2021届石家庄市高三数学质检一试卷 含答案

sin Asin C sin C ( 3 cos A 1 sin A) 3 cos Asin C 1 sin Asin C ，………………6 分
2
2
2
2
1 sin Asin C 3 cos Asin C ，
2
2
因为 A 为三角形内角，所以 tanA
3
，故
A
3
，
………………7 分 ………………8 分
（2）由（1）可得 Sn n2 ，………………7 分
………………5 分
方案一：选条件①．
由 cosC 21 得 sinC 2 7 ，………………5 分
7
7
ABC
所以
an1 Sn Sn1
2n 1 n2 (n 1)2
1 n2
1 (n 1)2
；
………………9 分
所
以
Tn
(112
1 22
)
(
1 22
一、单选题
题目
1
答案
B
2021 届石家庄市高中毕业班教学质量检测（一） 数学答案
2
3
4
5
6
7
8
D
C
C
A
A
B
D
sinA sin(B C) 3 21 1 2 7 5 7 , ………………7 分 2 7 2 7 14
在 ABC 中由正弦定理可得：
BC 57
8 27
, 解得： BC 10 ，
2
0,
可取 n =（ ,͸ , 1）…….....10 分
设二面角 M-BC1- D 为
所以 cos DMn 10 DM n 5
即二面角 M-BC1- D 的余弦值为 .………………………………..12 分
解法二：
∵直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1∴CC1⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD， ∴CC1⊥BD，
又∵BD⊥BC，CC1∩ BC=C，∴BD⊥平面 BCC1B1，∴BD⊥BC1
…… ………7 分
又∵MD⊥平面 BDC1，∴MD⊥BC1，
2
MD∩ BD=D ，∴BC1⊥平面 MBD，MB⊂平面 MBD，∴MB⊥BC1 …… ………9 分
∴ ∠MBD 为二面角 M-BC1- D 的平面角
…… …………… ………10 分
又∵ABCD-A1B1C1D1 是直四棱柱,
∴DD1⊥平面 ABCD.∴DD1⊥BD.
DD1 AD D ，∴BD⊥平面 ADD1A1,∴BD⊥MD. ………………………….2 分
取 BB1 中点 N，连接 NC，MN，
MN / /DC 且 MN DC ，MNCD 为平行四边形，MD / / NC ,
...............9 分
9.524 ..............11 分
经查表，得
Ǥ > Ǥ ͸ ，所以有 99% 的把握认为满意度与性别有关. ..............12 分
20. 证明：
（1）因为 BC=BD=1，CD=AB= .可得 BC2+BD2=CD2,
∴BD⊥BC,
又∵AD∕∕BC，∴BD⊥AD.
=6.68 .................4 分
（2）根据题意，补充完整的列联表如下：
不满意
满意
总计
男生
20
80
100
女生
40
60
100
总计
60
140
200
................7 分（对两个空，给 1 分）
则 K 2 (20 60 40 80)2 200 100 100 60 140
17．解：设 AB=x，在 ABD 中由余弦定理可得： 49 x2 25 2 x 5 cos x2 25 5x ………………2 分
3
即 x2 5x 24=0 ，解得 x=8 ，
………………4 分
解得 d 0 （舍）或 d 2 ………………4 分
所以 an 2n 1 ，
∵
= ,∴ ∆NBC~∆BC ,∴ ∠ ʄ ∠BCN
,∴BC1⊥CN,
又∵MD∕∕NC,∴MD⊥BC1 . ……………………………4 分 又 BC1∩ BD=B ,∴MD⊥平面 BDC1. ……..……………………..5 分 （2）解法一： 以 DA 为 x 轴，DB 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立如图所示的坐标系，则 B(0,1,0),
C1(-1, 1, ) , M(1,0, ………………………6 分
, =(1, -1, ), =(-1 , 0, )
由（1）可知 为平面 BDC1 的一个法向量， =(1,0,
……………………………8 分
设平面 C1BM 的一个法向量为 n =（x,y,z）
BBCM1nn00, ,
x
x y
2z 0, 2z
13.
1
83 14. 9
14. 5 5
105
16.
32
所以 ABC 为等边三角形， 所以 BC 8 ，CD 3，所以 CD<BD． 18．解：（1）由已知可得： 4S22 S1 4S4 ，
………………9 分 ………………10 分 ………………2 分
四、解答题
即： (2 d)2 1 (4 6d) ， ………………3 分
............................4 分
即椭圆方程为 x2 y2 1. 2
………………5 分
（II）法一：设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，则 M (x1, y1)
1 32
)
(1 32Fra bibliotek1 42
)
...
(
(
n
1 1)
2
1 n2
)
(
1 n2
(
n
1 1)2
)
………………10 分
1
1
1 (n 1)2
n2 2n (n 1)2 ………………12
分
19.解：（1）根据统计数据，计算平均数为：
x 1 0.03 3 0.11+5 0.16+7 0.39+9 0.31.................2 分
………………9 分
14 7
CD BD 5. ………………10 分
方案二：选条件②．
二、多选题
题目
9
10
11
12
答案
BD
BC
ABD
ABC
三、填空题：（本答案提供了一种或两种给分标准，其他解法请各校教研组参照给分标准研究商定）
由正弦定理可得： a=2R sin A,c=2R sin C, 代入条件 a sin C c cos( A ) 得： 6
在 Rt △MBD 中，cos∠MBD= =
ʄ
即二面角 M-BC1- D 的余弦值为 .………………………………..12 分
21.解：（I）因为椭圆
E
:
x a
2 2
y2 b2
1(a
b 0) 过点（0，1），所以 b 1；
………………2 分
又 e c 2 , a2 b2 c2 ，所以 a2 2 . a2