大学物理第4章机械振动.ppt
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大学物理机械振动和机械波ppt课件
2024/1/26
12
03
驻波形成条件及其性质分析
Chapter
2024/1/26
13
驻波产生条件及特点描述
产生条件
两列沿相反方向传播、振幅相同、频 率相同的波叠加。
特点描述
波形不传播，能量在波节和波腹之间 来回传递，形成稳定的振动形态。
2024/1/26
14
驻波能量分布规律探讨
能量分布
驻波的能量主要集中在波腹处，波节处能量为零。
2024/1/26
16
04
多普勒效应原理及应用举例
Chapter
2024/1/26
17
多普勒效应定义及公式推导
2024/1/26
定义
当波源与观察者之间存在相对运动时，观察者接收到的波的频率会发生变化，这种现象 称为多普勒效应。
公式推导
设波源发射频率为f0，波速为v，观察者与波源相对运动速度为vr，则观察者接收到的 频率为f=(v±vr)/v×f0，其中“+”号表示观察者向波源靠近，“-”号表示观察者远离
Chapter
2024/1/26
25
非线性振动概念引入和分类
非线性振动定义
描述系统振动特性不满足叠加原理的振动现象。
分类
根据振动性质可分为自治、非自治、周期激励和 随机激励等类型。
与线性振动的区别
线性振动满足叠加原理，而非线性振动则不满足 。
2024/1/26
26Biblioteka 混沌理论基本概念阐述混沌定义
确定性系统中出现的内在随 机性现象。
受迫振动
物体在周期性外力作用下所发生的振动。
共振现象
当外力的频率与物体的固有频率相等时，物体的振幅达到最大的现象。
大学物理——第4章-振动和波
A sin1 + A sin2 2 tan = 1 A cos1 + A cos2 1 2
合成初相 与计时起始时刻有关.
v A 2
ω
v A
2
O
x2
1
v A 1
x1
xx
分振动初相差2 1与计时起始时刻无关,但它对合成振幅 是相长还是相消合成起决定作用.
20
讨 论
2 A = A2 + A2 + 2A A2 cos(2 1) 1 1
F = kx
3
l0
k
m
A
F = kx = ma
k 令ω = m
2
A x = Acos(ωt +)
o
x
积分常数,根据初始条件确定
a = ω2 x
dx = ω2 x dt 2
2
dx υ = = Aω sin( ωt +) dt
dx 2 a = 2 = Aω cos(ωt +) dt
4
2
x = Acos(ωt +)
15
π
例 4-3 有两个完全相同的弹簧振子 A 和 B,并排的放在光滑 的水平面上,测得它们的周期都是 2s ,现将两个物体从平衡 位置向右拉开 5cm,然后先释放 A 振子,经过 0.5s 后,再释 放 B 振子,如图所示,如以 B 释放的瞬时作为时间的起点, (1)分别写出两个物体的振动方程; (2)它们的相位差是多少?分别画出它们的 x—t 图.
5cm
O
x
16
解: (1)振动方程←初始条件
x0 = 0.05m, υ0 = 0 , T = 2s
2π ω= = π rad/s T
2 υ0 2 A = x0 + 2 = 0.05m ω υ0 对B振子: tan B = = 0 B = 0 x0ω
合成初相 与计时起始时刻有关.
v A 2
ω
v A
2
O
x2
1
v A 1
x1
xx
分振动初相差2 1与计时起始时刻无关,但它对合成振幅 是相长还是相消合成起决定作用.
20
讨 论
2 A = A2 + A2 + 2A A2 cos(2 1) 1 1
F = kx
3
l0
k
m
A
F = kx = ma
k 令ω = m
2
A x = Acos(ωt +)
o
x
积分常数,根据初始条件确定
a = ω2 x
dx = ω2 x dt 2
2
dx υ = = Aω sin( ωt +) dt
dx 2 a = 2 = Aω cos(ωt +) dt
4
2
x = Acos(ωt +)
15
π
例 4-3 有两个完全相同的弹簧振子 A 和 B,并排的放在光滑 的水平面上,测得它们的周期都是 2s ,现将两个物体从平衡 位置向右拉开 5cm,然后先释放 A 振子,经过 0.5s 后,再释 放 B 振子,如图所示,如以 B 释放的瞬时作为时间的起点, (1)分别写出两个物体的振动方程; (2)它们的相位差是多少?分别画出它们的 x—t 图.
5cm
O
x
16
解: (1)振动方程←初始条件
x0 = 0.05m, υ0 = 0 , T = 2s
2π ω= = π rad/s T
2 υ0 2 A = x0 + 2 = 0.05m ω υ0 对B振子: tan B = = 0 B = 0 x0ω
大学物理课件第四章振动与波动-PPT精选文档
x
A1 A2 - A2 -A1
x1
T
o
x2
t
x2比x1超前 / 2
x A cos( t )v A cos t 2 2 t a A cos
x
2A A
A -A - A - 2 A
x、 v 、a
a T t
o
>0 a<0 减速
<0 <0 加速
<0 >0 减速
>0 >0 加速
a、v、x 依次超前， x、v、a依次落后 a与 x 反相。
简谐振动
简谐振动的动力学方程 简谐振动的运动学方程 简谐振动的三个特征量 简谐振动的表示法 ①解析法 x A cos( t ) 已知表达式 A，T， 已知A，T， 表达式
4-3 阻尼振动、受迫振动和共振 *4-4 非线性振动 混沌 4-5 机械波的产生和传播 4-6 平面简谐波 4-7 声波、超声波和次声波 4-8 波的干涉和波的衍射 4-9 多普勒效应和超声波运动
4-1 简谐运动
简谐运动的基本特征 以弹簧振子为例 以弹簧原长为坐标原点，
kx k m
0
令
2
任何一个物理量，如果随时间的变化可用余弦或正 弦函数表示，则这种运动称为简谐振动。
简谐运动的三项基本特征：
F k x
d2 x 2 x0 2 dt
x A cos( t )
x A cos( t )
π dx A cos( t ) A s in t v 2 dt
x
A1
A2
x2
x1
同相
T t
A1 A2 - A2 -A1
x1
T
o
x2
t
x2比x1超前 / 2
x A cos( t )v A cos t 2 2 t a A cos
x
2A A
A -A - A - 2 A
x、 v 、a
a T t
o
>0 a<0 减速
<0 <0 加速
<0 >0 减速
>0 >0 加速
a、v、x 依次超前， x、v、a依次落后 a与 x 反相。
简谐振动
简谐振动的动力学方程 简谐振动的运动学方程 简谐振动的三个特征量 简谐振动的表示法 ①解析法 x A cos( t ) 已知表达式 A，T， 已知A，T， 表达式
4-3 阻尼振动、受迫振动和共振 *4-4 非线性振动 混沌 4-5 机械波的产生和传播 4-6 平面简谐波 4-7 声波、超声波和次声波 4-8 波的干涉和波的衍射 4-9 多普勒效应和超声波运动
4-1 简谐运动
简谐运动的基本特征 以弹簧振子为例 以弹簧原长为坐标原点，
kx k m
0
令
2
任何一个物理量，如果随时间的变化可用余弦或正 弦函数表示，则这种运动称为简谐振动。
简谐运动的三项基本特征：
F k x
d2 x 2 x0 2 dt
x A cos( t )
x A cos( t )
π dx A cos( t ) A s in t v 2 dt
x
A1
A2
x2
x1
同相
T t
第四章振动和波动_1机械振动
A＝
x02
v0
2
求A，然后由
x0=Acos v0=-Aωsin 两者的共同部分求 。
［例1］：一弹簧振子系统，弹簧的劲度系数为k=0.72N/m， 物体的质量为m=20g。今将物体从平衡位置沿桌面向右拉长 到0.04m处释放，求振动方程。
解：要确定弹簧振子系统的振动方程，只要确定A、ω和即可。
由题可知，k=0.72N/m，m=20g=0.02kg，x0=0.04m，v0＝0， 代入公式可得
＝ k 0.72 6rad s1
m 0.02
A
x02
v02
2
0.042
02 62
0.04m
又因为x0为正，初速度v0＝0，可得
0
因而简谐振动的方程为：
x 0.04cos(6t) (m)
一、简谐运动 1、弹簧振子
2、弹簧振子运 动的定性分析
B→O：弹性力向右，加速度向右，加速；
O→C：
向左，
向左，减速；
C→O：
向左，
向左，加速；
O→B：
向右，
向右，减速。
物体在B、C之间来回往复运动
3、物体作简谐运动的条件
物 体 的 惯 性 ——阻止系统停留在平衡位置 作用在物体上的弹性力——驱使系统回复到平衡位置
v dx Asin( t )
dt
a
d2x dt 2
2 Acos(
t
)
说明：
• 物体在简谐运动时，其位移、速度、加速度都是周期性
变化的
• 简谐运动不仅是周期性的，而且是有界的，只有正弦函 数、余弦函数或它们的组合才具有这种性质，这里我们采
大学物理 机械振动课件
当 = (2k+1) , k=0,±1,±2...
两振动步调相反,称反相
当0
2 超前于1 或 1 滞后于 2
位相差反映了两个振动不同程度的参差错落
三、简谐振动的旋转矢量表示法
t=t A
t+0
0
A t=0
o
x
x
x Acos(t 0 )
旋转矢量—— 确定 和研究振动合成很方便
t
A
t=0
k J
R2
T 2 2 m J R2
k
例：已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图所
示，试求其振动方程。 解：设振动方程为
v(cms 1)
31.4
x Acos(t 0 )
15.7
v0 Asin0 15.7
0 15.7
1
t(s)
x0 Acos0 0
31.4
Q A vm 31.4
sin2 (
t
0 )
1 kA2 2
cos2 (t
0 )
谐振动的动能和势能是时间的周期性函数
动 能
Ek
1 2
mv 2
1 2
kA2
sin2 (
t
0
)
Ek max
1 2
kA2
Ekmin 0
1
Ek T
t T t
Ek dt
1 4
kA2
势
Ep
1 2
kx 2
能
1 2
kA2
cos 2 ( t
0
)
E pmax , E pmin , E p
J
mgh
例4.1 证明竖直弹簧振子的振动是简谐振动（自学）
§4.2 简谐振动的运动学
两振动步调相反,称反相
当0
2 超前于1 或 1 滞后于 2
位相差反映了两个振动不同程度的参差错落
三、简谐振动的旋转矢量表示法
t=t A
t+0
0
A t=0
o
x
x
x Acos(t 0 )
旋转矢量—— 确定 和研究振动合成很方便
t
A
t=0
k J
R2
T 2 2 m J R2
k
例：已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图所
示，试求其振动方程。 解：设振动方程为
v(cms 1)
31.4
x Acos(t 0 )
15.7
v0 Asin0 15.7
0 15.7
1
t(s)
x0 Acos0 0
31.4
Q A vm 31.4
sin2 (
t
0 )
1 kA2 2
cos2 (t
0 )
谐振动的动能和势能是时间的周期性函数
动 能
Ek
1 2
mv 2
1 2
kA2
sin2 (
t
0
)
Ek max
1 2
kA2
Ekmin 0
1
Ek T
t T t
Ek dt
1 4
kA2
势
Ep
1 2
kx 2
能
1 2
kA2
cos 2 ( t
0
)
E pmax , E pmin , E p
J
mgh
例4.1 证明竖直弹簧振子的振动是简谐振动（自学）
§4.2 简谐振动的运动学
大学物理-机械振动
交通工具的不舒适
机械振动也会影响交通工具的舒适 度，如火车、汽车等在行驶过程中 产生的振动，会让乘客感到不适。
机械振动在工程中的应用
振动输送
利用振动原理实现物料的输送，如振动筛、振动输送机等。
振动破碎
利用振动产生的冲击力破碎硬物，如破碎机、振动磨等。
振动减震
在建筑、桥梁等工程中，采用减震措施来减小机械振动对结构的影 响，提高结构的稳定性和安全性。
感谢您的观看
THANKS
机械振动理论的发展可以追溯到 古代，如中国的编钟和古代乐器 的制作。
近代发展
随着物理学和工程学的发展，人 们对机械振动的认识不断深入， 应用范围也不断扩大。
未来展望
随着科技的不断进步，机械振动 在新能源、新材料、航空航天等 领域的应用前景将更加广阔。
02
机械振动的类型与模型
简谐振动
总结词
简谐振动是最基本的振动类型，其运动规律可以用正弦函数或余弦函数描述。
机械振动在科研中的应用
振动谱分析
01
通过对物质在不同频率下的振动响应进行分析，可以研究物质
的分子结构和性质。
振动控制
02
通过控制机械振动的参数，实现对机械系统性能的优化和控制，
如振动减震、振动隔离等。
振动实验
03
利用振动实验来研究机械系统的动态特性和响应，如振动台实
验、共振实验等。
05
机械振动的实验与测量
根据实验需求设定振动频率、幅度和波形等 参数。
启动实验
启动振动台和数据采集器，开始记录数据。
数据处理
将采集到的数据导入计算机，进行滤波、去 噪和整理，以便后续分析。
绘制图表
将处理后的数据绘制成图表，如时域波形图、 频谱图等，以便观察和分析。
机械振动也会影响交通工具的舒适 度，如火车、汽车等在行驶过程中 产生的振动，会让乘客感到不适。
机械振动在工程中的应用
振动输送
利用振动原理实现物料的输送，如振动筛、振动输送机等。
振动破碎
利用振动产生的冲击力破碎硬物，如破碎机、振动磨等。
振动减震
在建筑、桥梁等工程中，采用减震措施来减小机械振动对结构的影 响，提高结构的稳定性和安全性。
感谢您的观看
THANKS
机械振动理论的发展可以追溯到 古代，如中国的编钟和古代乐器 的制作。
近代发展
随着物理学和工程学的发展，人 们对机械振动的认识不断深入， 应用范围也不断扩大。
未来展望
随着科技的不断进步，机械振动 在新能源、新材料、航空航天等 领域的应用前景将更加广阔。
02
机械振动的类型与模型
简谐振动
总结词
简谐振动是最基本的振动类型，其运动规律可以用正弦函数或余弦函数描述。
机械振动在科研中的应用
振动谱分析
01
通过对物质在不同频率下的振动响应进行分析，可以研究物质
的分子结构和性质。
振动控制
02
通过控制机械振动的参数，实现对机械系统性能的优化和控制，
如振动减震、振动隔离等。
振动实验
03
利用振动实验来研究机械系统的动态特性和响应，如振动台实
验、共振实验等。
05
机械振动的实验与测量
根据实验需求设定振动频率、幅度和波形等 参数。
启动实验
启动振动台和数据采集器，开始记录数据。
数据处理
将采集到的数据导入计算机，进行滤波、去 噪和整理，以便后续分析。
绘制图表
将处理后的数据绘制成图表，如时域波形图、 频谱图等，以便观察和分析。
大学物理机械振动ppt资料
x
o
to
o
t
t
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x Acost
A为位移振幅
v
dx dt
Asint
vm
cos(t
2
)
vm A为速度振幅
a
d2x dt 2
2 Acost
am
cos(t
)
am 2 A为加速度振幅
a 2x
上一页 下一页
x （a）o
v （b）o
T
t1 t2
t1
t2
a （c）o
t1 t2
t3 t
（2）
将
动
力
学
方
程
变
为d 2x dt 2
2
x
0的
形
式
，
如 果 能 化 为 这 种 形 式 ，也 就 证 明 了 振 动 为 简 谐振 动 。
（3）由动力学方程写出, 求出周期T或频率。
上一页 下一页
例 . 确定单摆固有角频率 及周期T。
解：根据牛顿第二定律
Ft mg sin
当很小时，sin
d 2
dt 2
g
l
0
ml
d 2
dt 2
mg
ml
l
et
d 2
m
dt2 Ft mg
单摆的小角摆
g
l
T 2 l
g
动是简谐振动
微分方程的解为 0 cost
上一页 下一页
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例: 确定复摆 ( 5 )的固有周期T。
M mgl sin mgl
mgl
J
d 2
dt 2
o
d 2
dt 2
o
to
o
t
t
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x Acost
A为位移振幅
v
dx dt
Asint
vm
cos(t
2
)
vm A为速度振幅
a
d2x dt 2
2 Acost
am
cos(t
)
am 2 A为加速度振幅
a 2x
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x （a）o
v （b）o
T
t1 t2
t1
t2
a （c）o
t1 t2
t3 t
（2）
将
动
力
学
方
程
变
为d 2x dt 2
2
x
0的
形
式
，
如 果 能 化 为 这 种 形 式 ，也 就 证 明 了 振 动 为 简 谐振 动 。
（3）由动力学方程写出, 求出周期T或频率。
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例 . 确定单摆固有角频率 及周期T。
解：根据牛顿第二定律
Ft mg sin
当很小时，sin
d 2
dt 2
g
l
0
ml
d 2
dt 2
mg
ml
l
et
d 2
m
dt2 Ft mg
单摆的小角摆
g
l
T 2 l
g
动是简谐振动
微分方程的解为 0 cost
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例: 确定复摆 ( 5 )的固有周期T。
M mgl sin mgl
mgl
J
d 2
dt 2
o
d 2
dt 2
大学物理——机械振动
2.小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动
切向运动
mg sin ma t
at
R
d 2
R dt 2
很小 sin
d 2 g
dt 2
0 R
mg mR
令2 g R
d 2O dt 2
mg
d 2 dt 2
2
0
简谐振动
振动的角频率 和周期分别为：
0
g R
T 2 2 R
0
g
四、简谐振动的能量
x 2
A1
y A2
cos ( 2
1
)
sin2 (2
1
)
(2)2 1
( x y )2 0 A1 A2
y A2 x A1
合振动的轨迹为通过原点且
y
在第二、第四象限内的直线
x
斜率 A2 A1
x A1 cos(t ) y A2 cos(t )
质点离开平衡位置的位移
S x2 y2 A12 A22 cos(t )
A 0.098m 10rad / s
(2)按题意 t=0 时 x0=0，v0>0
m
O
x0=Acos0=0 , cos0=0 0=/2 ,3/2
x
v0=-Asin>0 , sin 0 <0, 取0=3/2
x=9.810-2cos(10t+3/2) m
x
对同一谐振动取不同的计时起点不同，但、A不变
方法2：用旋转矢量法辅助求解。 v(cms1)
x Acos(t )
31.4
v Asin(t )
15.7
vm cos(t 2) vm A 31.4cms1
0 15.7
大学物理-振动
第四章 振动与波动
中国国家管弦乐团在联合国总部的演出
引言
振动与波动是密切联系的物理现象。振动是 产生波动的根源，波动是振动在空间的传播。过 去，人们习惯于将振动与波动纳入力学的范畴， 实际上振动与波动的内容贯穿在力学、电磁学、 光学乃至量子力学之中。机械振动在介质中的传 播形成机械波，电磁振动在空间的传播形成电磁 波。虽然机械振动和机械波与电磁振动和电磁波 在本质上有所不同，但它们的变化规律是类似的。 因此，本章讨论机械振动和机械波的基本规律， 但这些规律的意义绝不局限于力学，它是研究光 学、量子力学乃至整个物理学的基础。
简谐运动方程中A、ω、φ分别被称为振幅、 圆频率和初相位.它们描述了振动的最大 位移、单位时间内的往返次数和振动点 的初始位置. 从简谐运动方程中可以看到：
简谐振动的振幅为一与时间和频率无关 的常数;而位移是按周期在有限区域内的 往复变化,并且和初始位置有关.
振幅、圆频率和初相位是决定振动具体 位移大小和速度大小的决定性参数,所以 称为振动三要素.
心坐标为x: 木L3g 水L2hg F 木L3g 水L2 (h x)g
水L2 gx kx 是简谐振动
2.简谐振动的数学模型
d2x 2x 0
dt 2
频率
2
F ma
a
d2x dt 2
F kx
角频率（angular frequency）
k
m
（1）模型的解——位移与时间的关系
d2x dt 2
解：选坐标系；分析受 力；列方程，
F mg vg
2x
d
2
g
2
1 d 2g x kx
2
是简谐振动
例题2。一立方体木块浮于静止的水面上， 其浸在水中部分的高度为h。现用手指将其 稍稍压下，使浸在水中部分的高度变为b.放 手后木块将在水面上下作振动，此振动是 否为简谐振动？
中国国家管弦乐团在联合国总部的演出
引言
振动与波动是密切联系的物理现象。振动是 产生波动的根源，波动是振动在空间的传播。过 去，人们习惯于将振动与波动纳入力学的范畴， 实际上振动与波动的内容贯穿在力学、电磁学、 光学乃至量子力学之中。机械振动在介质中的传 播形成机械波，电磁振动在空间的传播形成电磁 波。虽然机械振动和机械波与电磁振动和电磁波 在本质上有所不同，但它们的变化规律是类似的。 因此，本章讨论机械振动和机械波的基本规律， 但这些规律的意义绝不局限于力学，它是研究光 学、量子力学乃至整个物理学的基础。
简谐运动方程中A、ω、φ分别被称为振幅、 圆频率和初相位.它们描述了振动的最大 位移、单位时间内的往返次数和振动点 的初始位置. 从简谐运动方程中可以看到：
简谐振动的振幅为一与时间和频率无关 的常数;而位移是按周期在有限区域内的 往复变化,并且和初始位置有关.
振幅、圆频率和初相位是决定振动具体 位移大小和速度大小的决定性参数,所以 称为振动三要素.
心坐标为x: 木L3g 水L2hg F 木L3g 水L2 (h x)g
水L2 gx kx 是简谐振动
2.简谐振动的数学模型
d2x 2x 0
dt 2
频率
2
F ma
a
d2x dt 2
F kx
角频率（angular frequency）
k
m
（1）模型的解——位移与时间的关系
d2x dt 2
解：选坐标系；分析受 力；列方程，
F mg vg
2x
d
2
g
2
1 d 2g x kx
2
是简谐振动
例题2。一立方体木块浮于静止的水面上， 其浸在水中部分的高度为h。现用手指将其 稍稍压下，使浸在水中部分的高度变为b.放 手后木块将在水面上下作振动，此振动是 否为简谐振动？
大学物理-振动和波ppt课件
直观展示简谐振动各参量的关系，便于确
定的象限
便于对两个或多个简谐振动进行比较 便于处理简谐振动叠加问题
讨论 ➢ 相位差：表示两个相位之差 .
1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状
x x态 间A A 变c c化o o 所tt需2 1 s s 的 (( 时) )间 . t ( t t2 2 t1 ) ( t 1 )
弹性势能
简谐振动系统机械能守恒，各时刻的机械能均
等于起始能量E0 (t 0 时输入的能量)。
24
谐振系统中动能、势
E
E
Ep
能间的关系如右图：
Ek
• 由起始能量求振幅：
x
t
A 2E 2E0
k
k
t
2. 谐振系统的平均动能和平均势能 周期函数 f(tT)f(t)在一个周期内的平均值:
1 tT
f
T
而是具有向右的初速度 v00.30ms，1求其运动方程.
解 A＇ x02v022 0.070m7
tan＇v0 1 x0
＇π 或3π
44
o π 4 x
A＇
因为 v0 0，由旋转矢量图可知 ＇ π4
xA cots ()(0.07m 0 )c7o6s.0s[1()tπ] 4
例2 一质量为 0.01kg的物体作简谐运动，其振
簧的劲度系数 k0.7N 2m 1 ，物体的质量 m20g.
（1）把物体从平衡位置向右拉到 x0.05m处停
下后再释放，求简谐运动方程； （2）求物体从初位置运动到第一次经过
A
处时的
速度；
2
（3）如果物体在 x0.05m处时速度不等于零，
而是具有向右的初速度 v00.30ms，1求其运动方程.
定的象限
便于对两个或多个简谐振动进行比较 便于处理简谐振动叠加问题
讨论 ➢ 相位差：表示两个相位之差 .
1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状
x x态 间A A 变c c化o o 所tt需2 1 s s 的 (( 时) )间 . t ( t t2 2 t1 ) ( t 1 )
弹性势能
简谐振动系统机械能守恒，各时刻的机械能均
等于起始能量E0 (t 0 时输入的能量)。
24
谐振系统中动能、势
E
E
Ep
能间的关系如右图：
Ek
• 由起始能量求振幅：
x
t
A 2E 2E0
k
k
t
2. 谐振系统的平均动能和平均势能 周期函数 f(tT)f(t)在一个周期内的平均值:
1 tT
f
T
而是具有向右的初速度 v00.30ms，1求其运动方程.
解 A＇ x02v022 0.070m7
tan＇v0 1 x0
＇π 或3π
44
o π 4 x
A＇
因为 v0 0，由旋转矢量图可知 ＇ π4
xA cots ()(0.07m 0 )c7o6s.0s[1()tπ] 4
例2 一质量为 0.01kg的物体作简谐运动，其振
簧的劲度系数 k0.7N 2m 1 ，物体的质量 m20g.
（1）把物体从平衡位置向右拉到 x0.05m处停
下后再释放，求简谐运动方程； （2）求物体从初位置运动到第一次经过
A
处时的
速度；
2
（3）如果物体在 x0.05m处时速度不等于零，
而是具有向右的初速度 v00.30ms，1求其运动方程.
大学物理机械振动(课堂PPT)
k , k串k,串, k并k,并
m
.
12
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t :相 位 ， 或 位 相(r， ad)或相相 位决定谐振子某
: t 0时的相,称 位为初. 相一瞬时的运动状态
: 相位差,即两个相位之差。
1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状
态间变化所需的时间.
t t2
t1
(t2) (t1)
4 上一页 下一页
要定义或证明一个运动是简谐振动，可以从 是否满足下面三个方程之一为依据。
Fkx
d2x dt2
2x
0
动力学特点
x A c o t s
运动学特点
某物理量如果满足后两个方程，那么这个物理量
是简谐振动量。
.
5
上一页 下一页
A （振幅决定谐振子运动的范围）
振子偏离平衡位 大置 位的 移最 的绝对 m）值
T
对于弹 :簧 k振 , T 子 2 m, 1 k
m
k 2 m
☆ 确定振动系统周期的方法：
（1）分析受力情F况 m，a或M 由J,写出动力学
（2）将动力学方dd2程 t2x变 2x为 0的形式，
如果能化为这种 也形 就式 证， 明了振动 振为 动
（3）由动力学方程 , 求写出出周T或 期频率 。
cos x0 0
A
sin v0 0
2
A
物体的振动 x方 0.1c程 o1st0 为 ： m
.
2 19
上一页 下一页
振 A 幅 矢 A 的 量长
角频率 矢量逆时针匀角 速速 度 旋转的
周 期 T矢 量 旋 转 一 圈 所 T需 2 时 间
频率 矢量单位时间内圈旋数转的P
第四章第1节 简谐振动的描述
3. 相位、初相
x A cos(t )
定义：相位—— t 初相—— 相位表征任意时刻t，振子的运动状态。 d 和时间一一对应。 dt
初相表征初始时刻振子的运动状态。
1）质点的振动状态完全由相位确定
x =Acos( t+ )
dx A sin( t ) dt ( t+ )=0, x=A,=0 —正最大
力与势能的关系： F E p
dE p 则 dx 0 x 0 泰勒展开式一般形式： 2 2+· d E 1 f(x）=f(x0)+f(x0)'(x-x )+[f(x )''/2 ！ ](x-x ) · · + p 2 0 0 0 E p ( x ) E p ( 0) x 2 2 d x x 0
2）振动的超前与落后
设有两个同频率的谐振动：
x1=A1cos( t+1) x2=A2cos( t+2)
>0, 振动x2超前x1(2 -1 ) 相差 =2 -1 =0, 振动x2和x1同相 <0, 振动x2落后x1(︱2 -1︱) =, 振动x2和x1反相
x1=A1cos( t+1) x2=A2cos( t+2)
动，即为简谐振动。 三种定义方式： 从回复力与位移的关系定义: F kx 从动力学方程定义: a 2 x 从运动学方程定义: x A cos(t ) 证明某一物体的运动是简谐振动，可以从上述三方 面之一给予证明。
例题4.1 证明匀速圆周运动在x轴上的分量是一简谐振动
证明：设物体以的角速度作匀速圆周运动
x0 0
一象限 三象限
大学物理振动和波动ppt课件(2024)
大学物理振动和波动 ppt课件
2024/1/28
1
目录
2024/1/28
• 振动基本概念与分类 • 波动基本概念与传播特性 • 振动与波动相互作用原理 • 光学中振动和波动现象解析 • 声学中振动和波动现象解析 • 总结与展望
2
01 振动基本概念与分类
2024/1/28
3
振动的定义及特点
振动的定义
振幅
声源振动的幅度用振幅表示，振幅越大，声音的 响度越大。
3
相位
声波在传播过程中，各质点的振动状态用相位描 述。相位差反映了声波在空间中的传播情况。
2024/1/28
25
室内声学环境评价指标体系
响度
音调
人耳对声音强弱的主观感受称为响度，与 声源的振幅和频率有关。
人耳对声音高低的主观感受称为音调，与 声源的频率有关。
物体在平衡位置附近所做的往复运动。
振动的特点
周期性、重复性、等时性。
2024/1/28
4
简谐振动与阻尼振动
2024/1/28
简谐振动
物体在回复力作用下，离开平衡位置 后所做的往复运动，其回复力与位移 成正比，方向相反。
阻尼振动
在振动过程中，由于摩擦、空气阻力 等因素，振幅逐渐减小的振动。
5
受迫振动与共振现象
传播途径控制
在噪声传播途径中采取措施，阻断或减弱噪声的传播。例如设置声屏 障、采用吸音材料等。
接收者防护
对受噪声影响的人员采取防护措施，如佩戴耳塞、耳罩等个人防护用 品。
案例分析
以某工厂噪声控制为例，通过采取上述综合措施，使工厂噪声降低到 国家标准以内，改善了工人的工作环境和周边居民的生活环境。
27
2024/1/28
1
目录
2024/1/28
• 振动基本概念与分类 • 波动基本概念与传播特性 • 振动与波动相互作用原理 • 光学中振动和波动现象解析 • 声学中振动和波动现象解析 • 总结与展望
2
01 振动基本概念与分类
2024/1/28
3
振动的定义及特点
振动的定义
振幅
声源振动的幅度用振幅表示，振幅越大，声音的 响度越大。
3
相位
声波在传播过程中，各质点的振动状态用相位描 述。相位差反映了声波在空间中的传播情况。
2024/1/28
25
室内声学环境评价指标体系
响度
音调
人耳对声音强弱的主观感受称为响度，与 声源的振幅和频率有关。
人耳对声音高低的主观感受称为音调，与 声源的频率有关。
物体在平衡位置附近所做的往复运动。
振动的特点
周期性、重复性、等时性。
2024/1/28
4
简谐振动与阻尼振动
2024/1/28
简谐振动
物体在回复力作用下，离开平衡位置 后所做的往复运动，其回复力与位移 成正比，方向相反。
阻尼振动
在振动过程中，由于摩擦、空气阻力 等因素，振幅逐渐减小的振动。
5
受迫振动与共振现象
传播途径控制
在噪声传播途径中采取措施，阻断或减弱噪声的传播。例如设置声屏 障、采用吸音材料等。
接收者防护
对受噪声影响的人员采取防护措施，如佩戴耳塞、耳罩等个人防护用 品。
案例分析
以某工厂噪声控制为例，通过采取上述综合措施，使工厂噪声降低到 国家标准以内，改善了工人的工作环境和周边居民的生活环境。
27
大学物理4-1 简谐振动的动力学特征
第4章 机械振动
a x
积分常数，根据初始条件确定
x A cos(t )
T 2π
A A
x
x t 图
T
取 0
o
t
t
v A sin(t )
A
v
v t 图
T
π A cos( t ) 2
a A 2 cos(t )
0
an
π t 0 2
A
vm A
v a
an A
2
x
x A cos(t 0 )
π v A cos( t 0 ) 2
a A cos(t 0 )
2
第4章 机械振动
第4章 机械振动
用旋转矢量图画简谐运动的
x
A
0
P
2
三 简谐振动的旋转矢量表示法
2π T
当
t t+ 0时 0
0
A
t=t
A
x0
以 o为 原点旋转矢
量 A的端点
在
o
x
x 轴上的
投影点的运 动为简谐运 动.
x0 A cos 0
第4章 机械振动
x A cos( t t t
即
2
① ② ③ ④ ⑤ J d x (m 2 ) 2 kx 0 R dt
2
d x k x0 2 2 dt m I / R
所以，此振动系统的运动是谐振动.
第4章 机械振动
(2) 振动系统的圆频率
k m J / R2
T 2 2 m J / R2 k
a x
积分常数，根据初始条件确定
x A cos(t )
T 2π
A A
x
x t 图
T
取 0
o
t
t
v A sin(t )
A
v
v t 图
T
π A cos( t ) 2
a A 2 cos(t )
0
an
π t 0 2
A
vm A
v a
an A
2
x
x A cos(t 0 )
π v A cos( t 0 ) 2
a A cos(t 0 )
2
第4章 机械振动
第4章 机械振动
用旋转矢量图画简谐运动的
x
A
0
P
2
三 简谐振动的旋转矢量表示法
2π T
当
t t+ 0时 0
0
A
t=t
A
x0
以 o为 原点旋转矢
量 A的端点
在
o
x
x 轴上的
投影点的运 动为简谐运 动.
x0 A cos 0
第4章 机械振动
x A cos( t t t
即
2
① ② ③ ④ ⑤ J d x (m 2 ) 2 kx 0 R dt
2
d x k x0 2 2 dt m I / R
所以，此振动系统的运动是谐振动.
第4章 机械振动
(2) 振动系统的圆频率
k m J / R2
T 2 2 m J / R2 k
单摆机械振动的能量与合成.ppt
x＝Acos cos t Asin sin t
＝Acos t
1、应用解析法
x x1 x2
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
＝A1 cos t 1 ＋A2 cos t 2
A1 cos1 A2 cos2 cos t A1 sin1 A2 sin2 sin t
二、同方向不同频率的简谐振动的合成
质点同时参与两个不同频率且在同一条直线上的简谐振动
A
x1 A1 cos 1t 1 x2 A2 cos 2t 2
2 A2
合振动 假设Βιβλιοθήκη A1x A2
xA1 0，x12
2
0
1 A1
1 2 1 2
1 2
mA 2
2
sin2 t
＋ 1
2
kA2
cos2 t
简谐运动的能量与振幅的平方成正比
二、应用
•振幅
1 2
mv
2 0
1 2
kx02
1 2
kA2
•简谐运动方程
d2 x m v dt 2 k xv 0
d2x k dt 2 m x 0
d
dt Ek E p 0
x2 A12
y2 A22
2 xy A1 A2
cos 2
1
sin2 2
1
是个椭圆方程，具体形状由相位差决定。
讨论1
2 1 0
x2 y2 2xy A12 A22 A1 A2 0
y A2 x A1
大学物理教程课件讲义周期震动
。
图4.16
4.6 受迫振动 共振
阻尼振动中的振幅在减小，要维持有阻尼的振动系 统等幅振动，必须给振动系统不断地补充能量。如果对 振动系统施加一个周期性的外力，其所发生的振动称为 受迫振动。这个周期性外力称为策动力。许多实际的振 动属于受迫振动，如声波引起耳膜的振动、机器运转时 引起基座的振动等。
如果两个简谐振动的振动方向相同而频率不同，那 么它们的合振动虽然仍与原来的振动方向相同，但不再 是简谐振动。下面先用解析法对其合成进行定量讨论。
为了使问题简化，假设两个简谐振动的振幅都为A， 初相都为φ
x1=Acos (2πν1t+φ) x2=Acos (2πν2t+φ)
4.4 简谐振动的合成
上式不符合简谐振动的定义，所以合振动不再是简谐振动。这样振幅就 随时间变化，且具有周期性，表现出振动忽强忽弱的现象，如图4.14所示。
例4.4 一简谐振动的振 动曲线如图4.8(a)所示。求角 频率ω、初相φ及简谐振动的 运动方程。由振动曲线可以看 出，t=0时，x0=0，v0>0，与此 状态相对应的旋转矢量如图 4.8 (b) 所示。
图4.8 例4.4图
4.3 旋转矢量法
依据初始条件由旋转 矢量法来确定初相φ.如图 4.9所示，满足x0=0.06 m条 件，有P和Q两个点，但是 只有P点在x轴的投影沿x正 向运动。
4.5 阻尼振动
前几节讨论的简谐振动都是在不计能量损耗条件下的理想 情况。实际上，弹簧振子、单摆、复摆这类机械振动系统在振 动过程中不可避免地要受到空气阻力等摩擦阻力作用。而在LC 电路这类电磁振荡系统中，线圈和导线不可能完全没有电阻。 所以，在振动过程中，机械能或电磁能总要逐渐转化为热量耗 散掉。这样的能量损耗作用称为摩擦阻尼或电磁阻尼。
图4.16
4.6 受迫振动 共振
阻尼振动中的振幅在减小，要维持有阻尼的振动系 统等幅振动，必须给振动系统不断地补充能量。如果对 振动系统施加一个周期性的外力，其所发生的振动称为 受迫振动。这个周期性外力称为策动力。许多实际的振 动属于受迫振动，如声波引起耳膜的振动、机器运转时 引起基座的振动等。
如果两个简谐振动的振动方向相同而频率不同，那 么它们的合振动虽然仍与原来的振动方向相同，但不再 是简谐振动。下面先用解析法对其合成进行定量讨论。
为了使问题简化，假设两个简谐振动的振幅都为A， 初相都为φ
x1=Acos (2πν1t+φ) x2=Acos (2πν2t+φ)
4.4 简谐振动的合成
上式不符合简谐振动的定义，所以合振动不再是简谐振动。这样振幅就 随时间变化，且具有周期性，表现出振动忽强忽弱的现象，如图4.14所示。
例4.4 一简谐振动的振 动曲线如图4.8(a)所示。求角 频率ω、初相φ及简谐振动的 运动方程。由振动曲线可以看 出，t=0时，x0=0，v0>0，与此 状态相对应的旋转矢量如图 4.8 (b) 所示。
图4.8 例4.4图
4.3 旋转矢量法
依据初始条件由旋转 矢量法来确定初相φ.如图 4.9所示，满足x0=0.06 m条 件，有P和Q两个点，但是 只有P点在x轴的投影沿x正 向运动。
4.5 阻尼振动
前几节讨论的简谐振动都是在不计能量损耗条件下的理想 情况。实际上，弹簧振子、单摆、复摆这类机械振动系统在振 动过程中不可避免地要受到空气阻力等摩擦阻力作用。而在LC 电路这类电磁振荡系统中，线圈和导线不可能完全没有电阻。 所以，在振动过程中，机械能或电磁能总要逐渐转化为热量耗 散掉。这样的能量损耗作用称为摩擦阻尼或电磁阻尼。
大学物理课件0机械振动[优质ppt]
![大学物理课件0机械振动[优质ppt]](https://img.taocdn.com/s3/m/af7ffb6cf01dc281e53af0e1.png)
1 4
kA2
1
Ek Ep 2 E
在一个周期内的平均动能与平均势能相
等，各是总能量的一半。
10.3 简谐运动的合成
一、同频率同方向简谐振动合成
特点: ω1=ω2=ω , x1 // x2 表示: 对如下两个振动
x1 A1 cos(t 1)
x2 A2 cos(t 2)
简谐函数形式，称为简谐运动。
弹簧振子 单摆 复摆
二、基本特征
以弹簧振子为例, 振子受力是
F kx
由牛顿第二定律得
F弹 x
a
d2x dt 2
F m
k m
x
2x
ox
式中: 2 k (ω称为角频率）
m
物体受力和加速度与位移 x 成正比,
且方向相反（动力学特征）
上式可以改写为微分方程形式
对同频情况：φ φ2 φ1
1o Δ 反映两振动的步调情况： Δ =0（或2π整数倍)，同步振动 Δ =π（或π奇数倍），振动步调相反 Δ >0, x2振动超前; Δ <0, x1振动超前
2o 两振动到达同一状态的时间差是
(ωt2 φ2 ) (ωt1 φ1 )
t
振动：任何一个物理量在某一数值 定 附近作周期性的变化，称为振动； 义
机械振动：物体在一定位置附近作 来回往复的运动，称为机械振动。
M (t T ) M (t) x(t T ) x(t)
简谐振动； 简谐振动合成； 阻尼振动、受迫振动、共振。
10.1 简谐运动
一、简谐运动（Simple Harmonic Motion) 物体在一定位置附近的位移变化满足
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令 2 k
m
动力学方程
d2 dt
x
2
2
x
0
4
二、微振动的简谐近似
1. 单摆
c
平衡位置为坐标原点 恢复力矩 M mglsin 泰勒级数展开
l l
T
sin 1 3 1 5
3! 5!
mg
m 0
线性恢复力矩 M mgl
M I I m l2
ml
2
d 2
dt 2
mgl
2 g
l
振动是一种普遍的运动形式
机械振动: 物体在某固定位置附近的往复运动, 是物体一种普遍的运动形式 .
广义振动:任何一个物理量在某一量值附近随 时间作周期性变化.
振动分类
受迫振动
共振
振动 自由振动 阻尼自由振动 无阻尼自由非谐振动
无阻尼自由振动 无阻尼自由谐振动
(简谐振动)
2
§4.1 简谐振动的动力学特征
Acos(t 0 2 )
9
周期T：
T 2
频率：
1 T 2
圆频率: 2
固有圆频率：仅由振动系统的力学性质所决定频率
弹簧振子
固有圆频率
k
m
固有振动周期
T 2 m
k
单摆
g
l
T 2 l
g
复摆
mgh
I
T 2 I
m gh
10
3. 位相和初位相
(1) 能唯一确定系统运动状态，而又能反映其周期性 特征的的物理量
t 时刻
t=0 时刻
0
O x x0 X
x Acos(t 0 )
用旋转矢量定相位 例： x0 = A/2 =? 0 > 0 答：
3
旋转矢量的端点 在坐标轴上的投影才 是谐振动
m
x0
0
x
m
13
用旋转矢量表示相位关系
A2
A1
A2 A1
0
x
0
x
2 1
0 同步
旋转矢量与振动曲线
动力学方程
d 2
dt 2
2
0
5
2.复 摆 M mghsin
M mgh
I
d 2
dt 2
mgh
令2 mgh
I
d 2
dt 2
2
0
o h c
F
6
例: 弹簧下面悬挂物体，不计弹簧重量和阻力，试证 其在平衡位置附近的振动是谐振动。
证：以平衡位置0为原点，向下为x轴正向 △l 是弹簧挂上重物后的静伸长
d2x dt 2
m
k I
/
R2
x
0
所以，此振动系统的运动是谐振动 16
(2) 系统的振动周期
2
m
k I
/
R2
T 2 2 m I / R2
k
(3)已知t＝0时，x0＝－b，0＝0，可求出
A
x02
2 0
2
b
mg k
0
arctan(
0 x0
)
x mg cos( k
m
k I
/
R
2
t
)
17
例：已知如图示的谐振动曲线，试写出振动方程.
两振动步调相反,称反相
0 2 超前于1 或 1滞后于 2
位相差反映了两个振动不同程度的参差错落
谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系
x
Acos( t 0 )
A sin( t 0 )
m
cos(
t
0
2
)
a A2 cos( t 0 ) am cos( t 0 )
12
三、简谐振动的旋转矢量表示法
x
A1
0
x
A2
反相
t
14
例: 如图示，轻质弹簧劲度系数为k，一端系一轻绳，
绳过定滑轮挂一质量为m的物体. 滑轮的转动惯量为I，
半径为R.若物体m在其初始位置时弹簧无伸长，然后
由静止释放.
(1)试证明物体m的运动是谐振动；
(2)求此振动系统的振动周期；
(3)写出振动方程.
b
解: (1)若物体m离开初始位 置的距离为b时,受力平衡.
0 )
2 k
m
EP
1 2
kx2
1 2
kA2
cos2 ( t
0
)
动能和势能的位相差为
2
谐振动的总能量 E Ek E p
E
1 2
kA2
1 2
m 2 A2
1 2
m
m
2 ax
20
x
x=Acos(ωt＋π)
0
t
E
E 1 kA2 2
t
平均动能
1
EK T
T2/
0
x
mg＝kb
T1/
以平衡位置O为坐标原点，
T1
竖直向下为x轴正向
a
受力分析如图
mg
当物体m在坐标x处时
15
对m： mg T1 ma (1)
对滑轮： T1/ R T2/ I (2)
a R
(3)
T1/ T1
(4)
T2/ k(x b)
(5)
联立得 由加速度
kx
(R
I R2
)a
a
d2x dt 2
振动中最简单最基本的是简谐振动 简谐振动:
一个做往复运动的物体，如果其偏离平衡位置
的位移x(或角位移)随时间t按余弦(或正弦)规律变
化的振动
x＝Acos(t＋0)
运动学方程
x 可作广义理解: 位移、电流、场强、温度…
3
一、弹簧振子模型
0x
x
平衡位置为坐标原点
弹性恢复力（线性回复力）
F= -kx
d2x m dt2 kx
=t+ 0 叫做位相, 是描述系统的机械运动状态的物理量
(2)初位相: t=0时的位相0
x0
A cos 0
0
A s in 0
(3)位相差
0
tg 1 (
0 x0
)
两振动位相之差 2 1
当=2k ,k=0,±1,±2…,两振动步调相同,称同相
11
当=(2k+1) , k=0,±1,±2...
解：方法一
x(cm)
设谐振动方程为
4
2
p
x Acos(t 0 )
从图中得：A＝4 cm
0
1 -2
t(s)
-4
t＝0时，x0＝-2 cm，且0＜0，得
2 4 cos0
0 Asin0 0
得
0
2
3
再分析，t＝1 s时，x＝2 cm， >0，
2 4cos( 2 )
3
18
Asin( 2 ) 0
3
得 2 5
33
即 ＝
所以振动方程为 x 4 cos(t 2 )
方法二：用旋转矢量法求解
3
x
2 3
t=0
5 3
x(cm) 4
2
p
0
1
-2
t(s)
-4
19
§4.3 简谐振动的能量
一、简谐振动的能量
振动动能 振动势能
Ek
1 2
m 2
1 2
m2 A2 sin2(t
0)
Ek
1 2
kA2
sin2 (t
kl mg
设某一瞬时m的坐标为x
m
d2x dt 2
k( x
l)
mg
d2x m dt 2 kx
l
0A
x
F
A
动力学方程为
d2 dt
x
2
2
x
0
x
mg
7
§4.2 简谐振动的运动学
一、简谐振动的运动学方程
微分方程
d2 dt
x
2
2
x
0
运动学方程
x Acos(t 0 )
A、由初始条件所决定
1.速度
dx dt
A sin(t
0 )
A2 x2
2.加速度
a
d
dt
A 2 cos( t
0 )
a 2 x
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二. 描述谐振动的三个特征量
1.振幅A
由初始条件决定
t=0
x0
A cos 0
0
Asin0
A
x02
02 2
2. 周期T
完成一次完全振动所需的时间
x Acos(t 0 ) Acos(t T ) 0