共焦点的双曲线和椭圆问题
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共焦点的双曲线和椭圆问题
目录
一、解题知识 (2)
(一)基础知识 (2)
(二)共焦点的常用结论 (3)
二、分类解析 (4)
(一)用焦半径 (4)
(二)面积公式 (5)
(三)离心率关系 (7)
1.求值 (7)
2.均值不等式 (9)
3.范围 (12)
(四)其他题目 (13)
一、解题知识
(一)基础知识
一、已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中
,21θ=∠PF F 则2
tan
221θ
b S PF F =∆。
θcos 2)2(212
2212
212PF PF PF PF F F c -+== )
cos 1(2)(21221θ+-+=PF PF PF PF θ
θθcos 12)cos 1(244)
cos 1(24)(2222
22121+=
+-=+-+=
∴b c a c PF PF PF PF 12
22121sin sin tan 21cos 2
F PF b S PF PF b θθ
θθ∆∴===+二、已知双曲线方程为22
221,x y a b -=两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则
122
tan 2
F PF b S θ∆=。
三、已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中
12,,F P m PF n ==则0∆==||S c y 。
四、已知双曲线方程为22
221,x y a b
-=两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中12,,F P m PF n ==则
0∆==||S c y 。
(二)共焦点的常用结论
椭圆与双曲线共焦点1F ,2F ,它们的交点P 对两公共焦点1F ,2F 的张角为122F PF θ∠=,椭圆与双曲线的离心率分别为1e ,2e ,则()
A .222212
cos sin 1
e e θθ+=B .2222
12sin cos 1e e θθ
+=C .2212221cos sin e e θθ+=D .22
12221sin cos e e θθ
+=解:设椭圆的长轴长为12a ,双曲线的实轴长为22a ,P 到两焦点的距离分别为m ,(0)n m n >>,焦距为2c ,由椭圆的定义可得12m n a +=,由双曲线的定义可得22m n a -=,
解得12m a a =+,12n a a =-,【记住结论,焦半径是两个a 之和,和两个a 之差】由余弦定理可得2222cos 24m n mn c θ+-=,
则22212121212()()2()()cos 24a a a a a a a a c θ++--+-=,
化为22
212(1cos 2)(1cos 2)2a a c θθ-++=,
可得222212221a sin a cos c c θθ+=,由11c e a =,22c e a =,可得2222
121sin cos e e θθ+=.
故选:B .
记住结论椭圆与双曲线共焦点1F ,2F ,它们的交点P 对两公共焦点1F ,2F 的张角为12F PF θ∠=,椭圆与双曲线的离心率分别为1e ,2e ,则有______________
二、分类解析
(一)焦半径
1.
设椭圆221
62x y +=和双曲线2
213
x y -=的公共焦点为1F ,2F ,A 是两曲线的一个公共点,则12||||
AF AF 的值等于()【A 】
A .3
B .4
C .5
D .6
解:设椭圆的长轴长为12a ,双曲线的实轴长为22a ,P 到两焦点的距离分别为m ,(0)n m n >>,焦距为2c ,由椭圆的定义可得,由双曲线的定义可得
,
解得,
,
2.
如图,1F 、2F 是椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点,A 、B 分别是1C ,2C 在第二四象限的交点,若11AF BF ⊥,且13
AF O π
∠=
,则1C 与2C 离心率之积为()
A .2
B .23
C .5
D .6
【解答】解:转化成焦点三角形:连接2AF ,2BF ,
11AF BF ⊥ ,13AF O π∠=
,21126
AF F BF F π
∴∠=∠=,则1AF c =,23AF c =,132c c a +=,即椭圆的离心率1131
c e a ==
+232c c a -=,即双曲线的离心率222
31
c e a ==
-,则1C 与2C 44
2312
3131===-+- ,故选:A .
(二)面积公式
3.
点P
是椭圆221122111(0)x y a b a b +=>>和双曲线22
22222
1(0x y a a b -=>,20)b >的一个交点,1F ,2F 是椭圆和
双曲线的公共焦点,123F PF π
∠=
,则12
b b 的值是3.
解:设12F PF θ∠=,设椭圆的短半轴长为1b ,长半轴长为1a ,双曲线的实半轴长为2a ,虚半轴长为2b ,
由焦点三角形的面积公式可得2
221
tan 2tan 2
b b θ
θ
=,
则22
12
3b b =,可得12
3b b =.故答案为:3.4.
已知椭圆222116x y a +=与双曲线2
2215
x y
m -=有公共焦点1F ,2F ,且两条曲线在第一象限的交点为P 点,
则△12PF F 的面积为()A .
112
B .212
C .45
D .85
解:设12F PF θ∠=,设椭圆的短半轴长为1b ,长半轴长为1a ,双曲线的实半轴长为2a ,虚半轴长为2b ,
由焦点三角形的面积公式可得2221
tan 2tan 2
b b θ
θ
=,
∴△12PF F 的面积为2221
tan 2tan 2
b b θ
θ
=
5=故选:C .
5.
设椭圆22
1:1128
x y C +
=与双曲线222:1(0)C mx y m -=>有公共的焦点1F ,2F ,点P 是1C 与2C 的一个公共点,则12cos F PF ∠的值为()
A .
79
B .
29
C .
14
D .
19
解:设12F PF θ∠=,设椭圆的短半轴长为1b ,长半轴长为1a ,双曲线的实半轴长为2a ,虚半轴长为2b ,127cos 9
F PF ∴∠=
.故选:A .
(三)离心率关系1.求值
6.
有公共焦点1F ,2F 的椭圆和双曲线的离心率分别为1e ,2e ,点A 为两曲线的一个公共点,且满足1290F AF ∠=︒,则
22
1211
e e +
的值为2.
【解答】22
12112e e +=.故答案为:2.7.
已知圆锥曲线()()222212:10:10,0C mx ny n m C px qy p q +=>>-=>>与的公共焦点为1F ,2F .点M 为1C ,2C 的一个公共点,且满足1290F MF ∠=︒,若圆锥曲线1C 的离心率为
3
4
,则2C 的离心率为()
A .
92
B .
322
C .
32
D .
54
【解答】由离心率的公式可得,
22
12112e e +=, 134e =,∴2
2
92e =,则2322e =.故选:B .8.
如图,1F ,2F 是椭圆22122:1(0)x y C m n m n +=>>与双曲线22
222:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的公共焦点,1C ,2
C 的离心率分别记为1e ,2e .A 是1C ,2C 在第一象限的公共点,若2C 的一条渐近线是线段1AF 的中垂线,
则
22
122
12(()e e e e +=)
A .2
B .
52
C .
72
D .4
【解答】22
122
122()
e e e e +=.故选:A .
9.
已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ,2F ,P 是它们的一个交点,且12
23
F PF π
∠=,记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ,2e .则2212
31(e e +=)
A .4
B .23
C .2
D .3
2
212
31
4e e +=.故选:A .10.已知1F 、2F 是双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>与椭圆22
2:1259
x y C +=的公共焦点,点P 是曲线1C 、2
C 在第一象限的交点,若△12PF F 的面积为36,则双曲线1C 的离心率为()
A .
210
5
B .
103
C .
355
D .
52
【解答】解:根据题意,设(,)P m n ,
椭圆2C 的方程为:22
1259
x y +
=,则其焦点为(4,0)和(4,0)-,则双曲线的焦点1F 、2F 分别为(4,0)和(4,0)-,则有212||8c F F ==,若△12PF F 的面积为36,则可以求∠→根据离心率关系→e
则双曲线1C 的离心率4210510
c e a ===;故选:A .
11.已知1F ,2F 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,1e ,2e 分别为椭圆和双曲线的离心
22
12
23234e e -++=,则∠12PF F 是30°
12.若椭圆221122111(0)x y a b a b +=>>与双曲线22
22222
1(0x y a a b -=>,20)b >有公共的焦点1F ,2F ,点P 是两条曲
线的交点,123
F PF π
∠=,椭圆的离心率为1e ,双曲线的离心率为2e ,且121e e =,则1(e =)
A .
13
B .33
C .
12
D .
22
【解答】∴22
12134e e =+,由121e e =,即21
1e e =,得:2121134e e +=,解得:211e =(舍),或2
113e =,即13
3
e =
.故选:B .2.均值不等式
13.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22
221(0,0)x y m n m n
-=>>有共同的焦点1F ,2F ,且在第一象限
内相交于点P ,椭圆与双曲线的离心率分别为1e ,2e .若123
F PF π
∠=,则12e e 的最小值是()
A .
12
B .
22
C .
32
D .
32
【解答】即为2212134e e +=,由222212121332e e e e + ,可得1232
e e ,当且仅当21
3e e =时,取得最小值32,故选:C .
14.已知椭圆22
12:1(1)x C y m m +=>与双曲线2222:1(0)x C y n n
-=>的焦点重合,1e ,2e 分别为1C ,2C 的离心
率,则(
)
A .m n >且121e e >
B .m n >且121e e <
C .m n <且121e e >
D .m n <且121
e e <
【解答】解:由a,b,c 关系,可得2211m n -=+,即222m n =+,又1m >,0n >,则m n >,
解:设12F PF θ∠=,设椭圆的短半轴长为1b ,长半轴长为1a ,双曲线的实半轴长为2a ,虚半轴长为2b ,
由焦点三角形的面积公式可得22
21
tan 2tan 2
b b θ
θ
=,
22
12112e e +=,则121e e > .故选:A .15.已知椭圆和双曲线有共同焦点1F ,2F ,P 是它们的一个交点,1260F PF ∠=︒,记椭圆和双曲线的离心
率分别1e ,2e ,则22
12e e +的最小值是(
)
A .3
12
+
B .
32
C .
233
D .3
【解答】∴
22
12134e e +=,222
222211
2
12222212123113113
()()(4)(423)14442
e e e e e e e e e e +=++=+++=+ ,当且仅当213e e =时,取等号.
则22
12e e +的最小值是:3
12
+
.故选:A .
16.已知1F ,2F 是椭圆和双曲线的公共焦点,点P 是它们的一个公共点,且1260F PF ∠=︒,设椭圆和双曲
线的离心率分别为1e 、2e ,则12
11
e e +的最大值为()
A .
34
B .
43
C .
334
D .
433
【本题推导一下离心率关系:】解:设椭圆方程是2222111x y a b +=,双曲线方程是22
2222
1x y a b -=,由定义可得121||||2PF PF a +=,122||||2PF PF a -=,112||PF a a ∴=+,212||PF a a =-,在△12F PF 中由余弦定理可得,22212121212(2)()()2()()cos60c a a a a a a a a =++-++-︒,
即2221243c a a =+,
2212134e e ∴=+
,由柯西不等式得22221212
12113111(1)((1()3e e e e e ++⨯+=+ ,即21211416()433e e +⨯=
,即12113e e +
,当且仅当13
e =
,2e =故选:D .
3.范围
17.已知点1F ,2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点,1e ,2e 分别是1C 和2C 的离心率,点P 为1C 和2C 的一个公共点,且1223F PF π∠=,若2(2,7)e ∈,则1e 的取值范围是()A .52(,)53B .225(,)35C .57(,)53D .725(
,)35【解答】由11c e a =,22
c e a =,得2212314e e +=,∴2212314e e =-, 2(2,7)e ∈,∴22111(,)74e ∈,则21315(4e ∈,27)7,∴2115(4
e ∈,9)7,217(9e ∈,4)5,又1(0,1)e ∈,17(3
e ∴∈,25)5.故选:D .18.已知1F ,2F 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且1223F PF π∠=
,则椭圆和双曲线的离心率之积的范围是(
)A .(1,)+∞B .(0,1)C .(0,2)D .(2,)
+∞【解答】有结论2212314e e +=,则221212
313142e e e e =+ ,所以1232e e ,等号在22212212
313e e e e →==因为椭圆离心率小于双曲线的离心率,所以22213e e >,所以它的最小值不能取到。
又因为12F PF ∠是钝角,所以2221212()()4a a a a c ++-<,即222122a a c +<,
所以2212112e e +<,即12
12e e > ,所以121e e > ,
即椭圆和双曲线的离心率乘积的范围是(1,)+∞.故选:A .
当然本题我们也可以使用代入消元法,求范围我们可以带入消元之后直接求离心率的乘积不好,求我们可以求222212111(1134)e e e e =-+,然后再代入消元,然后转化成二次函数。
(四)其他题目
19.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为1F 、2F ,且两条曲线在第一象限的交
点为P ,△12PF F 是以1PF 为底边的等腰三角形.若1||8PF =,椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ,则121e e +的取值范围是()
A .1(0,)2
B .14(,)23
C .4(,2)3
D .1(,)2+∞【解答】解:设椭圆和双曲线的半焦距为c ,1||PF m =,2||PF n =,()m n >,
由于△12PF F 是以1PF 为底边的等腰三角形.若1||8PF =,
即有8m =,2n c =,
由椭圆的定义可得12m n a +=,
由双曲线的定义可得22m n a -=,
即有14a c =+,24a c =-,(4)c <,
再由三角形的两边之和大于第三边,可得2248c c c +=>,
则2c >,即有24c <<.
由离心率公式可得212114164(4)
a c c c e e a c c c c c -+=+=+=++,由24c <<可得(4)c c +的范围是(12,32),
即有12
1e e +的范围是1(2,4)3.故选:B .
20.已知中心在坐标原点的椭圆1C 与双曲线2C 有公共焦点,且左,右焦点分别为1F ,2F ,1C 与2C 在第一
象限的交点为P ,△12PF F 是以1PF 为底边的等腰三角形,若1||10PF =,1C 与2C 的离心率分别为1e ,2e ,则122e e +的取值范围是(
)A .12(2+,)+∞B .5(3,)+∞C .(1,)+∞D .5(6
,)+∞【解答】解:设椭圆和双曲线的半焦距为c ,1||PF m =,2||PF n =,()m n >,由于△12PF F 是以1PF 为底边的等腰三角形.若1||10PF =,
即有10m =,2n c =,
由椭圆的定义可得12m n a +=,
由双曲线的定义可得22m n a -=,
即有15a c =+,25a c =-,(5)c <,再由三角形的两边之和大于第三边,可得2210c c +>,
可得52c >,即有552
c <<.由离心率公式可得1212222(5)1055105212115()55555555
c c c c c c e e a a c c c c c c c c +--++=+=+=-=--=-++-+-+-+-,设f (c )2115(
55c c =-++-,可知函数在5(2,5)为增函数,且当5c →时,f (c )→+∞,55()()23
f x f ∴>=,故122e e +的取值范围是5(3
,)+∞,故选:B .。