杨浦区第二学期八年级数学期末卷
2019-2020学年下海市杨浦区八年级第二学期期末达标检测数学试题含解析
2019-2020学年下海市杨浦区八年级第二学期期末达标检测数学试题一、选择题（每题只有一个答案正确）1．电影院里的座位按“×排×号”编排，小明的座位简记为(12，6)，小菲的座位简记为(12，12)，则小明与小菲坐的位置为( )A．同一排B．前后同一条直线上 C．中间隔六个人D．前后隔六排2．下列四个图形中，既是轴对称又是中心对称的图形是（）A．4个B．3个C．2个D．1个3．已知2是关于x的方程x2﹣2ax+4=0的一个解，则a的值是（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM 是菱形．乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．根据两人的作法可判断（）A．甲正确，乙错误B．乙正确，甲错误C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相较于点O，BD＝8，BC＝5，AE⊥BC于点E，则AE的长为( )A．5 B．125C．245D．1856．如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD7．函数y 5x 1=-中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＞1B ．x ＜1C ．1x 5≥D ．1x 5≥- 8．下列各组数中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ）A ．3、4、5B ．5、12、13C ．325、、D ．7、24、259．在平行四边形ABCD 中，若∠B=135°，则∠D=（ ）A ．45°B ．55°C ．135°D ．145° 10．一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题11．直角三角形中，两条直角边长分别为12和5，则斜边上的中线长是________．12．若一次函数()21y k x =-+的函数值y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是_____.13．观察下列各式：32=4+5，52=12+13，72=24+25，92=40+41…根据发现的规律得到132= ____ + ____． 14．如图，在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ．如果AC=8，BD=14，AB=x ，那么x 的取值范围是____．15．如图放置的两个正方形，大正方形ABCD 边长为a ，小正方形CEFG 边长为b(a ＞b)，M 是BC 边上一个动点，联结AM ，MF ，MF 交CG 于点P ，将△ABM 绕点A 旋转至△ADN ，将△MEF 绕点F 旋转恰好至△NGF ．给出以下三个结论：①∠AND ＝∠MPC ； ②△ABM ≌△NGF ；③S 四边形AMFN ＝a 1+b 1．其中正确的结论是_____(请填写序号)．16．若数a 使关于x 的不等式组11+2352x x x x a-⎧⎪⎨⎪-≥+⎩＜有且只有四个整数解，且使关于y 的方程211y a a y y ++--＝2的解为非负数，则符合条件的所有整数a 的和为_____．171x +有意义，则x 的取值范围为___． 三、解答题18．如图，在▱ABCD 中，CE 平分∠BCD ，交AD 于点E ，DF 平分∠ADC ，交BC 于点F ，CE 与DF 交于点P ，连接EF ，BP ．(1)求证：四边形CDEF 是菱形；(2)若AB ＝2，BC ＝3，∠A ＝120°，求BP 的值．19．（6分）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的3分内只进水不出水，在随后的9分内既进水又出水，每分的进水量和出水量都是常数．容器内的水量y （单位：升）与时间x （单位：分）之间的关系如图所示．①当0≤x≤3时，求y 与x 之间的函数关系．②3＜x≤12时，求y 与x 之间的函数关系．③当容器内的水量大于5升时，求时间x 的取值范围．20．（6分）解下列方程：（1）22122x x x-=--； （2）2660x x -+=. 21．（6分）如图，ABCD ◇的对角线AC 、BD 相交于点O ，AE=CF ．（1）求证：BOE DOF △≌△；（2）若BD=EF ，连接BE 、BF ，判断四边形BEDF 的形状，并说明理由．22．（8分）已知x=2+1，y=2-1，求x y y x-的值． 23．（8分）已知：如图，在ABC ∆中，,36AB AC B =∠=︒。
杨浦八年级数学期末试卷
一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列数中，是质数的是（）A. 17B. 18C. 19D. 202. 一个长方形的长是10cm，宽是6cm，那么它的周长是（）A. 26cmB. 32cmC. 34cmD. 36cm3. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. 正方形B. 等腰三角形C. 长方形D. 梯形4. 下列方程中，x=3是它的解的是（）A. 2x + 5 = 11B. 3x - 2 = 7C. 4x + 1 = 15D. 5x - 3 = 125. 如果a > b，那么下列不等式中正确的是（）A. a + 2 > b + 2B. a - 2 < b - 2C. a + 2 < b + 2D. a - 2 > b - 2二、填空题（每题5分，共20分）6. 一个等腰三角形的底边长为8cm，腰长为10cm，那么这个三角形的周长是______cm。
7. 2的平方根是______，3的立方根是______。
8. （-5）的相反数是______，0的倒数是______。
9. 如果a = -3，那么a的平方是______。
10. （3x + 2）-（2x - 5）=______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 计算下列各式的值：（1）(-3)² × (-2)³（2）-2(5 - 3x) + 4x12. 解下列方程：（1）2x - 5 = 3（2）3(x - 2) + 2 = 4x + 113. 已知一个等腰三角形的底边长为8cm，腰长为10cm，求这个三角形的面积。
四、应用题（每题10分，共20分）14. 小明家装修，需要购买地砖。
已知地砖的边长为0.5m，小明家客厅的长为4m，宽为3m，请计算小明家需要购买多少块地砖。
15. 学校举行篮球比赛，甲队与乙队进行单循环比赛，共进行了5场比赛。
已知甲队赢了3场，请问乙队赢了多少场？答案：一、选择题1. A2. B3. D4. C5. A二、填空题6. 28cm7. -2，1.7328. 5，不存在9. 9 10. x + 7三、解答题11. （1）-24 （2）4x - 112. （1）x = 4 （2）x = 313. 三角形面积 = (底边长× 高) / 2 = (8cm × 10cm) / 2 = 40cm²四、应用题14. 小明家客厅面积 = 长× 宽= 4m × 3m = 12m²地砖面积= 0.5m × 0.5m = 0.25m²所需地砖块数 = 客厅面积 / 地砖面积= 12m² / 0.25m² = 48块15. 甲队赢了3场，乙队赢了5 - 3 = 2场。
杨浦初二期末数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，属于有理数的是（）A. √2B. πC. 0.1010010001……D. -32. 已知x² - 5x + 6 = 0，则x的值为（）A. 2，3B. 1，6C. 2，-3D. 1，-63. 下列函数中，y是x的一次函数的是（）A. y = x² + 1B. y = 2x - 3C. y = √xD. y = 1/x4. 在平面直角坐标系中，点A（-2，3）关于y轴的对称点是（）A.（-2，-3）B.（2，3）C.（2，-3）D.（-2，-3）5. 一个等腰三角形的底边长为8cm，腰长为10cm，则这个三角形的周长是（）A. 24cmB. 28cmC. 32cmD. 36cm6. 已知a，b，c是等差数列，且a+b+c=9，a+c=5，则b的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 下列各式中，能够化简为同类二次根式的是（）A. √9 + √16B. √25 - √4C. √36 + √1D. √81 - √98. 下列图形中，面积最大的是（）A. 正方形B. 长方形C. 等腰三角形D. 梯形9. 在△ABC中，∠A=45°，∠B=90°，∠C=45°，则△ABC是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形10. 下列各数中，不是实数的是（）A. √4B. √-1C. -√9D. √-4二、填空题（每题3分，共30分）11. 3x² - 6x + 3的因式分解为______。
12. 已知a² + b² = 25，a - b = 3，则a + b的值为______。
13. 函数y = 2x + 1在x=2时的函数值为______。
14. 在平面直角坐标系中，点P（3，-4）到原点O的距离为______。
15. 等腰三角形底边长为10cm，腰长为8cm，则这个三角形的面积是______cm²。
2019-2020学年上海市杨浦区八年级(下)期末数学试卷 (教师版)
2019-2020学年上海市杨浦区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）1．（3分）一次函数y＝2x﹣3的图象在y轴的截距是（）A．2B．﹣2C．3D．﹣32．（3分）一次函数y＝x﹣1的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（3分）下列方程组是二元二次方程组的是（）A．B．C．D．4．（3分）如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形5．（3分）下列事件为必然事件的（）A．方程x2+1＝0在实数范围内有解B．抛掷一枚硬币，落地后正面朝上C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线互相垂直的四边形是菱形6．（3分）如果点C、D在线段AB上，|AC|＝|BD|，那么下列结论中正确的是（）A．与是相等向量B．与是相等向量C．与是相反向量D．与是平行向量二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）7．（2分）已知一次函数y＝（k﹣1）x+2的图象与直线y＝3x平行，那么k＝．8．（2分）已知一次函数y＝（1﹣2m）x+m，函数值y随自变量x的值增大而减小，那么m 的取值范围是．9．（2分）方程x3﹣27＝0的根是．10．（2分）方程＝x的根是．11．（2分）二元二次方程x2﹣xy﹣6y2＝0可以化为两个一次方程，它们是．12．（2分）已知方程，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是．13．（2分）一个不透明的口袋中，装有白球4个，黑球3个，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，则摸到黑球的可能性是．14．（2分）在元旦前夕，某通讯公司的每位员工都向本公司的其他员工发出了1条祝贺元旦的短信．已知全公司共发出2450条短信，那么这个公司有员工人．15．（2分）在平行四边形ABCD中，如果∠B＝3∠A，那么∠A＝度．16．（2分）如果菱形边长为13，一条对角线长为10，那么它的面积为．17．（2分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝4，AC⊥AB，那么梯形ABCD 的周长＝．18．（2分）已知在直线l上有A、B两点，AB＝1，以AB为边作正方形ABCD，联结BD，将BD绕着点B旋转，使点D落在直线l上的点E处，那么AE＝．三、解答题（本大题共6题，满分40分）19．（6分）解方程：﹣＝120．（6分）解方程组：21．（6分）如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AB＝DC，点E在边BC上，DE∥AB，请回答下列问题：（1）写出所有与互为相反的向量是；（2）在图中求作与的和向量：+＝；（3）在图中求作与的差向量：﹣＝；（4）++＝．22．（6分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内任意一点，点D、E、F、G分别是AB、AC、OB、OC的中点，∠A＝2∠BDF．求证：四边形DEGF是矩形．23．（8分）某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6千米，返回时由于步行速度比去时每小时少1千米，结果时间比去时多用了半小时，求学生返回时步行的速度．24．（8分）某市为鼓励市民节约用水和加强对节水的管理，制订了以下每年每户用水的收费标准：①用水量不超过220立方米时，每立方米收费1.92元，并加收每立方米1.53元的污水处理费；②用水量超过220立方米时，在①的基础上，超过220立方米的部分，每立方米收费3.30元，并加收每立方米1.53元污水处理费；设某户一年的用水量为x立方米，应交水费y元．（1）分别对①、②两种情况，写出y与x的函数解析式，并指出函数的定义域；（2）当某户2019年全年缴纳的水费共计1000.5元时，求这户2019年全年用水量．四、解答题（本大题共2题满分18分）25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点A（m，2），将直线y＝2x向下平移后与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点P，且△POA的面积为2．（1）求k的值．（2）求平移后的直线的函数解析式．26．（10分）已知在平行四边形ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿直线AC翻折，点B落在点E处，AD与CE相交于点O，联结DE．（1）如图1，求证：AC∥DE；（2）如图2，如果∠B＝90°，AB＝，BC＝，求△OAC的面积；（3）如果∠B＝30°，AB＝2，当△AED是直角三角形时，求BC的长．2019-2020学年上海市杨浦区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）1．（3分）一次函数y＝2x﹣3的图象在y轴的截距是（）A．2B．﹣2C．3D．﹣3【分析】代入x＝0，求出y值，此题得解．【解答】解：当x＝0时，y＝2x﹣3＝﹣3，∴一次函数y＝2x﹣3的图象在y轴的截距是﹣3．故选：D．2．（3分）一次函数y＝x﹣1的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据直线y＝kx+b（k≠0）的k、b的符号判定该直线所经过的象限．【解答】解：∵一次函数y＝x﹣1的1＞0，∴该直线经过第一、三象限．又﹣1＜0，∴该直线与y轴交于负半轴，∴一次函数y＝x﹣1的图象一、三、四象限，即该函数不经过第二象限．故选：B．3．（3分）下列方程组是二元二次方程组的是（）A．B．C．D．【分析】根据二元二次方程组的定义，逐个判断得结论．【解答】解：选项A符合二元二次方程组的概念；选项B含分式方程，选项D含无理方程，故B、C都不是二元二次方程组；选项C是二元一次方程组．故选：A．4．（3分）如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形【分析】利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，然后解方程即可．【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意（n﹣2）•180°＝360°，解得n＝4．故选：A．5．（3分）下列事件为必然事件的（）A．方程x2+1＝0在实数范围内有解B．抛掷一枚硬币，落地后正面朝上C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线互相垂直的四边形是菱形【分析】根据一元二次方程的解法、矩形和菱形的判定定理判断．【解答】解：A、方程x2+1＝0在实数范围内有解，是不可能事件；B、抛掷一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件；C、对角线相等的平行四边形是矩形，是必然事件；D、对角线互相垂直的四边形是菱形，是随机事件；故选：C．6．（3分）如果点C、D在线段AB上，|AC|＝|BD|，那么下列结论中正确的是（）A．与是相等向量B．与是相等向量C．与是相反向量D．与是平行向量【分析】由点C、D在线段AB上，|AC|＝|BD|，可得|AD|＝|BC|，然后根据相等向量、相反向量与平行向量的定义，即可求得答案．注意排除法的应用．【解答】解：∵点C、D在线段AB上，|AC|＝|BD|，∴|AD|＝|BC|．A、与方向相反，∴≠，故本选项错误；B、∵与方向相反，∴≠，故本选项错误；C、∵相反向量是方向相反，模相等的两向量，而|AD|＝|BC|＞|BD|，∴与不是相反向量，故本选项错误；D、∵与共线，∴与是平行向量，故本选项正确．故选：D．二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）7．（2分）已知一次函数y＝（k﹣1）x+2的图象与直线y＝3x平行，那么k＝4．【分析】根据两直线平行，则函数解析式的一次项系数相同，即可确定k的值．【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣1）x+2的图象与直线y＝3x平行，∴k﹣1＝3，∴k＝4，故答案为：4．8．（2分）已知一次函数y＝（1﹣2m）x+m，函数值y随自变量x的值增大而减小，那么m 的取值范围是m．【分析】根据一次函数y＝（1﹣2m）x+m的增减性列出不等式1﹣2m＜0，通过解该不等式即可求得m的取值范围．【解答】解：由题意得，1﹣2m＜0，解得，m＞；故答案为m．9．（2分）方程x3﹣27＝0的根是x＝3．【分析】先移项，再开立方即可．【解答】解：x3﹣27＝0，x3＝27，x＝＝3，故答案为：x＝3．10．（2分）方程＝x的根是x＝2．【分析】先把方程两边平方，使原方程化为整式方程x+2＝x2，解此一元二次方程得到x1＝2，x2＝﹣1，把它们分别代入原方程得到x2＝﹣1是原方程的增根，由此得到原方程的根为x＝2．【解答】解：方程两边平方得，x+2＝x2，解方程x2﹣x﹣2＝0得x1＝2，x2＝﹣1，经检验x2＝﹣1是原方程的增根，所以原方程的根为x＝2．故答案为：x＝2．11．（2分）二元二次方程x2﹣xy﹣6y2＝0可以化为两个一次方程，它们是x﹣3y＝0和x+2y ＝0．【分析】先因式分解二元二次方程，根据两个式子的积为0得结论．【解答】解：因为x2﹣xy﹣6y2＝（x﹣3y）（x+2y），所以x2﹣xy﹣6y2＝0可化为x﹣3y＝0或x+2y＝0．故答案为：x﹣3y＝0和x+2y＝0．12．（2分）已知方程，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是3y2+3y﹣2＝0．【分析】由设出的y，将方程左边前两项代换后，得到关于y的方程，去分母整理即可得到结果．【解答】解：设y＝，方程﹣+3＝0变形为3y﹣+3＝0，整理得：3y2+3y﹣2＝0．故答案为：3y2+3y﹣2＝013．（2分）一个不透明的口袋中，装有白球4个，黑球3个，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，则摸到黑球的可能性是．．【分析】先求出所有球的个数与黑球的个数，再根据概率公式解答即可．【解答】解：∵共4+3＝7个球在袋中，其中3个黑球，∴摸到黑球的概率为．故答案为：．14．（2分）在元旦前夕，某通讯公司的每位员工都向本公司的其他员工发出了1条祝贺元旦的短信．已知全公司共发出2450条短信，那么这个公司有员工50人．【分析】设这个公司有员工x人，则每人需发送（x﹣1）条祝贺元旦的短信，根据全公司共发出2450条短信，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设这个公司有员工x人，则每人需发送（x﹣1）条祝贺元旦的短信，依题意，得：x（x﹣1）＝2450，解得：x1＝50，x2＝﹣49（不合题意，舍去）．故答案为：50．15．（2分）在平行四边形ABCD中，如果∠B＝3∠A，那么∠A＝45度．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，即可得∠A＝∠C，∠B＝∠D，又由∠A+∠B＝180°，即可求得答案．【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，∵∠B＝3∠A，A+∠B＝180°，∴∠A＝45°．故答案为：45．16．（2分）如果菱形边长为13，一条对角线长为10，那么它的面积为120．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，得已知对角线的一半是5．根据勾股定理，得要求的对角线的一半是12，则另一条对角线的长是24，进而求出菱形的面积．【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝13，AC＝10，∵对角线互相垂直平分，∴∠AOB＝90°，AO＝5，在Rt△AOB中，BO＝＝12，∴BD＝2BO＝24．∴则此菱形面积是＝120，故答案为：120．17．（2分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝4，AC⊥AB，那么梯形ABCD 的周长＝20．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA，根据平行线的性质得到∠DAC ＝∠ACB，得到∠DCA＝∠ACB，根据直角三角形的性质列式求出∠BCA＝30°，根据直角三角形的性质求出BC，根据梯形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠DCA＝∠ACB，∵AD∥BC，AB＝DC，∴∠B＝∠BCD＝2∠ACB，∵AC⊥AB，∴∠B+∠BCA＝90°，即3∠BCA＝90°，∴∠BCA＝30°，∴BC＝2AB＝8，∵AB＝AD＝DC＝4，BC＝8，∴梯形的周长＝4+4+4+8＝20，故答案为：20．18．（2分）已知在直线l上有A、B两点，AB＝1，以AB为边作正方形ABCD，联结BD，将BD绕着点B旋转，使点D落在直线l上的点E处，那么AE＝+1或．【分析】分两情况，当点E在AB的延长线上，当点E在BA的延长线上，由勾股定理求出BD的长，则可得出答案．【解答】解：如图1，当点E在AB的延长线上，∵正方形ABCD中，AB＝AD＝1，∠DAB＝90°，∴BD＝＝，∵将BD绕着点B旋转，使点D落在直线l上的点E处，∴BD＝BE＝，∴AE＝AB+BE＝1+；如图2，当点E在BA的延长线上，同理可得BD＝BE＝，∴AE＝BE﹣AB＝﹣1．∴AE的长为+1或﹣1．故答案为：+1或﹣1．三、解答题（本大题共6题，满分40分）19．（6分）解方程：﹣＝1【分析】将方程化为＝+1，然后两边平方即可求出答案．【解答】解：＝+1x+2＝x+2+11＝220．（6分）解方程组：【分析】解①，用含y的代数式表示x，然后代入②求出y，再求出方程组的解．【解答】解：，由①，得x（x+y）＝0，所以x＝0或x＝﹣y．把x＝0代入②，得2y2＝6，解得y＝．把x＝﹣y代入②，得y2+3y2+2y2＝6，整理，得y2＝1，所以y＝±1．所以x＝﹣1或1．故原方程组的解为：，，，21．（6分）如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AB＝DC，点E在边BC上，DE∥AB，请回答下列问题：（1）写出所有与互为相反的向量是或；（2）在图中求作与的和向量：+＝；（3）在图中求作与的差向量：﹣＝；（4）++＝．【分析】（1）根据相反向量的定义判断即可．（2）利用三角形法则计算即可．（3）利用三角形法则计算即可．（4）利用三角形法则计算即可．【解答】解：（1）∵AD∥BC，AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形，∴AB＝DE，∴与互为相反的向量是或．故答案为或．（2）由题意，+＝+＝，故答案为．（3）由题意，﹣＝+＝，故答案为．（4）由题意++＝，故答案为．22．（6分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内任意一点，点D、E、F、G分别是AB、AC、OB、OC的中点，∠A＝2∠BDF．求证：四边形DEGF是矩形．【分析】易证DE是△ABC的中位线，FG是△OBC的中位线，推出∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，DE∥FG，DE＝FG，则四边形DEGF是平行四边形，由AB＝AC，得∠ABC＝∠ACB，则∠ADE＝∠AED，证∠ADE+∠A＝90°，∠ADE+∠BDF＝90°，推出∠EDF＝90°，即可得出结论．【解答】证明：∵点D、E、F、G分别是AB、AC、OB、OC的中点，∴DE是△ABC的中位线，FG是△OBC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，FG∥BC，FG＝BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，DE∥FG，DE＝FG，∴四边形DEGF是平行四边形，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ADE＝∠AED，∵∠ADE+∠AED+∠A＝180°，即2∠ADE+∠A＝180°，∴∠ADE+∠A＝90°，∵∠A＝2∠BDF，∴∠BDF＝∠A，∴∠ADE+∠BDF＝90°，∴∠EDF＝180°﹣∠ADE﹣∠BDF＝180°﹣90°＝90°，∴四边形DEGF是矩形．23．（8分）某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6千米，返回时由于步行速度比去时每小时少1千米，结果时间比去时多用了半小时，求学生返回时步行的速度．【分析】设学生返回时步行的速度为x千米/小时，则去时步行的速度为（x+1）千米/小时，根据时间＝路程÷速度结合返回时比去时多用了半小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设学生返回时步行的速度为x千米/小时，则去时步行的速度为（x+1）千米/小时，依题意，得：﹣＝，整理，得：x2+x﹣12＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣4，经检验，x1＝3，x2＝﹣4是原方程的解，x1＝3符合题意，x2＝﹣4不符合题意，舍去．答：学生返回时步行的速度为3千米/小时．24．（8分）某市为鼓励市民节约用水和加强对节水的管理，制订了以下每年每户用水的收费标准：①用水量不超过220立方米时，每立方米收费1.92元，并加收每立方米1.53元的污水处理费；②用水量超过220立方米时，在①的基础上，超过220立方米的部分，每立方米收费3.30元，并加收每立方米1.53元污水处理费；设某户一年的用水量为x立方米，应交水费y元．（1）分别对①、②两种情况，写出y与x的函数解析式，并指出函数的定义域；（2）当某户2019年全年缴纳的水费共计1000.5元时，求这户2019年全年用水量．【分析】（1）由题意列出y关于x的函数解析式，根据限制条件写出函数定义域．（2）由交费可知说明该户用水量已超过220立方米，把数值代入函数关系式．【解答】解：（1）情况①：y＝（1.92+1.53）x，即y＝3.45x（0＜x≤220），情况②：y＝220×（1.92+1.53）+（x﹣220）（3.30+1.53），即所求的函数解析式为y＝4.83x﹣303.6（x＞220）；（2）当该户一个月应交水费为1000.5元时，说明该户用水量已超过220立方米，则4.83x﹣303.6＝1000.5，解得x＝270．答：该户一个月的用水量为270立方米．四、解答题（本大题共2题满分18分）25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点A（m，2），将直线y＝2x向下平移后与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点P，且△POA的面积为2．（1）求k的值．（2）求平移后的直线的函数解析式．【分析】（1）由点A的纵坐标求得m，即点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数中即可；（2）方法一、先求出PM，再求出BN然后用锐角三角函数求出OB，即可．方法二、先设出点P的坐标，利用△POA的面积为2．建立方程求出点P的坐标，即可得出结论．方法3，先判断出S△AOP＝S梯形AMNP，再同方法二，即可得出结论．【解答】解：（1）∵点A（m，2）在直线y＝2x，∴2＝2m，∴m＝1，∴点A（1，2），∵点A（1，2）在反比例函数y＝上，∴k＝2，（2）方法一、如图，设平移后的直线与y轴相交于B，过点P作PM⊥OA，BN⊥OA，AC⊥y轴由（1）知，A（1，2），∴OA＝，sin∠BON＝sin∠AOC＝＝，∵S△POA＝OA×PM＝×PM＝2，∴PM＝，∵PM⊥OA，BN⊥OA，∴PM∥BN，∵PB∥OA，∴四边形BPMN是平行四边形，∴BN＝PM＝，∵sin∠BON＝＝＝，∴OB＝4，∵PB∥AO，∴B（0，﹣4），∴平移后的直线PB的函数解析式y＝2x﹣4，方法二、如图1，过点P作PC⊥y轴交OA于C，设点P的坐标为（n，）（n＞1），∴C（，），∴PC＝n﹣，∵△POA的面积为2．A（1，2）∴S△POA＝S△PCO+S△PCA＝（n﹣）×+（n﹣）（2﹣）＝（n﹣）×2＝n﹣＝2，∴n＝1﹣（舍）或n＝1+，∴P（1+，2﹣2）∴PB∥AO，∴设直线PB的解析式为y＝2x+b，∵点P在直线PB上，∴2﹣2＝2（1+）+b，∴b＝﹣4，∴平移后的直线PB的函数解析式y＝2x﹣4，方法3，过点A作AM⊥x轴于M，过点P作PN⊥x轴于N，∵点A，P是反比例函数y＝图象上，∴S△AOM＝S△PON，∴S△AOP＝S梯形AMNP＝2，∵A（1，2），∴AM＝2，OM＝1，设点P（m，），（m＞1）∴ON＝m，PN＝，∴MN＝m﹣1，∴S梯形AMNP＝（PN+AM）×MN＝（+2）×（m﹣1）＝2，∴m＝1﹣（舍）或m＝1+，∴P（1+，2﹣2）∴PB∥AO，∴设直线PB的解析式为y＝2x+b，∵点P在直线PB上，∴2﹣2＝2（1+）+b，∴b＝﹣4，∴平移后的直线PB的函数解析式y＝2x﹣4，26．（10分）已知在平行四边形ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿直线AC翻折，点B落在点E处，AD与CE相交于点O，联结DE．（1）如图1，求证：AC∥DE；（2）如图2，如果∠B＝90°，AB＝，BC＝，求△OAC的面积；（3）如果∠B＝30°，AB＝2，当△AED是直角三角形时，求BC的长．【分析】（1）由折叠的性质得∠ACB＝∠ACE，BC＝EC，由平行四边形的性质得AD＝BC，AD∥BC．则EC＝AD，∠ACB＝∠CAD，得∠ACE＝∠CAD，证出OA＝OC，则OD＝OE，由等腰三角形的性质得∠ODE＝∠OED，证出∠CAD＝∠ACE＝∠OED＝∠ODE，即可得出结论；（2）证四边形ABCD是矩形，则∠CDO＝90°，CD＝AB＝，AD＝BC＝，设OA ＝OC＝x，则OD＝﹣x，在Rt△OCD中，由勾股定理得出方程，求出OA＝，由三角形面积公式即可得出答案；（3）分两种情况：∠EAD＝90°或∠AED＝90°，需要画出图形分类讨论，根据含30°角的直角三角形的性质，即可得到BC的长．【解答】（1）证明：由折叠的性质得：△ABC≌△△AEC，∴∠ACB＝∠ACE，BC＝EC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC．∴EC＝AD，∠ACB＝∠CAD，∴∠ACE＝∠CAD，∴OA＝OC，∴OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∵∠AOC＝∠DOE，∴∠CAD＝∠ACE＝∠OED＝∠ODE，∴AC∥DE；（2）解：∵平行四边形ABCD中，∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴∠CDO＝90°，CD＝AB＝，AD＝BC＝，由（1）得：OA＝OC，设OA＝OC＝x，则OD＝﹣x，在Rt△OCD中，由勾股定理得：（）2+（﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴OA＝，∴△OAC的面积＝OA×CD＝××＝；（3）解：分两种情况：①如图3，当∠EAD＝90°时，延长EA交BC于G，∵AD＝BC，BC＝EC，∴AD＝EC，∵AD∥BC，∠EAD＝90°，∴∠EGC＝90°，∵∠B＝30°，AB＝2，∴∠AEC＝30°，∴GC＝EC＝BC，∴G是BC的中点，在Rt△ABG中，BG＝AB＝3，∴BC＝2BG＝6；②如图4，当∠AED＝90°时∵AD＝BC，BC＝EC，∴AD＝EC，由折叠的性质得：AE＝AB，∴AE＝CD，在△ACE和△CAD中，，∴△ACE≌△CAD（SSS），∴∠ECA＝∠DAC，∴OA＝OC，∴OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE，∴∠AED＝∠CDE，∵∠AED＝90°，∴∠CDE＝90°，∴AE∥CD，又∵AB∥CD，∴B，A，E在同一直线上，∴∠BAC＝∠EAC＝90°，∵Rt△ABC 中，∠B＝30°，AB＝2，∴AC＝AB＝2，BC＝2AC＝4；的长为4或6．综上所述，当△AED是直角三角形时，BC。
杨浦区期末八年级数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知一个等边三角形的边长为a，则其周长为（）A. 3aB. 2aC. aD. a/22. 下列选项中，能表示圆的方程是（）A. x² + y² = 1B. x² + y² = 4C. x² + y² = 9D. x² + y² = 163. 已知一次函数y=kx+b的图象经过点（2，3），则k+b的值为（）A. 5B. 4C. 3D. 24. 在直角坐标系中，点A（-1，2）关于y轴的对称点为（）A. （1，2）B. （-1，-2）C. （-1，2）D. （1，-2）5. 已知正方形的对角线长度为4，则其边长为（）A. 2B. 4C. 6D. 86. 已知等腰三角形底边长为6，腰长为8，则其高为（）A. 2B. 4C. 6D. 87. 下列选项中，能表示正比例函数的是（）A. y=2x+3B. y=x²C. y=3/xD. y=2x8. 在等差数列中，已知首项为2，公差为3，则第10项为（）A. 29B. 30C. 31D. 329. 已知一次函数y=kx+b的图象经过点（0，1），则k+b的值为（）A. 1B. 0C. -1D. 210. 在直角坐标系中，点B（3，-4）关于x轴的对称点为（）A. （3，4）B. （-3，-4）C. （-3，4）D. （3，-4）二、填空题（每题3分，共30分）11. 已知等边三角形的边长为a，则其面积S为______。
12. 下列方程中，表示圆的方程是______。
13. 一次函数y=kx+b的图象经过点（2，3），则k+b的值为______。
14. 在直角坐标系中，点A（-1，2）关于y轴的对称点为______。
15. 正方形的对角线长度为4，则其边长为______。
16. 等腰三角形底边长为6，腰长为8，则其高为______。
17. 能表示正比例函数的是______。
2023-2024学年上海市杨浦区八年级(下)期末数学试卷及答案解析
2023-2024学年上海市杨浦区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）1．（3分）下列函数中，一次函数的是（）A．y＝2B．y＝2xC．D．y＝kx+2（k为常数）2．（3分）下列方程中，有实数根的方程是（）A．B．C．x2+1＝0D．x3+1＝03．（3分）下列关于向量的等式中，正确的是（）A．B．C．D．4．（3分）下列事件中，随机事件的是（）A．直线y＝x﹣2与直线y＝2x+1有公共点B．10位学生分3组，至少有一组人数超过3C．任取一个实数，它的平方小于零D．掷一次骰子，向上的一面是6点5．（3分）下列命题中，正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．对角线互相垂直的菱形是正方形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线相等的平行四边形是正方形6．（3分）上海市16个区共约1326条健身步道和绿道，甲、乙两人沿着总长度为9千米的“健身步道“行走，甲的速度是乙的1.5倍，甲比乙提前15分钟走完全程．如果设乙的速度为x千米/时，那么下列方程中正确的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）7．（3分）直线y＝2x﹣1的截距是．8．（3分）方程x3+8＝0的根是．9．（3分）方程＝1的解是．10．（3分）方程组的解是．11．（3分）如果直线y＝x+m﹣1经过第一、三、四象限，那么m的取值范围是．12．（3分）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为．13．（3分）在四张完全相同的卡片上分别印有平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取一张，那么抽到卡片上印有的图案是中心对称图形的概率为．14．（3分）某种型号电视机经过连续两次降价，每台售价由原来1500元降到980元，设平均每次降价的百分率为x，那么可列方程为．15．（3分）如果一个多边形的内角和是1080°，那么这个多边形的边数是．16．（3分）如果一个等腰梯形的周长为50厘米，一条腰长为12厘米，那么这个梯形的中位线长为厘米．17．（3分）已知直线l1：y1＝k1x+b1与直线l2：y2＝k2x+b2，如果满足k1＝b2，k2＝b1，那么直线l1与直线l2称为“互为交换直线”如果直线y＝2x+m与其交换直线分别与y轴交于点A、B，且AB＝1，那么m ＝．18．（3分）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝5，AD＝4，BE平分∠ABC，交边AD于点E．如果△BEC是直角三角形，那么DE的长为．三、解答题（本大题共7题，满分46分）19．（5分）解方程：20．（5分）解方程组：．21．（5分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点．（1）写出图中所有与BE相等的向量：；（2）用图中的向量表示：＝；（3）求作：（不要求写作法，但要写出结论）．22．（5分）A、B两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶．甲车从A城驶往B城，乙车从B城驶往A城，甲车在行驶过程中速度始终不变．甲车距B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系如图．（1）求y关于x的函数解析式；（2）已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶，当乙车与甲车相遇后速度随即改为a（千米/时）并保持匀速行驶，结果比甲车晚40分钟到达终点，求乙车变化后的速度a．23．（8分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，对角线AC、BD相交于点P，点E、F分别是BD、AC的中点，联结EF．（1）求证：EF∥BC；（2）联结AE、DF，如果AE⊥EF，求证：四边形AEFD是矩形．24．（8分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别相交于点A（﹣2，0），点B（0，4）．点C是x轴上一点，点Q是平面内一点，四边形ACBQ是菱形．（1）求点C和点Q的坐标；（2）由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形，对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”；否则叫做“凹多边形”．如果点E是直线x＝1上的一个动点，纵坐标为t，且四边形AECB是凹四边形（线段AE与线段BC没有交点），求t的取值范围．25．（10分）已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E是边AD上的动点，联结BE．线段BE绕点B 顺时针旋转90°，点E落在点F处．（1）如图1，当AE＝1时，求△DEF的面积；（2）设AE＝x，DF＝y，求y关于x的函数关系式和定义域；（3）作∠EBF的平分线与边CD所在直线交于点G，如果DG＝2，求AE的长．2023-2024学年上海市杨浦区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）1．【分析】根据一次函数的定义解答即可．【解答】解：A、y＝2，不符合一次函数的定义，故此选项不符合题意；B、y＝2x属于一次函数，故此选项符合题意；C、y＝是反比例函数，不符合一次函数的定义，故此选项不符合题意；D、当k＝0时，y＝kx+2不是一次函数，故此选项不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了一次函数的定义．解题的关键是掌握一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．2．【分析】根据方程的知识、算术平方根的知识、平方的知识、立方根的知识分别对四个选项进行分析．【解答】解：由分子为0而分母不为0可得分式为0可知A中x无解，不符合题意；由可得：，根据算术平方根的非负性可知B中x无解，不符合题意；由x2+1＝0可得x2＝﹣1，根据平方的非负性可知C中x无解，不符合题意；由x3+1＝0可得x3＝﹣1，x＝﹣1，所以D中x有实数根，符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了方程的知识、算术平方根的知识、平方的知识、立方根的知识．3．【分析】根据平面向量的运算法则逐一判断即可求解．【解答】解：∵，||﹣||＝0，||+||≠0，||＝0，∴选项A、C、D错误，选项B正确，故选：B．【点评】本题考查了平面向量的运算法则，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键．4．【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解：A、直线y＝x﹣2与直线y＝2x+1不平行，所以有公共点，是必然事件，不符合题意；B、10位学生分3组，至少有一组人数超过3是必然事件，不符合题意；C、任取一个实数，它的平方小于零是不可能事件，不符合题意；D、掷一次骰子，向上的一面是6点是随机事件，符合题意；故选：D．【点评】本题考查随机事件、一次函数的性质、两条直线香蕉或平行问题，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．5．【分析】利用矩形、菱形及正方形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、菱形对角线必然互相垂直，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意；D、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意，故选：C．【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解特殊的平行四边形的判定方法，难度不大．6．【分析】由甲、乙速度之间的关系可得出甲的速度为1.5x km/h，利用时间＝路程÷速度，结合甲比乙提前15分钟走完全程，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：∵甲的速度是乙的1.5倍，且乙的速度为x km/h，∴甲的速度为1.5x km/h．依题意得：﹣＝0.25．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）7．【分析】根据截距的定义：直线y＝kx+b中，b就是截距，即可得到答案．【解答】解：令x＝0，得y＝﹣1，∴直线y＝2x﹣1的截距是﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数性质，熟记截距的定义是解题的关键．8．【分析】把方程变形为形为x3＝﹣8，利用立方根求解即可．【解答】解：（法1）方程可变形为x3＝﹣8，因为（﹣2）3＝﹣8，所以方程的解为x＝﹣2．故答案为：x＝﹣2（法2）方程可变形为x3＝﹣8，所以x＝＝﹣2．故答案为：x＝﹣2【点评】本题考查了立方根的意义，解决本题可利用立方的办法．9．【分析】根据无理方程的解法，首先，两边平方，解出x的值，然后，验根解答出即可．【解答】解：，两边平方得，2x﹣3＝1，解得，x＝2；经检验，x＝2是方程的根；故答案为x＝2．【点评】本题考查了无理方程的解法，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法，解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．10．【分析】根据根与系数的关系，x、y可看作方程t2﹣5t+6＝0的两根，利用因式分解法科得到t1＝2，t2＝3，则或．【解答】解：根据题意x、y可看作方程t2﹣5t+6＝0的两根，（t﹣2）（t﹣3）＝0，解得t1＝2，t2＝3，所以或．故答案为或．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了根与系数的关系．11．【分析】根据一次函数的性质和图象在的象限即可列出一元一次不等式，进而求出m的范围．【解答】解：∵1＞0，∴y＝x+m﹣1经过一、三象限，∵y＝x+m﹣1经过第一、三、四象限，∴m﹣1＜0，∴m＜1．故答案为：m＜1．【点评】本题主要考查了一次函数的知识、一元一次不等式的知识，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质．12．【分析】结合已知条件换元后再去分母即可．【解答】解：设y＝，则＝，原方程化为：y+＝3，去分母得：y2+1＝3y，即y2﹣3y+1＝0，故答案为：y2﹣3y+1＝0．【点评】本题考查换元法解分式方程，换元法是解分式方程的常用方法，必须熟练掌握．13．【分析】根据中心对称图形的定义得到平行四边形、矩形、菱形是中心对称图形，然后利用概率的定义计算即可．【解答】解：∵平行四边形、矩形、菱形是中心对称图形，∴抽到的卡片上印有的图案是中心对称图形的概率为＝．故答案为：．【点评】本题考查了求概率的方法：先找出其中某事件所占有的结果数m，然后根据概率的概念计算这个事件的概率为P＝，熟练掌握概率的定义是解题的关键．14．【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出方程1500（1﹣x）2＝980，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，1500（1﹣x）2＝980，故答案为：1500（1﹣x）2＝980．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．15．【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到（n﹣2）×180°＝1080°，然后解方程即可．【解答】解：设这个多边形的边数为n，则（n﹣2）×180°＝1080°，解得n＝8，故这个多边形为八边形．故答案为：八．【点评】本题考查了多边形的内角和定理，关键是根据n边形的内角和为（n﹣2）×180°解答．16．【分析】根据梯形的周长公式列式进行计算即可得到两底的和，再根据梯形的中位线等于两底和的一半求出中位线的长．【解答】解：∵等腰梯形的周长为50厘米，一条腰长为12厘米，∴两底的和＝50﹣12×2＝26（厘米），∴这个梯形的中位线长为×26＝13（厘米），故答案为：13．【点评】本题主要考查了梯形中位线定理，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．17．【分析】由新定义得直线y＝2x+m的交换直线为直线y＝mx+2，可得B（0，2），A（0，m），根据AB ＝1即可求解．【解答】解：由题意得直线y＝2x+m的交换直线为直线y＝mx+2，∵直线y＝2x+m与其交换直线分别与y轴交于点A、B，∴B（0，2），A（0，m），∵AB＝1，∴m＝1或3．故答案为：1或3．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，理解新定义是本题的关键．18．【分析】当△BEC是直角三角形时，有以下两种情况：①当∠BCE＝90°时，过点B作BG⊥DC，交DC延长线于G，先证明四边形ABGD为矩形，得BG＝AD＝4，DG＝AB＝5，设DE＝x，则AE＝4﹣x，再证明△CBE和△ABE全等得BC＝AB＝5，CE＝AE＝4﹣x，由此得CG＝3，CD＝2，然后在Rt△CDE 中，由勾股定理求出x＝1.5，由此可得DE的长；②当∠BEC＝90°时，过点E作EH⊥BC于H，先证明△HBE和△ABE全等得EH＝AE，∠HEB＝∠AEB，再证明△CEH和△CED全等得EH＝DE，由此可得DE＝AE＝AD＝2，综上所述即可得DE的长．【解答】解：依题意得，当△BEC是直角三角形时，有以下两种情况：①当∠BCE＝90°时，过点B作BG⊥DC，交DC延长线于G，如图1所示：∵AB∥CD，∠A＝90°，∴∠D＝∠A＝90°，∠BCE＝∠A＝90°，又∵BG⊥DC，交DC延长线于G，∴∠D＝∠A＝∠G＝90°，∴四边形ABGD为矩形，∴BG＝AD＝4，DG＝AB＝5，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE，设DE＝x，则AE＝AD﹣DE＝4﹣x，在△CBE和△ABE中，，∴△CBE≌△ABE（AAS），∴BC＝AB＝5，CE＝AE＝4﹣x，在Rt△BCG中，由勾股定理得：CG＝√BC2﹣BG2＝3，∴CD＝DG﹣CG＝2，在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE2+CD2＝CE2，即x2+22＝（4﹣x）2，解得：x＝1.5，则DE＝x＝1.5；②当∠BEC＝90°时，过点E作EH⊥BC于H，如图2所示：∵∠A＝90°，EH⊥BC于H，∴∠BHE＝∠A＝∠CHE＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠HBE＝∠ABE，在△HBE和△ABE中，，∴△HBE≌△ABE（AAS），∴EH＝AE，∠HEB＝∠AEB，∵∠BEC＝90°，∴∠CEH+∠HEB＝90°，∠CED+∠AEB＝90°，∴∠CEH＝∠CED，∵AB∥CD，∠A＝90°，∴∠D＝∠A＝90°，∴∠CHE＝∠D＝90°，在△CEH和△CED中，，∴△CEH≌△CED（AAS），∴EH＝DE，∴DE＝AE＝AD＝2，综上所述：DE的长为1.5或2．【点评】此题主要考查了梯形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握梯形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程进行计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．三、解答题（本大题共7题，满分46分）19．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x2+2x﹣8＝x﹣2，即x2+x﹣6＝0，分解因式得：（x﹣2）（x+3）＝0，解得：x＝2或x＝﹣3，经检验x＝2是增根，分式方程的解为x＝﹣3．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．20．【分析】由②得出（x﹣3y）（x+y）＝0，求出x﹣3y＝0，x+y＝0③，由①和③组成两个二元一方程组，再求出方程组的解即可．【解答】解：，由②得：（x﹣3y）（x+y）＝0，即x﹣3y＝0，x+y＝0③，则由①和③组成两个方程组，，解之得：，，即原方程组的解是，．【点评】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组（低次方程组）是解此题的关键．21．【分析】（1）根据三角形的中位线的性质及向量的意义求解；（2）根据平行四边形法则求解；（3）根据三角形法则求解．【解答】解：（1）∵点D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，∴DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，AD＝BD＝EF，AF＝CF＝ED，BE＝CE＝DF，∴四边形BEFD为平行四边形，∴与BE相等的向量有：DF，EC，故答案为：DF，EC；（2）根据平行四边形法则：＝，故答案为：；（3）﹣＝+＝，如图示：即为所求．【点评】本题考查了复杂作图，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键．22．【分析】（1）待定系数法求解析式；（2）先求出甲车从A到B所用时间，再求出两车的相遇时间，根据题意列方程，求解即可．【解答】解：（1）设y与x的函数解析式：y＝kx+b（k≠0），将点（0，300），（2，120）代入函数解析式，得，解得，∴y＝﹣90x+300；（2）当y＝﹣90x+300＝0时，x＝，两车相遇时，﹣90x+300＝60x，解得x＝2，根据题意，得60×2+（﹣2）a＝300，解得a＝90，答：乙车变化后的速度a为90千米/时．【点评】本题考查了一次函数的应用，涉及待定系数法求解析式，理解题意并根据题意建立方程是解题的关键．23．【分析】（1）连接DF并延长，交BC于点H，证明△ADF≌△CHF，根据全等三角形的性质得到DF ＝FH，根据三角形中位线定理证明；（2）连接AE并延长，交BC于点G，证明四边形AGHD为矩形，根据EF∥BC，得到四边形AEFD是矩形．【解答】证明：（1）如图，连接DF并延长，交BC于点H，∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠HCF，在△ADF和△CHF中，，∴△ADF≌△CHF（ASA），∴DF＝FH，∵DE＝EB，∴EF是△DBH的中位线，∴EF∥BC；（2）连接AE并延长，交BC于点G，由（1）可知：△ADF≌△CHF，∴AD＝CH，同理可得：AD＝BG，∴BG＝CH，∵梯形ABCD为等腰梯形，∴∠ABG＝∠DCH，∴△ABG≌△DCH（SAS），∴∠AGB＝∠DHC，∵AE⊥EF，EF∥BC，∴AG⊥BC，∴AG∥DH，∵AD∥BC，∴四边形AGHD为矩形，∵EF∥BC，∴四边形AEFD是矩形．【点评】本题考查的是梯形的性质、矩形的判定、三角形中位线定理，掌握矩形的判定定理是解题的关键．24．【分析】（1）根据题意，画出示意图，由四边形ACBQ是菱形，得到AB⊥CQ，AC＝BC，设点C（t，0）（t＞0），Q（m，4），可得OC2+OB2＝AC2，求出t，即C（2，0），在根据菱形对角线互相平分且垂直，即可求解；（2）根据题意画出示意图，求出直线AB，BC的解析式，结合“凹多边形”的定义找到临界点即可求解．【解答】解：（1）如图，∵四边形ACBQ是菱形，∴AB⊥CQ，AC＝BC，AC∥BQ，设点C（t，0）（t＞0），Q（m，4），∴OC2+OB2＝AC2，即162+t2＝（t+2）2，∴t＝3，即C（3，0），∵＝，∴m＝﹣5，即Q（﹣5，4）；（2）∵A（﹣2，0），B（0，4），C（3，0），将点A（﹣2，0），B（0，4）代入直线AB：y＝kx+b，则，解得，∴直线AB的解析式为：y＝2x+4，设直线BC的解析式为：y＝k′x+b′，将点B（0，4），C（3，0）代入，则，解得，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4，∴如图，当点E在直线BC下方，直线AC上方时，四边形AECB是凹四边形，此时，令x＝1，则有y＝﹣×1+4＝，∴0＜t＜，如图，当点E在直线AB上方时，四边形AECB是凹四边形，此时，令x＝1，则有y＝2×1+4＝6，∴t＞6，综上，四边形AECB是凹四边形，0＜t＜或t＞6．【点评】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，一次函数解析式及“凸多边形”凹多边形”的定义理解，正确画出示意图是解题的关键．25．【分析】（1）作FG⊥BC于G，并延长交AD于H，证明△ABE≌△GBF，求出FG和DE，利用三角形面积公式计算即可；（2）在第一问的基础上，表示出DH和FH，在Rt△DFH中利用勾股定理即可表示出DF长；（3）当点G在点D上方时，延长DC、BF交于W，作WH⊥BG于H，证明△BCG∽△WHG，表示出HG、WH、WG三边的比，设出未知数，表示出CW和BW，在Rt△BCW中利用勾股定理计算出未知数，再求出CW，证明出△BFQ∽△BCW，即可求出FG，即求出了AE，当点G在点D下方时，延长DC、BF交于W，作WH⊥BG于H，同第一种情况的解法，亦可求出此种情况的答案．【解答】解：（1）如图1，作FG⊥BC于G，并延长交AD于H，∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴FH⊥AD，由旋转得，BE＝BF，∠EBF＝90°，∴∠ABE＝∠GBF，∵∠A＝∠BGF＝90°，∴△ABE≌△GBF（AAS），∴FG＝AE＝1，∵AD＝8，∴DE＝7，∴易得四边形ABGH为矩形，∴HG＝AB＝4，∴FH＝5，＝DE•FH＝×7×5＝；∴S△DEF（2）如图1，由（1）得△ABF≌△GBF，∴BG＝AB＝4，FG＝AE＝x，∴AH＝BG＝4，FH＝4+x，∴HD＝4，在Rt△DHF中，DF＝，即y＝，∴y＝（0≤x≤8）；（3）如图2，当点G在点D上方时，延长DC、BF交于W，作WH⊥BG于H，作FQ⊥BC于点Q，∵CD＝4，DG＝2，∴CG＝6，∵BC＝8，∴BG＝＝10，∵∠BGC＝∠WGH，∠GCB＝∠WHG＝90°，∴△BCG∽△WHG，∴HG：WH：WG＝CG：BC：BG＝6：8：10＝3：4：5，设HG＝3k，HW＝4k，GW＝5k，∴CW＝5k﹣6，∵BG平分∠EBF，∴∠GBF＝45°，∴BH＝HW＝4k，∴BW＝4k，在Rt△BCW中，BC2+CW2＝BW2，即82+（5k﹣6）2＝（4）2，∴k＝，∴CW＝5k﹣6＝，∵FQ∥CW，∴△BFQ∽△BCW，∴FQ：CW＝BQ：BC＝1：2，∴FQ＝CW＝，∴AE＝FQ＝，如图3，当点G在点D下方时，延长DC、BF交于W，作WH⊥BG于H，作FQ⊥BC于点Q，∵CD＝4，DG＝2，∴CG＝2，∵BC＝8，∴BG＝＝2，∵∠BGC＝∠WGH，∠GCB＝∠WHG＝90°，∴△BCG∽△WHG，∴HG：WH：WG＝CG：BC：BG＝2：8：2＝1：4：，设HG＝k，HW＝4k，GW＝k，∴CW＝k﹣2，∵BG平分∠EBF，∴∠GBF＝45°，∴BH＝HW＝4k，∴BW＝4k，在Rt△BCW中，BC2+CW2＝BW2，即即82+（k﹣2）2＝（4）2，∴k＝，∴CW＝k﹣2＝，∵FQ∥CW，∴△BFQ∽△BCW，∴FQ：CW＝BQ：BC＝1：2，∴FQ＝CW＝，∴AE＝FQ＝，综上，AE的长为或．【点评】本题考查了四边形综合应用，矩形性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的计算及准确的辅助线是本题的解题关键。
杨浦初二期末数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列数中，是整数的是（）A. 3.14B. -2.5C. 2D. √92. 如果一个长方体的长、宽、高分别为2cm、3cm、4cm，那么它的体积是（）A. 24cm³B. 12cm³C. 18cm³D. 8cm³3. 下列图形中，是轴对称图形的是（）A. 正方形B. 长方形C. 平行四边形D. 梯形4. 若a=5，b=-3，则a²+b²的值为（）A. 34B. 16C. 25D. 85. 已知一元二次方程x²-5x+6=0，那么它的两个根是（）A. x₁=2，x₂=3B. x₁=3，x₂=2C. x₁=1，x₂=4D. x₁=4，x₂=16. 在直角坐标系中，点A（-2，3）关于y轴的对称点是（）A. （2，3）B. （-2，-3）C. （2，-3）D. （-2，-3）7. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y=x²B. y=2xC. y=3/xD. y=x³8. 下列数中，是负数的是（）A. -1/2B. 0C. 1/2D. 19. 如果一个圆的半径增加了2cm，那么它的面积将增加（）A. 4πcm²B. 8πcm²C. 16πcm²D. 12πcm²10. 下列数中，是偶数的是（）A. 3B. 5C. 7D. 8二、填空题（每题3分，共30分）11. 3.5的平方根是______。
12. 5cm³=______dm³。
13. 如果一个三角形的两个内角分别是45°和90°，那么第三个内角是______°。
14. 下列数中，是质数的是______。
15. 2x+3=11的解是x=______。
16. 下列图形中，是等边三角形的是______。
17. 如果一个长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm，那么它的表面积是______cm²。
上海市杨浦区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题(含答案解析)
上海市杨浦区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________13．从长度分别为2、3、率是．18．定义：有一组对角相等，且另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形．已知在等对角四边形ABCD中，DAB∠长是．三、解答题19．解方程：2451x x--+=20．解方程组：22225640. x xy y x y⎧-+⎨+=⎩AI(1)计算：OB =______，AB = ______(2)在图1中求作OA OB OC -+（写出结果，不要求写作法）22．有四张完全相同的卡片A 、B 、C 、形）；B （圆）；C （矩形）；D （等腰梯形）(1)从盒子中抽取出一张卡片，取出的卡片所画的图形是轴对称图形的概率是(2)小莉从盒子中同时抽取了两张卡片，取出的两张卡片所画的图形都是中心对称图形的概率是多少？（请用树形图说明，卡片可用23．近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲，乙两人计划分别缴纳养老保险金万元和8万元，虽然甲计划每年比乙计划每年多缴纳养老保险金缴纳养老保险金的年数还是比乙要多4年，都不超过20年，求甲计划每年缴纳养老保险金多少万元？24．如图，在矩形ABCD 中，点P 在边AD DPE ABP ∠∠=，延长AD 、BE 交于点25．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，交于点B ，并且与反比例函数(my m x=≠(1)求a、m的值；(2)如果点E在x轴的负半轴上，点边形是矩形时，求点E的坐标．26．如图，已知在正方形ABCD中，连接AP交BD于点E，延长AP交(1)当22CF=时，求ADF△的面积；(2)求证：AE EF=；∥时，求CF的长．(3)连接CE，当CE DF参考答案：AI∵四边形ABCD是平行四边形，∥，，，\==AB CD AB CD AO CO，AB CD∥BAC ACD ∴∠=∠，故A 、B 、D 都不符合题意，C 符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．4．B【分析】根据平面向量的运算法则逐一判断即可求解．【详解】A 、0AB BA +=，故本选项不符合题意；B 、0AC CA +=，正确，故本选项符合题意；C 、AC BC AC CB AB -=+=，故本选项不符合题意；D 、AB AC CB -=，故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键．5．D【分析】在一定条件下，一定会发生的事件为必然事件，据此解答即可．【详解】解：总计5个球，其中有3个红球，故从袋子中摸出四个球，必有2个红球颜色相同．故选：D【点睛】本题考查必然事件的定义，能够列举出随机实验的所有可能结果是解题的关键．6．D【分析】根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．【详解】A 选项：若AB=CD ，∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，当AB=AD 可判定四边形ABCD 是菱形；B 选项：当AD ∥BC 时，又AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，当AB=AD 可判定四边形ABCD 是菱形；C 选项：当BC=CD 时，△ABD ≌△BCD （SSS ），∴∠A=∠C ，∵AB ∥CD ，∴∠C+∠ABC=180°，∴∠A+∠ABC=180°，∴AD ∥BC ，又AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，当AB=AD 可判定四边形ABCD 是菱形；D 选项只能说明四边形的三条边相等，所以不能判定是菱形．故选D ．【点睛】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义．7．23y x =+【分析】根据互相平行的直线的解析式的一次项系数的值相等确定出a ，根据在y 轴上的截距为3，计算求出b 值，即可得解．【详解】解：∵直线y ax b =+平行于直线21y x =-，2k ∴=，又∵直线y ax b =+在y 轴上的截距为3，3b ∴=，∴这条直线的解析式是：23y x =+．故答案是：23y x =+．【点睛】此题考查两条直线平行问题，解题关键在于确定k 的值．8．2k <-【分析】根据一次函数的增减性即可得．【详解】由题意得：20k +<解得2k <-故答案为：2k <-．【点睛】本题考查了一次函数的性质（增减性），熟记一次函数的性质是解题关键．9．2x =-【分析】方程整理后，利用立方根定义求出解即可．【详解】方程整理得：x 3=-8，开立方得：x =-2．故答案为：x =-2【点睛】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．【点睛】本题考查中位线的性质，解题的关键．90 ，∠∠=︒ABC∴∠=︒，E30，AB=6∴==，212 AE AB22 BE∴=-=126∴=-= DE AE ADADC EDC ∠=∠则90AMD ∠=︒，四边形60DAB ∠=︒ ，30ADM ∴∠=︒，122AM AD ∴==，22，AI【点睛】本题考查平面直角坐标系中点的坐标和向量．向量的运算法则．22．(1)1(2)1 6【分析】（1）先判断A（等边三角形）、B 图形，再根据概率公式求解；24．见解析【分析】利用已知条件判定()Rt Rt HL BPE BCE ≌V V ，即可得到BP BC =，再证出PB PF =，即可得到BC PF =，进而得出四边形BCFP 是平行四边形，再结合条件BP BC =，即可得出四边形BCFP 是菱形．【详解】证明：∵矩形ABCD 中，AD BC ∥，90BCE A Ð=Ð=°，90ABP APB ∴∠+∠=︒，又DPE ABP Ð=ÐQ ，90DPE APB \Ð+Ð=°，90BPE ∴∠=︒，又90BCE ∠=︒ ，BE 平分CBP ∠，PE CE ∴=，又BE BE = ，()Rt Rt HL BPE BCE \≌V V ，BP BC ∴=，BE 平分CBP ∠，PBE CBE \Ð=Ð，PF BC ∥ ，PFE CBE \Ð=Ð，PBE PFE \Ð=Ð，PB PF ∴=，BC PF \=，∴四边形BCFP 是平行四边形，又BP BC = ，∴四边形BCFP 是菱形．【点睛】本题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形．25．(1)1a =，8m =(2)()2,0-则90EBC ∠=︒，∵2OB OA ==，∴45OAB OBA ∠=∠=︒，∴45OEB OBE ∠=∠=︒，∴2OE OB ==，∴点E 的坐标是()2,0-【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、直角三角形的性质和判定等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．26．(1)4（2）证明：如图2，延长CF ，AD 交于点CF 是BCD ∠的外角DCG ∠的平分线，1452DCR DCG ∴∠=∠=︒，DCR ∴△是等腰直角三角形，DC DR AD ∴==，45ADB DCR R ∠=∠=∠=︒ ，CR BD ∴∥，（3）解：如图3，由（2）知：CF BD ∥，【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确添加辅助线、熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解决问题的关键．答案第17页，共17页。
2024届上海杨浦区八年级数学第二学期期末教学质量检测试题含解析
2024届上海杨浦区八年级数学第二学期期末教学质量检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．无论取什么数，总有意义的分式是（ ） A ．B ．C ．D ．2．如图，在△ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线l 1、l 2相交于点O ，若∠BAC 等于82°，则∠OBC 等于（ ）A ．8°B ．9°C ．10°D ．11°3．五边形的内角和是( ) A ．180°B ．360°C ．540°D ．720°4．班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x 人，则可列方程为( ) A ．x(x －1)＝90 B ．x(x －1)＝2×90 C ．x(x －1)＝90÷2 D ．x(x ＋1)＝90 5．若一次函数(3)y a x a =--的图象经过第二、三、四象限，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≠3 B ．a ＞0C ．a ＜3D ．0＜a ＜36．计算11a ba b ab+--的结果是（ ） A ．0 B ．2b - C ．2a-D ．17．要使分式1xx+有意义，则x 应满足的条件是( )A ．x ≠1B ．x ≠﹣1C ．x ≠0D ．x ＞18．已知一元二次方程2x 2﹣5x +1＝0的两根为x 1，x 2，下列结论正确的是（ ） A ．两根之和等于﹣52，两根之积等于1 B ．x 1，x 2都是有理数C ．x 1，x 2为一正一负根D ．x 1，x 2都是正数 9．若分式x 2x 1-+的值为0，则x 的值为 A ．﹣1B ．0C ．2D ．﹣1或210．三角形的三边长分别为6，8，10，它的最短边上的高为（ ） A ．6 B ．4.5 C ．2.4 D ．8 二、填空题(每小题3分,共24分)11．张师傅驾车从甲地到乙地匀速行驶，已知行驶中油箱剩余油量y （升）与行驶时间t （小时）之间的关系用如图的线段AB 表示，根据这个图象求出y 与t 之间的函数关系式为y=﹣7.5t+25，那么函数y=﹣7.5t+25中的常数﹣7.5表示的实际意义是_____．12．函数y ＝1x -中，自变量x 的取值范围是________． 13．已知正n 边形的每一个内角为150°，则n ＝_____． 14．点 P （1，﹣3）关于原点对称的点的坐标是_____．15．在□ABCD 中，∠A +∠C =80°，则∠B 的度数等于_____________．16．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=4，BC=12，点E 是BC 的中点．点P 、Q 分别是边AD 、BC 上的两点，其中点P 以每秒个1单位长度的速度从点A 运动到点D 后再返回点A ，同时点Q 以每秒2个单位长度的速度从点C 出发向点B 运动．当其中一点到达终点时停止运动．当运动时间t 为_____秒时，以点A 、P ，Q ，E 为顶点的四边形是平行四边形．17．在矩形ABCD 中，AB=2，BC=6，直线EF 经过对角线BD 的中点O ，分别交边AD ，BC 于点E ，F ，点G ，H 分别是OB ，OD 的中点，当四边形EGFH 为矩形时，则BF 的长_________________. 18．在平面直角坐标系中有两点(5,0)A 和点(0,4)B .则这两点之间的距离是________．三、解答题(共66分)19．（10分）在△ABC中，（1）作线段AC的垂直平分线1，交AC于点O：（保留作图痕迹，请标明字母）（2）连接BO并延长至D，使得，连接DA、DC，证明四边形ABCD是矩形．20．（6分）某公司招聘人才，对应聘者分别进行了阅读能力、思维能力和表达能力三项测试，其中甲、乙两人的测试成绩（百分制）如下表：（单位：分）应聘者阅读能力思维能力表达能力甲85 90 80乙95 80 95（1）若根据三项测试的平均成绩在甲、乙两人中录用一人，那么谁将被录用？（2）若将阅读能力、思维能力和表达能力三项测试得分按1：3：1的比确定每人的最后成绩，谁将被录用？21．（6分）某商店计划购进A、B两种型号的电动自行车共30辆，其中A型电动自行车不少于20辆，A、B两种型号电动自行车的进货单价分别为2500元、3000元，售价分别为2800元、3500元，设该商店计划购进A型电动自行车m辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元．（1）求出y与m之间的函数关系式；（2）该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？22．（8分）矩形ABCO中，O（0，0），C（0，3），A（a，0），（a≥3），以A为旋转中心顺时针旋转矩形ABCO得到矩形AFED．（1）如图1，当点D落在边BC上时，求BD的长（用a的式子表示）；（2）如图2，当a＝3时，矩形AFED的对角线AE交矩形ABCO的边BC于点G，连结CE，若△CGE是等腰三角形，求直线BE的解析式；（3）如图3，矩形ABCO 的对称中心为点P ，当P ，B 关于AD 对称时，求出a 的值，此时在x 轴、y 轴上是否分别存在M ，N 使得四边形EFMN 为平行四边形，若存在直接写出M ，N 坐标，不存在说明理由．23．（8分）先化简，再求值11x x x x +⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭，其中21x =+. 24．（8分）某种计时“香篆”在0：00时刻点燃，若“香篆”剩余的长度h （cm ）与燃烧的时间x （h ）之间是一次函数关系，h 与x 的一组对应数值如表所示： 燃烧的时间x （h ） … 3 4 5 6 … 剩余的长度h （cm ）…210200190180…（1）写出“香篆”在0：00时刻点然后，其剩余的长度h （cm ）与燃烧时间x （h ）的函数关系式，并解释函数表达式中x 的系数及常数项的实际意义；（2）通过计算说明当“香篆”剩余的长度为125cm 时的时刻．25．（10分）计算： （1）2201911( 3.14)2π-⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭（2）2222221121a a aa a a a ---÷+--+ （3）21111x x x ⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭26．（10分）如果一个多位自然数的任意两个相邻数位上，右边数位上的数总比左边数位上的数大1，则我们称这样的自然数叫“美数”，例如：123，3456，67，…都是“美数”．（1）若某个三位“美数”恰好等于其个位的76倍，这个“美数”为 ．（2）证明：任意一个四位“美数”减去任意一个两位“美数”之差再减去1得到的结果定能被11整除；（3）如果一个多位自然数的任意两个相邻数位上，左边数位上的数总比右边数位上的数大1，则我们称这样的自然数叫“妙数”，若任意一个十位为x (18x x ≤≤，为整数）的两位“妙数”和任意一个个位为9(2y y y ≤≤，为整数）的两位“美数”之和为55，则称两位数xy 为“美妙数”，并把这个“美妙数”记为()F T ，则求()F T 的最大值．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【解题分析】根据偶次幂具有非负性可得x+3>0，再由分式有意义的条件可得答案．【题目详解】∵x⩾0，∴x+3>0，∴无论x取什么数时,总有意义的分式是，故选：A.【题目点拨】此题考查分式有意义的条件，解题关键在于掌握其性质.2、A【解题分析】连接OA，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质得到∠OAB ＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，根据三角形内角和定理计算即可．【题目详解】解：连接OA，∵∠BAC＝82°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣82°＝98°，∵AB、AC的垂直平分线交于点O，∴OB＝OA，OC＝OA，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∴∠OBC+∠OCB＝98°﹣（∠OBA+∠OCA）＝16°，∴∠OBC＝8°，故选：A ．【题目点拨】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． 3、C 【解题分析】根据n 边形的内角和为：()2180(3n n -⋅≥，且n 为整数)，求出五边形的内角和是多少度即可． 【题目详解】解：五边形的内角和是： (5﹣2)×180° ＝3×180° ＝540° 故选：C ． 【题目点拨】此题主要考查了多边形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确n 边形的内角和为：()2180(3n n -⋅≥，且n 为整数)． 4、A 【解题分析】如果设数学兴趣小组人数为x 人，每名学生送了（x ﹣1）张，共有x 人，则一共送了x （x ﹣1）张，再根据“共互送了1张贺年卡”，可得出方程为x （x ﹣1）＝1． 【题目详解】设数学兴趣小组人数为x 人，每名学生送了（x ﹣1）张，共有x 人，根据“共互送了1张贺年卡”，可得出方程为x （x ﹣1）＝1． 故选A ． 【题目点拨】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键是读清题意，找准数量关系，列出方程． 5、D 【解题分析】由一次函数图象经过第二、三、四象限，利用一次函数图象与系数的关系，即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【题目详解】解：∵一次函数(3)y a x a =--的图象经过第二、三、四象限，∴30a a -<⎧⎨-<⎩，解得：0＜a ＜1． 故选：D ． 【题目点拨】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k ＜0，b ＜0⇔y=kx+b 的图象在二、三、四象限”是解题的关键． 6、B 【解题分析】分析：首先进行通分，然后根据同分母的分式加减法计算法则即可求出答案． 详解：原式=a b b a a b 2a 2ab ab ab ab ab b a b+-------===，故选B ． 点睛：本题主要考查的是分式的加减法计算，属于基础题型．学会通分是解决这个问题的关键． 7、B 【解题分析】根据分式有意义的条件可得x+1≠0，再解即可． 【题目详解】 由题意得：x+1≠0， 解得：x≠-1， 故选B ． 【题目点拨】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 8、D 【解题分析】根据根与系数的关系，可得答案．解：A、x1+x2＝52ba-=，x1•x2＝12ca=，故A错误；B、x1＝242b b aca-+-＝5174+，x2＝242b b aca---＝5174-，故B错误；C、x1＝242b b aca-+-＝5174+＞0，x2＝242b b aca---＝5174-＞0，故C错误；D、x1＝242b b aca-+-＝5174+＞0，x2＝242b b aca---＝5174-＞0，故D正确；故选：D．【题目点拨】本题考查查了根与系数的关系，利用根与系数的关系是解题关键．9、C【解题分析】根据分式值为零的条件可得x﹣2＝0，再解方程即可．【题目详解】解：由题意得：x﹣2＝0，且x+1≠0，解得：x＝2，故选C．10、D【解题分析】本题考查了直角三角形的判定即勾股定理的逆定理和直角三角形的性质由勾股定理的逆定理判定该三角形为直角三角形，然后由直角三角形的定义解答出最短边上的高．由题意知，，所以根据勾股定理的逆定理，三角形为直角三角形．长为6的边是最短边，它上的高为另一直角边的长为1．故选D．二、填空题(每小题3分,共24分)11、表示每小时耗油7.5升【解题分析】根据图像可知出发时油箱内有油25升，当行驶2小时时剩油10升，可求出每小时耗油量为7.5升. 所以﹣7.5表示表示每小时耗油7.5升.由图象可知，t=0时，y=25，所以汽车出发时油箱原有油25，又经过2小时，汽车油箱剩余油量10升，即2小时耗油25-10=15升， 15÷ 2=7.5升，故答案为：表示每小时耗油7.5升 【题目点拨】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义与性质是解题关键. 12、x≤1 【解题分析】分析：根据二次根式有意义的条件解答即可. 详解：∵二次根式有意义，被开方数为非负数， ∴1 -x≥0， 解得x≤1. 故答案为x≤1.点睛：本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义，被开方数为非负数是解题的关键. 13、1 【解题分析】试题解析：由题意可得：()1802150n n ︒⋅-=︒⋅， 解得12n =． 故多边形是1边形． 故答案为1． 14、（-1，3） 【解题分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数可知：点P （1，-3）关于原点的对称点的坐标． 【题目详解】解：∵关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数， ∴点P （1，-3）关于原点的对称点的坐标为（-1，3）． 故答案为：（-1，3）． 【题目点拨】本题考查了关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，难度较小．15、140°【解题分析】根据平行四边形的性质可得∠A的度数，再利用平行线的性质解答即可．【题目详解】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD∥BC，∵∠A+∠C=80°，∴∠A=40°，∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∴∠B=140°．故答案为：140°．【题目点拨】本题主要考查了平行四边形的性质和平行线的性质，属于应知应会题型，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．16、2或14 3.【解题分析】分别从当Q运动到E和B之间与当Q运动到E和C之间去分析, 根据平行四边形的性质, 可得方程, 继而可求得答案. 【题目详解】解：E是BC的中点,∴BE=CE=12BC=12⨯12=6,①当Q运动到E和C之间, 设运动时间为t, 则AP=t, DP=AD-AP=4-t, CQ=2t,EQ=CE-CQ=6-2t ∴t=6-2t,解得: t=2;②当Q运动到E和B之间,设运动时间为t,则AP=t, DP=AD-AP=4-t, CQ=2t,EQ=CQ-CE=2t-6,∴t=2t-6,解得: t=6（舍），③P点当D后再返回点A时候，Q运动到E和B之间,设运动时间为t，则AP=4-（t-4）=8-t, EQ=2t-6，∴8-t=2t-6，14 t=3,当运动时间t为2、143秒时,以点P,Q,E，A为顶点的四边形是平行四边形．故答案为: 2或14 3.【题目点拨】本题主要考查平行四边形的性质及解一元一次方程.17、或【解题分析】根据矩形ABCD中，AB=2，BC=6，可求出对角线的长，再由点G、H分别是OB、OD的中点，可得GH=BD，从而求出GH 的长，若四边形EGFH为矩形时，EF=GH，可求EF的长，通过作辅助线，构造直角三角形，由勾股定理可求出MF的长，最后通过设未知数，列方程求出BF的长．【题目详解】解：如图：过点E作EM⊥BC，垂直为M，矩形ABCD中，AB=2，BC=6，∴AB=EM=CD=2，AD=BC=6，∠A=90°，OB=OD，在Rt△ABD中，BD==2，又∵点G、H分别是OB、OD的中点，∴GH=BD=，当四边形EGFH为矩形时，GH=EF=，在Rt△EMF中，FM==，易证△BOF≌△DOE（AAS），∴BF=DE，∴AE=FC，设BF=x，则FC=6-x，由题意得：x-（6-x）=，或（6-x）-x=，，∴x=或x=，故答案为：或．【题目点拨】考查矩形的性质、直角三角形的性质，勾股定理等知识，合理的作辅助线，将问题转化显得尤为重要，但是，分情况讨论容易受图形的影响而被忽略，应切实注意．18、41 【解题分析】 先根据A 、B 两点的坐标求出OA 及OB 的长，再根据勾股定理即可得出结论．【题目详解】如图，∵A （5，0）和B （0，4），∴OA=5，OB=4，∴AB=22225=4=41OA OB ++，即这两点之间的距离是41．故答案为41.【题目点拨】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．三、解答题(共66分)19、 (1)详见解析;(2)详见解析【解题分析】（1）利用基本作图作AC 的垂直平分线得到AC 的中点O ；（2）利用直角三角形斜边上的中线得到，然后根据对角线互相平分且相等的四边形为矩形可证明四边形ABCD 是矩形．【题目详解】（1）解：如图，点O 为所作：（2）证明：∵线段AC的垂直平分线，，，，，∴四边形ABCD为矩形．【题目点拨】本题考查了作图—基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线），也考查了矩形的判定．20、（1）乙将被录用；（2）甲将被录用【解题分析】（1）根据平均数的计算公式分别进行计算即可；（2）根据加权平均数的计算公式分别进行解答即可．【题目详解】解：（1）∵x甲＝（85+90+80）÷3＝85（分），x乙＝（95+80+95）÷3＝90（分），∴x甲＜x乙，∴乙将被录用；（2）根据题意得：x 甲＝851903801131⨯+⨯+⨯++＝87（分），x 乙＝95180395131⨯+⨯+++＝86（分）；∴x甲＞x乙，∴甲将被录用．故答案为（1）乙将被录用；（2）甲将被录用.【题目点拨】本题主要考查平均数，解题的关键是熟练掌握算术平均数和加权平均数的计算公式．21、（1）y ＝﹣200m +15000（20≤m ＜30）；（2） 购进A 型电动自行车20辆，购进B 型10辆，最大利润是11000元．【解题分析】（1）利润=一辆A 型电动自行车的利润×A 型电动自行车的数量+一辆B 型电动自行车的利润×B 型电动自行车的数量，依此列式化简即可；（2）根据一次函数的性质，结合自变量的取值范围即可求解；【题目详解】解：（1）计划购进A 型电动自行车m 辆，B 型电动自行车（30-m ）辆，y ＝（2800-2500）m+（3500﹣3000）（30﹣m ），＝﹣200m +15000（20≤m ＜30），（2）∵20≤m ＜30，且y 随m 的增大而减小可得，m ＝20时，y 有最大值，y ＝﹣200×20+15000＝11000，购进A 型电动自行车20辆，购进B 型10辆，最大利润是11000元．【题目点拨】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是求出y 与m 之间的函数关系式．22、（1）BD （2）y ＝﹣x+6；（3）M 0），N （0，32） 【解题分析】（1）如图1，当点D 落在边BC 上时，BD 2=AD 2-AB 2，即可求解；（2）分CG=EG 、CE=GE 、CE=CG 三种情况分别求解；（3）①由点P 为矩形ABCO 的对称中心，得到322a P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求得直线PB 的解析式为3PB y x a=，得到直线AD 的解析式为：233a y x a =-+，解方程即可得到结论；②根据①中的结论得到直线AD 的解析式为9y =+，求得∠DAB=30°，连接AE ，推出A ，B ，E 三点共线，求得()32E F ⎫⎪⎭，，，设M （m ，0），N （0，n ），解方程组即可得到结论．【题目详解】（1）如图1，在矩形ABCO 中，∠B＝90°当点D落在边BC上时，BD2＝AD2﹣AB2，∵C（0，3），A（a，0）∴AB＝OC＝3，AD＝AO＝a，∴BD＝29a ；（2）如图2，连结AC，∵a＝3，∴OA＝OC＝3，∴矩形ABCO是正方形，∴∠BCA＝45°，设∠ECG的度数为x，∴AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE＝45°+x，①当CG＝EG时，x＝45°+x，解得x＝0，不合题意，舍去；②当CE＝GE时，如图2，∠ECG＝∠EGC＝x∵∠ECG+∠EGC+∠CEG＝180°，∴x+x+（45°+x）＝180°，解得x＝45°，∴∠AEC＝∠ACE＝90°，不合题意，舍去；③当CE＝CG时，∠CEG＝∠CGE＝45°+x，∵∠ECG+∠EGC+∠CEG＝180°，∴x+（45°+x）+（45°+x）＝180°，解得x＝30°，∴∠AEC＝∠ACE＝75°，∠CAE＝30°如图3，连结OB，交AC于点Q，过E作EH⊥AC于H，连结BE，∴EH＝12AE＝12AC，BQ＝12AC，∴EH＝BQ，EH∥BQ且∠EHQ＝90°∴四边形EHQB是矩形∴BE∥AC，设直线BE的解析式为y＝﹣x+b，∵点B（3，3）在直线上，则b＝6，∴直线BE的解析式为y＝﹣x+6；（3）①∵点P为矩形ABCO的对称中心，∴322aP⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∵B（a，3），∴PB的中点坐标为：4934a⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴直线PB的解析式为3PBy xa=，∵当P，B关于AD对称，∴AD⊥PB，∴直线AD的解析式为：233ay xa=-+，∵直线AD过点3944a⎛⎫⎪⎝⎭，，∴2291443aa=-+，解得：a3∵a≥3，∴a＝3；②存在M，N；理由：∵a＝3∴直线AD 的解析式为y ＝﹣3x+9，∴∴∠DAO＝60°，∴∠DAB＝30°，连接AE ，∵AD＝OA ＝33，DE ＝OC ＝3，∴∠EAD＝30°，∴A，B ，E 三点共线，∴AE＝2DE ＝6，∴()9333322E F ⎫⎪⎭，，，， 设M （m ，0），N （0，n ），∵四边形EFMN 是平行四边形，∴9333023602m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩， 解得：33232m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 3320），N （0，32）． 【题目点拨】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到正方形和等腰三角形性质、圆的基本知识，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．232【解题分析】先把分式通分，把除法转换成乘法，再化简，然后进行计算【题目详解】解：11xxx x+⎛⎫-÷⎪⎝⎭＝211 x xx x -+÷=()()11x xx+-·1xx+＝x-1当+1+1-1【题目点拨】本题考查了分式的混合运算-化简求值，是中考常考题，解题关键在于细心计算.24、（1）x的系数表示“香篆”每小时燃烧10cm，常数项表示“香篆”未点燃之前的长度为240cm；；（2）“香篆”在0：00点燃后，燃烧了11.5小时后的时刻为11点30分．【解题分析】（1）根据待定系数法确定函数关系式即可求解；（2）把h＝125代入解析式即可求解.【题目详解】解：（1）∵“香篆”在0：00时刻点然后，其剩余的长度h（cm）与燃烧时间x（h）的函数关系式是一次函数，设一次函数的解析式为：h＝kx+b，∵当x＝3时，h＝210，当x＝4时，h＝200，可得：3210 4200 k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：10240kb=-⎧⎨=⎩，所以解析式为：h＝﹣10x+240，x的系数表示“香篆”每小时燃烧10cm，常数项表示“香篆”未点燃之前的长度为240cm；（2）当“香篆”剩余125cm时，可知h＝125，代入解析式得：125＝﹣10x+240，解得：x＝11.5，所以“香篆”在0：00点燃后，燃烧了11.5小时后的时刻为11点30分．【题目点拨】此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据题意求出一次函数的解析式.25、（1）4；（2）1a ；（3）11x - 【解题分析】（1）先算括号里面的，再算加减，即可得出答案；（2）先除法，再进行通分运算，最后化简，即可得出答案；（3）先对括号里面的进行通分，再进行分式的除法运算，即可得出答案.【题目详解】解（1）原式=-1+1+4=4 （2）原式=()()()()22221111a a a a a a a ---÷++-- =()2111a a a a --++ =()211a a a a -++ =1a（3）原式=()()11111x x x x x +-÷+-+ =()()()111x x x x x +⨯+- =11x - 【题目点拨】（1）本题主要考查0a ，以及负指数幂，注意()010a a =≠； （2）本题主要考查分式的混合运算，通分、约分、因式分解和约分是解答本题的关键；（3）本题主要考查分式的混合运算，通分、约分、因式分解和约分是解答本题的关键.26、 (1)456 （2）见解析 （3）42【解题分析】（1）设这个“美数”的个位数为x ，则根据题意可得方程()()100-210-176x x x x ++=，解方程求出x 的值即可得出答案.（2）设四位“美数”的个位为x 、两位“美数””的个位为y,分别表示出四位“美数”和两位“美数”,再将四位“美数”减去任意一个两位“美数””之差再加上1的结果除以11判断结果是否为整数即可;（3）根据题意两个数之和为55得出二元一次方程()()10110155x x y y +-+-+=，化简方程()1166x y +=，再根据x 与y 的取值范围，即可求出()F T 最大值.【题目详解】（1）设其个位数为x ，则()()100-210-176x x x x ++=解得：x=6则这个“美数”为：()()1006-2106-16456++=（2）设四位“美数”的个位为x 、两位“美数””的个位为y ，根据题意得：()()()()1011002100031011x x x x y y +-+-+-----=111320111x y --=()11101291x y --即：式子结果是11的倍数（3）根据题意：()()10110155x x y y +-+-+=101101055x x y y +-+-+=11111155x y +-=()1166x y +=6x y +=()18x x ≤≤，()29y y ≤≤由10x+y 可得x 越大()F T 越大，即y 为最小值时()F T 的值最大则x=4，y=2时()F T 的值最大∴()F T 的最大值为410242⨯+=【题目点拨】本题主要考查二元一次方程的应用，解题关键是设个位数的数为x得出方程并解答.。
杨浦区初二期末数学试卷
考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列选项中，不是有理数的是（）A. 2.5B. -3C. 0D. √22. 下列等式中，正确的是（）A. a² = b²，则a = bB. a² = b²，则a = ±bC. a² = b²，则|a| = |b|D. a² = b²，则a = 03. 在平面直角坐标系中，点P的坐标是（3，-2），点Q在y轴上，且PQ的长度为5，则点Q的坐标是（）A. （0，-7）B. （0，3）C. （0，-2）D. （0，-5）4. 若一个数的平方是正数，那么这个数（）A. 一定是正数B. 一定是负数C. 一定是正数或负数D. 一定是非零数5. 下列函数中，自变量的取值范围是全体实数的是（）B. y = x² - 1C. y = 1/xD. y = x³6. 已知等腰三角形ABC中，AB = AC，AD是BC边上的高，且AD = 6cm，BD = 4cm，则BC的长度是（）A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 14cm7. 在梯形ABCD中，AD // BC，AB = CD，AB = 10cm，BC = 8cm，AD = 12cm，则梯形的高是（）A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 7cm8. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -3B. -2C. 0D. 19. 若a > b > 0，则下列不等式正确的是（）A. a² > b²B. a³ > b³D. a³ < b³10. 在直角坐标系中，点P的坐标是（-2，3），点Q在第二象限，且PQ的长度为5，则点Q的坐标是（）A. （-3，2）B. （-1，4）C. （-4，2）D. （-1，3）二、填空题（每题3分，共30分）11. 若x² + 2x + 1 = 0，则x的值为______。
2020-2021学年上海市杨浦区八年级下学期期末数学试卷
2020-2021学年八年级（下）期末数学模拟试卷一．选择题（共6小题）.1．下列多项式在实数范围内能因式分解的是（）A．x2+y2B．﹣x2﹣y2C．x2+x+1D．﹣4x2+4x﹣1 2．关于x的一次函数y＝（k﹣2）x+k2﹣4k+4，若﹣1≤x≤1时，y＞0总成立，则k的取值范围是（）A．k＜1或k＞3B．k＞1C．k＜3D．1＜k＜33．方程x3﹣2x2＝1的实数根的情况是（）A．仅有一正根B．仅有一负根C．一正根一负根D．无实数根4．已知向量、满足||＝||，则（）A．＝B．＝﹣C．∥D．以上都有可能5．不透明的袋子中只有3个黑球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出2个球，下列事件是必然事件的是（）A．2个球都是白球B．2个球都是黑球C．2个球中有白球D．2个球中有黑球6．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形二．填空题（共12小题，满分22分）7．已知y＝m+1是一次函数，则m＝．8．点P（a，b）在函数y＝﹣3x+2的图象上，则代数式9a+3b﹣1的值等于．9．方程x5﹣1＝0的根是．10．分式的值比分式的值大3，则x的值为．11．方程的根是．12．方程组的解是．13．一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中2个是红球，1个是白球．从中同时摸出两个球，都是红球的概率是．14．一个多边形的内角和是1260°，从这个多边形的一个顶点出发可以作条对角线．15．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DC＝2AB＝2AD，BD＝6，BC＝4，则该梯形的面＝．积S梯形ABCD16．已知菱形ABCD的面积是12cm2，对角线AC＝4cm，则菱形的边长是cm；等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5cm，BC＝9cm，∠C＝60°，则梯形的腰长是cm．17．如图，在▱ABCD中，∠B＝45°，AD＝6，E、H分别为边AB、CD上一点，将▱ABCD 沿EH翻折，使得AD的对应线段FG经过点C，若FG⊥CD，CG＝3，则EF的长度为．18．在▱ABCD中，∠A＝30°，AD＝4，连接BD，若BD＝4，则线段CD的长为．三．解答题（共6小题，满分40分）19．解方程：．20．解方程组：21．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边AD的中点AC、BE相交于点O．设＝，＝．（1）试用、表示；（2）在图中作出在、上的分向量，并直接用、表示．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）22．如图，在△ABC中，边BC上是否存在点P，过点P分别作AB、AC的平行线，交AC 和AB于点D、E，使四边形ADPE为菱形？请说明理由．23．为弘扬传统民族文化，某校开设了“民族美食制作”，“曲艺歌舞赏析”，“方言传承研究”三个兴趣小组（分别用字母A，B，C表示），每个同学只能参加一个兴趣小组，老师将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，小红先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由小明从中随机抽取一张卡片．（1）小红抽中“民族美食制作”兴趣小组的概率是；（2）试用画树状图或列表的方法（选其中一种即可）表示所有可能的结果，并求出小红和小明抽中相同的兴趣小组的概率．24．学校在假期内对教室内的黑板进行整修，需在规定日期内完成．如果由甲工程小组做，恰好按期完成；如果由乙工程小组做，则要超过规定日期3天．结果两队合作了2天，余下部分由乙组独做，正好在规定日期内完成，问规定日期是几天？四．解答题（共2小题，满分18分）25．如图，反比例函数y1＝和一次函数y2＝mx+n相交于点A（1，3），B（﹣3，a），（1）求一次函数和反比例函数解析式；（2）连接OA，试问在x轴上是否存在点P，使得△OAP为以OA为腰的等腰三角形，若存在，直接写出满足题意的点P的坐标；若不存在，说明理由．26．如图，若在正方形ABCD中，点E为CD边上一点，点F为AD延长线上一点，且DE ＝DF，则AE与CF之间有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．参考答案一．选择题（共6小题，满分12分）1．解：下列多项式在实数范围内能因式分解的是﹣4x2+4x﹣1＝﹣（2x﹣1）2，故选：D．2．解：∵y＝（k﹣2）x+k2﹣4k+4是一次函数，∴k≠2，当k＞2时，一次函数经过第一、第三象限，y随x的增大而增大，当x＝﹣1时，2﹣k+k2﹣4k+4＞0，解得k＞3或k＜2，∴k＞3；当k＜2时，一次函数经过第二、第四象限，y随x的增大而减小，当x＝1时，k﹣2+k2﹣4k+4＞0，解得k＞2或k＜1，∴k＜1；综上所述：k＜1或k＞3时满足题意，故选：A．3．解：移项得x3＝2x2+1，∵2x2≥0，∴2x2+1≥1，即x3≥1，∴x≥1，函数y＝x3与函数y＝2x2+1只有一个交点，∴方程x3﹣2x2＝1只有一个正实数根．故选：A．4．解：若向量、满足||＝||，可得：＝，或＝﹣，或∥，故选：D．5．解：袋子中有3个黑球和1个白球，从中随机摸出两个球，根据抽屉原理可知，这两个球中至少有一个黑球，因此摸出的两个球中有黑球是必然事件，故选：D．6．解：A、对角线相等的梯形是等腰梯形，故错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；C、正确；D、有一个角是直角的梯形是直角梯形，故错误；故选：C．二．填空题（共12小题，满分22分）7．解：由题意得：m2﹣2m+1＝1，且m≠0，解得：m＝2，故答案为：2．8．解：将P（a，b）代入y＝﹣3x+2得b＝﹣3a+2，∴3a+b＝2，∴9a+3b﹣1＝3（3a+b）﹣1＝3×2﹣1＝5，故答案为：5．9．解：∵x5﹣1＝0，∴x5＝1，则x＝1，故答案为：x＝1．10．解：根据题意得：﹣＝3，去分母得：x﹣3﹣1＝3x﹣6，移项合并得：﹣2x＝﹣2，解得：x＝1，经检验x＝1是分式方程的解，故答案为：1．11．解：两边平方得：3x+4＝x2，解方程得：x1＝﹣1，x2＝4，检验：当x＝﹣1时，原方程右边＝﹣1，所以x＝﹣1不是原方程的解，当x＝4时，原方程左边＝右边，所以x＝4是原方程的解．故答案为：x ＝4；12．解：∵x 2﹣y 2＝（x +y ）（x ﹣y ）．∴x 2﹣y 2＝0可改写成：x +y ＝0或者x ﹣y ＝0． ∴方程组可以改写为：或者．解得：．故答案为：．13．解：画树状图为：，共有6种等可能的结果数，其中摸出两个球，都是红球的结果数为2， 所以摸出两个球，都是红球的概率＝＝． 故答案为．14．解：设此多边形的边数为x ，由题意得： （x ﹣2）×180＝1260， 解得x ＝9，从这个多边形的一个顶点出发可以作6条对角线数． 故答案为：6．15．解：取CD 的中点E ，连接BE ， ∴CE ＝DE ＝AD ＝AB ， ∴ABED 是菱形， ∴AD ＝BE ， ∴BE ＝CE ＝DE ，∴∠BDC ＝∠DBE ，∠C ＝∠CBE ， ∴∠CBD ＝90°， ∴S △ABD ＝S △BED ＝S △CEB ，S 四边形ABCD ＝S △CBD ×＝CB •BD •＝18． ∴四边形ABCD 的面积是18． 故答案为18．16．解：（1）∵菱形ABCD 的面积是12cm 2，对角线AC ＝4cm ∴OD ＝BD ，OA ＝AC ＝2 而S ＝AC •OD ＝4•OD ＝12 ∴OD ＝3 ∴CD ＝＝；（2）过D 点作DE ⊥BC∵等腰梯形ABCD AD ＝5cm ，BC ＝9cm ∴EC ＝2 又∵∠C ＝60° ∵∠CDE ＝30° ∴CD ＝4cm17．解：延长CF 与AB 交于点M ，∵FG⊥CD，AB∥CD，∴CM⊥AB，∵∠B＝45°，BC＝AD＝6，∴CM＝3，由折叠知GF＝AD＝6，∵CG＝3，∴MF＝CM﹣CF＝CM﹣（GF﹣CG）＝3﹣3，∵∠EFC＝∠A＝180°﹣∠B＝135°，∴∠MFE＝45°，∴EF＝MF＝（3﹣3）＝6﹣3．故答案为：6﹣3．18．解：作DE⊥AB于E，如图所示：∵∠A＝30°，∴DE＝AD＝2，∴AE＝DE＝6，BE＝＝＝2，∴AB＝AE﹣BE＝4，或AB＝AE+BE＝8，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝4或8；故答案为：4或8．三．解答题（共6小题，满分40分）19．解：，两边平方，得4（x+5）＝x2﹣20x+100整理，得：x2﹣24x+80＝0，解得：x1＝20，x2＝4经检验：x2＝4是增根，x1＝20是原方程的解，（1分）∴原方程的解是x＝20（1分）20．解：由x2﹣2xy﹣3y2＝3得：（x+y）（x﹣3y）＝3，∵x+y＝1，∴x﹣3y＝3，解得：．21．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AE＝EC，∴＝＝，∴BP＝BE，∴＝＝（+）＝（﹣）＝﹣．（2）∵AE∥BC，∴＝＝，∴＝＝（+）＝（+）＝+．如图，在、上的分向量分别为和．22．解：存在，理由如下：作∠CAB的平分线AP交BC于点P，过点P分别作AB、AC的平行线，交AC和AB于点D、E，∵PD∥AB，PE∥AC，∴四边形ADPE为平行四边形，∵AP平分∠CAB，∴∠DAP＝∠PAE，∵PD∥AE，∴∠DPA＝∠PAE，∴∠DAP＝∠DPA，∴DA＝DP，∴四边形ADPE为菱形，即边BC上存在点P，过点P分别作AB、AC的平行线，交AC和AB于点D、E，使四边形ADPE为菱形．23．解：（1）∵共有三个兴趣小组，分别是“民族美食制作”，“曲艺歌舞赏析”，“方言传承研究”，∴小红抽中“民族美食制作”兴趣小组的概率是．故答案为：；（2）列表如下：A B C第一次第二次A（A，A）（B，A）（C，A）B（A，B）（B，B）（C，B）C（A，C）（B，C）（C，C）可能出现的结果共有9种，并且它们出现的可能性相同，其中小红和小明抽中相同的兴趣小组的有3种结果，则小红和小明抽中相同的兴趣小组的概率＝；24．解：设规定日期为x天，根据题意，得2（+）+×（x﹣2）＝1解这个方程，得x＝6经检验，x＝6是原方程的解．∴原方程的解是x＝6．答：规定日期是6天．四．解答题（共2小题，满分18分）25．解：（1）∵点A（1，3）在反比例函数y1＝的图象上，∴k＝1×3＝3，∴反比例函数的解析式为y1＝，∵点B（﹣3，a）在反比例函数y1＝的图象上，∴﹣3a＝3，∴a＝﹣1，∴B（﹣3，﹣1），∵点A（1，3），B（﹣3，﹣1）在一次函数y2＝mx+n的图象上，∴，∴，∴一次函数的解析式为y2＝x+2；（2）如图，∵△OAP为以OA为腰的等腰三角形，∴①当OA＝OP时，∵A（1，3），∴OA＝，∵OP＝，∵点P在x轴上，∴P（﹣，0）或（，0），②当OA＝AP时，则点A是线段OP的垂直平分线上，∵A（1，3），∴P（2，0），即：在x轴上存在点P，使得△OAP为以OA为腰的等腰三角形，此时，点P的坐标为（﹣，0）或（2，0）或（，0）．26．解：AE＝CF，AE⊥CF，理由如下：如图，延长AE交CF于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠CDE＝90°，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，∵∠DCF+∠F＝90°，∴∠DAE+∠F＝90°，∴AG⊥CF，即AE⊥CF．∴AE＝CF，AE⊥CF．。
2020-2021学年上海市杨浦区八年级下学期期末数学试题(解析版)
2020学年上海市杨浦区八年级第二学期期终考试一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）1.如果二次三项式24x x p ++能在实数范围内分解因式，那么p 的取值范围是（）A.4p > B.4p < C.4p ≥ D.4p ≤【答案】D【解析】【分析】根据多项式能分解因式，得到多项式为0时方程有解，确定出p 的范围即可．【详解】解：∵二次三项式x 2+4x +p 能在实数范围内分解因式，∴△=16-4p ≥0，解得：p ≤4，故选：D ．【点睛】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．2.在一次函数(1)1y m x m =-++中，如果y 随x 的增大而增大，那么常数m 的取值范围是（）A.1m > B.1m < C.1m >- D.1m <-【答案】A【解析】【分析】根据一次函数的性质，当k =m -1＞0时，函数y 的值随x 的值增大而增大，据此可求解．【详解】解：由题意得m -1＞0，解得m ＞1，故选：A ．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，在一次函数y =kx +b 中，当k ＞0时函数y 的值随x 的值增大而增大；当k ＜0时函数y 的值随x 的值增大而减小．3.下列方程中，二项方程的是（）A.220x = B.20x x -= C.31102x -= D.4221y x +=【答案】C【解析】【分析】根据二项方程的定义进行判断即可．【详解】解：A 、220x =没有常数项，不是二项方程；B 、20x x -=两项都有未知数，不是二项方程；C 、31102x -=是二项方程，D 、4221y x +=两项都有未知数，不是二项方程；故选：C ．【点睛】本题考查了二项方程，如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程．4.以下描述AB 和BA 的关系不正确的是（）A.方向相反B.模相等C.平行D.相等【答案】D【解析】【分析】利用单位向量的定义和性质直接判断即可．【详解】解：A 、AB 和BA 的关系是方向相反，正确；B 、AB 和BA 的关系是模相等，正确；C 、AB 和BA 的关系是平行，正确；D 、AB 和BA的关系不相等，错误；故选：D ．【点睛】此题考查平面向量问题，解题时要认真审题，注意单位向量、零向量、共线向量的定义和的性质的合理运用．5.下列事件中，属于必然事件的是（）A.某射击训练射击一次，命中靶心B.室温低于-5℃时，盆内的水结成了冰C.掷一次骰子，向上的一面是6点D.抛一枚硬币，落地后正面朝上【答案】B【解析】【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断．【详解】解：A 、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故此选项不合题意；B 、室温低于-5℃时，盆内的水结成了冰，是必然事件，故本选项符合题意；C、掷一次骰子，向上的一面是6点，是随机事件，故此选项不合题意；D、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故此选项不合题意；故选：B．【点睛】此题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6.下列命题中，真命题是()A.对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B.对角线互相垂直的平行四边形是正方形C.对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D.对角线平分一组对角的梯形是直角梯形【答案】C【解析】【分析】利用特殊四边形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项．【详解】A．对角线互相垂直且相等的梯形是等腰梯形，故错误；B．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故错误；C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，正确；D．对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误．故选：C．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解特殊四边形的判定定理，难度不大．二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）=++是一次函数，那么k的取值范围是_______．7.如果y kx x k【答案】k≠-1【解析】【分析】根据一次函数的定义条件直接解答即可．【详解】解：∵y=kx+x+k是一次函数，∴k+1≠0．故答案为：k≠-1．【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，属于基础题，注意掌握一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．8.如果点A(3,)a 在一次函数31y x =+的图像上，则a =__________．【答案】10【解析】【分析】把点（3，a ）代入一次函数y =3x +1，求出y 的值即可．【详解】解：把点（3，a ）代入一次函数y =3x +1得：a =9+1=10．故答案为：10．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上的点的坐标一定适合此函数的解析式．9.方程490x -=的根是_______．【答案】x x =【解析】【分析】将左边因式分解，降次后化为两个一元二次方程即可解得答案．【详解】解：由x 4-9=0得（x 2+3）（x 2-3）=0，∴x 2+3=0或x 2-3=0，而x 2+3=0无实数解，解x 2-3=0得x =或x =故答案为：x 或x =．【点睛】本题考查解一元高次方程，解题的关键是将方程左边因式分解，把原方程降次，化为一元二次方程．10.方程20x x x-=的根是________．【答案】x =1【解析】【分析】根据解分式方程的步骤去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，解分式方程容易产生增根，因此要对整式方程的解代入最简公分母检验后得出原方程的解．【详解】解：去分母得，x 2-x =0，即x （x -1）=0，所以x1=0，x2=1，经检验：x1=0是原方程的增根，x2=1是原方程的根，所以原方程的根为x=1，故答案为：x=1．【点睛】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方法步骤是正确解答的前提，注意解分式方程容易产生增根需要检验．11.x=的解为_____．【答案】3【解析】【分析】根据无理方程的解法，首先，两边平方解出x的值，然后验根，解答即可．【详解】解：两边平方得：2x+3＝x2∴x2﹣2x﹣3＝0，解方程得：x1＝3，x2＝﹣1，检验：当x1＝3时，方程的左边＝右边，所以x1＝3为原方程的解，当x2＝﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x2＝﹣1不是原方程的解．故答案为3．【点睛】此题考查无理方程的解，解题关键在于掌握运算法则12.方程组56x yxy-=⎧⎨=-⎩的解是_________．【答案】112 3x y =⎧⎨=-⎩，2232xy=⎧⎨=-⎩【解析】【分析】解二元二次方程组，用代入消元转化成一元二次方程，解出方程即可．【详解】解：56x yxy-=⎧⎨=-⎩①②，由①得：y=x-5③，将③代入②：x（x-5）=-6，整理得：x²-5x+6=0，x1=2，x2=3．将上述x代入③，得：y1=-3，y2=-2．∴方程组的解：112 3x y =⎧⎨=-⎩，2232xy=⎧⎨=-⎩，故答案为：112 3x y =⎧⎨=-⎩，2232xy=⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查的是二元二次方程组，考核的是学生解二元二次方程组的能力以及转化思想，因为含有二次项，所以运用代入消元法转化成一元二次方程是关键．13.布袋内装有大小、形状相同的2个红球和2个白球，从布袋中一次摸出两个球，那么两个都摸到红球的概率是___________．【答案】1 6【解析】【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出两个都是红球的结果数，然后根据概率公式计算．【详解】解：画树状图为：共有12种等可能的结果，其中两个都是红球的结果数为2，所以两个都摸到红球的概率=212=16，故答案为：1 6．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．14.如果过多边形的一个顶点共有6条对角线，那么这个多边形的内角和是_______度．【答案】1260°【解析】【分析】从多边形一个顶点可作6条对角线，则这个多边形的边数是9，n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，代入公式就可以求出内角和．【详解】解：∵过多边形的一个顶点共有6条对角线，故该多边形边数为9，∴（9-2）•180°=1260°，∴这个多边形的内角和为1260°．故答案为：1260°．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要熟记的内容，比较简单．15.如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，DE∥CB，点E在AB上，且EB=4，如果梯形ABCD的周长为24，那么△AED的周长为________．【答案】16【解析】【分析】因为AB∥CD，DE∥CB，所以，四边形EBCD是平行四边形，则EB=CD=4，ED=BC，又梯形ABCD的周长为24，即AB+BC+CD+AD=24，所以，AE+BC+AD=16，即AE+DE+AD=16．【详解】解：∵AB∥CD，DE∥CB，∴四边形EBCD是平行四边形，EB=4，∴EB=CD=4，ED=BC，又∵梯形ABCD的周长为24，∴AB+BC+CD+AD=24，EB+CD=8，∴AE+BC+AD=16，∴AE+DE+AD=16，即△AED的周长为16；故答案为：16．【点睛】本题主要考查了梯形和平行四边形的性质，把△AED的周长看作一个整体，通过等量代换求出，本题蕴含了整体思想．16.如图，菱形ABCD由6个腰长为2，且全等的等腰梯形镶嵌而成，则菱形的对角线AC的长为_____.【答案】【解析】【分析】根据图形可知∠ADC=2∠A ，又两邻角互补，所以可以求出菱形的锐角内角是60°；再根据AD=AB 可以得出梯形的上底边长等于腰长，即可求出梯形的下底边长，所以菱形的边长可得，线段AC 便不难求出．【详解】根据图形可知∠ADC=2∠A ，又∠ADC+∠A=180°，∴∠A=60°，∵AB=AD ，∴梯形的上底边长=腰长=2，∴梯形的下底边长=4（可以利用过上底顶点作腰的平行线得出），∴AB=2+4=6，∴AC=2ABsin60°=2×6×2故答案为【点睛】本题考查的是等腰梯形的性质，仔细观察图形得到角的关系和梯形的上底边长与腰的关系是解本题的关键．17.如图，ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，将ABCD 翻折使点B 与点D 重合，点A 落在点E ，已知∠AOB =α（α是锐角），那么∠CEO 的度数为________．（用α的代数式表示）【答案】90°-α【解析】【分析】先画出图形，由折叠的性质证明△OEF ≌△OCF ，继而可得△OEF 是直角三角形，∠OFE =90°，根据∠AOB =α，可求∠CEO 的度数．【详解】解：如图所示：由折叠的性质可得：∠AOB =∠EOF =∠COF ，OE =OA =OC ，在△OEF 和△OCF 中，OE OC EOF COF OF OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OEF ≌△OCF （SAS ），∴∠OFE =∠OFC =90°，∵∠AOB=α，∴∠EOF=α，∴∠CEO=90°-α．故答案为：90°-α．【点睛】本题考查了翻折变换的知识，注意掌握翻折前后对应边相等、对应角相等，另外要求我们掌握平行四边形的对角线互相平分的性质．18.平行四边形ABCD中，两条邻边长分别为3和5，∠BAD与∠ABC的平分线交于点E，点F是CD 的中点，连接EF，则EF=________.【答案】3.5或0.5【解析】【分析】分两种情况讨论：①当AB=3，BC=5时，延长AE交BC于M，由平行线的性质和角平分线的定义可推出∠BAM=∠AMB，得到AB=BM=3，求出CM=2，再证明∠AEB=90°，根据等腰三角形三线合一得到E为AM的中点，所以EF为梯形ADCM的中位线，根据中位线的性质可求EF；②当AB=5，BC=3时，延长AE交BC的延长线于M，连接DM，延长EF与DM交于G，同理可证AE=EM，CM=2，再利用三角形中位线的性质可求出EF.【详解】分两种情况：①如图1，当AB=3，BC=5时，延长AE交BC于M，∵AD∥BC，∴∠DAM=∠AMB∵AM平分∠BAD，∴∠DAM=∠BAM∴∠BAM=∠AMB∴AB=BM=3∴CM=BC-BM=5-3=2∵AD ∥BC∴∠DAB+∠ABC=180°又∵AE 平分∠BAD ，BE 平分∠ABC ，∴∠EAB+∠EBA=12∠DAB+12∠ABC=90°，∴∠AEB=90°∴BE ⊥AM ，∵BA=BM∴AE=EM∵DF=CF∴EF 为梯形ADCM 的中位线∴EF=()()11AD CM =52=3.522+⨯+②如图，当AB=5，BC=3时，延长AE 交BC 的延长线于M ，连接DM ，延长EF 与DM 交于G ，同①可证：AE=EM ，CM=BM-BC=AB-BC=2，EG 为△ADM 的中位线，FG 为△CDM 的中位线，∴EG=12AD=1.5，FG=12CM=1，∴EF=EG-FG=0.5综上所述，EF 的长为3.5或0.5故答案为：3.5或0.5【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形三线合一的性质，以及梯形和三角形中位线的性质，利用角平分线和平行线的性质推出△ABM 为等腰三角形是解题的关键.三、解答题（本大题共6题，满分40分）19.解方程：26x +=【答案】3x=【解析】【分析】移项后两边平方，即可得出一个一元二次方程，求出方程的解，再把所得的结果进行检验即可．62x=-()2362x x-=-2425390x x-+=（x-3）（4x-13）=0，解得：1134x=，23x=经检验：134x=是原方程的增根，舍去所以，原方程的根是3x=．【点睛】本题考查解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解题的关键，在计算时要注意检验．20.解方程组：222449{x xy yx xy++=+=.【答案】{1.5xy==，33xy=-=⎧⎨⎩，{1.5xy==-，33xy==-⎧⎨⎩.【解析】【分析】先把原方程组的每个方程化简，这样原方程组转化成四个方程组，求出每个方程组的解即可．【详解】222449x xy yx xy⎧++=⎨+=⎩①②由①得：（x+2y）2＝9，x+2y＝±3，由②得：x（x+y）＝0，x＝0，x+y＝0，即原方程组化为：23x yx+=⎧⎨=⎩，23x yx y+=⎧⎨+=⎩，23x yx+=-⎧⎨=⎩，23x yx y+=-⎧⎨+=⎩，解得：1.5xy=⎧⎨=⎩，33xy=-⎧⎨=⎩，1.5xy=⎧⎨=-⎩，33xy=⎧⎨=-⎩，所以原方程组的解为：1.5xy=⎧⎨=⎩，33xy=-⎧⎨=⎩，1.5xy=⎧⎨=-⎩，33xy=⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．21.如图，在ABCD 中，点E 是边BC 的中点，设AB a = ，BE b =．(1)写出所有与BE互为相反向量的向量：__________．(2)试用向量a 、b 表示向量DE ，则DE =uuu r __________．(3)在图中求作：BA BE - 、EC ED + （保留作图痕迹，不要求写作法，但要写出结果）【答案】（1）CE ，EB ；（2）a b -；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据相反向量的定义解答即可．（2）利用三角形法则求解．（3）连接AE ，BD ，利用三角形法则求解即可．【详解】解：（1） 四边形ABCD 是平行四边形，//AD CB ∴，BE CE = ，∴与BE 互为相反向量的向量有：CE ，EB ，故答案为：CE ，EB（2）//AB CD ，AB CD =，∴DE DC CE a b =+=- ，故答案为：a b -．（3）连接AE ，BD ． BA BE EA -= ，EC ED BE ED BD +=+=，∴EA ，BD 即为所求．【点睛】本题考查作图 复杂作图，平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，学会利用三角形法则解决问题．22.如图，已知BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，垂足分别为E、D，联结CD、DE，DE与AB交于点O，CD∥AB．求证：四边形OBCD是菱形．【答案】见解析【解析】【分析】根据已知条件首先证明四边形AEBD是矩形，可得OB=OD，再证明四边形OBCD是平行四边形，进而可得结论．【详解】解：证明：∵B D、BE分别是∠ABC与∠ABF的平分线，∴∠ABD+∠ABE=12×180°=90°，即∠EBD=90°，又∵AE⊥BE，AD⊥BD，E、D是垂足，∴∠AEB=∠ADB=90°，∴四边形AEBD是矩形．∴OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD=∠DBC，∴∠ODB=∠DBC，∴OD∥BC，∵CD∥AB，∴四边形OBCD是平行四边形，∵OB=OD，∴平行四边形OBCD是菱形．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的判定，解决本题的关键是证明四边形AEBD是矩形．23.为庆祝中国共产党建党90周年，6月中旬我市某展览馆进行党史展览，把免费参观票分到学校．展览馆有2个验票口A、B（可进出），另外还有2个出口C、D（不许进）.小张同学凭票进入展览大厅，参观结束后离开.（1）小张从进入到离开共有多少种可能的进出方式？（要求用列表或树状图）.（2）小张不从同一个验票口进出的概率是多少？【答案】（1）见解析；（2）3 4【解析】【分析】（1）开始以后有两种选择，即入口A或B，进入每个入口后，又各自有四种选择，即可用树形图法表示；（2）根据树形图求出所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可解答．【详解】（1）用树状图分析如下（2）小张从进入到离开共有8种可能的进出方式，不从同一个验票口进出的情况有6种，∴P（小张不从同一个验票口进出）=63= 84．【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=m n.24.某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积200万亩的任务，后来市政府调整了原定计划，不但绿化面积要在原计划的基础上增加20%，而且要提前1年完成任务，经测算要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多20万亩，求原计划平均每年的绿化面积．【答案】原计划平均每年完成绿化面积40万亩.【解析】【分析】本题的相等关系是：原计划完成绿化时间−实际完成绿化实际＝1．设原计划平均每年完成绿化面积x 万亩，则原计划完成绿化完成时间200x 年，实际完成绿化完成时间：200(120%)20x ++年，列出分式方程求解【详解】解：设原计划平均每年完成绿化面积x 万亩.根据题意可列方程：200200(120%)120x x +-=+去分母整理得：26040000x x +-=解得：140x =，2100x =-经检验：140x =，2100x =-都是原分式方程的根，因为绿化面积不能为负，所以取40x =．答：原计划平均每年完成绿化面积40万亩.【点睛】本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．列分式方程解应用题的检验要分两步：第一步检验它是否是原方程的根，第二步检验它是否符合实际问题．四、解答题（本大题共2题，满分18分）25.如图，已知在平面直角坐标系中，直线2y kx =+和双曲线m y x=都经过点(1,4)A 和点B ．（1）求线段AB 的长；（2）如果点P 在y 轴上，点Q 在此双曲线上，当以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出P 、Q 的坐标．【答案】（1）35；（2）(0,1)P -，4(3Q ，3)或14(0,3P -，4(3,)3Q 或14(0,)3P ，4(3,)3Q --．【解析】【分析】（1）将点A 的坐标代入直线和双曲线的解析式中，求出直线和双曲线的解析式，再联立求解得出点B 坐标，最后用两点间距离公式求解，即可得出结论；（2）设4(,)Q q q，(0,)P p ，分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分建立方程组求解，即可得出结论．【详解】解：（1） 点(1,4)A 在直线2y kx =+上，24k ∴+=．2k ∴=，∴直线AB 的解析式为22y x =+①，点(1,4)A 在双曲线m y x=上，144m ∴=⨯=，∴双曲线的解析式为4y x=②，联立①②解得，14x y =⎧⎨=⎩或22x y =-⎧⎨=-⎩，(2,2)B ∴--，(1,4)A ，22(12)(42)35AB ∴=+++=（2）由（1）知，双曲线的解析式为4y x=， 点Q 在双曲线上，∴设4(,Q q q，点P 在y 轴上，∴设(0,)P p ，由（1）知，(2,2)B --， 以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，∴①当AB 与PQ 为对角线时，∴11(12)(0)22q -=+，114(42)()22p q-=+，1q ∴=-，6p =，(0,6)P ∴，(1,4)Q --，②当AP 与BQ 是对角线时，∴11(10)(2)22q +=-+，114(4)(2)22p q+=-+，3q ∴=，143p =-，14(0,)3P ∴-，4(3,)3Q ，③当AQ 与BP 是对角线时，∴11(1)(20)22q +=-+，141(4)(2)22p q +=-+，143p ∴=，3q =-，14(0,)3P ∴，4(3,)3Q --，即满足条件的点P ，Q 的坐标分别为(0,6)P ，(1,4)Q --或14(0,3P -，4(3,)3Q 或14(0,)3P ，4(3,)3Q --．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，平行四边形的性质，用方程组的思想解决问题是解本题的关键．26.如图，在正方形ABCD 中，点E 是边BC 延长线上一点，联结DE ，过点B 作BF ⊥DE ，垂足为点F ，BF 与边CD 相交于点G ．(1)求证：CG=CE ；(2)联结CF ，求证：∠BFC =45°；(3)如果正方形ABCD 的边长为2，点G 是边DC 的中点，求EF的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）5【解析】【分析】（1）由ASA 证得△BCG ≌△DCE ，即可得出结论；（2）过点C 作CM ⊥BF ，CN ⊥DE ，垂足分别为M ，N ，证明△CM G ≌△CNE ，可得CM=CN ，再根据角平分线的判定可得结论；（3）由正方形的性质得出∠BCG =90°，AB =BC =CD =2，BDAB ，由G 为DC 中点，得CG =1，在Rt △BCG 中，由勾股定理得BG ，设GF =x ，在Rt △BDF 和Rt △DFG 中，由勾股定理得到方程，求出x ，由（1）知△BCG ≌△DCE ，可得BG =DE ．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC =DC ，∠BCG =∠DCE =90°，∵BF ⊥DE ，∴∠DFG =∠BCG =90°，∵∠DGF =∠BGC ，∴∠GBC =∠EDC ，在△BCG 和△DCE 中，BCG DCE BC DC GBC EDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BCG ≌△DCE （ASA ），∴CG =CE ；（2）如图，过点C 作CM ⊥BF ，CN ⊥DE ，垂足分别为M ，N ，∵△BCG ≌△DCE ，∴CG =CE ，∠CGM =∠CEN ，又∵∠CM G =∠CNE =90°，∴△CM G ≌△CNE （AAS ），∴CM=CN ，∴CF 平分∠BFE ，∴∠BFC =12∠BFE =45°；（3）连接BD∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCG =90°，AB =BC =CD =2，BD =AB =，∵G 为DC 中点，∴CG =GD =12CD =1，在Rt △BCG 中，由勾股定理得：BG =设GF =x ，在Rt △BDF 和Rt △DFG 中，由勾股定理得：BD 2-BF 2=DF 2，DG 2-GF 2=DF 2，∴()22221x x -=-，解得：x∴DF 5=，由（1）知：△BCG ≌△DCE ，∴BG =DE∴EF =DE -DF 255-=5．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、角平分线的判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．。
2019-2020学年上海市杨浦区八年级下学期期末数学试题(解析版)
2019学年第二学期期末质量调研卷初二数学一、选择题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.一次函数23y x =-的图像在y 轴的截距是（）A.2B.-2C.3D.-3【答案】D【解析】【分析】根据函数解析式得到b=-3，即可得到截距.【详解】∵23y x =-，即b=-3，∴图像与y 轴的截距为-3，故选：D.【点睛】此题考查一次函数的图象与坐标轴的截距，与y 轴的截距即为b 的值，注意有正负.2.一次函数y ＝x ﹣1的图象不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】分析：根据函数图像的性质解决即可.解析：1y x =-的图像经过第一、三、四象限，所以不经过第二象限.故选B.3.下列方程组是二元二次方程组的是（）A.2322y x xy x =⎧⎨+-=⎩ B.2013xy x x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩C.531x y x y +=⎧⎨-=-⎩D.23y y x==-⎪⎩【答案】A【解析】【分析】根据二元二次方程组的定义，逐个判断得结论．【详解】解：选项A符合二元二次方程组的概念；选项B含分式方程，选项D含无理方程，故B、C都不是二元二次方程组；选项C是二元一次方程组．故选：A．【点睛】本题考查了二元二次方程组的定义，掌握二元二次方程组的概念是解决本题的关键．4.若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（）A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形【答案】B【解析】【分析】任意多边形的外角和为360°，然后利用多边形的内角和公式计算即可．【详解】解：设多边形的边数为n．根据题意得：（n-2）×180°=360°，解得：n=4．故选：B．【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，掌握任意多边形的外角和为360°和多边形的内角和公式是解题的关键．5.下列事件为必然事件的是（）A.方程x²+1=0在实数范围内有解；B.抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；C.对角线相等的平行四边形是矩形；D.对角线互相垂直的四边形是菱形．【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的解法、矩形和菱形的判定定理判断．【详解】解：A 、方程210x +=在实数范围内有解，是不可能事件；B 、抛掷一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件；C 、对角线相等的平行四边形是矩形，是必然事件；D 、对角线互相垂直的四边形是菱形，是随机事件；故选：C ．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6.如图，点C 、D 在线段AB 上，AC BD =，那么下列结论中，正确的是（）A.AC 与BD 是相等向量B.AD 与BD 是平行向量C.AD 与BD 是相反向量D.AD 与BC是相等向量【答案】B【解析】【分析】由AC=BD ，可得AD=BD ，即可得AD 与BD 是平行向量，AD BC AC BD =-=-，，继而证得结论．【详解】A 、∵AC=BD ，∴AC BD =- ，该选项错误；B 、∵点C 、D 是线段AB 上的两个点，∴AD 与BD 是平行向量，该选项正确；C 、∵AC=BC ，∴AD≠BD ，∴AD 与BD不是相反向量，该选项错误；D 、∵AC=BD ，∴AD=BC ，∴AD BC =- ，，该选项错误；故选：B ．【点睛】本题考查了平面向量的知识．注意掌握相等向量与相反向量的定义是解此题的关键．二、填空题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分）7.已知一次函数(1)2y k x =-+的图像与直线3y x =平行，那么k =__________．【答案】4【解析】【分析】根据两直线平行，则函数解析式的一次项系数相同，即可确定k 的值．【详解】解： 一次函数(1)2y k x =-+的图象与直线3y x =平行，13k ∴-=，4k ∴=，故答案为：4．【点睛】本题考查了两条直线平行问题，属于基础题，关键是掌握两直线平行则k 值相同．8.已知一次函数(12)y m x m =-+，函数值y 随自变量x 的值增大而减小，那么m 的取值范围是__________．【答案】12m >【解析】【分析】根据一次函数(12)y m x m =-+的增减性列出不等式120m -<，通过解该不等式即可求得m 的取值范围．【详解】解：由题意得，120m -<，解得，12m >；故答案为：12m >．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线(0)y kx b k =+≠中，当0k >时，y 随x 的增大而增大；当k 0<时，y 随x 的增大而减小．9.方程3270x -=的解是__________．【答案】3x =【解析】【分析】先移项，再开立方即可．【详解】解：3270x-=，327x=，3x==，故答案为：3x=．【点睛】本题考查了解高次方程，能把高次方程转化成低次方程是解此题的关键．10.方程x=的解为__________．【答案】2x=【解析】【分析】本题含根号，计算比较不便，因此可先对方程两边平方，得到x+2=x2，再对方程进行因式分解即可解出本题．【详解】原方程变形为：x+2=x2即x2-x-2=0∴（x-2）（x+1）=0∴x=2或x=-1∵x=-1时不满足题意．∴x=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法和平方法．11.二元二次方程2260x xy y--=可以化为两个一次方程，他们是__________．【答案】30x y-=和20x y+=．【解析】【分析】先因式分解二元二次方程，根据两个式子的积为0得结论．【详解】解：因为226(3)(2)x xy y x y x y--=-+，所以2260x xy y--=可化为30x y-=或20x y+=．故答案为：30x y-=和20x y+=．【点睛】本题考查了高次方程，因式分解二元二次方程是解决本题的关键．若0ab=，则0a=或0b=．12.已知方程322301x x x x--+=-，如果设1x y x =-，那么原方程可化为关于y 的整式方程是__________．【答案】23320y y +-=【解析】【分析】由设出的y ，将方程左边前两项代换后，得到关于y 的方程，去分母整理即可得到结果．【详解】解：设1x y x =-，方程322301x x x x--+=-变形为2330-+=y y ，整理得：23320y y +-=．故答案为：23320y y +-=．【点睛】此题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．13.一个不透明的口袋中，装有红球4个，黑球3个，这些球除颜色不同外其他都相同，从中任意摸出一个球，则摸到黑球的概率为__________．【答案】37【解析】【分析】先求出所有球的个数与黑球的个数，再根据概率公式解答即可．【详解】解： 共437+=个球在袋中，其中3个黑球，∴摸到黑球的概率为37．故答案为：37．【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）m n=，难度适中．14.在元旦前夕，某通讯公司的每位员工都向本公司的其他员工发出了1条祝贺元旦的短信，已知全公司共发出2450条短信，那么这个公司有_________员工人．【答案】50【解析】【分析】设这个公司有员工x 人，则每人需发送(1)x -条祝贺元旦的短信，根据全公司共发出2450条短信，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设这个公司有员工x 人，则每人需发送(1)x -条祝贺元旦的短信，依题意，得：(1)2450x x -=，解得：150x =，249x =-（不合题意，舍去）．故答案为：50．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15.在平行四边形ABCD 中，如果3B A ∠=∠，那么A ∠=_________度．【答案】45【解析】【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，即可得A C ∠=∠，B D ∠=∠，又由180A B ∠+∠=︒，即可求得答案．【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，A C ∴∠=∠，B D ∠=∠，3B A ∠=∠Q ，180A B +∠=︒，45A ∴∠=︒．故答案为：45．【点睛】此题考查了平行四边形的性质．解题的关键是注意数形结合思想与平行四边形的对角相等定理的应用．16.已知菱形的边长为13，一条对角线长为10，那么它的面积等于__________．【答案】120【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，得已知对角线的一半是5．根据勾股定理，得要求的对角线的一半是12，则另一条对角线的长是24，进而求出菱形的面积．【详解】解：在菱形ABCD 中，13AB =，10AC =，对角线互相垂直平分，90AOB ∠=︒∴，5AO =，在Rt AOB ∆中，12BO =，224BD BO ∴==．∴则此菱形面积是10241202⨯=，故答案为：120．【点睛】本题考查了菱形的性质，注意菱形对角线的性质：菱形的对角线互相垂直平分．熟练运用勾股定理．17.已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，4AB AD DC ===，AC AB ⊥，那么梯形ABCD 的周长等于__________．【答案】20【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到DAC DCA ∠=∠，根据平行线的性质得到DAC ACB ∠=∠，得到DCA ACB ∠=∠，根据直角三角形的性质列式求出30BCA ∠=︒，根据直角三角形的性质求出BC ，根据梯形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：AD DC = ，DAC DCA ∴∠=∠，//AD BC ，DAC ACB ∴∠=∠，DCA ACB ∴∠=∠，//AD BC ，AB DC =，2B BCD ACB ∴∠=∠=∠，AC AB ⊥ ，90B BCA ∴∠+∠=︒，即390BCA ∠=︒，30BCA ∴∠=︒，28BC AB ∴==，4AB AD DC === ，8BC =，∴梯形的周长444820=+++=，故答案为：20．【点睛】本题考查的是梯形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握含30°的直角三角形的性质是解题的关键．18.已知在直线l 上有,A B 两点，1AB =，以AB 为边作正方形ABCD ，联结BD ，将BD 绕着点B 旋转，使点D 落在直线l 上的点E 处，那么AE =__________．【答案】1+1-【解析】【分析】分两情况，当点E 在AB 的延长线上，当点E 在BA 的延长线上，由勾股定理求出BD 的长，则可得出答案．【详解】解：如图1，当点E 在AB 的延长线上，正方形ABCD 中，1AB AD ==，90DAB ∠=︒，BD ∴==将BD 绕着点B 旋转，使点D 落在直线l 上的点E 处，BD BE ∴==1AE AB BE ∴=+=+；如图2，当点E 在BA 的延长线上，同理可得2BD BE ==21AE BE AB ∴=-=．AE ∴21+21．21+或21-．【点睛】此题考查了旋转的性质，勾股定理，以及正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．三、解答题：本大题共6个小题，共40分．19.21x x +-=【答案】14x =【解析】【分析】方程两边同时平方可把根号化去，逐渐化为整式方程，可求出解.【详解】解：移项，得21x x+=两边平方，得x移项整理，得x两边平方，得4x=1所以，正数x=14故答案为14.【点睛】本题考核知识点：二次根式，无理方程.解题关键点:方程两边同时平方把根号化去.20.解方程组：2220326x xy x xy y ⎧+=⎨-+=⎩①②【答案】110x y =⎧⎪⎨=⎪⎩220x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩【解析】【分析】解①，用含y 的代数式表示x ，然后代入②求出y ，再求出方程组的解．【详解】解：2220326x xy x xy y ⎧+=⎨-+=⎩①②，由①，得()0x x y +=，所以0x =或x y =-．把0x =代入②，得226y =，解得y =．把x y =-代入②，得222326y y y ++=，整理，得21y =，所以1y =±．所以1x =-或1．故原方程组的解为：110x y =⎧⎪⎨=⎪⎩220x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查了高次方程组的解法．变形①用代入法把二元二次方程组转化为一元二次方程，是解决本题的关键．21.如图，已知梯形ABCD ，//AD BC ，AB DC =，点E 在边BC 上，//DE AB ，请回答下列问题：（1）写出所有与AB 互为相反数的向量是．（2）在图中求作AB 与AD 的和向量：=AB AD + ．（3）在图中求作BC 与DC 的差向量：=BC DC -．（4）AB BC CD ++= ．【答案】（1）BA 或ED ；（2）A E ；（3）BD ；（4）AD【解析】【分析】（1）根据相反向量的定义判断即可．（2）利用三角形法则计算即可．（3）利用三角形法则计算即可．（4）利用三角形法则计算即可．【详解】解：（1）//AD BC ，//AB DE ，∴四边形ABED 是平行四边形，AB DE ∴=，∴与AB 互为相反的向量是BA 或ED ．故答案为BA 或ED．（2）由题意，AB AD AD DE AE +=+= ，故答案为A E ．（3）由题意，BC DC BC CD BD -=+= ，故答案为BD ．（4）由题意AB BC CD AD ++= ，故答案为AD ．【点睛】本题考查平面向量，平行四边形的判定和性质，三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22.如图，已知在ABC 中，AB AC =，点O 是ABC 内任意一点，点,,,D E F G 分别是,,,AB AC OB OC 的中点，2A BDF ∠=∠．求证：四边形DEFG 是矩形．【答案】见解析【解析】【分析】易证DE 是ABC ∆的中位线，FG 是OBC ∆的中位线，推出ADE ABC =∠∠，AED ACB ∠=∠，//DE FG ，DE FG =，则四边形DEGF 是平行四边形，由AB AC =，得A ABC CB =∠∠，则ADE AED ∠=∠，证1902ADE A ∠+∠=︒，90ADE BDF ∠+∠=︒，推出90EDF ∠=︒，即可得出结论．【详解】解：证明： 点D 、E 、F 、G 分别是AB 、AC 、OB 、OC 的中点，DE ∴是ABC ∆的中位线，FG 是OBC ∆的中位线，//DE BC ∴，12DE BC =，//FG BC ，12FG BC =，ADE ABC ∴∠=∠，AED ACB ∠=∠，//DE FG ，DE FG =，∴四边形DEGF 是平行四边形，AB AC = ，ABC ACB ∴∠=∠，ADE AED ∴∠=∠，180ADE AED A ∠+∠+∠=︒ ，即2180ADE A ∠+∠=︒，1902ADE A ∴∠+∠=︒，2A BDF ∠=∠ ，12BDF A ∴∠=∠，90ADE BDF ∴∠+∠=︒，1801809090EDF ADE BDF ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒=︒，∴四边形DEGF 是矩形．【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定等知识；熟练掌握三角形中位线定理和矩形的判定是解题的关键．23.某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6千米，返回时由于步行速度比去时每小时少1千米，结果时间比去时多用了半小时，求学生返回时步行的速度．【答案】3千米/小时【解析】【分析】设学生返回时步行的速度为x 千米/小时，则去时步行的速度为(1)x +千米/小时，根据时间=路程÷速度结合返回时比去时多用了半小时，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【详解】解：设学生返回时步行的速度为x 千米/小时，则去时步行的速度为(1)x +千米/小时，依题意，得：66112x x -=+，整理，得：2120x x +-=，解得：13x =，24x =-，经检验，13x =，24x =-是原方程的解，13x =符合题意，24x =-不符合题意，舍去．答：学生返回时步行的速度为3千米/小时．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．24.某市为鼓励市民节约用水和加强对节水的管理，制订了以下每年每户用水的收费标准：①用水量不超过220立方米时，每立方米收费1.92元，并加收每立方米1.53元的污水处理费；②用水量超过220立方米时，在①的基础上，超过220立方米的部分，每立方米收费3.30元，并加收每立方米1.53元污水处理费；设某户一年的用水量为x 立方米，应交水费y 元．（1）分别对①、②两种情况，写出y 与x 的函数解析式，并指出函数的定义域；（2）当某户2019年全年缴纳的水费共计1000.5元时，求这户2019年全年用水量．【答案】（1）① 3.45(0220)y x x =< ；② 4.83303.6(220)y x x =->；（2）270立方米【解析】【分析】（1）由题意列出y 关于x 的函数解析式，根据限制条件写出函数定义域．（2）由交费可知说明该户用水量已超过220立方米，把数值代入函数关系式．【详解】解：（1）情况①：(1.92 1.53)y x =+，即 3.45(0220)y x x =<，情况②：220(1.92 1.53)(220)(3.30 1.53)y x =⨯++-+，即所求的函数解析式为 4.83303.6(220)y x x =->；（2）当该户一个月应交水费为1000.5元时，说明该户用水量已超过220立方米，则4.83303.61000.5x-=，解得270x=．答：该户一个月的用水量为270立方米．【点睛】本题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，根据220x>得出水费应有两部分组成是解题关键．四、解答题（本大题共2题，满分18分）25.如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x与反比例函数y=kx在第一象限内的图像交于点A（m，2），将直线y=2x向下平移后与反比例函数y=kx在第一象限内的图像交于点P，且△POA的面积为2.（1）求k的值；（2）求平移后的直线的函数解析式.【答案】(1)k=2（2）y=2x-4【解析】【分析】（1）由点A的纵坐标求得m，即点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数中即可；（2）先求出PM，再求出BN然后用锐角三角函数求出OB，即可．【详解】(1)∵点A(m,2)在直线y=2x上，∴2=2m，∴m=1，∴点A(1,2)，∵点A(1,2)在反比例函数y=kx上，∴k=2，(2)如图，设平移后的直线与y 轴相交于B ，过点P 作PM ⊥OA ，BN ⊥OA ，AC ⊥y 轴由(1)知,A(1,2)，∴5∠BON=sin ∠AOC=55AC OA =，∵S △POA =12OA×PM=125，∴PM=55，∵PM ⊥OA ，BN ⊥OA ，∴PM ∥BN ，∵PB ∥OA ，∴四边形BPMN 是平行四边形，∴BN=PM=455，∵sin ∠BON=45555BN OB OB ==，∴OB=4，∵PB ∥AO ，∴B(0,−4)，∴平移后的直线PB 的函数解析式y=2x−4.【点睛】此题是反比例函数和一次函数的交点问题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定和性质，坐标与图形变化-平移，锐角三角函数的意义，解本题的关键是作出辅助线.26.已知在平行四边形ABCD 中，AB BC ≠，将ABC 沿直线AC 翻折，点B 落在点尽处，AD 与CE 相交于点O ，联结DE ．（1）如图1，求证：//AC DE ；（2）如图2，如果90B ∠=︒，AB =，=BC OAC 的面积；（3）如果30B ∠=︒，AB =AED 是直角三角形时，求BC 的长．【答案】（1）见解析；（2）8；（3）4或6【解析】【分析】（1）由折叠的性质得ACB ACE ∠=∠，BC EC =，由平行四边形的性质得AD BC =，//AD BC ．则EC AD =，ACB CAD ∠=∠，得ACE CAD ∠=∠，证出OA OC =，则OD OE =，由等腰三角形的性质得ODE OED ∠=∠，证出CAD ACE OED ODE ∠=∠=∠=∠，即可得出结论；（2）证四边形ABCD 是矩形，则90CDO ∠=︒，==CD AB ，AD BC ==OA OC x ==，则OD x =-，在Rt OCD ∆中，由勾股定理得出方程，求出4OA =，由三角形面积公式即可得出答案；（3）分两种情况：90EAD ∠=︒或90AED ∠=︒，需要画出图形分类讨论，根据含30°角的直角三角形的性质，即可得到BC 的长．【详解】解：（1）证明：由折叠的性质得：ABC ∆≅△AEC ∆，ACB ACE ∴∠=∠，BC EC =，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，//AD BC ．EC AD ∴=，ACB CAD ∠=∠，ACE CAD ∴∠=∠，OA OC ∴=，OD OE ∴=，ODE OED ∴∠=∠，AOC DOE ∠=∠ ，CAD ACE OED ODE ∴∠=∠=∠=∠，//AC DE ∴；（2） 平行四边形ABCD 中，90B ∠=︒，∴四边形ABCD 是矩形，90CDO ∴∠=︒，==CD ABAD BC ==由（1）得：OA OC =，设OA OC x ==，则OD x =，在Rt OCD ∆中，由勾股定理得：222)x x +-=，解得：364x =，4OA ∴=，OAC ∴∆的面积1192228OA CD =⨯=⨯；（3）分两种情况：①如图3，当90EAD ∠=︒时，延长EA 交BC 于G ，AD BC = ，BC EC =，AD EC ∴=，//AD BC ，90EAD ∠=︒，90EGC ∴∠=︒，30B ∠=︒ ，AB =30AEC ∴∠=︒，1122GC EC BC ∴==，G ∴是BC 的中点，在Rt ABG ∆中，32BG AB ==，26BC BG ∴==；②如图4，当90AED ∠=︒时AD BC = ，BC EC =，AD EC ∴=，由折叠的性质得：AE AB =，AE CD ∴=，在ACE ∆和CAD ∆中，AE CD CE AD AC CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ACE CAD SSS ∴∆≅∆，ECA DAC ∴∠=∠，OA OC ∴=，OE OD ∴=，OED ODE ∴∠=∠，AED CDE ∴∠=∠，90AED ∠=︒ ，90CDE \Ð=°，//AE CD ∴，又//AB CD ，B ∴，A ，E 在同一直线上，90BAC EAC ∴∠=∠=︒，Rt ABC ∆ 中，30B ∠=︒，AB =2AC ∴==，24BC AC ==；综上所述，当AED ∆是直角三角形时，BC 的长为4或6．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质是解题的关键．。
下海市杨浦区2022届八年级第二学期期末达标检测数学试题含解析
下海市杨浦区2022届八年级第二学期期末达标检测数学试题一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下列属于矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）A ．两组对边分别平行且相等B ．两组对角分别相等C ．对角线相互平分D ．四个角都相等2．在平面直角坐标系中，二次函数223y x x =+-的图象如图所示，点()11,A x y ，()22,B x y 是该二次函数图象上的两点，其中1230x x -≤<≤，则下列结论正确的是（ ）A ．12y y <B ．12y y >C ．函数y 的最小值是3-D ．函数y 的最小值是4- 3．关于一元二次方程2525x x +=根的情况描述正确的是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个不相等的实数根D ．不能确定4．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且AB ＝10，则△EDB 的周长是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．105．下列命题是真命题的是（ ）A ．若a b >，则11a b ->-B ．若22ac bc >，则a b >C ．若225x kx ++是一个完全平方公式，则k 的值等于106．点P （1，2）关于原点的对称点P′的坐标为（ ）A ．（2，1）B ．（﹣1，﹣2）C ．（1，﹣2）D ．（﹣2，﹣1）7．如图，在▱ABCD 中，∠A ＝140°，则∠B 的度数是（ ）A ．40°B ．70°C ．110°D ．140°8．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）A ．2，3，4B ．3，4，6C ．6，8，11D ．7，24，259．计算的2(4)-的结果是（ ）A ．4-B ．4±C ．4D ．1610．在下列各式中①23x x +=；②2345x x --；③212x x=-+；④20ax bx c ++=，是一元二次方程的共有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 二、填空题11．若二次根式2x -有意义，则x 的取值范围为__________．12．平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线将AD 边分成的两部分的长分别为2和3，则平行四边形ABCD 的周长是_____．13．已知x ＝2时，分式31x k x ++的值为零，则k ＝__________. 14．在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝5，若 BC 边上的高等于3，则BC 边的长为_____．15．如图是甲、乙两射击运动员的10次射击训练成绩的折射线统计图，则射击成绩较稳定的是__________(填“甲”或“乙”)。
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杨浦区第二学期期末质量抽查初二数学试卷（测试时间90分钟，满分100分）一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）1．下列方程中，属于无理方程的是 （ ）（A ）052=--x x ； （B ）15=x ； （C ）15=x； （D ）05=x ． 2．对于二项方程0(0,0)nax b a b +=≠≠，当n 为偶数时，已知方程有两个实数根，那么下列不等式成立的是 （ ） （A ）0ab <； （B ）0ab ≤； （C ）0ab >； （D ）0ab ≥． 3．下列关于向量的等式中，正确的是 （ ） （A ）0=+BA AB ； （B ）BC AC AB =-； （C ）CB BC AB =+； （D ）0=++CA BC AB ．4．已知一次函数13-=x y ，则下列判断错误的是 （ ） （A ）直线13-=x y 在y 轴上的截距为1-； （B ）直线13-=x y 不经过第二象限；（C ）直线13-=x y 在x 轴上方的点的横坐标的取值范围是1>x ； （D ）该一次函数的函数值y 随自变量x 的值增大而增大.5．已知四边形ABCD 中，︒=∠=∠=∠90C B A ，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是 （ ） （A ）︒=∠90D ； （B ）CD AB =； （C ）CD BC =； （D ）AC BD =． 6．在平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形中任选两个图形，那么下列事件中为不可能事件的是 （ ） （A ）这两个图形都是中心对称图形； （B ）这两个图形都不是中心对称图形； （C ）这两个图形都是轴对称图形；（D ）这两个图形都是既为轴对称图形又为中心对称图形．二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）7．已知直线b kx y +=平行于直线43-=x y ，且在y 轴上的截距为3，那么这条直线的解析式是 ．8．已知一次函数k x k y +-=)1(，函数值y 随自变量x 的值增大而减小，那么k 的取值范围是 ．9．如果b a ≠，那么关于x 的方程22)b a x b a -=-（的解为x = ． 10．在方程x 2＋xx 312-＝3x －4中，如果设y ＝x 2－3x ，那么原方程可化为关于y 的整式方程，该整式方程是 ． 110=的根是 ．12．二元二次方程08222=--y xy x 可以化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是 ．13．为了解决“看病贵，药价高”的问题，国家相继降低了一批药品的价格，某种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至6.48元，如果平均每次降价的百分率为x ，则根据题意所列方程为 ．14．七边形的内角和是 度．15．已知：正方形ABCD 的边长等于8cm ，那么边AB 的中点M 到对角线BD 的距离 等于 cm ．16．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90B ，4=AB cm ，5=CD cm ，5=AD cm ，则BC 的长为 cm ．17．在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y （千米）随时间（时）变化的图像（全程）如图所示.有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20千米.其中正确的说法是 ． 18．如图，已知菱形ABCD 的边长为2，∠A ＝45°，将菱形ABCD 绕点A 旋转45°，得到菱形111D C AB ，其中B 、C 、D 的对应点分别是111D C B 、、，那么点1C C 、的距离为 ．（第17题图）C（第18题图）三、（本大题共7题，满分46分） 19．（本题6分）解方程：228224x x x x x ++=+-- 解：20．（本题6分）解方程组⎩⎨⎧=-+-=-.0420222y xy x y x解：21（本题6分）如图，已知：在□ABCD 中，点E 、F 在对角线BD 上，且BE = DF ． （1）在图中画出向量AB －BC 的差向量并填空：AB BC -= ；（2）图中与BC 平行的向量是： ； （3）若,,AB a AD b BE c ===，用,,a b c 表示DE = ．FEDCBA22（本题6分）从一副扑克牌中拿出红桃A、红桃K、黑桃A共3张牌．（1）把3张牌洗匀后，从中任取2张牌．试写出所有可能的结果，并求取出的两张牌恰好是不同花色的概率；（2）把3张牌洗匀后，先从中任取出一张牌，放回洗匀后，再从中任取出一张牌．用树形图展现两次取出的牌可能出现的所有结果，并求两次取出的牌恰好是同花色的概率．解：23．（本题6分）如图，在□ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作AG//DB交CB的延长线于点G．（1）求证：DE∥BF；(1)证明：(2)证明：24．（本题8分）某学校准备用2400元购买一批学习用品作为奖品奖励优秀学生，已知甲种学习用品的单价比乙种学习用品的单价少2元，若用这些钱全部购买甲种学习用品比全部购买乙种学习用品可多买200件，问：这两种学习用品的单价分别是多少元？ 解：25．（本题8分）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点.例如，图中过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB 的周长与面积相等，则点P（1）判断点(1,2),(4,4)M N 是否为和谐点，并说明理由； （2）若和谐点(,3)P a 在直线()y x b b =-+为常数上， 求点,a b 的值.四、（本大题共1题，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分。
满分12分） 26．已知： O 为正方形ABCD 对角线的交点，点E 在边CB 的延长线上，联结EO ，OF ⊥OE 交BA 延长线于点F ，联结EF （如图1）。
（1） 求证：EO =FO ；（2） 若正方形的边长为2， OE =2OA ，求BE 的长；（3） 当OE =2OA 时，将△FOE 绕点O试猜想并证明△AOE 1是什么三角形。
杨浦区初二数学答案及评分标准一、 选择题（每小题3分，共18分） 1、D; 2、A; 3、D; 4、C; 5、C; 6、B二、填空题（每小题2分，共24分）7、y=3x+3; 8、k ＜1； 9、a+b ；10、y 2+4y+1=0；11、x=2；12、x+2y=0或x-4y=0； 13、260(1)48.6x -=；14、900；15、16、2或8；17、①②④；18、 三、解答题19、解：方程两边同乘以42-x 得8)2()2(2=++-x x x -------------------------------------------------------------1分化简得022=-+x x --------------------------------------------------------------1分 解之得2,121-==x x -------------------------------------------------------------2分 经检验：22-=x 是增根，11=x 是原方程的解 ------------------------------1分∴原方程的解是1=x -----------------------------------------------------------1分20、解：由方程（1）得：y x 2=，将y x 2=代入方程（2）得：042=-y ----2分∴2,221-==y y ------------------------------------------------------------------------------1分 ∴4,421-==x x --------------------------------------------------------------------------------1分∴ ⎩⎨⎧==24y x ，⎩⎨⎧-=-=24y x ， -----------------------------------------------------------------------2分21、（1）画图正确，DB ．------------------------------------------------------------------------2分 （2）CB ，CD ，DC ．---------------------------------------------------------------------------2分 （3）DE a c b =+--------------------------------------------------------------------------------2分 22、解：（1）所有可能的结果: 红桃A 、红桃K ；红桃A 、黑桃A ；红桃K 、黑桃A 。
1分共有3种等可能的情况，其中取出的两张牌恰好是不同花色的可能情况有2种，所以取出的两张牌恰好是不同花色的的概率P =32．----------------------------2分分共有9种等可能的情况，其中两次取出的牌恰好是同花色的的可能情况有5种， 所以两次取出的牌恰好是同花色的的概率P =95．------------------------------2分23、证明：（1）∵□ABCD ，∴A B ∥CD ，AB ＝CD -----------------------------------1分 ∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点，∴DF ＝12DC ，BE ＝12AB∴DF ∥BE ，DF ＝BE ---------------------------------------------------------------------1分 ∴四边形DEBF 为平行四边形∴DE ∥BF -----------------------------------------------------------------------------------1分 (2)证明：∵AG ∥BD ，∴∠G ＝∠DBC ＝90°，∴∆DBC 错误!未指定书签。
为直角三角形---1分又∵F 为边CD 的中点．∴BF ＝12DC ＝DF ------------------------------------------1分又∵四边形DEBF 为平行四边形，∴四边形DEBF 是菱形----------------------1分 24、解：设甲种学习用品单价为x 元，乙种学习用品单价为）（2+x 元-----------1分 根据题意，得：200224002400=+-x x -----------------------------------------------------3分 解方程得：4621=-=x x ，，--------------------------------------------------------------2分 经检验，4621=-=x x ，是原方程的解，但61-=x 不合题意，舍去答：甲种学习用品单价为4元，乙种学习用品单价为6元 --------------------------2分 25、解： （1）122(12),442(44),⨯≠⨯+⨯=⨯+∴点M 不是和谐点，点N 是和谐点. ----------------------------------------------2分（2）由题意得，当0a >时，(3)23,a a +⨯=6a ∴=，-------------------------------------------2分 ∵点(,3)P a 在直线y x b =-+上，代入得9b =；------------------------------1分 当0a <时，(3)23a a -+⨯=-，6a ∴=-，------------------------------------2分 ∵点(,3)P a 在直线y x b =-+上，代入得3b =-.-------------------------------1分6,96, 3.a b a b ∴===-=-或26、（1）证明：∵ABCD 是正方形，对角线交于点O ，∴AO=BO ，AC ⊥BD ，-----------------------------------------------------------1分 ∴ ∠OAB=∠OBA,∴∠OAF=∠OBE ，--------------------------------------1分 ∵AC ⊥BD ，OF ⊥OE ，∴∠AOF=90AOE ︒-∠=∠BOE ，------------1分 ∴△AOF ≌△BOE ，∴EO=FO.----------------------------------------------------------------------------1分（2）解：∵ABCD 是正方形，边长为2，∴,∴OE=2OA= ∵OF ⊥OE ，EO=FO ，∴EF=4，--------------------------------------------------1分 ∵△AOF ≌△BOE ，∴AF=BE ，--------------------------------------------------1分 设AF=BE=x ， 在Rt △EFB 中，222EF EB BF =+,即2216(2)x x =++解得1x =-x ＞0，∴1x =，即1---------------2分（3）△AOE 1是直角三角形。