等比数列的概念与性质练习题
(完整版)等比数列的性质练习题
考点1等比数列的通项与前n 项和题型1已知等比数列的某些项，求某项【例1】已知{}n a 为等比数列，162,262==a a ，则=10a题型2 已知前n 项和n S 及其某项，求项数.【例2】⑴已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，93=n S ，48=n a ，公比2=q ，则项数=n .⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数. 题型3 求等比数列前n 项和【例3】等比数列Λ,8,4,2,1中从第5项到第10项的和.【例4】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，13233331-+++++=n n a Λ，求n S【例5】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，n n n a 3)12(⋅-=，求n S .【新题导练】1.已知{}n a 为等比数列，6,3876321=++=++a a a a a a ，求131211a a a ++的值.2.如果将100,50,20依次加上同一个常数后组成一个等比数列，则这个等比数列的公比为 .3.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，364,243,362===n S a a ，则=n ； 4.已知等比数列{}n a 中，21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是 .5.已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，0>n a ，80=n S ，65602=n S ，前n 项中的数值最大的项为54，求100S .考点2 证明数列是等比数列【例6】已知数列{}n a 和{}n b 满足：λ=1a ，4321-+=+n a a n n ，)213()1(+--=n a b n n n ，其中λ为实数，+∈N n . ⑴ 对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列；⑵ 试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论.【新题导练】6.已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…．证明：数列1{1}n a -是等比数列；考点3 等比数列的性质【例7】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n S ，602=n S ，则=n S 3 . 【新题导练】7.已知等比数列{}n a 中，36)2(,04624=++>a a a a a n ，则=+53a a .考点4 等比数列与其它知识的综合 【例8】设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()21n n n ba b S -=- ⑴证明：当2b =时，{}12n n a n --⋅是等比数列； ⑵求{}n a 的通项公式【新题导练】8.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N .⑴ 设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；⑵ 若)(1++∈≥N n a a n n ，求a 的取值范围．7.等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()1(1)3n n S a n N *=-∈； ⑴求1a ，2a 的值；⑵证明数列{}n a 是等比数列，并求n S ．。
高中数学选择性必修二 4 3 1第2课时等比数列的性质及应用-练习
第四章数列4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第2课时等比数列的性质及应用课后篇巩固提升基础达标练1.在等比数列{a n}中,a2=27,q=-1,则a5=()3A.-3B.3C.-1D.1,{a n}中,a2=27,q=-13则a5=a2·q3=-1,故选C.2.已知等比数列{a n}中,a3=4,a7=9,则a5=()A.6B.-6C.6.5D.±6:奇数项的符号相同,∴a5=√a3a7=√4×9=6.3.已知公比不为1的等比数列{a n}满足a15a5+a14a6=20,若a m2=10,则m=()A.9B.10C.11D.12,数列{a n}是等比数列,且a15a5+a14a6=2a102=20,所以a102=10,所以m=10.故选B.4.已知等比数列{a n}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10=()A.12B.10C.1+log35D.2+log35{a n}是等比数列,所以a5a6=a4a7=9,于是log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10)=log3(a5a6)5=log395=10.5.在等比数列{a n}中,若a7=-2,则该数列的前13项的乘积等于()A.-213B.213C.26D.-26{a n}是等比数列,所以a1a13=a2a12=a3a11=a4a10=a5a9=a6a8=a72,于是该数列的前13项的乘积为a1a2…a13=a713=(-2)13=-213.6.(多选)已知数列{a n}是等比数列,且a3+a5=18,a9+a11=144,则a6+a8的值可能为()A.-36B.36C.-36√2D.36√2{a n}的公比为q,则a9+a11=q6(a3+a5),于是q6=a9+a11a3+a5=14418=8,因此q3=±2√2,所以a6+a8=q3(a3+a5)=±36√2.故选CD.7.在正项等比数列{a n}中,a1a3=9,a5=24,则公比q=.{a n}中,a1a3=9,a5=24,可得a22=9,a2=3,得q3=a5a2=8,解得q=2.8.在《九章算术》中,“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石,甲、乙、丙按序衰分,乙分得28石,则衰分比例为.q ,则甲、乙、丙各分得28q 石,28石,28q 石,∴28q +28+28q=98,∴q=2或12.又0<q<1,∴q=12.9.等比数列{a n }同时满足下列三个条件:①a 1+a 6=11,②a 3·a 4=329,③三个数23a 2,a 32,a 4+49依次成等差数列.试求数列{a n }的通项公式.a 1a 6=a 3a 4=329,所以{a 1+a 6=11,a 1·a 6=329,解得{a 1=13,a 6=323或{a 1=323,a 6=13.当{a 1=13,a 6=323时,q=2,所以a n =13·2n-1,这时23a 2+a 4+49=329,2a 32=329,所以23a 2,a 32,a 4+49成等差数列,故a n =13·2n-1.当{a 1=323,a 6=13时,q=12,a n =13·26-n ,23a 2+a 4+49≠2a 32,不符合题意.故通项公式a n =13·2n-1. 10.设{a n }是各项均为正数的等比数列,b n =log 2a n ,b 1+b 2+b 3=3,b 1b 2b 3=-3,求a n .{a n }的首项为a 1,公比为q ,∵b 1+b 2+b 3=3,∴log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3=3, ∴log 2(a 1a 2a 3)=3,∴a 1a 2a 3=8,∴a 2=2. ∵b 1b 2b 3=-3,∴log 2a 1·log 2a 2·log 2a 3=-3, ∴log 2a 1·log 2a 3=-3,∴log 2a2q ·log 2a 2q=-3,即(log 2a 2-log 2q )·(log 2a 2+log 2q )=-3, 即(1-log 2q )·(1+log 2q )=-3, 解得log 2q=±2.当log 2q=2时,q=4,a 1=a 2q=12,所以a n =12×4n-1=22n-3;当log 2q=-2时,q=14,a 1=a 2q=8,所以a n =8×(14)n -1=25-2n .能力提升练1.已知数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n+1(n ∈N *),且a 2+a 4+a 6=9,则lo g 13(a 5+a 7+a 9)的值为( )A .-5B .-15C .5D .15log 3a n +1=log 3a n+1,∴a n+1a n=3, ∴数列{a n }是等比数列,公比q=3,∴lo g 13(a 5+a 7+a 9)=lo g 13(a 2q 3+a 4q 3+a 6q 3)=lo g 13[(a 2+a 4+a 6)q 3]=lo g 13(9×33)=-5.2.某工厂去年产值为a ,计划10年内每年比上一年产值增长10%,那么从今年起第几年这个工厂的产值将超过2a ( )A.6B.7C.8D.9n 年这个工厂的产值为a n ,则a 1=1.1a ,a 2=1.12a ,…,a n =1.1n a.依题意,得1.1n a>2a ,即1.1n >2,解得n ≥8.3.在正项等比数列{a n }中,a 3=2,16a 52=a 2a 6,则数列{a n }的前n 项积T n 中最大的值是( )A.T 3B.T 4C.T 5D.T 6,数列{a n }是等比数列,所以16a 52=a 2a 6=a 42,所以q 2=116.又因为数列{a n }为正项等比数列,所以q=14,所以a n =a 3·q n-3=2·43-n =27-2n ,令a n >1,即27-2n >1,得n<72,因为n ∈N *,所以n ≤3,数列{a n }的前n 项积T n 中T 3最大,故选A .4.等比数列{a n }中,若a 12=4,a 18=8,则a 36的值为 .,a 12,a 18,a 24,a 30,a 36成等比数列,且a 18a 12=2,故a 36=4×24=64.5.在正项等比数列{a n }中,已知a 1a 2a 3=4,a 4a 5a 6=12,a n-1a n a n+1=324,则n= .{a n }的公比为q ,由a 1a 2a 3=a 23=4与a 4a 5a 6=a 53=12可得a 53a 23=(q 3)3,q 9=3.又a n-1a n a n+1=a n 3=(a 2q n-2)3=324,因此q 3n-6=81=34=q 36,所以n=14.6.在公差不为零的等差数列{a n }中,2a 3-a 72+2a 11=0,数列{b n }是等比数列,且b 7=a 7,则a 7= ,b 6b 8= .2a 3-a 72+2a 11=2(a 3+a 11)-a 72=4a 7-a 72=0,又b 7=a 7≠0,∴b 7=a 7=4.∴b 6b 8=b 72=16.167.等差数列{a n }的公差和等比数列{b n }的公比都是d (d ≠1),且a 1=b 1,a 4=b 4,a 10=b 10. (1)求实数a 1和d 的值.(2)b 16是不是{a n }中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.设数列{a n },{b n }的通项公式分别为a n =a 1+(n-1)d ,b n =b 1q n-1=a 1d n-1.由{a 4=b 4,a 10=b 10,得{a 1+3d =a 1d 3,a 1+9d =a 1d 9. 即3d=a 1(d 3-1),9d=a 1(d 9-1). 以上两式相除,整理得d 6+d 3-2=0. 解得d 3=1或d 3=-2.∵d ≠1,∴d 3=-2. ∴d=-√23.代入原方程中,解得a 1=√23.故a 1=√23,d=-√23.(2)由(1)得,数列{a n },{b n }的通项公式分别为a n =(2-n )·√23,b n =-(-√23)n . 故b 16=-(-√23)16=-32√23. 由(2-n )√23=-32√23,解得n=34. 故b 16为a n 的第34项.素养培优练某地区发生流行性病毒感染,居住在该地区的居民必须服用一种药片预防,规定每人每天上午8时和晚上20时各服一片.现知该药片每片含药量为220毫克,若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%,该药物在人体内的残留量超过380毫克,就将产生副作用.(1)某人上午8时第一次服药,问到第二天上午8时服完药后,这种药在他体内还残留多少? (2)若人长期服用这种药,这种药会不会对人体产生副作用?说明理由.设人第n 次服药后,药在体内的残留量为a n 毫克,则a 1=220,a 2=220+a 1×(1-60%)=220×1.4=308, a 3=220+a 2×(1-60%)=343.2,即到第二天上午8时服完药后,这种药在他体内还残留343.2毫克.(2)由题意,得a n+1=220+25a n,∴a n+1-11003=25(a n-11003),∴{a n-11003}是以a1-11003=-4403为首项,25为公比的等比数列,∴a n-11003=-4403(25)n-1,∵-4403(25)n-1<0,∴a n<11003=36623,∴a n<380.故若人长期服用这种药,这种药不会对人体产生副作用.。
高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题(含答案解析)
高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题（含答案解析）一、基础知识1、定义：数列{}n a 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ≠，则称{}n a 为等比数列，这个常数q 称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q =的等比数列，而常数列0,0,0,只是等差数列2、等比数列通项公式：11n n a a q−=⋅，也可以为：n mn m a a q−=⋅3、等比中项：若,,a b c 成等比数列，则b 称为,a c 的等比中项 （1）若b 为,a c 的等比中项，则有2a bb ac b c=⇒= （2）若{}n a 为等比数列，则n N *∀∈，1n a +均为2,n n a a +的等比中项 （3）若{}n a 为等比数列，则有m n p q m n p q a a a a +=+⇔= 4、等比数列前n 项和公式：设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时，则{}n a 为常数列，所以1n S na = 当1q ≠时，则()111n n a q S q−=−可变形为：()1111111n n n a q a aS q qq q −==−−−−，设11a k q =−，可得：n n S k q k =⋅−5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列{}n a 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 （2）已知等比数列{}{},n n a b ，则有 ① 数列{}n ka （k 为常数）为等比数列 ② 数列{}na λ（λ为常数）为等比数列，特别的，当1λ=−时，即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列③ 数列{}n n a b 为等比数列④ 数列{}n a 为等比数列6、相邻k 项和的比值与公比q 相关： 设1212,m m m k n n n k S a a a T a a a ++++++=+++=+++，则有：()()212212k m n m m m m k mk n n n k nn a q q q S a a a a q T a a a a a q q q −++++++++++++====++++++ 特别的：若121222,,k k k k k k k a a a S a a a S S +++++=+++=−2122332,k k k k k a a a S S +++++=−，则232,,,k k k k k S S S S S −−成等比数列7、等比数列的判定：（假设{}n a 不是常数列） （1）定义法（递推公式）：()1n na q n N a *+=∈ （2）通项公式：nn a k q =⋅（指数类函数） （3）前n 项和公式：nn S kq k =−注：若()n n S kq m m k =−≠，则{}n a 是从第二项开始成等比关系 （4）等比中项：对于n N *∀∈，均有212n n n a a a ++=8、非常数等比数列{}n a 的前n 项和n S 与1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T 的关系()111n n a q S q−=−，因为1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列，所以有()1111111111111nn n nn n q a q q q T q a q q a qq−⎡⎤⎛⎫−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥−⎣⎦===−−−⋅ ()()1112111111n n n nn n a q a q q S a q T q q−−−−=⋅=−− 例1：已知等比数列{}n a 的公比为正数，且223951,2a a a a ==，则10a =________思路：因为2396a a a =，代入条件可得：22652a a =，因为0q >，所以65a =，q =所以810216a a q == 答案：16例2：已知{}n a 为等比数列，且374,16a a =−=−，则5a =（ ） A. 64 B. 64− C. 8 D. 8− 思路一：由37,a a 可求出公比：4734a q a ==，可得22q =，所以253428a a q ==−⋅=− 思路二：可联想到等比中项性质，可得253764a a a ==，则58a =±，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以58a =− 答案：D小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。
等比数列性质练习题
等比数列性质练习题
在学习等比数列的性质时，我们需要通过一些具体的练习题来巩固和应用所学知识。
下面是一些等比数列性质练习题，帮助大家更好地理解和掌握等比数列的特点和性质。
练习题1：
已知等比数列的首项为a，公比为q，前n项和为Sn。
求证等比数列的前n项和的通项公式为：
Sn = (a * (q^n - 1)) / (q - 1)
练习题2：
已知等比数列的首项为3，公比为0.5，求证等比数列的第n项为：an = 3 * (0.5)^(n-1)
练习题3：
已知等比数列的首项为2，公比为1/3，前n项和为10。
求证等比数列的第n项为：
an = 2 * (1/3)^(n-1)
练习题4：
已知等比数列的首项为2，公比为3，第n项为162。
求证等比数列的前n项和为：
Sn = (2 * (3^n - 1)) / 2
练习题5：
已知等比数列的首项为10，公比为2，前n项和大于1000。
求证等比数列的第n项为：
an = 10 * (2^n - 1)
练习题6：
已知等比数列的前三项为2，6，18，求证等比数列的第n项为：an = 2 * (3^(n-1))
以上是一些关于等比数列性质的练习题，通过这些题目的解答和证明，可以更加全面地了解等比数列的性质和规律。
在解答过程中，注意使用等比数列的定义和性质，合理运用相关公式和推导方法。
通过大量的练习，相信大家能够熟练掌握等比数列的特点和运算，提高解题能力。
等比数列的性质及其练习
第 1 页 共 1 页等比数列性质1. 等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2. 通项公式：m n m n n q a q a a --==11 首项：1a ；公比：q 从而得n m nma q a -=或n q =3. 等比中项如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数） 4. 等比数列的前n 项和n S 公式： (1) 当1q =时， 1n S na = (2) 当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==--5. 等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有11(0)n n n n na a qa q q a a ++==≠或为常数，⇔{}n a 为等比数列 （2） 等比中项：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}n a 为等比数列 （3） 通项公式：()0nn a A BA B =⋅⋅≠⇔{}n a 为等比数列（4） 前n 项和公式：()'',,','nnn n S A A B S A B A A B A B =-⋅=-或为常数⇔{}n a 为等比数列6. 等比数列的性质(1)若m+n=p+q=2w, 则a a a a q p n m ⋅=⋅=2w a(2)数列{}n a ,{}n b 为等比数列,则数列{}nka ,{}n k a ⋅,{}k n a ,{}n n k ab ⋅⋅{}n n a b (k 为非零常数) 均为等比数列.(3) 数列{}n a 为等比数列,每隔k(k ∈*N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++⋅⋅⋅)仍为等比数列 (4) 若{}n a 为等比数列,则数列n S ，2n n S S -，32,n n S S -⋅⋅⋅，成等比数列 (5)在等比数列{}n a 中, 当项数为2n (n ∈*N )时,1S S q=奇偶,. (6)若{}n a 是公比为q 的等比数列,则n n m n m S S q S +=+⋅专题一等比数列的概念1．已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=（）B专题二等比数列的性质2.．D5．在等比数列{a n}中，，则tan（a1a4a9）=（）B．C D22第2 页共2 页第 3 页 共 3 页9.已知数列1，a 1，a 2，4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，则的值是（ ）B或﹣D专题三 等比数列的前n 项和2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若=3，则=（ ）B ．CD综合题（1）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，481,17S S ==，求通项公式（2）已知{}n a 为等比数列，324202,3a a a =+=，求{}n a 的通项公式.。
等比数列基础习题(含解析)
等比数列概念---习题一．选择题（共9小题）1．已知等比数列{a n}的前3项和为168，a2﹣a5＝42，则a6＝（）A．3B．6C．12D．14 2．已知等比数列{a n}，若a1＝1，a3＝4，则q＝（）A．0B．2C．﹣2D．﹣2或2 3．在等比数列{a n}中，a2+a4＝32，a6+a8＝16，则a10+a12+a14+a16＝（）A．8B．10C．12D．14 4．已知实数列﹣1、x、y、z、﹣2成等比数列，则xyz＝（）A．B．±4C．D．5．在等比数列{a n}中，a1a3＝16，a2+a4＝12，则公比q＝（）A．B．C．D．6．已知等比数列{a n}满足a1+a2＝4，a3＝9，则{a n}的公比q＝（）A．B．或C．3或D．﹣3或7．已知等比数列{a n}各项均为正数，公比q＝2，且满足a2a6＝16，则a3＝（）A．8B．4C．2D．18．若1，a，b，c，16成等比数列，则abc＝（）A．64B．±64C．16D．±16 9．在等比数列{a n}中，若a3＝1，a11＝25，则a7＝（）A．5B．﹣5C．±5D．252023.05.28等比数列概念---习题参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．已知等比数列{a n}的前3项和为168，a2﹣a5＝42，则a6＝（）A．3B．6C．12D．14【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，易知q≠1，则，解得，∴a6＝＝96×＝3．故选：A．2．已知等比数列{a n}，若a1＝1，a3＝4，则q＝（）A．0B．2C．﹣2D．﹣2或2【解答】解：由题意，a3＝a1q2，即4＝q2，解得q＝±2．故选：D．3．在等比数列{a n}中，a2+a4＝32，a6+a8＝16，则a10+a12+a14+a16＝（）A．8B．10C．12D．14【解答】解：设公比为q，由a2+a4＝32，a6+a8＝16，可得：a6+a8＝16＝q4（a2+a4），解得q4＝；∴a10+a12+a14+a16＝q8（a2+a4+a6+a8）＝×（32+16）＝12．故选：C．4．已知实数列﹣1、x、y、z、﹣2成等比数列，则xyz＝（）A．B．±4C．D．【解答】解：设等比数列﹣1、x、y、z、﹣2的公比为q（q≠0），则y＝﹣1×q2＜0，由等比中项的性质可得y2＝（﹣1）×（﹣2）＝2，所以，，因此，．故选：C．5．在等比数列{a n}中，a1a3＝16，a2+a4＝12，则公比q＝（）A．B．C．D．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，因为a1a3＝16，a2+a4＝12，所以，由可得a1q＞0，所以a1q＝4，，当时，，当时，．故选：D．6．已知等比数列{a n}满足a1+a2＝4，a3＝9，则{a n}的公比q＝（）A．B．或C．3或D．﹣3或【解答】解：易知q≠0，由a1+a2＝4，a3＝9，可得，解得q＝3或．故选：C．7．已知等比数列{a n}各项均为正数，公比q＝2，且满足a2a6＝16，则a3＝（）A．8B．4C．2D．1【解答】解：因为a2a6＝16，由等比数列的性质可得：，又因为数列{a n}各项均为正数，所以a4＝4，因为公比q＝2，则．故选：C．8．若1，a，b，c，16成等比数列，则abc＝（）A．64B．±64C．16D．±16【解答】解：根据题意，若1，a，b，c，16成等比数列，设其公比为q，则有q4＝＝16，变形可得q2＝4，则b＝1×q2＝4，又由ac＝b2＝16，则abc＝16×4＝64．故选：A．9．在等比数列{a n}中，若a3＝1，a11＝25，则a7＝（）A．5B．﹣5C．±5D．25【解答】解：在等比数列{a n}中，设它的公比为q，若a3＝1，a11＝25，则＝a3•a11＝25，∴a7＝±5．再根据a11＝a7•q4＝25＞0，∴a7＞0，∴a7＝5．故选：A．。
等比数列概念及性质
等比数列概念及性质（1）数列：1，2，4，8，…，632（2）数列：10，10×0.85, 285.010⨯,38510⨯,…。
（3）数列：2000 ，2000×1.1 , 2000×1.12 ，… ，2000×1.19以上三个数列的共同特征：每一个数列，从第二项起的每一项与前一项的比都相等。
一、等比数列的概念1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q )0(≠q 表示。
定义说明： 1) 为什么0≠q？ 3）数列{}n a 是等比数列常数）非0(1q a a nn =⇔+4）递推公式：)2(1≥⋅=-n a q a n n2．通项公式：已知等比数列1a，2a ，…，n a ，…的公比是q ，能否用1a ，q 和n 表示n a ？11-=n n q a a二、等比数列的定义表达式： 它的递推公式是 。
2．等比数列的通项公式是 ；广义通项公式是 。
三．例题讲解例1．一个等比数列的第三项与第四项分别是12与18，求它的第1项与第2项。
例2．等比数列{}n a 中，若,3663=+a a 1874=+a a ，21=n a ，求n 。
例3．等比数列的前三项为a ，22+a ，33+a ，问这个数列的第几项的值为227-？ 四、练习1．设1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，公比为2，求432122a a a a ++的值。
2．已知数列c b a ,32243,,23,--五个数成等比数列，求c b a ,,的值。
五．等比数列的性质1.性质1：在等比数列{}na 中，若q p n m +=+),,,(*∈N q p n m 则q p n m a a a a =。
推论：在等比数列{}na 中，若),,(2*∈=+N t n m t n m ，则2t n m a a a =⋅2.等比中项 若三个数a 、G 、b 成等比数列，则G 叫做a 与b 的等比中项a 、b 同号。
等比数列概念及性质作业
姓名与班级： 内容：必修五第二章数列第三单元第一节等比数列概念 主备人：苗玉平 聪明出于勤奋，天才在于积累第 20 页 等比数列概念及性质作业1. 等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，这个数列的项数n ＝（ ）. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知数列a ，a （1－a ），2(1)a a -，…是等比数列，则实数a 的取值范围是（ ）. A. a ≠1 B. a ≠0且a ≠1 C. a ≠0 D. a ≠0或a ≠13.一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q =（ ）.A.B.C.D. 4.{}n a 在数列中，10a ≠，且对任意,n N +∈120n n a a +-=都有,则123422a aa a +=+（ ）A.14 1.3B 1.2C .1D 5. {}n a 为等比数列，0n a >，224355216a a a a a ++=，那么35a a +=（ ）.A.±4 B.4 C.2 D.8 6.在等比数列{}na 中，若37,a a 是方程21190xx -+=的两根，5a =则（ ）A ， 3B ， 3±,CD 7.在等比数列{}n a 中，已知1232346, 3.a a a a a a ++=++=-则345678a a a a a a +++++=（ ）21.16A 19,16B 9.8C 3.4D8. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且32nn S =-，则数列{}n a （ ） A ．是等比数列 B ．是等差数列C ．从第二项起成等比数列D ．从第二项起成等比数列或等差数列 9.{}n a 是等比数列,其中37,a a 是方程22350x kx -+=的两根,且23728()41a a a a +=+, 则k 的值为 （ ） A．C ．23± D ．83 10、若{a n }是等比数列，已知a4 a 7=－512，a 2+a 9=254，且公比为整数，则数列的a 12是 ( ) A.－2048 B.1024 C.512 D.－512 11. 在等比数列{}n a 中，4652=-a a a ，则公比q ＝ .12.在8和5832之间插入5个数，使它们组成以8为首项的等比数列，则此数列的第5项 13. 在{}n a 为等比数列中，1964a a = ，3720a a +=，求11a = .14. 在两数1，16之间插入三个数，使它们成为等比数列，则中间数等于 .15.在等比数列{}n a 中,7114146,5a a a a =+= ,2010___a a =则16. 在等比数列中：（1）a 4=3，求a 1a 2…a 7=______ （2）若a 4a 7+a 5a 6=20，则此数列前10项乘积为_______ （3）若a 1+a 2+a 3=5，a 3+a 4+a 5=15，求 a 7+a 8+a 9= ______ 17.在等比数列{}n a ，已知19105,100a a a ==，那么18a = . 18.在等比数列{}n a 中已知,21,18,367463==+=+n a a a a a 求n19.已知等比数列{}n a 中5a =20，15=5a ，求20a ；20.已知在等比数列{}n a 中，若1231237,8a a a a a a ++== ，求通项n a。
等差、等比数列的性质及经典练习题
等比数列的性质
1.等比数列 中， 为方程 的两根，则 的值为（）
2.已知 是首项为1的等比数列， 是 的前n项和，且 ，则数列 的前5项和为
（A） 或5（B） 或5（C） （D）
3.已知数列 成等差数列, 成等比数列，则
A、 B、— C、 或— D、
15.在等差数列 中, ,则使它的前n项和 取最大值的自然数 ___
16..等差数列 , 的前n项和分别为Sn、Tn,若 = ,则 =_____ .
17.在等比数列 中, ,则 的值等于______________.
18.设 为公比大于1的等比数列，若 是方程 的两根，则
___________.
19.某等比数列中,前7项和为48,前14项和为60,则前21项和为_________.
A.60 B.85 C. D.75
3.设函数f(x)满足f(n+1)= (n∈N*)且f(1)=2,则f(20)为( )
A.95B.97C.105D.192
4.若 是等差数列，首项 ，则使前n项和 成立的最大自然数n是( )
A．4021 B．4022C．4023D．4024
5.在等差数列 中，若 ,则n的值为( )
4.等比数列 中， 为方程 的两根，则 的值为（）
5.等比数列 的各项均为正数，且 ＝18，则 ＝( )
A．12 B．10 C．8 D．2＋
6. 是公差不为0的等差 的前 项和，且 成等比数列，则 等于（）
A. 4 B. 6 C.8 D.10
7.公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，若 是 与 的等比中项， 则 等于
A.RB.(0, C.［4,+ D.(-∞,0］∪［4,+∞)
等比性质练习题(打印版)
等比性质练习题（打印版）### 等比数列练习题题目一：基础概念题已知数列 {a_n} 是等比数列，且 a_2 = 2，a_5 = 16，求该等比数列的首项 a_1 和公比 q。
题目二：求和公式应用数列 {b_n} 是首项为 3，公比为 2 的等比数列。
求前 8 项的和 S_8。
题目三：等比数列的通项公式已知数列 {c_n} 的前 n 项和为 S_n = 36(1 - q^n) / (1 - q)，其中q ≠ 1。
求该数列的通项公式 c_n。
题目四：等比数列的项数确定数列 {d_n} 是首项为 1，公比为 3 的等比数列。
若 a_6 = 729，求数列的项数 n。
题目五：等比数列的项数与和数列 {e_n} 是首项为 2，公比为 -2 的等比数列。
若前 n 项和 S_n= 2^(n+1) - 2，求 n 的值。
题目六：等比数列与等差数列的结合数列 {f_n} 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，数列 {g_n} 是首项为 2，公比为 2 的等比数列。
若 f_n = g_n，求 n 的值。
题目七：等比数列的项与和已知数列 {h_n} 是首项为 2，公比为 4 的等比数列。
若 a_3 + a_4= 50，求 S_5。
题目八：等比数列的项与项数数列 {i_n} 是首项为 1，公比为 2 的等比数列。
若 a_3 = 8，求 n的值。
题目九：等比数列的应用一个几何级数的首项为 10，公比为 1/2。
如果这个级数的前 10 项的和是 5，求这个级数的第 11 项。
题目十：等比数列的极限数列 {j_n} 是首项为 1，公比为 1/2 的等比数列。
求当 n 趋向无穷大时，j_n 的极限值。
解答提示：- 等比数列的通项公式为：a_n = a_1 * q^(n-1)- 等比数列的前 n 项和公式为：S_n = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中q ≠ 1- 等比数列的项数 n 可以通过 a_n = a_1 * q^(n-1) 来确定- 注意等比数列的公比 q 可以是正数、负数或 0，但q ≠ 1请根据上述提示，自行解答练习题。
等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题(经典版)
等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：-a ^ = q q=0” n_2,且n- N , q 称为公比 a n A.2、通项公式:nAa.an- a .qqq3、等比中项:(1) 如果a,A,b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：A 2=ab 或A = ab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个( (2) 数列：a n f 是等比数列=a n 2二a nd a n.1 4、等比数列的前n 项和S n 公式: (1) 当 q =1 时，S n =na .(2) 当q 胡时，看^_二=口31 -q 1 -q鱼= A-A B n =A'B n -A'( A,B,A',B'为常数)1 -q 1 -q5、等比数列的判定方法：数列(2)等比中项：a n 2 =a n 何4佃何」=0)二｛a n ｝为等比数列 (3)通项公式：a^ A B n A B- o = g ｝为等比数列 6、等比数列的证明方法:依据定义：若 五二qq=0 n —2,且n N *或a .1二qa 「=｛a n ｝为等比数列 a n 4 7、等比数列的性质：a .;公比:q推广: (1)用定义：对任意的都有a n 1二qa n 或□二q(q 为常数,a na n = 0）二｛a n ｝为等比nn=A Baiq = 0, A = 0 ］，首项:(2)对任何m“ N*，在等比数列｛a n｝中，有a n二a m q®。
注： a i a n 二 a 2 'an J = a3a n _2 …等差和等比数列比较:经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例 1 .等比数列｛a .｝中，a i a ? =64, a 3 ' a ? =20,求 a^ .思路点拨：由等比数列的通项公式， 通过已知条件可列出关于a i 和q 的二元 方程组，解出a i 和q ，可得an ；或注意到下标1 ^3 ?，可以利用性质可求 出a 3、a ?，再求an . 解析：8法一：设此数列公比为q ，则a1 a ^ a1 a 2q =64⑴Ia3+a ?=a 1q +ag =20(2)由(2) 得: ag 2(1 q 4) =20 (3)2an"am二ak…a-i 0.-2q 4 一5q 2 2=0,解得 q 2 = 2或 q 2 =£ 当 q 2 =2 时，a - =2 , a -- =a- q10 =64 ;当心时，a -=32 , a —qJ .'/法——:• a - a ? = a 3 已7 = 64, ^又 a 3 ' a^ = 20 , 二a 3、a 7为方程x 2 —20x • 64 =0的两实数根,2…a^ = = 1 ^或 a ii = 64 .a 3总结升华:① 列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算 量；② 解题过程中具体求解时， 要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的, 故较多变形要用除法（除式不为零）. 举一反三:【变式1】｛an ｝为等比数列，a 仁3, a9=768,求a6。
等比数列（试题）
等比数列（试题）第一篇：等比数列(试题)关于等比数列的试题一、选择题：11，两数的等比中项是（）A．1B．-1C．±1D．12.已知{an}是等比数列，a2=2,a5=,则公比q=（）411(A)-(B)-2(C)2(D)22S43.设等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则=（）a21517A.2B.4C.D.224.若数列{an}的前n项的和Sn=3n-2，那么这个数列的通项公式为（）31A.an=()n-1 B.an=3⨯()n-1 22⎧1,n=1C.an=3n-2 D.an=⎨n-1 ⎩2⋅3,n≥25.已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn-2(p∈R，n∈N*)，那么数列{an}（）A．是等比数列B．当p≠0时是等比数列C．当p≠0，p≠1时是等比数列D．不是等比数列 126.已知等差数列｛an｝的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）（A）－4（B）－6（C）－8（D）－107．已知数列｛an｝既是等差数列又是等比数列，则这个数列的前n项和为（）Ａ．0B．nＣ．n a1Ｄ．a1n8．已知数列｛an｝的前n项和Sn=3an－2,那么下面结论正确的是（）Ａ．此数列为等差数列．此数列为等比数列Ｃ．此数列从第二项起是等比数列9．在等比数列｛an｝中，Sn=48,S2n=60,则S3n等于（）A.26B.27C.62D.6310．已知等比数列｛an｝中，an=2×3n-1,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和Sn的值为（）Ａ．3－n．3(3－n9n-1Ｃ．4n11．实数等比数列｛an｝，Sn＝a1+a2+Λ+an，则数列｛Sn｝中（）Ａ．任意一项都不为零．必有一项为零Ｃ．至多有有限项为零Ｄ．可以有无数项为零12．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a,b,c成等比数列，c=2a，则cosB＝（）A.14B.34C.24D.2 3二、填空题：13．在等比数列{an}中, 若a3=3,a9=75,则a10=___________.14.已知等比数列｛an｝中，a1＋a2=9，a1a2a3=27,则｛an｝的前n项和Sn= __________。
等比数列概念与性质
一、选择题1．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，那么a 4＋a 5＝( )A ．27B ．27或－27C ．81D ．81或－812．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于( )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 353.如果-1，ａ，ｂ，ｃ，-9成等比数列，那么( )(A)b=3，ac=9 (B)b=-3，ac=9(C)b=3，ac=-9 (D)b=-3，ac=-94.等差数列{a n }的公差为１，若a 1，a 2，a 4成等比数列，则a 3＝( )(A)1 (B)2 (C)-3 (D)35.若1，a 1，a 2，4成等差数列；1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，则122a ab -的值等于( ) (A)12- (B)12 (C)12± (D)146．数列{a n }为等比数列，且a n ＝a n ＋1＋a n ＋2，a n >0，则该数列的公比q 是( ) A.22 B.255 C.1－52 D.5－127．在等比数列{a n }中，a n >a n ＋1，且a 7·a 14＝6，a 4＋a 17＝5，则a 6a 19等于( ) A.32 B.23 C.16 D ．68．在等比数列{a n }中，a 5·a 6·a 7＝3，a 6·a 7·a 8＝24，则a 7·a 8·a 9的值等于( )A ．48B ．72C ．144D ．1929．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4 10．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项11．已知2a ＝3,2b ＝6,2c ＝12，则a ，b ，c ( )A ．成等差数列不成等比数列B ．成等比数列不成等差数列C ．成等差数列又成等比数列D ．既不成等差数列又不成等比数列12．在数列{a n }中，a 1＝2，当n 为奇数时，a n ＋1＝a n ＋2；当n 为偶数时，a n ＋1＝2a n －1，则a 12等于( )A ．32B ．34C ．66D ．64二、填空题13.等比数列{a n }中,a 1=1,a 4=8,则a 6=______.14．已知x,2x ＋2,3x ＋3是一个等比数列的前3项，则第4项为____________．15.设等比数列{a n }中，a 3是a 1,a 2的等差中项，则数列的公比为______.16．(2012·江苏，6)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．17.若方程x 2－5x ＋m ＝0与x 2－10x ＋n ＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则m n 的值是_________18.设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，如果数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，那么6q ＝________.19．设a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋1，b n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋2a n －1，n ∈N *，则数列{b n }的通项b n ＝________. 三、解答题20.已知数列{a n }的前n 项和S n =13(a n -1)(*n N ∈).试判断数列{a n }是否为等比数列.21．已知三个数成等比数列，它们的和为13，它们的积为27，求这三个数．22.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=2a n+1.（1）证明数列{a n+1}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式.23．设数列{a n}的前n项和为S n，且a n≠0(n∈N*)，S1，S2，…，S n，…，成等比数列，试问数列a2，a3，a4，…，a n成等比数列吗？证明你的结论．24.已知等比数列{b n}与数列{a n}满足b n=n a*3(n N)(1)判断{a n}是何种数列?(2)若a8+a13=m,求b1.b2 (20)25.(2010～2011·山东临清实验高中高二期中)已知数列{a n}的前n项和为S n，点(n，S n)在函数f(x)＝2x－1的图象上，数列{b n}满足b n＝log2a n－12(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}的前n项和为T n，当T n最小时，求n的值；(3)求不等式T n<b n的解集．。
等差、等比数列的性质及配套练习
等等差数列的概念定 义 式：*),2(1N n n d d a a n n∈≥=--为常数，，或*)(1N n d a a n n ∈=-+.递 推 式：*)(1N n d a a n n ∈+=+.等差中项：任何两个数b a ,都有且仅有一个等差中项A ⎪⎭⎫⎝⎛+=2b a A . 通项公式：d n a a n)1(1-+=，d m n a a m n )(-+=（广义）.特征：b kn a n+=，其中d a b d k -==1,.前n 项和：d n n na d n n na n a a S n n n 2)1(2)1(2)(11--=-+=+=. 特征：Bn An S n +=2，其中2,21da B d A -==. 注：1.等差数列的定义式和递推式、等差中项、等差数列通项公式的特征、前n 项和的特征，都可以作为一个数列是等差数列的判定依据，但等差数列的证明必须根据定义式. 2.对任何数列，都有⎩⎨⎧∈≥-==-.*,2 ,,1,11N n n S S n S a n n n等差数列的性质1. 若{}n a 为等差数列，则d m n a a m n)(-+=*),(N n m ∈.2. 若{}n a 为等差数列，且*),,,(N q p n m q p n m ∈+=+，则q p n m a a a a +=+.3. 若{}n a 为等差数列，，则项数中间项 )12(12⨯=-⋅=-n a S n n .4. 若等差数列{}n a 共有12+n 项，则①中偶奇a S S =-；② nn S S 1+=偶奇. 5. 若等差数列{}n a 共有n 2项，则①nd S S =-奇偶；②nn a a S S 1+=奇偶.6. 若{}n a 为各项均不为零的等差数列，前n 项和为,n S ，则12121212--⋅=--n m S S a a m n m n . 7. 若{}n a 、{}n b 均为各项非零的等差数列，前n 项和分别为n n T S ,，则1212--=n n n n T S b a . 8. 在等差数列{}n a 中，若)(,n m m a n a n m ≠==，则0=+n m a .9. 在等差数列{}n a 中，若)(,n m m S n S n m ≠==，则)(n m S n m +-=+. 10.在等差数列{}n a 中，若)(n m S S n m ≠=，则0=+n m S .11.若{}n a 为等差数列，则{}b ka n +仍为等差数列，其中k 和b 是常数. 12.若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}n n b a +仍为等差数列.13.若{}n a 为等差数列，则序号成等差的项也成等差数列，即：若{}n a 为等差数列，{}n b 为正整数等差数列，则{}nb a 为等差数列.14.n S 为数列{}n a 的前n 项和，则{}n a 为等差数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⇔n S n 为等差数列. 15.若{}n a 为等差数列，则{}n a 依次k 项和仍为等差数列，即.,,232k k k k k S S S S S --…仍为等差数列.等比数列等比数列的概念定 义 式：*),2,0(1N n n q q a a n n∈≥≠=-常数，或*)(1N n q a a n n ∈=+. 递 推 式：*)(1N n q a a n n ∈=+.等比中项：两个同号的实数b a ,才有但有两个等比中项G ()ab G ±=. 通项公式：11-=n nq a a ，m n m n q a a -=（广义）.前n 项和：当1=q 时，1na S n =，当1≠q 时，1111111)1(111)1(--+--=--=--=--=qq a q a a q q a a q q a S n n n n n n .特征：)0)(1(≠-=A q A S n n .注：非零常数列既是等差数列也是等比数列，反之亦然.等比数列的性质1. 若{}n a 为等比数列，则m n m nq a a -=*),(N n m ∈.2. 若{}n a 为等比数列，且*),,,(N q p n m q p n m ∈+=+，则q p n m a a a a =.3. 若{}n a 为等比数列，则{}n ka 仍为等比数列，其中k 是非零．．常数. 4. 若{}n a 为等比数列，则当()kn a 恒有意义时(){}kn a 仍为等比数列，其中k 是任意常数.5. 若{}n a 、{}n b 为等比数列，则{}n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 仍为等比数列. 6. 若{}n a 为等比数列，则序号成等差的项也成等比数列，即：若{}n a 为等比数列，{}n b 为正整数等差数列，则{}nb a 为等比数列.7. n T 为正项数列{}n a 的前n 项积，则{}n a 为等比数列{}nnT ⇔为等比数列.8. 若k S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且0≠k S ，则{}n a 依次k 项和仍为等比数列，即.,,232k k k k k S S S S S --…仍为等比数列.注：等比数列各项积的性质类似于等差数列各项和的性质，应用范围较小，故未写入.等差数列与等比数列的联系1. 非零常数列，也只有非零常数列，即是等差数列也是等比数列。
等比数列及其前n项和知识点讲解+例题讲解(含解析)
等比数列及其前n 项和一、知识梳理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：a n a n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数).(2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G ＝2.等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1； 通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q .3.等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ， a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n .证明：（1）当q ≠-1且q ≠0时，A a a a a S n n =++++=...321，n n n n n n n n n n n Aq q a q a q a a a a a S S =+++=++++=-+++ (2123212)n n n n n n n n n n n Aq q a q a q a a a a a S S 222221332221223......=+++=++++=-+++所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n（2）当q= -1时，<1>、当n 为奇数时，1a S n=，132,0a S S n n ==1120a a S S n n -=-=-， 11230a a S S n n =-=-所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n<2>、当n 为偶数时，032===n n n S S S ，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n不能构成等比数列小结：1.若数列{a n }为等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 也是等比数列. 2.由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. 3.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)等比数列公比q 是一个常数，它可以是任意实数.( ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列.( ) 解析 (1)在等比数列中，q ≠0.(2)若a ＝0，b ＝0，c ＝0满足b 2＝ac ，但a ，b ，c 不成等比数列. (3)当a ＝1时，S n ＝na .(4)若a 1＝1，q ＝－1，则S 4＝0，S 8－S 4＝0，S 12－S 8＝0，不成等比数列.答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( ) A.－12B.－2C.2D.12解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，即q ＝12.答案 D3.在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________.解析 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81. 答案 27，814.(2019·天津和平区质检)已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，则a 7的值为( ) A.2B.4C.92D.6解析 根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 24，∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，解得a 4＝2.又∵a 1＝1，a 1a 7＝a 24＝4，∴a 7＝4. 答案 B5.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A.32f B.322fC.1225fD.1227f解析 由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f ，公比为122的等比数列，设此数列为{a n }，则a 8＝1227f ，即第八个单音的频率为1227f . 答案 D6.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和.若S n ＝126，则n ＝________.解析 由a n ＋1＝2a n ，知数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比q ＝2的等比数列，由S n ＝2（1－2n ）1－2＝126，解得n ＝6.答案 6考点一 等比数列基本量的运算【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________.(2)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析 (1)由{a n }为等比数列，设公比为q .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝－1，①a 1－a 1q 2＝－3，② 显然q ≠1，a 1≠0，②①得1－q ＝3，即q ＝－2，代入①式可得a 1＝1， 所以a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.(2)设数列{a n }首项为a 1，公比为q (q ≠1)，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q＝74，S 6＝a 1（1－q 6）1－q＝634，解得⎩⎨⎧a 1＝14，q ＝2， 所以a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案 (1)－8 (2)32规律方法 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q.【训练1】 (1)等比数列{a n }中各项均为正数，S n 是其前n 项和，且满足2S 3＝8a 1＋3a 2，a 4＝16，则S 4＝( ) A.9B.15C.18D.30(2)(2017·北京卷)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.解析 (1)设数列{a n }的公比为q (q >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2S 3＝2（a 1＋a 1q ＋a 1q 2）＝8a 1＋3a 1q ，a 1q 3＝16， 解得q ＝2，a 1＝2，所以S 4＝2（1－24）1－2＝30.(2){a n }为等差数列，a 1＝－1，a 4＝8＝a 1＋3d ＝－1＋3d ，∴d ＝3，∴a 2＝a 1＋d ＝－1＋3＝2.{b n }为等比数列，b 1＝－1，b 4＝8＝b 1·q 3＝－q 3，∴q ＝－2，∴b 2＝b 1·q ＝2，则a 2b 2＝22＝1.答案 (1)D (2)1考点二 等比数列的判定与证明【例2】 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1， 得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1. (2)解 由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n.由S 5＝3132，得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.【训练2】 (2019·广东省级名校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4.(1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n . (1)证明 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， 所以S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)， 则S n ＝2S n －1－n ＋4(n ≥2)，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2](n ≥2)， 又由题意知a 1－2a 1＝－3， 所以a 1＝3，则S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2等比数列. (2)解 由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1， 所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n＝4（1－2n ）1－2＋n （n ＋1）2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82.考点三 等比数列的性质及应用【例3】 (1)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A.12B.10C.8D.2＋log 35(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( ) A.40B.60C.32D.50解析 (1)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，则原式＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝10.(2)数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4，8，S 9－S 6，S 12－S 9是首项为4，公比为2的等比数列，则S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝16，S 12－S 9＝a 10＋a 11＋a 12＝32，因此S 12＝4＋8＋16＋32＝60. 答案 (1)B (2)B【训练3】 (1)(2019·菏泽质检)在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( ) A.－2B.－ 2C.± 2D.2(2)(一题多解)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________.解析 (1)根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4， a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0， 所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0， 由a 3a 7＝a 25，得a 5＝－a 3a 7＝－ 2.(2)法一 由等比数列的性质S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，由已知得S 6＝3S 3，∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，即S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73.法二 因为{a n }为等比数列，由S 6S 3＝3，设S 6＝3a ，S 3＝a (a ≠0)，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等比数列，即a ，2a ，S 9－S 6成等比数列，所以S 9－S 6＝4a ，解得S 9＝7a ，所以S 9S 6＝7a 3a ＝73.答案 (1)B (2)73数学运算——等差(比)数列性质的应用1.数学运算是指在明析运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.本系列数学运算主要表现为：理解数列问题，掌握数列运算法则，探究运算思路，求得运算结果.通过对数列性质的学习，发展数学运算能力，促进数学思维发展.2.数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题，能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想.类型1 等差数列两个性质的应用 在等差数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和： (1)S 2n －1＝(2n －1)a n ；等差中项）(2)设{a n }的项数为2n ，公差为d ，则S 偶－S 奇＝nd .【例1】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________.(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d ＝________.解析 (1)由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0得2a m －a 2m ＝0，解得a m ＝0或2.又S 2m －1＝（2m －1）（a 1＋a 2m －1）2＝(2m －1)a m ＝38， 显然可得a m ≠0，所以a m ＝2.代入上式可得2m －1＝19，解得m ＝10.(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5. 答案 (1)10 (2)5类型2 等比数列两个性质的应用在等比数列{a n }中，(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a n ·a m ＝a p ·a q ；(2)当公比q ≠－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等比数列(n ∈N *).【例2】 (1)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A.6B.5C.4D.3(2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A.18B.－18C.578D.558 解析 (1)数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.(2)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18，所以a 7＋a 8＋a 9＝18.答案 (1)C (2)A类型3 等比数列前n 项和S n 相关结论的活用(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n }中，公比为q . 若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q .(2)分段求和：S n ＋m ＝S n ＋q n S m (q 为公比).【例3】 (1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.(2)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________. 解析 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160， 所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. (2)设等比数列{a n }的公比q ，易知S 3≠0.则S 6＝S 3＋S 3q 3＝9S 3，所以q 3＝8，q ＝2.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，其前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.答案 (1)2 (2)3116三、课后练习1.已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T 1>1的n 的最小值为( )A.4B.5C.6D.7 解析 ∵{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 2a 4＝a 3，∴a 23＝a 3，∴a 3＝1.又∵q >1，∴a 1<a 2<1，a n >1(n >3)，∴T n >T n －1(n ≥4，n ∈N *)，T 1<1，T 2＝a 1·a 2<1，T 3＝a 1·a 2·a 3＝a 1a 2＝T 2<1，T 4＝a 1a 2a 3a 4＝a 1<1，T 5＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝a 53＝1，T 6＝T 5·a 6＝a 6>1，故n 的最小值为6. 答案 C 2.数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A.(3n －1)2B.12(9n －1)C.9n －1D.14(3n －1)解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1，∴当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1，故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列.因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(1－9n )1－9＝12(9n －1). 答案 B 3.(2019·华大新高考联盟质检)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3a 11＝2a 25，且S 4＋S 12＝λS 8，则λ＝______.解析 ∵{a n }是等比数列，a 3a 11＝2a 25，∴a 27＝2a 25，∴q 4＝2，∵S 4＋S 12＝λS 8，∴a 1（1－q 4）1－q ＋a 1（1－q 12）1－q ＝λa 1（1－q 8）1－q， ∴1－q 4＋1－q 12＝λ(1－q 8)，将q 4＝2代入计算可得λ＝83.答案 834.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋λ(λ为常数).(1)试探究数列{a n ＋λ}是不是等比数列，并求a n ；(2)当λ＝1时，求数列{n (a n ＋λ)}的前n 项和T n . 解 (1)因为a n ＋1＝2a n ＋λ，所以a n ＋1＋λ＝2(a n ＋λ). 又a 1＝1，所以当λ＝－1时，a 1＋λ＝0，数列{a n ＋λ}不是等比数列， 此时a n ＋λ＝a n －1＝0，即a n ＝1； 当λ≠－1时，a 1＋λ≠0，所以a n ＋λ≠0， 所以数列{a n ＋λ}是以1＋λ为首项，2为公比的等比数列， 此时a n ＋λ＝(1＋λ)2n －1，即a n ＝(1＋λ)2n －1－λ.(2)由(1)知a n ＝2n －1，所以n (a n ＋1)＝n ×2n ， T n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① 2T n ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，② ①－②得：－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2（1－2n ）1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2. 所以T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.。
等比数列的概念与性质
等比数列的概念与性质一、知识归纳1.等比数列的概念：一般的， ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母q 表示。
即()为常数q n q a a n n,21≥=-。
2.若b G a ,,成等比数列，则G 叫做a 与b 的 。
此时_________.G = 3.等比数列的通项公式为： 。
4.首项为正数的等比数列的公比1=q 时，数列为 数列；当0<q 时，数列为 数列；当10<<q 时，数列为 数列；当1>q 时，数列为 数列。
5.等比数列性质：在等比数列{}n a 中,若m n P q +=+,则m n p q a a a a ⋅=⋅ 6.等比数列的前n 项和当1q =时，__________;n S = 当1q ≠时，____________.n S =7用函数的观点看等比数列：（1）等比数列的通项公式是_________________________。
二、经典题目1、判断正误：①1，2，4，8，16是等比数列； （ ）②数列 ,81,41,21,1是公比为2的等比数列； （ ） ③若cbb a =，则c b a ,,成等比数列； （ ）④若()*1N n n a a nn ∈=+，则数列{}n a 成等比数列； （ ） ⑤0,2,4,8,16是等比数列; ( ).2.判断下列数列{}n a 是否为等比数列： （1）()()*1,31Nn a nn n ∈-=-； （2）()*3,2N n a n n ∈-=-；（3）*,2N n n a n n ∈⨯= （4）*,1N n a n ∈-= 思考： 如何证明(判断)一个数列是等比数列?3.已知等比数列1023,3,3,.（1）试问：139n n +和分别是该数列的第几项？（2）乘积139n n +⋅是该数列的项吗？如果是，它是该数列的第几项？4.各项均为正数的等比数列{}n a 中，11233,21,a a a a =++=则345___.a a a ++=5.已知{}n a 为等比数列，且324202,3a a a =+=，求{}n a 的通项公式。
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等比数列的概念与性质练习题
1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22
5a ，2a =1，则1a =
A.
2
1
B. 22
C. 2
D.2
2. 如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ）
A 、3,9b ac ==
B 、3,9b ac =-=
C 、3,9b ac ==-
D 、3,9b ac =-=-
3、若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n
n a n a a a =--+++=则
（A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 4.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．8 5.．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8
D ．16
6.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4
7.公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则162log a =（ ） A.4 B.5 C.6 D.7
8.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=⋅a a a a ，则
=10
20
a a （ ） A.
32 B.23 C. 32或23 D. －32或－23 9.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（ ）
A ．16
B ．24
C ．48
D ．128
10.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中1a =2，5a =8，则3a 的值为（ ）
A. －4
B.4
C. ±4
D. 5
11.等比数列
{}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a ++
+＝
A ．12
B ．10
C ．8
D ．2＋3log 5
12. 设函数()()()
*
2
,311N n x n x x f ∈≤≤-+-=的最小值为n a ，最大值为n b ，则2n n n n c b a b =-是( )
A.公差不为零的等差数列
B.公比不为1的等比数列
C.常数列
D.既不是等差数列也不是等比数列
13. 三个数c b a ,,成等比数列，且0,>=++m m c b a ，则b 的取值范围是（ ） A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,
0m B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3,m m C . ⎪⎭⎫ ⎝⎛3,0m D. [)⎥⎦
⎤
⎝⎛⋃-3,00,m m 14.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，则
10
429
31a a a a a a ++++的值为 ．
15.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则
=+2
2
1b a a ______．
16．已知 n
n a ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=312，把数列}{n a 的各项排成三角形状:
9
87654321
,,,,,,a a a a a a
a a a
记()n m A ,表示第m 行，第n 列的项，则()8,10A =_______.
17.设二次方程2
110()n n a x a x n N *
+-+=∈有两个实根α和β，且满足6263α
αββ-+=．
（1）试用n a 表示1n a +；
（2）求证：2{}3
n a -是等比数列；
（3）当17
6
a =
时，求数列{}n a 的通项公式． 18.已知两个等比数列{}n a 、{}n b 满足()01>=a a a ，3,2,1332211=-=-=-a b a b a b .
(1)若1=a ，求数列{}n a 的通项公式； (2)若数列{}n a 唯一，求a 的值．
等比数列的概念与性质练习题参考答案
1.B 【解析】设公比为q ,由已知得(
)2
2
8
41112a q a q a q ⋅=,即2
2q
=,又因为等比数列}{n a 的公比为正数，
所以2q 故212
22
a a q =
==
,选B 2.B 3.A 4. A 5。
B
6. D 解析 由互不相等的实数,,a b c 成等差数列可设a ＝b －d ，c ＝b ＋d ，由310a b c ++=可得b ＝2， 所以a ＝2－d ，c ＝2＋d ，又,,c a b 成等比数列可得d ＝6，所以a ＝－4，选D
7.【解析】29
311771672161616432log 5a a a a a a q a =⇔=⇔=⇒=⨯=⇔=．
8.C 9.A 10.B 11.B
12.【解析】选A.由已知得a n =f(1)=n,b n =f(-1)=f(3)=n+4,∴c n =b n 2-a n b n =(n+4)2
-n(n+4)=4n+16,显然{c n }是 公差为4的等差数列。
13.【分析】应用等比数列的定义和基本不等式。
选D 。
14.
1316
15.
2
5；解析：∵1, a 1, a 2, 4成等差数列，∴12145a a +=+=；∵1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，∴22144b =⨯=， 又2
210b q =⨯>，∴22b =；∴
=+221b a a 2
5
； 16.前m 项共有2
m 个项，前9项共用去81项，()8,10A 为第10行第8个数，即89=n 时()89
3128,10⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯=A 。
17.（1）解析：11,n n n a a a αβαβ++=
=，而6263ααββ-+=，得162
3n n n
a a a +-=， 即1623n n a a +-=，得111
23
n n a a +=
+； （2）证明：由（1）11123n n a a +=+，得1212()323n n a a +-=-，所以2
{}3n a -是等比数列；
（3）解析：当176a =时，2{}3n a -是以721632-=为首项，以1
2为公比的等比数列，
1211()322n n a --=⨯，得21()()32
n n a n N *
=+∈．
18.【分析】 (1)设{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a ＝2，b 2＝2＋aq ＝2＋q ，b 3＝3＋aq 2
＝3＋q 2
. 由b 1，b 2，b 3成等比数列得(2＋q )2
＝2(3＋q 2
)，即q 2
－4q ＋2＝0，解得q 1＝2＋2，q 2＝2－2， 所以{a n }的通项公式为a n ＝(2＋2)
n －1或a n ＝(2－2)
n －1
.
(2)设{a n }的公比为q ，则由(2＋aq )2
＝(1＋a )(3＋aq 2
)，得aq 2
－4aq ＋3a －1＝0.(*)由a >0得，Δ＝4a 2
＋4a >0，故方程(*)有两个不同的实根，由{a n }唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a ＝1
3
.
19.数列{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且113,1a b ==，数列
{}n a b 是公比为64的等比数列，2264b S =.
（1）求,n n a b ；（2）求证121113
4
n S S S +
++<. 19.解：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则d 为正整数，
3(1)n a n d =+-，1n n b q -=
依题意有1363(1)22642(6)64n n nd
a d n d a
b q q b q S b d q +++-⎧====⎪
⎨⎪=+=⎩
①
由(6)64d q +=知q 为正有理数，故d 为6的因子1,2,3,6之一， 解①得2,8d q ==
故1
32(1)21,8n n n a n n b -=+-=+=
（2）35(21)(2)n S n n n =++++=+ ∴
12
1111111
132435
(2)
n S S S n n +++=++++
⨯⨯⨯+。