(1)土质边坡稳定分析之条分法

得到
因为
dW dW p( x) q sin e' ru sec sin e' dx dx dW ' ' ce sec cos e cos e' dx
' e
c 'cos ht e' e' sin cos 4 2 4 2
N，可能得到负值。这一现象不仅不合理，而且有时 '
' e 1
会导致数值计算不收敛的问题
x p s d G a (2．20) G( x) sec s x a
N sin T cos Q G cos 0
中，对
的假定是指土条间的总作用力G，而不是上条骨架
。如果将土骨架作为研究对象，那么就要对 G' 作假定了。因此，两种处理方法，尽管具有相同的 '
间的有效作用力 的倾角 ' G 差别。
力学背景，但由于处理细节不完全—致，其结果仍会有微小的
2.3 对坡外水体的处理
对图2．8(a)所示坡外有水的情况。此时，通常采用下面 三种处理方案。
' e ' n
' e
（2.1）
其中：
c' c K
' e
(2.2)
tan ' tan K
' e
(2.3)
τ为沿滑动面的切向力， ' n 为垂直于滑动面的正应力，
c' '
为土的有效粘聚力， 为有效内摩擦系数
1.2 摩尔－库仑强度准则
当土坡沿破坏面滑动时，在滑动面上，土体处处达到 ' n 和剪应力τ满足摩 极限平衡。针对某一条土体其正应力 尔－库仑强度准则：
方案2：将坡外水位延长至与滑裂面ABC交于G，图2．8(a)。设 想水面PEG与滑裂面GCP包成一个水体重 Ww ，见图2．8(b)。沿滑 面GCP按静水压 u s 分布的水压力为 U s ，则
U s Ww 0
（2.64）
us w z
（2.65）
式中： w 为水容重，z为滑面上任一点与坡外水位的垂直距离。
（2.69）
e' e' cos e' sin e' 2sin cos 2 4 2 4 2
代入式(2．69)可得式(2．68)。
（2.70）
从以上推导可知，式(2．68)是建立在以下假定基础上的： dG 1)在拉力缝处，不仅G为零， 亦为零； dx
(2．10)
－N cos T sin W qx G sin 0 (2．11)
Terzagih(1942)讨论了在滑面顶部设拉力缝的必要性，并推导
了计算拉力缝高度
ht 的公式，即
（2.68）
0 e' ht tan 45 2 2c '
（2.46）
将 x 在 0 处按泰勒级数展开，将式（2.45）代入式 （2.46）得到：
1 1 1 2 3 0 x ' 0 x '' 0 x 4 ... 3 8 2 1 1 2 3 0 x ' 0 x '' 0 x 4 ... 2 6
式中：γ为土的容重。
在通用条分法的理论框架内，我们可以用以下简捷的推 导获得这一公式。首先认定，在滑面顶部，滑面与水平线的
夹角α为

4

e'
2
将α代入式(2.12)右侧，左侧G为零，并令
' e
dG 0 dx
(2.12)
d cos G p( x) dx
此时，
dW ht dx
该上体边界上水压力的合力加上与该土体同体积的水重。使用场 论中的散度定理，即可证明
D v ddv v w grad dv U Ww
即
（2.56）
Wa W D G ' 0
' b
与
Wa Wb G ' U 0
等效
但是，由于边坡稳定分析本质上是一个超静定问题，在大多数 情况下，我们需要引入对土条侧向力的假定方可求解安全系数。 那么，如果假定对象不一样，结果仍会不一样。在上面的推导
Wb
G'
U
如果把骨架当作研究对象，水对骨架的作用是外力。这个外
力包括浮力和渗透力两部分。于是，滑动土体的静力平衡方程式可 以写成
Wa W D G ' 0
' b
（2.51）
式中：
Wb' 为水下部分浮重；D为土体所受渗透力的合力。
根据定义，
W Wb Ww
' b
（2.52）
式中：
方案3：将坡外水压力直接加在坡面上，如图2．8(d)所示。
这个方案从理论上看没有什么缺陷，大概是因为操作起来比较麻 烦，故未见广泛应用。
2.4 关于滑面顶部设拉力缝的必要性
一些学者很早就认识到，按照极限平衡的理论体系获得的 解，如果c值较大时，在靠近滑面顶部的土条，按式(2．20)将 给出数值为负的条间力G，按式(2．10)式(2．11)计算滑面上的 法向力
T c x sec N ux sec tan
' e
' e
(2.4)
其中：N为土条底的法向力，T为土条底的切 向力，α为土条底倾角，u为孔隙水压力。通常孔隙 水压力系数定义为：
u ru dW / dx
(2.5)
1.3 静力平衡条件
设想某一边坡的滑动土休沿滑裂面y＝y(x)下滑，见下页图。
Ww
为与土体水下部分同体积的水重。
渗透力D可通过积分求得
D v d dv
表达式求得
（2.53）
式中：d为单位土体所受的渗透力，可以通过渗透力的微分
d w grad
式中：
（2.54）

u
w
w
h
为水的容重； 为势函数；
（2.55）

grad
为水力梯度；h为位置水头。
根据土力学的原理，饱和土体骨架所受渗透力的合力等于
2)在拉力缝处，滑裂面与水平向夹角为
e' 4 2
三、各种条分法
瑞典条分法 毕肖普法 斯宾赛法（Spencer）
陆军工程师团法 罗厄法
滑楔法
简化Janbu法
传递系数法
瑞典条分法
1、简化条件 1） 滑动面：假定为圆弧滑动面 2） 对多余未知力的假设： 假定在土条侧向垂直面上的作用力 E 和 X 的合力平行于土体底面。 3） 静力平衡： 建立土条底面法线方向静力平衡方成，确定 N ' ： N '＝W cos ru sec 通过整体对圆心的力矩平衡得到：
(1)沿着划分的土条两侧垂直面上的剪应力不能超过在这个面上 所能发挥的抗剪能力
(1)沿着划分的土条两侧垂直面上的剪应力不能超过在这个面上 所能发挥的抗剪能力
' ' E ' tan av cav y z F Fv X
(2.6)
或者
' ' E ' tan ave cave y z 1 Fve X
方案1：将滑裂面延长与坡外水位交于P，如图2．8(a)所示。
研究包括坡外水体在内的滑坡体ADEPCGBA的抗滑稳定。此时水 可看成是强度指标为零的一种特殊材料。静力平衡方程为
W G ' U 0
式中： W 、G '、 U
（2.63）
分别为土重(包括水重)、作用在滑面上的有效 作用力和孔隙水压力。
将滑动土体分成苦干土条，每个土条和整个滑动 土体都要满足力和力矩平衡条件。在静力平衡方程组 中，未知数的数目超过了方程式的数目，解决这一静 不定问题的办法是对多余未知数作假定，使剩下的未
知数和方程数目相等，从而解出安全系数的值。
1.4 假设合理性要求
对多余未知数进行假定的具体方案可以是多种多样的、 但是，也并不是完全任意的。它必须使获得的解符合土和 岩石的力学特性。目前，被普遍接受的合理性条件是 (Morgenstern ＆ Price, l967年；Janbul973年)
T W sin R Q 0
n 1 d
N
Rd
此时，根据安全系数的定义，土体和滑裂向上的抗剪强度指标
均缩减为
c e' 和
tan e'
在滑动土体中切出垂直土条，土条所受的力： 土条重力：∆w； 坡表面的垂直荷载：q∆x 地震力，水平地震力为
Q w
其作用点与土条底距离为he。
土条垂直边的总力G（土体骨架间的法向有效 作用力与水压力之和），它与水平线的夹角为 β，作用点的纵坐标为yt。
' cave
被F值除后的值；
Y Z
为滑动面的纵坐标值； 为土坡表面的纵坐标值。
(2)为保证在土条接触面上不产生拉力，作用在土条上的有
效力的合力作用点不应落在土条垂直面的外向
(2)为保证在土条接触面上不产生拉力，作用在土条上的有
效力的合力作用点不应落在土条垂直面的外向
0 Ac' 1
(2.8) (2.9)
在前面建立力矩下衡方程式(2.14)的推导中，我们 曾假定土条底法向应力的合力的作用点处于条底的中点。
在一些文献中曾径把这—合力的作用点的位置也作为一
个未知量。这一节，我们将说明，将作用点位置放在中 点导致的误差，相对力矩平衡公式中的其它量是—个高 阶小量。在十条的宽度 x 足够小的时候，这—作法引 入的误差可以忽略不计。