2020新人教版高中数学必修二《平面向量及其应用》章末双测滚动验收达标检测卷+解析

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2020新人教版高中数学必修二《平面向量及其应用》章末双测滚动验收达标检测卷+解析章末双测滚动验收达标（一）平面向量及其应用A 卷——学考合格性考试滚动检测卷(时间：100分钟，满分：100分)一、选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在某测量中，设A 在B 的南偏东34°27′，则B 在A 的( ) A ．北偏西34°27′ B ．北偏东55°33′ C ．北偏西55°32′D ．南偏西55°33′解析：选A 根据方向角的概念可知A 正确．故选A.2．如果a ，b 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是( ) A ．a ＝b B ．a ·b ＝1 C ．a ＝－bD ．|a |＝|b |解析：选D 两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A 、C 不正确；由于两个单位向量的夹角不确定，则a ·b ＝1不成立，所以选项B 不正确；|a |＝|b |＝1，则选项D 正确．故选D.3．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析：选B 由sin A ＝sin C ，知a ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形．故选B. 4．下列命题中正确的是( ) A.OA ―→－OB ―→＝AB ―→B.AB ―→＋BA ―→＝0C ．0·AB ―→＝0D.AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝AD ―→解析：选D 起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，OA ―→－OB ―→＝BA ―→；AB ―→，BA ―→是一对相反向量，它们的和应该为零向量，AB ―→＋BA ―→＝0；0·AB ―→＝0.故选D.5．点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO ―→＋OC ―→＋CB ―→等于( ) A.AB ―→ B.BC ―→ C.CD ―→D ．0解析：选A AO ―→＋OC ―→＋CB ―→＝AC ―→＋CB ―→＝AB ―→.故选A. 6．已知A (1,2)，B (3，－1)，C (3,4)，则AB ―→·AC ―→等于( ) A ．11B ．5C ．－1D ．－2解析：选D AB ―→＝(2，－3)，AC ―→＝(2,2)，则AB ―→·AC ―→＝2×2＋(－3)×2＝－2.故选D.7．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2D ．0解析：选C 由a ∥b 知1×2－m 2＝0，即m ＝2或－ 2.故选C. 8．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF ―→＝OF ―→＋OE ―→ B.EF ―→＝OF ―→－OE ―→ C.EF―→＝－OF ―→＋OE ―→D.EF ―→＝－OF ―→－OE ―→解析：选B EF ―→＝EO ―→＋OF ―→＝OF ―→－OE ―→＝EO ―→－FO ―→＝－OE ―→－FO ―→.故选B. 9．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么EF ―→＝( )A.12AB ―→＋12AD ―→ B ．－12AB ―→－12AD ―→C ．－12AB ―→＋12AD ―→D.12AB ―→－12AD ―→ 解析：选D EF ―→＝12DB ―→＝12(AB ―→－AD ―→)．故选D.10．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．9D ．－9解析：选D AB ―→＝(－8,8)，AC ―→＝(3，y ＋6)．∵AB ―→∥AC ―→，∴－8(y ＋6)－24＝0，∴y ＝－9.故选D.11．在△ABC 中，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，则c 等于( ) A ．1 B ．2 C. 2D. 3解析：选B ∵A ＝105°，B ＝45°，∴C ＝30°. 由正弦定理，得c ＝b sin C sin B ＝22sin 30°sin 45°＝2.故选B.12．在△ABC 中，a ＝7，b ＝10，c ＝6，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．以上答案都不对解析：选B ∵a ＝7，b ＝10，c ＝6，∴b >a >c ，∴∠B 为最大角．由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝72＋62－1022×7×6<0，∴∠B 为钝角．故选B.13．已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则与向量AB ―→同向的单位向量是( ) A.35，－45 B.－35，45 C.－45，35 D.45，－35 解析：选A 因为与AB ―→同向的单位向量为AB ―→|AB ―→|，|AB ―→|＝(4－7)2＋(1＋3)2＝5，AB ―→＝(7，－3)－(4,1)＝(3，－4)，所以AB―→|AB ―→|＝35，－45.故选A. 14．已知向量BA ―→＝12，32，BC ―→＝32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：选A BA ―→·BC ―→＝34＋34＝32，|BA ―→|＝|BC ―→|＝1，所以cos ∠ABC ＝BA ―→·BC ―→|BA ―→||BC ―→|＝32，又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.故选A. 15．已知作用在点A 的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)且A (1,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标为( )A ．(9,1)B ．(1,9)C ．(9,0)D ．(0,9)解析：选A F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)，设合力F 的终点为P (x ，y )，则OP ―→＝OA ―→＋F ＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)．故选A.16．在四边形ABCD 中，AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－4a －b ，CD ―→＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形解析：选C ∵AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝－8a －2b ＝2BC ―→，∴四边形ABCD 为梯形．故选C.17．若|a |＝|b |＝1，a ⊥b ，且(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则k ＝( ) A ．－6 B ．6 C ．3D ．－3解析：选B 由题意，得(2a ＋3b )·(k a －4b )＝2k a 2＋(3k －8)a ·b －12b 2＝0，由于a ⊥b ，故a ·b ＝0，又|a |＝|b |＝1，于是2k －12＝0，解得k ＝6.故选B.18．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)解析：选B ∵a ∥b ，∴－21＝m2，∴m ＝－4，∴b ＝(－2，－4)，∴2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．故选B.19．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10)D.?0，403 解析：选D ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C .∴0＜c ≤403.故选D.20．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( )A ．7.5B ．7C ．6D ．5解析：选D ∵b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，∴由余弦定理可得：b ×b 2＋c 2－a 22bc ＋a ×a 2＋c 2－b 22ac ＝c 2，整理可得：2c 2＝2c 3，∴解得c＝1，则△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝2＋2＋1＝5.故选D.二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填写在题中横线上) 21．若C 是线段AB 的中点，则AC ―→＋BC ―→＝________.解析：∵C 是线段AB 的中点，∴AC ＝CB .∴AC ―→与BC ―→方向相反，模相等．∴AC ―→＋BC ―→＝0.答案：022.如图所示，已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的向量分别为r 1，r 2，r 3，则OD ―→＝________.(用r 1，r 2，r 3表示)解析：OD ―→＝OC ―→＋CD ―→＝OC ―→＋BA ―→＝OC ―→＋OA ―→－OB ―→＝r 3＋r 1－r 2.答案：r 3＋r 1－r 223．已知|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝33，则a 与b 的夹角为________．解析：设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝332×3＝32，所以θ＝π6.答案：π624．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝________. 解析：|a ＋b |＝52?a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，条件代入得|b |＝5. 答案：525．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B ＝________.解析：∵sin B ＝b sin A a ＝42×3243＝22，∴B ＝45°或135°. ∵a >b ，∴A >B ，∴B ＝45°.答案：45°三、解答题(本大题共3小题，共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)26.(本小题满分8分)如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，试用a ，b 表示DC ―→，BC ―→，MN ―→.解：如图所示，连接CN ，则四边形ANCD 是平行四边形．则DC ―→＝AN ―→＝12AB ―→＝12a ，BC ―→＝NC ―→－NB ―→＝AD ―→－12AB ―→＝b －12a ，MN ―→＝CN ―→－CM ―→＝－AD ―→－12CD ―→＝－AD ―→－12－12AB ―→＝14a －b . 27．(本小题满分8分)在△ABC 中，B ＝45°，AC ＝10，cosC ＝255.(1)求BC 边的长；(2)求AB 边上的中线CD 的长．解：(1)由cos C ＝255，得sinC ＝55，sin A ＝sin(180°－45°－C )＝sin(135°－C ) ＝22(cos C ＋sin C )＝31010. 由正弦定理，得BC ＝AC sin B ·sin A ＝1022×31010＝3 2. (2)由正弦定理，得AB ＝AC sin B ·sin C ＝1022×55＝2.BD ＝12AB ＝1.由余弦定理，得CD ＝ BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos B＝1＋18－2×1×32×22＝13. 28．(本小题满分9分)设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝1，且a 与b 具有关系|k a ＋b |＝3|a －k b |(k ＞0)．(1)a 与b 能垂直吗？(2)若a 与b 夹角为60°，求k 的值．解：(1)∵|k a ＋b |＝3|a －k b |，∴(k a ＋b )2＝3(a －k b )2. ∵|a |＝|b |＝1.∴k 2＋1＋2k a ·b＝3(1＋k 2－2k a ·b )．∴a ·b ＝k 2＋14k.∵k >0，∴k 2＋14k ≠0，∴a ·b ≠0，即a 与b 不垂直．(2)∵a 与b 夹角为60°，且|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12.由(1)知a ·b ＝k 2＋14k ，∴k 2＋14k ＝12.∴k ＝1.B 卷——面向全国卷高考滚动检测卷 (时间：120分钟，满分150分)一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列等式中不正确的是( )A.AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＋DA ―→＝0B.AB ―→－AC ―→＝BC ―→ C ．0·AB ―→＝0D ．λ(μa )＝(λμ)a解析：选B AB ―→－AC ―→＝CB ―→＝－BC ―→，故B 不正确．故选B. 2．(全国卷Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥bD ．|a |＞|b |解析：选A 法一：∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|a ＋b |2＝|a －b |2，∴a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ，∴a ·b ＝0，∴a ⊥b .故选A.法二：利用向量加法的平行四边形法则．在?ABCD 中，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，由|a ＋b |＝|a －b |，知|AC ―→|＝|DB ―→|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b .故选A.3．设向量a ＝(－3,4)，向量b 与向量a 方向相反，且|b |＝10，则向量b 的坐标为( ) A.－65，85 B ．(－6,8) C.65 ，－85 D ．(6，－8)解析：选D 因为向量b 与向量a 方向相反，所以可设b ＝λa ＝(－λa,4λ)，λ<0，则|b |＝9λ2＋16λ2＝25λ2＝5|λ|＝－5λ＝10，所以λ＝－2，所以b ＝(6，－8)．故选D. 4．设a ，b ，c 为非零向量，若p ＝a |a |＋b|b |＋c|c |，则|p |的取值范围为( )A ．[0,1]B ．[1,2]C ．[0,3]D ．[1,3]解析：选Ca|a |，b|b |，c|c |分别为a ，b ，c 方向上的单位向量，∴当a ，b ，c 同向时，|p |取得最大值3，且|p |的最小值为0.故选C.5．(2019·山东青岛二模)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且|a |＝3，|b |＝2，则a ·(a －2b )＝( )A ．3B ．9C ．12D ．15解析：选D a ·b ＝3×2×cos 2π3＝－3，∴a ·(a －2b )＝a 2－2a ·b ＝9－2×(－3)＝15.故选D.6．(2019·安徽江淮十校最后一卷)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，c ＝(4,5)，若(a ＋λb )⊥c ，则实数λ＝( )A ．－12B.12 C ．－2D ．2解析：选C 因为a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，所以a ＋λb ＝(1－2λ，2＋3λ)，又(a ＋λb )⊥c ，所以(a ＋λb )·c ＝0，即4(1－2λ)＋5(2＋3λ)＝0，解得λ＝－2.故选C.7．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，0) C.－12，0 D.12，＋∞解析：选D 由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)，c ＝2mk ，m >0，∵a ＋b >c ，a ＋c >b ，即m (2k ＋1)>2mk ，3mk >m (k ＋1)，∴k >12.故选D.8．(2019·湖南师大附中模拟)如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF ―→＝( )A.34AB ―→＋14AD ―→B.14AB ―→＋34AD ―→C.12AB ―→＋AD ―→ D.34AB ―→＋12AD ―→ 解析：选D 根据题意得AF ―→＝12(AC ―→＋AE ―→)，又AC ―→＝AB ―→＋AD ―→，AE ―→＝12AB ―→，所以AF ―→＝12AB ―→＋AD ―→＋12AB ―→＝34AB ―→＋12AD ―→.故选D.9．(2019·宁夏六盘山一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝22，c ＝2，cos A 2＝144，则b ＝( )A ．1 B. 3 C ．2D ．4解析：选D ∵a ＝22，c ＝2，cos A 2＝144，∴cos A ＝2cos 2A 2－1＝2×1442－1＝34，∴由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得(22)2＝b 2＋22－2×b ×2×34，整理得b 2－3b －4＝0，∴解得b ＝4或－1(舍去)．故选D.10．(2019·北京清华附中模拟)《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求职”中提出了已知三角形三边a ，b ，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S ＝14c 2a 2－c 2＋a 2－b 222，现有周长为10＋27的△ABC 满足sin C ∶sin A ∶sin B ＝2∶3∶7，则用以上给出的公式求得△ABC 的面积为( )A ．6 3B ．47C ．87D ．12解析：选A ∵sin C ∶sin A ∶sin B ＝2∶3∶7，则c ∶a ∶b ＝2∶3∶7，∵△ABC 周长为10＋27，即a ＋b ＋c ＝10＋27，∴c ＝4，a ＝6，b ＝27，所以S ＝14c 2a 2－c 2＋a 2－b 222＝6 3.故选A.二、多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)11．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( ) A ．m (a －b )＝m a －m b B ．(m －n )a ＝m a －n a C ．若m a ＝m b ，则a ＝bD ．若m a ＝n a ，则m ＝n解析：选AB 对于A 和B 属于数乘对向量与实数的分配律，正确；对于C ，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；对于D ，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．故选A 、B.12．对于△ABC ，有如下命题，其中正确的有( ) A ．若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 为等腰三角形 B ．若sin A ＝cos B ，则△A BC 为直角三角形C ．若sin 2A ＋sin 2B ＋cos 2C <1，则△ABC 为钝角三角形D ．若AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为34或32解析：选CD 对于A ：sin 2A ＝sin 2B ，∴A ＝B ?△ABC 是等腰三角形，或2A ＋2B ＝π?A ＋B ＝π2，即△ABC 是直角三角形．故A 错误；对于B ：由sin A ＝cos B ，∴A －B ＝π2或A＋B ＝π2.∴△ABC 不一定是直角三角形，B 错误；对于C ：sin 2A ＋sin 2B <1－cos 2C ＝sin 2C ，∴a 2＋b 2<="" ＝c="">2.而c >b ，∴C ＝60°或C ＝120°.∴A ＝90°或A ＝30°.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝32或34.D 正确．故选C 、D.13．给出下列四个命题，其中正确的选项有( )A ．非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角是30°B ．若(AB ―→＋AC ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝0，则△ABC 为等腰三角形C ．若单位向量a ，b 的夹角为120°，则当|2a ＋x b |(x ∈R )取最小值时x ＝1D ．若OA ―→＝(3，－4)，OB ―→＝(6，－3)，OC ―→＝(5－m ，－3－m )，∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是m ＞－34解析：选ABC A 中，令OA ―→＝a ，OB ―→＝b .以OA ―→，OB ―→为邻边作平行四边形OACB .∵|a |＝|b |＝|a －b |，∴四边形OACB 为菱形，∠AOB ＝60°，∠AOC ＝30°，即a 与a ＋b 的夹角是30°，故A 正确．B 中，∵(AB―→＋AC ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝0，∴|AB ―→|2＝|AC ―→|2，故△ABC 为等腰三角形．故B 正确．C 中，∵(2a ＋x b )2＝4a 2＋4x a ·b ＋x 2b 2＝4＋4x cos 120°＋x 2＝x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3，故|2a ＋x b |取最小值时x ＝1.故C 正确．D 中，∵BA ―→＝OA ―→－OB ―→＝(3，－4)－(6，－3)＝(－3，－1)，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝(5－m ，－3－m )－(6，－3)＝(－1－m ，－m )，又∠ABC 为锐角，∴BA ―→·BC ―→＞0，即3＋3m ＋m ＞0，∴m ＞－34.又当BA ―→与BC ―→同向共线时，m ＝12，故当∠ABC 为锐角时，m 的取值范围是m ＞－34且m ≠12.故D 不正确．故选A 、B 、C.三、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上) 14．平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )·(a －2b )＝－7，则向量a ，b 的夹角为________．解析：(a ＋b )·(a －2b )＝|a |2－a ·b －2|b |2＝1－a ·b －8 ＝－7，∴a ·b ＝0，∴a ⊥b . 故a ，b 的夹角为π2.答案：π215．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________. 解析：|5a －b |＝|5a －b |2＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝25＋9－10×1×3×－12＝7.答案：716．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________．解析：法一：由向量三角不等式得，|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )－(a －b )|＝|2b |＝4. 又|a ＋b |＋|a －b |2≤(a ＋b )2＋(a －b )22＝a 2＋b 2＝5，∴|a ＋b |＋|a －b |的最大值为2 5.法二：设a ，b 的夹角为θ. ∵|a |＝1，|b |＝2，∴|a ＋b |＋|a －b |＝(a ＋b )2＋(a －b )2＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y 2＝10＋225－16cos 2θ.∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0,1]，∴y 2∈[16,20]，∴y ∈[4,2 5 ]，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值为4，最大值为2 5. 答案：4 2 517．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.解析：如图，∠CAB＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°，∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°，AB ＝1(km)．由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝AB sin ∠ACB ，∴BC ＝1sin 60°·sin15°＝6－223(km)．设C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝BC ·sin 75°＝6－223×6＋24＝36(km)．答案：36四、解答题(本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18．(本小题满分12分)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R . (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.解：(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x ) ＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0.整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，∴a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2；当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，∴a －b ＝(2，－4)，∴|a －b |＝4＋16＝2 5. 综上所述，|a －b |为2或2 5.19.(本小题满分14分)如图所示，平行四边形ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，H ，M 分别是AD ，DC 的中点，F 为BC 上一点，且BF ＝13BC .(1)以a ，b 为基底表示向量AM ―→与HF ―→；(2)若|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求AM ―→·HF ―→. 解：(1)由已知得AM ―→＝AD ―→＋DM ―→＝12a ＋b .连接AF (图略)，∵AF ―→＝AB ―→＋BF ―→＝a ＋13b ，∴HF ―→＝HA ―→＋AF ―→＝－12b ＋a ＋13b ＝a －16b . (2)由已知得a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝3×4×－12＝－6，从而AM ―→·HF ―→＝12a ＋b ·a －16b ＝12|a |2＋1112a ·b －16|b |2＝12×32＋1112×(－6)－16×42＝－113. 20．(本小题满分14分)已知正方形ABCD ，E ，F 分别是CD ，AD 的中点，BE ，CF 交于点P .求证：(1)BE ⊥CF ；(2)AP ＝AB .证明：如图建立直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设AB ＝2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，E (1,2)，F (0,1)(1)BE ―→＝OE ―→－OB ―→＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)，CF ―→＝OF ―→－OC ―→＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)，∵BE ―→·CF ―→＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，∴BE ―→⊥CF ―→，即BE ⊥CF .(2)设P (x ，y )，则FP ―→＝(x ，y －1)，CF ―→＝(－2，－1)，∵FP ―→∥CF ―→，∴－x ＝－2(y －1)，即x ＝2y －2. 同理由BP ―→∥BE ―→，得y ＝－2x ＋4，代入x ＝2y －2，解得x ＝65，∴y ＝85，即P 65，85. ∴AP ―→2＝652＋852＝4＝AB ―→2. ∴|AP ―→|＝|AB ―→|，即AP ＝AB .21．(本小题满分14分)已知海岛A 四周8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A 在北偏东75°，航行202海里后，见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？解：如图所示，在△ABC 中，依题意得BC ＝202(海里)，∠ABC ＝90°－75°＝15°，∠BAC ＝60°－∠ABC ＝45°. 由正弦定理，得AC sin 15°＝BCsin 45°，所以AC ＝202sin 15°sin 45°＝10(6－2)(海里)．故A 到航线的距离为AD ＝AC sin 60° ＝10(6－2)×32＝(152－56)(海里)．因为152－56>8，所以货轮无触礁危险．22．(本小题满分14分)(2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋C 2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．解：(1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C 2＝sin B ·sin A ．因为sin A ≠0，所以sin A ＋C2＝sinB.由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，所以sin B 2＝12，所以B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由(1)知A ＋C ＝120°，由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°<2，从而38<3<="" <90°，0°<2，从而38<3<="" <90°，0°2. 因此，△ABC 面积的取值范围是??<2，从而38<3<="" <90°，0°??<2，从而38<3<="" <90°，0°38<2，从而38<3<="" <90°，0°，32. 23．(本小题满分14分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，又点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )?<2，从而38<3<="" <90°，0°0≤θ≤π2. (1)若AB ―→⊥a ，且|AB ―→|＝5|O A ―→|，求向量OB ―→<2，从而38<3<="" <90°，0°；<2，从而38<3<="" <90°，0°(2)若向量AC ―→与向量a 共线，当k ＞4，且t sin θ取最大值为4时，求OA ―→·OC ―→<2，从而38<3<="" <90°，0°. 解：(1) AB ―→<2，从而38<3<="" <90°，0°＝(n －8，t )，∵AB ―→<2，从而38<3<="" <90°，0°⊥a ，∴8－n ＋2t ＝0. 又∵5|OA ―→|＝|AB ―→<2，从而38<3<="" <90°，0°|，<2，从而38<3<="" <90°，0°∴5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8，∴OB ―→＝(24,8)或OB ―→<2，从而38<3<="" <90°，0°＝(－8，－8)．<2，从而38<3<="" <90°，0°(2) AC ―→<2，从而38<3<="" <90°，0°＝(k sin θ－8，t )．∵AC ―→<2，从而38<3<="" <90°，0°与a 共线，∴t ＝－2k sin θ＋16.<2，从而38<3<="" <90°，0°∵t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ ＝－2k sin θ－4k 2＋32k ，∵k ＞4，∴1＞4<2，从而38<3<="" <90°，0°k<2，从而38<3<="" <90°，0°＞0，<2，从而38<3<="" <90°，0°当sin θ＝4k 时，t sin θ取最大值为32<2，从而38<3<="" <90°，0°k .<2，从而38<3<="" <90°，0°由32<2，从而38<3<="" <90°，0°k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，OC ―→<2，从而38<3<="" <90°，0°＝(4,8)，<2，从而38<3<="" <90°，0°∴OA ―→·OC ―→<2，从而38<3<="" <90°，0°＝8×4＋0×8＝32.<2，从而38<3<="" <90°，0°。

2020学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用章末演练轻松闯关新人教A版必修第二册(最新整理)

第六章平面向量及其应用［A 基础达标]1．将3错误!化成最简式为（）A．－43a＋53b B．－4a＋5bC。

错误!a－错误!b D．4a－5b解析：选B.原式＝3[错误!a＋错误!b]＝3错误!＝－4a＋5b.2．设x，y∈R,向量a＝（x，1）,b＝(1,y)，c＝（2，－4）,且a⊥c，b∥c，则|a＋b｜＝( )A。

错误! B.错误!C．2 5 D．10解析：选B。

由题意可知错误!解得错误!故a＋b＝（3,－1），|a＋b｜＝错误!.3．在△ABC中，B＝45°，C＝60°,c＝1，则最短边长为( ）A。

错误!B。

错误!C.错误!D。

错误!解析：选B.A＝180°－(60°＋45°)＝75°，故最短边为b，由正弦定理可得错误!＝错误!，即b＝错误!＝错误!＝错误!，故选B。

4．在锐角△ABC中,角A，B所对的边分别为a,b。

若2a sin B＝3b,则角A等于( ）A。

错误!B。

错误!C。

错误! D.错误!解析：选D。

由已知及正弦定理得2sin A sin B＝错误!sin B，因为sin B>0,所以sin A ＝错误!.又A∈错误!,所以A＝错误!.5．在△ABC中，已知sin2A＝sin2B＋sin2C，且sin A＝2sin B cos C,则△ABC的形状是（)A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：选D.由sin2A＝sin2B＋sin2C及正弦定理可知a2＝b2＋c2⇒A为直角；而由sin A＝2sin B cos C,可得sin(B＋C）＝2sin B cos C，整理得sin B cos C＝cos B sin C，即sin(B －C）＝0，故B＝C.综合上述，B＝C＝错误!,A＝错误!。

即△ABC为等腰直角三角形．6．已知非零向量a＝（t,0），b＝（－1，错误!)，若a＋2b与a的夹角等于a＋2b与b 的夹角，则t＝________．解析：由题设得错误!＝错误!,所以｜b|（|a|2＋2b·a)＝|a|（a·b＋2｜b｜2)，将a＝（t，0)，b＝(－1，错误!）代入整理得2t2＋t·｜t｜＝8｜t｜＋4t，当t>0时，3t2＝12t，所以t＝4；当t〈0时，t2＝－4t，所以t＝－4.综上，t的值为4或－4。

高中数学必修二第六章平面向量及其应用单元测试卷(5)(含解析)

高中数学必修二第六章平面向量及其应用单元测试卷(5)一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.已知|p ⃗ |=2√2，|q ⃗ |=3，p ⃗ ，q ⃗ 夹角为π4，则以p ⃗ ，q ⃗ 为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为( )A. √5B. 5C. 9D. 272.△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 1B. 2C. √3D. √323.给定两个长度为1的平面向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，它们的夹角为120°如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ⏜上变动．若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中x ，y ∈R ，则x +y 的最大值是( )A. √2B. 2C. √3D. 3 4.在△中，°，，，则( )A. °B. °C.°或°D. 以上答案都不对5.已知点P 1(0,2)，P 2(3,0)，在线段P 1P 2上取一点P ，使得P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则P 点坐标为( )A. (2,23)B. (32,1)C. (1,43)D. (12,53)6.在△ABC 中，若sinAsinC =cos 2B2，则△ABC 是( )A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形7.已知a 为锐角，且7sinα=2cos2α，则sin(α+π3)=( )A. 1+3√58B. 1+5√38C. 1−3√58D. 1−5√388.如图，在ΔABC ，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m a ⃗ +n b ⃗ ，则m +n = ．A. 65 B. −65C. 1D. −1E. 67 F. −67二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.已知▵ABC 的面积为3，在▵ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足PA →+2PC →=0→，QA →=2QB →，记▵APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是( )A. PB →//CQ →B. BP →=13BA →+23BC →C. PA →⋅PC →>0D. S =410. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则下列结论正确的是( )A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a 2B. BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2a 2C. AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a 2D. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2a 211. 若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则△ABC 的形状不可能是( )A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形12. △ABC 中，D 为AC 上一点且满足AD −=13DC −，若P 为BD 上一点，且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ，μ为正实数，则下列结论正确的是( )A. λμ的最小值为16B. λμ的最大值为116 C. 1λ+14μ的最大值为16D. 1λ+14μ的最小值为4三、单空题（本大题共3小题，共15.0分） 13. 若且为共线向量，则=____14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A =π6，a =1，b =√3，则B = ______ ． 15. 已知a ⃗ =(2,3)，b ⃗ =(−1,5)，则a ⃗ +3b ⃗⃗⃗⃗ = ______ ．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若csinC =asinA +(b −a)sinB 且c =1，则C = (1) ，△ABC 面积的最大值为 (2) ．五、解答题（本大题共6小题，共72.0分） 17. 已知a ⃗ =(1,3)，b ⃗ =(3,−4)，当k 为何值时， (1)k a ⃗ −b ⃗ 与a ⃗ +b ⃗ 共线． (2)k a ⃗ −b ⃗ 与a ⃗ +b ⃗ 垂直．18. 如图，在边长为1的正三角形ABC 中，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，N 为AM 的中点．(Ⅰ) 求AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值；(Ⅱ) 若BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求nm 的值．19. 如图，在四边形ABCD 中，AB =2，BC =√5，AC ⊥AD ，AC =2AD ． (Ⅰ)若∠BAC =π3，求AC ； (Ⅱ)求四边形ABCD 面积的最大值．20. 如图，A 、B 是海面上位于东西方向相距5(3+√3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距20√3海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，试求： (1)轮船D 与观测点B 的距离； (2)救援船到达D 点所需要的时间．21. 已知函数f(x)=√3sinx ⋅cosx −12cos2x(x ∈R)．(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；(2)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且B =30°，c =√3，f(C)=1，判断△ABC 的形状，并求三角形ABC 的面积．22. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,3)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−1)，点A(−1,−2)． (1)求线段BD 的中点M 的坐标；(2)若点P(2,y)满足PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，求y 与λ的值．【答案与解析】1.答案：A解析：解：由题意可得p ⃗ ⋅q ⃗ =2√2×3×√22=6，∴|p ⃗ +q ⃗ |2=p ⃗ 2+2p ⃗ ⋅q ⃗ +q ⃗ 2=29， ∴|p ⃗ −q ⃗ |2=p ⃗ 2−2p ⃗ ⋅q ⃗ +q ⃗ 2=5，∴以p ⃗ ，q ⃗ 为邻边的平行四边形的对角线的长度分别为√29和√5 故选：A由模长公式分别可得|p ⃗ +q ⃗ |2和|p ⃗ −q ⃗ |2的值，结合选项可得．本题考查向量的夹角，涉及向量的模长公式，属基础题．2.答案：A解析：解：∵△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴O 是BC 的中点，且BC 是圆O 的直径， ∴AB ⊥AC ，AO =1，BC =2， ∵|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴AB =1，∴∠ABC =60°， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1×2×cos60°=1，故选A ．根据向量加法的平行四边形法则，知O 是BC 的中点，由△ABC 的外接圆的圆心为O ，知BC 是圆O 的直径，从而求得AB ⊥AC ，另由|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，可得∠ABC =60°，故利用向量数量积的定义可以求得此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及直角三角形有关的性质，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．3.答案：B解析：解：如图，以O 为坐标原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，则：A(1,0)，B(−12,√32)，设∠AOC =θ，0°≤θ≤120°，∴C(cosθ,sinθ)； ∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,0)+(−y 2,√3y 2)=(x −y 2,√3y 2)=(cosθ,sinθ)；∴{x −y2=cosθ√3y2=sinθ； ∴{x =√33sinθ+cosθy =2√33sinθ；∴x +y =√3sinθ+cosθ=2sin(θ+30°)； ∵0°≤θ≤120°； ∴30°≤θ+30°≤150°；∴θ+30°=90°，即θ=60°时x +y 取最大值2．故选：B ．首先以O 为原点，向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系，并设∠COA =θ，从而可写出A ，B ，C 三点的坐标，从而根据条件OC⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 便可得到(cosθ,sinθ)=(x −y2,√3y2)，这样便可得到{x =√33sinθ+cosθy =2√33sinθ，根据两角和的正弦公式即可得到x +y =2sin(θ+30°)，根据θ的范围即可得出x +y 的最大值．考查建立平面直角坐标系利用向量坐标解决向量问题的方法，向量坐标的数乘和加法运算，以及两角和的正弦公式，正弦函数的最大值．4.答案：B解析：本题主要考查正弦定理．解：由正弦定理，代入数据，所以，又a <b ，或(舍)，故选B ．5.答案：A解析：解：设P(x,y)，由题意知，得P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y −2)，PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−x,−y)因为P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以{x =2(3−x)y −2=2(−y) 解得{x =2y =23所以P 点坐标为(2,23) 故选A设P(x,y)，由题意知，得P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y −2)，PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−x,−y)利用向量相等的条件得列出关于x ，y 的方程组，解出点P 坐标．本题考查利用向量相等求点分点的坐标，用到的知识是向量相等的坐标表示．6.答案：C解析：解：由sinAsinC =cos 2B2，得sinAsinC =1+cosB 2，则2sinAsinC =1+cosB =1−cos(A +C)=1−cosAcosC +sinAsinC ， ∴cosAcosC +sinAsinC =1，即cos(A −C)=1． ∵−π<A −C <π，∴A −C =0，得A =C ． ∴△ABC 是等腰三角形．故选：C ．利用倍角公式降幂，再把B 用A 和C 表示，然后利用两角和与差的余弦变形求解．本题考查三角形的形状判断，考查三角函数的恒等变换应用，是基础题．7.答案：A解析：解：∵α为锐角，且7sinα=2cos2α， ∴7sinα=2(1−2sin 2α)， ∴4sin 2α+7sinα−2=0， ∴sinα=−2(舍)sinα=14， ∴cosα=√1−(14)2=√154， ∴sin(α+π3)=sinαcos π3+cosαsin π3 =14×12+√154×√32=1+3√58．故选：A ．由已知得4sin 2α+7sinα−2=0，从而求出sinα=14，cosα=√154，再由sin(α+π3)=sinαcos π3+cosαsin π3，能求出结果．本题考查三弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式、正弦加法定理的合理运用．8.答案：E解析：本题主要考查平面向量基本定理及其几何意义，根据平面向量基本定理及其几何意义，结合条件可得a ⃗ =12AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +2QR ⃗⃗⃗⃗⃗ 及32AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −QR ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，解方程求得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =27a ⃗ +47b ⃗ ，由此求得m 、n 的值，即可求得m +n 的值．解：由题意可得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2QR ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ =AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +2QR ⃗⃗⃗⃗⃗ ，① AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +RP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +QP ⃗⃗⃗⃗⃗ −QR ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −QR ⃗⃗⃗⃗⃗ =32AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −QR ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，② 由①②解方程求得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =27a ⃗ +47b ⃗ ．再由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m a ⃗ +n b ⃗ 可得m =27,n =47，所以m +n =67．故答案为E ．9.答案：BD解析：由PA →+2PC →=0→，QA →=2QB →，可知点P 为AC 的三等分点，点Q 为AB 延长线的点，且B 为AQ 的中点，如图所示：对于A ，点P 为AC 的三等分点，点B 为AQ 的中点，所以PB 与CQ 不平行，故A 错误；对于B ，BP →=BA →+AP →=BA →+23AC →=BA →+23(BC →−BA →)=13BA →+23BC →，故B 正确；对于C ，PA →⋅PC →=|PA →||PC →|cosπ=−|PA →||PC →|<0，故C 错误；对于D ，设▵ABC 的高为h ，S ▵ABC =12|AB |ℎ=3，即|AB |ℎ=6，则▵APQ 的面积S ▵APQ =12|AQ |⋅23ℎ=12⋅2|AB |⋅23ℎ=23×6=4，故D 正确；故选：BD10.答案：BC解析：解：如图，以A 为原点，以边AB ，AD ，AA 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则：A(0,0，0)，B(a,0，0)，A 1(0,0，a)，C 1(a,a ，a)，D(0,a ，0)，D 1(0,a ，a)，C(a,a ，0)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,0,0),A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,a,0)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,a,0)，BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,a,a)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,a,0),BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,0,a)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,a,a)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2a 2，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a 2，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2．故选：BC ．可以点A 为原点，边AB ，AD ，AA 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，然后可求出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，然后进行向量坐标的数量积的运算即可判断每个选项的正误．本题考查了通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量坐标的数量积运算，考查了计算能力，属于基础题．11.答案：AD解析：解：设点M 为BC 边的中点，由题意可得：|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，可得|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，据此结合题意可知CB =2AM ，由三角形的性质可知：△ABC 的形状是直角三角形．故选：AD ．设点M 为BC 边的中点，由题意利用向量的运算可得CB =2AM ，由三角形的性质可知△ABC 的形状是直角三角形，从而得解．本题给出向量等式，判断三角形ABC 的形状，着重考查了平面向量的加法、减法法则和三角形的形状判断等知识，属于中档题．12.答案：BD解析：解：因为D 为AC 上一点且满足AD −=13DC −，所以AC⃗⃗⃗⃗⃗ =4AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，因为AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，又P 为BD 上一点，所以B ，P ，D 三点共线，则有λ+4μ=1，由基本不等式可得，1=λ+4μ≥2√λ⋅4μ=2√λμ，解得λμ≤116，当且仅当λ=4μ=12时取等号，故λμ的最大值为116，故选项A 错误，选项B 正确；由公式可得，1λ+14μ≥(1+1)2λ+4μ=4，当且仅当λ=4μ=12时取等号，故1λ+14μ的最小值为4，故选项C 错误，选项D 正确．故选：BD ．利用三点共线的结论得到有λ+4μ=1，然后利用基本不等式求出λμ的最值，即可判断选项A ，B ，由公式可求得1λ+14μ的最值，即可判断选项C ，D ．本题考查了平面向量与不等式的综合应用，主要考查了三点共线结论的应用以及基本不等式的运用，考查了逻辑推理与转化化归能力，属于中档题．13.答案：6解析：本题考查向量共线的条件，属于基础题．根据两向量共线的坐标表示，列出方程求出m，n的值即可．解：由题意，22n =36=m8，解得n=2，m=4，∴m+n=6．故答案为6．14.答案：π3或2π3解析：利用正弦定理列出关系式，将a，sin A，b的值代入求出sin B的值，即可确定出B的度数．此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．解：∵在△ABC中，A=π6，a=1，b=√3，∴由正弦定理asinA =bsinB得：，∵a<b，∴A<B，∴B=π3或2π3．故答案为π3或2π3．15.答案：(−1,18)解析：解：由a⃗=(2,3)，b⃗ =(−1,5)，得a⃗+3b⃗⃗⃗⃗ =(2,3)+3(−1,5)=(−1,18)．故答案为：(−1,18)．直接由向量的数乘及坐标加法运算求解．本题考查了向量的数乘及坐标加法运算，是基础的计算题．16.答案：π3√34解析：解：∵csinC =asinA +(b −a)sinB ，∴c 2=a 2+(b −a)b ，∴a 2+b 2−c 2=ab ，由余弦定理得，cosC =a 2+b 2−c 22ab =12， ∵C ∈(0,π)，∴C =π3，∴sinC =√32∵c =1，∴c 2=1=a 2+b 2−ab ≥2ab −ab =ab ，∴ab ≤1，当且仅当ab =1时取等号，∴S △ABC =12absinC ≤√34， ∴△ABC 的最大值为：√34．故答案为：π3，√34．利用正弦定理将等式的角化为边，然后用余弦定理求出C ，再利用基本不等式求出ab 的最大值即可得三角形的最大面积．本题考查了正弦定理余弦定理和面积公式，关键是基本不等式的应用，属中档题．17.答案：解：(1)k a ⃗ −b ⃗ =(k −3,3k +4)，a ⃗ +b⃗ =(4,−1)． ∵k a ⃗ −b ⃗ 与a ⃗ +b ⃗ 共线，∴−(k −3)−4(3k +4)=0，解得k =−1．(2)∵k a ⃗ −b ⃗ 与a ⃗ +b⃗ 垂直， ∴4(k −3)−(3k +4)=0，解得k =16．解析：本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(1)利用向量共线定理即可得出．(2)利用向量垂直与数量积的关系即可得出．18.答案：解：(I)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=1，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1×1×cos60°=12．AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13+23−16=16． (II)∵AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴m =−56，n =13． ∴n m =−25．解析：本题考查了平面向量线性运算的几何意义，平面向量的基本定理，属于中档题．(I)用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再计算数量级；(II)用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据向量的基本定理得出m ，n 的值． 19.答案：解：(Ⅰ)当∠BAC =π3时，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos∠BAC =BC 2．设AC =x(x >0)，则22+x 2−2⋅2⋅x ⋅12=5，即x 2−2x −1=0，解得x =√2+1．所以AC =√2+1．(Ⅱ)△ABC 的面积为S △ABC =√5sinB ．在△ABC 中，由余弦定理得AC 2=22+(√5)2−4√5cosB ，所以，△ACD 的面积为S △ACD =14AC 2=94−√5cosB ．所以，四边形ABCD 的面积为S =94+√5sinB −√5cosB =94+√10sin(B −π4)．因为B ∈(0,π)，所以当B =3π4时，四边形ABCD 的面积最大，最大值为94+√10．解析：(Ⅰ)当∠BAC =π3时，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos∠BAC =BC 2.解出即可得出．(Ⅱ)△ABC 的面积为S △ABC =√5sinB.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2=9−4√5cosB ，可得△ACD 的面积为S △ACD =14AC 2=94−√5cosB.进而可得四边形ABCD 的面积为S =94+√5sinB −√5cosB =94+√10sin(B −π4).根据三角函数的单调性即可得出．本题考查了解三角形、余弦定理、三角形面积计算公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：(1)由D在A的北偏东45°，在B的北偏西60°，∴∠DAB=45°，∠DBA=30°，∴∠ADB=105°，由正弦定理得ABsin∠ADB =BDsin∠DAB，∴5(3+√3)sin75°=BDsin45∘，又sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=√6+√24，∴BD=10√3，答：轮船D与观测点B的距离为10√3海里；(2)△BCD中，BD=10√3，BC=20√3，∠DBC=60°，∴DC2=BD2+BC2−2BD×BC×cos60°=300+1200−2×10√3×20√3×12，∴DC2=900，解得DC=30，∴t=3030=1(小时)，答：救援船到达D所需的时间为1小时．解析：本题考查了正弦、余弦定理的实际应用问题，是中档题．(1)由方位角求得∠DAB、∠DBA，利用三角形内角和定理与正弦定理求得BD的值；(2)△BCD中，利用余弦定理求得DC的值，再计算救援船到达D所需的时间．21.答案：解：(1)f(x)=√3sinx⋅cosx−12cos2x=√32sin2x−12cos2x=sin(2x−π6)，∵x∈R，∴−1≤sin(2x−π6)≤1，∴f(x)的最小值是−1，∴T=2π2=π，故其最小正周期是π(2)∵f(C)=1，∴sin(2C−π6)=1，又∵0<2C<2π，∴−π6<2C−π6<11π6，∴2C −π6=π2，∴C =π3， ∵B =π6，∴A =π2，∴△ABC 是直角三角形．∴b sinB =2，∴b =1，设三角形ABC 的面积为S ，∴S =12bc =12×1×√3=√32．解析：(1)利用两角和差的正弦公式、倍角公式、三角函数的单调性与周期性即可得出；(2)利用三角函数的单调性与周期性可得C ，利用直角三角形的边角公式即可得出．本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式、三角函数的单调性与周期性、直角三角形的边角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.答案：解：(1)设B(x,y).∵A(−1,−2)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +1,y +2)=(4,3)，∴{x +1=4y +2=3，解得{x =3y =1即B(3,1)．同理可得D(−4,−3)．∴线段BD 的中点M 的坐标为(−12,−1)，(2)∵PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1−y)，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−7,−4)， ∴由PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得(1,1−y)=λ(−7,−4)， ∴解得y =37，λ=−17．解析：利用向量中点坐标公式和向量共线定理即可得出．熟练掌握向量中点坐标公式和向量共线定理是解题的关键．。

高中数学必修二第六章平面向量及其应用专项训练题(带答案)

高中数学必修二第六章平面向量及其应用专项训练题单选题1、定义空间两个向量的一种运算a⃑⊗b⃑⃑=|a⃑|⋅|b⃑⃑|sin⟨a⃑,b⃑⃑⟩，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A．λ(a⃑⊗b⃑⃑)=(λa⃑)⊗b⃑⃑B．(a⃑⊗b⃑⃑)⊗c⃑=a⃑⊗(b⃑⃑⊗c⃑)C．(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑=(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)D．若a⃑=(x1,y1)，b⃑⃑=(x2,y2)，则a⃑⊗b⃑⃑=|x1y2−x2y1|答案：D分析：A．按λ的正负分类讨论可得，B．由新定义的意义判断，C．可举反例说明进行判断，D．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．A．(λa⃑)⊗b⃑⃑=|λa⃑||b⃑⃑|sin<λa⃑,b⃑⃑>，λ>0时，<λa⃑,b⃑⃑>=<a⃑,b⃑⃑>，(λa⃑)⊗b⃑⃑=λ|a⃑||b⃑⃑|sin<a⃑,b⃑⃑>=λ(a⃑⊗b⃑⃑)，λ=0时，λ(a⃑⊗b⃑⃑)=0,(λa⃑)⊗b⃑⃑=0，成立，λ<0时，<λa⃑,b⃑⃑>=π−<a⃑,b⃑⃑>，sin<λa⃑,b⃑⃑>=sin(π−<a⃑,b⃑⃑>)=sin<a⃑,b⃑⃑>(λa⃑)⊗b⃑⃑=−λ|a⃑||b⃑⃑|sin< a⃑,b⃑⃑>=−λ(a⃑⊗b⃑⃑)，综上，A不恒成立；B．a⃑⊗b⃑⃑是一个实数，(a⃑⊗b⃑⃑)⊗c⃑无意义，B不成立；C．若a⃑=(0,1),b⃑⃑=(1,0)，c⃑=(1,1)，则a⃑+b⃑⃑=(1,1)，<a⃑+b⃑⃑,c⃑>=0，(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑=|a⃑+b⃑⃑||c⃑|sin0=√2×√2×0=0，<a⃑,c⃑>=π4,<b⃑⃑,c⃑>=π4，(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)=1×√2×sinπ4+1×√2×sinπ4=2，(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑≠(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)，C错误；D．若a⃑=(x1,y1)，b⃑⃑=(x2,y2)，则|a⃑|=√x12+y12，|b⃑⃑|=√x22+y22，cos <a ⃑,b ⃑⃑>=1212√x 12+y 12×√x 22+y 22，sin <a ⃑,b ⃑⃑>=√1−cos 2<a ⃑,b ⃑⃑>=√1−(x 1x 2+y 1y 2)2(x 12+y 12)(x 22+y 22)=1221√(x 1+y 1)(x 2+y 2)，所以a ⃑⊗b ⃑⃑=|a ⃑||b ⃑⃑|sin <a ⃑,b⃑⃑>=|x 1y 2−x 2y 1|，成立．故选：D ．小提示：本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的sin <a ⃑,b ⃑⃑>用cos <a ⃑,b⃑⃑>，而余弦可由数量积进行计算． 2、若|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=5，|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=8，则|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围是（） A ．[3,8]B ．(3,8)C ．[3,13]D ．(3,13)答案：C分析：利用向量模的三角不等式可求得|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围. 因为|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，所以，||AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|−|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑||≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|+|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，即3≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤13. 故选：C.3、已知非零平面向量a ⃗，b ⃑⃗，c ⃗，下列结论中正确的是（）（1）若a ⃗⋅c ⃗=b ⃑⃗⋅c ⃗，则a ⃗=b ⃑⃗；（2）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗|+|b ⃑⃗|，则a ⃗//b⃑⃗ （3）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗−b ⃑⃗|，则a ⃗⊥b ⃑⃗（4）若(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，则a ⃗=b ⃑⃗或a ⃗=−b⃑⃗ A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（2）（3）（4）答案：B解析：根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果.已知非零平面向量a ⃗，b ⃑⃗，c ⃗，（1）若a ⃗⋅c ⃗=b ⃑⃗⋅c ⃗，则(a ⃗−b ⃑⃗)⋅c ⃗=0，所以a ⃗=b ⃑⃗或(a ⃗−b ⃑⃗)⊥c ⃗，即（1）错；（2）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗|+|b ⃑⃗|，则a ⃗与b ⃑⃗同向，所以a ⃗//b⃑⃗，即（2）正确；（3）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗−b ⃑⃗|，则|a ⃗|2+|b ⃑⃗|2+2a ⃗⋅b ⃑⃗=|a ⃗|2+|b ⃑⃗|2−2a ⃗⋅b ⃑⃗，所以2a ⃗⋅b ⃑⃗=0，则a ⃗⊥b⃑⃗；即（3）正确；（4）若(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，则|a ⃗|2−|b ⃑⃗|2=0，所以|a ⃗|=|b⃑⃗|，不能得出向量共线，故（4）错；故选：B.小提示：本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.4、已知向量a ⃑，b ⃑⃑满足|a ⃑|=√3，|b ⃑⃑|=2，且a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑)，则a ⃑与b⃑⃑的夹角为（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案：A分析：利用数量积的定义，即可求解.解：a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑),所以a ⃑⋅(a ⃑−b ⃑⃑)=0,即|a →|2−|a →||b →|cos <a →,b →>=0，解得cos <a →,b →>=√32,又因为向量夹角的范围为[0°,180°]，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为30°，故选：A. 5、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a +b )2−c 2=4，C =120°，则△ABC 的面积为（）A ．√33B ．2√33C ．√3D ．2√3 答案：C解析：利用余弦定理可求ab 的值，从而可求三角形的面积.因为C =120°，故c 2=a 2+b 2−2abcos120°=a 2+b 2+ab ，而(a +b )2−c 2=4，故c 2=a 2+b 2+2ab −4=a 2+b 2+ab ，故ab =4，故三角形的面积为12×ab ×sin120°=√34×4=√3，故选：C.6、△ABC 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知b 2+c 2−a 2=bc ，则A =（）A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π3答案：C分析：利用余弦定理求出cosA ，再求出A 即可.∵b 2+c 2−a 2=bc ,∴cosA =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12，∵0<A <π，∴A =π3. 故选：C7、已知向量a ⃑=(−1,m )，b ⃑⃑=(m +1,2)，且a ⃑⊥b⃑⃑，则m =（） A ．2B ．−2C ．1D ．−1答案：C分析：由向量垂直的坐标表示计算．由题意得a ⃑⋅b⃑⃑=−m −1+2m =0，解得m =1 故选：C ．8、已知直角三角形ABC 中，∠A =90°，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最大值为（）A ．16+16√55B ．16+8√55C ．165D ．565答案：D分析：建立如图所示的坐标系，根据PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC⃑⃑⃑⃑⃑⃑=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−5可求其最大值. 以A 为原点建系，B (0,2),C (4,0)，BC:x 4+y 2=1，即x +2y −4=0，故圆的半径为r =√5 ∴圆A:x 2+y 2=165，设BC 中点为D (2,1)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−14BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−14×20=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−5， |PD |max =|AD |+r =√5+√5=√5，∴(PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)max =815−5=565，故选：D.多选题9、下列说法正确的有（）A ．若a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，则a ⃑//c ⃑B ．若a ⃑=b ⃑⃑，b ⃑⃑=c ⃑，则a ⃑=c ⃑C ．若a ⃑//b ⃑⃑，则a ⃑与b⃑⃑的方向相同或相反D ．若AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑、BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑共线，则A 、B 、C 三点共线答案：BD分析：取b⃑⃑=0⃑⃑可判断AC 选项的正误；利用向量相等的定义可判断B 选项的正误；利用共线向量的定义可判断D 选项的正误.对于A 选项，若b ⃑⃑=0⃑⃑，a ⃑、c ⃑均为非零向量，则a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑成立，但a ⃑//c ⃑不一定成立，A 错；对于B 选项，若a ⃑=b ⃑⃑，b ⃑⃑=c ⃑，则a ⃑=c ⃑，B 对；对于C 选项，若b ⃑⃑=0⃑⃑，a ⃑≠0⃑⃑，则b⃑⃑的方向任意，C 错；对于D 选项，若AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑、BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑共线且AB 、BC 共点B ，则A 、B 、C 三点共线，D 对.故选：BD.10、下列说法正确的是（）A ．向量不能比较大小，但向量的模能比较大小B ．|a ⃑|与|b ⃑⃑|是否相等与a ⃑与b⃑⃑的方向无关 C ．若a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，则a ⃑//c ⃑D ．若向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与向量CD⃑⃑⃑⃑⃑⃑是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上答案：AB分析：根据向量的定义以及向量模的定义可判断A ，B ；举反例b⃑⃑=0⃑⃑时可判断C ；由共线向量的定义可判断D ，进而可得正确选项.对于A ：向量即有大小又有方向不能比较大小，向量的模可以比较大小，故选项A 正确；对于B ：|a ⃑|与|b ⃑⃑|分别表示向量a ⃑与b ⃑⃑的大小，与a ⃑，b⃑⃑的方向无关，故选项B 正确；对于C ：当b ⃑⃑=0⃑⃑时，向量a ⃑与c ⃑可以是任意向量都满足a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，故选项C 不正确；对于D ：若向量AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑与向量CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑是共线向量，表示AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑方向相同或相反，得不出A ，B ，C ，D 四点在一条直线上，故选项D 不正确；故选：AB.11、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2cosAsinB =b 2sinAcosB ，则△ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案：AC分析：根据正弦定理和二倍角公式进行求解.∵a 2cosAsinB =b 2sinAcosB∴由正弦定理得sin 2AcosAsinB =sin 2BsinAcosB ，∵sinAcosA ≠0∴sinAcosA =sinBcosB ，即sin2A =sin2B∴2A =2B 或2A +2B =π，即该三角形为等腰三角形或直角三角形.故选：AC.填空题12、已知a ⃗,b ⃑⃑是空间两个向量，若|a ⃗|=2,|b ⃑⃗|=2,|a ⃗−b ⃑⃗|=√7，则cos 〈a ⃗,b⃑⃑〉＝________．答案：18 分析：根据向量几何法的模长公式，可得向量数量积的值，根据向量夹角余弦值的公式，可得答案.由|a ⃑−b ⃑⃑|=√7，可知(a ⃑−b ⃑⃑)2=7，则|a ⃑|2−2a ⃑⋅b⃑⃑+|b ⃑⃑|2=7， ∵|a ⃑|=2,|b ⃑⃑|=2，∴a ⃑⋅b ⃑⃑=12，则cos⟨a ⃑⋅b ⃑⃑⟩=a ⃑⃑⋅b ⃑⃑|a ⃑⃑|⋅|b ⃑⃑|=18. 所以答案是：18. 13、如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =2，DE =2EC ，M 为BC 的中点，若点P 在线段BD 上运动，则PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗的最小值为______.答案：2352 分析：构建直角坐标系，令AP⃑⃑⃑⃑⃑⃗=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+(1−λ)AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗求P 的坐标，进而可得PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗，由向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求最值即可.以A 为坐标原点，AB ，AD 分别为x ，y 建系，则E(2,2)，M(3,1)，又AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3,0)，AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(0,2)，令AP⃑⃑⃑⃑⃑⃗=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+(1−λ)AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3λ,2−2λ)，0≤λ≤1，故P(3λ,2−2λ)，则PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(2−3λ,2λ)，PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3−3λ,2λ−1)， PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(2−3λ)(3−3λ)+2λ(2λ−1) =13λ2−17λ+6，所以λ=1726时，PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗取最小值2352. 所以答案是：2352.14、海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD =45m ，∠ADB =135°，∠BDC =∠DCA =15°，∠ACB =120°，则AB 两点的距离为______m ．答案：45√5分析：先将实际问题转化为解三角形的问题，再利用正、余弦定理求解。

2020_2021学年高中数学第二章平面向量及其应用测评课后习题含解析北师大版必修第二册202012

第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分) 1.已知在▱ABCD 中,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,8),AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,4),则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A.(-1,-12)B.(-1,12)C.(1,-12)D.(1,12)ABCD 是平行四边形,所以AC⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,12). 2.如果a ,b 是两个单位向量,那么下列四个结论中正确的是( ) A.a=b B.a ·b=1 C.a=-bD.|a|=|b|,所以选项A,C 不正确;由于两个单位向量的夹角不确定,则a ·b=1不成立,所以选项B 不正确;|a|=|b|=1,则选项D 正确.3.如图,a-b 等于( )A.2e 1-4e 2B.-4e 1-2e 2C.e 1-3e 2D.3e 1-e 21-3e 2.4.如图,正方形ABCD 中,点E ,F 分别是DC ,BC 的中点,那么EF⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B.-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C.-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ). 5.已知A 船在灯塔C 北偏东70°方向2 km 处,B 船在灯塔C 北偏西50°方向3 km 处,则A ,B 两船的距离为( )A.√19 kmB.√7 kmC.(√6+1) kmD.(√6-1) km据题意,在平面直角坐标系中作示意图,如图所示,易知在△ABC 中,BC=3,AC=2,∠BCA=120°,故由余弦定理可得AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC ·cos ∠BCA ,解得AB 2=19,则AB=√19.故选A.6.已知a ,b ,c 是共起点的向量,a ,b 不共线,且存在m ,n ∈R 使c =m a +n b 成立,若a ,b ,c 的终点共线,则必有 ( )A.m+n=0B.m-n=1C.m+n=1D.m+n=-1OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c , 因为a 、b 、c 的终点共线,所以设AC⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ), 所以OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即c =(1-λ)a +λb . 又c =m a +n b ,所以{1-λ=m ,λ=n ,所以m+n=1.7.在100 m 高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°和60°,则塔高是( ) A.4003m B.400√33 m C.200√33mD.2003m图所示,山高为AB=100m,塔高为CD ,根据题意可知∠BCA=60°, ∠CBD=30°. 在Rt △ABC 中, BC=ABsin∠BCA =√32=200√33,在△BCD 中,∠CBD=∠BCD=30°,∠BDC=120°, 由正弦定理得CDsin30°=BCsin120°,CD=12·200√33√32=2003.故选D.8.已知|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,D 为BC 的中点,且|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A.√32B.32C.√3D.2为|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,所以A ,B ,C 在以O 为圆心半径为1的圆上. 以O 为原点,OD 所在直线为y 轴,建立平面直角坐标系, 因为|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,D 为BC 的中点,所以|OD|=12, 则B -√32,-12,C √32,-12,D 0,-12,设A (x ,y ),则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-x ,-12-y ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0),所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =-√3x ,因为-1≤x ≤1,当A 与E 重合,即x=-1时,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为√3.故选C.二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分) 9.已知△ABC 的面积为32,且b=2,c=√3,则A=( )A.30°B.60°C.150°D.120°S=12bc sin A=32,所以12×2×√3sin A=32,所以sin A=√32,因为0°<A<180°, 所以A=60°或120°. 故选BD.10.下列命题中,正确的是( ) A.对于任意向量a ,b ,有|a +b |≤|a |+|b |B.若a ·b =0,则a =0或b =0C.对于任意向量a ,b ,有|a ·b |≤|a ||b |D.若a ,b 共线,则a ·b =±|a ||b |A 正确;当a ⊥b 时,a ·b =0,故B 错误;因为|a ·b |=|a ||b ||cos θ|≤|a ||b |,故C 正确; 当a ,b 共线同向时,a ·b =|a ||b |cos0°=|a ||b |,当a ,b 共线反向时,a ·b =|a ||b |cos180°=-|a ||b |,故D 正确.故选ACD.11.(2020福建宁化第一中学高一月考)在△ABC 中,根据下列条件解三角形,其中恰有一解的是( ) A.b=7,c=3,C=π6B.b=5,c=6,C=π4C.a=6,b=3√3,B=π3 D.a=20,b=15,B=π6选项,因为C=π6,为锐角,c=3<b sin C=72,所以三角形无解;B 选项,因为C=π4,为锐角,c=6>b=5,所以三角形有一解;C 选项,因为B=π3,为锐角,b=3√3=a sin B=3√3,所以三角形有一解;D 选项,因为B=π6,为锐角,b=15>a sin B=10,所以三角形有两解.故选BC.12.在△ABC 中,下列结论正确的是( ) A.AB⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ <|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ | C.若(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,则△ABC 为等腰三角形 D.若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >0,则△ABC 为锐角三角形⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故A 错误; 设θ为向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角,因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos θ,而cos θ<1,故AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ <|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,故B 正确;(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0,故|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |, 所以△ABC 为等腰三角形,故C 正确; 取A=B=π6,C=2π3,满足AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos A>0,但△ABC 为钝角三角形,故D 错误.故选BC.三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知向量a=(2,-1),b =(-1,m ),c=(-1,2),若(a+b )∥c ,则m= ,|b+c|= .a=(2,-1),b =(-1,m ),所以a+b =(1,m-1). 因为(a+b )∥c ,c=(-1,2), 所以2-(-1)·(m-1)=0.所以m=-1.则b+c=(-2,1), 则|b+c|=√(-2)2+12=√5.1 √514.在△ABC 中,若B=60°,2b=a+c ,则△ABC 的形状是 .b 2=a 2+c 2-2ac cos B.因为B=60°,2b=a+c , 所以(a+c 2)2=a 2+c 2-2ac cos60°,整理得(a-c )2=0,故a=c.又B=60°,所以△ABC 是等边三角形.15.(2019北京牛栏山一中高三期中)如图是以C 为圆心的一个圆,其中弦AB 的长为2,则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ = .,作CD ⊥AB 交AB 于点D ,则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC⃗⃗⃗⃗⃗ , 则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ =12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2.16.在△ABC 中,A=30°,AB=2√3,4≤BC 2≤12,则△ABC 面积的范围是 .△ABC 中,A=30°,AB=2√3,由余弦定理可得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC cos30°=12+AC 2-6AC ,又因为4≤BC 2≤12,4≤12+AC 2-6AC ≤12, 解得0<AC ≤2,或4≤AC ≤6, 而S △ABC =12AB ·AC ·sin30°=√32AC , 所以0<S △ABC ≤√3或2√3≤S △ABC ≤3√3, 故△ABC 面积的范围是(0,√3]∪[2√3,3√3].√3]∪[2√3,3√3]四、解答题(本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知a=(1,0),b=(2,1). (1)当k 为何值时,k a-b 与a+2b 共线?(2)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+3b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +m b 且A ,B ,C 三点共线,求m 的值.k a-b =k (1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b =(1,0)+2(2,1)=(5,2). 因为k a-b 与a+2b 共线, 所以2(k-2)-(-1)×5=0,解得k=-12. (2)因为A ,B ,C 三点共线,a 与b 不共线, 所以存在实数λ,使得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R ), 即2a+3b =λ(a +m b ), 整理得(8,3)=(λ+2m λ,m λ), 所以{λ+2mλ=8,mλ=3,解得m=32.18.(12分)已知O ,A ,B 是平面上不共线的三点,直线AB 上有一点C ,满足2AC⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, (1)用OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)若点D 是OB 的中点,证明四边形OCAD 是梯形.2AC⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以2(OC⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0, 2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ., DA =DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗=12(2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ). 故DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OC⃗⃗⃗⃗⃗ .即DA ∥OC ,且DA ≠OC. 故四边形OCAD 为梯形.19.(12分)(2020山东高一月考)已知长方形AOCD 中,OA=3,OC=2,E 为OC 中点,P 为AO 上一点,利用向量知识判断当点P 在什么位置时,∠PED=45°.,建立平面直角坐标系,则O (0,0),C (2,0),D (2,3),E (1,0).设P (0,y ),则ED⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3),EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,y ), 所以|ED⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10,|EP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√y 2+1,ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3y-1. 代入cos45°=ED⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·EP ⃗⃗⃗⃗⃗ |ED ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||EP ⃗⃗⃗⃗⃗ |, 解得y=2y=-12舍去.所以当点P 在靠近点A 的AB 的三等分处时,∠PED=45°. 20.(12分)在△ABC 中,AB=3,AC=1,∠A=60°. (1)求sin ∠ACB ;(2)若D 为BC 的中点,求AD 的长度.因为在△ABC 中,AB=3,AC=1,∠A=60°.所以由余弦定理可得BC=√AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cosA =√32+12-2×3×1×12=√7,所以由正弦定理ABsin∠ACB=BC sinA,可得sin ∠ACB=AB ·sinA BC=3×√32√7=3√2114. (2)因为D 为BC 的中点,所以CD=12BC=√72. 又因为cos C=AC 2+BC 2-AB 22AC ·BC=2×1×√7=-√714,所以在△ACD 中,由余弦定理可得 AD=√AC 2+CD 2-2AC ·CD ·cosC=74-2×1×√72√714)=√132.21.(12分)为了测量两山顶M ,N 之间的距离,飞机沿水平方向在A ,B 两点进行测量,A ,B ,M ,N 在同一个铅垂平面内(如示意图).飞机能够测量的数据有俯角和A ,B 间的距离,请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);②用文字和公式写出计算M ,N 间的距离的步骤.需要测量的数据有:A 点到M ,N 点的俯角α1,β1;B 点到M ,N 点的俯角α2,β2;A ,B 间的距离d (如图所示).②第一步:计算AM.由正弦定理得AM=dsinα2sin (α1+α2).第二步:计算AN. 由正弦定理得AN=dsinβ2sin (β2-β1).第三步:计算MN. 由余弦定理得MN=√AM 2+AN 2-2AM ·ANcos (α1-β1).22.(12分)(2019海南高二期末(理))如图,在△ABC 中,AB=2,AC=4,线段BC 的垂直平分线交线段AC 于点D ,且DA-DB=1.(1)求BC 的长; (2)求△BCD 的面积S.依题意得DB=DC ,因为AC=DA+DC=4,DA-DC=1, 所以DA=52,DC=DB=32.在△ABD 中,由余弦定理得cos A=AD 2+AB 2-BD 22AD ·AB=45,在△ABC 中,由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos A=365,所以BC=6√55.(2)由(1)知cos A=45,所以sin A=35,在△ABC 中,由正弦定理得AB sinC =BCsinA , 即sin C=AB ·sinA BC=√55, 所以S=12CD ·BC ·sin C=12×32×6√55×√55=910.。

【高中数学】2019-2020学年新人教A版必修二平面向量及其应用阶段质量评估

平面向量及其应用(A)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中的真命题是( ) A ．单位向量都相等 B ．若a ≠b ，则|a |≠|b | C ．若|a |≠|b |，则a ≠b D ．若|a |＝|b |，则a ∥b解析：只有大小相等和方向相同的向量才是相等向量，大小不相等的向量一定不是相等向量．答案： C2．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c ＝( ) A ．(－15,12) B.0 C ．－3D.－11解析： a ＋2b ＝(－5,6)，(a ＋2b )·c ＝－3. 答案： C3．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( ) A ．－4B ．－3 C ．－2D.－1解析：因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，由(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.答案： B4．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 解析： AB →＝(3，－4)，与其同方向的单位向量e ＝AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 答案： A5．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D.以上都不对解析： ∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－(a ＋b )，∴c 2＝(a ＋b )2，即|c |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos 〈a ，b 〉， ∴19＝4＋9＋12cos 〈a ，b 〉， ∴cos 〈a ，b 〉＝12.又∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝60°. 答案： C6．向量BA →＝(4，－3)，向量BC →＝(2，－4)，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰非直角三角形 B ．等边三角形 C ．直角非等腰三角形 D ．等腰直角三角形解析： ∵AC →＝BC →－BA →＝(－2，－1)， ∴AC →·BC →＝－2×2＋(－1)×(－4)＝0，∴AC →⊥BC →. 又∵|AC →|≠|BC →|，∴△ABC 是直角非等腰三角形．答案： C7．若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( ) A ．正方形B ．矩形 C ．菱形D.直角梯形解析：由AB →＋CD →＝0即AB →＝DC →可得四边形ABCD 为平行四边形．由(AB →－AD →)·AC →＝0即DB →·AC →＝0可得DB →⊥AC →，所以四边形一定是菱形．故选C.答案： C8．已知O 为坐标原点，点A 的坐标为(2,1)，向量AB →＝(－1,1)，则(OA →＋OB →)·(OA →－OB →)等于( )A ．－4B ．－2C ．0D.2解析：因为O 为坐标原点，点A 的坐标为(2,1)，向量AB →＝(－1,1)，所以OB →＝OA →＋AB → ＝(2,1)＋(－1,1)＝(1,2)，所以(OA →＋OB →)·(OA →－OB →) ＝OA 2→－OB →2＝(22＋12)－(12＋22) ＝5－5＝0.故选C. 答案： C9．在△ABC 中，若|AB →|＝1，|AC →|＝3，|AB →＋AC →|＝|BC →|，则AB →·BC →|BC →|＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32解析：由向量的平行四边形法则，知当|AB →＋AC →|＝|BC →|时，∠A ＝90°.又|AB →|＝1，|AC →|＝3，故∠B ＝60°，∠C ＝30°，|BC →|＝2，所以AB →·BC →|BC →|＝|AB →||BC →|cos120°|BC →|＝－12.答案： B10．在△ABC 中，AB ＝4，∠ABC ＝30°，D 是边BC 上的一点，且AD →·AB →＝AD →·AC →，则AD →·AB →的值等于( )A ．－4B ．0C ．4D.8解析： ∵AD →·AB →＝AD →·AC →， ∴AD →·(AB →－AC →)＝0， ∴AD →·CB →＝0，即AD ⊥BC ， ∴∠ADB ＝90°，在Rt △ADB 中，∠ABD ＝30°，∴AD ＝12AB ＝2，∠BAD ＝60°，∴AD →·AB →＝|AD →||AB →|cos60°＝2×4×12＝4.答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．已知点A (1，－2)，若向量AB →与a ＝(2,3)同向，|AB →|＝213，则点B 的坐标是________．解析：由题意可设AB →＝λa (λ＞0)， ∴AB →＝(2λ，3λ)．又|AB →|＝213，∴(2λ)2＋(3λ)2＝(213)2，解得λ＝2或－2(舍去)． ∴AB →＝(4,6)．又A (1，－2)，∴B (5,4)．答案： (5,4)12．平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )·(a －2b )＝－7，则向量a ，b 的夹角为________．解析： (a ＋b )(a －2b )＝|a |2－a ·b －2|b |2＝1－a ·b －8＝－7，∴a ·b ＝0，∴a ⊥b .故a ，b 的夹角为π2.答案： π213．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________. 解析： |5a －b |＝|5a －b |2＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a ·b＝25＋9－10×1×3×⎝⎛⎭⎫－12 ＝7. 答案： 714．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．解析： BC →＝AC →－AB →，由于AP →⊥BC →，所以AP →·BC →＝0，即(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝－λAB →2＋AC →2＋(λ－1)AB →·AC →＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12＝0，解得λ＝712.12三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，c ＝5a ＋3b ，d ＝3a ＋k b ，当实数k 为何值时，(1)c ∥d ；(2)c ⊥d .解析：由题意得a ·b ＝|a ||b |cos60°＝2×3×12＝3.(1)当c ∥d ，c ＝λd ，则5a ＋3b ＝λ(3a ＋k b )． ∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k ＝95.(2)当c ⊥d 时，c ·d ＝0，则(5a ＋3b )·(3a ＋k b )＝0. ∴15a 2＋3k b 2＋(9＋5k )a ·b ＝0， ∴k ＝－2914.16．(本小题满分12分)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(m,2)，c ＝(3,4)，且(a －3b )⊥c . (1)求实数m 的值； (2)求向量a 与b 的夹角θ.解析： (1)因为a ＝(1,3)，b ＝(m,2)，c ＝(3,4)．所以a －3b ＝(1,3)－(3m,6)＝(1－3m ，－3)．因为(a －3b )⊥c .所以(a －3b )·c ＝(1－3m ，－3)·(3,4) ＝3(1－3m )＋(－3)×4 ＝－9m －9＝0. 解得m ＝－1.(2)由(1)知a ＝(1,3)，b ＝(－1,2)，所以a ·b ＝5.所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22.因为θ∈[0，π]，417．(本小题满分12分)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－x ，－3－y )． (1)若点A ，B ，C 不能构成三角形，求x ，y 应满足的条件； (2)若AC →＝2BC →，求x ，y 的值．解析： (1)因为点A ，B ，C 不能构成三角形，则A ，B ，C 三点共线．由OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)， OC →＝(5－x ，－3－y )得 AB →＝(3,1)，AC →＝(2－x,1－y )，所以3(1－y )＝2－x .所以x ，y 满足的条件为x －3y ＋1＝0. (2)BC →＝(－x －1，－y )，由AC →＝2BC →得(2－x,1－y )＝2(－x －1，－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ＝－2x －2，1－y ＝－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－1.18．(本小题满分14分)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，AB →＝2e 1＋e 2，BE →＝－e 1＋λe 2，EC →＝－2e 1＋e 2，且A ，E ，C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－2)，求BC →的坐标；(3)已知点D (3,5)，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．解析： (1)AE →＝AB →＋BE →＝(2e 1＋e 2)＋(－e 1＋λe 2)＝e 1＋(1＋λ)e 2.∵A ，E ，C 三点共线，∴存在实数k ，使得AE →＝kEC →，即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)，得(1＋2k )e 1＝(k －1－λ)e 2.∵e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2k ＝0，k －1－λ＝0，解得k ＝－12，λ＝－32.(2)BC →＝BE →＋EC →＝－3e 1－12e 2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．(3)∵A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，∴AD →＝BC →.设A (x ，y )，则AD →＝(3－x,5－y )．∵BC →＝(－7，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x ＝－7，5－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝7，即点A 的坐标为(10,7)．。

第六章平面向量及其应用单元测试卷-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(必修第二册

第六章平面向量及其应用（单元测试卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.a ，b 为非零向量，且|a +b |＝|a |＋|b |，则( )A .a ∥b ，且a 与b 方向相同 B .a ，b 是共线向量且方向相反C .a ＝bD .a ，b 无论什么关系均可2.若在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，|AB → ＋AC →|＝2，则△ABC 的形状是( )A .正三角形 B.锐角三角形C .斜三角形D.等腰直角三角形3.如图所示，四边形ABCD 中，若AB → ＝a ，AD → ＝b ，BC → ＝c ，则DC →＝( )A .a －b ＋cB .b －(a ＋c )C .a ＋b ＋cD .b －a ＋c4.若点M 是△ABC 所在平面内的一点，满足AM → ＝34AB → ＋14AC →，则|MB →||MC → |＝( )A.14 B.4 C.13 D.35.已知非零向量a ，b 满足2|a |＝3|b |，|a －2b |＝|a ＋b |，则a 与b 的夹角的余弦值为( )A.23 B.34C.13 D.146.对于向量m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，定义m ⊗n ＝(x 1x 2，y 1y 2)．已知a ＝(2，－4)，且a ＋b ＝a ⊗b ，那么向量b 等于( )A.(2，45) B.(－2，－45)C.(2，－45)D.(－2，45)7.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab>0，则△ABC( )A .一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形C .一定是钝角三角形D.是锐角或直角三角形8.如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点测得建筑物顶端的仰角分别为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则该建筑物的高度为( )A .(30＋303)m B.(30＋153)m C .(15＋3)mD.(15＋153)m二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知A ＝{与a 共线的向量}，B ＝{与a 长度相等的向量}，C ＝{与a 长度相等，方向相反的向量}，其中a 为非零向量，下列关系中正确的是 ( )A .C ⊆A B.A ∩B ＝{a}C .C ⊆BD.(A ∩B)⊇{a}10.设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，则下列结论正确的是( )A .a·c －b·c ＝(a －b )·cB .(b·c )·a －(c·a )·b 不与c 垂直C .|a |－|b |＜|a －b |D .(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |211.在△ABC 中，A>B ，则下列不等式中一定正确的是( )A .sin A>sinB B.cos A<cos BC .sin 2A>sin 2BD.cos 2A<cos 2B12.(多选)在直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足BP → ＝2PC →，点M ，N在过点P 的直线上，若AM → ＝m AB → ，AN → ＝n AC →(m ＞0，n ＞0)，则下列结论正确的是( )A.1m ＋2n为常数B .m ＋2n 的最小值为3C .m ＋n 的最小值为169 D .m ，n 的值可以为m ＝12，n ＝2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若|OA → |＝8，|OB → |＝5，则|AB →|的取值范围是________14.若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足：AM → ＝34AB → ＋14AC →，则△ABM 与△ABC 的面积之比为________15.在△ABC 中，若a 2－c 2＋b 2＝ab ，则cos C ＝________16.为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A ，B ，望对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度为________m ．四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，设OA → ＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且|a |＝2，|b |＝1，|c |＝3，试用a ，b 表示c ．18.设OA → ，OB → 不共线，且OC → ＝a OA → ＋b OB →(a ，b ∈R)．(1)若a ＝13，b ＝23，求证：A ，B ，C 三点共线；(2)若A ，B ，C 三点共线，则a ＋b 是否为定值？并说明理由．19.已知四边形ABCD 是正方形，BE ∥AC ，AC ＝CE ，EC 的延长线交BA 的延长线于点F ，求证：AF ＝AE ．20.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC → ＝13OA → ＋23OB →．(1)求证：A ，B ，C 三点共线，并求|BC →||BA →|的值；(2)已知A (1，si n x )，B (1＋si n x ，si n x )，x ∈(0，π)，且函数f (x )＝OA → ·OC →＋(2m －23)|AB → |的最小值为12，求实数m 的值．21.如图，AB → ＝(6,1)，BC → ＝(x ，y)，CD → ＝(－2，－3)，且BC → ∥AD →．(1)求y 与x 的关系式；(2)若AC → ⊥BD →，求x 与y 的值及四边形ABCD的面积．22.在△ABC 中，a ＋b ＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a 的值；(2)sin C 和△ABC 的面积．条件①：c ＝7，cos A ＝－17；条件②：cos A ＝18，cos B ＝916．参考答案及解析：一、选择题1.A 解析：根据三角形法则可知，若非零向量a ，b 满足|a +b |＝|a |＋|b |，则a ∥b ，且a 与b 方向相同．2.D 解析：设线段BC 的中点为O(图略)，由平行四边形法则和平行四边形对角线互相平分可知|AB → ＋AC → |＝2|AO → |，又|AB → ＋AC →|＝2，故|AO →|＝22，又BO ＝CO ＝22，所以△ABO 和△ACO 都是等腰直角三角形，所以△ABC 是等腰直角三角形．3.A 解析：DC → ＝AC → －AD → ＝(AB → ＋BC → )－AD →＝a －b ＋c4.C 解析：∵AM → ＝34AB → ＋14AC → ＝34(AM → ＋MB → )＋14(AM → ＋MC →)＝34AM → ＋34MB → ＋14AM → ＋14MC →＝AM →＋(34MB → ＋14MC →)，∴34MB →＋14MC →＝，得|MB →||MC →|＝13．故选C ．5.C 解析：|a －2b |＝|a ＋b |⇒(a －2b )2＝(a ＋b )2⇒a ·b ＝12b 2⇒cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝12b 232b 2＝13．6.A 解析：设b ＝(x ，y )，由新定义及a ＋b ＝a ⊗b ，可得(2＋x ，y －4)＝(2x ，－4y )，所以2＋x ＝2x ，y －4＝－4y ，解得x ＝2，y ＝45，所以向量b ＝(2，45)．7.C 解析：由c 2－a 2－b 22ab>0得－cos C>0，所以cos C<0，从而C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角三角形．8.A 解析：在△PAB 中，∠PAB ＝30°，∠APB ＝15°，AB ＝60 m ，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝6－24，由正弦定理，得PB ＝ABsin 30°sin 15°＝30(6＋2)(m)，所以建筑物的高度为PBsin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m)，故选A ．二、选择题9.ACD 解析：因为A ∩B 中包含与a 长度相等且方向相反的向量，所以B 中的关系错误．10.ACD 11.ABD 解析：A>B ⇔a>b ⇔sin A>sin B ，A 正确．由于在(0，π)上，y ＝cos x 单调递减，∴cos A<cos B ，B 正确．cos 2α＝1－2sin 2α．∵sin A>sin B>0，∴sin 2 A>sin 2 B ，∴cos 2A<cos 2B ，D 正确．12.ABD 三、填空题13.答案：[3,13] 14.答案：1∶4　15.答案：12 解析：∵a 2－c 2＋b 2＝ab ，∴c 2＝a 2＋b 2－ab ．又∵c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ，∴2cos C ＝1．∴cos C ＝12．16.答案：60四、解答题17.解：如图，以O 为原点，向量OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系．因为|a |＝2，所以a ＝(2,0)．设b ＝(x 1，y 1)，所以x 1＝|b |·cos 150°＝1×(－32)＝－32，y 1＝|b |si n 150°＝1×12＝12，所以b ＝(－32，12)．同理可得c ＝(－32，－332)．设c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，所以(－32，－332)＝λ1(2,0)＋λ2(－32，12)＝(2λ1－32λ2，12λ2)，所以Error!解得Error!所以c ＝－3a －33b．18.(1)证明：当a ＝13，b ＝23时，OC → ＝13OA → ＋23OB →，所以23(OC → －OB → )＝13(OA →－OC → )，即2BC → ＝CA →，所以BC → 与CA → 共线，又BC → 与CA →有公共点C ，所以A ，B ，C 三点共线．(2)解：a ＋b 为定值1，理由如下：因为A ，B ，C 三点共线，所以AC → ∥AB →，不妨设AC → ＝λAB → (λ∈R)，所以OC → －OA → ＝λ(OB → －OA → )，即OC → ＝(1－λ)OA → ＋λOB →，又OC → ＝a OA → ＋b OB → ，且OA → ，OB →不共线，则Error!所以a ＋b ＝1(定值)．19.证明：建立如图所示的直角坐标系，为了研究方便，不妨设正方形ABCD 的边长为1，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(x ，y)，这里y ＞0，于是AC → ＝(1,1)，BE →＝(x －1，y)．∵AC → ∥BE →，∴1×y －(x －1)×1＝0⇒y ＝x －1 ①∵AC ＝OC ＝CE ，∴CE 2＝OC 2⇒(x －1)2＋(y －1)2＝2 ②由y ＞0，联立①②解得Error!即E (3＋32，1＋32)．AE ＝OE ＝(3＋32)＋(1＋32)＝3＋1．设F(t,0)，则FC → ＝(1－t,1)，CE → ＝(1＋32，－1＋32)．∵F ，C ，E 三点共线，∴FC → ∥CE →．∴(1－t)×－1＋32－1＋32×1＝0，解得t ＝－1－3．∴AF ＝OF ＝1＋3，∴AF ＝AE ．20.(1)证明：∵OC → ＝13OA → ＋23OB → ，∴OC → －OB → ＝13(OA → －OB → )，∴BC → ＝13BA → ，又BC → ，BA →有公共点B ，∴A ，B ，C 三点共线，|BC →||BA →|＝13．(2)解：∵A (1，si n x )，B (1＋si n x ，si n x )，∴OC → ＝13OA → ＋23OB →＝(1＋23si n x ，si n x )，∴OA → ·OC →＝1＋23si n x ＋si n 2x ．又AB → ＝(si n x,0)，∴|AB → |＝si n x ，∴f (x )＝OA → ·OC →＋(2m －23)|AB →|＝si n 2x ＋2m si n x ＋1．设si n x ＝t ，∵x ∈(0，π)，∴t ∈(0,1]，∴y ＝t 2＋2mt ＋1＝(t ＋m )2＋1－m 2．①当－m ≤0，即m ≥0时，y ＝t 2＋2mt ＋1无最小值，不合题意；②当0＜－m ≤1，即－1≤m ＜0时，当t ＝－m 时，y mi n ＝1－m 2＝12，∴m ＝－22；③当－m ＞1，即m ＜－1时，当t ＝1时，y mi n ＝2＋2m ＝12，∴m ＝－34＞－1，不合题意．综上可知，m ＝－22．21.解：(1)∵AD → ＝AB → ＋BC → ＋CD → ＝(4＋x ，y －2)，∴由BC → ∥AD →，得x(y －2)＝y(4＋x)，即y ＝－12x ．(2)由题易得，AC → ＝AB → ＋BC → ＝(x ＋6，y ＋1)，BD → ＝BC → ＋CD →＝(x －2，y －3)．由AC → ⊥BD → 可得AC → ·BD →＝0，即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝x 2＋y 2＋4x －2y －15＝0，又∵y ＝－12x ，∴Error!或Error!第11页,共11页∴AC → ＝(8,0)，BD → ＝(0，－4)或AC → ＝(0,4)，BD →＝(－8,0)，又∵AC → ⊥BD →，∴四边形ABCD 的面积为12·|AC → ||BD → |＝12×8×4＝16．22.解：方案一：选①．(1)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ，及b ＝11－a ，c ＝7，得a 2＝(11－a)2＋49－2(11－a)×7×(－17)，∴a ＝8．(2)∵cos A ＝－17，A ∈(0，π)，∴sin A ＝437．由正弦定理a sin A＝c sin C，得sin C ＝csin Aa＝7×4378＝32，由(1)知b ＝11－a ＝3，∴S △ABC ＝12absin C ＝12×8×3×32＝63．方案二：选②．(1)∵cos A ＝18，∴A ∈(0，π2)，sin A ＝378．∵cos B ＝916，∴B ∈(0，π2)，sin B ＝5716．由正弦定理asin A ＝bsin B ，得a378＝11－a5716，∴a ＝6．(2)sin C ＝sin(π－A －B)＝sin(A ＋B)＝sin Acos B ＋cos Asin B ＝74．∵a ＋b ＝11，a ＝6，∴b ＝5．∴S △ABC ＝12absin C ＝12×6×5×74＝1574．。

高中数学必修二第六章平面向量及其应用单元检测卷(2)(含解析)

高中数学必修二第六章平面向量及其应用单元检测卷(2)一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.设向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−2)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,6)，则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |等于( ) A. 2√6B. 5C. √26D. 62.在四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BA|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ |BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则四边形ABCD 的面积是( ) A. √32B. √3C. √34D. 323. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C =π3，若m ⃗⃗⃗ =(c −√6,a −b)，n ⃗ =(a −b,c +√6)，且m⃗⃗⃗ //n ⃗ ，则△ABC 的面积为( ) A. 3B. 9√32 C. 3√32D. 3√34.设a ，b 为不共线向量，=a +b ，=−4a −b ，=−5a −2b ，则下列关系式中正确的是( )A.=B. =2C. =−D. =−25.已知点O ，N 在△ABC 所在的平面内，且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则点O ，N 依次是△ABC 的( )A. 外心，内心B. 外心，重心C. 重心，外心D. 重心，内心6.已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C.若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −3OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||BC⃗⃗⃗⃗⃗ |等于( ) A. 13B. 12C. 1D. 27.下列命题中正确的是( ) A. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AB⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 0⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ D. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 8. 若三点(2,2)，(，0)，(0,)，()共线，则的值为( )A. 1B.C.D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.已知a ⃗ =(1,0)，|b ⃗ |=1，c ⃗ (0,−1)，满足3a ⃗ +k b ⃗ +7c ⃗ =0，则实数k 的值可能为( )A. √58B. −√58C. 58D. −5810. 在三棱锥M −ABC 中，下列命题正确的是( )A. 若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 若G 为△ABC 的重心，则MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 若MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0 D. 若三棱锥M −ABC 的棱长都为2，P ，Q 分别为MA ，BC 中点，则|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2 11. 已知D ，E ，F 分别是△ABC 三边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式成立的是( )A. FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =FA ⃗⃗⃗⃗⃗B. FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0C. DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC⃗⃗⃗⃗⃗ D. DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DF ⃗⃗⃗⃗⃗12. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足bsinA =(4b −c)sinB ，且cosA =14，则( )A. a +c =4bB. tan2A =−2√157 C. △ABC 的周长为10bD. △ABC 的面积为√154b 2三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 已知△ABC 中，点A 、B 、C 的坐标依次是A(2,−1)，B(3,2)，C(−3,−1)，BC 边上的高为AD ，则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是：______ ． 14. 如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1、A 2、B 1、B 2，焦点分别为F 1、F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PB 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围是______．15. 若O 为坐标原点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,5)，则点B 的坐标为______ ．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 已知点A(0,1)，B(2,5)，C(x,−3)，则向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是 (1) ；若A ，B ，C 三点共线，则实数x = (2) ．五、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 18.(本题15分)在抛物线上求一点C ，使得对任意过点的直线与该抛物线的两个交点，都有。

2020秋新人教版高中数学必修二第六章平面向量及其应用考试测试卷(含答案解析)

第六章平面向量及其应用测试卷(时间:120分钟分值:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.在□ABCD 中,若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,8),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,4),则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A.(-1,-12) B.(-1,12) C.(1,-12) D.(1,12)答案:B2.在△ABC 中,若A =π3,BC =3,AB =√6,则C =( )A.π4或3π4B.3π4C.π4D.π6答案:C3.若四边形ABCD 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则该四边形一定是( )A.正方形B.矩形C.菱形D.直角梯形答案:C4.(2020年新高考全国Ⅰ卷)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ( )A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)答案:A5.若点A (-1,1),B (1,2),C (-2,-1),D (3,4),则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为( )A.3√22B.3√152C.-3√22D.-3√152答案:A6.在△ABC 中,若AB =BC =3,∠ABC =60°,AD 是边BC 上的高,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的值等于 ( )A.-94B.94C.274D.9答案:C7.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为A ,B ,C 的对边,如果2b =a +c ,B =30°,△ABC 的面积为32,那么b 等于 ( )A.1+√32B.1+√3C.2+√22D.2√3答案:B8.如图,海平面上的甲船位于中心O 的南偏西30°,与O 相距 15 n mile 的C 处.若甲船以35 n mile/h 的速度沿直线CB 去营救位于中心O 正东方向25 n mile 的B 处的乙船,则甲船到达B 处需要的时间为( )A.12 hB.1 hC.32 hD.2 h 答案:B二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.若O 是平行四边形ABCD 对角线的交点,则 ( ) A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗B.DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 答案:AB10.在△ABC 中,若a =5√2,c =10,A =30°,则B 可能是 ( ) A.135° B.105° C.45° D.15° 答案:BD11.已知向量 e 1=(-1,2),e 2=(2,1),若向量a =λ1e 1+λ2e 2,则使λ1λ2<0成立的a 可能是( )A.(1,0)B.(0,1)C.(-1,0)D.(0,-1)答案:AC12.定义平面向量之间的一种运算“☉”:对任意的a =(m ,n ),b =(p ,q ),令a ☉b =mq -np ,下列说法正确的是 ( )A.若a 与b 共线,则a ☉b =0B.a ☉b =b ☉aC.对任意的λ∈R ,有λa ☉b =λ(a ☉b )D.(a ☉b )2+(a ·b )2=|a |2|b |2 答案:ACD三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)13.在△ABC 中,若3a 2-2ab +3b 2-3c 2=0,则cos C 的值为13.14.若向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-3),|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5. 15.(本题第一空2分,第二空3分)已知在△ABC中,AB =AC =4,BC =2,D 为AB 延长线上一点,连接CD ,若BD =2,则△BDC 的面积是√152,cos ∠CDB =√104. 16.太湖中有一个小岛,沿太湖有一条正南方向的公路,一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上,若汽车沿公路行驶1 km 后,测得小岛在南偏西75°的方向上,则小岛到公路的距离是√36km .四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17.(10分)在△ABC 中,a =3,b =2√6,B =2A. (1)求cos A 的值; (2)求c 的值.解:(1)因为a =3,b =2√6,B =2A , 所以在△ABC 中,由正弦定理得3sinA =2√6sin2A,所以2sinAcosA sinA=2√63.故cos A =√63.(2)由(1),知cos A =√63, 所以sin A =√1-cos 2A =√33.因为B =2A ,所以cos B =2cos 2A -1=13.所以sin B =√1-cos 2B =2√23. 在△ABC 中,sin C =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B =5√39,所以c =asinC sinA=5.18.(12分)如图,在平面直角坐标系中,|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,∠OAB =2π3,BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3). (1)求点B ,C 的坐标;(2)求证:四边形OABC 为等腰梯形.(1)解:设点B 的坐标为(x B ,y B ),则x B =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos(π-∠OAB )=52,y B =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·sin(π-∠OAB )=√32,所以OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ =（52,√32）+(-1,√3)=（32,3√32）, 所以点B 的坐标为（52,√32）,点C 的坐标为（32,3√32）. (2)证明:因为OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（32,3√32）,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（12,√32）,所以OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3),所以|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2. 因为|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |≠|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2, 所以四边形OABC 为等腰梯形.19.(12分)在四边形ABCD 中,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-3),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DA ⃗⃗⃗⃗⃗ .(1)求x 与y 的解析式;(2)若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求x ,y 的值以及四边形ABCD 的面积. 解:如图所示.(1)因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +4,y -2), 所以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x -4,2-y ). 因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ), 所以x (2-y )-(-x -4)y =0,即x +2y =0. (2)由题意,得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +6,y +1), BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x -2,y -3).因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即(x +6)(x -2)+(y +1)(y -3)=0.由(1)可知x =-2y ,所以y 2-2y -3=0,所以y =3或y =-1. 当y =3时,x =-6,此时,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6,3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-8,0), 所以|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=8, 所以S 四边形ABCD =12|AC⃗⃗⃗⃗⃗ ||BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=16. 当y =-1时,x =2,此时,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,0),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-4). 所以|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=8,|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,S 四边形ABCD =16. 综上可知{x =-6,y =3或{x =2,y =-1,S 四边形ABCD =16.20.(12分)如图,某海轮以60 n mile/h 的速度航行,在点A 测得海面上油井P 在南偏东60°,向北航行40 min 后到达点B ,测得油井P 在南偏东30°,海轮改为沿北偏东60°的航向再行驶80 min 到达点C ,求P ,C 间的距离.解:由题意知AB =40 n mile,∠BAP =120°,∠ABP =30°, 所以∠APB =30°,所以AP =40 n mile,所以BP 2=AB 2+AP 2-2AP ·AB ·cos 120°=402+402-2×40×40×（-12）=402×3,所以BP =40√3 n mile . 因为∠PBC =90°,BC =80 n mile,所以PC 2=BP 2+BC 2=(40√3)2+802=11 200, 所以PC =40√7 n mile,即P ,C 间的距离为40√7 n mile .21.(12分)在边长为1的菱形ABCD 中,A =60°,E 是线段CD 上一点,满足|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|DE ⃗⃗⃗⃗⃗ |,如图所示,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b .(1)用a ,b 表示BE⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)在线段BC 上是否存在一点F ,满足AF ⊥BE ?若存在,确定点F 的位置,并求|AF⃗⃗⃗⃗⃗ |;若不存在,请说明理由.解:(1)根据题意,得BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-23a ,所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE⃗⃗⃗⃗⃗ =b -23a . (2)结论:在线段BC 上存在使得4|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的一点F ,满足AF ⊥BE ,此时|AF⃗⃗⃗⃗⃗ |=√214. 求解如下:设BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =t BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =t b ,则FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-t )b (0≤t ≤1), 所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF⃗⃗⃗⃗⃗ =a +t b . 因为在边长为1的菱形ABCD 中,A =60°, 所以|a |=|b |=1,a ·b =|a ||b |cos 60°=12.因为AF ⊥BE ,所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a +t b )·（b -23a ）=（1-23t ）a ·b -23a 2+tb 2=（1-23t ）×12-23+t =0,解得t =14,所以AF⃗⃗⃗⃗⃗ =a +14b , 所以|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√AF⃗⃗⃗⃗⃗ 2=√a 2+12a ·b +116b 2=√1+12×12+116=√214. 22.(12分)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边,且满足 sin A +√3cos A =2. (1)求角A 的大小.(2)现给出三个条件:①a =2;②B =π4;③c =√3b.试从中选出两个可以确定△ABC 的条件,写出你的方案,并以此为依据求△ABC 的面积.(写出一种方案即可)解:(1)依题意,得2sin （A +π3）=2,即sin （A +π3）=1.因为0<A <π,所以π3<A +π3<4π3,所以A +π3=π2,所以A =π6.(2)参考方案:选择①②. 由正弦定理a sinA =bsinB,得b =asinB sinA=2√2.因为A +B +C =π,所以sin C =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B =√2+√64, 所以S △ABC =12ab sin C =12×2×2√2×√2+√64=√3+1.。

人教版高中数学必修第二册第六章平面向量及其应用单元检测(含答案)

第六章平面向量及其应用单元检测范围：必修二课本第六章全部内容（P1-P66)(本试卷共14道题，满分100分，考试时间45分钟）一、单选题（每题6分，共36分）1.下列命题中正确的是（）A.若→a 、→b 都是单位向量，则→a ＝→bB .若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形C.若→a ∥→b ，且→b ∥→c ，则→a ∥→c D.AB 与BA 是两平行向量2.已知平面上不共线的四点,,,O A B C ，若23OA OC OB +=的值为（）A．21B．31C．41D．613．设R y x ∈,，向量)1,(x a =，),1(y b =，)4,2(-=c ，且c b c a//,⊥＝()A.5B.10C ．25D ．104．已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13，则|b |等于()．A ．5B ．3C ．4D ．15.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝A.π3B.2π3C.3π4 D.5π66.在ABC ∆中，060=A ，b=1，其面积为3，则三角形外接圆的直径等于（）A.33 B.3392 C.3326 D.229二、多选题（每题6分，共12分）7.在直角坐标系xOy 中，AB →＝(2,1)，AC →＝(3，k )，若三角形ABC 是直角三角形，则k 的可能值是()A．1B．-1C．3D．-68.下列命题中，正确的是（）A 在ABC ∆中，若B A >，则B A sin sin >B.在锐角三角形ABC 中，不等式B A cos sin >恒成立C.在ABC ∆中，若B b A a cos cos =，则ABC ∆必是等腰直角三角形D.在ABC ∆中，若060=B ，ac b =2，则ABC ∆必是等边三角形三、填空题（每题6分，共18分）9.已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________．10.在ABC ∆中，N 是AC 边上一点，且NC AN 21=，P 是BN 上的一点，若AC AB m AP 92+=，则实数m 的值为________．11.在ABC ∆中，AB=3，AC=1，030=B ，则ABC ∆的面积等于________．四、解答题（共34分）12.（本小题10分）如图所示，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE ＝23AD ，AB ＝a ，AC＝b .(1)用a ，b 表示向量AD 、AE 、AF 、BE 、BF ；(2)求证：B 、E 、F 三点共线．13.（本小题12分）已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若n m //，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若p m ⊥，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．14.（本小题12分）在ABC ∆中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足22(cos cos )()cos a b B c C b c A -=-，试判断△ABC 的形状。

2020-2021学年新教材人教A版数学必修第二册章末综合测评1平面向量及其应用

章末综合测评(一) 平面向量及其应用(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．6 B ．5 C ．1D ．－6A [由向量数量积公式知，(2a ＋b )·a ＝(3,0)·(2，－1)＝6.]2．设非零向量a ，b ，c 满足|a|＝|b|＝|c|，a ＋b ＝c ，则向量a ，b 的夹角为( ) A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°B [设向量a ，b 夹角为θ， |c|2＝|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos θ，则cos θ＝－12，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.故选B ．]3．已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，则a ·b 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4 A [a ＋b ＝(3，k ＋2)，∵a ＋b 与a 共线， ∴3k －(k ＋2)＝0，解得k ＝1.]4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，则sin(B ＋C )的值为( )A ．－45B ．45C ．－35D ．35B [由b 2＋c 2－a 2＝65bc ，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35，则sin(B ＋C )＝sin A ＝45.]5．已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值是( )A ．－25B ．25C ．－24D ．24A [因为|AB →|2＋|BC →|2＝9＋16＝25＝|CA →|2，所以∠ABC ＝90°，所以原式＝AB →·BC →＋CA →(BC →＋AB →)＝0＋CA →·AC → ＝－AC →2＝－25.]6．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →，则实数a 等于( )A ．2B ．1C ．45D ．53A [设C (x ，y )，则AC →＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x,4－y )， ∵AC →＝2CB →，∴⎩⎨⎧ x －7＝2(1－x )，y －1＝2(4－y )，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝3， ∴C (3,3)，又∵C 在直线y ＝12ax 上，所以3＝12a ×3， ∴a ＝2.]7．如图，在△ABC 中，AD →＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A ．49B ．89C ．23D ．43 B [∵BP →＝13BD →， ∴AP →－AB →＝13(AD →－AB →)， ∴AP →＝23AB →＋13AD →，又AD →＝23AC →， ∴AP →＝23AB →＋29AC →＝λAB →＋μAC →，∴λ＝23，μ＝29，∴λ＋μ＝89.]8．已知点M 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆内(含边界)一动点，则MA →·MB →的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[－1,2]C ．[－1,3]D ．[－1,4]C [建立如图所示坐标系，设M (x ，y )，其中A (－1，－1)，B (1，－1)，易知x 2＋y 2≤1，而MA →·MB →＝(－1－x ，－1－y )·(1－x ，－1－y )＝x 2＋(y ＋1)2－1，若设E (0，－1)，则MA →·MB →＝|ME →|2－1，由于0≤|ME →|≤2，所以MA →·MB →＝|ME →|2－1的取值范围是[－1,3]，故选C ．] 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．对任意向量a ，b ，下列关系式中恒成立的是( ) A ．|a ·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2ACD [|a ·b |＝|a |·|b |·|cos 〈a ，b 〉|≤|a |·|b |，故A 正确；由向量的运算法则知C ，D 正确；当b ＝－a ≠0时，|a －b |＞||a |－|b ||，故B 错误．故选ACD ．]10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝π6，a ＝2，c ＝23，则角C 的大小是( )A ．π6B ．π3C ．5π6D ．2π3BD [由正弦定理可得a sin A ＝c sin C ，所以sin C ＝c a sin A ＝32，而a ＜c ，所以A ＜C ，所以π6＜C ＜56π，故C ＝π3或23π.]11．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足B ＝π3，a ＋c ＝3b ，则ac ＝( )A ．2B ．3C ．12D ．13AC [∵B ＝π3，a ＋c ＝3b ， ∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝3b 2，①由余弦定理可得，a 2＋c 2－2ac cos π3＝b 2，②联立①②，可得2a 2－5ac ＋2c 2＝0，即2⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2－5⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋2＝0，解得a c ＝2或a c ＝12.故选AC ．]12．点P 是△ABC 所在平面内一点，满足|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2P A →|＝0，则△ABC 的形状不可能是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形ACD [∵P 是△ABC 所在平面内一点，且 |PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2P A →|＝0， ∴|CB →|－|(PB →－P A →)＋(PC →－P A →)|＝0，即|CB →|＝|AC →＋AB →|， ∴|AB →－AC →|＝|AC →＋AB →|，两边平方并化简得AC →·AB →＝0，∴AC →⊥AB →，∴∠A ＝90°，则△ABC 一定是直角三角形．故选ACD ．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．与向量a ＝(1,2)平行，且模等于5的向量为________．(1,2)或(－1，－2) [因为所求向量与向量a ＝(1,2)平行，所以可设所求向量为(x,2x )，又因为其模为5，所以x 2＋(2x )2＝5，解得x ＝±1.因此所求向量为(1,2)或(－1，－2)．]14．已知向量a ＝(m,2)，b ＝(－1，n )(n ＞0)，且a ·b ＝0，点P (m ，n )在圆x 2＋y 2＝5上，则m ＋n ＝________，|2a ＋b |＝________.(本题第一空2分，第二空3分)334 [因为向量a ＝(m,2)，b ＝(－1，n )(n ＞0)，且a ·b ＝0，P (m ，n )在圆x 2＋y 2＝5上，∴⎩⎨⎧－m ＋2n ＝0，m 2＋n 2＝5，解得m ＝2，n ＝1，即m ＋n ＝2＋1＝3. ∴2a ＋b ＝(3,5)，∴|2a ＋b |＝34.]15．在△ABC 中，S △ABC ＝14(a 2＋b 2－c 2)，b ＝1，a ＝2，则c ＝________. 1 [∵S △ABC ＝12ab sin C ， ∴12ab sin C ＝14(a 2＋b 2－c 2)， ∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ．由余弦定理得，2ab cos C ＝2ab sin C ， ∴tan C ＝1，∴C ＝45°，∴c ＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3－2＝1.]16．如图所示，半圆的直径AB ＝2，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值是________．－12 [因为点O 是AB 的中点，所以P A →＋PB →＝2PO →，设|PC →|＝x ，则|PO →|＝1－x (0≤x ≤1)，所以(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2x (1－x ) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－12. 所以当x ＝12时，(P A →＋PB →)·PC →取到最小值－12.]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求|a ＋b |；(2)求向量a 在向量a ＋b 方向上的投影． [解] (1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，所以4|a |2－4a·b －3|b |2＝61.因为|a |＝4，|b |＝3，所以a·b ＝－6，所以|a ＋b |＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝42＋32＋2×(－6)＝13.(2)因为a ·(a ＋b )＝|a |2＋a·b ＝42－6＝10，所以向量a 在向量a ＋b 方向上的投影为a ·(a ＋b )|a ＋b |＝1013＝101313.18．(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系中，|OA →|＝2|AB →|＝2，∠OAB ＝2π3，BC →＝(－1，3)．(1)求点B ，C 的坐标；(2)求证：四边形OABC 为等腰梯形．[解] (1)连接OB (图略)，设B (x B ，y B )，则x B ＝|OA →|＋|AB →|·cos(π－∠OAB )＝52， y B ＝|AB →|·sin(π－∠OAB )＝32，∴OC →＝OB →＋BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32＋(－1，3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332. (2)证明：∵OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332， AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴OC →＝3AB →，∴OC →∥AB →. 又易知OA 与BC 不平行， |OA →|＝|BC →|＝2，∴四边形OABC 为等腰梯形．19．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c ＝3a sin C －c cos A ．(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c . [解] (1)由c ＝3a sin C －c cos A ，及正弦定理得 3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.20．(本小题满分12分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． [解] (1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0， ①sin α＋sin β＝1， ②由①得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π. 又0＜α＜π，故α＝π－β. 代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.21．(本小题满分12分)如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，OP →＝x ·OA →＋y ·OB →.(1)若BP →＝P A →，求x ，y 的值；(2)若BP →＝3P A →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°时，求OP →·AB →的值． [解] (1)∵BP →＝P A →， ∴BO →＋OP →＝PO →＋OA →，即2OP →＝OB →＋OA →，∴OP →＝12OA →＋12OB →，即x ＝12，y ＝12. (2)∵BP →＝3P A →，∴BO →＋OP →＝3PO →＋3OA →，即4OP →＝OB →＋3OA →，∴OP →＝34O A →＋14OB →.∴x ＝34，y ＝14. OP →·AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34OA →＋14OB →·(OB →－OA →)＝14OB →·OB →－34OA →·OA →＋12OA →·OB →＝14×22－34×42＋12×4×2×12＝－9.22．(本小题满分12分)如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B 与小岛A 、小岛C 相距都为5 n mile ，与小岛D 相距为3 5 n mile.小岛A 对小岛B 与D 的视角为钝角，且sin A ＝35.(1)求小岛A 与小岛D 之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积； (2)记小岛D 对小岛B 与C 的视角为α，小岛B 对小岛C 与D 的视角为β，求sin(2α＋β)的值．[解] (1)∵sin A ＝35，且角A 为钝角， ∴cos A ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45. 在△ABD 中，由余弦定理得：AD 2＋AB 2－2AD ·AB ·cos A ＝BD 2. ∴AD 2＋52－2AD ·5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝(35)2⇒AD 2＋8AD －20＝0. 解得AD ＝2或AD ＝－10(舍)．∴小岛A 与小岛D 之间的距离为2 n mile. ∵A ，B ，C ，D 四点共圆， ∴角A 与角C 互补．∴sin C ＝35，cos C ＝cos(180°－A )＝－cos A ＝45. 在△BDC 中，由余弦定理得： CD 2＋CB 2－2CD ·CB ·cos C ＝BD 2， ∴CD 2＋52－2CD ·5·45＝(35)2⇒CD 2－8CD －20＝0，解得CD ＝－2(舍)或CD ＝10. ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD＝12AB ·AD ·sin A ＋12CB ·CD ·sin C ＝12×5×2×35＋12×5×10×35＝3＋15＝18. ∴四个小岛所形成的四边形的面积为18平方n mile.(2)在△BDC 中，由正弦定理得：BC sin α＝BD sin C ⇒5sin α＝3535⇒sin α＝55.∵DC 2＋DB 2＞BC 2， ∴α为锐角，∴cos α＝255.又∵sin(α＋β)＝sin(180°－C )＝sin C ＝35， cos(α＋β)＝cos(180°－C )＝－cos C ＝－45. ∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)] ＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β) ＝55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋255×35＝2525. 莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

【高中数学】2020-2021学年人教A版必修2 第六章平面向量及其应用测试题

章末检测试卷一(第六章)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共13小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)1.若OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)，则AB →等于()A.(－2,3)B.(0,1)C.(－1,2)D.(2，－3)答案D解析OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)，所以AB →＝OB →－OA →＝(1＋1，－1－2)＝(2，－3).2.已知A (2，－3)，AB →＝(3，－2)，则点B 和线段AB 的中点M 的坐标分别为()A.B (5，－5)，M (0,0)B.B (5，－5)，M ⎝⎛⎭⎫72，－4 C.B (1,1)，M (0,0)D.B (1,1)，M ⎝⎛⎭⎫72，－4答案B解析OB →＝OA →＋AB →＝(2，－3)＋(3，－2)＝(5，－5)，AB 中点M ⎝⎛⎭⎫72，－4.3.已知平面上A ，B ，C 三点不共线，O 是不同于A ，B ，C 的任意一点，且(OB →－OC →)·(AB →＋AC →)＝0，则△ABC 是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形答案A解析(OB →－OC →)·(AB →＋AC →)＝0⇔CB →·(AB →＋AC →)＝0⇔(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0⇔|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形.4.已知A ，B ，C 三点在一条直线上，且A (3，－6)，B (－5,2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为()A.－13B.9C.－9D.13答案C解析设C 点坐标为(6，y )，则AB →＝(－8,8)，AC →＝(3，y ＋6).∵A ，B ，C 三点共线，∴－8(y ＋6)－8×3＝0，∴y ＝－9.5.已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶3∶2，则cos B 等于()A.1116B.79C.2116D.2916答案A解析依题意设a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝2k (k >0)，则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝16k 2＋4k 2－9k 22×4k ×2k＝1116. 6.在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2,1)，则AD →·AC →等于()A.5B.4C.3D.2答案A解析∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，∴AD →·AC→＝2×3＋(－1)×1＝5.7.已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，a ＋λb 与a 垂直，则λ等于()A.－2B.1C.－1D.0答案C解析a ＋λb ＝(1＋4λ，－3－2λ)，因为a ＋λb 与a 垂直，所以(a ＋λb )·a ＝0，即1＋4λ－3(－3－2λ)＝0，解得λ＝－1.8.已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m ).若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m 等于() A.23B.3C.0D.－3答案B解析∵a ·b ＝(1，3)·(3，m )＝3＋3m ，a ·b ＝12＋(3)2×32＋m 2×cos π6，∴3＋3m ＝12＋(3)2×32＋m 2×cos π6， ∴m ＝ 3. 9.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c cos A ＋a cos C ＝2c ，若a ＝b ，则sin B 等于()A.154B.14C.34D.32答案A解析∵c cos A ＋a cos C ＝2c ，∴由正弦定理可得sin C cos A ＋sin A cos C ＝2sin C ，∴sin(A ＋C )＝2sin C ，∴sin B ＝2sin C ，∴b ＝2c ，又a ＝b ，∴a ＝2c .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4c 2＋c 2－4c 22×2c 2＝14， ∵B ∈(0，π)，∴sin B ＝1－cos 2B ＝154. 10.已知点O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ∈(0，＋∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的() A.外心B.内心C.重心D.垂心答案B解析AB →|AB →|为AB →方向上的单位向量， AC →|AC →|为AC →方向上的单位向量，则AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向为∠BAC 的角平分线AD →的方向. 又λ∈(0，＋∞)，所以λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同.而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，所以点P 在AD →上移动，所以点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.11.对于任意的平面向量a ，b ，c ，下列说法中错误的是()A.若a ∥b 且b ∥c ，则a ∥cB.(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·cC.若a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，则b ＝cD.(a ·b )c ＝a (b ·c )答案ACD解析选项A 中，若b ＝0，则命题不成立；选项C 中，若a 和b ，c 都垂直，显然b ，c 在模长方面没有任何关系，所以命题不成立；选项D 中，(a ·b )c 是一个与向量c 共线的向量，而a (b ·c )是一个与向量a 共线的向量，错误；B 显然成立.12.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列四个说法中正确的是()A.若a cos A ＝b cos B ＝c cos C，则△ABC 一定是等边三角形 B.若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 一定是等腰三角形C.若b cos C ＋c cos B ＝b ，则△ABC 一定是等腰三角形D.若a 2＋b 2－c 2>0，则△ABC 一定是锐角三角形答案AC解析由a cos A ＝b cos B ＝c cos C，利用正弦定理可得sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C，即tan A ＝tan B ＝tan C ，所以A ＝B ＝C ，△ABC 是等边三角形，A 正确；由a cos A ＝b cos B ，可得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin2A ＝sin2B ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，△ABC 是等腰三角形或直角三角形，B 不正确；由b cos C ＋c cos B ＝b ，可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin B ，即sin(B ＋C )＝sin B ，所以sin A ＝sin B ，则A ＝B ，△ABC 是等腰三角形，C 正确；由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab>0，角C 为锐角，角A ，B 不一定是锐角，D 不正确. 13.设点M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法中正确的是()A.若AM →＝12AB →＋12AC →，则点M 是边BC 的中点 B.若AM →＝2AB →－AC →，则点M 在边BC 的延长线上C.若AM →＝－BM →－CM →，则点M 是△ABC 的重心D.若AM →＝xAB →＋yAC →，且x ＋y ＝12，则△MBC 的面积是的△ABC 面积的12答案ACD解析A.AM →＝12AB →＋12AC →⇒12AM →－12AB →＝12AC →－12AM →，即BM →＝MC →，则点M 是边BC 的中点； B.AM →＝2AB →－AC →，则点M 在边CB 的延长线上，所以B 错误.C.如图，设BC 中点D ，则AM →＝－BM →－CM →＝MB →＋MC →＝2MD →，由重心性质可知C 成立.D.AM →＝xAB →＋yAC →，且x ＋y ＝12⇒2AM →＝2xAB →＋2yAC →，2x ＋2y ＝1，设AD →＝2AM →，所以AD →＝2xAB →＋2yAC →，2x ＋2y ＝1，可知B ，C ，D 三点共线，所以△MBC 的面积是△ABC 面积的12. 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)14.若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________. 答案12解析AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12. 15.在△ABC 中，若a ＝2，b ＝2，A ＝30°，则C ＝________.答案105°或15°解析由正弦定理a sin A ＝b sin B，得sin B ＝b sin A a ＝2sin30°2＝22. ∵0°<B <180°，∴B ＝45°或135°，∴C ＝180°－45°－30°＝105°或C ＝180°－135°－30°＝15°.16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )，若m ⊥n ，则A ＝________；若m ∥n ，则A ＝________.答案π35π6解析若m ⊥n ，则3cos A －sin A ＝0，所以tan A ＝3，则A ＝π3. 若m ∥n ，则3sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－33，则A ＝5π6. 17.在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则MA →·MD →＝________.答案2解析以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立直角坐标系(图略)，则由题意得A (0,0)，B (2,0)，D (0,1)，C (1,1)，M ⎝⎛⎭⎫32，12.所以MA →＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，MD →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，所以MA →·MD →＝94－14＝2. 三、解答题(本大题共6小题，共82分)18.(12分)已知AB →＝(－1,3)，BC →＝(3，m )，CD →＝(1，n )，且AD →∥BC →.(1)求实数n 的值；(2)若AC →⊥BD →，求实数m 的值.解(1)因为AB →＝(－1,3)，BC →＝(3，m )，CD →＝(1，n )，所以AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(3,3＋m ＋n )，因为AD →∥BC →，所以AD →＝λBC →，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝3λ，3＋m ＋n ＝λm ，解得n ＝－3. (2)因为AC →＝AB →＋BC →＝(2,3＋m )，BD →＝BC →＋CD →＝(4，m －3)，又AC →⊥BD →，所以AC →·BD →＝0，即8＋(3＋m )(m －3)＝0，解得m ＝±1.19.(12分)已知向量a ＝3e 1－2e 2，b ＝4e 1＋e 2，其中e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1).(1)求a ·b ，|a ＋b |；(2)求a 与b 的夹角的余弦值.解(1)因为e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，所以a ＝3e 1－2e 2＝(3，－2)，b ＝4e 1＋e 2＝(4,1)，所以a·b ＝(3，－2)·(4,1)＝12－2＝10，a ＋b ＝(7，－1)，所以|a ＋b |＝72＋(－1)2＝5 2. (2)设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝1013×17＝10221221. 20.(14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.求tan C 的值.解由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C ，所以－cos2B ＝sin 2C . 由A ＝π4，得B ＋C ＝34π，则－cos2B ＝－cos ⎝⎛⎭⎫32π－2C ＝sin2C ＝2sin C cos C ，所以sin 2C ＝2sin C cos C ，又sin C ≠0，解得tan C ＝2.21.(14分)甲船在A 处，乙船在A 的南偏东45°方向，距A 有9海里的B 处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，用多少小时能最快追上乙船？解如图所示，设用t 小时甲船能追上乙船，且在C 处相遇.在△ABC 中，AC ＝28t ，BC ＝20t ，AB ＝9，∠ABC ＝180°－45°－15°＝120°.由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ，即(28t )2＝92＋(20t )2－2×9×20t ×⎝⎛⎭⎫－12， 128t 2－60t －27＝0，∴t ＝34或t ＝－932(舍去)，所以甲船用34小时能最快追上乙船. 22.(15分)在△ABC 中，若c ＝2，C ＝π4，求a －22b 的取值范围. 解∵C ＝π4，∴A ＋B ＝34π， ∴外接圆直径2R ＝c sin C ＝222＝2. ∴a －22b ＝2R sin A －22·2R sin B ＝2sin A －2sin B ＝2sin A －2sin ⎝⎛⎭⎫34π－A＝2sin ⎝⎛⎭⎫A －π4. ∵0<A <34π，∴－π4<A －π4<π2， ∴－22<sin ⎝⎛⎭⎫A －π4<1. －1<2sin ⎝⎛⎭⎫A －π4< 2. 即a －22b ∈(－1，2). 23.(15分)如图所示，在△ABC 中，AQ →＝QC →，AR →＝13AB →，BQ 与CR 相交于点I ，AI 的延长线与边BC 交于点P .(1)用AB →和AC →分别表示BQ →和CR →；(2)如果AI →＝AB →＋λBQ →＝AC →＋μCR →，求实数λ和μ的值；(3)确定点P 在边BC 上的位置.解(1)由AQ →＝12AC →，可得BQ →＝BA →＋AQ →＝－AB →＋12AC →. ∵AR →＝13AB →，∴CR →＝CA →＋AR →＝－AC →＋13AB →. (2)将BQ →＝－AB →＋12AC →，CR →＝－AC →＋13AB → 代入AI →＝AB →＋λBQ →＝AC →＋μCR →，则有AB →＋λ⎝⎛⎭⎫－AB →＋12AC →＝AC →＋μ⎝⎛⎭⎫－AC →＋13AB →，即(1－λ)AB →＋12λAC →＝13μAB →＋(1－μ)AC →， ∵AB →，AC →不共线，∴⎩⎨⎧ 1－λ＝13μ，12λ＝1－μ，解得⎩⎨⎧ λ＝45，μ＝35.(3)设BP →＝mBC →，AP →＝nAI →.由(2)知AI →＝15AB →＋25AC →， ∴BP →＝AP →－AB →＝nAI →－AB →＝n ⎝⎛⎭⎫15AB →＋25AC →－AB →＝2n 5·AC →＋⎝⎛⎭⎫n 5－1AB →＝mBC →＝mAC →－mAB →， ∴⎩⎨⎧ －m ＝n 5－1，m ＝2n 5，解得⎩⎨⎧ m ＝23，n ＝53，∴BP →＝23BC →，即BP PC＝2， ∴点P 在BC 的三等分点且靠近点C 处.。

2020学年新教材高中数学章末综合检测(三)平面向量初步新人教B版必修第二册(最新整理)

A．（2，1）
B．（－1，2）
C．（－1，－2)
D．(2，－1）
解析：选 C ∵1×(－2）－（－1）×2＝0，∴向量(－1，－2)与 a＝(1,2)共线．
4.如图所示，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，F 为 CE 的中点，则错误!＝（ )
A.错误!错误!＋错误!错误!
B.错误!错误!＋错误!错误!
C.错误!错误!＋错误!
D。错误!错误!＋错误!错误!
解析:选 D 根据题意得错误!＝错误!（错误!＋错误!），又错误!＝错误!＋错误!，错误!＝
错误!错误!,所以错误!＝错误!错误!＝错误!
错误!＋错误!错误!。故选 D.
5．已知错误!＝（2,8），错误!＝（－7，2），则错误!错误!＝( ）
A．（3，2）
证明：设错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝错误!－错误!＝b－a。 ∵错误!∥错误!，∴错误!＝λ错误!＝λb（λ∈R，λ≠0，且 λ≠1）． ∵E 为 BD 的中点，∴错误!＝错误!错误!＝错误!(b－a）． ∵F 为 AC 的中点， ∴错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!（错误!－错误!）＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!(错误!－错误!）＝错误!（λb－a)， ∴错误!＝错误!－错误!＝错误!（λb－a）－错误!(b－a)＝错误!b＝错误!错误!错误!。 ∴EF∥BC。
2．已知错误!＝(3，4),A(－2，－1）,则 B 点的坐标为( ）
A．(5，5）
B．(－5,－5)
C．(1,3)
D．（－5,5)
解析：选 C 错误!＝(3,4）＝（xB＋2，yB＋1），所以 xB＋2＝3，yB＋1＝4，故 xB＝1，yB ＝3，即 B（1，3）．故选 C。

2020学年新教材高中数学课时训练(二十六)平面向量线性运算的应用新人教B版必修第二册(最新整理)

课时跟踪检测（二十六）平面向量线性运算的应用A 级—-学考水平达标练1．人骑自行车的速度是v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度为（）A ．v 1－v 2B ．v 1＋v 2C ．|v 1|－｜v 2| D.错误!解析：选B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v 1＋v 2。

注意速度是有方向和大小的，是一个向量．2．在四边形ABCD 中,错误!＝错误!，且|错误!｜＝｜错误!｜，那么四边形ABCD 为（）A ．平行四边形B ．菱形C ．长方形D ．正方形解析：选 B 由错误!＝错误!知四边形ABCD 为平行四边形，由｜错误!｜＝｜错误!|知▱ABCD 的邻边相等，所以四边形ABCD 为菱形．3．在直角三角形ABC 中，斜边BC 长为2，O 是平面ABC 内一点，点P 满足错误!＝错误!＋错误!（错误!＋错误!)，则|错误!|等于（）A ．2B ．1 C.错误! D ．4解析：选B 设BC 边的中点为M ,则错误!（错误!＋错误!）＝错误!，∴错误!＝错误!＋错误!＝错误!，∴P 与M 重合，∴｜错误!|＝错误!｜错误!|＝1.4．已知四边形ABCD 各顶点坐标是A 错误!，B 错误!，C 错误!,D 错误!，则四边形ABCD 是（ )A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形解析：选A ∵错误!＝错误!，错误!＝(3,4)，∴AB ―→＝23错误!，∴错误!∥错误!,即AB ∥DC 。

又|错误!|＝错误!＝错误!,｜错误!｜＝错误!＝5,∴|错误!|≠｜错误!|，∴四边形ABCD 是梯形．5．一架飞机从A 地向北偏西60°的方向飞行1 000 km 到达B 地，然后向C 地飞行．设C 地恰好在A 地的南偏西60°方向上，并且A ,C 两地相距2 000 km ，求飞机从B 地到C地的位移．解:如图所示，设A地在东西基线和南北基线的交点处，则A （0,0），B(－1 000cos 30°，1 000sin 30°)，即（－500错误!，500），C(－2 000cos 30°，－2 000sin 30°），即（－1 000错误!，－1 000)，∴错误!＝(－500错误!，－1 500),∴|错误!｜＝错误!＝1 000错误!（km）．∴飞机从B地到C地的位移大小是1 000 错误! km，方向是南偏西30°.6．已知Rt△ABC中,∠C＝90°,设AC＝m，BC＝n。

2020学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用章末综合检测(六)新人教A版必修第二册(最新整理)

章末综合检测（六)（时间:120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角θ为( ）A.错误!B。

错误!C.错误!D。

错误!解析：选C。

因为|a＋b｜＝1，所以｜a|2＋2a·b＋｜b|2＝1,所以cos θ＝－错误!。

又θ∈［0，π］，所以θ＝错误!.2．已知△ABC中，a＝错误!,b＝错误!,B＝60°,那么角A等于( )A．135°B．90°C．45°D．30°解析：选C。

由正弦定理错误!＝错误!⇒错误!＝错误!，则sin A＝错误!sin B＝错误!.因为a<b，所以A<B，所以A＝45°。

3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b，c.若a＝2，c＝2错误!，cos A＝错误!且b<c，则b＝( )A．3 B．22C．2 D。

错误!解析：选C.由a2＝b2＋c2－2bc cos A，得4＝b2＋12－6b，解得b＝2或4.又b<c,所以b ＝2.4．在△ABC中,已知D是边AB上一点，若错误!＝2错误!，错误!＝错误!错误!＋λ错误!，则λ＝（）A.13B.错误!C。

错误!D。

错误!解析:选 B.由已知得错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!（错误!－错误!)＝错误!错误!＋错误!错误!，因此λ＝错误!，故选B.5．设点A(－1，2)，B（2，3)，C（3，－1）,且错误!＝2错误!－3错误!，则点D的坐标为（)A．(2，16）B．(－2，－16)C．(4，16) D．（2，0)解析：选A.设D（x，y）,由题意可知错误!＝(x＋1，y－2），错误!＝（3，1），错误!＝(1，－4）．所以2错误!－3错误!＝2(3，1)－3（1，－4)＝(3，14），所以错误!解得错误!故选A。

2019-2020学年新人教A版必修二平面向量及其应用阶段质量评估

平面向量及其应用(B)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误命题的个数为( ) A ．1 B.2 C ．3D.4解析： ①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0；④错误．当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ，此时，a 与b 可以是任意向量．答案： C2．已知O ，A ，B 是同一平面内的三个点，直线AB 上有一点C 满足2AC →＋CB →＝0，则OC →＝( )A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB → C.23OA →－13OB → D.－13OA →＋23OB →解析：依题意，得OC →＝OB →＋BC →＝OB →＋2AC →＝OB →＋2(OC →－OA →)，所以OC →＝2OA →－OB →，故选A.答案： A3．(2017·安徽六校素质测试)在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AC →＝b ，DE →＝2EC →，则BE →＝( )A ．b －13aB ．b －23aC ．b －43aD.b ＋13a解析：因为BE →＝AE →－AB →＝AD →＋DE →－AB →，所以BE →＝BC →＋23AB →－AB →＝AC →－AB →＋23AB →－AB →＝b －43a ，故选C.答案： C4．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14D.1解析： ∵M 是BC 上任意一点，∴可设AM →＝xAB →＋yAC →(x ＋y ＝1)．∵N 为AM 的中点，∴AN →＝12AM →＝12xAB →＋12yAC →＝λAB →＋μAC →，∴λ＋μ＝12(x ＋y )＝12.答案： A5．如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12bB.12a －b C ．a ＋12bD.12a ＋b 解析：连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .答案： D6．已知A ，B ，C ，D 四点的坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为( ) A ．梯形 B ．菱形 C ．矩形D.正方形解析： ∵AB →＝(3,3)，DC →＝(2,2)，∴AB →∥DC →，|AB →|≠|DC →|，∴此四边形为梯形．答案： A7．若AB →＝i ＋2j ，DC →＝(3－x )i ＋(4－y )j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量).AB →与DC →共线，则x 、y 的值可能分别为( )A ．1,2B ．2,2C ．3,2D.2,4解析： AB →＝(1,2)，DC →＝(3－x,4－y )，代入比较．答案： B8．设向量a ，b 满足a ＝(1,2)，|b |＝5，a ·b ＝5，且a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝( ) A.55 B.255C.105D.155解析： cos θ＝a ·b |a ||b |＝55×5＝55.答案： A9．(2017·河南适应性测试)已知向量m ＝(1，cos θ)，n ＝(sin θ，－2)，且m ⊥n ，则sin 2θ＋6cos 2θ的值为( )A.12 B ．2 C ．2 2D.－2解析：由题意可得m ·n ＝sin θ－2cos θ＝0，则tan θ＝2，所以sin 2θ＋6cos 2θ＝2sin θcos θ＋6cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ＋6tan 2θ＋1＝2.故选B.答案： B10．(2017·芜湖一模)若O 为平面内任意一点，且(OB →＋OC →－2OA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 是( )A ．直角三角形或等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形但不一定是直角三角形D ．直角三角形但不一定是等腰三角形解析：由(OB →＋OC →－2OA →)·(AB →－AC →)＝0得(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，∴AB →2－AC 2→＝0，即|AB →|＝|AC →|，∴AB ＝AC ，即△ABC 是等腰三角形，但不一定是直角三角形．答案： C11．已知向量m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，p ＝(x ，y )，定义新运算⊗：m ⊗n ＝(ac ＋bd ，ad ＋bc )．如果对于任意向量m ，都有m ⊗p ＝m 成立，则p ＝( )A ．(1,0)B ．(－1,0)C ．(0,1)D.(0，－1)解析： ∵m ⊗p ＝m ，∴(a ，b )⊗(x ，y )＝(ax ＋by ，ay ＋bx )＝(a ，b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝a ，ay ＋bx ＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a (x －1)＋by ＝0，ay ＋b (x －1)＝0.∵对任意m ＝(a ，b )，都有(a ，b )⊗(x ，y )＝(a ，b )成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，∴p ＝(1.0)．答案： A12．在边长为1的正方形ABCD 中，点M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC →·EM →的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，2B.⎣⎡⎦⎤0，32 C.⎣⎡⎦⎤12，32D.[0,1]解析：如图，以AB 、AD 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，进而可得C (1,1)，M ⎝⎛⎭⎫1，12，设E (x,0)(0≤x ≤1)， ∴EC →＝(1－x,1)，EM →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12， ∴EC →·EM →＝(1－x )(1－x )＋1×12＝x 2－2x ＋32.∵0≤x ≤1，∴当x ＝1时，(EC →·EM →)min ＝12；当x ＝0时，(EC →·EM →)max ＝32.答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.解析：由于λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以存在μ∈R ，使得λa ＋b ＝μ(a ＋2b )，即(λ－μ)a ＋(1－2μ)b ＝0，因为向量a ，b 不平行，所以λ－μ＝0,1－2μ＝0，解得λ＝μ＝12.答案： 1214．若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________. 解析：法一：设OB →＝(x ，y )，由|OA →|＝|OB →|知x 2＋y 2＝10，又OA →·OB →＝x －3y ＝0，所以x ＝3，y ＝1或x ＝－3，y ＝－1.当x ＝3，y ＝1时，|AB →|＝25；当x ＝－3，y ＝－1时，|AB →|＝2 5.故|AB →|＝2 5.法二：由几何意义知，|AB →|就是以OA →，OB →为邻边的正方形的对角线长，又|OA →|＝10，所以|AB →|＝10×2＝2 5.答案： 2 515．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为________．解析：由题意可画出图形，在△OAB 中，因为∠OAB ＝60°，|b |＝2|a |，所以∠ABO ＝30°，OA ⊥OB ，即向量a 与c 的夹角为90°. 答案： 90°16．给出以下命题：①若|a ·b |＝|a ||b |，则a ∥b ；'②向量a ＝(－1，1)在b ＝(3,4)方向上的投影为15；③若非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|b |，则|2b |＞|a ＋2b |.其中正确命题的序号为________．解析：由|a ·b |＝|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|＝|a ||b |，得cos 〈a ，b 〉＝±1，即〈a ，b 〉＝0或〈a ，b 〉＝π，所以a ∥b ，①正确；向量a 在b 方向上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉＝a ·b |b |＝－3＋45＝15，②正确；由|a ＋b |＝|b |，得a 2＋2a ·b ＝0，即2a ·b ＝－a 2，若|2b |＞|a ＋2b |，则有4b 2＞a 2＋4a ·b ＋4b 2，即a 2＋4a ·b ＝a 2－2a 2＝－a 2＜0，该式显然成立，③正确．综上，正确命题的序号为①②③.答案： ①②③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设|a |＝|b |＝1，|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |的值．解析：法一：∵|3a －2b |＝3， ∴9a 2－12a ·b ＋4b 2＝9. 又∵|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝13.∴|3a ＋b |2＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2 ＝9＋6×13＋1＝12.∴|3a ＋b |＝2 3.法二：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．∵|a |＝|b |＝1，∴x 21＋y 21＝x 22＋y 22＝1.∵3a －2b ＝(3x 1－2x 2,3y 1－2y 2)， ∴|3a －2b |＝(3x 1－2x 2)2＋(3y 1－2y 2)2＝3，∴x 1x 2＋y 1y 2＝13，∴|3a ＋b |＝(3x 1＋x 2)2＋(3y 1＋y 2)2＝9＋1＋6×13＝2 3.18．(本小题满分12分)如右图，在平面直角坐标系中，|OA →|＝2|AB →|＝2，∠OAB ＝2π3，BC→＝(－1，3)．(1)求点B ，C 的坐标；(2)求证：四边形OABC 为等腰梯形．解析： (1)设B (x B ，y B )，则x B ＝|OA →|＋|AB →|·cos(π－∠OAB )＝52，y B ＝|AB →|·sin(π－∠OAB )＝32， ∴OC →＝OB →＋BC →＝⎝⎛⎭⎫52，32＋(－1, 3)＝⎝⎛⎭⎫32，332，∴B ⎝⎛⎭⎫52，32，C ⎝⎛⎭⎫32，332. (2)证明：连接OC .∵OC →＝⎝⎛⎭⎫32，332，AB →＝⎝⎛⎭⎫12，32，∴OC →＝3AB →，∴OC →∥AB →. 又|OC →|≠|AB →|，|OA →|＝|BC →|＝2， ∴四边形OABC 为等腰梯形．19．(本小题满分12分)已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b ，d ＝a －b . (1)若c ∥d ，求k 的值，并判断c ，d 是否同向；(2)若|a |＝|b |，a 与b 的夹角为60°，求当k 为何值时，c ⊥d . 解析： (1)c ∥d ，故c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )．又a ，b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝λ，1＝－λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，k ＝－1.即c ＝－d ，故c 与d 反向．(2)c ·d ＝(k a ＋b )·(a －b )＝k a 2－k a ·b ＋a ·b －b 2＝(k －1)a 2＋(1－k )|a |2·cos 60°＝(k －1)a 2＋1－k 2a 2. 又c ⊥d ，故(k －1)a 2＋1－k 2a 2＝0.即(k －1)＋1－k2＝0，解得k ＝1.20．(本小题满分12分)已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →. (1)求E ，F 的坐标； (2)判断EF →与AB →是否共线．解析： (1)设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．依题意得AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)．由AE →＝13AC →可知(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)，即⎩⎨⎧x 1＋1＝23，y 1＝23，解得⎩⎨⎧x 1＝－13，y 1＝23，∴E 的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，23. 由BF →＝13BC →可知(x 2－3，y 2＋1)＝13(－2,3)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3＝－23，y 2＋1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝73，y 2＝0， ∴F 的坐标为⎝⎛⎭⎫73，0.故E 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，23，F 点的坐标为⎝⎛⎭⎫73，0. (2)由(1)可知EF →＝⎝⎛⎭⎫73，0－⎝⎛⎭⎫－13，23＝⎝⎛⎭⎫83，－23，又AB →＝(4，－1)，∴EF →＝23(4，－1)＝23AB →，故EF →与AB →共线．21．(本小题满分12分)已知a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求k ＋t 2t的最小值．解析： ∵a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，∴a ·b ＝3×12－1×32＝0.∵|a |＝(3)2＋(－1)2＝2，|b |＝ ⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1，a ·b ＝0， ∴a ⊥b .∵x ⊥y ，∴[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，即－k a 2＋(t 3－3t )b 2＋(t －t 2k ＋3k )a ·b ＝0. ∴k ＝t 3－3t4.∴k ＋t 2t ＝14(t 2＋4t －3)＝14(t ＋2)2－74. 故当t ＝－2时，k ＋t 2t 有最小值－74.22．(本小题满分12分)在△ABC 中，满足AB →⊥AC →，M 是BC 的中点． (1)若|AB →|＝|AC →|，求向量AB →＋2AC →与向量2AB →＋AC →的夹角的余弦值；(2)若O 是线段AM 上任意一点，且|AB →|＝|AC →|＝2，求OA →·OB →＋OC →·OA →的最小值．解析： (1)设向量AB →＋2AC →与向量2AB →＋AC →的夹角为θ，|AB →|＝|AC →|＝a ， ∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝0，∴(AB →＋2AC →)·(2AB →＋AC →)＝2AB →2＋5AB →·AC →＋2AC →2＝4a 2， |AB →＋2AC →|＝(AB →＋2AC →)2＝AB →2＋4AB →·AC →＋4AC →2＝5a ，同理可得|2AB →＋AC →|＝5a ，∴cos θ＝(AB →＋2AC →)·(2AB →＋AC →)|AB →＋2AC →||2AB →＋AC →|＝4a 25a 2＝45.(2)∵AB →⊥AC →，|AB →|＝|AC →|＝2，∴|AM →|＝1.设|OA →|＝x (0≤x ≤1)，则|OM →|＝1－x ，而OB →＋OC →＝2OM →，∴OA →·OB →＋OC →·OA →＝OA →·(OB →＋OC →)＝2OA →·OM →＝2|OA →|·|OM →|·cos π＝－2x (1－x )＝2x 2－2x ＝2⎝⎛⎭⎫x －122－12，当且仅当x ＝12时，OA →·OB →＋OC →·OA →取得最小值－12.。

2020学年新教材高中数学第6章平面向量及其应用单元质量测评新人教A版必修第二册(最新整理)

第六章单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列等式恒成立的是（ )A 。

AB ，→＋错误!＝0B.错误!－错误!＝错误!C ．(a ·b )·c ＝a ·（b ·c ）D ．（a ＋b ）·c ＝a ·c ＋b ·c答案 D解析由数量积满足分配律可知D 正确．2．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ,b ），q＝(b －a ，c －a )．若p ∥q ,则角C 的大小为( )A 。

错误!B 。

错误!C 。

错误!D 。

错误!答案 B解析 p ∥q ⇒（a ＋c )（c －a )－b （b －a )＝0，即c 2－a 2－b 2＋ab ＝0⇒a 2＋b 2－c 22ab ＝错误!＝cos C ,∵0〈C <π，∴C ＝错误!.故选B 。

3．在五边形ABCDE 中(如图），AB →＋错误!－错误!＝(）A 。

错误!B.错误! C 。

BD →D.错误!答案 B 解析错误!＋错误!－错误!＝错误!＋错误!＝错误!.4．已知a ＋b ＝(2，－8),a －b ＝(－8，16)，则a 与b 之间的夹角的余弦值为( ) A 。

错误! B ．－错误! C ．±错误! D 。

错误!答案 B解析由a ＋b ＝（2，－8），a －b ＝(－8，16)，得a ＝（－3，4)，b ＝（5,－12)，所以|a ｜＝5，｜b ｜＝13,a ·b ＝－63，故cos 〈a ，b >＝错误!＝－错误!.5．已知i ＝(1,0)，j ＝（0，1），则与2i ＋3j 垂直的向量是（）A ．3i ＋2jB ．－2i ＋3jC ．－3i ＋2jD ．2i －3j答案 C解析 2i ＋3j ＝(2，3），选项C 中－3i ＋2j ＝(－3,2)．因为2×(－3)＋3×2＝0，所以2i ＋3j 与－3i ＋2j 垂直．6．在△ABC 中，三个内角A ，B ,C 所对边分别为a ,b ，c ，若（b －c ）sin B ＝2c sin C 且a ＝10，cos A ＝错误!，则△ABC 的面积等于（）A 。

部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案专项训练题

(名师选题)部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案专项训练题单选题1、在△ABC 中，若AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，则△ABC 的形状一定是（） A ．等边三角形B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形2、2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影A ′,B ′,C ′满足∠A′C′B′=45°，∠A′B ′C ′=60°．由C 点测得B 点的仰角为15°，BB ′与CC ′的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45°，则A ，C 两点到水平面A ′B ′C ′的高度差AA ′−CC ′约为（√3≈1.732）（）A ．346B ．373C ．446D ．4733、已知向量a ⃗=(1,2)，b ⃑⃗=(3,0)，若(λa −b ⃑⃗)⊥a ，则实数λ=（） A ．0B ．35C ．1D ．34、过△ABC 的中线AD 的中点E 作直线PQ 分别交AB ､AC 于P ､Q 两点，若AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AQ ⃑⃑⃑⃑⃑ =nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则1m +1n=（）A ．4B ．43C ．3D ．15、已知AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,3)，AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(3，t )，|BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=1，则AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ = A ．-3B ．-2 C ．2D ．36、已知向量a =(√3,1)，向量a −b ⃑ =(√3+1,√3+1)，则a 与b ⃑ 的夹角大小为（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC 且AB =2DC ，点E 为线段BC 的靠近点C 的一个四等分点，点F 为线段AD 的中点，AE 与BF 交于点O ，且AO ⃑⃑⃑⃑⃑ =xAB⃑⃑⃑⃑⃑ +yBC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则x +y 的值为（）A ．1B ．57C ．1417D ．568、P 是△ABC 所在平面内一点，满足|CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|−|PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−2PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=0，则△ABC 的形状是（） A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形多选题9、下列说法中正确的是（）A ．平面向量的一个基底{e 1⃑⃑⃑ ,e 2⃑⃑⃑ }中，e 1⃑⃑⃑ ，e 2⃑⃑⃑ 一定都是非零向量.B ．在平面向量基本定理中，若a =0⃑ ，则λ1=λ2=0.C ．若单位向量e 1⃑⃑⃑ ､e 2⃑⃑⃑ 的夹角为2π3，则e 1⃑⃑⃑ 在e 2⃑⃑⃑ 方向上的投影向量是−12e 2⃑⃑⃑ . D ．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的.10、(多选题)锐角△ABC 中，三个内角分别是A ，B ，C ，且A >B ，则下列说法正确的是（） A ．sin A >sin B B ．cos A <cos B C ．sin A >cos B D ．sin B >cos A11、在ΔABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若A =π6,a =2,c =2√3,则角C 的大小是A．π6B．π3C．5π6D．2π3填空题12、在△ABC中，若a=2，c=2√3,cosC=−12，M是BC的中点，则AM的长为____________．部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用带答案(三十八)参考答案1、答案：B分析：先利用数量积运算化简得到accosB =c 2，再利用余弦定理化简得解. 因为AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，所以accos(π−B)+c 2=0，所以accosB =c 2，所以ac ×a 2+c 2−b 22ac=c 2，所以b 2+c 2=a 2，所以三角形是直角三角形. 故选：B 2、答案：B分析：通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得A′B′，进而得到答案．过C 作CH ⊥BB′，过B 作BD ⊥AA′，故AA′−CC′=AA′−(BB′−BH )=AA′−BB′+100=AD +100，由题，易知△ADB 为等腰直角三角形，所以AD =DB ．所以AA′−CC′=DB +100=A′B′+100．因为∠BCH =15°，所以CH =C′B′=100tan15°在△A′B′C′中，由正弦定理得： A′B′sin45°=C′B′sin75°=100tan15°cos15°=100sin15°，而sin15°=sin(45°−30°)=sin45°cos30°−cos45°sin30°=√6−√24，所以A′B′=100×4×√22√6−√2=100(√3+1)≈273，所以AA′−CC′=A′B′+100≈373．故选：B ．小提示：本题关键点在于如何正确将AA′−CC′的长度通过作辅助线的方式转化为A′B′+100． 3、答案：B分析：根据平面向量的坐标运算，结合两向量垂直，数量积等于零，求得λ的值. 因为向量a ⃗=(1,2)，b ⃑⃗=(3,0)，且(λa −b ⃑⃗)⊥a ，所以(λa −b ⃑⃗)⋅a =0，即λa 2−a ⋅b ⃑ =0，所以有5λ−3=0，解得λ=35，故选：B.小提示：方法点睛：该题考查的是有关向量的问题，解题方法如下：（1）根据向量垂直向量数量积等于零，建立等式；（2）根据向量数量积运算法则进行化简；（3）利用向量数量积坐标公式求得结果. 4、答案：A分析：由D 为BC 的中点得到 AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)，设PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=λPQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，结合AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗,AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=nAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，得到AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(1−λ)mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+λnAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，再由AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗ =12AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，得到14(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)=AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(1−λ)mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+λnAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，然后利用AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗与AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗不共线求得m ，n 即可.解：由D 为BC 的中点可知，AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+12BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+12(AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)， =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)，设PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗=λPQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，则AE⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+λPQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗， =AP⃑⃑⃑⃑⃑⃗+λ(AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)=(1−λ)AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+λAQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗， ∵ AP⃑⃑⃑⃑⃑⃗=mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗,AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=nAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗， ∴ AE⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(1−λ)mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+λnAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗∵ AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗ =12AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，∴ 14(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)=AE⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(1−λ)mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+λnAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗， ∵ AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗与AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗不共线， ∴ {λn =14(1−λ)m =14，解得{n =14λm =14(1−λ)， ∴ 1m +1n =4 故选：A . 5、答案：C分析：根据向量三角形法则求出t ，再求出向量的数量积.由BC⃑⃑⃑⃑⃑ =AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,t −3)，|BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√12+(t −3)2=1，得t =3，则BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,0)，AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2．故选C ．小提示：本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大． 6、答案：D分析：计算可得b →=(−1,−√3)，利用数量积公式计算即可得出结果. ∵向量a =(√3,1)，向量a −b ⃑ =(√3+1,√3+1)， ∴b →=(−1,−√3)，cos <a ⃗,b ⃑⃗>=−√3−√32×2=−√32，且0≤<a ⃗,b⃑⃗>≤π， ∴a →,b →的夹角为5π6=150°. 故选：D. 7、答案：C分析：由向量的线性运算法则化简得到AO ⃑⃑⃑⃑⃑ ==(x −y2)AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +2yAF ⃑⃑⃑⃑⃑ 和BO ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−x)BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +4y 3BE⃑⃑⃑⃑⃑ ，结合B,O,F 三点共线和A,O,E 三点共线，得出2x +3y −2=0和3x −4y =0，联立方程组，即可求解. 根据向量的线性运算法则，可得AO⃑⃑⃑⃑⃑ =xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +yBC ⃑⃑⃑⃑⃑ =xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +y(BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ) =xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ −yAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +yAC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(x −y)AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +y ⋅(AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +DC⃑⃑⃑⃑⃑ )=(x −y)AB⃑⃑⃑⃑⃑ +y ⋅(2AF ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=(x −y)AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +2yAF ⃑⃑⃑⃑⃑ +12yAB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(x −y 2)AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +2yAF ⃑⃑⃑⃑⃑ ，因为B,O,F 三点共线，可得x −y2+2y =1，即2x +3y −2=0；又由BO ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AO ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +yBC ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ −xBA ⃑⃑⃑⃑⃑ +y ⋅43BE ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−x)BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +4y 3BE⃑⃑⃑⃑⃑ ，因为A,O,E 三点共线，可得1−x +4y 3=1，即3x −4y =0，联立方程组{2x +3y −2=03x −4y =0 ，解得x =817,y =617，所以x +y =1417.故选：C. 8、答案：B分析：根据平面向量的线性运算与模长公式，可以得出AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=0，由此可判断出△ABC 的形状. 由|CB⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=|PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−2PA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|，可得|CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|，即|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|，等式|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|两边平方，化简得AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=0，∴AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⊥AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，因此，△ABC 是直角三角形. 故选：B.小提示：本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算，也考查了模长公式应用，是中等题． 9、答案：ABC分析：由平面向量基本定理，依次判定即可选项A ：作为基底的两个向量一定不共线，零向量与任意向量共线，因此e 1⃑⃑⃑ ，e 2⃑⃑⃑ 一定都是非零向量，故A 正确；选项B ：a =0⃑ =0⋅e 1⃑⃑⃑ +0⋅e 2⃑⃑⃑ ，由在同一基底下向量分解的唯一性，有λ1=λ2=0，故B 正确；选项C ：e 1⃑⃑⃑ 在e 2⃑⃑⃑ 方向上的投影向量为：e 1⃑⃑⃑⃑ ⋅e 2⃑⃑⃑⃑ |e 2⃑⃑⃑⃑ |e 2⃑⃑⃑ =−12e 2⃑⃑⃑ ，故C 正确；选项D ：平面内任何两个不共线的向量都可作为基底，因此基底不是唯一的，故D 错误故选：ABC 10、答案：ABCD分析：由正弦定理得出A >B ⇔sinA >sinB ，判断A ，由余弦函数性质判断B ，由正弦函数性质及诱导公式判断CD ．因为asinA =bsinB ，所以A>B⇔a>b⇔sin A>sin B，故A成立.函数y=cos x在区间[0，π]上是减函数，∵A>B，∴cos A<cos B，故B成立.在锐角三角形中，∵A+B>π2，∴A>π2−B，函数y=sin x在区间[0,π2]上是增函数，则有sin A>sin(π2−B)，即sin A>cos B，C成立，同理sin B>cos A，故D成立.故选：ABCD．11、答案：BD解析：由正弦定理可得asinA =csinC,所以sinC=casinA=√32,而a<c,可得A<C,即可求得答案.由正弦定理可得asinA =csinC,∴sinC=ca sinA=√32,而a<c,∴A<C,∴π6<C<56π,故C=π3或2π3.故选:BD.小提示：本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.12、答案：√7分析：在△ABC中，由余弦定理求出b=2，进而，在△AMC中，由余弦定理可得AM.在△ABC中，由余弦定理c2=b2+a2−2abcosC得b2+2b−8=0，又b>0，所以b=2.在△AMC中，CA=b=2，CM=a2=1，由余弦定理得AM2=CA2+CM2−2CA⋅CM⋅cosC=22+12−2×2×1×(−12)=7，所以AM=√7.所以答案是：√7.。

2020新人教版高中数学必修二《平面向量及其应用》章末双测滚动验收达标检测卷+解析