不等关系与不等式的复习 教案
北师大版高中数学必修五不等式与不等关系复习教案
利用不等式的性质证明简单的不等式。
教学方法
教学过程
1.课题导入
在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。
请同学们回忆初中不等式的的基本性质。
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；
即若
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；
即若
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
3.随堂练习1
1、课本P82的练习3
2、在以下各题的横线处适当的不等号：
(1)（ ＋ ）2６＋2 ；（2）（ － ）2（ －1）2；
（3） ；(4)当a＞b＞0时，log alog b
[补充例题]
例2、比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小。
随堂练习2
1、比较大小：
（1）（x＋５）（x＋７）与（x＋６）2
（2）
4.课时小结
本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；
第三步：得出结论
5.评价设计
课本P83习题3.1[A组]第2、3题；[B组]第1题
教学反思
课题
§3.1不等式与不等关系
课型
新授课
课时
备课时间
教学目标
知识与技能
掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；
过程与方法
通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；
不等关系与不等式教案
不等关系与不等式教案教学设计3．1.1 不等关系与不等式整体设计教学分析本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展．在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小．通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用．对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程．即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来．在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望．根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小．在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系．要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识．三维目标1．在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系．2．会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围．3．通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美．重点难点教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围．教学难点：准确比较两个代数式的大小．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课．思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系．这些不等关系怎样在数学上表示出来呢？让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着．这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课．推进新课新知探究提出问题1回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系？2在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗？3数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系？4任意两个实数具有怎样的关系？用逻辑用语怎样表达这个关系？活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同．不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的．教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系．在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容．实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温26℃.实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA＜xB.教师协助画出数轴草图如下图．实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零．实例4：两点之间线段最短．实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．实例6：限速40/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40/h.实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢？学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系．那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子．如－7＜－5，3＋4＞1＋4,2x ≤6，a＋2≥0,3≠4,0≤5等．教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来．实例1，若用t表示某天的气温，则26℃≤t≤32℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5，|Ac|＋|Bc|＞|AB|，如下图．|AB|＋|Bc|＞|Ac|、|Ac|＋|Bc|＞|AB|、|AB|＋|Ac|＞|Bc|.|AB|－|Bc|＜|Ac|、|Ac|－|Bc|＜|AB|、|AB|－|Ac|＜|Bc|.交换被减数与减数的位置也可以．实例6，若用v表示速度，则v≤40/h.实例7，f≥2.5%，p≥2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f≥2.5%或p≥2.3%，这是不对的．但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论．讨论结果：(1)(2)略；(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大．(4)对于任意两个实数a和b，在a＝b，a＞b，a＜b三种关系中有且仅有一种关系成立．用逻辑用语表达为：a－b ＞0 a＞b；a－b＝0 a＝b；a－b＜0 a＜b.应用示例例1(教材本节例1和例2)活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法．点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握.变式训练1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是( )A．f(x)＞g(x) B．f(x)＝g(x)c．f(x)＜g(x)D．随x值变化而变化答案：A解析：f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1＞0，∴f(x)＞g(x)．2．已知x≠0，比较(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小．解：由(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1＝x2.∵x≠0，得x2＞0.从而(x2＋1)2＞x4＋x2＋1.例2比较下列各组数的大小(a≠b)．(1)a＋b2与21a＋1b(a＞0，b＞0)；(2)a4－b4与4a3(a－b)．活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定．本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点．解：(1)a＋b2－21a＋1b＝a＋b2－2aba＋b＝a＋b 2－4ab2a＋b＝a－b22a＋b.∵a＞0，b＞0且a≠b，∴a＋b＞0，(a－b)2＞0.∴a－b22a＋b＞0，即a＋b2＞21a＋1b.(2)a4－b4－4a3(a－b)＝(a－b)(a＋b)(a2＋b2)－4a3(a －b)＝(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3－4a3)＝(a－b)[(a2b－a3)＋(ab2－a3)＋(b3－a3)]＝－(a－b)2(3a2＋2ab＋b2)＝－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]．∵2a2＋(a＋b)2≥0(当且仅当a＝b＝0时取等号)，又a≠b，∴(a－b)2＞0,2a2＋(a＋b)2＞0.∴－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]＜0.∴a4－b4＜4a3(a－b)．点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号．变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.变式训练已知x＞y，且y≠0，比较xy与1的大小．活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系．解：xy－1＝x－yy.∵x＞y，∴x－y＞0.当y＜0时，x－yy＜0，即xy－1＜0.∴xy＜1；当y＞0时，x－yy＞0，即xy－1＞0.∴xy＞1.点评：当字母y取不同范围的值时，差xy－1的正负情况不同，所以需对y分类讨论.例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好．试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法．解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为，根据问题的要求a＜b，且ab≥10%，由于a＋b＋－ab＝b－a b b＋＞0，于是a ＋b＋＞ab.又ab≥10%，因此a＋b＋＞ab≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．点评：一般地，设a、b为正实数，且a＜b，＞0，则a ＋b＋＞ab.变式训练已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q ≠1，则( )A．a1＋a8＞a4＋a5 B．a1＋a8＜a4＋a5 c．a1＋a8＝a4＋a5D．a1＋a8与a4＋a5大小不确定答案：A解析：(a1＋a8)－(a4＋a5)＝a1＋a1q7－a1q3－a1q4 ＝a1[(1－q3)－q4(1－q3)]＝a1(1－q)2(1＋q＋q2)(1＋q)(1＋q2)．∵{an}各项都大于零，∴q＞0，即1＋q＞0.又∵q≠1，∴(a1＋a8)－(a4＋a5)＞0，即a1＋a8＞a4＋a5.知能训练1．下列不等式：①a2＋3＞2a；②a2＋b2＞2(a－b－1)；③x2＋y2＞2xy.其中恒成立的不等式的个数为( )A．3B．2c．1D．02．比较2x2＋5x＋9与x2＋5x＋6的大小．答案：1．c 解析：∵②a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，③x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0.∴只有①恒成立．2．解：因为2x2＋5x＋9－(x2＋5x＋6)＝x2＋3＞0，所以2x2＋5x＋9＞x2＋5x＋6.课堂小结1．教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法；从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中．2．教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方．鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究．作业习题3—1A组3；习题3—1B组2.设计感想1．本节设计关注了教学方法的优化．经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式．各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动．也就是说，世上没有万能的教学方法．针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药．2．本节设计注重了难度控制．不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点．作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响．3．本节设计关注了学生思维能力的训练．训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线．采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化．变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升．备课资料备用习题1．比较(x－3)2与(x－2)(x－4)的大小．2．试判断下列各对整式的大小：(1)2－2＋5和－2＋5；(2)a2－4a＋3和－4a＋1.3．已知x＞0，求证：1＋x2＞1＋x.4．若x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．5．设a＞0，b＞0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小．参考答案：1．解：∵(x－3)2－(x－2)(x－4)＝(x2－6x＋9)－(x2－6x＋8)＝1＞0，∴(x－3)2＞(x－2)(x－4)．2．解：(1)(2－2＋5)－(－2＋5)＝2－2＋5＋2－5＝2.∵2≥0，∴(2－2＋5)－(－2＋5)≥0.∴2－2＋5≥－2＋5.(2)(a2－4a＋3)－(－4a＋1)＝a2－4a＋3＋4a－1＝a2＋2.∵a2≥0，∴a2＋2≥2＞0.∴a2－4a＋3＞－4a＋1.3．证明：∵(1＋x2)2－(1＋x)2＝1＋x＋x24－(x＋1)＝x24，又∵x＞0，∴x24＞0.∴(1＋x2)2＞(1＋x)2.由x＞0，得1＋x2＞1＋x.4．解：(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0.∴－2xy(x－y)＞0.∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．5．解：∵aabbabba＝aa－bbb－a＝(ab)a－b，且a≠b，当a＞b＞0时，ab＞1，a－b＞0，则(ab)a－b＞1，于是aabb＞abba.当b＞a＞0时，0＜ab＜1，a－b＜0.则(ab)a－b＞1.于是aabb＞abba.综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb＞abba.。
高三数学必修五《不等关系与不等式》教案
高三数学必修五《不等关系与不等式》教案【导语】高考竞争异常激烈，千军万马争过独木桥，秋天到了，而你正以凌厉的步伐迈进这段特别的岁月中。
这是一段青涩而又平淡的日子，每个人都隐身于高考，而平淡之中的张力却只有真正的勇士才可以破译。
为了助你一臂之力，无忧考网高中频道为你精心准备了《高三数学必修五《不等关系与不等式》教案》助你金榜题名！教案【一】整体设计教学分析本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程.即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望.根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系.要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识.三维目标1.在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系.2.会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围.3.通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美.重点难点教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围.教学难点：准确比较两个代数式的大小.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课.思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系.这些不等关系怎样在数学上表示出来呢?让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着.这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课.推进新课新知探究提出问题1回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系?2在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗?3数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系?4任意两个实数具有怎样的关系?用逻辑用语怎样表达这个关系?活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同.不等关系强调的是关系，可用符号“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a>b”“a教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系.在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容.实例1：某天的天气预报报道，气温32℃，最低气温26℃.实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.实例4：两点之间线段最短.实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.实例6：限速40km/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h.实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系.那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子.如-7<-5，3+4>1+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来.实例1，若用t表示某天的气温，则26℃≤t≤32℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下图.|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交换被减数与减数的位置也可以.实例6，若用v表示速度，则v≤40km/h.实例7，f≥2.5%，p≥2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f≥2.5%或p≥2.3%，这是不对的.但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论.讨论结果：(1)(2)略;(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.(4)对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a0��a>b;a-b=0��a=b;a-b<0��a应用示例例1(教材本节例1和例2)活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法.点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握.变式训练1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，则f(x)与g(x)的大小关系是()A.f(x)>g(x)B.f(x)=g(x)C.f(x)答案：A解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).2.已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.∵x≠0，得x2>0.从而(x2+1)2>x4+x2+1.例2比较下列各组数的大小(a≠b).(1)a+b2与21a+1b(a>0，b>0);(2)a4-b4与4a3(a-b).活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点.解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号)，又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0.∴a4-b4<4a3(a-b).点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差――变形――判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.变式训练已知x>y，且y≠0，比较xy与1的大小.活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系.解：xy-1=x-yy.∵x>y，∴x-y>0.当y<0时，x-yy<0，即xy-1<0.∴xy<1;当y>0时，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.点评：当字母y取不同范围的值时，差xy-1的正负情况不同，所以需对y分类讨论.例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好.试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了?请说明理由.活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法.解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a由于a+mb+m-ab=m b-a b b+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，因此a+mb+m>ab≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了.点评：一般地，设a、b为正实数，且a0，则a+mb+m>ab.变式训练已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则()A.a1+a8>a4+a5B.a1+a8C.a1+a8=a4+a5D.a1+a8与a4+a5大小不确定答案：A解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).∵{an}各项都大于零，∴q>0，即1+q>0.又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.知能训练1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的个数为()A.3B.2C.1D.02.比较2x2+5x+9与x2+5x+6的大小.答案：1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.∴只有①恒成立.2.解：因为2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，所以2x2+5x+9>x2+5x+6.课堂小结1.教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法;从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中.2.教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方.鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究.作业习题3―1A组3;习题3―1B组2.设计感想1.本节设计关注了教学方法的优化.经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式.各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动.也就是说，世上没有万能的教学方法.针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药.2.本节设计注重了难度控制.不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点.作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响.3.本节设计关注了学生思维能力的训练.训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线.采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化.变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升.备课资料备用习题1.比较(x-3)2与(x-2)(x-4)的大小.2.试判断下列各对整式的大小：(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.3.已知x>0，求证：1+x2>1+x.4.若x5.设a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小.参考答案：1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4)=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)=1>0，∴(x-3)2>(x-2)(x-4).2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)=m2-2m+5+2m-5=m2.∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.∴m2-2m+5≥-2m+5.(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)=a2-4a+3+4a-1=a2+2.∵a2≥0，∴a2+2≥2>0.∴a2-4a+3>-4a+1.3.证明：∵(1+x2)2-(1+x)2=1+x+x24-(x+1)=x24，又∵x>0，∴x24>0.∴(1+x2)2>(1+x)2.由x>0，得1+x2>1+x.4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]=-2xy(x-y).∵x0，x-y<0.∴-2xy(x-y)>0.∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b，当a>b>0时，ab>1，a-b>0，则(ab)a-b>1，于是aabb>abba.当b>a>0时，0则(ab)a-b>1.于是aabb>abba.综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb>abba. 教案【二】教学准备教学目标熟练掌握不等式的证明问题教学重难点熟练掌握不等式的证明问题教学过程不等式的�C明二【基�A��】1.若，，�t下列不等始�K正�_的是()2.�Oa，b����担�且，�t的最小值是()4.求�C：�θ魏问��x，y，z，下述三��不等式不可能同�r成立。
高中数学最新-不等关系与不等式复习导学案 精品
§7.1 不等关系与不等式1.考查有关不等式的命题真假及数式的大小比较；2.考查和函数、数列等知识的综合应用．复习备考要这样做 1.熟练掌握不等式的性质，并会正确理解和应用；2.对含参数的不等式，要把握分类讨论的标准和技巧．1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的．我们用数学符号>、<、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子，叫作不等式． 2．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ ba －b <0⇔a < b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab >1⇔a > bab ＝1⇔a ＝ ba b<1⇔a < b (a ∈R ，b >0)．3．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a ；(2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；(3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ，a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ； (5)可乘方：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a >b >0⇒(n ∈N ，n ≥2)． 4．不等式的一些常用性质(1)倒数性质①a >b ， ab >0⇒1a __<__1b .②a <0<b ⇒1a __<__1b .③a >b >0,0<c <d ⇒a c __>__bd .④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b __<__1x __<__1a . (2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则 ①真分数的性质： b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m (b －m >0)． ②假分数的性质： a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m (b －m >0)． [难点正本 疑点清源]1．在学习不等式的性质时，要特别注意下面几点(1)不等式的性质是解、证不等式的基础，对任意两实数a 、b 有a －b >0⇔a >b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a <b ，这是比较两数(式)大小的理论根据，也是学习不等式的基石．(2)一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注意在解题中灵活、准确地加以应用．(3)不等式的传递性：若a >b ，b >c ，则a >c ，这是放缩法的依据，在运用传递性时，要注意不等式的方向，否则易产生这样的错误：为证明a >c ，选择中间量b ，在证出a >b ，c >b 后，就误认为能得到a >c .(4)同向不等式可相加，但不能相减，即由a >b ，c >d ，可以得出a ＋c >b ＋d ，但不能得出a －c >b －d . 2．理解不等式的思想和方法(1)作差法是证明不等式的最基本也是很重要的方法，应引起高度注意，要注意强化．(2)加强化归意识，把比较大小问题转化为实数的运算．(3)通过复习要强化不等式“运算”的条件．如a >b 、c >d 在什么条件下才能推出ac >bd .(4)强化函数的性质在大小比较中的重要作用，加强知识间的联系．1．已知a >b >0，且c >d >0，则a d 与bc 的大小关系是__________________________．答案 a d >bc解析 ∵a >b >0，c >d >0，∴a d >bc >0，∴ a d > b c .2．已知a <0，－1<b <0，那么a ，ab ，ab 2的大小关系是________________________． 答案 ab >ab 2>a解析 由－1<b <0，可得b <b 2<1. 又a <0，∴ab >ab 2>a .3．限速40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h ，写成不等式就是 ( )A ．v <40 km/hB ．v >40 km/hC ．v ≠40 km/hD ．v ≤40 km/h 答案 D4．(2011·浙江)设a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“b <1a ”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 D解析 ∵0<ab <1，∴a ，b 同号，且ab <1.∴当a >0，b >0时，b <1a ；当a <0，b <0时，b >1a .∴“0<ab <1”是“b <1a ”的不充分条件．而取b ＝－1，a ＝1，显然有b <1a ，但不能推出0<ab <1，∴“0<ab <1”是“b <1a ”的不必要条件． 5．(2012·湖南)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >cb ；②ac <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③ 答案 D解析 根据不等式的性质构造函数求解．∵a >b >1，∴1a <1b .又c <0，∴c a >cb ，故①正确．构造函数y ＝x c .∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数． 又a >b >1，∴a c <b c ，故②正确． ∵a >b >1，－c >0，∴a －c >b －c >1.∵a >b >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )， 即log b (a －c )>log a (b －c )，故③正确．题型一 不等式性质的应用例1 已知－π2<α<β<π2，求α＋β2，α－β2的取值范围． 思维启迪：不等式性质的应用是本题的突破点．解 因为－π2<α<β<π2，所以－π4<α2<π4，－π4<β2<π4.所以－π2<α＋β2<π2，－π4<－β2<π4.因为α<β，所以α－β2<0.故－π2<α－β2<0.探究提高 (1)利用不等式的性质求范围要充分利用题设中的条件，如本题中的条件α<β；(2)注意“α－β”形式，利用不等式要正确变形．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)． 答案 (3,8)解析 设2x －3y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝52.∴2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )， ∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－2<－12(x ＋y )<12，5<52(x －y )<152，∴3<－12(x ＋y )＋52(x －y )<8， 即3<2x －3y <8，所以z ＝2x －3y 的取值范围为(3,8)． 题型二 比较大小问题例2 已知a ≠1且a ∈R ，试比较11－a与1＋a 的大小．思维启迪：要判断11－a与1＋a 的大小，只需研究它们差的符号．解 ∵11－a －(1＋a )＝a 21－a，①当a ＝0时，a 21－a ＝0，∴11－a＝1＋a .②当a <1，且a ≠0时，a 21－a >0，∴11－a>1＋a .③当a >1时，a 21－a <0，∴11－a<1＋a .探究提高 实数的大小比较常常转化为对它们差(简称作差法)的符号的判定，当解析式里面含有字母时常需分类讨论．(2012·四川)设a ，b 为正实数．现有下列命题：①若a 2－b 2＝1，则a －b <1；②若1b －1a ＝1，则a －b <1；③若|a －b |＝1，则|a －b |<1；④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1. 其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号) 答案 ①④ 解析 ①中，a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＝1，a ，b 为正实数，若a －b ≥1， 则必有a ＋b >1，不合题意，故①正确．②中，1b －1a ＝a －bab ＝1，只需a －b ＝ab 即可．如取a ＝2，b ＝23满足上式，但a －b ＝43>1，故②错． ③中，a ，b 为正实数，所以a ＋b >|a －b |＝1， 且|a －b |＝|(a ＋b )(a －b )|＝|a ＋b |>1，故③错． ④中，|a 3－b 3|＝|(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)| ＝|a －b |(a 2＋ab ＋b 2)＝1.若|a －b |≥1，不妨取a >b >1，则必有a 2＋ab ＋b 2>1，不合题意，故④正确．题型三 不等式与函数、方程的综合问题例3 已知f (x )是定义在(－∞，4]上的减函数，是否存在实数m ，使得f (m －sin x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2m －74＋cos 2x 对定义域内的一切实数x 均成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．思维启迪：不等式和函数的结合，往往要利用函数的单调性和函数的值域．解 假设实数m 存在，依题意，可得⎩⎨⎧m －sin x ≤4，m －sin x ≥1＋2m －74＋cos 2x ，即⎩⎨⎧m －4≤sin x ，m －1＋2m ＋12≥－⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122.因为sin x 的最小值为－1，且－(sin x －12)2的最大值为0，要满足题意，必须有⎩⎨⎧m －4≤－1，m －1＋2m ＋12≥0，解得m ＝－12或32≤m ≤3.所以实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12.探究提高 不等式恒成立问题一般要利用函数的值域，m ≤f (x )恒成立，只需m ≤f (x )min .已知a 、b 、c 是实数，试比较a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca的大小．解 方法一 (作差法)∵a 2＋b 2＋c 2－(ab ＋bc ＋ca )＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 方法二 (函数法)记t ＝a 2＋b 2＋c 2－(ab ＋bc ＋ca ) ＝a 2－(b ＋c )a ＋b 2＋c 2－bc ， ∵Δ＝(b ＋c )2－4(b 2＋c 2－bc )＝－3b 2－3c 2＋6bc ＝－3(b －c )2≤0，∴t ≥0对a ∈R 恒成立，即a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .不等式变形中扩大范围致误典例：(12分)已知1≤lg x y ≤2,2≤lg x 3y ≤3，求lg x 33y的取值范围．易错分析 根据不等式性质先解出lg x ，lg y 的范围，再求lg x 33y的范围，错误原因是lg x ，lg y 的最值不一定能同时取到，这种做法可能扩大所求范围．审题视角 (1)注意已知条件1≤lg x y ≤2,2≤lg x 3y≤3.(2)分析lg x 33y与lg x y 、lg x 3y 的线性关系．(3)先将它们表示成lg x 、lg y 的线性关系． 规范解答解 由⎩⎨⎧1≤lg xy ≤2，2≤lg x 3y≤3变形，得⎩⎨⎧1≤lg x －lg y ≤2，2≤3lg x －12lg y ≤3，[2分] 令⎩⎨⎧lg x －lg y ＝a ，3lg x －12lg y ＝b ，解得⎩⎨⎧lg x ＝2b －a 5，lg y ＝2b －6a5.[4分]∴lgx 33y＝3lg x －13lg y＝3·2b －a 5－13·2b－6a 5＝1615b －15a .[6分]由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤2，2≤b ≤3， 得⎩⎪⎨⎪⎧－25≤－15a ≤－15，3215≤1615b ≤165.[9分]∴2615≤1615b －15a ≤3，即2615≤lg x 33y≤3.[11分]∴lg x 33y的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2615，3.[12分]温馨提醒 (1)此类问题的一般解法是：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过”一次性“使用不等式的运算求得整体范围；(2)本题也可以利用线性规划思想求解；(3)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．方法与技巧1．用同向不等式求差的范围．⎩⎨⎧a <x <bc <y <d ⇒⎩⎨⎧a <x <b －d <－y <－c⇒a －d <x －y <b －c 这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到． 2．倒数关系在不等式中的作用． ⎩⎨⎧ ab >0a >b ⇒1a <1b ；⎩⎨⎧ab >0a <b⇒1a >1b . 3．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比差法的主要步骤：作差——变形——判断正负．在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商． 失误与防范1．a >b ⇒ac >bc 或a <b ⇒ac <bc ，当c ≤0时不成立．2． a >b ⇒1a <1b 或a <b ⇒1a >1b ，当ab ≤0时不成立． 3．a >b ⇒a n >b n 对于正数a 、b 才成立． 4.ab >1⇔a >b ，对于正数a 、b 才成立．5．注意不等式性质中“⇒”与“⇔”的区别，如：a >b ，b >c ⇒a >c ，其中a >c 不能推出⎩⎨⎧a >bb >c.6．求范围问题要整体代换，“一次性”使用不等式性质，注意不要扩大变量的取值范围．A 组 专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下面四个条件中，使a >b 成立的充分不必要的条件是 ( )A ．a >b ＋1B ．a >b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3 答案 A解析 由a >b ＋1，得a >b ＋1>b ，即a >b ，而由a >b 不能得出a >b ＋1，因此，使a >b 成立的充分不必要条件是a >b ＋1.2．设a <b <0，则下列不等式中不成立的是 ( )A.1a >1bB.1a －b >1aC ．|a |>－bD.－a >－b 答案 B解析 由题设得a <a －b <0，所以有1a －b <1a成立，即1a －b >1a不成立． 3．设a ＝lg e ，b ＝(lg e)2，c ＝lg e ，则 ( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a 答案 B解析 ∵0<lg e<lg 10＝12，∴lg e>12lg e>(lg e)2. ∴a >c >b .4．已知p ＝a ＋1a －2，q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2，其中a >2，x ∈R ，则p ，q 的大小关系是( )A ．p ≥qB ．p >qC ．p <qD ．p ≤q 答案 A解析 p ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2≥2＋2＝4，当且仅当a ＝3时取等号．因为x 2－2≥－2，所以q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4，当且仅当x ＝0时取等号．所以p ≥q . 二、填空题(每小题5分，共15分) 5．(2011·天津改编)设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的____________条件． 答案 充分不必要解析 ∵x ≥2且y ≥2，∴x 2＋y 2≥4，∴“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的充分条件；而x 2＋y 2≥4不一定得出x ≥2且y ≥2，例如当x ≤－2且y ≤－2时，x 2＋y 2≥4亦成立，故“x ≥2且y ≥2”不是“x 2＋y 2≥4”的必要条件．∴“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的充分不必要条件．6．若角α、β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π2解析 ∵－π2<α<β<π2，∴－π<2α<π，－π2<－β<π2，∴－3π2<2α－β<3π2，又∵2α－β＝α＋(α－β)<α<π2，∴－3π2<2α－β<π2. 7．对于实数a ，b ，c 有下列命题：①若a >b ，则ac <bc ；②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a >b ，1a >1b ，则a >0，b <0.其中真命题为__________．(把正确命题的序号写在横线上) 答案 ②③解析 若c ≥0，①不成立；由ac 2>bc 2知c 2≠0，则a >b ，②正确；当a >b 时，1a －1b ＝b －aab >0，则a >0，b <0，③成立． 三、解答题(共22分)8．(10分)已知a ，b 是正实数，求证：a b ＋ba≥a ＋b .证明 方法一 a b ＋ba－(a ＋b )＝(a )3＋(b )3－(a ＋b )ab ab＝(a ＋b )(a －2ab ＋b )ab＝(a ＋b )(a －b )2ab.∵a ＋b >0，ab >0，(a －b )2≥0， ∴a b ＋b a －(a ＋b )≥0，∴a b ＋ba≥a ＋b .方法二 a b ＋b a a ＋b ＝a a ＋b b ab (a ＋b )＝(a )3＋(b )3ab (a ＋b )＝a ＋b －ab ab ＝1＋(a －b )2ab≥1，∵a >0，b >0，∴a b ＋ba>0，a ＋b >0，∴a b ＋ba≥a ＋b .9．(12分)设f (x )＝ax 2＋bx,1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．解 方法一 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1) (m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋ n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝1，∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －bf (1)＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法三 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤22≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f (－2)≤10.B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 当0<x <π2时，0<sin x <1.由x sin 2x <1知x sin x <1sin x ，不一定得到x sin x <1. 反之，当x sin x <1时，x sin 2x <sin x <1.故“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的必要不充分条件．2．已知实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c ≥b >aB ．a >c ≥bC ．c >b >aD ．a >c >b 答案 A解析 c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，∴c ≥b ，已知两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2，∵1＋a 2－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴1＋a 2>a ， ∴b ＝1＋a 2>a ，∴c ≥b >a .3．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a ＋1b >b ＋1a B.b a >b ＋1a ＋1C ．a －1b >b －1a D.2a ＋b a ＋2b >a b答案 A解析 取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x 是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x 在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，但g (a )>g (b )未必成立，这样，a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a . 二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2－1，φ(n )＝12n (n ∈N *，n >2)，则f (n )，g (n )，φ(n )的大小关系是____________________________________________． 答案 f (n )<φ(n )<g (n )解析 f (n )＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n <12n ＝φ(n )，g (n )＝n －n 2－1＝1n ＋n 2－1>12n ＝φ(n )， ∴f (n )<φ(n )<g (n )．5．设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y 4的最大值是________． 答案 27解析 由4≤x 2y ≤9，得16≤x 4y 2≤81.又3≤xy 2≤8，∴18≤1xy 2≤13，∴2≤x 3y 4≤27.又x ＝3，y ＝1满足条件，这时x 3y 4＝27.∴x 3y 4的最大值是27. 6．设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小关系是______________________________________________________． 答案 z >y >x解析 方法一 y 2－x 2＝2c (a －b )>0，∴y >x . 同理，z >y ，∴z >y >x .方法二 令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20， z ＝26，故z >y >x . 三、解答题7．(13分)(1)设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)·(x ＋y )的大小；(2)已知a ，b ，x ，y ∈(0，＋∞)且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >yy ＋b.(1)解 方法一 (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y ) ＝(x －y )[x 2＋y 2－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )，∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0，∴－2xy (x －y )>0， ∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．方法二 ∵x <y <0，∴x －y <0，x 2>y 2，x ＋y <0. ∴(x 2＋y 2)(x －y )<0，(x 2－y 2)(x ＋y )<0，∴0<(x 2＋y 2)(x －y )(x 2－y 2)(x ＋y )＝x 2＋y 2x 2＋y 2＋2xy <1，∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．(2)证明 x x ＋a －yy ＋b ＝bx －ay (x ＋a )(y ＋b ).∵1a >1b 且a ，b ∈(0，＋∞)，∴b >a >0， 又∵x >y >0，∴bx >ay >0，∴bx －ay (x ＋a )(y ＋b )>0，∴x x ＋a >y y ＋b .。
一轮复习教案：第7章 第1讲 不等关系与不等式
3≤2x＋y≤9
(3)若变量 x，y 满足约束条件
，则 z＝x＋2y 的最小值为________．
6≤x－y≤9
[解析] (1)∵ab>0，bc－ad>0，
∴c－d＝bc－ad>0，∴①正确； a b ab
∵ab>0，又c－d>0，即bc－ad>0，
ab
ab
∴bc－ad>0，∴②正确；
∵bc－ad>0，又c－d>0，即bc－ad>0，
ab
ab
∴ab>0，∴③正确．故选 D.
(2)∵M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1，a2∈(0,1)，∴M－N>0，即 M>N， 选 B.
(3)令 z＝x＋2y＝λ(2x＋y)＋μ(x－y)＝(2λ＋μ)x＋(λ－μ)y，
2λ＋μ＝1
λ＝1
∴
，∴
，∴z＝(2x＋y)－(x－y)，
大．
[正解] 解法一：设 f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n 为待定系数)，则 4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋
b)，
即 4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
m＋n＝4，
m＝3，
于是得
解得
n－m＝－2，
n＝1，
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
2．若 a>b>0，c<d<0，则一定有( )
A.a>b cd
C.a>b dc
B.a<b cd
D.a<b dc
答案 D
解析 ∵c<d<0，∴－c>－d>0，
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案不等关系与不等式1
第一节不等关系与不等式不等式的概念和性质了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．知识点一实数的大小顺序与运算性质的关系(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.必备方法比较大小的常用方法：(1)作差法一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论(注意所比较的两个数的符号)．[自测练习]1．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是() A．M<N B．M>NC．M＝N D．不确定解析：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.∴M>N.答案：B知识点二不等式性质性质性质内容注意对称性a>b⇔b<a ⇔传递性a>b，b>c⇒a>c ⇒可加性 a >b ⇔a ＋c >b ＋c ⇔可乘性⎭⎬⎫a >bc >0⇒ac >bc c 的符号⎭⎬⎫a >bc <0⇒ac <bc 同向可加性 ⎭⎬⎫a >bc >d ⇒a ＋c >b ＋d ⇒同向同正 可乘性⎭⎬⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd ⇒可乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1) 同正可开方性a >b >0⇒na >nb (n ∈N ，n ≥2)易误提醒1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c .2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．[自测练习]2．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1b C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3解析：当c <0时，ac >bc 不成立，故A 不正确，当a ＝1，b ＝－3时，B 、C 均不正确，故选D.答案：D3．若a >b >0，则下列不等式中恒成立的是( ) A.b a >b ＋1a ＋1 B ．a ＋1a >b ＋1bC ．a ＋1b >b ＋1aD.2a ＋b a ＋2b >ab解析：由a >b >0⇒0<1a <1b ⇒a ＋1b >b ＋1a，故选C.答案：C4．已知a <0，－1<b <0，那么a ，ab ，ab 2的大小关系是________． 解析：⎭⎬⎫－1<b <0⇒0<b 2<1a <0⇒a <ab 2<0，又ab >0，∴ab >ab 2>a . 答案：ab >ab 2>a考点一 利用不等式(组)表示不等关系|1．将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x ，构成一个钝角三角形，试用不等式(组)表示x 应满足的不等关系．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧5－x >0，(5－x )＋(12－x )>13－x ，(5－x )2＋(12－x )2<(13－x )2.2．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A ，B 两台设备上加工，在A ，B 设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A ，B 两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式．解：设甲、乙两种产品的产量分别为x 件，y 件，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤400，2x ＋y ≤500，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .利用不等式(组)表示不等关系的一个注意点及一个关键点： 关键点：准确将题目中的文字语言转化为数学符号语言．注意点：要注意“不超过”，“至少”，“低于”表示的不等关系，同时还应考虑变量的实际意义．考点二 不等式性质及应用|1．(2016·大庆质检)若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( )A.1a －b >1aB.1a >1b C ．|a |>|b |D ．a 2>b 2解析：由a <b <0，可用特殊值法加以验证，取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1a不成立，选A.答案：A2．(2016·武汉调研)若实数a ，b ∈(0,1)，且满足(1－a )b >14，则a ，b 的大小关系是( )A ．a <bB ．a ≤bC ．a >bD ．a ≥b解析：∵a ，b ∈(0,1)，∴1－a >0，又(1－a )b >14，∴14<⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋b 22，12<1－a ＋b 2，即b －a >0，故选A. 答案：A3．设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：法一：因为a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab ，所以若a >b >1，显然a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝(a －b )(ab －1)ab >0，则充分性成立；当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1b 成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立，故选A.法二：令函数f (x )＝x ＋1x ，则f ′(x )＝1－1x 2＝x 2－1x2，可知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上为增函数，在(－1,1)上为减函数，所以“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b ”的充分不必要条件，选A.答案：A运用不等式性质求解问题的两个注意点1．解题时，易忽视不等式性质成立的条件，或“无中生有”自造性质导致推理判定失误．2．对于不等式的常用性质，要注意弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据．考点三 比较大小|(1)若实数a ≠1，比较a ＋2与31－a 的大小；(2)比较a a b b 与a b b a (a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)的大小． [解] (1)a ＋2－31－a ＝－(a 2＋a ＋1)1－a，∵a 2＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a ＋122＋34>0，∴－(a 2＋a ＋1)<0， ∴当1－a >0，即a <1时，－(a 2＋a ＋1)1－a <0，则有a ＋2<31－a.当1－a <0即a >1时，－(a 2＋a ＋1)1－a >0，则有a ＋2>31－a .综上知，当a <1时，a ＋2<31－a ，当a >1时，a ＋2>31－a .(2)a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝⎝⎛⎭⎫a b a －b ， 当a >b >0时，ab >1，a －b >0，则⎝⎛⎭⎫a b a －b>1，∴a a b b >a b b a； 当b >a >0时，0<ab <1，a －b <0，则⎝⎛⎭⎫a b a －b>1，∴a a b b >a b b a； 当a ＝b >0时，⎝⎛⎭⎫a b a －b＝1，∴a a b b ＝a b b a， 综上知a a b b ≥a b b a (当且仅当a ＝b 时取等号)．比较两个数(式)大小的两种方法(1)比较大小时，要把各种可能的情况都考虑进去，对不确定的因素需进行分类讨论，每一步运算都要准确，每一步推理都要有充分的依据．(2)用作商法比较代数式的大小一般适用于分式、指数式、对数式，作商只是思路，关键是化简变形，从而使结果能够与1比较大小．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b >aB ．a >c ≥bC ．c >b >aD ．a >c >b解析：c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，∴c ≥b .将题中两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2. ∵1＋a 2－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，∴1＋a 2>a ， ∴b ＝1＋a 2>a .∴c ≥b >a . 答案：A10.不等式变形中不等价致误【典例】 设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________．[解析] 法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，即5≤f (－2)≤10.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b 得⎩⎨⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.法三：由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4，确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝⎛⎭⎫32，12时， 取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f (－2)≤10. [答案] [5,10][易误点评] 解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a ，b 的范围，再求f (－2)＝4a －2b 的范围，导致变量范围扩大．[防范措施] (1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围；(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．[跟踪练习] 若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值范围．解：设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6， 两式相加，得1≤α＋3β≤7. ∴α＋3β的取值范围为[1,7]．A 组 考点能力演练1．已知1a <1b <0，则下列结论错误的是( )A ．a 2<b 2 B.b a ＋a b >2 C ．ab >b 2D ．lg a 2<lg ab解析：∵1a <1b <0，∴1b －1a ＝a －bab >0，∴a －b >0，∴ab －b 2＝(a －b )b <0，∴ab <b 2，故选C. 答案：C2．已知实数a ，b ∈(0,1)，且满足cos πa <cos πb ，则下列关系式成立的是( ) A ．ln a <ln b B ．sin a <sin b C.1a <1bD ．a 3<b 3解析：因为a ，b ∈(0,1)，则πa ，πb ∈(0，π)，而函数y ＝cos x 在(0，π)上单调递减，又cos πa <cos πb ，所以πa >πb ，即a >b ，由函数y ＝ln x ，y ＝sin x ，y ＝1x ，y ＝x 3的单调性知C正确．答案：C3．(2016·资阳一诊)已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是( ) A ．若a >b ，则|a |>|b | B ．若a >b ，则1a <1bC ．若|a |>b ，则a 2>b 2D ．若a >|b |，则a 2>b 2解析：当a ＝1，b ＝－2时，A 不正确；当a ＝1，b ＝－2时，B 不正确；当a ＝1，b ＝－2时，C 不正确；对于D ，a >|b |≥0，则a 2>b 2，故选D.答案：D4．已知ab >0，则“b <1a ”是“a <1b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由b <1a ，ab >0得ab 2<b ，又b 2>0，所以a <1b ，同理由a <1b 可得b <1a ，故选C.答案：C5．(2016·贵阳期末)下列命题中，正确的是( )A ．若a >b ，c >d ，则ac >bdB ．若ac >bc ，则a >bC ．若a c 2<bc2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d解析：A 项，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；B 项，当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，∴B 错误；C 项，∵a c 2<bc 2，∴c ≠0，又c 2>0，∴a <b ，C 正确；D 项，取a ＝c ＝2，b＝d ＝1，可知D 错误；故选C.答案：C6．若m <n ，p <q ，且(p －m )(p －n )<0，(q －m )(q －n )<0，则m ，n ，p ，q 的大小顺序是________．解析：把p ，q 看成变量，则m <p <n ，m <q <n ，即得m <p <q <n . 答案：m <p <q <n7．(2015·安庆二模)若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④a y >bx 这四个式子中，恒成立的不等式有________(写出所有恒成立的不等式的序号)．解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x >y ，a >b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5，∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．又ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不成立．又a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝bx ，因此④不成立．由不等式的性质可推出②成立．答案：②8．如果0<a <b <c <d <e ，S ＝a b ＋c d ＋1e ，则把变量________的值增加1会使S 的值增加最大(填入a ，b ，c ，d ，e 中的某个字母)．解析：显然变量a 或c 的值增加1会使S 的值增加，∵0<a <b <c <d <e ，∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋cd ＋1e －⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1d ＋1e ＝1b －1d ＝d －bbd >0，∴a ＋1b ＋c d ＋1e >a b ＋c ＋1d ＋1e ，即当变量a 的值增加1会使S 的值增加最大．答案：a9．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e (a －c )2>e(b －d )2.证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0. ∴(a －c )2>(b －d )2>0. ∴0<1(a －c )2<1(b －d )2. 又∵e <0，∴e (a －c )2>e(b －d )2.10．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元， 则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx .所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝⎛⎭⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2； 当n >5时，y 1<y 2； 当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．B 组 高考题型专练1．(2013·高考天津卷)设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：(a －b )·a 2<0，则必有a －b <0，即a <b ；而a <b 时，不能推出(a －b )·a 2<0，如a ＝0，b ＝1，所以“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的充分而不必要条件．答案：A2．(2012·高考湖南卷)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ；②ac <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( ) A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③解析：∵a >b >1，∴1a <1b.又c <0， ∴c a >c b ，故①正确． 当c <0时，y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数，又a >b >1，∴a c <b c ，故②正确．∵a >b >1，－c >0，∴a －c >b －c >1.∵a >b >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，即log b (a －c )>log a (b －c )，故③正确．答案：D3．(2014·高考山东卷)已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1>1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)C ．sin x >sin yD ．x 3>y 3解析：根据指数函数的性质得x >y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，B 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D 中的不等式恒成立．答案：D4．(2014·高考四川卷)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a c ＞b dB.a c ＜b dC.a d ＞b cD.a d ＜b c解析：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1，代入验证得A ，B ，C 均错，只有D 正确．答案：D。
3.1《不等关系与不等式》教案(新人教必修5)
课题 :§3.1 不等式与不等关系第1课时讲课种类： 新讲课 【教课目的】1．知识与技术：经过详细情形，感觉在现实世界和平时生活中存在着大批的不等关系，理 解不等式（组）的实质背景，掌握不等式的基天性质；2．过程与方法：经过解决详细问题，学会依照详细问题的实质背景剖析问题、解决问题的 方法；3．神态与价值：经过解决详细问题， 领会数学在生活中的重要作用，培育谨慎的思想习惯。
【教课要点】用不等式（组）表示实质问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
理解不等式（组）关于刻画不等关系的意义和价值。
【教课难点】用不等式（组）正确表示出不等关系。
【教课过程】1. 课题导入在现实世界和平时生活中， 既有相等关系， 又存在着大批的不等关系。
如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。
人们还常常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超出或许多于等来描绘某种客观事物在数目上存在的不等关系。
在数学中， 我们用不等式来表示不等关系。
下边我们第一来看如何利用不等式来表示不等关系。
2. 解说新课1）用不等式表示不等关系引例 1：限速 40km/h 的路标，指示司机在前面路段行驶时， 应使汽车的速度 v 不超出 40km/h ，写成不等式就是：v 40引例 2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应许多于 2.5%，蛋白质的含量p应许多于 2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示f2.5%p 2.3%问题 1：设点 A 与平面 的距离为 d,B 为平面上的随意一点，则 d |AB|。
问题 2：某种杂志原以每本 2.5元的价钱销售，能够售出 8 万本。
据市场检查，若单价每提高 0.1 元，销售量便可能相应减少 2000 本。
若把抬价后杂志的订价设为x 元，如何用不等式表示销售的总收入仍不低于 20 万元呢？解：设杂志社的订价为x 元，则销售的总收入为x 2.5(80.2)x 万元，那么不等关系0.1“销售的总收入仍不低于20 万元”能够表示为不等式(8x 2.50.2) x 200.1问题 3：某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种。
不等关系与不等式经典教案设计
不等关系与不等式【学习目标】1．了解不等式(组)的实际背景．2．掌握比较两个实数大小的方法．3．掌握不等式的八条性质．【学法指导】1．不等关系广泛存在于现实生活中，应用不等式(组)表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言”转化成“数学语言”，是用不等式知识解决实际问题的第一步．只需根据题意建立相应模型，把模型中的量具体化即可．2．作差法是比较两个数(或式)大小的重要方法之一，可简单概括为“三步一结论”，其中关键步骤“变形”要彻底，当不能“定号”时注意分类讨论．3．不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据，应用时每步都要做到等价变形．一、知识温故a－b＞0⇔；a－b＝0⇔；a－b＜0⇔ .3．常用的不等式的基本性质(1)a>b⇔b a(对称性)；(2)a>b，b>c⇒a c(传递性)；(3)a>b⇒a＋c b＋c(可加性)；(4)a>b，c>0⇒ac bc；a>b，c<0⇒ac bc；(5)a>b，c>d⇒a＋c b＋d；(6)a>b>0，c>d>0⇒ac bd；(7)a>b>0，n∈N，n≥2⇒a n b n；(8)a>b>0，n∈N，n≥2⇒二、经典范例问题探究一实数比较大小问题1(实数比较大小的依据)在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示可以看出a，b之间具有以下性质：如果a－b是正数，那么；如果a－b是负数，那么；如果a－b等于零，那么 .以上结论反过来也成立，即a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b.问题2(作差法比较实数的大小)向一杯a克糖水中加入m克糖，糖水变得更甜了．你能把这一现象用一个不等式表示出来吗？并证明你的结论．问题探究二不等式的基本性质问题3在实数大小比较的基础上，可以给出不等式八条基本性质的严格证明．证明时，可以利用前面的性质推证后续的性质．请同学们借助前面的性质证明性质6：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.问题4 初学者对不等式的八条基本性质往往重视不够，其实不等式的基本性质是不等式变形(证明不等式和求解不等式)的重要依据．请同学们解下面这个简单的一元一次不等式，体会并证明不等式基本性质的应用． 解不等式：－16x ＋34<23x －112.小结 (1)当问题中同时满足几个不等关系时，应用不等式组来表示它们之间的不等关系，另外若问题有几个变量，则选用几个字母分别表示这些变量即可．(2)解决这类有多个不等关系的问题时，要注意根据题设将所有不等关系都找出来． (3)若有表格、图象等，读懂表格，图象对解决这类问题很关键．变式练习1：某用户计划购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒．问：软件数与磁盘数应满足什么条件？变式练习2：已知x ＜1，试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．小结 作差后变形是比较大小的关键一环，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．变式练习3：(1)比较(a ＋3)(a －5)与(a ＋2)(a －4)的大小；(2)设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．变式练习4：已知a 、b 、c 为实数，判断以下各命题的真假．(1)若a >b ，则ac <bc ； (2)若ac 2>bc 2，则a >b ； (3)若a <b <0，则a 2>ab >b 2； (4)若c >a >b >0，则ac －a >bc －b；(5)若a >b ，1a >1b，则a >0，b <0.小结 在不等式的各性质中，乘法的性质极易出错，即在不等式两边同乘或除以一个数时，必须要确定该数是正数、负数或零，否则结论就不确定．变式练习5:判断下列各命题是否正确，并说明理由．(1)若c a <c b且c >0，则a >b ； (2)若a >b >0且c >d >0，则 a d> b c； (3)若a >b ，ab ≠0，则1a <1b；(4)若a >b ，c >d ，则ac >bd .三、过关测试 一、选择题1．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1b B ．a 2>b 2C.a c 2＋1>bc 2＋1D ．a |c |>b |c | 2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( )A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >aC.a b >a >a b 2D.a b >a b2>a 3．已知a 、b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．a 2b <ab 2C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b4．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <a <c D ．b <c <a5．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( )A ．b －a >0B ．a 3＋b 3<0C ．a 2－b 2<0 D ．b ＋a >06．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( ) A ．ab >ac B ．ac >bcC ．a |b |>c |b |D ．a 2>b 2>c 2二、填空题7．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围为________．8．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是________．9．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________．10．设n >1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________． 三、解答题11．设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －ba ＋b的大小．12．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，其中x ＞0且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小．能力提升13．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.1214．设x ，y ，z ∈R ，试比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．四、课后练习一、选择题1．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( )A.1a <1b B ．a 2>b 2C.a c 2＋1>bc 2＋1D ．a |c |>b |c |2．已知a 、b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．a 2b <ab 2C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b3．若x ∈(e－1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a4．若a >0且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，则M ，N 的大小关系为( )A ．M <NB ．M ≤NC ．M >ND ．M ≥N5．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( )A ．ab >acB ．ac >bcC ．a |b |>c |b |D ．a 2>b 2>c2二、填空题6．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围是________．7．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________．8．设n >1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________． 三、解答题9．比较x 6＋1与x 4＋x 2的大小，其中x ∈R .10．设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －ba ＋b 的大小．11.已知12<a <60,15<b <36，求a －b 及a b的取值范围．四、探究与拓展12．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，其中x ＞0且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小．部分参考答案：问题2：设原来a 克糖水中含糖b 克，加入m 克糖后，糖水浓度变大了，用不等式表示为b a <b ＋ma ＋m(其中a ，b ，m 均为正数，且a >b )．证明如下：b ＋m a ＋m －b a ＝a (b ＋m )－b (a ＋m )a (a ＋m )＝m (a －b )a (a ＋m )，又a ，b ，m 均为正数且a >b ，∴a －b >0，m (a －b )>0，a (a ＋m )>0，∴m (a －b )a (a ＋m )>0.因此，b ＋m a ＋m >b a，也就是糖水浓度更大了，糖水变得更甜了．问题3：证明⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫a ＞b ＞0c ＞0⇒ac ＞bc ＞0⎭⎪⎬⎪⎫c ＞d ＞0b ＞0⇒bc ＞bd ＞0⇒ac ＞bd .问题4：解 －16x ＋34<23x －112⇔－2x ＋9<8x －1 (不等式两边都乘以12，不等式方向不改变)⇔－2x <8x －10 (不等式两边都加上－9)⇔－10x <－10 (不等式两边都加上－8x )⇔x >1 (不等式两边都乘以－110，不等式方向改变)变式练习1：设软件数为x ，磁盘数为y ，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ 60x ＋70y ≤500，x ≥3且x ∈N ，y ≥2且y ∈N.变式练习2： ∵(x 3－1)－(2x 2－2x ): ＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1) ＝x 2(x －1)－(x －1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)[(x －12)2＋34]，∵(x －12)2＋34＞0，x －1＜0，∴(x －1)[(x －12)2＋34]＜0，∴x 3－1＜2x 2－2x .变式练习3：解 (1)∵(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7<0.∴(a ＋3)(a －5)<(a ＋2)(a －4)． (2)∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0，∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取等号．变式练习4：解 (1)c 是正、负或为零未知，因而缺少判断ac 与bc 的大小依据，故该命题为假命题． (2)由ac 2>bc 2知c ≠0，∴c 2>0，∴a >b ，故该命题为真命题．(3)⎭⎪⎬⎪⎫a <b a <0⇒a 2>ab ；又⎭⎪⎬⎪⎫a <b b <0⇒ab >b 2，∴a 2>ab >b 2，故该命题为真命题．(4)∵a >b >0，∴－a <－b ，∴c －a <c －b ，又∵c >a >b >0，∴1(c －a )(c －b )>0，在c －a <c －b 两边同乘1(c －a )(c －b )，得1c －a >1c －b >0，又a >b >0，∴a c －a >bc －b .故该命题为真命题．(5)由已知条件知a >b ⇒a －b >0，又1a >1b ⇒1a －1b >0⇒b －aab>0，∵a －b >0，∴b －a <0，∴ab <0.又a >b ，∴a >0，b <0，故该命题为真命题．变式练习5：解 (1)⎭⎪⎬⎪⎫c a <c b c >0⇒1a <1b ，但推不出a >b ，故(1)错．(2)⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0c >d >0⇒a d >b c>0⇒ ad> bc成立，故(2)对． (3)错．例如，当a ＝1，b ＝－1时，不成立． (4)错．例如，当a ＝c ＝1，b ＝d ＝－2时，不成立．过关测试：1、答案 C解析 对A ，若a >0>b ，则1a >0，1b <0，此时1a >1b，∴A 不成立；对B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，∴B 不成立； 对C ，∵c 2＋1≥1，且a >b ，∴a c 2＋1>bc 2＋1恒成立，∴C 正确； 对D ，当c ＝0时，a |c |＝b |c |，∴D 不成立． 2、答案 D解析 取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12，∴a b >ab2>a .3、答案 C解析 对于A ，当a <0，b <0时，a 2<b 2不成立；对于B ，当a <0，b >0时，a 2b >0，ab 2<0，a 2b <ab 2不成立；对于C ，∵a <b ，1a 2b2>0，∴1ab 2<1a 2b ； 对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝ab＝－1.4、答案 C解析 ∵1e<x <1，∴－1<ln x <0.令t ＝ln x ，则－1<t <0.∴a －b ＝t －2t ＝－t >0，∴a >b .c －a ＝t 3－t ＝t (t 2－1)＝t (t ＋1)(t －1)， 又∵－1<t <0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1，∴c －a >0，∴c >a .∴c >a >b . 5、答案 D解析 由a >|b |得－a <b <a ，∴a ＋b >0，且a －b >0.∴b －a <0，A 错，D 对．可取特值，如a ＝2，b ＝－1，a 3＋b 3＝7>0，故B 错．而a 2－b 2＝(a －b )(a ＋b )>0，∴C 错． 6、答案 A 解析 由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0知a >0，c <0，又∵a >0，b >c ，∴ab >ac .故选A. 7、答案 [－1,6]解析 ∵－1≤b ≤2，∴－2≤－b ≤1，又1≤a ≤5，∴－1≤a －b ≤6.8、答案 f (x )>g (x )解析 ∵f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，∴f (x )>g (x )．9、答案 x 1＋x 2≤12解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 221＋x 2＝－x －1221＋x 2≤0，∴x 1＋x 2≤12.10、答案 A >B 解析 A ＝1n ＋n －1，B ＝1n ＋1＋n .∵n ＋n －1<n ＋1＋n ，并且都为正数，∴A >B .11、解 方法一 作差法 a 2－b 2a 2＋b 2－a －b a ＋b ＝a ＋b a 2－b 2－a －b a 2＋b2a 2＋b 2a ＋b ＝a －b[a ＋b 2－a 2＋b 2]a 2＋b 2a ＋b ＝2ab a －ba ＋b a 2＋b 2∵a >b >0，∴a ＋b >0，a －b >0,2ab >0.∴2ab a －b a ＋b a 2＋b 2>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b .方法二 作商法∵a >b >0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －b a ＋b >0.∴a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b＝a ＋b 2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1.∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －ba ＋b.12、解 f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x4，①当⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜1，3x4＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，0＜3x4＜1，即1＜x ＜43时，log x 3x4＜0，∴f (x )＜g (x )；②当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x4＝0，即f (x )＝g (x )；③当⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜1，0＜3x4＜1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，3x4＞1，即0＜x ＜1，或x ＞43时，log x 3x4＞0，即f (x )＞g (x )．综上所述，当1＜x ＜43时，f (x )＜g (x )；当x ＝43时，f (x )＝g (x )；当0＜x ＜1，或x ＞43时，f (x )＞g (x )．13、答案 A解析 方法一 特殊值法．令a 1＝14，a 2＝34，b 1＝14，b 2＝34，则a 1b 1＋a 2b 2＝1016＝58，a 1a 2＋b 1b 2＝616＝38，a 1b 2＋a 2b 1＝616＝38，∵58>12>38，∴最大的数应是a 1b 1＋a 2b 2.方法二 作差法．∵a 1＋a 2＝1＝b 1＋b 2且0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，∴a 2＝1－a 1>a 1，b 2＝1－b 1>b 1，∴0<a 1<12，0<b 1<12.又a 1b 1＋a 2b 2＝a 1b 1＋(1－a 1)(1－b 1)＝2a 1b 1＋1－a 1－b 1，a 1a 2＋b 1b 2＝a 1(1－a 1)＋b 1(1－b 1)＝a 1＋b 1－a 21－b 21，a 1b 2＋a 2b 1＝a 1(1－b 1)＋b 1(1－a 1)＝a 1＋b 1－2a 1b 1，∴(a 1b 2＋a 2b 1)－(a 1a 2＋b 1b 2)＝a 21＋b 21－2a 1b 1＝(a 1－b 1)2≥0，∴a 1b 2＋a 2b 1≥a 1a 2＋b 1b 2.∵(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝4a 1b 1＋1－2a 1－2b 1 ＝1－2a 1＋2b 1(2a 1－1)＝(2a 1－1)(2b 1－1)＝4⎝⎛⎭⎪⎫a 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－12>0，∴a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1. ∵(a 1b 1＋a 2b 2)－12＝2a 1b 1＋12－a 1－b 1＝b 1(2a 1－1)－12(2a 1－1)＝(2a 1－1)⎝⎛⎭⎪⎫b 1－12 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－12>0，∴a 1b 1＋a 2b 2>12. 综上可知，最大的数应为a 1b 1＋a 2b 2.14、解 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2)＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0，∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取到等号．课后练习答案：1．C 2.C 3.C 4.C 5.A6．[－1,6] 7.x 1＋x 2≤12 8.A >B9．解 x 6＋1－(x 4＋x 2)＝x 6－x 4－x 2＋1 ＝x 4(x 2－1)－(x 2－1)＝(x 2－1)(x 4－1) ＝(x 2－1)2(x 2＋1)≥0.∴当x ＝±1时，x 6＋1＝x 4＋x 2； 当x ≠±1时，x 6＋1>x 4＋x 2. 综上所述，x 6＋1≥x 4＋x 2， 当且仅当x ＝±1时取等号． 10．解 方法一 作差法∵a 2－b 2a 2＋b 2－a －b a ＋b＝(a ＋b )(a 2－b 2)－(a －b )(a 2＋b 2)(a 2＋b 2)(a ＋b )＝(a －b )[(a ＋b )2－(a 2＋b 2)](a 2＋b 2)(a ＋b )＝2ab (a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2). ∵a >b >0，∴a ＋b >0，a －b >0,2ab >0.∴2ab (a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2)>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 方法二 作商法∵a >b >0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －b a ＋b>0. ∴a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b＝(a ＋b )2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1.∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 11．解 ∵15<b <36，∴－36<－b <－15.∴12－36<a －b <60－15，∴－24<a －b <45.又136<1b <115，∴1236<a b <6015， ∴13<a b<4. ∴－24<a －b <45，13<a b<4. 12．解 f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x 4， ①当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，3x 4＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞1，0＜3x 4＜1，即1＜x ＜43时，log x 3x 4＜0， ∴f (x )＜g (x )；②当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x 4＝0， 即f (x )＝g (x )；③当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，0＜3x 4＜1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞1，3x 4＞1，即0＜x ＜1，或x ＞43时，log x 3x 4＞0， 即f (x )＞g (x )．综上所述，当1＜x ＜43时，f (x )＜g (x )； 当x ＝43时，f (x )＝g (x )； 当0＜x ＜1，或x ＞43时，f (x )＞g (x )．。
不等关系与不等式教案 (3)
第三章不等式不等关系和不等式第二十一课时（一）教学目标1．知识与技能:使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容。
2.过程与方法:以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系；3．情态与价值：通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量。
（二）教学重、难点重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。
（三）教学设想[创设问题情境]问题1：设点A与平面α的距离为d，B为平面α上的任意一点，则d≤AB。
问题2：某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出8万本。
根据市场调查，若单价每提高元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？分析：若杂志的定价为x元，则销售的总收入为2.580.20.1xx-⎛⎫-⨯⎪⎝⎭万元。
那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式2.580.20.1xx-⎛⎫-⨯⎪⎝⎭≥20问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。
怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根..根据题意，应有如下的不等关系：（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm；（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。
由以上不等关系，可得不等式组：500600400030x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ [练习]：第82页，第1、2题。
不等关系与不等式的复习教案
教案过程一、复习预习教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容二、知识讲解考点/易错点1比较两个实数的法则设a，b∈R，则（1）a－b＞0⇔a＞b；（2）a－b＝0⇔a＝b；（3）a－b＜0⇔a＜b.考点/易错点2不等式的基本性质(1)倒数性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd.③0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a .(2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则①真分数的性质：b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m (b －m >0)．②假分数的性质： a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m(b －m >0). 三、例题精析【例题1】【题干】(1)若x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小；(2)设a >0，b >0且a ≠b ，试比较a a b b 与a b b a 的大小．【解读】(1)(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y ) ∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0， ∴－2xy (x －y )>0，∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )． (2)根据同底数幂的运算法则． a a b b a b b a ＝a a －b ·b b －a ＝(a b )a －b， 当a >b >0时，ab >1，a －b >0，则(ab )a －b >1，于是a a b b >a b b a . 当b >a >0时，0<ab <1，a －b <0，则(ab)a －b >1，于是a a b b >a b b a . 综上所述，对于不相等的正数a 、b ，都有a a b b >a b b a .【点评】比较大小的常用方法：(1)作差法一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特值法若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可以用特值法探究思路，其实质就是利用特殊值判断．【例题2】【题干】对于实数a 、b 、c ，判断下列命题的真假．(1)若a >b ，则ac >bc ； (2)若a >b ，则ac 2>bc 2； (3)若a <b <0，则a 2>ab >b 2； (4)若a <b <0，则1a >1b.【解读】(1)因未知c 的正负或是否为零，无法确定ac 与bc 的大小，所以是假命题．(2)因为c 2≥0，所以只有c ≠0时才能正确．c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以是假命题．(3)a <b ，a <0⇒a 2>ab ；a <b ，b <0⇒ab >b 2，命题是真命题． (4)由性质定理a <b <0⇒1a >1b，命题是真命题．【点评】(1)要注意不等式性质成立的条件．例如，重要结论a >b ，ab >0⇒1a <1b ，不能弱化条件得a >b ⇒1a <1b.(2)要正确处理带等号的情况．如由a >b ，b ≥c 或a ≥b ，b >c 均可得出a >c ；而由a ≥b ，b ≥c 可能是a >c ，也可能有a ＝c ，当且仅当a ＝b 且b ＝c 时，才会 有a ＝c .【例题3】【题干】设f (x )＝ax 2＋bx,1≤f (－1)2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．【解读】设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )．即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝1，∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 故5≤f (－2)≤10.【点评】一般地，由a <f 1(x 1，y 1)<b ，c <f 2(x 1，y 1)<d ，求g (x 1，y 1)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设g (x 1，y 1)＝pf 1(x 1，y 1)＋qf 2(x 1，y 1)，用恒等变形求得p ， q ，再利用不等式的性质求得g (x 1，y 1)的取值范围．【例题4】【题干】已知－π2≤α<β≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范围．【解读】∵－π2≤α<π2，①－π2<β≤π2，② ①＋②得－π<α＋β<π， ∴－π2<α＋β2<π2.∵－π2<β≤π2，∴－π2≤－β<π2.③①＋③得－π≤α－β<π， ∴－π2≤α－β2<π2.又α<β，∴α－β2<0，∴－π2≤α－β2<0.四、课堂运用【基础】1． x ＝(a ＋3)(a －5)与y ＝(a ＋2)(a －4)的大小关系是() A ．x >y B ．x ＝y C ．x <y D ．不能确定 [答案]C[解读]∵x －y ＝a 2＋3a －5a －15－a 2－2a ＋4a ＋8 ＝－7<0，∴x <y .2．设a ＞b >0，则下列不等式成立的是() A ．|b －a |≥1B ．2a <2b C ．lg a b <0 D ．0<b a <1[答案]D[解读]∵a >b >0∴0<ba<1.故选D.3．设a >1>b >－1，则下列不等式恒成立的是() A.1a <1b B.1a >1b C ．a 2>1b 2D ．a >b 2[答案]D[解读]若b <0，则1b <0，∴1a >1b ，故A 不正确．若b >0，由a >1>b >0，得1a <1b ，故B 也不正确．当a ＝2，b ＝13时，a 2＝4<9＝1b 2，∴C 也不正确．∵－1<b <1，∴0≤b 2<1.∴a >1>b 2，D 正确．4．设a ＝2－5，b ＝5－2，c ＝5－25，则a ，b ，c 之间的大小关系为________． [答案]a <b <c[解读]∵a ＝2－5＝4－5<0，b >0，c ＝5－25＝25－20>0，且b －c ＝35－7＝45－49<0， ∴a <b <c .5．已知m 为实数，试比较代数式32m 2＋1和1m 2－m ＋2的大小．[解读]∵m 为实数，∴2m 2＋1>0，m 2－m ＋2＝⎝⎛⎭⎫m －122＋74>0. ∴32m 2＋1－1m 2－m ＋2＝3m 2－3m ＋6－2m 2－1(2m 2＋1)(m 2－m ＋2)＝m 2－3m ＋5(2m 2＋1)(m 2－m ＋2)＝⎝⎛⎭⎫m －322＋114(2m 2＋1)(m 2－m ＋2)>0， ∴32m 2＋1>1m 2－m ＋2. 【巩固】1．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c b ；②a c <b c 。
高中数学必修五不等关系与不等式教案
第三章不等式必修5 3.1 不等关系与不等式一、教学目标1.通过具体问题情境, 让学生感受到现实生活中存在着大量的不等关系；2.通过了解一些不等式（组）产生的实际背景的前提下, 学习不等式的相关内容；3.理解比较两个实数（代数式）大小的数学思维过程.二、教学重点:用不等式（组）表示实际问题中的不等关系, 并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.三、教学难点:使用不等式（组）正确表示出不等关系.四、教学过程:（一）导入课题现实世界和生活中, 既有相等关系, 又存在着大量的不等关系我们知道, 两点之间线段最短, 三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边, 等等.人们还经常用长与短, 高与矮, 轻与重, 大与小, 不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.在数学中, 我们用不等式来表示这样的不等关系.提问：1.“数量”与“数量”之间存在哪几种关系？ (大于、等于、小于)..2.现实生活中, 人们是如何描述“不等关系”的呢？（用不等式描述）引入知识点:1.不等式的定义: 用不等号<、>、≤、≥、≠表示不等关系的式子叫不等式.2.不等式a b的含义.不等式应读作“大于或者等于”, 其含义是指“或者> , 或者= ”, 等价于“不小于, 即若> 或= 之中有一个正确, 则正确.3.实数比较大小的依据与方法.（1）如果是正数, 则；如果等于零, 则；如果是负数, 则.反之也成立, 就是（>0 > ；=0 = ；<0 < ）. （2）比较两个实数与的大小, 需归结为判断它们的差的符号, 至于差的值是什么, 无关紧要.（二）基础练习1.用不等式表示下面的不等关系:（1）a与b的和是非负数；（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”；解: （1）；（2）.2.有一个两位数大于50而小于60, 其个位数字比十位数字大2.试用不等式表示上述关系（用和分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）.解: 由题意知43481158451111a a ⇒<<⇒<<. 3.比较（a +3）（a -5）与（a +2）（a -4）的大小.解: （ +3）（ -5）-（ +2）（ -4）=（ 7<0,∴（a +3）（a -5）<（a +2）（a -4）.（三）提升训练1.比较 与 的大小, 其中 R.解：()2222223333333333322244x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+=-+-+=-+≥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 0>，233x x ∴+>.方法总结: 两个实数比较大小, 通常用作差法来进行, 其一般步骤是:第一步: 作差；第二步: 变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将差化积；第三步: 定号.最后得出结论..2.小明带了20元钱去超市买笔记本和钢笔.已知笔记本每本2元, 钢笔每枝5元.设他所能买的笔记本和钢笔的数量分别为 , , 则 , 应满足关系式3.一个盒中红、白、黑三种球分别有 个、 个、 个, 黑球个数至少是白球个数的一半, 至多是红球的 , 白球与黑球的个数之和至少为55, 使用不等式将题中的不等关系表示出来（ N*）. 解：,3255.x y z y z ⎧≥≥⎪⎨⎪+≥⎩（四）课后巩固练习题：1,2.. 习题3..A 组：1,2.。
不等关系与不等式教案及练习
§3.1 不等式关系与不等式教学目的：1.在学生理解了一些不等式(组)生产的实际背景的前提下,学习不等式的相关内容;2.利用数轴回忆实数的基本理论,并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小,以及用实数理论来证明不等式的一些性质;3.通过回忆和复习学生所熟悉的等式性质类比得到不等式的一些基本性质;4.在理解不等式的一些基本性质的基础上,利用它们来证明一些简单的不等式;5.通过对富有实际意义问题的解决,激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度,同时去感受数学的应用性,体会数学的奥秘与数学的结构美,激发学生学习的兴趣. 教学重点：1.用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题;2.掌握不等式性质定理及推论,注意每个定理的条件;3.不等式的基本性质的应用.教学难点：1.用不等式(组)准确地表示出不等关系;2.差值比较法：作差→变形→判断差值的符号;3.不等式的基本性质的应用.教学过程：一、引入新课：在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存有着大量的不等关系.如两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,等等.人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或很多于等来描绘某种客观事物在数量上存有的不等关系.在数学中,我们用不等式来表示不等关系.下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系.二、讲解新课：(一)用不等式表示不等关系引例1 限速40km/h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v 不超过40km/h,写成不等式就是:40v ≤引例2 某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应很多于%5.2,蛋白质的含量p 应很多于%3.2,写成不等式组就是——用不等式组来表示2.5%2.3%f p ≤⎧⎨≥⎩ 问题1: 设点A 与平面α的距离为d ,B 为平面α上的任意一点,则||d AB ≤.问题2: 某种杂志原以每本5.2元的价格销售,能够售出8万本.据市场调查,若单价每提升1.0元,销售量就可能相对应减少2000本.若把提价后杂志的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解: 设杂志社的定价为x 元,则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯万元, 那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”能够表示为不等式2.5(80.2)200.1x x --⨯≥ 问题3: 某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种.按照生产的要求,600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍.怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢? 解: 假设截得500mm 的钢管x 根,截得600mm 的钢管y 根.根据题意,应有如下的不等关系:(1)截得两种钢管的总长度不超过4000mm;(2)截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍;(3)截得两种钢管的数量都不能为负.要同时满足上述的三个不等关系,能够用下面的不等式组来表示:5006004000;3;0;0.x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩(二)不等式的基本性质1.判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数b a ,,在b a b a b a <=>,,三种关系中有且仅有一种成立.判断两个实数大小的充要条件是:0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a0<-⇔<b a b a由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就能够了．2.不等式的定义用不等号连接两个解析式所得的式子,叫做不等式.说明: (1)不等号的种类:≠≤≥<>,,,,.(2)解析式是指:代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等).(3)不等式研究的范围是实数集R .3.同向不等式与异向不等式同向不等式:两个不等号方向相同的不等式;例如d c b a >>,,是同向不等式.异向不等式:两个不等号方向相反的不等式;例如d c b a <>,,是异向不等式.4.不等式的性质定理1：假设b a >,那么a b <,假设a b <,那么b a >.(对称性)即a b b a <⇔>证明: ∵b a >∴0>-b a由正数的相反数是负数,得0)(<--b a即0<-a b∴a b <(定理的后半部分略)点评：定理1即 a b b a <⇔>定理2：假设b a >且c b >,那么c a >.(传递性)即c a c b b a >⇒>>,证明：∵c b b a >>,∴0,0>->-c b b a根据两个正数的和仍是正数得0)()(>-+-c b b a 即0>-c a∴c a >点评：(1)根据定理l,定理2还能够表示为a c a b b c <⇒<<,;(2)不等式的传递性能够推广到n 个的情形.定理3：假设b a >,那么c b c a +>+.即c b c a b a +>+⇒>(加法性质)证明：∵b a >∴0>-b a∴0)()(>+-+c b c a 即c b c a +>+点评：(1)定理3的逆命题也成立;(2)利用定理3能够得出,假设c b a >+,那么b c a ->,也就是说,不等式中任何一项改变符号后,能够把它从—边移到另一边.推论：假设b a >且d c >,那么d b c a +>+(相加法则)即d b c a d c b a +>+⇒>>,证法一：d b c a d b c b d c c b c a b a +>+⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒> 证法二：⇒>-+-⇒⎭⎬⎫>-⇒>>-⇒>000d c b a d c d c b a b a d b c a +>+ 点评：这个推论能够推广到任意有限个同向不等式两边分别相加,即两个或者更多个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向.定理4：假设b a >且0>c ,那么bc ac >;假设b a >且0<c ,那么bc ac <.(乘法性质)证明：∵c b a bc ac )(-=-∵b a >∴0>-b a当0>c 时,0)(>-c b a 即bc ac >当0<c 时,0)(<-c b a 即bc ac <推论1: 假设0>>b a 且0>>d c ,那么bd ac >.(相乘法则)证明：,0a b c >> ac bc ∴> ①又,0,c d b >> ∴bc bd > ②由①、②可得ac bd >.说明： (1)所有的字母都表示正数，假设仅有,a b c d >>，就推不出ac bd > 的结论.(2)这个推论能够推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向.推论2: 若0,(1)n n a b a b n N n >>>∈>则且.说明：(1)推论2是推论1的特殊情形;(2)应强调学生注意N n ∈1n >且的条件,假设0>>b a ,那么n n b a >(N n ∈且1>n ).定理5: 若0>>b a ,则n n b a >(N n ∈且1>n ).(指数运算性质)点拨：遇到困难时,可从问题的反面入手,即所谓的“正难则反”.我们用反证法来证明定理5,因为反面有两种情形,=所以不能仅仅<就“归谬”了事,而必须实行“穷举”.证明：假定n a 不大于n b ,<或者n n b a =由推论2和定理1,<,有a b <; 当n n b a =时,显然有b a = 这些都同已知条件0a b >>矛盾>点评：反证法证题思路是:反设结论→找出矛盾→肯定结论. 定理6：若b a >且0>ab ,则11.a b <(倒数性质) 证明：aba b b a -=-11 0,>>ab b a 又 011,0<-=-<-∴ab a b b a a b ba 11<∴ 5.不等式的基本性质小结(1)a b b a <⇔>;a b b a <⇔>(定理1,对称性)(2)c a c b b a >⇒>>,(定理2,传递性)(3)c b c a b a +>+⇒>(定理3,加法单调性)(4)d b c a d c b a +>+⇒>>,(定理3推论,同向不等式相加)(5)d b c a d c b a ->-⇒<>,(异向不等式相减)(6)bc ac c b a >⇒>>0,.;bc ac c b a <⇒<>0,(定理4,乘法单调性)(7)bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(定理4推论1,同向不等式相乘) (8)d b c a d c b a >⇒<<>>0,0(异向不等式相除) (9)0,>>ab b a ba 11<⇒(倒数关系) (10))1,(0>∈>⇒>>n Z nb a b a n n 且(定理4推论2,平方法则) (11))1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且(开方法则)(**)ααααααb a b a b a b a <⇒<>>>⇒>>>0,0;0,0(**)0,0>>b a ,则1 ;1 ;1<⇔<=⇔=>⇔>ba b a b a b a b a b a三、讲解范例：(一)用不等式表示不等关系例1 如图,函数)(x f y =反映了某公司产品的销售收入y 万元与销售量x 吨的函数关系,)(x g y =反映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系,试问:(1)当销售量为多少时,该公司赢利(收入大于成本);(2)当销售量为多少时,该公司亏损(收入小于成本).解: 略例2 某用户计划购买单价分别为60元,70元的单片软件和盒装磁盘,使用资金不超过500元,根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒.问:软件数与磁盘数应满足什么条件? 解: 略例3 某厂使用两种零件B A ,,装配两种产品甲,乙,该厂的生产水平是月产量甲最多2500件,月产量乙最多1200件,而组装一件产品,甲需要4个A ,2个B ;乙需要6个A ,8个B .某个月,该厂能用的A 最多有14000个,B 最多有12000个.用不等式将甲,乙两种产品产量之间的关系表示出来.解: 略例4 若需要在长为4000mm 的圆钢上,截出长为698mm 和518mm 两种毛坯,问怎样写出满足上述条件所有不等关系的不等式组?解: 略(二)不等式的基本性质例1 已知0≠x ,比较22)1(+x 与124++x x 的大小.引伸: 在例中,假设没有0≠x 这个条件,那么两式的大小关系如何?结论: 例1是用作差比较法来比较两个实数的大小,其一般步骤是:作差——变形——判断符号.这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题,至于差本身是多少,在此无关紧要.例2 已知0,0>>>m b a ,试比较m a m b ++与a b 的大小. 解: 略例3 已知d c b a <<>>0,0,求证:d b c a > 证明: 略例4 已知y x >且0≠y ,比较y x 与1的大小. 解: 略思考题:1.设*,0,,a b n N >∈且b a ≠,比较()()n n a b a b ++与112()n n ab +++的大小.2.比较222c b a ++与ca bc ab ++的大小.3.已知y x ,均为正数,设yx N y x M +=+=4,11,试比较M 和N 的大小.例5 若31,51<-<-<+<b a b a ,求b a 23-的范围.解: 略类型题: 已知bx ax x f +=2)(,假设4)1(2,2)1(1≤≤≤-≤f f .求证:14)2(7≤≤f .分析: 利用(1)f -与(1)f 设法表示b a ,然后再代入(2)f 的表达式中,从而用(1)f - 与来表示(2)f , 最后使用已知条件确定(2)f 的取值范围.思考题:1.若R b a ∈,,求不等式b a b a 11,>>同时成立的条件.2.||||,0b a ab >>,比较a 1与b 1的大小.3.若0,0<<>>d c b a ,求证:db c a ->-ππααsin sin log log .4.设函数)(x f 的图象为一条开口向上的抛物线.已知y x ,均为不等正数, 0,0>>q p 且1=+q p ,求证:)()()(y qf x pf qy px f +<+四、课堂练习：1.在以下各题的横线处适当的不等号: (1)2)23(+ 626+; (2)2)23(- 2)16(-;; (4)当0.>>b a 时,a 21log b 21log . 2.选择题:(1)若01,0<<-<b a ,则有( )A. 2ab ab a >>B. a ab ab >>2C. 2ab a ab >>D. a ab ab >>2(2)2log 2log n m >成立当且仅当( )A ．1>>m n 或01>>>n mB ．01>>>n mC ．1>>m n 或01>>>m n 或01>>>n mD ．1>>n m3.比较大小：(1))7)(5(++x x 与2)6(+x (2)31log 21与21log 314.假设0>x ,比较2)1(-x 与2)1(+x 的大小.5.已知0≠a ,比较)12)(12(22+-++a a a a 与)1)(1(22+-++a a a a 的大小.6.已知142=+y x ,比较22y x +与201的大小.7.比较θsin 2与θ2sin 的大小(πθ20<<).8.设0>a 且1≠a ,0>t ,比较t a log 21与21log +t a 的大小.9.设0>a 且1≠a ,比较)1(log 3+a a 与)1(log 2+a a 的大小.10.假设0,>b a ,求证:a b a b >⇔>1。
人教版七年级数学下册《不等式与不等式组复习课》教学设计
《不等式与不等式组复习课》教学设计一、设计思想：“不等式”是初中数学核心内容之一。
就不等式的解法来说，它是一种重要的数学技能；而就不等式的广泛作用来说，不管是与实际相关的问题，还是纯粹的数学问题，不管是代数方面的问题，还是几何图形方面的问题，乃至更为一般化的问题，只要是求未知数的值或范围的问题，经常要借助于不等式，可见学好不等式具有非常重要的意义。
这节课是全章复习课。
由于学生刚刚学完本章内容，因此在本节复习中主要以题带知识点的形式进行复习。
教师主要在习题的设计上选好典型例题，复习的知识尽量全面。
教学效果上使不同的学生有不同的收获。
二、教学内容分析：1、《数学课程标准》对本章教学内容的要求：①能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质。
②会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。
会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集。
③能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的问题。
2、本节内容在教材的地位和作用。
本部分内容在教材中承接4-6学段的不等关系，又为后续方程、函数三角函数、几何等内容的学习起着铺垫作用，中中考中也是综合考查，因此学好本章内容对于解决这些综合问题起着举足轻重的作用。
三、教学目标：1、知识技能：①掌握不等式的概念和性质，能根据不等式的性质解决有关问题；②掌握不等式（组）的解法，会求不等式（组）的解集；③能根据不等式组的解集确定字母系数的范围；2、过程方法：通过列不等式或不等式组解决具有不等关系的实际问题，让学生体会不等式是解决实际问题的有效的数学模型。
3、情感态度：①通过复习教学，继续强化用数学的意识，从而使学生乐于接触能够在数学活动中发挥积极作用。
②通过探索，增进学生之间的配合，使学生敢于面对数学活动中的困难，并有克服困难和运用知识解决问题的成功体验，树立学好数学的自信心。
教学重点:不等式（组)的解法的规范性及实际应用。
教学案3.1.1不等关系与不等式
2.用不等式表示，某厂最低月生活费a不低于300元（）.
A． B． C． D．
3.下列不等式
4.已知 ， ，那么 的大小关系是（）.
A． B． C． D．
5.用不等式表示：a与b的积是非正数___________
6.用不等式表示：某学校规定学生离校时间t在16点到18点之间_______________________
7．证明下列不等式，并说明式中等号成立的条件：
新疆部高中2012级数学教学案
学科
数学
编制人
于培勇
教学案编号
课型
复习课
课题
§3.1.1不等关系与不等式
教学过程设计
一．学习目标1.了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系；
2.会从实际问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组
二．基础知识：
1.写出所有的不等号
2.
3.任意两个实数 有几种关系①②③
4.
三．典型例题 ：
文字语言
数学符号
文字语言
数学符号
大于
至多
小于
至少
大于等于
不少于
小于等于
不多于
例1.比较下列式子的大小
(1) 与 (2) 与
(3) 与1 (4) 比较 与
例2证明下列不等式
(1)设 求证:
(2)
(3)已知 ,求证: ,并说明等号成立的条件.
四．小结
五．反馈练习：
1.下列不等式中不成立的是（）.
《不等式与不等关系》教案
《不等关系与不等式》教学设计一教学目标1．掌握比较两个实数大小的方法．2．掌握不等式的八条性质，并能进行简单应用．二教学重难点重点：1.作差法比较两个实数（式）的大小.2.不等式的八条性质的理解和应用.难点：不等式性质的理解和应用.三教学过程（1）复习引入师：在上节课的学习中，我们知道生活中存在着大量的不等关系，怎样用数学语言表示这些不等关系呢？生：用不等式表示.师：本节课我们就具体来学习不等关系与不等式。
（板书课题）（2）课堂探究探究一实数（式）比较大小在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示可以看出a，b之间具有以下性质：如果a－b>0，那么；如果a－b<0，那么；如果a－b=0，那么 .该结论反过来也成立，即a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b. 师：从这种等价关系来看，要比较两个实数a，b的大小，可以由它们的差与0的大小关系来决定，即作差法。
例1 试比较 (x+1)(x+5) 与23（+的大小.x）解由于 (x+1)(x+5)−2)3x(+=)9+xx+x-x6(6+)5(2+=-4<0所以 (x+1)(x+5)<23（+.x）师：请你总结作差法比较实数大小的方法。
生：作差变形判断符号得出结论。
师：在变形时，常用的方法有：配方法，因式分解、分子有理化等，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．练习设a=2x−x,b=x−2,则a与b的大小关系为( ).A.a>bB.a=bC.a<bD.与x有关生：自主思考，由一名学生黑板展示并讲解。
探究二不等式的基本性质师：初中我们学过哪些不等式的性质？生：性质1(对称性) 如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.性质2(传递性) 如果a>b，b>c，那么a>c.性质3(可加性) 如果a>b，则a+c>b+c.性质4(可乘性) 如果a>b，c>0，则a c>bc；如果a>b，c<0，则a c<bc.师：思考：用“>”或“<”填空（1）如果a>b,c>d,则a+c b+d（2）如果a>b>0,c>d>0,则a c bd(3) 如果a>b>0,则2a2b(4) 如果a>b>0,.生：独立思考后小组交流，由一个小组回答并证明.师：这样我们就讲不等式的性质又拓展出以下四条：1. （同向可加性）如果a >b ，c>d ，则a +c>b+d ；2. （同向同正可乘性）如果a >b>0，c>d>0，则a c>bd ；3. （可乘方性）如果a >b>0，则n n b a >，(n ∈+N )；4. （可开方性）如果a>b>0，则n n b a >，(n ∈+N , n ≥2).例2 若0>>b a ，0<<d c ，则下列结论正确的是（ ）A. 0>-b d c aB.0<-b d c aC.c b d a >D.c b d a <生：思考后，由一名学生回答。
不等关系与不等式 教案
3.1不等关系与不等式教学目标知识与技能通过具体情境，感受在现实和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。
过程与方法根据具体问题，让学生经历从不等关系实际情境中抽象出不等式模型的过程。
感知不等关系和不等式之间的内在联系，并通过具体的操作归纳、总结已达到理解的目的。
让学生在获得数学基础知识的基础上，了解它们产生的背景、应用、使学生学会数学思考问题，解决问题。
情感、态度与价值观让学生感受数学来源于生活，初步体会数学形成过程，逐步培养学生学习数学的良好品质重点与难点重点用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
难点用不等式（组）正确表示出不等关系。
一：课题导入教学内容：举出生活中和以前不等关系的例子。
提出问题：在日常生活中，我们经常遇到不等关系的问题，你能举出不等关系的例子吗？引导：以前学过相等关系表示，那么如何表示不等关系呢？设计意图：通过让学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分讨论。
使学生感受到现实世界中存在大量不等关系，引起学生探求新知识的欲望。
二：讲授新课提问题：表示不等关系的符号有哪些？举例子：在数学中我们不等式表示不等关系。
例如，限速40km/h的路标，指示司机在前方路段时，应使汽车的速度v不超过40km/h，谢忱不等式就是V≤40某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪含量f 应不少于2.5%蛋白质含量p 应不少于2.3%写成不等式组就是{f ≤2.5%且p ≥2.3%}设计意图：通过引例以及自例的处理过程，培养学生的问题意识与探究意识。
三、应用举例问题1 设点A 与平面a 的距离d,平面a 上任一点，则d ≤│AB │问题2某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入扔不低于20万元呢？问题3铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 的两种。
高三数学不等关系与不等式教案
高三数学不等关系与不等式教案教案：高三数学不等关系与不等式一、教学目标：1. 理解不等关系的含义和性质；2. 掌握不等式的基本性质和解法方法；3. 能够应用不等式解决实际问题。
二、教学内容：1. 不等关系：a. 不等关系的定义；b. 不等关系的性质。
2. 不等式：a. 不等式的定义；b. 不等式的基本性质；c. 不等式的解法方法；d. 不等式的实际应用。
三、教学过程：1. 不等关系：a. 引入不等关系的概念，通过实际例子说明不等关系的含义；b. 讲解不等关系的定义，并通过例题让学生理解不等关系的性质。
2. 不等式：a. 讲解不等式的定义和基本性质，包括加减乘除等运算对不等式的影响；b. 教授不等式的解法方法，包括图像法、试数法和代数法；c. 通过例题和练习让学生掌握不等式的解题技巧。
3. 不等式的实际应用：a. 引导学生观察和分析实际问题中的不等关系；b. 结合实际问题，讲解不等式在解决实际问题中的应用；c. 练习解决实际问题的不等式。
四、教学评价：1. 课堂练习：通过课堂上的例题和练习题，考察学生对不等关系和不等式的理解和掌握程度；2. 作业完成情况：布置相关的作业，检查学生对知识点的掌握情况；3. 课堂参与度：评价学生在课堂上的积极参与程度以及对问题的思考和解答能力。
五、教学资源：1. 教材：高中数学教材；2. 教具：黑板、彩色粉笔、多媒体投影仪等。
六、教学反思：1. 需要注重练习：不等式解题需要通过大量的练习来提高方法和技巧；2. 注意引导思考：教师要注重引导学生思考，让学生在解题过程中不仅能够得到正确答案，更重要的是理解解题的原理和思路；3. 结合实际应用：要注重将不等式的知识点与实际问题相结合，让学生能够在实际生活中灵活运用。
不等式与不等关系教案
不等式与不等关系教案教案标题：不等式与不等关系教案目标：1. 学生能够理解不等式和不等关系的概念。
2. 学生能够解决简单的一元一次不等式，并理解解集的含义。
3. 学生能够在实际问题中应用不等式和不等关系。
教学准备：1. 幻灯片或黑板/白板2. 笔和纸3. 一些实际问题的示例4. 不等式和不等关系的定义和性质的学习材料教学流程：一、导入（5分钟）1.通过示例问题引入不等式的概念，例如：“小明现在身高150厘米，他想知道自己是否已经超过了平均身高，该怎么判断？”二、概念讲解（10分钟）1.解释不等式的定义和符号表示，例如：“不等式是一个数学语句，其中包含不等于号（<,>）。
”2.引导学生了解不等关系，例如：“不等关系是比较两个数之间的大小关系，如大于、小于、大于等于、小于等于。
”三、解决一元一次不等式（15分钟）1.通过示例解决一元一次不等式，让学生熟悉解题步骤和方法。
2.学生进行课堂练习，检查答案。
四、实际问题应用（15分钟）1.给学生提供一些实际问题的示例，要求学生用不等式和不等关系来解决问题。
2.让学生分享解决问题的过程和答案。
五、巩固与拓展（10分钟）1.进行一些巩固练习，确保学生掌握了不等式和不等关系的概念和解题方法。
2.拓展练习，提升学生的思维能力和应用水平。
六、作业布置（5分钟）1.布置一些相关的作业题目，巩固学生的知识和技能。
2.鼓励学生积极思考，并提供必要的指导和支持。
教学反思：在教学过程中，要确保学生理解不等式和不等关系的概念，并能够运用到实际问题中。
教师可以通过引入示例问题、课堂练习和实际问题应用等方式，激发学生的兴趣并提高他们的学习效果。
在教学过程中，要适时进行巩固和拓展，确保学生牢固掌握所学知识。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、复习预习教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容二、知识讲解考点/易错点1 比较两个实数的法则设a，b∈R，则（1）a－b＞0⇔a＞b；（2）a－b＝0⇔a＝b；（3）a－b＜0⇔a＜b.考点考点(1)倒数性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd .③0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a .(2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则①真分数的性质：b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m (b －m >0)．②假分数的性质： a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m (b －m >0). 三、例题精析【例题1】【题干】(1)若x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小；(2)设a >0，b >0且a ≠b ，试比较a a b b 与a b b a 的大小．【解析】(1)(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y ) ∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0，∴－2xy (x －y )>0，∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )． (2)根据同底数幂的运算法则． aabb abba ＝a a －b ·b b －a ＝(ab )a －b ， 当a >b >0时，ab >1，a －b >0，则(ab )a －b >1，于是a a b b >a b b a .当b >a >0时，0<ab <1，a －b <0，则(ab)a －b >1，于是a a b b >a b b a .综上所述，对于不相等的正数a 、b ，都有a a b b >a b b a .【点评】比较大小的常用方法：(1)作差法一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配 方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都 为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特值法若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可以用特值法探究 思路，其实质就是利用特殊值判断．【例题2】【题干】对于实数a 、b 、c ，判断下列命题的真假．(1)若a >b ，则ac >bc ； (2)若a >b ，则ac 2>bc 2； (3)若a <b <0，则a 2>ab >b 2； (4)若a <b <0，则1a >1b.【解析】(1)因未知c 的正负或是否为零，无法确定ac 与bc 的大小，所以是假命题．(2)因为c 2≥0，所以只有c ≠0时才能正确．c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以是假命题． (3)a <b ，a <0⇒a 2>ab ；a <b ，b <0⇒ab >b 2，命题是真命题．(4)由性质定理a <b <0⇒1a >1b，命题是真命题．【点评】(1)要注意不等式性质成立的条件．例如，重要结论a >b ，ab >0⇒1a <1b，不能弱化条件得a >b ⇒1a <1b.(2)要正确处理带等号的情况．如由a >b ，b ≥c 或a ≥b ，b >c 均可得出a >c ；而 由a ≥b ，b ≥c 可能是a >c ，也可能有a ＝c ，当且仅当a ＝b 且b ＝c 时，才会 有a ＝c .【例题3】【题干】设f (x )＝ax 2＋bx,1≤f (－1)2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．【解析】设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )．即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎨⎧m ＋n ＝4n －m ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝3n ＝1，∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 故5≤f (－2)≤10.【点评】一般地，由a <f 1(x 1，y 1)<b ，c <f 2(x 1，y 1)<d ，求g (x 1，y 1)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设g (x 1，y 1)＝pf 1(x 1，y 1)＋qf 2(x 1，y 1)，用恒等变形求得p ，q ，再利用不等式的性质求得g (x 1，y 1)的取值范围．【例题4】【题干】已知－π2≤α<β≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范围．【解析】∵－π2≤α<π2，①－π2<β≤π2，② ①＋②得－π<α＋β<π， ∴－π2<α＋β2<π2.∵－π2<β≤π2，∴－π2≤－β<π2.③①＋③得－π≤α－β<π， ∴－π2≤α－β2<π2.又α<β，∴α－β2<0，∴－π2≤α－β2<0.四、课堂运用【基础】1． x ＝(a ＋3)(a －5)与y ＝(a ＋2)(a －4)的大小关系是( )A ．x >yB ．x ＝yC ．x <yD ．不能确定[答案] C[解析] ∵x －y ＝a 2＋3a －5a －15－a 2－2a ＋4a ＋8 ＝－7<0，∴x <y .2．设a ＞b >0，则下列不等式成立的是( ) A ．|b －a |≥1 B ．2a <2b C ．lg ab <0D ．0<b a <1[答案] D[解析] ∵a >b >0 ∴0<ba<1.故选D.3．设a >1>b >－1，则下列不等式恒成立的是( ) A.1a <1b B.1a >1b C ．a 2>1b2D ．a >b 2 [答案] D[解析] 若b <0，则1b <0，∴1a >1b ，故A 不正确．若b >0，由a >1>b >0，得1a <1b ，故B 也不正确．当a ＝2，b ＝13时，a 2＝4<9＝1b2，∴C 也不正确．∵－1<b <1，∴0≤b 2<1.∴a >1>b 2，D 正确．4．设a ＝2－5，b ＝5－2，c ＝5－25，则a ，b ，c 之间的大小关系为________． [答案] a <b <c[解析] ∵a ＝2－5＝4－5<0，b >0，c ＝5－25＝25－20>0，且b －c ＝35－7＝45－49<0， ∴a <b <c .5．已知m 为实数，试比较代数式32m2＋1和1m2－m ＋2的大小．[解析] ∵m 为实数，∴2m 2＋1>0，m 2－m ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋74>0.∴32m2＋1－1m2－m ＋2＝3m2－3m ＋6－2m2－12m 2＋1m 2－m ＋2＝m2－3m ＋52m 2＋1m 2－m ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －322＋1142m 2＋1m 2－m ＋2>0，∴32m2＋1>1m2－m ＋2. 【巩固】1．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb；②a c <b c; ③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③[答案] D[解析] 本题考查不等式性质，比较大小． c a －c b＝c b －a ab ，a >b >1，c <0，所以c b －a ab >0，c a >cb，①正确；a >b >1，a c >b c ，②正确；a －c >b －c >0，y ＝log a x 是增函数，∴log a (a －c )>log a (b －c )，③正确，比较大小的方法有作差法、单调性法等．2．已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是__________．(答案用区间表示)[答案] (3,8)[解析] 考查不等式中整体范围的求解．令2x －3y ＝m (x ＋y )＋n (x －y ) ＝(m ＋n )x ＋(m －n )y∴⎩⎨⎧2＝m ＋n －3＝m －n，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12n ＝52.∴z ＝2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )，∵－1＜x ＋y ＜4,2＜x －y ＜3，∴－2＜－12(x ＋y )＜12，5＜52(x －y )＜152，∴3＜－12(x ＋y )＋52(x －y )＜8，故z ∈(3,8)．3．已知a ≠1且a ∈R ，试比较11－a 与1＋a 的大小．[解析] ∵11－a －(1＋a )＝a21－a ，(1)当a ＝0时，a21－a ＝0，∴11－a ＝1＋a .(2)当a <1时，且a ≠0时，a21－a >0，∴11－a>1＋a . (3)当a >1时，a21－a <0，∴11－a <1＋a .4．已知a >0，b >0，试比较a b ＋ba与a ＋b 的大小．[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b＋b a －(a ＋b)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －a ＝a －b b ＋b －a a ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a＝a －ba －bab＝a －b2a ＋bab∵a >0，b >0，∴a ＋b>0，ab>0，(a －b)2≥0，∴a －b2a ＋bab≥0，∴ab ＋ba≥a ＋ b. 【拔高】1．若a 、b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 本题主要考查不等式的性质及充要条件的判定等基础知识． “0<ab <1”，则a ，b 同号，若a >0，b >0，由ab <1得a <1b ；若a <0，b <0，由ab <1，得b >1a，故“0<ab <1”⇒“a <1b 或b >1a”．当a <1b 时，a －1b ＝ab －1b <0，若b >0，则ab <1，但ab 不一定满足ab >0；若b <0，则ab >1.故“a <1b 或b >1a”⇒/ “0<ab <1”．2．建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比不应小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．[分析] 要确定住宅采光条件是变好了，还是变坏了，就是要比较原来窗户面积和地板面积的比值与窗户面积和地板面积增加以后的比值哪个大哪个小．如果是增加了面积以后的窗户面积和地板面积的比值大，则采光条件变好了，否则采光条件变坏或没变．[解析] 设原来的窗户面积与地板面积分别为a ，b ，于是原来窗户面积与地板面积之比为a b ，且a b ≥10%.窗户面积和地板面积同时增加的面积为c ，则现有窗户面积与地板面积比为a ＋c b ＋c， 因此要确定采光条件的好坏，就转化成比较a b 与a ＋c b ＋c 的大小，采用作差比较法．a ＋cb ＋c －a b ＝b －a cb ＋c b.因为a >0，b >0，c >0，又由题设条件可知a <b ， 故有a b <a ＋c b ＋c 成立，即a ＋c b ＋c >a b≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了． 课程小结1．不等式的性质对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件放宽和加强后，结论是否发生了变化；运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条件，切不可用“似乎”、“是”、”很显然“的理由代替不等式的性质．注意：不等式的性质应用很广泛，使用时要注意和等式的性质进行比较，要搞清性质成立的条件是否具备，做到有根有据，严谨科学．2．比较两个实数的大小要比较两个实数的大小，通常可以归结为判断它们的差的符号(仅判断差的符号，至于确切值是多少无关紧要)．在具体判断两个实数(或代数式)的差的符号的过程中，常会涉及一些具体变形，如因式分解、配方法等．对于具体问题，如何采用恰当的变形方式来达到目的，要视具体问题而定．课后作业 【基础】1．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( )A ．b －a >0B ．a 3＋b 2<0C ．b ＋a >0D ．a 2－b 2<0[答案] C[解析] 由a －|b |>0⇒|b |<a ⇒－a <b <a ⇒a ＋b >0，于是选C. 2．若1<a <3，－4<b <2，那么a －|b |的取值范围是( ) A ．(－1,3) B ．(－3,6) C ．(－3,3) D ．(1,4) [答案] C[解析] 由－4<b <2⇒0≤|b |<4，－4<－|b |≤0， 又1<a <3.∴－3<a －|b |<3.故选C. 3．若1a <1b <0，则下列结论正确的是( )A ．a 2>b 2B ．ab >b 2C.a b ＋ba >2 D ．|a |＋|b |>|a ＋b | [答案] C[解析] 由1a <1b <0，得b <a <0，显然A ，B ，D 不成立；∵a ，b 同号，且a b ≠b a ，∴a b ＋ba >2恒成立．4．使不等式a >b 成立的一个充要条件是( ) A ．a 2>b 2B.1a <1b C ．lg a >lg b D.12a <12b[答案] D[解析] a ＝－2，b ＝1，满足a 2>b 2和1a <1b ，但a <b ；lg a >lg b ⇒a >b 但0>a >b ⇒/ lg a >lg b .5．已知a ＋b >0，则a b2＋b a2________1a ＋1b .(填“>”，“＝”，“<”，“≤”或“≥”)[答案] ≥ [解析]a b2＋b a2－1a －1b＝b －a a2＋a －b b2＝(a －b )(1b2－1a2)＝(a －b )a2－b2b2a2＝a －b 2a ＋b a 2b 2. ∵a ＋b >0，∴a －b2a ＋ba 2b 2≥0.∴a b2＋b a2≥1a ＋1b. 【巩固】1．设a ＋b <0，且a >0，则( )A ．a 2<－ab <b 2B ．b 2<－ab <a 2C ．a 2<b 2<－abD ．ab <b 2<a 2[答案] A[解析] ∵a ＋b <0，且a >0，则0<a <－b ，则a 2<－ab <b 2.另解：取a ＝1，b ＝－2，代入各选项检验知选A.2．已知－1<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，比较A 、B 、C 的大小结果为( )A ．A <B <C B ．B <A <C C ．A <C <BD ．B <C <A[答案] B[解析] 不妨设a ＝－12，则A ＝54，B ＝34，C ＝2，由此猜想B <A <C . 由－1<a <0得1＋a >0，A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0得A >B ，C －A ＝11＋a －(1＋a 2)＝－a a 2＋a ＋11＋a＝－a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋341＋a>0，得C >A ，∴B <A <C .3．比较大小：lg9·lg11________1(填“>”“<”或“＝”)．[答案] <[解析] lg9·lg11<⎝ ⎛⎭⎪⎫lg9＋lg1122＝lg2994<lg21004＝1. 4．若实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝5a 2－8a ＋11，b －c ＝a 2－6a ＋9，试比较a ，b ，c 的大小． [解析] b －c ＝a 2－6a ＋9＝(a －3)2≥0，∴b ≥c ， ⎩⎨⎧ b ＋c ＝5a2－8a ＋11 ①b －c ＝a2－6a ＋9 ②由①＋②得b ＝3a 2－7a ＋10，∵b －a ＝3a 2－7a ＋10－a ，＝3a 2－8a ＋10＝3(a －43)2＋143>0， ∴b >a .由①－②得c ＝2a 2－a ＋1∴c －a ＝2a 2－2a ＋1＝2(a －12)2＋12>0， ∴c >a .综上：b ≥c >a .【拔高】1．已知0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，下列不等式成立的是( )A ．log 2a ＞0B ．2a －b＞1C ．2ab ＞2D ．log 2(ab )＜－2 [答案] 选D[解析] 由已知，0＜a ＜1,0＜b ＜1，a －b ＜0,0＜ab ＜14，log 2(ab )＜－2. 2．若a ＞b ＞0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋1b ＞b ＋1a B.b a ＞b ＋1a ＋1 C ．a －1b ＞b －1aD.2a ＋b a ＋2b ＞a b [答案] 选A[解析] 取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a ＞b ＞0时，f (a )＞f (b )必定成立，但g (a )＞g (b )未必成立，可得，a －1a ＞b －1b ⇒a ＋1b ＞b ＋1a. 3．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则 ( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定[答案] 选B[解析] 设甲用时间为T ，乙用时间为2t ，步行速度为a ，跑步速度为b ，距离为s ，则T ＝s2a＋s2b ＝s 2a ＋s 2b ＝s a ＋b 2ab ，ta ＋tb ＝s ⇒2t ＝2s a ＋b， T －2t ＝s a ＋b 2ab －2s a ＋b ＝s ×a ＋b 2－4ab 2ab a ＋b ＝s a －b 22ab a ＋b＞0，即乙先到教室． 4．若x ＞y, a ＞b ，则在①a －x ＞b －y ，②a ＋x ＞b ＋y ，③ax ＞by ，④x －b ＞y －a ，⑤a y ＞b x这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．[答案] ②④[解析] 令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x ＞y ，a ＞b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5，∴a －x ＝b －y ，因此 ①不成立．又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不正确．又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1， ∴a y ＝b x，因此⑤不正确． 由不等式的性质可推出 ②④成立．。