约束坐标轮换法
机械优化设计第5章 约束优化方法
是
X*=XL ,F*=F(XL)
否
XC 1 K Xj, j H K 1 j 1
结 束
是
X R X C ( X C X H ), FR F ( X R )
FR<F(XH)
是 否
XR∈D
否
否
α =0.5α
是
找出次坏点XSH ，XH=XSH
轧机
§5-5 可行方向法
研究室
轧机
CAD/CAM/CAE
直接法搜索路线
间接法框图
研究室
间接法是目前在机械优化设计中得到广泛应用的一种有效方 法。
轧机
CAD/CAM/CAE
研究室
§5-2 约束坐标轮换法
一.基本思路
1.依次沿各坐标轴方向---e1,e2,…,en方向搜索; 2.将迭代点限制在可行域内. •①可取定步长、加速步长和收缩步长,但不能取 最优步长; ②对每一迭代点均需进行可行性和下降性检查.
若仍不可行, 则重 复此步骤, 直至进入 可行域为止.
X
X
( q 1)
轧机
CAD/CAM/CAE
研究室
三. 终止判别条件
各顶点与好点函数值之差的均方根应不大于误差限
1 { [ F ( X ( j ) ) F ( X L )] } k j 1
k
1 2 2
不是十分可靠, 可改变 重作, 看结果是否相同.
给定内点X 0 , 0 , m,
α =α 0, F0=F(X0)
K=0, j=0
研究室
0 初始步长；
m 在一迭代点处允许产生 的方向数；
终止误差限(步长)
产生随机方向
(06)第四章-无约束优化方法(坐标轮换法)
第四章 无约束优化方法 §4-7 坐标轮换法
§4-3 坐标轮换法
间接法：梯度法；牛顿法；变尺度法 共同点：求导数 直接法：直接用函数值 搜索方向如何定？
坐标轮换法的基本思想：
把n维无约束优化问题转化为一系列一维优化问题来求 解，即沿着n个坐标轴方向e1,e2……en顺次进行一维搜索， 每n次搜索记为一轮，轮换迭代，求解极值点。 基本迭代格式：
(1) T x = [0 0] ε = 0.1 初始点 0 的最优解。迭代精度 ，
z
课后练习题： 用坐标轮换法求目标函数（迭代两轮）
f ( x ) = x12 + 16 x 22 + 10 x1 x 2
(1) T x = [4 3] ε = 0.1 初始点 0 的最优解。迭代精度 ，
算法特点：
1）不需对目标函数求导，方法简单； 2）收敛速度通常较低（其有效性取决于目标 函数的性态），仅适于低维的情况。
x
(k ) i
=x
(k ) i −1
+α e
(k ) i i
(k = 1,2,3"; i = 1,2," n)
收敛准则：
(k ) x0( k ) − xn ≤ε
图4-12 坐标轮换法的基本原理示意图
计算步骤：
1）对于n个变量的函数，若在第k轮沿着第i个坐标 方向进行搜索，其迭代公式为： k k k i i −1 i i k 2）求最优搜索步长 α
x = x +α e
i
3）本轮所有方向搜索完毕，判断迭代终止条件：
x −x
k n
k 0
≤ε
k n
4）满足上式：
x =x
∗
优化设计4约束优化方法
22
由此，这种方法的关键是如何确定初始点、搜索方向和搜索步长，而这 些都涉及到随机数问题．因此下面如何产生随机数的方法
23
随机数的产生 产生在区间(0，1)内分布的随机数列rj的常用方法有两种
N=10; DIM R(N) FOR I=1 TO N R(I)=RND(1)
PRINT R(I) NEXT I
条件，就可再加倍增大步长，继续迭代，不断产生新的迭代点。
如果该点已违反了可行性条件，
此时取它的前一迭代点X
(1) 3
作为沿
e1方向搜索的终点转而沿x2坐标
轴正向进行搜索
X 4(已1) 经违犯
了可行性条件
正向的第一个迭代点的目标函数 值增加，即不满足适用性条件，
改取负步长 0 进行迭代
下面的迭代方式与前面相同，直到违反适用性或
21
随机方向法在某个迭代点可以按照足够多的m个方向进行搜索，一般事先
约定搜索方向数m＝50~500，m过小会影响最优方向的选择，过大会使收
敛速度降低。因此，随机方向法处理约束优化问题要比约束坐标轮换法灵
活和有效。
以二维约束优化问题为例说明随 机方向法的基本原理。在可行域 内任意选择的一个初始点X（0）出发 给定的步长α＝α0按照以某种方法 产生的随机方向S（1）进行搜索，得到 迭代点X＝X(0)+αS（1）,如果同时满足 可行性和适用性，则表示点X探索成 功。再将点X作为起始点
足约束条件 gu(X) 0（u＝1，2，…，m)，则应重新随机选择出可行
i=ai(ba)
26
均匀分布的随机数列 i
初始点的选择
27
选择初始点注意：
根据设计变量上限和下限随机产生的初始点， X(0)[x1 (0),x2 (0),xn (0)]T
坐标轮换法
坐标轮换法1、算法原理坐标轮换法是每次搜索只允许一个变量变化，其余变量保持不变，即沿坐标方向轮流进行搜索的寻优方法。
他爸多变量的优化问题轮流地转化成单变量（其余变量视为常数）的优化问题，因此又称这种方法为变量轮换法。
在搜索过程中可以不需要目标函数的导数，只需要目标函数值信息。
这比前面所讨论的利用目标函数导数信息建立搜索方向的方法要简单的多。
以二元函数飞f（x1,x2）为例说明坐标轮换法的寻优过程。
从初始点x00出发，沿第一个坐标方向搜索，即d10=e1得x10=x00+a01*d01按照一维搜索方法确定最佳步长因子a01满足minf(x00+a*d01),然后从x01出发沿d02=e2方向搜索得x02=x01+a02*d02,其中步长因子a02满足minf(x01+a*d02),x02为一轮（k=0）的终点。
检验始、终点之间的距离是否满足精度要求，即判断||x02-x00||<e的条件是否满足。
若满足则x*=x02,否则令x10=x02,重新一次沿坐标方向进行下一轮的搜索。
对于n个变量的函数，若在第k轮沿第i个坐标方向dki进行搜索，其迭代公式为xki=xk(i-1)+aki+dki (k=0,1,2…,i=0,1,2…n)其中搜索方向取坐标方向，即dki=ei(i=1,…n)。
若||xkn-x00||<e,则x*=xkn,否则x(k+1)0=xkn,进行下一轮搜索，一直到满足精度为止。
2、程序(1) function y=f(x)y=10*(x(1)+x(2)-5)^2+(x(1)-x(2))^2;(2)d1=e1;syms a1;x1=x0+a1*d1;y1=f(x1);z1=diff(y1,a1);subs(z1);a1=solve(z1);x1=x0+a1*d1;d2=e2;syms a2;x2=x1+a2*d2;y2=f(x2);z2=diff(y2,a2);subs(z2);a2=solve(z2);x2=x1+a2*d2;m=x2-x0;m=double(m);t=norm(m);(3) e1=[1;0];e2=[0;1];f2;(4) f3;while (t>=e)x0=x2;f2;endx2=double(x2);xo=x2;xo3、计算结果及说明从上述分析可以看出，采用坐标轮换法只能轮流沿着坐标方向搜索，尽管也能使函数值步步下降，但要经过多次曲折迂回的路径才能达到极值点；尤其在极值点附近步长很小，收敛很慢，所以坐标轮换法不是一种很好的搜索方法。
第五章约束优化方法
2. 比较XL 和X0两点的目标函数值，
• 若f(XL) <f(X0)，则取XL 和X0连线方向为可行搜索方向； • 若f(XL) >f(X0)，则步长α0 缩小，转步骤1）重新计算， 直至f(XL) <f(X0)为止。 • 如果α0 缩小到很小，仍然找不到一个XL，使f(XL) <f(X0)则说明X0是一个局部极小点，此时可更换初始点，转 步骤1）。
基本思路如图所示。
随机方向法的基本思路
第二节 约束随机方向法
3.2 随机方向的构成
1.用RND(X)产生n个随机数 i , i 1,2,..., n(0 i 1)
2. 将(0,1)中的随机数 i变换到(-1,1)中去(归一化);
yi 2i 1 i 1,2,...,n
3. 构成随机方向 例: 对于三维问题 1 0.2,2 0.6,3 0.8
xmin=xk; alpha=1.3; end x0,xk,fx0,fxk else alpha=-alpha; end end end x1=x0; fx1=feval(f,x1); gx=feval(g_cons,x1); k1 end
3.7 随机方向法的Matlab程序
例: 求
function opt_random1_test1 %opt_random1_test1.m clc; clear all;
由于复合形的形状不必保持规则的图形，对目标函数和约 束函数无特殊要求，因此这种方法适应性强，在机械优化设 计中应用广泛。
第四节 复合形法
4.1 基本思路
在可行域内选取若干初始点并以之为顶点构成
第四章 无约束方法详解
[tt,ff]=opt_step_quad(xk1',dirk, th,epsx,epsf,maxiter); xk1=xk1+tt*dirk'; end xk0=xk1; xn=xk1; fn=ffx(xn); aa=norm(dir); if(aa<1e-30) aa=1e-30; end end
xn ]T
使目标函数 f ( x) min
min f ( x) x Rn
目前已研究出很多种无约束优化方法，它们的 主要不同点在于构造搜索方向上的差别。
（1）间接法（导数法）——确定搜索方向时用到一 阶或（和）二阶导数的方法。如梯度法、（阻尼） 牛顿法、变尺度法、共轭梯度法等。
（2）直接法——其搜索方向直接取定或由计算目标 函数值所得的信息来确定；即不使用导数信息，如 坐标轮换法、鲍威尔法等。
2020/9/23
5
无约束优化直接解法
坐标轮换法 鲍维尔（Powell）法 鲍维尔（Powell）修正算法
2020/9/23
6
§4-2 坐标轮换法（无约束优化直接解法）
一）搜索方向
依次沿n个正交坐标轴的方向搜索：
ee12
[1 [0
0 1
... ...
0]T 0]T
...
en [0 0 ... 1]T
坐标轮换法的Matlab程序由三部分组成。第一部分为坐标 轮换法计算函数coordinat(xk0,th,epsx, epsf,maxiter)，函数引用 变量说明见程序注释。最优步长采用二次插值法计算，函数名 为opt_step_quad(xk0,dir0, th,TolX, TolFun,maxiter)，该函数调 用区间搜索函数opt_range_serach(xk0,dir0,th)得出二次差值需 要的三个坐标点，区间搜索函数采用进退法。 第二部分为用户应用程序； 第三部分为定义目标函数，调用方式为fn=ffx(x)。 下面是坐标轮换法的Matlab计算程序：
无约束优化方法总结
第四章 无约束优化方法第一节 概述1为什么要研究无约束优化问题?（1）有些实际问题，其数学模型本身就是一个无约束优化问题。
（2）通过熟悉它的解法可以为研究约束优化问题打下良好的基础。
（3）约束优化问题的求解可以通过一系列无约束优化方法来达到。
所以无约束优化问题的解法是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。
2各种无约束优化方法的区别在于确定其搜索方向0d 的方法不同。
根据构成搜索方向所使用的信息性质的不同，无约束优化方法可以分为两类。
一：间接法——要使用导数的无约束优化方法，如梯度法、（阻尼）牛顿法、变尺度法、共轭梯度法等。
二：直接法——只利用目标函数值的无约束优化问题，如坐标轮换法、鲍威尔法单纯形法等。
第二节 最速下降法（梯度法） 1基本思想：函数的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向。
将n 维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题，利用负梯度作为搜索方向，故称最速下降法或梯度法。
2梯度法的特点：（1）理论明确，程序简单，对初始点要求不严格。
（2）对一般函数而言，梯度法的收敛速度并不快，因为最速下降方向仅仅是指某点的一个局部性质。
（3）梯度法相邻两次搜索方向的正交性，决定了迭代全过程的搜索路线呈锯齿状，在远离极小点时逼近速度较快，而在接近极小点时逼近速度较慢。
（4）梯度法的收敛速度与目标函数的性质密切相关。
对于等值线(面)为同心圆（球）的目标函数，一次搜索即可达到极小点。
3选用原则及条件：一般与其他算法配合，在迭代开始时使用。
第三节 牛顿型方法 1基本思想：在xk 邻域内用一个二次函数)(x ϕ来近似代替原目标函数，并将)(x ϕ的极小点作为对目标函数)(x f 求优的下一个迭代点1+k x 。
经多次迭代，使之逼近目标函数)(x f 的极小点。
2牛顿型方法的特点：（1） 初始点应选在X *附近，有一定难度；（2） 若迭代点的海赛矩阵为奇异，则无法求逆矩阵，不能构造牛顿法方向； （3） 不仅要计算梯度，还要求海赛矩阵及其逆矩阵，计算量和存储量大。
坐标变换
坐标变换上海海事大学物流工程学院屈鲁1. 坐标变换的性质及约束条件坐标变换是一种线性变换，如无约束，变换就不是唯一的。
在电机的系统分析中，所应用的坐标变换可有两种约束：(1)功率不变约束，即变换前后功率保持不变。
(2)合成磁动势不变约束，即变换前后合成磁动势保持不变。
1.1功率不变约束设在某坐标系统中各绕组的电压和电流向量分别为和，在新的坐标系统中电压和电流向量变为和。
新向量与原向量的坐标变换关系为：(1)由于变换前后功率不变，则，从而(2)其中E 为单位矩阵。
式(2)就是功率不变约束下坐标变换阵需要满足的关系式。
在一般情况下，电压变换阵与电流变换阵可以取为同一矩阵，即令，则有 (3)由此可知，在功率不变约束下，当电压向量和电流向量选取相同的变换阵时，变换阵的转置与其逆矩阵相等，这样的坐标变换属于正交变换。
1.2合成磁动势不变约束至于合成磁动势不变约束，因为绕组电流与磁动势成正比，只要把电流的合成向量分别在新坐标系和原坐标系进行投影，就可以确定新向量与原向量之间的坐标变换关系。
2. 三相-两相变换(3/2变换)三相-两相变换即指在三相静止坐标系A-B-C坐标系和两相静止坐标系坐标系之间的变换，简称 3/2 变换或Clarke变换。
2.1 Clarke变换矩阵图1给出了A-B-C坐标系和坐标系，为方便起见，取 A 轴和轴重合。
设三相绕组每相有效匝数为，两相绕组每相有效匝数为，各相磁动势为有效匝数与电流的乘积，其空间矢量均位于有关相的坐标轴上。
由于交流磁动势的大小随时间在变化着，图中磁动势矢量的长度是随意的。
图1 三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量设磁动势波形是正弦分布的，当三相总磁动势与二相总磁动势相等时，两套绕组瞬时磁动势在轴上的投影都应相等，即(4)写成矩阵形式，得(5)考虑变换前后总功率不变，在此前提下，匝数比应为(6)从而，(7)令表示从三相静止坐标系A-B-C坐标系到两相静止坐标系坐标系的变换矩阵，则(8)令表示从两相静止坐标系坐标系到三相静止坐标系A-B-C坐标系的变换矩阵，则(9)按照所采用的条件，电流变换阵也就是电压变换阵，同时还可证明，它们也是磁链的变换阵。
1.4.坐标轮换法(或称因素轮换法)-人教B版选修4-7优选法与试验设计初步教案
1.4 坐标轮换法（或称因素轮换法）-人教B版选修4-7优选法与试验设计初步教案一、教学目标1.理解坐标轮换法（或称因素轮换法）的基本概念和原理。
2.掌握坐标轮换法的具体应用方法，能够通过实例运用坐标轮换法解决实际问题。
3.了解优选法和试验设计的相关知识，并初步运用到实验设计中。
二、教学重点1.坐标轮换法的基本概念和原理。
2.坐标轮换法的具体应用方法。
3.优选法和试验设计的相关知识。
三、教学难点1.坐标轮换法的应用方法，要求学生能够对实际问题进行分析和解决。
2.优选法和试验设计的实际应用。
四、教学过程1. 引入（5分钟）老师通过实例引入，让学生了解实际应用中的问题，并对坐标轮换法（或称因素轮换法）的用途有一个初步了解。
2. 理论知识（20分钟）1.坐标轮换法的基本概念和原理。
2.坐标轮换法的应用条件和步骤。
3. 实例演练（30分钟）老师将给出两个例子进行演练，并要求学生运用坐标轮换法解决问题。
4. 优选法和试验设计（20分钟）1.优选法的基本原理和应用方法。
2.试验设计的基本概念和方法。
5. 实践应用（30分钟）老师将给出一个实际问题，要求学生通过运用优选法和试验设计的知识，解决问题。
6. 总结（5分钟）老师对本节课的知识点进行简单总结并提出问题，要求学生下节课认真复习，并准备好课堂小测。
五、教学方法1.案例教学法：通过实例解决问题，让学生在实践中掌握知识。
2.问答式教学法：老师通过问答的方式，引导学生深入理解知识点。
3.探究式学习法：引导学生在实践中发掘问题，并探索解决问题的方法。
六、教学评估方式1.课堂测验：每节课结束后进行小测验，巩固学生的知识理解。
2.作业检查：老师对学生布置的作业进行检查和点评。
机械优化设计第四节无约束--坐标轮换法3-5解析
5
7.954 , 5.978 T 0.035 7.989 , 5.978T 0.018 7.989 , 5.996 T 0.04
计算第五轮的有
(5) (5)
x2 x0 (7.989 7.954)2 (5.996 5.978)2 0.0394
近似优化解为：
* (5) 7.989 x x2 5.996
*
f * f (x ) 8.000093
2.4、共轭方向法
1、共轭方向
坐标轮换法的收敛速度很慢，原因在于其搜索方向总是
平行于坐标轴，不适应函数变化情况如图所示若把一轮的起
点 与末点 (1)
(1)
x1
x2
连起来形成 一个新的搜索方向
S2
,
S2 与
S1 有何关系。
如图所示，设给定两个平行方向 S1 ,从两个任意初始点分别
)
e
i
否
in
是
(k) (k)
xn x0
否
是
k k 1
(0)
(k)
x xn
*
*
x x f f (x )
出口
特点： 简单易行，但由于它只能轮流沿几个坐标
方向前进，因而效率低下，特别是维数较高n>10 或目标函数性质不好的情况下收敛速度慢。本方 法的收敛效率在很大程度上取决于目标函数等值 线的形状。当椭圆簇的长短轴与坐标轴斜交，迭 代次数将大大增加，收敛速度很缓慢。目标函数
S2
*
x
S1
x
2
x1
S1
如图所示，同心椭圆簇具有 这样一个特点，就是二条任 意平行线的切点的连线必通 过椭圆族的中心。
沿这两个平行方向进行一维搜索求得极小点
第四节无约束--坐标轮换法3-5
S
1 1
x2
1
x
S1
共轭方向的定义： 设A 为 n n阶实对称正定矩阵,而 S1 S 2为 n n R 中的两个非零向量，如果满足S1 T AS 22 0 维空间 则称向量 S1 S 2 关于对称正定矩阵A 是共轭的或
S1 , S 2 关于A 共轭
共轭方向的性质 1)设 A为 n n 阶实对称正定矩阵, S1 S 2 S n 为对A共轭的n个非零向量，则这n个向量是 线形无关的
由于两平行方向 S1为等值线的切线,其切点分别为
1 2
x, x
故方向
1 2
S1
应垂直于 x
1
2
,
x
处的梯度方向.
即有
x, x
为目标函数 f ( x)在 S1 方向的极小点
1
所以在 两点目标函数的梯度 f ( x )
f ( x )
2
都与 矢量
S1 正交即有
* * 1 * T T S1 f ( x ) S1 f ( x ) 2 f ( x ) x x 0 2 * * 2 * T T S1 f ( x ) S1 f ( x ) 2 f ( x ) x x 0 1
e 0, 1, 0
' 得到 x 且将前一次一维搜索的极小点作为本次一维搜 索的起始点，依次进行一维搜索后，完成一轮 ' 计算，若未收敛则以前一次的末点 x n 为起始 点，进行下一轮的循环，如此一轮一轮迭代下 去，直到满足收敛准则，逼近最优点为止。 2.迭代计算步骤 (1) (0) 1)取初始点 x 作为第一轮的起点 x x x 迭代终止 精度 置 个坐标轴方向矢量为单位坐标矢量
机械优化设计方法——鲍威尔法,坐标轮换法
鲍威尔法
机械优化设计方法——鲍威尔法
鲍威尔(Powell)法是直接利用函数值 来构造共扼方向的一种共扼方向法。基本 思想是在不用求导数的前提下，在迭代中 逐次构造Hessian矩阵G的共扼方向。
原始共轭法的缺点
对于n维无约束最优化问题，采用原始共轭 方向法在产生n个共轭方向时，有可能是线 性相关或接近线性相关的，遇这种情况， 会导致在降维空间寻优使迭代计算不能收 敛到真正最优点而失败 。
(4)判断是否满足收敛准则。
即
X k 1 X k
。若满足，则
X k1 0
为
极小点，否则应置 k k 1 ，返回，
继续进行下一轮迭代。
计算 f (X ) x12 25x22 的极小值
解 ： 选取初始点为 X 0 2,2T,初试搜索方向
为 d10 1,0T，d20 0,1 T。初始点处 的函数
值
F1
f
(
X
0 0
)
104
第一轮迭代：沿 d10 方向进行一维搜
索，得
X10
X
0
1d10
2
1
1 0
2
1
2
将
X
0 1
代入原方程得：
f1 f (X10) (2 1)2 2522 4 41 12 100
最佳步长
：
df ( d
)
4
21
0
1 2
X10
2 2
210
0 2
X
0 1
鲍威尔法计算步骤与程序原理
(1)任选一初始点 X 0 ,
X
0 0
X
0
，选取初
试方向组，它由n个线性无关的向量
第五章 约束优化方法
只有当目标函数是凸函数，约束构成的可行域是凸集 时，则满足K-T条件的点 是全局极小点的必要而充 分条件。
讨论: 约束最优解的必要条件——几何条件
当迭代点 有两个起作用约束，写出目标函数与 约束集的关系如下：
区域内
5.3.1 约束坐标轮换法
一、约束坐标轮换法与无约束坐标轮换法的区别
约束坐标轮换法的基本思想与无约束坐标轮换 法基本相同，其主要区别如下：
1、沿坐标方向搜索的迭代步长采用加速步长， 而不是采用最优步长。因为按照最优步长所得到的迭 代点往往超出了可行域。
2、对于每一个迭代点，不仅要检查目标函数值 是否下降，而且必须检查是否在可行域内，即进行适 用性和可行性的检查。
2、将非可行点移入可行域
用上述方法的随机点不一定是可行点。但是只 要它们中至少有一个点在可行域内，就可以用一定 的方法将非可行点移入可行域。如果k个随机点没 有一个是可行点，则应重新产生随机点，直至其中 有至少一个是可行点为止。
对于具有等式约束的优化问题，若出现两个或两个
以上的局部最优点，此时全局最优点是全部局部最优点 中函数值最小的一个。
对于具有一般约束的优化问题，若出现两个或两个 以上的局部最优点，此时全局最优点是全部局部最优点 中函数值最小且同时满足等式约束与不等式约束的一个。 例如：设数学模型为
该优化问题的最优点如下图所示，对于这两个局部最小
5.3.2 随机方向法
参看右图 预先选定可行初始点 ， 利用随机函数构成随机方 向S1，按给定的初始步长
，沿S1方向取得 试探点
检查x点的适用性和可行性
若满足
继续按下面的迭代式在S1方向上获取新点。重复上 述步骤，迭代点可沿S1方向前进。直至到达某迭代点 不
人教版B版高中数学选修4-7(B版)坐标轮换法(或称因素轮换法)
（2）对格子点的情况，也适用于坐标转 换法和平行线法。在固定一个因素时，不使 用0.618法，而使用分数 Fn1 。
Fn
双因素爬山法
人从山上某处出发，要想爬到山顶， 可用明杖向前后左右试探性一步一步往 高处前进，当四面都不再高时即到达山 顶。运用这个方法寻找双因素问题的最 佳点就是双因素爬山法。
坐标轮换法 平行线法
双因素的离散情形 双因素爬山法
• 坐标轮换法
课题引入
所谓“轮换法”，主要是指在保证效果 相同的前提下，将不可见、不易见的现象转 换成可见、易见的现象；将陌生、复杂的问 题转换成熟悉、简单的问题；将难以测量或 测准的量转换为能够测量或测准的量的方法。 初中物理在研究概念规律和实验中多处应用 了这种方法。
练习：如图，用平行线法处理双因素问题时， 首先将难以调整的因素Ⅱ固定在0.618处，得
到0比定.最在A318处佳_2_处的点__，好在__得，A_1_到则处处最第，。佳然三点后次A再试2，把验若因时A素，2处将Ⅱ的因固试素定验Ⅱ结在固果
解析：
因为A2处的试验结果比A1处的好，所以
好点在因素Ⅱ的0～0.618之间，由0.618法 ，第三次试验时，将因素Ⅱ固定在 0.618 ＋0－0.382＝0.236处。
这个方法还可以应用在某些可变因素要 调到某点，必须经过由小到大或由大到小的 连续过程的问题上。像改变气体和液体的流 速、温度；仪器调试中的可变电容、可变电 阻；等等，采用爬山法比较合适.试验中，可 以边调整边检查，调到最佳点时就固定下来。 一般在大生产中爬山法较常用。
爬山法的效果快慢与起点关系很大，起 点选得好可以省好多次试验。所以对爬山来 说，试验范围的正确与否很重要。另外，每 步间隔的大小，对试验效果关系也很大。在 实践中往往采取“两头小，中间大”的办法。 也就是说，先在各个方向上用小步试探一下， 找出有利于寻找目标的方向，当方向确定后， 再根据具体情况跨大步，快接近最佳点时再 改为小步。如果由于估计不正确，大步跨过 最佳点，这时可退回一步，在这一步内改用 小步进行。一般说来，越接近最佳点的时候， 效果随因素的变化越缓慢。
关于轮换的名词解释
关于轮换的名词解释轮换的意思轮换lúnhuàn(1) [rotate;do sth.in turn; cyclic order take turns]∶轮流替换轮换放哨(2) [change off]∶完成某种行为后由别人来接替轮流替换。
《元典章·工部三·轮换公使人》：“推原其因，乃因所设祗候，席占各官，固滞不为轮换。
”《古今小说·羊角哀舍命全交》：“行不两日，又值阴雨，羁身旅店中，盘费罄尽，止有行粮一包，二人轮换负之，冒雨而走。
” 周克芹《许茂和他的女儿们》第一章二：“[花草树木]却还照样的一年四季轮换着开花。
”轮换造句欣赏(1) 在位要受控，升迁靠竞争，届满要轮换，末位要淘汰。
(2) 我班的每个同学都要轮换着当小组长。
(3) 战士站岗每两个小时轮换一次。
(4) 元旦联欢会上同学们轮换着上台表演。
(5) 我像只蜘蛛一样身子紧贴着岩壁，左右开弓，两手轮换着紧抓住铁杆，还得时时关注脚下，步步踩实，生怕"一失足成千古恨"。
(6) 但是，他坚持只用小范围轮换阵容，以及过度小心的风格，让火箭季后赛准备不足，最终被板凳更深，风格更全面的爵士生吞活剥。
(7) 轮换着,该小范上场了。
(8) 三年前派驻在边境的部队现已轮换调防原地。
(9) 综上，不难发现，座位轮换制弊大于利，而导致其不效率的根本原因在于其违背了竞争原则。
(10) 只有你的队伍班底够好时，你才能轮换你的球员。
(11) 他们在状态上各有起伏，但是我并不认为轮换有任何意义，尽管现在阿比亚蒂状态并不比卡拉奇好。
(12) 春夏秋冬，轮换交替;阴晴冷暖，不过天气;好的坏的，都会过去;成功失败，都别放弃;贫富贵贱，但看际遇;离合聚散，何须在意;思念遥寄，愿君顺利!(13) 我们正在尝试轮换制，因为我们有很多对手，而且他们都很重要。
(14) 现在欧洲的比赛减少了，所以轮换制只在需要的时候才会使用。
最优化方法及应用_郭科_约束坐标轮换法
§6.4 约束坐标轮换法约束坐标轮换法是在无约束坐标轮换法的基础上，加入由约束函数构成的可行性限制，使每次迭代都必须在可行域内进行．它的基本思想是将一个n 维的约束优化问题转化为依次沿n 个坐标轴方向轮流进行迭代的一维搜索问题． 一、约束坐标轮换法基本原理对于n 维约束优化问题，依次沿坐标向量n e e e ，，，21的方向进行搜索时，由于只能在可行域内进行探索，故不宜采用最优步长，以免越出可行域．为此，通常利用加步搜索法来确定搜索步长，以求得一系列可行点，使目标函数值逐次下降，直至收敛到最优解．现以图6.6示的二维情况进行说明．图6.6设已知初始点0X ，且满足约束条件，用步长0t 沿坐标轴方向1e 的正向搜索到点）（111X 时．因目标函数)(X f 的值增大（这意味着试探失败），故改为自0X 点沿1e 的负方向搜索，得点）（121X ．该点在可行域内，且使目标函数值有所下降（这意味着试探成功），说明该点同时满足可行性与适用性两个条件．于是再由点0X 出发，加大步长搜索，一般按步长02t 搜索，记搜索到点)131（X ．此点仍在可行域内，且该点的目标函数值继续下降．于是再按加速步长04t 搜索至点)14(1X ．但此点已越出了可行域，即不满足可行性条件，故舍弃点)14(1X ，退回到点)131（X ，并记其为)1(1X ．再由该点出发，转为用步长0t 沿坐标轴方向2e 搜索，得点)21(1X ．该点在可行域内，且使目标函数值下降．当加速步长为02t 后，所得的点)22(1X 虽在可行域内，但不能使目标函数值下降，故予舍弃，仍退回到点)21(1X ，并记其为)2(1X ．至此，第一轮搜索完毕．如果点)2(1X 已能满足计算精度，则)2(1X 就是最优点，停止搜索；否则，视该点为初始点0X ，转入第二轮搜索．某一轮搜索时如果所求的最终点与初始点相同，则将步长缩小，一般取步长为20t ，然后重新进行搜索，直至求得满足计算精度的最优点． 二、约束坐标轮换法迭代步骤已知目标函数)(X f ，约束函数0)(≥X g i ，l i ，，， 21=，终止限21εε，，步长缩放因子1>u ．（1）选取初始点D X ∈0，初始步长0t ，置1=k ．（2）由1-k X 出发，按步长0t t =，沿坐标轴1e 的正方向进行搜索，取11)11(te X X k k +=-．如果D X k ∈)11(且)()(1)11(-<k k X f X f ，则取02t t =，即加速向前搜索，直到不满足可行性条件或适用性条件，然后退回前一搜索点，将其作为该方向的最终点)1(k X ．如果沿1e 的正方向搜索不到能同时满足可行性条件和适用性条件的点，则改为沿1e 的负方向搜索，即取搜索步长为0t t -=，仿照沿正方向的搜索过程，求得该方向的最终点)1(k X ．如果沿1e 的正、负两方向搜索均失败，则将点1-k X 作为该方向的最终点)1(k X ，然后转向下一个坐标轴方向继续进行搜索．（3）由)1(k X 出发，沿坐标轴方向2e 进行搜索，按步骤（2）的做法，求得该方向的最终点)2(k X ．以此类推，直到沿第n 个坐标轴方向n e 进行一维搜索完毕，得到设计点)(n k X ．至此，完成了第k 轮搜索，记第k 轮搜索得到的最优点为)(n k k X X =．（4）若11ε<--k kX X ，转(5)；否则需要进行下一轮搜索，即令1+=k k ，转(2)．（5）进行步长判别，如果步长0t 已缩短到足够小时，即满足20ε≤t 时，则k X 为最优点，输出))((k k X f X ，，结束．否则，收缩步长，即令u t t /00=，转(2)．约束坐标轮换法的流程如图6.7所示． 三、约束坐标轮换法有关说明约束坐标轮换法具有算法明了，迭代简单，便于使用者掌握运用等优点．但是，它的收敛速度较慢，对于维数较高的优化问题很费机时．另外，这种方法在某些情况下还会出现“死点”的病态，导致输出伪最优点．为了辨别输出最优点的真伪．可用T K -条件来检验．通常的做法是输入多个初始点，并给出各种不同的初始步长进行多次运算，再从众多的输出解中进行比较而排除伪最优点．图6.7。
约束坐标轮换法
f=9-x1*x1-x2*x2;
return f;
}
double g2(double x1,double x2)
{ double f;
f=x1+0*x2;
return f;
}
double g3(double x1,double x2)
{ double f;
f=0*x1+x2;
return f;
if(g1(x2[0],x2[1])>=0 && g2(x2[0],x2[1])>=0 && g3(x2[0],x2[1])>=0)
{fx22[j]=minfun(x2[0],x2[1]);
printf("fx2=%lf\nt;fx0)
{ fx0=fx22[j];
x0[0]=x2[0];
x0[1]=x2[1];
a0=2*a0;
j++;
}//实现Y方向的多次搜索；
else
break;
}
else
break;
}
if(h0>e)
h0=0.5*h0;
else
break;
}
printf("%lf %lf\n",x0[0],x0[1]);
printf("fx[min]=%lf\n",fx0);
scanf("%lf%lf",&x0[0],&x0[1]);
printf("%lf %lf\n",x0[0],x0[1]);
if(g1(x0[0],x0[1])>=0 && g2(x0[0],x0[1])>=0 && g3(x0[0],x0[1])>=0)
坐标轮换法汇总
4.7 坐标轮换法1. 基本思想：每次以一个变量坐标轴作为搜索方向，将 n 维的优化问题转化为一维搜索问题。
例，第 k 轮迭代的第 i 次搜索，是固定除 xi 外的 n-1 个变量，沿 xi 变量坐标轴作一维搜索，求得极值点 xi(k)… n 次搜索后获得极值点序列 x1(k), x2(k ）,…, xn(k)，若未收敛，则开始第 k+1 次迭代，直至收敛到最优点 x*。
2. 搜索方向与步长：3. 方法评价：方法简单，容易实现。
当维数增加时，效率明显下降。
收敛慢，以振荡方式逼近最优点。
受目标函数的性态影响很大。
如图 a) 所示，二次就收敛到极值点；如图 b) 所示，多次迭代后逼近极值点；如图 c) 所示，目标函数等值线出现山脊（或称陡谷），若搜索到 A 点，再沿两个坐标轴，以±t0步长测试，目标函数值均上升，计算机判断 A 点为最优点。
事实上发生错误。
：次搜索的收敛条件轮第第；：次搜索的迭代公式轮第第；：次搜索的步长轮第第向；个设计变量的坐标轴方为第次搜索的方向：轮第第εααα≤=+=-)()()()()(1)()()()(,...,2,1,k i k i k i k i k i k i k i k i k i S i k n i S x x i k S i k i S i k4.8 Poweel 法1. 基本思想：若沿连接相邻两轮搜索末端的向量 S 方向搜索，收敛速度加快。
其中：S=x 2(2)-x 2(1)因为两条平行线 S1, S2 与同心椭圆族相切，两个切点的连线 S 直指中心。
称 S1, S2 与 S 为共轭方向。
目的：以共轭方向打破振荡，加速收敛。
2. 共轭方向：共轭。
阵则称这组向量是关于矩能满足若有一组非零向量，为正定实对称矩阵设正交。
和则即，时则，为单位矩阵若的方向是共轭方向。
和是关于矩阵共轭，和则称向量满足，和维向量若有两个，为实对称正定矩阵设A j i AS S S S S A S S S S IS S I A S S S S AS S S S n A j T i n T T T),(0,,...,,,00,02121212121212121≠=∙==∙=∙3. 共轭方向的性质：4.步骤：5. 说明： 二次收敛性。
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double fx0,fx1,fx2,fx11[100],fx22[100];
int i,j,k;
h0=0.5;e=0.0001;
printf("请输入初始点x0：");
scanf("%lf%lf",&x0[0],&x0[1]);
printf("%lf %lf\n",x0[0],x0[1]);
break;
}
if(h0>e)
h0=0.5*h0;
else
break;
}
printf("%lf %lf\n",x0[0],x0[1]);
printf("fx[min]=%lf\n",fx0);
}//输出结果,开始判断出去.
{fx22[j]=minfun(x2[0],x2[1]);
printf("fx2=%lf\n",fx22[j]);
if(fx22[j]<fx0)
{ fx0=fx22[j];
x0[0]=x2[0];
x0[1]=x2[1];
a0=2*a0;
j++;
}//实现Y方向的多次搜索；
else
break;
}
else
return f;
}
double g2(double x1,double x2)
{ double f;
f=x1+0*x2;
return f;
}
double g3(double x1,double x2)
{ double f;
f=0*x1+x2;
return f;
}
int main()
{
double x0[2],h0,e,x1[2],x2[2],a0;
{fx1=minfun(x1[0],x1[1]);
printf("fx1=%lf\n",fx1);
if(fx1<fx0)
a0=h0;
else a0=-h0;
}
else
a0=-h0;//首次加大步长;
for(j=0;;)
{for(i=0;i<2;i++)
x1[i]=x0[i]+a0*e1[i];
printf("x1[0]=%f x1[1]=%f\n",x1[0],x1[1]);
#include<stdio.h>
double minfun(double x1,double x2)
{ double f;
f=x1*x1+2*x2*x2-4*x1-8*x2+15;
return f;
}
double g1(double x1,double x2)
{ double f;
f=9-x1*x1-x2*x2;
for(j=0; ;)
{for(i=0;i<2;i++)
x2[i]=x0[i]+a0*e2[i];
printf("x2[0]=%f x2[1]=%f\n",x2[0],x2[1]);
if(g1(x2[0],x2[1])>=0 && g2(x2[0],x2[1])>=0 && g3(x2[0],x2[1])>=0)
if(g1(x2[0],x2[1])>=0 && g2(x2[0],x2[1])>=0 && g3(x2[0],x2[1])>=0)
{fx2=minfun(x2[0],x2[1]);
printf("fx2=%lf\n",fx2);
if(fx2<fx0)
a0=a0;
else
a0=-a0;
}
else
a0=-a0;//Y正反方向;
if(g1(x1[0],x1[1])>=0 && g2(x1[0],x1[1])>=0 && g3(x1[0],x1[1])>=0)
{fx11[j]=minfun(x1[0],x1[1]);
printf("fx1=%lf\n",fx11[j]);
if(fx11[j]<fx0)
{fx0=fx11[j];
if(g1(x0[0],x0[1])>=0 && g2(x0[0],x0[1])>=0 && g3(x0[0],x0[1])>=0)
{fxtf("fx0=%lf\n",fx0);
}
else
{printf("请重新输入初始点x0：");
scanf("%lf%lf",&x0[0],&x0[1]);
} //实现初始点的判断;
for(k=0;;k++)
{
for(i=0;i<2;i++)
x1[i]=x0[i]+h0*e1[i];
printf("%lf %lf\n",x1[0],x1[1]);
if(g1(x1[0],x1[1])>=0 && g2(x1[0],x1[1])>=0 && g3(x1[0],x1[1])>=0)
x0[0]=x1[0];
x0[1]=x1[1];
a0=2*a0;
j++;
}//实现X方向的多次搜索；
else
break;
}
else
break;
}
for(i=0;i<2;i++)
x2[i]=x0[i]+a0*e2[i];
printf("x2[0]=%f x2[1]=%f\n",x2[0],x2[1]);