的面积最大，最大面积是多少？21．定义：如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上(点P不与点A，B重合)，若△ABP的三边满足AP2＋BP2＝AB2，则称点P为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的勾股点．(1)求证：点M(0，－1)是抛物线y＝x2－1的勾股点；(2)如图2，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P(1，－3)是该抛物线的勾股点，求该抛物线的表达式．五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分．22．某公司计划购进一批原料进行加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/吨，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m(万元)与原料的质量x(吨)之间的函数关系式为m＝50＋0.2x，销售价y(万元/吨)与原料的质量x(吨)之间的函数关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式．(2)设销售收入为P(万元)，求P与x之间的函数关系式．(3)原料的质量为多少吨时，该公司所获得的销售利润最大，最大销售利润是多少万元？(销售利润＝销售收入－总支出)23．如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线l相交于A(－1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N，顶点为D.(1)求抛物线及直线l的表达式．(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得以A，N，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.答案一、1．B 2．C 3．C 4．B 5．C 6．C 7．D 8．A 9．A 点拨：易得b 2－4ac ＝62－4ac ＝0，a －7＋c ＝－1，∴ac ＝9，c ＝6－a .把c ＝6－a 代入ac ＝9，得a (6－a )＝9，解得a 1＝a 2＝3， ∴c ＝6－3＝3，∴此二次函数的表达式为y ＝3x 2＋7x ＋3.10．C 点拨：由图象可知，当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＞0，故①不正确．∵抛物线的开口向下，∴a ＜0.∵抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，∴c ＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x ＝－1，∴－b2a ＝－1，即b ＝2a ，∴b ＜0，∴abc ＞0.故②正确． ∵b ＝2a ，∴2a －b ＝0.故③不正确．易知抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(1，0)， ∴当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＝a ＋2a ＋c ＝3a ＋c ＝0. 故④正确．∵a ＜0，∴4a ＜0.又∵b 2c 2＞0，∴b 2c 2＞4a .故⑤正确． ∴正确的结论有3个．二、11．3 12．y ＝－13x 2＋2x －2 13.x ＜－4或x ＞2 14．2 018 15．5三、16．解：(1)∵函数y ＝(m 2＋2m )x 2＋mx ＋m ＋1是一次函数，∴⎩⎨⎧m 2＋2m ＝0，m ≠0，解得m ＝－2. (2)∵函数y ＝(m 2＋2m )x 2＋mx ＋m ＋1是二次函数， ∴m 2＋2m ≠0， ∴m ≠－2且m ≠0.17．解：(1)∵抛物线y ＝(m －1)x 2＋m 2－2m －2的开口向下，且经过点(0，1)，∴⎩⎨⎧m 2－2m －2＝1，m －1＜0，解得m ＝－1. (2)当m ＝－1时，此抛物线的表达式为y ＝－2x 2＋1，故顶点坐标为(0，1)，对称轴为y 轴．(3)当x ＜0时，y 随x 的增大而增大．18．解：(1)将(0，－3)和(3，0)分别代入y ＝a (x －1)2＋h ，得⎩⎨⎧－3＝a ＋h ，0＝4a ＋h ，解得⎩⎨⎧a ＝1，h ＝－4.所以a 的值为1，h 的值为－4. (2)新的抛物线的表达式为y ＝(x －2)2－2，即y ＝x 2－4x ＋2. 四、19．解：∵二次函数图象的顶点坐标为(1，1)，∴设该二次函数的表达式为y ＝a (x －1)2＋1(a ≠0)， ∵当x ＝3时，y ＝3，∴3＝a (3－1)2＋1，解得a ＝12，∴该二次函数的表达式为y ＝12(x －1)2＋1. 列表如下：x … －1 0 1 2 3 … y…3321323…该二次函数的图象如图所示．20．解：设矩形猪舍的面积为y m 2，垂直于住房墙的一边的长为x m ，则平行于住房墙的一边的长为(27－2x ＋1) m ，由题意，得y ＝x (27－2x ＋1)＝－2(x －7)2＋98，可知图象的对称轴为直线x ＝7.根据题意，得⎩⎨⎧27－2x ＋1≤12，27－2x ＋1＞0，∴8≤x ＜14.∵在y ＝－2(x －7)2＋98中，－2＜0， ∴当8≤x ＜14时，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝8时，y 有最大值，最大值为96.此时27－2x ＋1＝12.答：当所围成矩形猪舍的长、宽分别为12 m ，8 m 时，猪舍的面积最大，最大面积是96 m 2.21．(1)证明：设抛物线y ＝x 2－1与x 轴交于E ，F 两点，且点E 在点F 的左边．令y ＝0，则x 2－1＝0，解得x 1＝1，x 2＝－1，∴E (－1，0)，F (1，0)． ∴EF 2＝4. ∵M (0，－1)， ∴EM 2＝2，FM 2＝2， ∴EM 2＋FM 2＝EF 2，∴点M (0，－1)是抛物线y ＝x 2－1的勾股点． (2)解：过点P 作PH ⊥AB 于点H ， ∵P (1，－3)， ∴OH ＝1，PH ＝3， ∴tan ∠P AH ＝PH OH ＝31＝3， ∴∠P AH ＝60°.∵点P (1，－3)是抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)的勾股点， ∴AP 2＋BP 2＝AB 2. ∴∠APB ＝90°， ∴∠PBA ＝30°，∴BH ＝PHtan 30°＝3×3＝3， ∴B (4，0)．把P (1，－3)和B (4，0)的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx (a ≠0)，得⎩⎨⎧a ＋b ＝－3，16a ＋4b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝33，b ＝－433.∴该抛物线的表达式为y ＝33x 2－433x .五、22．解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，将(20，15)，(30，12.5)分别代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧20k ＋b ＝15，30k ＋b ＝12.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝20，∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－14x ＋20.(2)由题意，得P ＝(1－20%)xy ＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x ＋20x ＝－15x 2＋16x ，∴P 与x 之间的函数关系式为P ＝－15x 2＋16x . (3)设销售利润为W (万元)，W ＝P －6.2x －m ＝－15x 2＋16x －6.2x －(50＋0.2x )，整理，得W ＝－15x 2＋485x －50，配方，得W ＝－15(x －24)2＋65.2， ∵－15＜0，∴当x ＝24时，W 有最大值，最大值为65.2，答：原料的质量为24吨时，该公司所获得的销售利润最大，最大销售利润是65.2万元．23．解：(1)将A (－1，0)，C (2，3)的坐标分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧－1－b ＋c ＝0，－4＋2b ＋c ＝3，解得⎩⎨⎧b ＝2，c ＝3，故抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3.设直线l 的表达式为y ＝kx ＋n ，将A (－1，0)，C (2，3)的坐标分别代入y ＝kx＋n ，得⎩⎨⎧－k ＋n ＝0，2k ＋n ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝1，n ＝1，故直线l 的表达式为y ＝x ＋1.(2)存在．易知抛物线的对称轴为直线x ＝1，N (0，3)，设点M (1，m )．∵A (－1，0)，M (1，m )，N (0，3)，∴AM 2＝(1＋1)2＋m 2＝4＋m 2，AN 2＝12＋32＝10，MN 2＝1＋(m －3)2.如图①，当AM 是斜边时，则有4＋m 2＝10＋1＋(m －3)2，解得m ＝83；如图②，当AN 是斜边时，则有4＋m 2＋1＋(m －3)2＝10，解得m ＝1或m ＝2；如图③，当MN 是斜边时，则有4＋m 2＋10＝1＋(m －3)2，解得m ＝－23.故点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83或(1，1)或(1，2)或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－23.。

2020北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元测试题及答案

第二章二次函数一．选择题（共20小题）1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．s＝2t2﹣2t+1 D．y＝x2+2．已知x是实数，且满足（x﹣2）（x﹣3）＝0，则相应的函数y＝x2+x+1的值为（）A．13或3 B．7或3 C．3 D．13或7或3 3．函数y＝与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．4．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（）A．B．C．D．5．如图，Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，设直线x＝t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（）A．B．C．D．6．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c＝1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．二次函数y＝（x﹣4）2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）A．向上，直线x＝4，（4，5）B．向上，直线x＝﹣4，（﹣4，5）C．向上，直线x＝4，（4，﹣5）D．向下，直线x＝﹣4，（﹣4，5）8．关于抛物线y＝x2﹣2x﹣1，下列说法中错误的是（）A．开口方向向上B．对称轴是直线x＝1C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．顶点坐标为（1，﹣2）9．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc ＝0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0 ②2a+b＝0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．412．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个13．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1＝y2C．y1＞y2＞y3D．y1＝y2＞y3 14．将抛物线y＝x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）A．y＝（x﹣8）2+5 B．y＝（x﹣4）2+5C．y＝（x﹣8）2+3 D．y＝（x﹣4）2+315．将抛物线y＝x2+2x+3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线与直线y＝3的交点坐标是（）A．（0，3）或（﹣2，3）B．（﹣3，0）或（1，0）C．（3，3）或（﹣1，3）D．（﹣3，3）或（1，3）16．在二次函数y＝x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（）A．0，﹣4 B．0，﹣3 C．﹣3，﹣4 D．0，017．根据下列表格中的对应值，判断y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）与x轴的交点的横坐标的取值范围是（）A．0＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.2618．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx ﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t≥﹣1 B．﹣1≤t＜3 C．﹣1≤t＜8 D．3＜t＜819．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（）A．y＝60（300+20x）B．y＝（60﹣x）（300+20x）C．y＝300（60﹣20x）D．y＝（60﹣x）（300﹣20x）20．如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动，始终保持AE⊥EF．设BE＝x，DF＝y，则y是x的函数，函数关系式是（）A．y＝x+1 B．y＝x﹣1 C．y＝x2﹣x+1 D．y＝x2﹣x﹣1 二．填空题（共6小题）21．如果函数y＝（k﹣3）+kx+1是二次函数，那么k的值一定是．22．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y＝x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是．23．已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是．24．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为．25．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是．26．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y＝﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是．三．解答题（共4小题）27．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？28．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．29．如图，抛物线y＝x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x＝2．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．30．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．【解答】解：A、y＝3x﹣1是一次函数，故A错误；B、y＝ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，故B错误；C、s＝2t2﹣2t+1是二次函数，故C正确；D、y＝x2+不是二次函数，故D错误；故选：C．2．【解答】解：∵（x﹣2）（x﹣3）＝0，∴x≤1，∴x＝1，当x＝1，y＝x2+x+1＝1+1+1＝3．故选：C．3．【解答】解：解法一：由解析式y＝﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x＝0；A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．解法二：①k＞0，双曲线在一、三象限，﹣k＜0，抛物线开口向下，顶点在y轴正半轴上，选项B符合题意；②K＜0时，双曲线在二、四象限，﹣k＞0，抛物线开口向上，顶点在y轴负半轴上，选项B符合题意；故选：B．4．【解答】解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．故选：C．5．【解答】解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，∴∠AOB＝∠A＝45°，∵CD⊥OB，∴CD∥AB，∴∠OCD＝∠A，∴∠AOD＝∠OCD＝45°，∴OD＝CD＝t，∴S△OCD＝×OD×CD＝t2（0≤t≤3），即S＝t2（0≤t≤3）．故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]、开口向上的二次函数图象；故选：D．6．【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，①正确；∵x＝2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确；根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2+bx+c＝1的两根之和为﹣2，③错误；使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误，故选：B．7．【解答】解：二次函数y＝（x﹣4）2+5的图象的开口向上、对称轴为直线x＝4、顶点坐标为（4，5），故选：A．8．【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x﹣1，∵a＝1＞0，∴开口方向向上，故选项A不合题意；对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝1，故选项B不合题意；当x＞1时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意；y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，顶点坐标为（1，﹣2），故选项D不合题意．故选：C．9．【解答】解：①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），∴当x＝2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②错误；③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），∴当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2a+b×（﹣1）+c＝0，∴a﹣b+c＝0，即a＝b﹣c，c＝b﹣a，∵对称轴为直线x＝1∴＝1，即b＝﹣2a，∴c＝b﹣a＝（﹣2a）﹣a＝﹣3a，∴4ac﹣b2＝4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2＝﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正确④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a＞；故④正确⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c；故⑤正确；故选：D．10．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c图象经过原点，∴c＝0，∴abc＝0∴①正确；∵x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②不正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴是x＝﹣，∴﹣，b＜0，∴b＝3a，又∵a＜0，b＜0，∴a＞b，∴③正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，∴△＞0，∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，∴④正确；综上，可得正确结论有3个：①③④．故选：C．11．【解答】解：①图象开口向下，能得到a＜0；②对称轴在y轴右侧，x＝＝1，则有﹣＝1，即2a+b＝0；③当x＝1时，y＞0，则a+b+c＞0；④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0．故选：C．12．【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以②正确；∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，所以③错误；∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．故选：B．13．【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+c，∴对称轴为x＝1，P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵3＜5，∴y2＞y3，根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，故y1＝y2＞y3，故选：D．14．【解答】解：y＝x2﹣6x+21＝（x2﹣12x）+21＝[（x﹣6）2﹣36]+21＝（x﹣6）2+3，故y＝（x﹣6）2+3，向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为：y＝（x﹣4）2+3．故选：D．15．【解答】解：将抛物线y＝x2+2x+3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线为y＝x2+2x 当该抛物线与直线y＝3相交时，x2+2x＝3解得：x1＝﹣3，x2＝1则交点坐标为：（﹣3，3）（1，3）故选：D．16．【解答】解：抛物线的对称轴是x＝1，则当x＝1时，y＝1﹣2﹣3＝﹣4，是最小值；当x＝3时，y＝9﹣6﹣3＝0是最大值．故选：A．17．【解答】解：∵x＝3.24时，y＝﹣0.02＜0；x＝3.25时，y＝0.03＞0，∴抛物线与x轴的一个交点在点（3.24，0）与点（3.25，0）之间．故选：C．18．【解答】解：对称轴为直线x＝﹣＝1，解得b＝﹣2，所以二次函数解析式为y＝x2﹣2x，y＝（x﹣1）2﹣1，x＝1时，y＝﹣1，x＝4时，y＝16﹣2×4＝8，∵x2+bx﹣t＝0相当于y＝x2+bx与直线y＝t的交点的横坐标，∴当﹣1≤t＜8时，在﹣1＜x＜4的范围内有解．故选：C．19．【解答】解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，根据题意得，y＝（60﹣x）（300+20x），故选：B．20．【解答】解：∵∠BAE和∠EFC都是∠AEB的余角．∴∠BAE＝∠FEC．∴△ABE∽△ECF那么AB：EC＝BE：CF，∵AB＝1，BE＝x，EC＝1﹣x，CF＝1﹣y．∴AB•CF＝EC•BE，即1×（1﹣y）＝（1﹣x）x．化简得：y＝x2﹣x+1．故选：C．二．填空题（共6小题）21．【解答】解：根据二次函数的定义，得：k2﹣3k+2＝2，解得k＝0或k＝3；又∵k﹣3≠0，∴k≠3．∴当k＝0时，这个函数是二次函数．22．【解答】解：由图可知，∠AOB＝45°，∴直线OA的解析式为y＝x，联立消掉y得，x2﹣2x+2k＝0，△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×2k＝0，即k＝时，抛物线与OA有一个交点，此交点的横坐标为1，∵点B的坐标为（2，0），∴OA＝2，∴点A的坐标为（，），∴交点在线段AO上；当抛物线经过点B（2，0）时，×4+k＝0，解得k＝﹣2，∴要使抛物线y＝x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是﹣2＜k＜．故答案为：﹣2＜k＜．23．【解答】解：把A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）分别代入y＝（x﹣2）2﹣1得：y1＝（x﹣2）2﹣1＝3，y2＝（x﹣2）2﹣1＝5﹣4，y3＝（x﹣2）2﹣1＝15，∵5﹣4＜3＜15，所以y3＞y1＞y2．故答案为y3＞y1＞y2．24．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（1，1），∵四边形ABCD为矩形，∴BD＝AC，而AC⊥x轴，∴AC的长等于点A的纵坐标，当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，∴对角线BD的最小值为1．故答案为1．【解答】解：观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞4时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c 25．的上方，∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜﹣1或x＞4．故答案为：x＜﹣1或x＞4．26．【解答】解：由题意可得出：y＝a（x+6）2+4，将（﹣12，0）代入得出，0＝a（﹣12+6）2+4，解得：a＝﹣，∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y＝﹣（x+6）2+4．故答案为：y＝﹣（x+6）2+4．三．解答题（共4小题）27．【解答】解：（1）根据一次函数的定义，得：m2﹣m＝0解得m＝0或m＝1又∵m﹣1≠0即m≠1；∴当m＝0时，这个函数是一次函数；（2）根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0解得m1≠0，m2≠1∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数．28．【解答】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y＝﹣x2+mx+3得：0＝﹣32+3m+3，解得：m＝2，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为：（1，4）．（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，设直线BC的解析式为：y＝kx+b，∵点C（0，3），点B（3，0），∴，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．29．【解答】解：（1）由题意得，，解得b＝4，c＝3，∴抛物线的解析式为．y＝x2﹣4x+3；（2）∵点A与点C关于x＝2对称，∴连接BC与x＝2交于点P，则点P即为所求，根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0），y＝x2﹣4x+3与y轴的交点为（0，3），∴设直线BC的解析式为：y＝kx+b，，解得，k＝﹣1，b＝3，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，则直线BC与x＝2的交点坐标为：（2，1）∴点P的坐标为：（2，1）．30．【解答】解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△＝22+4m＞0∴m＞﹣1；（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），∴0＝﹣9+6+m∴m＝3，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），设直线AB的解析式为：y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3，∵抛物线y＝﹣x2+2x+3，的对称轴为：x＝1，∴把x＝1代入y＝﹣x+3得y＝2，∴P（1，2）．。

2021-2022学年度北师大版九年级数学下册第二章二次函数综合测试试题(含答案及详细解析)

北师大版九年级数学下册第二章二次函数综合测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知抛物线()20y ax bx c a =++<经过()1,A x m ，()21,B x m -，()2,C x p ，()11,D x q -，若12x x <时，则m ，p ，q 的大小关系是（）A ．m p q <<B ．m p q <=C ．p q m =<D ．p q m <<2、在平面直角坐标系xOy 中，下列函数的图象经过点(0,0)的是（）A ．1y x =+B ．2y xC ．2(4)y x =-D ．1y x = 3、已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，在下列五个结论中：①20a b -<；②0abc <；③0a b c ++<；④0a b c -+>；⑤420a b c ++>．其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4、把函数2y x 的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的图象解析式为（）A ．()221y x =--B ．()221y x =+- C ．()212y x =-+ D ．()212y x =-- 5、抛物线y ＝（x +2）2+1可由抛物线y ＝x 2平移得到，下列平移正确的是（）A ．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B ．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位C ．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D ．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位6、某同学将如图所示的三条水平直线1m ，2m ，3m 的其中一条记为x 轴（向右为正方向），三条竖直直线4m ，5m ，6m 的其中一条记为y 轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数()2210y ax ax a =-+<的图象，那么她所选择的x 轴和y 轴分别为直线（）A ．1m ，4mB ．2m ，5mC ．3m ，6mD ．2m ，4m7、抛物线22()1y x =-+的顶点坐标是（）A ．(2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)-D ．(1,2)-8、二次函数2(21)2y x =--的顶点坐标是（）A ．(1,2)-B ．1(,2)2- C ．(1,2)- D ．1(,2)29、如图，线段AB ＝5，动点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿线段AB 运动至点B ，以点A 为圆心，线段AP 长为半径作圆．设点P 的运动时间为t ，点P ，B 之间的距离为y ，⊙A 的面积为S ，则y 与t ，S 与t 满足的函数关系分别是（）A ．正比例函数关系，一次函数关系B ．一次函数关系，正比例函数关系C ．一次函数关系，二次函数关系D ．正比例函数关系，二次函数关系10、把抛物线2112y x =--向右平移1个单位长度，得到新的抛物线的解析式是（） A ．212y x =- B ．21(1)12y x =-+- C ．2122y x =-- D ．21(1)12y x =--- 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、若二次函数225y x x =-+在1m x m +≤≤时的最小值为6，那么m 的值是______．2、抛物线y ＝（x +1）2+3的顶点坐标是 _____．3、如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根1x ，2x ，且满足123x x -=，则称这样的方程为“根差方程”，以下关于根差方程的说法，正确的是________（写序号）①方程2430x x -+=是根差方程；②若()()20x x m -+=是根差方程，则2450m m +-=；③若根差方程20ax bx c ++=满足520a c -=，则点()12,A x x 到坐标原点的距离是2；④若方程20ax bx c ++=是根差方程且相异两点()3,M t s +，()6,N t s -都在抛物线2y ax bx c =++上，则方程20ax bx c ++=的两根分别为3和6．4、通过_______法画出221y x =+和221y x =-的图像：通过图像可知：221y x =+的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________．221y x =-的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________．5、飞机着陆后滑行的距离（单位：米）关于滑行的时间t （单位：秒）的函数解析式是s ＝60t ﹣1.5t 2，则飞机停下前最后10秒滑行的距离是 _____米．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()250y ax bx a a =++-≠的对称轴是直线1x =．（1）用含a 的式子表示b ；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）()1,M m y ，()22,N m y +是抛物线上两点，记抛物线在M ，N 之间的部分为图象G （包括M ，N 两点），图象G 上任意两点纵坐标差的最大值记为h ，若存在m ，使得3h =，直接写出a 的取值范围．2、在平面直角坐标系xOy 中，点(4,3)在抛物线23(0)y ax bx a =++>上．（1）求该抛物线的对称轴；（2）已知0m >，当222+m x m -≤≤时，y 的取值范围是13y -≤≤，求a ，m 的值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数n ，当2n x n -<<时，y 的取值范围是3335n y n -<<+，若存在，直接写出n 的值；若不存在，请说明理由．3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c ，与y 轴交于点A ，与x 轴交于点E 、B ．且点A (0，5)，B (5，0)，点P 为抛物线上的一动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图，过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，若点P 在AC 的上方，作PD 平行于y 轴交AB 于点D ，连接PA ，PC ，当S 四边形APCD ＝245AOE S △时，求点P 坐标；（3）设抛物线的对称轴与AB 交于点M ，点Q 在直线AB 上，当以点M 、E 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点Q 的坐标．4、某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x 件．已知产销两种产品的有关信息如表：其中a 为常数，且5≤a ≤7．（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为1y 万元、2y 万元，直接．．写出1y 、2y 与x 的函数关系式；（注：年利润=总售价﹣总成本﹣每年其他费用）（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．5、如图，抛物线24y x x n =-++经过点()1,0A ，与y 轴交于点.B 过点B 且平行于x 轴的直线交抛物线于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）求ABC 的面积；（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得ABP 的周长最小？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．-参考答案-一、单选题1、C【分析】由()1,A x m ，()21,B x m -纵坐标相同可以看出AB 关于对称轴对称，即对称轴为1212x x x +-=，再结合C 、D 坐标可得C 、D 关于对称轴对称，再根据12x x <，比较m 和p 的大小即可．【详解】∵()1,A x m ，()21,B x m - ∴对称轴为1212x x x +-=∴()2,C x p ，()11,D x q -关于对称轴对称，即p q =∵12x x < ∴12122212222x x x x x x +-+<<= ∴()2,C x p 在对称轴右边当()1,A x m 也在对称轴右边时此时由()20y ax bx c a =++<y 随x 的增大而减小，∵12x x <，∴p q m =<当()21,B x m -在对称轴右边时此时由()20y ax bx c a =++<y 随x 的增大而减小，∵221x x -<，∴p q m =<∴p q m =<故选：C【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据AB 纵坐标相同可以看出A 、B 关于对称轴对称．2、B【分析】利用0x =时，求函数值进行一一检验是否为0即可．【详解】A.当0x =时，011y =+=，1y x =+图象过点(0,1)，选项A 不合题意；B.当0x =时，200y ==，2y x 图象过点(0,0)，选项B 合题意；C.当0x =时，2(04)16y =-=，2(4)y x =-图象过点(0,16)，选项C 不合题意；D.当0x =时，1y x =无意义，选项D 不合题意．故选：B ．【点睛】本题考查求函数值，识别函数经过点，掌握求函数值的方法，点在函数图像上点的坐标满足函数解析式是解题关键．3、C【分析】由抛物线开口向上得a >0，由抛物线的对称轴为直线x =-2b a>0得b <0，判断①；由抛物线与y 轴的交点在x 轴上方得c <0，则abc >0判断②，利用图象将x =1，-1，2代入函数解析式判断y 的值，进而对③④⑤所得结论进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a >0，∵抛物线的对称轴x =-2b a>0， ∴b ＜0，∵-2b a ＞1， ∴2a >-b ，∴2a -b ＞-2b ，∵b ＜0，∴-2b >0，即2a -b >0，故①错误；∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c <0，∴abc ＞0，所以②错误；如图所示：当x =1时，y =a +b +c ＜0，故③正确；当x =-1时，y =a -b +c >0，故④正确；当x =2时，y =4a +2b +c >0，故⑤正确，故错误的有3个．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练利用数形结合得出是解题关键．4、A【分析】根据函数图象平移变换关系进行求解即可．【详解】把函数2y x 的图象向右平移2个单位、再向下平移1个单位后的解析式为()221y x =-- 故选：A【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式5、C【分析】根据平移的规律“左加右减，上加下减”，将y ＝x 2向左平移2个单位再向上平移1个单位即可得y ＝（x +2）2+1，即可求得答案【详解】解：根据题意将y ＝x 2向左平移2个单位再向上平移1个单位即可得y ＝（x +2）2+1，故选C【点睛】本题考查了二次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键，理解题意弄清是谁平移到谁．6、D【分析】由抛物线开口向上可知0a <，由抛物线配方为()2(1)10y a x a a =--+<，可得抛物线的对称轴为1x =，顶点纵坐标为1a -+，据此结合图象可得答案．【详解】解：抛物线()2(1)10y a x a a =--+<的开口向上下0a ∴<，2221(1)1y y ax ax a x a ==-+=--+，∴抛物线的对称轴为直线1x =，∴应选择的y 轴为直线4m ；顶点坐标为(1,1)a -+，抛物线()2(1)10y a x a a =--+<与y 轴的交点为(0,1)，而11a -+>，∴应选择的x 轴为直线2m ，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是理解掌握二次函数的图象与各系数的关系是解题的关键，同时注意数形结合思想的运用．7、A【分析】根据顶点式2()y a x h k =-+的顶点坐标为(),h k 求解即可【详解】解：抛物线22()1y x =-+的顶点坐标是(2,1)故选A【点睛】本题考查了二次函数顶点式2()y a x h k =-+的顶点坐标为(),h k ，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．8、B【分析】将解析式化为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．【详解】解：二次函数2(21)2y x =--2214414()22x x x =--=--的顶点坐标是1(,2)2-．故选B ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，将解析式化为顶点式是解题的关键，即在y =a （x -h ）2+k 中，对称轴为直线x =h ，顶点坐标为（h ，k ）．9、C【分析】根据题意分别列出y 与t ，S 与t 的函数关系，进而进行判断即可．【详解】解：根据题意得AP t =，5PB AB AP t =-=-，即5y t =-()05t ≤≤，是一次函数；⊙A 的面积为S =22AP t ππ⨯=，即2S t π=()05t ≤≤，是二次函数故选C【点睛】本题考查了列函数表达式，一次函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关键．10、D【分析】抛物线平移法则为：左加右减，上加下减，由此判断即可．【详解】解：抛物线2112y x =--向右平移1个单位长度，得到新的抛物线的解析式是21(1)12y x =---，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数图象的平移问题，掌握平移法则是解题关键．二、填空题11或【分析】由题意易得二次函数的对称轴为直线1x =，则有该二次函数的最小值为4，然后由题意可分当m ＜0时，则有y 随x 的增大而减小，当m ＞1时，则y 随x 的增大而增大，进而根据函数的性质可进行求解．【详解】解：由二次函数225y x x =-+可知对称轴为直线1x =，∴当x =1时，二次函数有最小值，最小值为21254y =-+=，∵二次函数225y x x =-+在1m x m +≤≤时的最小值为6，然后可分①当m +1＜1时，即m ＜0，则有y 随x 的增大而减小，∴当x =m +1时，函数有最小值，即为()()212156m m +-++=，解得：m =，②当m ＞1时，则y 随x 的增大而增大，∴当x =m 时，函数有最小值，即为2256m m -+=，解得：1m （负根舍去），∴综上所示：m 1或1或【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．2、(1,3)-【分析】根据二次函数的顶点式，易得二次函数2(1)3y x =++图象的顶点坐标．【详解】解：抛物线2(1)3y x =++的顶点坐标是(1,3)-．故答案为：(1,3)-．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的图象为抛物线，若顶点坐标为(,)k h ，则其解析式为2()y a x k h =-+．3、②④【分析】①利用因式分解法解方程，验证即可；②利用因式分解法解方程，得12x =，2x m =-，求出m 的值，代入验证即可；③由题意，可得22124x x +=，123x x -=，从而推出1252x x =-，520a c +=，与题给条件进行比较即可；④由题意，不妨设123x x -=，求出抛物线对称轴为92x =，于是129x x +=，解得16x =，23x =，即可得到结论．【详解】解：①解方程2430x x -+=得：13x =，21x =，123x x -≠，∴方程2430x x -+=不是根差方程，故①错误；②若()()20x x m -+=是根差方程，解得根为：12x =，2x m =-，∴()23m --=或23m --=，解得1m =或5-，∴2450m m +-=，故②正确；③点()12,A x x 到坐标原点的距离是2，可得：22124x x +=，由根差方程，可得123x x -=，∴()22212121224x x x x x x +=-+=，可得：1252x x =-， ∵12c x x a =∴520a c +=，因为520a c -=，故③错误；④方程20ax bx c ++=是根差方程，不妨设1x 为较大根，则有123x x -=，∵相异两点()3,M t s +，()6,N t s -都在抛物线2y ax bx c =++上， ∴抛物线的对称轴12369222x x t t x +++-===， ∴129x x +=，∵123x x -=，解得16x =，23x =，故④正确．故答案为②④．【点睛】本题考查了新定义问题，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解法—因式分解法，二次函数图象上点的坐标特征，坐标到原点的距离，正确的理解“根差方程”的定义是解题的关键．4、描点向上 y 轴 ()0,1 向上 y 轴 ()0,1-根据画二次函数的图像采用描点法，然后根据二次函数性质得出开口方向，对称轴，顶点坐标即可．【详解】解：通过描点法画出221y x =+和221y x =-的图像，通过图像可知：221y x =+的开口方向向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0,1)，221y x =-的开口方向向上，对称轴y 轴，顶点坐标(0,1)-，故答案为：描点；向上；y 轴；()0,1；向上；y 轴；()0,1-．【点睛】本题考查了画函数图像的方法，二次函数的基本性质，根据题意画出相应的图像是解本题的关键． 5、150【分析】将抛物线解析式化为顶点式，求出飞机滑行时间和距离，然后将t =20-10代入解析式求出对应y ，然后作差求解．【详解】解：∵2223360 1.5(40)(20)60022s t t t t t =-=--=--+， ∴当20t =时，飞机停下来，并滑行了600米；把201010t =-=，代入260 1.5s t t =-，得26010 1.510450s =⨯-⨯=，∴机停下前最后10秒滑行的距离是：600450150-=（米）；故答案为：150；本题考查二次函数的应用，解题关键是将抛物线化为顶点式，理解函数解析式与实际问题的对应关系．三、解答题1、（1）2b a =-；（2）（1，-5）；（3）当抛物线开口向上，11m -≤≤时，34a ≥；当抛物线开口向上，1m 或1m <-时，0a >；当抛物线开口向下，11m -≤≤时，34a ≤-；当抛物线开口向下，1m 或1m <-时，0a <；【分析】（1）根据抛物线对称轴公式进行求解即可；（2）把抛物线化成顶点式即可得到答案；（3）分当0a >和当0a <两种情况，然后讨论抛物线顶点与图像G 的位置关系，由此求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线()250y ax bx a a =++-≠的对称轴是直线1x =， ∴12b a-=， ∴2b a =-；（2）∵2b a =-，∴抛物线解析式为()()2225252151y ax x a a x x a x a a a =+-=-+-+-=---， ∴抛物线顶点坐标为（1，-5）；（3）①当0a >，12m m ≤≤+，即11m -≤≤时，∴图像G 上纵坐标的最小值为-5，当x m =时，()2115y a m =--，当2x m =+时，()2215y a m =+-，∴()()()()()2221151511112220y y a m a m a m m m m a m -=+---+=++-+-+=-≤， ∴()()()2215513h a m a m =----=-=，∵11m -≤≤，∴210m -≤-≤，∴()2014m ≤-≤， ∴34a ≥；当1m 时，∴图像G 上纵坐标的最小值为()2115y a m =--，最大值为()2215y a m =+-， ∴()212223h y y a m =-=-=，∴0a >；当1m <-时，∴图像G 上纵坐标的最大值为()2115y a m =--，最小值为()2215y a m =+-， ∴()122223h y y a m =-=-=，∴0a >；当0a <，12m m ≤≤+，即11m -≤≤时，∴图像G 上纵坐标的最大值为-5，当x m =时，()2115y a m =--，当2x m =+时，()2215y a m =+-， ∴()()()()()2221151511112220y y a m a m a m m m m a m -=+---+=++-+-+=-≤，∴()()2251513h a m a m =--++=-+=，∵11m -≤≤，∴012m ≤+≤，∴()2014m ≤+≤， ∴34a ≤-；当1m 时，∴图像G 上纵坐标的最大值为()2115y a m =--，最小值为()2215y a m =+-， ∴()122223h y y a m =-=--=，∴0a <；当1m <-时，∴图像G 上纵坐标的最小值为()2115y a m =--，最大值为()2215y a m =+-， ∴()212223h y y a m =-=-=，∴0a <；综上所述，当抛物线开口向上，11m -≤≤时，34a ≥；当抛物线开口向上，1m 或1m <-时，0a >；当抛物线开口向下，11m -≤≤时，34a ≤-；当抛物线开口向下，1m 或1m <-时，0a <；【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，求二次函数顶点坐标，求二次函数函数值的取值范围，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识．2、（1）2x =；（2）1a =，1m =；（3）存在，1n =．【分析】（1）利用对称点与对称轴的关系：对称点的横坐标之和等于对称轴的2倍，即可求出该抛物线的对称轴．（2）分别讨论222+m x m -≤≤的取值范围与对称轴的位置，分别求出不同情况下y 取最大值与最小值时，对应的x 的取值，进而求出求a ，m 的值．（3）由于y 的取值范围是3335n y n -<<+，取不到最大值和最小值，故2n x n -<<不包含对称轴，分别讨论2n x n -<<在对称轴的左右两侧即可．【详解】（1）解：依题意，∵ 抛物线23y ax bx =++过点（0，3），（4，3），∴ 该抛物线的对称轴为直线2x =．（2）解：∵ 抛物线23y ax bx =++对称轴为直线2x =， ∴ 22b a -=，即4b a =- ①． ∵ 0m >，∴ 2222m m -<<+．∵ 0a >，抛物线开口向上，∴ 当2x =时，函数值在222m x m -≤≤+上取得最小值1-．即 4231a b ++=- ②．联立①②，解得1a =，4b =-．∴ 抛物线的表达式为243y x x =-+，即()221y x =--． ∵0m >，∴ 当22m x -≤≤时，y 随x 的增大而减小，当2x m =-时取得最大值，当222x m ≤≤+时，y 随x 的增大而增大，当22x m =+时取得最大值，∵对称轴为2x =，∴2x m =-与2x m =+时的函数值相等．∵2222m m <+<+，∴ 当22x m =+时的函数值大于当2x m =+时的函数值，即2x m =-时的函数值．∴ 当22x m =+时，函数值在222m x m -≤≤+上取得最大值3．代入有2413m -=，舍去负解，得1m =．（3）解：存在，1n =．当2n x n -<<时，y 的取值范围是3335n y n -<<+，y 无法取到最大值与最小值，∴关于x 的取值范围一定不包含对称轴，①当2n ≤时，2n x n -<<在对称轴的左侧，二次函数开口向上，2x n ∴=-时，y 有最大值，x n =时，y 有最小值，由题意可知：22(2)4(2)3354333n n n n n n ⎧---+=+⎨-+=-⎩，解得：1n =，故1n =，②当22n -≥时，2n x n -<<在对称轴的右侧，二次函数开口向上，2x n ∴=-时，y 有最小值，x n =时，y 有最大值，由题意可知：22(2)4(2)3334335n n n n n n ⎧---+=-⎨-+=+⎩，此时n 无解，故不符合题意，∴1n =．【点睛】本题主要是考查了对称点与对称轴的关系，以及二次函数的最值求解，熟练通过分类讨论，分别讨论对称轴与x 的取值范围的关系，进而确定函数取最值时的x 的取值，是求解该题的关键．3、（1）y ＝﹣x 2+4x +5（2）P (2，9)或(3，8)（3）Q (﹣1，6)或(0，5)或(9，﹣4)【分析】（1）由点A ，B 坐标用待定系数法可求出抛物线解析式；（2）设点P 的横坐标为t ，则P （t ，﹣t 2+4t +5），D （t ，﹣t +5），求出S 四边形APCD ＝﹣2t 2+10t ，S △AOE ＝52，由题意得出方程求出t 即可得出答案；（3）分EM 为边和为对角线两种情况进行求解：①当EM 为平行四边形的边时，由EM ＝PQ 建立方程求解；②当EM 为对角线时，由EM 与PQ 互相平分建立方程组求解即可．（1）将点A （0，5），B （5，0）分别代入y ＝﹣x 2+bx +c 得，25505b c c -++=⎧⎨=⎩， ∴45b c =⎧⎨=⎩， ∴二次函数的解析式为y ＝﹣x 2+4x +5；（2）∵AC ∥x 轴，点A （0，5），∴当y ＝5时，﹣x 2+4x +5＝5，∴x 1＝0，x 2＝4，∴C （4，5），∴AC ＝4，设直线AB 的解析式为y ＝mx +n ，将A （0，5），B （5，0）分别代入y ＝mx +n 得，550n m n =⎧⎨+=⎩，解得15m n =-⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为y ＝﹣x +5；设点P 的横坐标为t ，则P （t ，﹣t 2+4t +5），D （t ，﹣t +5），∴PD ＝（﹣t 2+4t +5）﹣（﹣t +5）＝﹣t 2+5t ，∵AC ＝4，∴S 四边形APCD ＝12AC ⨯PD ＝142⨯⨯（﹣t 2+5t ）＝﹣2t 2+10t ，函数y ＝﹣x 2+4x +5，当y ＝0时，有﹣x 2+4x +5＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝5，∴E （﹣1，0），∴OE ＝1，又∵OA ＝5， ∴12AOE S OE OA ∆=⨯＝1152⨯⨯＝52， ∵S 四边形APCD ＝245S △AOE ， ∴224521052t t -+=⨯＝12，解得：t 1＝2，t 2＝3，∴P (2，9)或(3，8)；（3）∵抛物线的对称轴与y ＝﹣x +5交于点M ，∴M （2，3），设Q （a ，﹣a +5），P （m ，﹣m 2+4m +5），若EM ＝PQ ，四边形EMPQ 为平行四边形，∴2234553a m m a m ⎧+=++⎨-++=-⎩，解得21m a =⎧⎨=-⎩或30m a =⎧⎨=⎩， ∴Q （﹣1，6）或（0，5）；若EM ＝PQ ，四边形EMQP 为平行四边形，同理求出Q （9，﹣4）；若EM 为对角线，则2122545322a m a m m +⎧=⎪⎪⎨-+-++⎪=⎪⎩，解得15m a =-⎧⎨=-⎩（不合题意舍去）或62m a =⎧⎨=⎩(不合题意舍去)，综合以上可得出点Q 的坐标为Q (﹣1，6)或(0，5)或(9，﹣4)．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，四边形面积的求法，解本题的关键是求抛物线解析式，确定点Q 的坐标时，分类讨论是解本题的难点．4、（1）y 1=（8-a ）x -20（0＜x ≤200）2y =20.051030x x -+-（0＜x ≤90）；（2）x =200时，y 1的值最大=（1580-200a ）万元；x =90时，最大值=465万元；（3）当a =5.575时，生产甲乙两种产品的利润相同；当5≤a ＜5.575时，生产甲产品利润比较高；当5.575＜a ≤7时，生产乙产品利润比较高．【分析】（1）根据年利润=总售价﹣总成本﹣每年其他费用进行求解即可；（2）根据（1）所求，利用一次函数与二次函数的性质求解即可；（3）根据（2）中所求，分当（1580-200a ）=465时，当1580-200a ）＞465时，当（1580-200a ）＜465进行求解即可．【详解】解：（1）由题意得：y 1=（8-a ）x -20（0＜x ≤200），222=10300.050.051030y x x x x =---+-（0＜x ≤90）．（2）对于y 1=（8-a ）x -20．∵8-a ＞0，∴x =200时，y 1的值最大=（1580-200a ）万元．对于220.05(100)470y x =--+．∵0＜x ≤90，0.050-<，∴x =90时，2y 的最大值=465万元．（3）当①（1580-200a ）=465，解得a =5.575，当②（1580-200a ）＞465，解得a ＜5.575，当③（1580-200a ）＜465，解得a ＞5.575．∵5≤a ≤7，∴当a =5.575时，生产甲乙两种产品的利润相同．当5≤a ＜5.575时，生产甲产品利润比较高．当5.575＜a ≤7时，生产乙产品利润比较高．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键在于能够正确理解题意，列出相应的关系式．5、（1）243y x x =-+-；（2）6；（3）存在，()2,1P -，理由见解析．【分析】（1）将点(1,0)A 代入函数解析式求解即可确定函数解析式；（2）当0x =时，3y =-，可确定点B 的坐标，然后由对称轴及BC x ∥轴，可得点C 的坐标，据此得出4BC =，3OB =，然后根据三角形面积公式求解即可；（3）根据B 、C 关于抛物线的对称轴对称，可得点P 为直线AC 与抛物线对称轴2x =的交点，此时，ABP ∆的周长最小，设直线AC 的解析式为y kx b =+，利用待定系数法确定函数解析式，然后联合对称轴2x =求解即可确定点P 的坐标．【详解】解：（1）将(1,0)A 代入24y x x n =-++中，得：140n -++=，解得：3n =-∴抛物线的解析式：243y x x =-+-；()2当0x =时，3y =-，∴(0,3)B -，由（1）知，抛物线的对称轴：22b x a =-=， ∵BC x ∥轴，∴点B 、C 关于对称轴2x =对称，则()4,3C -，4BC =，3OB =，1143622ABCS BC OB ∴=⋅⋅=⨯⨯=；（3）如图所示：点B 、C 关于抛物线的对称轴对称，∴点P 为直线AC 与抛物线对称轴2x =的交点，此时，ABP ∆的周长最小，设直线AC 的解析式为y kx b =+，代入(1,0)A 、(4,3)C -，得：043k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解得11k b =-⎧⎨=⎩ ， ∴直线AC ：1y x =-+；∴点P 为直线AC 与抛物线对称轴2x =的交点，∴12y x x =-+⎧⎨=⎩，解得21xy=⎧⎨=-⎩，(2,1)P-∴．【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定一次函数与二次函数解析式，二次函数与一次函数交点及二次函数的基本性质等，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键．。

2020—2021年北师大版初中数学九年级下册《二次函数》单元检测题及答案解析9.docx

九年级数学下册第二章二次函数检测题一、选择题（每小题3分，共30分）1．（2015•甘孜州）二次函数y=x2+4x-5的图象的对称轴为（）A．x=4, B．x=-4, C．x=2, D．x=-22.（2015•荆州）将抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（）A．y=（x-1）2+4 B．y=（x-4）2+4 C．y=（x+2）2+6 D．y=（x-4）2+63.（2015•乐山）二次函数y=-x2+2x+4的最大值为（）A．3,B．4,C．5,D．64.（2015•锦州）在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（）A．, B．, C．, D．5．（2014秋•新疆期中）已知抛物线y=x2-8x+c的顶点在x轴上，则c等于（）A．4, B．8, C．-4,D．166.对于函数y=−x2−2x−2，使得y随x的增大而增大的x的取值范围是（）A.x＞-1B.x＞0C.x＜0D.x＜-17.（2015·兰州中考）二次函数y=a x2+bx+c的图象如图所示，点C在y轴的正半轴上，且OA＝OC，则（）A.ac+1=bB.ab+1=cC.bc+1=aD.以上都不是8.（2015·陕西中考）下列关于二次函数y=a x2-2ax+1(a＞1)的图象与x轴交点的判断，正确的是（）第7题图A.没有交点B.只有一个交点，且它位于y轴右侧C.有两个交点，且它们均位于y轴左侧D.有两个交点，且它们均位于y轴右侧9. (2015·浙江金华中考)图②是图①中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=－1(x－80)2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有400AC⊥x轴.若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为( )①②第9题图A.16米B.174米C.16米D.154米 10.（重庆中考）已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=−12.下列结论中，正确的是（） A.abc>0B.a+b=0C.2b+c>0D.4a+c<2b 二、填空题（每小题3分，共24分）11.（苏州中考）已知点A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）在二次函数y=(x −1)2+1的图象上，若x 1>x 2>1，则y 1y 2（填“>”“=”或“<”）.12.（2014·安徽中考）某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y （元）关于x 的函数表达式为y=.13（2015·黑龙江绥化中考）把二次函数y=2x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式是________.14.（2014·杭州中考）设抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）过A （0，2），B （4，3），C 三点，其中点C 在直线x=2上，且点C 到抛物线对称轴的距离等于1，则抛物线的函数表达式为.15.（湖北襄阳中考）某一型号飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）与滑行时间x （单位：s ）之间的函数表达式是y=60x −1.5x 2，该型号飞机着陆后需滑行m才能停下来.16.设A、B、C三点依次分别是抛物线y=x2−2x−5与y轴的交点以及与x轴的两个交点，则△ABC的面积是.17.（河南中考）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点.若点A的坐标为（-2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为.18.有一个二次函数的图象，三位同学分别说出了它的一些特点：甲：对称轴为直线x=4;乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数;丙：与y轴交点的纵坐标也是整数.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式__________________．三、解答题（共66分）19.（7分）把抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)向左平移2个单位长度，同时向下平移1个单位长度后，恰好与抛物线y=2x2+ 4x+1重合．请求出a、b、c的值，并画出函数的示意图．20.（7分）炮弹的运行轨道若不计空气阻力是一条抛物线．现测得我军大炮A与射击目标B的水平距离为600m，炮弹运行的最大高度为1200m.（1）求此抛物线的表达式．（2）若在A、B之间距离A点500m处有一高350m的障碍物，计算炮弹能否越过障碍物.21.（8分）某商店进行促销活动，如果将进价为8元/件的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品的单价每涨1元，其销售量就要减少10件，问将售价定为多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．22.（8分）已知二次函数y=(t+1)x 2+2(t+2)x+32在x=0和x=2时的函数值相等.（1）求二次函数的表达式；（2）若一次函数y=kx+6(k ≠0)的图象与二次函数的图象都经过点A （−3,m ），求m 和k的值.23．（8分）（哈尔滨中考）小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm ，这个三角形的面积S(单位：cm 2)随x(单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S 与x 之间的函数表达式(不要求写出自变量x 的取值范围).(2)当x 是多少时，这个三角形面积S 最大?最大面积是多少?(参考公式：当x=−b 2a 时，二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）有最小（大）值4ac−b 24a )24.（8分）如图所示，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB 和矩形的三边AE 、ED 、DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE＝8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.（1）求抛物线的表达式；（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离(t−h(单位：米)随时间t(单位：时）的变化满足函数关系h=−1128 19)2+8(0≤t≤40)，且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？25.（10分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=x m.（1）若花园的面积为192 m2，求x的值；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值.26.（10分）已知二次函数y=x2-2mx+m2+3（m是常数）.（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点. （2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？第二章二次函数检测题参考答案一、选择题1. D2.B3.C4.C5.D6.D7. A8.D9. B 10. D二、填空题11.＞解析:∵ a ＝1＞0，对称轴为直线x=1，∴ 当x ＞1时，y 随x 的增大而增大.故由x 1＞x 2＞1可得y 1＞y 2.12. a （1+x ）2解析：二月份新产品的研发资金为a （1+x ）元，因为每月新产品的研发资金的增长率都相等，所以三月份新产品的研发资金为a （1+x ）（1+x ）元，即a （1+x ）2元. 13.224y x x =+或22(1)2y x =+-（答出这两种形式中任意一种均得分）解析：根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”可得，平移后的抛物线的表达式为222(1)224y x x x =+-=+.14.y=18x 2-14x+2或y=-18x 2+34x+2 解析：由题意知抛物线的对称轴为直线x=1或x=3.（1）当对称轴为直线x=1时，b=-2a ，抛物线经过A （0，2），B （4，3），∴ 2,3168,c a a c =⎧⎨=-+⎩解得1,82.a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴ y=18x 2-14x+2. （2）当对称轴为直线x=3时，b=-6a ，抛物线经过A （0，2）， B （4，3），∴ 2,31624,c a a c =⎧⎨=-+⎩解得1,82.a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴ y=-18x 2+34x+2.∴ 抛物线的函数表达式为y=18x 2-14x+2或y=-18x 2+34x+2. 15. 600 解析:y=60x −1.5x 2=−1.5（x −20）2+600,当x=20时,y 最大值=600，则该型号飞机着陆时需滑行600 m 才能停下来. 16.5√6解析:令x =0，得A （0，−5），令y =0，得x 2−2x −5=0，所以(x 2−x 1)2=(x 2+x 1)2−4x 1x 2=4−4×(−5)=24，所以△ABC 的面积是12|x 2−x 1|∙|−5|=12× 2√6×5=5√6. 17. 8 解析：因为点A 到对称轴的距离为4，且抛物线为轴对称图形，所以AB=2×4=8.18.221818117777y x x y x x =-+=-+-或解析：本题答案不唯一，只要符合题意即可，如2218181 1.7777y x x y x x =-+=-+-或三、解答题19.解:将y =2x 2+4x +1整理，得y =2(x +1)2−1.因为抛物线y =ax 2+bx +c 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得y =2x 2+4x +1=2(x +1)2−1，所以将y =2x 2+4x +1=2(x +1)2−1向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得y =ax 2+bx +c ，故y =ax 2+bx +c =2(x +1−2)2−1+1=2(x −1)2=2x 2−4x +2，所以a =2，b =−4，c =2.示意图如图所示.20.解:（1）建立平面直角坐标系，设点A为原点，则抛物线过点（0，0），（600，0），从而抛物线的对称轴为直线x=300.又抛物线的最高点的纵坐标为1 200，则其顶点坐标为（300，1 200），所以设抛物线的表达式为y=a(x−300)2+1 200，将（0，0）代入所设表达式，得a=−1，75(x−300)2+1 200.所以抛物线的表达式为y=−175>350，（2）将x=500代入表达式，得y=2 0003所以炮弹能越过障碍物.21.分析：日利润=销售量×每件利润，每件利润为（x−8）元，销售量为[100−10（x−10）]件，据此得表达式．解：设售价定为x元/件.由题意得，y=（x−8）[100−10（x−10）]=−10(x−14)2+360，∵a=−10＜0，∴当x=14时，y有最大值360.答：将售价定为14元/件时，才能使每天所赚的利润最大，最大利润是360元．=1,列方程求t 22.分析：（1）根据抛物线的对称轴为直线x=0+22的值，确定二次函数表达式.（2）把x=−3,y=m代入二次函数表达式中求出m的值，再代入y=kx+6中求出k的值.解：（1）由题意可知二次函数图象的对称轴为直线x ＝1，则−2（t+2）2(t+1)=1，∴ t=−32.∴ y=−12x 2+x+32. (2)∵ 二次函数图象必经过A 点，∴ m=−12×(−3)2+(−3)+32=−6. 又一次函数y=kx+6的图象经过A 点，∴ −3k+6=−6,∴ k=4.23.分析：（1）由三角形面积公式S=底×高2得S 与x 之间的表达式为S=12·x （40−x ）=−12x 2+20x. （2）利用二次函数的性质求三角形面积的最大值.解：（1）S=−12x 2+20x. （2）方法1：∵ a=−12＜0,∴ S 有最大值. ∴ 当x=−b 2a =−202×(−12)=20时，S 有最大值为4ac−b 24a =4×(−12)×0−2024×(−12)=200.∴ 当x 为20 cm 时,三角形面积最大，最大面积是200 cm 2.方法2：∵ a=−12＜0,∴ S 有最大值. ∴ 当x=−b 2a =−202×(−12)=20时，S 有最大值为S=−12×202+20×20=200.∴ 当x 为20 cm 时，三角形面积最大，最大面积是200 cm 2.. 点拨：最值问题往往转化为求二次函数的最值.24.分析：（1）设抛物线的表达式为y=ax 2+b(a ≠0),将(0,11)和（8，8）代入即可求出a,b;(2)令h=6,解方程−1128（t −19）2+8=6得t 1,t 2，所以当h ≥6时，禁止船只通行的时间为｜t 2-t 1｜.解：(1)依题意可得顶点C 的坐标为（0，11），设抛物线表达式为y=ax 2+11.由抛物线的对称性可得B(8,8),∴ 8=64a+11，解得a=−364,∴ 抛物线表达式为y=−364x 2+11. (2)画出h=−1128 (t-19)2+8(0≤t ≤40)的图象如图所示. 当水面到顶点C 的距离不大于5米时，h ≥6,当h=6时，解得t 1=3,t 2=35.由图象的变化趋势得，禁止船只通行的时间为｜t 2-t 1｜=32(小时）.答：禁止船只通行的时间为32小时.点拨：（2）中求出符合题意的h 的取值范围是解题的关键，本题考查了二次函数在实际问题中的应用.25.分析：（1）根据矩形的面积公式列出方程x （28-x ）=192，解这个方程求出x 的值即可.（2）列出S 与x 的二次函数表达式，根据二次函数的性质求S 的最大值.解：（1）由AB=x m，得BC=(28-x)m，根据题意，得x（28-x）=192，解得x1=12，x2=16.答：若花园的面积为192 m2，则x的值为12或16.（2）S=x（28-x）=-x2+28x=-(x-14)2+196，因为x≥6，28-x≥15，所以6≤x≤13.因为a=-1<0，所以当6≤x≤13时，S随x的增大而增大，所以当x=13时，S有最大值195 m2.点拨：求实际问题中的最大值或最小值时，一般应该列出函数表达式，根据函数的性质求解.在求最大值或最小值时，应注意自变量的取值范围.26.分析：（1）求出根的判别式，根据根的判别式的符号，即可得出答案；（2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质进行解答．（1）证法1：因为（-2m）2-4（m2+3）=-12＜0，所以方程x2-2mx+m2+3=0没有实数根，所以不论m为何值，函数y=x2-2mx+m2+3的图象与x轴没有公共点.证法2：因为a=1>0，所以该函数的图象开口向上.又因为y=x2-2mx+m2+3=（x-m）2+3≥3，所以该函数的图象在x轴的上方.所以不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点.（2）解：y=x2-2mx+m2+3=（x-m）2+3，把函数y=（x-m）2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x-m）2的图象，它的顶点坐标是（m，0），因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点.所以把函数y=x2-2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．点拨：二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x 轴的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间的关系．Δ=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数，当Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；当Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；当Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．。

2020-2021学年北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元测试卷

2020-2021学年北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元测试卷(时间：120分钟满分：150分)A 卷(共100分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填在下面的答题框内)1.下列各式中，y 是x 的二次函数的是( ) A ．y ＝3x －1B ．y ＝1x2C ．y ＝3x 2＋x －1D ．y ＝2x 2＋1x2．下列各点不在抛物线y ＝－x 2＋4x －1上的是( )A ．(－2，－13)B ．(－1，－4)C ．(－1，－6)D ．(2，3) 3．将二次函数y ＝x 2－4x －4化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式，正确的是( ) A ．y ＝(x －2)2B ．y ＝(x ＋2)2－8C ．y ＝(x ＋2)2D ．y ＝(x －2)2－84．已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象上有两点(3，4)和(－5，4)，则此抛物线的对称轴是直线( )A ．x ＝－1B ．x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝35．二次函数y ＝(x －2)2＋3是由二次函数y ＝x 2怎样平移得到的( ) A ．向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度 B ．向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度 C ．向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度 D ．向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度6．对于函数y ＝－2(x －m)2－1的图象，下列说法中不正确的是( ) A ．开口向下B ．对称轴是直线x ＝mC ．最大值是－1D ．与y 轴不相交7．如图所示的桥拱是抛物线形，其函数的表达式为y ＝－14x 2，当水位线在AB 位置时，水面宽12 m ，这时水面离桥顶的高度为( )A ．3 mB ．2 6 mC ．4 3 mD ．9 m8．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是( )A ．a ＜0B ．b ＞0C ．a ＋b ＋c ＝0D ．4a －2b ＋c ＞09．某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y ＝－4x ＋440，要获得最大利润，该商品的售价应定为( )A ．60元B ．70元C ．80元D ．90元10．若函数y ＝k x与y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则函数y ＝kx ＋b 的大致图象为(C)A B C D二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在题中的横线上) 11．已知y ＝(m －2)x |m|＋2是关于x 的二次函数，那么m 的值为_________．12．如果点A(－2，y 1)和点B(2，y 2)是抛物线y ＝(x ＋3)2上的两点，那么 y 1_________．y 2(填“＞”“＝”或“＜”)．13．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝3时，函数取最大值4，当x ＝0时，y ＝－14，则函数表达式为_________．14．已知二次函数y ＝x 2－4x ＋3，当0≤x ≤5时，y 的取值范围为_________．三、解答题(本大题共6个小题，共54分)15．(本小题满分12分)(1)比较二次函数y ＝13x 2与y ＝3x 2的图象：①相同点：开口方向都是向上，顶点坐标都是_________．，对称轴都是_________轴； ②不同点：开口大小不一样，二次函数y ＝13x 2的图象比二次函数y ＝3x 2的图象开口大(填“大”或“小”)；(2)二次函数y ＝x 2－2x －3图象与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧，求AB 的长．16．(本小题满分6分)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如表：(1)根据表填空：抛物线与x 轴的交点坐标是_________．和_________； (2)试确定抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的表达式．17．(本小题满分8分)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根为_________．； (2)不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集为_________．(3)y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为_________．(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为_________．18．(本小题满分8分)已知抛物线y＝－2x2－4x＋1.(1)求这个抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)将这个抛物线平移，使顶点移到点P(2，0)的位置，写出所得新抛物线的表达式和平移的过程．19．(本小题满分10分)已知：如图，抛物线y＝ax2＋4x＋c经过原点O(0，0)和点A(3，3)，P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B(m，0)，并与直线OA交于点C.(1)求抛物线的表达式；(2)当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值．20．(本小题满分10分)投资1万元围一个矩形菜园(如图)，其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造．墙长24 m，平行于墙的边的费用为200元/米，垂直于墙的边的费用为150元/米，设平行于墙的边长为x m.(1)设垂直于墙的一边长为y m，直接写出y与x之间的函数关系式；(2)若菜园面积为384 m2，求x的值；(3)求菜园的最大面积．B卷(共50分)一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在题中的横线上)21．今年三月份王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，当销售单价是_________元时，王大伯获得利润最大．22．如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别是边BC和CD上的动点(不与正方形的顶点重合)，不管E，F怎样动，始终保持AE⊥EF.设BE＝x，DF＝y，则y是x的函数，其函数关系式是_________．23．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴相交于点A ，B(m ＋2，0)，与y 轴相交于点C ，点D 在该抛物线上，坐标为(m ，c)，则点A 的坐标是_________．24．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y ＝ax 2上的两点A ，B 满足OA ＝OB ，且tan ∠OAB ＝12，则称线段AB 为该抛物线的通径．那么抛物线y ＝12x 2的通径长为________25．如图，在平面直角坐标系中，P 是抛物线y ＝－x 2＋3x 上一点，且在x 轴上方，过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，得到矩形PMON.若矩形PMON 的周长随点P 的横坐标m 增大而增大，则m 的取值范围是_________．二、解答题(本大题共3个小题，共30分)26．(本小题满分8分)已知二次函数y ＝2(x －1)(x －m －3)(m 为常数)． (1)求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点； (2)当m 取什么值时，该函数的图象与y 轴的交点在x 轴的上方？27．(本小题满分10分)如图，矩形ABCD 的两边长AB ＝18 cm ，AD ＝4 cm ，点P ，Q 分别从A ，B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 方向以2 cm/s 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以1 cm/s 的速度匀速运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为x (s)，△PBQ 的面积为y(cm 2)．(1)求y 关于x 的函数表达式，并写出x 的取值范围；(2)求△PBQ的面积的最大值．28．(本小题满分12分)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3a经过A(－1，0)，C(0，－3)两点，与x轴交于另一点B.(1)求此抛物线的表达式；(2)已知点D(m，－m－1)在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D′的坐标；(3)在(2)的条件下，连接BD.问在x轴上是否存在点P，使∠PCB＝∠CBD？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案2020-2021学年北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元测试卷(时间：120分钟满分：150分)A 卷(共100分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填在下面的答题框内)1.下列各式中，y 是x 的二次函数的是(C) A ．y ＝3x －1B ．y ＝1x2C ．y ＝3x 2＋x －1D ．y ＝2x 2＋1x2．下列各点不在抛物线y ＝－x 2＋4x －1上的是(B)A ．(－2，－13)B ．(－1，－4)C ．(－1，－6)D ．(2，3) 3．将二次函数y ＝x 2－4x －4化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式，正确的是(D) A ．y ＝(x －2)2B ．y ＝(x ＋2)2－8C ．y ＝(x ＋2)2D ．y ＝(x －2)2－84．已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象上有两点(3，4)和(－5，4)，则此抛物线的对称轴是直线(A)A ．x ＝－1B ．x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝35．二次函数y ＝(x －2)2＋3是由二次函数y ＝x 2怎样平移得到的(A) A ．向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度B ．向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度C ．向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度D ．向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度6．对于函数y ＝－2(x －m)2－1的图象，下列说法中不正确的是(D) A ．开口向下 B ．对称轴是直线x ＝mC ．最大值是－1D ．与y 轴不相交7．如图所示的桥拱是抛物线形，其函数的表达式为y ＝－14x 2，当水位线在AB 位置时，水面宽12 m ，这时水面离桥顶的高度为(D)A ．3 mB ．2 6 mC ．4 3 mD ．9 m8．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是(D)A ．a ＜0B ．b ＞0C ．a ＋b ＋c ＝0D ．4a －2b ＋c ＞09．某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y ＝－4x ＋440，要获得最大利润，该商品的售价应定为(C)A ．60元B ．70元C ．80元D ．90元10．若函数y ＝k x与y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则函数y ＝kx ＋b 的大致图象为(C)A B C D二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在题中的横线上) 11．已知y ＝(m －2)x |m|＋2是关于x 的二次函数，那么m 的值为－2．12．如果点A(－2，y 1)和点B(2，y 2)是抛物线y ＝(x ＋3)2上的两点，那么 y 1＜y 2(填“＞”“＝”或“＜”)．13．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝3时，函数取最大值4，当x ＝0时，y ＝－14，则函数表达式为y ＝－2(x －3)2＋4．14．已知二次函数y ＝x 2－4x ＋3，当0≤x ≤5时，y 的取值范围为－1≤y ≤8.三、解答题(本大题共6个小题，共54分)15．(本小题满分12分)(1)比较二次函数y ＝13x 2与y ＝3x 2的图象：①相同点：开口方向都是向上，顶点坐标都是(0，0)，对称轴都是y 轴；②不同点：开口大小不一样，二次函数y ＝13x 2的图象比二次函数y ＝3x 2的图象开口大(填“大”或“小”)；(2)二次函数y ＝x 2－2x －3图象与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧，求AB 的长．解：当y ＝0时，x 2－2x －3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3. 所以A 点坐标为(－1，0)，B 点坐标为(3，0)．所以AB 的长为3－(－1)＝4.16．(本小题满分6分)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如表：(1)根据表填空：抛物线与x 轴的交点坐标是(－2，0)和(1，0)； (2)试确定抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的表达式．解：设抛物线的表达式为y ＝a(x ＋2)(x －1)，把(0，－4)代入，得－4＝a ×2×(－1)，解得a ＝2.所以抛物线的表达式为y ＝2(x ＋2)(x －1)，即y ＝2x 2＋2x －4.17．(本小题满分8分)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根为x 1＝1，x 2＝3； (2)不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集为1<x<3；(3)y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围为x>2；(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为k<2．18．(本小题满分8分)已知抛物线y ＝－2x 2－4x ＋1. (1)求这个抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)将这个抛物线平移，使顶点移到点P(2，0)的位置，写出所得新抛物线的表达式和平移的过程．解：(1)y ＝－2x 2－4x ＋1＝－2(x 2＋2x ＋1)＋2＋1＝－2(x ＋1)2＋3， ∴对称轴是直线x ＝－1，顶点坐标为(－1，3)． (2)∵新顶点坐标为P(2，0)， ∴新抛物线的表达式为y ＝－2(x －2)2.∴平移过程为向右平移3个单位长度，向下平移3个单位长度．19．(本小题满分10分)已知：如图，抛物线y ＝ax 2＋4x ＋c 经过原点O(0，0)和点A(3，3)，P 为抛物线上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为B(m ，0)，并与直线OA 交于点C.(1)求抛物线的表达式；(2)当点P 在直线OA 上方时，求线段PC 的最大值．解：(1)把O(0，0)，A(3，3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，9a ＋12＋c ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝0.则抛物线的表达式为y ＝－x 2＋4x.(2)设直线OA 的表达式为y ＝kx ，把A(3，3)代入，得k ＝1，∴直线OA 的表达式为y＝x.∵PB ⊥x 轴，∴P ，C ，B 三点横坐标相等．∵B(m ，0)，∴把x ＝m 代入y ＝x 中，得y ＝m ，即C(m ，m)；把x ＝m 代入y ＝－x 2＋4x 中，得y ＝－m 2＋4m ，即P(m ，－m 2＋4m)．∵点P 在直线OA 上方，∴PC ＝－m 2＋4m －m ＝－m 2＋3m ＝－(m －32)2＋94(0＜m ＜3)．∴当m ＝32时，PC 取得最大值，最大值为94.20．(本小题满分10分)投资1万元围一个矩形菜园(如图)，其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造．墙长24 m ，平行于墙的边的费用为200元/米，垂直于墙的边的费用为150元/米，设平行于墙的边长为x m.(1)设垂直于墙的一边长为y m ，直接写出y 与x 之间的函数关系式； (2)若菜园面积为384 m 2，求x 的值； (3)求菜园的最大面积．解：(1)根据题意知，y ＝10 000－200x 2×150＝－23x ＋1003.(2)根据题意，得(－23x ＋1003)x ＝384，解得x ＝18或x ＝32. ∵墙的长度为24 m ，∴x ＝18.(3)设菜园的面积是S m 2，则S ＝(－23x ＋1003)x ＝－23x 2＋1003x ＝－23(x －25)2＋1 2503.∵－23＜0，∴当x ＜25时，S 随x 的增大而增大．∵x ≤24，∴当x ＝24时，S 取得最大值，最大值为416. 答：菜园的最大面积为416 m 2.B 卷(共50分)一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在题中的横线上) 21．今年三月份王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，当销售单价是20元时，王大伯获得利润最大．22．如图，正方形ABCD 的边长为1，E ，F 分别是边BC 和CD 上的动点(不与正方形的顶点重合)，不管E ，F 怎样动，始终保持AE ⊥EF.设BE ＝x ，DF ＝y ，则y 是x 的函数，其函数关系式是y ＝x 2－x ＋1．23．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴相交于点A ，B(m ＋2，0)，与y 轴相交于点C ，点D 在该抛物线上，坐标为(m ，c)，则点A 的坐标是(－2，0)．24．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y ＝ax 2上的两点A ，B 满足OA ＝OB ，且tan ∠OAB ＝12，则称线段AB 为该抛物线的通径．那么抛物线y ＝12x 2的通径长为2．25．如图，在平面直角坐标系中，P 是抛物线y ＝－x 2＋3x 上一点，且在x 轴上方，过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，得到矩形PMON.若矩形PMON 的周长随点P 的横坐标m 增大而增大，则m 的取值范围是0＜m ≤2.二、解答题(本大题共3个小题，共30分)26．(本小题满分8分)已知二次函数y ＝2(x －1)(x －m －3)(m 为常数)． (1)求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点； (2)当m 取什么值时，该函数的图象与y 轴的交点在x 轴的上方？解：(1)证明：当y ＝0时，2(x －1)(x －m －3)＝0，解得x 1＝1，x 2＝m ＋3.当m ＋3＝1，即m ＝－2时，方程有两个相等的实数根；当m ＋3≠1，即m ≠－2时，方程有两个不相等的实数根． ∴不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点． (2)当x ＝0时，y ＝2(x －1)(x －m －3)＝2m ＋6， ∴该函数的图象与y 轴交点的纵坐标为2m ＋6.∴当2m ＋6＞0，即m ＞－3时，该函数的图象与y 轴的交点在x 轴的上方．27．(本小题满分10分)如图，矩形ABCD 的两边长AB ＝18 cm ，AD ＝4 cm ，点P ，Q 分别从A ，B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 方向以2 cm/s 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以1 cm/s 的速度匀速运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为x (s)，△PBQ 的面积为y(cm 2)．(1)求y 关于x 的函数表达式，并写出x 的取值范围； (2)求△PBQ 的面积的最大值．解：(1)∵S △PBQ ＝12PB ·BQ ，PB ＝AB －AP ＝18－2x ，BQ ＝x ， ∴y ＝12x(18－2x)，即y ＝－x 2＋9x(0<x ≤4)． (2)由(1)知y ＝－x 2＋9x ， ∴y ＝－(x －92)2＋814.∵当0＜x ≤92时，y 随x 的增大而增大，且0<x ≤4，∴当x ＝4时，y 最大＝20，即△PBQ 的最大面积是20 cm 2.28．(本小题满分12分)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －3a 经过A(－1，0)，C(0，－3)两点，与x 轴交于另一点B.(1)求此抛物线的表达式；(2)已知点D(m ，－m －1)在第四象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点D ′的坐标；(3)在(2)的条件下，连接BD.问在x 轴上是否存在点P ，使∠PCB ＝∠CBD ？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)将A(－1，0)，C(0，－3)代入抛物线y ＝ax 2＋bx －3a 中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －3a ＝0，－3a ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2. ∴y ＝x 2－2x －3.(2)将点D(m ，－m －1)代入y ＝x 2－2x －3中，得m 2－2m －3＝－m －1. 解得m ＝2或－1.∵点D(m ，－m －1)在第四象限，∴m ＝2. ∴D(2，－3)．∴CD ⊥OC.在y ＝x 2－2x －3中，令y ＝0，得x 2－2x －3＝0.解得x 1＝3，x 2＝－1. ∴B(3，0)．∴OB ＝OC.∴∠BCD ＝∠BCO ＝45°.∴点D 关于直线BC 对称的点D ′在y 轴上． ∵CD ′＝CD ＝2，∴OD ′＝3－2＝1.∴点D 关于直线BC 对称的点D ′的坐标为(0，－1)． (3)存在．满足条件的点P 有两个．①过点C 作CP ∥BD ，交x 轴于点P ，则∠PCB ＝∠CBD. 易求直线BD 的表达式为y ＝3x －9，∵直线CP 过点C ，且CP ∥BD ，∴直线CP 的表达式为y ＝3x －3. ∴点P 的坐标为(1，0)．②连接BD ′，过点C 作CP ′∥BD ′，交x 轴于点P ′，则∠P ′CB ＝∠D ′BC.根据对称性可知∠D ′BC ＝∠CBD ，∴∠P ′CB ＝∠CBD. 易求直线BD ′的表达式为y ＝13x －1，∵直线CP ′过点C ，且CP ′∥BD ′， ∴直线CP ′的表达式为y ＝13x －3.∴点P ′的坐标为(9，0)．综上所述，满足条件的点P 的坐标为(1，0)或(9，0).。

北师大新版九年级下册《第2章二次函数》2021年单元测试卷(1)-附答案详解

北师大新版九年级下册《第2章二次函数》2021年单元测试卷（1）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.如图，一次函数y1=kx+b与二次函数y2=ax2交于A(−1,1)和B(2,4)两点，则当y1<y2的取值范围是()A. x<−1B. x>2C. −1<x<2D. x<−1或x>22.下列是抛物线y=−2x2−3x+1的图象大致是()A. B.C. D.3.二次函数y=(x−1)2−3的顶点坐标是()A. (1,−3)B. (−1,−3)C. (1,3)D. (−1,3)4.抛物线y=x2−2x−1的对称轴是()A. 直线x=−2B. 直线x=−1C. 直线x=1D. 直线x=25.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1，其部分图象如图所示，下列说法中：①abc<0；②4a−2b+c<0；③若A(−12,y1)、B(32,y2)、C(−2,y3)是抛物线上的三点，则有y3<y1<y2；④若m，n(m<n)为方程a(x−3)(x+1)−2=0的两个根，则−1<m<n<3，以上说法正确的有()A. ①②③④B. ②③④C. ①②④D. ①②③6.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，给出下列四个结论：①4ac−b2<0；②3b+2c<0；③m(am+b)+b≤a；④(a+c)2<b2；其中正确结论的个数有()个．A. 1个B. 2个C. 3个D. 47.点P1(−1,y1)，P2(3,y2)，P3(5,y3)均在二次函数y=−x2+2x−1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是()A. y1=y2>y3B. y3>y1=y2C. y1>y2>y3D. y1<y2<y38.如图，现要在抛物线y=x(4−x)上找点P(a,b)，针对b的不同取值，所找点P的个数，四人的说法如下，甲：若b=−1，则点P的个数为3；乙：若b=0，则点P的个数为1；丙：若b=4，则点P的个数为1；丁：若b=5，则点P的个数为0．其中说法正确的有()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个9.把函数y=(x−1)2+2图象向左平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为()A. y=x2+2B. y=(x−1)2+1C. y=(x−2)2+2D. y=(x−1)2+310.在平面直角坐标系中，抛物线y=(x+2)(x−4)经变换后得到抛物线y=(x−2)(x+4)，则下列变换正确的是()A. 向左平移6个单位B. 向右平移6个单位C. 向左平移2个单位D. 向右平移2个单位二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.若y=(m2+m)x m2−2m−1−x+3是关于x的二次函数，则m=______．12.用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时，列出了如下表格：x…1234…y=ax2+bx+c…0−103…那么该二次函数在x=0时，y=______．13.若抛物线y=x2+2x+c的顶点在x轴上，则c=______ ．14.如图抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac<b2；②a−b+c<0；③b+2a=0；④当y<0时，x的取值范围是−1<x<3；⑤当x<0时，y随x增大而增大；⑥方程ax2+bx+c=2有两个不等的实数根，其中结论正确的结论的序号是______．15.点A(2,y1)、B(3,y2)是二次函数y=−(x−1)2+2的图象上两点，则y1______ y2．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(−2,0)，OB=OA，且∠AOB=120°．(1)求直线AB的解析式；(2)经过A、O、B三点的抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．17.已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A(4,4)．(1)当抛物线与x轴交于点B(2,0)时，求抛物线的表达式；(2)设抛物线与x轴两交点之间的距离为d.当d>2时，求a的取值范围．18.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+2ax+c与x轴交于点A，B，且AB=4.抛物线与y轴交于点C，将点C向上移动1个单位得到点D．(1)求抛物线对称轴；(2)求点D纵坐标(用含有a的代数式表示)；(3)已知点P(−4,4)，若抛物线与线段PD只有一个公共点，求a的取值范围．19.已知抛物线y=x2+bx+c经过点(2,−3)和(4,5)．(1)求抛物线的函数解析式及顶点坐标；(2)将抛物线沿x轴翻折，得到图象G，直接写出图象G的函数解析式．20.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t，(1)AP=______，BP=______，BQ=______；(2)t为何值△时△PBQ的面积为32cm2？(3)t为何值时△PBQ的面积最大？最大面积是多少？答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵一次函数y1=kx+b与二次函数y2=ax2交于A(−1,1)和B(2,4)两点，从图象上看出，当x>2时，y1的图象在y2的图象的下方，即y1<y2，当x<−1时，y1的图象在y2的图象的下方，即y1<y2．∴当x<−1或x>2时，y1<y2．故选D．解答本题，关键是找出两函数图象交点的横坐标，比较两函数图象的上下位置，y1<y2时，y1的图象在y2的下面，再判断自变量的取值范围．本题考查了利用图象求解的能力．2.【答案】B【解析】解：抛物线y=−2x2−3x+1的图象，因为a=−2，所以开口向下，故C、D 错误；抛物线y=−2x2−3x+1的对称轴是直线x=−b2a =−−3−4=−34，故A错误；故选：B．利用二次函数的图象对四个选项逐一判断即可得到答案．本题考查了二次函数的图象，解题的关键是熟知二次函数的性质并作出正确的判断．3.【答案】A【解析】解：二次函数y=(x−1)2−3的顶点坐标是(1,−3)，故选：A．根据二次函数的性质可的抛物线开口方向、对称轴方程和顶点坐标，从而得出答案．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−ℎ)2+k中，顶点坐标为(ℎ,k)，对称轴为x=ℎ．4.【答案】C【解析】解：因为抛物线y=x2−2x−1=x2−2x+1−2=(x−1)2−2，所以对称轴是直线x=1．故选：C．先将抛物线化为顶点式，即可解决问题．本题考查了二次函数的性质，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．5.【答案】A【解析】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，=1，∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a∴b=−2a>0，∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c>0，∴abc<0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0)，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，∴x=−2时，y<0，∴4a−2b+c<0，所以②正确；,y2)到直线x=1的距离最近，点C(−2,y3)到直线x=1的距离∵抛物线开口向下，点B(32最远，∴y3<y1<y2，所以③正确；∵m，n(m<n)为方程a(x−3)(x+1)−2=0的两个根，∴把m、n看作二次函数y=a(x−3)(x+1)与直线y=2的交点的横坐标，∴−1<m<n<3，所以④正确．故选：A．利用抛物线开口向上得到a<0，利用抛物线的对称轴方程得b=−2a>0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c>0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(−1,0)，则x=−2时，y<0，于是可对②进行判断；利用二次函数的性质和A、B、C点到直线x=1的距离大小可对③进行判断；把m、n看作二次函数y=a(x−3)(x+1)与直线y=2的交点的横坐标，结合函数图象可对④进行判断．本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△= b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．6.【答案】D【解析】解：∵抛物线和x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，∴4ac−b2<0，∴①正确；∵把x=1代入抛物线得：y=a+b+c<0，∴2a+2b+2c<0，=−1，∵−b2a∴b=2a，∴3b+2c<0，∴②正确；∵抛物线的对称轴是直线x=−1，∴y=a−b+c的值最大，即把x=m代入得：y=am2+bm+c≤a−b+c，∴am2+bm+b≤a，即m(am+b)+b≤a，∴③正确；∵a+b+c<0，a−b+c>0，∴(a+c+b)(a+c−b)<0，则(a+c)2−b2<0，即(a+c)2<b2，故④正确；故选：D．利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法，同时注意特殊点的运用．7.【答案】A【解析】解：∵y=−x2+2x−1=−(x−1)2，∴对称轴为x=1，P2(3,y2)，P3(5,y3)在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵3<5，∴y2>y3，根据二次函数图象的对称性可知，P1(−1,y1)与(3,y1)关于对称轴对称，故y1=y2>y3，故选：A．根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P1(−1,y1)与(3,y1)关于对称轴对称，可判断y1=y2>y3．本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．8.【答案】C【解析】解：甲：当b=−1时，(4−a)=−1，整理得：a2−4a−1=0，△=(−4)2−4×1×(−1)=20>0，方程有两个不相等的实数根，即此时点P的个数为2，故甲的说法错误；乙：当b=0时，a(4−a)=0，解得：a=0或4，即此时点P的个数为2，故乙的说法错误；丙：当b=4时，a(4−a)=4，整理得：a2−4a+4=0，△=(−4)2−4×1×4=0，方程有两个相等的实数根，即此时点P的个数为1，故丙的说法正确；丁：当b=5时，a(4−a)=5，整理得：a2−4a+5=0，△=(−4)2−4×1×5=−4<0，方程没有实数根，即此时点P的个数为0，故丁的说法正确；所以正确的个数是2个，故选：C．把P点的坐标代入函数的解析式，再根据根的判别式逐个判断即可．本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征和一元二次方程的根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．9.【答案】A【解析】解：∵原抛物线的顶点为(1,2)，∴向左平移1个单位后，得到的顶点为(0,2)，∴平移后图象的函数解析式为y=x2+2．故选：A．易得原抛物线的顶点为(1,2)，根据相应的平移得到新抛物线的顶点，利用平移不改变二次项的系数及顶点式可得新抛物线．本题考查了二次函数图象与几何变换：先把二次函数的解析式配成顶点式然后把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题．10.【答案】C【解析】解：y=(x+2)(x−4)=(x−1)2−9，顶点坐标是(1,9)．y=(x−2)(x+4)=(x+1)2−9，顶点坐标是(−1,9)．所以将抛物线y=(x+2)(x−4)向左平移2个单位长度得到抛物线y=(x−2)(x+4)，故选：C．根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．11.【答案】3【解析】解：由题意，得m2−2m−1=2，且m2+m≠0，解得m=3，故答案为：3．根据二次函数的定义求解即可．本题考查了二次函数，利用二次函数的定义是解题关键，注意二次项的系数不等于零．12.【答案】3【解析】解：由上表可知函数图象经过点(1,0)和点(3,0)，∴对称轴为x=2，∴当x=4时的函数值等于当x=0时的函数值，∵当x=4时，y=3，∴当x=0时，y=3．故答案是：3．根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称轴，利用抛物线的对称性找到当x=0时，y的值即可．本题考查了二次函数的图象的性质，利用表格找到二次函数的对称点及对称轴是解决此题的关键．13.【答案】1【解析】解：∵抛物线的顶点在x轴上，∴y=4ac−b24a =4c−224×1=0，解得c=1．故答案为：1．根据x轴上点的，纵坐标是0，列出方程求解即可．本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标公式及x轴上点的坐标特点是解答此题的关键．14.【答案】①③⑤⑥【解析】解：抛物线与x轴有两个不同的交点，因此b2−4ac>0，即b2>4ac，因此①符合题意；抛物线过(−1,0)，当x=−1时，y=a−b+c=0，因此②不符合题意；，即2a+b=0，因此③符合题意；对称轴为x=1=−b2a由于对称轴为x=1，与x轴的一个交点为(−1,0)，因此与x轴的另一个交点为(3,0)，由图象可知，当y<0时，x的取值范围是x<−1或x>3，所以④不符合题意；由于对称轴为x=1，开口向下，因此当x<1时，y随x的增大而增大，故⑤符合题意；由图象可知，直线y=2与抛物线有两个不同交点，所以方程ax2+bx+c=2有两个不等的实数根，因此⑥符合题意；综上所述，正确的结论有：①③⑤⑥，故答案为：①③⑤⑥．根据抛物线的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点坐标，以及最大值或最小值综合进行判断即可．本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与系数a、b、c的关系是正确判断的前提．15.【答案】>【解析】解：∵二次函数对称轴为：x=1，a=−1，∴当x>1时，y随x的增大而减小，∵3>2>1，∴y1>y2，故答案为：>．先确定对称轴是：x=1，由知a=−1，抛物线开口向下，当x>1时，y随x的增大而减小，根据横坐标3>2得：y1>y2．本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，明确二次函数的增减性：①当a>0时，抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)的开口向上，x <−b 2a 时，y 随x 的增大而减小；x >−b2a 时，y 随x 的增大而增大；②当a <0时，抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)的开口向下，x <−b 2a 时，y 随x 的增大而增大；x >−b 2a 时，y 随x 的增大而减小． 16.【答案】(1)过点B 作BH ⊥x 轴于点H ，由已知可得：OB =OA =2，∠BOH =60°，在Rt △OBH 中，∠OHB =90°， ∴OH =1，HB =√3，∴点B 的坐标是(1,√3)，设直线AB 的解析式为y =kx +b ，则{k +b =√3−2k +b =0，解得：k =√33,b =2√33， ∴直线AB 的解析式为y =√33x +2√33； (2)∵抛物线经过A ，O ，B 三点，且点A 、O 在x 轴上，由抛物线的对称性可得对称轴为x =−1，∵点C 在对称轴x =−1上，△BOC 的周长=OB +BC +CO ，∵OB =2，要使△BOC 的周长最小，必须BC +CO 最小，∵点O 与点A 关于直线x =−1对称，有CO =CA ，△BOC 的周长=OB +BC +CO =OB +BC +CA∴当A 、C 、B 三点共线，即点C 为直线AB 与抛物线对称轴的交点时，BC +CA 最小，此时△BOC 的周长最小．∴当x =−1时，代入直线AB 的解析式y =√33x +2√33，得y =√33， ∴点C 的坐标是(−1,√33).【解析】(1)作BH ⊥x 轴于点H ，由OB =OA =2，∠BOH =60°可得OH =1，BH =√3，得到点B 的坐标，运用待定系数法可求出AB 的解析式；(2)根据对称性可求得抛物线对称轴为直线x =−1，连接AB 交直线x =−1于点C ，根据题意可知CO +CB 的值为△BOC 的周长最小值，把x =−1代入直线AB 解析式即可求出点C 的坐标．此题是二次函数综合题，主要考查待定系数法，三角形的周长的最小值等问题，解本题的关键是利用最短距离确定出点C 的位置．17.【答案】解：(1)由题意得，{16a +4b =4,4a +2b =0.∴a =12,b =−1． ∴抛物线的表达式为y =12x 2−x ．(2)∵抛物线y =ax 2+bx(a ≠0)经过点A(4,4)，∴16a +4b =4．∴b =1−4a ．令y =ax 2+bx =ax 2+(1−4a)x =0．∴ax 2+(1−4a)x =0．∴x[ax −(4a −1)]=0．∵a ≠0，∴x 1=0，x 2=4−1a ．∵d >2，∴4−1a >2或4−1a <−2．即1a <2或1a >6．①当a >0时，0<a <16或a >12．②当a <0时，1a <2恒成立．∴a <0．∴综上所述，a <0，0<a <16或a >12．【解析】(1)根据题意将点A 和B 坐标代入抛物线y =ax 2+bx(a ≠0)即可求抛物线的表达式；(2)将点B 坐标代入抛物线y =ax 2+bx(a ≠0)可得b =1−4a. 再令y =ax 2+bx =ax 2+(1−4a)x =0.可得x 1=0，x 2=4−1a .根据d >2，即可求a 的取值范围．本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x 轴的交点，解决本题的关键是掌握二次函数的知识． 18.【答案】解：(1)抛物线对称轴x =−2a2a =−1；(2)∵抛物线y =ax 2+2ax +c 与x 轴交于点A ，B ，且AB =4，抛物线对称轴x =−1， ∴A(−3,0)，B(1,0)；把(1,0)代入y =ax 2+2ax +c 得：a +2a +c =0，∴c =−3a ，∴C(0,−3a)，∴D(0,−3a +1)，∴点D 纵坐标为：−3a +1；(3)①当a >0时，将点P(−4,4)代入抛物线y =ax 2+2ax −3a 得：4=16a −8a −3a ，∴a =45．此时点D 坐标为：(0,−75)，点C 的坐标为：(0,−125)，∴当a ≥45时，抛物线与线段PD 只有一个公共点，如图所示：②当a <0时，抛物线的顶点坐标为(−1,−4a)，当−4a =4时，a =−1，则当a=−1时，抛物线与线段PD只有一个公共点，即抛物线的顶点，如图所示：③当a<−1时，抛物线与线段PD只有两个公共点，如图所示：④当−1<a<0时，抛物线与线段PD没有公共点，如图所示：综上所述，当a ≥45或a =−1时，抛物线与线段PD 只有一个公共点．【解析】(1)按照抛物线的对称轴计算公式求得答案即可；(2)由抛物线y =ax 2+2ax +c 与x 轴交于点A ，B ，且AB =4，抛物线对称轴x =−1，可得点A 和点B 的坐标，将点B 坐标代入抛物线解析式可得c 与a 的关系式，则可得点C 的坐标，根据点C 向上移动1个单位得到点D ，可得点D 的纵坐标；(3)分四种情况：①当a >0时，②当a <0时，③当a <−1时，④当−1<a <0时，分别画图结合相关计算可得答案．本题考查了二次函数图象上的点的坐标特点，熟练掌握二次函数的相关性质并数形结合是解题的关键．19.【答案】解：(1)根据题意得{4+2b +c =−316+4b +c =5，解得：{b =−2c =−3，所以抛物线的解析式为y =x 2−2x −3．∵抛物线的解析式为y =x 2−2x −3=(x −1)2−4，∴抛物线的顶点坐标为(1,−4)．(2)将抛物线沿x 轴翻折后，得出−y =x 2−2x −3，则图象G 的函数解析式y =−x 2+2x +3．【解析】(1)直接把A 、B 两点的坐标代入y =x 2+bx +c 得到关于b 、c 的方程组，然后解方程组求出b 、c 即可得到抛物线的解析式；利用配方法把解析式变形为顶点式，然后写出顶点坐标．(2)根据关于x 轴对称的两点x 坐标相同，y 坐标互为相反数，即可求得图象G 的表达式．本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征以及翻折的性质，用待定系数法求出二次函数的解析式是解题的关键．20.【答案】2t cm (12−2t)cm 4t cm【解析】解：(1)根据题意得：AP =2tcm ，BQ =4tcm ，所以BP =(12−2t)cm ，故答案为：2t cm，(12−2t)cm，4t cm；(2)△PBQ的面积S=12×BP×BQ=12×(12−2t)×4t=−4t2+24t=32，解得：t=2或4，即当t=2秒或4秒时，△PBQ的面积是32cm2；(3)S=−4t2+24t=−4(t−3)2+36，所以当t为3时△PBQ的面积最大，最大面积是36cm2．(1)根据题意得出即可；(2)根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可；(3)先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可．本题考查了三角形的面积，二次函数的最值等知识点，能求出S与x的函数关系式是解此题的关键．。

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北师大版2020-2021九年级数学下册第二章二次函数单元综合培优测试题1（附答案详解）一、单选题1．二次函数2y ax bx c =++的图象如下图所示，下列结论中，其中正确的有（）①20a b +>；②()a b m am b +≠+（1m ≠的实数）；③2a c +>；④10x -<<在中存在一个实数0x ，使得0a b x a +=-． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．如图，四边形ABCD 是矩形，AB =8，BC =4，动点P 以每秒2个单位的速度从点A 沿线段AB 向B 点运动，同时动点Q 以每秒3个单位的速度从点B 出发沿B -C -D 的方向运动，当点Q 到达点D 时P 、Q 同时停止运动，若记△PQA 的面积为y ，运动时间为x ，则下列图象中能大致表示y 与x 之间函数关系图象的是（）A ．B ．C ．D ．3．已知抛物线 y ＝x 2+bx+22b 与 y 轴交于点 B ，将该抛物线平移，使其经过点 A （-2b ，0），且与 x 轴交于另一点 C ．若 b≤﹣2，则线段 OB ，OC 的大小关系是（）A ．OB≤OCB ．OB ＜OC C ．OB≥OCD ．OB ＞OC 4．四位同学在研究函数y 1＝ax 2＋ax －2a (a 是非零常数)时，甲发现该函数图象总经过定点；乙发现若抛物线y 1＝ax 2＋ax －2a 总不经过点P (x 0－3，x 02－16)，则符合条件的点P 有且只有2个；丙发现若直线y 2＝kx ＋b 与函数y 1交于x 轴上同一点，则b ＝－k ；丁发现若直线y 3＝m (m ≠0)与抛物线有两个交点(x 1，y 1)(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＋1＝0．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5．如图是抛物线y 1＝ax 2+bx +c (a ≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A (1，3)，与x 轴的一个交点B (4，0)，直线y 2＝mx +n (m ≠0)与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①2a +b ＝0；②m +n ＝3；③抛物线与x 轴的另一个交点是(﹣1，0)；④方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根；⑤当1≤x ≤4时，有y 2＜y 1，其中正确的是( )A．①②③B．①②④C．①②⑤D．②④⑤6．已知抛物线y＝ax2+3x+c（a，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，3），有下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程ax2+2x+c＝0的一个根；④当﹣1＜x＜3时，ax2+2x+c＞0其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．在同一坐标中，一次函数y＝﹣kx+2与二次函数y＝x2+k的图象可能是() A．B．C．D．8．已知:抛物线y1=x2+2x-3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，抛物线y2=x2-2ax-1(a>0)与x轴交于C、D两点(点C在点D的左侧)，在使y1>0且y2≤0的x的取值范围内恰好只有一个整数时，a的取值范围是（）A．0<a≤34B．a≥34C．34≤a＜43D．34<a≤439．如图，在边长为4的正方形纸片ABCD中，从边CD上剪去一个矩形EFGH，且有EF＝DH＝CE＝1cm，FG＝2cm，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．以AP为边在AP的下方做正方形AQKP，设点P运动时间为t（s），正方形AQKP和纸片重叠部分的面积为S（cm2），则S与t之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C．D．二、填空题10．如图，已知A （8-，0），B （2，0），以AB 为直径的半圆与y 轴正半轴交于点C ，则经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为______．11．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，以点A 为原点建立平面直角坐标系，使AB 在x 轴正半轴上，点D 是AC 边上的一个动点，DE ∥AB 交BC 于E ，DF ⊥AB 于F ，EG ⊥AB 于G ．以下结论：①△AFD ∽△DCE ∽△EGB ；②当D 为AC 的中点时，△AFD ≌△DCE ；③点C 的坐标为（3.2，2.4）；④将△ABC 沿AC 所在的直线翻折到原来的平面，点B 的对应点B 1的坐标为（1.6，4.8）；⑤矩形DEGF 的最大面积为3．在这些结论中正确的有_____（只填序号）12．已知：直线y =ax +b 与抛物线2y ax bx c =-+的一个交点为（0，2），同时这条直线与x 轴相交于点A ，且相交所成的角为45°．（1）点A 的坐标为__________；（2）若抛物线2y ax bx c =-+与x 轴交于点M 、N （点M 在点N 左边），将此抛物线作关于y 轴对称，M 的对应点为E ，两抛物线相交于点F ，连接NF ，EF 得△NEF ，P 是轴对称后的抛物线上的点，使得△NEP 的面积与△NEF 的面积相等，则P 点坐标为_________.13．二次函数221y ax x =-+，若对满足34x <<的任意x 都有0y >成立，求实数a的范围_______．14．在平面直角坐标系中，已知()A 2,4、()P 1,0，B 为y 轴上的动点，以AB 为边构造ABC ，使点C 在x 轴上，BAC 90.M ∠=为BC 的中点，则PM 的最小值为______．15．已知点A （a ，b ）为直线23421y x m m =+-+与直线2225y x m m =---- 的交点，且1b a -=，则m 的值为_______.16．抛物线()26y a x k =-+经过点()0,2，当9x =时 2.43y >，当18x =时0y <，则k 的取值范围是__________.17．若平面直角坐标系内的点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”．例如：P （1，0）、Q （2，﹣2）都是“整点”．抛物线y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2（m ＞0）与x 轴交于A 、B 两点，若该抛物线在A 、B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m 的取值范围是_____．18．已知函数y=()()()()22113513x x x x ⎧--<⎪⎨--≥⎪⎩，若点P （a ，ka ）在该函数图像上这样的P 恰好有三个，则k 的值为______.三、解答题19．如图，已知抛物线2342y ax x =++的对称轴是直线x=3，且与x 轴相交于A ，B 两点（B 点在A 点右侧）与y 轴交于C 点．（1）求抛物线的解析式和A 、B 两点的坐标；（2）若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），则是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大．若存在，请求出△PBC 的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN=3时，求M 点的坐标．20．如图，抛物线25(0)y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点A （1，0）和点B 及y 轴上的点C ，经过B 、C 两点的直线为y x n =+．①求抛物线的解析式．②点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，△PBE 的面积最大并求出最大值． ③过点A 作AM BC ⊥于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B 、C 重合）作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．21．已知：直线l 过点（0，2），且与x 轴平行；直线114y x =+与y 轴交于A 点，与直线l 交于B 点；抛物线2222y x mx m =-+-+的顶点为C ．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）求点C 的坐标（用m 表示）；（3）若抛物线2222yx mx m =-+-+与线段AB 有公共点，求m 的取值范围．22．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的顶点坐标为Q （2，﹣1），且与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是抛物线上的一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ．（1）求该抛物线的函数关系式及A 、B 两点的坐标；（2）求点P 在运动的过程中，线段PD 的最大值；（3）若点P 与点Q 重合，点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A ，P ，E ，F 为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图1，在平面直角坐标系x0y 中，直线24y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，抛物线1C ：214y x bx c =-++过A 、B 两点，与x 轴的另一交点为点C ．（1）求抛物线1C 的解析式及点C 的坐标；（2）如图2，作抛物线2C ，使得抛物线2C 与1C 恰好关于原点对称，2C 与1C 在第一象限内交于点D ，连接AD ，CD ．①请直接写出抛物线2C 的解析式和点D 的坐标；②求四边形AOCD 的面积；（3）已知抛物线2C ，的顶点为M ，设P 为抛物线1C 对称轴上一点，Q 为直线24y x =+上一点，是否存在以点M ，Q ，P ，B 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.24．如图1，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（2，0），（0，3），抛物线1M ：2y x bx c =-++经过B ，C 两点.抛物线的顶点为D .（1）求抛物线1M 的表达式和点D 的坐标；（2）点P 是抛物线1M 对称轴上一动点，当CPA ∆为等腰三角形时，求所有符合条件的点P 的坐标；（3）如图2，现将抛物线1M 进行平移，保持顶点在直线CD 上，若平移后的抛物线与射线BD 只有一个公共点.设平移后抛物线的顶点横坐标为m ，求m 的值或取值范围.25．如图，抛物线22y ax ax c =-+的图象经过点C (0，-2)，顶点D 的坐标为（1，83-），与x 轴交于A 、B 两点.（1）求抛物线的解析式.（2）连接AC ，E 为直线AC 上一点，当△AOC ∽△AEB 时，求点E 的坐标和AE AB 的值.（3）点F （0，y ）是y 轴上一动点，当y 为何值时，5+FC BF 的值最小.并求出这个最小值.（4）点C关于x轴的对称点为H BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.26．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣34x+b与x轴交于点A，与y轴交于点C．经过点A，C的抛物线y＝ax2+3ax﹣3与x轴的另一个交点为点B．（1）如图1，求a的值；（2）如图2，点D，E分别在线段AC，AB上，且BE＝2AD，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转得到线段DF，且旋转角∠EDF＝∠OAC，连接CF，求tan∠ACF的值；（3）如图3，在（2）的条件下，当∠DFC＝135°时，在线段AC的延长线上取点M，过点M作MN∥DE交抛物线于点N，连接DN，EM，若MN＝DF，求点N的横坐标．27．已知：如图，一次函数y=12x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y=12x2+bx+c的图象与一次函数y=12x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC的面积S；（3）在x轴上有一动点P，从O点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动，是否存在点P使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P运动的时间t 的值，若不存在，请说明理由．（4）若动点P在x轴上，动点Q在射线AC上，同时从A点出发，点P沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，求a的值，若不存在，说明理由．28．如图，在平面直角坐标系中，—抛物线y=﹣a(x+1)(x﹣3)(a＞0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．抛物线的对称轴与x轴交于点E，过点C作x轴的平行线，与抛物线交于点D，连接DE，延长DE交y轴于点F，连接AD、AF．（1）点A的坐标为____________，点B的坐标为_________ ；（2）判断四边形ACDE的形状，并给出证明；（3）当a为何值时，△ADF是直角三角形?参考答案1．B【解析】【分析】结合图形与所学过的知识对每个选项进行分析【详解】①由抛物线的对称轴可知2b a -<1,抛物线的图像可得a >0 ∴-b <2a∴20a b +>①正确②当x=1时，y=a+b+c=0当2y ax bx c =++=0时，x=1或者x=m∴当m ≠1时，a+b=am 2+bm ②错误③由图像可知，当x=-1时，y=2；当x=1时，y=0.即有20a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩⟹11b a c =-⎧⎨+=⎩故③a+c >2错误④∵a+b=a -1=-c ∴0a b x a +=-=-1a a -=-1+1a∵0<2b a -<12，a>0,b=-1 ∴0<1a<1 即-1<-1+1a <0，即0<0a b x a +=-<1 ④正确综上正确答案有①④ 2个，故选B【点睛】根据二次函数的图像和性质，结合图像中所给出的信息对每一个选项分别判断，本题有一定的难度.2．B【解析】【分析】根据题意，分两种情况：（1）当动点Q在BC边上运动时；（2）当动点Q在CD边上运动时；然后根据三角形的面积的求法，分类讨论，求出y与x之间的函数关系式，进而判断出y与x之间函数关系图像的是哪个即可.【详解】（1）如图1当动点Q在BC上运动时∵4÷3=43（秒）∴动点Q从点B运动到点C向右的时间是43秒∵AP=2x，BQ=3x∴24y2x3x23x(0x)3=⨯÷=<≤∴抛物线开口向上.（2）如图2，当动点Q再CD边上运动时∵(8+4)÷3=4（秒），48433-=（秒）∴动点Q从点C运动到点D需要的时间是83秒∵AP=2x，BQ=4∴4y2x424x(x4)3=⨯÷=<≤综上所述：243(0)3y 44(4)3x x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩故答案选择B.【点睛】本题考查的是函数图像与几何问题的结合，解题的关键是要根据动点的运动情况写出分段函数的表达式，再根据表达式判断函数图像.3．D【解析】【分析】由二次函数y ＝x 2+bx 22b +的图象上点的坐标特征求得点B 的坐标，由顶点坐标公式求得点A 的坐标，根据抛物线平移规律和待定系数法求平移后抛物线的解析式，易比较线段OB ，OC 的大小关系．【详解】如下图所示：由y ＝x 2+bx 22b +=（x 2b +）2+24b 得到B （0，22b ），故OB 22b =．该抛物线的顶点坐标是（224b b -，）．设：抛物线向右平移了m 个单位、下平移n 个单位（m ＞0，n ＞0），平移后抛物线顶点坐标为（2b -+m ，24b n -），则平移后抛物线的解析式为：y ＝（x 2b +-m ）224b +-n ，（x C ﹣x A ）2＝（x C +x A ）2﹣4x A x C ＝4n ﹣b 2，x C 2b =-+=OC ，OB ﹣OC 222b b =++∵b ≤﹣2＜0，∴b +1≤﹣1＜0，∴OB ﹣OC 222b b =+0，抛物线向左平移了m 个单位、下平移n 个单位（m ＞0，n ＞0），用同样的方法验证：OB ＞OC ．故选D ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化解．关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．4．C【解析】【分析】甲：令y =0可求得对应方程的两根，可求得二次函数与x 轴的交点，可证得结论；乙：根据题意可以得到相应的不等式，然后根据对于任意非零实数a ，抛物线y =ax 2+ax -2a 总不经过点P （x 0-3，x 02-16），即可求得点P 的坐标，丙：由甲结论可知y 2＝kx ＋b 经过（1，0）或（-2，0）．代入即可验证，丁：根据二次函数和一元二次方程关系可知x 1、x 2是ax 2＋ax －2a ＝m 的根，可得x 1＋x 2=-1，从而判断结论正确.【详解】解：甲：∵y 1＝ax 2＋ax －2a =a （x +2）（x -1），当y =0时，a （x +2）（x -1）=0，解得x 1=1，x 2=-2．∴二次函数的图象与x 轴的交点为（1，0）、（-2，0）．∴不论a 为何值，该二次函数的图象经过x 轴上的定点（1，0）和（-2，0）．故甲结论正确；乙：∵对于任意非零实数a ，抛物线y =ax 2+ax -2a 总不经过点P （x 0-3，x 02-16），∴x 02-16≠a （x 0-3）2+a （x 0-3）-2a ，∴（x 0-4）（x 0+4）≠a （x 0-1）（x 0-4），∴（x 0+4）≠a （x 0-1），∴x 0=-4或x 0=1，∴点P 的坐标为（-7，0）或（-2，-15），故乙的结论正确，丙：由前可知函数y 1＝ax 2＋ax －2a 与x 轴交点为（1，0）、（-2，0），当若直线y 2＝kx ＋b 与函数y 1交于正半x 轴上同一点时，k +b =0，即-k =b ，当若直线y 2＝kx ＋b 与函数y 1交于负半x 轴上同一点时，-2k +b =0，即b =2k .故乙错误；丁：∵x 1、x 2是ax 2＋ax －2a ＝m 的两根，∴x 1+x 2=-1，∴x 1＋x 2＋1＝0，故丁正确；故选C .【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，利用抛物线与一元二次方程的关系是解题的关键．5．B【解析】【分析】①利用对称轴x=1判定；②把A (1，3)代入直线y 2＝mx +n 即可判定；③根据对称性判断；④方程ax 2+bx+c=3的根，就是图象上当y=3是所对应的x 的值．⑤由图象得出，当1≤x ≤4时，有y 2≤y 1；【详解】由抛物线对称轴为直线x ＝﹣12b a，从而b ＝﹣2a ，则2a +b ＝0故①正确；直线y 2＝mx +n 过点A ，把A (1，3)代入得m +n ＝3，故②正确；由抛物线对称性，与x 轴的一个交点B (4，0)，则另一个交点坐标为(2，0)故③错误；方程ax 2+bx +c ＝3从函数角度可以看做是y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝3求交点，从图象可以知道，抛物线顶点为(1，3)，则抛物线与直线有且只有一个交点故方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根，因而④正确；由图象可知，当1≤x ≤4时，有y 2≤y 1 故当x ＝1或4时y 2＝y 1 故⑤错误．故选B ．【点睛】本题选项较多，比较容易出错，因此要认真理解题意，明确以下几点是关键：①通常2a+b 的值都是利用抛物线的对称轴来确定；②抛物线与x 轴的交点个数确定其△的值，即b 2-4ac 的值：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点；③知道对称轴和抛物线的一个交点，利用对称性可以求与x 轴的另一交点．6．C【解析】【分析】先由抛物线y ＝ax 2+3x +c （a ，c 为常数，且a ≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，3），列方程组求出a ，c ，从而解得其解析式，进而求得其对称轴，再根据二次函数与方程和二次函数与不等式的关系可解．【详解】把点（﹣1，﹣1），（0，3）代入y ＝ax 2+3x+c 得：{−1=a −3+c 3=c∴{a =−1c =3∴y ＝﹣x 2+3x+3∴①ac ＜0正确；该抛物线的对称轴为：x =−b 2a =32，∴②当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小是错误的；方程ax 2+2x+c ＝0可化为：方程ax 2+3x+c ＝x ，把x ＝3代入y ＝﹣x 2+3x+3得y ＝3，∴﹣x 2+2x+3＝0，故③正确；∴（3，3）在该抛物线上，又∵抛物线y ＝ax 2+3x+c （a ，c 为常数，且a≠0）经过点（﹣1，﹣1），∴抛物线y ＝ax 2+3x+c 与y ＝x 的交点为（﹣1，﹣1）和（3，3），当﹣1＜x ＜3时，ax 2+3x+c ＞x ，即ax 2+2x+c ＞0④当﹣1＜x ＜3时，ax 2+2x+c ＞0，故④正确．综上，①③④正确．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数解析式、二次函数的对称轴、二次函数与方程、二次函数与不等式的关系，综合性较强，难度较大．7．A【解析】【分析】由二次函数y ＝x 2+k 得抛物线开口向上，排除B ；根据一次函数y ＝﹣kx +2，得直线与y 轴的正半轴相交，排除D ；根据A 、C 可知，k ＜0，故选A.【详解】由二次函数y ＝x 2+k 得抛物线开口向上，排除B ；根据一次函数y ＝﹣kx +2，得直线与y 轴的正半轴相交，交点为(0，2)，排除D ；根据A 、C 可知，抛物线交y 轴于负半轴，所以k ＜0，故选A.【点睛】本题为判断一次函数与二次函数图象问题，关键是明确各个系数与二次函数与一次函数图象的关系.8．C【解析】【分析】根据题意可知()22210y x ax a =-->的对称轴为(0)x a a =>可知使y 1>0且y 2≤0的x 的取值范围内恰好只有一个整数时，只要符合将2x =代入()22210y x ax a =-->中，使得20y ≤，且将3x =代入()22210y x ax a =-->中使得20y >即可求出a 的取值范围.【详解】由题意可知()22210y x ax a =-->的对称轴为(0)x a a =>可知对称轴再y 轴的右侧，由2123y x x =+-与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)可知当10y >时可求得31x x <->或使1200y y >≤且的x 的取值范围内恰好只有一个整数时∴只要符合将2x=代入()22210y x ax a =-->中，使得20y ≤，且将3x =代入()22210y x ax a =-->中使得20y >即224109610a a ⎧--≤⎨-->⎩ 求得解集为：3443x ≤< 故选C【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，利用数形结合思想解决二次函数与不等式问题是解题关键.9．C【解析】【分析】分①0≤t≤3时，重叠部分为边长为AP 的正方形，②3＜t≤4时，重叠部分为正方形APKQ 的面积减去一个矩形的面积，然后列式整理得到S 与t 的关系式，再根据各选项图象判断即可．【详解】解：∵EF=DH=CE=1cm ，FG=2cm ，∴GF 到AB 的距离为3，①0≤t≤3时，重叠部分为边长为AP 的正方形，此时，S=t 2；②3＜t≤4时，S=t 2-2（t-3）=t 2-2t+6，纵观各选项，只有C 选项图象符合．故选C ．【点睛】本题考查了动点问题函数图象，利用点运动的几何性质列出有关的函数关系式，然后根据函数关系式判断函数图象，注意自变量的取值范围．10．213442y x x =--+ 【解析】【分析】连接AC 、BC ，利用圆周角定理得出∠ACB=90°，再证△AOC ∽△COB ，求得OC ，得出点C 坐标，设抛物线解析式为y=a(x+8)(x-2)，利用待定系数法求出即可．【详解】连接AC 、BC ，∵AB 是圆的直径，∴∠ACB ＝90°，又OC AB ⊥，∴OCB CAO ∠=∠，又∵COB AOC ∠=∠，∴AOC COB ∆∆∽ ∴OC OA OB OC=， ∴28216OC OA OB =⋅=⨯=，解得4OC =，又∵C 在y 轴正半轴上，∴C(0，4)，设抛物线解析式为()()82y a x x =+-，把点C(0，4)代入解析式，得：164a -=，即14a =， ∴()()2113824442y x x x x =+-=--+，故答案为：213442y x x =--+. 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，涉及了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，待定系数法，求出点C 坐标，设出函数解析式，利用待定系数法求出解析式是解题的关键. 11．①③⑤【解析】【分析】①正确，根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断；②错误．根据斜边不相等即可判断；③正确．求出点C 坐标即可判断；④错误．求出点B 1即可判断；⑤正确．首先证明四边形DEGF 是矩形，推出DF=EG ，DE=FG ，设DF=EG=x ，构建二次函数，利用二次函数的性质即可判断.【详解】如图，作CH ⊥AB 于H ．∵DF ⊥AB 于F ，EG ⊥AB 于G ，∴∠AFD ＝∠DCE ＝∠EGB ＝90°，∵DE ∥AB ，∴∠CDE ＝∠DAF ，∠CED ＝∠EBG ，∴△AFD ∽△DCE ∽△EGB ；故①正确；当AD ＝CD 时，∵DE ＞CD ，∴DE ＞AD ，∴△AFD 与△DCE 不全等，故②错误，在Rt △ACB 中，∵AC ＝4，BC ＝3， ∴AB ＝5，CH ＝122.45AC BC AB ⋅==4， ∴AH＝3.2，∴C （3.2，2.4），故③正确，将△ABC 沿AC 所在的直线翻折到原来的平面，点B 的对应点B 1，设B 1为（m ，n ），则有52m +＝3.2，m ＝1.4， 02n +＝2.4，n ＝4.8， ∴B 1（1.4，4.8），故④错误； ∵DF ⊥AB 于F ，EG ⊥AB 于G ， ∴DF ∥EG ， ∵DE ∥AB ，∴四边形DEGF 是平行四边形， ∵∠DFG ＝90°， ∴四边形DEGF 是矩形，∴DF ＝EG ，DE ＝FG ，设DF ＝EG ＝x ，则AF=43x ，BG ＝34x ， ∴DE ＝FG ＝5﹣43x ﹣34x ＝5﹣2512x ， ∵S 矩形DEGF ＝x （5﹣2512x ）＝﹣2512x 2+5x ， ∵﹣2512＜0，∴S 的最大值＝25254()12-⨯-＝3，故⑤正确，综上所述，正确的有：①③⑤，故答案为①③⑤．【点睛】本题考查相似三角形综合题、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数，解决最值问题. 12．（-2，0）或（2，0）（2，2）或（1，-2）或（－，-2）【解析】【分析】（1）设（0，2）为点B ，根据直线与y 轴的交点坐标，以及与x 轴的相交夹角角度，可知OB=OA=2，即可得点A 的坐标；（2）根据（1）的结论，代入直线解析式，求出a ，b 的值，再代入抛物线的解析式求c 的值，根据抛物线与x 轴有两个交点求出抛物线的解析式，根据题意作出关于y 轴对称的图象，求出各个交点的坐标．设点P 的坐标为（x ，y ），根据三角形的面积公式可知△NEP 与△NEF 的高相等，由此判断y 的取值，将y 代入抛物线的解析式即可求出点P 的坐标．【详解】解：（1）设直线与抛物线的交点（0，2）为点B ，则将点B 代入直线y =ax +b ，解得b=2，且直线与x 轴相交的夹角为45°，则△AOB 为等腰直角三角形， ∴OA=OB=2，当a ＞0，点A 的坐标为（-2，0），当a ＜0，点A 的坐标为（2，0）， ∴点A 的坐标为（-2，0）或（2，0）．（2）当a ＞0时，将A （-2，0），B （0，2）代入直线解析式得2=0=2+b a b ⎧⎨⎩－，解得=1=2a b ⎧⎨⎩，又∵抛物线过点B （0，2）， ∴ c=2，∴抛物线的解析式为2=2+2y x x －，∵2=(2)412=40∆--⨯⨯－＜，∴抛物线与x 轴没有交点．当a ＜0时，将A （2，0），B （0，2）代入直线解析式得2=0=2+b a b ⎧⎨⎩，解得=1=2a b ⎧⎨⎩－，又∵抛物线过点B （0，2）， ∴ c=2，∴抛物线的解析式为2=2+2y xx －－，∵2=(2)4(1)2=120∆--⨯-⨯＞，∴抛物线与x 轴有两个交点， ∴抛物线的解析式为2=2+2y xx －－．令y=0，得20=2+2x x －－，解得11x =，21x =，∵点M 在点N 左边，∴点M 的坐标为（1，0），点N 1，0），此抛物线作关于y 轴对称，图象如下图所示，M 的对应点为E ，两抛物线相交于点F ，即点F 为点B ，∴点F 的坐标为（0，2），点E ，0），∴NE 1）=2，OF=2，∴11==22=222NEF S NE OF ∆⨯⨯⨯，设使得△NEP 的面积与△NEF 的面积相等的P 点坐标为（x ，y ），由三角形面积公式可知，以NE 为底，要使△NEP 的面积与△NEF 的面积相等，则高一样， ∴==2y OF ，即=2y ±．当2y=时，代入2=2+2y xx －－，解得10x =，22x =－，∵（0，2）与点F 重合， ∴点P 的坐标为（﹣2，2）；当=2y －时，代入2=2+2y x x －－，解得11x =，21x =，∴点P 的坐标为（1，﹣21，﹣2），综上所述，满足条件的点P 共有三个，其坐标分别为（﹣2，2）或（1，﹣2）或1，﹣2）．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的交点问题及三角形面积问题，理解底相等，面积相等的两个三角形的高相等是解题的关键． 13．59a ≥【解析】【分析】由对满足34x <<的任意x 都有0y >成立，用含x 的代数式表示出a 的取值范围，然后讨论含x 的代数式的取值即可求出实数a 的范围. 【详解】∵对满足34x <<的任意x 都有0y >成立，∴2210ax x -+>，即2221111x a x x -⎛⎫>=-- ⎪⎝⎭+对34x <<成立， ∵当34x <<时，2111x ⎛⎫-- ⎪⎭+⎝的值随x 的增大而减小，∴当x=3时，2111x ⎛⎫-- ⎪⎭+⎝取得最大值2119451=⎛⎫⎪⎭+-- ⎝， ∵对满足34x <<的任意实数x 都有0y >成立， ∴59a ≥. 故答案为：59a ≥. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题的解法，二次函数的图像与性质，注意运用讨论二次项的系数和参数分离，熟练掌握二次函数的图像与性质是解答本题的关键.14．5【解析】【分析】如图，作AH⊥y轴于H，CE⊥AH于E．则四边形CEHO是矩形，OH=CE=4，由△AHB∽△CEA，得AH BHEC AE=，推出24BHAE=，推出AE=2BH，设BH=x则AE=2x，推出B（0，4﹣x），C（2+2x，0），由BM=CM，推出M（1+x，42x-），可得PM==【详解】如图，作AH⊥y轴于H，CE⊥AH于E．则四边形CEHO是矩形，OH=CE=4．∵∠BAC=∠AHB=∠AEC=90°，∴∠ABH+∠HAB=90°，∠HAB+∠EAC=90°，∴∠ABH=∠EAC，∴△AHB∽△CEA，∴AH BHEC AE=，∴24BHAE=，∴AE=2BH，设BH=x则AE=2x，∴OC=HE=2+2x，OB=4﹣x，∴B（0，4﹣x），C（2+2x，0）．∵BM=CM，∴M（1+x，42x-）．∵P（1，0），∴PM==，∴x45=时，PM有最小值，最小值为5．故答案为：5．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、两点间距离公式、二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考常考题型． 15．-1或3 【解析】【分析】由b-a=1得b=a+1，则A 可表示为（a ，a+1），代入直线方程组成方程组，解方程组即可求得．【详解】 ∵b-a=1m ∴b=a+1则点A 可记为（a ，a+1），将点A 代入两直线方程得：22342112251a m m a a m m a ⎧+-++⎨----+⎩＝＝化简得：224222262m m a m m a ⎧--⎨++-⎩＝①＝② ①-②，化简得：m 2-2m-3=0 解得：m=-1或m=3．故答案为-1或3．【点睛】本题考察已知直线交点求函数解析式，方法类似于待定系数法求解析式，由于得到的方程组为二元二次方程组，因此要注意消元． 16．83k >【解析】【分析】将点()0,2代入()26y a x k =-+，得236ka -=，再将x 与y 的对应关系代入函数解析式得到不等式组，解不等式组即可求得k 的取值范围. 【详解】将点()0,2代入()26y a x k =-+，得36a+k=2，∴236ka -=，当9x =时 2.43y >，当18x =时0y <得9 2.431440a k a k +⎧⎨+<⎩＞，解得1937583k k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＞＞，∴83k ＞，故填83k ＞. 【点睛】此题考查二次函数的性质，将点的横纵坐标代入函数解析式即可得到对应的不等式组，注意将点()0,2代入()26y a x k =-+，得36a+k=2是解题的关键，可将不等式组中的a 用含k的代数式表示，解不等式组即可求解. 17．12＜m ≤1 【解析】【分析】先将二次函数的表达式化为顶点式，确定出图象的顶点，可以直接得到(2，0)、(2，﹣1)、(2，﹣2)三点必在所要求的区域内，然后向外扩充4个整点，找到点(1，0)、 (3，0)、(1，﹣1)、(3，﹣1)，然后讨论①当点（1，-1）在边界时，此时求得m=1，确定抛物线与x 轴交点的横坐标，从而判断出当m ＝1时，恰好有7个整点符合题意，根据抛物线的开口大小与二次项系数的关系确定出0<m ≤1；②当点（1，-1）在区域内时，如图2，此时若该抛物线经过点(0，0)和点(4，0)，显然这两个点符合题意，将(0，0)代入y ＝mx 2﹣4mx+4m ﹣2求得m ＝12，由此可得m ＝12时，有9个整点符合题意，判断出m ＝12不符合题意，确定出m ＞12，综合①②的讨论即可确定出m 的取值范围. 【详解】∵y ＝mx 2﹣4mx+4m ﹣2＝m(x ﹣2)2﹣2且m ＞0，∴该抛物线开口向上，顶点坐标为(2，﹣2)，对称轴是直线x ＝2，∴点(2，0)、点(2，﹣1)、顶点(2，﹣2) 三点必在抛物线在A 、B 之间的部分与线段AB 所围成的区域，又∵该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，∴必有点(1，0)、(3，0)、(1，﹣1)、(3，﹣1)，①当点（1，-1）在边界时，将(1，﹣1)代入y＝mx2﹣4mx+4m﹣2得到﹣1＝m﹣4m+4m﹣2，解得m＝1，此时抛物线解析式为y＝x2﹣4x+2，（如图1），由y＝0得x2﹣4x+2＝0．解得x1＝2﹣≈0.6，x2＝2+≈3.4，∴x轴上的点(1，0)、(2，0)、(3，0)符合题意，则当m＝1时，恰好有(1，0)、(2，0)、(3，0)、(1，﹣1)、(3，﹣1)、(2，﹣1)、(2，﹣2)这7个整点符合题意，∴m≤1，∴0<m≤1，【注：m的值越大，抛物线的开口越小，m的值越小，抛物线的开口越大】②当点（1，-1）在区域内时，如图2，此时若该抛物线经过点(0，0)和点(4，0)，显然这两个点符合题意，此时x轴上的点(1，0)、(2，0)、(3，0)也符合题意，将(0，0)代入y＝mx2﹣4mx+4m﹣2得到0＝0﹣4m+0﹣2．解得m＝12，此时抛物线解析式为y＝12x2﹣2x，当x＝1时，得y＝12×1﹣2×1＝﹣32＜﹣1，∴点(1，﹣1)符合题意，当x＝3时，得y＝12×9﹣2×3＝﹣32＜﹣1．∴点(3，﹣1)符合题意，综上可知：当m＝12时，点(0，0)、(1，0)、(2，0)、(3，0)、(4，0)、(1，﹣1)、(3，﹣1)、(2，﹣2)、(2，﹣1)都符合题意，共有9个整点符合题意，∴m＝12不符合题意，∴m＞12，综合①②可得：当12＜m≤1时，该函数的图象与x轴所围成的区域(含边界)内有七个整点，故答案为：12＜m≤1．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点的求法，利用图象解决问题是本题的关键．18．1 或－10+4【解析】【分析】根据分段函数的表达式，结合二次函数的图象和性质，利用数形结合即可得到结论．【详解】如图，①当y=k1x 过（3，3）时，符合题意，∴k1=1.②当y=k2x 与y=(x－5)2－1（x≥3）的图象只有一个公共点时，也符合题意.由2(5)1y xy kx⎧=--⎨=⎩，得x2－(10+k)x+24=0，由△=0 得k1=－，k2=－10－4（舍去），综上，k=1 或k=－.故答案为：1 或－10+4.【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是根据分段函数的表达式，结合二次函数的图象和性质解答． 19．（1）213442y x x =-++，点A 的坐标为(-2，0)，点B 的坐标为(8，0)；（2）存在点P ，使△PBC 的面积最大，最大面积是16，理由见解析；（3）点M 的坐标为1)、(2，6)、(6，4)或，1)．【解析】【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线x=3，利用二次函数的性质即可求出a 值，进而可得出抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点A 、B 的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C 的坐标，由点B 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，假设存在，设点P 的坐标为（x,213-442x x ++），过点P 作PD//y 轴，交直线BC 于点D ，则点D 的坐标为（x,1-42x +），PD=-14x 2+2x ，利用三角形的面积公式即可得出三角形PBC 的面积关于x 的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）设点M 的坐标为（m,213-442m m ++），则点N 的坐标为（m,1-42m +），进而可得出MN 2124m m =-+，结合MN=3即可得出关于m 的含绝对值符号的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）抛物线2342y ax x =++的对称轴是直线3x =， 3232a∴-=，解得：14a =-， ∴抛物线的解析式为213442y x x =-++．当0y =时，2134042x x -++=，解得：12x =-，28x =，。

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