《圆锥曲线的参数方程》教学案

高二数学选修44教案07圆锥曲线的参数方程

高二数学选修4-4教案07圆锥曲线的参数方程一、数学构建1．圆的参数方程：（1）圆222r y x =+的参数方程为为参数）（ϕ⎩⎨⎧ϕ=ϕ=sin r y cos r x （2）圆22020r )y y ()x x (=-+-的参数方程为为参数）（ϕ⎩⎨⎧ϕ+=ϕ+=sin r y y cos r x x 00 2．椭圆的参数方程：（1）椭圆）（0b a 1b y a x 2222>>=+的参数方程为为参数）（ϕ⎩⎨⎧ϕ=ϕ=sin b y cos a x （1）椭圆）（0b a 1b )y y (a )x x (220220>>=-+-的参数方程为为参数）（ϕ⎩⎨⎧ϕ+=ϕ+=sin b y y cos a x x 00 3．双曲线的参数方程：（1）双曲线1b y a x 2222=-的参数方程为为参数）（ϕ⎩⎨⎧ϕ=ϕ=cot b y sec a x （1）椭圆1b )y y (a )x x (220220=---的参数方程为为参数）（ϕ⎩⎨⎧ϕ+=ϕ+=cot b y y sec a x x 00 上述圆、椭圆、双曲线的参数方程中，参数ϕ的几何意义为离心角。

4．抛物线px 2y 2=的参数方程为为参数）（t pt 2y pt 2x 2⎩⎨⎧== 其中t 的几何意义是抛物线px 2y 2=上除顶点外的点与原点连线的斜率的倒数。

二、知识运用【例1】点P 在圆41)2y (x 22=-+上移动，点Q 在椭圆4y 4x 22=+上移动，求|PQ|的最大值及相应的点Q 坐标。

解设Q （2cosa ，sina ）、O ′（0，2），则328328)32a (sin 3)2a (sin a cos 4|Q 'O |2222≤++-=-+=。

2132|Q 'O |≤∴，当且仅当35a cos 32a sin ±=-=，时取等号。

213221|Q 'O |21|Q 'O ||'PO ||PQ |+≤+=+≤Θ，∴|PQ|的最大值是213221+，相应的点Q 坐标为），（32532-±。

圆锥曲线的参数方程教案

圆锥曲线的参数方程教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解圆锥曲线的概念及其标准方程；（2）掌握圆锥曲线的参数方程的定义及表示方法；（3）能够运用参数方程解决与圆锥曲线相关的问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察实物和图形，培养学生的空间想象能力；（2）利用数形结合思想，引导学生从参数方程中揭示圆锥曲线的几何性质；（3）通过小组讨论和探究活动，提高学生合作交流的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学学科的兴趣和好奇心；（2）培养学生勇于探索、坚持不懈的精神；（3）引导学生认识数学在实际生活中的应用价值。

二、教学内容1. 圆锥曲线的概念及其标准方程（1）介绍圆锥曲线的基本概念；（2）讲解椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及特点。

2. 参数方程的定义及表示方法（1）引入参数方程的概念；（2）举例说明参数方程的表示方法；（3）讲解参数方程与普通方程的互化方法。

三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）圆锥曲线的概念及其标准方程；（2）参数方程的定义及表示方法；（3）参数方程与普通方程的互化方法。

2. 教学难点：（1）圆锥曲线的几何性质的揭示；（2）参数方程在实际问题中的应用。

四、教学过程1. 导入新课：（1）通过实物和图形，引导学生回顾圆锥曲线的基本概念；（2）提问：如何用数学语言描述圆锥曲线的形状和位置？2. 讲解新课：（1）讲解圆锥曲线的标准方程及其特点；（2）引入参数方程的概念，举例说明参数方程的表示方法；（3）讲解参数方程与普通方程的互化方法。

3. 课堂练习：（1）让学生独立完成教材中的相关练习题；（2）引导学生运用参数方程解决实际问题。

五、课后作业1. 复习圆锥曲线的标准方程及其特点；2. 熟练掌握参数方程的表示方法；3. 练习互化参数方程与普通方程；4. 探索圆锥曲线参数方程在实际问题中的应用。

六、教学策略与方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中提出圆锥曲线的参数方程需求；2. 利用数形结合思想，通过图形软件或实物展示，直观地展示圆锥曲线的几何性质；3. 组织小组讨论和探究活动，让学生合作交流，共同解决问题；4. 注重个体差异，针对不同学生提供个性化的指导和建议。

高中数学第二讲参数方程二圆锥曲线的参数方程学案

二圆锥曲线的参数方程1．理解椭圆的参数方程，了解参数的意义，会用椭圆的参数方程解决简单问题． 2．理解双曲线的参数方程，了解参数的意义，会用双曲线的参数方程解决简单问题． 3．理解抛物线的参数方程，了解参数的意义，会用抛物线的参数方程解决简单的相关问题．4．通过具体问题，体会某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，感受参数方程的优越性．1．椭圆的参数方程中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的参数方程是__________．规定参数φ的取值范围为________．(1)圆的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)中的参数θ是动点M (x ，y )的旋转角，但在椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)中的参数φ不是动点M (x ，y )的旋转角，它是点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角，称为离心角，不是OM 的旋转角．(2)通常规定φ∈[0,2π)．(3)当椭圆的普通方程不是标准形式时，也可以表示为参数方程的形式．如x －m2a 2＋y －n 2b 2＝1(a ＞b ＞0)可表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋a cos φ，y ＝n ＋b sin φ(φ为参数)．【做一做1－1】椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)，若θ∈[0,2π)，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ为( )．A ．π B.π2 C ．2π D.3π2【做一做1－2】 A ，B 分别是椭圆x 236＋y 29＝1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求△ABC 的重心G 的轨迹的普通方程．2．双曲线的参数方程中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的参数方程是__________规定参数φ的取值范围为__________．【做一做2】参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)的普通方程是( )．A ．y 2－x 2＝1B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(|x |≤2) D ．x 2－y 2＝1(|x |≤2)3．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px 的参数方程为____________． (2)参数t 的几何意义是________________．答案：1.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a ＞b ＞0) [0,2π)【做一做1－1】 A【做一做1－2】解：由于动点C 在该椭圆上运动，所以可设点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G 的坐标为(x ，y )，则由题意可知点A (6,0)，B (0,3)．由重心坐标公式可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋0＋6cos θ3＝2＋2cos θ，y ＝0＋3＋3sin θ3＝1＋sin θ.由此可得x －224＋(y －1)2＝1即为所求．2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ.φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠3π2【做一做2】 C 因为x 2＝1＋sin α，所以sin α＝x 2－1.又因为y 2＝2＋sin α＝2＋(x 2－1)，所以y 2－x 2＝1. 而x ＝sin α2＋cos α2＝2sin(α2＋π4)，故x ∈[－2，2]．3．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt ，t ∈(－∞，＋∞)(2)抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数1．椭圆的参数方程中参数φ的几何意义剖析：从几何变换的角度看，通过伸缩变换，令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1ax ，y ′＝1b y ，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1可以变成圆x ′2＋y ′2＝1，利用圆x ′2＋y ′2＝1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝cos φ，y ′＝sin φ(φ是参数)，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ是参数)，因此，参数φ的几何意义是椭圆上任意一点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角(称为点M 的离心角)，而不是OM 的旋转角．2．圆锥曲线的参数方程不是惟一的剖析：同一条圆锥曲线的参数方程形式是不惟一的．例如，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的参数方程可以是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ的形式，也可以是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝b cos θ的形式，二者只是形式上不同而已，实质上都是表示同一个椭圆．同样对于双曲线、抛物线也可以用其他形式的参数方程来表示，只是选取的参数不同，参数的几何意义也不同．题型一求圆锥曲线的参数方程【例1】椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和是6，焦距是25，求椭圆的参数方程．分析：可先根据题目条件求出椭圆的普通方程，然后化为参数方程．反思：求参数方程的关键是选准参数，有时可选的参数并不惟一，这时要选择一个恰当的．另外求参数方程比较困难时，也可以先求出它的普通方程，再化为参数方程．题型二圆锥曲线普通方程与参数方程的互化【例2】参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θsin θ＋cos θ，y ＝sin θsin θ＋cos θ(θ为参数)表示什么曲线？分析：消去参数，化为普通方程再判断．反思：有些参数方程很难直接看出它所表示的曲线类型，这时只需先把它化为普通方程再作研究即可．题型三圆锥曲线参数方程的应用【例3】设M 为抛物线y 2＝2x 上的动点，给定点M 0(－1,0)，点P 为线段M 0M 的中点，求点P 的轨迹方程．分析：合理选取参数，将抛物线方程转化为参数方程，再寻求解题方法．题型四易错辨析【例4】已知P 为椭圆x 216＋y 212＝1上一点，且∠POx ＝π3，求点P 的坐标．错解：设点P 的坐标为(x ，y )，如图所示，由椭圆的参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos π3，y ＝23sin π3，即P 的坐标为(2,3)．答案：【例1】解：由题意，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，则a ＝3，c ＝5， ∴b ＝2，∴椭圆的普通方程为x 232＋y 222＝1，化为参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．【例2】解：∵x ＝cos θ·sin θ＋cos 2θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋12，∴x －12＝sin 2θ＋cos 2θ2.∵y ＝sin 2θ＋sin θcos θ＝sin 2θ－cos 2θ＋12，∴y －12＝sin 2θ－cos 2θ2.∴(x －12)2＋(y －12)2＝1＋2sin 2θcos 2θ＋1－2sin 2θcos 2θ4＝12.∴原参数方程表示的曲线是圆心为(12，12)，半径为22的圆．【例3】解：令y ＝2t ，则x ＝y 22＝2t 2，得抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t(t 为参数)，则设动点M (2t 2,2t )，定点M 0(－1,0)．设点P 的坐标为(x ，y )，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－1＋2t2，y ＝120＋2t ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12＋t2，y ＝t(t 为参数)，这就是点P 的轨迹的参数方程．化为普通方程是y 2＝x ＋12.这是以x 轴为对称轴，顶点在(－12，0)的抛物线．【例4】错因分析：椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ和圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos φ，y ＝r sin φ中，参数φ的意义是不同的．在圆的方程中，φ是圆周上的动点M (x ，y )所对应的角∠xOM ，而椭圆方程中的φ，其意义却不是这样，上述解答把椭圆方程中φ的意义错混为圆的方程中φ的意义，从而导致了解答的错误．正解：设|OP |＝t ，点P 的坐标为(t cos π3，t sin π3)，代入椭圆方程得12t 216＋32t 212＝1，即t ＝855，所以点P 的坐标为(455，4515)．1椭圆2cos ,5sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)的焦距为( )．21．22129 D ．2292椭圆45cos ,3sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(φ为参数)的焦点坐标为( )．A ．(0,0)，(0，－8)B ．(0,0)，(－8,0)C ．(0,0)，(0,8)D ．(0,0)，(8,0)3参数方程2cos ,sin x y θθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)所表示的曲线为( )．A ．抛物线的一部分B ．抛物线C ．双曲线的一部分D ．双曲线4实数x ，y 满足221169x y +=，则z ＝x －y 的最大值为________，最小值为________． 5如图，由椭圆2249x y +＝1上的点M 向x 轴作垂线，交x 轴于点N ，设P 是MN 的中点，求点P 的轨迹方程．答案：1．B2．D 利用平方关系化为普通方程：22(4)259x y -+＝1. 3．A4．5 －5 由椭圆的参数方程，可设x ＝4cos θ，y ＝3sin θ，∴z ＝x －y ＝4cos θ－3sin θ＝5cos (θ＋φ)，其中φ为锐角，且tan φ＝34.∴－5≤z ≤5.5．解：椭圆2249x y +＝1的参数方程为2cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，∴设M (2cos θ，3sin θ)，P (x ，y )，则N (2cos θ，0)，∴2cos 2cos 2cos ,23sin ,2x y θθθθ+⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 消去θ，得22449x y +＝1，即点P 的轨迹方程为22449x y +＝1.。

教案：圆锥曲线的参数方程及其应用

教案：圆锥曲线的参数方程及其应用。

一、圆锥曲线的定义及分类圆锥曲线是由固定点（焦点）和固定直线（准线）所构成的几何图形。

根据焦点和准线的位置关系，圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。

（一）椭圆椭圆是焦点到准线距离之和等于定值的所有点的集合，又称为倍长轴圆。

（二）双曲线双曲线是焦点到准线距离之差等于定值的所有点的集合，又称为哈密顿曲线。

（三）抛物线抛物线是焦点到准线距离等于点到准线距离的平方的两倍的所有点的集合。

二、圆锥曲线的参数方程圆锥曲线的参数方程是指用参数表示出曲线上一点与焦点和准线间的关系。

比较常见的有极坐标参数法和直角坐标参数法。

下面我们主要介绍直角坐标参数法。

（一）椭圆的参数方程以$x$轴和$y$轴为直角坐标系。

设椭圆的长轴方程为$x=2a\cos\theta$，短轴方程为$y=b\sin\theta$（其中$a,b$分别为椭圆长轴和短轴的长度）。

则椭圆的参数方程为：$$\begin{cases}x=2a\cos\theta \\y=b\sin\theta\end{cases}$$其中$\theta$为参数，描述曲线上的一个点与原点间的位置关系。

（二）双曲线的参数方程以$x$轴和$y$轴为直角坐标系。

设双曲线的$x$轴方程为$x=2a\sec\theta$，$y$轴方程为$y=2b\tan\theta$（其中$a,b$分别为双曲线距离准线最远点到准线距离的一半和准线到双曲线的距离）。

则双曲线的参数方程为：$$\begin{cases}x=2a\sec\theta \\y=2b\tan\theta\end{cases}$$其中$\theta$为参数，描述曲线上的一个点与原点间的位置关系。

（三）抛物线的参数方程以$x$轴和$y$轴为直角坐标系。

设抛物线的方程为$y=kx^2$（其中$k$为常数）。

则抛物线的参数方程为：$$\begin{cases}x=t \\y=kt^2\end{cases}$$其中$t$为参数，描述曲线上的一个点与原点间的位置关系。

圆锥曲线的参数方程

y
2pt.
(t为参数，t
R)
o
Hx
其中参数t=
1
tan
(
0),当
=0时，t=0.
几何意义为：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t=
x y
.
二、讨论学案
尝试练习：若6题选择普通方程如何解决？哪种解法更方便。
巩固提高：6题中的
4
是参数方程中的
y2 100
1
练习2：已知椭圆的参数方程为
x 2cos
y
sin
(
是
参数) ，则此椭圆的长轴长为（ 4 ），短轴长为
（ 2 ），焦点坐标是（( 3, 0)），离心率是
（ 3 ）。 2
一、圆锥曲线的参数方程的推导
2、（1）双曲线的参数方程的推导
（2）双曲线的参数方程中参数的几何意义
以原点O为圆心，a,b为半径作同心圆C1，C2，设A 为C1上任一点，作直线OA，过点A作圆C1的切线 AA，与x轴交于A，，过圆C2与x轴的交点B作圆C2 的切线BB，与直线OA交于点B，，过点A，，B，分别作y轴和x轴的平行线A，M，B，M交于点M，设
2
2
说明：
o B A' x
⑴ 这里参数叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
⑵se双c2曲线的1参t数an方2 程相可比以较由而方得程到，ax22所以by22双曲1与线三的角参恒数等方式程
的实质是三角代换.
1.双曲线为_____.
x
y
3sec tan
(为参数)的渐近线方程
一、圆锥曲线的参数方程的推导
y 1t

数学学案：课堂导学第二讲二圆锥曲线的参数方程

课堂导学三点剖析一、利用参数方程求点的轨迹【例1】已知A 、B分别是椭圆93622y x +=1的左顶点和上顶点,动点C在该椭圆上运动，求△ABC 的重心G 的轨迹的普通方程.解析：本题有两种思考方式，求解时把点C 的坐标设为一般的（x 1，y 1)的形式或根据它在该椭圆上运动也可以设为（6cosθ，3sinθ）的形式，从而予以求解。

解:由动点C 在该椭圆上运动,故据此可设点C 的坐标为（6cosθ，3sinθ）,点G 的坐标为（x ，y)，则由题意可知点A(-6,0）、B （0，3). 由重心坐标公式可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+-=++-=.sin 13sin 330,cos 223cos 606θθθθy x 由此消去θ得到4)2(2+x +(y —1）2=1，即为所求。

温馨提示本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得更简单、更便捷. 各个击破类题演练 1已知双曲线2222by a x -=1（a>0，b>0）的动弦BC 平行于虚轴，M 、N 是双曲线的左、右顶点。

（1）求直线MB 、CN 的交点P 的轨迹方程；（2）若P （x 1,y 1),B(x 2,y 2),求证：a 是x 1、x 2的比例中项。

（1)解:由题意可设点B(asecθ,btanθ）,则点C(asecθ,-btanθ）,又M(—a ，0),N （a,0)，∴直线MB 的方程为y=aa b +θθsec tan (x+a ），直线CN 的方程为y=θθsec tan a a b -(x-a)。

将以上两式相乘得点P的轨迹方程为2222by a x +=1。

（2）证明：因为P 既在MB 上,又在CN 上，由两直线方程消去y 1得x 1=θsec a,而x 2=asecθ，所以有x 1x 2=a 2,即a 是x 1、x 2的比例中项.变式提升 1在直角坐标系xOy 中,参数方程⎩⎨⎧-=+=12,122t y t x (t 为参数)表示的曲线是___________.解析：t=21-x 代入y=2t 2-1得y=2(21-x )2—1,即（x —1）2=2(y+1).答案：抛物线二、利用参数方程求坐标【例2】在椭圆7x 2+4y 2=28上求一点，使它到直线l:3x —2y-16=0的距离最短，并求出这一最短距离.解:把椭圆方程化为7422y x +=1的形式，则可设椭圆上点A 坐标为(2cosα，7sinα），则A 到直线l 的距离为d=13|16)sin(8|13|16sin 72cos 6|--=--αβαα（其中β=arcsin 43).∴当β-α=2π时，d 有最小值,最小值为13138138=. 此时α=β—2π，∴sinα=—cosβ=47-,cosα=sinβ=43.∴A 点坐标为（23,47-）。

2019-2020学年高三数学一轮复习专题圆锥曲线的参数方程导学案.doc

2019-2020学年高三数学一轮复习专题圆锥曲线的参数方程导学案一、教学目标：知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

二、重难点：教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程.三、教学方法：启发、诱导发现教学.四、教学过程：（一）、复习引入：1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。

(1)圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数）（2）圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）（二）、讲解新课： 1.焦点在x 轴的椭圆：12222=+b y a x 参数方程 ⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数） 2. 焦点在y 轴的椭圆22221(0)y x b a b a +=>>的参数方程是c o ss i n (2x b y a θθθθ==≤≤π⎨为参数，且0）.★在利用⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x 研究椭圆问题时，椭圆上的点的坐标可记作（acos θ,bsin θ）。

例1、已知椭圆⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x (θ为参数)求（1）6πθ=时对应的点P 的坐标（2）直线OP 的倾斜角例2、求椭圆2211612x y +=上的点到直线l ：2120x y --=的最大距离和最小距离。

变式：已知椭圆2214x y +=上任意一点M （除短轴以外）与短轴两端点1B 、2B 的连线分别交x 轴与P 、Q 两点，求证：OP OQ ∙为定值。

【课堂练习】1、当参数θ变化时，动点P （cos ,3sin 2θθ）所确定的曲线必过（）A ．点（2,3）B .点（2,0）C ．点（1,3） D.点（0，2π） 2、设O 是椭圆3cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩ 的中心，P 是椭圆上对应于6πϕ= 的点，那么直线OP 的斜率为（）B.C.3、椭圆22194x y +=上的点到直线240x y +-=的距离最小值为（）4、定点（2a ,0）和椭圆cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）上个点连线段的中点轨迹方程是 A.2222()144x a y a b -+= B.2222()144x a y a b++= B.2222()144x a y a b --= D.2222()144x a y a b +-={3322x t C y t =+⎧⎨=-+⎩5、已知椭圆的方程为22(1)(2)135x y -++=，则它的参数方程为＿＿＿＿＿＿ 6、点P （x,y ）在椭圆2244x y +=上，则x+y 的最大值为＿＿＿＿；最小值为＿＿＿＿7、已知极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，若曲线1C 的极坐标方程为cos()4πρθ-=曲线2C的参数方程2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩ （θ为参数），试求曲线1C 、2C 的焦点的直角坐标.8、已知曲线1C ：4cos 3sin x t y t =-+⎧⎨=+⎩ （t 为参数），2C ：8cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）（1）化1C 、2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若1C 上的点P 对应的参数为t=2π，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线3C ：322x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）距离的最小值.（三）、巩固训练1、曲线)(11为参数t t t y t t x ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=的普通方程为2、曲线)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（） A ．21 B ．22 C ．1 D ．2 4、已知椭圆⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x (θ为参数)求（1）6πθ=时对应的点P 的坐标（2）直线OP 的倾斜角（四）、小结：本课要求大家了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义，能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程，通过推到椭圆及双曲线的参数方程，体会求曲线的参数方程方法和步骤，对椭圆的参数方程常见形式要理解和掌握。

高中高三数学《直线和圆锥曲线的参数方程》教案、教学设计

（二）教学设想
1.针对重点内容，采用以下教学策略：
（1）通过直观的动态演示，帮助学生理解参数方程的几何意义，增强直观感知；
（2）设计具有层次性的例题和练习，逐步引导学生掌握参数方程的应用；
（3）结合实际情境，激发学生探究参数方程的兴趣，提高学习积极性。
2.针对难点内容，采用以下教学策略：
（1）以小组合作的形式，让学生在讨论和交流中，共同探讨参数方程的推导过程，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力；
高中高三数学《直线和圆锥曲线的参数方程》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
本章节主要围绕“直线和圆锥曲线的参数方程”展开，使学生掌握以下知识与技能：
1.理解并掌握直线、椭圆、双曲线和抛物线的参数方程；
2.学会运用参数方程解决直线和圆锥曲线的相关问题；
3.能够运用坐标系和参数方程描述直线和圆锥曲线的运动变化；
（8）教学评价：通过课堂提问、作业批改等方式，了解学生的学习情况，及时调整教学策略。
4.关注学生个体差异，实施差异化教学：
（1）针对基础薄弱的学生，加强基础知识的学习，提高其学习信心；
（2）针对学有余力的学生，适当拓展课外知识，培养其创新能力和数学素养。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
1.教学活动设计：以生活中的实例导入，如一颗行星在椭圆轨道上绕太阳运动，引导学生思考如何描述行星的运动轨迹。
1.分组讨论：将学生分成若干小组，针对以下问题进行讨论：
（1）直线和圆锥曲线参数方程的推导过程；
（2）参数方程与普通方程互化的方法；
（3）如何运用参数方程解决实际问题。
2.教师引导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，引导学生深入探讨参数方程的内涵和实际应用。

高中数学第二讲参数方程二圆锥曲线的参数方程学案

二圆锥曲线的参数方程1．理解椭圆的参数方程，了解参数的意义，会用椭圆的参数方程解决简单问题． 2．理解双曲线的参数方程，了解参数的意义，会用双曲线的参数方程解决简单问题． 3．理解抛物线的参数方程，了解参数的意义，会用抛物线的参数方程解决简单的相关问题．4．通过具体问题，体会某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，感受参数方程的优越性．1．椭圆的参数方程中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的参数方程是__________．规定参数φ的取值范围为________．(1)圆的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)中的参数θ是动点M (x ，y )的旋转角，但在椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)中的参数φ不是动点M (x ，y )的旋转角，它是点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角，称为离心角，不是OM 的旋转角．(2)通常规定φ∈[0,2π)．(3)当椭圆的普通方程不是标准形式时，也可以表示为参数方程的形式．如x －m2a 2＋y －n 2b 2＝1(a ＞b ＞0)可表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋a cos φ，y ＝n ＋b sin φ(φ为参数)．【做一做1－1】椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)，若θ∈[0,2π)，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ为( )．A ．π B.π2 C ．2π D.3π2【做一做1－2】 A ，B 分别是椭圆x 236＋y 29＝1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求△ABC 的重心G 的轨迹的普通方程．2．双曲线的参数方程中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的参数方程是__________规定参数φ的取值范围为__________．【做一做2】参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)的普通方程是( )．A ．y 2－x 2＝1B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(|x |≤2) D ．x 2－y 2＝1(|x |≤2)3．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px 的参数方程为____________． (2)参数t 的几何意义是________________．答案：1.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a ＞b ＞0) [0,2π)【做一做1－1】 A【做一做1－2】解：由于动点C 在该椭圆上运动，所以可设点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G 的坐标为(x ，y )，则由题意可知点A (6,0)，B (0,3)．由重心坐标公式可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋0＋6cos θ3＝2＋2cos θ，y ＝0＋3＋3sin θ3＝1＋sin θ.由此可得x －224＋(y －1)2＝1即为所求．2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ.φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠3π2【做一做2】 C 因为x 2＝1＋sin α，所以sin α＝x 2－1.又因为y 2＝2＋sin α＝2＋(x 2－1)，所以y 2－x 2＝1. 而x ＝sin α2＋cos α2＝2sin(α2＋π4)，故x ∈[－2，2]．3．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt ，t ∈(－∞，＋∞)(2)抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数1．椭圆的参数方程中参数φ的几何意义剖析：从几何变换的角度看，通过伸缩变换，令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1ax ，y ′＝1b y ，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1可以变成圆x ′2＋y ′2＝1，利用圆x ′2＋y ′2＝1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝cos φ，y ′＝sin φ(φ是参数)，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ是参数)，因此，参数φ的几何意义是椭圆上任意一点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角(称为点M 的离心角)，而不是OM 的旋转角．2．圆锥曲线的参数方程不是惟一的剖析：同一条圆锥曲线的参数方程形式是不惟一的．例如，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的参数方程可以是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ的形式，也可以是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝b cos θ的形式，二者只是形式上不同而已，实质上都是表示同一个椭圆．同样对于双曲线、抛物线也可以用其他形式的参数方程来表示，只是选取的参数不同，参数的几何意义也不同．题型一求圆锥曲线的参数方程【例1】椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和是6，焦距是25，求椭圆的参数方程．分析：可先根据题目条件求出椭圆的普通方程，然后化为参数方程．反思：求参数方程的关键是选准参数，有时可选的参数并不惟一，这时要选择一个恰当的．另外求参数方程比较困难时，也可以先求出它的普通方程，再化为参数方程．题型二圆锥曲线普通方程与参数方程的互化【例2】参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θsin θ＋cos θ，y ＝sin θsin θ＋cos θ(θ为参数)表示什么曲线？分析：消去参数，化为普通方程再判断．反思：有些参数方程很难直接看出它所表示的曲线类型，这时只需先把它化为普通方程再作研究即可．题型三圆锥曲线参数方程的应用【例3】设M 为抛物线y 2＝2x 上的动点，给定点M 0(－1,0)，点P 为线段M 0M 的中点，求点P 的轨迹方程．分析：合理选取参数，将抛物线方程转化为参数方程，再寻求解题方法．题型四易错辨析【例4】已知P 为椭圆x 216＋y 212＝1上一点，且∠POx ＝π3，求点P 的坐标．错解：设点P 的坐标为(x ，y )，如图所示，由椭圆的参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos π3，y ＝23sin π3，即P 的坐标为(2,3)．答案：【例1】解：由题意，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，则a ＝3，c ＝5， ∴b ＝2，∴椭圆的普通方程为x 232＋y 222＝1，化为参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．【例2】解：∵x ＝cos θ·sin θ＋cos 2θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋12，∴x －12＝sin 2θ＋cos 2θ2.∵y ＝sin 2θ＋sin θcos θ＝sin 2θ－cos 2θ＋12，∴y －12＝sin 2θ－cos 2θ2.∴(x －12)2＋(y －12)2＝1＋2sin 2θcos 2θ＋1－2sin 2θcos 2θ4＝12.∴原参数方程表示的曲线是圆心为(12，12)，半径为22的圆．【例3】解：令y ＝2t ，则x ＝y 22＝2t 2，得抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝2t(t 为参数)，则设动点M (2t 2,2t )，定点M 0(－1,0)．设点P 的坐标为(x ，y )，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－1＋2t2，y ＝120＋2t ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12＋t2，y ＝t(t 为参数)，这就是点P 的轨迹的参数方程．化为普通方程是y 2＝x ＋12.这是以x 轴为对称轴，顶点在(－12，0)的抛物线．【例4】错因分析：椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ和圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos φ，y ＝r sin φ中，参数φ的意义是不同的．在圆的方程中，φ是圆周上的动点M (x ，y )所对应的角∠xOM ，而椭圆方程中的φ，其意义却不是这样，上述解答把椭圆方程中φ的意义错混为圆的方程中φ的意义，从而导致了解答的错误．正解：设|OP |＝t ，点P 的坐标为(t cos π3，t sin π3)，代入椭圆方程得12t 216＋32t 212＝1，即t ＝855，所以点P 的坐标为(455，4515)．1椭圆2cos ,5sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)的焦距为( )．21．22129 D ．2292椭圆45cos ,3sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(φ为参数)的焦点坐标为( )．A ．(0,0)，(0，－8)B ．(0,0)，(－8,0)C ．(0,0)，(0,8)D ．(0,0)，(8,0)3参数方程2cos ,sin x y θθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)所表示的曲线为( )．A ．抛物线的一部分B ．抛物线C ．双曲线的一部分D ．双曲线4实数x ，y 满足221169x y +=，则z ＝x －y 的最大值为________，最小值为________． 5如图，由椭圆2249x y +＝1上的点M 向x 轴作垂线，交x 轴于点N ，设P 是MN 的中点，求点P 的轨迹方程．答案：1．B2．D 利用平方关系化为普通方程：22(4)259x y -+＝1. 3．A4．5 －5 由椭圆的参数方程，可设x ＝4cos θ，y ＝3sin θ，∴z ＝x －y ＝4cos θ－3sin θ＝5cos (θ＋φ)，其中φ为锐角，且tan φ＝34.∴－5≤z ≤5.5．解：椭圆2249x y +＝1的参数方程为2cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，∴设M (2cos θ，3sin θ)，P (x ，y )，则N (2cos θ，0)，∴2cos 2cos 2cos ,23sin ,2x y θθθθ+⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 消去θ，得22449x y +＝1，即点P 的轨迹方程为22449x y +＝1.。

选修4-4 第二讲参数方程(圆锥曲线的参数方程) 教案

焦点在y 轴上的椭圆的参数方程：2222y 1,b ax +=练习：已知椭圆4922y x +＝1，点M 是椭圆上位于第一象限的弧上一点，且∠xOM ＝60°。

(1)求点M 的坐标；(2)如何表示椭圆在第一象限的弧？错解：由已知可得a ＝3，b ＝2，θ＝600,∴x ＝acos θ＝3cos60°＝23，y ＝bsin θ＝2sin60°＝3。

从而，点M 的坐标为)3,23(。

正解：设点M 的坐标为(x,y)，则由已知可得y ＝3x,与4922y x +＝1联立，解得x ＝31316， y ＝93316。

所以点M 的坐标为(31316,93316)。

另解：∵∠xOM=60°，∴可设点M 的坐标为(|OM|cos60°，|OM|sin60°)。

代入椭圆方程解出|OM|，进而得到点M 的坐标(略)。

例1 求椭圆)0b a (1by a x 2222>>=+的内接矩形的面积及周长的最大值。

解：如图，设椭圆1by a x 2222=+的内接矩形在第一象限的顶点是A )sin cos (ααb a ，)20(πα<<，矩形的面积和周长分别是S 、L 。

ab 22sin ab 2sin b cos a 4|EA ||FA |4S ≤α=α⋅α=⨯=，当且仅当4a π=时，22max b a 4sin b 4cos a 4|)EA ||FA (|4L ab 2S +≤α+α=+==，，cos y a sin x b ϕϕ=⎧⎨=⎩53arcsin 23-π=α时，距离d 有最大值2。

例4 θ取一切实数时，连接A(4sin θ,6cos θ)和B(-4cos θ, 6sin θ)两点的线段的中点轨迹是 . A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 线段例5 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且21MB AM =，试求动点M 的轨迹方程。

高中数学选修4--4圆锥曲线参数方程的应用教案

第四课时圆锥曲线参数方程的应用一、教学目标：知识与技能：利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题过程与方法：选择适当的参数方程求最值。

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

二、重难点：教学重点：选择适当的参数方程求最值。

教学难点：正确使用参数式来求解最值问题三、教学模式：讲练结合，探析归纳四、教学过程：（一）、复习引入：通过参数θ简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中以计算问题化为三角问题，从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值，参数取值范围等问题。

（二）、讲解新课：例1、双曲线6sec ({x y ααα==为参数）的两焦点坐标是。

答案：（0，），（0，）。

学生练习。

例2、方程{t t t t x y e ee e --=+=-（t 为参数）的图形是双曲线右支。

学生练习，教师准对问题讲评。

反思归纳：判断曲线形状的方法。

例3、设P 是椭圆223641y x +=在第一象限部分的弧AB 上的一点，求使四边形OAPB 的面积最大的点P 的坐标。

分析：本题所求的最值可以有几个转化方向，即转化为求,POA poB OAPB s s S ∆+∆的最大值或者求点P 到AB 的最大距离，或者求四边形OAPB 的最大值。

学生练习，教师准对问题讲评。

【θ=4π时四边形OAPB 的最大值，此时点P 为（，2）。

】（三）、巩固训练1、直线)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==t y t x 与圆)(sin 2cos 24为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧=+=y x 相切，那么直线的倾斜角为（A ） A ．6π或65π B ．4π或43π C ．3π或32π D ．6π-或65π- 2、椭圆 12222=+by a x （0>>b a ）与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上存在点P ，使OP ⊥AP ，（O 为原点），求离心率e 的范围。

3、抛物线x y 42=的内接三角形的一个顶点在原点，其重心恰是抛物线的焦点，求内接三角形的周长。

高中数学 2.2 圆锥曲线的参数方程教案新人教A版选修4

二圆锥曲线的参数方程1．椭圆的参数方程(1)抛物线y2＝2px 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt2y ＝2pt(t ∈R ，t 为参数)．(2)参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．1．椭圆的参数方程中，参数φ是OM 的旋转角吗？【提示】椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)中的参数φ不是动点M (x ，y )的旋转角，它是点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角，称为离心角，不是OM 的旋转角．2．双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数sec φ的意义是什么？【提示】 sec φ＝1cos φ，其中φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠32π.3．类比y 2＝2px (p >0)，你能得到x 2＝2py (p >0)的参数方程吗？【提示】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ，y ＝2pt 2.(p >0，t 为参数，t ∈R )将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝3sin θ(θ为参数)化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．【思路探究】根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．【自主解答】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝3sin θ得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x5，sin θ＝y3，两式平方相加，得x 252＋y 232＝1.∴a ＝5，b ＝3，c ＝4.因此方程表示焦点在x 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(4,0)和F 2(－4,0)．椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ，(θ为参数，a ，b 为常数，且a >b >0)中，常数a 、b 分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上．若本例的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝5sin θ，(θ为参数)，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？【解】将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝5sin θ，化为⎩⎪⎨⎪⎧x3＝cos θ，y5＝sin θ，两式平方相加，得x 232＋y 252＝1.其中a ＝5，b ＝3，c ＝4.所以方程的曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(0，－4)与F 2(0,4)．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t y ＝3＋sin t，(t为参数)，曲线C 2：x 264＋y 29＝1.(1)化C 1为普通方程，C 2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：x －2y －7＝0距离的最小值．【思路探究】 (1)参数方程与普通方程互化；(2)由中点坐标公式，用参数θ表示出点M 的坐标，根据点到直线的距离公式得到关于θ的函数，转化为求函数的最值．【自主解答】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos t ＝x ＋4，sin t ＝y －3.∴曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆．曲线C 2：x 264＋y 29＝1表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)(2)依题设，当t ＝π2时，P (－4,4)；且Q (8cos θ，3sin θ)，故M (－2＋4cos θ，2＋32sin θ)．又C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|5cos(θ＋φ)－13|，从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，(其中φ由sin φ＝35，cos φ＝45确定)cos(θ＋φ)＝1，d 取得最小值855.1．从第(2)问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越性．2．第(2)问设计十分新颖，题目的要求就是求动点M 的轨迹上的点到直线C 3距离的最小值，这个最小值归结为求关于参数θ的函数的最小值．(2013·开封质检)已知点P 是椭圆x24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l ：x ＋2y ＝0的距离的最大值．【解】因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈[0,2π)．又直线l ：x ＋2y ＝0. 因此点P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22|sin θ＋π4|5.所以，当sin(θ＋π4)＝1，即θ＝π4时，d 取得最大值2105.双曲线参数方程的应用求证：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．【思路探究】设出双曲线上任一点的坐标，可利用双曲线的参数方程简化运算．【自主解答】由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0，设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)，它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2，则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a2· |ab sec φ－ab tan φ|b 2＋－a 2＝|a 2b 2sec 2 φ－tan 2 φ|a 2＋b 2＝a 2b 2a 2＋b2(定值)．在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec2φ－tan2φ＝1的应用．如图2－2－1，设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1、F2是两个焦点，证明：|PF1|·|PF2|＝|OP|2.图2－2－1【证明】设P(sec φ，tan φ)，∵F1(－2，0)，F2(2，0)，∴|PF1|＝sec φ＋22＋tan2φ＝2sec2φ＋22secφ＋1，|PF2|＝sec φ－22＋tan2φ＝2sec2φ－22sec φ＋1，|PF1|·|PF2|＝2sec2φ＋12－8sec2φ＝2sec2φ－1.∵|OP|2＝sec2φ＋tan2φ＝2sec2φ－1，∴|PF1|·|2抛物线的参数方程设抛物线y 2＝2px 的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任一点，PQ ⊥l 于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程．【思路探究】解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．【自主解答】设P 点的坐标为(2pt 2,2pt )(t 为参数)，当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝1tx ，QF 的方程为y ＝－2t (x －p2)，它们的交点M (x ，y )由方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1t x y ＝－2tx －p2确定，两式相乘，消去t ，得y 2＝－2x (x －p2)，∴点M 的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0(x ≠0)．当t ＝0时，M (0,0)满足题意，且适合方程2x 2－px ＋y 2＝0.故所求的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0.1．抛物线y2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，参数t 为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．2．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．(2012·天津高考)已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.【解析】根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ，所以y 2M ＝6p ，所以E (－p 2，±6p )，F (p 2，0)，所以p2＋3＝p 2＋6p ，所以p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍去)．【答案】 2(教材第34页习题2.2，第5题)已知椭圆x 2a2＋y 2b2＝1上任意一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线分别与x 轴交于P 、Q 两点，O 为椭圆的中心．求证：|OP |·|OQ |为定值．(2012·徐州模拟)如图2－2－2，已知椭圆x 24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1、B 2的连线分别交x 轴于P 、Q两点．图2－2－2求证：|OP |·|OQ |为定值．【命题意图】本题主要考查椭圆的参数方程的简单应用，考查学生推理与数学计算能力．【证明】设M (2cos φ，sin φ)(φ为参数)， B 1(0，－1)，B 2(0,1)．则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φ·x ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝|2cos φ1＋sin φ|.MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ，∴|OQ |＝|2cos φ1－sin φ|.∴|OP |·|OQ |＝|2cos φ1＋sin φ|·|2cos φ1－sin φ|＝4.因此|OP |·|OQ |＝4(定值).1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝2sin θ，(θ为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1 B ．x 2＋y 22＝1 C ．y 2＋x 24＝1 D ．y 2＋x 24＝1 【解析】易知cos θ＝x ，sin θ＝y2，∴x 2＋y 24＝1，故选A.【答案】 A2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x cos θ＝a ，y ＝b cos θ，(θ为参数，ab ≠0)表示的曲线是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．双曲线的一部分【解析】由x cos θ＝a ，∴cos θ＝ax，代入y ＝b cos θ，得xy ＝ab ，又由y ＝b cos θ知，y ∈[－|b |，|b |]， ∴曲线应为双曲线的一部分．【答案】 D3．(2013·陕西高考)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．【解析】将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1,0)．【答案】 (1,0)4．(2012·湖南高考)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.【解析】将曲线C 1与C 2的方程化为普通方程求解． ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，消去参数t 得2x ＋y －3＝0.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，消去参数θ得x 2a 2＋y 29＝1.方程2x ＋y －3＝0中，令y ＝0得x ＝32，将(32，0)代入x 2a 2＋y 29＝1，得94a2＝1.又a >0，∴a ＝32.【答案】32(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φy ＝5sin φ，(φ为参数)的离心率为( )A.23B.35C.32D.53【解析】由题设，得x 29＋y 25＝1，∴a 2＝9，b 2＝5，c 2＝4，因此e ＝c a ＝23.【答案】 A2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2y ＝2＋sin α，(α为参数)的普通方程是( )A ．y 2－x 2＝1B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(1≤y ≤3)D ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)【解析】因为x 2＝1＋sin α，所以sin α＝x 2－1.又因为y 2＝2＋sin α＝2＋(x 2－1)，所以y 2－x 2＝1.∵－1≤sin α≤1，y ＝2＋sin α， ∴1≤y ≤ 3.∴普通方程为y 2－x 2＝1，y ∈[1，3]．【答案】 C3．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝2t (参数t ∈R )上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2【解析】 d 2＝(x －1)2＋y 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2，由t 2≥0得d 2≥1，故d min ＝1. 【答案】 B4．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ，(θ为参数，0≤θ≤π)上的一点P ，原点为O ，直线PO的倾斜角为π4，则P 点的坐标是( )A ．(3,4)B ．(322，22)C ．(－3，－4)D ．(125，125)【解析】由题意知，3cos θ＝4sin θ，∴tan θ＝34，又0≤θ≤π，则sin θ＝35，cos θ＝45，∴x ＝3×cos θ＝3×45＝125，y ＝4sin θ＝4×35＝125，因此点P 的坐标为(125，125)．【答案】 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos ty ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为________．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝4sin π3＝2 3.得点M 的坐标为(1,23)．直线OM 的斜率k ＝231＝2 3.【答案】 2 36．(2013·江西高考)设曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t2化为普通方程为y ＝x 2，由于ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.【答案】 ρcos 2θ－sin θ＝0 三、解答题(每小题10分，共30分)7．(2013·平顶山质检)如图2－2－3所示，连接原点O 和抛物线y ＝12x 2上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明是什么曲线？图2－2－3【解】抛物线标准方程为x2＝2y ，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2.得M (2t,2t 2)．设P (x ，y )，则M 是OP 中点．∴⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝x ＋02，2t 2＝y ＋02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t y ＝4t2(t 为参数)，消去t 得y ＝14x 2，是以y 轴对称轴，焦点为(0,1)的抛物线．8．(2012·龙岩模拟)已知直线l 的极坐标方程是ρcos θ＋ρsin θ－1＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)，求直线l 和椭圆C 相交所成弦的弦长．【解】由题意知直线和椭圆方程可化为： x ＋y －1＝0，①x 24＋y 2＝1，②①②联立，消去y 得：5x 2－8x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85.设直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 两点直角坐标分别为(0,1)，(85，－35)，则|AB |＝－35－12＋852＝825.故所求的弦长为825.9．(2013·漯河调研)在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，π2)，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．【解】 (1)把极坐标系下的点P (4，π2)化为直角坐标，得点(0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos α＋π6＋42＝2cos(α＋π6)＋22，由此得，当cos(α＋π6)＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.教师备选10．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P (0，32)到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标．【解】设椭圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝b sin θ，其中，a >b >0,0≤θ<2π.由e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－(b a )2可得b a ＝1－e 2＝12即a ＝2b .设椭圆上的点(x ，y )到点P 的距离为d ，则d 2＝x 2＋(y －32)2＝a 2cos 2θ＋(b sin θ－32)2＝a 2－(a 2－b 2)sin 2θ－3b sin θ＋94＝4b 2－3b 2sin 2θ－3b sin θ＋94＝－3b 2(sin θ＋12b)2＋4b 2＋3，如果12b >1即b <12，即当sin θ＝－1时，d 2有最大值，由题设得(7)2＝(b ＋32)2，由此得b ＝7－32>12，与b <12矛盾．因此必有12b≤1成立，于是当sin θ＝－12b时，d 2有最大值，由题设得(7)2＝4b 2＋3，由此可得b ＝1，a ＝2.所求椭圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ.由sin θ＝－12，cos θ＝±32可得，椭圆上的点(－3，－12)，点(3，－12)到点P的距离都是7.。

人教课标版高中数学选修4-4《圆锥曲线的参数方程》教案-新版

第二讲参数方程 2.2 圆锥曲线的参数方程一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义、体会参数方程的应用，会选择适当的参数写出曲线的参数方程，通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识．（二）学习目标1．借助于圆的参数方程，理解椭圆的参数方程及其应用． 2．了解双曲线、抛物线的参数方程．3．能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题．（三）学习重点1．椭圆的参数方程及其应用． 2．双曲线、抛物线的参数方程．3．通过具体问题，体会某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，感受参数方程的优越性．（四）学习难点1．椭圆参数方程的参数几何意义的理解．2．利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题． 3．选择适当的圆锥曲线的参数方程．二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第27页至第33页，填空：椭圆12222=+by a x )0(>>b a 参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）,参数θ的几何意义是以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X 轴正半轴的夹角．双曲线的参数方程的推导：双曲线12222=-b y a x )0(>>b a 参数方程⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x （θ为参数）抛物线的参数方程：抛物线)0(22>=p px y 参数方程⎩⎨⎧==pty pt x 222（t 为参数）,t 为以抛物线上一点),(y x 与其顶点连线斜率的倒数．（2）写一写：圆锥曲线上点的坐标怎么设置？2．预习自测（1）参数方程)(sin 2cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 表示的曲线为( )【知识点】椭圆的参数方程【解题过程】消去参数得椭圆的普通方程为1422=+y x ，所以选B【思路点拨】消去参数化为普通方程来判定【答案】B（2）椭圆⎩⎨⎧==θθsin 2cos 5y x (θ为参数)的焦距为( )A ．21B ．29C ．221D ．229【知识点】椭圆的参数方程、椭圆的性质【解题过程】消去参数得椭圆的普通方程为142522=+y x ，所以21,4,25222===c b a ，故焦距2122=c【思路点拨】消去参数化为普通方程求解【答案】C（3）圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝2t(t 为参数)的焦点坐标是________．【知识点】抛物线的参数方程【解题过程】消去参数得曲线的普通方程为x y 42=，所以为抛物线，根据抛物线的定义得焦点坐标为(1，0)【思路点拨】消去参数化为普通方程求解【答案】(1，0)．（4）曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝2t －2t(t 为参数)的顶点坐标是________．【知识点】双曲线的参数方程【解题过程】方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y 2＝t －1t ，两式平方相减，得x 2－y 24＝4，即x 24－y 216＝1，∴曲线是焦点在x 轴上的双曲线，顶点坐标为(±2,0)．【思路点拨】消去参数化为普通方程求解【答案】(±2,0) (二)课堂设计 1．知识回顾（1）写出圆方程的标准式和对应的参数方程．圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数），圆22020)()(r y y x x =-+-参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）2．问题探究探究一结合旧知，类比探究椭圆参数方程★ ●活动① 归纳提炼公式上一节我们学习了圆的参数方程以及参数方程中参数的意义，那么椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的参数方程是什么呢，参数方程中的参数有何意义？如右图，以原点O 为圆心，分别以b a ,（a ＞b ＞0）为半径作两个同心圆，设A 为大圆上的任意一点，连接OA,与小圆交于点B ，过点A 作Ox AN ⊥，垂足为N ，过点B 作AN BM ⊥，垂足为M .设ϕ=∠xOA ，由三角函数的定义有：)sin ,cos (),sin ,cos (ϕϕϕϕb b B a a A设),(y x M ，依题意可得：)(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x 当OA 绕原点旋转一周时，就可以得到点M 的轨迹方程了。

优质课一等奖选修4-4第二讲参数方程(圆锥曲线的参数方程)

如图,以原点为圆心,分别以a, b(a>b>0)为半径作两个圆,
点B是大圆半径OA与小圆的交点, 过点A作AN⊥Ox,垂足为N, 过点B作BM⊥AN,垂足为M, 设以Ox为始边，OA为终边的角为θ，点M的坐标是(x, y)。
y
A BM O Nx
那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y。
由于点A, B均在角θ的终边上，由三角函数的定义有:
x2 y2
例4 求椭圆 a2 b2 1(ab0)的内接矩形的面积及周长的最大值。
解:设椭圆内接矩形在第一象限的顶点是
A (aco ， sbsin )(0 ) 矩形面积和周长分别是S、L 2
S 4 |F | |A E | 4 A a co b ssi n 2 asbi2 n2 ab
S 平行 M四 A |O O 边 |B |O A 形 |sB 2 in cxoAscxoBssin2
a2s4 e2c c o 2 tsa2 nsi2 na22tana22a ba2b.
由此可见，平行四边形MA与O点B的M面在积双恒曲为线定上值的，位置无关
a x2 2-b y2 21(a0,b0)的参数方程为：
分析3：平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求.
x2
y2
例3、已知椭圆 1 0 0 6 4 1 有一内接矩形ABCD，
求矩形ABCD的最大面积。
Yy
D
B2 A
A1 F1
C
O F2
B
B1
A2 XX
练习已知A,B两点是椭圆
与坐标轴正
半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边
形OAPB的面积最大.
94
直线 l：x+2y-10=0的距离最小.

4.4.9圆锥曲线的参数方程教案范文

4.4.9圆锥曲线的参数方程教案范文第一篇：4.4.9圆锥曲线的参数方程教案范文第三课时圆锥曲线的参数方程一、教学目标：知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

二、重难点：教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程.三、教学方法：启发、诱导发现教学.四、教学过程：（一）、复习引入：1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。

⎧x=rcosθ(1)圆x2+y2=r2参数方程⎨（θ为参数）y=rsinθ⎩⎧x=x0+rcosθ（2）圆(x-x0)+(yy0)=r参数方程为：（θ为参数）⎨⎩y=y0+rsinθ2222．写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。

3．能模仿圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗？（二）、讲解新课：⎧x=acosθx2y21.椭圆的参数方程推导：椭圆2+2=1参数方程⎨（θ为参ab⎩y=bsinθ数）,参数θ的几何意义是以a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X轴正半轴的夹角。

6543A21M-8-6-4-2-1OL12N46810-2-3-4-5-6-7⎧x=asecθx2y22.双曲线的参数方程的推导：双曲线2-2=1参数方程⎨（θab⎩y=btanθ为参数）25002000QP1500B1000500A-4000-3000-2000-***0M40005000-500-1000-1500-2000-2500-3000-3500 参数θ几何意义为以a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X轴正半轴的夹角。

⎧x=2Pt23.抛物线的参数方程：抛物线y=2Px参数方程⎨（t为参数）,ty=2Pt⎩2为以抛物线上一点（X,Y）与其顶点连线斜率的倒数。

（1）、关于参数几点说明：A.参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。

高中数学新湘教版精品学案《圆锥曲线的参数方程》

圆锥曲线的参数方程【学习目标】1．知识目标：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义。

2．能力目标：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程。

3．德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

【学习重难点】圆锥曲线的参数方程的定义和方法。

【知识链接】复习1：圆的参数方程及参数的几何意义是什么？圆22=r 2r>0的参数方程：圆-a 2-b 2=r 2的参数方程：其中参数的几何意义为：复习2：圆的参数方程是怎样推导出来的呢？【学习指导】分组讨论学习法、探究式【学习过程】一、自主学习：（预习）椭圆的参数方程为的几何意义是什么？双曲线的参数方程为________________________抛物线的参数方程是_____________________，其中at tan 1= 二、合作探究：参数方程的推导过程是怎样的？12222=-b y a x )0(12222>>=+b a b y a x ϕ,,b a三、巩固练习A 类1．椭圆的两个焦点坐标是（）2．双曲线23tan (6sec x y φφφ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）的两焦点坐标是。

3．参数方程所表示的曲线为（） A ．抛物线的一部分 B ．一条抛物线C ．双曲线的一部分D ．一条双曲线B 类1．已知某条曲线的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)1(21)1(21a a y a a x 其中a 是参数，则该曲线是（） A 线段 B 圆 C 双曲线的一部分 D 圆的一部分2．设α0v s m V o /100=6πα=()sin cos sin cos x y θθθθθ=+⎧⎨=⋅⎩为参数为抛物线上的动点，给定点，点P 分线段的比为2：1，则点P 的轨迹方程为。

2cos ()sin x y θθθ⎧=⎨=⎩为参数223641y x +=24y x =|cos sin |22(02)12x y θθθπθ⎧=+⎪⎪<<⎨⎪=⎪⎩（1+sin ）1(1,)21(1,)21(1,)2-1(1,)2-22y x =0(1,0)M -0M M 为参数）ϕϕϕ(sin 5cos 3⎩⎨⎧==y x )3,0(),3,0.(-A )0,4(),0,4.(-C )0,5(),0,5.(-D )4,0(),4,0.(-B5．已知椭圆⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x θ为参数，求（1）6πθ=时对应的点P 的坐标（2）直线OP 的倾斜角6．A 点椭圆长轴一个端点，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA=90°，其中O 为椭圆中心，求椭圆离心率e 的取值范围。

高中数学圆锥曲线的参数方程(二)学案新人教A版选修44

. 高中数学人教版选修4-4：
圆锥曲线的参数方程（二）
【自主学习】
任务1：阅读教材P27—29，理解下列问题：
椭圆 )0(12222>>=+b a b y a x 的一个参数方程) (.
sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎪⎩⎪⎨⎧==b y a x
任务2：完成下列问题：
.椭圆19
162
2=+y x 的内接矩形的最大面积是____________.
【合作探究】
如图，已知椭圆14
22
=+y x 上一点M (除短轴端点处)与短轴两端点B 1、B 2的连线分别交x 轴于P 、Q 两点，求证|OP | · |OQ |为定值.
【目标检测】已知A 、B 是椭圆14
92
2=+y x 与坐标轴正半轴的两交点，在第一象限的椭圆弧上求一点P ，使四边形OAPB 的面积最大.
y x
O B 2B 1M P Q
【学习反思】：本节课我学到了什么？我的学习效率如何？还有哪些没学懂。

圆锥曲线的参数方程教案

精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号：学员编号：年级：高三课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题圆锥曲线的参数方程授课日期及时段教学目的 1：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义2：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程教学内容知识点检测；1.（北京卷理5）极坐标方程（ρ-1）（θπ-）=（ρ≥0）表示的图形是（）（A ）两个圆（B ）两条直线（C ）一个圆和一条射线（D ）一条直线和一条射线2.（湖南卷理3文4）极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x t y t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是（） A 、圆、直线 B 、直线、圆C 、圆、圆D 、直线、直线3.（湖南卷文4）极坐标cos p θ=和参数方程12x t y t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A. 直线、直线B. 直线、圆C. 圆、圆D. 圆、直线4.（广东卷理15）在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲线ρ=2sin θ 与cos 1p θ=- 的交点的极坐标为______。

5.（广东卷文15）在极坐标系（ρ，θ）（02θπ≤＜）中，曲线()cos sin 1ρθθ+=与()sin cos 1ρθθ-=的交点的极坐标为__________________. 6.（陕西卷理15C ）已知圆C 的参数方程为cos 1sin x y αα⎧=⎨=+⎩（a 为参数）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 1ρθ=，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标系为______________7.（江苏卷21③）在极坐标系中，圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切，求实数a 的值二：知识点整理圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。

其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。

当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。

人教版高中选修(B版)4-42.3圆锥曲线的参数方程教学设计 (2)

人教版高中选修(B版)4-42.3圆锥曲线的参数方程教学设计1. 教学目标1.掌握圆锥曲线的参数方程概念及其特点。

2.能够根据已知条件列出圆锥曲线的参数方程。

3.能够利用计算器对圆锥曲线的参数方程进行画图，并对结果进行分析。

2. 教学内容•圆锥曲线的参数方程概念及其特点•列出圆锥曲线的参数方程的方法•利用计算器对圆锥曲线的参数方程进行画图及分析3. 教学重点1.掌握圆锥曲线的参数方程概念及其特点。

2.列出圆锥曲线的参数方程的方法。

4. 教学难点利用计算器对圆锥曲线的参数方程进行画图及分析。

5. 教学准备•多媒体教学设备•运算符计算器6. 教学过程a. 圆锥曲线的参数方程概念及其特点1.引入圆锥曲线的定义及其种类2.引入参数方程的概念及其特点3.讲解圆锥曲线的参数方程及其特点b. 列出圆锥曲线的参数方程的方法1.引入列出圆锥曲线参数方程的前提条件2.详细讲解列出圆锥曲线参数方程的步骤及方法3.通过例题进行演示c. 利用计算器对圆锥曲线的参数方程进行画图及分析1.讲解利用计算器画出圆锥曲线参数方程的方法及步骤2.通过例题进行演示3.就所得图像进行分析，加深对圆锥曲线参数方程的理解7. 教学作业1.完成课堂练习。

2.搜索相关问题及解答，对学习内容进行拓展。

3.整理课堂笔记。

8. 教学评估1.课堂参与度及表现2.课堂练习3.教学反馈及总结9. 教学反思针对利用计算器对圆锥曲线的参数方程进行画图及分析这一难点，可以在课前要求学生提前预习并自己画图、分析，课上让学生进行展示和分享。

同时，在课堂上要多次演示实例，加深学生对知识点的理解。

可以通过评估课堂笔记的方法，促进学生在复习巩固时对知识点的回顾和再次理解。

人教版高中选修(B版)4-42.3圆锥曲线的参数方程教学设计

人教版高中选修(B版)4-42.3圆锥曲线的参数方程教学设计教学目标1.理解圆锥曲线的参数方程的含义；2.了解圆锥曲线的三种基本形式的参数方程；3.掌握利用参数方程求解圆锥曲线的部分性质。

教学内容本课将围绕圆锥曲线的参数方程展开，主要内容如下：1.圆锥曲线的参数方程的定义和含义；2.圆锥曲线的三种基本形式的参数方程：–椭圆的参数方程；–双曲线的参数方程；–抛物线的参数方程；3.利用参数方程求解圆锥曲线的部分性质，包括：–求解圆锥曲线的方程；–研究圆锥曲线的对称性；–求解圆锥曲线的极点、极径和极线；–研究圆锥曲线的渐近线；–讨论圆锥曲线的切线和法线。

教学过程步骤1：引入介绍圆锥曲线的概念和图形，引出圆锥曲线的参数方程。

步骤2：讲解讲解圆锥曲线的参数方程的定义和含义，以及圆锥曲线的三种基本形式的参数方程。

步骤3：演示在黑板上演示圆锥曲线的三种基本形式的参数方程的图形，并解释图形的性质。

步骤4：练习让学生自己求解圆锥曲线的参数方程，并绘制图形，检验答案的正确性。

步骤5：归纳概括圆锥曲线的参数方程的求解方法和常见的图形特征。

步骤6：总结总结本节课的主要内容和思想，强调重点和难点。

教学手段本节课的教学手段主要包括黑板、多媒体和练习题。

教学评价通过本节课的教学，学生应该能够理解圆锥曲线的参数方程的含义，了解圆锥曲线的三种基本形式的参数方程，并能够利用参数方程求解圆锥曲线的部分性质。

在教学评价中，可以通过提问和考试等方式对学生的掌握程度进行评价。

参考资料1.《高中数学课程标准实验教科书选修4》；2.《人教版高中数学选修4》；3.《高中数学教学参考书》。

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