中考数学专题探究-探究性问题
中考数学复习 专题2 规律探索型问题数学课件
2．解图形规律探索题的方法： 第一步：标序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”； 第二步：数图形个数：在图形数量变化时，要记出每组图形的表示个数； 第三步：寻找图形数量与序号数 n 的关系：针对寻找第 n 个图形表示的数量时，先将后 一个图形的个数与前一个图形的个数进行比对，通常作差(商)来观察是否有恒定量的变化， 然后按照定量变化推导出第 n 个图形的个数； 函数法：若当图形变化规律不明显时，可把序号数 n 看作自变量，把第 n 个图形的个数 看作函数，设函数解析式为 y＝an2＋bn＋c(初中阶段设二次函数完全可以解决)，再代入三组 数值进行计算出函数解析式(若算出 a＝0 就是一次函数)即可．
【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够仔细读题，找到图形内和图 形外格点的数目．
[对应训练] 4．在由 m×n(m×n＞1)个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小 正方形个数 f， (1)当 m，n 互质(m，n 除 1 外无其他公因数)时，观察下列图形并完成下表：
[对应训练] 2．(2015·咸宁)古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规 律性．若把第一个三角数记为 a1，第二个三角数记为 a2…，第 n 个三角数记为 an，计算 a1＋ a2，a2＋a3，a3＋a4，…由此推算 a399＋a400＝__1.6×105 或 160_000__．
1．(2015·德州)一组数 1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的 两个数之和”，那么这组数中 y 表示的数为( A )
A．8 B．9 C．13 D．15 2．(2015·河南)如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为 1 个单位长度的半圆 O1，O2，
29.中考数学专题 “操作探究型”相关的探索性问题数学母题题源系列(解析版)
专题05 中考中与“操作探究型”相关的探索性问题【母题来源一】【2019•陕西】问题提出：（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；问题探究：（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC=90°，求满足条件的点P到点A的距离；问题解决：（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）【解析】（1）如图1记为点D所在的位置．（2）如图2，∵AB=4，BC=10，∴取BC的中点O，则OB>AB．∴以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O一定于AD相交于P1，P2两点，连接BP1，P1C，P1O，∵∠BPC=90°，点P不能在矩形外，∴△BPC的顶点P1或P2位置时，△BPC的面积最大，作P1E⊥BC，垂足为E，则OE=3，∴AP1=BE=OB-OE=5-3=2，由对称性得AP2=8．（3）可以，如图3，连接BD，∵A为BCDE的对称中心，BA=50，∠CBE=120°，∴BD=100，∠BED=60°，作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧BD上，取BED的中点E′，连接E′B，E′D，则E′B=E′D，且∠BE′D=60°，∴△BE′D为正三角形．连接E′O并延长，经过点A至C′，使E′A=AC′，连接BC′，DC′，∵E′A⊥BD，∴四边形E′D为菱形，且∠C′BE′=120°，作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则EF≤EO+OA-E′O+OA=E′A，∴S△BDE12=·BD·EF12≤·BD·E′A=S△E′BD，∴S平行四边形BCDE≤S平行四边形BC′DE′=2S△E′BD=1002·sin60°m2），所以符合要求的BCDE的最大面积为2．【名师点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，圆周角定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．【母题来源二】【2019•沈阳】思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P 可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD=200米，那么A，B间的距离是__________米．思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC=BC，AE=DE，且AE<AC，∠ACB=∠AED=90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是__________；②如图3，当α=90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；③当α=150°时，若BC=3，DE=1，请直接写出PC2的值．【解析】（1）∵CD∥AB，∴∠C=∠B，在△ABP和△DCP中，BP CPAPB DPCB C=⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABP≌△DCP，∴DC=AB．∵AB=200米．∴CD=200米，故答案为：200．（2）①PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC=PE，PC⊥PE．理由如下：如解图1，延长EP交BC于F，同（1）理，可知∴△FBP≌△EDP，∴PF=PE，BF=DE，又∵AC=BC，AE=DE，∴FC=EC，又∵∠ACB=90°，∴△EFC是等腰直角三角形，∵EP=FP，∴PC=PE，PC⊥PE．②PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC=PE，PC⊥PE．理由如下：如解图2，作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，同①理，可知△FBP≌△EDP，∴BF=DE，PE=PF12EF ，∵DE=AE，∴BF=AE，∵当α=90°时，∠EAC=90°，∴ED∥AC，EA∥BC，∵FB∥AC，∠FBC=90，∴∠CBF=∠CAE，在△FBC 和△EAC 中，BF AE CBE CAE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FBC ≌△EAC ， ∴CF =CE ，∠FCB =∠ECA ， ∵∠ACB =90°， ∴∠FCE =90°，∴△FCE 是等腰直角三角形， ∵EP =FP ，∴CP ⊥EP ，CP =EP 12EF =． ③如解图3，作BF ∥DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，过E 点作EH ⊥AC 交CA 延长线于H 点，当α=150°时，由旋转旋转可知，∠CAE =150°，DE 与BC 所成夹角的锐角为30°， ∴∠FBC =∠EAC =α=150°， 同②可得△FBP ≌△EDP ，同②△FCE 是等腰直角三角形，CP ⊥EP ，CP =EP =， 在Rt △AHE 中，∠EAH =30°，AE =DE =1， ∴HE 12=，AH 2=， 又∵AC =AB =3，∴AH=32+，∴EC 2=AH 2+HE210=+ ∴PC2212EC ==【名师点睛】本题考查几何变换综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质、勾股定理和30°直角三角形性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于压轴题．【母题来源三】【2019•赤峰】【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线l平行于A B．∠EDF=90°，点D在直线l 上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．【探究发现】（1）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP=DB，请写出证明过程；【数学思考】（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG ⊥CD交BC于点G，就可以证明DP=DB，请完成证明过程；【拓展引申】（3）如图4，在（1）的条件下，M是AB边上任意一点（不含端点A、B），N是射线BD上一点，且AM=BN，连接MN与BC交于点Q，这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验，发现点M在某一位置时BQ的值最大．若AC=BC=4，请你直接写出BQ的最大值．【解析】（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=45°，∵CD∥AB，∴∠CBA=∠DCB=45°，且BD⊥CD，∴∠DCB=∠DBC=45°，∴DB=DC，即DB=DP．（2）∵DG⊥CD，∠DCB=45°，∴∠DCG=∠DGC=45°，∴DC=DG，∠DCP=∠DGB=135°，∵∠BDP=∠CDG=90°，∴∠CDP=∠BDG，且DC=DG，∠DCP=∠DGB=135°，∴△CDP≌△GDB，∴BD=DP．（3）如图4，过点M作MH⊥MN交AC于点H，连接CM，HQ，∵MH⊥MN，∴∠AMH+∠NMB=90°，∵CD∥AB，∠CDB=90°，∴∠DBM=90°，∴∠NMB+∠MNB=90°，∴∠HMA=∠MNB，且AM=BN，∠CAB=∠CBN=45°，∴△AMH≌△BNQ，∴AH=BQ，∵∠ACB=90°，AC=BC=4，∴AB，AC-AH=BC-BQ，∴CH=CQ，∴∠CHQ=∠CQH=45°=∠CAB，∴HQ∥AB，∴∠HQM=∠QMB，∵∠ACB=∠HMQ=90°，∴点H，点M，点Q，点C四点共圆，∴∠HCM=∠HQM，∴∠HCM=∠QMB，且∠A=∠CBA=45°，∴△ACM∽△BMQ，∴AC AMBM BQ=，AMBQ=，∴BQ 2(24AM --=+，∴AM BQ 有最大值为2．【名师点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求出BQ 与AM 的关系是本题的关键． 【母题来源四】【2019•鄂尔多斯】（1）【探究发现】如图1，∠EOF 的顶点O 在正方形ABCD 两条对角线的交点处，∠EOF =90°，将∠EOF 绕点O 旋转，旋转过程中，∠EOF 的两边分别与正方形ABCD 的边BC 和CD 交于点E 和点F （点F 与点C ，D 不重合）．则CE ，CF ，BC 之间满足的数量关系是__________． （2）【类比应用】如图2，若将（1）中的“正方形ABCD ”改为“∠BCD =120°的菱形ABCD ”，其他条件不变，当∠EOF =60°时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由． （3）【拓展延伸】如图3，∠BOD =120°，OD 34=，OB =4，OA 平分∠BOD ，AB =，且OB >2OA ，点C 是OB 上一点，∠CAD =60°，求OC 的长．【解析】（1）如图1，结论：CE +CF =BC ．理由如下： ∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，OB =OC ，∠OBE =∠OCF =45°， ∵∠EOF =∠BOC =90°， ∴∠BOE =∠OCF ， ∴△BOE ≌△COF ， ∴BE =CF ，∴CE+CF=CE+BE=BC．故答案为：CE+CF=BC．（2）结论不成立．CE+CF12=BC．理由：如图2，连接EF，在CO上截取CJ=CF，连接FJ．∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=120°，∴∠BCO=∠OCF=60°，∵∠EOF+∠ECF=180°，∴O，E，C，F四点共圆，∴∠OFE=∠OCE=60°，∵∠EOF=60°，∴△EOF是等边三角形，∴OF=FE，∠OFE=60°，∵CF=CJ，∠FCJ=60°，∴△CFJ是等边三角形，∴FC=FJ，∠EFC=∠OFE=60°，∴∠OFJ=∠CFE，∴△OFJ≌△EFC，∴OJ=CE，∴CF+CE=CJ+OJ=OC12=BC．（3）如图3中，由OB>2OA可知△BAO是钝角三角形，∠BAO>90°，作AH⊥OB于H，设OH=x．在Rt△ABH中，BH∵OB=4，x=4，解得x32=（舍弃）或12，∴OA=2OH=1，∵∠COD+∠ACD=180°，∴A，C，O，D四点共圆，∵OA平分∠COD，∴∠AOC=∠AOD=60°，∴∠ADC=∠AOC=60°，∵∠CAD=60°，∴△ACD是等边三角形，由（2）可知：OC+OD=OA，∴OC=131 44 -=．【名师点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，解直角三角形，四点共圆，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．【命题意图】这类试题主要考查三角形或四边形的综合问题，常以压轴题的形式出现．【方法总结】1．类比探究问题类比是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类未知的对象上去的一种合情推理．通常先解决比较常见、比较形象具体的问题，然后变换图形或条件，通过比较、联想、化归等方式，触类旁通，用相似的方法解决问题或猜想相似的结论．2．展现思维或解题过程的阅读理解题解答阅读理解题的关键在于阅读，核心在于理解，目的是应用．通过阅读，理解材料中所提供的知识要点、数学思想，进而找到解题的方法，解决实际问题．该类题常常给出试题的解法，从题型上看，有展示全貌，留空补缺的；有说明解题理由的；有要求归纳规律再解决问题的，题目多样，重点考查学生严密的逻辑推理能力，如演绎推理、类比推理．1．【山东省济南市历下区2019届九年级中考第一次模拟数学试题】在数学课堂上，小斐同学和小可同学分别拿着一大一小两个等腰直角三角板，可分别记作ABC △和ADE △，其中90BAC DAE ∠=∠=︒． 问题的产生：两位同学先按照如图摆放，点D E ，在AB AC ，上，发现BD 和CE 在数量和位置关系上分别满足BD CE =，BD CE ⊥．问题的探究：（1）将ADE △绕点A 逆时针旋转一定角度．如图．点D 在ABC △内部，点E 在ABC △外部，连接BD CE ，，上述结论依然成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．问题的延伸：继续将ADE △绕点A 逆时针旋转．如图．点D E ，都在ABC △外部，连接BD CE ，，CD EB ，，BD 与CE 相交于H 点．（2）若BD =BCDE 的面积；（3）若3AB =，2AD =，设2CD x =，2EB y =，求y 与x 之间的函数关系式．【解析】（1）成立．理由如下：延长BD ，分别交AC 、CE 于F 、G ，∵ABC 和ADE △都是等腰直角三角形，∴AB AC =，AD AE =，90BAC DAE ∠=∠=︒， ∵BAD BAC DAC ∠=∠-∠，CAE DAE DAC ∠=∠-∠，∴BAD CAE ∠=∠，在ABD △和ACE △中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABD ACE △≌△，∴BD CE =，ABD ACE ∠=∠， ∵AFB GFC ∠=∠，∴90CGF BAF ∠=∠=︒，即BD CE ⊥． （2）∵ABC △和ADE △都是等腰直角三角形， ∴AB AC =，AD AE =，90BAC DAE ∠=∠=︒， ∵BAD BAC DAC ∠=∠+∠，CAE DAE DAC ∠=∠+∠， ∴BAD CAE ∠=∠，∴ABD ACE △≌△， ∴BD CE =，ABD ACE ∠=∠， ∵AOB FOC ∠=∠，∴90BFC BAC ∠=∠=︒， ∴BCE DCE BCDE S S S =+△△四边形111192222CE BF CE DF CE BD =⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯=． （3）∵90BHC ∠=︒，∴222222CD EB CH HD EH HB +=+++=2222CH BH DH EH +++((2226=+=，∴26y x =-．【名师点睛】此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及函数解析式的确定，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．2．【2019年江西省南昌市十校联考中考数学模拟试卷（5月份）】（问题情境）在△ABC 中，AB =AC ，点P 为BC 所在直线上的任一点，过点P 作PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ．当P 在BC 边上时（如图1），求证：PD +PE =CF ．证明思路是：如图2，连接AP ，由△ABP 与△ACP 面积之和等于△ABC 的面积可以证得：PD +PE =CF ．（不要证明）（变式探究）（1）当点P 在CB 延长线上时，其余条件不变（如图3），试探索PD 、PE 、CF 之间的数量关系并说明理由；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：（结论运用）（2）如图4，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P 为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=16，CF=6，求PG+PH 的值．（迁移拓展）（3）在直角坐标系中，直线l1：y=–43x+8与直线l2：y=2x+8相交于点A，直线l1、l2与x轴分别交于点B、点C．点P是直线l2上一个动点，若点P到直线l1的距离为2．求点P的坐标．【解析】变式探究：连接AP，如图3，∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且S△ABC=S△ACP-S△ABP，∴12AB·CF=12AC·PE-12AB·PD．∵AB=AC，∴CF=PE-PD．结论运用：过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图④，∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC，∠C=∠ADC=90°．∵AD=16，CF=6，∴BF=BC-CF=AD-CF=10，由折叠可得：DF=BF，∠BEF=∠DEF，∴DF=10．∵∠C=90°，∴DC=．∵EQ⊥BC，∠C=∠ADC=90°，∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC．∴四边形EQCD是长方形．∴EQ=DC=8．∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB．∵∠BEF=∠DEF，∴∠BEF=∠EFB．∴BE=BF，由问题情境中的结论可得：PG+PH=EQ．∴PG+PH=8．∴PG+PH的值为8．迁移拓展：如图，由题意得：A（0，8），B（6，0），C（-4，0），∴AB，BC=10．∴AB=BC，（1）由结论得：P1D1+P1E1=OA=8，∵P1D1=1=2，∴P1E1=6 即点P1的纵坐标为6，又点P1在直线l2上，∴y=2x+8=6，∴x=-1，即点P1的坐标为（-1，6）．（2）由结论得：P2E2-P2D2=OA=8，∵P2D2=2，∴P2E2=10 即点P2的纵坐标为10，又点P2在直线l2上，∴y=2x+8=10，∴x=1，即点P2的坐标为（1，10）．【名师点睛】本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及勾股定理等知识点，利用面积法列出等式是解决问题的关键．3．【河南省南阳市唐河县2019届中考一模数学试题】已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到点E，使得AE=OA，以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF，与BC交于点H，连接EF．（1）问题发现如图1，若△ABC为等边三角形，线段EF与BC的位置关系是__________，数量关系为__________；（2）拓展探究如图2，若△ABC为等腰直角三角形（BC为斜边），（1）中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确的结论再给予证明；（3）解决问题如图3，若△ABC是等腰三角形，AB=AC=2，BC=3，请你直接写出线段EF的长．【解析】（1）如图1，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH=HC=12BC，OH=HF，又∵△ABC是等边三角形，∴AH⊥BC，∠ABC=60°，∴AH BH，∵AE=OA，OH=HF，∴AH∥EF，EF=2AH，∵AH∥EF，AH⊥BC，∴EF⊥BC，∵EF=2AH，AH，BC=2BH，∴EF．故答案为：EF⊥BC，EF BC．（2）如图2，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH=HC=12BC，OH=HF，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴AH⊥BC，∠ABC=45°，∴AH=BH=HC，∵AE=OA，OH=HF，∴AH∥EF，EF=2AH，∵AH∥EF，AH⊥BC，∴EF⊥BC，∵EF=2AH，AH=BH，BC=2BH，∴EF=BC．（3）如图3，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH=HC=12BC=32，OH=HF，又∵AB=AC=2，∴AH⊥BC，∴AH=，∵OH=HF，AE=AO，∴EF=2AH．【名师点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，证明AH∥EF，EF=2AH是本题的关键．。
课标版数学中考第二轮专题复习-探究型试题(含答案)
探究型试题探究性问题涉及的基础知识非常广泛，题目没有固定的形式，因此没有固定的解题方法。
它既能充分地考查学生的基础知识掌握的熟悉程度，又能较好的考查学生的观察、分析、比较、概括的能力，发散思维能力等，因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力。
例1（宜昌课改）如图1，已知△ABC 的高AE =5，BC =403，∠ABC ＝45°，F 是AE 上的点，G 是点E 关于F 的对称点，过点G 作BC 的平行线与AB 交于H 、与AC 交于I ，连接IF 并延长交BC 于J ，连接HF 并延长交BC 于K ．（1）请你探索并判断四边形HIKJ 是怎样的四边形？并对你得到的结论予以证明；（2）当点F 在AE 上运动并使点H 、I 、K 、J 都在△ABC 的三条边上时，求线段AF 长的取值范围．（图2供思考用） 解：(1)∵点G 与点E 关于点F 对称，∴GF=FE ∵HI ∥BC ，∴∠GIF =∠E J F ， 又∵∠GF I=∠EF J ， ∴△GFI ≌△EFJ ， ∴GI=JE同理可得HG=EK ， ∴HI=JK,∴四边形HIKJ 是平行四边形(注：说明四边形HIJK 是平行四边形评1分,利用三角形全等说明结论的正确性评2分)（2）当F 是AE 的中点时，A 、G 重合，所以AF=2.5 如图1，∵AE 过平行四边形HIJK 的中心F, ∴HG=EK, GI=JE.∴HG/BE=GI/EC. ∵CE ＞BE,∴GI ＞ HG , ∴CK ＞BJ.∴当点F 在AE 上运动时, 点K 、J 随之在BC 上运动, 图1如图2，当点F 的位置使得B 、J 重合时，这时点K 仍为CE 上的某一点（不与C 、EE C B A图2图1C G I J BE K HFB A重合），而且点H 、I 也分别在AB 、AC 上（这里为独立评分点，以上过程只要叙述大体清楚，说理较为明确即可评2分，不说明者不评分，知道要说理但部分不正确者评1分） 设EF ＝x ，∵∠AHG ＝∠ABC ＝45°，AE ＝5，∴BE＝5＝GI ，AG ＝HG ＝5-2x ,CE ＝340-5 ∵△AGI∽△AEC，∴AG∶AE＝GI∶CE. ∴(5-2x)∶5＝5∶(340-5) ∴AF＝5-x ＝4 ∴25＜AF ≤4 图2 说明:本题考查知识较多，主要考查了全等三角形、平行四边形、相似形的判定及应用。
中考数学探究性问题复习练习-中考数学试题、初中数学中考试卷、模拟题-初中数学试卷
中考数学探究性问题复习练习-中考数学试题、初中数学中考试卷、模拟题、复习资料-初中数学试卷-试卷下载中考数学探究性问题复习探究性问题是指在给定条件下探究尚不明确的结论，或由给出的结论探求满足该结论所需要的（或尚不确定的）条件的一类问题，它与传统条件结论封闭是截然不同的。
一般情况下，传统题条件完备，结论明确，只需计算结果，或对结论加以论证，其解题通法往往是确定的。
探究性问题是通过对题目的具体分析，选择并建立恰当的数学模型，经过观察、试验、分析、比较、类比、归纳、猜测、推断等探究性活动来探索解题思路。
探究性问题一般可分为结论探究题、条件探究题和存在性探究题。
我市近年来一直以考查结论探究题和存在性探究题为主。
1、结论探究题结论探究题，一般是由给定的已知条件探求相应的结论，解题时往往要求充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论。
例1、有若干个数，第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，……，第个数记为，若，从第2个数起，每个数都等于“1与它前面的那个数的差的倒数”。
（1）试计算：＝，＝，＝；（2）根据以上计算结果，请你写出：＝，＝。
例2、水葫芦是一种水生飘浮植物，有着惊人的繁殖能力。
据报现已造成某些流域河道堵塞，水质污染等严重后果。
据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用。
若在适宜条件下，1株水葫芦每5天就能新繁殖1株（不考虑植株死亡、被打捞等其它因素）。
（1）假设江面上现有一株水葫芦，填写下表：第几天51015…50…5n总株数24（2）假设某流域内水葫芦维持在约33万株以内对净化水质有益。
若现有10株水葫芦，请你尝试利用计算器进行估算探究，照上述生长速度，多少天时水葫芦约有33万株？此后就必须开始定期打捞处理水葫芦。
（要求写出必要的尝试、估算过程！）例3、如图，“取正方形各边的中点，并把相对的两个中点相连，这样把一个大正方形分成了四个小正方形”，我们称之为第1次操作。
中考数学复习第二讲《开放探究型问题》经典题型含答案
中考数学复习专题第二讲开放探究型问题【要点梳理】开放探究型问题的内涵：所谓开放探究型问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的条件或结论或方法．(1)常规题的结论往往是唯一确定的，而多数开放探究题的结论是不确定或不是唯一的，它是给学生有自由思考的余地和充分展示思想的广阔空间；(2)解决此类问题的方法，可以不拘形式，有时需要发现问题的结论，有时需要尽可能多地找出解决问题的方法，有时则需要指出解题的思路等．对于开放探究型问题，需要通过观察、比较、分析、综合及猜想，展开发散性思维，充分运用已学过的数学知识和数学方法，经过归纳、类比、联想等推理的手段，得出正确的结论．在解开放探究题时，常通过确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题．【学法指导】三个解题方法(1)条件开放型问题：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式．它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因；(2)结论开放型问题：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想、类比、猜测等，从而获得所求的结论；(3)条件和结论都开放型：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性．【考点解析】条件开放型问题（2017贵州安顺）如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给△ABC添加什么条件，为什么？【考点】LC：矩形的判定；L7：平行四边形的判定与性质．【分析】（1）要证明BC=DE，只要证四边形BCED是平行四边形．通过给出的已知条件便可．（2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决．【解答】（1）证明：∵E是AC中点，∴EC=AC．∵DB=AC，∴DB∥EC．又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．（2）添加AB=BC．（ 5分）理由：∵DB AE，∴四边形DBEA是平行四边形．∵BC=DE，AB=BC，∴AB=DE．∴▭ADBE是矩形．结论开放型问题（2017广西河池）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD 上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE ⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AMB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABM与∠BAM的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAM与∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案；（2）根据矩形的性质得到∠ABC=∠C，由余角的性质得到∠BAM=∠CBF，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C，AB=BC．∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF．在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；（2）解：AB=BC，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C，∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF，∴△ABE∽△BCF，∴=，∴AB=BC．存在开放型问题（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证： =；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）求出AB、BC的长即可解决问题；（2）存在．连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．首先证明B、D、E、C 四点共圆，可得∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，由tan∠ACO==，推出∠ACO=30°，∠ACD=60°由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，推出∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，推出∠DBC=∠BCD=60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC=BC=2，由此即可解决问题；（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，推出∠DBC=∠DCE=30°，由此即可解决问题；②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC=OA=2，OC=AB=2，∠BCO=∠BAO=90°，∴B（2，2）．故答案为（2，2）．（2）存在．理由如下：连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．∵∠BDE=∠BCE=90°，∴KD=KB=KE=KC，∴B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，∵tan∠ACO==，∴∠ACO=30°，∠ACB=60°①如图1中，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，∴∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，∴∠DBC=∠BCD=60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC=BC=2，在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，∴AC=2AO=4，∴AD=AC﹣CD=4﹣2=2．∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形．②如图2中，∵△DCE是等腰三角形，易知CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°，∴∠ABD=∠ADB=75°，∴AB=AD=2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2．（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE=30°，∴tan∠DBE=，∴=．②如图2中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，∴DH=AD=x，AH==x，∴BH=2﹣x，在Rt△BDH中，BD==，∴DE=BD=•，∴矩形BDEF的面积为y= []2=（x2﹣6x+12），即y=x2﹣2x+4，∴y=（x﹣3）2+，∵＞0，∴x=3时，y有最小值．综合开放型问题（2017山东泰安）如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E 是AB的中点，F是AC延长线上一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE 是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）根据平行四边形的想知道的AD=AC，AD⊥AC，连接CE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到CF=AD，等量代换得到AC=CF，于是得到CP=AB=AE，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形；（3）过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，证得△AME≌△CNE，△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，∵AD=AC，AD⊥AC，∴AC=BC，AC⊥BC，连接CE，∵E是AB的中点，∴AE=EC，CE⊥AB，∴∠ACE=∠BCE=45°，∴∠ECF=∠EAD=135°，∵ED⊥EF，∴∠CEF=∠AED=90°﹣∠CED，在△CEF和△AED中，，∴△CEF≌△AED，∴ED=EF；（2）解：由（1）知△CEF≌△AED，CF=AD，∵AD=AC，∴AC=CF，∵DP∥AB，∴FP=PB，∴CP=AB=AE，∴四边形ACPE为平行四边形；（3）解：垂直，理由：过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，在△AME与△CNE中，，∴△AME≌△CNE，∴∠ADE=∠CFE，在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE，∴∠DEA=∠FEC，∵∠DEA+∠DEC=90°，∴∠CEF+∠DEC=90°，∴∠DEF=90°，∴ED⊥EF．【真题训练】训练一：（2017日照）如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即AD=BC（答案不唯一），可使四边形ABCD 为矩形．请加以证明．训练二：（2017湖北荆州）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．（1）求证：△ACD≌△EDC；（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．训练三：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DF，连接CE、AF．（1）证明：AF=CE；（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．训练四：（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO 是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB 为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证： =；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．训练五：（2017•黑龙江）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD．旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．参考答案：训练一：（2017日照）如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即AD=BC（答案不唯一），可使四边形ABCD 为矩形．请加以证明．【考点】LC：矩形的判定；KD：全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由SSS证明△DCA≌△EAC即可；（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，再由全等三角形的性质得出∠D=90°，即可得出结论．【解答】（1）证明：在△DCA和△EAC中，，∴△DCA≌△EAC（SSS）；（2）解：添加AD=BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下：∵AB=DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE⊥AE，∴∠E=90°，由（1）得：△DCA≌△EAC，∴∠D=∠E=90°，∴四边形ABCD为矩形；故答案为：AD=BC（答案不唯一）．训练二：（2017湖北荆州）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．（1）求证：△ACD≌△EDC；（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．【考点】LB：矩形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；Q2：平移的性质．【分析】（1）由矩形的性质得出AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，得出AD=EC，由SAS即可得出结论；（2）由AC=BD，DE=AC，得出BD=DE即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，∴AD=EC，在△ACD和△EDC中，，∴△ACD≌△EDC（SAS）；（2）解：△BDE是等腰三角形；理由如下：∵AC=BD，DE=AC，∴BD=DE，∴△BDE是等腰三角形．训练三：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DF，连接CE、AF．（1）证明：AF=CE；（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．【考点】L9：菱形的判定；KX：三角形中位线定理；L7：平行四边形的判定与性质．【分析】（1）由三角形中位线定理得出DE∥AC，AC=2DE，求出EF∥AC，EF=AC，得出四边形ACEF是平行四边形，即可得出AF=CE；（2）由直角三角形的性质得出∠BAC=60°，AC=AB=AE，证出△AEC是等边三角形，得出AC=CE，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，∴DE∥AC，AC=2DE，∵EF=2DE，∴EF∥AC，EF=AC，∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF=CE；（2）解：当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形；理由如下：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，AC=AB=AE，∴△AEC是等边三角形，∴AC=CE，又∵四边形ACEF是平行四边形，∴四边形ACEF是菱形．训练四：（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO 是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB 为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证： =；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）求出AB、BC的长即可解决问题；（2）存在．连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．首先证明B、D、E、C 四点共圆，可得∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，由tan∠ACO==，推出∠ACO=30°，∠ACD=60°由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，推出∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，推出∠DBC=∠BCD=60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC=BC=2，由此即可解决问题；（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，推出∠DBC=∠DCE=30°，由此即可解决问题；②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC=OA=2，OC=AB=2，∠BCO=∠BAO=90°，∴B（2，2）．故答案为（2，2）．（2）存在．理由如下：连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．∵∠BDE=∠BCE=90°，∴KD=KB=KE=KC，∴B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，∵tan∠ACO==，∴∠ACO=30°，∠ACB=60°①如图1中，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，∴∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，∴∠DBC=∠BCD=60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC=BC=2，在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，∴AC=2AO=4，∴AD=AC﹣CD=4﹣2=2．∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形．②如图2中，∵△DCE是等腰三角形，易知CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°，∴∠ABD=∠ADB=75°，∴AB=AD=2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2．（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE=30°，∴tan∠DBE=，∴=．②如图2中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，∴DH=AD=x，AH==x，∴BH=2﹣x，在Rt△BDH中，BD==，∴DE=BD=•，∴矩形BDEF的面积为y= []2=（x2﹣6x+12），即y=x2﹣2x+4，∴y=（x﹣3）2+，∵＞0，∴x=3时，y有最小值．训练五：（2017•黑龙江）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD．旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；L8：菱形的性质；R2：旋转的性质．【分析】图2：根据四边形ABCD是正方形，得到AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，等量代换得到AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，根据全等三角形的性质得到AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，于是得到结论；图3：根据四边形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，求得OB=√3OA，OD=√3OC，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，求得OD′=√3OC′，∠AOC′=∠BOD′，根据相似三角形的性质得到BD′=√3AC′，于是得到结论．【解答】解：图2结论：AC′=BD′，AC′⊥BD′，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，∴AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，在△AOC′与△BOD′中，{AO=BO∠AOC′=∠BOD′OC′=OD′，∴△AOC′≌△BOD′，∴AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，∴AC′⊥BD′；图3结论：BD′=√3AC′，AC′⊥BD’理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，∵∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∴OB=√3OA，OD=√3OC，∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，∴OD′=√3OC′，∠AOC′=∠BOD′，∴OBOA =OD′OC′=√3，∴△AOC′∽△BOD′，∴BD′AC′=OBOA=√3，∠OAC′=∠OBD′，∴BD′=√3AC′，∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，∴AC′⊥BD′．【点评】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．。
17.中考数学专题“探索规律型”相关的探索性问题数学母题题源系列(解析版)
专题03 中考中与“探索规律型”相关的探索性问题【母题来源一】【2019•武汉】观察等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250=a，用含a的式子表示这组数的和是A．2a2–2a B．2a2–2a–2C．2a2–a D．2a2+a【答案】C【解析】∵2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2…∴2+22+23+…+2n=2n+1-2，∴250+251+252+…+299+2100=（2+22+23+…+2100）-（2+22+23+…+249）=（2101-2）-（250-2）=2101-250，∵250=a，∴2101=（250）2·2=2a2，∴原式=2a2-a．故选C．【名师点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+…+2n=2n+1-2．【母题来源二】【2019•枣庄】如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，符合此要求的只有，故选D ．【名师点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出原图形中各行、各列中点数之和为10． 【母题来源三】【2019•济宁】已知有理数a ≠1，我们把11a -称为a 的差倒数，如：2的差倒数是1112=--，-1的差倒数是()11112=--．如果a 1=-2，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数……依此类推，那么a 1+a 2+…+a 100的值是 A ．-7.5 B ．7.5 C ．5.5 D ．-5.5【答案】A 【解析】∵a 1=–2，∴a 2()11123==--，a 3131213==-，412312a ==--，……∴这个数列以-2，13，32依次循环，且-2131326++=-，∵100÷3=33…1，∴a 1+a 2+…+a 100=33×（16-）-2152=-=-7.5， 故选A ．【名师点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．【母题来源四】【2019•雅安】如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y 3=x +1与直线l 2：y =交于点A 1，过A 1作x 轴的垂线，垂足为B 1，过B 1作l 2的平行线交l 1于A 2，过A 2作x 轴的垂线，垂足为B 2，过B 2作l 2的平行线交l 1于A 3，过A 3作x 轴的垂线，垂足为B 3…按此规律，则点A n 的纵坐标为A ．（32）n B ．（12）n +1 C ．（32）n -112+D ．312n -【答案】A【解析】联立直线l 1与直线l 2的表达式并解得：x =y 32=，故A 132），则点B 10），则直线B 1A 2的表达式为：y =+b ，将点B 1坐标代入上式并解得：直线B 1A 2的表达式为：y 332=-，将表达式y 3与直线l 1的表达式联立并解得：x =，y 94=，即点A 2的纵坐标为94，同理可得A 3的纵坐标为278， …按此规律，则点A n 的纵坐标为（32）n ， 故选A ．【名师点睛】本题考查了两直线的交点，要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与一元一次方程组之间的内在联系．【母题来源五】【2019•广元】如图，过点A 0（0，1）作y 轴的垂线交直线l ：y 3=于点A 1，过点A 1作直线l 的垂线，交y 轴于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交直线l 于点A 3，…，这样依次下去，得到△A 0A 1A 2，△A 2A 3A 4，△A 4A 546，…，其面积分别记为S 1，S 2，S 3，…，则S 100为A．（2）100B ．（100 C ．4199 D ．2395【答案】D【解析】∵点A 0的坐标是（0，1），∴OA 0=1， ∵点A 1在直线y =上，∴OA 1=2，A 0A1= ∴OA 2=4，∴OA 3=8，∴OA 4=16， 得出OA n =2n ， ∴A n A n +1=2n∴OA 198=2198，A 198A 199=2198， ∵S 112=（4-1= ∵A 2A 1∥A 200A 199，∴△A 0A 1A 2∽△A 198A 199A 200，∴1001S S =1982， ∴S =2396=2395， 故选D ．【名师点睛】本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何根据线段的长度求出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用．【母题来源六】【2019•淄博】如图，△OA 1B 1，△A 1A 2B 2，△A 2A 3B 3，…是分别以A 1，A 2，A 3，…为直角顶点，一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C 1（x 1，y 1），C 2（x 2，y 2），C 3（x 3，y 3），…均在反比例函数y 4x=（x >0）的图象上．则y 1+y 2+…+y 10的值为A ．B ．6C ．D ．【答案】A【解析】过C 1、C 2、C 3…分别作x 轴的垂线，垂足分别为D 1、D 2、D 3…其斜边的中点C 1在反比例函数y 4x=，∴C （2，2）即y 1=2，∴OD 1=D 1A 1=2， 设A 1D 2=a ，则C 2D 2=a 此时C 2（4+a ，a ），代入y 4x=得：a （4+a ）=4，解得：a 2=，即：y 22=，同理：y 3=y 4=∴y 1+y 2+…+y 10=22+++=…A ．【名师点睛】考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，通过计算有一定的规律，推断出一般性的结论，得出答案．【母题来源七】【2019•大庆】归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n个“T”字形需要的棋子个数为__________．【答案】3n+2【解析】由图可得，图①中棋子的个数为：3+2=5，图②中棋子的个数为：5+3=8，图③中棋子的个数为：7+4=11，……则第n个“T”字形需要的棋子个数为：（2n+1）+（n+1）=3n+2，故答案为：3n+2．【名师点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中棋子的变化规律，利用数形结合的思想解答．【母题来源八】【2019•天水】观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有__________个〇．【答案】6058【解析】由图可得，第1个图象中〇的个数为：1+3×1=4，第2个图象中〇的个数为：1+3×2=7，第3个图象中〇的个数为：1+3×3=10，第4个图象中〇的个数为：1+3×4=13，……∴第2019个图形中共有：1+3×2019=1+6057=6058个〇，故答案为：6058．【名师点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用数形结合的思想解答．【母题来源九】【2019•甘肃】如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n=__________．【答案】1010【解析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2–1=3个．第3幅图中有2×3–1=5个．第4幅图中有2×4–1=7个．…可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有（2n–1）个．当图中有2019个菱形时，2n–1=2019，n=1010，故答案为：1010．【名师点睛】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．【母题来源十】【2019•衡阳】在平面直角坐标系中，抛物线y=x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为__________．【答案】（–1010，10102） 【解析】∵A 点坐标为（1，1）， ∴直线OA 为y =x ，A 1（–1，1）， ∵A 1A 2∥OA ， ∴直线A 1A 2为y =x +2， 解22y x y x =+⎧⎨=⎩得11x y =-⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩， ∴A 2（2，4）， ∴A 3（–2，4）， ∵A 3A 4∥OA ， ∴直线A 3A 4为y =x +6，解26y x y x =+⎧⎨=⎩得24x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩， ∴A 4（3，9）， ∴A 5（–3，9） …，∴A 2019（–1010，10102）， 故答案为：（–1010，10102）．【名师点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．【母题来源十一】【2019•北京】小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第i 组有x i 首，i =1，2，3，4；②对于第i 组诗词，第i 天背诵第一遍，第（i +1）天背诵第二遍，第（i +3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i =1，2，3，4；第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天第1组 x 1 x 1 x 1 第2组 x 2 x 2 x 2 第3组 第4组x 4x 4x 4③每天最多背诵14首，最少背诵4首．解答下列问题：（1）填入x3补全上表；（2）若x1=4，x2=3，x3=4，则x4的所有可能取值为__________；（3）7天后，小云背诵的诗词最多为__________首．【解析】（1）第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组x1x1x1第2组x2x2x2第3组x3x3x3第4组x4x4x4（2）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，∴x1≥4，x3≥4，x4≥4，∴x1+x3≥8①，∵x1+x3+x4≤14②，把①代入②得，x4≤6，∴4≤x4≤6，∴x4的所有可能取值为4，5，6，故答案为：4，5，6．（3）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，∴由第2天，第3天，第4天，第5天得，x1+x2≤14①，x2+x3≤14②，x1+x3+x4=14③，x2+x4≤14④，①+②+④–③得，3x2≤28，∴x2283≤，∴x1+x2+x3+x4283≤+14703=，∴x1+x2+x3+x4≤2313，∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首，故答案为：23．【名师点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．【母题来源十二】【2019•安徽】观察以下等式：第1个等式：211111=+， 第2个等式：211326=+，第3个等式：2115315=+，第4个等式：2117428=+，第5个等式：2119545=+，……按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：21111666=+； （2）写出你猜想的第n 个等式：()2112121n n n n =+--（用含n 的等式表示），并证明． 【解析】（1）第6个等式为：21111666=+，故答案为：21111666=+． （2）()2112121n n n n =+--． 证明：∵右边()()112112212121n n n n n n n -+=+===---左边．∴等式成立， 故答案为：()2112121n n n n =+--． 【名师点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出()2112121n n n n =+--的规律，并熟练加以运用．【命题意图】这类试题主要考查探索规律在中考中的应用，包括图形类的规律、数字类的规律、图表的规律、一次函数、反比例函数和二次函数中有关点的坐标规律的探索等． 【方法总结】根据一系列数式关系或一组相关图形的变化规律，从中总结其所反映的规律．其中，以图形为载体的数字规律最为常见．猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行观察对比，仿照数式规律的方法猜想得到最终结论． 1．解数字或数式规律探索题的方法 第一步：标序号；第二步：找规律，分别比较各部分与序号数（1，2，3，4，…，n ）之间的关系，把其蕴含的规律用含序号数的式子表示出来；第三步：根据找出的规律表示出第n 个数式． 2．几何图形中的规律探究题图形规律问题主要是观察图形的组成、拆分等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的式子描述图形的变化所反映的规律． 3．点的坐标变化规律探究题图形在直角坐标系中的变化而引起点的坐标的变化，解决此类型题应先分析图形的变化规律，求出一些点的坐标，再结合点在直角坐标系中的位置变化找出坐标的变化规律，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论．1．【安徽省池州市贵池区三级教研网络中片2019届中考数学二模试卷】已知：1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，…，根据前面各式的规律可猜测：101+103+105+…+199= A ．7500 B ．10000 C ．12500 D ．2500【答案】A【解析】101+103+105+107+…+195+197+199 =221199199()()22++- =1002-502， =10000-2500， =7500， 故选A ．【名师点睛】本题考查了规律型–––数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．2．【2019年福建省南平市六校联考中考数学模拟试卷（4月份）】已知一列数：a 1=1，a 2=3，a 3=6，a 4=10，…则122017111a a a +++=A ．20162017 B ．40322017 C ．20172018D ．40342018【答案】D【解析】∵a 1=1，a 2=3，a 3=6，a 4=10，…∴122017111a a a +++1121320172018=+++⨯ 111112[(1)()()]22320172018=-+-+-12(1)2018=-201722018=⨯40342018=． 故选D ．【名师点睛】本题考查了规律型的数字变化类，解题的关键是找到拆项的方法． 3．【2019年广西贺州市昭平县中考数学一模试卷】若x 是不等于1的实数，我们把11x-称为x 的差倒数，如2的差倒数是11x -=-1，-1的差倒数为11(1)--=12，现已知x 1=13，x 2是x 1的差倒数，x 3是x 2的差倒数，x 4是x 3的差倒数，…，依此类推，则x 2019的值为 A ．-13B ．-2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据差倒数的定义可得出：x 1=13，x 2=1113-=32，x 3=1312-=-2，x 4=11(2)--=13，… 由此发现该组数每3个一循环．∵2019÷3=673，∴x2019=x3=-2．故选B．【名师点睛】本题考查了数字的变化以及求倒数，解题的关键是发现“该组数每3个一循环”这个规律．本题属于基础题，难度不大，根据差倒数的定义式列出前4个数据即可找出规律得以解决．4．【云南省昆明市五华区2019届九年级中考数学二模试卷】仔细观察下列数字排列规律，则a=A．206 B．216C．226 D．236【答案】C【解析】观察发现：2=1×2-0；10=3×4-2；26=5×6-4；50=7×8-6…a=15×16-14=226，故选C．【名师点睛】考查了数字的变化类问题，解题的关键是找到各个图形中数字规律，难度不大．5．【重庆市巴蜀中学2019年初三第二次模拟考试数学试题】如图，将一些形状相同的小五角星按图中所规放，据此规律，第10个图形中五角星的个数为A．120 B．121C．99 D．100【答案】A【解析】第1个图形中小五角星的个数为3；第2个图形中小五角星的个数为8；第3个图形中小五角星的个数为15；第4个图形中小五角星的个数为24；则知第n个图形中小五角星的个数为n（n+1）+n．故第10个图形中小五角星的个数为10×11+10=120个，故选A．【名师点睛】本题主要考查图形规律探究，解决本题的关键是要从已知的特殊个体推理得出一般规律．6．【2019年山东省日照市中考数学二模试卷】如图，过点A1（1，0）作x轴的垂线，交直线y=2x于点B；点A2与点O关于直线A1B1对称；过点A2（2，0）作x轴的垂线，交直线y=2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3作x轴的垂线，交直线y=2x于点B3；按B3此规律作下去，则点B n的坐标为A．（2n，2n-1）B．（2n，2n+1）C．（2n+1，2n）D．（2n-1，2n）【答案】D【解析】由题意可得，B1（1，2），B2（2，4），B3（4，8），B4（8，16）…∴点B n的坐标为（2n-1，2n），故选D．【名师点睛】此题重点考查学生对一次函数的拓展应用，找出其中的规律是解题的关键．7．【天津市河西区2019年中考二模数学试卷】如图，第一个图形是用3根一样长度的木棍拼接而成的等边三角形ABC，第二个图形是用5根同样木棍拼接成的；那么按图中所示的规律，在第n个图形中，需要这样的木棍的根数为__________．n【答案】21【解析】第1个图形有2+1=3根，第2个图形有1+2+2=5根，第3个图形有1+2+2+2=7根…第n 个图形有2n +1根， 故答案为：2n +1．【名师点睛】本题考查了图形的变化类问题，仔细观察图形发现图形的变化规律是解答本题的关键． 8．【江苏省徐州市2019届九年级第二次模拟考试数学试题】如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“•”的个数为1a ，第2幅图形中“•”的个数为2a ，第3幅图形中“•”的个数为3a ，…，以此类推，则123101111a a a a ++++的值为__________．【答案】175264【解析】a 1=3=1×3，a 2=8=2×4，a 3=15=3×5，a 4=24=4×6，…，a n =n （n +2）， ∴12310111111111324351012a a a a +++⋯+=++++⨯⨯⨯⨯ (111111)133591124461012=+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯…… 11111(1)()2112212=-+- 175264=， 故答案为：175264．【名师点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律解决问题． 9．【2019年贵州省黔南州中考数学一模试卷】已知函数1()(1)=+f x x x ，其中f （a ）表示当x =a 时对应的函数值，如1(1)12f =⨯，11(2)()23(1)f f a a a ==⨯+，，则f （1）+（2）+f （3）+f （2019）=__________． 【答案】20192020【解析】∵1(1)12f =⨯，11(2),()23(1)f f a a a ==⨯+， ∴f （1）+f （2）+f （3）+f （2019）=112⨯+123⨯+…+120192020⨯=1-12+12-13+…+12019-12020=1-1 2020=2019 2020．故答案为：2019 2020．【名师点睛】此题主要考查代数式的求值，解题的关键是发现规律，进行简便求解．10．【2019年安徽省淮北市濉溪县中考数学二模试卷】观察下列式子：0×2+1=12①；1×3+1=22②；2×4+1=32③；3×5+1=42④；…（1）第⑤个式子__________，第⑩个式子__________；（2）请用含n（n为正整数）的式子表示上述的规律，并证明．【解析】（1）第⑤个式子为4×6+1=52，第⑩个式子9×11+1=102，故答案为：4×6+1=52，9×11+1=102．（2）第n个式子为（n-1）（n+1）+1=n2，证明：左边=n2-1+1=n2，右边=n2，∴左边=右边，即（n-1）（n+1）+1=n2．【名师点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出（n-1）（n+1）+1=n2的规律，并熟练加以运用．。
专题12 探索性问题(第03期)-2021年中考数学试题分项版解析汇编(原卷版)
一、选择题1．（2021四川省绵阳市）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a 1，第2幅图形中“●”的个数为a 2，第3幅图形中“●”的个数为a 3，…，以此类推，则193211111a a a a ++++ 的值为（ ）A ．2120 B ．8461C ．840589D ．760421 2．（2021四川省达州市）如图，将矩形ABCD 绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2021次．若AB =4，AD =3，则顶点A 在整个旋转过程中所经过的路径总长为（ ）A ．2021πB ．2034πC ．3024πD ．3026π3．（2021江苏省连云港市）如图所示，一动点从半径为2的⊙O 上的A 0点出发，沿着射线A 0O 方向运动到⊙O 上的点A 1处，再向左沿着与射线A 1O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A 2处；接着又从A 2点出发，沿着射线A 2O 方向运动到⊙O 上的点A 3处，再向左沿着与射线A 3O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A 4处；…按此规律运动到点A 2021处，则点A 2021与点A 0间的距离是（ ）A ．4B ．23C ．2D ．0 4．（2021重庆市B 卷）下列图象都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗，第②个图形中一共有11颗，第③个图形中一共有21颗，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中的颗数为（ ）A ．116B ．144C ．145D ．150二、填空题5．（2021山东省济宁市）请写出一个过点（1，1），且与x 轴无交点的函数解析式： ． 6．（2021山东省济宁市）如图，正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2，如此继续下去，则正六边形A 4B 4C 4D 4E 4F 4的面积是 ．三、解答题7．（2021四川省南充市）如图，在正方形ABCD 中，点E 、G 分别是边AD 、BC 的中点，AF =14AB ． （1）求证：EF ⊥AG ；（2）若点F 、G 分别在射线AB 、BC 上同时向右、向上运动，点G 运动速度是点F 运动速度的2倍，EF ⊥AG 是否成立（只写结果，不需说明理由）？（3）正方形ABCD 的边长为4，P 是正方形ABCD 内一点，当PAB OAB S S ∆∆=，求△PAB 周长的最小值．8．（2021四川省达州市）如图，在△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过点O 作直线EF ∥BC 分别交∠ACB 、外角∠ACD 的平分线于点E 、F ． （1）若CE =8，CF =6，求OC 的长；（2）连接AE 、AF ．问：当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．9．（2021四川省达州市）探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：()()22122121PP x x y y =-+-他还利用图2证明了线段P 1P 2的中点P （x ，y ）P 的坐标公式：122x x x +=，122y y y +=．（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用：（2）①已知点M （2，﹣1），N （﹣3，5），则线段MN 长度为 ；②直接写出以点A （2，2），B （﹣2，0），C （3，﹣1），D 为顶点的平行四边形顶点D 的坐标： ； 拓展：（3）如图3，点P （2，n ）在函数43y x =（x ≥0）的图象OL 与x 轴正半轴夹角的平分线上，请在OL 、x 轴上分别找出点E 、F ，使△PEF 的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．10．（2021山东省枣庄市）如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D ，分别交AC ，AB 于点E ，F ．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD=23，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．11．（2021山东省枣庄市）已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F 在线段CB的延长线上，连接EA，EC．（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；（2）如图2，若点P在线段AB的中点，连接AC，判断△ACE的形状，并说明理由；（3）如图3，若点P在线段AB上，连接AC，当EP平分∠AEC时，设AB=a，BP=b，求a：b及∠AEC 的度数．12．（2021山西省）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C 的⊙O的切线交于点D．（1）若AC=4，BC=2，求OE的长．（2）试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．13．（2021江苏省盐城市）如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．14．（2021江苏省盐城市）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G．（1）求证：BC是⊙F的切线；（2）若点A、D的坐标分别为A（0，﹣1），D（2，0），求⊙F的半径；（3）试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．15．（2021江苏省盐城市）（探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=60°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为．【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为．（用含a，h的代数式表示）【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE ，AB =32，BC =40，AE =20，CD =16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B 为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积． 【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD ，经测量AB =50cm ，BC =108cm ，CD =60cm ，且tan B =tan C =43，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M 、N 在边BC 上且面积最大的矩形PQMN ，求该矩形的面积． 16．（2021江苏省连云港市）如图，已知等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在边AB ．AC 上，且AD =AE ，连接BE 、CD ，交于点F ．（1）判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系，并说明理由； （2）求证：过点A 、F 的直线垂直平分线段BC ．17．（2021江苏省连云港市）问题呈现：如图1，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上，AE =DG ，求证：2ABCD EFGH S S 矩形四边形．（S表示面积）实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AH ≠BF ，点G 在CD 上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E 、G 作BC 边的平行线，再分别过点F 、H 作AB 边的平行线，四条平行线分别相交于点A 1、B 1、C 1、D 1，得到矩形A 1B 1C 1D 1．如图2，当AH ＞BF 时，若将点G 向点C 靠近（DG ＞AE ），经过探索，发现：2S四边形EFGH =S矩形ABCD +S．如图3，当AH ＞BF 时，若将点G 向点D 靠近（DG ＜AE ），请探索S 四边形EFGH 、S 矩形ABCD 与S 之间的数量关系，并说明理由． 迁移应用：请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：（1）如图4，点E 、F 、G 、H 分别是面积为25的正方形ABCD 各边上的点，已知AH ＞BF ，AE ＞DG ，S 四边形EFGH=11，HF 29，求EG 的长．（2）如图5，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =5，点E 、H 分别在边AB 、AD 上，BE =1，DH =2，点F 、G 分别是边BC、CD上的动点，且FG=10，连接EF、HG，请直接写出四边形EFGH面积的最大值．18．（2021湖北省襄阳市）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，AC=BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．（1）如图1，若CE=CF，求证：DE=DF；（2）如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中：①探究三条线段AB，CE，CF之间的数量关系，并说明理由；②若CE=4，CF=2，求DN的长．。
中考数学专题复习——探究性问题
中考数学专题复习——探究性问题一、结论开放与探究例1、如图，在△ABC 中，作∠ABC 的平分线BD ，交AC 于D ，作线段BD 的垂直平分线EF ，分别交AB 于E ，BC 于F ，垂足为O ，连结DF ．在所作图中，寻找一对全等三角形，并加以证明．（不写作法，保留作图痕迹）例2、我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在△ABC 中，设CD,BE 相交于点O ，∠A=60°，∠DCB=∠EBC=12∠A ．请你写出图中一个与∠A 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在△ABC 中，如果∠A 是不等于60°的锐角，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且∠DCB=∠EBC= 12∠A ．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．例3、如图，抛物线y ＝a(x ＋1)(x －5)与x 轴的交点为M 、N ．直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于P(－2，0)，与y 轴交于C ．若A 、B 两点在直线y ＝kx ＋b 上，且AO =BO =2，AO ⊥BO ．D 为线段MN 的中点，OH 为Rt △OPC 斜边上的高．(1)OH 的长度等于___________；k ＝___________，b ＝____________；(2)是否存在实数a ，使得抛物线y ＝a(x ＋1)(x －5)上有一点E ，满足以D 、N 、E 为顶 点的三角形与△AOB 相似?若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析ABCEABDOC式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点(简要说明理由)；并进一步探索对符合条件的每一个E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB·PG＜210，写出探索过程．二、策略探究型例4、如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为___________．例5、如图，这是一张等腰梯形纸片，它的上底长为2，下底长为4，腰长为2，这样的纸片共有5张。
探索性问题
中考数学专题复习5：探索性问题Ⅰ、综合问题精讲：探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识．经常用到的知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式的求法（图象及其性质）、直角三角形的性质、四边形（特殊）的性质、相似三角形、解直 角三角形等．其中用几何图形的某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途径．因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力． Ⅱ、典型例题剖析【例1】（2005，临沂）如图2－6－1，已知抛物线的顶点为A(O ，1)，矩形CDEF 的顶点C 、F 在抛物线上，D 、E 在x 轴上，CF 交y 轴于点B(0，2)，且其面积为8．(1)求此抛物线的解析式；(2)如图2－6－2，若P 点为抛物线上不同于A 的一点，连结PB 并延长交抛物线于点Q ，过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为S 、R ．①求证：PB ＝PS ； ②判断△SBR 的形状；③试探索在线段SR 上是否存在点M ，使得以点P 、S 、M 为顶点的三角形和以点Q 、R 、M 为顶点的三角形相似，若存在，请找出M 点的位置；若不存在，请说明理由． ⑴解：方法一：∵B 点坐标为(0，2)，∴OB＝2， ∵矩形CDEF 面积为8，∴CF=4.∴C 点坐标为(一2，2)．F 点坐标为(2，2)。
中考数学专题复习函数过程探究性问题
中考数学专题复习函数过程探究性问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分一、解答题1．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数2241x y x -=+的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象； x… －5－4－3－2 －1 0 1 2 3 4 5 …2241x y x -=+… －2126 －1217 －12 0 324 0 …（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质；（3）已知函数332y x =-+的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式2234321x x x --+>+的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）2．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数|26|y x x m =+-++性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题． x…2-1-0 1 2 3 4 5 …y (6)54a 2 1b 7 …（1）写出函数关系式中m 及表格中a ，b 的值：m =________，=a _________，b =__________；（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：__________； （3）已知函数16y x=的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式16|26|x x m x+-++>的解集．3．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数261xy x =+性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）请把下表补充．．完整，并在图中补全．．该函数图象； x… －5 －4－3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 …261xy x =+…1513-2417-125-－3 0 3 12524171513…（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在相应的括号内打“√”，错误的在相应的括号内打“×”；①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y 轴；( )①该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当1x =时，函数取得最大值3；当1x =-时，函数取得最小值－3；( )①当1x <-或1x >时，y 随x 的增大而减小；当11x -<<时，y 随x 的增大而增大；( ) （3）已知函数21y x =-的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式26211xx x >-+的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．4．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数2122=-+yx的图象并探究该函数的性质．x①-4-3-2-101234①y①23-a-2-4b-4-21211-23-①（1）列表，写出表中a，b的值：a=____ ，b=．描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）：①函数2122=-+yx的图象关于y轴对称；①当x=0时，函数2122=-+yx有最小值，最小值为-6；①在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．（3）已知函数21033y x=--的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式212210233xx-<--+的解集．5．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题＂的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义(0)(0)a aaaa≥⎧=⎨-⎩＜．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数3y kx b=-+中，当2x=时，4y=-；当0x=时，y 1.=-（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象井并写出这个函数的一条性质；（3）已知函1y32x=-的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式1323kx b x-+≤-的解集．6．函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数2||y x =-的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数2||2y x =-+和2| 2|y x =-+的图象如图所示． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …y …﹣6﹣4﹣2﹣2﹣4﹣6…（1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．写出点A ，B 的坐标和函数-2|2|y x =+的对称轴．（2）探索思考：平移函数2||y x =-的图象可以得到函数2||2y x =-+和2|2|y x =-+的图象，分别写出平移的方向和距离．（3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数2|3|1y x =--+的图象．若点()11,x y 和(22,)x y 在该函数图象上，且213x x >>，比较1y ，2y 的大小．参考答案：1．（1）从左到右，依次为：311221,,,221726--，图见解析；（2）该函数图象是轴对称图象，对称轴是y 轴；（3）0.3,12x x <-<< 【解析】 【分析】（1）直接代入求解即可；（2）根据函数图象，写出函数的性质即可； （3）根据图象交点写出解集即可． 【详解】解：（1）表格中的数据，从左到右，依次为：311221,,,221726--．函数图象如图所示．；（2）①该函数图象是轴对称图象，对称轴是y 轴；①该函数在自变量的取值范围内，有最大值，当0x =，函数取得最大值4；①当0x <是，y 随x 的增大而增大；当0x >是，y 随x 的增大而减小；（以上三条性质写出一条即可）（3）当0.2x =-时，33 3.32x -+=，224 3.81x x -≈+；当0.4=-x 时，33 3.62x -+=，224 3.311x x -≈+；所以0.3x =-是2234321x x x --+=+的一个解；由图象可知1x =和2x =是2234321x x x --+=+的另外两个解；①2234321x x x --+>+的解集为0.3,12x x <-<<．【点睛】本题考查函数图象和性质，能够从表格中获取信息，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象解题是关键．2．（1）2-；3；4；（2）作图见解析；当3x <时，y 随x 的增大而减小，当3x >时，y 随x 的增大而增大；（3）0x <或4x > 【解析】 【分析】（1）将表格中的已知数据任意选择一组代入到解析式中，即可求出m ，然后得到完整解析式，再根据表格代入求解其余参数即可；（2）根据作函数图象的基本步骤，在网格中准确作图，然后根据图象写出一条性质即可；（3）结合函数图象与不等式之间的联系，用函数的思想求解即可． 【详解】（1）由表格可知，点()3,1在该函数图象上，①将点()3,1代入函数解析式可得：13236m =+-⨯++， 解得：2m =-，①原函数的解析式为：|26|2y x x =+-+-； 当1x =时，3y =； 当4x =时，4y =； 故答案为：2-；3；4；（2）通过列表-描点-连线的方法作图，如图所示；根据图像可知：当3x <时，y 随x 的增大而减小，当3x >时，y 随x 的增大而增大；故答案为：当3x <时，y 随x 的增大而减小，当3x >时，y 随x 的增大而增大； （3）要求不等式16|26|x x m x+-++>的解集， 实际上求出函数|26|y x x m =+-++的图象位于函数16y x=图象上方的自变量的范围， ①由图象可知，当0x <或4x >时，满图条件， 故答案为：0x <或4x >．【点睛】本题考查新函数图象探究问题，掌握研究函数的基本方法与思路，熟悉函数与不等式或者方程之间的联系是解题关键．3．（1）95-，95；（2）①× ①√ ①√；（3）x ＜−1或−0.3＜x ＜1.8．【解析】 【分析】（1）代入x=3和x=-3即可求出对应的y 值，再补全函数图象即可； （2）结合函数图象可从增减性及对称性进行判断； （3）根据图象求解即可． 【详解】解：（1）当x=-3时，2618911x y x -==++95=-，当x=3时，2618911x y x ===++95， 函数图象如下：（2）①由函数图象可得它是中心对称图形，不是轴对称图形； 故答案为：× ，①结合函数图象可得：该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当1x =时，函数取得最大值3；当1x =-时，函数取得最小值－3； 故答案为：√ ，①观察函数图象可得：当1x <-或1x >时，y 随x 的增大而减小；当11x -<<时，y 随x 的增大而增大； 故答案为：√．（3）1x <-，0.28 1.78(0.280.2 1.780.2)x x -<<-±<<±26211xx x =-+时，()2(1)2310x x x +--=得11x =-，2 1.8x ，30.3x ≈-， 故该不等式的解集为： x ＜−1或−0.3＜x ＜1.8． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键． 4．（1）1211-，6-，作图见解析；（2）①√；①√；①×；（3）x ＜-4或-2＜x ＜1． 【解析】 【分析】（1）把对应的x 的值代入即可求出a 和b 的值，通过描点，用平滑的曲线连接，即可作出图象；（2）观察图象即可判断；（3）找出函数2122=-+y x 的图象比函数21033y x =--的图象低时对应的x 的范围即可． 【详解】（1）当3x =-时，212121132a =-=-+；当0x =时，1262b =-=-； ①1211a =-，6b =-， 故答案为：1211-，6-． 所画图象，如图所示．（2）①观察图象可知函数2122=-+y x 的图象关于y 轴对称，故该说法正确； ①观察图象可知，当x =0时，函数2122=-+y x 有最小值，最小值为6-，故该说法正确； ①观察图象可知，当0x <时，y 随x 的增大而减小，当0x >时，y 随x 的增大而增大，故该项题干说法错误．（3）不等式212210233x x -<--+表现在图象上面即函数2122=-+y x 的图象比函数21033y x =--的图象低，因此观察图象，即可得到212210233x x -<--+的解集为：x ＜-4或-2＜x ＜1．【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．5．（1）3342y x =--；（2）见解析，当2x ≥时，y 随x 的增大而增大；当2x <时，y 随x 的增大而减小；（3）14x ≤≤.【解析】【分析】（1）根据在函数y=|kx -3|+b 中，当x=2时，y=-4；当x=0时，y=-1，可以求得该函数的表达式；（2）根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象并写出它的一条性质；（3）根据图象可以直接写出所求不等式的解集.【详解】解：（1）由题意，可得23431k b b ⎧-+=-⎪⎨-+=-⎪⎩ 324k b ⎧=⎪∴⎨⎪=-⎩ ∴函数的解析式为：3342y x =-- （2）当2x ≥时，y 随x 的增大而增大；当2x <时，y 随x 的增大而减小；（3）14x ≤≤；【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式与一次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答.6．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）根据图形即可得到结论；（2）根据函数图形平移的规律即可得到结论；（3）根据函数关系式可知将函数2||y x =-的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到函数2|-3|1y x =-+的图象．根据函数的性质即可得到结论．【详解】解：（1）(0,2)A ，(2,0)B -，函数2| 2|y x =-+的对称轴为2x =-；（2）将函数2||y x =-的图象向上平移2个单位得到函数2||2y x =-+的图象； 将函数2||y x =-的图象向左平移2个单位得到函数2|2|y x =-+的图象；（3）将函数2||y x =-的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到函数2|3|1y x =--+的图象．所画图象如图所示，当213x x >>时，12y y >．【点睛】本题考查了一次函数与几何变换，一次函数的图象，一次函数的性质，平移的性质，正确的作出图形是解题的关键．。
中考数学专题复习_几何探究题
专题复习几何探究问题一、结论探究【例1】如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=900，点D是BC中点，作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论（2）将正方形DEFG绕点D逆时针旋转一定角度后（旋转角大于00，小于或等于3600），如图②，通过观察和测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由。
（3）若BC=DE=2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值。
'变式练习：已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；（2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG．你在（1）中得到的结论是否发生变化写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立（不要求证明）| A D]G图1FA[EG图2、AE图3DFEC BAB'C'二、条件探究【例2】已知两个全等的直角三角形纸片ABC 、DEF ，如图（1）放置，点B 、D 重合，点F 在BC 上，AB 与EF 交于点G ，∠C=∠EFB=900，∠E=∠ABC=300，AB=DE=4 （1）求证：△EGB 是等腰三角形（2）若纸片DEF 不动，问△ABC 绕点F 旋转最小 度时，四边形ACDE 成为以ED 为底的梯形（如图（2）），求此梯形的高。
,【例3】如图，Rt △AB C 是由Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转得到的，连结CC 交斜边于点E ，CC 的延长线交BB 于点F ． |（1）证明：△ACE ∽△FBE ；（2）设∠ABC =α，∠CAC =β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE 与△FBE 是全等三角形，并说明理由．；E图1A:CD图2三、类比探究 【例4】（1）操作发现：如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在举行ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF =DF ，你同意吗说明理由． （2）问题解决：保持（1）中的条件不变，若DC =2DF ，求ABAD的值； /（3）类比探求：保持（1）中条件不变，若DC =nDF ，求ABAD的值．【例5】如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．如，平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________；（（2）如图1，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，如果延长DC 到E ，使CE ＝AB ，连接AE ，那么有S 梯形ABCD＝S △ABE ．请你给出这个结论成立的理由，并过点A 作出梯形ABCD 的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；（3）如图，四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，S △ADC ＞S △ABC ，过点A 能否作出四边形ABCD 的面积等分线若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．AB。
中考复习 ：探究类问题的解法
中考数学探究类问题的解法在每年数学中考中通常都有一道结合图形探究规律，利用规律得出一般性的结论，考察学生观察、分析、归纳能力，此题往往是一题或二题中的拔高题，学生通常在此丢分，有的学生干脆就不做放弃了。
此类题并不是很难，解决方法是人特殊入手找出一般规律。
1.如图，点A 1(1,1)在直线y=x 上，过点A1分别作y 轴、x 轴的平行线交直线y=23x 于点B 1，B 2，过点B 2作y 轴的平行线交直线y=x 于点A 2，过A 2作x 轴的平行线交直线y=23x 于点B3，... ，按照此规律进行下去，则A n 的横坐标为__________。
解析 ：由点A1的横坐标可求出点B1、A1的纵坐标，进而 可得出A 1B 1再利用解直角三角形求A 1B 2的长度，由1+A 1B 2=332可得出A 2、B 2的坐标，同理求得A 1(2,2),A 2(332,332),A 3(332×332,332×332),...,((332)n-1,(332)n-1)故A n 的横坐标:(332)n-1。
2. 如图，点A 1、A 2、A 3、...，A n 在x 轴正半轴上，点C 1，C 2，C 3，...，C n 在y 轴正半轴上，点B 1,B 2,B 3,...，B n 在第一象限角平分线OM 上，OB 1=B 1B 2=B 1B 3=...=B n-1B n =23a ，A 1B 1⊥B 1C 1,A 2B 2⊥B 2C 2,A 3B 3⊥B 3C 3，...，A n B n ⊥B n C n ，...，则第n 个四边形OA n B n C n 的面积是_______.解析 ：过点B 1作B 1E ⊥OC 1,B 1F ⊥OA 1,可证△B 1C 1E ≌△A 1B 1F,可以得出四边形B 1EOF 是正方形，OB 1=23a ，可得S 四边形OA1B1C1=83a 2，同理可得：S 四边形OA2B2C2=83a 2·22，S 四边形OA3B3C3=83a 2·32，...，S 四边形OAnBnCn =83a 2·n 2。
中考数学探究题解题技巧
中考数学探究题解题技巧中考数学探究题是很多学生和家长关注的重点，这类题目不仅考察学生的数学基础知识，还考察学生的思维能力、探究能力和创新能力。
本文将介绍中考数学探究题的常见题型、解题技巧及注意事项，帮助同学们更好地应对中考数学探究题。
一、中考数学探究题常见题型中考数学探究题通常以实际问题、图表、图象等形式呈现，要求学生通过观察、分析、归纳、猜想等方法，寻求解决问题的策略。
常见的题型有：规律型探究题、统计型探究题、开放型探究题等。
二、解题技巧1. 认真审题：仔细阅读题目，理解题意，找出关键信息，理解问题的本质。
2. 规律总结：对于规律型探究题，要善于观察、分析、总结其中的规律。
例如，通过观察一组数据的变化规律，可以找到解题的突破口。
3. 统计图应用：在统计型探究题中，要根据图表中的数据进行分析，从中找出规律或趋势。
同时，要善于利用图表中的信息来解题。
4. 合理猜想：在开放型探究题中，要敢于猜想、尝试、验证，找到问题的答案。
同时，要注意猜想的合理性和可行性。
5. 逻辑推理：在解题过程中，要善于运用逻辑推理，逐步找到问题的答案。
要注意推理的严密性和连续性。
6. 细心计算：在解题过程中，要认真进行计算，确保计算的准确性和完整性。
三、注意事项1. 不要被题目的表面现象所迷惑，要善于发现问题的本质和规律。
2. 不要盲目尝试，要善于分析题目中的信息，找到解题的突破口。
3. 不要忽视细节，要认真阅读题目要求，确保答案的准确性和完整性。
4. 不要忽略题目中的数字或字母符号，要认真进行计算。
5. 不要过于紧张，要保持冷静，逐步找到问题的答案。
通过以上技巧和注意事项，同学们可以更好地应对中考数学探究题。
在解题过程中，要善于观察、分析和总结，找到问题的规律和答案。
同时，要保持冷静和自信，相信自己能够克服困难，找到问题的答案。
祝愿同学们在中考中取得优异的成绩！。
中考数学总复习第40课 探索型问题
－ b ＝1，
2a
a＝－1，
∴ －b2＝1， 解得 b＝2.
4a
即当顶点坐标为(1，1)时，a＝－1.
－ b ＝m， 2a
a＝－ 1 ，
当顶点坐标为 (m ，m )，m ≠0
时，
－b2＝m ， 4a
解得
b＝2.
m
∴a 与 m 之间的关系式是：a＝－m1 或 am＋1＝0.］
(2)∵a≠0，
∴y＝ax2＋bx＝a
专题解读
1．探索型问题： 探索是人类认识客观世界过程中最生动，最活跃的思维活 动．探索问题主要考查学生探究、发现、总结问题的能力，主 要包括： (1)规律探索型问题； (2)结论探索型问题； (3)存在性探索型问题； (4)动态探索型问题． 2．解答探索型问题的注意事项： 由于探索型问题的题型新颖，综合性强，思维能力要求高，结 构独特，因此解题时并无固定模式，它要求解题者具有较扎实 的基本功，较强的观察力，丰富的想象力及综合分析问题的能 力．解题时要注意问题情境，注重思维的严密性，注意寻找问 题解决的切入口．有时也可采用以下方法来寻找突破口：(1)利 用特殊值(特殊点，特殊数量，特殊线段等)进行归纳，概括；(2) 反演推理法(反证法)；(3)分类讨论法；(4)类比猜想法．
3，4 3
3，
－2 P2 3
3，4 3
3
；当∠PAO＝90°时，P3
34 9
3，4 3
3 ；当∠POA＝90°时，
－16 3，4 3
P4 9
3.
名师点拨
存在性探索问题是运用几何计算进行探索的综合型 问题，要注意相关的条件，可以先假设结论成立，然后通 过计算求相应的值，再作存在性的判断．
【预测演练 3】 如图 40－7，在△ABC 中，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm， 点 D 是 BC 边的中点．点 P 从点 B 出发，以 a(cm/s)(a>0)的速度沿 BA 匀速向点 A 运动；点 Q 同时以 1 cm/s 的速度从点 D 出发，沿 DB 匀 速向点 B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运 动，设它们运动的时间为 t(s)． (1)若 a＝2，△BPQ∽△BDA (点 P 与点 D 对应)，求 t 的值； (2)设点 M 在边 AC 上，四边形 PQCM 为平行四边形． ①若 a＝5，求 PQ 的长； 2 ②是否存在实数 a，使得点 P 在∠ACB 的平分线上？若存在，请求 出 a 的值；若不存在，请说明理由．
中考数学（通用版）复习专题学案：规律探究问题
规律探究问题【题型特征】规律探究性问题的特点是问题的结论不是直接给出,而是通过对问题的观察、分析、归纳、概括、演算、判断等一系列的探究活动,才能得到问题的结论.这类问题,因其独特的规律性和探究性,对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求.在近几年全国各地的中考试题中,不仅频频出现规律探究题,而且“花样百出”.常见的类型有:(1)数式规律型;(2)图形变化规律型;(3)坐标变化规律型;(4)数形结合规律型等.【解题策略】解决规律探究性问题常常利用特殊值(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)进行归纳、概括,从特殊到一般,从而得出规律(符合一定的经验与事实的数学结论),然后验证或应用这一规律解题即可.解答时对分析问题、解决问题能力具有很高的要求.(1)数式规律型:数式规律涉及数的变化规律和式的变化规律,式变化规律往往包含数的变化规律.数的变化规律问题是按一定的规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题,主要是通过观察、分析、归纳、验证,然后得出一般性的结论,以列代数式为主要内容;式的变化规律通常给定一些代数式,等式或者不等式,猜想其中蕴含的规律,一般解法是先写出代数式的基本结构,然后通过横比(比较同一等式中的不同数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系),找出各部分的特征,写出符合条件的格式.(2)图形变化规律型:图形变化型问题涉及图形排列规律和变化蕴含的规律.主要是观察图形变化过程中的特点,分析其联系和区别,用相应的算式由特殊到一般描述其中的规律.这需要有敏锐的观察能力和计算能力.(3)坐标变化规律型:此类题型主要考查了点的坐标规律,培养学生观察和归纳能力,从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本类问题的关键.(4)数形结合规律型:这类问题主要考查学生综合运用代数知识和几何知识的能力,解决这类问题要求学生不仅要有很好的“数感”,还要有很强的“图形”意识.类型一数式规律型【技法梳理】对于数式规律型问题,关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化关系和规律,然后再利用这个变化规律回到问题中去解决问题.举一反三1. (2015·山东菏泽)下面是一个某种规律排列的数阵:1√2第1行√32√5√6第2行√72√23√10√112√3第3行√13√14√154√173√2√192√5第4行……根据数阵的规律,第n(n是整数,且n≥3)行从左到右数第n-2个数是(用含n的代数式表示).2. (2015·山东临沂)请你计算:(1-x)(1+x),(1-x)(1+x+x2),…,猜想(1-x)(1+x+x2+…+x n)的结果是().A. 1-x n+1B. 1+x n+1C. 1-x nD. 1+x n【小结】此类问题考查的知识点是单项式的知识.找代数式的变化规律,一般是由特殊到一般,得出一般规律.比如典例观察单项式的规律,把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积,分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键.类型二图形变化规律型典例2(2015·四川内江)如图,将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列,那么第2015个图形是.【解析】根据图象规律得出每6个数为一周期,用2015先减2再除以6,根据余数来决定第2015个图形.因为(2015-2)÷6=335……2,故第2015个图形与第2个图象相同,故答案是正方形.【全解】正方形【技法梳理】本题是一道找图形循环排列规律的题目.这类题首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,解题时对观察能力和归纳总结能力有一定要求.举一反三3. (2015·湖北天门)将相同的矩形卡片,按如图方式摆放在一个直角上,每个矩形卡片长为2,宽为1,依此类推,摆放2015个时,实线部分长为.(1)(2)(3)(第3题)4. (2015·珠海)如图,在等腰Rt△OAA1中,∠OAA1=90°,OA=1,以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2,以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3,…,则OA4的长度为.(第4题)5. (2015·湖北十堰)根据如图中箭头的指向规律,从2013到2015再到2015,箭头的方向是以下图示中的().(第5题)【小结】 (1)图形循环类问题,只要找到所求值在第几个循环,便可找出答案,一般难度不大;(2)图形的变化规律计算问题,关键是根据题目中给出的图形,通过观察思考,归纳总结出规律,再利用规律解决问题,难度一般偏大,属于难题.类型三坐标变化规律型典例3(2015·广东梅州)如图,弹性小球从点P(0,3)出发,沿所示方向运动,每当小球碰到矩形OABC的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1,第2次碰到矩形的边时的点为P2,…,第n次碰到矩形的边时的点为P n,则点P3的坐标是;点P2 014的坐标是.【解析】如图,经过6次反弹后动点回到出发点(0,3),当点P第3次碰到矩形的边时,点P的坐标为(8,3),∵2015÷6=335……4,∴当点P第2015次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹.点P的坐标为(5,0).故答案为(8,3),(5,0).【全解】 (8,3)(5,0)【技法梳理】根据反射角与入射角的定义作出图形,可知每6次反弹为一个循环组依次循环,用2015除以6,根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可.举一反三6. (2015·湖北荆门)如图,在第1个△A1BC中,∠B=30°,A1B=CB;在边A1B上任取一点D,延长CA1到A2,使A1A2=A1D,得到第2个△A1A2D;在边A2D上任取一点E,延长A1A2到A3,使A2A3=A2E,得到第3个△A2A3E,…按此做法继续下去,则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是().(第6题)7. (2015·山东潍坊)如图,已知正方形ABCD,顶点A(1,3),B(1,1),C(3,1).规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,如此这样,连续经过2015次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为().(第7题)A. (-2012,2)B. (-2012,-2)C. (-2013,-2)D. (-2013,2)【小结】此类题型主要考查点的坐标变化规律,解决此类问题的关键是从点的变化中发现横坐标、纵坐标的变化规律.类型四数形结合规律型典例4(2015·山东泰安)如图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置,点B,O分别落在点B1,C1处,点B1在x轴上,再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置,点C2在x轴上,将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去…….若点,B(0,4),则点B2015的横坐标为.故答案为10070.【全解】10070【技法梳理】首先利用勾股定理得出AB的长,进而得出三角形的周长,进而求出B2,B4的横坐标,进而得出变化规律,即可得出答案.举一反三8. (2015·四川内江)如图,已知A1,A2,A3,…,A n,A n+1是x轴上的点,且OA1=A1A2=A2A3=…=A n A n+1=1,分别过点A1,A2,A3,…,A n,A n+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1,B2,B3,…,B n,B n+1,连接A1B2,B1A2,B2A3,…,A n B n+1,B n A n+1,依次相交于点P1,P2,P3,…,P n.△A1B1P1,△A2B2P2,△A nB n P n的面积依次记为S1,S2,S3,…,S n,则S n为().(第8题)9. (2015·山东威海)如图,在平面直角坐标系xOy中,Rt△OA1C1,Rt△OA2C2,Rt△OA3C3,Rt△OA4C4…的斜边都在坐标轴上,∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=…=30°.若点A1的坐标为(3,0),OA1=OC2,OA2=OC3,OA3=OC4…,则依此规律,点A2015的纵坐标为().(第9题)【小结】此类题主要考查坐标的变化规律.解决此类问题的关键是利用数形结合的思想发现运动的规律.综合其用勾股定理等知识点解出相应的问题.类型一1. (2015·山东烟台)将一组数√3,√6,3,2√3,√15,…,3√10,按下面的方式进行排列:√3,√6,3,2√3,√15;3√2,√21,2√6,3√3,√30;……若2√3的位置记为(1,4),2√6的位置记为(2,3),则这组数中最大的有理数的位置记为().A. (5,2)B. (5,3)C. (6,2)D. (6,5)2. (2015·湖北咸宁)观察分析下列数据:0,-√3,√6,-3,2√3,-√15,3√2,…,根据数据排列的规律得到第16个数据应是.(结果需化简)3. (2015·贵州铜仁)一列数:0,-1,3,-6,10,-15,21,…,按此规律第n个数为.4. (2015·甘肃白银)观察下列各式:13=12,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,……猜想13+23+33+…+103=.类型二5. (2015·湖北武汉)观察下列一组图形中点的个数,其中第1个图中共有4个点,第2个图中共有10个点,第3个图中共有19个点…按此规律第5个图中共有点的个数是().(第5题)A. 31B. 46C. 51D. 666. (2015·湖南娄底)如图是一组有规律的图案,第1个图案由4个▲组成,第2个图案由7个▲组成,第3个图案由10个▲组成,第4个图案由13个▲组成,…,则第n(n为正整数)个图案由个▲组成.(第6题)7. (2015·广东深圳)如图,下列图形是将正三角形按一定规律排列,则第5个图形中所有正三角形的个数有.…(第7题)类型三8. (2015·湖南邵阳)如图,A点的初始位置位于数轴上的原点,现对A点做如下移动:第1次从原点向右移动1个单位长度至B点,第2次从B点向左移动3个单位长度至C点,第3次从C点向右移动6个单位长度至D点,第4次从D点向左移动9个单位长度至E 点,…,依此类推,这样至少移动次后该点到原点的距离不小于41.(第8题)9. (2015·甘肃天水)如图,一段抛物线y=-x(x-1)(0≤x≤1)记为m1,它与x轴交点为O,A1,顶点为P1;将m1绕点A1旋转180°得m2,交x轴于点A2,顶点为P2;将m2绕点A2旋转180°得m3,交x轴于点A3,顶点为P3,…,如此进行下去,直至得m10,顶点为P10,则P10的坐标为().(第9题)类型四10. (2015·四川遂宁)已知:如图,在△ABC中,点A1,B1,C1分别是BC,AC,AB的中点,A2,B2,C2分别是B1C1,A1C1,A1B1的中点,依此类推….若△ABC的周长为1,则△A n B n C n的周长为.(1)(2)(3)(第10题)11. (2015·江苏淮安)如图,顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点,得到四边形A1B1C1D1,然后顺次连接四边形A1B1C1D1的中点,得到四边形A2B2C2D2,再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点,得到四边形A3B3C3D3,…,按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为.(第11题)12. (2015·广东佛山)(1)证明三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半;[要求根据图(1)写出已知、求证、证明;在证明过程中,至少有两处写出推理依据(“已知”除外)](2)如图(2),在▱ABCD中,对角线焦点为O,A1,B1,C1,D1分别是OA,OB,OC,OD的中点,A2,B2,C2,D2分别是OA1,OB1,OC1,OD1的中点,…,以此类推.若▱ABCD的周长为1,直接用算式表示各四边形的周长之和l;(3)借助图形(3)反映的规律,猜猜l可能是多少?(1)(2)(3) (第12题)参考答案【真题精讲】2. A解析:(1-x)(1+x)=1-x2,(1-x)(1+x+x2)=1+x+x2-x-x2-x3=1-x3,…,依此类推(1-x)(1+x+x2+…+x n)=1-x n+1.3.方法一:由图形可得出:摆放一个矩形实线长为3,摆放2个矩形实线长为5,摆放3个矩形实线长为8,摆放4个矩形实线长为10,摆放5个矩形实线长为13,即第偶数个矩形实线部分在前一个的基础上加2,第奇数个矩形实线部分在前一个的基础上加3,∵摆放2015个时,相等于在第1个的基础上加1007个2,1006个3,∴摆放2015个时,实线部分长为3+10072+10063=5035.故答案为5035.方法二:第①个图实线部分长 3,第②个图实线部分长 3+2,第③个图实线部分长 3+2+3,第④个图实线部分长 3+2+3+2,第⑤个图实线部分长 3+2+3+2+3,第⑥个图实线部分长 3+2+3+2+3+2,……从上述规律可以看到,对于第n个图形,当n为奇数时,第n个图形实线部分长度为4. 8解析:∵△OAA1为等腰直角三角形,OA=1,∴AA1=OA=1,OA1=√2OA=√2.∵△OA1A2为等腰直角三角形,∴A1A2=OA1=√2,OA2=√2OA1=2.∵△OA2A3为等腰直角三角形,∴A2A3=OA2=2,OA3=√2OA2=2√2.∵△OA3A4为等腰直角三角形,∴A3A4=OA3=2√2,OA4=√2OA3=4.故答案为4.5. D解析:由图可知,每4个数为一个循环组依次循环, 2013÷4=503……1,∴2013是第504个循环组的第2个数.∴从2013到2015再到2015,箭头的方向是.故选D.7. A解析:∵正方形ABCD,点A(1,3),B(1,1),C(3,1),∴M的坐标变为(2,2).∴根据题意得,第1次变换后的点M的对应点的坐标为(2-1,-2),即(1,-2),第2次变换后的点M的对应点的坐标为(2-2,2),即(0,2),第3次变换后的点M的对应点的坐标为(2-3,-2),即(-1,-2),第2015次变换后的点M的对应点的坐标为(2-2015,2),即(-2012,2).故答案为A.8. D解析:本题根据一次函数函数图象上点的坐标性质得出B点坐标变化规律进而得出图形面积变化规律是解题关键.根据图象上点的坐标性质得出点B1,B2,B3,…,B n,B n+1各点坐标,进而利用相似三角形的判定与性质得出S1,S2,S3,…,S n,进而得出答案9. D解析:∵∠A2OC2=30°,OA1=OC2=3,【课后精练】1. C2.-3√54. 552解析:本题的规律为:从1开始,连续n个数的立方和=(1+2+3+…+n)2.5. B6. 3n+17. 485解析:本题考查图形的变化规律.由图可以看出:第一个图形中5个正三角形,第二个图形中53+2=17个正三角形,第三个图形中173+2=53个正三角形,由此得出第四个图形中533+2=161个正三角形,第五个图形中1613+2=485个正三角形.8. 289. (9.5,-0.25)12. (1)已知:在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点, 证明:如图,延长DE至F,使EF=DE,(第12题)∵E是AC的中点,∴AE=CE.在△ADE和△CFE中,∴△ADE≌△CFE(SAS).∴AD=CF(全等三角形对应边相等),∠A=∠ECF(全等三角形对应角相等).∴AD∥CF.∵点D是AB的中点,∴AD=BD.∴BD=CF且BD∥CF.∴四边形BCFD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).∴DF∥BC且DF=BC(平行四边形的对边平行且相等).。
新课标下中考数学探究型问题解题攻略初探
４ ．规 律 探 究 型
规 律 探 究 型 问 题 存 一 定 的 条 件 状 态 下 ， 探 索 发 现 有 需
确 的结 论 ， 讨论 结 论 的存 在 性 ， 根 据 结 论 探 索 必 须 满 足 的 或 条 件． 中数 学 ｑ 的探 索 性 问 题 有 探 求 条 件 、 论 、 在 、 初 Ｉ 结 存 规 律 、 题 变换 等 类 型． 中 最 常 见 、 基 小 的类 型 是 条 件 探 命 其 最 究型 、 结论 探 究 型 、 在 探 究 型 、 律 探 究 型． 存 舰
一
例 ２ （ 苏省 盐城 市 中考 题 ） 出 图像 经过 点（ ， ） 江 写 １ 一１ 的
个 函 数 关 系 式 ．
显 然 上 例 是 答 案 不 唯 一 ， 于 典 型 的 结 论 开 放 探 究 型 属
试题．
３ ．存 在性 探 究 型
存 在 性 探 究 型 问 题 是 指 存 一 定 的 条 件 下 ， 探 索 发 现 需 某 种 数 学 关 系 是 否 存 在 的 题 目．此 类 问 题 的 叙 述 一 般 是 ：
例 ３ （ 庆 江津 区中考题 ） 重 如
图 ２， 物 线 ｙ＝。 ＋如 ＋１ 与 抛 轴 交 于 两 点 Ａ（ 一 １ ０） 口（１ ０） 与 Ｙ ， ， ， ， 轴 交 于 点 Ｃ ． （ ）求 抛 物 线 的 解 析 式 ； １
Ａ
ｉ
类 应 运 而生 的 新 题 型 ． 于 探 究 型 数 学 问题 具 有 较 高 的 南
Ａ Ｄ
第 １ 图形 个
第２ 个图形
第３ 个图形
第４ 个图形
它们 是按 一定 规 律 排 列 的 ， 照 此 规 律 ， ９个 图形 中 依 第
【中考数学】2020中考数学总复习-专题一 规律探究型问题
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命题点一 点的坐标变化规律
例3 (2019东营)如图,在平面直角坐标系中,函数y= 3 x和y=- 3x的图象分别为 3
直线l1,l2,过l1上的点A1 1, 33 作x轴的垂线交l2于点A2,过点A2作y轴的垂线交l1于
点A3,过点A3作x轴的垂线交l2于点A4,……,依次进行下去,则点A2 019的横坐标为 -31 009 .
+1+ 12 -
1 3
+…+1+ 2 0118
-
2
1 019
=2
018+1- 1 + 1 - 1+ 1- 1 +…+
2 23 34
1 - 1 =2 018 2 018 .
2 018 2 019
2 019
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方法技巧 解答此类问题常用的解题方法有以下两种: (1)合情推理:从简单(或特殊)的情形入手,通过研究简单(或特殊)问题中存在的 变化关系,猜测、归纳复杂(或一般)情形下存在的规律. (2)抓“变”与“不变”:把蕴含的规律用含有序数的式子表示出来.
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3.(2019云南)按一定规律排列的单项式:x3,-x5,x7,-x9,x11,…,第n个单项式是 ( C)
A.(-1)n-1x2n-1
B.(-1)nx2n-1
C.(-1)n-1x2n+1
D.(-1)nx2n+1
解析 ∵x3=(-1 )1-1 x211,
-x5=(-1 )2-1 x221,x7=(-1 )3-1 x231,-x9=(-1 )4-1 x241,
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类型二 图形类规律探究问题
根据点或图形的个数,确定图中哪些部分发生了变化,变化的规律是什么, 通过分析找到各部分的变化规律后,用一个统一的式子表示出变化规律是解答 此类问题的关键.
中考数学热点探究二 操作探究类问题的解题策略
中考数学热点探究二操作探究类问题的解题策略数学教育不能仅仅限于培养学生熟练的模仿能力和严密的推理能力，更应该注重培养学生观察分析、类比联想、归纳总结、应用创新的思维品质．由于课程标准对平面几何内容作了较大调整，在近几年的中考试题中，为了体现教育部关于中考命题改革的精神，出现了大量的动手操作类型的试题．动手操作题是让学生在通过实际操作的基础上设计有关的问题．这类题对学生的能力有更高的要求，有利于培养学生的创新能力和实践能力，体现新课程理念．操作型问题是指通过动手测量、作图、取值、计算等实验，猜想获得数学结论的探索研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合情猜想和验证，不但有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯，符合课程标准特别强调的发现式学习、探究式学习和研究式学习的要求，鼓励学生进行“微科研”活动，提倡要积极引导学生从事实验活动和实践活动，培养学生乐于动手、勤于实践的意识和习惯，切实提高学生的动手能力、实践能力的指导思想．因此，实验操作问题将会继续成为今后中考的热点题型．热点呈现下面我们共同研究一下近几年河北省考查操作探究类试题的形式．一、在小题中的呈现1．（河北）扑克牌游戏小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：第一步分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；第二步从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；第三步从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；第四步左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆．这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数．你认为中间一堆牌的张数是_________．分析：此题考查了动手操作能力．答案：52．（河北）法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了．下面两个图框是用法国“小九九”计算7×8和8×9的两个示例．若用法国的“小九九”计算7×9，左、右手依次伸出手指的个数是（）（A）2，3（B）3，3（C）2，4（D）3，4分析：此题考查了学生动手操作能力及计算能力．答案：（C）．3．（河北非课改）一根绳子弯曲成如图1（1）所示的形状．当用剪刀像图1（2）那样沿虚线a把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图1（3）那样沿虚线b（b a∥）把绳子再剪一次时，绳子就被剪为9段．若用剪刀在虚线a，b之间把绳子再剪(2)n-次（剪刀的方向与a平行），这样一共剪n次时绳子的段数是（）（A）41n+n+（D）45n+（B）42n+（C）43分析：此题考查了学生的探索研究、归纳猜想能力．答案：（Ａ）．4．（河北统考）小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图2（1）的方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm；展开后按图2（2）的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是（）（A）0．5cm（B）1cm（C）1．5cm（D）2cm5．（河北课改）将一正方形纸片按图3中3（1）、3（2）的方式依次对折后，再沿3（3）中的虚线裁剪，最后将3（4）中的纸片打开铺平，所得图案应该是下面图案中的（）分析：两题均以折纸为背景考查学生对轴对称等有关知识的掌握及空间观念的发展情况，在问题解决过程中，既可以从具体的动手操作中寻找答案，也可以通过空间想象活动寻找答案．答案分别为（B ）和（B ）．二、在大题中的呈现1．（ 河北）我们知道：由于圆是中心对称图形，所以过圆心的任何一条直线都可以将圆分割成面积相等的两部分（如图4（１））．探索下列问题：（1）在图4（2）给出的四个正方形中，各画出一条直线（依次是：水平方向的直线、竖直方向的直线、与水平方向成45°角的直线和任意的直线），将每个正方形都分割成面积相等的两部分；（2）一条竖直方向的直线m 以及任意的直线n ，在由左向右平移的过程中，将正六边形分成左右两部分，其面积分别记为1S 和2S ．①请你在图4（3）中相应图形下方的横线上分别填写1S 与2S 的数量关系式（用“＜”，“＝”，“＞”连接）；②请你在图4（4）中分别画出反映1S 与2S 三种大小关系的直线n ，并在相应图形下方的横线上分别填写1S 与2S 的数量关系式（用“＜”，“＝”，“＞”连接）．（3）是否存在一条直线，将一个任意的平面图形（如图4（5））分割成面积相等的两部分？请简略说出理由．分析：此类题目涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题，考查学生探究知识形成过程的能力，领会研究问题的方法．解：（1）（2）①12S S <，12S S =，12S S >．②（3）存在． 对于任意一条直线l ，在直线l 从平面图形的一侧向另一侧平移的过程中，当图形被直线l 分割后，直线l 两侧图形的面积分别为1S ，2S ．两侧图形的面积由12S S <（或12S S >）的情形，逐渐变为12S S >（或12S S <）的情形，在这个平移过程中，一定会存在12S S =的时刻．因此，一定存在一条直线，将一个任意的平面图形分割成面积相等的两部分．2．（ 河北）操作示例：对于边长均为a 的两个正方形ABCD 和EFGH ，按图5（1）所示的方式摆放，再沿虚线BD ，EG 剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图5（１）中的四边形BNED ．从拼接的过程容易得到结论：①四边形BNED 是正方形；②ABC D EFG H BN ED S S S +=正方形正方形正方形．实践与探究（1）对于边长分别为a b ，（a b >）的两个正方形ABCD 和EFGH ，按图5（2）所示的方式摆放，连接DE ，过点D 作DM ⊥DE ，交AB 于点M ，过点M 作MN ⊥DM ，过点E 作EN ⊥DE ，MN 与EN 相交于点N ．①证明四边形MNED 是正方形，并用含a b ，的代数式表示正方形MNED 的面积；②在图5（2）中，将正方形ABCD 和正方形EFGH 沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED ．请简略说明你的拼接方法（类比图5（1），用数字表示对应的图形）．（2）对于n （n 是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接为一个正方形？请简要说明你的理由．分析：此题通过正方形的“剪与拼”，创设一幅图形（正方形）的动态情境，本题以学生熟悉的、感兴趣的图形为背景提供观察和操作的机会，让学生通过动手操作，亲自探索发现结果的准确性，在思想上和行动上逐步消除理论和实践的脱节，本题的第（1）小题是将两个正方形剪拼成一个大正方形，渗透了勾股定理的证明方法；第（2）小题是在第（1）小题的基础上考查归纳推理的方法．解：（1）① 证明：由作图的过程可知四边形MNED 是矩形．在R t A D M △与R t C D E △中，∵AD C D =，又90ADM MDC CDE MDC ∠+∠=∠+∠= ，∴AD M C D E ∠=∠．∴R t R t A D M C D E △≌△．∴D M D E =．∴四边形MNED 是正方形．∵22222DE CD CE a b =+=+，∴正方形MNED 的面积为22a b +；②过点N 作NP ⊥BE ，垂足为P ，如图6．可以证明图中6与5位置的两个直角三角形全等，4与3位置的两个直角三角形全等，2与1位置的两个直角三角形也全等．所以将6放到5的位置，4放到3的位置，2放到1的位置，恰好拼接为正方形MNED ．（2）答：能．理由：由上述的拼接过程可以看出：对于任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形，而拼接出的这个正方形可以与第三个正方形再拼接为一个正方形，…… 依此类推．由此可知：对于n 个任意的正方形，可以通过(1)n -次拼接，得到一个正方形．3．（ 河北课改）探索：在如图7（1）～图7（3）中，A B C △的面积为a ．（1）如图7（1），延长A B C △的边B C 到点D ，使CD BC =，连接DA ．若ACD △的面积为1S ，则1S =_____（用含a 的代数式表示）；（2）如图7（2），延长A B C △的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使C D B C =，A E C A =，连接DE ．若DEC △的面积为2S ，则2S =__________（用含a 的代数式表示），并写出理由；（3）在图7（2）的基础上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连接FD ，FE ，得到D EF △（如图7（3））．若阴影部分的面积为3S ，则3S =________（用含a 的代数式表示）．发现：像上面那样，将A B C △各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到D E F △（如图7（3）），此时，我们称A B C △向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的D E F △的面积是原来A B C △面积的______倍．应用：去年在面积为210m 的A B C △空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把A B C △向外进行两次扩展，第一次由A B C △扩展成D E F △，第二次由D EF △扩展成M G H △（如图7（4））．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少2m ？ 分析：本题由简单的图形入手，从最基本的数学问题“中线平分三角形面积”开始，让学生观察、分析，从中发现问题，总结规律：扩展一次后得到的D E F △的面积是原来A B C △的7倍．最后应用发现的规律解决问题，考查了学生解决问题的能力．整道题构成了一个有机联系的问题链，实质上展示了数学思考的过程和方法．作为一道中考试题，本题既考查了学生的数学基础知识，也是对学生数学思维的考查和训练．解：探索（1）a ；（2）2a ；理由：连接AD ，∵C D B C =，A E C A =，∴D AC D AE ABC S S S a ===△△△，∴22S a =．（3）6a ；发现：7；应用：拓展区域的面积：2(71)10480-⨯=（2m ）．4．（ 河北）在图8（1）～图8（5）中，正方形ABCD 的边长为a ，等腰直角三角形FAE 的斜边2A E b =，且边AD 和AE 在同一直线上．操作示例当2b a <时，如图8（1），在BA 上选取点G ，使B G b =，连接FG 和CG ，裁掉F A G△和C G B △并分别拼接到FEH △和C H D △的位置构成四边形FGCH ．思考发现小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将F A G △绕点F 逆时针旋转90°到FEH △的位置，易知E H与A D在同一直线上．连接C H，由剪拼方法可得D H B G=，故△的位置．这样，△绕点C顺时针旋转90°到C H D△≌△，从而又可将C G BC HD C G B对于剪拼得到的四边形F G C H（如图8（1）），过点F作FM⊥AE于点M（图略），利用SAS 公理可判断H FM C H D===，∠FHC=90°．进而根据正△≌△，易得F H H C C G F G方形的判定方法，可以判断出四边形F G C H是正方形．实践探究：（1）正方形F G C H的面积是______；（用含a，b的式子表示）（2）类比图8（1）的剪拼方法，请你就图8（2）～图8（4）的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．联想拓展小明通过探究后发现：当b a≤时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．当b a>时，如图8（5）的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．分析：本题是在给出大量的阅读材料的基础上进行图形的分割与拼接，重在考查学生数学探究能力．本题的核心是将面积为2b的等腰直角三角形和面积为2a的正方形拼成一个大正方形，大正方形边长易知，相应的拼接方法也随之而得．解：实践探究（1）22+；a b（2）剪拼方法如图9（1）～图9（3）．联想拓展：能；剪拼方法如图9（4）（图中B G D H b==）．热点预测操作探究类试题，能够较好地考查学生动手操作、进行探究的能力，是考查学生分析、思考、发现、猜想、归纳等思维活动过程的极好载体，也是当前实施素质教育中的一个重要层面．在近几年的河北中考试题中对操作探究类试题的考查，已经成为河北必考的重要内容，可以说年年都有新思路，预计２０08年河北的中考试题会继续在此类型试题上有所创新、有所突破，估计会在问题情境、探究方式和思维含量方面加大力度．模拟练习1．（ 长春）一根单线从钮扣的4个孔中穿过（每个孔只穿过一次），其正面情形如图10所示，下面4个图形中可能是其背面情形的是（ ）2．动手折一折：将一张正方形纸片按下列图示对折3次得到图11（4），在A C 边上取点Ｄ，使AD AB =，沿虚线BD 剪开，展开ABD △所在部分得到一个多边形．则这个多边形的一个内角的度数是__________．3．如图12，将边长为2cm 的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把A B C △沿着AD 方向平移，得到A B C '''△，若两个三角形重叠部分的面积是21cm ，则它移动的距离A A '等于____________cm ．4．（ 襄樊）如图13，将一个正方形纸片分割成四个面积相等的小正方形纸片，然后将其中一个小正方形再分割成四个面积相等的小正方形纸片，如此分割下去．第6次分割后，共有正方形纸片_______个．5．今有一机器人接到指令：在44⨯的正方形（每个小正方形边长均为1）网格的格点上跳跃，每次跳跃的距离只能为1或2或2或5，机器人从A 点出发连续跳跃4次恰好跳回A 点，且跳跃的路线（A B C D A →→→→）所成的封闭图形为多边形．例如图１4（1）机器人跳跃四次的路线图形是四边形．仿照图１4（1）操作：（1）请你在网格图14（2）中画出机器人跳跃的路线图形是直角梯形 （只画一个图即可）；（2）请在网格图14（3）中画出机器人跳跃的路线图形是面积为2的平行四边形 （只画一个图即可）．6．将两块全等的含30 角的三角尺如图15摆放在一起，设较短直角边为1．（1）四边形A B C D 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：___________．（2）如图16，将R t B C D △沿射线BD 方向平移到111R t B C D △的位置，四边形11ABC D 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：__________________．（3）在R t B C D △沿射线BD 方向平移的过程中，当点B 的移动距离为_______时，四边形11ABC D 为矩形，其理由是__________________；当点B 的移动距离为________时，四边形11ABC D 为菱形，其理由是___________．（图17、图18用于探究）7．（1）已知A B C △中，90A ∠= ，67.5b ∠=，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）△中，C∠是其最小的内角，过顶点Ｂ的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求A B C∠与C∠之间的关系．。
中考数学试题中规律探究性问题的研究
关键词 ： 有理数运算找规律． 点评 ： 本题要 充分 分析 试题 的特 点 、 个量之 间的 各
图１
分析 ： 观察所 给 图形 ， 可知 第 ２个 图形 比第 １个 图
４ １
： ｚ
０ ｍ
中学教学 参考
复 习指 津 形多 （ ×２ ） ３ —２ 个棋子 ， ３ 第 个图形 比第 ２ 图形多 （ × 个 ３
Ａ ７× ９ ９ ８× ９ ９ Ｃ． ９× １ ０× １ ９ ０ ０１ Ｂ． ８× ９ ９ ９× １ ０ ０ Ｄ． ０ １ ０× １ １× １ ２ ０ ０
）
【 １ （ ０ ０ 江 苏泰州 ） 例 】 ２１ ， 观察等 式 ： — １ × ①９ —２ ４ ② ２ —１ ×６③４ —１ ×８ …， 照这种 规律写 ， ５ —４ ， ９ —６ ， 按 出第 个 等式 ： ．
２ （ ×２ ２ ； × ２ ＋ ）
９ ×１ ０ ０ ． 以 选 择 Ｃ． ９ ０ ×１ １ 所
当 一３时 ， ４ — １ ×８ （ ×３ １ １ ２ ③ ９ —６ 一 ２ ＋ ）一 — ×
３× （ × ３ ２ ： ２ ＋ ）
关键词 ： 材料 阅读型规律探 索题．
点评 ： 对于材料 阅读 的问题 是 中考 问题 中的常见 问
分析 ： 从材料 可 以得 出 １ ， ×３ ３ ， ×２ ２ ， ×４ …可 以用
式子表示 ，
分析 ： 分析所给等式 ， 对于 ，取不 同的值 ， 应等式 ｚ 对
分别可变形 如下 ：
当 一１ ， ９ —２ 一 （ ×１ ） 一１： × 时 ０ —１ ×４ ２ ＋１ ： ＝２
１ （×１ ２ ； × ２ ＋ ）
题 ， 属 于难 度 较 大 的 问题 ， 种 问题 的 规 律 性 比 较 强 ， 也 这
2022年九年级中考数学复习专题----探究型问题 (2)
中考数学复习专题---探究型问题一、单选题1.我们在探究二次函数的图象与性质时，首先从y=ax2(a≠0)的形式开始研究，最后到y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式，这种探究问题的思路体现的数学思想是（）A. 转化B. 由特殊到一般C. 分类讨论D. 数形结合2.九年级的小玲从小就喜欢画画，探究问题．下面请看她的探究过程：（a）以AB为直径画半⊙O；（b）在半⊙O上任意取一点C；（c）画∠ACB的平分线与AB相交于点D；（d）画CD的中垂线m与AC、BC分别相交于E、F；（d）连接DE、DF．结果她发现：（1）∠ADE与∠BDF互余；（2）四边形CEDF为正方形；（3）△AED与△DFB相似；（4）把△BFD绕着D点按逆时针方向旋转90°，B点的位置恰好在△ABC的AC边的直线上．则你认为其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为6m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（）A. AB=12mB. MN∥ABC. △CMN∽△CABD. CM：MA=1：24.在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：对于两人的观点，下列说法正确的是（）A. 两人都对B. 两人都不对C. 甲对，乙不对D. 甲不对，乙对5.在小孔成像问题中，如图可知CD的长是物长AB长的（）A. 3倍B.C.D.6.如图，点A，B的坐标分别为、，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，当最大时，M点的坐标为（）A. B. C. D.7.如图1，在平面直角坐标系中，在第一象限，且轴．直线从原点出发沿x轴正方向平移．在平移过程中，直线被截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．那么的面积为（）A. 3B.C. 6D.8.课堂上，老师给出一道题：如图，将抛物线C：y＝x2﹣6x+5在x轴下方的图象沿x轴翻折，翻折后得到的图象与抛物线C在x轴上方的图象记为G，已知直线l：y＝x+m与图象G有两个公共点，求m的取值范围甲同学的结果是﹣5＜m＜﹣1，乙同学的结果是m＞．下列说法正确的是（）A. 甲的结果符合题意B. 乙的结果符合题意C. 甲、乙的结果合在一起才正确D. 甲、乙的结果合在一起也不正确9.如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊥AB交半圆于点D，以C为圆心，CD为半径画弧交AB于E点，若AB＝4，则图中阴影部分的面积是（）A. B. C. D.10.为了备战世界杯，中国足球队在某次集训中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好射中了2.4米高的球门横梁．若足球运行的路线是抛物线y=ax2+bx+c（如图），则下列结论：①a＜-；②-＜a＜0；③a-b+c ＞0；④0＜b＜-12a．其中正确的是（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④11.如下图，在直角坐标系的第一象限内，△AOB是边长为2的等边三角形，设直线l：x=t（0≤t≤2）截这个三角形所得位于直线左侧的图形（阴影部分）的面积为f（t），则函数s=f（t）的图象只可能是（）A. B. C. D.12.用图象法探索二次函数y=x2和反比例函数y=（k不为零）交点个数为（）A. 一定是1个B. 一定有2个C. 1个或者2个D. 0个13.小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x=﹣3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（）A. 4.4B. 3.4C. 2.4D. 1.414.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0）．根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为（）A. （14，8）B. （13，0）C. （100，99）D. （15，14）15.下表示用计算器探索函数y=x2+5x﹣3时所得的数值：x 0 0.25 0.5 0.75 1y ﹣3 ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3则方程x2+5x﹣3=0的一个解x的取值范围为（）A. 0＜x＜0.25B. 0.25＜x＜0.5C. 0.5＜x＜0.75D. 0.75＜x＜116.表是用计算器探索函数y=2x2﹣2x﹣10所得的数值，则方程2x2﹣2x﹣10=0的一个近似解为（）x ﹣2.1 ﹣2.2 ﹣2.3 ﹣2.4y ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56A. x=﹣2.1B. x=﹣2.2C. x=﹣2.3D. x=﹣2.417.如图，为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组做了如下的探索：把一面很小的镜子水平放置在离树底（B）7.8米的点E处，然后观察者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=3.2米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度约为（）米．A. 15.6B. 6.4C. 3.4D. 3.918.小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐标系中作出二次函数y=x2+2x﹣10的图象，由图象可知，方程x2+2x﹣10=0有两个根，一个在﹣5和﹣4之间，另一个在2和3之间．利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是（）x ﹣4.1 ﹣4.2 ﹣4.3 ﹣4.4y ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56A. ﹣4.1B. ﹣4.2C. ﹣4.3D. ﹣4.4二、填空题19.某学习小组为了探究函数y=x2﹣|x|的图象和性质，根据以往学习函数的经验，列表确定了该函数图象上一些点的坐标，表格中的m= ．x …﹣2 ﹣1.5 ﹣1 ﹣0.5 0 0.5 1 1.5 2 …y … 2 0.75 0 ﹣0.25 0 ﹣0.25 0 m 2 …20.小亮同学在探究一元二次方程ax2+bx+c=0的近似解时，填好了下面的表格：x 3.23 3.24 3.25 3.26ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09根据以上信息请你确定方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是．21.如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x（cm），观察弹簧秤的示数y（N）的变化情况．实验数据记录如下：x（cm）…10 15 20 2530…y（N）…3020 15 1210…猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式为．22.探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是________．23.算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：数字1 2 3 4 5 6 7 8 9形式纵式 | || ||| |||| |||||横式表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如下：，则表示的数是________．24.找出如下图形变化的规律，则第100个图形中黑色正方形的数量是________．三、解答题25.依据闯关游戏规则，请你探究“闯关游戏”的奥秘：（1）用列表的方法表示所有可能的闯关情况；（2）求出闯关成功的概率。