频率域图像增强
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第4讲频率域图像增强
F(u)e j2ux/ M
aue j 2ux/ M
u
u
（3）离散形式
F(u)
1
M 1
f (x)e j2ux/ M
M x0
M 1
f (x) F(u)e j2ux/ M
u0
系数1/M也可以放在反变换前， 有时也可在傅立叶正变 换和逆变换前分别乘以(1/M )1/2。
• 对高频成分的通过使图像锐化——高通滤波 • 高通和低通的关系
– Hhp(u,v) = 1 - Hlp(u,v) – 即低通阻塞的频率是能够通过高通的
• 理想高通滤波器的定义
– 一个二维的理想高通滤波器（ILPF）的转换函数满足 （是一个分段函数）
其中：D0 为截止频率
D(u,v)为距离函数 D(u,v)=(u2+v2)1/2
– 低通滤波器 – 高通滤波器 – 同态滤波器
低通滤波器的基本思想
•
G(u,v)=F(u,v)H(u,v)
– F(u,v)是需要钝化图像的傅立叶变换形式
– H(u,v)是选取的一个滤波器变换函数
– G(u,v)是通过H(u,v)减少F(u,v)的高频部分来 得到的结果
– 运用傅立叶逆变换得到钝化后的图像。
二阶GLPF 无振铃
• 高斯LPF r=30
ILPF r=30
第4讲 频率域图像增强
• 4.1 卷积 • 4.2 傅立叶变换 • 4.3 平滑频率域滤波器——低通滤波器 • 4.4 频率域锐化滤波器——高通滤波器 • 4.5 同态滤波器
2
频率域锐化滤波器
• 对F(u,v)的高频成分的衰减使图像模糊——低 通滤波
• 一个截止频率在与原点距离为D0的n阶Butterworth 低通滤波器（BLPF）的变换函数：
第四章频率域图像增强
图像傅立叶变换的物理意义
傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空 间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示 空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图 像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表 示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。 为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱 图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并 不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶 频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域 点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么 理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来 讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立 叶变换后的频谱图，也叫功率图
域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通
✓ 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质 ✓ 给出一个问题，寻找某个滤波器解决该问题，频率域处理对 于试验、迅速而全面地控制滤波器参数是一个理想工具
✓ 一旦找到一个特殊应用的滤波器，通常在空间域用硬件实现
➢图像的频率指什么？
✓ 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面
Mx0
u=0,1,2,…,M-1
✓ 给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x)
f(x)
1
M1
j2ux
F(u)e M
Mu0
x=0,1,2,…,M-1
傅里叶变换
一维离散傅里叶变换及反变换
✓ 从欧拉公式 e j cos j sin
F (u)
1
M 1
第四章频率域图像增强
一、频率域介绍
低通滤波器
低通滤波函数
原图
低通滤波结果：模糊
一、频率域介绍
高通滤波器
高通滤波器：使高频通过而使低频衰减的滤波器
被高通滤波的图像比原始图像少灰度级的平滑 过渡而突出边缘等细节部分
对比空间域的梯度算子、拉普拉斯算子
一、频率域介绍
高通滤波器
高通滤波函数
原图
高通滤波结果：锐化
G(u,v)=F(u,v)H(u,v)
最后将G(u,v)进行IDFT变换即可得到频域滤波后 的图像
频域滤波的步骤
具体实施步骤如下: （1）用(-1)x+y乘以输入图像f(x,y)来进行中心变换;
f ( x, y)(1)x y F (u M / 2, v N / 2)
（2）由(1)计算图像的DFT,得到F(u,v); （3）用频域滤波器H(u,v)乘以F(u,v); （4）将(3)中得到的结果进行IDFT; （5）取(4)中结果的实部; （6）用(-1)x+y乘以(5)中的结果,即可得滤波图像。
uv
理想低通滤波器举例
500×500像素的原图 图像的傅里叶频谱
圆环具有半径5,15,30,80和230个像素 图像功率为92.0%,94.6%,96.4%,98.0%和99.5%
理想低通滤波器举例——具有振铃现象
结论：半径越小，模糊越大；半径越大，模糊越小
原图
半径是5的理想低通 滤波,滤除8%的总功 率，模糊说明多数尖 锐细节在这8%的功率 之内
二、频率域平滑滤波器
理想低通滤波器
总图像功率值PT
M 1 N 1
PT P(u, v)
u0 v0
P(u, v) | F (u, v) |2 R(u, v)2 I (u, v)2
第四章频率域图像增强
频率域图像增强
频率域滤波 频率域平滑（低通）滤波器 频率域锐化（高通）滤波器
4.1 背景知识
• 图像变换的目的
✓ 使图像处理问题简化； ✓ 有利于图像特征提取； ✓ 有助于从概念上增强对图像信息的理解；
• 图像变换的定义
✓ 将空域中的信号变换到另外一个域，即使用该域中的一组基 函数的线性组合来合成任意函数
空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的 区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在 图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。
傅里叶变换及其反变换 傅里叶变换的性质
快速傅里叶变换（FFT）
傅里叶变换
一维连续傅里叶变换及反变换
✓ 单变量连续函数f(x)的傅里叶变换F(u)定义 为
M x 0
1 M
M 1 x 0
f
x cos(2ux)
/
M
j
sin(2ux) /
M
1 M
M 1 x 0
f
x
cos
2ux
/
M
j
sin
2ux
/
M
傅里叶变换
傅里叶变换的极坐标表示 F u F u e j u
✓ 幅度或频率谱为 F(u) R2(u)I2(u) R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部
✓ 相角或相位谱为 (u)arctaIn(u)
R(u)
✓ 功率谱为 P (u )F (u )2R 2(u )I2(u )
傅里叶变换
二维离散傅里叶变换及反变换
✓ 图像尺寸为M×N的函数f(x,y)的DFT为
F ( u , v ) 1 MN
M1N1
f x , y e j 2 ux / M vy / N
频率域滤波 频率域平滑（低通）滤波器 频率域锐化（高通）滤波器
4.1 背景知识
• 图像变换的目的
✓ 使图像处理问题简化； ✓ 有利于图像特征提取； ✓ 有助于从概念上增强对图像信息的理解；
• 图像变换的定义
✓ 将空域中的信号变换到另外一个域，即使用该域中的一组基 函数的线性组合来合成任意函数
空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的 区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在 图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。
傅里叶变换及其反变换 傅里叶变换的性质
快速傅里叶变换（FFT）
傅里叶变换
一维连续傅里叶变换及反变换
✓ 单变量连续函数f(x)的傅里叶变换F(u)定义 为
M x 0
1 M
M 1 x 0
f
x cos(2ux)
/
M
j
sin(2ux) /
M
1 M
M 1 x 0
f
x
cos
2ux
/
M
j
sin
2ux
/
M
傅里叶变换
傅里叶变换的极坐标表示 F u F u e j u
✓ 幅度或频率谱为 F(u) R2(u)I2(u) R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部
✓ 相角或相位谱为 (u)arctaIn(u)
R(u)
✓ 功率谱为 P (u )F (u )2R 2(u )I2(u )
傅里叶变换
二维离散傅里叶变换及反变换
✓ 图像尺寸为M×N的函数f(x,y)的DFT为
F ( u , v ) 1 MN
M1N1
f x , y e j 2 ux / M vy / N
频率域图像增强
理想低通滤波器
截止频率 为分别设 置为
10,30,60,1 60和460
由于高频成分包含有大量的边缘信息，因此采用该滤波器在去 噪声的同时将会导致边缘信息损失而使图像边模糊。
布特沃斯低通滤波器
n阶布特沃斯滤波器的传递函数为：
D0是截止频率。对于这个点的定义，我们可以这样理解，使 H（u，v）下降为最大值的某个百分比的点。
理想低通滤波器
第一幅图为理想低通滤波器变换函数的透视图 第二幅图为图像形式显示的滤波器 第三幅图为滤波器径向横截面
振铃
附录
产生的原因图像在处理过程中的信息量的丢失，尤其是高频 信息的丢失
由卷积定理可知，频率域下的理想低通滤波器H(u, v)必定存在 一个空间域下与之对应的滤波函数h(x, y)，且可以通过对H(u,v)作傅 里叶逆变换求得。产生振铃效应的原因就在于，理想低通滤波器在 频率域下的分布十分线性（在D0处呈现出一条垂直的线，在其他频 率处呈现出一条水平的线），那么不难想象出对应的h(x,y)将会有类 似于sinc函数那样周期震荡的空间分布特性。正是由于理想低通滤 波器的空间域表示有类似于sinc函数的形状，位于正中央的突起使 得理想低通滤波器有模糊图像的功能，而外层的其他突起则导致理 想低通滤波器会产生振铃效应。
H（u，v） =-4π2[（u-P/2)2=(v-Q/2)2] =-4π2D2(u,v)
所以我们就可以得到拉普拉斯图像由下式 ▽
▽2f(x,y)=ζ -1[H(u,v)F(u,v)]
相比较其他滤波器不同的是，一般我们经过逆傅里叶变化就可以得到图像了而我 们需要如下实现
g（x，y）=f（x，y）+c ▽2f(x,y)
我们可以从两者之间的剖面图进行比较，GLPF没有 BLPF那样紧凑。 但是重要的是，GLPF中没有振铃。
数字图像处理之频率域图像增强
易于分析和处理。
图像增强技术广泛应用于医学影 像、遥感、安全监控、机器视觉
等领域。
频率域图像增强的概念
01
频率域图像增强是指在频率域 对图像进行操作，通过改变图 像的频率成分来改善图像的质 量。
02
频率域增强方法通常涉及将图 像从空间域转换到频率域，对 频率域中的成分进行操作，然 后再将结果转换回空间域。
直方图规定化
直方图规定化是另一种频率域图像增强 方法，其基本思想是根据特定的需求或 目标，重新定义图像的灰度级分布，以
达到增强图像的目的。
与直方图均衡化不同，直方图规定化可 以根据具体的应用场景和需求，定制不 同的灰度级分布，从而更好地满足特定
的增强需求。
直方图规定化的实现通常需要先对原始 图像进行直方图统计，然后根据规定的 灰度级分布进行像素灰度值的映射和调
灵活性
频率域增强允许用户针对特定频率成 分进行调整，从而实现对图像的精细 控制。例如，可以增强高频细节或降 低噪声。
总结与展望 数字图像处理之频率域图像增强的优缺点
频谱混叠
在频率域增强过程中，如果不采取适 当的措施，可能会导致频谱混叠现象， 影响图像质量。
计算复杂度
虽然频率域增强可以利用FFT加速， 但对于某些复杂的图像处理任务，其 计算复杂度仍然较高。
傅立叶变换具有线性、平移不变性和周期性等性质，这些性质在图像增强中具有重 要应用。
傅立叶变换的性质
线性性质
傅立叶变换具有线性性质，即两 个函数的和或差经过傅立叶变换 后，等于它们各自经过傅立叶变
换后的结果的和或差。
平移不变性
傅立叶变换具有平移不变性，即 一个函数沿x轴平移a个单位后， 其傅立叶变换的结果也相应地沿
THANKS
图像增强技术广泛应用于医学影 像、遥感、安全监控、机器视觉
等领域。
频率域图像增强的概念
01
频率域图像增强是指在频率域 对图像进行操作，通过改变图 像的频率成分来改善图像的质 量。
02
频率域增强方法通常涉及将图 像从空间域转换到频率域，对 频率域中的成分进行操作，然 后再将结果转换回空间域。
直方图规定化
直方图规定化是另一种频率域图像增强 方法，其基本思想是根据特定的需求或 目标，重新定义图像的灰度级分布，以
达到增强图像的目的。
与直方图均衡化不同，直方图规定化可 以根据具体的应用场景和需求，定制不 同的灰度级分布，从而更好地满足特定
的增强需求。
直方图规定化的实现通常需要先对原始 图像进行直方图统计，然后根据规定的 灰度级分布进行像素灰度值的映射和调
灵活性
频率域增强允许用户针对特定频率成 分进行调整，从而实现对图像的精细 控制。例如，可以增强高频细节或降 低噪声。
总结与展望 数字图像处理之频率域图像增强的优缺点
频谱混叠
在频率域增强过程中，如果不采取适 当的措施，可能会导致频谱混叠现象， 影响图像质量。
计算复杂度
虽然频率域增强可以利用FFT加速， 但对于某些复杂的图像处理任务，其 计算复杂度仍然较高。
傅立叶变换具有线性、平移不变性和周期性等性质，这些性质在图像增强中具有重 要应用。
傅立叶变换的性质
线性性质
傅立叶变换具有线性性质，即两 个函数的和或差经过傅立叶变换 后，等于它们各自经过傅立叶变
换后的结果的和或差。
平移不变性
傅立叶变换具有平移不变性，即 一个函数沿x轴平移a个单位后， 其傅立叶变换的结果也相应地沿
THANKS
第4章频域图像增强
4.1背景知识
法国数学家傅里叶 在1822提出傅里叶 级数理论。任何周 期函数都表示为频 率不同的正(余)弦 和的形式，每个正 (余)弦乘以不同的 系数，称为傅里叶 级数。
4.1背景知识
•
非周期函数可以用正(余)弦和乘以系数的积分表 示，称为傅里叶变换。
傅里叶级数或变换表示的函数可以完全通过逆过 程重建，不丢失任何信息⇒频域中的处理转化到 原始域不会丢失任何信息 1950’s后计算机技术的发展和1965年CooleyTukey提出FFT，在信号处理领域产生了巨大变革。
4.4 单变量的离散傅里叶变换 p140
例4.4： 离散函数f的值 f(0)=1,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3 求其傅里叶变换
4.5.5 二维傅里叶变换
离散形式DFT
147页
M 1N 1 N 11 1M j 2 ( ux / M vy / N ) uu ,v f( ,,yy )e 正变换 F F(( ,) v ) f (x x )e j 2 ( ux / M vy / N ) MN y x x 00 y 00
for u 0,1,2,...,M 1, v 0,1,2,..., N 1
M 1 N 1M 1 N 1
式4.5-15
1 j 2 ( ux / M j vy N )/ M vy / N ) 式4.5-16 2 / ( ux f ( x , y ) F ( u , v ) e x , y ) F ( u , v ) e 反变换 MN u 0 v 0 u 0 v 0 for x 0,1,2,...,M 1, y 0,1,2,..., N 1
4.6二维傅里叶变换的性质
第四讲频率域图像增强 65页PPT文档
空间域和频率域中的滤波器组成了傅里叶变换对。
高斯函数在空域和频域的对应关系式：
H(u)u2/22
h(x)2 Ae 222x2
1D高斯低 通滤波器
H(u)Ae(u2v2)/22
h (x)2 Ae 2 2 1 2(x2y2)
2D高斯低 通滤波器
结论：1）H (u) 有宽的轮廓，则h(x)有窄的轮廓，反之亦然。 2）频率域滤波器越窄，滤出的低频成分越多，图 像被模糊，在空域则滤波器越宽，模板越大。
G (u , v)=H (u , v) X F (u , v)
例二、显示重要特征的傅里叶谱
注：原始图像中有约±450的强 边缘和两个白色的氧化物 突 起。
注：傅里叶频谱显示了±450的强 边缘，在垂直轴偏左的部分有 垂直成分（对应两个氧化物 突 起）。
频域滤波的基本步骤：
1）用 (-1)x+y 乘以输入图像进行中心变换； 2）计算1）处理后图像的DFT，即 F (u , v)； 3）用滤波器函数 H (u , v)乘以 F (u , v)；即
G (u , v)=H (u , v) x F (u , v) 4） 求 G (u , v)的IDFT； 5） 得到4）的IDFT的实部； 6）用 (-1)x+y 乘以 5）的结果。
频域滤波的基本步骤
DFT
滤波器 H (u , v)
IDFT
F (u , v)
H (u , v) F (u , v)
前处理
2D低通滤波器
2D高通滤波器
滤波器原 点为0， 因此几乎 没有平滑 的灰度级 细节
陷波滤波器对图像的影响 （ 陷波滤波器将原点设置为0 平均灰度为0，因而需要标定）
高通滤波器对图像的影响 （滤波器函数加上滤波器高度一
高斯函数在空域和频域的对应关系式：
H(u)u2/22
h(x)2 Ae 222x2
1D高斯低 通滤波器
H(u)Ae(u2v2)/22
h (x)2 Ae 2 2 1 2(x2y2)
2D高斯低 通滤波器
结论：1）H (u) 有宽的轮廓，则h(x)有窄的轮廓，反之亦然。 2）频率域滤波器越窄，滤出的低频成分越多，图 像被模糊，在空域则滤波器越宽，模板越大。
G (u , v)=H (u , v) X F (u , v)
例二、显示重要特征的傅里叶谱
注：原始图像中有约±450的强 边缘和两个白色的氧化物 突 起。
注：傅里叶频谱显示了±450的强 边缘，在垂直轴偏左的部分有 垂直成分（对应两个氧化物 突 起）。
频域滤波的基本步骤：
1）用 (-1)x+y 乘以输入图像进行中心变换； 2）计算1）处理后图像的DFT，即 F (u , v)； 3）用滤波器函数 H (u , v)乘以 F (u , v)；即
G (u , v)=H (u , v) x F (u , v) 4） 求 G (u , v)的IDFT； 5） 得到4）的IDFT的实部； 6）用 (-1)x+y 乘以 5）的结果。
频域滤波的基本步骤
DFT
滤波器 H (u , v)
IDFT
F (u , v)
H (u , v) F (u , v)
前处理
2D低通滤波器
2D高通滤波器
滤波器原 点为0， 因此几乎 没有平滑 的灰度级 细节
陷波滤波器对图像的影响 （ 陷波滤波器将原点设置为0 平均灰度为0，因而需要标定）
高通滤波器对图像的影响 （滤波器函数加上滤波器高度一
6第六章频率域图像增强解析
n 1
直流 分量 基波分量 n =1 谐波分量 n>1
2 1 T1
n1
7
直流 系数
余弦分量 系数
1 a0 T1
t 0 T1
t0
f (t ).dt
2 t0 T1 an f (t ).cos n1t.dt T1 t0
2 bn T1
正弦分量
系数
t0 T1
t0
f (t ).sin n1t.dt
rk WN WN 2 2 r (k N ) 2
N 都是 2
一维傅里叶变换及其反变换
设 x：空间变量（实变量） f(x)：实变量x的连续函数 u：频率变量（实变量）
F(u)：频率函数（有实部和虚部）
傅里叶正变换为：
F u
f x e
j 2 u x
dx
若已知F(u), 则利用傅里叶反变换，可求得f(x)
f x F u e
1 cos nx 1 cos nx 2 1 cos nπ π n π π nπ n 0
1 0 1 π (1)sin nx d x 1 sin nxdx 0 π π π π 0
2 1 (1) n nπ
令
(谐波迭加)
an An sin n , bn An cos n ,
a0 (an cos n x bn sin n x ) 2 n 1
得函数项级数
称上述形式的级数为三角级数.
三角函数的傅里叶级数:
6
f1 (t ) a0 (an cosn1t bn sin n1t )
一旦找到一个特殊应用的滤波器，通常在空间域采用硬件实现它
直流 分量 基波分量 n =1 谐波分量 n>1
2 1 T1
n1
7
直流 系数
余弦分量 系数
1 a0 T1
t 0 T1
t0
f (t ).dt
2 t0 T1 an f (t ).cos n1t.dt T1 t0
2 bn T1
正弦分量
系数
t0 T1
t0
f (t ).sin n1t.dt
rk WN WN 2 2 r (k N ) 2
N 都是 2
一维傅里叶变换及其反变换
设 x：空间变量（实变量） f(x)：实变量x的连续函数 u：频率变量（实变量）
F(u)：频率函数（有实部和虚部）
傅里叶正变换为：
F u
f x e
j 2 u x
dx
若已知F(u), 则利用傅里叶反变换，可求得f(x)
f x F u e
1 cos nx 1 cos nx 2 1 cos nπ π n π π nπ n 0
1 0 1 π (1)sin nx d x 1 sin nxdx 0 π π π π 0
2 1 (1) n nπ
令
(谐波迭加)
an An sin n , bn An cos n ,
a0 (an cos n x bn sin n x ) 2 n 1
得函数项级数
称上述形式的级数为三角级数.
三角函数的傅里叶级数:
6
f1 (t ) a0 (an cosn1t bn sin n1t )
一旦找到一个特殊应用的滤波器，通常在空间域采用硬件实现它
第5章频率域图像增强(第二版)
可见，该矩阵的值仅与N有关，与f(x,y)无关。
5.1.2 二维离散傅里叶变换的若干重要性质 2、可分离性
式(5.3)和式(5.4)的二维离散傅里叶变换对可写成 如下的分离形式：
1 N 1 j 2xu N 1 j 2yv F (u, v) exp[ ]( f ( x, y) exp[ ]) N x 0 N N y 0
以式(5.9)：
1 N 1 j 2xu N 1 j 2yv F (u, v) exp[ ]( f ( x, y) exp[ ]) N x 0 N N y 0
为例，可先沿y轴方向进行一维的(行)变换而求得： 1 N 1 j 2vy F ( x, v) f ( x, y) exp[ ] (5.11) N N y 0 然后再对F(x,v)沿x方向进行一维的(列)变换而得到最
F (u, v) F (u mM, v nN)
(m,n=0,±1, ±2,…） (5.17)
5.1.2 二维离散傅里叶变换的若干重要性质 5、共轭对称性
设f(x,y)为实函数，则其傅里叶变换F(u,v)具有共 轭对称性：
F (u, v) F (u,v)
| F (u, v) || F (u,v) |
(5.1)
1 M 1 N 1 ux vy f ( x, y) F (u, v) exp[j 2 ( )] MN u 0 v0 M N
(x=0,1,…,M-1；y=0,1,…,N-1) (5.2)
5.1.1 二维离散傅里叶变换的定义及意义 1、二维离散傅里叶变换的定义
在图像处理中，有时为了讨论上的方便，取M=N，并 考虑到正变换与反变换的对称性，就将二维离散傅里叶 变换对定义为：
《数字图像处理》研究生课程
5.1.2 二维离散傅里叶变换的若干重要性质 2、可分离性
式(5.3)和式(5.4)的二维离散傅里叶变换对可写成 如下的分离形式：
1 N 1 j 2xu N 1 j 2yv F (u, v) exp[ ]( f ( x, y) exp[ ]) N x 0 N N y 0
以式(5.9)：
1 N 1 j 2xu N 1 j 2yv F (u, v) exp[ ]( f ( x, y) exp[ ]) N x 0 N N y 0
为例，可先沿y轴方向进行一维的(行)变换而求得： 1 N 1 j 2vy F ( x, v) f ( x, y) exp[ ] (5.11) N N y 0 然后再对F(x,v)沿x方向进行一维的(列)变换而得到最
F (u, v) F (u mM, v nN)
(m,n=0,±1, ±2,…） (5.17)
5.1.2 二维离散傅里叶变换的若干重要性质 5、共轭对称性
设f(x,y)为实函数，则其傅里叶变换F(u,v)具有共 轭对称性：
F (u, v) F (u,v)
| F (u, v) || F (u,v) |
(5.1)
1 M 1 N 1 ux vy f ( x, y) F (u, v) exp[j 2 ( )] MN u 0 v0 M N
(x=0,1,…,M-1；y=0,1,…,N-1) (5.2)
5.1.1 二维离散傅里叶变换的定义及意义 1、二维离散傅里叶变换的定义
在图像处理中，有时为了讨论上的方便，取M=N，并 考虑到正变换与反变换的对称性，就将二维离散傅里叶 变换对定义为：
《数字图像处理》研究生课程
第6章频域图像增强
例
128*128 原始图像
理想低通滤波后图像 （模糊和振铃现象）
10
讨论题
〔数字信号处理〕
理想的低通滤波 器在工程上是不存在的，为 什么？
理想低通滤波器的单位取样响应hd（n)为无限 长、非因果序列，实际工程中是不可实现的。
11
• 1.理想的低通滤波器是 不存在的，实际工程中 如何实现低通滤波？
35
例
原始图像
一副图像在获得时 由于光照不均匀或光动 态范围过大而使图像的 某些细节分辨不清，为 消除这种光照影响可以 用同态滤波来解决。在 动态范围压缩的同时， 使对比度增加。
36
光照下获得景物图像模型：
f(x,y)=i(x,y) r(x,y)
其中： f(x,y)为所获得图像. i(x,y)为入射光随坐标（x,y)不同的照 度分量. r(x,y)为从景物反射到眼睛的反射分量.
同态滤波步骤：
f(x,y)=i(x,y) r(x,y)
(1)将上式两边取对数： lnf(x,y)=lni(x,y)+lnr(x,y) (2)将上式两边取傅立叶变换,从空域到频域： F(u,v)=I(u,v)+R(u,v) (3)在频域中用转移函数处理F(u,v)： H(u,v)F(u,v)=H(u,v)I(u,v)+H(u,v)R(u,v) (4)将上式两边取傅立叶反变换,从频域到空域： hf(x,y)=hi(x,y)+hr(x,y) (5)将上式两边取指数： g(x,y)=exp|hf(x,y)| =exp|hi(x,y)|+exp|hr(x,y)|
从透视图可以看出两个透视图可以合 成一个高度为H(u,v)的方体。
28
带阻滤波器转移函数： 0 D1(u,v) ≤ D0 或 D2(u,v) ≤ D0 H(u,v) 1 其他 其中：D1(u,v)=[(u-u0)2+(v-v0)2)1/2,是频域中以(u0,v0)
第4章-图像增强(频率域)
傅立叶反变换还原空间域函数的过程如下：
x
f ( x )曲线图
12.81
2.468
F (u)
u
频谱图
……
F(0)
F(0)+ F(1)
F(0)+ …+ F(14) F(0)+ …+ F(15)
结论：
① 空间域函数 f (x, y)可以通过傅立叶变换，转 换成频率域函数F(u)。
x
一般地，低频成分描述曲线的大致轮廓，高
例如： 一幅 512×512 的图像，不用 FFT 计算，需要计算： 2×（512×512）2 = 137438953472 复数乘法和加法, 按0.1微秒完成一次运算，耗时约3.82小时； 采用 FFT 计算，需要计算： (512×512) log2(237) = 9699328 次复数乘法和加法， 按0.1微秒完成一次运算，耗时约0.97秒；
在频域中，图像用如下二维函数描述：
F( u , v ) , 0≤u＜M, 0≤v＜N
其中，u , v 分别为水平变化频率和垂直变化频率；
F ( u , v )为图像中含有( u , v ) 频率的幅度；
M、 N 分别为最高水平变化频率和最高垂直变化频率，在数
量上等于图像的宽、高。
在频率域描述图像，从数量的角度揭示了图像内容沿空间位置的变化 情况，是分析和处理图像的有力工具。
4.1 图像变换概述 4.2 傅立叶变换 4.3 小波变换简介
4.1 图像变换概述
4.1.1 基本概念 一幅静止图像，可以在空间域描述，也可以在频率域描述。
空间域描述是指：像素的值是空间坐标的函数。 在直角坐标系中，一幅图像可表示为：
f ( x , y ) , 0≤x＜M, 0≤y＜N
x
f ( x )曲线图
12.81
2.468
F (u)
u
频谱图
……
F(0)
F(0)+ F(1)
F(0)+ …+ F(14) F(0)+ …+ F(15)
结论：
① 空间域函数 f (x, y)可以通过傅立叶变换，转 换成频率域函数F(u)。
x
一般地，低频成分描述曲线的大致轮廓，高
例如： 一幅 512×512 的图像，不用 FFT 计算，需要计算： 2×（512×512）2 = 137438953472 复数乘法和加法, 按0.1微秒完成一次运算，耗时约3.82小时； 采用 FFT 计算，需要计算： (512×512) log2(237) = 9699328 次复数乘法和加法， 按0.1微秒完成一次运算，耗时约0.97秒；
在频域中，图像用如下二维函数描述：
F( u , v ) , 0≤u＜M, 0≤v＜N
其中，u , v 分别为水平变化频率和垂直变化频率；
F ( u , v )为图像中含有( u , v ) 频率的幅度；
M、 N 分别为最高水平变化频率和最高垂直变化频率，在数
量上等于图像的宽、高。
在频率域描述图像，从数量的角度揭示了图像内容沿空间位置的变化 情况，是分析和处理图像的有力工具。
4.1 图像变换概述 4.2 傅立叶变换 4.3 小波变换简介
4.1 图像变换概述
4.1.1 基本概念 一幅静止图像，可以在空间域描述，也可以在频率域描述。
空间域描述是指：像素的值是空间坐标的函数。 在直角坐标系中，一幅图像可表示为：
f ( x , y ) , 0≤x＜M, 0≤y＜N
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理想低通滤波器
第一幅图为理想低通滤波器变换函数的透视图 第二幅图为图像形式显示的滤波器 第三幅图为滤波器径向横截面
振铃
附录
产生的原因图像在处理过程中的信息量的丢失，尤其是高频 信息的丢失
由卷积定理可知，频率域下的理想低通滤波器H(u, v)必定存在 一个空间域下与之对应的滤波函数h(x, y)，且可以通过对H(u,v)作傅 里叶逆变换求得。产生振铃效应的原因就在于，理想低通滤波器在 频率域下的分布十分线性（在D0处呈现出一条垂直的线，在其他频 率处呈现出一条水平的线），那么不难想象出对应的h(x,y)将会有类 似于sinc函数那样周期震荡的空间分布特性。正是由于理想低通滤 波器的空间域表示有类似于sinc函数的形状，位于正中央的突起使 得理想低通滤波器有模糊图像的功能，而外层的其他突起则导致理 想低通滤波器会产生振铃效应。
理想低通滤波器
截止频率 为分别设 置为
10,30,60,1 60和460
由于高频成分包含有大量的边缘信息，因此采用该滤波器在去 噪声的同时将会导致边缘信息损失而使图像边模糊。
布特沃斯低通滤波器
n阶布特沃斯滤波器的传递函数为：
D0是截止频率。对于这个点的定义，我们可以这样理解，使 H（u，v）下降为最大值的某个百分比的点。
我们可以从两者之间的剖面图进行比较，GLPF没有 BLPF那样紧凑。 但是重要的是，GLPF中没有振铃。
截止 频率 分别 为
10,30 ,60,1 60和 460
比较
2阶布特沃斯低通滤波
高斯低通滤波
梯形低通滤波器
梯形低通滤波器是理想低通滤波器和完全平滑滤波器的折 中。它的传递函数为：
低通滤波器
应用： 字符识别的应用 印刷和出版业 卫星图像和航空图像的处理
左图为字符断裂
右图为卫星和航空图像
高通滤波
频率域的锐化
图像的边缘、细节主要位于高频部分，而图像的模糊 是由于高频成分比较弱产生的。频率域锐化就是为了消除 模糊，突出边缘。因此采用高通滤波器让高频成分通过， 使低频成分削弱，再经逆傅立叶变换得到边缘锐化的图像。
• 理想低通滤波器 • 布特沃斯低通滤波器 • 高斯低通滤波器 • 梯形滤波器
理想低通滤波器
以原点为圆心，以D0为半径的圆内，无衰减地通过所有频率，而在圆 外切断所有频率的二维低通滤波器，成为理想低通滤波器。
D0是一个正常数，D（u，v）是频率域中心点（u，v）与频率矩形 中心的距离
D（u，v）=[(u-P/2)2+(v-Q/2)2]0.5
高斯低通滤波器
高斯低通滤波器是图像处理中常用的另一种平滑滤波器。 它的传递函数为：
H（u，v）=e-D2（u，v）/2D02
D0是截止频率，当D（u，v）=D0时，GLPF下降到其最大 值的0.607处。
高斯低通滤波器
如之前一样，分别是透视图，图像显示和径向剖面图 与BLPF相比，对于相同的截止频率，平滑效果稍弱。
30,
80
结论
理想高通滤波第一幅图振铃现象相当严重，以 至于产生了失真，物体的边界也被加粗了。当D0 逐渐增加时，边缘更清晰，失真更小，而且较小 的物体已被正确滤除。
常用的高通滤波器有：
• 理想高通滤波器 • Butterworth高通滤波器 • 指数高通滤波器(高斯低通
滤波器) • 梯形滤高通波器
理想高通滤波器
二维理想高通滤波器的传递函数为
布特沃斯高通滤波器
n阶巴特沃斯高通滤波器的传递函数定义如下 H(u，v)=1/[1+( D0/D(u，v))2n]
高斯高通滤波器5ຫໍສະໝຸດ 低通滤波频率域的平滑
图像的平滑除了在空间域中进行外，也可以在频率域中进行。由于
噪声主要集中在高频部分，为去除噪声改善图像质量，滤波器采用低通 滤波器H(u,v)来抑制高频成分，通过低频成分，然后再进行逆傅立叶变 换获得滤波图像，就可达到平滑图像的目的。常用的频率域低滤波器 H(u,v)有四种
低通滤波器
4
频率域滤波步骤
1. 大小为M*N的输入图像f（x，y），得到填充参数P=2M，Q=2N 2. 形成大小为P*N的图像fp(x，y) 3. 用（-1）x+y乘fp(x，y)移到变换的中心。 4. 计算3中的图像DFT，得到F（u，v） 5. 滤波函数H（u，v）与F（u，v）相乘 6. 对5得出的结果进行IDFT，并选择其中的实部。 7. 从6得出的左上限提取M*N区域，得到最终处理的图像
高斯高通滤波器的传递函数为
H（u，v）=1-e-D2（u，v）/2D02
从上到下依次 为理想高通滤 波器、布特沃 斯高通滤波器 以及高斯高通 滤波器
高通滤波器
从左往右依次为 透视图、图像表 示和剖面图
2019/11/15
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23
对比
理想高通滤 波
2阶布特沃斯 高通滤波
高斯高通滤 波
D0 从 左 往 右 分 别 为 15，
布特沃斯低通滤波器
它的特性是连续性衰减，而不象理想滤波器那样陡峭变化，即 明显的不连续性。因此采用该滤波器滤波在抑制噪声的同时，图像 边缘的模糊程度大大减小，没有振铃效应产生。
但是当阶数逐渐变大时，振铃将会变得明显。 二阶是有效的低通滤波和可接受振铃之间好的折中。
阶数分别 为 1,2,5,20
可用于平滑处理，如图像由于量化不足产生的虚假轮廓，常可 用低通滤波进行平滑处理改进质量，通常布特沃斯低通滤波器好于 理想低通滤波。
2
滤波公式
频率域滤波基础
g（x，y）=ζ -1[H(u,v)F(u,v)]
ζ -1 是IDFT，F（u，v）是输入图像f（x，y）的DFT， H（u，v）是滤波函数，g（x，y）是滤波后的输出图像。
DFT
H(u，v)
IDFT
f(x，y) F(u，v)
F(u，v)H(u，v) g(x，y)
滤波
原图像为f(x，y)，经傅立叶变换为F(u，v)。频率域增强就是选 择合适的滤波器H(u,v)对F(u,v)的频谱成分进行处理，然后经逆傅立 叶变换得到增强的图像g(x,y)。
频率域图像增强
图像增强
康祎
主题
图像增强的目的主要包括：①消除噪声，改善图像的视觉 效果；②突出边缘，有利于识别和处理。前面是关于图像空间 域增强的知识，下面介绍频率域增强的方法。
频率域增强是对图像经傅立叶变换后的频谱成分进行处理， 然后逆傅立叶变换获得所需的图像。
频率域
1. 低通滤波 2. 高通滤波 3. 同态滤波增强