共焦点的双曲线和椭圆问题

共焦点的双曲线和椭圆问题

目录

一、解题知识 (2)

（一）基础知识 (2)

（二）共焦点的常用结论 (3)

二、分类解析 (4)

（一）用焦半径 (4)

（二）面积公式 (5)

（三）离心率关系 (7)

1．求值 (7)

2．均值不等式 (9)

3．范围 (12)

（四）其他题目 (13)

一、解题知识

（一）基础知识

一、已知椭圆方程为),0(122

22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中

,21θ=∠PF F 则2

tan

221θ

b S PF F =∆。

θcos 2)2(212

2212

212PF PF PF PF F F c -+== )

cos 1(2)(21221θ+-+=PF PF PF PF θ

θθcos 12)cos 1(244)

cos 1(24)(2222

22121+=

+-=+-+=

∴b c a c PF PF PF PF 12

22121sin sin tan 21cos 2

F PF b S PF PF b θθ

θθ∆∴===+二、已知双曲线方程为22

221,x y a b -=两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则

122

tan 2

F PF b S θ∆=

。

三、已知椭圆方程为),0(122

22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中

12,,F P m PF n ==则0∆==||S c y 。

四、已知双曲线方程为22

221,x y a b

-=两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中12,,F P m PF n ==则

0∆==||S c y 。

（二）共焦点的常用结论

椭圆与双曲线共焦点1F ，2F ，它们的交点P 对两公共焦点1F ，2F 的张角为122F PF θ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则()

A ．222212

cos sin 1

e e θθ+=B ．2222

12sin cos 1e e θθ

+=C ．2212221cos sin e e θθ+=D ．22

12221sin cos e e θθ

+=解：设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ，P 到两焦点的距离分别为m ，(0)n m n >>，焦距为2c ，由椭圆的定义可得12m n a +=，由双曲线的定义可得22m n a -=，

解得12m a a =+，12n a a =-，【记住结论，焦半径是两个a 之和，和两个a 之差】由余弦定理可得2222cos 24m n mn c θ+-=，

则22212121212()()2()()cos 24a a a a a a a a c θ++--+-=，

化为22

212(1cos 2)(1cos 2)2a a c θθ-++=，

可得222212221a sin a cos c c θθ+=，由11c e a =，22c e a =，可得2222

121sin cos e e θθ+=．

故选：B ．

记住结论椭圆与双曲线共焦点1F ，2F ，它们的交点P 对两公共焦点1F ，2F 的张角为12F PF θ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则有______________

二、分类解析

（一）焦半径

1.

设椭圆221

62x y +=和双曲线2

213

x y -=的公共焦点为1F ，2F ，A 是两曲线的一个公共点，则12||||

AF AF 的值等于()【A 】

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

解：设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ，P 到两焦点的距离分别为m ，(0)n m n >>，焦距为2c ，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得

，

解得，

，

2.

如图，1F 、2F 是椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，A 、B 分别是1C ，2C 在第二四象限的交点，若11AF BF ⊥，且13

AF O π

∠=

，则1C 与2C 离心率之积为()

A ．2

B ．23

C ．5

D ．6

【解答】解：转化成焦点三角形：连接2AF ，2BF ，

11AF BF ⊥ ，13AF O π∠=

，21126

AF F BF F π

∴∠=∠=，则1AF c =，23AF c =，132c c a +=，即椭圆的离心率1131

c e a ==

+232c c a -=，即双曲线的离心率222

31

c e a ==

-，则1C 与2C 44

2312

3131===-+- ，故选：A ．

（二）面积公式

3.

点P

是椭圆221122111(0)x y a b a b +=>>和双曲线22

22222

1(0x y a a b -=>，20)b >的一个交点，1F ，2F 是椭圆和

双曲线的公共焦点，123F PF π

∠=

，则12

b b 的值是3．

解：设12F PF θ∠=，设椭圆的短半轴长为1b ，长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，虚半轴长为2b ，

由焦点三角形的面积公式可得2

221

tan 2tan 2

b b θ

θ

=，

则22

12

3b b =，可得12

3b b =．故答案为：3．4.

已知椭圆222116x y a +=与双曲线2

2215

x y

m -=有公共焦点1F ，2F ，且两条曲线在第一象限的交点为P 点，

则△12PF F 的面积为()A ．

112

B ．212

C ．45

D ．85

解：设12F PF θ∠=，设椭圆的短半轴长为1b ，长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，虚半轴长为2b ，

由焦点三角形的面积公式可得2221

tan 2tan 2

b b θ

θ

=，

∴△12PF F 的面积为2221

tan 2tan 2

b b θ

θ

=

5=故选：C ．