2020年云南省高三文科数学试题(含答案)
2020届云南省红河州高三第三次复习统一检测数学(文)试题(解析版)
2020年红河州第三次高中毕业生复习统一检测理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上的指定的位置用2B 铅笔涂黑，答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1．设集合{}1A x x =>-，{}21B x x =-<≤，则A B ⋂=（ ） A.()1,1-B.(]1,1-C.[]1,1-D.(]2,1-2．i 是虚数单位，复数2i iz =+，则z （ ） A.12i +B.12i -C.1i +D.1i -3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23442a a a ++=，则5S =（ ） A.32B.30C.60D.704．以下说法中正确的是（ ） ①x R ∀∈，210x x -+>； ②若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题：③1x >是220x x +->的充分不必要条件; ④“若x y >，则22x y >”的逆否命题为真命题。
A.①②B.①③C.②③D.③④5．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱。
简单的窗花通常只需“折纸、剪刻”两个步骤即可完成制作．现有一张正方形纸片MNPQ （图1），将其沿对角线NQ 对折得图2，再沿图2中的虚线对折得图3，然后用剪刀沿图3虚线裁剪，则图3展开后所得窗花形状应是（ ）A. B. C. D.6．设m ，n 是空间中不同两条直线，α，β是空间中两个不同的平面，则下列四个命题中，正确的是（ ）A.若//m α，//n β，//αβ，则//m nB.若αβ⊥，m β⊥，则//m αC.若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n βD.若αβ⊥，l αβ⋂=，//m α，m l ⊥，则m β⊥7．执行右图所示程序框图，输出结果为（ ）A.20-B.19-C.19D.208．整数集就像一片浩瀚无边的海洋，充满了无尽的奥秘。
2020年云南省高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(含答案解析)
2020年云南省高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合S={x|x=1}，T={x|ax=2}，若S∩T=T，则常数a的值为()A. 0或2B. 0或1C. 2D. 122.已知复数z=1−1i，则z在复平面上对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.设向量a⃗=(3x,−2)，b⃗⃗═(−6,2)，若a⃗//b⃗⃗，则x=()A. −29B. 29C. −2D. 24.为了得到函数y=3sin(2x−π3)的图象，只需把函数y=3sin2x的图象上所有的()A. 向左平移π3个单位长度 B. 向左平移π6个单位长度C. 向右平移π3个单位长度 D. 向右平移π6个单位长度5.执行如图所示的程序框图．若输入的S=0，则输出的S=()A. 20B. 40C. 62D. 776.一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的体积为()A. 32−4πB. 32−2πC. 64−4πD. 64−2π7. 已知实数x ，y 满足约束条件{−3≥x −4y3x +5y ≤25x ≥1，则z =2x +y 的最大值等于( )A. 10B. 12C. 16D. 228. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，经过点Q(−1,0)作直线l ，l 与抛物线C 在第一象限交于A 、B 两点．若点F 在以AB 为直径的圆上，则直线l 的斜率为( )A. √33B. √22C. 12D. 19. 已知tanα=2，则sin4αcos2α=( )A. ±85B. ±45C. 85D. 4510. 已知正△ABC 的顶点都在球O 的球面上，正△ABC 的边长为2√3.若球心O 到△ABC 所在平面的距离为√5，则球O 的表面积为( ) A. 36π B. 32π C. 36√3π D. 32√3π 11. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 是双曲线C 的右顶点，点M 是双曲线C 的右支上一点，|MF 1|=5a.若△F 2MA 是以∠AMF 2为顶角的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为( )A. 3B. √52C. √31−12D. √33−1212. 已知f(x)=13x 3+m2x 2−6x +1在(−1,1)单调递减，则m 的取值范围为( ) A. [−3,3] B. (−3,3) C. [−5,5] D. (−5,5)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 对总数为N 的一批零件抽取一个容量为40的样本．若每个零件被抽取的概率为0.2，则N 等于______． 14. 已知f(x)=a⋅2x +3a+52x +1，若函数f(x)的图象关于原点成中心对称图形，则常数a 的值为______．15. 已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C.若sin 2A +sin 2B +sinAsinB =sin 2C ，则C 的值是______．16. 已知平行四边形ABCD 的面积为9√3，∠BAD =23π，E 为线段BC 的中点．若F 为线段DE 上一点，且AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+56AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则∣∣→AF ∣∣的最小值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 某老师为了研究某学科成绩优良是否与学生性别有关系，采用分层抽样的方法，从高二年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩(单位：分)，得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定不低于80分为成绩优良．其中30名男生该学科成绩分成以下六组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．成绩优良人数 成绩非优良人数 总计 男生 30 女生 20 总计50附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中n =a +b +c +d ． P(K 2≥k 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87918. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，S n =a n+1，设b n =S n(1+Sn )(1+S n+1)，数列{b n }的前n 项和为T n ．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求T n ．19. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =AC ，M 、N 、D 分别是A 1B 1、A 1C 1、BC 的中点，设M到平面ADN 的距离为m ，A 到平面MDN 的距离为n ． (1)求证：AD ⊥MN ；(2)若三棱柱ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱，AB =AA 1，∠ABC =π6，求mn 的值．20. 已知函数f(x)=ax−lnx+bx．(1)当a =−1，b =5时，求曲线y =f(x)在点(1,4)处的切线方程；(2)当a >1，b ≤−1−ln (a −1)时，求证：曲线y =f(x)与y =1有公共点．21. 已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为√32，F 1、F 2分别为楠圆E 的左、右焦点，点P 在椭圆E 上，以线段F 1F 2为直径的圆经过点P ，线段F 1P 与y 轴交于点B ，且|F 1P|⋅|F 1B|=6．(1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l 与椭圆E 交于M 、N 两点，且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0.求证：动直线l 与圆x 2+y 2=45相切．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2+2cosαy=sinα(α为参数).以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程ρ=√3+cos2θ−sin2θ．(1)直接写出曲线C2的普通方程；(2)设A是曲线C1上的动点，B是曲线C2上的动点，求|AB|的最大值．23.已知f(x)=|2x+1|+|2x+3|，m是f(x)的最小值．(1)求m；(2)若a>0，b>0，且a+b=√3ab，求证：1a2+2b2≥m．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵S∩T=T，∴T⊆S，且S={1}，T={x|ax=2}，①a=0时，T=⌀，满足T⊆S，②a≠0时，T={2a }，则2a=1，解得a=2，∴a=0或2．故选：A．根据S∩T=T可得出T⊆S，从而可讨论a：a=0时，显然满足题意；a≠0时，可得出2a=1，从而可得出a的值．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，元素与集合的关系，空集的定义，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：A解析：解：复数z=1−1i =1−ii2=1+i，故z在复平面上对应的点位于第一象限．故选：A．化简复数可得z=1−1i =1−ii2=1+i，故可得z在复平面上对应的点所在的象限．本题为复数的化简运算和复数在复平面的位置，属基础题．3.答案：D解析：解：向量a⃗=(3x,−2)，b⃗⃗═(−6,2)，若a⃗//b⃗⃗，则2×3x−(−2)×(−6)=0，解得x=2．故选：D．根据平面向量的共线定理，列方程求出x的值．本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题．4.答案：D解析：解：由y=3sin(2x−π3)=3sin2(x−π6)，即把函数y=3sin2x的图象向右平移π6个单位长度可得到函数y=3sin(2x−π3)的图象，故选：D．由三角函数图象的平移可得：把函数y=3sin2x的图象向右平移π6个单位长度可得到函数y=3sin(2x−π3)的图象，得解．本题考查了三角函数图象的平移，属简单题． 5.答案：B解析：解：由题意可知，框图的算法功能是对数列{2n }、{n}求前4项的和， ∴S =2(1−24)1−2+1+2+3+4=40．故选：B ．本题是一个直到型循环结构，算法功能是对数列{2n }、{n}求前4项的和．套公式计算即可． 本题考查了程序框图与数列求和问题，同时考查了学生的运算能力和逻辑推理能力．难度不大． 6.答案：C解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为棱长为4的正方体挖去一个四分之一圆柱， 圆柱的底面半径为2，高为4．则该几何体的体积为4×4×4−14×π×22×4=64−4π．故选：C ．由三视图还原原几何体，可知该几何体为棱长为4的正方体挖去一个四分之一圆柱，圆柱的底面半径为2，高为4.再由棱柱与圆柱的体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 7.答案：B解析：解：如图：作出可行域，目标函数：z =2x +y ，则y =−2x +z ， 当目标函数的直线过点A 时，Z 有最大值．A 点坐标由方程组{−3=x −4y3x +5y =25解得A(5,2)Z max =2x +y =12．故z =2x +y 的最大值为：12； 故选：B ．先根据约束条件画出可行域，设z =2x +y ，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线z =2x +y 可行域内的点B 时，从而得到z =2x +y 的最值即可．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．8.答案：B解析：解：设AB 的斜率为k ，直线方程为：y =k(x +1)，与抛物线y 2=4x 联立，可得k 2x 2+(2k 2−4)x +k 2=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，可得x 1+x 2=4−2k 2k 2，x 1x 2=1，则y 1y 2=√16x 1x 2=4，点F 在以AB 为直径的圆上，FA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，可得(x 1−1,y 1)⋅(x 2−1,y 2)=0， 即x 1x 2−(x 1+x 2)+1+y 1y 2=0， 即1+2k 2−4k 2+1+4=0，解得k =±√22， l 与抛物线C 在第一象限交于A 、B 两点．所以k =√22．故选：B ．设出直线AB 的方程，与抛物线联立，利用点F 在以AB 为直径的圆上，结合韦达定理转化求解即可． 本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 9.答案：C解析：解：由tanα=2， 则sin4αcos2α=2sin2αcos2αcos2α=2sin2α =4sinαcosα =4sinαcosαsin 2α+cos 2α=4tanαtan 2α+1=4×222+1=85． 故选：C ．由题意，利用三角恒等变换和弦化切公式，计算即可．本题考查了三角恒等变换以及三角函数求值问题，是基础题． 10.答案：A解析：解；设正△ABC 的外接圆半径r ， 由正弦定理可得，2√3sin60°=2r ，故r =2，由球的性质可知，R 2=r 2+d 2=4+5=9， 所以球的表面积S =4π×9=36π． 故选：A ．由已知结合正弦定理可先求出三角形ABC 外接圆的半径，然后结合球的性质R 2=r 2+d 2可求R ，代入球的表面积公式即可求．本题主要考查了球的性质及球的表面积公式的简单应用，属于基础试题． 11.答案：D解析：解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 是双曲线C 的右顶点，点M 是双曲线C 的右支上一点，|MF 1|=5a.若△F 2MA 是以∠AMF 2为顶角的等腰三角形， 可得：√25a 2−(3c+a 2)2=√9a 2−(c−a 2)2， 可得：8a 2=c 2+ac ，e 2+e −8=0，e >1， 解得e =√33−12．故选：D ．椭圆双曲线的定义，结合三角形是等腰三角形，列出关系式求解双曲线的离心率即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是中档题． 12.答案：C解析：解：∵f(x)=13x 3+m2x 2−6x +1在(−1,1)单调递减， ∴当x ∈(−1,1)时，f′(x)=x 2+mx −6≤0恒成立， ∴{f′(−1)≤0f′(1)≤0，即{1−m −6≤01+m −6≤0，解得：−5≤m ≤5，∴m 的取值范围为[−5,5]． 故选：C ．依题意得，x ∈(−1,1)时，f′(x)=x 2+mx −6≤0恒成立，得到{f′(−1)≤0f′(1)≤0，解之即可．本题考查利用导数研究函数的单调性，依题意得到{f′(−1)≤0f′(1)≤0是关键，考查化归思想与运算能力，属于中档题． 13.答案：200解析：解：对总数为N 的一批零件抽取一个容量为40的样本． 每个零件被抽取的概率为0.2， 则N =400.2=200．故答案为：200．利用等可能事件概率计算公式直接求解．本题考查概率的求法，考查等可能事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：−54解析：解：根据题意，f(x)=a⋅2x +3a+52x +1，则f(−x)=a⋅2−x +3a+52−x +1=a+(3a+5)⋅2x1+2x，函数f(x)的图象关于原点成中心对称图形，即函数f(x)为奇函数，有f(−x)+f(x)=0， 则有a⋅2x +(3a+5)2x +1+a+(3a+5)⋅2x1+2x=0，变形可得(4a +5)=0，解可得a =−54； 故答案为：−54．根据题意，由函数的解析式可得f(−x)的表达式，结合函数奇偶性的定义可得函数f(x)为奇函数，有f(−x)+f(x)=0，进而可得a⋅2x +(3a+5)2x +1+a+(3a+5)⋅2x1+2x=0，变形分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意对函数奇偶性的定义，属于基础题．15.答案：2π3解析：解：由sin 2A +sin 2B +sinAsinB =sin 2C ， 正弦定理可得：a 2+b 2+ab =c 2， 由余弦定理cosC =a 2+b 2−c 22ab=−ab 2ab=−12，∵C ∈(0,π)， ∴C =2π3．故答案为：2π3．利用正弦定理化简已知条件，然后通过余弦定理即可求解角C 的大小． 本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题． 16.答案：√5解析：解：如图，连接AE ，E 为线段BC 的中点，∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+56AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)−λ2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+56AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(56−λ2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，且E ，F ，D 三点共线， ∴λ+56−λ2=1，解得λ=13，∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+56AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， ∵平行四边形ABCD 的面积为9√3，∠BAD =23π， ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|sin 23π=√32|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=9√3， ∴|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=18， ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=19AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+2536AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+59|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos 2π3=(13|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|)2+(56|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|)2−5≥2×13×56|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|−5=5，∴|AF⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的最小值为√5． 故答案为：√5．可画出图形，连接AE ，从而根据条件可得出AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(56−λ2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，然后根据E ，F ，D 三点共线即可求出λ=13，从而得出AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+56AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，而根据条件可得出|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=18，从而可得出AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=(13|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|)2+(56|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|)2−5≥5，从而可得出|AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的最小值． 本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量的数乘和数量积的运算，三点A ，B ，C 共线且OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λOA⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μOC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗时，λ+μ=1，不等式a 2+b 2≥2ab 的应用，考查了计算能力，属于中档题．(2)根据列联表中数据，计算K 2=50×(9×9−21×11)220×30×30×20=258=3.125>2.706，所以有90%的把握认为该学科成绩优良与性别有关系．解析：(1)根据题意填写列联表即可；(2)根据列联表中数据计算K 2，对照临界值得出结论．本题考查了列联表与独立性检验的问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 18.答案：解：(1)由题意，可知S n =a n+1=S n+1−S n ，即S n+1=2S n ， ∵S 1=a 1=2，∴数列{S n }是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴S n =2⋅2n−1=2n ，n ∈N ∗．当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n −2n−1=2n−1， ∴数列{a n }的通项公式为a n ={2,n =12n−1,n ≥2．(2)由(1)知，S n =2n ， 则b n =S n(1+Sn )(1+S n+1)=2n(1+2n )(1+2n+1)=11+2n −11+2n+1， ∴T n =b 1+b 2+⋯+b n =11+21−11+22+11+22−11+23+⋯+11+2n −11+2n+1 =11+21−11+2n+1=13−11+2n+1．解析：本题第(1)题先通过公式a n+1=S n+1−S n ，可得到S n+1=2S n ，则数列{S n }是以2为首项，2为公比的等比数列，即可计算出S n 关于n 的表达式，再根据公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2可得数列{a n }的通项公式；第(2)题先根据第(1)题的结果计算出数列{b n }的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前n 项和T n ． 本题主要考查数列求通项公式，以及运用裂项相消法求前n 项和．考查了转化与化归思想，分类讨论思想，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题． 19.答案：解：(1)∵D 是BC 的中点，AB =AC ， ∴AD ⊥BC ，∵M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点， ∴MN//B 1C 1，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BC//B 1C 1， ∴MN//BC ， ∴AD ⊥MN ；(2)设AB =2a ，由题设得，AD =a ，AN =DN =√5a ，S △ADN =√19a 24，在Rt △ABD 中，BD =√3a ，∴MN =BD =√3a ， 由题设可得MD =DN =√5a ，S △MDN =√51a 24，∵V M−ADN =V A−MDN ，∴13m ⋅S △ADN =13n ⋅S △MDN ，即13m ⋅√19a 24=13n ⋅√51a 24，∴m n =√51√19=√96919．解析：(1)根据条件可得出AD ⊥BC ，MN//B 1C 1，且BC//B 1C 1，从而可得出AD ⊥MN ；(2)可设AB =2a ，从而得出AD =a ，AN =DN =√5a ，S △ADN =√19a 24，同样根据条件可求出S △MDN =√51a 24，容易知道V M−ADN =V A−MDN ，从而可得出13m ⋅√19a 24=13n ⋅√51a 24，从而可得出m n 的值． 本题考查了三角形中位线的性质，三棱柱和直三棱柱的定义，三角形面积的求法，直角三角形边角的关系，三棱锥的体积公式，考查了计算能力，属于基础题．20.答案：解：(1)当a =−1，b =5时，f(x)=−x−lnx+5x，∴f′(x)=lnx−6x ，∴f′(1)=ln1−61=−6，∴曲线y =f(x)在点(1,4)处的切线斜率k =−6，∴曲线y =f(x)在点(1,4)处的切线方程为6x +y −10=0．(2)f(x)的定义域为(0,+∞)，f(x)=1⇔(a −1)x −lnx +b =0． 设g(x)=(a −1)x −lnx +b ，则x >0，g′(x)=a −1−1x=(a−1)(x−1a−1)x．∵a >1，∴当x ∈(0,1a−1)时，g′(x)<0，即g(x)在(0,1a−1)上单调递减； 当x ∈(1a−1,+∞)时，g′(x)>0，即g(x)在(1a−1,+∞)上单调递增，∴当x =1a−1时，g(x)取得最小值，即g(x)min =g(1a−1)=1+b +ln (a −1)．∵b ≤−1−ln (a −1)，∴1+b +ln (a −1)≤0，即g(x)min ≤0． 又∵e b >0，g(e b )=(a −1)e b −lne b +b =(a −1)e b >0， ∴曲线y =g(x)与y =0有公共点，即方程g(x)=0有实数解， ∴方程f(x)=1有实数解，即曲线y =f(x)与y =1有公共点，∴当a >1，b ≤−1−ln (a −1)时，曲线y =f(x)与y =1有公共点．解析：(1)将a =−1，b =5代入f(x)中，求出f(x)的导函数，然后求出曲线y =f(x)在点(1,4)处的切线斜率，再求出切线方程；(2)由f(x)=1可得(a −1)x −lnx +b =0，设g(x)=(a −1)x −lnx +b ，然后求出g(x)的最小值，再得到方程g(x)=0有实数解，进一步证明曲线y =f(x)与y =1有公共点．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性和最值，考查了转化思想，属中档题．21.答案：解：(1)设椭圆的方程为：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，|F 1F 2|=2c ，因为∠BF 1O =∠PF 1F 2，∠F 1OB =∠F 1PF 2=π2， 所以△F 1BO∽△F 1F 2P ， 所以 |F 1B||F 1F 2|=|F 1O||F 1P|，所以|F 1P|⋅|F 1B|=|F 1O|⋅|F 1F 2|=2c 2=6，可得c =√3， 又e =c a=√32， 所以a =2，b 2=a 2−c 2=1， 所以椭圆的方程为：x 24+y 2=1；(2)证明：①当动直线ld 的斜率不存在时， 设l 的方程为x =t ，M(t,y 1)，N(t,y 2)， 由{x =tx 2+4y 2=4可得：4y 2+t 2−4=0，因为直线与椭圆有两个交点，所以方程4y 2+t 2−4=0由两个不相等的实数根，所以t 2<4，y 1y 2=t 2−44，因为OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0.所以t 2+y 1y 2=0，即t 2+t 2−44=0，解得|t|=2√55， 因为一些O 到直线x =t 的距离d =|t|=2√55， 所以直线与圆x 2+y 2=45相切；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y =kx +m ，即kx −y +m =0，设M(x 1,kx 1+m)，N(x 2,kx 2+m)，联立直线与椭圆的方程：{y =kx +mx 2+4y 2−4=0，整理可得：(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4=0，△=64k 2m 2−4(1+4k 2)(4m 2−4)>0，整理可得4k 2+1−m 2>0，x 1+x 2=−8km 1+4k 2，x 1x 2=4m 2−41+4k 2，因为OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，所以x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=(1+k 2)x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2=(1+k 2)(4m 2−4)1+4k 2−8k 2m 21+4k 2+m 2=0，化简可得1+k 2=5m 24，因为原点到直线l 的距离d =√1+k 2=√5m 24=2√55=r ，所以直线与圆x 2+y 2=45相切， 综上所述动直线l 与圆x 2+y 2=45相切．解析：(1)设椭圆的方程，由线段F 1F 2为直径的圆经过点P ，线段F 1P 与y 轴交于点B ，可得F 1OB =∠F 1PF 2=π2，进而可得三角形相似，可得|F 1P|⋅|F 1B|=|F 1O|⋅|F 1F 2|=2c 2=6，求出c 的值，再由离心率求出a ，再由a ，b ，c 的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；(2)分直线l 的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线l 的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0可得x 1x 2+y 1y 2=0，进而解得参数之间的关系，求出圆心到直线的距离可得恰好等于半径，即证直线与圆相切．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合和证明直线与相切的方法，属于中难题．22.答案：解：(1)曲线C 2的极坐标方程ρ=2.3ρ2+3ρ2cos 2θ=4，转换为直角坐标方程为x 2+y 24=1．(2)曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosαy =sin α(α为参数).转换为直角坐标方程为(x −2)2+y 2=4，所以该曲线是以C(2,0)为圆心2为半径的圆．A 是曲线C 1上的动点，B 是曲线C 2上的动点，设B(cosθ,2sinθ)，则|BC|=√(cosθ−2)2+4sin 2θ=√cos 2θ−4cosθ+4+4sin 2θ=√−3cos 2θ−4cosθ+8 =√−3(cosθ+23)2+283，当cosθ=−23时．|BC|max =√283=2√213， 所以求|AB|的最大值为2√213+2．解析：1)直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果． (2)利用直线和曲线的位置关系的应用建立等量关系，进一步求出最值．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：解：(1)由绝对值不等式的性质得f(x)=|2x +1|+|2x +3|≥|(2x +1)−(2x +3)|=2，又∵f(−1)=2，∴m=2；(2)证明：∵a>0,b>0,a+b=√3ab，∴1a +1b=√3，∴1b =√3−1a，∴1b2=1a2−2√3a+3，∴1a2+2b2=3a2−4√3a+6=(√3a−2)2+2≥2，∴1a2+2b2≥2=m．解析：(1)利用绝对值不等式的性质可得m=2；(2)根据题意1b =√3−1a，进而1a+2b=3a−4√3a+6=(√3a−2)2+2≥2，由此得证．本题考查绝对值不等式的性质，以及利用配方法证明不等式，考查了换元思想，函数思想的运用，属于基础题．。
2020年云南省昆明市金源中学高三数学文联考试卷含解析
2020年云南省昆明市金源中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 不等式的解集是（）A．x<3 B．x>－1 C．x<－1或x>3 D．－1<x<3参考答案：D略2. 若命题“使得”为假命题，则实数m的取值范围是( )A． B． C． D．参考答案：A略3. 定义域为上的奇函数满足，且，则（）A．2 B．1 C.-1 D．-2参考答案：C4. 为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩（如图），要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线，测得，，就可以计算出两点的距离为A． B． C． D.参考答案：A5. 已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为（）A．36 B．40 C．D．参考答案：A6. 已知向量满足，则向量夹角的余弦值为（）A. B. C. D.参考答案：D略7. 设集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（）A．[0，1）B．（﹣1，1] C．[﹣1，1） D．（﹣1，0]参考答案：A【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出N中不等式的解集确定出N，求出M与N的交集即可．【解答】解：由N中的不等式变形得：x（x﹣1）≤0，解得：0≤x≤1，即N=[0，1]，∵M=（﹣1，1），∴M∩N=[0，1）．故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．8. 下列区间中，函数，在其上为增函数的是（A） (B)(C) (D)参考答案：D9. 函数，当时，，则的最小值是（）A．1 B．2 C．D．参考答案：B因为，所以依题意，由即，得所以所以，整理得又，所以所以，所以的最小值为2.10. 下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A.y=ln（x+2）B.y=-C.y=（）xD.y=x+参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知等差数列{a n}满足a3+a7=10，则该数列的前9项和S9= ．参考答案：45考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：由数列{a n}为等差数列，利用等差数列的性质得到a3+a7=2a5，由a3+a7的值，求出a5的值，然后利用等差数列的求和公式表示出数列的前9项和S9，利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求出值．解答：解：∵数列{a n}为等差数列，∴a3+a7=2a5，又a3+a7=10，∴2a5=10，即a5=5，则该数列的前9项和S9==9a5=45．故答案为：45点评：此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键．12. 设是两箱梁不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是．①若则②若，则③若，则；④若，则参考答案：①②13. 表示不超过的最大整数.那么.参考答案：略14. 四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如下图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2012次互换座位后，小兔的座位对应的是（）A．编号1 B．编号2 C．编号3 D．编号4参考答案：C15. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则等于参考答案：16. 已知不等式的解集为，则= 。
云南2020届高三下学期高考适应性月考卷(七)文科数学(含答案)
2020届云南高三下学期高考适应性月考卷(文科)数学（七）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.体育节到来，多数同学都会参加至少一个运动项目.设集合U={甲班全体同学},集合A= {参加跳高的甲班同学},集合B= {参加跳远的甲班同学},则()U A B ⋂ð)表示的是A.既参加跳高又参加跳远的甲班同学B.既不参加跳高也不参加跳远的甲班同学C.参加跳高或跳远的甲班同学D.不同时参加跳高和跳远的甲班同学2.已知复数13,z i =-+则28z= .13A i -+.13B i -- .13C i +.13D i - 3.已知平面向量,,a b rr 命题“||2||a b =r r ”是“|2||2|a b a b +=-r r r ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某工厂为了对40个零件进行抽样调查,将其编号为00, 01, 38, 39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表,从第一行第3列开始，由左至右依次读取,则选出来的第5个零件编号是A.36B.16C.11D.145. 一场考试之后，甲、乙、丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多则可以完全确定的是A.甲同学三个科目都达到优秀B.乙同学只有一个科目达到优秀C.丙同学只有一个科目达到优秀D.三位同学都达到优秀的科目是数学6.朱世杰是元代著名的数学家,有“中世纪世界最伟大的数学家”之称.其著作《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著,受到数学史研究者的高度评价.《四元玉鉴》下卷“杂范类会”中第一问为: "今有沈香立圆球一只，径十寸,今从顶截周八寸四分,问厚几何?"大意为现有一个直径为10的球,从上面截一小部分,截面圆周长为8.4,问被截取部分几何体的高为多少.已知朱世杰是以圆周率为3来计算，则《四元玉鉴》中此题答案为(注:24.823.04=)A.0.2B.0.4C.0.6D.0.87.函数25()x xx f x e e -=+的图象大致为8.已知抛物线22(0)y px p =>的准线与椭圆22194x y +=相交的弦长为3,则p= A.1 B.2 C.3 D.49.在正四面体A-BCD 中, E. F 分别为AB, CD 的中点,则下列命题不正确的是 A. EF ⊥ABB. EF ⊥CDC.EF 与AC 所成角为4πD.EF 与BD 所成角为3π 10. 如图1,已知在算法中“\”和“mod”分别表示取商和取余数.为了验证三位数卡普雷卡尔“数字黑洞”( 即输入一个无重复数字的三位数，经过如图的有限次的重排求差计算，结果都为495).小明输入x=325，则输出的i=A.3B.4C.5D.611.已知函数2()cos ,f x x x =-1351(log 3),(log ),5a f b f ==C=31(()),5fA. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD. c>a>b12.双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位通过船(待定点)接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差,两个距离差即可形成两条位置双曲线,两者相交便可确定船位我们来看一种简单的“特殊”状况:如图2所示,已知三个发射台分别为A, B. C 且刚好三点共线，已知AB=34海里，AC=20海里.现以AB 的中点为原点, AB 所在直线为x 轴建系.现根据船P 接收到C 点与A 点发出的电磁波的时间差计算出距离差,得知船P 在双曲线22(27)13664x y --=的左支上，若船P 上接到A 台发射的电磁波比B 台电磁波早185.2μs(已知电磁波在空气中的传播速度约为0.3km/μs.1海里=1.852km),则点P 的坐标(单位:海里)为A.903211(,)7B.135322(,7 32.(17,)3C ±D. (45,162)±二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分) 13. 曲线2(1)ln y x x =+在(1, 0)处的切线方程为_____14.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足13,a =且1413,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =____15. 已知x, y 满足315,212,,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨∈⎪⎪∈⎩N N,则z=3x+2y 的最大值为____16.已知ω>14，函数()sin()4f x x ωπ=+在区间(π, 2π)上单调. 1(,1].4ω∈①②f(x)在区间(π, 2π)上单调递减;③f(x)在区间(0, π)上有零点;④f(x) 在区间(0, π)上的最大值一定为1. 以上四个结论，其中正确结论的编号是____三、解答题(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. （本小题满分12分）华为手机作为全球手机销量第二位，一直深受消费者喜欢。
2020-2021学年云南省高三下学期高考文科数学试卷及答案解析
云南省高三下学期文科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合A={x| y=lg （x ﹣1）}，集合2{|2}B y y x ==-+，则A ∩B 等于A ．（1，2）B ．（1，2]C ．[1，2）D ．[1，2]2. 复数2(2)1i z i+=-（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 若等边ABC ∆的边长为3，平面内一点M 满足1132CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r ，则AM MB ⋅u u u u r u u u r的值为A. 2B.152-C. 152D.2- 4. 在两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同的模型．通过计算得相关指数R 2的值如下，其中拟合效果最好的模型是( )A ．模型1的R 2为0.98B ．模型2的R 2为0.80C ．模型3的R 2为0.50D ．模型4的R 2为0.255. 已知121,,,9a a --成等差数列，1239,,,,1b b b --成等比数列，则()221b a a -的值为 A. 8 B. 8- C. 8± D.98± 6. 函数ln 1()x f x e x=+的大致图象为7. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a 、b 分别为5、2，则输出 的n =A.2B.3C.4D.58. 已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数n ，都有2343n n S n T n -=-，则()3153392102a a a b b b b ++=++（ ）A ．715 B ．1737 C ． 2041 D ． 19419. 长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（ ） A.314 B. 4 C. 310D. 3 10. 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A ．223π B.423π C. 22π D. 42π11. 设1F ，2F 分别为椭圆1C ：221122111(0)x y a b a b +=>>与双曲线2C ：222222221(0,0)x y a b a b -=>>的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，1290F MF ∠=︒，若椭圆的离心率134e =，则双曲线2C 的离心率2e 的值为（ ） A ．92B ．322C ．32 D ．5412. 已知2cos sin )(x x x x x f ++=，则不等式1(ln )(ln )2(1)f x f f x+<的解集为( ) A ．),(+∞e B ．(0,)e C ．1(0,)(1,)e e U D ．),1(e e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知正实数,x y 满足 20x y xy +-=,则2x y +的最小值为 ．14. 已知函数322()7f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极小值10，则ba的值为 ．15. 珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝，甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷，根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是______． 16. 已知圆22:9O x y +=，点()2,0A ，点P 为动点，以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，则动点P 的轨迹方程是______．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2asin A ＝(2b －c)sin B ＋(2c －b)sin C ．（I ）求角A 的大小； （II ）若a ＝10，cos B ＝255，D 为AC 的中点，求BD 的长．18. （本小题满分12分）某研究性学习小组对4月份昼夜温差大小与花卉种子发芽多少之间的关系研究，记录了4月1日至4月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数，如下表：（Ⅰ）请根据上表中4月2日至4月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程$y bx a =+$；若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，请用4月1日和4月5日数据检验你所得的线性回归方程是否可靠? （Ⅱ）从4月1日至4月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m,n ，求事件“m ，n 均不小于25”的概率.（参考公式：回归直线的方程是$ˆy bx a =+$，其中1221ni ii nii x y n x ybxnx ==-⋅⋅=-∑∑$，$ay bx =-）19. （本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，DCAAB1AC1CD 1B(第19题图)ABC △是等边三角形，14BC CC ==,D 是11A C 中点.（Ⅰ）求证：1A B ∥平面1B CD ；（Ⅱ）当三棱锥11C B C D -体积最大时，求点B 到平面1B CD 的距离.20. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到点)0,1(F 的距离与它到直线2=x 的距离之比为22. （1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设直线)0(≠+=m m kx y 与曲线E 交于B A 、两点，与x 轴、y 轴分别交于D C 、两点（且D C 、在B A 、之间或同时在B A 、之外）. 问：是否存在定值k ，对于满足条件的任意实数m ，都有OAC ∆的面积与OBD ∆的面积相等，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数()ln 2,f x x ax a R =-∈.（1）若函数()y f x =存在与直线20x y -=平行的切线，求实数a 的取值范围； （2）已知1a >设21()()2g x f x x =+，若()g x 有极大值点1x ，求证：2111ln 10x x ax -+>.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的极坐标方程是2sin()333πρθ+=OM ：3π=θ与C 分别交于点O ，P ，与l 交于点Q ，求PQ 的长．23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 已知函数122)(--+=x x x f ．（Ⅰ）求不等式2)(-≥x f 的解集M ；（Ⅱ）对任意),[+∞∈a x ，都有a x x f -≤)(成立，求实数a 的取值范围．文科数学试卷答案及评分标准一、选择题BBAA ACCD BBBD 二、填空题13.8; 14. 12-; 15. 甲; 16.15922=+y x 三、解答题17. 解:（I ）由2asin A ＝(2b －c)sin B ＋(2c －b)sin C ，根据正弦定理 得2a 2＝(2b －c)b ＋(2c －b)c ，整理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc ………………2分由余弦定理 得 cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝22 ………………4分又A ∈(0，π) ，所以A ＝π4………………5分（II ）由cos B ＝255，可得sin B ＝1－cos 2B ＝55∴cos C ＝－cos(A ＋B)＝sin Asin B －cos Acos B＝22×55－22×255＝－1010………………………………7分 又a ＝10，由正弦定理，可得b ＝asin Bsin A＝10×55 22＝2∴CD ＝12AC ＝1 ………………9分在△BCD 中，由余弦定理 得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CDcosC＝(10)2＋12－2×10×1×(－1010)＝13 ………………………………11分所以BD ＝13. ………………………………12分18. 解:（Ⅰ） 1(111312)123x =++=，1(253026)273y =++=，3972x y =.31112513*********i ii X Y ==⨯+⨯+⨯=∑，322221111312434ii X==++=∑，23432x =.由公式，求得122197797254344322ni ii nii x y n x ybxnx ==-⋅⋅-===--∑∑$，$5271232a y bx =-=-⨯=-． 所以y 关于x 的线性回归方程为5ˆ32yx =-．………………………………5分 当x=10时，5ˆ103222y=⨯-=，|22－23|＜2；当x=8时，5ˆ83172y =⨯-=，|17－16|＜2． 所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．………………………………7分（II ）m,n 的所有取值有：（23,25），（23,30），（23,26），（23,16），（25,30），（25,26），(25,16)，(30,26),(30,16)， (26,16), 即基本事件总数为10.设 “m ，n 均不小于25” 为事件A ，则事件A 包含的基本事件为（25,30），（25,26），（30,26）. 所以3()10P A =,故事件A 的概率为310………………………………12分19. 解：（Ⅰ）连结1BC ，交1B C 于O ，连DO .在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BB C C 为平行四边形，则1BO OC =,又D 是11A C 中点，∴1DO A B ∥，而DO ⊂平面1B CD ，1A B ⊄平面1B CD ，∴1A B ∥平面1B CD . ……………4分 （Ⅱ）设点C 到平面111A B C 的距离是h ，则1111123==33C B CD B C D V S h h -△，而14h CC =≤，故当三棱锥11C B C D -体积最大时，1=4h CC =，即1CC ⊥平面111A B C . ……………6分 由（Ⅰ）知：1BO OC =，所以B 到平面1B CD 的距离与1C 到平面1B CD 的距离相等. ∵1CC ⊥平面111A B C ，1B D ⊂平面111A B C ，∴11CC B D ⊥，∵ABC △是等边三角形，D 是11A C 中点，∴111AC B D ⊥，又1111=CC AC C I ，1CC ⊂平面11AA C C ，11AC ⊂平面11AA C C ，∴1B D ⊥平面11AA C C ，∴1B D CD ⊥，由计算得：1=23,25B D CD =，所以1=215B CD S ∆， ……………9分设1C 到平面1B CD 的距离为h '，由1111=C B C D C B CD V V --得：1231454=335B CD S h h ''⨯⇒=△， 所以B 到平面1B CD 的距离是45.5……………12分 20. 解：(1)设()M x,y ，则2222(1)21222x y x y x -+=⇒+=- ∴动点M 的轨迹E 的方程为2212x y +=．……………４分（２）将y kx m =+代入2212x y +=整理得222(12)4220k x mkx m +++-=22222(4)4(12)(22)>021mk k m m k =-+-⇒<+V ，设1122()()A x ,y ,B x ,y ，则122412kmx x k +=-+由题意，不妨设)0,(kmC -，),0(m D OAC ∆的面积与OBD ∆的面积总相等||||BD AC =⇔恒成立⇔线段AB 的中点与线段CD 的中点重合. ∴km k mk -=+-2214，解得22±=k ，由2221m k <+得2||<m ； 即存在定值22±=k ，对于满足条件0≠m ，且2||<m ，都有OAC ∆的面积与OBD ∆的面积相等. ……………………………………12分 21. 解：（1）因为1()2,0f x a x x'=->…………………………………………………1分 因为函数()y f x =存在与直线20x y -=平行的切线，所以()2f x '=在(0,)+∞上有解……………………………………………………………2分即122a x -=在(0,)+∞上有解，也即122a x +=在(0,)+∞上有解， 所以220a +>，得1a >-，故所求实数a 的取值范围是(1,)-+∞………………………………………………………4分（2）因为2211()()ln 222g x f x x x x ax =+=+-因为2121()2x ax g x x a x x-+'=+-=……………………………………………………5分令()0g x '=，设2210x ax -+=的两根为1x 和2x ，则12121,2x x x x a =+=因为1x 为函数()g x 的极大值点，1a >，所以120x x <<，101x <<………………6分所以2111()210g x x ax '=-+=，则21112x a x +=…………………………………………7分因为332111111111111ln 1ln 1ln 1222x x x x x ax x x x x x +-+=-+=--++，101x <<…8分 令31()ln 122x h x x x x =--++，(0,1)x ∈，所以231()+ln 22x h x x '=-+……………………………………………………………9分 记231()+ln 22x p x x =-+，(0,1)x ∈，则2113()3x p x x x x-=-+=当03x <<时，()0p x '>，当13x <<时，()0p x '<…………………………10分所以max ()(1ln 033p x p ==-+<，所以()0h x '<……………………………11分 所以()h x 在(0,1)上单调递减，所以()(1)0h x h >=，原题得证……………………12分22. 解：（Ⅰ）消去参数，得到圆的普通方程为，令代入的普通方程，得的极坐标方程为，即．……………5分（Ⅱ）在的极坐标方程中令，得，所以．在的极坐标方程中令，得，所以．所以．……………10分23.解：（Ⅰ），当时，，即，所以；当时，，即，所以；当时，，即，所以；综上，不等式的解集为．……………5分（Ⅱ）令，当直线经过点时，，所以当即时成立；当即时，令，得，所以，即，综上或．…………10分解法二：（Ⅰ）同解法一．5分（Ⅱ）设因为对任意，都有成立，所以．当时，，所以所以，符合．当时，，所以所以，符合．综上，实数的取值范围是．……………10分。
2020年云南省高考数学模拟试卷(文科)(4月份) (含答案解析)
2020年云南省高考数学模拟试卷(文科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合S={1,3}，T={2,3}，则S∩T=()A. {3}B. {1,2}C. {2,3}D. {1,2，3}2.复数z=1−i2+i在复平面上对应的点的坐标为()A. (1,−3)B. (15,−35) C. (3,−3) D. (35,−35)3.已知平面向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(−2,m)，且a⃗//b⃗ ，则a⃗−b⃗ =()A. (−3,−6)B. (3,−2)C. (−1,6)D. (3,6)4.函数y=sin(2x−π6)的最小正周期是()A. π4B. π2C. πD. 2π5.执行如图所示的程序框图，若输入a=−7，d=3，则输出的S为()A. S=−12B. S=−11C. S=−10D. S=−66.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的弧线是半径为1的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为()A. 1B. 2πC. 1−π4D. 1−π27. 已知xy 满足约束条件{x +2y −7≤0x −y ≤0x ∈N,y ∈N，则z =2x +y 的最大值为( )A. 4B. 5C. 6D. 78. 已知过抛物线y 2=8x 的焦点F 的直线交抛物线于A,B 两点，以AF 为直径的圆过点Q(0,4)，则|BF|的值为( )A. 52B. 92C. 109D. 109. 已知α满足sin α=13，则cos 2α=( )A. 79B. 718C. −79D. −71810. 已知A ，B ，C 三点在球O 的球面上，AB =BC =CA =3，且球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的13，则球O 的表面积为( )A. 36πB. 4πC.274π D.272π11. 已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，点P 在C 的右支上，|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|成等差数列，且∠PF 1F 2=120°，则该双曲线的离心率是( )A. 32B. √3C. 2D. 312. 已知函数f(x)=3x 3−ax 2+x −5在区间[1,2]上单调递减，则a 的取值范围是( )A. [5,374] B. (−∞,5)∪(374,+∞) C. [5,+∞)D. [374,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 从含有500个个体的总体中，一次性抽取25个个体，假设其中每个个体被抽到的概率相等，那么总体中某个个体被抽到的概率为_______． 14. 如果函数f(x)=a⋅3x +4−a 4(3x −1)是奇函数，则a =______．15. 在△ABC 中，若sin 2B+sin 2C−sinBsinCsin 2A=1，则A 等于______ ．16. 在△ABC 中，点P 是边AB 的中点，已知|CP ⃗⃗⃗⃗ |=√3，|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，∠ACB =2π3，则____.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 某大学学生会为了调查了解该校大学生参与校健身房运动的情况，随机选取了100位大学生进行调查，调查结果统计如下：参与 不参与 总计男大学生 30女大学生50 总计45100(1)根据已知数据，把表格数据填写完整；(2)能否有99.5％的把握认为参与校健身房运动与性别有关？请说明理由． 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ． P(K 2≥k 0)0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 03.8415.0246.6357.87910.82818.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S5=31．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=(2n+1)a n，求{b n}的前n项和T n．19.如图，三棱锥A−BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．(Ⅰ)求证：CD⊥平面ABD；(Ⅱ)若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A−MBC的体积．20.已知函数f(x)=2lnx−x，若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线是y=kx−2，求k的值．21. 设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，M 是椭圆C 上一点，且MF 2与x轴垂直，直线MF 1在y 轴上的截距为34，且|MF 2|=35|MF 1|． (I)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)已知直线l ：y =kx +t 与椭圆C 交于E 、F 两点，且直线l 与圆7x 2+7y 2=12相切，求OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，(O 为坐标原点)22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(ρ>0,0≤θ<2π)，点A 为曲线C 1上的动点，点B 在线段OA 的延长线上，且满足|OA |⋅|OB |=6，点B 的轨迹为C 2． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)设点C 的极坐标为(2,0)，求△ABC 面积的最小值．23.已知函数f(x)=|ax−3|，不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x≤5}．(1)解不等式f(x)<2f(x+1)−1；(2)若m≥3，n≥3，f(m)+f(n)=3，求证：1m +4n≥1．【答案与解析】1.答案：A解析：解：S={1,3}，T={2,3}；∴S∩T={3}．故选：A．进行交集的运算即可．考查列举法表示集合的定义，以及交集的运算．2.答案：B解析：解：由复数z=1−i2+i =(1−i)(2−i)(2+i)(2−i)=1−3i5=15−35i．∴复数z=1−i2+i 在复平面上对应的点的坐标为(15,−35).故选：B．直接由复数的除法运算化简复数z为a+bi(a,b∈R)的形式，求得实部和虚部，则复数z对应的点的坐标可求．本题考查了复数的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：D解析：解：∵平面向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(−2,m)，且a⃗//b⃗ ，∴−2×2−m=0，解得m=−4．∴a⃗−b⃗ =(1,2)−(−2,−4)=(3,6)．故选：D．利用向量共线定理和向量的坐标运算即可得出．本题考查了向量共线定理和向量的坐标运算，属于基础题．4.答案：C解析：本题主要考查三角函数周期的求法，属于基础题． 直接利用正弦函数的周期公式求解即可． 解：函数y =sin(2x −π6)周期为2π2=π， 故选C ．5.答案：A解析：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S ，a +d 的值，当a +d =2时满足条件a +d >0，退出循环，输出S 的值为−12． 解：模拟程序运行： a =−7，d =3，S =0，第一次循环S =−7，a +d =−4<0，不满足；第二次循环a =−4，S =−7−4=−11，a +d =−1<0，不满足； 第三次循环a =−1，S =−11−1=−12，a +d =2>0，满足， 退出循环，输出S =−12， 故选A ．6.答案：C解析：本题考查了几何体的三视图；属于中档题．由三视图得到几何体是棱长为1的正方体挖去底面半径为1的14圆柱，间接法求体积即可． 解：由已知三视图得到几何体是棱长为1的正方体挖去底面半径为1的14圆柱， 正方体的体积为1，14圆柱的体积为14π×12×1=π4， 所以所求几何体的体积为1−π4． 故选C ．7.答案：C解析：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：由x，y满足约束条件{x+2y−7≤0x−y≤0x∈N,y∈N作出可行域如图：化目标函数z=2x+y为y=−2x+z，由图形可知A(2,2)，当直线y=−2x+z过A(2,2)时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6．故选：C．8.答案：A解析：本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．求出抛物线的焦点坐标，由k AQ⋅k QF=−1求得A的坐标，设直线AB方程为y=k(x−2)，与抛物线方程联立，可求得B的横坐标，即可求解|BF|的值．解：由抛物线方程为：y2=8x，可得2p=8，p=4，可得焦点F(2,0)，设A(x A,y A)，由以AF为直径的圆过点Q(0,4)，可得AQ⊥QF，k AQ⋅k QF=−1，可得y A −4x A⋅(−2)=−1，同时由y A 2=8x A ，解得x A =y A =8，即A(8,8)，直线AB 斜率存在，设直线AB 方程为y =k (x −2)， 与抛物线方程联立，可得k 2x 2−(4k 2+8)x +4k 2=0， 则x A ⋅x B =4， 可得x B =12， 则|BF|=12+2=52， 故选A ．9.答案：A解析：本题考查利用二倍角公式求三角函数值，属于基础题． 利用cos2α=1−2sin 2α公式代入求值即可． 解：sin α=13，则cos2α=1−2sin 2α=1−2×19=79． 故选A ．10.答案：D解析：解：设球的半径为r ，O′是△ABC 的外心，外接圆半径为R =√3， ∵球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的13， ∴得r 2−19r 2=3，得r 2=278．球的表面积S =4πr 2=4π×278=272π.故选：D ．设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径，再求球的表面积．本题考查球O 的表面积，考查学生分析问题解决问题能力，空间想象能力，是中档题．11.答案：A解析：解：设|PF1|=m，|PF2|=n，则∵点P在C的右支上，∴m−n=2a，∵|PF1|，|PF2|，|F1F2|成等差数列，∴2n=m+2c，∴m=4a+2c，n=2a+2c，∵∠PF1F2=120°，∴(4a+2c)2=(2c)2+(2a+2c)2−2⋅2c⋅(2a+2c)cos120°，整理得3a2+ac−2c2=0，∴2e2−e−3=0，∵e>1，∴e=32．故选：A．利用双曲线的定义，结合等差数列的性质，求出|PF1|、|PF2|，再利用余弦定理，建立a，c的关系，即可求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的性质，考查等差数列的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．12.答案：D解析：【试题解析】先求出导函数，欲使函数f(x)在区间[1,2]上单调递减可转化成f′(x)≤0在区间[1,2]上恒成立，再借助参数分离法求出参数a的范围．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及恒成立问题的转化，属于基础题解：f′(x)=9x2−2ax+1∵f(x)=3x3−ax2+x−5在区间[1,2]上单调递减，∴f′(x)=9x2−2ax+1≤0在区间[1,2]上恒成立．即a≥9x2+12x =12(9x+1x)，令g(x)=9x +1x ，∴g(x)在[1,2]递增，∴在[1,2]上，g(x)max =g(2)=372， ∴a ≥12×372=374，故选：D ．13.答案：120解析：本题考查等可能事件的概率计算，是基础题．根据题意，即可求出结果．解：根据题意，从含有500个个体的总体中，一次性抽取25个个体，其中每个个体被抽到的概率相等，所以总体中每个个体被抽到的概率为：p =25500=120，故答案为120．14.答案：2解析：本题考查函数的奇偶性及运用，考查定义法求参数的方法，考查运算能力，属于中档题． 由奇函数的定义可得，f(−x)+f(x)=0，再化简整理，即可得到a ．解：函数f(x)=a⋅3x +4−a4(3x −1)是奇函数，则f(−x)+f(x)=0，即有a⋅3−x +4−a4(3−x −1)+a⋅3x +4−a4(3x −1)=0，则a 2+13−x −1+13x −1=0，化简得到，a 2+3x 1−3x +13x −1=0，即a2=1，故a =2．故答案为：2 15.答案：60°解析：本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，属于基础题．利用正弦定理化简表达式，然后利用余弦定理求解A 即可．解：在△ABC 中，若sin 2B+sin 2C−sinBsinC sin 2A =1， 由正弦定理可得：b 2+c 2−bca 2=1，即b 2+c 2−bc =a 2，由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ：可得cosA =12，∴A =60°．故答案为60°． 16.答案：6解析：本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．用CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据|CP ⃗⃗⃗⃗ |=√3计算|CB⃗⃗⃗⃗⃗ |，再计算的值．解：∵点P 是边AB 的中点，∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=14CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，∴3=4+12×4×|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×cos 2π3+14×|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， ∴|CB⃗⃗⃗⃗⃗ |=2， ∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4×2×cos 2π3=−4， ∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12×16+12×(−4)=6． 故答案为6． 17.答案：解：(1)表格如下(2)K 2=100×(30×35−15×20)245×55×50×50=10011≈9.09>7.879， 所以有99.5％的把握认为参与校健身房运动与性别有关．解析：本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．(1)根据题意填写列联表即可；(2)由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论．18.答案：解：(1)等比数列{a n }的公比设为q ，前n 项和为S n ，a 1=1，S 5=31，显然q ≠1，即有1−q 51−q =31，解得q =2，则a n =2n−1；(2)b n =(2n +1)a n =(2n +1)⋅2n−1，则前n 项和T n =3⋅1+5⋅2+7⋅4+⋯+(2n +1)⋅2n−1，2T n =3⋅2+5⋅4+7⋅8+⋯+(2n +1)⋅2n ，相减可得−T n =3+2(2+4+⋯+2n−1)−(2n +1)⋅2n=3+2⋅2(1−2n−1)1−2−(2n +1)⋅2n ，化简可得T n=1+(2n−1)⋅2n．解析：(1)等比数列{a n}的公比设为q，由等比数列的求和公式，解方程可得q=2，即可得到所求通项公式；(2)求得b n=(2n+1)a n=(2n+1)⋅2n−1，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及运算能力，属于中档题．19.答案：(Ⅰ)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BD，AB∩BD=B，，∴CD⊥平面ABD．(Ⅱ)解：∵AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BD．∵AB=BD=1，∴S△ABD=12，∵M为AD的中点，∴S△ABM=12S△ABD=14，∵CD⊥平面ABD，∴V A−MBC=V C−ABM=13S△ABM⋅CD=112．解析：本题考查线面垂直，考查三棱锥A−MBC的体积，正确运用线面垂直的判定定理是关键，属于中档题．(Ⅰ)要证明CD⊥平面ABD，只需证明AB⊥CD；(Ⅱ)利用转换底面，V A−MBC=V C−ABM=13S△ABM⋅CD，即可求出三棱锥A−MBC的体积．20.答案：解：函数f(x)=2lnx−x的定义域为(0,+∞)，且f′(x)=2x−1．由题意可知：f(x0)=2lnx0−x0，曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率为k=f′(x0)=2x−1，∴切线方程为y −f(x 0)=(2x 0−1)(x −x 0)， 即y −(2lnx 0−x 0)=(2x 0−1)(x −x 0)， 整理得y =(2x 0−1)x +2lnx 0−2， 又∵切线方程为y =kx −2,∴2ln x 0−2=−2,∴x 0=1，∴曲线y =f(x)在点(x 0,f(x 0))处的切线的斜率k =2x 0−1=1．解析：本题主要考查了导数的几何意义，考查运算化简的能力，属于中档题．先对函数进行求导，得出f(x 0)=2lnx 0−x 0，利用曲线y =f(x)在点(x 0,f(x 0))处的切线方程及y =f(x)在点(x 0,f(x 0))处的切线是y =kx −2，即可求得．21.答案：解：(Ⅰ)设直线MF 1与y 轴的交点为N ，∵直线MF 1在y 轴上的截距为34，∴ON =34，∵MF 2⊥x 轴，∴在△F 1F 2M 中，ON−//12MF 2，∴|MF 2|=32， ∵|MF 1|+|MF 2|=2a ，且|MF 2|=35|MF 1|．∴|MF 2|=34a =32，解得a =2， ∵|MF 2|=b 2a ，∴b =3，∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(Ⅱ)设E(x 1,y 1)，F(x 2,y 2)，联立{y =kx +1x 24+y 23=1，得(3+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−12=0， ∴x 1+x 2=−8kt 3+4k 2，x 1x 2=4t 2−123+4k 2，△=(8kt)2−4(3+4k 2)(4t 2−12)=144−48t 2+192k 2>0，解得t 2<3+4k 2，∴OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+t)(kx 2+t)=(1+k 2)x 1x 2+kt(x 1+x 2)+t 2=(1+k 2)(4t 2−12)3+4k 2−8k 2t 23+4k 2+3t 2+4k 2t 23+4k2 =7t 2−12(1+k 2)3+4k 2，∵直线l 与圆7x 2+7y 2=12相切，∴b√1+k 2=√127， ∴1+k 2=712b 2，∴OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =7b 2−12⋅712b 24⋅712b 2−1=0．解析：(Ⅰ)设直线MF 1与y 轴的交点为N ，推导出ON =34，|MF 2|=32，由|MF 1|+|MF 2|=2a ，且|MF 2|=35|MF 1|，得a =2，由|MF 2|=b 2a ，得b =3，由此能求出椭圆C 的标准方程．(Ⅱ)联立{y =kx +1x 24+y 23=1，得(3+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−12=0，由此利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积、直线与圆相切、椭圆性质，结合题设条件能求出OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．本题考查椭圆方程的求法，考查向量积的求法，考查韦达定理、根的判别式、向量的数量积、直线与圆相切、椭圆性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 22.答案：解：(1)曲线C 1的参数方程为为参数)，转换为直角坐标方程为：x 2+(y −1)2=1．转换为极坐标方程为：ρ=2sinθ．设点B 的极坐标方程为(ρ,θ)，点A 的极坐标为(ρ0,θ0)，则：|OB|=ρ，|OA|=ρ0，由于：满足|OA|⋅|OB|=6，则：6ρ=2sinθ，整理得：ρsinθ=3．(2)点C 的极坐标为(2,0)，则：|OC|=2， 所以：S △ABC =12|OC||ρB sinθ−ρA sinθ|=|3−2sin 2θ|．当sinθ=1时，S △ABC 的最小值为1．解析：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)利用(1)的结论，进一步利用三角形的面积公式的应用求出结果．23.答案：(1)解：因为不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x ≤5}，则x =1和x =5是方程f(x)=|ax −3|=2的解，即{|a −3|=2|5a −3|=2，所以实数a 的值为1． 不等式f(x)<2f(x +1)−1可化为|x −3|<2|x −2|−1，则{x ≥3x −3<2(x −2)−1或{2≤x <3−(x −3)<2(x −2)−1或x <2−(x −3)<−2(x −2)−1， 解得x ≥3或83<x <3或x <0，所以原不等式的解集为{x|x <0或x >83}．(2)证明：因为m ≥3，n ≥3，所以f(m)+f(n)=|m −3|+|n −3|=m −3+n −3=3， 即m +n =9．所以1m +4n =19(m +n)(1m +4n )=19(1+4+n m+4m n )≥19(5+2√n m ⋅4m n )=1， 当且仅当n m =4m n ，即m =3，n =6时取等号．解析：(1)利用不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x ≤5}，说明x =1和x =5是方程f(x)=|ax −3|=2的解，求出a ，然后转化不等式f(x)<2f(x +1)−1为|x −3|<2|x −2|−1，通过分类讨论转化求解即可．(2)化简f(m)+f(n)=3，得到m +n =9.利用基本不等式证明即可．本题考查解绝对值不等式和利用基本不等式证明不等式．是中档题．。
云教金榜(云南大理丽江怒江)2020届高三下学期诊断性联考文科数学试卷参考答案
文科数学参考答案及评分细则
一、选择题
1．C［解析］N= {x
x＞
3 2
} ，所以
M∪N= { x
x≥－
2} ，故选
C．
2．A［解析］ z
=
1 + 2i (1 − i)2
=
1 + 2i −2i
=
(1 + 2i)i −2i2
= −1 +
1 2
i
，所以
z
的虚部为
1 2
x
，g
(x)在点［
π， g(π)
］处的切线斜率为
g′(π)
=
−1 ，依题意有 1
−
a 2
=
−1 ，
解得 a=4．
15．(x+2)2+(y+1)2=4［解析］依题意设圆 C 的圆心为(2b，b) (b＜0)，则半径 r = －2b，因为圆
C 截 x 轴所得的弦长为 2 3 ，所以 4b2－b2=3，解得 b = －1，所以圆 C 的标准方程为
18．证明：（1）取 CD 中点为 M，连接 ME，MF．
∵E，F 分别是 D1C，AB 的中点，底面 ABCD、
侧面 CDD1C1 均为平行四边形，
∴ME∥DD1∥CC1，MF∥BC．
又∵ME ⊄ 平面 BCC1B1，MF ⊄ 平面 BCC1B1，
∴ME∥平面 BCC1B1，MF∥平面 BCC1B1，
……………8 分
选出 3 人中没有选择化学学科的同学的所有可能的结果为
{A，B，C}，{A，B，D}，{A，B，E}，
{A，C，D}，{A，C，E}，{A，D，E}，
2020年云南省高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)
2020年云南省高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合A ＝{1, 2, 3, 5, 7, 11}，B ＝{x|3<x <15}，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A.3 B.2 C.5 D.42. 若z ¯(1+i)=1−i ，则z =( ) A.1+i B.1−iC.iD.−i3. 设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为（ ） A.0.1 B.0.01 C.10 D.14. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)（t 的单位：天）的Logistic 模型：I(t)=K1+e ，其中K 为最大确诊病例数．当I(t ∗)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t ∗约为( )(ln 19≈3) A.63 B.60 C.69 D.665. 已知sin θ+sin (θ+π3)＝1，则sin (θ+π6)＝（ ） A.√33 B.12C.√22D.236. 在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点．若AC →⋅BC →=1，则点C 的轨迹为（ ） A.椭圆 B.圆 C.直线 D.抛物线7. 设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C:y 2＝2px(p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（ ） A.(12, 0) B.(14, 0)C.(2, 0)D.(1, 0)8. 点(0, −1)到直线y ＝k(x +1)距离的最大值为（ ） A.√2 B.1C.2D.√39. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A.4+4√2B.6+4√2C.4+2√3D.6+2√310. 设a ＝log 32，b ＝log 53，c =23，则（ ）A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.b <c <a11. 在△ABC 中，cos C =23，AC ＝4，BC ＝3，则tan B ＝（ ） A.2√5 B.√5 C.8√5 D.4√512. 已知函数f(x)＝sin x +1sin x ，则（ ） A.f(x)的图象关于y 轴对称B.f(x)的最小值为2C.f(x)的图象关于直线x =π2对称D.f(x)的图象关于直线x ＝π对称二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
云南省昆明市云南民族中学西南名校2020届高三数学第二次月考试题 文 答案
1云南民族中学2020届高考适应性月考卷（二）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DABCBDABCCAD【解析】1．由{123}A =，，，{|21}B y y x x A ==+∈，，∴{357}B =，，，因此{12357}A B =U ，，，，，故选D ．2．1i (1i)2CA CB BA =+=-++--=-u u u r u u u r u u u r，故选A ．3．若+=0a b ，则=-a b ，所以∥a b ，若∥a b ，则+=0a b 不一定成立，故前者是后者的必要不充分条件，故选B ．4．由题意知前5个个体的编号为08，02，14，07，01，故选C ．5．设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意知235444(1)a a a a =-=，则244440a a -+=，解得42a =，又114a =，所以3418a q a ==，即2q =，所以2112a a q ==，故选B ．6．由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且1(12)232S =+⨯=底，∴133V x =g3=，解得3x =，故选D ．7．设(31)P ，，圆心(22)C ，，则||2PC =(31)P ，且与PC 垂直，所以最短弦长为2222(2)22-=A ． 8．若输入20N =，则2i =，0T =，20102N i ==是整数，满足条件，011T =+=，213i =+=，5i ≥不成立，循环；203N i =不是整数，不满足条件，314i =+=，5i ≥不成立，循环；2054N i ==是整数，满足条件，112T =+=，415i =+=，5i ≥成立，输出2T =，故选B ．9．如图1所示，将直三棱柱111ABC A B C -补充为长方体，则该长方222(23)(3)14++=，设长方体的外接球的半径为R ，则24R =，2R =，所以该长方体的外接球的体积3432ππ33V R ==，故选C ．10．根据函数图象可知，当0x <时，切线的斜率小于0，且逐渐减小，当0x >时，切线的斜图12率大于0，且逐渐增大，故选C ．11．由题意(0)A a -，，(0)F c ，，2c a M ⎛- ⎝⎭，由双曲线的定义可得22c a cc a a a c+=--，∴22340c ac a --=，∴2340e e --=，∴4e =，故选A ．12．∵()f x 在区间123⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数, ∴1()20f x x a x '=+-≥在123⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立，即12a x x -+≥在123⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立，∵1x x -+在123⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，∴1x x -+的最大值83=，∴823a ≥，即43a ≥，故选D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．由(34)=-，a ，(02)=，b ，所以||5=a ，||2=b ，4cos 5θ=，因为[0π]θ∈，，所以3sin 5θ=，所以3||||||sin 5265θ⨯==⨯⨯=a b a b ．14．分类讨论，当0a >时，作图可得2a =；当0a ≤时，无解．15．设第n 年开始超过200万元， 则2015130(112%)200n -⨯+>，化为(2015)lg1.12n ->lg2lg1.3-，0.300.112015 3.80.05n -->=，取2019n =，因此开始超过200万元的年份是2019年． 16．由正弦定理得24sin sin sin30AB BC C A ===︒，∵5π6A B +=，∴4sin AC B +=+514sin π4sincos 10sin 62A B B B B B B B ⎫⎛⎫=+-=++=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭)B ϕ=+，∴AC 的最大值为三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）317．（本小题满分12分）解：（1）设{}n a 的公比为q ， 由题设可得121(1)2(1)6a q a q q +=⎧⎪⎨++=-⎪⎩，，解得2q =-，12a =-，故{}n a 的通项公式为(2)n n a =-．…………………………………………（6分）（2）由（1）可得11(1)22(1)133n n n n a q S q +-==-+--， 由于3221422(1)33n n n n n S S ++++-+=-+- 1222(1)233n n n S +⎡⎤=-+-=⎢⎥⎣⎦， 故1n S +，n S ，2n S +成等差数列． ………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）设各组的频率为(123456)i f i =，，，，，，依题意，前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列， 故10.150.20.03f =⨯=，20.450.20.09f =⨯=，22310.27f f f ==， 所以由36()41(0.030.09)2f f +⨯=-+， 得60.17f =，所以视力在5.0以下的频率为10.170.83-=，故全年级视力在5.0以下的人数约为10000.83830⨯=．………………………………………………………（8分）（2）2K 的观测值2100(4118329) 4.110 3.84150507327k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．………………………………………………………（12分）419．（本小题满分12分）如图2，取BC 的中点D ，连接AD ，1B D ，1C D ． （1）证明：∵11B C BC ∥，112BC B C =， ∴四边形11BDC B ，11CDB C 是平行四边形， ∴11C D B B ∥，11CC B D ∥， 在正方形11ABB A 中，11//BB AA ， ∴11C D AA ∥，∴四边形11ADC A 为平行四边形， ∴11AD AC ∥，∵1B D AD D =I ，∴平面1ADB ∥平面11A C C ， 又1AB ⊂平面1ADB ，∴1AB ∥平面11A C C ． …………………………………（6分）（2）解：在正方形11ABB A 中，12A B =， 又1A BC △是等边三角形，∴12A C BC == ∴22211AC AA A C +=，222AB AC BC +=， 于是1AA AC ⊥，AC AB ⊥，又1AA AB ⊥，∴1AA ⊥平面ABC ，∴1AA CD ⊥， 又CD AD ⊥，1AD AA A =I ， ∴CD ⊥平面11ADC A ，于是多面体111ABC A B C -是由直三棱柱111ABD A B C -和四棱锥11C ADC A -组成的． 又直三棱柱111ABD A B C -的体积为1221124=，四棱锥11C ADC A -的体积为1221136=，故多面体111ABC A B C -的体积为1154612+=．………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）∵2263P ⎛ ⎝⎭，是抛物线E ：22(0)y px p =>上一点， ∴2p =，即抛物线E 的方程为24y x =，(10)F ，，图25∴221a b -=．又∵2263P ⎛ ⎝⎭，在椭圆C ：22221x y a b +=上，∴2248193a b+=，结合221a b -=知23b =（舍负），24a =， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=，抛物线E 的方程为24y x =．…………………………………………（5分）（2）如图3，由题意可知直线l 1的斜率存在，设直线l 1的方程为(1)y k x =-， 11()A x y ，，22()B x y ，，33()C x y ，，44()D x y ，．①当0k =时，||4AB =，直线l 2的方程为1x =，||4CD =， 故1||||82ACBD S AB CD ==g g 四边形； ②当0k ≠时，直线l 2的方程为1(1)y x k =--，由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2222(34)84120k x k x k +-+-=，∴2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+．由弦长公式知2222121212212(1)||1|(1)[()4]43k AB k x x k x x x x k ++-=++-=+，同理可得2||4(1)CD k =+． ∴2222221112(1)24(1)||||4(1)224343ACBDk k S AB CD k k k ++==+=++g g g g 四边形． 令21t k =+，(1)t ∈+∞，， 则2222424244141124ACBDt S t t t t ===-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭四边形， 当(1)t ∈+∞，时，1(01)t ∈，，21243t ⎛⎫--+< ⎪⎝⎭，2483ACBD S >=四边形．综上所述，四边形ACBD 面积的最小值为8．…………………………（12分）图3621．（本小题满分12分）解：（1）当2a =时，2()(2)e x f x x x =-+， 2()(2)e x f x x '=-+．当()0f x '>时，2(2)e 0x x -+>，注意到e 0x >， 所以220x -+>，解得x << 所以函数()f x的单调递增区间为(；同理可得，函数()f x的单调递减区间为(-∞，和)+∞．………………………………………………………………（4分）（2）因为函数()f x 在(11)-，上单调递增， 所以()0f x '≥在(11)-，上恒成立． 又2()[(2)]e x f x x a x a '=-+-+，即2[(2)]e 0x x a x a -+-+≥，注意到e 0x >， 因此2(2)0x a x a -+-+≥在(11)-，上恒成立，也就是221111x x a x x x +=+-++≥在(11)-，上恒成立． 设111y x x =+-+，则2110(1)y x '=+>+，即111y x x =+-+在(11)-，上单调递增， 则1311112y <+-=+，故32a ≥． …………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）利用22cos sin 1ϕϕ+=，把圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩，，(ϕ为参数)化为22(1)1x y -+=，∴22cos 0ρρθ-=，即2cos ρθ=． ………………………………………（5分）（2）设11()ρθ，为点P 的极坐标，由1112cos π3ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，，解得111π.3ρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，7设22()ρθ，为点Q的极坐标，由2222(sin )π3ρθθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得223π.3ρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩， ∵12θθ=，∴12||||2PQ ρρ=-=．……………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）当1a =时，230()||2|1|201321x x f x x x x x x x -<⎧⎪=+-=-⎨⎪->⎩，，，≤≤，，，当0x <时，由238x -≤，得20x -<≤； 当01x ≤≤时，由28x -≤，得01x ≤≤； 当1x >时，由328x -≤，得1013x <≤， 综上所述，不等式()8f x ≤的解集为1023⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．…………………………………………………………………（5分）（2）∵230()||2||2032a x x f x x x a a x x a x a x a -<⎧⎪=+-=-⎨⎪->⎩，，，≤≤，，，则()f x 在()a -∞，上单调递减，在()a +∞，上单调递增， ∴当x a =时，()f x 取最小值a ， 若()6f x ≥恒成立，则6a ≥， ∴实数a 的取值范围为[6)+∞，．…………………………………………（10分）。
云南2020届高三下学期高考适应性月考卷(七)文科数学(含答案)
2020届云南高三下学期高考适应性月考卷(文科)数学（七）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.体育节到来，多数同学都会参加至少一个运动项目.设集合U={甲班全体同学},集合A= {参加跳高的甲班同学},集合B= {参加跳远的甲班同学},则()U A B ⋂ð)表示的是A.既参加跳高又参加跳远的甲班同学B.既不参加跳高也不参加跳远的甲班同学C.参加跳高或跳远的甲班同学D.不同时参加跳高和跳远的甲班同学2.已知复数13,z i =-+则28z= .13A i -+.13B i -- .13C i +.13D i - 3.已知平面向量,,a b rr 命题“||2||a b =r r ”是“|2||2|a b a b +=-r r r ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某工厂为了对40个零件进行抽样调查,将其编号为00, 01, 38, 39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表,从第一行第3列开始，由左至右依次读取,则选出来的第5个零件编号是A.36B.16C.11D.145. 一场考试之后，甲、乙、丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多则可以完全确定的是A.甲同学三个科目都达到优秀B.乙同学只有一个科目达到优秀C.丙同学只有一个科目达到优秀D.三位同学都达到优秀的科目是数学6.朱世杰是元代著名的数学家,有“中世纪世界最伟大的数学家”之称.其著作《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著,受到数学史研究者的高度评价.《四元玉鉴》下卷“杂范类会”中第一问为: "今有沈香立圆球一只，径十寸,今从顶截周八寸四分,问厚几何?"大意为现有一个直径为10的球,从上面截一小部分,截面圆周长为8.4,问被截取部分几何体的高为多少.已知朱世杰是以圆周率为3来计算，则《四元玉鉴》中此题答案为(注:24.823.04=)A.0.2B.0.4C.0.6D.0.87.函数25()x xx f x e e -=+的图象大致为8.已知抛物线22(0)y px p =>的准线与椭圆22194x y +=相交的弦长为3,则p= A.1 B.2 C.3 D.49.在正四面体A-BCD 中, E. F 分别为AB, CD 的中点,则下列命题不正确的是 A. EF ⊥ABB. EF ⊥CDC.EF 与AC 所成角为4πD.EF 与BD 所成角为3π 10. 如图1,已知在算法中“\”和“mod”分别表示取商和取余数.为了验证三位数卡普雷卡尔“数字黑洞”( 即输入一个无重复数字的三位数，经过如图的有限次的重排求差计算，结果都为495).小明输入x=325，则输出的i=A.3B.4C.5D.611.已知函数2()cos ,f x x x =-1351(log 3),(log ),5a f b f ==C=31(()),5fA. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD. c>a>b12.双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位通过船(待定点)接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差,两个距离差即可形成两条位置双曲线,两者相交便可确定船位我们来看一种简单的“特殊”状况:如图2所示,已知三个发射台分别为A, B. C 且刚好三点共线，已知AB=34海里，AC=20海里.现以AB 的中点为原点, AB 所在直线为x 轴建系.现根据船P 接收到C 点与A 点发出的电磁波的时间差计算出距离差,得知船P 在双曲线22(27)13664x y --=的左支上，若船P 上接到A 台发射的电磁波比B 台电磁波早185.2μs(已知电磁波在空气中的传播速度约为0.3km/μs.1海里=1.852km),则点P 的坐标(单位:海里)为A.903211(,)7B.135322(,7 32.(17,)3C ±D. (45,162)±二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分) 13. 曲线2(1)ln y x x =+在(1, 0)处的切线方程为_____14.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足13,a =且1413,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =____15. 已知x, y 满足315,212,,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨∈⎪⎪∈⎩N N,则z=3x+2y 的最大值为____16.已知ω>14，函数()sin()4f x x ωπ=+在区间(π, 2π)上单调. 1(,1].4ω∈①②f(x)在区间(π, 2π)上单调递减;③f(x)在区间(0, π)上有零点;④f(x) 在区间(0, π)上的最大值一定为1. 以上四个结论，其中正确结论的编号是____三、解答题(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. （本小题满分12分）华为手机作为全球手机销量第二位，一直深受消费者喜欢。
云南省2020届高三适应性考试数学(文)试题(A卷) Word版含解析
2020届高三适应性考试 文 科 数 学 试 卷本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合A ＝{x |－3<x <3}，B ＝{x |(x ＋4)(x －2)>0}，则A ∩B ＝( ) A. {x |－3<x <2} B. {x |2<x <3} C. {x |－3<x <－2} D. {x |x <－4或x >－3} 【答案】B 【解析】{}{|33|4A B x x x x ⋂=-<<⋂<-或}{}2|23x x x >=<<，故选B ．2. 已知i 为虚数单位，若复数z 满足2(1i)3(1i)z -=++，则复数z 的共轭复数z =（ ） A. 15i 22-+ B.1522i - C. 15i - D. 15i -+【答案】B 【解析】 【分析】由复数的运算法则计算出z ，即可得出共轭复数. 【详解】2(1i)3(1i)32z i -=++=+，23213235215111222i i i i i zi ii i ， 1522z i ∴=-. 故选：B.【点睛】本题考查复数的运算及共轭复数的求法，属于基础题. 3. 已知0.2log7a=，90.2b=，ln25c=，则（）A. c a b<< B. a c b<< C. b a c<< D. a b c<<【答案】D【解析】【分析】根据对数函数、指数函数的单调性以及借用中间值0，1比较可得结果.【详解】由题可知：0.20.2log7log10=<=a，9000.20.21<=<=b，由ln2ln1>，所以ln2ln105551=>==c故a b c<<故选：D【点睛】本题考查对数式、指数式之间比较大小，比较大小常用：作差比较法、作商比较法、函数单调性，同时借用特殊值0，1进行比较，属基础题.4. 唐狩猎纹高足银杯如图1所示，银杯经锤揲成型，圆唇侈口，直壁深腹，腹下部略收，下承外撇高足．纹样则采用堑刻工艺，鱼子地纹，杯腹上部饰一道凸弦纹，下部阴刻一道弦纹，高足中部有“算盘珠”式节．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为2143Rπ．设酒杯上面部分（圆柱）的体积为1V，下面部分（半球）的体积为2V，则12VV的值是= （）A. 1 B.32C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】设圆柱的高为h，表示出表面积可得43h R=，再分别表示出12,V V即可.【详解】设酒杯上部分圆柱的高为h，则酒杯内壁表面积221144223S R Rh Rπππ=⨯+=，则43h R=，23143V R h Rππ∴==，321423V Rπ=⨯，122VV∴=.故选：C.【点睛】本题考查圆柱、球体积及表面积的公式，需熟记公式，属于基础题.5. 执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A. 16B. 32C. 64D. 1024【答案】C【解析】0111n S，==⨯=;1122n S==⨯=，;2248n S==⨯=，;38864n S==⨯=，. 6. 已知实数,x y满足不等式组2034802x yx yx+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y=-的最大值为（）A. 2- B. 2 C. 4- D. 4【答案】D【解析】【分析】画出可行域，然后作出目标函数的一条等值线20x y -=，通过平移等值线找到目标函数取最大值的最优解，可得结果. 【详解】如图由2z x y =-，令0z =，则目标函数的一条等值线为20x y -= 当该等值线经过点()2,0A 时，目标函数有最大值 所以max 2204z =⨯-= 故选：D【点睛】本题考查线性规划的问题，此种类型的问题，常看几步：（1）画出可行域；（2）根据线性的和非线性的理解z 的含义，然后简单计算，属基础题.7. 在ABC 中,点D 在线段BC 上,2BD DC =,若AD AB AC λμ=+(λ,R μ∈),则μλ=（ ） A.12B. 2C.13D.23【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】∵2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+, AD AB AC λμ=+(λ,R μ∈),所以12033AB AC λμ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又因为AB 与AC 不共线,所以103λ-=且203μ-=,所以13λ=,23μ=,所以2μλ=.故选：B【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算,需要将所求的向量表达成所给的基底向量,属于基础题.8. 函数2()cos sin(1)31xf x x =⋅-+的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及取特殊值，对比图像可得结果. 【详解】方法一：由题可知函数()f x 的定义域为R ，因为23113131x x x --=++， 所以()f x -=3113cos()sin()cos sin()()3113x xx xx x f x -----⋅=⋅=-++， 所以函数()f x 为奇函数，故可排除选项A 、B ． 又cos10>，2sin(1)31-=+1sin 02>， 所以1(1)cos1sin02f =⨯>，故排除选项D ．故选C ． 方法二：因为1(1)cos1sin()02f -=⨯-<，1(1)cos1sin 02f =⨯>，所以观察各选项中的图象可知C 符合题意， 故选：C ．【点睛】本题考查给出解析式判断函数大致图像，对这种问题，常常考虑：函数定义域、奇偶性、单调性、特殊值、最值等，属基础题.9. 已知函数()3cos()(0)f x x x ωωω=+π+>的最小正周期为π，则下列说法错误的是（ ）A. 函数()f x 的图象关于点5(,0)12π-对称 B. 函数()f x 的图象关于直线3x π=对称C. 将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度后所得函数的图象关于原点对称D. 函数()f x 区间5(,)36ππ上单调递减【答案】C 【解析】 【分析】根据三角恒等变换得()3sin cos 2sin()6f x x x x ωωωπ-=-，再由函数()f x 的最小正周期公式，求得函数()2sin(2)6f x x π=-．运用整体代换法逐一求函数的对称中心，对称轴，图象的平移，以及函数的单调区间判断得选项.【详解】由题可得()3sin cos 2sin()6f x x x x ωωωπ-=-，因为函数()f x 的最小正周期为π，所以2ππω=，解得2ω=，所以()2sin(2)6f x x π=-．令2()6x k k Z ππ-=∈，解得()212k x k Z ππ=+∈，所以函数()f x 的图象的对称中心为(,0)()212k k ππ+∈Z ， 当1k =-时，对称中心为5(,0)12π-，故A 正确； 令2()62x k k Z πππ-=+∈，解得()23k x k Z ππ=+∈，所以函数()f x 的图象的对称轴方程为()23k x k Z ππ=+∈， 当0k =时，对称轴方程为3x π=，故B 正确；将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度后可得函数2sin[2()]126y x ππ=--=2sin(2)3x π-的图象， 所以函数2sin(2)3y x π=-不是奇函数，其图象不关于原点对称，故C 错误；由3222()262k x k k ππππ+<-<π+∈Z ，可得3k x ππ+<<5()6k k ππ+∈Z ，所以函数()f x 的单调递减区间为5(,)()36k k k πππ+π+∈Z ，当0k =时，单调递减区间为5(,)36ππ，故D 正确．故选：C ．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，正弦型函数的对称中心、对称轴、单调性、图象的平移，属于中档题.10. 设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 满足12=a ，*142()n n n a a S n +=-∈N ，则20212020a a -=（ ）A. 3B. 3-C. 13-D.13【答案】A 【解析】 【分析】通过n n a S ，之间的关系，可得24n n a a +-=，然后对n 分奇数和偶数，根据等差数列的通项公式可得结果.【详解】因为*142()n n n a a S n +=-∈N ，12=a ， 所以令1n =，可得12142a a a =-，解得2=3a ， 由142n n n a a S +=-，可得12142n n n a a S +++=-， 上述两式相减可得121()4n n n n a a a a +++-=，因为数列{}n a 的各项均为正数，所以24n n a a +-=，所以当n 为奇数时，数列{}n a 是首项为2，公差为4的等差数列， 当n 为偶数时，数列{}n a 是首项为3，公差为4的等差数列，所以2,21,n n n a n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，所以2021202022021(220201)3a a -=⨯-⨯-=，故选：A ．【点睛】本题考查n n a S ，之间的关系，熟练掌握11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩，重在计算和理解，属中档题.11. 已知抛物线2:2C y px =(0)p >的焦点到准线的距离为1，若抛物线C 上存在关于直线:20l x y --=对称的不同两点P 和Q ，则线段PQ 的中点坐标为（ ）A. ()1,1-B. ()2,0C. 13,22⎛⎫-⎪⎝⎭ D. ()1,1【答案】A 【解析】 【分析】求得曲线2:2C y x =，设点()11,P x y ，()22,Q x y ，代入曲线方程，求出122PQ k y y =+，又由P ，Q 关于直线l 对称得出1PQ k =-，进而求出线段PQ 的中点坐标. 【详解】解：因为焦点到准线的距离为p ，则1p =， 所以22y x =．设点()11,P x y ，()22,Q x y ．则21122222y x y x ⎧=⎨=⎩，则()()()1212122y y y y x x -+=-，122PQ k y y ∴=+，又P ，Q 关于直线l 对称．1PQ k ∴=-，即122y y +=-，1212y y+∴=-，又PQ ∵的中点一定在直线l 上，12122122x x y y ++∴=+=． ∴线段PQ中点坐标为()1,1-．故选：A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题.12. 已知函数()|2|2f x x =-+，()ln g x ax x =-，若对0(0,e)x ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈，使得012()()()f x g x g x ==，其中12x x ≠，则实数a 的取值范围是（ ）A. 5[,e)eB. 1(,)e eC. 1[1,e)e +D. 15[1,]e e+【答案】A 【解析】 【分析】根据题意解出函数()|2|2f x x =-+的值域，再分析函数()ln g x ax x =-的特征，由已知条件可知其必须在区间(0,)e 先减后增，结合函数()|2|2f x x =-+的值域即可得到关于a 的不等式组，即可解得.【详解】因为()|2|2f x x =-+，所以当0(0,e)x ∈时，0()[2,4)f x ∈． 由()ln g x ax x =-，可得1()g x a x '=-=1ax x-，当0a ≤时，()0g x '<，所以函数()g x 在(0,)e 上单调递减，不符合题意，所以0a >．令()0g x '=，可得1(0,e)x a=∈，则函数()g x 在1(0,)a上单调递减，在1[,e)a 上单调递增，因为对0(0,e)x ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈，使得012()()()f x g x g x ==，其中12x x ≠，所以1()2()4g a g e ⎧<⎪⎨⎪≥⎩且1(0,)e a ∈，解得5a e e ≤<，所以实数a 的取值范围是5[,e)e．故选:A ．【点睛】本题考查了利用导数求解参数的范围，属于中档题目，解题关键有三处：一是分析求解函数()y f x =的值域；二是根据条件分析函数()y g x =的单调特征；三是根据其单调性及方程根的个数确定出关于a 的不等式组.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数1()ln 1f x x =-，则(2)f =__________． 【答案】3ln 2【解析】 【分析】令121x =-，可得32x =，代入可得答案. 【详解】令121x =-，可得32x =，所以3(2)=ln 2f ． 故答案为：3ln 2.【点睛】本题考查求函数值，整体代入是解决此类问题的常用方法，属于基础题.14. 已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos A sin B =sin A +2sin C ．则B =______； 【答案】23π【解析】 【分析】由已知利用两角和的正弦函数公式可得sin 2sin cos 0A A B +=，结合sin 0A ≠，可求得1cos 2B =-，结合范围(0,)B π∈，可求B 的值．【详解】解：2cos sin sin 2sin sin 2sin()sin 2sin cos 2sin cos A B A C A A B A A B B A =+=++=++， sin 2sin cos 0A A B ∴+=，sin 0A ≠，12cos 0B ∴+=，解得1cos 2B =-， (0,)B π∈，23B π∴=． 故答案为：23π【点睛】本题考查两角和的正弦公式的应用，属于基础题.15. 设12(,0),(,0)F c F c -分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，若直线x c=与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M ，N ，且160MF N ∠=︒，则双曲线C 的离心率为__________． 21【解析】 【分析】焦点为12(,0),(,0)F c F c -的双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，与直线x c =交于点M ，N 即有2||bcMN a =，又160MF N ∠=︒知tan 302b a︒=结合222+=a b c 即可求离心率 【详解】根据题意，得2||bcMN a=，又1=60MF N ∠︒可得2243a b = ∴由222+=a b c 知：2273a c =，即21c a有双曲线C 的离心率为21321【点睛】本题考查求双曲线的离心率，由过焦点的定直线与双曲线渐近线交点与另一焦点构成的定角求双曲线离心率，注意渐近线性质及参数,,a b c 关系的应用 16. 已知R λ∈，函数10()lg 0x x f x x x ⎧+<⎪=⎨>⎪⎩，，，2()414g x x x λ=-++．若关于x 的方程[()]f g x λ=有8个解，则λ的取值范围为__________．【答案】2(0)5，. 【解析】令g （x ）=t ，则方程f （t ）=λ的解有4个，根据图象可知，0＜λ＜1． 且4个解分别为t 1=﹣1﹣λ，t 2=﹣1+λ，t 3=10λ，41()10t λ= 则x 2﹣4x+1+4λ=﹣1﹣λ，x 2﹣4x+1+4λ=﹣1+λ， x 2﹣4x+1+4λ=10λ，x 2﹣4x+1+4λ=1()10λ均有两个不相等的实根， 则△1＞0，且△2＞0，且△3＞0，40>即16﹣4（2+5λ）＞0且16﹣4（2+3λ）＞0，解得0＜λ＜25， 当0＜λ＜25时，△3=16﹣4（1+4λ﹣10λ）＞0即3﹣4λ+10λ＞0恒成立， 同理40>也恒成立；故λ的取值范围为（0，25）． 故答案为（0，25）．点睛：本题考查分段函数的应用，考查数形结合的思想方法，方程解的问题转化为函数图象的交点问题，由二次方程的判别式得到解决，本题有一定的难度．通常方程解的问题有三类解决方法，其一直接研究函数和x 轴的交点个数问题；其二可以变量分离，转化为常函数和函数的交点个数问题；其三转化为两个初等函数的交点问题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知数列{}n a 满足：()*12111,2,22,n n n a a a a a n n N-+===+≥∈，数列{}nb 满足111=2, =2n n n n b a b a b ++．（1）求数列{}n a 的通项n a ，并求证：数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列 ； （2）求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n S ．【答案】（1）n a n =，证明过程见详解；（2）2n n b n =⋅，1(1)22+=-⋅+n n S n ．【解析】 【分析】（1）由()*1122,n n n a a a n n -+=+≥∈N可得{}na 为等差数列，把11,1ad == 代入等差数列的通项公式即可得n a ；把n a n = 代入整理，构造新等比数列，利用等比数列的定义即可求证n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）先求n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，即可n b ，根据错位相减法，即可求得前n 项和n S ． 【详解】（1）()*1122,n n n a a a n n N -+=+≥∈，∴{}n a 是等差数列 又121,2a a ==()111n a n n ∴=+-⋅=证明：n a n =()121n n nb n b +∴=+121n n b bn n+∴=⋅+ ∴n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以121b = 为首项，2q为公比的等比数列．（2）由上可知1222,n n nn b b n n-∴=⨯=⋅ 1231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⋅——①234121222322n n S n +=⨯+⨯+⨯++⋅——②①-②得：123122222n n n S n +-=++++-⋅化简得：1(1)22+=-⋅+n n S n【点睛】本题考查等差数列和等比数列的定义及通项公式的求法，以及利用定义证明等比数列，是基础题．18. 某校为了有效地加强高中生自主管理能力，推出了一系列措施，其中自习课时间的自主管理作为重点项目，学校有关处室制定了“高中生自习课时间自主管理方案”.现准备对该“方案”进行调查，并根据调查结果决定是否启用该“方案”，调查人员分别在各个年级随机抽取若干学生对该“方案”进行评分，并将评分分成[)30,40，[)40,50，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，[]90,100七组，绘制成如图所示的频率分布直方图.相关规则为①采用百分制评分，[)60,80内认定为对该“方案”满意，不低于80分认定为对该“方案”非常满意，60分以下认定为对该“方案”不满意；②学生对“方案”的满意率不低于80%即可启用该“方案”；③用样本的频率代替概率.（1）从该校学生中随机抽取1人，求被抽取的这位同学非常满意该“方案”的概率，并根据频率分布直方图求学生对该“方案”评分的中位数.（2）根据所学统计知识，判断该校是否启用该“方案”，说明理由. 【答案】（1）325，中位数66（2）该校不应启用该“方案”.见解析 【解析】 【分析】（1）计算概率得到答案，设中位数为0x ，则()00.020.060.240.03600.5x +++⨯-=，解得答案.（2）计算评分在[]60,100的频率为0.680.80<，得到答案.【详解】（1）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是()30.010.0021025+⨯=， 设中位数为0x ，根据中位数将频率分布直方图的左右两边分成面积相等的两部分可知，()00.020.060.240.03600.5x +++⨯-=，解得066x =.（2）根据题意，60分或以上被认定为满意或非常满意， 在频率分布直方图中，评分在[]60,100的频率为()0.0300.0260.010.002100.680.80+++⨯=<， 根据相关规则，该校不应启用该“方案”.【点睛】本题考查了频率分布直方图，概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19. 如图，三棱锥A BCD -中，侧面ABD △是边长为2的正三角形，22AC CD ==，平面ABD ⊥平面BCD ，把平面ACD 沿CD 旋转至平面PCD 的位置，记点A 旋转后对应的点为P （不在平面BCD 内），M 、N 分别是BD 、CD 的中点.（1）求证：CD MN ⊥；（2）求三棱锥C APD -的体积的最大值. 【答案】（1）证明见解析；（2）58. 【解析】 【分析】（1）连接AM 、MC ，利用面面垂直的性质定理得出AM ⊥平面BCD ，可得出AM MC ⊥，利用勾股定理计算出1MC =，推导出BCD 是以BCD ∠为直角的直角三角形，再由中位线的性质得出//MN BC ，由此可得出MN CD ⊥；（2）由ACD △的面积为定值，可知当平面PCD ⊥平面ACD 时，三棱锥P ACD -的体积最大，连接PN 、AN ，推导出PN 平面ACD ，计算出AN 、PN 以及ACD △的面积，然后利用锥体的体积公式可求得结果. 【详解】（1）如图，连接AM 、MC ，因为AB AD =，M 是BD 的中点，所以AM BD ⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，AM ⊂平面ABD ， 所以AM ⊥平面BCD ，MC ⊂平面BCD ，所以AM MC ⊥．因为ABD △为边长为2的正三角形，所以3AM = 又2AC =，所以由勾股定理可得221MC AC AM -=，又1MC MD MB ===，MCB MBC ∴∠=∠，MCD MDC ∠=∠，180MBC MDC BCD ∠+∠+∠=，则2180BCD ∠=，90BCD ∴∠=，所以BCD 为直角三角形，且BC CD ⊥，又M 、N 分别是BD 、CD 的中点，所以//MN BC ，所以MN CD ⊥； （2）如图，连接AN 、PN ，因为三棱锥C APD -与三棱锥P ACD -为同一个三棱锥，且ACD △的面积为定值， 所以当三棱锥P ACD -的体积最大时，则平面PCD ⊥平面ACD ，AC AD =，则PC PD =，N 为CD 的中点，则PN CD ⊥，平面PCD ⊥平面ACD ，平面PCD平面ACD CD =，PN ⊂平面PCD ，PN ∴⊥平面ACD ，此时点P 到平面ACD 的距离为22152PN AN AC CN ==-=， 在ACD △中，因为2AC AD ==，1CD =，所以11151512224ACD S CD AN =⋅=⨯⨯=△， 所以P ACD V -的最大值为1115155338ACD S PN ⋅==△， 所以三棱锥C APD -的体积的最大值为58． 【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，同时也考查了利用等体积法计算三棱锥体积的最值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20. 已知曲线()ln f x ax b x =-在点1x =处的切线方程为(1)1y e x =-+，其中e 为自然对数的底数．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若在区间(1,4)内，存在x 使得不等式()f x mx <成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）函数()f x 的单调递减区间为1(0,)e，单调递增区间为1(,)e +∞；（2）1(,)e e -+∞．【解析】 【分析】（1）函数()f x 求导，()bf x a x'=-，利用切线方程求得a e =，1b =，得到()ln f x ex x =-，再得到函数单调区间.（2）存在x 使得不等式()f x mx <成立等价于()f x m x <，构造()()(0)f xg x x x=>，求得min ()g x m <得解【详解】（1）由题可得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()bf x a x'=-，则(1)e 1f a b '=-=-， 又(1)e f a ==，所以1b =，所以()ln f x ex x =-，1()f x e x'=-， 当()0f x '>，即1e 0x ->时，解得1x e>； 当()0f x '<，即1e 0x -<时，结合0x >，解得10x e<<， 所以函数()f x 的单调递减区间为1(0,)e，单调递增区间为1(,)e+∞． （2）由（1）可知()e ln (0)f x x x x =->，由()f x mx <，可得()f x m x<， 令()()(0)f x g x x x=>，则ln ()e (0)xg x x x =->， 因为在区间(1,4)内，存在x 使得不等式()f x mx <成立，所以当(1,4)x ∈时，min ()g x m <． 易得2ln 1()x g x x -='，令()0g x '=，可得x e =， 当[1,4]x ∈时，()g x ，()g x '的变化情况如下表：x1(1,)e e (,4)e4()'g x－ 0 ＋()g x e单调递减极小值1e e-单调递增 ln 2e 2-由表可知min 1()e e g x =-，所以1e em >-，故实数m 的取值范围为1(,)e e -+∞．【点睛】本题考查导数几何意义及利用导数解不等式能成立问题求解参数，属于基础题.21. 已知椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的离心率6e ，且椭圆C 过点3(2)P ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点Q 是椭圆C 与x 轴正半轴的交点，斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于不同的两点D ，E ，若9QD QE k k ⋅=，问直线DE 是否恒过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）2213y x +=；（2）存在，直线DE 过定点(2,0)． 【解析】 【分析】(1)已知椭圆离心率有3ab ，又椭圆C 过点3(2)P ，代入椭圆方程即可求,a b ，即可得椭圆方程；(2) 设直线DE 为x ty m =+，1122(,),(,)D x y E x y ，由题意联立方程即可得12y y +、12y y ，结合9QD QE k k ⋅=即可求m ，从而可确定是否过定点 【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2c ，由6c e a ==，即2223c a =∴22213b ac a a 22-==，有3a b ，又椭圆C 过点3(2)P ∴22223()(2)31a b +=，解得31a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的标准方程为2213y x +=（2）由题可设直线DE 的方程为x ty m =+，由2213x ty m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，整理可得222(13)6330t y mty m +++-=， 设1122(,),(,)D x y E x y ，则2121222633,1313mt m y y y y t t-+=-=++ 由题意，可得(1,0)Q ，有12121212911(1)(1)QD QE y y y y k k x x x x ⋅=⋅==---- ∴2212121212129(1)(1)9(1)(1)99(1)()9(1)y y x x ty m ty m t y y m t y y m =--=+-+-=+-++-，且1m ≠（直线不过(1,0)点）即222(91)(1)183(1)(13)0t m mt m t -+-+-+=， 整理可得240m -=，解得2m = 故直线DE 过定点(2,0)【点睛】本题考查了椭圆，根据离心率及过定点求椭圆方程，由直线与椭圆有两交点，且两交点与椭圆上一点所得的两直线斜率之积为定值，判断直线是否过定点问题（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4−4：坐标系与参数方程]22. 曲线1C 的极坐标方程为r ρ=（常数0r >），曲线2C 的参数方程为()22131t x t y t -⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；（2）若曲线1C ，2C 有两个不同的公共点，求实数r 的取值范围. 【答案】（1）1C ：222x y r +=，2C ：()2100x y y +-=≠；（2）511,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】 【分析】（1）根据直角坐标与极坐标关系及题目条件cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得曲线1C 的直角坐标方程，利用消元法消去t 可得2C 的普通方程；（2）若曲线1C ，2C 有两个不同的公共点，法一：方程联立利用根与系数关系，利用判别式解出即可求实数r 的取值范围；法二：数形结合可得圆心到直线距离小于半径，解出即可求实数r 的取值范围.【详解】（1）方法一：由cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得：222x y r +=.由()22131t x t y t -⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩得：21x y +=，即()2100x y y +-=≠. ∴曲线1C 的直角坐标方程为：222x y r +=，2C 的普通方程为：()2100x y y +-=≠.方法二：由cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得：222x y r +=.由()221t x t -=+得：2212x t x +=-；由31y t =+得：3y t y -=. ∴22312x y x y+-=-.整理得2C 的普通方程为：()2100x y y +-=≠.∴曲线1C 的直角坐标方程为：222x y r +=，2C 的普通方程为：()2100x y y +-=≠. （2）方法一：由22221x y x y r+=⎧⎨+=⎩消y 得：225410x x r -+-=.由曲线1C ，2C 有两个不同的公共点得：22040r ∆=->，0r >解得：55r >. 又当圆1C ：222x y r +=过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭时，有12r =，且曲线2C 表示不过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线.∴12r ≠. ∴实数r 的取值范围为511,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 方法二：圆心()0,0到直线210x y +-=的距离为：5d =由曲线1C ，2C 有两个不同的公共点得：d r <，即5r >. 又当圆1C ：222x y r +=过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭时，有12r =，且曲线2C 表示不过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线.∴12r ≠. ∴实数r 的取值范围为511,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查直角坐标与极坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系，解题的关键是熟记直角坐标与极坐标的互化关系，直线与圆的位置关系可借助二次方程判别式或距离关系求解，属于中等题.[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数()|2||3|f x x ax =++-．（1）当3a =时，求不等式()6f x <的解集；（2）若12x ∀≥，不等式2()3f x x x ≤++恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）17(,)24-；（2）7[,4]2．【解析】【分析】(1)利用分类讨论的方式解绝对值不等式，3a =即可将区间分为2x <-、21x -≤≤、1x >，并分别求得对应解集，最后求并即为不等式()6f x <的解集；(2)由12x ∀≥上2()3f x x x ≤++恒成立，化简得24x a x x x-+≤≤+，利用函数的单调性、基本不等式即可求参数a 的范围 【详解】（1）当3a =时，()|2|3|1|f x x x =++-，不等式()6f x <为|2|3|1|6x x ++-< ①当2x <-时，不等式可化为2336x x --+-<，即45x -<，无解；②当21x -≤≤时，不等式可化为2336x x ++-<，即21x -<，解得112x -<≤； ③当1x >时，不等式可化为2336x x ++-<，即47x <，解得714x <<， 综上，可得1724x -<<，故不等式()6f x <的解集为17(,)24- （2）当12x ≥时，不等式2()3f x x x ≤++，即22|3|3x ax x x ++-≤++，整理得2|3|1ax x -≤+，即22131x ax x --≤-≤+即2224x ax x -+≤≤+，因为12x ≥，所以分离参数可得24a x x a x x ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩显然函数2()g x x x =-+在1[,)2+∞上单调递减，所以17()()22g x g ≤=，而函数44()24h x x x x x =+≥⋅=，当且仅当4x x=，即2x =时取等号，所以实数a 的取值范围为7[,4]2【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、利用不等式恒成立求参数范围；应用分类讨论的方式求绝对值不等式的解集，利用区间内不等式恒成立，结合函数单调性和基本不等式求参数范围。
2020年高考文科数学真题及答案（全国3卷）
2020年高考文科数学真题及答案(全国3卷)2020年高考共11套试卷，全国3卷适用：贵州、广西、云南、四川、西藏。
今天小编在这给大家整理了2020年高考文科数学真题及答案(全国3卷)，接下来随着小编一起来看看吧!2020年高考文科数学真题及答案(全国3卷)试题解读试题把握时代精神，落实立德树人根本任务，依托高考评价体系，加强关键能力考查，对接课程标准，与高中育人方式改革同向同行，助力高考综合改革平稳实施。
科学考查，突出语文关键能力科学考查语文学科关键能力，既是深化高考考试内容改革的基本要求，也是高考语文命题的一贯追求。
依据《中国高考评价体系》，关键能力是指进入高等学校的学习者，在面对与学科相关的生活实践或学习探索问题时，必须具备的高质量地认识、分析、解决问题的能力。
试题以阅读理解、信息整理、应用写作、语言表达、批判性思维和辩证思维等六项关键能力为突破点，探索学科能力考查的科学途径。
1.取材多样，考查阅读理解能力和信息获取能力阅读是获取知识信息、提高认知的基本途径，关系着一个人德、才、学、识的完善和提升。
在考查阅读理解、信息整理能力方面，试题重视对“读什么、如何读”的引导，提升思维能力和审美水平。
以全国Ⅰ卷的文学类阅读为例，材料节选自海明威的短篇小说《越野滑雪》，小说长于对滑雪的精彩描述和主人公细微的心理描写，试题由此出发，引导学生突破传统阅读惯性，与作品对话，产生情感共鸣。
在信息化时代，人们获取各类信息时拥有了前所未有的便利条件，甄别信息、整理信息、评估信息、利用信息成为重要的语文能力。
全国Ⅰ卷实用类阅读聚焦“新基建”，引导学生从多个文本中全面获取这项政策的出台背景、基本内涵、发展前景和国际反响等相关信息，试题主动适应信息时代特点，加大了对信息整理能力的考查力度。
2.巧设情境，聚焦语言表达和应用写作能力应用写作的适用范围非常广泛，凡是个人、集体、社会生活中所需要的书面交流与表达，都可以成为应用写作的考查内容。
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2020年云南省高三文科数学试题（含答案）
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码及填涂准考证号。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合
,则常数a 的值为
A.0或2
B.0或1
C.2
D.2
1
2.已知i 为虚数单位，设i
z 1
1-=,则复数z 在复平面内对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.设向量=a (3x ,-2),=b =(-6,2),若a //b
,则x = A.92- B.9
2
C.-2
D.2
4.为得到函数)32sin(3π
-=x y 的图象，只需要将函数x y 2sin 3=的
图象
A.向左平行移动
3π个单位 B.向右平行移动3π
个单位 C.向左平行移动6π个单位 D.向右平行移动6
π
个单位
5.执行如图所示的程序框图，若输入的S=0,则输出的S= 第 5题图 A.20 B.40 C.62 D.77
6.一个几何体的三视图如图所示（其中正视图的弧线为四分之一圆周）,则该几何体的体积为
A.32-4π
B.32-2π
C.64-4π
D.64-2π 7.已知实数x,y 满足约束条件,则z=2x+y 的
最大值等于
A.10
B.12
C.16
D.22
8.已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,经过点Q(-1,0)作直线l,l 与抛物线C 在第一象限交于A 、B 两点，若点F 在以AB 为直径的圆上，则直线l 的斜率为 A .
23 B . 2
2
C.21
D.1
9. 已知2tan =a ,则
a
a
2cos 4sin = A.58± B.54± C.58 D.5
4
10.已知正ABC 的顶点都在球O 的球面上，正ABC 的边长为32，球心O 到ABC 所在平面的距离为5,则球O 的表面积为
A.36π
B.32π
C.363π
D.323π 11. 已知双曲线C:
的左、右焦点分别为F1、F2,点A 是双曲线C 的
右顶点，点M 是双曲线C 的右支上一点，[MF 1|=5a.若F 2MA 是以∠AMF 2为顶角的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为 A.3 B.25 C.2
1
31- D. 2
1
33- 12.已知162
31)(2
3+-+=
x x m x x f 1在（-1,1)单调递减，则m 的取值范围为 A.[-3,3] B.(-3,3) C.[-5,5] D.(-5,5)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.对总数为N 的一批零件抽取一个容量为40的样本.若每个零件被抽取的概率为0.2,则N 等于
14.已知1
25
32)(+++⋅=x x a a x f ,若函数)(x f 的图象关于原点成中心对称图形，则常数a 的值
为 .
15.已知△ABC 的三个内角分别为A,B,C.若sin 2A+sin 2B+sinAsinB=sin 2C,则C 的值是
16.已知平行四边形ABCD 的面积为39,∠BAD=π3
2
，E 为线段BC 的中点.若F 为线段DE 上一
点，且AF =−→
−AB λ+AF ,则
AF
→
的最小值为 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）
某老师为了研究某学科成绩优良是否与学生性别有关系，采用分层抽样的方法，从高二年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩（单位：分）,得到如下图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定不低于80分为成绩优良。
其中30名男生该学科成绩分成以下六组：
[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100] (1)请完成下面的列联表（单位：人）: 成绩优良人数 成绩非优良人数 总计 男生 30 女生 20 总计
50
(2)根据（1)中的列联表，能否有90%的把握认为该学科成绩优良与性别有关系？
附：,其中n=a+b+c+d.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
18.(12分）
已知数列（a n ）的前n 项和为,设,数列{b n )的前
n 项和为T n .
(1)求数列{a n )的通项公式： (2)求T n
19.（12分）
如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=AC,M 、N 、D 分别是A 1B 1、A 1C 1、BC 的中点. (1)求证：AD
MN:
(2)若三棱柱ABC - A 1B 1C 1是直三棱柱，AB=AA 1,∠ABC=
6 ，求n
m
的值
20.(12分）
已知函数x
b
x ax x f +-=
ln )( (1)当a=-1,b=5时，求曲线y=f(x)在点（1,4)处的切线方程；
(2)当a>1;1,b ≤-1-ln(a-1)时，求证：曲线y=f(x)与y=1有公共点.
21.(12分）
已知椭圆E 的中心为坐标原点O,焦点在x 轴上，离心率为
2
3
,F1、F2分别为楠圆E 的左、右焦点，点P 在椭圆E 上，以线段F 1F 2为直径的圆经过点P ,线段F 1P 与y 轴交于点B,且|F 1P|.|F 1B|=6. (1)求椭圆E 的方程；
(2)设动直线l 与椭圆E 交于M 、N 两点，且0=⋅ON OM .求证：动直线l 与圆5
422=+y x 相切
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
作答时用2B 铝笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分） 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为
（α为参数）,以原点O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为、
(1)直接写出曲线C 2的普通方程；
(2)设A 是曲线C 1上的动点，B 是曲线C 2上的动点，求|AB|的最大值.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分）
已知f(x)=|2x+1|+|2x+3|,m是f(x)的最小值.
(1)求m;
(2)若a>0,b>0,且a+b=3ab,求证：.
11。