七年级下册数学不等式与不等式组知识点

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初一数学不等式

初一（七年级）下册数学不等式与不等式组【知识梳理】1．判断不等式是否成立：关键是分析判定不等号的变化，变化的依据是不等式的性质，特别注意的是，不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时，要改变不等号方向;反之，若不等式的不等号方向发生改变，则说明不等式两边同乘以(或除以)了一个负数。

因此，在判断不等式成立与否或由不等式变形求某些字母的范围时，要认真观察不等式的形式与不等号方向。

2．解一元一次不等式(组)：解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤大致相同，应注意的是，不等式两边所乘以(或除以)的数的正负，并根据不同情况灵活运用其性质。

一元一次不等式(组)常与分式、根式、一元二次方程、函数等知识相联系，解决综合性问题。

3．求不等式(组)的特殊解：不等式(组)的解往往是有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解、非负整数解，要求这些特殊解，首先是确定不等式(组)的解集，然后再找到相应的答案。

注意应用数形结合思想。

4．列不等式(组)解应用题：注意分析题目中的不等量关系，考查的热点是与实际生活密切相联的不等式(组)应用题。

重要性质：• 1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

表达式：如果a>b，那么a±c>b±c如果a<b,那么a±c<b±c• 2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

表示式：如果a>b,并且c>0,那么ac>bc(或a/c>b/c)如果a<b,并且c>0,那么ac<bc(或a/c>b/c)• △3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变表达式：如果a>b,并且c<0,那么ac<bc(或a/c<b/c)如果a<b,并且c<0,那么ac>bc(或a/c>b/c)拓展：把不等式的性质和等式的性质结合起来，试着总结出他们之间的联系和区别。

人教版数学七年级下册不等式与不等式组课件PPT

+ 1 > 0,
②ቊ
− 1 < 0, 两个未知数
> −2,
①ቊ
< 3,
2 + 1 < ,
③ቊ 2
+ 2 > 4,
A. 1 个
最高次为2
B. 2 个
+ 3 > 0,
④ቊ
< −7.
C. 3 个
D. 4 个
x>1
2 − 1 > 1,
2.不等式组 ቊ
的所有整数解的和是 9 .
①每个不等式都是一元一次不等式；
②含有同一个未知数；
③不等式的个数不少于2.
8.一元一次不等式组的解集
解集的公共部分
一般地，几个不等式的_________________，叫做由它们所组成的
不等式组的解集.
“公共部分”是指同时满足不等式组中每一个不等式的解集的
部分.如果组成不等式组的各个不等式的解集没有公共部分，则
18 个学生，就有一名老师少带 4 个学生.为了安全，每辆客车上至
少要有 2 名老师.(1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少
人？
解：(1)设老师有 x 人，学生有 y 人．
17 = − 12,
= 16,
依题意得 ቊ
解得 ቊ
= 284.
18 = + 4,
答：此次参加研学旅行活动的老师有 16 人，学生有 284 人.
由题意得获得的利润为 y=50x＋45(80－x)，
当 x＝40时，y＝3800；
当 x＝41时，y＝3805；
当 x＝42时，y＝3810；
当 x＝43时，y＝3815；

人教版七年级数学下册教学课件(人教版) 第九章不等式与不等式组第1课时解一元一次不等式

归纳总结
一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，其步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、将未知数的系数化为 1．
针对训练
1.解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1) 5x＋15＞4x－1；
(2) 2(x＋5)≤3(x－5)；
(3) x 1＜ 2x 5；
知识点三一元一次不等式的特殊解
例3 求不等式3(x＋1)≥5x－9的非负整数解．
解析：求不等式的非负整数解，即在原不等式的解集中找出它所包含的“非负整数”特殊解；因此先需求出原不等式的解集．
解：∵解不等式3(x＋1)≥5x－9得x≤6. ∴不等式3(x＋1)≥5x－9的非负整数解为 0，1，2，3，4，5，6.
等式；(4)是一元一次不等式．
归纳总结
判断一个不等式是否为一元一次不等式的步骤：先对所给不等式进行化简整理，再看是否满足： (1)不等式的左、右两边都是整式； (2)不等式中只含有一个未知数； (3)未知数的次数是1且系数不为0. 当这三个条件同时满足时，才能判定该不等式是一元一次不等式．
针对练习
课堂小结
解一元一次不等式的一般步骤和根据如下：
步骤
根据
1
去分母
不等式的基本性质 3
2
去括号
单项式乘以多项式法则
3
移项
不等式的基本性质 1
合并同类项，得 4 ax>b，或ax<b (a≠0)
合并同类项法则
5 系数化为1
不等式的基本性质 3
归方F纳法法正确理解关键词语的含义是准确解题的关键，
“非负整数解”即0和正整数解．
当堂练习
1.下列不等式中，是一元一次不等式的是( C )

杭州学军中学七年级数学下册第九单元《不等式与不等式组》知识点总结(含答案解析)

一、选择题1．若点A （a ，b ）在第二象限，则点B （﹣a ，b+1）在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限A 解析：A【分析】根据第二象限内的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得关于a 、b 的不等式，再根据不等式的性质，可得B 点的坐标符号．【详解】解：∵点P （a ，b ）在第二象限，∴a ＜0，b ＞0，∴-a ＞0，b+1＞0，∴点B （﹣a ，b+1）在第一象限．故选A ．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中象限内的点的坐标的符号特征和不等式的性质．注意第一象限（+，+）；第二象限（－，+）；第三象限（－，－）；第四象限（+，－）． 2．不等式()2533x x ->-的解集为（）A ．4x <-B ．4x >C ．4x <D ．4x >- C 解析：C【分析】根据解一元一次不等式的方法解答即可．【详解】解：去括号，得2539x x ->-，移项、合并同类项，得4x ->-，不等式两边同时除以﹣1，得4x <．故选：C ．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，属于基础题目，熟练掌握解一元一次不等式的方法是关键．3．在数轴上表示不等式2（1﹣x ）＜4的解集，正确的是（）A ．B ．C ．D ． A解析：A【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式解集，然后得出在数轴上表示不等式的解集． 2(1– x )＜4去括号得：2﹣2ｘ＜4移项得：2x ＞﹣2，系数化为1得：x ＞﹣1，故选A ．“点睛”本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．4．不等式组1030x x -≤⎧⎨+>⎩中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是（） A ．B ．C ．D ． A解析：A【分析】先分别解两个不等式得到x≤1和x ＞-3，然后利用数轴分别表示出x≤1和x ＞-3，于是可得到正确的选项．【详解】解不等式x-1≤0得x≤1，解不等式x+3＞0得x ＞-3，所以不等式组的两个不等式的解集在同一个数轴上表示为：．故选：A ．【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集：用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．5．如果a b >，可知下面哪个不等式一定成立（）A ．a b ->-B ．11a b <C ．2a b b +>D ．2a ab > C解析：C【分析】由基本不等式a ＞b ，根据不等式的性质，逐一判断．【详解】解：A 、∵a ＞b ，∴-a ＜-b ，故本选项不符合题意；B 、∵a ＞b ，∴当a 与b 同号时有11a b <，当a 与b 异号时，有11a b＞，故本选项不符合题意；C 、∵a ＞b ，∴a+b ＞2b ，故本选项符合题意；D 、∵a ＞b ，且a ＞0时，∴a 2＞ab ，故本选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了不等式的性质．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．6．不等式组3114x x +>⎧⎨-≤⎩的最小整数解是（） A ．5B ．0C ．-1D ．-2C解析：C【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来，写出这个不等式组的最小整数解即可．【详解】解：3114x x +>⎧⎨-≤⎩①② 解不等式①得 x ＞-2，解不等式②得 x≤5，所以不等式组的解集为-2＜x≤4，所以，这个不等式组的最小整数解是-1，故选C ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．7．已知x=2是不等式()()5320x ax a --+≤的解，且x=1不是这个不等式的解，则实数a 的取值范围是（）A ．a ＞1B ．a≤2C ．1＜a≤2D ．1≤a≤2C解析：C【解析】 ∵x=2是不等式(x−5)(ax−3a+2)⩽0的解，∴(2−5)(2a−3a+2)⩽0，解得：a ⩽2，∵x=1不是这个不等式的解，∴(1−5)(a−3a+2)>0，解得：a>1，∴1<a ⩽2，故选C.8．不等式组21x x ≥-⎧⎨<⎩的解集在数轴上表示正确的是（） A ．B ．C ．D ． A 解析：A【分析】先解出不等式组的解集，然后再根据选项解答即可．【详解】解：由题意可得：不等式组的解集为：21x ，在数轴上表示为：故答案为A.【点睛】本题主要考查了不等式组解集在数轴上的表示方法，在表示解集时“≥”或“≤”要用实心圆点表示，“<”，“>”要用空心圆点表示成为解答本题的关键．9．下列说法中不正确的是（）A ．若a b >，则a 1b 1->-B ．若3a 3b >，则a b >C ．若a b >，且c 0≠，则ac bc >D ．若a b >，则7a 7b -<- C 解析：C【分析】根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A 、∵a ＞b ，∴a-1＞b-1，故本选项正确，不符合题意；B 、∵3a ＞3b ，∴a ＞b ，故本选项正确，不符合题意；C 、∵a ＞b 且c≠0，当c ＞0时，ac ＞bc ；当c ＜0时，ac ＜bc ，故本选项错误，符合题意；D 、∵a ＞b ，∴-a ＜-b ，∴7-a ＜7-b ，故本选项正确，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查的是不等式的性质，熟记不等式的基本性质是解答此题的关键．10．若关于x的不等式组3122x ax x->⎧⎨->-⎩无解，则a的取值范围是（）A．a＜-2 B．a≤-2 C．a＞-2 D．a≥-2D解析：D【分析】首先解每个不等式，然后根据不等式无解，即两个不等式的解集没有公共解即可求得．【详解】解：3122 x ax x->⎧⎨->-⎩①②解①得：x＞a+3，解②得：x＜1．根据题意得：a+3≥1，解得：a≥-2．故选：D．【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．二、填空题11．对于实数x，我们规定[]x表示不大于x的最大整数，例如[1.2]1,[3]3,[ 2.5]3==-=-，若4510x+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则x的取值可以是______________（任写一个）．50（答案不唯一）【分析】由于规定表示不大于x的最大整数则表示不大于的最大整数接下来根据可列出不等式组求解即可【详解】解：表示不大于x的最大整数表示不大于的最大整数又可列不等式组x的取值可以是范围内解析：50（答案不唯一）【分析】由于规定[]x表示不大于x的最大整数，则410x+⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示不大于410x+的最大整数，接下来根据4510x+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，可列出不等式组，求解即可．【详解】解：[]x表示不大于x的最大整数，∴410x+⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示不大于410x+的最大整数，又45 10x+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，∴可列不等式组45104610x x +⎧≥⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩ ，450460x x +≥⎧⎨+<⎩， ∴4656x x ≥⎧⎨<⎩，∴4656≤<x ， ∴x 的取值可以是范围内的任何实数．故答案为：50（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据[x]表示不大于x 的最大整数列出不等式组．12．不等式组3241112x x x x ≤-⎧⎪⎨--<+⎪⎩的整数解是_________．【分析】先求出每个不等式的解集然后得到不等式组的解集再求出整数解即可【详解】解：解不等式①得；解不等式②得；∴不等式组的解集为：；∴不等式组的整数解是；故答案为：【点睛】本题考查了解一元一次不等式组解析：4x =-【分析】先求出每个不等式的解集，然后得到不等式组的解集，再求出整数解即可．【详解】解：3241112x x x x ≤-⎧⎪⎨--<+⎪⎩①②，解不等式①，得4x ≤-；解不等式②，得5x >-；∴不等式组的解集为：54x -<≤-；∴不等式组的整数解是4x =-；故答案为：4x =-．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法进行解题．13．a b ≥，1a -+_____1b -+≤【分析】根据不等式的性质判断即可【详解】∵a≥b ∴-a≤-b ∴-a+1≤-b+1故答案为≤【点睛】本题考查不等式的性质需要特别注意不等式两边同时乘除一个负数不等号要变号解析：≤【分析】根据不等式的性质判断即可.【详解】∵a≥b∴-a≤-b∴ -a+1≤-b+1故答案为≤.【点睛】本题考查不等式的性质，需要特别注意不等式两边同时乘除一个负数不等号要变号. 14．已知：[]x 表示不超过x 的最大整数．例：[]4.84=，[]0.81-=-．现定义：{}[]x x x =-，例：{}[]1.5 1.5 1.50.5=-=，则{}{}{}3.9 1.81+--=________．【分析】根据题意列出代数式解答即可【详解】解：故答案为：【点睛】此题考查解一元一次不等式关键是根据题意列出代数式解答解析：1.1【分析】根据题意列出代数式解答即可．【详解】解：{}{}{}3.9 1.81+--()()()()39318211⎡⎤=-+-----⎣⎦．．0902=+．．11=．故答案为：11．．【点睛】此题考查解一元一次不等式，关键是根据题意列出代数式解答．15．若||1(2)3m m x --=是关于x 的一元一次方程，则m 的值是___________．-2【分析】根据一元一次方程的定义列出关于m 的方程组求解即可【详解】解：∵∴解得m=-2故答案为-2【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义和不等式组的解法根据一元一次方程的定义列出关于m 的方程组成解析：-2【分析】根据一元一次方程的定义列出关于m 的方程组求解即可．【详解】解：∵||1(2)3m m x --= ∴2011m m -≠⎧⎨-=⎩，解得m=-2．故答案为-2．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义和不等式组的解法，根据一元一次方程的定义列出关于m 的方程组成为解答本题的关键．16．若关于x 的不等式组103420x a x ⎧->⎪⎨⎪-≥⎩无解，a 则的取值范围为___________．【分析】先解不等式组中的两个不等式然后根据不等式组无解可得关于a 的不等式解不等式即得答案【详解】解：对不等式组解不等式①得解不等式②得∵原不等式组无解∴解得：故答案为：【点睛】此题主要考查了解不等式解析：23a ≥【分析】先解不等式组中的两个不等式，然后根据不等式组无解可得关于a 的不等式，解不等式即得答案．【详解】解：对不等式组103420x a x ⎧->⎪⎨⎪-≥⎩①②，解不等式①，得3x a >，解不等式②，得2x ≤，∵原不等式组无解，∴32a ≥，解得：23a ≥．故答案为：23a ≥．【点睛】此题主要考查了解不等式组，根据求不等式的无解，遵循“大大小小解不了”原则，得出关于a 不等式是解题关键．17．不等式组2021x x x -≥⎧⎨>-⎩的最小整数解是________．0【分析】求出不等式组的解集确定出最小整数解即可【详解】不等式组整理得：不等式组的解集为：－1＜x≤2最小的整数解为0故答案为：0【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的整数解掌握一元一次不等式组的求解析：0【分析】求出不等式组的解集，确定出最小整数解即可．【详解】不等式组整理得：21x x ≤⎧⎨>-⎩， ∴不等式组的解集为：－1＜x ≤2，∴最小的整数解为0．故答案为：0．【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，掌握一元一次不等式组的求解是解题关键．18．不等式组210360x x ->⎧⎨-<⎩的解集为_______．【分析】先求出两个不等式的解再找出它们的公共部分即为不等式组的解集【详解】解不等式①得：解不等式②得：则不等式组的解集为故答案为：【点睛】本题考查了解一元一次不等式组熟练掌握不等式组的解法是解题关键解析：122x << 【分析】先求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集．【详解】210360x x ->⎧⎨-<⎩①②，解不等式①得：12x >，解不等式②得：2x <，则不等式组的解集为122x <<，故答案为：122x <<．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键． 19．关于x 的不等式132x a x -≤⎧⎨-<⎩有5个整数解，则a 的取值范围是______．【分析】首先解每个不等式两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集确定整数解据此即可写出a 的范围【详解】解：解不等式①得；解不等式②得：则不等式的解集为∵不等式有5个整数解∴一定是01234∴即故解析：12a ≤<【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，确定整数解，据此即可写出a 的范围．【详解】解：132x a x -≤⎧⎨-<⎩①②，解不等式①得，4x ≤；解不等式②得：2x a >-，则不等式的解集为24a x -<≤，∵不等式132x a x -≤⎧⎨-<⎩有5个整数解， ∴一定是0，1，2，3，4．∴120a ，即12a ≤<，故答案为：12a ≤<．【点睛】此题考查的是一元一次不等式组的解法，根据x 的取值范围，得出x 的整数解，然后代入方程即可解出a 的值．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．20．不等式组20210x x +>⎧⎨-≤⎩的所有整数解的和是_____________-1【分析】先分别解两个不等式求出它们的解集再求两个不等式解集的公共部分然后找出解集中的整数相加即可【详解】解①得x>-2;解②得x≤∴原不等式组的解集是-2<x≤∴其中的整数有：-10∴-1+0=解析：-1【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分，然后找出解集中的整数相加即可.【详解】20210x x +>⎧⎨-≤⎩①②，解①得，x >-2;解②得，x ≤12, ∴原不等式组的解集是-2<x ≤12. ∴其中的整数有：-1,0，∴-1+0=-1.故答案为-1.【点睛】本题考查了不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大三、解答题21．为发展校园足球运动，某城区四校决定联合购买一批足球运动装备．市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是:若购买队服超过80套，则购买足球打八折．（1）求每套队服和每个足球的价格是多少元；（2）若城区四校联合购买100套队服和()10a a >个足球，请用含a 的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花费用；（3）在（2）的条件下，计算a 为何值时，两家商场所花费用相同；（4）在（3）的条件下，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？(直接写出方案）解析：（1）150元；100元；（2）甲商场()10014000a + ，乙商场()8015000a +元；（3）50a =；（4）当50a =时，两家花费一样；当1050a <<时，到甲处购买更合算；当50a 时，到乙处购买更合算【分析】（1）设每个足球的定价是x 元，则每套队服是()50x +元，根据“两套队服与三个足球的费用相等”得出等量关系，列出一元一次方程，求解即可；（2）根据甲商场和乙商场的方案列出式子即可；（3）令100140008015000,a a ++＝解方程即可；（4）列出不等式分别求解即可．【详解】解：（1）设每个足球的定价是x 元，则每套队服是()50x +元．根据题意得()2503x x +=解得100,50150x x +＝＝．答：每套队服150元，每个足球100元．（2）到甲商场购买所花的费用为：()1001001501001001400010a a ⎛⎫⨯+-=+ ⎪⎝⎭元；到乙商场购买所花的费用为：()100150+100808015000a a ⨯⨯%=+元；（3）由100140008015000,a a ++＝得：50a =，所以：当50a =时，两家花费一样。

人教版七年级下册数学第九章不等式与不等式组不等式不等式的性质(第一课时)

< 不等式性质1
探究新知
知识点 2 不等式的性质2 用不等号填空：（1）5 > 3 ；
5×2 > 3×2 ； 5÷2 > 3÷2 . （2）2 < 4 ；
2×3 < 4×3 ；2÷4 < 4÷4 . 自己再写一个不等式，分别在它的两边都乘（或除以）同一个正数，看看有怎样的结果？与同桌互相交流，你们发现了什么规律？
解：(1)为了使不等式x-7＞26中不等号的一边变为x，根据不等式的性质1，不等式两边都加7，不等号的方向不变，得 x-7+7 ＞ 26+7，
x ＞ 33.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
0
33
探究新知
（2）为了使不等式3x<2x+1中不等号的一边变为x，根据
__不__等__式__性__质__1_，不等式两边都减去_2_x__，不等号的方向
探究新知
（3）已知 a<b，则 -a3
由不等式基本性质3，得
-a 3
>
-b 3
,
因为
-a 3
>
-b 3
，两边都加上2，
由不等式基本性质1，得
-a 3
+2
>
-b3+2
.
巩固练习
若 a>b, 用“>”或“<”填空： a-5 > b-5（根据不等式的性质 1 ）
探究新知
如果_a_>_b_且__c_>_0_, 那么_a_c_>_b_c__
(或 a b ) cc
探究新知
不等式基本性质2
不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.

人教版数学七年级下册知识重点与单元测-第九章9-5《不等式与不等式组》章末复习(能力提升)

第九章不等式与不等式（组）9.5 《不等式与不等式组》章末复习（能力提升）【要点梳理】知识点一、不等式1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.要点诠释：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如x a>，x a≤等；另一种是用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．2. 不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．要点二、一元一次不等式1.定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.要点诠释：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.要点三、一元一次不等式组关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.要点诠释：（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.（4）一元一次不等式组的应用：①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．【典型例题】类型一、不等式例1.判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．（1）若 b﹣3a＜0，则b＜3a；（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；（3）若a＞b，则 ac2＞bc2；（4）若ac2＞bc2，则a＞b；（5）若a＞b，则 a（c2+1）＞b（c2+1）．（6）若a ＞b ＞0，则＜．．【答案与解析】解：（1）若由b ﹣3a ＜0，移项即可得到b ＜3a ，故正确；（2）如果﹣5x ＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误；（3）若a ＞b ，当c=0时则 ac 2＞bc 2错误，故错误；（4）由ac 2＞bc 2得c 2＞0，故正确；（5）若a ＞b ，根据c 2+1，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）正确．（6）若a ＞b ＞0，如a=2，b=1，则＜正确．故答案为：√、×、×、√、√、√．【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．例2. 设x>y ，试比较代数式-(8-10x)与-(8-10y)的大小，如果较大的代数式为正数，则其中最小的正整数x 或y 的值是多少?【思路点拨】比较两个代数式的大小，可以运用不等式的性质得出比较方法。

新人教七年级数学下册第九章不等式与不等式组全章讲与练

第九章不等式与不等式组第一节、知识梳理一、学习目标1.掌握不等式及其解（解集）的概念，理解不等式的意义.2.理解不等式的性质并会用不等式基本性质解简单的不等式.3.会用数轴表示出不等式的解集.二、知识概要1.不等式：一般地，用不等号“＞”、“＜”表示不等关系的式子叫做不等式.2.不等式的解：一般地，在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.3.不等式的解集：一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，称之为此不等式的解集.4.一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式.5.不等式的性质：性质一：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.性质二：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.性质三：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变.6.三角形中任意两边之差小于第三边.三、重点难点重点是不等式的基本性质及其应用，难点是不等式和不等式解集的理解.四、知识本周知识由以前学过的比较大小拓展而来，又为解决实际问题提供了一个解题的工具，并为以后学的不等式组打下基础.五、中考视点不等式也是经常考到的内容，经常出现在选择题、填空题中，以解不等式为主.有时在一些解答题中也要用到不等式，利用不等关系求X围等.第二节、教材解读1. 常用的不等号有哪些？常用的不等号有五种，其读法和意义是：（1）“≠”读作“不等于”，它说明两个量是不相等的，但不能明确哪个大哪个小.（2）“＞”读作“大于”，表示其左边的量比右边的量大.（3）“＜”读作“小于”，表示其左边的量比右边的量小.（4）“≥”读作“大于或等于”，即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量.（5）“≤”读作“小于或等于”，即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量.2. 如何恰当地列不等式表示不等关系？（1）找准题中不等关系的两个量，并用代数式表示.（2）正确理解题目中的关键词语，如：多、少、快、慢、增加了、减少了、不足、不到、不大于、不小于、不超过、非负数、至多、至少等的确切含义.（3）选用与题意符合的不等号将表示不等关系的两个量的代数式连接起来.根据下列关系列不等式：a的2倍与b的的和不大于2a+ b.“不大于”就是“小于或等于”.列不等式为：2a+b≤3.3. 用数轴表示不等式注意什么？用数轴表示不等式要注意两点：一是边界；二是方向.若边界点在X围内则用实心点表示，若边界点不在X围内，则用空心圆圈表示；方向是对于边界点而言，大于向右画，而小于则向左画.在同一个数轴上表示下列两个不等式：x＞-3；x≤2.第三节、错题剖析一、去括号时，错用乘法分配律【例1】解不等式3x+2（2-4x）<19.错解: 去括号，得3x+4-4x<19，解得x>-15.诊断: 错解在去括号时，括号前面的数2没有乘以括号内的每一项.正解: 去括号，得3x+4-8x<19，-5x<15，所以x>-3.二、去括号时，忽视括号前的负号【例2】解不等式5x-3（2x-1）>-6.错解: 去括号，得5x-6x-3>-6，解得x<3.诊断：去括号时，当括号前面是“-”时，去掉括号和前面的“-”，括号内的各项都要改变符号.错解在去括号时，没有将括号内的项全改变符号.正解: 去括号，得5x-6x+3>-6，所以-x>-9，所以x<9.三、移项时，不改变符号【例3】解不等式4x-5<2x-9.错解: 移项，得4x+2x<-9-5，即6x<-14，所以诊断: 一元一次不等式中的移项和一元一次方程中的移项一样，移项就要改变符号，错解忽略了这一点.正解: 移项，得4x-2x<-9+5，解得2x<-4，所以x<-2.四、去分母时，忽视分数线的括号作用【例4】解不等式错解: 去分母，得6x-2x-5>14，解得诊断: 去分母时，如果分子是一个整式，去掉分母后要用括号将分子括起来.错解在去掉分母时，忽视了分数线的括号作用.正解: 去分母，得6x-（2x-5）>14，去括号，得6x-2x+5>14，解得五、不等式两边同除以负数，不改变方向【例5】解不等式3x－6＜1+7x.错解：移项，得3x－7x＜1+6，即－4x＜7，所以诊断：将不等式－4x＜7的系数化为1时，不等式两边同除以－4后，根据不等式的基本性质：不等式两边同乘以或同除以同一个负数，不等号要改变方向，因此造成了错解.正解：移项，得3x－7x<1+6，即－4x＜7，所以x＞【例6】 x2与a的和不是正数用不等式表示.错解及分析： x2+a<0. 对“不是正数”理解不清.x2与a的和是0或负数.正解： x2+a≤0.【例7】求不等式的非负整数解.错解及分析：整理得，3x≤16，所以故其非负整数解是1，2，3，4，5.本例的解题过程没有错误，错在对“非负整数”的理解.正解：整理得，3x≤16，所以故其非负整数解是0，1，2，3，4，5.【例8】解不等式3-5（x-2）-4（-1+5x）<0.错解及分析：去括号，得3-x-2-4+5x<0，即4x<3，所以本题一是去括号后各项没有改变符号；二是一个数乘以一个多项式时应该把这个数和多项式的每一项相乘.正解：去括号得3-x+10+4-20x<0，即-21x<-17，所以【例9】解不等式7x-6<4x-9.错解及分析：移项，得7x+4x<-9-6，即11x<-15，所以一元一次不等式中移项和一元一次方程中的移项一样，都要改变符号.正解：移项，得7x-4x<-9+6，即3x<-3，所以x<-1.【例10】解不等式错解及分析：去分母，得3+2（2-3x）≤5（1+x）.即11x≥2，所以错误的原因是在去分母时漏乘了不含分母的一项“3”.正解：去分母，得30+2（2-3x）≤5（1+x）.即11x≥29，所以【例11】解不等式6x-6≤1+7x.错解及分析：移项，得6x-7x≤1+6.即-x≤7，所以x<-7.将不等式-x≤7的系数化为1时，不等式两边同除以-1，不等号没有改变方向，因此造成了错解.正解：移项，得6x-7x<1+6.即-x≤7，所以x≥-7.【例12】解关于x的不等式m（x-2）>x-2.错解: 化简，得（m-1）x>2（m-1），所以x>2.诊断: 错解默认为m-1>0，实际上m-1还可能小于或等于0.正解: 化简，得（m-1）x>2（m-1），①当m-1>0时，x>2；②当m-1<0时，x<2；③当m-1=0时，无解.【例13】解不等式（a－1）x＞3.错解：系数化为1，得x＞.诊断：此题的未知数系数含有字母，不能直接在不等式两边同时除以这个系数，应该分类讨论.正解：①当a－1＞0时，x＞；②当a＝1时，0×x＞3，不等式无解；③当a－1＜0时，x＜.【例14】不等式组的解集为 .错解：两个不等式相加，得 x-1＜0，所以x＜1.诊断：这是解法上的错误，它把解不等式组与解一次方程组的方法混为一谈，不等式组的解法是分别求出不等式组中各个不等式的解集，然后在数轴上表示出来，求得的公共部分就是不等式组的解集，而不能用解方程组的方法来求解正解：解不等式组，得.在同一条数轴上表示出它们的解集，如图，所以不等式组的解集为：0＜x＜【例15】解不等式组错解：因为5x-3＞4x+2，且4x+2＞3x-2，所以 5x-3＞3x-2.移项，得5x-3x＞-2+3.解得 x＞.诊断：上面的解法套用了解方程组的方法，是否正确，我们可以在x＞的条件下，任取一个x的值，看是否满足不等式组.如取x＝1，将它代入5x-3＞4x+2，得2＞6（不成立）.可知x＞不是原方程组的解集，其造成错误的原因是由原不等式组变形为一个新的不等式时，改变了不等式的解集.正解：由5x-3＞4x+2，得x＞5.由4x+2＞3x-2，得x＞－4.综合x＞5和x＞－4，得原不等式组的解集为x＞5.【例16】解不等式组错解：由不等式2x＋3<7可得x<2.由不等式5x-6>9可得x>3.所以原不等式组的解集为2>x>3.诊断：由不等式性质可得，2>3，这是不可能的.正解：由不等式2x＋3<7可得x<2.由不等式5x-6>9可得x>3.所以原不等式组无解.【例17】解不等式错解：去分母，得3－4x－1＞9x.移项，得－4x－9x＞1－3合并，得－13x＞－2系数化为1，得诊断：本题忽视了分数线的双重作用,去分母时,若分子为多项式,应对其加上括号.正解：去分母，得3－（4x－1）＞9x去括号，得3－4x+1＞9x.移项，得－4x－9x＞-1－3合并，得－13x＞－4系数化为1，得【例18】若不等式组的解集为x>2，则a的取值X围是（）.A. a<2B. a≤2C. a>2D. a≥2错解及分析：原不等式组可分为得a<2，故选A.当a=2时，原不等式组变为解集也为x>2.正解：应为a≤2 ，故选B.【例19】解不等式组错解：②－①，得不等式组的解集为x<-13.诊断：错解中把方程组的解法套用到不等式组中.正解：由不等式2x<7+x得到x<7.由不等式3x<x-6得到x<-3.所以原不等式组的解集为x<-3.第四节、思维点拨一、巧用乘法【例1】解不等式0.125x＜3．【思考与分析】此不等式是一元一次不等式的一般形式，只需不等式两边同时除以0.125，就可以化系数为“1”，但是较繁.不如利用不等式的性质2两边同乘以8要比两边同除以0.125解得简捷．解：两边同乘以8，得x＜24．二、巧去分母【例2】解不等式【思考与分析】常规方法是先去分母，但仔细观察就会发现，可先进行移项.解：移项，得合并同类项，得x≥-1.【例3】解不等式【思考与分析】常规方法是去分母，两边同乘以分母的最小公倍数.但我们会注意到“0.25×4＝1，0.5×2＝1”，则利用分数的性质，对左边第一项分子、分母同乘以4，第二项分子、分母同乘以2，这样就可以化去分母并且系数为整数.解：利用分数的性质（即左边第一项分子、分母同乘以4，第二项分子、分母同乘以2），得8x+4-2（x－2）≤2，去括号，得8x+4-2x+4≤2，移项，合并同类项，得6x≤-6两边同时除以6得x≤-1.三、根据已知条件取特殊值【例4】设a、b是不相等的任意正数，又x＝，则x、y这两个数一定是（） A．都不大于2B．都不小于2C．至少有一个大于2D．至少有一个小于2【思考与分析】不妨取a＝1，b＝3，得x＝10，y＝从而排除A、B，再取a＝3，b＝4，得，从而排除D，故选C.答案：C．【反思】用特殊值法解选择题时，如果所取的特殊值使部分选项取得相同的结果，则应另选特殊值再验，直至选出答案．四、根据数轴取特殊值【例5】不等式组的解集在数轴上表示出来是如下图中的（）【思考与分析】本题的常规方法是先解不等式组，然后再对照各选项选出正确答案，由于这样做要解不等式组，比较麻烦.仔细观察各选项中的数轴，有两个特殊数2，-1，不妨先取x＝2，代入不成立，故可排除A、B.再取x＝0，代入不成立，又可排除C，从而选D，这样做不仅节省了时间，而且又减少了出错的机会﹒答案：Ｄ．【反思】用特殊值法解选择题时，要综合运用验证法，排除法等技巧，快速选出正确答案﹒比较两个数或两个代数式的大小，可以运用求差法：如果a－b>0，则a>b；如果a－b<0，则a<b.运用求差法比较大小的一般步骤是：（1）作差；（2）判断差的符号；（3）确定大小.【例6】设x>y，试比较代数式-（8-10x）与－（8-10y）的大小，如果较大的代数式为正数，则其中最小的正整数x或y的值是多少？【思考与分析】根据求差法的步骤我们先求出两个式子的差，然后再根据已知条件x>y，来判断这个差的符号，从而比较两个代数式的大小.解：由两式作差得-（8-10x）－［－（8-10y）］＝-8+10x+8-10y＝10x-10y.因为x>y，所以10x>10y，即10x-10y>0.所以-（8-10x）>－（8-10y）.又由题意得-（8-10x）>0，即x>，所以x最小的正整数值为1.【例7】有一个三口之家准备在假期出外旅行，咨询时了解到东方旅行社规定：若父母各买一X全票则孩子可以按全票的七折购票；而光明旅行社则规定：三人均可按团体票计价，即按全票的80％收费.若两家旅行社的票价相同，则实际哪家收费较低呢？【思考与分析】要比较哪家旅行社的收费低，我们可以先用含有未知数的式子表示出两家旅行社需要的费用，然后根据求差法的步骤，求出两个式子的差，再根据已知条件判断这个差的符号即可比较出哪个旅行社的费用低.解：设这两家旅行社全票的价格为a元，依题意东方旅行社的收费为2a＋70％a＝，光明旅行社的收费为3a×80％＝.因为－＝>0，所以实际上光明旅行社的收费较低.【反思】在解题时我们为什么设这两家旅行社全票的价格为a元呢？因为如果不设的话，我们即使知道用求差法比较大小，也无从下手.五、巧去括号【例8】【思考与分析】观察题目中的括号及数字的特点可先考虑去中括号，再去小括号，这样会使运算简便.解：去中括号，得去分母，得 3x+60＜28+8x，移项，合并同类项，得-5x＜-32，【思考与分析】观察题目中的括号及数字的特点可从里向外去小括号，给后面的运算带来方便.解：去小括号，得六、巧用“整体思想”【例9】解不等式：【思考与分析】观察题目中括号内外可知都有相同的项：2x-1，我们把2x－1视为整体，再去中括号和分母，则可使运算简捷．解： 3（2x-1）-9（2x-1）-9＜5．合并同类项得-6×（2x-1）＜14．解得反思：我们在解带有括号的一元一次不等式时，我们要善于观察题目的特点，巧去括号可使运算简便. 【例10】在欧洲足球锦标赛中，共有16支队伍参加比赛，争夺象征欧洲足球最高荣誉的“德劳内杯”.16支队伍被分成4个小组，进行单循环赛（即每个队需同其他三个队各赛一场），胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，每组按照积分的前两名出线进入前八强，每个队在小组赛中需积多少分，才能确保出线？【思考与分析】根据题意，只有小组赛中的积分的前两名才能出线，我们可以分几种情况来讨论出线积分的多少.（1）若某一队三战全胜积9分，则同组的另一小队需保证小组第二才有出线的希望，在剩下的两场比赛中，它有六种可能：两场全胜积6分，一胜一平积4分，一胜一负积3分，两平积2分，一平一负积1分，两负积0分.（三场比赛，肯定有一场负）因此，在这种情况中，至少积6分才能确保出线；（2）若某一队三战两胜一平积7分，则小组第二至少要两胜积6分才能出线；（3）若某一队三战两胜一负积6分，则其他两个队也可能三战两胜一负积6分，这样三队同积6分，不能确保小组出线.由以上思考讨论可知，在小组赛中，积分可能出现三个队积分相同，为了确保出线，至少需积7分，才能保证以小组第二的身份出线.解：需7分.【小结】通过解题过程我们知道做这类题的时候要注意：在足球比赛中，一般按积分多少排名次；积分相等的两队，净胜球数多的队名次在前；积分、净胜球数都相等的球队，进球数多的队名次在前；分析有关足球比赛的问题时，不能单纯的利用不等关系判断，还要注意到相互之间的胜负关系.第五节、竞赛数学【例1】满足的x的值中，绝对值不超过11的那些整数之和等于 .【思考与分析】要求出那些整数之和，必须求出不等式的绝对值不超过11的整数解，因此我们应该先解不等式.解：原不等式去分母，得3（2＋x）≥2（2x－1），去括号，移项，合并同类项，得－x≥－8，即x≤8.满足x≤8且绝对值不超过11的整数有0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8，－9，－10，－11.这些整数的和为（－9）＋（－10）＋（－11）＝－30.【例2】如果关于x的一元一次方程3（x＋4）＝2a＋5的解大于关于x的方程的解，那么（）.【思考与分析】这道题把方程问题转化为解不等式问题，利用了转化的数学思想.由于第一个方程的解大于第二个方程的解，只要先分别解出关于x的两个方程的解（两个解都是关于a的式子），再令第一个方程的解大于第二个方程的解，就可以求出问题的答案.解：关于x的方程3（x＋4）＝2a＋5的解为关于x的方程的解为由题意得，解得.因此选D.【例3】如果，2+c>2，那么（）.A. a-c>a+cB. c-a>c+aC. ac>-acD. 3a>2a【思考与分析】已知两个不等式分别是关于a和c的不等式，求得它们的解集后，便可以找到正确的答案.解: 由所以a<0.由2+c>2，得c>0，则有－c<c.两边都加上a，得a-c<a+c，排除A；由a<0，c>0，得ac<0，－ac>0，从而ac<-ac，排除C；由a<0，两边都加上2a，得3a<2a，排除D.答案应该选B，事实上，由a<0，得－a>0，从而－a>a，两边同时加上c，可得c－a>c＋a.【例4】四个连续整数的和为S，S满足不等式，这四个数中最大数与最小数的平方差等于 .【思考与分析】由于四个数是连续整数，我们欲求最大值与最小值，故只须知四数之一就行了，由它们的和满足的不等式就可以求出.解：设四个连续整数为m-1，m，m+1，m+2，它们的和为S＝4m＋2.由<19，解得7<m<9.由于m为整数，所以m＝8，则四个连续整数为7，8，9，10，因此最大数与最小数的平方的差为102－72＝51.从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离．但除零以外，绝对值都是表示两个数的绝对值，即一个数与它相反数的绝对值是一样的．由于这个性质，含有绝对值号的不等式的求解过程出现了一些新特点．一个实数a的绝对值记作∣a∣，指的是由a所惟一确定的非负实数：含绝对值的不等式的性质：（1）∣a∣≥∣b∣b≤|a|或b≥-|a|，∣a∣≤∣b∣∣b∣≤a≤∣b∣；（2）∣a∣-∣b∣≤∣a+b∣≤∣∣a∣+∣b∣；（3）∣a∣-∣b∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.由于绝对值的定义，含有绝对值号的代数式无法进行统一的代数运算．通常的手法是按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值号的代数式进行运算，即含有绝对值号的不等式的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．下面结合例题予以分析．【例5】解不等式｜x-5｜-｜2x+3｜＜1．【分析】关键是去掉绝对值符号前后的变号.分三个区间讨论：解：（1）当当x≤时，原不等式化为-（x-5）-［-（2x+3）］＜1，解得x<-7，结合x≤，故x<-7是原不等式的解；（2）当＜x≤5时，原不等式化为-（x-5）-（2x+3）＜1，解得是原不等式的解；（3）当x＞5时，原不等式化为：x-5-（2x+3）＜1，解得x＞-9，结合x＞5，故x＞5是原不等式的解．综合（1），（2），（3）可知，是原不等式的解．第六节、本章训练基础训练题1.不等式x＋3＜6的非负整数解为（）.A. 1，2B. 1，2，3C. 1，2，0D. 1，2，3，02.已知三个连续奇数的和不超过27且大于10，这样的数组共有（）.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.的值不小于－2，则a的取值X围是（）.＋2x的值不大于8－的值，那么x的正整数解是 .5.小明准备用26元钱买火腿肠和方便面，已知一根火腿肠2元，一盒方便面3元，他买了5盒方便面，还可以买多少根火腿肠？6.小华用最小刻度是1厘米的刻度尺，测量一本书的长，测得结果是17.5厘米，这0.5厘米是他估计的，并不准确，若设他所测量的书的长为x厘米，那么x应该满足的不等式是什么？答案1. C2. B3. C4. 1，2，35.解：设还可以买x根火腿肠.由题意我们可列不等式5×3＋2x≤26，解得因为x必须为正整数，所以x＝1，2，3，4，5.答：小明还可以买火腿肠的数目不超过5根.6.解：17＜x＜18.提高训练题2.李明在第一次数学测验中得76分，在第二次测验中得92分，设第三次测验的分数为x，且三次的平均分不低于85分，求x的取值X围.3.小强去超市买某种牌子的衬衣，该种衬衣单价为每件100元，小强想买的衬衣数不少于5件，路上交通费为10元，小强准备钱时有以下几种选择：准备400元，准备500元，准备510元，准备610元.请你说明哪种方案可行？4.某商城以单价260元购进一批DVD机，出售时标价398元，由于销售不好，商场准备降价出售，但要保证利润不低于10％.小明说：“可降价100元.”小英说：“可降价150元.”小华说：“降价不能超过112元.”你同意他们谁的说法？5. 巧解下列不等式：（1） 0.375x-2≤0.5x（2）（4）6. 解下列不等式：（1） 9-2（x－2）≥6（2） 12-3x＜8-2x7. 已知答案2.解：由题意得我们可列不等式≥85，解得x≥87.3.解：设小明准备了x元钱.我们由题意可列不等式≥5.解得x≥510.所以准备510元或准备610元都可以.4.解：设降价x元.5. （1）x≥-16（提示：不等式两边同乘8）；我们可以由题意列不等式398-x－260≥260×10％.解得x≤112.所以小明和小华的说法是正确的.强化训练题1. 若实数a＞1，则实数M＝a，N=的大小关系是（）．A． P＞N＞M B． M＞N＞PC． N＞P＞M D． M＞P＞N2. 若0＜a＜1，则下列四个不等式中正确的是（）.3. a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子正确的有（）．① b+c＞0；② a+b＞a+c；③ bc＞ac；④ ab＞ac．A．1个B．2个 C．3个 D．4个.4.我市某初中举行“八荣八耻”知识抢答赛，总共50道抢答题.抢答规定：抢答对1题得3分，抢答错1题扣1分，不抢答得0分.小军参加了抢答比赛，只抢答了其中的20道题，要使最后得分不少于50分，问小军至少要答对几道题？5.已知前年物价涨幅（即前年物价比上一年，也就是大前年物价增加的百分比）为20％，去年物价涨幅为15％，预计今年物价涨幅降低5个百分点，为了使明年物价比大前年物价涨幅不高出55％，明年物价涨幅必须比今年物价涨幅至少再降低x个百分点（x为整数）则x＝（）.A. 6B. 7C. 8D. 96.某商场计划投入一笔资金，采购紧销商品.经调查发现，如月初出售，可获利15％，并可用本和利再投资其他商品，则月末又可获利10％；如等到月末出售可获利30％，但需要支付仓储费用700元.请问根据商场资金多少，如何购销获利较多？7.小王家里装修，他去商店买灯，商店柜台里现有功率100瓦的白炽灯和40瓦的节能灯，它们的单价分别为2元和32元，经了解知道这两种灯的照明效果和使用寿命都是一样的.已知小王家所在地的电价为每度0.5元，请问当这两种灯的使用寿命超过多长时间时，小王选择节能灯才合算。

不等式与不等式组知识点归纳

第九章不等式与不等式组一、知识结构图二、知识要点（一、）不等式的概念1、不等式：一般地，用不等符号（“＜”“＞”“≤”“≥”）表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。

不等号主要包括：＞、＜、 ≥ 、 ≤ 、 ≠ 。

2、不等式的解：使不等式左右两边成立的未知数的值，叫做不等式的解。

3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（即未知数的取值范围）。

4、解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧与实际问题组一元一次不等式法一元一次不等式组的解不等式组一元一次不等式组性质性质性质不等式的性质一元一次不等式不等式的解集不等式的解不等式不等式相关概念不等式与不等式组)(3215、不等式的解集可以在数轴上表示，分三步进行：①画数轴②定界点③定方向。

规律：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，等于用实心圆点，不等于用空心圆圈。

（二、）不等式的基本性质不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。

用字母表示为：如果b a >，那么c b c a ±>±；如果b a <，那么c b c a ±<± ；不等式的性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

用字母表示为：如果0,>>c b a ，那么bc ac >(或cb c a >)；如果0,><c b a ，不等号那么bc ac <(或cb c a <)；不等式的性质3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，的方向改变。

用字母表示为：如果0,<>c b a ，那么bc ac <(或cb c a <)；如果0,<<c b a ，那么bc ac >(或cb c a >)；解不等式思想——就是要将不等式逐步转化为x a 或x ＜a 的形式。

人教版七年级数学下册第九章不等式与不等式组一元一次不等式第2课时实际问题与一元一次不等式

A．58 B．59 C．60 D．61 4．(舞钢市期末)小张购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，费用不超过100元钱，设小张买了x支钢笔，则x应满足的不等式是 _5_x_＋__2_(_3_0_－__x_)≤_1_0_0__．
5．(2021·焦作期末)一种苹果的进价是每千克1.9元，销售中估计有5%的苹果正常损耗，商家把售价至少定为__2__元，才能避免亏本．
解：因为1.5×10＝15＜25，所以小明家这个月的用水量超过10立方米．设小明家这个月的用水量至少为x立方米，根据题意有15＋2(x－10)≥25，解得x≥15，答：他家这个月的用水量至少是15立方米
11．(2021·河北)已知训练场球筐中有A，B两种品牌的乒乓球共101个，设A品牌乒乓球有x个．
(1)淇淇说：“筐里B品牌球是A品牌球的两倍．”嘉嘉根据她的说法列出了方程：101－x＝2x.请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确；
(2)据工作人员透露：B品牌球比A品牌球至少多28个，试通过列不等式的方法说明A品牌球最多有几个．
解：(1)嘉嘉所列方程为 101－x＝2x，解得 x＝3323 ，又∵x 为整数，∴x＝3323 不合题意，∴淇淇的说法不正确 (2)设A品牌乒乓球有x个，则B品牌乒乓球有(101－x)个，依题意，得101－x－ x≥28，解得x≤36.5，又∵x为整数，∴x可取的最大值为36.答：A品牌球最多有36 个
8．红旗中学组织本校师生参加红色研学实践活动，现租用11辆甲、乙两种型号的大客车(每种型号至少一辆)送549名学生和11名教师参加此次实践活动．
甲、乙两种型号的大客车的载客量如表所示：
则最多可以租用多少辆甲种型号大客车？有几种租车方案？
解：设租用x辆甲种型号大客车，则租用(11－x)辆乙种型号大客车，依题意得： 40x＋55(11－x)≥549＋11，解得x≤3，∴x可以取的最大值为3.∵x为正整数，∴x＝ 1或2或3，∴有3种租车方案．答：最多可以租用3辆甲种型号大客车．有3种租车方案，方案1：租用1辆甲种型号大客车，10辆乙种型号大客车；方案2：租用2辆甲种型号大客车，9辆乙种型号大客车；方案3：租用3辆甲种型号大客车，8辆乙种型号大客车

人教版七年级数学下册《不等式的性质》不等式与不等式组PPT优秀课件

第九章不等式与不等式组
不等式的性质
学习目标
1.(课标)探索不等式的基本性质. 2.掌握不等式的三个性质并且能正确应用. 3.理解解不等式的概念. 4.(课标)能解数字系数的一元一次不等式.
知识要点
知识点一:不等式的性质 (1)不等式的性质1 文字语言:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变 . 符号语言:如果a＞b,那么a±c ＞ b±c.
4.(人教7下P119)用不等式表示下列语句并写出解集,并在数轴上表示解集: (1)x的3倍大于或等于1; (2)x与3的和不小于3; (3)y与1的差不大于0;
(4)y 的1小于或等于－2.
4
(1)3x≥1,即 x≥1
3
(3)y－1≤0,即 y≤1
数轴略.
(2)x＋3≥3,即 x≥0 (4)1y≤－2,即 y≤－8
★.(新题速递)(人教7下P121改编)根据等式和不等式的基本性质,我们可以得到比较两数大小的方法: 若a－b＞0,则a＞b;若a－b＝0,则a＝b; 若a－b＜0,则a＜b.反之也成立. 这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”. 请运用这种方法尝试解决下面的问题: 比较4＋3a2－2b＋b2与3a2－2b＋1的大小. 解:∵4＋3a2－2b＋b2－(3a2－2b＋1)＝b2＋3＞0, ∴4＋3a2－2b＋b2＞3a2－2b＋1.
数轴略.
(2)6x＜5x－1;
x＜－1
(4)1－1x≥x－2.
3
x≤9
4
8.【例4】(创新题)四个小朋友玩跷跷板,他们的体重分别为 P,Q,R,S,如图所示,则他们的体重大小关系是( D )
A.P＞R＞S＞Q C.S＞P＞Q＞R
B.Q＞S＞P＞R D.S＞P＞R＞Q

人教版初中数学不等式与不等式组基础知识点归纳总结

人教版初中数学不等式与不等式组基础知识点归纳总结单选题1、不等式组{3(x −1)>x −72x +2⩾3x的解集是（） A ．﹣2＜x≤2B ．x ＜﹣2C ．x≥2D ．无解答案：A解析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解不等式3(x ﹣1)＞x ﹣7，得：x ＞﹣2，解不等式2x+2≥3x ，得：x≤2，则不等式组的解集为﹣2＜x≤2，故选：A ．小提示：本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．2、下列说法中错误的是（）A ．不等式x +2≤3的整数解有无数个B ．不等式x +4<5的解集是x <1C ．不等式x <3的正整数解有限个D ．0是不等式2x <−1的解答案：D解析：逐一对选项进行分析即可．A. 不等式x +2≤3的解集为x ≤1 ，所以整数解有无数个，故正确；B. 不等式x +4<5的解集是x <1，故正确；C. 不等式x <3的正整数解为1，2，是有限个，故正确；D. 0不是不等式2x <−1的解，故错误；故选：D ．小提示：本题主要考查不等式的解集及解的个数，会解不等式是解题的关键．3、“x 的2倍与3的和是非负数”列成不等式为（）A ．2x +3≥0B ．2x +3>0C ．2x +3≤0D ．2x +3<0答案：A解析：非负数就是大于或等于零的数，再根据x 的2倍与3的和是非负数列出不等式即可.解：“x 的2倍与3的和是非负数”列成不等式为：2x +3≥0,故选：A.小提示：本题考查的是列不等式，掌握“非负数是正数或零，用不等式表示就是大于或等于零”是解题的关键.4、关于x 的方程4x-2m+1=5x-8的解是负数，则m 的取值范围是（）A ．m>92B ．m<0C ．m<92D ．m>0 答案：A解析：解：方程4x －2m ＋1＝5x －8的解为x ＝9－2m ．由题意得：9－2m ＜0，则m ＞92．故选A ．5、下列式子：①3＞0；②4x +5＞0；③x ＜3；④x 2+x ；⑤x ≠﹣4；⑥x +2＞x +1，其中不等式有（）个A ．3B ．4C ．5D ．6答案：C解析：根据不等式定义可得答案．①3＞0；②4x +5＞0；③x ＜3；⑤x ≠﹣4；⑥x +2＞x +1是不等式，共5个，故选C ．小提示：本题考查不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．6、关于x 的一元一次方程4x-m+1=3x-1的解是负数，则m 的取值范围是（）.A ．m=2B ．m ＞2C ．m ＜2D ．m≤2答案：C解析：∵方程x ﹣m +2=0的解是负数，∴x =m ﹣2＜0，解得：m ＜2，故选C ．7、下列某不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组是（）A ．{x −1<3x +1<3B ．{x −1<3x +1>3C ．{x −1>3x +1>3D ．{x −1>3x +1<3答案：B分析：先根据在数轴上表示不等式解集的方法得出该不等式组的解集，再找出符合条件的不等式组即可．详解：A、此不等式组的解集为x＜2，不符合题意；B、此不等式组的解集为2＜x＜4，符合题意；C、此不等式组的解集为x＞4，不符合题意；D、此不等式组的无解，不符合题意；故选B．点睛：本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，解答此类题目时一定要注意实心与空心圆点的区别，即一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点．8、不等式3x−1>x+1的解集在数轴上表示为( )A．B．C．D．答案：C解析：试题解析：由3x﹣1＞x+1，可得2x＞2，解得x＞1，所以一元一次不等式3x﹣1＞x+1的解在数轴上表示为：故选C．点睛：首先根据解一元一次不等式的方法，求出不等式3x﹣1＞x+1的解集，然后根据在数轴上表示不等式的解集的方法，把不等式3x﹣1＞x+1的解集在数轴上表示出来即可．9、用不等式表示：x 减去2的差的绝对值不大于32_________________．答案：|x −2|≤32解析：根据题意以及不等式的定义列不等式．解：x 减2的绝对值不大于32，列式：|x −2|≤32．故答案是：|x −2|≤32．小提示：本题考查列不等式，解题的关键是根据不等式的定义，找到题目中的不等关系进行列式．10、一次测验共出5道题，做对一题得一分，已知26人的平均分不少于4.8分，最低的得3分，至少有3人得4分，则得5分的有______ 人．答案：22解析：解：设得5分的人数为x 人，得3分的人数为y 人．则可得{x +y +3=265x +3y +12>26×4.8，解得：x ＞21.9． ∵一共26人，最低的得3分，至少有3人得4分，∴得5分最多22人，即x ≤22．∴21.9＜x ≤22且x 为整数，所以x =22．故得5分的人数应为22人．故答案为22．点睛：此题考查不等式组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．解题过程中一定要符合题目的意思，以事实为依据．11、已知不等式组{x >1x <a −1无解，则a 的取值范围为__．答案：a⩽2解析：求出不等式组中每个不等式的解集，根据已知即可得出关于a的不等式，即可得出答案．解：∵不等式组{x>1x<a−1无解，∴a−1⩽1，解得：a⩽2，所以答案是：a⩽2．小提示：本题考查了一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于a的不等式，题目比较好，难度适中．12、不等式组{2x−1<3−12x−1≤0的整数解的和为________．答案：-2解析：先根据一元一次不等式组解出x的取值，根据x是整数解得出x的可能取值，再相加．解：{2x−1<3①−12x−1≤0②，解不等式①得，x＜2；解不等式②得，x≥-2，∴不等式组的解集是：-2≤x＜2，∴不等式组的整数解是：-2，-1，0，1，∴整数解的和为-2-1+0+1=-2，所以答案是：-2．小提示：本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集．13、已知关于x的不等式3x-5k>-7的解集是x>1，则k的值为________.答案：2解析：试题分析：不等式可变形为：3x＞5k－7，x＞5k−7，3∵关于x的不等式3x－5k>－7的解集是x>1，∴5k−7＝1，3解得：k＝2．故答案为2．点睛：本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于k的方程是解题关键．解答题14、在平面直角坐标系中，若P、Q两点的坐标分别为P(x1,y1)和Q(x2,y2)，则定|x1−x2|和|y1−y2|中较小的一个（若它们相等，则任取其中一个）为P、Q两点的“直角距离小分量”，记为d min(P,Q)．例如：P(−2,3),Q(0,2)，因为x1=−2,x2=0,|x1−x2|=|−2−0|=2；y1=3,y2=2,|y1−y2|=|3−2|=1，而|3−2|<|−2−0|，所以d min(P,Q)=|3−2|=1．（1）请直接写出A(3,−2)和B(−1,1)的直角距离小分量d min(A,B)=_________；（2）点D是坐标轴上的一点，它与点C(3,−1)的直角距离小分量d min(C,D)=2，求出点D的坐标；（3）若点M(m+1,2m−2)满足以下条件：a）点M在第一象限；b）点M与点N(5,0)的直角距离小分量d min(M,N)<2c）∠MON>45°，O为坐标原点．请写出满足条件的整点（横纵坐标都为整数的点）M的坐标_______．答案：（1）3；（2）D(0,1)或D(0,−3)；（3）M(5,6)或(6,8)解析：（1）根据新概念求得即可；（2）分两种情况，根据“直角距离小分量”的定义得出即可；（3）根据题意得出{m+1>02m−2>0，解出m的取值范围，再由∠MON>45°可推导出K OM =2m−2m+1>1，解出m的取值范围，根据横纵坐标都为整数的点取m的值即可．解：（1）∵A(3,−2)，B(−1,1)，∴|3+1|=4>|−2−1|=3，∴d min(A,B)=3；故答案为3；（2）∵点D是坐标轴上的一点，若D在x轴上，设D(a,0)，由于|0+1|=1<2与题意矛盾，故点D是在y轴上的一点，设D(0,b)，|0−3|=3>2，∴|b+1|=2，解得：b=1或−3，∴D(0,1)或D(0,−3)；（3）由题意得：{m+1>02m−2>0，解得m>1，|m+1−5|=|m−4|,|2m−2−0|=2|m−1|，∴(m−4)2−[2(m−1)]2=−3m2+12，当1<m<2时，d min(M,N)=2|m−1|<2，解得：0<m<2，当m≥2时，d min(M,N)=|m−4|<2，解得：2<m<6，∴m的取值范围是：0<m<2或2<m<6，∵∠MON>45°恰好为l OM的倾斜角，∴K OM>1，K OM=2m−2m+1>1，解得：m<−1或m>3综上：m的取值范围是：3<m<6，∵横纵坐标都为整数，∴m=4和5，∴M(5,6)或(6,8)，所以答案是：M(5,6)或(6,8)．小提示：本题考查了坐标与图形的性质，解一元一次不等式组，解题的关键是根据新概念列出不等式组．15、求不等式2x+13≤3x−25+1的非负整数解．答案：不等式的非负整数解为0、1、2、3、4．解析：去分母，去括号，移项，合并同类项，即可得出不等式的解集．去分母得：5（2x +1）≤3（3x -2）+15，去括号得：10x +5≤9x -6+15，移项得：10x -9x ≤-5-6+15，合并同类项得x ≤4，∴不等式的非负整数解为0、1、2、3、4．小提示：考查了不等式的性质和解一元一次不等式，主要考查学生运用不等式的性质解一元一次不等式的能力.。

七年级数学第9章不等式与不等式组(整章知识详解)

X>-3
2、不等式组
X<2 X<5
的非负整数解是__0_,1____
方法：先求不等式(组)的解集，再确定整数解问题
七年级数学第9章不等式与不等式组
考点三:不等式（组）的特殊解
3.(烟台)不等式4－3x≥2x－6的非负整数
解是___0_,1__,2.
x 3≥0,
4.
（苏州）不等式组

x
2
考点四：求字母的取值范围
1. 如- -果- -不- - 等- - -式- -xxm5 有解，那么m的取值范围是
_m__<_5___.若无解，则m的取值范围是_m__≥_5___.
2.如
果
不
等
式
组xx
m m

1的 2
解
集
是x
-
1，
则m的取值范围是______.
.
不等式组的解集是x>m+2，有因解集是x>-1
所以 m+2= -1，即 m = -3
（较小）
(1)若不等式组
xm1 （较大无）解，则
x 2 m 1
m的取值范围为___m_____3_______
2m 2 m 1
(2)若不等式组
xБайду номын сангаас（1 较小的）解集为x>3，
x3 （较大）

3
的所有整数
解有（ B ）个
A、2
．
B、3
C、4
D、5
方法:先求不等式(组)的解集，再确定整数解的问题
（2 x-6）<3-x
①
求不等式组

人教版七年级数学下册作业课件章末复习(五) 不等式与不等式组

解：(1)设租用 A，B 两型客车，每辆费用分别是 x 元，y 元，43xx＋＋34yy＝＝1100730000，，解得xy＝＝11370000，，答：租用 A，B 两型客车，每辆费用分别是 1700 元，1300 元
(2) 设租用 A 型客车 a 辆，租用 B 型客车 b 辆，
解：将不等式x－2 5 ＋1＞x－3 两边同乘以 2，得 x－5＋2＞2x－6，解得 x＜3
8．解不等式x＋2 2 ＋1≥－2x＋ 3 1 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：去分母，得 3(x＋2)＋6≥－2(2x＋1)，去括号，得 3x＋6＋6≥－4x －2，移项，得 3x＋4x≥－2－6－6，合并同类项，得 7x≥－14，系数化为 1，得 x≥－2，将不等式解集表示在数轴上如下：
45a＋30b≥240，
a＝2， a＝4， a＝5，
1700a＋1300b≤10000，解得b＝5， b＝2， b＝1，
∴共有三种租车方案，方案一：租用 A 型客车 2 辆，B 型客车 5 辆，
费用为 9900 元，方案二：租用 A 型客车 4 辆，B 型客车 2 辆，费用为
解： (1) 设每个足球为 x 元，每个篮球为 y 元，根据题意得
7x＝5y，
x＝50，
40x＋20y＝3400，解得y＝70. 答：每个足球为 50 元，每个篮球为 70
元Байду номын сангаас
(2)设买篮球 m 个，则买足球(80－m)个，根据题意得：70m＋50(80
－m)≤4800，解得：m≤40.∵m 为整数，∴m 最大值为 40，答：最多能买
17．(2019·遵义)某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有A，B两种客车可供租用，A型客车每辆载客量 45人，B型客车每辆载客量30人．若租用4辆A型客车和3辆B型客车共需费用10700元；若租用3辆A型客车和4辆B型客车共需费用10300元．

人教版七年级下册数学不等式与不等式组知识点

不等式与不等式组知识点归纳上大附中何小龙一、不等式的概念1．不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

3．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

4．解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

5．用数轴表示不等式的解集。

二、不等式的基本性质1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。

②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。

例:1．已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰是1，2，3，则a 的取值范围是。

2．已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧-≥->-1250x a x 无解，则a 的取值范围是。

3．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+0221042x x 的整数解为。

4．如果关于x 的不等式（a-1）x<a+5和2x<4的解集相同，则a 的值为。

5．已知关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++>+01234a x x x 的解集为2<x ，那么a 的取值范围是。

6．当x 时，代数式52+x 的值不大于零7.若x <１，则22+-x ０（用“>”“=”或“”号填空）8.不等式x 27->１，的正整数解是9. 不等式x ->10-a 的解集为错误!未找到引用源。

<３，则a10.若a >b >c ，则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧c x b x ax 的解集是 11.若不等式组⎩⎨⎧--3212 b x a x 的解集是－１<x <１，则错误!未找到引用源。

人教版-数学-七年级-下册-不等式的性质

C. a<1
D. a<0
a<1
拓展提升
2.将物体“▲”的质量用 a 表示，物体“●”的质量用 b 表示，现已知 a<b，则下列四个天平的倾斜度一定正确的是( B )
b+a
a+a
拓展提升
3.若实数 a，b，c 在数轴上的位置如图所示，则下列不
等式成立的是( B )
c<0<a0 B. ac>bc a<b，c<0 C. a+c>b+c b>a，c<0 D. a+b<c+b a>c，b>0
拓展提升
-1 0
拓展提升
3.“春种一粒粟，秋收万颗子”，唐代诗人李绅这句诗中的“粟” 即谷子(去皮后则称为“小米”)，被誉为中华民族的哺育作物. 2020年，某省谷子种植面积已达 324 万亩，平均亩产量约为 320 kg.2021年，若该省谷子的平均亩产量仍保持 320 kg 不变，则要使谷子的年总产量不低于 108 万吨，该省至少应再多种植多少万亩的谷子？
我们知道解方程需要依据等式的性质，同样解不等式也可以依据不等式的性质进行，本节课我们就来学习怎样利用不等式的基本性质解不等式.
新知探究
知识点：不等式的性质的应用
分析：解不等式，就是要借助不等式的性质使不等式逐步化为 x>a 或 x<a (a 为常数)的形式.
新知探究
(1) x-7＞26；解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边加 7，不等号的方向不变，所以 x-7+7>26+7，即 x>33. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：

七年级数学下册第九章【不等式与不等式组】知识点总结(含答案)

一、选择题1．下列不等式的变形正确的是（）A ．由612m -<，得61m ，得1x >-C ．由03x >，得3x > D ．由412a -<，得3a >- 2．已知不等式组1113x a x -<-⎧⎪-⎨≤⎪⎩的解集如图所示（原点没标出，数轴单位长度为1），则a 的值为（）A ．﹣1B ．0C ．1D ．23．若关于x 的不等式组21x x a <⎧⎨>-⎩无解，则a 的取值范围是（） A ．3a ≤- B ．3a <-C ．3a >D ．3a ≥ 4．己知关于x ，y 的二元一次方程ax b y +=，下表列出了当x 分别取值时对应的y 值．则关于x 的不等式0ax b --<的解集为（） x …－2 －1 0 1 2 3 … y… 3 2 1 0 －1 －2 …A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x ＜0D ．x ＞05．某储运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往青岛，这列货车可挂,A B 两种不同规格的货厢50节.已知甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A 型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B 型货厢，按此要求安排,A B 两种货厢的节数，有几种运输方案（）A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种 6．不等式组10,{360x x -≤-<的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．7．已知x=2是不等式()()5320x ax a --+≤的解，且x=1不是这个不等式的解，则实数a 的取值范围是（）A ．a ＞1B ．a≤2C ．1＜a≤2D ．1≤a≤28．已知关于x 的方程9314x kx -=+有整数解，且关于x 的不等式组155222228x x x k x +⎧>+⎪⎪⎨-⎪≥-⎪⎩有且只有4个整数解，则不满足条件的整数k 为（）．A ．8-B ．8C ．10D ．269．爆破员要爆破一座旧桥，根据爆破情况，安全距离是70米（人员要撤到70米及以外的地方）．已知人员撤离速度是7米/秒，导火索燃烧速度是10.3厘米/秒，为了确保安全，这次爆破的导火索至少为（）A ．100厘米B ．101厘米C ．102厘米D ．103厘米 10．在数轴上，点A 2现将点A 沿数轴做如下移动，第一次点A 向左移动4个单位长度到达点1A ，第二次将点1A 向右移动8个单位到达点2A ，第三次将点2A 向左移动12个单位到达点3A ，第四次将点3A 向右移动16个单位长度到达点4A ，按照这种规律下去，第n 次移动到点n A ，如果点n A 与原点的距离不少于18，那么n 的最小值是（） A ．7 B ．8 C ．9 D ．1011．若关于 x?的不等式组2x 1x 3x a +<-⎧⎨>⎩无解，则实数 a?的取值范围是（） A ．a 4<- B ．a 4=- C ．a 4?≥- D ． a 4>-二、填空题12．对于实数x ，我们规定[]x 表示不大于x 的最大整数，例如[1.2]1,[3]3,[ 2.5]3==-=-，若4510x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则x 的取值可以是______________（任写一个）．13．若()a 1x a 1-<-的解集为x 1>，则a 的取值范围是________．14．若不等式(6)6m x m ->-，两边同除以(6)m -，得1x <，则m 的取值范围为__．15．若关于x 的不等式组25011222x x m +>⎧⎪⎨+⎪⎩，有四个整数解，则m 的取值范围是____________． 16．已知不等式组11x x a >⎧⎨<-⎩无解，则a 的取值范围为__． 17．已知：[]x 表示不超过x 的最大整数．例：[]4.84=，[]0.81-=-．现定义：{}[]x x x =-，例：{}[]1.5 1.5 1.50.5=-=，则{}{}{}3.9 1.81+--=________．18．已知点()6,29P m m --关于x 轴对称的点在第三象限，则m 的整数解是______． 19．若不等式2(x+3)>1的最小整数解是方程2x-ax=3的解，则a 的值为__________________. 20．若关于x 的不等式2310a x -->的最大整数解为2-，则实数a 的取值范围是_________． 21．关于x 、y 的二元一次方程组3234x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩的解满足x+y ＞2，则a 的取值范围为__________．三、解答题22．某木板加工厂将购进的A 型、B 型两种木板加工成C 型，D 型两种木板出售，已知一块A 型木板的进价比一块B 型木板的进价多10元，且购买2块A 型木板和3块B 型木板共花费220元．（1）A 型木板与B 型木板的进价各是多少元？（2）根据市场需求，该木板加工厂决定用不超过8780元购进A 型木板、B 型木板共200块，若一块A 型木板可制成2块C 型木板、1块D 型木板；一块B 型木板可制成1块C 型木板、2块D 型木板，且生产出来的C 型木板数量不少于D 型木板的数量的1113． ①该木板加工厂有几种进货方案？②若C 型木板每块售价30元，D 型木板每块售价25元，且生产出来的C 型木板、D 型木板全部售出，哪一种方案获得的利润最大，求出最大利润是多少？23．大润发超市用6800元购进A 、B 两种计算器共120只，这两种计算器的进价、标价如下表．（1）这两种计算器各购进多少只？（2）元旦活动期间，超市决定将A型计算器按标价的9折出售，为保证这批计算器全部售出后盈利不低于1400元，则B型计算器最多打几折出售？24．长沙市正在举行文化艺术节活动，一商店抓住商机，决定购进甲，乙两种艺术节纪念品．若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要400元；若购进甲种纪念品3件，乙种纪念品5件，需要650元．（1）求购进甲、乙两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进这两种纪念品共70件，其中乙种纪念品的数量不少于40件，考虑到资金周转，用于购买这70件纪念品的资金不能超过5750元，那么该商店共有几种进货方案？25．某企业在疫情复工准备工作中，为了贯彻落实“生命重于泰山，疫情就是命令，防控就是责任”的思想．计划购买300瓶消毒液，已知甲种消毒液每瓶30元，乙种消毒液每瓶18元．（1）若该企业购买两种消毒液共花费7500元，则购买甲、乙两种消毒液各多少瓶？（2）若计划购买两种消毒液的总费用不超过9600元，则最多购买甲种消毒液多少瓶？一、选择题1．定义一种新运算“a☆b”的含义为：当a≥b时，a☆b=a+b；当a＜b时，a☆b=a﹣b．例如：3☆（﹣4）=3+（﹣4）=﹣1，（-6）☆111(6)6222=--=-，则方程（3x﹣7）☆（3﹣2x）=2的解为x=（）A．1 B．125C．6或125D．62．如图是测量一物体体积的过程：步骤一：将180 mL的水装进一个容量为300 mL的杯子中；步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；步骤三：再将一个同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出.根据以上过程，推测一个玻璃球的体积在下列哪一范围内？(1 mL=1 cm3)().A．10 cm3以上，20 cm3以下B．20 cm3以上，30 cm3以下C．30 cm3以上，40 cm3以下D．40 cm3以上，50 cm3以下3．某储运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往青岛，这列货车可挂,A B两种不同规格的货厢50节.已知甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排,A B两种货厢的节数，有几种运输方案（）A．1种B．2种C．3种D．4种4．不等式组20240xx+>⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．不等式组10,{360xx-≤-<的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．6．不等式()2x 13x -≥的解集是（）A ．x 2≥B ．x 2≤C ．x 2≥-D ．x 2≤- 7．整数a 使得关于x ，y 的二元一次方程组931ax y x y -=⎧⎨-=⎩的解为正整数（x ，y 均为正整数），且使得关于x 的不等式组()1211931x x a ⎧+≥⎪⎨⎪-<⎩无解，则a 的值可以为（）A ．4B ．4或5或7C ．7D ．118．若a ＞b ，则下列式子正确的是（）A ．a +1＜b +1B ．a ﹣1＜b ﹣1C ．﹣2a ＞﹣2bD ．﹣2a ＜﹣2b 9．若m n <，则下列各式中正确的是（）A ．33m n +>+B ．33m n ->-C ．33m n ->-D ．33m n > 10．下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是（）A ．1x >-B ．12x -<≤C ．12x -≤<D ．1x >-或2x ≤ 11．若x (x +a )＝x 2﹣x ，则不等式ax +3＞0的解集是（）A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x ＞﹣3D ．x ＜﹣3二、填空题12．“鼠去牛来辞旧岁，龙飞凤舞庆明时．”在新年的钟声敲响之际，南开中学初2022级举行了元旦晚会．在晚会前，一、二、三班都组织购买了 A 、B 、C 三类糖果．已知一班分别购买 A 、B 、C 三类糖果各3千克、2千克、5千克，二班分别购买A 、B 、C 三类糖果各 2千克、1千克、4千克，且一班和二班购买糖果的总金额比值为3∶2．若三类糖果单价和为108元，且各单价是低于50元/千克的整数，A 与C 单价差大于25元．则三班分别购买A 、B 、C 三类糖果各2千克、3千克、4千克的总金额为______元．13．不等式组3241112x x x x ≤-⎧⎪⎨--<+⎪⎩的整数解是_________．14．“x 的4倍与1的差不大于3”用不等式表示为 ________________ ．15．若不等式组52355x x x a+≤-⎧⎨-+<⎩无解，则a 的取值范围是______. 16．由ac bc >得到a b <的条件是：c ______0（填“>”“<”或“=”）．17．小张同学在解一元一次不等式时，发现一个不等式右边的数被墨迹污染看不清了，所看到的部分不等式是13x -<■，他查看练习本后的答案知道这个不等式的解是2x >，则被污染的数是__________．18．不等式组2021x x x -≥⎧⎨>-⎩的最小整数解是________． 19．把方程组2123x y m x y +=+⎧⎨+=⎩中，若未知数x y 、满足0x y +>，则m 的取值范围是_________．20．若不等式组0122x a x x +≥⎧⎨->-⎩恰有四个整数解，则a 的取值范围是_________. 21．不等式组20210x x +>⎧⎨-≤⎩的所有整数解的和是_____________ 三、解答题22．解不等式组2536x x +<⎧⎨-<⎩，并把解集在数轴上表示出来．23．入汛以来，我国南方地区发生多轮降雨，造成的多地发生较重洪涝灾害．某爱心机构将为一受灾严重地区捐赠的物资打包成件，其中帐篷和食品共320件，帐篷比食品多80件．（1）求打包成件的帐篷和食品各多少件？（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批帐篷和食品全部运往受灾地区．已知甲种货车最多可装帐篷40件和食品10件，乙种货车最多可装帐篷和食品各20件．安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；（3）在第（2）问的条件下，如果甲种货车每辆需付运输费2000元，乙种货车每辆需付运输费1800元，应选择哪种方案可使运输费最少？最少运输费是多少元？24．一直关于x 的不等式()1a x 2-＞两边都除以1a -，得2x 1a<-．（1）求a 的取值范围；（2）试化简1a a 2-++．25．（1）解方程组26m n m n =⎧⎨+=⎩ （2）解不等式组26015a a +<⎧⎨-≤⎩（3）计算：()33532a a a a ⋅⋅+ （4）计算：()()34++x x一、选择题1．已知关于x 的不等式组5210x x a -≥-⎧⎨->⎩无解，则a 的取值范围是（） A ．a ＜3 B ．a ≥3C ．a ＞3D ．a ≤3 2．下列各式中正确的是（）A ．若a b >，则11a b -<-B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，且0c ≠，则ac bc >D ．若||||a b c c >，则a b > 3．下列不等式的变形正确的是（）A ．由612m -<，得61m ，得1x >-C ．由03x >，得3x > D ．由412a -<，得3a >- 4．已知点()3,2P a a --关于原点对称的点在第四象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是（）．A ．B ．C ．D ．5．不等式组3114x x +>⎧⎨-≤⎩的最小整数解是（） A ．5B ．0C ．-1D ．-2 6．不等式325132x x ++≤-的解集表示在数轴上是（） A ． B ．C ．D ．7．如果点P(m ，1m -)在第四象限，则m 的取值范围是（）A ．0m >B ．01m <<C ．1m <D ．1m8．下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是（）A ．1x >-B ．12x -<≤C ．12x -≤<D ．1x >-或2x ≤ 9．若01x <<，则下列选项正确的是（）A ．21x x x <⎩无解，则实数 a?的取值范围是（） A ．a 4<- B ．a 4=- C ．a 4?≥- D ． a 4>-二、填空题12．“鼠去牛来辞旧岁，龙飞凤舞庆明时．”在新年的钟声敲响之际，南开中学初2022级举行了元旦晚会．在晚会前，一、二、三班都组织购买了 A 、B 、C 三类糖果．已知一班分别购买 A 、B 、C 三类糖果各3千克、2千克、5千克，二班分别购买A 、B 、C 三类糖果各 2千克、1千克、4千克，且一班和二班购买糖果的总金额比值为3∶2．若三类糖果单价和为108元，且各单价是低于50元/千克的整数，A 与C 单价差大于25元．则三班分别购买A 、B 、C 三类糖果各2千克、3千克、4千克的总金额为______元．13．若不等式(6)6m x m ->-，两边同除以(6)m -，得1x <，则m 的取值范围为__．14．不等式组2x a x >⎧⎨>⎩的解为2x >，则a 的取值范围是______． 15．若||1(2)3m m x --=是关于x 的一元一次方程，则m 的值是___________． 16．不等式组233225x x x -≥⎧⎨+>-⎩的解集是__________． 17．令a 、b 两个数中较大数记作{}max ,a b 如{}max 2,33=，已知k 为正整数且使不等式{}max 21,33k k +-+≤成立，则关于x 方程21136x k x ---=的解是_____________． 18．绝对值小于π的非负整数有____________．19．定义一种法则“⊗”如下：()()a ab a b b a b >⎧⊗=⎨≤⎩，如：122⊗=，若(25)33m -⊗=，则m 的取值范围是_______．20．若a b >0，c b<0，则ac________0. 21．关于x 、y 的二元一次方程组3234x y a x y a+=+⎧⎨+=-⎩的解满足x+y ＞2，则a 的取值范围为__________．三、解答题22．某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A 、B 两种型号的污水处理设备共10台，具体情况如下表：经预算，企业最多支出136万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于2150吨．（1）该企业有哪几种购买方案？（2）哪种方案更省钱？并说明理由．23．解不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来．（1）432136x x -+>-；（2）2(1)0210x x +<⎧⎨-⎩． 24．阅读：我们知道，00a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩于是要解不等式|3|4x -≤，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：解：（1）当30x -≥，即3x ≥时：34x -≤解这个不等式，得：7x ≤由条件3x ≥，有：37x ≤≤（2）当30x -<，即3x <时，(3)4x --≤解这个不等式，得：1x ≥-由条件3x <，有：13x -≤<∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为17x -≤≤根据以上思想，请探究完成下列2个小题：（1）|1|2x +≤；（2）|2|1x -≥．25．某市出租车的计费标准如下：行程3km 以内（含3km ），收费7元．行程超过3km ，如果往返乘同一出租车并且中间等候时间不超过3min ，超过3km 的部分按每千米1.6元计费，另加收1.6元等候费；如果返程时不再乘坐此车，超过3km 的部分按每千米2.4元计费．小文等4人从A 处到B 处办事，在B 处停留时间在3min 之内，然后返回A 处．现在有两种往返方案：方案一：去时4人同乘一辆出租车，返回都乘公交车（公交车票为每人2元）；方案二：4人乘同一辆出租车往返．（1）若A ，B 两地相距1.2km ，方案一付费_____元，方案二付费______元；（2）若A ，B 两地相距2.5km ，方案一付费_____元，方案二付费______元；（3）设A ，B 两地相距x km （x ＜12），请问选择那种方案更省钱？。

上海建平中学西校七年级数学下册第九单元《不等式与不等式组》知识点(专题培优)

一、选择题1．定义一种新运算“a ☆b ”的含义为：当a ≥b 时，a ☆b =a +b ；当a ＜b 时，a ☆b =a ﹣b ．例如：3☆（﹣4）=3+（﹣4）=﹣1，（-6）☆111(6)6222=--=-，则方程（3x ﹣7）☆（3﹣2x ）=2的解为x=（）A ．1B ．125C ．6或125D ．6D解析：D【分析】分3x-7≥3-2x 和3x-7＜3-2x 两种情况，依据新定义列出方程求解可得．【详解】解：当3x ﹣7≥3﹣2x ，即x ≥2时，由题意得：（3x ﹣7）+（3﹣2x ）=2，解得：x =6；当3x ﹣7＜3﹣2x ，即x ＜2时，由题意得：（3x ﹣7）﹣（3﹣2x ）=2，解得：x =125（不符合前提条件，舍去）， ∴x 的值为6．故选：D ．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式及一元一次方程，解题的关键是根据新定义列出关于x 的不等式及解一元一次不等式、一元一次方程的能力．2．若关于x 的不等式组21x x a <⎧⎨>-⎩无解，则a 的取值范围是（） A ．3a ≤-B ．3a <-C ．3a >D ．3a ≥ D 解析：D【分析】利用不等式组取解集的方法：大大小小找不到即可得到a 的范围．【详解】∵关于x 的不等式组21x x a <⎧⎨>-⎩无解， ∴a-1≥2,∴a≥3.故选:D.【点睛】考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．3．已知点()3,2P a a --关于原点对称的点在第四象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是（）．A ．B ．C ．D ． C 解析：C【分析】根据点()3,2P a a --关于原点对称的点在第四象限，可得点P 在第二象限，因此就可列出不等式，解不等式可得a 的取值范围.【详解】解：∵点()3,2P a a --关于原点对称的点在第四象限，∴点()3,2P a a --在第二象限，∴3020a a -<⎧⎨->⎩，解得：2a <．则a 的取值范围在数轴上表示正确的是：．故选C ．【点睛】本题主要考查不等式的解法，根据不等式的解集，在数轴上表示即可,关键在于点P 的坐标所在的象限.4．不等式组20240x x +>⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（） A ． B ．C ．D ．C 解析：C【解析】分析：先求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．详解：解不等式x+2＞0，得：x ＞-2，解不等式2x-4≤0，得：x≤2，则不等式组的解集为-2＜x≤2，将解集表示在数轴上如下：故选C．点睛：本题主要考查解一元一次不等式组，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．5．不等式组64325xx x-<⎧⎨≥+⎩的解集是（）A．x≥5B．x≤5C．x＞3 D．无解A 解析：A【分析】先分别求出每个不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可．【详解】解：643 25xx x-<⎧⎨≥+⎩，解不等式①得：x＞34，解不等式②得：x≥5，所以不等式组的解集是x≥5，故答案为A．【点睛】本题考查了解不等式组，正确求解每一个不等式和确定不等式组的解集是解答本题的关键．6．不等式组3114xx+>⎧⎨-≤⎩的最小整数解是（）A．5 B．0 C．-1 D．-2C解析：C【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来，写出这个不等式组的最小整数解即可．【详解】解：3114 xx+>⎧⎨-≤⎩①②解不等式①得 x＞-2，解不等式②得x≤5，所以不等式组的解集为-2＜x≤4，所以，这个不等式组的最小整数解是-1，故选C．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．7．如果不等式组5x x m <⎧⎨>⎩有解，那么m 的取值范围是（） A ．m ＞5B ．m≥5C ．m ＜5D ．m≤8C 解析：C【解析】∵不等式组有解， ∴m ＜5．故选C ．【方法点睛】本题主要考查的是不等式的解集，依据口诀列出不等式是解题的关键． 8．若关于x 的方程 332x a += 的解是正数，则a 的取值范围是（）A ．23a C ．a 为任何实数D ．a 为大于0的数A 解析：A【分析】先解方程，再结合题意列出不等式，解之即可得出答案.【详解】解：∵3x+3a=2，∴x=233a - ，又∵方程的解为正数，∴233a -＞0， ∴a ＜23. 故选：A.【点睛】本题考查一元一次不等式与一元一次方程的综合运用，正确理解一元一次方程解的意义及熟练求解一元一次不等式是解题关键．9．若0a <，则关于x 的不等式221ax x -<+的解集为（）A ．32x a <- B ．32x a >- C ．32x a >- D ．32x a <- B 解析：B【分析】先移项，再合并，最后把系数化为1，即可求出答案．【详解】移项，得：212ax x -<+，合并同类项得：(2)3a x -<，∵0a <，∴20a -<， ∴32x a >-，故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解法，要注意系数化为1时，因为0a <，所以不等号的方向要改变．10．已知关于x 的方程：24263a x x x --=-的解是非正整数，则符合条件的所有整数a 的值有（）种．A ．3B ．2C ．1D ．0A解析：A【分析】先用含a 的式子表示出原方程的解，再根据解为非正整数，即可求得符合条件的所有整数a ．【详解】解：24263a x x x --=- ()264212--=-x a x x264+212-=-x a x x ()24+8=-a x 284+=-x a ∵方程的解是非正整数， ∴2804+-≤a ∴2804+≥a∴24+=1a 或2或4或8∴a=0或2或-2，共3个故选：A【点睛】本题考查了一元一次方程的解法及解不等式，根据方程的解为非正整数列出关于a 的不等式是解题的关键．二、填空题11．如果点P （3m +6，1+m ）在第四象限，那么m 的取值范围是_____．﹣2＜m ＜﹣1【分析】根据各象限内坐标符号特征列出不等式组然后解不等式组即可解答【详解】解：∵点P （3m+61+m ）在第四象限∴即解得：﹣2＜m ＜﹣1故答案为：﹣2＜m ＜﹣1【点睛】本题考查各象限内解析：﹣2＜m ＜﹣1【分析】根据各象限内坐标符号特征列出不等式组，然后解不等式组即可解答【详解】解：∵点P （3m +6，1+m ）在第四象限，∴3601+0m m +>⎧⎨<⎩即21m m >-⎧⎨<-⎩，解得：﹣2＜m ＜﹣1，故答案为：﹣2＜m ＜﹣1．【点睛】本题考查各象限内坐标符号特征、解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标符号特征是解答的关键．12．“x 的4倍与1的差不大于3”用不等式表示为 ________________ ．4x-13【分析】的4倍与1的差即4x-1不大于就是据此列不等式【详解】由题意得4x-13故答案为：4x-13【点睛】此题考查列不等式正确理解语句是解题的关键解析：4x-1≤3，【分析】x 的4倍与1的差即4x-1，不大于就是≤，据此列不等式．【详解】由题意得4x-1≤3，故答案为：4x-1≤3．【点睛】此题考查列不等式，正确理解语句是解题的关键．13．已知关于x 的不等式6m x <<的整数解共有3个，则m 的取值范围为_____________．【分析】首先写出连续3小于6的整数然后即可判断m 的取值范围【详解】由题意得：符合题意的整数解为543∴m 不能取值3可以取值2∴故答案为【点睛】本题考查了解不等式难度较低主要考查学生对不等式组知识点的解析：23m ≤<【分析】首先写出连续3小于6的整数，然后即可判断m 的取值范围．【详解】由题意得：符合题意的整数解为5,4,3∴m 不能取值3，可以取值2∴23m ≤<故答案为23m ≤<．【点睛】本题考查了解不等式，难度较低，主要考查学生对不等式组知识点的掌握．整理出x 的取值范围分析整数解情况为解题关键．14．不等式组2x a x >⎧⎨>⎩的解为2x >，则a 的取值范围是______．【分析】根据不等式组的公共解集即可确定a 的取值范围【详解】由不等式组的解为可得故答案为：【点睛】本题主要考查了不等式组的解法关键是熟练掌握不等式组解集的确定：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大解析：2a ≤【分析】根据不等式组的公共解集即可确定a 的取值范围．【详解】由不等式组2x a x >⎧⎨>⎩的解为2x >，可得2a ≤．故答案为：2a ≤．【点睛】本题主要考查了不等式组的解法，关键是熟练掌握不等式组解集的确定：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．15．关于x 的不等式2x -a ≤-3的解集如图所示，则a 的值是______ ．1【分析】首先用a 表示出不等式的解集然后解出a 【详解】∵2x-a≤-3∴x≤∵x≤-1∴a=1故答案为1【点睛】不等式的解集在数轴上表示出来的方法：＞空心圆点向右画折线≥实心圆点向右画折线＜空心圆点解析：1【分析】首先用a 表示出不等式的解集，然后解出a ．【详解】∵2x-a≤-3，∴x≤32a -， ∵x≤-1，∴a=1．故答案为1．【点睛】不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．16．小张同学在解一元一次不等式时，发现一个不等式右边的数被墨迹污染看不清了，所看到的部分不等式是13x -<■，他查看练习本后的答案知道这个不等式的解是2x >，则被污染的数是__________．−5【分析】设被污染的数为a 表示出不等式的解集根据已知解集确定出a 的值即可【详解】解：设被污染的数为a 不等式为1−3x ＜a 解得：x ＞由已知解集为x ＞2得到＝2解得：a ＝−5故答案为：−5【点睛】此题解析：−5【分析】设被污染的数为a ，表示出不等式的解集，根据已知解集确定出a 的值即可．【详解】解：设被污染的数为a ，不等式为1−3x ＜a ．解得：x ＞1-3a ，由已知解集为x ＞2，得到1-3a ＝2，解得：a ＝−5，故答案为：−5【点睛】此题考查了不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．若||2x =，||3y =，且0x y +<，则x y -值为______．1或5【分析】由已知可以得到x=2或-2y=3或-3然后对xy 的取值进行分类讨论找出使x+y<0的取值组合即可求得x-y 的值【详解】解：∵|x|=2|y|=3∴x=2或-2y=3或-3（1）当x=2 解析：1或5【分析】由已知可以得到x=2或-2，y=3或-3，然后对x 、y 的取值进行分类讨论，找出使x+y<0的取值组合，即可求得x-y 的值．【详解】解：∵|x|=2，|y|=3，∴x=2或-2，y=3或-3，（1）当x=2时，要使x+y<0 ，必须y=-3，此时x-y=2-(-3)=2+3=5；（2）当x=-2时，要使x+y<0 ，必须y=-3，此时x-y=-2-(-3)=-2+3=1；故答案为1或5．【点睛】本题考查绝对值、不等式和有理数加减法的综合应用，熟练掌握绝对值、不等式、有理数加减法及分类讨论的思想是解题关键．18．在实数范围内规定一种新的运算“☆”，其规则是：a ☆b=3a+b ，已知关于x 的不等式：x ☆m>1的解集在数轴上表示出来如图所示．则m 的值是________ ．-2【分析】根据新运算法则得到不等式3通过解不等式即可求的取值范围结合图象可以求得的值【详解】∵☆∴根据图示知已知不等式的解集是∴故答案为：【点睛】本题主要考查了数轴上表示不等式的解集及解不等式本题解析：-2【分析】根据新运算法则得到不等式31x m +>，通过解不等式即可求m 的取值范围，结合图象可以求得m 的值．【详解】∵x ☆ 31m x m =+>， ∴13m x ->，根据图示知，已知不等式的解集是1x >，∴113m -=，故答案为：2m =-．【点睛】本题主要考查了数轴上表示不等式的解集及解不等式，本题的关键是理解新的运算方法． 19．若关于x 的不等式2x ﹣m≥1的解集如图所示，则m ＝_____．3【分析】根据不等式的解集可得关于m 的方程根据解方程可得答案【详解】解：解不等式得x≥由不等式的解集是x≥2得＝2解得m ＝3故答案为：3【点睛】本题主要考查的是一元一次不等式的解法将数轴和不等式结合解析：3【分析】根据不等式的解集，可得关于m 的方程，根据解方程，可得答案．【详解】解：解不等式得x≥12+m ，由不等式的解集是x≥2，得12+m ＝2，解得m ＝3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查的是一元一次不等式的解法，将数轴和不等式结合起来观察是解题的关键． 20．若关于x 的一元一次不等式组21122x a x x ->⎧⎨->-⎩的解集是21x -<<，则a 的取值是__________．【分析】表示出不等式组中两不等式的解集根据x 的范围确定出a 的值即可【详解】解不等式得解不等式得∵不等式组的解集为解得：故答案为：【点睛】本题考查了解一元一次不等式组能根据不等式的解集和已知得出关于的解析：5a =-【分析】表示出不等式组中两不等式的解集，根据x 的范围确定出a 的值即可．【详解】解不等式21x a ->得12a x +>，解不等式122x x ->-得1x <，∵不等式组的解集为21x -<<，122a +=-，解得：5a =-．故答案为：5a =-．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和已知得出关于a 的方程是解此题的关键．三、解答题21．用一张面积为2400cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一个长宽之比为3:2的长方形纸片（裁剪方式见示意图）该长方形纸片的面积可能是2300cm 吗？请通过计算说明．解析：不可能，理由见解析【分析】设出长方形的长和宽，根据长方形的面积列不等式组确定x 的取值范围，再确定长方形面积的取值范围即可得出答案．【详解】设长方形长和宽分别为3x cm 、2x cm ，∵正方形的面积为2400cm ，∴正方形边长为20cm ，3202200x x x ≤⎧⎪∴≤⎨⎪>⎩，解得2003x <≤， 22202400236630039S x x x ⎛⎫∴=⋅=≤⨯=< ⎪⎝⎭长方形， ∴不可能．【点睛】本题考查矩形面积的计算方法，不等式组的应用，确定长方形边长及面积的取值范围是得出答案的关键．22．解不等式组253(2)13212x x x x +≤+⎧⎪⎨+-≤⎪⎩，并把不等式组的解集在数轴上表示出来，写出不等式组的非负整数解．解析：﹣1≤x ≤3，非负整数解为3，2，1，0．【分析】分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集即可，再找出解集范围内的非负整数即可．【详解】解：()253213212x x x x ⎧+≤+⎪⎨+-≤⎪⎩，①．②，由①得：x ≥﹣1，由②得：x ≤3，不等式组的解集为：﹣1≤x ≤3．在数轴上表示为：．∴不等式组的非负整数解,3，2，1，0．【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式（组），解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．23．解不等式组：124(3)21223x x x x --≥⎧⎪-⎨+>⎪⎩．解析：不等式组的解集为：-1＜x≤4．【分析】先求出每一个不等式的解集，再求出其公共解集即可．【详解】124(3)2(1)122(2)3x x x x --≥⎧⎪-⎨+>⎪⎩，（1）去括号得，12−4x ＋12≥2x ，移项、合并同类项得，−6x≥−24，解得，x≤4；（2）去分母得，3（x+2）＞1−2x ，去括号得，3x+6＞1−2x ，移项、合并同类项得，5x ＞-5，化系数为1得，x ＞-1．∴不等式组的解集为：-1＜x≤4．【点睛】主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．24．解不等式组()41713843x x x x ⎧+≤+⎪⎨--<⎪⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．解析：-3≤x ＜2，数轴表示见解析【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解：()41713843x x x x ⎧+≤+⎪⎨--<⎪⎩①② 解不等式①，得：x≥-3，解不等式②，得：x ＜2，则不等式组的解集为-3≤x ＜2，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．25．解不等式或不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．（1）解不等式2151132x x-+-≥，并把它的解集在数轴上表示出来．（2）解不等式组233311362x xx x+>⎧⎪+-⎨-≥⎪⎩．解析：（1）x≤﹣1，数轴见解析；（2）﹣4≤x＜3【分析】（1）求出不等式的解集，表示在数轴上即可；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解，来确定不等式组的解集．【详解】解：（1）去分母得：2（2x﹣1）﹣3（5x +1）≥6，去括号得：4x﹣2﹣15x﹣3≥6，移项合并得：﹣11x≥11，解得：x≤﹣1，（2）233311362x xx x+>⎧⎪⎨+--≥⎪⎩①②，由①得：x＜3，由②得：x≥﹣4，∴不等式组的解集为﹣4≤x＜3．【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟练掌握运算法则是解本题的关键．26．解不等式（组），并在数轴上表示解集：（1）解不等式：4x1x1 3-->；（2）解不等式组：3x x 2,12x x 1.3-≥⎧⎪+⎨>-⎪⎩ 解析：（1）x 4>，在数轴上表示不等式的解集如图见解析；（2）1x 4≤<；在数轴上表示不等式组的解集如图见解析．【分析】（1）去分母，移项，合并同类项，最后在数轴上表示出不等式的解集即可；（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，最后在数轴上表示出不等式的解集即可．【详解】解：（1）解不等式：4x 1x 13--> 去分母，得：4x 13x 3-->，移项，得：4x 3x 31->+，合并同类项，得：x 4>.在数轴上表示不等式的解集如下：（2）3x x 2, 12x x 1,3-≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩①② 解不等式①得：x 1≥，解不等式②得：x 4<，所以不等式组的解集为1x 4≤<．在数轴上表示不等式组的解集如下：【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．27．11月份，是猕猴桃上市的季节，猕猴桃酸甜，含有丰富的维生素c 和大量的营养元素．万州某水果超市的红心猕猴桃与黄心猕猴桃这两种水果很受欢迎，红心猕猴桃售价12元/千克，黄心猕猴桃售价9元/千克．（1）若第一周红心猕猴桃的销量比黄心猕猴桃的销量多200千克，要使这两种水果的总销售额不低于6600元，则第一周至少销售红心猕猴桃多少千克？（2）若该水果超市第一周按照（1）中红心猕猴桃和黄心猕猴桃的最低销量销售这两种水果，并决定第二周继续销售这两种水果，第二周红心猕猴桃售价不变，销量比第一周增加了43a%，黄心猕猴桃的售价保持不变，销量比第一周增加了13a%，结果这两种水果第二周的总销售额比第一周增加了711a %的基础上还多了280元，求a 的值．解析：（1）第一周至少销售红心猕猴桃400千克；（2）a 的值为10．【分析】（1）设第一周销售红心猕猴桃x 千克．则黄心猕猴桃（x ﹣200）千克，根据总价=单价×数量结合总销售额不低于6600元，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其中最小值即可得出结论；（2）根据总价=单价×数量，结合两种水果第二周的总销售额比第一周增加了711a %的基础上还多了280元，即可得出关于a 的一元一次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】（1）设第一周销售红心猕猴桃x 千克．则黄心猕猴桃（x ﹣200）千克，根据题意得：12x+9(x ﹣200)≥6600，解得：x≥400，答：第一周至少销售红心猕猴桃400千克；（2）根据题意得：12×400(1+43a%)+9×200(1+13a%)＝6600(1+711a %)+280，解得：a=10．答：a 的值为10．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．28．解方程或不等式（组）（1）2(21)1690x --=．（2）211143x x +-+．（3）421223x x x x +⎧-<⎪⎨⎪-⎩ 解析：（1）7x =或6x =-；（2）52x；（3）12x -<．【分析】（1）用直接开平方解方程即可；（2）去括号，去分母，移项合并同类项，系数化为1，即可解；（3）分别解出两个不等式，再找公共部分即可．【详解】解：（1）2(21)1690x --=∴2(21)169x -=∴2x-1是169的平方根，∴2113x -=±∴2113x -=或2113x -=-，∴214x =或212x =-∴7x =或6x =-．故7x =或6x =-．（2）211143x x +-+ ∴3(21)4(1)12x x +-+ ∴634412x x +-+∴25x∴52x （3）421223x x x x +⎧-<⎪⎨⎪-⎩①②， ①式化简424x x -<+，∴36x <，∴2x <．②式化简22x -，∴1x -∴12x -<．【点睛】本题考查了利用平方根方程及一元一次不等式（组）的解法，熟悉平方根定义及一元一次不等式的解法步骤是解题关键．。

七年级数学下册第9章不等式与不等式组9.2.2再探实际问题与一元一次不等式的应用(图文详解)

并,系数化为1。
解：去分母，得去括号，得移项，得合并，得
2(2x+1) ≤6+9(x-1)
4x+2 ≤6+9x49x-9x ≤6-9-2
-5x ≤-5
系数化为1，得 x ≥1
七年级数学第9章不等式与不等式组将不等式的解集在轴上表示为:
01
x
归纳:
解一元一次不等式的一般步骤: 去分母
去括号移项合并
当Y1 > Y2 即100+0.9(X-100) > 50+0.95(X-50) 时，X ＜ 150
议一
故宫博议物院门票是每位10元,20人以上(含20人)的
团体票8折优惠.现有18位同学结伴去博物院,当领队小华准备好了零钱到售票处买18张票时,李明喊住了他: “买20张吧!”小华困惑了:18人买20张不是浪费吗? 你认为呢?为什么? 此外,不足20人时,多少人买20张的团体票比普通票便宜?
在甲店累计购买100元商品后，再购买的商品按原价的 90%收费；在乙店累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费，顾客怎样选择商店购物能获得最大优惠。
(3) 如果累计购物超过100元,那么在甲店花费一定少吗?
解:设累计购物X元(X>100)
在甲店购物花费：Y1 ＝ 100+0.9(X-100) 在乙店购物花费：Y2 ＝ 50+0.95(X-50)
购物花费小;累计购物150元时,在两店购物花费一样; 累计购物超过150元时,在甲店购物花费小.
甲、乙两商店以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：
在甲店累计购买100元商品后，再购买的商品按原价的90%收费；在乙店累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费，顾客怎样选择商店购物能获得最大优惠。

人教版数学七年级下册知识重点与单元测-第九章9-4一元一次不等式组(能力提升)

第九章不等式与不等式（组）9.4 一元一次不等式组（能力提升）【要点梳理】知识点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如2562010xx->⎧⎨-<⎩，7021163159xxx->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩等都是一元一次不等式组．要点诠释：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．要点二、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．要点诠释：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．要点三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．要点诠释：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．【典型例题】类型一、不等式组的概念例1．解不等式组3(2)4 121.3x xxx--≤-⎧⎪+⎨>-⎪⎩【思路点拨】按照解不等式组的基本步骤进行求解就可以了．【答案与解析】解：解不等式①，得x≥1解不等式②，得x＜4所以，不等式组的解集是1≤x＜4．【总结升华】求出不等式①、②的解集后，应取其公共部分作为不等式组的解集．举一反三：【变式】解不等式组3(2)423x xa xx--<⎧⎪+⎨≥⎪⎩无解．则a的取值范围是 ( )A．a＜1 B．a≤l C．a＞1 D．a≥1 【答案】B例2. 不等式组3(2)5(4) 2 (1)562(2)1, (2)32211 (3)23x xxxx x⎧⎪++-<⎪+⎪+≥+⎨⎪++⎪-≤⎪⎩是否存在整数解？如果存在请求出它的解；如果不存在要说明理由.【思路点拨】解这类问题的第一步是分别求出各个不等式的解集；第二步借助数轴以确定不等式组的公共解集；最后看公共解集中是否存在整数解.【答案与解析】解：解不等式（1），得：x＜2；解不等式（2），得：x≥-3；解不等式（3），得：x≥-2；在数轴上分别表示不等式（1）、（2）、（3）的解集：∴原不等式组的解集为：-2≤x＜2.∴原不等式组的整数解为：-2、-1、0、1.【总结升华】求不等式组的解集就是求不等式组中所有不等式解集的公共部分.对于三个以上的不等式有时不容易得到公共解集，于是常常借助数轴的直观性，这样较容易确定其解集.在数轴上表示点的位置，要注意空心圈与实心圆点的不同用法.举一反三：【变式】解不等式组，并写出它的所有非负整数解．【答案】解：，由①得：x≥﹣2；由②得：x ＜，∴不等式组的解集为﹣2≤x＜，则不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3．例3.试确定实数a的取值范围．使不等式组123544(1)33x xax x a+⎧+>⎪⎪⎨+⎪+>++⎪⎩恰好有两个整数解．【思路点拨】先确定其解集，再判断出整数解，最后利用数轴确定a的范围．【答案与解析】解：由不等式123x x++>，去分母得3x+2(x+1)＞0，去括号，合并同类项，系数化为1后得x＞25 -．由不等式544(1)33ax x a++>++去分母得3x+5a+4＞4x+4+3a，可解得x＜2a．所以原不等式组的解集为225x a-<<，因为该不等式组恰有两个整数解：0和l，故有：1＜2a≤2，所以：12a<≤１．【总结升华】此题考查的是一元一次不等式组的解法，得出x的整数解，再根据x的取值范围求出a的值即可．举一反三：【变式】.已知a是自然数，关于x的不等式组≥⎧⎨⎩3x-4a,x-2>0的解集是x＞2，求a的值．【答案】解：解第一个不等式，得解集43ax+≥，解第二个不等式，得解集2x>，∵不等式组的解集为x＞2，∴423a+≤，即2a≤，又a为自然数，∴0a=或1或2．类型二、解特殊的一元一次不等式组例4.求不等式（2x﹣1）（x+3）＞0的解集．解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①或②．解①得x＞；解②得x＜﹣3．∴不等式的解集为x＞或x＜﹣3．请你仿照上述方法解决下列问题：（1）求不等式（2x﹣3）（x+1）＜0的解集．（2）求不等式≥0的解集．【答案与解析】解：（1）根据“异号两数相乘，积为负”可得①或②，解①得不等式组无解；解②得，﹣1＜x＜；（2）根据“同号两数相乘，积为正”可得①，②，解①得，x≥3，解②得，x＜﹣2，故不等式组的解集为：x≥3或x＜﹣2．【总结升华】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．类型三、一元一次不等式组的应用例5.某校初三年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人；已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元．(1)该校初三年级共有多少人参加春游?(2)请你帮该校设计一种最省钱的租车方案．【思路点拨】本题的关键语句是：“若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人”．理解这句话，有两层不等关系．(1)租用36座客车x辆的座位数小于租用42座客车(x-1)辆的座位数．(2)租用36座客车x辆的座位数大于租用42座客车(x-2)辆的座位数+30．【答案与解析】解：(1)设租36座的车x辆．据题意得：3642(1)3642(2)30x xx x<-⎧⎨>-+⎩，解得：79 xx>⎧⎨<⎩．由题意x应取8，则春游人数为：36×8＝288(人)．(2)方案①：租36座车8辆的费用：8×400＝3200(元)，方案②：租42座车7辆的费用：7×440＝3080(元)，方案③：因为42×6+36×1＝288，所以租42座车6辆和36座车1辆的总费用：6×440＋1×400＝3040(元) ．所以方案③：租42座车6辆和36座车1辆最省钱．【总结升华】本例不等关系相对隐蔽，需要在审题过程中加以挖掘．举一反三：【变式1】“向阳”中学某班计划用勤工俭学收入的66元，同时购买单价分别为3元、2元、1元的甲乙丙三种纪念品，奖励参加校“艺术节”活动的同学．已知购买的乙种纪念品比购买的甲种纪念品多2件，而购买的甲种纪念品不少于10件，且购买甲种纪念品费用不超过总费用的一半，若购买的甲、乙、丙三种纪念品恰好用了66元钱，问可有几种购买方案，每种方案中购买甲乙丙三种纪念品各多少件？【答案】解：设购买的甲、乙、丙三种纪念品件数分别为x 、y 、z ，由题意得：⎩⎨⎧+==++26623x y z y x 且⎪⎩⎪⎨⎧≤≥266310x x 由方程组得：⎩⎨⎧-=+=xz x y 5622解不等式组得：10≤x ≤11∵x 为整数，∴x ＝10或x ＝11当x ＝10时，y ＝12，z ＝12当x ＝11时，y ＝13，z ＝7∴可有两种方案购买．【变式2】5.12四川地震后，怀化市立即组织医护工作人员赶赴四川灾区参加伤员抢救工作．拟派30名医护人员，携带20件行李（药品、器械），租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，日夜兼程赶赴灾区．经了解，甲种汽车每辆最多能载4人和3件行李，乙种汽车每辆最多能载2人和8件行李．(1) 设租用甲种汽车x 辆，请你设计所有可能的租车方案；(2) 若甲、乙汽车的租车费用每辆分别为8000元、6000元，请你选择最省钱的租车方案．【答案】解：（1）设租用甲种汽车x 辆，则租用乙种汽车(8)x -，则：42(8)3038(8)20x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩，解得：4 785x≤≤，∵x应为整数，∴7x=或8，∴有两种租车方案，分别为：方案1：租甲种汽车7辆，乙种汽车1辆；方案2：租甲种汽车8辆，乙种汽车0辆．（2）租车费用分别为：方案1: 8000×7＋6000×1＝62000（元）；方案2：8000×:8＝64000（元）．∴方案1花费最低，所以选择方案1．【巩固练习】一、选择题1．关于x的不等式组的解集为x＜3，那么m的取值范围为（）A．m=3 B．m＞3 C．m＜3 D．m≥32．若不等式组530xx m-≥⎧⎨-≥⎩有实数解．则实数m的取值范围是 ( )A．53m≤ B．53m< C．53m> D．53m≥3．若关于x的不等式组3(2)432x xx a x--<⎧⎨-<⎩无解，则a的取值范围是 ( )A．a＜1 B．a≤l C．1 D．a≥14．关于x的不等式721x mx-<⎧⎨-≤⎩的整数解共有4个，则m的取值范围是 ( )A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6≤m≤7 D．6＜m≤75．某班有学生48人，每人都会下象棋或者围棋，且会下象棋的人数比会下围棋的人数的2倍少3人，两种棋都会下的至多9人，但不少于5人，则会下围棋的人有（）A．20人 B．19人 C．11人或13人 D．20人或19人6．某城市的一种出租车起步价是7元（即在3km以内的都付7元车费），超过3km后，每增加1km加价1.2元（不足1km按1km计算），现某人付了14.2元车费，求这人乘的最大路程是（）A．10km B．9 km C．8km D．7 km二、填空题7.已知24221x y k x y k +=⎧⎨+=+⎩，且10x y -<-<，则k 的取值范围是________．8．如果不等式组无解，则a 的取值范围是．9．如果不等式组2223x a x b ⎧+≥⎪⎨⎪-<⎩的解集是0≤x ＜1，那么a+b 的值为_______．10．将一筐橘子分给几个儿童，若每人分4个，则剩下9个橘子；若每人分6个，则最后一个孩子分得的橘子将少于3个，则共有_______个儿童，_______个橘子．11．对于整数a 、b 、c 、d ，规定符号a b ac bd d c =-．已知，则b+d 的值是________．12. 在△ABC 中，三边为a 、b 、c ,（1）如果3a x =，4b x =，28c =，那么x 的取值范围是；（2）已知△ABC 的周长是12，若b 是最大边，则b 的取值范围是；（3）=--++-----++c a b b a c a c b c b a ．三、解答题13.解下列不等式组．(1) 231313(1)6x x x x-⎧+<-⎪⎨⎪-+≥-⎩(2)2121x >-（3）210 310 320xxx-≥⎧⎪+>⎨⎪-<⎩（4）2153x-+≤14.已知：关于x，y的方程组27243x y ax y a+=+⎧⎨-=-⎩的解是正数，且x的值小于y的值．（1）求a的范围；（2）化简|8a+11|-|10a+1|．15.某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球（每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同）．经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元．（1）每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？（2）该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，应选择哪种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？答案与解析一、选择题1. 【答案】D；【解析】解：不等式组变形得：，由不等式组的解集为x＜3，得到m的范围为m≥3，故选D.2. 【答案】A；【解析】原不等式组可化为53xx m⎧≤⎪⎨⎪≥⎩而不等式组有解，根据不等式组解集的确定方法“大小小大中间找”可知m≤53．3. 【答案】B；【解析】原不等式组可化为1,.xx a>⎧⎨<⎩根据不等式组解集的确定方法“大大小小没解了”可知a≤1．4. 【答案】D；【解析】解得原不等式组的解集为：3≤x＜m，表示在数轴上如下图，由图可得：6＜m≤7．5. 【答案】D；6. 【答案】B；【解析】设这人乘的路程为xkm，则13＜7+1.2（x-3）≤14.2，解得8＜x≤9.二、填空题7. 【答案】12＜k＜1；【解析】解出方程组，得到x，y 分别与k的关系，然后再代入不等式求解即可．8. 【答案】a≤1；【解析】解：解不等式x﹣1＞0，得x＞1，解不等式x﹣a＜0，x＜a．∵不等式组无解，∴a≤1．9.【答案】1；【解析】由不等式22x a +≥解得x ≥4—2a ．由不等式2x-b ＜3，解得32b x +<． ∵ 0≤x ＜1，∴ 4-2a ＝0，且312b +=，∴ a ＝2，b ＝-1．∴ a+b ＝1． 10．【答案】7， 37；【解析】设有x 个儿童，则有0＜(4x+9)-6(x-1)＜3．11.【答案】3或-3 ；【解析】根据新规定的运算可知bd ＝2，所以b 、d 的值有四种情况：①b ＝2，d ＝1；②b ＝1，d ＝2；③b ＝-2，d ＝-1；④b ＝-1，d ＝-2．所以b+d 的值是3或-3．12.【答案】(1) 4＜x ＜28 (2)4＜b ＜6 (3)2a ；【解析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．三、解答题13.【解析】解：（1）解不等式组231313(1)6x x x x -⎧+<-⎪⎨⎪-+≥-⎩①②解不等式①，得x ＞5，解不等式②，得x ≤-4．因此，原不等式组无解．(2)把不等式121x x >-进行整理，得1021x x ->-，即1021x x ->-，则有①10210x x ->⎧⎨->⎩或②10210x x -<⎧⎨-<⎩解不等式组①得112x <<；解不等式组②知其无解，故原不等式的解集为112x <<. （3）解不等式组210310320x x x -≥⎧⎪+>⎨⎪-<⎩①②③ 解①得：12x ≥，解②得：13x >-，解③得：23x <，将三个解集表示在数轴上可得公共部分为：12≤x ＜23 所以不等式组的解集为：12≤x ＜23 (4) 原不等式等价于不等式组：21532153x x -+⎧≤⎪⎪⎨-+⎪≥-⎪⎩①② 解①得：7x ≥-，解②得：8x ≤，所以不等式组的解集为：78x -≤≤14.【解析】解：（1）解方程组27243x y a x y a +=+⎧⎨-=-⎩，得81131023a x a y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩根据题意，得811031020381110233a a a a +⎧>⎪⎪-⎪>⎨⎪+-⎪<⎪⎩①②③ 解不等式①得118a >-．解不等式②得a ＜5，解不等式③得110a <-，①②③的解集在数轴上表示如图．∴ 上面的不等式组的解集是111810a -<<-．（2）∵ 111810a -<<-． ∴ 8a +11＞0，10a +1＜0． ∴ |8a +11|-|10a +1|＝8a +11-[-(10a +1)]＝8a +11+10a +1＝18a +12．15.【解析】解：（1）设每个气排球的价格是x 元，每个篮球的价格是y 元．根据题意得：解得：所以每个气排球的价格是50元，每个篮球的价格是80元．（2）设购买气排球x个，则购买篮球（50﹣x）个．根据题意得：50x+80（50﹣x）≤3200解得x≥26，又∵排球的个数小于30个，∴排球的个数可以为27，28，29，∵排球比较便宜，则购买排球越多，总费用越低，∴当购买排球29个，篮球21个时，费用最低．29×50+21×80=1450+1680=3130元．。