垂直于弦的直径教案
垂直于弦的直径教案
《垂直于弦的直径》教案1赣县江口中学康海芯1．教学设计说明：本节课努力实现学生的主体地位，使数学教学成为一种过程教学，教师要注意角色的转变，成为学生学习的组织者、参与者、合作者，教师的责任是为学生创造一种宽松和谐、适合发展的学习环境，创设一种有利于思考、讨论、探索的学习氛围，根据学生的实际水平，选择恰当的教学起点和教学方法．整堂课以思维为主线，充分利用直观教具与学具及计算机辅助教学，让学生充分参与数学学习，融基础性、灵活性、实践性、开放性于一体，通过“实验——观察——猜想——证明——应用”，使学生在获得知识的同时提高兴趣，增强信心，提高能力．2．教学分析（1）教材分析本节是《圆》这一章的重要内容，也是本章的基础．它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性．同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力．所以它在教材中处于非常重要的位置．（2）学情分析处于这一阶段的学生，对于圆的弦、弧等已经了解，但对于它们之间的关系还不太明白，还需要在课堂上进一步引导，达到教学目标．3．教学目标：知识技能：使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题．过程方法：渗透类比、转化、数形结合、方程等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力．情感、态度与价值观：渗透数学来源于实践和事物之间相互统一、相互转化的辩证唯物主义观点，让学生体会几何图形所蕴涵的对称美．4．教学重点和难点：重点:垂径定理及其应用．难点:对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明．5．课时设计两课时．6．教学方法引导发现法和直观演示法．让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验---观察---猜想---证明”的活动，最后得出定理．7．教学过程第一环节情境引入刘师傅遇到了一件麻烦事，因为我校一处圆形下水道破裂，他准备要换新管道，但只知道污水水面宽为60cm ，水面至管道顶部距离为10cm ，你能帮助刘师傅计算一下他应该准备内径多大的管道吗？以我们目前所学知识你是否可以解决这个问题？如果不能，问题出现在哪里？要想解决这个问题，你认为应该有怎样的关系？【设计意图】让学生从实际出发，充分发现问题的存在，再带着问题去思考它们之间的关系，有助于定理的得出．第二环节 定理探究巧手剪一剪将圆沿着圆心O 对折，然后沿着圆的一半轮廓线剪下．展开后是一个完整的圆吗？这说明了什么？圆是轴对称图形它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？巧手折一折1．将刚才折出的直径记为CD ．2．你能折一条与直径CD 垂直的弦吗？3．将弦记为AB ，将垂足记为M ，则有AB ⊥CD 于M ．4．你能发现图中有哪些等量关系？请你说说它们相等的理由．结论证明已知：CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的一条弦，且CD ⊥AB 于M ，求证：AM =BM ， AC BC=， AD BD =．归纳整理垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧．依据垂径定理可以得到下列结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．【设计意图】这样设计培养了学生的观察能力和归纳、概括的思维能力，并使学生领略到圆的对称美，同时发展了学生的符号感，分化了难点．增加学生的兴趣，使学生通过探索发现、思维碰撞，获得对数学最深切的感受，体会成功的乐趣，发展思维能力，富有成就感．第三环节 例题精讲【例1】在⊙O 中，若CD ⊥AB 于M ，AB 为直径，则下列结论不正确的是（ ）A ． AC AD =B ． BCBD = C ．AM =OM D ．CM =DM 分析：画出图形，利用垂径定理来判断结论．解：C【例2】已知⊙O 的直径AB =10，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，OM =3，则CD = ． 分析：画出图形，构造直角三角形，利用勾股定理求解．解：8【例3】在⊙O 中，CD ⊥AB 于M ，AB 为直径，若CD =10，AM =1，则⊙O 的半径是 ． 分析：画出图形，构造直角三角形，利用勾股定理求解．解：13【例4】已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点．你认为AC 和BD 有什么关系？为什么？分析：依据垂径定理模型和等式性质来证明．证明：过O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，则AE ＝BE ，CE ＝DE ．∴ AE －CE ＝BE －DE即 AC ＝BD ．【设计意图】如此设计可调动学生积极性，使其更深入地掌握定理的内涵，提高学生归纳、概括的能力．第四环节 巩固练习1．如图，AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD 于点E ，若CD ＝6，则DE ＝（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，若 ，则CE =DE ．（只需填一个条件）3．如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦，CD ⊥AB ，垂足为M ，则可得出AM =BM ，弧AC =弧BC ，请你按所绘图形再写出另两个结论．4．已知如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，若圆心O 到AB 的距离为3 cm ，则 ⊙O 的半径为 cm ．5．已知⊙O 的直径是50 cm ，⊙O 的两条平行弦AB =40 cm ，CD =48cm ，求弦AB 与CD 之间的距离．参考答案：1．A 2．CD ⊥AB3．答案不唯一，如弧AD =弧BD , △ABC 是等腰三角形4．55．如图所示，包括两种情况：（1）弦AB 和CD 在⊙O 两旁，d =15-7=8cm ，15+7=22cm ；（2）弦AB 和CD 在⊙O 同旁，d =15-7=8cm ．【设计意图】检查学生对基础知识的掌握情况．对垂径定理的理解应用．第五环节 反思升华引导学生从以下几个方面进行小结：（1）你学到了哪些知识？（2）垂径定理有哪些作用？【设计意图】通过归纳总结，使学生优化定理，内化知识．第六环节 课后作业1．如图，O 中，弦AB 的长为6cm ，圆心O 到AB 的距离为4cm ，则O 的半径长为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm2．如图，在⊙O 中， 40AB AC A °=?，，则B Ð=________度．3．如图，⊙O 的半径OA =10㎝，弦AB =16㎝，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为________㎝．4．如图，已知⊙O 的半径为5，弦8AB =，P 是弦AB 上任意一点，则OP 的取值范围是 ．5．如图，BD 是⊙O 的弦，PO ⊥BD 于M 点，PB 、PB 分别交⊙O 于A ，C 点．根据以上条件，写出三个正确结论：① ；② ；③ ．6．如图，在⊙O 中，弦5AB AC ==cm ，8BC =cm ，求⊙O 的半径．参考答案：1．C 2．70 3．64．3≤OP ≤55．答案不唯一，如：PA PC PB PD BPM MPD B D ==∠=∠∠=∠，，，，△PBM ≌△PDM 等．6．连接AO 交BC 于D 点，连接OB ．则BD =4，可以求得AD =3．设OB =r ，得r 2=42＋（r －3）2，解得r =256．板书设计本教案已用于实际教学，反思整节课，我有以下感受：1．注重解决问题策略的多样化．教学中，我努力引导学生通过动手，多手段、多角度地探索，分析问题、解决问题，发展创新意识．2．本节教学虽然达到了预期的效果，但也存在着不足：例如：在学生汇报学习结果时，没有借助其他的教学手段来辅助教学，致使班内理解能力较差的学生没有透彻的理解．从而学困生没有掌握此解题方法，也让他们在解决问题时缺乏了自信心．。
垂直于弦的直径教案
垂直于弦的直径教案
一、教学目标：
1. 学生能够理解并掌握垂直于弦的直径的定义和性质。
2. 学生能够熟练运用垂直于弦的直径定理解决相关问题。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
二、教学内容：
1. 垂直于弦的直径的定义：在圆中，过圆心且与弦垂直的线段称为该弦的直径。
2. 垂直于弦的直径的性质：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧。
3. 垂直于弦的直径定理的应用：通过实例讲解如何运用垂直于弦的直径定理解决问题。
三、教学策略：
1. 导入新课：通过提问或展示相关图片，引导学生回顾圆的基本概念，为学习垂直于弦的直径做好铺垫。
2. 讲解新知：通过讲解和示范，让学生理解垂直于弦的直径的定义和性质，并通过实物模型或动画演示，帮助学生形象地理解垂直于弦的直径的概念。
3. 实践操作：设计一些实际问题，让学生运用垂直于弦的直径定理进行求解，提高学生的实际操作能力和问题解决能力。
4. 课堂小结：总结本节课的主要内容，让学生复述垂直于弦的直径的定义和性质，以及如何运用垂直于弦的直径定理解决问题。
四、教学资源：
1. 教材：《中学数学》
2. 实物模型：圆规、直尺、圆规等
3. 动画演示：利用电脑软件或PPT制作垂直于弦的直径的动画演示。
4. 练习题：设计一些关于垂直于弦的直径的问题，让学生进行实践操作。
五、教学评价：
1. 过程评价：观察学生在实践操作中的表现，了解学生对垂直于弦的直径的理解程度和应用能力。
2. 结果评价：通过课堂小结和课后作业，检查学生对垂直于弦的直径的定义、性质和定理的理解和应用情况。
垂直于弦的直径教案
垂直于弦的直径教案(一)一、素质教育目标（一）知识教学点1．使学生通过观察实验理解圆的轴对称性；2．掌握垂径定理，理解垂径定理的推证过程；3．能初步应用垂径定理进行计算和证明．（二）能力训练点1．培养学生独立思考、勇于创新精神；2．进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力．（三）德育渗透点1．结合本课教学特点，向学生进行美育教育；2．逐步树立已知与未知，一般与特殊的思考方法．二、教学重点、难点和疑点1．重点：垂径定理及应用．2．难点：垂径定理的证明．3．疑点：垂径定理的题设是“直径垂直于弦”，学生容易忽略是“直径”．教师教学中要有意举一些容易错的例子，加深对定理的理解．三、教学步骤（一）明确目标请同学们回答下列问题：1．如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做________；那么这条直线叫做________．2．等腰三角形是轴对称图形吗？3．“圆”是不是轴对称图形？它的对称轴是什么？教师利用提问1．，2．的形式，复习轴对称图形的概念．提问3．的目的是引出本节课的第一个知识点．在学生回答后，引导学生观察电脑演示将圆对折的情形．教师讲解将圆沿着一条直径对折，你观察到了什么情况？这时学生回答，教师板书．圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．接着电脑继续演示，教师讲解：由图7-9（1）中CD为⊙O的直径；变到图7-9（2）中在⊙O上任意取一点A；再变到图7-9（3）从点A作直径CD的垂线交⊙O于另一个交点B．这时我们可以看出图（3）中的点B与点A是否是对称点呢？A、B是关于什么对称．教师进一步提出当直径CD垂直于弦AB，将能得到什么结论呢？这就是本节学习的内容．“7．3垂直于弦的直径（一）”．教师这样引入课题的目的，使学生从认识上初步完成实验——观察——感性——理性的认识过程．逐步学会从实践中引入、从现象中抽象、从事实中概括，从而激发学生的学习动机．（二）整体感知为了使学生进一步通过实验的观察，很快地概括出本课的教学内容，由图7-9（1）可知CD所在直线是⊙O的对称轴；到图7-9（2）从⊙O上取一点A，过点A作直径CD的垂线交⊙O于点B，得到图7-9（3），这时沿着CD折叠，引导学生观察重合部分，学生纷纷猜想结论．通过实验——观察——猜想获得感性认识．这个实验结论是否正确，还需要证明．学生带着一种好奇心，积极主动参与到证明这个结论中去．学生回答证明过程，教师板书．已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．求证：AE=EB，= ，= ．证明：连结OA，OB，则OA=OB．又CD⊥AB，∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是△O的对称轴．所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，、分别和、重合．因此，AE=BE，= ，= ．从而得到圆的一条重要性质．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．教师这样从设计电脑演示的全过程，目的是指导学生注重知识的发生、发展过程．使学生在观察中不知不觉地接受了新知识，既获得了知识，又产生了浓厚的兴趣．（三）重点、难点的教学及目标完成过程垂径定理是由演示实验——观察——感性——理性的全过程．为了使学生能够真正理解垂径定理，引导学生分析垂径定理的题设和结论，加深对定理的认识并强化用数学表达式表示出来：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．〈2〉〈1〉〈3〉〈4〉〈5〉把直径化分为（1）；把垂直于弦化分为（2）；把平分弦化为（3）；平分优弧化为（4）；平分劣弧化分为（5）．为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧．这样做目的是加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混．接着为了巩固垂径定理，引导学生完成下面两道题．例1 如图7-10，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．教师分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，学生回答，教师板书计算过程．解：连结OA，作OE⊥AB，垂足为E．∵OE⊥AB，∴AE=EB．∵AB=8cm，∴AE=4cm．又∵OE=3cm，在Rt△AOE中，∵⊙O的半径为5cm．教师强调：从例1可以知道作“弦心距”是很重要的一条辅助线，弦心距的作用就是平分弦，平分弦所对的弧，它和直径一样．求圆的半径问题，要和弦心距，弦的一半和半径构造出一个直角三角形，和勾股定理联系起来．例2 已知：如图7-11，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证AC=BD．例2由学生分析证明思路，学生板书证明过程．师生共同参与评价．练习1：教材P．78中1题．练习2：教材P．78中2题．练习1，2两道题教师把题打在幻灯片上，由学生上黑板分析思路，学生之间展开评价．这样做给学生充分的表现机会，不是老师牵着学生走，而是学生通过积极思维主动获得知识．最后找两名同学上黑板写出证明过程，其它同学在练习本上完成．每小组派一名学生辅导有问题的学生，使不同层次的学生共同提高．（四）总结、扩展小结由学生完成，教师进一步强调．1．本节课学习的知识点（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理及应用．2．方法上主要学习了（1）垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形．（2）在圆中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距．（3）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足（1）过圆心；（2）垂直于弦；则可得（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧．四、布置作业教材P．84中11、12、13．五、板书设计六、作业参考答案教材P．84中11．作法：1．连结OA，2．过A作弦CD，CD为所求的弦证明：∵OA⊥CD，∴AC=AD．教材P．84中12．证明：作OG⊥EF，垂足为G．教材P．84中13．解：连结OA，作OD⊥AB，垂足为D，交⊙O于E．∵OA=2cm．在Rt△OAD中，∴DE=OE-OD=2-1=1（cm）．答：这条弦中点到这弦所对的劣弧的中点的距离是1cm．。
《垂直于弦的直径》教案
《垂直于弦的直径》教案第一章：导入教学目标：1. 引导学生观察和思考圆中的垂直关系。
2. 激发学生对垂直于弦的直径的兴趣和好奇心。
教学内容：1. 引导学生回顾圆的基本概念和性质。
2. 引导学生观察和思考圆中垂直于弦的直径的特点。
教学活动：1. 引导学生观察和描述圆中的垂直关系。
2. 引导学生思考垂直于弦的直径的性质和特点。
教学评估：1. 观察学生对垂直于弦的直径的兴趣和参与程度。
2. 评估学生对垂直于弦的直径性质的理解和应用能力。
第二章：理论讲解教学目标：1. 帮助学生理解垂直于弦的直径的性质。
2. 引导学生通过几何推理证明垂直于弦的直径的性质。
教学内容：1. 介绍垂直于弦的直径的性质。
2. 引导学生通过几何推理证明垂直于弦的直径的性质。
教学活动：1. 引导学生观察和分析垂直于弦的直径的性质。
2. 引导学生运用几何推理证明垂直于弦的直径的性质。
教学评估：1. 观察学生对垂直于弦的直径性质的理解程度。
2. 评估学生运用几何推理证明垂直于弦的直径性质的能力。
第三章：实例解析教学目标：1. 帮助学生通过实例分析和理解垂直于弦的直径的性质。
2. 培养学生运用垂直于弦的直径性质解决实际问题的能力。
教学内容：1. 提供实例，引导学生分析和理解垂直于弦的直径的性质。
2. 引导学生运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
教学活动：1. 引导学生分析和理解实例中垂直于弦的直径的性质。
2. 引导学生运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
教学评估：1. 观察学生对实例中垂直于弦的直径性质的理解程度。
2. 评估学生运用垂直于弦的直径性质解决实际问题的能力。
第四章：练习与巩固教学目标：1. 帮助学生巩固对垂直于弦的直径的理解和应用能力。
2. 培养学生通过练习题解决问题的能力。
教学内容：1. 提供练习题，引导学生巩固对垂直于弦的直径的理解和应用能力。
教学活动：1. 引导学生独立完成练习题。
2. 引导学生与同伴交流讨论，共同解决问题。
《垂直于弦的直径》教案
《垂直于弦的直径》教案一、教学目标：1. 让学生理解垂直于弦的直径的概念，掌握其性质和判定方法。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学美的感知，培养学生的逻辑思维和空间想象能力。
二、教学内容：1. 垂直于弦的直径的定义及性质。
2. 垂直于弦的直径的判定方法。
3. 应用垂直于弦的直径解决实际问题。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：垂直于弦的直径的性质和判定方法。
2. 教学难点：垂直于弦的直径在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探究垂直于弦的直径的性质和判定方法。
2. 利用几何画板软件，动态展示垂直于弦的直径的特点，增强学生直观感知。
3. 设计具有梯度的练习题，巩固所学知识，提高学生解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入：利用几何画板软件，展示一个圆和一条弦，引导学生思考：如何判断一条直径是否垂直于弦？2. 新课讲解：讲解垂直于弦的直径的定义、性质和判定方法。
3. 例题讲解：分析并解决一些关于垂直于弦的直径的例题，让学生掌握解题方法。
4. 课堂练习：设计一些具有梯度的练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调垂直于弦的直径在几何学中的重要性。
6. 作业布置：布置一些有关垂直于弦的直径的练习题，让学生课后巩固。
7. 课后反思：对本节课的教学效果进行反思，为下一步教学做好准备。
六、教学评价1. 评价目标：通过评价，检查学生对垂直于弦的直径概念、性质和判定方法的掌握程度，以及运用所学知识解决实际问题的能力。
2. 评价方法：课堂提问：检查学生对垂直于弦的直径的基本概念的理解。
练习题解答：评估学生运用性质和判定方法解决问题的能力。
小组讨论：观察学生在团队合作中是否能有效沟通、共同解决问题。
3. 评价内容：学生是否能准确描述垂直于弦的直径的性质。
学生是否能运用判定方法判断一条直径是否垂直于弦。
学生是否能将垂直于弦的直径的知识应用于解决几何问题。
垂直于弦的直径的数学教案
垂直于弦的直径教学目标：1. 理解垂直于弦的直径的概念。
2. 学会使用垂直于弦的直径定理解决问题。
3. 能够应用垂直于弦的直径定理证明几何问题。
教学内容：1. 垂直于弦的直径的定义2. 垂直于弦的直径定理3. 垂直于弦的直径的证明4. 垂直于弦的直径的应用教学准备：1. 教学课件或黑板2. 几何图形工具3. 练习题教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾圆的基本概念和性质。
2. 提问：你们知道什么是直径吗？直径有什么特殊的性质吗？3. 引导学生思考：直径与弦有什么关系？二、垂直于弦的直径的定义（10分钟）1. 介绍垂直于弦的直径的定义。
2. 通过几何图形工具，展示垂直于弦的直径的例子。
3. 解释垂直于弦的直径的性质和特点。
三、垂直于弦的直径定理（10分钟）1. 介绍垂直于弦的直径定理。
2. 通过几何图形工具，展示垂直于弦的直径定理的证明过程。
3. 解释垂直于弦的直径定理的应用和意义。
四、垂直于弦的直径的证明（10分钟）1. 引导学生思考如何证明垂直于弦的直径。
2. 分组讨论，每组设计一个证明方案。
3. 展示各组的证明方案，并解释其合理性。
五、垂直于弦的直径的应用（10分钟）1. 介绍垂直于弦的直径在几何问题中的应用。
2. 通过示例，展示如何使用垂直于弦的直径定理解决几何问题。
3. 让学生尝试解决一些相关的练习题。
教学评价：1. 观察学生在课堂中的参与程度和理解程度。
2. 评估学生在练习题中的表现。
3. 收集学生的反馈意见，以便进行教学改进。
教学延伸：1. 进一步探讨垂直于弦的直径在其他几何问题中的应用。
2. 引导学生思考垂直于弦的直径与其他几何定理的联系。
3. 布置相关的课后作业，巩固学生对垂直于弦的直径的理解。
六、案例分析与问题解决（10分钟）1. 提供几个涉及垂直于弦的直径的实际问题，让学生独立解决。
2. 讨论解决问题的策略，引导学生运用垂直于弦的直径定理。
3. 分析问题解决过程中的关键步骤和思维方法。
数学《垂直于弦的直径》教案
数学《垂直于弦的直径》教案
《垂直于弦的直径》教案
一、教学目标
1. 了解垂直于弦的直径的概念及性质。
2. 掌握垂直于弦的直径的相关定理。
3. 能够应用垂直于弦的直径的相关定理解决实际问题。
二、教学重点
1. 垂直于弦的直径的概念及性质。
2. 相关定理的证明和应用。
三、教学难点
1. 单位圆和圆心角的概念。
2. 定理的证明过程。
四、教学方法
1. 讲授法。
2. 演示法。
3. 讨论法。
五、教学过程
1. 导入
教师用一张圆形卡片向学生展示，并询问学生对圆形的认识及性质。
2. 呈现问题
教师引导学生思考：“在圆内部任取一条弦，如何找到一条过
圆心的直径，使其垂直于弦？”
3. 探究证明
教师呈现“垂直于弦的直径定理”并进行证明过程讲解。
4. 案例分析
教师通过案例分析提出练习题目：在一个半径为R的圆内部，一条长为a的弦与圆心的距离为d（d<R），求证明存在一条
距离圆心为R-a/2的直径与该弦垂直。
请以证明的方式演示这
个问题。
5. 总结与归纳
教师对本节内容进行总结，重点强调垂直于弦的直径的概念、性质及相关定理的应用，加深学生的理解、记忆。
六、教学反思
垂直于弦的直径是圆的重要性质之一，具有广泛的应用，但是学生对单位圆和圆心角这些概念的理解可能会有困难，需要教师耐心讲解。
另外，在教学中要注意将证明思路讲清，让学生理清证明的逻辑，加深对相关定理的理解和应用。
垂直于弦的直径-教案
教案：垂直于弦的直径第一章：引言教学目标：1. 了解垂直于弦的直径的概念。
2. 掌握垂直于弦的直径的性质。
教学内容：1. 引入垂直于弦的直径的定义。
2. 解释垂直于弦的直径的性质。
教学步骤：1. 引入垂直于弦的直径的概念，让学生初步了解。
2. 通过示例，解释垂直于弦的直径的性质，让学生理解并能够应用。
教学评估：1. 提问学生关于垂直于弦的直径的概念和性质的理解。
2. 让学生举例说明如何应用垂直于弦的直径的性质。
第二章：垂直于弦的直径的性质教学目标：1. 掌握垂直于弦的直径的性质。
2. 能够应用垂直于弦的直径的性质解决几何问题。
教学内容：1. 回顾垂直于弦的直径的定义。
2. 讲解垂直于弦的直径的性质。
教学步骤：1. 复习垂直于弦的直径的定义，让学生巩固记忆。
2. 讲解垂直于弦的直径的性质，并通过示例进行解释。
3. 让学生进行练习，巩固对垂直于弦的直径的性质的理解。
教学评估：1. 提问学生关于垂直于弦的直径的性质的理解。
2. 让学生解决一些应用题，检验其对垂直于弦的直径的性质的掌握程度。
第三章：垂直于弦的直径的证明教学目标：1. 能够理解和证明垂直于弦的直径的性质。
2. 能够运用证明来解决几何问题。
教学内容：1. 讲解垂直于弦的直径的证明方法。
2. 引导学生进行证明练习。
教学步骤：1. 讲解垂直于弦的直径的证明方法，让学生理解证明的过程。
2. 引导学生进行证明练习，让学生巩固证明方法。
教学评估：1. 提问学生关于垂直于弦的直径的证明方法的理解。
2. 让学生解决一些证明题，检验其对垂直于弦的直径的证明方法的掌握程度。
第四章：垂直于弦的直径的应用教学目标：1. 能够应用垂直于弦的直径的性质解决几何问题。
2. 能够运用证明来解决几何问题。
教学内容：1. 讲解垂直于弦的直径的应用方法。
2. 引导学生进行应用练习。
教学步骤：1. 讲解垂直于弦的直径的应用方法，让学生理解如何应用性质解决几何问题。
2. 引导学生进行应用练习，让学生巩固应用方法。
垂直于弦的直径的数学教案
垂直于弦的直径教学目标：1. 理解垂直于弦的直径的概念。
2. 学会使用垂直于弦的直径定理解决问题。
3. 培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 垂直于弦的直径的概念。
2. 垂直于弦的直径定理的应用。
教学难点：1. 理解垂直于弦的直径定理的证明过程。
2. 灵活运用垂直于弦的直径定理解决实际问题。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 几何图形工具，如直尺、圆规等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入圆的概念，复习圆的基本性质。
2. 提问：你们知道什么是直径吗？直径有什么特点？3. 引导学生思考：直径与弦有什么关系？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解垂直于弦的直径的概念。
2. 通过几何图形演示垂直于弦的直径的特点。
3. 讲解垂直于弦的直径定理及其证明过程。
三、例题解析（15分钟）1. 给出例题，引导学生运用垂直于弦的直径定理解决问题。
2. 分析例题，解释解题思路。
3. 引导学生思考：还有其他解题方法吗？哪种方法更简洁？四、课堂练习（10分钟）1. 给出练习题，让学生独立解答。
2. 引导学生互相讨论，共同解决问题。
3. 讲解答案，解析解题思路。
2. 提问：你们认为垂直于弦的直径在解决圆的问题中有何作用？3. 鼓励学生提出疑问，解答学生的疑问。
教学延伸：1. 引导学生思考：垂直于弦的直径定理在实际生活中有哪些应用？2. 布置课后作业，巩固所学知识。
教学反思：六、深化理解（15分钟）1. 通过动画或实物模型展示，让学生更直观地理解垂直于弦的直径的运动特性。
2. 引导学生思考：在圆的不同位置，垂直于弦的直径的特点是否相同？3. 分析不同位置下的垂直于弦的直径的性质，得出结论。
七、拓展应用（15分钟）1. 给出一些实际问题，让学生运用垂直于弦的直径定理解决。
2. 引导学生思考：如何将实际问题转化为垂直于弦的直径的问题？3. 分析问题，解释解题思路，引导学生独立解决问题。
八、课堂讨论（10分钟）1. 提出一些关于垂直于弦的直径的问题，让学生进行课堂讨论。
24.1.2垂直于弦的直径教案
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“垂直于弦的直径在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，例如：“你们认为这个性质在建筑或工程中可能会有哪些应用？”
24.1.2垂直于弦的直径教案
一、教学内容
《24.1.2垂直于弦的直径》为本章节的教学内容，选自人教版数学九年级下册第二十四章《圆》。本节课主要内容包括：
1.探索圆的性质：垂直于弦的直径。
2.证明垂径定理及其推论。
3.应用垂径定理解决实际问题。
二、核心素养目标
《24.1.2垂直于弦的直径》教学的核心素养目标为：
2.教学难点
-难点内容：
a.理解并证明垂径定理。
b.掌握垂径定理推论的应用。
c.将垂径定理应用于解决复杂的几何问题。
-难点突破：
a.通过动态演示或模型操作，帮助学生直观理解垂径定理。
b.分步骤引导学生进行垂径定理的证明，强调证明过程中的关键步骤。
c.设计不同难度的练习题，从简单到复杂，帮助学生逐步掌握垂径定理的应用。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解垂直于弦的直径的基本概念。垂直于弦的直径是圆内一条特殊的线段，它不仅垂直于弦，而且能够将弦平分成两段相等的部分。这个性质在几何图形的构造和解题中有着重要的作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们有一个圆，弦AB需要被平分，我们可以如何找到能够实现这一点的直径？通过分析，我们可以发现，只需找到垂直于AB的直径CD，就可以轻松完成这个任务。
《垂直于弦的直径》教案
《垂直于弦的直径》教案一、教学目标1. 让学生理解垂直于弦的直径的性质。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的观察能力、推理能力和表达能力。
二、教学内容1. 垂直于弦的直径的性质。
2. 应用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
三、教学重点与难点1. 教学重点：垂直于弦的直径的性质及应用。
2. 教学难点：理解并证明垂直于弦的直径的性质。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生观察、思考、推理。
2. 利用几何画板或实物模型，直观展示垂直于弦的直径的性质。
3. 组织小组讨论，培养学生合作学习的能力。
五、教学过程1. 导入：通过一个实际问题，引发学生对垂直于弦的直径性质的思考。
2. 新课导入：介绍垂直于弦的直径的性质，引导学生观察、推理。
3. 实例讲解：利用几何画板或实物模型，展示垂直于弦的直径的性质。
4. 证明过程：引导学生尝试证明垂直于弦的直径的性质。
5. 练习巩固：布置一些相关练习题，让学生巩固所学知识。
6. 课堂小结：总结本节课的主要内容和垂直于弦的直径的性质。
7. 课后作业：布置一些拓展性作业，培养学生的应用能力。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对垂直于弦的直径性质的理解程度。
2. 练习反馈：收集学生的练习作业，评估其掌握情况。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解其合作能力和解决问题的能力。
七、教学拓展1. 引导学生思考：垂直于弦的直径性质在实际问题中的应用。
2. 推荐相关阅读材料：为学生提供一些关于垂直于弦的直径性质的深入研究文章或书籍。
八、教学反思1. 总结本节课的教学效果：回顾教学过程，评估学生的学习成果。
2. 发现问题与改进措施：分析教学中存在的问题，提出改进措施。
九、课后作业1. 巩固练习：布置一些关于垂直于弦的直径性质的练习题，让学生巩固所学知识。
2. 拓展应用：让学生尝试解决一些实际问题，运用垂直于弦的直径性质。
十、课程资源1. 教学课件：制作精美的课件，辅助教学。
《垂直于弦的直径》教案
24.1.2 垂直于弦的直径一、教学目标（一）学习目标1.探索圆的对称性．2.在探究问题过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些性质，经历探索圆的对称性及其相关性质的过程．3.能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．（二）学习重点垂直于弦的直径所具有的性质以及证明．（三）学习难点利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）圆是轴对称图形，也是中心对称图形（2）圆的对称轴是圆的直径所在的直线，圆的对称中心是圆心2.预习自测（1）如图，AB是⊙的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）=C.∠ACD=∠ADC D.OM=MDA.CM=DMB. CB BD【知识点】垂径定理，勾股定理.=，AC=AD，【解题过程】根据垂径定理得：CM=DM，CB BD由AC=AD得∠ACD=∠ADC，而OM=MD不一定成立.【思路点拨】本题主要考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧. 【答案】D（2）一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB=10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是（）A、16B、10C、8D、6【知识点】垂径定理，勾股定理.【数学思想】数形结合【解题过程】根据垂径定理得出AB=2BC，再根据勾股定理求出从而求得AB=2BC=2×8=16.故选A.【思路点拨】根据勾股定理得到BC的长度，再由垂径定理得到AB.【答案】A（3）如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为（）（A）6 （B）8 （C）10 （D）12【知识点】垂径定理，勾股定理。
【数学思想】数形结合【解题过程】过O作OD⊥AB于D，连接OB，根据垂径定理求出BD=AD=8，在Rt△OBD中，6OD。
故选A。
【思路点拨】根据垂径定理得到BD的长，再根据勾股定理得到OD的长。
【答案】A。
（4）如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D．若AB=，0D=1，则半径OB的长为________．【知识点】垂径定理，勾股定理。
垂直于弦的直径 教案
垂直于弦的直径教案教学目标：1. 理解垂直于弦的直径的概念。
2. 学会运用垂直于弦的直径定理解决问题。
3. 培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 垂直于弦的直径的概念。
2. 垂直于弦的直径定理的应用。
教学难点：1. 理解并证明垂直于弦的直径定理。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 几何图形和工具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾之前学过的知识，如弦的定义、直径的定义等。
2. 提问：你们认为垂直于弦的直径有什么特殊的性质？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍垂直于弦的直径的定义：垂直于弦的直径是指在圆中，经过圆心的直径与弦垂直相交。
2. 讲解垂直于弦的直径定理：在圆中，垂直于弦的直径将弦平分，并且平分弦所对的两条弧。
3. 通过几何图形和实例，解释并证明垂直于弦的直径定理。
三、例题解析（10分钟）1. 给出例题，让学生运用垂直于弦的直径定理解决问题。
2. 引导学生步骤清晰、逻辑严密地解答例题。
四、课堂练习（10分钟）1. 设计一些练习题，让学生独立解答，巩固所学知识。
2. 提供解答过程和答案，让学生自我检查。
五、总结与展望（5分钟）1. 总结本节课所学的主要内容和垂直于弦的直径的应用。
2. 展望下一节课将要学习的内容，激发学生的学习兴趣。
教学反思：本节课通过讲解、例题和练习，让学生掌握垂直于弦的直径的概念和定理，培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
在教学过程中，要注意引导学生积极参与，鼓励学生提问和思考，提高课堂互动性。
布置适量的课后作业，巩固所学知识。
六、课堂拓展（10分钟）1. 引导学生思考：垂直于弦的直径定理在实际生活中有哪些应用？2. 举例说明垂直于弦的直径定理在其他领域的应用，如物理学、工程学等。
七、小组讨论（15分钟）1. 将学生分成小组，每组选择一个与垂直于弦的直径相关的问题进行讨论。
2. 鼓励学生发表自己的观点，互相交流，共同解决问题。
《垂直于弦的直径》参考教案.doc
作业
课堂作业
P888、9、10家庭作业
练习题一份
让学牛冋顾总结，反思 提咼。
•垂径定理在生活中
的应用
如图，你能用什么方法确定这个残缺的圆 的圆心？
先让学生多读题，弄清 题意和条件，iffli岀图 形。
以此问题激发学生学 习的积极性，培养学生 的爱国情。
小组讨论，进行思考， 教师巡视并进行提示 的指导。
小 结 升 华 与 作 业
小结升华
(1)你从本节课屮学到了哪些数学知
识？
(2)学习中你掌握了哪些方法？
情
来说明吗？
题，学生冋顾后进行冋
境
2.在垂径定理及其推论中，条件有几个，
答。
导
结论有儿个？你知道知二得二:的含义
问题2由学牛思考后
入
吗？
进行总结和休会。
新
3.如图，若AB是00（\\
问题3由教师提出，学
课
中的一条弦，而另一iJ
生思考，教师并不急于
条弦CD是它的垂直
得到答案，只是作为问
平分线，则CD过鬪心，即是否是这
题情境，引出木节课的
个圆的直径？如何说明。
内容。
厶
1.垂径定理的其它推论
结合刚才得出的问题，
作
(1)如上图，若弦CD垂直平分另一条
教师引导学生利用圆
教
交
弦AB,则是否可以根据圆的对称
的对称性来解决问题
流
性得到，BC是圆的直径？且CD
lo
学
探
是否平分弦所对优弧和劣弧？
可以继续利用对称性
究
(2)如果条件为CD平分AB所对的优
合等数学思想与方法。
《垂直于弦的直径》教案-数学教案模板范文
《垂直于弦的直径》教案-数学教案模板范文第一章：导入教学目标：1. 引导学生观察和思考圆中的垂直关系。
2. 激发学生对垂直于弦的直径的兴趣和好奇心。
教学内容：1. 通过观察和讨论，引导学生发现圆中垂直于弦的直径的特点。
2. 引导学生思考垂直于弦的直径与圆的性质之间的关系。
教学步骤：1. 引导学生观察和描述圆中的垂直关系，例如直径与弦的垂直关系。
2. 引导学生进行小组讨论，分享他们对垂直于弦的直径的观察和想法。
3. 引导学生思考垂直于弦的直径与圆的性质之间的关系，例如直径的长度是弦的两倍。
教学评价：1. 观察学生对圆中垂直关系的理解和描述。
2. 评估学生在小组讨论中的参与和思考深度。
第二章：基本概念教学目标：1. 让学生掌握垂直于弦的直径的基本概念。
2. 培养学生对垂直于弦的直径的命名和定义。
教学内容：1. 介绍垂直于弦的直径的定义和命名。
2. 解释垂直于弦的直径的性质和特点。
教学步骤：1. 介绍垂直于弦的直径的定义，即直径垂直于弦且通过弦的中点。
2. 解释垂直于弦的直径的命名，例如直径AB垂直于弦CD，可以表示为AB⊥CD。
3. 展示垂直于弦的直径的性质和特点，例如直径的长度是弦的两倍，直径平分弦等。
教学评价：1. 检查学生对垂直于弦的直径的定义和命名的理解。
2. 评估学生对垂直于弦的直径的性质和特点的掌握。
第三章：几何证明教学目标：1. 培养学生对垂直于弦的直径的几何证明能力。
2. 引导学生运用几何证明方法证明垂直于弦的直径的性质。
教学内容：1. 介绍几何证明的方法和步骤。
2. 引导学生运用几何证明方法证明垂直于弦的直径的性质。
教学步骤：1. 介绍几何证明的方法和步骤，例如已知、求证、证明。
2. 引导学生运用几何证明方法证明垂直于弦的直径的性质，例如证明直径的长度是弦的两倍。
3. 提供练习题，让学生独立进行几何证明练习。
1. 评估学生对几何证明方法和步骤的理解。
2. 检查学生对垂直于弦的直径的性质的几何证明能力。
垂直于弦的直径教案
垂直于弦的直径-优秀教案第一章：引言教学目标：1. 让学生了解垂直于弦的直径的概念。
2. 让学生理解垂直于弦的直径的性质和重要性。
教学内容：1. 引入垂直于弦的直径的定义。
2. 解释垂直于弦的直径的性质和证明。
教学方法：1. 使用图形和实物模型来展示垂直于弦的直径。
2. 通过例题和练习题来巩固学生对垂直于弦的直径的理解。
教学评估：1. 通过提问和练习题来检查学生对垂直于弦的直径的理解。
第二章：垂直于弦的直径的性质教学目标：1. 让学生了解垂直于弦的直径的性质。
2. 让学生能够证明垂直于弦的直径的性质。
教学内容：1. 介绍垂直于弦的直径的性质。
2. 解释垂直于弦的直径的性质的证明。
教学方法：1. 使用图形和实物模型来展示垂直于弦的直径的性质。
2. 通过例题和练习题来巩固学生对垂直于弦的直径的性质的理解。
教学评估：1. 通过提问和练习题来检查学生对垂直于弦的直径的性质的理解。
第三章：垂直于弦的直径的证明教学目标：1. 让学生了解垂直于弦的直径的证明过程。
2. 让学生能够独立完成垂直于弦的直径的证明。
教学内容：1. 介绍垂直于弦的直径的证明方法。
2. 解释垂直于弦的直径的证明过程。
教学方法：1. 使用图形和实物模型来展示垂直于弦的直径的证明过程。
2. 通过例题和练习题来巩固学生对垂直于弦的直径的证明的理解。
教学评估：1. 通过提问和练习题来检查学生对垂直于弦的直径的证明的理解。
第四章：垂直于弦的直径的应用教学目标：1. 让学生了解垂直于弦的直径在几何中的应用。
2. 让学生能够运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
教学内容：1. 介绍垂直于弦的直径在几何中的应用。
2. 解释如何运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
教学方法：1. 使用图形和实物模型来展示垂直于弦的直径的应用。
2. 通过例题和练习题来巩固学生对垂直于弦的直径的应用的理解。
教学评估：1. 通过提问和练习题来检查学生对垂直于弦的直径的应用的理解。
《垂直于弦的直径》教案
《垂直于弦的直径》教案一、教学目标1. 让学生理解垂直于弦的直径的性质。
2. 学会运用垂径定理及其推论解决实际问题。
3. 培养学生的观察能力、操作能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧。
2. 垂径定理的推论：垂直于弦的直径平分弦所对的优弧，也平分弦所对的劣弧。
三、教学重点与难点1. 教学重点：垂径定理及其推论。
2. 教学难点：如何运用垂径定理及其推论解决实际问题。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生发现垂直于弦的直径的性质。
2. 利用几何画板软件，动态展示垂直于弦的直径的特点。
3. 运用案例分析法，让学生通过实际例子体会垂径定理及其推论的应用。
五、教学过程1. 导入新课：复习相关知识点，如垂径定理和圆的性质。
3. 案例分析：运用垂径定理及其推论解决实际问题，如圆中的面积计算、线段长度关系等。
4. 巩固练习：设计相关练习题，让学生运用垂径定理及其推论解决问题。
六、教学评价1. 评价目标：学生能理解并熟练掌握垂径定理及其推论。
学生能够运用垂径定理及其推论解决几何问题。
学生能够通过几何画板等工具验证垂径定理。
2. 评价方法：课堂提问：检查学生对垂径定理的理解和应用能力。
练习题：评估学生运用垂径定理解决实际问题的能力。
小组讨论：观察学生在团队合作中的表现和思维过程。
七、教学拓展1. 探讨垂径定理在更一般情况下的应用，例如在非圆几何中的适用性。
2. 介绍垂径定理的历史背景和相关的数学故事，激发学生的兴趣。
3. 引导学生思考如何将垂径定理应用到其他数学领域，如三角函数、坐标几何等。
八、教学资源1. 几何画板软件：用于动态展示垂直于弦的直径的性质。
2. 练习题库：提供多种类型的练习题，供学生巩固所学知识。
3. 数学故事书籍：介绍垂径定理的相关历史背景和故事。
九、教学反思1. 反思教学内容：确保垂径定理的教学内容全面，难易适度，适合学生的学习水平。
2. 反思教学方法：考虑是否有效地运用了问题驱动法和案例分析法，以及学生的参与度。
垂直于弦的直径教学教案
垂直于弦的直径教学教案第一章：引言1.1 教学目标让学生了解垂直于弦的直径的概念。
让学生掌握垂直于弦的直径的性质和定理。
培养学生解决几何问题的能力。
1.2 教学内容介绍垂直于弦的直径的定义。
解释垂直于弦的直径的性质和定理。
演示如何应用垂直于弦的直径的性质解决几何问题。
1.3 教学方法使用几何图形和实物模型进行讲解和演示。
引导学生通过观察和推理得出结论。
提供练习题让学生巩固所学知识。
第二章：垂直于弦的直径的定义2.1 教学目标让学生理解垂直于弦的直径的定义。
2.2 教学内容解释垂直于弦的直径的含义。
强调垂直于弦的直径与弦垂直相交的性质。
2.3 教学方法使用几何图形进行讲解，展示垂直于弦的直径的特点。
让学生通过观察和描述来理解垂直于弦的直径的定义。
第三章：垂直于弦的直径的性质3.1 教学目标让学生掌握垂直于弦的直径的性质。
3.2 教学内容介绍垂直于弦的直径的性质。
解释垂直于弦的直径与弦的中点、圆的半径之间的关系。
3.3 教学方法使用几何图形进行讲解，展示垂直于弦的直径的性质。
引导学生通过观察和推理得出结论。
第四章：垂直于弦的直径的定理4.1 教学目标让学生理解垂直于弦的直径的定理。
4.2 教学内容解释垂直于弦的直径的定理。
展示如何应用定理解决几何问题。
4.3 教学方法使用几何图形进行讲解，展示垂直于弦的直径的定理的应用。
引导学生通过观察和推理得出结论。
第五章：应用垂直于弦的直径解决几何问题5.1 教学目标让学生学会应用垂直于弦的直径的性质和定理解决几何问题。
提供一些应用题，让学生运用垂直于弦的直径的性质和定理解决。
5.3 教学方法引导学生通过画图和推理来解决应用题。
提供解答和解析，帮助学生理解和掌握解题方法。
第六章：巩固练习6.1 教学目标让学生通过练习题巩固对垂直于弦的直径的理解。
6.2 教学内容提供一系列练习题，包括填空题、选择题和解答题。
6.3 教学方法让学生独立完成练习题。
提供解答和解析，帮助学生理解和纠正错误。
垂直于弦的直径教学教案
垂直于弦的直径教学教案一、教学目标1. 让学生理解垂直于弦的直径的概念。
2. 引导学生掌握垂直于弦的直径的性质和定理。
3. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 垂直于弦的直径的定义。
2. 垂直于弦的直径的性质。
3. 垂直于弦的直径的定理。
三、教学重点与难点1. 教学重点：垂直于弦的直径的概念、性质和定理。
2. 教学难点：垂直于弦的直径的证明和运用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解垂直于弦的直径的概念、性质和定理。
2. 利用几何画板或实物模型，展示垂直于弦的直径的性质。
3. 引导学生通过小组讨论，发现垂直于弦的直径的定理。
五、教学过程1. 导入：通过回顾圆的基本概念，引导学生思考垂直于弦的直径的含义。
2. 新课：讲解垂直于弦的直径的概念，引导学生理解其性质。
3. 实践：让学生利用几何画板或实物模型，验证垂直于弦的直径的性质。
4. 探究：引导学生通过小组讨论，发现垂直于弦的直径的定理。
5. 总结：总结本节课的主要内容和知识点，强调垂直于弦的直径的性质和定理。
6. 作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
7. 课后反思：对本节课的教学效果进行反思，为下一步教学做好准备。
六、教学评价1. 评价目标：检查学生对垂直于弦的直径概念、性质和定理的理解及运用能力。
2. 评价方法：课堂提问：检查学生对垂直于弦的直径的基本概念的理解。
练习题：评估学生运用垂直于弦的直径的性质和定理解决问题的能力。
小组讨论：观察学生在小组活动中参与度和合作程度。
七、教学资源1. 几何画板：用于展示垂直于弦的直径的性质和证明。
2. 实物模型：如圆规和直尺，用于直观展示垂直于弦的直径。
3. PPT课件：提供清晰的垂直于弦的直径的示意图和重要知识点。
4. 练习题库：包括不同难度的题目，用于课后练习和巩固知识。
八、教学进度安排1. 第一课时：介绍垂直于弦的直径的概念和性质。
2. 第二课时：讲解垂直于弦的直径的定理及应用。
3. 第三课时：进行实践活动，让学生运用定理解决实际问题。
垂直于弦的直径的数学教案
垂直于弦的直径的数学教案教学目标：1. 理解垂直于弦的直径的概念。
2. 学会使用垂直于弦的直径性质定理。
3. 能够应用垂直于弦的直径解决问题。
教学重点：1. 垂直于弦的直径的概念。
2. 垂直于弦的直径性质定理的应用。
教学难点：1. 理解并证明垂直于弦的直径的性质定理。
第一章：垂直于弦的直径的概念1.1 引入垂直于弦的直径的概念使用几何画图软件或实物模型，展示一个圆和一条弦。
引导学生观察和讨论：在圆中，是否存在一条直径与给定弦垂直相交？1.2 定义垂直于弦的直径给出垂直于弦的直径的定义：在一个圆中，如果一条直径与某条弦垂直相交，这条直径被称为垂直于该弦的直径。
1.3 垂直于弦的直径的性质引导学生观察和讨论：垂直于弦的直径具有哪些特殊的性质？总结出垂直于弦的直径的两个性质：1) 垂直于弦的直径将弦平分。
2) 垂直于弦的直径将弦所对的圆周角平分。
第二章：垂直于弦的直径性质定理2.1 引入垂直于弦的直径性质定理使用几何画图软件或实物模型，展示一个圆和一条弦。
引导学生观察和讨论：在圆中，如何判断一条直径是否垂直于给定弦？2.2 证明垂直于弦的直径性质定理给出垂直于弦的直径性质定理的证明：定理：在一个圆中，如果一条直径垂直平分一条弦，这条直径垂直于该弦。
证明步骤：1) 画出圆和一条弦，以及垂直平分该弦的直径。
2) 标记出直径的两个端点和弦的两个端点。
3) 利用圆的性质，证明直径所对的圆周角是直角。
4) 利用直角的性质，得出直径垂直于弦的结论。
2.3 应用垂直于弦的直径性质定理给出几个应用例子，让学生练习使用垂直于弦的直径性质定理解决问题。
第三章：垂直于弦的直径的应用3.1 引入垂直于弦的直径的应用使用几何画图软件或实物模型，展示一个圆和一条弦。
引导学生观察和讨论：在圆中，如何找到一条垂直于给定弦的直径？3.2 找到垂直于弦的直径的方法给出找到垂直于弦的直径的方法：方法：在一个圆中，要找到一条垂直于某条弦的直径，可以先找到该弦的中点，通过该中点画出一条与弦垂直的线段，该线段即为所求的直径。
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24．1．2 垂直于弦的直径
教学流程安排
学生完成强化练习：（男生完题，女生完成2题）
知排水管的半径
引导学生用圆的轴对称性来解释线段相等和弧相等。
帮助分析并强化垂径定理的条件和结论，重点帮助学生理解定理中的“直径”。
教师导学:1。
圆心O到水面的距离怎样表示？
所要求的边与直角三角形有什么关系？求直角三角形的边通常要用什么定理？
怎样将AB转化为直角三角形的边？转化的依据是什么？
在学生完成强化练习1,2题后，引导总结求弦心距，弦，半径常见的方法。
【教学过程】
一、提出问题
赵州桥的半径是多少？
已知：跨度（即弦长）为37.4m
拱高（即弓形高）为7.2m
求：半径
二、探究圆的轴对称性，得出垂径定理
1、圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．2
吗？
(通过改变对称轴的位置，观察轴对称后弦和弧的变化)
3、垂径定理：
（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 用法：（1）∵直径CD ⊥AB 于点M
∴ AM = BM ，AC=BC ，AD=BD
（2）∵直径CD 平分弦AB 于点M
∴CD ⊥AB ，AC=BC ，AD=BD
分析：（1）定理中的直径（过圆心）的条件能否省略？定理中的垂直于弦的条件能否省略？
（2）为什么要添上“不是直径”这个条件？ 三、 巩固练习，深入思考
1、如图2，AB 所在圆的圆心是点O ，过O 作OC ⊥AB 于点D ，若OD =3 ，弦AB =8 ，
求此圆的半径和弓形高CD ．
*说明：学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，发现若OC ⊥AB ，则有AD =BD ，且△ADO 是直角三角形，在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程．
变题1：如图2，AB 所在圆的圆心是点O ，过O 作OC ⊥AB 于点D ，若CD =4 ，弦AB =16 ，求此圆的半径和弦心距．
变题2：如图2，AB
所在圆的圆心是点O ，半径长为6，过O 作OC ⊥AB 于点D ，若OD =4 ，求弦AB 和弓形高CD 。
在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳：弦长、半径、拱形高、弦心距（圆
2、解决赵州桥的问题
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图2
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3、如图3，已知AB ，请你利用尺规作图的方法作出的AB 中点，说出你的作法．
B
A
师生活动设计：
根据基本尺规作图可以发现不能直接作出弧的中点，但是利用垂径定理只需要作出弧所对的弦的垂直平分线，垂直平分线与弧的交点就是弧的中点．
四、 拓展创新，培养学生思维的灵活性以及创新意识． 解决下列问题
1．银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图7所示，污水水面宽度为60 cm ，水面至管道顶部距离为10 cm ，问修理人员应准备内径多大的管道?
图7 图8
师生活动设计：让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理的基本结构图，进而发展学生的思维． 〔解答〕
如图8所示，连接OA ，过O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，交圆于F ，
则AE =2
1
AB = 30 cm ．令⊙O 的半径为R ，
则OA =R ，OE ＝OF -EF ＝R -10．
在R t △AEO 中，OA 2=AE 2+OE 2，即R 2=302+(R -10)2． 解得R =50 cm ．
修理人员应准备内径为100 cm 的管道．
2．如图5，某条河上有一座圆弧形拱桥ACB ，桥下面水面宽度AB 为7．2米，
桥的最高处点C离水面的高度2．4米．现在有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问：这艘船是否能够通过这座拱桥？说明理由．
A
B
O
A B
图5 图6
学生活动：学生根据实际问题，首先分析题意，然后采取一定的策略来说明能否通过这座拱桥，这时要采取一定的比较量，才能说明能否通过，比如，计算一下在上述条件下，在宽度为3米的情况下的高度与2米作比较，若大于2米说明不能经过，否则就可以经过这座拱桥．
〔解答〕如图6，连接AO、GO、CO，由于弧的最高点C是弧AB的中点，所以得到
OC⊥AB，OC⊥G F，
根据勾股定理容易计算
OE=1．5米，
OM=3．6米．
所以ME=2．1米，因此可以通过这座拱桥．
【归纳小结、布置作业】
小结：垂直于弦的直径的性质，圆对称性．
作业：第88页练习，习题24．1 第1题，第8题，第9题．。