2021届石家庄市高三数学质检一试卷 含答案
2020-2021年河北省石家庄市质检一：石家庄市2020届高三第一次质量检测数学（理）试题带答案
河北省石家庄市2020届高三第一次质量检测理科数学注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（5分）欧拉公式/=cosx+zsinx（，为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(5分)己知集合A={x\y=lg(2-%)},B={x\x2-3x^0},贝'J A n B3. A.(5A.{x\0<x<2} B. [x\0^x<2] C. {^|2<x< 3} D. {x|2VxW3}己知等差数列｛a ”｝的前〃项的和为，若ti3 = 1 8 -已8,则Sio 等81 B. 90 C. 99 D. 180分）4.于(5)分）己知某产品的销售额y 与广告费用工之间的关系如表:X （单位：万元）01234y （单位：万元）1015203035若求得其线性回归方程为y = 6.5x + Q,则预计当广告费用为6万元时的销售额为（)A. 42万元B . 45万元 C. 48万元 D. 51万元5.（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（)A. 21B. 一3C. 12D.-36.-TT ____ ] C （5分）将函数y = 3sin （2x - g ） - 1图象向左平移嘉个单位，所得函数图象的一个对称中心是（)A. (?, 0) B.（-专，。
河北省石家庄市2021届高三上学期质量检测(一)数学试题【含答案】
又∵MD⊥平面 BDC1， ∴MD⊥BC1 ，
MD∩ BD=D ， ∴BC1⊥平面 MBD， MB⊂平面 MBD ， ∴MB⊥BC1 …… ………9 分
∴ ∠MBD 为二面角 M-BC1- D 的平面角 在 Rt △MBD 中，cos∠MBD= =
t
…… …………… ………10 分
t h
即二面角
M-BC1-
则
AB
=
(s
-
m,t
-
n),
AP
=
(
p
-
m,
-n)
，
MB
=
(s-
m,
t+
n),
MQ
=
(q
-
m,
n)
……………………………………………………………6 分
由
A,B,P
三点共线，则有
AB
/
/ AP
，即
nt ms
n m
p
所以 p m n(m s) ns mt ；
nt
nt
………………7 分
DD1 AD D ， ∴BD⊥平面 ADD1A1, ∴BD⊥MD . ………………………….2 分
取 BB1 中点 N，连接 NC ，MN，
MN / / DC 且 MN DC ， MNCD 为平行四边形， MD / / NC ,
∵
= ,∴ ∆NBC~∆BC , ∴ ∠
∠BCN tt , ∴BC1⊥CN,
当 a = 1时， f (x) 0 ， f (x) 单调递增，且 f (x) = (x2 +1)e x > 0 恒成立，
f (x) e2 0 恒成立，符合题意；...............................6 分 当a >1时
2021年石家庄高三质检一数学试卷及答案
2021届石家庄市高中毕业班教学质量检测（一）数学答案一、单选：1.B2.A3.B4.C5.C6.D7.D8.A 二、多选：9. AD 10ACD 11BC 12BD 三、填空题13. 0.77 14 . 23,4=y x （满足01<<p 的答案均给分）15.16 . (,0)(3,)-∞+∞ 四、解答题：（每题仅给出一种或两种答案，其他种情况，请各校教研组参照给分标准，商定给分）17.解：（Ⅰ）由125,,a a a 成等比数列可得2215a a a =⋅， …………………………2分即2(1)1(14)d d +=⨯+，解得2d =或0d =（舍），………………3分21n a n ∴=-，………………………4分(Ⅱ)由（Ⅰ）得1(21)2n n n a b n -⋅=-⨯所以0121123252(21)2n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⨯，…………………………6分∴12121232(23)2(21)2n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯，两式相减得01212222222(21)2n n n T n --=+⨯+⨯++⨯--⨯…………………………8分12(12)12(21)212n n n -⨯-=+⨯--⨯-1422(21)2n n n =-+⨯--⨯3(32)2n n =-+-⨯∴3(23)2nn T n =+-⨯． …………………………10分18. 解:（Ⅰ）(sin )b A A =sin sin cos C B A B A =， ……………………2分)sin sin cos A B B A B A +=+cos sin sin sin cos A B A B B A B A +=……………4分所以3sin cos sin sin A B A B =，tan 3,(0,),B B π∴=∈∴3B π=．…………………………6分 (Ⅱ)法一：2,2+=∴=-a c c a ，222222cos ∴=+-=+-b a c ac B a c ac………………8分2222(2)(2)3643(1)1=+---=-+=-+a a a a a a a………………………10分2(0,2)[1,4)a b ∈∴∈[1,2)b ∴∈．………………………12分法二：222222cos ∴=+-=+-b a c ac B a c ac………………8分()22a+c a+c -3ac=4-3ac 4-312（当且仅a=c 时取等号）⎛⎫=≥= ⎪⎝⎭……10分 又2<+=b a c ，[)b 12，∴∈ ………………………12分19.解：（Ⅰ）由图可知，图①几何体的为半径为R 的半球， 图②几何体为底面半径和高都为R 的圆柱中挖掉了一个圆锥，与图①截面面积相等的图形是圆环（如阴影部分）， （因此处为学生自己画图，可能不够标准，只要意思对即给分） ...................2分 证明如下：在图①中，设截面圆的圆心为1O ，易得截面圆1O 的面积为22)R d （，..................3分在图②中，截面截圆锥得到的小圆的半径为d ，所以，圆环的面积为22)R d （，所以，截得的截面的面积相等.....................5分(Ⅱ)类比（Ⅰ）可知，椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，构造两个底面半径为b ，高为a 的圆柱，把半椭球与圆柱放在同一个平面上（如图），在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，即挖去的圆锥底面半径为b ，高为a ； ...................6分在半椭球截面圆的面积为2222()b a d a π-，在圆柱内圆环的面积为22222222()b b b d a d a a πππ-=- ....................8分∴ 距离平面α为d 的平面截取两个几何体的平面面积相等，根据祖暅原理得出椭球A 的体积为：()222142233A V V V b a b a abπππ⎛⎫=-=⋅⋅-⋅⋅= ⎪⎝⎭圆柱圆锥，....................9分同理：椭球B 的体积为243B V a b π=...................11分所以，两个椭球,A B 的体积之比为ba . ....................12分20．解：（Ⅰ）设前24分钟比赛甲胜出分别为(1,2,3)i A i =，乙胜出分别为(1,2,3)i B i =，在“FAST5”模式每局比赛甲获胜为C ，4局比赛决出胜负记为事件D .1212312123()()P D P A A CC A A A C B B CC B B B C =+++...................2分2232232121111111()()()()()()3232323236=⋅+⋅+⋅+⋅=； ....................4分 （Ⅱ）X 的可能取值为4、5、6、7 .....................6分3321111(4)()()32326P X ==⋅+⋅=；32222122323321*********(5)()()()()()()()()32332332324P X C C ==+++=； 33221312332321211211(6)()()()()()()32332332P X C C C ==++332213123323111211217()()()()()()3233233224C C C +++=；34221412243433332121121111(7)()()()()()()()()3233233232P X C C C C ==+++342214122434333311121121217()()()()()()()()323323323224C C C C ++++=；所以，随机变量X 的概率分布列为：....................10分 （每种情况1分）X 的数学期望为1177137456764242424=⨯+⨯+⨯+⨯=EX . ....................12分21.解：（Ⅰ）由已知21()3bea且2b .....................2分即221,2a b ，所以双曲线的方程为2212y x； ..................... 4分（Ⅱ）设11(,y )A x ，22B(,)x y ，且由已知得220012y x联立00122y yx xy x 解得：1122x y ，所以112y x ；联立00122y yx xyx解得：2122x y ，所以222y x ；.....................6分法一：设AOB 的外心(,)M x y ，则由MAMO MB得：2222221122()(2)()(2)x x yx x y x x yx .....................8分即21111332222xx yx x xyx ，同理22222332222xx yx x xyx两式相乘得2212924x y x x .....................10分又122200000111122222x x y y y x x所以AOB 的外心M 的轨迹方程为22924x y ； .....................12分法二：设AOB 的外心(,)M x y ，线段OA 的中垂线方程为：112()222y x yx ， 线段OB 的中垂线方程为：222()222y x y x ，联立11222()2222()222y x y x y x yx ，解得12123()432()8x x x y x x ....................8分0120220000122200002112,22222211222222x x x x y y y x x y x x y y y y x x .....................10分即12000120332()4234323()384x x x x x x y y yx x y ，代入220012y x 得2248199x y所以AOB 的外心M 的轨迹方程为22924x y ； .....................12分22.解：（Ⅰ） 设sin 23(),cos 34x xf x x x ， '222sin cos )cos (sin )(sin )sin cos sin 22(cos cos 2cos x x x x x x x x x x x xf x xx x-（）.....................2分'sin 22120()0x x xf x ，即()f x 单调递减 ............. 3分即2sin 233cos 3x x xx ，3sin 34cos 4x x xx ； 即a 的取值范围为323,43a； ............. 5分（Ⅱ）由已知'()(1)cos (cos sin )cos sin g x a x x x x a x x x ，''()sin sin cos cos (1)sin g x a x x x x x x a x ，当2x，时，''g ()0x 即'g ()x 单调递减；又''()0,()022g g a，由零点存在性定理必存在唯一0,2x 满足'0()0g x ，当02x，x 时，'g ()0x 即g()x 单调递增；当0x ,x 时，g'()0x 即g()x 单调递减；............. 7分 由00000sin cos sin 0,,cos 2x x a x x x ax x得00max 0000000sin ()()()(1)sin cos (1)sin cos sin cos cos x x x G a g x g x a x x x x x x x x x .................9分由第（Ⅰ）问可知函数sin (),,cos 2x xf x x x单调递减，即当323,43a时，02334x ，； ......................10分设23()sin ,,cos 34x H x xx x 22'22222cos (sin )cos (cos 1)sin cos (sin x)sin ()cos cos cos cos sin (sin cos )sin (sin 2x 2)0cos 2cos x x x x x x xx x xH x xx xx x x x x x x x x所以()H x 单调递减，min3232()()424H x H ，综上：函数()g x 的最大值()G a 324； ...................... 12分坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。
河北省石家庄市2021届上学期高中毕业班教学质量检测(一) 含答案详解及评分标准
2021届石家庄市高中毕业班教学质量检测（一）数学一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合A ＝{-1，0，1，2}，B ＝{x|-1≤x≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{-1，1} B ．{-1，0，1} C ．{0，1} D ．{0，1，2} 2．若z （1-2i ）＝2＋i ，则复数z ＝（ ） A ．-1 B ．-i C ．1 D ．i3．北京冬奥会将于2022年2月4日到20日在北京和张家口举行．为纪念申奥成功，中国邮政发行《北京申办2022年冬奥会成功纪念》邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”．现从一套5枚邮票中任取3枚，则恰有1枚吉祥物邮票的概率为（ ） A ．310 B ．12 C ．35D ．710 4．已知过点（1，1）的直线l 与圆x 2＋y 2-4x ＝0交于A ，B 两点，则|AB|的最小值为（ ）A B ．2 C ． D ．45．在边长为2的等边三角形ABC 中，若2BD DC =，则AD AB ⋅（ ） A ．83B ．2C ．103 D ．46．原子有稳定和不稳定两种．不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出α、β、γ等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”．这种不稳定的元素就称为放射性同位素．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N （单位：贝克）与时间t （单位：天）满足函数关系240()2tN t N -=，其中N 0为t ＝0时钍234的含量．已知t ＝24时，钍234含量的瞬时变化率为-8 ln2，则N （120）＝（ ）A ．12贝克B ．12 ln 2贝克C ．6贝克D ．6 ln 2贝克7．已知F 1、F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点A 在双曲线上，且∠F 1AF 2＝60°，若∠F 1AF 2的角平分线经过线段OF 2（O 为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 8．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面ABC 为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（ ） A ．25︰1 B ．1︰25 C ．1︰5 D ．5︰1二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．设非零实数a ＞b ＞c ，那么下列不等式中一定成立的是（ ） A ．a 2＞bc B ．ac 2＞bc 2 C ．（a -b ）c ＞（a -c ）c D ．ln0a ba c-<- 10．记函数f （x ）＝x ＋lnx 的零点为x 0，则关于x 0的结论正确的为（ ） A ．0102x <<B ．0112x << c ．000x e x --= D ．000x e x -+= 11．2020年初，突如其来的疫情改变了人们的消费方式，在目前疫情防控常态化背景下，某大型超市为了解人们以后消费方式的变化情况，更好的提高服务质量，收集并整理了本超市2020年1月份到8月份的人们线上收入和线下收入的数据，并绘制如下的折线图．根据折线图，下列结论正确的是（ ）A ．该超市这8个月中，线上收入的平均值高于线下收入的平均值B ．该超市这8个月中，线上收入与线下收入相差最小的月份是7月C ．该超市这8个月中，每月总收入与时间呈现负相关D ．从这8个月的线上收入与线下收入对比来看，在疫情逐步得到有效控制后，人们比较愿意线下消费12．动点P （x ，y ）在单位圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，24秒旋转一周．已知时间t ＝0时，点P坐标为1)2-，当t ∈[0，24]时，记动点P 的横、纵坐标之和x ＋y 为关于t （单位：秒）的函数g （t ），则关于函数g （t ）描述正确的是（ ） A．(5)g = B ．g （t ）在[5，17]上单调递减C ．g （13）＝g （21）D ．g （t ）在区间[0，24]上有3个零点 三、填空题：本题共4小题．13．已知实数x ，y 满足1,20,20,x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩则z ＝2x -y 的最大值为________．14．已知π(,π)2α∈，2sin2α＋1＝cos2α，则cos α＝________．15．设抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点A （0，2），线段FA 与抛物线交于点B ，且2FB BA =，则|BF|＝________．16．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋a n ＝1，记b m 为数列{a n }中能使*1()21n a m m ≥∈+N 成立的最小项，则数列{b m }的前99项之和为________．四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．在①cos C =，②asinC ＝ccos π()6A -，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线处，并完成解答．问题：△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π3B =，D 是边BC 上一点，BD ＝5，AD ＝7，且________，试判断CD 和BD 的大小关系________． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．公差不为0的等差数列{a n }中，前n 项和记为S n ．若a 1＝1，且S 1，2S 2，4S 4成等比数列，（1）求{a n }的通项公式；（2）求数列11{}n n n a S S ++的前项n 项和T n ． 19．中共中央、国务院印发《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》，这是中共中央、国务院印发的第一个聚焦义务教育阶段教育教学改革的重要文件，是新时代我国深化教育教学改革、全面提高义务教育质量的纲领性文件《意见》强调，坚持“五育”并举，全面发展素质教育．其中特别指出强化体育锻炼，坚持健康第一．某校为贯彻落实《意见》精神，打造本校体育大课堂，开设了体育运动兴趣班．为了解学生对开设课程的满意程度，设置了满分为10分的满意度调查表，统计了1000名学生的调查结果，得到如下频率分布直方图：（1）求这1000名学生满意度打分的平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）如果认为打分6分及以上为满意，6分以下为不满意，为了解满意度与学生性别是否有关，现从上述1000名学生的满意度打分中按照“打分组别”用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，得到如下2×2列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有99％的把握认为满意度与学生性别有关．附：2()()()()K a b c d a c b d =++++，20．在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 为平行四边形，M 为AA 1的中点，BC＝BD ＝1，1AB AA ==（1）求证：MD ⊥平面BDC 1； （2）求二面角M -BC 1-D 的余弦值．21．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>过点（0，1），离心率e 为2．（1）求椭圆方程；（2）已知不过原点的直线l ：y ＝kx ＋t （k≠0）与椭圆E 相交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为M ，直线AB ，MB 分别与x 轴相交于点P ，Q ，求|OP|·|OQ|的值． 22．已知函数f （x ）＝[x 2＋（a -1）x ＋1]e x ，其中e 为自然对数的底数． （1）若a ＝2，求函数f （x ）在（0，f （0））处的切线方程； （2）若函数f （x ）＋e 2≥0恒成立，求实数a 的取值范围；2021届石家庄市高中毕业班教学质量检测（一）数学答案一、单选题二、多选题三、填空题：（本答案提供了一种或两种给分标准，其他解法请各校教研组参照给分标准研究商定）13. 1 14. 514. 9 16. 10532四、解答题17．解：设AB=x ，在ABD ∆中由余弦定理可得：22492525cos2553π=+-⋅⋅⋅=+-x x x x ………………2分即2524=0x x --，解得=8x ， ………………4分 方案一：选条件①．由721cos =C 得772sin =C ，………………5分 π=++C B A,14757722172123)sin(sin =⨯+⨯=+=∴C B A………………7分 在ABC ∆中由正弦定理可得：,77281475=BC 解得：10=BC ， ………………9分 .5==∴BD CD ………………10分方案二：选条件②．由正弦定理可得：=2sin ,=2sin ,a R A c R C 代入条件sin cos()6a C c A π=-得：1sin sin sin sin )2A C C A A =⋅+1sin sin sin 2A C A C =+，………………6分1sin sin sin 2A C A C ∴=， ………………7分 因为A 为三角形内角，所以3tan =A ，故3π=A ，………………8分所以ABC ∆为等边三角形，………………9分所以8=BC ，，3=∴CD 所以CD<BD ．………………10分18．解：（1）由已知可得：221444S S S =⨯， ………………2分 即：2(2)1(46)d d +=⨯+， ………………3分解得0d =（舍）或2d = ………………4分 所以21n a n =-，………………5分（2）由（1）可得2n S n =，………………7分所以1222212111(1)(1)n n n a n S S n n n n +++==-⨯++；………………9分所以22222222221111111111()()()...()()122334(1)(1)n T n n n n =-+-+-++-+--+………………10分222121(1)(1)n n n n +=-=++ ………………12分 19.解：（1）根据统计数据，计算平均数为：10.0330.11+50.16+70.39+90.31=⨯+⨯⨯⨯⨯x .................2分=6.68.................4分（2）根据题意，补充完整的列联表如下：................7分（对两个空，给1分） 则22(20604080)20010010060140⨯-⨯⨯=⨯⨯⨯K ...............9分9.524≈..............11分经查表，得K 2≈9.524>6.635，所以有99%的把握认为满意度与性别有关. ..............12分 20. 证明：（1）因为BC =BD =1，CD =AB =√2.可得BC 2+BD 2=CD 2, ∴BD ⊥BC ,又∵ AD ∕∕BC ， ∴BD ⊥AD . 又∵ABCD -A 1B 1C 1D 1 是直四棱柱, ∴DD 1⊥平面ABCD . ∴DD 1⊥BD . 1=DD AD D ， ∴BD ⊥平面ADD 1A 1, ∴BD ⊥MD . ………………………….2分取BB 1中点N ，连接NC ，MN ，//MN DC 且MN DC =，MNCD ∴为平行四边形，//∴MD NC ,∵NB BC=BC CC 1=√22 ,∴∆NBC~∆BCC 1, ∴∠C 1BC +∠BCN =900 , ∴BC 1⊥CN,又∵ MD ∕∕NC , ∴MD ⊥BC 1 . ……………………………4分 又BC 1∩BD =B , ∴MD ⊥平面BDC 1. ……..……………………..5分 （2）解法一：以DA 为x 轴，DB 为y 轴，DD 1为z 轴，建立如图所示的坐标系，则B(0,1,0),C 1(-1 , 1, √2) , M (1,0,√22) ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1, -1, √22), BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1 , 0, √2)………………………6分由（1）可知DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面BDC 1的一个法向量，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√22) ……………………………8分设平面C 1BM 的一个法向量为n =（x ,y ,z ）10,0,⎧=⎪⎨=⎪⎩BC BM n n 20,20,2⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩x z x y z 可取n =（√2, 3√22, 1）…….....10分设二面角M -BC 1- D 为θ所以10cos 5θ==DM DM n n即二面角M -BC 1- D 的余弦值为√105.………………………………..12分解法二：∵直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1 ∴CC 1⊥平面ABCD ， BD ⊂平面ABCD ， ∴CC 1⊥BD ， 又∵BD ⊥BC ， CC 1∩BC =C ， ∴ BD ⊥平面BCC 1B 1 ， ∴BD ⊥BC 1 …… ………7分 又∵MD ⊥平面BDC 1， ∴MD ⊥BC 1 ，MD∩BD=D ，∴BC1⊥平面MBD，MB⊂平面MBD，∴MB⊥BC1 …… ………9分∴∠MBD为二面角M-BC1- D的平面角…… …………… ………10分在Rt△MBD中，cos∠MBD=DBMB =+(√22)=√105即二面角M-BC1-D的余弦值为√105.………………………………..12分21.解：（I）因为椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>过点（0，1），所以1b=； (2)分又222,2ce a b ca===+，所以22a=. ............................ 4分即椭圆方程为2212xy+=. ………………5分（II）法一：设1122(,),(,)A x yB x y，则11(,)M x y-由2212xyy kx t⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(12)4220k x ktx t+++-=，………………6分所以22221222122164(12)(22)04122212k t k tktx xktx xk⎧⎪∆=-+->⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-⋅=⎪+⎩，………………7分在直线:(0)l y kx t k=+≠中，令0y=，则txk=-，即(,0)tPk-，………9分直线212221:()MBy yl y y x xx x+-=--，令0y =，则1221121212122()42()22x y x y kx x t x x k k x y y k x x t t t +⋅++-====-+++，即2(,0)k Q t-，………11分 所以2()2t k OP OQ k t⋅=-⋅-=， 即2OP OQ ⋅= …………………12分（II ）法二：设(,),(,),(,),(,0),(,0)A m n B s t M m n P p Q q -，则(,),(,)AB s m t n AP p m n ，(s m,t n),(,)MB MQ q m n ……………………………………………………………6分由A,B,P 三点共线，则有//AB AP ，即n t n m s m p-=-- 所以()n m s ns mt p m n t n t--=-=--； ………………7分 由B,M,Q 三点共线，则有//MB MQ ，即t n n s m q m+=-- 所以()n s m mt ns q m t n t n-+=+=++ ………………8分 所以222222(1)ns mt mt ns n s m t OP OQ p q n t t n n t -+-⋅=⋅=⋅=-+- ………9分因为A ，B 在椭圆E 上， 所以2212m n +=，所以2222m n =-，同理2222s t =-，………………10分 代入（1）中，得222222222222(22)(22)2n s m t n t n t OP OQ n t n t ----⋅===--即2OP OQ ⋅= ……………………………………………12分22.（1）解：由已知得2()(1)x f x x x e ，(0)1f ，...................2分22()(21)(1)(32)(1)(2)x xx x f x x e x x e x x e x x e ， 由()02f '=,则函数在（0，1）处的切线斜率为2，切线方程为21y x ；..........4分（2）21(1)()x x fx x a x a e x x a e .........................5分当1a 时， ()0'≥f x ，()f x 单调递增，且2()(1)0x f x x e 恒成立， 2()0f x e ∴+≥恒成立，符合题意；...............................6分当1a 时()x当x a ≤-时，2(1)1()10x a x x x a x 恒成立， 2()0f x e ∴+≥恒成立，符合题意；当x a 时，1min ()(1)(3)f x f a e ，即12(3)a e e --≥-，即33a e ≤+， 313a e ∴<≤+；.............................8分当1a 时，当1x ≤-时， 2(1)1(1)0x a x a x +-+>-≥恒成立， 2()0f x e ∴+≥恒成立，符合题意； 当1x 时，min()()(1)a f x f a a e ，即2(+1)a a e e -≥-，....................10分 令,h()(1),(1),()a a a a e a h a ae ，()x则函数()h a 在(,0)-∞单调递增，在(0,1)单调递减，且当0a ≥时，h()(1)0a a a e 恒成立；当0a 时，2h(2)e ；即2(+1)2a a e e a -≥-⇒≥-21a ∴-≤<；................................11分综上:实数a 的取值范围是323a e -≤≤+.............................................12分。
高2021届高2018级河北省石家庄市高三上学期教学质量检测(一)数学试题解析版
2021届河北省石家庄市高三第一学期教学质量检测（一）数学试题一、单选题1.设集合{}1,0,1,2A =-,{}11B x x =-≤≤,则A B =（ ）A.{}1,1-B.{}1,0,1-C.{}0,1D.{}0,1,2【参考答案】B【试题解析】利用交集的定义可求得集合A B .集合{}1,0,1,2A =-,{}11B x x =-≤≤,则{}1,0,1A B =-.故选：B.本题考查交集的计算,考查计算能力,属于基础题. 2.若(12)2z i i -=+,则复数z =（ ） A.1-B.i -C.1D.i【参考答案】D【试题解析】本题根据复数的除法运算直接计算即可.解：因为(12)2z i i -=+,所以2(2)(12)512(12)(12)5i i i iz i i i i +++====--+ 故选：D本题考查复数的除法运算,是基础题.3.北京冬奥会将于2022年2月4日到20日在北京和张家口举行.为纪念申奥成功,中国邮政发行《北京申办2022年冬奥会成功纪念》邮票,图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”.现从一套5枚邮票中任取3枚,则恰有1枚吉祥物邮票的概率为（ ） A.310B.12C.35D.710【参考答案】C【试题解析】先求出从一套5枚邮票中任取3枚的不同取法有3520C =种,再求出恰有1枚吉祥物邮票的情况有11326C C ⋅=种,最后计算恰有1枚吉祥物邮票的概率即可解：从一套5枚邮票中任取3枚的不同取法有3520C =种,恰有1枚吉祥物邮票的情况有11326C C ⋅=种,则恰有1枚吉祥物邮票的概率63105=, 故选：C本题考查实际问题中的组合计数问题、利用古典概型计算概率,是基础题.4.已知过点(1,1)的直线l 与圆2240x y x +-=交于A 、B 两点,则AB 的最小值为（ ）B.2C. D.4【参考答案】C【试题解析】先根据题意求出圆心的坐标和半径,再求圆心到定点的距离,最后求AB 的最小值解：将圆的方程2240x y x +-=化为标准方程22(2)4x y -+=,则圆心为()2,0,半径2r,则圆心()2,0到定点()1,1,AB最小值为=故选：C.本题考查直线与圆的位置关系、求弦长的最小值,是基础题.5.在边长为2的等边三角形ABC 中,若2BD DC =,则AD AB ⋅（ ） A.83B.2C.103D.4【参考答案】A【试题解析】根据条件2BD DC =,转化1233AD AB BD AB AC =+=+,再根据数量积公式计算结果.()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+,所以212123333AD AB AB AC AB AB AC AB ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅ ⎪⎝⎭121822223323=⨯⨯+⨯⨯⨯=. 故选：A本题考查向量数量积,平面向量基本定理,重点考查转化与计算,计算能力,属于基础题型.6.原子有稳定和不稳定两种.不稳定的原子除天然元素外,主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成,这些不稳定的元素在放出α、β、γ等射线后,会转变成稳定的原子,这种过程称之为“衰变”.这种不稳定的元素就称为放射性同位素.随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中,其含量N （单位：贝克）与时间t （单位：天）满足函数关系240()2tN t N -=,其中N 0为0t =时钍234的含量.已知24t =时,钍234含量的瞬时变化率为8ln2-,则()120N =（ ） A.12贝克 B.12 ln2贝克 C.6贝克 D.6 ln2贝克【参考答案】A【试题解析】由24t =时,钍234含量的瞬时变化率为8ln2-,可求0384N =,从而可求()120N .解：240ln 2()224tN t N -'=-⋅⋅,所以00ln 218ln 2,384242N N -=-⋅⋅=, 24240()23842tt N t N --==⋅,12024(120)384212N -=⋅=(贝克),故选：A.考查导数的几何意义以及求函数的值,基础题.7.已知F 1、F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点,点A 在双曲线上,且∠F 1AF 2＝60°,若∠F 1AF 2的角平分线经过线段OF 2（O 为坐标原点）的中点,则双曲线的离心率为（）A.7B.72C.14D.142【参考答案】B【试题解析】首先根据角平分线定理和双曲线的定义求得1AF和2AF的值,再结合余弦定理计算离心率.不妨设点A在第一象限,12F AF∠的角平分线交x轴于点M,因为点M是线段2OF的中点,所以12:3:1FM MF=,根据角平分线定理可知1231AFAF=,又因为122AF AF a-=,所以13AF a=,2AF a=,由余弦定理可得22221492372c a a a a a=+-⨯⨯⨯=,所以2274ca=,所以7cea==.故选：B本题考查双曲线的离心率,双曲线的定义,三角形角平分线定理,重点考查转化思想,计算能力,属于中档题型.8.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等边三角形,若该棱柱存在外接球与内切球,则其外接球与内切球表面积之比为（）A.25︰1B.1︰25C.1︰5D.5︰1【参考答案】D【试题解析】根据题意得到三棱柱的高是内切球的直径,也是底面三角形内切圆的直径,根据等边三角形的性质得到内切球和外接球的半径,计算表面积的比值.设点O 是三棱柱外接球和内切球的球心,点M 是底面等边三角形的中心,点N 是底边AB 的中点,连结OM ,MN ,AM ,OA ,设底面三角形的边长为a ,则3MN a =,23MA a =, 因为三棱锥内切球与各面都相切,所以三棱柱的高是内切球的直径,底面三角形内切圆的直径也是三棱柱内切球的直径,所以3OM MN a ==,即三棱柱内切球的半径33r a =, 233AM a =,所以22153OA OM AM a =+=,即三棱柱外接球的半径15R a =, 所以内切球的表面积为22443r a ππ=,外接球的表面积222043S R a ππ==, 所以三棱柱外接球和内切球表面积的比值为22204:5:133a a ππ=故选：D本题考查空间几何体的内切球和外接球的表面积,重点考查空间想象,计算能力,属于中档题型.二、多选题9.设非零实数a b c >>,那么下列不等式中一定成立的是（ ） A.2a bc >B.22ac bc >C.()()->-cca b a c D.ln0a ba c-<-【参考答案】BD【试题解析】利用不等式的性质和特值法依次判断选项即可得到答案.对选项A ,设1a =,1b =-,2c =-,满足a b c >>, 此时不满足2a bc >,故A 错误；对选项B ,因为a b >,且0c ≠,所以22ac bc >,故B 正确. 对选项C ,设3a =,2b =,1c =,满足a b c >>,此时()1-=ca b ,()2-=ca c ,不满足()()->-cca b a c ,故C 错误； 对选项D ,因为a b c >>,所以0a c a b ->->,01-<<-a ba c, 所以ln0a ba c-<-,故D 正确. 故选：BD本题主要考查不等式的比较大小,特值法为解题的关键,属于简单题. 10.记函数()ln f x x x =+的零点为0x ,则关于0x 的结论正确的为（ ） A.0102x <<B.0112x << C.000x e x --= D.000x e x -+=【参考答案】BC【试题解析】分析函数()ln f x x x =+的单调性,利用零点存在定理可判断A 、B 选项的正误,利用指数与对数的转化可判断B 、D 选项的正误.由于函数()ln f x x x =+在()0,∞+上单调递增,且11ln 2022f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭,()110f =>, 0112x ∴<<, 由于0x 是函数()ln f x x x =+的零点,则00ln 0x x +=,即00ln x x =-,00xx e -∴=,即000x e x --=,则00020x x ex e --+=>,故A 、D 选项错误,B 、C 选项正确. 故选：BC.本题考查利用零点存在定理判断零点的取值范围,同时也考查了指数与对数转化的应用,考查计算能力,属于中等题.11.2020年初,突如其来的疫情改变了人们的消费方式,在目前疫情防控常态化背景下,某大型超市为了解人们以后消费方式的变化情况,更好的提高服务质量,收集并整理了本超市2020年1月份到8月份的人们线上收入和线下收入的数据,并绘制如下的折线图.根据折线图,下列结论正确的是（ ）A.该超市这8个月中,线上收入的平均值高于线下收入的平均值B.该超市这8个月中,线上收入与线下收入相差最小的月份是7月C.该超市这8个月中,每月总收入与时间呈现负相关D.从这8个月的线上收入与线下收入对比来看,在疫情逐步得到有效控制后,人们比较愿意线下消费 【参考答案】ABD【试题解析】根据折线图逐个判断每个选项的正误.对于A ,由折线图可知,该超市这8个月中,线上收入的平均值为3.510.51211.510.599.5 5.598+++++++=,线下收入的平均值为12.534 5.5 6.5710.5127.6258+++++++=,可知97.625>,因此线上收入的平均值高于线下收入的平均值,故A 正确；对于B ,由折线图可知,该超市这8个月中,线上收入与线下收入相差最小的月份是7月,相差1万元,故B 正确；对于C ,由折线图可知,该超市这8个月中,每月总收入与时间呈现正相关,故C 错误； 对于D ,由折线图可知,从这8个月的线上收入与线下收入对比来看,在疫情逐步得到有效控制后,人们比较愿意线下消费,故D 正确. 故选：ABD.本题考查折线统计图的分析和理解,属于基础题.12.动点P （x ,y ）在单位圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,24秒旋转一周.已知时间t ＝0时,点P 坐标为1)2-,当t ∈[0,24]时,记动点P 的横、纵坐标之和x ＋y 为关于t （单位：秒）的函数g （t ）,则关于函数g （t ）描述正确的是（ ）A.(5)g =B.g （t ）在[5,17]上单调递减C.g （13）＝g （21）D.g （t ）在区间[0,24]上有3个零点【参考答案】ABC【试题解析】根据题意表示单位圆上点的横坐标和纵坐标,并表示函数()1212g t t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,再依次判断选项.由已知条件可知该函数的周期为24T =,212T ππω==,当0t =时,12P ⎫-⎪⎪⎝⎭,所以sin 126y t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, ()cos sin 126126g t t t ππππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1212t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,()5g =故A 正确；[]5,17t ∈时,2,121223t ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦3,22ππ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦, 所以()g t 在区间[]5,17上单调递减,所以B 正确；()7136g π==()11216g π==, 所以()()1321g g =,故C 正确；[]0,24t ∈,则,212121212t πππππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦, ()0g t =,1212t πππ+=或2π,解得：11t =或23t =,只有2个零点,故D 不正确.故选：ABC本题考查三角函数模型的简单综合应用,重点考查读懂题意,三角函数性质的的应用,属于中档题型.三、填空题13.已知实数x ,y 满足12020x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,则2z x y =-的最大值为________.【参考答案】1【试题解析】先根据约束条件画出可行域,再根据可行域求目标函数的最大值即可.解：由约束条件12020x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,画出可行域,如图,有题意12x y x =⎧⎨=-+⎩,解得点(1,1)B ,根据图象可得,当目标函数过点(1,1)B 时,2z x y =-取得最大值211=1z =⨯-, 故答案为：1.本题考查简单的线性规划、求线性目标函数的最值,是基础题. 14.已知π(,π)2α∈,2sin2α＋1＝cos2α,则cos α＝________.【参考答案】5-【试题解析】根据二倍角公式化简为sin 2cos αα=-,再根据22sin cos 1αα+=,得到cos α的值.2sin 2cos21αα=-,即24sin cos 2sin ααα=- ,sin 2cos αα=-,① 又因为22sin cos 1αα+=,②由①②可知,25cos 1α=,又因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos α=.故答案为：5-本题考查二倍角公式,同角三角函数基本关系式,重点考查转化与变形,计算能力,属于基础题型.15.设抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ,点A （0,2）,线段FA 与抛物线交于点B ,且2FB BA =,则|BF |＝________.【试题解析】设(,)B x y ,根据2FB BA =可得出用p 表示的B 点坐标,再代入抛物线方程可得出p 值,然后求得B F 、两点坐标,利用两点之间的距离公式可得答案.由题得(,0)2p F 0)p >（,设(,)B x y ,则(,)2pFB x y =-,22(,2)(2,42)BA x y x y =--=--,由2FB BA =得2242p x xy y ⎧-=-⎪⎨⎪=-⎩解得643px y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,代入椭圆方程得24236p p ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭,解得3p =,所以4)3B ,F ,所以||FB ==.本题考查了抛物线的简单几何性质,直线与抛物线的位置关系. 16.设数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n ＋a n ＝1,记b m 为数列{a n }中能使*1()21n a m m ≥∈+N 成立的最小项,则数列{b m }的前99项之和为________. 【参考答案】10532【试题解析】首先根据n S 与n a 的关系,得到数列{}n a 的通项公式,再根据规律找到满足条件能使121n a m ≥+()*m N ∈成立的最小项,并对于不同的m 值,计算满足条件的个数,再求和.因为1n n S a +=,所以112a =,所以当2n ≥时,()1111n n n n n a S S a a --=-=---, 即12n n a a -=,所以12n n a =,因为m b 为数列{}n a 中能使121n a m ≥+()*m N ∈成立的最小项,所以11221n m ≥+,所以可得当1m =时,112b =,当2m =时,2212b =,当3m =时,3212b =,当4m =时,4312b =,……,99712b =,所以数列{}m b 的前99项之和为：2523677111111110522236636222222232+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+⨯=. 故答案为：10532本题考查已知n S 和n a 的关系求数列的通项公式,以及数列新定义,分组求和,重点考查逻辑推理,计算能力,属于中档题型,本题的难点是理解题意,对于每一个m 值,计算满足条件个数.四、解答题17.在①cos 7C =,②a sin C ＝c cos π()6A -,这两个条件中任选一个,补充在下面问题中的横线处,并完成解答.问题：△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,π3B =,D 是边BC 上一点,BD ＝5,AD ＝7,且________,试判断CD 和BD 的大小关系________. 注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 【参考答案】答案见解析.【试题解析】先利用余弦定理求出AB 的长,选条件①：利用辅助公式和正弦定理即可求解；选条件②：利用边化角,然后利用两角差的余弦公式求出A ,最后根据等边三角形的性质,即可判断CD 和BD 的大小关系解：设AB =x ,在ABD ∆中由余弦定理可得：22492525cos2553x x x x π=+-⋅⋅⋅=+-即2524=0x x --,解得=8x , 方案一：选条件①.由cos C =得sinC =, A B C π++=1sin sin()72A B C ∴=+=+= 在ABC ∆147=解得：10BC =,5.CD BD ∴==方案二：选条件②.由正弦定理可得：=2sin ,=2sin ,a R A c R C 代入条件sin cos()6a C c A π=-得：1sin sin sin sin )2A C C A A =⋅+1sin sin sin 2A C A C +, 1sin sin sin 2A C A C ∴=, 因为A 为三角形内角,所以tan A =,故3A π=,所以ABC ∆为等边三角形, 所以8BC =,3CD ∴=，所以CD<BD .本题考查正弦定理、余弦定理、两角差的余弦公式,属于中档题18.公差不为0的等差数列{a n }中,前n 项和记为S n .若a 1＝1,且S 1,2S 2,4S 4成等比数列, （1）求{a n }的通项公式； （2）求数列11{}n n n a S S ++的前项n 项和T n . 【参考答案】（1）21n a n =-；（2）222(1)n nn ++. 【试题解析】（1）由条件可知221444S S S =⨯,代入等差数列的前n 项和公式,整理为关于d 的方程求解通项公式；（2）由（1）可知()1221211n n n a n S S n n +++=⨯+,利用裂项相消法求和.解：（1）由已知可得：221444S S S =⨯, 即：2(2)1(46)d d +=⨯+, 解得0d =（舍）或2d = 所以21n a n =-,（2）由（1）可得2n S n =,所以1222212111(1)(1)n n n a n S S n n n n +++==-⨯++；所以22222222221111111111()()()...()()122334(1)(1)n T n n n n =-+-+-++-+--+222121(1)(1)n nn n +=-=++.本题考查等差数列和等比数列的点到综合,以及裂项相消法求和,属于基础题型,本题的难点是第二问,注意能使用裂项相消法的类型.19.中共中央、国务院印发《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》,这是中共中央、国务院印发的第一个聚焦义务教育阶段教育教学改革的重要文件,是新时代我国深化教育教学改革、全面提高义务教育质量的纲领性文件《意见》强调,坚持“五育”并举,全面发展素质教育.其中特别指出强化体育锻炼,坚持健康第一.某校为贯彻落实《意见》精神,打造本校体育大课堂,开设了体育运动兴趣班.为了解学生对开设课程的满意程度,设置了满分为10分的满意度调查表,统计了1000名学生的调查结果,得到如下频率分布直方图：（1）求这1000名学生满意度打分的平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）如果认为打分6分及以上为满意,6分以下为不满意,为了解满意度与学生性别是否有关,现从上述1000名学生的满意度打分中按照“打分组别”用分层抽样的方法抽取容量为200的样本,得到如下2×2列联表.请将列联表补充完整,并根据列联表判断是否有99％的把握认为满意度与学生性别有关.打分性别不满意满意总计男生100女生60总计200附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++,P（K2≥k0）0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.828【参考答案】（1）6.68；（2）列联表见解析,有99%的把握认为满意度与性别有关.【试题解析】（1）根据频率分布直方图计算平均数的公式计算平均数；（2）由频率分布直方图计算可得,满意和不满意的学生的比例为7:3,可计算抽取的200人中的满意和不满意的人数,填写列联表,再计算2K ,并和临界值比较,再判断.解：（1）根据统计数据,计算平均数为：10.0330.11+50.16+70.39+90.31=⨯+⨯⨯⨯⨯x .=6.68.（2）由频率分布直方图可知满意和不满意的频率比值为7:3,根据比较计算200人中满意的人数为7200140⨯=人,不满意的有60分,补充完整的列联表如下：则22(20604080)20010010060140⨯-⨯⨯=⨯⨯⨯K9.524≈.经查表,得29.524 6.635K ≈>,所以有99%的把握认为满意度与性别有关.本题考查频率分布直方图和独立性检验的实际应用,重点考查数据分析,计算能力,属于基础题型.20.在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,四边形ABCD 为平行四边形,M 为AA 1的中点,BC＝BD ＝1,1AB AA ==（1）求证：MD⊥平面BDC1；（2）求二面角M-BC1-D的余弦值.【参考答案】（1）证明见解析；（2）10 5.【试题解析】（1）证明BD⊥MD和MD⊥BC1即可证明MD⊥平面BDC1；（2）以DA为x轴,DB为y轴,DD1为z轴,建立坐标系,利用向量法可求出.（1）因为BC=BD=1,CD=AB=2,可得BC2+BD2=CD2,∴BD⊥BC,又AD//BC,∴BD⊥AD .又ABCD-A 1B1C1D1 是直四棱柱,∴DD1⊥平面ABCD,∴DD1⊥BD .1=DD AD D,∴BD⊥平面ADD1A1,∴BD⊥MD, 取BB1中点N,连接NC,MN,//MN DC且,MNCD∴为平行四边形,//∴MD NC,1NB BC BC CC==22,1~NBC BCC ∴, 190C BC BCN ∠∠∴+=,∴BC 1⊥CN , 又MD //NC ,∴MD ⊥BC 1,又BC 1BD ⋂=B ,∴MD ⊥平面BDC 1；（2）以DA 为x 轴,DB 为y 轴,DD 1为z 轴,建立如图所示的坐标系,则(0,1,0)B ,1(1,12)C -,2M ⎛ ⎝⎭,21,BM ⎛=- ⎝⎭,1(12)BC =-, 由（1）可知DM 为平面BDC 1的一个法向量,21,0,2DM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,设平面C 1BM 的一个法向量为(,,)n x y z =,∴100BC n BM n ⎧⋅=⎨⋅=⎩,则20202x z x y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩,可取322,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎭, 设二面角M -BC 1- D 为θ, 所以10cos DM n DM nθ⋅==, 即二面角M -BC 1- D 10本题考查线面垂直的证明,考查向量法求面面角,属于中档题.21.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>过点()0,1,离心率e 为22.（1）求椭圆方程；（2）已知不过原点的直线()0l y kx t k =+≠：与椭圆E 相交于,A B 两点,点A 关于x轴的对称点为M ,直线,AB MB 分别与x 轴相交于点,P Q ,求OP OQ 的值.【参考答案】（1）2212x y +=；（2）2OP OQ ⋅=.【试题解析】（1）根据题意得1b =,再离心率2222c e a b c a ===+即可解得答案；（2）设1122(,),(,)A x y B x y ,则11(,)M x y -,将直线与椭圆方程联立得222(12)4220k x ktx t +++-=,故122412kt x x k -+=+,21222212t x x k-⋅=+,进而得(,0)t P k -,2(,0)kQ t-,故2OP OQ ⋅=解：（1）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点()0,1,所以1b =；又2222c e a b c a ===+,所以22a =. 即椭圆方程为2212x y +=.（2）法一：设1122(,),(,)A x y B x y ,则11(,)M x y -由2212x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得222(12)4220k x ktx t +++-=, 所以22221222122164(12)(22)04122212k t k t kt x x k t x x k ⎧⎪∆=-+->⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-⋅=⎪+⎩, 在直线:(0)l y kx t k =+≠中,令0y =,则t x k =-,即(,0)tP k-, 直线212221:()MB y y l y y x x x x +-=--,令0y =,则1221121212122()42()22x y x y kx x t x x k k x y y k x x t t t +⋅++-====-+++,即2(,0)k Q t-, 所以2()2t kOP OQ k t⋅=-⋅-=,即2OP OQ ⋅=（2）法二：设(,),(,),(,),(,0),(,0)A m n B s t M m n P p Q q -, 则(,),(,)ABs m t n AP p m n ,(s m,t n),(,)MB MQ q m n由A ,B ,P 三点共线,则有//AB AP ,即n t nm s m p-=-- 所以()n m s ns mtp m n t n t--=-=--；由B ,M ,Q 三点共线,则有//MB MQ ,即t n ns m q m+=-- 所以()n s m mt nsq m t n t n-+=+=++所以222222(1)ns mt mt ns n s m t OP OQ p q n t t n n t -+-⋅=⋅=⋅=-+-因为A ,B 在椭圆E 上,所以2212m n +=,所以2222m n =-,同理2222s t =-,代入（1）中,得222222222222(22)(22)2n s m t n t n t OP OQ n t n t ----⋅===-- 即2OP OQ ⋅=本题考查椭圆方程的求解,直线与椭圆的位置关系,考查运算能力,是中档题. 22.已知函数2()(1)1xf x x a x e ⎡⎤=+-+⎣⎦,其中e 为自然对数的底数. （1）若a ＝2,求函数f （x ）在（0,f （0））处的切线方程； （2）若函数2()0f x e +≥恒成立,求实数a 的取值范围； 【参考答案】（1）21y x =+；（2）323a e -≤≤+.【试题解析】（1）求出()f x 的导数,则()f x 在0x =处的导数值即为斜率,即可求出切线方程； （2）求出(1)()x fxx x a e ,讨论a 的范围,进而利用导数讨论()f x 的变化情况,即可列出不等式求出a 的范围.（1）2a =时,2()(1)x f x x x e =++,(0)1f =,22()(21)(1)(32)(1)(2)x xx x f x x e x x e x x e x x e ,由()02f '=,则函数在（0,1）处的切线斜率为2,切线方程为21y x =+； （2）21(1)()x x fxx a x a e x x a e .当1a =时, ()0f x '≥,()f x 单调递增,且2()(1)0xf x x e 恒成立,2()0f x e ∴+≥恒成立,符合题意；当1a >时当x a ≤-时,2(1)1()10x a x x x a x 恒成立,2()0f x e ∴+≥恒成立,符合题意；当x a >-时,1min()(1)(3)f x f a e ,即12(3)a e e --≥-,即33a e ≤+,313a e ∴<≤+当1a <时,当1x ≤-时, 2(1)1(1)0x a x a x +-+>-≥恒成立,2()0f x e ∴+≥恒成立,符合题意；当1x >-时,min()()(1)a f x f a a e ,即2(+1)a a e e -≥-,令()()()1,(1),aah a a e a h a ae--=+<=-',第 21 页 共 21 页 则函数()h a 在(,0)-∞单调递增,在(0,1)单调递减,且当0a ≥时,h()(1)0a a a e 恒成立；当0a <时,2h(2)e ； 即2(+1)2a a e e a -≥-⇒≥-21a ∴-≤<；.综上:实数a 的取值范围是323a e -≤≤+.本题考查导数的几何意义,以及利用导数研究不等式的恒成立问题,属于较难题.。
2021年河北省石家庄市高考数学教学质量检测试卷(一) (解析版)
2021年河北省石家庄市高考数学教学质量检测试卷（一）一、选择题（每小题5分）.1．若集合A，B，U满足：A⫋B⫋U，则U＝（）A．A∪∁U B B．B∪∁U A C．A∩∁U B D．B∩∁U A2．设向量＝（1，2），＝（m，﹣1），且（+）⊥，则实数m＝（）A．﹣3B．C．﹣2D．﹣3．甲、乙、丙三人从红、黄、蓝三种颜色的帽子中各选一顶戴在头上，各人帽子的颜色互不相同，乙比戴蓝帽的人年龄大，丙和戴红帽的人年龄不同，戴红帽的人比甲年龄小，则甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为（）A．红、黄、蓝B．黄、红、蓝C．蓝、红、黄D．蓝、黄、红4．a＞2是a+＞3的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件5．2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A、B、C三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（）A．630种B．600种C．540种D．480种6．已知菱形ABCD边长为2，∠ABC＝60°，沿角线AC折叠成三棱锥B'﹣ACD，使得二面角B'﹣AC﹣D为60°，设E为B'C的中点，F为三棱锥B'﹣ACD表面上动点，且总满足AC⊥EF，则点F轨迹的长度为（）A．2B．3C．D．7．已知数列{a n}的通项公式为a n＝n sin，则a1+a2+a3+…+a2021＝（）A．1011B．﹣C．D．﹣10118．若f（x）图象上存在两点A，B关于原点对称，则点对[A，B]称为函数f（x）的“友情点对”（点对[A，B]与[B，A]视为同一个“友情点对”）．若f（x）＝恰有两个“友情点对”，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，0）B．（0，）C．（0，1）D．（﹣1，0）二、选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．关于（1﹣2x）2021＝a0+a1▪x+a2▪x2+…+a2021▪x2021（x∈R），则（）A．a0＝1B．a1+a2+a3+…+a2021＝32021C．a3＝8D．a1﹣a2+a3﹣a4+…+a2021＝1﹣3202110．设z为复数，则下列命题中正确的是（）A．|z|2＝zB．z2＝|z|2C．若|z|＝1，则|z+i|的最大值为2D．若|z﹣1|＝1，则0≤|z|≤211．函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图，把函数f（x）的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数y＝g（x）的图象，下列结论正确的是（）A．φ＝B．函数g（x）的最小正周期为πC．函数g（x）在区间[﹣，]上单调递增D．函数g（x）关于点（﹣，0）中心对称12．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，长轴长为4，点P（，1）在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（）A．离心率的取值范围为（0，）B．当离心率为时，|QF|+|QP|的最大值为4+C．存在点Q使得＝0D．的最小值为1三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知随机变量X服从正态分布N（10，σ2），若P（X＜8）＝0.23，则P（X＜12）＝．14．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F且被抛物线截得的弦长为2的直线有且仅有两条，写出一个满足条件的抛物线的方程，此时该弦中点到y轴的距离为．15．如图所示，一个圆锥的侧面展开图为以A为圆心，半径长为2的半圆，点D、M在上，且的长度为，的长度为π，则在该圆锥中，点M到平面ABD的距离为．16．已知定义在R上的函数f（x），其导函数为f′（x），满足f'（x）＞2，f（2）＝4，则不等式xf（x﹣1）＞2x2﹣2x的解集为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2021届河北省石家庄市高三复习教学质量检测一文科数学试卷(带解
2021届河北省石家庄市高三复习教学质量检测一文科数学试卷(带解2021届河北省石家庄市高三复习教学质量检测一文科数学试卷（带解析）一、选择题 1.已知集合A．B．C．D．，则【答案】C 【解析】试题分析：由题意知，考点：1、集合间的基本关系； 2.复数A． B．【答案】B 【解析】试题分析：因为，所以，故应选．（是虚数单位），则 C．D．2，所以，故应选．考点：1、复数的基本运算；2、复数的基本概念； 3.下列函数中，在（0，+∞）上是减函数的是 A．B．C．D．【答案】C 【解析】试题分析：对于选项，函数在（0，+∞）上是增函数；对于选项，函数在（0，+∞）上是增函数；对于选项，函数数在（0，+∞）上是增函数；故应选C．在（0，+∞）上是减函数；对于选项，函考点：1、函数的单调性； 4.已知向量，则的值为A．-1 B．7 C．13 D．11 【答案】B 【解析】试题分析：因为考点：1、平面向量的数量积；，所以应选．5.执行如图所示的程序框图，则输出的值为A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】试题分析：当执行第一次循环体时，；当执行第二次循环体时，；当执行第三次循环体时，；当执行第四次循环体时，；此时输出即，故应选．考点：1、程序框图与算法； 6.已知双曲线A．的离心率为，则的值为B．3 C．8 D．【答案】B 【解析】试题分析：由题意知，，所以，解之得，故应选．考点：1、双曲线的概念；2、双曲线的简单几何性质； 7.正数满足，则的最大值为A． B． C．1 D．【答案】A 【解析】试题分析：因为，所以运用基本不等式可得，所以，当且仅当时等号成立，故应选．考点：1、基本不等式的应用； 8.函数的部分图像如图，则=A． B． C． D．【答案】D 【解析】试题分析：由图可知，为，所以，所以，故应选．考点：1、函数9.圆与的图像及其性质；的位置关系为，所以，所以，所以，所以，又因A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能【答案】C 【解析】试题分析：由题意知，直线与恒过点，而，所以点在圆内，所以圆的位置关系为相交的，故应选．考点：1、直线与圆的位置关系； 10.已知抛物线积为 A．B．，过焦点且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面C． D．【答案】C 【解析】试题分析：由题意知，直线，解之得：到直线的距离为的方程为，，所以，联立直线，所以，故应选．与抛物线的方程可得：，而原点考点：1、抛物线的简单几何性质；2、直线与抛物线的相交问题； 11.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A． B．1 C． D．【答案】C 【解析】试题分析：由题意知，该几何体为一个长方体截去了两个三棱锥所得的图形，所以其体积为，考点：1、三视图；2、空间几何体的体积； 12.已知函数若，A．B．的图像过点下恒成立，则不等式 C．D．，为函数的解集为的导函数，为自然对数的底数，，所以，故应选．【答案】B 【解析】试题分析：构造函数，所以当时，时，，即．综上所述，不等式，则，因为当时，，所以函数在上是单调递增的，所以当；当时，，即的解集为，故应选．考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用；二、填空题 1.已知等比数列【答案】【解析】试题分析：设等比数列，所以考点：1、等比数列；的公比为，则由得，于是可得中，．，故应填．2.函数【答案】【解析】的定义域为．试题分析：因为函数的定义域应满足：．考点：1、函数的定义域；2、对数函数；，且，解之得，故应填3.若、满足不等式，则的最小值为．【答案】【解析】．试题分析：首先根据已知的二元一次不等式组可画出其所表示的平面区域如下图所示．令，将其变形为大值，由图可知其在点，要求的最小值即需求在可行域中截距的最，故应填．处取得截距最大值，即考点：1、简单的线性规划问题；4.已知三棱锥所在顶点都在球的球面上，且，则球的表面积为．【答案】【解析】试题分析：以底面三角形作菱形，则平面ABC，又因为SC⊥平面ABC，所以，过点作，垂足为，在直角梯形中，其中，所以可得，所以故应选．，所以球O的表面积为，．平面，若，考点：1、球的表面积；2、简单的空间几何体；三、解答题1.（本小题满分10分）已知（Ⅰ）求数列（Ⅱ）设【答案】（Ⅰ）【解析】为等差数列的前项和，且，．的通项公式；，求数列的前项和．；（Ⅱ）试题分析：（Ⅰ）根据已知条件及等差数列的定义即可列出方程，解出该方程即可得出所求等差数列的公差，进而求出该数列的通项公式；（Ⅱ）结合（Ⅰ）的结论可得的通项公式，运用裂项相消法即可求出其前项和．试题解析：（Ⅰ）设等差数列由已知，得的公差为，则，解得故，；（Ⅱ）由已知可得，．考点：1、等差数列的前项和；2、裂项相消法求和；2.（本小题满分12分）已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若AB=3，AC边上的中线BD的长为【答案】（Ⅰ）【解析】试题分析：（Ⅰ）根据已知等式并运用三角函数的恒等变形将其进行化简可得，然后运用三角形的内角和为即将代入上述等式即可得出角的大小；（Ⅱ）在用余中直接应；（Ⅱ）．，求△ABC的面积．弦定理可求出可得出所求的结果．的长度，再由是的中点结合三角形的面积公式即试题解析：（Ⅰ）由，变形为，，，，因为（Ⅱ）在，所以中，，，，．又，，利用余弦定理，解得，又是的中点．考点：1、三角函数的恒等变形；2、余弦定理在解三角形中的应用； 3.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面．为菱形，且，（Ⅰ）求证：（Ⅱ）若；，求点到平面的距离．，四边形为菱∴平【答案】（Ⅰ）证明：取形，且，∴面，又平面的中点，连接．∵和为两个全等的等边三角形，则，∴；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（1）首先作出辅助线即取和为两个全等的等边三角形，于是有所证结论成立；（Ⅱ）首先根据已知边长的关系可得出等腰△PBD的中点，连接，然后由已知条件易得，进而由线面垂直的判定定理可知，进而得出平面；分别在和△PBD中计算其各自的面积，然后运用等体积法即可得出所求点到平面试题解析：（Ⅰ）证明：取菱形，且，又，∴平面和，∴的中点，连接．∵的距离即可．为，四边形为两个全等的等边三角形，则；，则；在等腰△PBD中，，所以∴平面（Ⅱ）在△PBE中，由已知得，，又，∴平面△PBD面积为VC－PBD＝VP－BCD得：距离为．，即，所以；又△BCD面积为，设点C到平面PBD的距离为h，由等体积即，所以，所以点点到平面的考点：1、直线平面垂直的判定定理；2、点到平面的距离的求法；4.（本小题满分12分）某灯具厂分别在南方和北方地区各建一个工厂，生产同一种灯具（售价相同），为了了解北方与南方这两个工厂所生产得灯具质量状况，分别从这两个工厂个抽查了25件灯具进行测试，结果如下：（Ⅰ）根据频率分布直方图，请分别求出北方、南方两个工厂灯具的平均使用寿命；（Ⅱ）在北方工厂使用寿命不低于600小时的样本灯具中随机抽取两个灯具，求至少有一个灯泡使用寿命不低于700小时的概率．【答案】（Ⅰ）北方工厂灯具平均寿命：．【解析】试题分析：（Ⅰ）直接根据频率分布直方图的平均数的计算公式分别求出北方工厂灯具和南方工厂灯具平均数，即为所求的结果；（Ⅱ）首先根据题意分别求出样本落在和的个数，然后将其分别编号，并列举出所抽取出的所有样本的种数，再求出至少有一个灯具寿命在之间的个数，最后运用古典概型计算公式即可计算出所求的概率的大小．试题解析：（Ⅰ）北方工厂灯具平均寿命：小时；小时；南方工厂灯具平均寿命：小时．（Ⅱ）南方工厂灯具平均寿命：小时．（Ⅱ）由题意样本在的个数为3个，在的个数为2个；记灯具寿命在之间的样本为1,2,3；灯具寿命在之间的样本为，．则：所抽取样本有（1,2），（1,3），（1,），（1，），（2,3），（2，），（2，），（3，），（3，），（，），共10种情况，其中，至少有一个灯具寿命在之间的有7种情况，所以，所求概率为．考点：1、频率分布直方图；2、古典概型的概率计算公式； 5.（本小题满分12分）已知椭圆（3,0），直线y=kx与椭圆交于A、B两点．（Ⅰ）若三角形AF1F2的周长为（Ⅱ）若【答案】（Ⅰ）【解析】试题分析：（Ⅰ）直接由题意和椭圆的概念可列出方程组，进而可求出椭圆的标准方程即可；（Ⅱ）首先设出点，然后联立直线与椭圆的方程并整理可得一元二次方程，进而由韦达定理可得可得到等式圆离心率e的取值范围即可．试题解析：（Ⅰ）由题意得．所以，椭圆的方程为．，得．结合，解得，，最后结合已知，即可求出参数的取值范围，进而得出椭，再结合可列出等式并化简即，求椭圆的标准方程；的左、右焦点分别为F1（-3,0），F2，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e的取值范围．；（Ⅱ）．（Ⅱ）由得．设．所以，易知，，因为，，所以．因为．．即，所以，即，将其整理为，所以离心率考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的相交综合问题； 6.（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）若（Ⅱ）讨论在x=2处取得极值，求的值及此时曲线的单调性．，时，在在处的切线方程，单调递增；．（Ⅱ）在时，单调递减．在在点（1，）处的切线方程；【答案】（Ⅰ）单调递增；【解析】试题解析：（Ⅰ）由已知经检验在时，在，处取得极值，，，即或在，则时，时，若，有两个正根时，，，，又，所以曲线处的切线方程（Ⅱ）函数的定义域为设增；当若，当即，此时方程，，，在在单调递单调递增；，在区间时，单调递增；单调递增；，时，时，在区间在，，在区间单调递减；单调递增；综上所述：时，在单调递增；在单调递减．考点：1、导数在研究函数的极值中的应用；2、导数在研究函数的单调性中的应用；。
河北省石家庄市2021届高三数学上学期温习质量检测（一）理
石家庄市2021届高三温习教学质量检测（一）高三数学（理科）（时刻120分钟，总分值150分） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的） 一、复数21ii =-（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i - D ．12i - 二、已知集合2{|230},{0,1,2,3,4}A x x x B =--≤=，那么集合AB =（ ）A ．{}1,2,3B ．{}0,1,2,3C ．{}1,0,1,2,3-D ．{}0,1,23、已知向量(2,6),10,10a b a b =--=⋅=，那么向量a 与b 的夹角为（ ）A ．150B ．30-C ．120D ．60-4、已知双曲线2221()4x y a R a -=∈的右核心与抛物线212y x =的核心重合，那么该双曲线的离心率为（ ）A ．35B ．3C ．3D ．5五、设()f x 是概念在R 上的周期为3的函数，当[]2,1x ∈-时，()2422001x x f x xx ⎧--≤≤=⎨<<⎩，那么5()2f =（ ）A ．1-B ．1C ．12D ．0 六、设,a b 表示不同的直线，,,αβγ表示不同的平面，那么以下命题中正确的选项是（ ） A ．假设a α⊥且a b ⊥，那么//b α B ．假设γα⊥且γβ⊥，那么//αβ C ．假设//a α且//a β，那么//αβ D ．假设//γα且//γβ，那么//αβ 7、已知函数()3sin34(,)f x a x bx a R b R =++∈∈，()f x '为()f x 的导函数，则()()2014(2014)2015(2015)f f f f ''+-+--=（ ） A ．8 B ．2021 C ．2021 D ．0八、为了取得函数3cos 2y x =的图象，只需把函数3sin(2)6y x π=+的图象上所有的点（ ）A ．向右平移动3π个单位长度 B ．向右平移动6π个单位长度 C ．向左平移动3π个单位长度 D ．向左平移动6π个单位长度九、阅读如下的程序框图，运行相应的程序，那么程序运行后输出的结果为（ ） A ．7 B ．9 C ．10 D ．11 10、二项式71(2)x x+的展开式中31x的系数是（ ） A ．42 B ．168 C ．84 D ．211一、某几何体的三视图如右图，假设该几何体的所有极点都 在一个球面上，那么该球的表面积为（ ） A ．4π B ．283πC ．443πD ．20ο 1二、设函数()2(,xf x e x a a R e =+-∈为自然对数的底数)，假设曲线sin y x =上存在点00(,)x y ，使得00(())f f y y =，那么a 的取值范围是（ ）A ．11,1e e -⎡⎤-++⎣⎦ B ．[]1,1e + C ．[],1e e + D ．[]1,e第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
河北省石家庄市2021届高三上学期教学质量检测(一)数学试题 含解析
河北省石家庄市2021届高三上学期教学质量检测（一）数学试题一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合{}1,0,1,2A =-，{}11B x x =-≤≤，则A B =（ ）A. {}1,1-B. {}1,0,1-C. {}0,1D. {}0,1,2【答案】B利用交集的定义可求得集合A B .【详解】集合{}1,0,1,2A =-，{}11B x x =-≤≤，则{}1,0,1AB =-.故选：B.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2. 若(12)2z i i -=+，则复数z =（ ） A. 1- B. i -C. 1D. i【答案】D本题根据复数的除法运算直接计算即可. 【详解】解：因为(12)2z i i -=+，所以2(2)(12)512(12)(12)5i i i i z i i i i +++====--+ 故选：D【点睛】本题考查复数的除法运算，是基础题.3. 北京冬奥会将于2022年2月4日到20日在北京和张家口举行．为纪念申奥成功，中国邮政发行《北京申办2022年冬奥会成功纪念》邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”．现从一套5枚邮票中任取3枚，则恰有1枚吉祥物邮票的概率为（ ） A.310B.12C.35D.710【答案】C先求出从一套5枚邮票中任取3枚的不同取法有3520C =种，再求出恰有1枚吉祥物邮票的情况有11326C C ⋅=种，最后计算恰有1枚吉祥物邮票的概率即可【详解】解：从一套5枚邮票中任取3枚的不同取法有3520C =种，恰有1枚吉祥物邮票的情况有11326C C ⋅=种，则恰有1枚吉祥物邮票的概率63105=， 故选：C【点睛】本题考查实际问题中的组合计数问题、利用古典概型计算概率，是基础题.4. 已知过点(1,1)的直线l 与圆2240x y x +-=交于A 、B 两点，则AB 的最小值为（ ）A.B. 2C. D. 4【答案】C先根据题意求出圆心的坐标和半径，再求圆心到定点的距离，最后求AB 的最小值 【详解】解：将圆的方程2240x y x +-=化为标准方程22(2)4x y -+=，则圆心为()2,0，半径2r，则圆心()2,0到定点()1,1，AB最小值为=故选：C.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、求弦长的最小值，是基础题. 5. 在边长为2的等边三角形ABC 中，若2BD DC =，则AD AB ⋅（ ） A.83B. 2C.103D. 4【答案】A根据条件2BD DC =，转化1233AD AB BD AB AC =+=+，再根据数量积公式计算结果. 【详解】()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+， 所以212123333AD AB AB AC AB AB AC AB ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅⎪⎝⎭121822223323=⨯⨯+⨯⨯⨯=. 故选：A【点睛】本题考查向量数量积，平面向量基本定理，重点考查转化与计算，计算能力，属于基础题型.6. 原子有稳定和不稳定两种．不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出α、β、γ等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”．这种不稳定的元素就称为放射性同位素．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N （单位：贝克）与时间t （单位：天）满足函数关系24()2t N t N -=，其中N 0为0t =时钍234的含量．已知24t =时，钍234含量的瞬时变化率为8ln2-，则()120N =（ ）A. 12贝克B. 12 ln2贝克C. 6贝克D. 6 ln2贝克【答案】A由24t =时，钍234含量的瞬时变化率为8ln2-，可求0384N =，从而可求()120N .【详解】解：240ln 2()224tN t N -'=-⋅⋅，所以00ln 218ln 2,384242N N -=-⋅⋅=， 24240()23842tt N t N --==⋅，12024(120)384212N -=⋅=(贝克)，故选：A.【点睛】考查导数的几何意义以及求函数的值，基础题.7. 已知F 1、F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点A 在双曲线上，且∠F 1AF 2＝60°，若∠F 1AF 2的角平分线经过线段OF 2（O 为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（ ）A.B.2C.D.2【答案】B首先根据角平分线定理和双曲线的定义求得1AF 和2AF 的值，再结合余弦定理计算离心率. 【详解】不妨设点A 在第一象限，12F AF ∠的角平分线交x 轴于点M ，因为点M 是线段2OF 的中点，所以12:3:1FM MF =，根据角平分线定理可知1231AF AF =，又因为122AF AF a -=，所以13AF a =，2AF a =，由余弦定理可得22221492372c a a a a a =+-⨯⨯⨯=，所以2274c a =，所以7c e a ==.故选：B【点睛】本题考查双曲线的离心率，双曲线的定义，三角形角平分线定理，重点考查转化思想，计算能力，属于中档题型.8. 已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面ABC 为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（ ） A. 25︰1 B. 1︰25C. 1︰5D. 5︰1【答案】D根据题意得到三棱柱的高是内切球的直径，也是底面三角形内切圆的直径，根据等边三角形的性质得到内切球和外接球的半径，计算表面积的比值.【详解】设点O 是三棱柱外接球和内切球的球心，点M 是底面等边三角形的中心，点N 是底边AB 的中点，连结OM ，MN ，AM ，OA ，设底面三角形的边长为a ，则3MN =，33MA a =， 因为三棱锥内切球与各面都相切，所以三棱柱的高是内切球的直径，底面三角形内切圆的直径也是三棱柱内切球的直径，所以33OM MN a ==，即三棱柱内切球的半径3r =， 23AM =，所以2215OA OM AM =+=，即三棱柱外接球的半径15R a =，所以内切球的表面积为22443r a ππ=，外接球的表面积222043S R a ππ==， 所以三棱柱外接球和内切球表面积的比值为22204:5:133a a ππ=故选：D【点睛】本题考查空间几何体的内切球和外接球的表面积，重点考查空间想象，计算能力，属于中档题型.二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 设非零实数a b c >>，那么下列不等式中一定成立的是（ ） A. 2a bc > B. 22ac bc >C. ()()->-c ca b a cD.ln0a ba c-<- 【答案】BD利用不等式的性质和特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，设1a =，1b =-，2c =-，满足a b c >>， 此时不满足2a bc >，故A 错误；对选项B ，因为a b >，且0c ≠，所以22ac bc >，故B 正确. 对选项C ，设3a =，2b =，1c =，满足a b c >>，此时()1-=ca b ，()2-=ca c ，不满足()()->-cca b a c ，故C 错误； 对选项D ，因为a b c >>，所以0a c a b ->->，01-<<-a ba c， 所以ln0a ba c-<-，故D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查不等式的比较大小，特值法为解题的关键，属于简单题. 10. 记函数()ln f x x x =+的零点为0x ，则关于0x 的结论正确的为（ ） A. 0102x <<B.0112x << C. 000x e x --=D.000x e x -+= 【答案】BC分析函数()ln f x x x =+的单调性，利用零点存在定理可判断A 、B 选项的正误，利用指数与对数的转化可判断B 、D 选项的正误.【详解】由于函数()ln f x x x =+在()0,∞+上单调递增，且11ln 2022f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()110f =>， 0112x ∴<<， 由于0x 是函数()ln f x x x =+的零点，则00ln 0x x +=，即00ln x x =-，00xx e -∴=，即000x e x --=，则00020x x ex e --+=>，故A 、D 选项错误，B 、C 选项正确. 故选：BC.【点睛】本题考查利用零点存在定理判断零点的取值范围，同时也考查了指数与对数转化的应用，考查计算能力，属于中等题.11. 2020年初，突如其来疫情改变了人们的消费方式，在目前疫情防控常态化背景下，某大型超市为了解人们以后消费方式的变化情况，更好的提高服务质量，收集并整理了本超市2020年1月份到8月份的人们线上收入和线下收入的数据，并绘制如下的折线图．根据折线图，下列结论正确的是（ ）A. 该超市这8个月中，线上收入的平均值高于线下收入的平均值B. 该超市这8个月中，线上收入与线下收入相差最小的月份是7月C. 该超市这8个月中，每月总收入与时间呈现负相关D. 从这8个月的线上收入与线下收入对比来看，在疫情逐步得到有效控制后，人们比较愿意线下消费 【答案】ABD根据折线图逐个判断每个选项的正误.【详解】对于A ，由折线图可知，该超市这8个月中，线上收入的平均值为3.510.51211.510.599.5 5.598+++++++=，线下收入的平均值为12.534 5.5 6.5710.5127.6258+++++++=，可知97.625>，因此线上收入的平均值高于线下收入的平均值，故A 正确；对于B ，由折线图可知，该超市这8个月中，线上收入与线下收入相差最小的月份是7月，相差1万元，故B 正确；对于C ，由折线图可知，该超市这8个月中，每月总收入与时间呈现正相关，故C 错误； 对于D ，由折线图可知，从这8个月的线上收入与线下收入对比来看，在疫情逐步得到有效控制后，人们比较愿意线下消费，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题考查折线统计图的分析和理解，属于基础题.12. 动点P （x ，y ）在单位圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，24秒旋转一周．已知时间t ＝0时，点P 坐标为31()2-，当t ∈[0，24]时，记动点P 的横、纵坐标之和x ＋y为关于t （单位：秒）的函数g （t ），则关于函数g （t ）描述正确的是（ ）A. (5)g =B. g （t ）在[5，17]上单调递减C. g （13）＝g （21）D. g （t ）在区间[0，24]上有3个零点【答案】ABC根据题意表示单位圆上点的横坐标和纵坐标，并表示函数()1212g t t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再依次判断选项.【详解】由已知条件可知该函数的周期为24T =，212T ππω==，当0t =时，1,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以sin 126y t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ()cos sin 126126g t t t ππππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1212t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()5g =A 正确；[]5,17t ∈时，2,121223t ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦3,22ππ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦， 所以()g t 在区间[]5,17上单调递减，所以B 正确；()71362g π==-()112162g π==-， 所以()()1321g g =，故C 正确；[]0,24t ∈，则,212121212t πππππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ()0g t =，1212t πππ+=或2π，解得：11t =或23t =，只有2个零点，故D 不正确.故选：ABC【点睛】本题考查三角函数模型的简单综合应用，重点考查读懂题意，三角函数性质的的应用，属于中档题型.三、填空题：本题共4小题．13. 已知实数x ，y 满足12020x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最大值为________．【答案】1先根据约束条件画出可行域，再根据可行域求目标函数的最大值即可.【详解】解：由约束条件12020x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，画出可行域，如图，有题意12x y x =⎧⎨=-+⎩，解得点(1,1)B ，根据图象可得，当目标函数过点(1,1)B 时，2z x y =-取得最大值211=1z =⨯-， 故答案为：1.【点睛】本题考查简单的线性规划、求线性目标函数的最值，是基础题. 14. 已知π(,π)2α∈，2sin2α＋1＝cos2α，则cos α＝________．【答案】5根据二倍角公式化简为sin 2cos αα=-，再根据22sin cos 1αα+=，得到cos α的值. 【详解】2sin 2cos21αα=-，即24sin cos 2sin ααα=- ，sin 2cos αα=-，① 又因为22sin cos 1αα+=，② 由①②可知，25cos 1α=，又因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以5cos α=-. 故答案为：5-【点睛】本题考查二倍角公式，同角三角函数基本关系式，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.15. 设抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点A （0，2），线段F A 与抛物线交于点B ，且2FB BA =，则|BF |＝________． 【答案】839设(,)B x y ，根据2FB BA =可得出用p 表示的B 点坐标，再代入抛物线方程可得出p 值，然后求得B F 、两点坐标，利用两点之间的距离公式可得答案. 【详解】由题得(,0)2p F 0)p >（，设(,)B x y ，则(,)2pFB x y =-，22(,2)(2,42)BA x y x y =--=--，由2FB BA =得2242p x xy y ⎧-=-⎪⎨⎪=-⎩解得643px y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆方程得24236p p ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，解得43p =所以234()3B ，23(F ， 所以222323483||933FB ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为：39. 【点睛】本题考查了抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系. 16. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋a n ＝1，记b m 为数列{a n }中能使*1()21n a m m ≥∈+N 成立的最小项，则数列{b m }的前99项之和为________． 【答案】10532首先根据n S 与n a 的关系，得到数列{}n a 的通项公式，再根据规律找到满足条件能使121n a m ≥+()*m N ∈成立的最小项，并对于不同的m 值，计算满足条件的个数，再求和. 【详解】因为1n n S a +=，所以112a =，所以当2n ≥时，()1111n n n n n a S S a a --=-=---，即12n n a a -=，所以12n n a =，因为m b 为数列{}n a 中能使121n a m ≥+()*m N ∈成立的最小项，所以11221n m ≥+，所以可得当1m =时，112b =，当2m =时，2212b =，当3m =时，3212b =，当4m =时，4312b =，……，99712b =，所以数列{}m b 的前99项之和为：2523677111111110522236636222222232+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+⨯=. 故答案为：10532 【点睛】本题考查已知n S 和n a 的关系求数列的通项公式，以及数列新定义，分组求和，重点考查逻辑推理，计算能力，属于中档题型，本题的难点是理解题意，对于每一个m 值，计算满足条件个数.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在①cos 7C =，②a sin C ＝c cos π()6A -，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线处，并完成解答．问题：△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π3B =，D 是边BC 上一点，BD ＝5，AD ＝7，且________，试判断CD 和BD 的大小关系________． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】答案见解析.先利用余弦定理求出AB 的长，选条件①：利用辅助公式和正弦定理即可求解；选条件②：利用边化角，然后利用两角差的余弦公式求出A ，最后根据等边三角形的性质，即可判断CD 和BD 的大小关系【详解】解：设AB =x ，在ABD ∆中由余弦定理可得：22492525cos2553x x x x π=+-⋅⋅⋅=+-即2524=0x x --，解得=8x ， 方案一：选条件①．由cos C =sinC =， A B C π++=1sin sin()2A B C ∴=+=+= 在ABC ∆=解得：10BC =，5.CD BD ∴==方案二：选条件②．由正弦定理可得：=2sin ,=2sin ,a R A c R C 代入条件sin cos()6a C c A π=-得：1sin sin sin sin )2A C C A A =⋅+1sin sin sin 2A C A C =+，1sin sin sin 2A C A C ∴=， 因为A为三角形内角，所以tan A =3A π=，所以ABC ∆为等边三角形， 所以8BC =，3CD ∴=，所以CD<BD ．【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、两角差的余弦公式，属于中档题18. 公差不为0的等差数列{a n }中，前n 项和记为S n ．若a 1＝1，且S 1，2S 2，4S 4成等比数列， （1）求{a n }的通项公式； （2）求数列11{}n n n a S S ++的前项n 项和T n ． 【答案】（1）21n a n =-；（2）222(1)n nn ++. （1）由条件可知221444S S S =⨯，代入等差数列的前n 项和公式，整理为关于d 的方程求解通项公式；（2）由（1）可知()1221211n n n a n S S n n +++=⨯+，利用裂项相消法求和.【详解】解：（1）由已知可得：221444S S S =⨯， 即：2(2)1(46)d d +=⨯+，解得0d =（舍）或2d = 所以21n a n =-，（2）由（1）可得2n S n =，所以1222212111(1)(1)nn n a n S S n n n n +++==-⨯++；所以22222222221111111111()()()...()()122334(1)(1)n T n n n n =-+-+-++-+--+ 222121(1)(1)n nn n +=-=++.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的点到综合，以及裂项相消法求和，属于基础题型，本题的难点是第二问，注意能使用裂项相消法的类型.19.某校为贯彻落实《意见》精神，打造本校体育大课堂，开设了体育运动兴趣班．为了解学生对开设课程的满意程度，设置了满分为10分的满意度调查表，统计了1000名学生的调查结果，得到如下频率分布直方图：（1）求这1000名学生满意度打分的平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）如果认为打分6分及以上为满意，6分以下为不满意，为了解满意度与学生性别是否有关，现从上述1000名学生的满意度打分中按照“打分组别”用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，得到如下2×2列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有99％的把握认为满意度与学生性别有关．附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，【答案】（1）6.68；（2）列联表见解析，有99%的把握认为满意度与性别有关.（1）根据频率分布直方图计算平均数的公式计算平均数；（2）由频率分布直方图计算可得，满意和不满意的学生的比例为7:3，可计算抽取的200人中的满意和不满意的人数，填写列联表，再计算2K，并和临界值比较，再判断.【详解】解：（1）根据统计数据，计算平均数为：10.0330.11+50.16+70.39+90.31=⨯+⨯⨯⨯⨯x.=6.68.（2）由频率分布直方图可知满意和不满意的频率比值为7:3，根据比较计算200人中满意的人数为7200140⨯=人，不满意的有60分，补充完整的列联表如下：则22(20604080)20010010060140⨯-⨯⨯=⨯⨯⨯K9.524≈.经查表，得29.524 6.635K≈>，所以有99%的把握认为满意度与性别有关.【点睛】本题考查频率分布直方图和独立性检验的实际应用，重点考查数据分析，计算能力，属于基础题型.20. 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，M为AA1的中点，BC＝BD＝1，12AB AA==．（1）求证：MD⊥平面BDC1；（2）求二面角M-BC1-D的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）10 5.（1）证明BD⊥MD和MD⊥BC1即可证明MD⊥平面BDC1；（2）以DA为x轴，DB为y轴，DD1为z轴，建立坐标系，利用向量法可求出. 【详解】（1）因为BC=BD=1，CD=AB2，可得BC2+BD2=CD2，∴BD⊥BC，又AD//BC，∴BD⊥AD .又ABCD-A1B1C1D1 是直四棱柱，∴DD1⊥平面ABCD，∴DD1⊥BD .1=DD AD D，∴BD⊥平面ADD1A1，∴BD⊥MD，取BB1中点N，连接NC，MN，//MN DC 且，MNCD ∴为平行四边形，//∴MD NC ，1NB BC BCCC ==22，1~NBC BCC ∴， 190C BC BCN ∠∠∴+=，∴BC 1⊥CN ， 又MD //NC ，∴MD ⊥BC 1，又BC 1BD ⋂=B ，∴MD ⊥平面BDC 1；（2）以DA 为x 轴，DB 为y 轴，DD 1为z 轴，建立如图所示的坐标系，则(0,1,0)B ，1(1,12)C -，2M ⎛ ⎝⎭，21,BM ⎛=- ⎝⎭，1(12)BC =-， 由（1）可知DM 为平面BDC 1的一个法向量，21,0,2DM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面C 1BM 的一个法向量为(,,)n x y z =，∴100BC n BM n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，则20202x z x y z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，可取322,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎭，设二面角M -BC 1- D 为θ， 所以10cos 5DM n DM nθ⋅==， 即二面角M -BC 1- D 的余弦值为5. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查向量法求面面角，属于中档题.21. 已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>过点()0,1，离心率e 为2．（1）求椭圆方程；（2）已知不过原点的直线()0l y kx t k =+≠：与椭圆E 相交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为M ，直线,AB MB 分别与x 轴相交于点,P Q ，求OP OQ 的值．【答案】（1）2212x y +=；（2）2OP OQ⋅=.（1）根据题意得1b =，再离心率2222c e a b c a ===+即可解得答案； （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，则11(,)M x y -，将直线与椭圆方程联立得222(12)4220k x ktx t +++-=，故122412kt x x k -+=+，21222212t x x k-⋅=+，进而得(,0)t P k -，2(,0)kQ t-，故2OP OQ ⋅= 【详解】解：（1）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点()0,1，所以1b =；又2222c e a b c a ===+，所以22a =. 即椭圆方程为2212x y +=.（2）法一：设1122(,),(,)A x y B x y ，则11(,)M x y -由2212x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(12)4220k x ktx t +++-=，所以22221222122164(12)(22)04122212k t k t kt x x k t x x k ⎧⎪∆=-+->⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-⋅=⎪+⎩， 在直线:(0)l y kx t k =+≠中，令0y =，则t x k =-，即(,0)tP k-， 直线212221:()MB y y l y y x x x x +-=--，令0y =，则1221121212122()42()22x y x y kx x t x x k k x y y k x x t t t +⋅++-====-+++，即2(,0)k Q t-， 所以2()2t kOP OQ k t⋅=-⋅-=， 即2OP OQ ⋅=（2）法二：设(,),(,),(,),(,0),(,0)A m n B s t M m n P p Q q -， 则(,),(,)ABs m t n AP p m n ，(s m,t n),(,)MB MQ q m n由A ，B ，P 三点共线，则有//AB AP ，即n t nm s m p-=-- 所以()n m s ns mtp m n t n t--=-=--；由B ，M ，Q 三点共线，则有//MB MQ ，即t n ns m q m+=-- 所以()n s m mt nsq m t n t n-+=+=++所以222222(1)ns mt mt ns n s m t OP OQ p q n t t n n t -+-⋅=⋅=⋅=-+-因为A ，B 在椭圆E 上，所以2212m n +=，所以2222m n =-，同理2222s t =-，代入（1）中，得222222222222(22)(22)2n s m t n t n t OP OQ n t n t----⋅===--即2OP OQ ⋅=【点睛】本题考查椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系，考查运算能力，是中档题.22. 已知函数2()(1)1xf x x a x e ⎡⎤=+-+⎣⎦，其中e 为自然对数的底数． （1）若a ＝2，求函数f （x ）在（0，f （0））处的切线方程；（2）若函数2()0f x e +≥恒成立，求实数a 的取值范围；【答案】（1）21y x =+；（2）323a e -≤≤+.（1）求出()f x 的导数，则()f x 在0x =处的导数值即为斜率，即可求出切线方程； （2）求出(1)()x fxx x a e ，讨论a 的范围，进而利用导数讨论()f x 的变化情况，即可列出不等式求出a 的范围.【详解】（1）2a =时，2()(1)x f x x x e =++，(0)1f =，22()(21)(1)(32)(1)(2)x xxx f x x e x x e x x e x x e ，由()02f '=，则函数在（0，1）处的切线斜率为2，切线方程为21y x =+； （2）21(1)()xx fxx a x a e x x a e .当1a =时， ()0f x '≥，()f x 单调递增，且2()(1)0xf x x e 恒成立，2()0f x e ∴+≥恒成立，符合题意；当1a >时当x a ≤-时，2(1)1()10x a x x x a x 恒成立，2()0f x e ∴+≥恒成立，符合题意；当x a >-时，1min()(1)(3)f x f a e ，即12(3)a e e --≥-，即33a e ≤+，313a e ∴<≤+当1a <时，当1x ≤-时， 2(1)1(1)0x a x a x +-+>-≥恒成立，2()0f x e ∴+≥恒成立，符合题意；当1x >-时，min()()(1)a f x f a a e ，即2(+1)a a e e -≥-，令()()()1,(1),aah a a e a h a ae--=+<=-'，则函数()h a 在(,0)-∞单调递增，在(0,1)单调递减， 且当0a ≥时，h()(1)0aa a e恒成立；当0a <时，2h(2)e ；即2(+1)2aa ee a -≥-⇒≥-21a ∴-≤<；.综上:实数a的取值范围是323a e -≤≤+.【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究不等式的恒成立问题，属于较难题.。
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sin Asin C sin C ( 3 cos A 1 sin A) 3 cos Asin C 1 sin Asin C ，………………6 分
2
2
2
2
1 sin Asin C 3 cos Asin C ，
2
2
因为 A 为三角形内角，所以 tanA
3
，故
A
3
，
………………7 分 ………………8 分
（2）由（1）可得 Sn n2 ，………………7 分
………………5 分
方案一：选条件①．
由 cosC 21 得 sinC 2 7 ，………………5 分
7
7
ABC
所以
an1 Sn Sn1
2n 1 n2 (n 1)2
1 n2
1 (n 1)2
；
………………9 分
所
以
Tn
(112
1 22
)
(
1 22
一、单选题
题目
1
答案
B
2021 届石家庄市高中毕业班教学质量检测（一） 数学答案
2
3
4
5
6
7
8
D
C
C
A
A
B
D
sinA sin(B C) 3 21 1 2 7 5 7 , ………………7 分 2 7 2 7 14
在 ABC 中由正弦定理可得：
BC 57
8 27
, 解得： BC 10 ，
2
0,
可取 n =（ , , 1）…….....10 分
设二面角 M-BC1- D 为
所以 cos DMn 10 DM n 5
即二面角 M-BC1- D 的余弦值为 .………………………………..12 分
解法二：
∵直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1∴CC1⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD， ∴CC1⊥BD，
又∵BD⊥BC，CC1∩ BC=C，∴BD⊥平面 BCC1B1，∴BD⊥BC1
…… ………7 分
又∵MD⊥平面 BDC1，∴MD⊥BC1，
2
MD∩ BD=D ，∴BC1⊥平面 MBD，MB⊂平面 MBD，∴MB⊥BC1 …… ………9 分
∴ ∠MBD 为二面角 M-BC1- D 的平面角
…… …………… ………10 分
又∵ABCD-A1B1C1D1 是直四棱柱,
∴DD1⊥平面 ABCD.∴DD1⊥BD.
DD1 AD D ，∴BD⊥平面 ADD1A1,∴BD⊥MD. ………………………….2 分
取 BB1 中点 N，连接 NC，MN，
MN / /DC 且 MN DC ，MNCD 为平行四边形，MD / / NC ,
...............9 分
9.524 ..............11 分
经查表，得
Ǥ > Ǥ ，所以有 99% 的把握认为满意度与性别有关. ..............12 分
20. 证明：
（1）因为 BC=BD=1，CD=AB= .可得 BC2+BD2=CD2,
∴BD⊥BC,
又∵AD∕∕BC，∴BD⊥AD.
=6.68 .................4 分
（2）根据题意，补充完整的列联表如下：
不满意
满意
总计
男生
20
80
100
女生
40
60
100
总计
60
140
200
................7 分（对两个空，给 1 分）
则 K 2 (20 60 40 80)2 200 100 100 60 140
17．解：设 AB=x，在 ABD 中由余弦定理可得： 49 x2 25 2 x 5 cos x2 25 5x ………………2 分
3
即 x2 5x 24=0 ，解得 x=8 ，
………………4 分
解得 d 0 （舍）或 d 2 ………………4 分
所以 an 2n 1 ，
∵
= ,∴ ∆NBC~∆BC ,∴ ∠ ʄ ∠BCN
,∴BC1⊥CN,
又∵MD∕∕NC,∴MD⊥BC1 . ……………………………4 分 又 BC1∩ BD=B ,∴MD⊥平面 BDC1. ……..……………………..5 分 （2）解法一： 以 DA 为 x 轴，DB 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立如图所示的坐标系，则 B(0,1,0),
C1(-1, 1, ) , M(1,0, ………………………6 分
, =(1, -1, ), =(-1 , 0, )
由（1）可知 为平面 BDC1 的一个法向量， =(1,0,
……………………………8 分
设平面 C1BM 的一个法向量为 n =（x,y,z）
BBCM1nn00, ,
x
x y
2z 0, 2z
13.
1
83 14. 9
14. 5 5
105
16.
32
所以 ABC 为等边三角形， 所以 BC 8 ，CD 3，所以 CD<BD． 18．解：（1）由已知可得： 4S22 S1 4S4 ，
………………9 分 ………………10 分 ………………2 分
四、解答题
即： (2 d)2 1 (4 6d) ， ………………3 分
............................4 分
即椭圆方程为 x2 y2 1. 2
………………5 分
（II）法一：设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，则 M (x1, y1)
1 32
)
(1 32Fra bibliotek1 42
)
...
(
(
n
1 1)
2
1 n2
)
(
1 n2
(
n
1 1)2
)
………………10 分
1
1
1 (n 1)2
n2 2n (n 1)2 ………………12
分
19.解：（1）根据统计数据，计算平均数为：
x 1 0.03 3 0.11+5 0.16+7 0.39+9 0.31.................2 分
………………9 分
14 7
CD BD 5. ………………10 分
方案二：选条件②．
二、多选题
题目
9
10
11
12
答案
BD
BC
ABD
ABC
三、填空题：（本答案提供了一种或两种给分标准，其他解法请各校教研组参照给分标准研究商定）
由正弦定理可得： a=2R sin A,c=2R sin C, 代入条件 a sin C c cos( A ) 得： 6
在 Rt △MBD 中，cos∠MBD= =
ʄ
即二面角 M-BC1- D 的余弦值为 .………………………………..12 分
21.解：（I）因为椭圆
E
:
x a
2 2
y2 b2
1(a
b 0) 过点（0，1），所以 b 1；
………………2 分
又 e c 2 , a2 b2 c2 ，所以 a2 2 . a2