不等关系与不等式的复习 教案
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一、复习预习
教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容二、知识讲解
考点/易错点1 比较两个实数的法则
设a，b∈R，则
（1）a－b＞0⇔a＞b；
（2）a－b＝0⇔a＝b；
（3）a－b＜0⇔a＜b.
考点
考点(1)倒数性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1
b .
②a >b >0,0
d .
③0 a . (2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则 ①真分数的性质：b a b －m a －m ( b －m >0)． ②假分数的性质： a b >a ＋m b ＋m ；a b 0). 三、例题精析 【例题1】 【题干】(1)若x )(x ＋y )的大小； (2)设a >0，b >0且a ≠b ，试比较a a b b 与a b b a 的大小． 【解析】(1)(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y ) ＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y ) ∵x ∴－2xy (x －y )>0， ∴(x 2 ＋y 2 )(x －y )>(x 2 －y 2 )(x ＋y )． (2)根据同底数幂的运算法则． aabb abba ＝a a －b ·b b －a ＝(a b )a －b ， 当a >b >0时，a b >1，a －b >0， 则(a b )a －b >1，于是a a b b >a b b a . 当b >a >0时，0 b <1，a －b <0， 则(a b )a －b >1，于是a a b b >a b b a . 综上所述，对于不相等的正数a 、b ，都有a a b b >a b b a . 【点评】比较大小的常用方法： (1)作差法 一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配 方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都 为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法 一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特值法 若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可以用特值法探究 思路，其实质就是利用特殊值判断． 【例题2】 【题干】对于实数a 、b 、c ，判断下列命题的真假． (1)若a >b ，则ac >bc ； (2)若a >b ，则ac 2>bc 2； (3)若a ab >b 2； (4)若a 1 b . 【解析】(1)因未知c 的正负或是否为零，无法确定ac 与bc 的大小，所以是假命题． (2)因为c 2≥0，所以只有c ≠0时才能正确．c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以是假命题． (3)a ab ；a b 2，命题是真命题． (4)由性质定理a 1 b ，命题是真命题． 【点评】(1)要注意不等式性质成立的条件．例如，重要结论a >b ，ab >0⇒1a <1 b ，不能弱 化条件得a >b ⇒1a <1 b . (2)要正确处理带等号的情况．如由a >b ，b ≥c 或a ≥b ，b >c 均可得出a >c ；而 由a ≥b ，b ≥c 可能是a >c ，也可能有a ＝c ，当且仅当a ＝b 且b ＝c 时，才会 有a ＝c . 【例题3】 【题干】设f (x )＝ax 2＋bx,1≤f (－1)2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围． 【解析】设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )． 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ， 于是得⎩⎨ ⎧ m ＋n ＝4n －m ＝－2 ，解得⎩⎨ ⎧ m ＝3n ＝1 ， ∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 故5≤f (－2)≤10. 【点评】一般地，由a 定系数法解决，即设g (x 1，y 1)＝pf 1(x 1，y 1)＋qf 2(x 1，y 1)，用恒等变形求得p ， q ，再利用不等式的性质求得g (x 1，y 1)的取值范围． 【例题4】 【题干】已知－π2≤α<β≤π2，求α＋β2，α－β 2的取值范围． 【解析】∵－π2≤α<π 2 ，① － π2<β≤π 2 ，② ①＋②得－π<α＋β<π， ∴－π2<α＋β2<π2. ∵－π2<β≤π2 ，