立体几何平行与垂直经典证明题

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平行、垂直问题的证明-高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品

高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第三篇立体几何专题01平行、垂直问题的证明类型对应典例证明线线平行典例1证明线面平行典例2证明面面平行典例3证明线线垂直典例4证明线面垂直典例5证明面面垂直典例6【典例1】如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，△PAB 为等边三角形，E 是PB 中点，平面AED 与棱PC 交于点F .（Ⅰ）求证：//AD EF ；（Ⅱ）求证：PB ⊥平面AEFD ；（III ）记四棱锥P AEFD -的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为2V ，直接写出12V V 的值.【典例2】在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，60DAB ∠= ，2AD =，1AM =，E 为AB 的中点．（1）求证：AN ∥平面MEC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P EC D --的大小为3π？若存在，求出AP 的长；若不存在，请说明理由．【典例3】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1,2,,AB AD E F ==分别为1,AD AA 的中点，Q 是BC 上一个动点，且(0)BQ QC λλ=>.（1）当1λ=时，求证：平面BEF P 平面1A DQ ；（2）是否存在λ，使得BD FQ ⊥？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由.【典例4】如图，菱形ABCD 中，2AB =，60DAB ∠= ，M 是AD 的中点，以BM 为折痕，将ABM ∆折起，使点A 到达点1A 的位置，且平面1A BM ⊥平面BCDM ，（1）求证：1A M BD ⊥；（2）若K 为1AC 的中点，求四面体1M A BK -的体积．【典例5】如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，M 是PC 上一点，且BM PC ⊥.（1）求证：PC ⊥平面MBD ；（2）求直线PB 与平面MBD 所成角的正弦值.【典例6】已知四棱锥中P ABCD -，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 、M 分别是BC 、PD 上的中点，直线EM 与平面PAD 所成角的正弦值为155，点F 在PC 上移动.（Ⅰ）证明：无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求点F 恰为PC 的中点时，二面角C AF E --的余弦值.1.在如图所示的五面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为菱形,且60,22,//,DAB EA ED AB EF EF AB M ∠=︒====为BC 中点.(1)求证:FM ∕∕平面BDE ;(2)若平面ADE ⊥平面ABCD ,求F 到平面BDE 的距离.2.已知空间几何体ABCDE 中，△BCD 与△CDE 均是边长为2的等边三角形，△ABC 是腰长为3的等腰三角形，平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD .(1)试在平面BCD 内作一条直线，使得直线上任意一点F 与E 的连线EF 均与平面ABC 平行，并给出证明；(2)求三棱锥E －ABC 的体积.3.已知三棱锥P ABC -中，AB AC ⊥，AB AP ⊥.若平面α分别与棱PA PB BC AC 、、、相交于点,,,E F G H 且PC P 平面α.求证:（1）∥EH FG ；（2）AB FG ⊥.4.如图，在四边形'A BCD 中，'E 是'A D 的中点，'A BD ∆为正三角形，2DB =，1DC =，BC =.将'A BD ∆沿直线BD 折起，使'A 到达A 处，'E 到达E 处，此时平面ABD ⊥平面BCD .（1）求证：DC BE ⊥；（2）求点D 到平面BCE 的距离.5.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，AB AC =，,D E 分别为1AA 、1B C 的中点.（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；（2）已知1B C 与平面BCD 所成的角为030，求二面角1D BC B --的余弦值.6.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PB PD =.（1）证明：面PAC ⊥面ABCD ；（2）若PA 与底面ABCD 所成的角为30 ，PA PC ⊥，求二面角B PC D --的余弦值．参考答案【典例1】解：（I ）证明：因为正方形ABCD ，所以//AD BC .因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC .因为AD ⊂平面AEFD ，平面AEFD ⋂平面PBC EF =，所以//AD EF .（II ）证明：因为正方形ABCD ，所以AD AB ⊥.因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥平面PAB .因为PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥.因为PAB ∆为等边三角形，E 是PB 中点，所以PB AE ⊥.因为AE ⊂平面AEFD ，AD ⊂平面AEFD ，AE AD A ⋂=，所以PB ⊥平面AEFD .（III ）解：由（Ⅰ）知，122133C AEFDE ABCF ADC C AEFD V V V V V V ，＝，----===513BC AEFD V V -∴＝，则1158133P ABCD V V V V -+＝＝，1238V V ∴．【典例2】解：()I CM 与BN 交于F ，连接EF ．由已知可得四边形BCNM 是平行四边形，所以F 是BN 的中点．因为E 是AB 的中点，所以//AN EF ．又EF ⊂平面MEC ，AN ⊂平面MEC ，所以//AN 平面MEC ．()II 由于四边形ABCD 是菱形，60DAB ∠=，E 是AB 的中点，可得DE AB ⊥．又四边形ADNM 是矩形，面ADNM ⊥面ABCD ，DN ∴⊥面ABCD ，如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0D ，0，0)，E 0，0)，(0C ，2，0)，P 1-，)h，CE = ，2-，0)，(0EP =，1-，)h ，设平面PEC 的法向量为1(n x =，y ，)z ．则11·0·0CE n EP n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，∴200y y hz -=-+=⎪⎩，令y =，∴1(2n h =，又平面ADE 的法向量2(0n =，0，1)，1cos n ∴<，12212·12n n n n n >===，解得377h =， 3717>，∴在线段AM 上不存在点P ，使二面角P EC D --的大小为3π．【典例3】解：（1）当1λ=时，Q 为BC 中点，因为E 是AD 的中点，所以,ED BQ ED BQ = ，则四边形BEDQ 是平行四边形，所以BE QD .又BE ⊄平面1,A DQ DQ ⊂平面1A DQ ，所以BE 平面1A DQ .因为,E F 分别是1,AD A A 中点，所以1EF A D ，因为EF ⊄平面11,A DQ A D ⊂平面1A DQ ，所以EF 平面1A DQ .因为,BE EF E EF ⋂=⊂平面,BEF BE ⊂平面BEF ，所以平面BEF 平面1A DQ .（2）如图，连接,AQ BD 与FQ ，因为1A A ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以1A A BD ⊥.若,BD FQ ⊥又1,A A FQ ⊂平面1A AQ ，且1A A FQ F ⋂=，所以BD ⊥平面1A AQ .因为AQ ⊂平面1A AQ ，所以AQ BD ⊥.在矩形ABCD 中，由AQ BD ⊥，得AQB DBA ∽，所以2AB AD BQ =⋅.又1,2AB AD ==，所以13,22BQ QC ==，则13BQ QC =，即13λ=.【典例4】解：（1）证明：在左图中，∵四边形ABCD 是菱形，60DAB ∠= ，M 是AD 的中点，∴AD BM ⊥，故在右图中，1A M BM ⊥，∵平面1A BM ⊥平面BCDM ，平面1A BM 平面BCDM BM =，∴1A M ⊥平面BCDM ，又BD ⊂平面BCDM ，所以1A M BD ⊥.（2）解：在左图中，∵四边形ABCD 是菱形，AD BM ⊥，AD BC ∥，∴BC BM ⊥，且3BM =，在右图中，连接CM ，则1111132313323A BCM BCM V S A M -∆=∙=⨯⨯=，∵K 为1AC 的中点，∴1111113226M A BK K MA B C MA B A BCM V V V V ----====．【典例5】解：（1）连接AC ，由PA ⊥平面ABCD ，BD Ø平面ABCD 得BD PA ⊥，又BD AC ⊥，PA AC A ⋂=，∴BD ⊥平面PAC ，得PC BD ⊥，又PC BM ⊥，BD BC B ⋂=，∴PC ⊥平面MBD .（2）法1：由（1）知PC ⊥平面MBD ，即PBM ∠是直线PB 与平面MBD 所成角，易证PB BC ⊥，而BM PC ⊥，不妨设1PA =，则1BC =，PC =，PB =，在Rt PBC ∆中，由射影定理得22::2:1PM MC PB BC ==，可得22333PM PC ==，所以63PM sin PBM PB ∠==，故直线PB 与平面MBD所成角的正弦值为3.法2：取A 为原点，直线MB ，MD ，MP 分别为x ，y ，z 轴，建立坐标系A xyz -，不妨设1PA AB ==，则0,0,1)P（，()1,0,0B ，()1,1,0C ，由（1）知平面MBD 得法向量()1,1,1PC =- ，而()1,0,1PB =-，∴1,0,11,1,1,cos PB PC -⋅-= 63=.故直线PB 与平面MBD 所成角的正弦值为63.【典例6】解：（Ⅰ）连接AC∵底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，∴ABC ∆是正三角形，∵E 是BC 中点，∴AE BC ⊥又AD BC ，∴AE AD⊥∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴PA AE ⊥，又PA AE A ⋂=∴AE ⊥平面PAD ，又AE ⊂平面AEF ∴平面AEF ⊥平面PAD .（Ⅱ）由（Ⅰ）得，AE ，AD ，AP 两两垂直，以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵AE ⊥平面PAD ，∴AME ∠就是EM 与平面PAD 所成的角，在Rt AME ∆中，15sin 5AME ∠=，即62AE AM =，设2AB a =，则AE =，得AM =，又2AD AB a ==，设2PA b =，则()0,,M a b ，所以AM ==，从而b a =，∴2PA AD a ==，则()0,0,0A，),,0Ba -，),,0Ca ，()0,2,0D a ，()0,0,2P a，),0,0E，3,,22a F a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以),0,0AE =，3,,22a AF a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(),3,0BD a=，设(),,n x y z是平面AEF 一个法向量，则n AE n AF ⎧⋅=⇒⎨⋅=⎩3022ayaz ⎧=++=⎪⎩取z a =，得()0,2,n a a =- 又BD ⊥平面ACF，∴(),3,0BD a=是平面ACF 的一个法向量，∴cos ,n BD n BD n BD⋅==⋅2155=-∴二面角C AF E --的余弦值为155.1.【思路引导】(1)取BD 中点O ,连接,OM OE ,因为,O M 分别为,BD BC 的中点,所以//OMCD ,且12OM CD =,因为四边形ABCD 为菱形,所以//,CD AB CD ⊄又平面,ABFE AB ⊂平面ABFE ,所以//CD 平面ABFE .因为平面ABFE 平面,CDEF EF CD =⊂平面CDEF ,所以CD EF ∕∕.又2AB CD ==,所以12EF CD =.所以四边形OMFE 为平行四边形，所以//MF OE .又OE ⊂平面BDE ，且MF ⊄平面BDE ,所以//MF 平面BDE .(2)由(1)得//FM 平面BDE ,所以F 到平面BDE 的距离等于M 到平面BDE 的距离.取AD 的中点H ,连接,EH BH ,因为四边形ABCD 为菱形,且60,2DAB EA ED AB EF ∠==== ,所以,EH AD BH AD ⊥⊥,因为平面ADE ⊥平面ABCD ,平面ADE 平面ABCD AD =,所以EH ⊥平面,ABCD EH BH ⊥,因为3EH BH ==,所以6BE =所以22161562222BDES ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭,设F 到平面BDE 的距离为h ,又因为113342242BDM BCD S S ==⨯⨯=,所以由E BDM M BDE V V --=,得1311533232h =⨯⨯,解得155h =.即F 到平面BDE 的距离为155．2.【思路引导】（1）取DC 的中点N ，取BD 的中点M ，连接MN ，则MN 即为所求，证明EN ∥AH ，MN ∥BC 可得平面EMN ∥平面ABC 即可（2）因为点E 到平面ABC 的距离与点N 到平面ABC 的距离相等，求三棱锥E －ABC 的体积可转化为求三棱锥N －ABC 的体积，根据体积公式计算即可.解：(1)如图所示，取DC 的中点N ，取BD 的中点M ，连接MN ，则MN 即为所求.证明：连接EM，EN，取BC的中点H，连接AH，∵△ABC是腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点，∴AH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AH⊂平面ABC，∴AH⊥平面BCD，同理可证EN⊥平面BCD，∴EN∥AH，∵EN⊄平面ABC，AH⊂平面ABC，∴EN∥平面ABC.又M，N分别为BD，DC的中点，∴MN∥BC，∵MN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN∩EN＝N，MN⊂平面EMN，EN⊂平面EMN，∴平面EMN∥平面ABC，又EF⊂平面EMN，∴EF∥平面ABC，即直线MN上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行.(2)连接DH，取CH的中点G，连接NG，则NG∥DH，由(1)可知EN∥平面ABC，∴点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，又△BCD是边长为2的等边三角形，∴DH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DH⊂平面BCD，∴DH⊥平面ABC，∴NG⊥平面ABC，易知DH NG ＝32，又S △ABC ＝12·BC ·AH ＝12，∴V E －ABC ＝13·S △ABC ·NG ＝3.3.解：证明（1）因为PC P 平面α，平面α 平面PAC EH =,PC ⊂平面PAC ，所以有PC EH ,同理可证出PC FG ,根据平行公理，可得∥EH FG ；（2）因为AB AC ⊥，AB AP ⊥，AP AC A ⋂=,,AP AC ⊂平面PAC ，所以AB ⊥平面PAC ,而PC ⊂平面PAC ,所以AB PC ⊥,由（1）可知PC FG EH ,所以AB FG ⊥.4.【思路引导】（1）先由题证明BD DC ⊥，再证明DC ⊥平面ABD 则可得DC BE ⊥；（2）用等体积转化法D BCE E BCD V V --=，求点D 到平面BCE 的距离．解：（1）由2DB =，1DC =，BC =，可知222DB DC BC +=，∴BD DC ⊥，又∵平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD =.∴DC ⊥平面ABD ，又BE ⊂平面ABD ，∴DC BE ⊥.（2）取BD 的中点F ，连接AF .∵'A BD ∆为正三角形，∴ABD ∆也为正三角形，∴AF BD ⊥.由2BD =，知AF =.∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，∴AF ⊥平面BCD ，又∵E 为'E 对应的点，∴E 为AD 的中点，∴点E 到底面BCD 的距离为32，BE =，1ED =，又CD AD ⊥，1CD =，∴CE =，又BC =，∴222BE CE BC +=，∴BE CE ⊥，∴116222BCE S BE CE ∆=⨯==，1121122BCD S BD DC ∆=⨯=⨯⨯=.设D 点到平面BCE 的距离为h .∵D BCE E BCD V V --=，∴11133222BCE BCD S h S h ∆∆⋅=⨯⇒=⨯，解得22h =，∴点D 到平面BCE 的距离为22.5.【思路引导】解法1：（1）建立空间直角坐标系，利用直线的向量和平面法向量平行证明线面垂直；（2）设AD a =，利用1B C 与平面BCD 所成的角为030得到a 的值，再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的余弦值.解法2：（1）取BC 中点F ，连接AF 、EF ，易证AF ⊥平面11BCC B ，再证明DE AF ,可得DE ⊥平面11BCC B（2）设AD a =，利用1B C 与平面BCD 所成的角为030得到a 的值，再求出两个面的法向量之间的夹角余弦值，得到二面角的余弦值.解法3：（1）同解法2（2）设12AA a =，利用三棱锥1B BDC -等体积转化，得到1B 到面BCD 的距离，利用1B C 与平面BCD 所成的角为30︒得到1B C 与d 的关系，解出a ，在两个平面分别找出,DF EF 垂直于交线，得到二面角，求出其余弦值.【详解】解法1：（1）以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A xyz -．设1AB =，AD a =，则()1,0,0B ，()0,1,0C ，()11,0,2B a ，()0,0,D a ，()11,0,2B a ，11,,22E a ⎛⎫⎪⎝⎭，11,,022DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,1,0BC =- ，()11,1,2B C a =--．因为0DE BC ⋅=，10DE B C ⋅= ，所以DE BC ⊥，1DE B C ⊥，BC ⊂面11BCC B ，1B C ⊂面11BCC B ，1BC B C B ⋂=于是DE ⊥平面11BCC B ．（2）设平面BCD 的法向量()000,,n x y z =，则0n BC ⋅= ，0n BD ⋅=，又()1,1,0BC =- ，()1,0,BD a =-，故000000x y x az -+=⎧⎨-+=⎩，取01x =，得11,1,n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．因为1B C 与平面BCD 所成的角为30︒，()11,1,2B C a =--，所以1cos ,sin30n B C =︒ ，11n B C n B C⋅∴=⋅12=，解得22a =，(n= ．由（1）知平面1BCB 的法向量11,,022AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，11222cos ,2n AF n AF n AF+⋅==⋅，所以二面角1D BC B --的余弦值为22．解法2：（1）取BC 中点F ，连接AF 、EF ,AB AC = ∴AF BC ⊥，1BB ⊥平面ABC ，AF ⊂平面ABC ∴1BB AF ⊥，而BC ⊂平面11BCC B ,1B B ⊂平面11BCC B ,1BC B B B⋂=∴AF ⊥平面11BCC B ．E 为1B C 中点，∴1EF BB ，112EF BB =，∴EF DA ，EF DA ＝，∴四边形ADEF 为平行四边形，∴AF DE ．∴DE ⊥平面11BCC B ．（2）以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A xyz -．设()1,0,0B ，()0,1,0C ，()11,0,2B a ，则()0,0,D a ，()11,0,2B a ，11,,022F ⎛⎫ ⎪⎝⎭．设平面BCD 的法向量()000,,n x y z =，则0n BC ⋅= ，0n BD ⋅=，又()1,1,0BC =- ，()1,0,BD a =-，故000000x y x az -+=⎧⎨-+=⎩，取01x =，得11,1,n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．因为1B C 与平面BCD 所成的角为30︒，()11,1,2B C a =--，所以1|cos ,)|sin30n B C <>=︒ ，11n B C n B C⋅∴=⋅12=，解得22a =，(n= ．由（1）知平面1BCB 的法向量11,,022AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1122cos ,2n AF n AF n AF +⋅==⋅所以二面角1D BC B --的余弦值为2．解法3：（1）同解法2．（2）设1AB AC ==，12AA a =，则BC =22AF =,BD DC==DF ∴==122BDC SBC DF ∴=⋅= ，1112BCB S BB BC =⋅= ，D 到平面1BCB 距离22DE =，设1B 到面BCD 距离为d ，由11B BDCD BCB V V --=得11133BCB BDC SDE S d ⋅=⋅，即113232d⋅=⋅⋅d =因为1B C 与平面BCD 所成的角为30︒，所以12sin30d B C d ===︒，而在直角三角形1B BC 中1BC ==2=，解得22a =．因为AF ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ,所以AF BC ⊥，EF ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B 所以EF BC ⊥，所以BC ⊥平面DEFA ，DF ⊂ 平面DBC ,EF ⊂平面1B BC所以EFD ∠为二面角1D BC B --的平面角，而22DA AF ==,可得四边形DAFE 是正方形，所以45EFD ∠=︒，所以二面角1D BC B --的余弦值为22．6.【思路引导】（1）要证面面垂直，一般先证线面垂直，设AC 与BD 交点为O ，则PO ⊥BD ，而正方形中AC ⊥BD ，于是可证得结论．（2）由线面角的定义可得030PAC ∠=，以A 为坐标原点，,AB AD为x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系，然后写出各点坐标，求出面BPC 和面DPC 的法向量，再由法向量的夹角的余弦值得二面角的余弦．解：（1）证明：连接AC,BD 交点为O ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AC BD⊥∵PB PD =，OB OD =,∴BD OP ⊥,又∵OP AC O ⋂=,∴BD PAC ⊥面又BD PAC ⊂面,∴PAC ABCD ⊥面面.（2）∵PAC ABCD ⊥面面，过点P 做PE AC ⊥,垂足为E∴ABCD PE ⊥面∵PA 与底面ABCD 所成的角为030，∴030PAC ∠=,又PA PC ⊥，设2PC =,则3,4,AP PE AE AC AD =====如图所示，以A 为坐标原点，,AB AD 为x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz -()()()()32320,0,0,,,0,,,22A B C D P ⎛ ⎝设面PBC 法向量为()1,,n x y z =，()220,,,22BC CP ⎛==--⎝1100n BC n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,∴022022x y ⎧=+-=⎪⎩，1,0,z y x ===令则)1n = 同理PCD 面的法向量()2n = ，1212121cos ,7n n n n n n ⋅==∴求二面角B PC D --的余弦值17-。

高中数学立体几何平行、垂直位置关系证明题专项练习(带答案)

立体几何平行、垂直位置关系专练1、如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，2AD BC =，M 点在线段PD 上，且满足2MD PM =.（1）求证:AB PD ⊥；（2）求证://PB 平面MAC .2、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为PA 的中点，F 为BC 的中点，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．求证：（1）平面//EFO 平面PCD ；（2）平面PAC ⊥平面PBD ．3、如图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高为6，其底面边长为2.已知点M ，N 分别是棱A 1C 1，AC 的中点，点D 是棱CC 1上靠近C 的三等分点．求证：(1)B 1M ∥平面A 1BN ；(2)AD ⊥平面A 1BN.4、如图，等边三角形ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，BD＝2AE，AE⊥AB，M为AB的中点．(1)证明：CM⊥DE；(2)在边AC上找一点N，使CD∥平面BEN.5、如图，矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直，AE＝AB，M，N，H分别为DE，AB，BE 的中点．求证：(1)MN∥平面BEC；(2)AH⊥CE.6、如图，在三棱台ABCDEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在请确定点G的位置；若不存在，请说明理由．7、在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥，AS AB =，过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．（1）求证：平面EFG ∥平面ABC ．（2）求证：BC SA ⊥．8、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，点D 为棱1C C 的中点，1AC 与1A D 交于点E ，1BC 与1B D 交于点F ，连结EF .求证：（1）//AB EF ；（2）平面11A B D ⊥平面11B BCC .9、【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．点，平面PAB ⊥底面ABCD ，90PAB ∠= ．求证：（1）//PB 平面AEC ；（2）平面PAC ⊥平面ABCD ．11、2.（2020·江苏省镇江高三二模）如图，三棱锥P ABC -中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．()1求证：//AC 平面PDE ；()2若2PD AC ==，PE =PBC ⊥平面ABC .12、（2020·江苏省建湖高级中学高三月考）如图，在四面体ABCD 中，,90AD BD ABC =∠= ，点,E F 分别为棱,AB AC 上的点，点G 为棱AD 的中点，且平面//EFG 平面BCD ．（1）求证：12EF BC =；（2）求证：平面EFD ⊥平面ABC ．点，PA ⊥平面ABCD .（1）求证：//PB 平面AEC ；（2）若四边形ABCD 是矩形且PA AD =，求证：AE ⊥平面PCD .14、（2020·江苏省高三二模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点.求证：（1）11AC ∥平面1B EF ；（2）1AC B E ⊥.15、（2020·江苏省连云港高三）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，E 、F 分别为AD 、PB 的中点.（Ⅰ）求证：PE BC ⊥；（Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求证：//EF 平面PCD .16、（2020·江苏省苏州高三）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．17、（2020·江苏省通州高三）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面1,2,1,,AB BC AA AC BC E F ⊥===分别是11,AC BC 的中点．（1）求证: 平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证:1C F ∥平面ABE ；18、（2020·江苏省高三三模）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1BC B C =，O 为四边形11ACC A 对角线交点，F 为棱1BB 的中点，且AF ⊥平面11BCC B .（1）证明：//OF 平面ABC ；（2）证明：四边形11ACC A 为矩形.参考答案1．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，2AD BC =，M 点在线段PD 上，且满足2MD PM =.（1）求证:AB PD ⊥；（2）求证://PB 平面MAC .【解析】（1）∵四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ， ∴AB PA ⊥，又AB AD ⊥，,PA AD ⊂平面PAD ，PA AD A ⋂=， ∴AB ⊥面PAD .PD ⊂面PAD ，∴AB PD ⊥. （2）连结BD AC O ⋂=，连结MO ， ∵//AD BC ，2AD BC =，2DO BO ∴=,∵在PBD ∆中，2DM MP =，2DO BO =∴//PB MO ，又PB ⊄面MAC ，MO ⊂面MAC ，∴//PB 面MAC .2．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为PA 的中点，F 为BC 的中点，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．求证：（1）平面//EFO 平面PCD ；（2）平面PAC ⊥平面PBD ．【详解】（1）因为在ΔPAC 中，E 为PA 的中点，O 为AC 的中点，所以//EO PC又EO ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，所以//EO 平面PCD同理可证，//FO 平面PCD ，又EO FO O = ，EO ⊂平面EFO ,FO ⊂平面EFO 所以平面//EFO 平面PCD ．（2）因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又,,PA AC A PA PAC AC PAC =⊂⊂ 平面平面所以BD ⊥平面PAC 。

专题20立体几何中的平行与垂直问题(解析版)

专题20 立体几何中的平行与垂直问题一、题型选讲题型一、线面平行与垂直知识点拨：证明直线与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆直线与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。

直线与平面的平行有两种方法：一是在面内找线；二是通过面面平行转化。

直线与平面垂直关键是找两条相交直线例1、（2019南通、泰州、扬州一调）如图，在四棱锥PABCD中，M, N分别为棱PA, PD的中点.已知侧面PAD丄底面ABCD,底面ABCD是矩形，DA=DP.求证：（1）MN〃平面PBC；MD丄平面PAB.【证明】（1）在四棱锥P-ABCD中，M, N分别为棱PA, PD的中点，所以MN〃AD.（2分）又底面ABCD是矩形，所以BC〃AD.所以MN〃BC.（4分）又BC U平面PBC，MN Q平面PBC，所以MN〃平面PBC. （6分）（2）因为底面ABCD是矩形，所以AB丄AD.又侧面PAD丄底面ABCD，侧面PAD n底面ABCD=AD, AB U底面ABCD，所以AB丄侧面PAD.（8分）又MD U侧面PAD，所以AB丄MD.（10分）因为DA=DP,又M为AP的中点，从而MD丄PA. （12分）又PA，AB在平面PAB内，PA n AB=A，所以MD丄平面PAB.（14分）例2、（2019扬州期末）如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B丄平面ABC,点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点.（1）求证：EF〃平面ABC；（2）求证：BB］丄AC.规范解答（1）在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B,四边形BB1C1C均为平行四边形，E, F分别是侧面AA1B1B, BB1C1C对角线的交点，所以E, F分别是AB1，CB1的中点，所以EF〃AC.（4分）因为EF Q平面ABC, AC U平面ABC，所以EF〃平面ABC.（8分）（2）因为四边形AA1B1B为矩形，所以BB1丄AB.因为平面AA1B1B丄平面ABC,且平面AA1B1B n平面ABC=AB, BB1U平面AA1B1B, 所以BB1丄平面ABC.（12分）因为AC U平面ABC，所以BB1丄AC.（14分）例3、（2019南京、盐城二模）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC, A1C丄BC］, AB］丄BC1，D, E 分别是AB1和BC的中点.求证：（1）DE〃平面ACC1A1；（2）AE丄平面BCC1B1.A _________ c,规范解答⑴连结A1B，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1#BB1且AA1=BB1，所以四边形AA1B1B是平行四边形．又因为D是AB1的中点，所以D也是BA1的中点.（2分）在厶BA1C中，D和E分别是BA1和BC的中点，所以DE〃A］C.又因为DE G平面ACC1A1，A1C U平面ACC1A1，所以DE〃平面ACC1A1.（6分）（2）由（1）知DE〃A］C，因为A1C丄BC” 所以BC］丄DE.（8 分）又因为BC］丄AB1，AB1H DE=D，AB1，DE U平面ADE，所以BC1丄平面ADE.又因为AE U平在ADE,所以AE丄BC1.（10分）在厶ABC中，AB=AC，E是BC的中点，所以AE丄BC.（12分）因为AE丄BC1，AE丄BC，BC1H BC=B，BC1，BC U平面BCC1B1，所以AE丄平面BCC1B1. （14 分）例4、（2019苏锡常镇调研）如图，三棱锥DABC中，已知AC丄BC，AC丄DC，BC=DC，E，F 分别为BD，CD 的中点．求证：（1）EF〃平面ABC；（2）BD丄平面ACE.所以EF 〃平面ABC.（6分）（2）因为AC丄BC，AC丄DC，BC H DC = C，BC，DC U平面BCD所以AC丄平面BCD，（8分）因为BD U平面BCD，所以AC丄BD，（10分）因为DC=BC，E为BD的中点，所以CE丄BD，（12分）因为AC n CE = C, AC，CE U平面ACE，所以BD丄平面ACE.（14分）例5、（2019苏州三市、苏北四市二调）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1 丄B1C1•设A1C与AC1交于点D, B1C与BC1交于点E.求证：（1） DE〃平面ABB1A1；（2） BC］丄平面A1B1C.规范解答（1）因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以侧面ACC1A1为平行四边形．又A1C 与AC1 交于点D,所以D为AC]的中点，同理，E为BC]的中点•所以DE〃AB.（3分）又AB U平面ABB]A], DE G平面ABB]A], 所以DE〃平面ABB]A].（6分）（2）因为三棱柱ABCA]B]C]为直三棱柱，所以BB]丄平面A]B]C]. 又因为A]B]U平面A]B]C],所以BB]丄A]B i.（8分）又A]B]丄B]C], BB], B]C] U 平面BCC]B], BB]n B]C1=B1，所以A]B]丄平面BCC]B].（10 分）又因为BC]U平面BCC]B1，所以A]B丄BC].（12分）又因为侧面BCC]B1为正方形，所以BC]丄BQ.又A1B1n B1C=B1，A1B1，B1C U平面A1B1C, 所以BC1丄平面A1B1C.（14分）例6、（2017苏北四市一模）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知D, E分别为BC, B1C1的中点，点F 在棱CC1上，且EF丄CD.求证：（1）直线A1E〃平面ADC1；⑴证法1连结ED,因为D, E分别为BC, B1C1的中点，所以B&/BD且B1E=BD, 所以四边形BBDE是平行四边形，（2分）所以BB/DE且BB1=DE. 又BB]〃AA]且BB]=AA], 所以AA/DE且AA1=DE, 所以四边形AA]ED是平行四边形，所以A]E〃AD.（4分）又因为AE G平面ADC, AD U平面ADC，所以直线AE〃平面ADC.（7分）1 1 1畀 ------ 1B证法2连结ED,连结A1C, EC分别交AC” DC1于点M, N,连结MM,则因为D, E分别为BC,B1C1的中点，所以C1E^CD且C、E=CD,所以四边形C1EDC是平行四边形，所以N是CE的中点.（2分）因为A1ACC1为平行四边形，所以M是A1C的中点，（4分）所以MN//A\E.又因为A]E G平面ADC，MN U平面ADC，，所以直线Af〃平面ADC、.（7分）（2）在正三棱柱ABCA1B1C1中，BB]丄平面ABC.又AD U平面ABC，所以AD丄BB、.又A ABC是正三角形，且D为BC的中点，所以AD丄BC.（9分）又BB，，BC U 平面BBCC，，BB1A BC=B，所以AD丄平面B,BCC,，又EF U平面BBCC，所以AD丄EF.（11分）又EF丄CD，CD，AD U平面ADC,，C,D A AD=D，所以直线EF丄平面ADC,.（14分）题型二、线面与面面平行与垂直证明平面与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆平面与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。

高中数学立体几何平行、垂直位置关系证明题专项练习(带答案)

立体几何专题复习(自己精心整理)

专题一证明平行垂直问题题型一证明平行关系(1）如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD。

（2）在正方体AC1中,M，N，E，F分别是A1B1，A1D1,B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面EFDB.思考题1（1）如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC.（2)如图,在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2,BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.求证：PQ∥平面BCD。

题型二证明垂直关系(微专题)微专题1:证明线线垂直(1）已知空间四边形OABC中，M为BC中点，N为AC中点，P为OA中点，Q为OB中点，若AB＝OC。

求证：PM⊥QN.（2)(2019·山西太原检测）如图,直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，E，F分别是CC1,BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点，求证:DF⊥AE。

微专题2：证明线面垂直（3）在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求证:BD1⊥平面ACB1.(4)（2019·河南六市一模）在如图所示的几何体中，ABC－A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°.若AA1＝AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD。

微专题3：证明面面垂直（5)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点,求证:平面DEA⊥平面A1FD1.（6)如图，四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝错误!PD，求证:平面PQC⊥平面DCQ。

思考题2(1)(2019·北京东城区模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD＝DC，E是PC的中点,作EF⊥BP交BP于点F，求证：PB⊥平面EFD。

立体几何中线面平行的经典方法经典题(附详细解答)

FGGABCDECA BDEFDEB 1A 1C 1CM高中立体几何证明平行的专题(基本方法)立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：(1)通过“平移”。

(2)利用三角形中位线的性质。

(3)利用平行四边形的性质。

(4)利用对应线段成比例。

(5)利用面面平行，等等。

(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四边形2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC.（Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ；（Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点，M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：（Ⅰ）C 1D ⊥BC ；（Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM.分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EAE FBACDP（第1题图）4、如图所示, 四棱锥P ABCD 底面是直角梯形,,,AD CD AD BA CD=2AB, E 为PC 的中点,证明: //EB PAD 平面;分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形(2) 利用三角形中位线的性质5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。

分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线6、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC的中点。

高中立体几何证明题

高中立体几何证明题一、线面平行的证明题1已知正方体ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}，E，F分别是AB，BC的中点，求证：EF∥平面A_{1}C_{1}D。

解析1. 连接AC。

- 在 ABC中，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥ AC。

2. 正方体ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中：- AC∥ A_{1}C_{1}。

- 由EF∥ AC和AC∥ A_{1}C_{1}可得EF∥ A_{1}C_{1}。

- 又A_{1}C_{1}⊂平面A_{1}C_{1}D，EFnot⊂平面A_{1}C_{1}D。

- 根据线面平行的判定定理，所以EF∥平面A_{1}C_{1}D。

题2在三棱柱ABC - A_{1}B_{1}C_{1}中，D是AB的中点，求证：AC_{1}∥平面CDB_{1}。

解析1. 连接BC_{1}，交B_{1}C于点E。

- 在三棱柱ABC - A_{1}B_{1}C_{1}中，E为BC_{1}的中点。

2. 因为D是AB的中点：- 所以在 ABC_{1}中，DE∥ AC_{1}。

- 又DE⊂平面CDB_{1}，AC_{1}not⊂平面CDB_{1}。

- 根据线面平行的判定定理，可得AC_{1}∥平面CDB_{1}。

二、线面垂直的证明题3在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是正方形，PA = PB = PC = PD，求证：PA⊥平面ABCD。

解析1. 连接AC，BD交于点O，连接PO。

- 因为底面ABCD是正方形，所以O为AC，BD中点。

- 又PA = PC，PB = PD，根据等腰三角形三线合一的性质：- 可得PO⊥ AC，PO⊥ BD。

- 而AC∩ BD = O，AC⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD。

- 根据直线与平面垂直的判定定理，所以PO⊥平面ABCD。

- 又PA = PB = PC = PD，AO = BO = CO = DO，所以 PAO≅ PBO≅ PCO ≅ PDO。

立体几何练习题

立体几何题型一、平行与垂直的证明例1．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F . （1）证明PA //平面EDB ；（2）证明PB ⊥平面EFD例2．四棱锥S A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SB C ⊥底面ABCD ，已知45A B C ∠=︒，2A B =，BC =SA SB ==（Ⅰ）证明：SA B C ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SBC 所成角的大小．变式：已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD ，且PA =AD =DC =21AB =1，M 是PB 的中点.（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ；（Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小.ACDBCASOE A DCBNM EP题型二、空间角与距离例3．如图，在四棱锥O A B C D -中，底面A B C D 四边长为1的菱形，4A B C π∠=， OA ABCD ⊥底面， 2O A =，M 为O A 的中点。

（Ⅰ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；（Ⅱ）求点B 到平面OCD 的距离。

例4. 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别BD 、BC 的中点，CA =CB =CD =BD =2 （Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；（Ⅲ）求点E 到平面的距离. 变式：如图，正三棱锥O A B C -的三条侧棱O A 、O B 、O C 两两垂直，且长度均为2．E 、F 分别是A B 、A C 的中点，H 是E F 的中点，过E F 的平面与侧棱O A 、O B 、O C 或其延长线分别相交于1A 、1B 、1C ，已知132O A =．（1）求证：11B C ⊥面O A H ；（2）求二面角111O A BC --的大小．1C 1A题型三、探索性问题例5.在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）当平面PCD 与平面ABCD 成多大二面角时，⊥EF 平面PCD ？变式：如图，在三棱锥A －BCD 中，侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD ，BD ＝CD ＝1，另一个侧面是正三角形 (1)求证：AD ⊥BC(2)求二面角B －AC －D 的大小(3)在直线AC 上是否存在一点E ，使ED 与面BCD 成30︒角？若存在，确定E 的位置；若不存在，说明理由.DC题型四、折叠、展开问题例6．已知正方形A B C D E 、F 分别是A B 、C D 的中点，将AD E 沿D E 折起，如图所示，记二面角A D E C --的大小为(0)θθπ<< (1) 证明//B F 平面ADE ；(2)若A C D 为正三角形，试判断点A 在平面B C D E 内的射影G 是否在直线E F 上，证明你的结论，并求角θ的余弦值。

立体几何最典型的平行与垂直题型归纳(带答案)(1)

专题:立体几何最典型的平行与垂直题型归纳1．四面体ABCD 中，△ ABC 是正三角形，△ ACD 是直角三角形，∠ ABD ＝∠ CBD，AB＝BD ，则四面体的四个表面中互相垂直的平面有（）对．2．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为长方形，AD＝2AB，点E、F 分别是线段PD、PC 的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；（Ⅱ）在线段AD 上是否存在一点O，使得BO⊥平面PAC，若存在，请指出点O 的位置，⊥底面ABCD ，且PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，M 为PD 的中点．Ⅰ）求证：CM ∥平面PAB；Ⅱ）求证：CD ⊥平面PAC．AD ∥BC ，∠ BAD ＝90°，PA4．如图，△ ABC 为正三角形，AE 和CD 都垂直于平而ABC，F 是BE 中点，AE＝AB＝2，CD＝1．1）求证：DF ∥平面ABC；2）求证：AF ⊥DE；3）求异面直线AF 与BC 所成角的余弦值．5．如图，在四棱锥A﹣BCDE 中，平面ABC⊥平面BCDE ，∠ CDE ＝∠ BED ＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝．（1）证明：D E⊥平面ACD ；2）求棱锥C﹣ABD 的体积．6．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB ＝1，M 为线段PD 的中点．I）求证：BM ⊥PDII ）求直线CM 与PB 所成角的余弦值．7．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，所有棱长都等于2．（1）当点M 是BC 的中点时，求异面直线AB1和MC1所成角的余弦值；专题 :立体几何最容易错的最难的平行与垂直问题汇编1．如图，在三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∠ ACB ＝90°， 2AC ＝AA 1，D ，M 分别是棱 AA 1， BC 的中点．证明：2）若∠ ABC ＝120°，AE ⊥EC ，AB ＝2，求点 G 到平面 AED 的距离．3．如图，在四棱锥 P ﹣ ABCD 中，平面 PAD ⊥平面 ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，AB ⊥AD ， AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝．（ 1）求证： PD ⊥平面 PAB ；1）证明：平面 PAB ⊥平面 PAD；AB ∥CD ，且∠ BAP ＝∠ CDP ＝90BE ⊥平面 ABCD ．1）证明：平面 AEC ⊥平面 BED ．2）若 PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥 P ﹣ABCD 的体积为，求该四棱 1）证明： AC ⊥BD ；（2）已知△ ACD 是直角三角形， AB ＝BD ，若 E 为棱 BD 上与 D6．如图，在四棱锥 A ﹣EFCB 中，△ AEF 为等边三角形，平面 AEF ⊥平面 EFCB ，EF ＝ 2，四边形 EFCB 是高为的等腰梯形， EF ∥BC ，O 为 EF 的中点．AD ＝CD ．求 O 到平面 ABC 的距离．专题:立体几何最典型的平行与垂直题型归纳1．四面体ABCD 中，△ ABC 是正三角形，△ ACD 是直角三角形，∠ ABD ＝∠ CBD，AB＝BD ，则四面体的四个表面中互相垂直的平面有（）对．A ．0 B．1 C． 2 D． 3【解答】解：取AC 的中点E，连接BE，DE，∵∠ ABD＝∠ CBD ，∴ BD 在平面ABC 上的射影在直线BE 上，∵△ ACD 是直角三角形，∴∠ ADC＝90°，设 AB ＝ 2，则 BE ＝，DE ＝ AC ＝1，BD ＝2，2 2 2∴DE 2+BE 2＝ BD 2，即 DE ⊥BE ，又 BE ⊥ AC ，DE ∩AC ＝E ，∴ BE ⊥平面 ACD ，∴平面 ABC ⊥平面 ACD ．∵ D 在平面 ABC 上的射影为 E ， B 在平面 ACD 上的射影为 E ，∴平面 ABD 与平面 ABC 不垂直，平面 BCD 与平面 ABC 不垂直，平面 ABD 与平面 ACD 不垂直，平面 BCD 与平面 ACD 不垂直，过A 作 AF ⊥BD ，垂足为 F ，连接 CF ，由△ ABD ≌△ CBD 可得 CF ⊥BD ，故而∠ AFC 为二面角 A ﹣BD ﹣C 的平面角， ∵ AD ＝＝， ∴ cos ∠ ABD ∴ CF ＝ AF ＝∴ cos ∠ AFC ＝∴∠ AFC ≠ 90°，∴平面 ABD 与平面 BCD 不垂直．F 分别是线段 PD 、PC 的中点．证明： EF ∥平面 PAB ；BO ⊥平面 PAC ，若存在，请指出点 O 的位置，并证明 BO ⊥平面 PAC ；若不存在，请说明理由．2．如图，在四棱锥 P ﹣ABCD 中， PA ⊥底面 ABCD ，四边形 ABCD 为长方形， AD ＝ 2AB ，在线段 AD 上是否存在一点 O ，使得，∴ sin ∠ ABD＝∵EF ∥CD ，∴ EF ∥AB ，∴ EF ∥平面 PAB ． ⋯（6 分）此时点 O 为线段 AD 的四等分点，满足，⋯（ 8 分） ∵长方形ABCD 中，∴△ ABO ∽△ ADC ， ∴∠ ABO+∠CAB ＝∠ DAC + ∠CAB ＝90°，∴AC ⊥BO ，（10 分）又∵ PA ⊥底面 ABCD ，BO? 底面ABCD ， ∴PA ⊥BO ， ∵PA ∩AC ＝A ，PA 、AC? 平面 PACABCD 为长方形，∴CD ∥AB ，∠ BAO ＝∠ ADC ＝ 90°，四边形 ABCD 为直角梯形， AD∥BC ，∠ BAD＝，PA 又∵ EF? 平面 PAB ， AB? 平面 PAB ，Ⅱ）在线段 AD 上存在一点 O ，使得 BO ⊥平面 PAC ，⊥底面ABCD ，且PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，M为PD 的中点．（Ⅰ）求证：CM ∥平面PAB；（Ⅱ）求证：CD ⊥平面PAC．解答】证明：（I ）取PA 的中点E，连接ME 、BE，∵ ME ∥AD，ME AD，∴ ME ∥BC，ME＝BC，∴四边形BCME 为平行四边形，∴ BE∥CM ，∵BE? 平面PAB，CM?平面PAB，∴ CM∥平面PAB；（II ）在梯形ABCD 中，AB＝BC＝1，AD＝2，∠ BAD＝90° 过C作CH⊥AD于H，∴AC ＝CD＝2 2 2∵AC2+CD2＝AD2，∴ CD⊥AC又∵ PA⊥平面ABCD ，CD ?平面ABCD，∴ CD⊥PA∵PA∩AC＝A，∴CD ⊥平面PAC4．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1 的中点，证明：A1D⊥平面A1BC．解答】证明：设 E 为 BC 的中点，连接 A 1E ， DE ，AE ，由题意得 A 1E ⊥平面 ABC ，∴ A 1E ⊥AE ．∵ AB ＝ AC ， AE ⊥BC ，∴ AE ⊥平面 A 1BC ．由 D ，E 分别为 B 1C 1，BC 的中点，得 DE ∥B 1B 且 DE ＝B 1B ，从而 DE ∥A 1A 且 DE ＝A 1A ，∴四边形 A 1AED 为平行四边形，∴ A 1D ∥AE ．5．如图，△ ABC 为正三角形， AE 和 CD 都垂直于平而 ABC ，F 是 BE 中点， AE ＝AB ＝ 2，CD ＝ 1．（1）求证： DF ∥平面 ABC ；（2）求证： AF ⊥DE ；（3）求异面直线 AF 与 BC 所成角的余弦值．【解答】（1）证明：取 AC 中点 O ，过 O 作平面 ABC 的垂线交 DE连结 OB ，则 OG ⊥OB ， OG ⊥ OC ，∵△ ABC 是正三角形， O 是 AC 中点，∴ OB ⊥ OC ，以 O 为原点， OB 、OC 、OG 所在直线分别为 x 、y 、z轴，建立空间直角坐标系，又∵ AE ⊥平面 A 1BC ， ∴ A 1D ⊥平面 A 1BC∵F 是 BE 中点， AE ＝AB ＝ 2，CD ＝1，＝（﹣ ， 1， 0），＝（ 0，0， 1），∵CD ⊥平面 ABC ，∴ ＝（0，0，1）是平面 ABC 的一个法向量，又 DF? 平面 ABC ，∴ DF ∥平面 ABC ．2）证明：∵ ＝（），＝（ 0，﹣2，1），∴ ＝ 0﹣ 1+1＝0，∴AF ⊥DE ．（3）解：∵ ＝（），＝（﹣ ，1， 0），设 AF 、 BC 所成角为 θ，cos θ＝ ∴异面直线 AF 与 BC 所成角的余弦值6．如图，在四棱锥 P ﹣ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA ⊥平面 ABCD ，PA ＝AD ＝2，AB ＝ 1，M 为线段 PD 的中点．（ I ）求证： BM ⊥PD（ II ）求直线 CM 与 PB 所成角的余弦值．∴ ＝（，0），＝（），＝（0，﹣ 2，1），∵ ＝， ∴，D （0，1，1），E （0，﹣1，∴A （0，﹣ 1，0），B（| | ＝【解答】（ I ）证明：连接 BD ，∵四棱锥 P ﹣ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA ⊥平面 ABCD ，PA ＝AD ＝2，AB ＝1， ∴PB ＝BD ＝∵ M 为线段 PD 的中点，∴BM ⊥PD（II ）解：连接 AC ，与 BD 交于 O ，连接 OM ，则∵ M 为线段 PD 的中点，∴MO ∥PB∴直线 CM 与 PB 所成角的余弦值为7．如图，在正三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 中，所有棱长都等于 2．（ 1）当点 M 是 BC 的中点时，① 求异面直线 AB 1和 MC 1 所成角的余弦值；② 求二面角 M ﹣AB 1﹣C 的正弦值；（2）当点 M 在线段 BC 上（包括两个端点）运动时，求直线 MC 1与平面 AB 1C 所成角的∴∠ CMO （或其补角）为直线 CM 与 PB 所成角，在△ MOC中， ∴ cos ∠ CMO＝CM ＝＝，．．解答】解：（1）取 AC 的中点为 O ，建立空间直角坐标系 O ﹣ xyz ，则，C （ 0，1，0），当 M 是 BC 的中点时，则． ①，设异面直线 AB 1 和 MC 1 所成角为 θ，则＝＝．＝＝．② ，，，，令 x ＝ 2，∴ ，∴ ．设二面角 M ﹣ AB 1﹣ C 的平面角为 θ，则＝．所以．（ 2）当 M 在 BC 上运动时，设．设平面 MAB 1的一个法向量为，则．∴ 设平面 AB 1C 的一个法向量为，令，则 y ＝﹣ 1，z ＝﹣ 1，∴，，则正弦值的取值范围．设M（x，y，z），∴，∴ ，则，∴ ．设直线MC1 与平面AB1C 所成的角为θ ，则设，设t＝λ+1 ∈[1，2]，所以，t∈[1，2]．设，∴∵ ，∴ ，∴∴直线MC 1与平面AB1C 所成的角的正弦值的取值范围为6．如图，在四棱锥 A ﹣BCDE 中，平面 ABC ⊥平面 BCDE ，∠ CDE ＝∠ BED ＝90°， AB ＝CD ＝ 2，DE ＝BE ＝1，AC ＝．（ 1）证明： DE ⊥平面 ACD ；（ 2）求棱锥 C ﹣ ABD 的体积．【解答】解：（ 1）在直角梯形 BCDE 中，∵DE ＝ BE ＝ 1， CD ＝ 2，∴ BC ＝＝，又 AB ＝2， AC ＝，∴ AB 2＝AC 2+BC 2，即 AC ⊥ BC ，又平面 ABC ⊥平面 BCDE ，平面 ABC ∩平面 BCDE ＝BC ，AC? 平面 ABC ，∴AC ⊥平面 BCDE ，又 DE? 平面 BCDE ，∴AC ⊥ DE ，又 DE ⊥DC ，AC ∩CD ＝C ，∴ DE ⊥平面 ACD ．1．如图，在三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∠ ACB ＝90°， 2AC ＝AA 1，D ，M分别是棱 AA 1， BC 的中点．证明：S △BCD ?AC ＝V C ﹣ABD ＝V A ﹣BCD ＝1)AM∥平面BDC12)DC1⊥平面BDC ．∴AD ∥ MN ，且 AD ＝ MN ；∴四边形 ADNM 为平行四边形，∴DN ∥AM ；又 DN? 平面 BDC 1，AM? 平面 BDC 1，∴ AM ∥平面 BDC 1⋯（ 6 分）（ 2）由已知 BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，又 CC 1∩ AC ＝ C ，∴ BC ⊥平面 ACC 1A 1，又 DC 1? 平面 ACC 1A 1，∴ DC 1⊥BC ；由已知得∠ A 1DC 1＝∠ ADC ＝45°，∴∠ CDC 1＝ 90°，∴DC 1⊥DC ；又 DC ∩BC ＝C ，∴ DC 1⊥平面 BDC ．⋯（ 12分）【解答】证明：（ 1）如图所示，取 BC 1 的中点 N ，连接 DN ，MN ．则 MN ∥ CC 1，且 M N ＝ CC 1；又 AD ∥CC 1，且 ADV ＝，2．如图，四边形 ABCD 为菱形， G 为 AC 与 BD 的交点， BE ⊥平面 ABCD ．（ 1）证明：平面 AEC ⊥平面 BED ．因为 BE ⊥平面 ABCD ， AC? 平面 ABCD ，所以 AC ⊥BE ，⋯（ 2 分）又因为 DB ∩BE ＝B ，所以 AC ⊥平面 BED ．⋯（ 3分）又 AC? 平面 AEC ，所以平面 AEC ⊥平面 BED ．⋯（ 5 分）2）取 AD 中点为 M ，连接 EM ．因为∠ ABC ＝ 120°．，AB ＝2，所以 AB ＝DB ＝ 2，AG ＝，DG ＝ 1，因为 AE ⊥EC ，所以 EG ＝＝，所以 BE ＝，⋯（ 6 分）所以 AE ＝DE ＝，又所以 AD 中点为 M ，所以 EM ⊥AD 且 EM ＝．设点 G 到平面 AED 的距离为为 h ，则三棱锥 E ﹣ADG 的体积为求点 G 到平面 AED 的距离．为菱形，所以 AC ⊥BD ，⋯（ 1 分）即，解得 h ＝．PAD ⊥平面 ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，AB ⊥AD ，ABCD ，且平面 PAD ∩平面 ABCD ＝AD ，AB ⊥AD ，AB? 平面 ABCD ，∴ AB ⊥平面 PAD ，∵PD? 平面 PAD ，∴AB ⊥PD ，又 PD ⊥PA ，且 PA ∩AB ＝A ，∴ PD ⊥平面 PAB ；（ 2）解：取 AD 中点 O ，连接 PO ，则 PO ⊥ AD ，又平面 PAD ⊥平面 ABCD ， ∴PO ⊥平面 ABCD ，∵PA ⊥PD ，PA ＝PD ，AD ＝2，∴ PO ＝1．10 分）所以点 G 到平面 AED 的距离为AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝．1）求证： PD ⊥平面PAB ；在△ ACD 中，由 AD ＝2，AC ＝CD ＝，可得．4．如图，在四棱锥 P ﹣ABCD 中， AB ∥CD ，且∠ BAP ＝∠ CDP ＝901）证明：平面 PAB ⊥平面 PAD ；P ﹣ABCD 中，∠ BAP ＝∠ CDP ＝ 90°，∴AB ⊥PA ，CD ⊥PD ，又 AB ∥ CD ，∴ AB ⊥PD ，∵PA ∩PD ＝P ，∴ AB ⊥平面 PAD ，∵AB? 平面 PAB ，∴平面 PAB ⊥平面 PAD ．解：（2）设 PA ＝PD ＝AB ＝DC ＝a ，取 AD 中点O ，连结 PO ，∵PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠ APD ＝90°，平面 PAB ⊥平面 PAD ，∵四棱锥 P ﹣ABCD 的体积为由 AB ⊥平面 PAD ，得 AB ⊥ AD ，∴V P ﹣ABCD ＝2）若 PA ＝PD ＝ AB ＝ DC ，∠ APD ＝90°，且四棱锥 P ﹣ ABCD 的体积为求该四棱 ∴ PO ⊥底面ABCD ， O P＝＝＝＝，解得 a ＝2，∴ PA ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝2 ，PO ＝， ∴ PB ＝ PC ＝＝2 ，∴该四棱锥的侧面积：S 侧＝ S △PAD +S △PAB +S △PDC +S △PBC＝+1）证明： AC ⊥ BD ；2）已知△ ACD 是直角三角形， AB ＝ BD ，若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点， ∵△ ABC 是正三角形， AD ＝CD ，∴DO ⊥AC ，BO ⊥AC ，∵DO ∩BO ＝O ，∴ AC ⊥平面 BDO ，∵BD? 平面 BDO ，∴AC ⊥BD ．解：（2）法一：连结 OE ，由（ 1）知 AC ⊥平面 OBD ， ∵OE? 平面 OBD ，∴ OE ⊥ AC ，设 AD ＝ CD ＝，则 OC ＝ OA ＝ 1， EC ＝ EA ，2 2 2 ∵AE ⊥CE ，AC ＝2，∴ EC 2+EA 2＝AC 2，∴ EC ＝ EA ＝＝ CD ，∴E 是线段 AC 垂直平分线上的点，∴ EC ＝EA ＝CD ＝，由余弦定理得：AE ⊥＝ 6+2 ．AD ＝CD ．∵BE＜＜BD＝2，∴BE＝1，∴ BE＝ED ，∵四面体ABCE 与四面体ACDE 的高都是点 A 到平面BCD 的高h，∵ BE＝ED ，∴ S△DCE＝S△BCE，∴四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比为1．法二：设AD＝CD＝，则AC＝AB＝BC＝BD＝2，AO＝CO＝DO＝1，∴ BO＝＝，∴ BO2+DO2＝BD2，∴ BO⊥DO，以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），A（1，0，0），设E（a，b，c），，（0≤λ≤1），则（a，b，c﹣1）＝λ（0，，﹣1），解得E（0，，1﹣λ），∴ ＝（1，），＝（﹣ 1 ，），∵AE⊥EC，∴＝﹣1+3λ2+ （1﹣λ）2＝0，由λ∈[0 ，1]，解得，∴ DE＝BE，∵四面体ABCE 与四面体ACDE 的高都是点 A 到平面BCD 的高h，∵DE＝BE，∴ S△DCE＝S△BCE，∴四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比为1．AEF⊥平面EFCB，EF＝2，四边形EFCB 是高为的等腰梯形，EF∥BC，O 为EF 的中点．1）求证：AO⊥CF；O 为EF 的中点，所以AO⊥ EF ⋯（ 1 分）又因为平面AEF⊥平面EFCB，AO? 平面AEF，平面AEF ∩平面EFCB ＝EF ，所以AO ⊥平面EFCB，⋯（ 4 分）又CF? 平面EFCB ，所以AO⊥ CF ⋯（ 5 分）（2）解：取BC 的中点G，连接OG．由题设知，OG⊥BC ⋯（ 6 分）由（1）知AO⊥平面EFCB ，又BC? 平面EFCB ，所以OA⊥BC，因为OG∩OA＝O，所以BC⊥平面AOG⋯（8 分）过O 作OH⊥AG，垂足为H，则BC⊥ OH ，因为AG∩BC＝G，所以OH⊥平面ABC．⋯（10 分）因为，所以，即O 到平面ABC 的距离为．（另外用等体积法亦可）⋯（12 分）10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，若∠ BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1 与B1C 所成角的余弦值为（A．0 B．C．。

立体几何中平行与垂直的证明（5篇模版）

立体几何中平行与垂直的证明（5篇模版）第一篇：立体几何中平行与垂直的证明立体几何中平行与垂直的证明姓名2.掌握正确的判定和证明平行与垂直的方法.D1【学习目标】1.通过学习更进一步掌握空间中线面的位置关系;例1．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证：（1）C1O//平面AB1D1；（2）A1C⊥平面AB1D1．【反思与小结】1.证明线面平行的方法：2.证明线面垂直的方法：ADC1BC【变式一】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB>1，点E在棱AB上移动。

求证：D1E⊥A1D；【反思与小结】1．证明线线垂直的方法：1．谈谈对“点E在棱AB上移动”转化的动态思考 2．比较正方体、正四棱柱、长方体【变式二A】如图平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=D1AEBCCAD=2,G是EF的中点，2（1）求证平面AGC⊥平面BGC；（2）求空间四边形AGBC的体积。

反思与小结1．证明面面垂直的方法：2．如果把【变式二A】的图复原有什么新的认识？【变式二B】.如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABC-A1B1C1中，AB=8，AC=6，BC（Ⅰ）求证：=10，D是BC边的中点.AB⊥A1C；（Ⅱ）求证：AC1∥ 面AB1D；【反思与小结】和前面证明线线垂直、线面平行比较有什么新的认识？【变式三】如图组合体中，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ABB1A1 是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合一个点.（Ⅰ）求证：无论点C如何运动，平面A1BC⊥平面A1AC；（Ⅱ）当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A1-BCC1B1与圆柱的体积比．【反思与小结】1．观察两个图之间的变化联系，写出感受。

2．和【变式一】进行比较，谈谈你把握动态问题的新体会【变式四】如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F 为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥BE；（2）设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.【反思与小结】1．和前面两个动态问题比较，解答本题的思路和方法有什么不同？_P【变式五】如图5所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=3，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上。

2022复习立体几何----平行、垂直的性质与证明(学)

立体几何之平行、垂直的性质与证明重难点突破重难点突破一线线、线面与面面平行的性质例1．（1）、（2022·宁夏·银川一中模拟预测（文））如图，在下列四个正方体中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 不平行于平面MNQ 的是（）A ．B ．C ．D ．（2）、已知l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是（） A ．若//m α，//m n ，则//n αB ．若m α⊂，n ⊂α，且满足//m β，βn//，则//αβC ．若l αβ=，m αγ=，n βγ=，且满足//l m ，则//m nD ．若m α⊂，n ⊂α，l β⊂，且//m β，//n l ，则//αβ 【变式训练1-1】、（2022·浙江·海宁中学模拟预测）已知a b c ，，是不全平行的直线，αβγ，，是不同的平面，则下列能够得到//αβ的是（）A ．αβγγ⊥⊥，B ．////a b a b ααββ⊂⊂，，，C ．//////a b c a b c αααβββ⊂⊂⊂，，，，，D ．////b b αβ，【变式训练1-2】、（2022·广东广州·三模）一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形ABCD 为正方形，E F ､分别为PB PC ､的中点，在此几何体中，下面结论错误的是（）A．直线AE与直线BF异面B．直线AE与直线DF异面C．直线EF平面PAD D．直线EF平面ABCD 重难点突破二线线、线面与面面平行的证明例2．（1）如图，在四棱锥PABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝12AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：GH∥平面PAD.（2）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，,,,EAB FBC GCD HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．（1）证明：//EF平面ABCD；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．【变式训练2-1】、（2022·全国·模拟预测）在四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，1,,2AB AP AD E F ==分别是AP BC ，的中点．求证：//EF 平面PCD ；例3、如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，124AA AB ==，M ，N ，P 分别是11,,AD DD CC 的中点．（1）证明：平面//MNC 平面1AD P ．（2）求三棱锥1D ADP -的体积．【变式训练3-1】、（2022·河南·模拟预测（文））如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是正方形，E ，F ，G分别是棱1BB ，11B C ，1CC 的中点.(1)证明：平面1//A EF 平面1AD G ；(2)若点1A 在底面ABCD 的投影是四边形ABCD 的中心，124A A AB ==，求三棱锥11A AD G -的体积.【变式训练3-2】、已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，11BF A B ⊥.（1）求三棱锥F EBC -的体积；（2）已知D 为棱11A B 上的点，证明：BFDE ⊥.重难点突破三线线、线面与面面垂直的性质例4．(1)、（北京市第十一中学一模）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A ．若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥αB ．若m ∥β，β⊥α，则m ⊥αC ．若m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α，则m ⊥αD ．若m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m ⊥α【变式训练4-1】．（多选题）（重庆一中高三月考）已知平面α和两条不同的直线m ，n ，下面的条件中一定可以推出m n⊥的是（）A ．m α⊥，//n αB ．m α⊥，n α⊥C ．m α⊂，n α⊥D ．//m α，//n α【变式训练4-2】、（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））如图，在梯形ABCD 中，,90,2,1AB CD ABC AB BC CD ∠=︒===∥，点E 为AB 中点，将ADE 沿直线DE 向上折起到A DE '的位置（平面A DE '与平面ABCD 不重合）．在折叠的过程中，给出下列结论：①任意时刻都有BC ∥平面A DE '；②任意时刻都有平面BCD ⊥平面A BE '﹔③存在某个位置，使得'AA DB ⊥﹔④当平面A DE '⊥平面BCDE 时，直线AD 与平面A DB '6其中所有正确结论的序号是___________．重难点突破四线线、线面与面面垂直的证明例5．（(2019·全国Ⅱ)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.(1)证明：BE ⊥平面EB 1C 1；(2)若AE ＝A 1E ，AB ＝3，求四棱锥E －BB 1C 1C 的体积．【变式训练5-1】、（如图，在三棱锥ABCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.例6、如图，三棱锥P－ABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，P A⊥PC，PB＝2.(1)求证：平面P AC⊥平面ABC；(2)若P A＝PC，求三棱锥P－ABC的体积．例6-2如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO与A′C′所成角的大小；(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成角的大小.【变式训练6-1】、（在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥P －BCDE.(1)若平面PDE⊥平面BCDE，求四棱锥P－BCDE的体积；(2)若PB＝PC，求证：平面PDE⊥平面BCDE.【变式训练6-2】、如图，已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的正切值为________.重难点突破五平行、垂直关系中的探索性问题例7、（2021·湖南·长沙市第二十一中学高一期中）如图：在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点.（1）求证：1//BD 平面AEC ；（2）1CC 上是否存在一点F ，使得平面//AEC 平面1BFD ，若存在请说明理由.【变式训练7-1】、（2021·全国·高一单元测试）如图①，O 的直径2AB =，圆上两点,C D 在直线AB 的两侧，且45CAB ∠=︒，60DAB ∠=︒，沿直线AB 将半圆ACB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图②），F 为BC 的中点，E 为AO 的中点.根据图②解答下列各题：（1）求三棱锥C BOD -的体积；（2）求证：CB DE ⊥；（3）在BD 上是否存在一点G ，使得//FG 平面ACD ？若存在，试确定点G 的位置；若不存在，请说明理由.例8、如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 是线段CD 上的一点，将ADE ∆沿DE折起到1A DE △的位置，使1A F CD ⊥，如图2．（1）证明：1A F BE ⊥；（2）线段1A B 上是否存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ ？若存在，求出11A Q A B 的值；若不存在，说明理由．【变式训练8-1】、（2021·陕西·西安）如图，在四棱锥P ABCD -中四边形ABCD 为平行四边形，90BAP CDP ∠=∠=︒，PAD △是正三角形，且PA AB =．(1)当点M 在线段PA 上什么位置时，有DM ⊥平面PAB ？(2)在（1）的条件下，点N 在线段PB 上什么位置时，有平面DMN ⊥平面PBC ？课时精练1.如图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点．已知侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA ＝DP.求证：(1)MN∥平面PBC；MD⊥平面PAB.2.如图，三棱锥DABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC＝DC，E，F分别为BD，CD的中点．求证：(1) EF∥平面ABC；(2) BD⊥平面ACE.3.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，AC的中点．(1) 求证：B 1C 1∥平面A 1DE ；(2) 若平面A 1DE ⊥平面ABB 1A 1，求证：AB ⊥DE.4.如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝AA 1，M ，N 分别是AC ，B 1C 1的中点．求证： (1) MN ∥平面ABB 1A 1； (2) AN ⊥A 1B.5.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90,2BAC AB AC ∠=︒==，点M 为11A C 的中点，点N 为1AB 上一动点.（1）是否存在点N ，使得线段//MN 平面11BB C C ？若存在，指出点N 的位置，若不存在，请说明理由；（2）若点N 为1AB 的中点，且CM MN ⊥，求三棱锥M NAC -的体积.6.（2021·全国·高一课时练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，//,AB CD AB AD ⊥，且2CD AB =．（1）若AB AD =，直线PB 与CD 所成的角为45︒，求二面角P CD B --的大小；（2）若E 为线段PC 上一点，试确定点E 的位置，使得平面EBD ⊥平面ABCD ，并说明理由．。

历年高考数学真题汇编专题07 空间几何体的平行于垂直(解析版)

历年高考数学真题汇编专题07 空间几何体的平行于垂直1、【2019年江苏卷】.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．【解析】（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC1，A1B1 平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ，所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .2、【2019年高考全国Ⅰ卷文数】如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求点C 到平面C 1DE 的距离．【解析】（1）连结1,B C ME .因为M ，E 分别为1,BB BC 的中点，所以1 ME B C ∥，且112ME B C =. 又因为N 为1A D 的中点，所以112ND A D =. 由题设知11=A B DC ∥，可得11=BC A D ∥，故=ME ND ∥，因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ED ∥. 又MN ⊄平面1C DE ，所以MN ∥平面1C DE . （2）过C 作C 1E 的垂线，垂足为H .由已知可得DE BC ⊥，1DE C C ⊥，所以DE ⊥平面1C CE ，故DE ⊥CH.从而CH ⊥平面1C DE ，故CH 的长即为C 到平面1C DE 的距离，由已知可得CE =1，C 1C =4，所以1C E =，故17CH =.从而点C 到平面1C DE 的距离为17.3、【2019年高考全国Ⅱ卷文数】如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1．（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积．【解析】（1）由已知得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ⊂平面ABB 1A 1，故11B C BE ⊥．又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C ．（2）由（1）知∠BEB 1=90°.由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ，所以1145AEB A EB ︒∠=∠=，故AE =AB =3，126AA AE ==.作1EF BB ⊥，垂足为F ，则EF ⊥平面11BB C C ，且3EF AB ==．所以，四棱锥11E BB C C -的体积1363183V =⨯⨯⨯=．4、【2019年高考全国Ⅲ卷文数】图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2．（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；（2）求图2中的四边形ACGD 的面积.【解析】（1）由已知得AD P BE ，CG P BE ，所以AD P CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ．又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ．（2）取CG 的中点M ，连结EM ，DM.因为AB ∥DE ，AB ⊥平面BCGE ，所以DE ⊥平面BCGE ，故DE ⊥CG .由已知，四边形BCGE 是菱形，且∠EBC =60°得EM ⊥CG ，故CG ⊥平面DEM ．因此DM ⊥CG ．在Rt△DEM中，DE=1，EM，故DM=2．所以四边形ACGD的面积为4．-中，PA⊥平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为5、【2019年高考北京卷文数】如图，在四棱锥P ABCDCD的中点．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；（3）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．【解析】（1）因为PA⊥平面ABCD，⊥．所以PA BD又因为底面ABCD为菱形，⊥．所以BD AC所以BD⊥平面PAC．（2）因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA ⊥AE ．因为底面ABCD 为菱形，∠ABC =60°，且E 为CD 的中点，所以AE ⊥CD ．所以AB ⊥AE ．所以AE ⊥平面PAB ．所以平面PAB ⊥平面PAE ．（3）棱PB 上存在点F ，使得CF ∥平面PAE ．取F 为PB 的中点，取G 为PA 的中点，连结CF ，FG ，EG ．则FG ∥AB ，且FG =12AB ．因为底面ABCD 为菱形，且E 为CD 的中点，所以CE ∥AB ，且CE =12AB ．所以FG ∥CE ，且FG =CE ．所以四边形CEGF 为平行四边形．所以CF ∥EG ．因为CF ⊄平面PAE ，EG ⊂平面PAE ，所以CF ∥平面PAE ．【名师点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6、【2019年高考天津卷文数】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD △为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，,2,3PA CD CD AD ⊥==.（1）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH ∥平面PAD ；（2）求证：PA ⊥平面PCD ；（3）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.【解析】（1）连接BD ，易知AC BD H =I ，BH DH =. 又由BG=PG ，故GH PD ∥.又因为GH ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以GH ∥平面PAD .（2）取棱PC 的中点N ，连接DN .依题意，得DN ⊥PC ，又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC I 平面PCD PC =，所以DN ⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，故DN PA ⊥. 又已知PA CD ⊥，CD DN D =I ，所以PA ⊥平面PCD .（3）连接AN ，由（2）中DN ⊥平面PAC ，可知DAN ∠为直线AD 与平面PAC 所成的角，因为PCD △为等边三角形，CD =2且N 为PC 的中点，所以DN =又DN AN ⊥，在Rt AND △中，sin DN DAN AD ∠==所以，直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值为3.一、平行问题1.平行问题的转化关系2.直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质.3.平面与平面平行的主要判定方法(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.失误与防范1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.3.解题中注意符号语言的规范应用.(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础.证题中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.二、垂直问题1.证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α； (2)判定定理1：⎭⎪⎬⎪⎫m 、n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n⇒l ⊥α；(3)判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α； (4)面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；(5)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β. 2.证明线线垂直的方法(1)定义：两条直线所成的角为90°； (2)平面几何中证明线线垂直的方法； (3)线面垂直的性质：a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ； (4)线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b . 3.证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β. 4.转化思想：垂直关系的转化(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；③面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；④面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. (3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直. （4）判定面面垂直的方法： ①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β). (5)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直. 垂直关系综合题的类型及解法①三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. ②垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.③垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积. 三、解决立体几何中的探索性问题的步骤：第一步：写出探求的最后结论. 第二步：证明探求结论的正确性. 第三步：给出明确答案.第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.温馨提醒(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设.(2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”，“只需使……成立”.四、证明面面关系的核心是证明线面关系，证明线面关系的核心是证明线线关系.证明线线平行的方法：（1）线面平行的性质定理；（2）三角形中位线法；（3）平行四边形法. 证明线线垂直的常用方法：（1）等腰三角形三线合一；（2）勾股定理逆定理；（3）线面垂直的性质定理；（4）菱形对角线互相垂直.五、垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.证明线面平行时，先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行，若找不到这样的直线，可以考虑通过面面平行来推导线面平行，应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时，一定要注意定理成立的条件，严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行．题型一、线线与线面的平行于垂直线线与线面的平行于垂直一定要熟练掌握它们的判定定理和性质定理。

高一立体几何平行垂直解答题精选

高一立体几何平行、垂直解答题精选2017.12.18 1．已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，点N 在AC 上且CN=3AN ，点M ，P ，Q 分别是AA 1，A 1B 1，BC 的中点.求证：直线PQ ∥平面BMN. 2．如图，在正方形ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是棱B 1C 1，BB 1，C 1D 1的中点，是否存在过点E ，M 且与平面A 1FC 平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明理由平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明理由..3．在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，O 分别是1,A B BD 的中点的中点..（1）求证：//OM 平面11AA D D ；（2）求证：1OM BC ^.4．如图，AB 为圆O 的直径，点,E F 在圆O 上，且//AB EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面垂直，且1,2AD EF AF AB ====. （1）求证：平面AFC ^平面CBF ；（2）在线段CF 上是否存在了点M ，使得//OM 平面ADF ？并说明理由. 5．已知：正三棱柱111ABC A B C -中，13AA =，2AB =，N 为棱AB 的中点．的中点．（1）求证：1AC 平面1NB C ．（2）求证：平面1CNB ^平面11ABB A ．（3）求四棱锥111C ANB A -的体积．的体积．6．已知△BCD 中，∠BCD=90°，中，∠BCD=90°，BC=CD=1BC=CD=1BC=CD=1，AB⊥平面，AB⊥平面BCD BCD，∠ADB=60°，，∠ADB=60°，，∠ADB=60°，E E 、F 分别是AC AC、、AD 上的动点，且(01).AE AFAC ADl l ==<< （1）求证：不论l 为何值，总有平面BEF⊥平面ABC ABC；；（2）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD ? ACD ?7．如图，在菱形A B C D 中，60,A B C A CÐ=与BD 相交于点O ，AE ^平面A B C D ，//,2CF AE AB AE ==.（I ）求证：BD ^平面ACFE ；（II II）当直线）当直线FO 与平面ABCD 所成的角的余弦值为1010时，求证：EF BE ^；（III III）在（）在（）在（II II II）的条件下，求异面直线）的条件下，求异面直线OF 与DE 所成的余弦值所成的余弦值..8．如图，四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，24AD BC ==，23AB =，090BAD Ð=，,M O 分别为CD 和AC 的中点，PO ^平面ABCD .（1）求证：平面PBM ^平面PAC ；（2）是否存在线段PM 上一点N ，使用//ON 平面PAB ，若存在，求PNPM的值；如果不存在，说明理由的值；如果不存在，说明理由..9．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,BAD N Ð=°是PB 的中点，过,,A D N 三点的平面交PC 于M ，E 为AD 的中点，求证：的中点，求证：（1）//EN 平面PDC ；（2）BC ^平面PEB ；（3）平面PBC ^平面ADMN .10．如图，四棱锥P ABCD -中，PD ^平面PAB ， AD //BC ，12BC CD AD ==，E ，F 分别为线段AD ，PD 的中点的中点.. （Ⅰ）求证：CE ////平面平面PAB ；（Ⅱ）求证：PD ^平面CEF ；（Ⅲ）写出三棱锥D CEF -与三棱锥P ABD -的体积之比的体积之比..（结论不要求证明）M 是PC 的中点的中点..（Ⅰ）求证：PA 平面BDM ；（Ⅱ）求证：平面PAC ^平面BDM ；（Ⅲ）求直线BC 与平面BDM 的所成角的大小的所成角的大小..12．在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为菱形，侧面ABE 为等边三角形，且侧面ABE ^底面BCDE ，O ，F 分别为BE ，DE 的中点. （Ⅰ）求证：AO CD ^. （Ⅱ）求证：平面AOF ^平面ACE . （Ⅲ）侧棱AC 上是否存在点P ，使得BP 平面AOF ？若存在，求出APPC的值；若不存在，请说明理由. 1313．在四棱锥．在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ^底面ABCD ，PD CD ^，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90ADC Ð=，1AB AD PD ===，2CD =．（1）求证：//BE 平面PAD ；（2）求证：BC ^平面PBD ；（3）在线段PC 上是否存在一点Q ，使得二面角Q BD P --为45？若存在？若存在,,求PQ PC的值；若不存在，请述明理由．述明理由．参考答案1．见解析．见解析【解析】试题分析：根据题目给出的P ，Q 分别是A 1B 1，BC 的中点，想到取AB 的中点G ，连接PG PG，，QG 后分别交BM BM，，BN 于点E ，F ，根据题目给出的线段的长及线段之间的关系证出，根据题目给出的线段的长及线段之间的关系证出GE EP =GF FQ =13，从而得到EF EF∥∥PQ PQ，然后利用线面平行的判定即可得证；，然后利用线面平行的判定即可得证；，然后利用线面平行的判定即可得证；试题解析：试题解析：如图，如图，如图，取取AB 中点G ，连接PG PG，，QG 分别交BM BM，，BN 于点E ，F ，则E ，F 分别为BM BM，，BN 的中点的中点..而GE∥12AM ，GE=12AM ，GF ∥12AN ，GF=12AN AN，且，且CN=3AN CN=3AN，所以，所以GE EP =13，GF FQ =AN NC =13，所以GE EP =GF FQ =13，所以EF∥PQ，又EF ⊂平面BMN BMN，，PQ ⊄平面BMN BMN，所以，所以PQ∥平面BMN.BMN.2．详见解析．详见解析..【解析】试题分析【解析】试题分析: : : 由正方体的特征及由正方体的特征及N 为BB 1的中点，可知平面A 1FC 与直线DD 1相交，且交点为DD 1的中点G .若过M ，E 的平面α与平面A 1FCG 平行，注意到EM ∥B 1D 1∥FG ，则平面α必与CC 1相交于点N ，结合M ，E 为棱C 1D 1，B 1C 1的中点，易知C 1N ∶C 1C ＝14.于是平面EMN 满足要求．满足要求．试题解析试题解析::如图，设N 是棱C 1C 上的一点，且C 1N ＝C 1C 时，平面EMN 过点E ，M 且与平面A 1FC 平行．平行．证明如下：设H 为棱C 1C 的中点，连接B 1H ，D 1H . ∵C 1N ＝C 1C ， ∴C 1N ＝C 1H . 又E 为B 1C 1的中点，的中点， ∴EN ∥B 1H . 又CF ∥B 1H ， ∴EN ∥CF .又EN ⊄平面A 1FC ，CF ⊂平面A 1FC ， ∴EN ∥平面A 1FC .同理MN ∥D 1H ，D 1H ∥A 1F ， ∴MN ∥A 1F .又MN ⊄平面A 1FC ，A 1F ⊂平面A 1FC ， ∴MN ∥平面A 1FC . 又EN ∩MN ＝N ， ∴平面EMN ∥平面A 1FC .点睛点睛::本题考查线面平行的判定定理和面面平行的判定定理的综合应用本题考查线面平行的判定定理和面面平行的判定定理的综合应用,,属于中档题属于中档题..直线和平面平行的判定定理定理::平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行则该直线与此平面平行; ; ; 平面与平面平行的判定定理：平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面分别平行，则这两个平面平行．个平面内的两条相交直线与另一个平面分别平行，则这两个平面平行． 3．（1）见解析（）见解析（22）见解析）见解析【解析】试题分析：（1）连接1A D ，1AD ，由M O ，分别是1A B ，BD 的中点可证OM ∥1A D ，即可证明OM ∥平面11AA D D ；（2）由11D C ∥AB 且11D C AB =可证11D C BA 为平行四边形，即可证1AD ∥1BC ，再根据11AD AD ^即可证明1OM BC ^. 试题解析：试题解析：（1）连接1A D ，1AD ，因为M O ，分别是1A B ，BD 的中点，的中点，所以OM ∥1A D ，且1A D Ì平面11AA D D ，所以OM ∥平面11AA D D（2）由题意11D C ∥AB 且11D C AB =，所以11D C BA 为平行四边形，所以1AD ∥1BC ，由（Ⅰ）OM ∥1A D ，且11A D AD ^，所以1OM BC ^4．（1）证明见解析；（2）存在，见解析；）存在，见解析；【解析】试题分析：（1）要证明平面AFC ^平面CBF ，只需证AF ^平面CBF ，则只需证AF CB ^, AF BF ^,再根据题目条件分别证明即可；（2）首先猜测存在CF 的中点M 满足//OM 平面ADF ，作辅助线，通过//OM AN ，由线面平行的判定定理，证明//OM 平面ADF 。

(高中段)大题考法立体几何第一课时平行与垂直关系的证明

(2)∵平面 AA′B′B∥平面 DD′C′C， ∴A′到平面 DD′C′C 的距离即为 A 到平面 DD′C′C 的距离．过 A 作 AM⊥CD 于点 M， ∵D′H⊥平面 ABCD， ∴D′H⊥AM，又 CD∩D′H＝H， ∴AM⊥平面 DD′C′C. 由|AM|＝|AD|sin∠BAD＝ 3， |D′H|＝ |DD′|2－|DH|2＝2 3，得 S△C′CH＝12|CH|·|D′H|＝12×2×2 3＝2 3， ∴VC′-A′HC＝VA′-C′HC＝13S△C′HC·|AM|＝13×2 3× 3＝2.
又 AB∥CD，所以 PH∥CD，所以 P，H，C，D 四点共面．因为平面 ABCD⊥平面 BCE，且平面 ABCD∩平面 BCE＝BC，CD⊥BC， CD⊂平面 ABCD，所以 CD⊥平面 BCE. 又 BE⊂平面 BCE，所以 CD⊥BE，因为 BC＝CE，且 H 为 BE 的中点，所以 CH⊥BE. 又 CH∩CD＝C，CH⊂平面 DPHC，CD⊂平面 DPHC，所以 BE⊥平面 DPHC. 又 PM⊂平面 DPHC，所以 PM⊥BE.
所以 C′O⊥平面 ABD，则 C′O 为三棱锥 C′-ABD 的高，
求得 C′O＝12C′M＝12. 由 BD⊥平面 C′AM，BD⊂平面 C′BD，知平面 C′AM⊥平面 C′BD，C′M 为交线，在平面 C′AM 中，过 A 点作 AN⊥C′M，交 MC′的延长线于 N 点，则 AN⊥平面 C′BD，
[解] (1)证明：在平面四边形 ABCD 中，∠BAD＝60°，AB＝BD，所以△ ABD 为正三角形．
在三棱锥 C′-ABD 中，取 BD 的中点 M，连接 AM，C′M，则 AM⊥BD，C′M⊥BD，又 AM∩C′M＝M，所以 BD⊥平面 C′AM，从而 AC′⊥BD. (2)由 AB＝BD＝AD＝2，得 AM＝ 3，C′M＝1，又 AC′＝1，所以△C′AM 为等腰三角形，且∠AMC′ ＝30°. 取 AM 的中点 O，连接 C′O，则 C′O⊥AM，又 C′O⊥BD，AM∩BD＝M，

(完整版)立体几何证明垂直专项含练习题及答案.doc

精品字里行间精品文档立体几何证明 ------ 垂直一. 复习引入1.空间两条直线的位置关系有： _________,_________,_________三种。

2.（公理 4）平行于同一条直线的两条直线互相 _________.3.直线与平面的位置关系有 _____________,_____________,_____________三种。

4.直线与平面平行判定定理 : 如果 _________的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么 _________________________.6.两个平面的位置关系 :_________,_________.7.判定定理 1：如果一个平面内有 _____________直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 .8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面 ________.9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行 .10.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都 _____于另一个平面 . 二．知识点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定定义语言描述如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面互相垂直，记作 l ⊥α图形判定一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直 .条件 b 为平面α内的任一直线，而 l 对这l ⊥m， l ⊥n，m∩n＝B，m ，一直线总有 l ⊥αn结论l ⊥l ⊥要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直）知识点二、直线和平面垂直的性质性质语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条垂直于同一个平面的两条直线平行.直线垂直于这个平面内的所有直线图形条件结论知识点三、二面角Ⅰ .二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角－AB－. （简记P－AB－Q）二面角的平面角的三个特征:ⅰ.点在棱上ⅱ.线在面内ⅲ .与棱垂直Ⅱ .二面角的平面角：在二面角－l－的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面,内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB ，则射线 OA 和 OB 构成的AOB叫做二面角的平面角.作用：衡量二面角的大小；范围：001800.知识点四、平面和平面垂直的定义和判定定义判定文字描述两个平面相交，如果它们所成的二面一个平面过另一个平面的垂线，则这角是直二面角，就说这两个平面垂两个平面垂直直.图形结果α∩β =lα-l-β=90oα⊥β（垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“ 随意”“无数”等字眼）三．常用证明垂直的方法立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：（ 1）通过“平移”。

专题08 立体几何中的平行与垂直问题(解析版)

专题08立体几何中的平行与垂直问题【考点预测】1.证明空间中直线、平面的平行关系（1）证明直线与平面平行的常用方法：①利用定义，证明直线a 与平面α没有公共点，一般结合反证法证明；②利用线面平行的判定定理，即线线平行⇒线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；（2）证明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；②利用面面平行的判定定理；③利用两个平面垂直于同一条直线；④证明两个平面同时平行于第三个平面.（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；2.证明空间中直线、平面的垂直关系（1）证明线线垂直的方法①等腰三角形底边上的中线是高；②勾股定理逆定理；③菱形对角线互相垂直；④直径所对的圆周角是直角；⑤向量的数量积为零；⑥线面垂直的性质（）；⑦平行线垂直直线的传递性（∥）.（2）证明线面垂直的方法①线面垂直的定义；②线面垂直的判定（）； ③面面垂直的性质（）；平行线垂直平面的传递性（∥）；⑤面面垂直的性质（）. （3）证明面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理（）.,a b a b αα⊥⊂⇒⊥,a c a ⊥b b c ⇒⊥,,,,a b a c c b bc P a ααα⊥⊥⊂⊂=⇒⊥,,,b a b a a αβαβαβ⊥=⊥⊂⇒⊥,a b α⊥a b α⇒⊥,,l l αγβγαβγ⊥⊥=⇒⊥,a a βααβ⊥⊂⇒⊥【典型例题】例1．（2022·全国·高一课时练习）下列命题：①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．其中正确的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】①应用反证法：AB α⊥于A ，AB β⊥于B ，假设,αβ不平行，利用线面垂直的性质及三角形的内角和得到矛盾，即可判断；②③根据线面垂直的性质判断即可.【详解】①如下图，若AB α⊥于A ，AB β⊥于B ，假设,αβ不平行，则,αβ相交，，令l αβ=，在l 任找一点C ，连接,AC BC ，则,,A B C 为三角形，由,AC BC αβ⊂⊂，则AB AC ⊥，AB BC ⊥，即90BAC ABC ∠=∠=︒，显然,,A B C 不能构成三角形，与假设矛盾，所以,αβ平行，正确.②由线面垂直的性质定理知：垂直于同一个平面的两条直线互相平行，正确；③由线面垂直的性质知：一条直线与平面垂直，则垂直于平面内所有直线，正确；故选：D例2．（2022·河南开封·高一期中）已知直线a ，b ，平面,αβ，则下列命题中正确的是（）A ．,a αβα⊥⊂，则a β⊥B ．//,//a αβα，则a β∥C ．//,a b ββ⊂，则//a bD ．a 与b 互为异面直线，//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ【答案】D【解析】【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判断即可.【详解】A 选项中，只有直线a 与两平面的交线垂直的时候结论才成立；B 选项中，还有可能a β⊂；C 选项中，两直线a ，b 平行或异面；D 选项中，过直线a 上一点做//b b '，则相交直线a ，b '确定一个平面，设为γ，易得//γα且//γβ，所以//αβ；故选：D ．（多选题）例3．（2022·河南开封·高一期中）如图，在棱长均相等的正四棱锥P ABCD -中，M 、N 分别为侧棱PA 、PB 的中点，O 是底面四边形ABCD 对角线的交点，下列结论正确的有（）A ．//PC 平面OMNB ．平面//PCD 平面OMNC ．OM PA ⊥D ．PD ⊥平面OMN【答案】ABC【解析】【分析】 A 选项，由中位线证明线线平行，推导出线面平行；B 选项，在A 选项的基础上证明面面平行；从而推导出D 错误；由勾股定理的逆定理得到PA PC ⊥，从而得到OM PA ⊥.【详解】因为O 为底面四边形ABCD 对角线的交点，所以O 为AC 的中点，由M 是PA 的中点，可得∥PC MO ，因为PC ⊄在平面OMN ，OM ⊂平面OMN ，所以//PC 平面OMN ，A 正确；同理可推得//PD 平面OMN ，⋂=，而PC PD PPCD平面OMN，B正确；所以平面//因为PD⊂平面PCD，故PD不可能垂直平面OMN，D错误；设该正四棱锥的棱长为a，则,2PA PC a AC a，===⊥，所以PA PCPC MO，因为∥⊥，C正确.所以OM PA故选ABC．例4．（2022·全国·高一课时练习）如图，三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由已知，连接DG，CD与FG交与点M，先证明四边形CFDG是平行四边形，从而得到DM＝MC．结合BH＝HC，可证明MH∥BD，再使用线面平行的判定定理即可证明；（2）先证明四边形EFCH是平行四边形，从而得到CF∥HE．因为CF⊥BC，所以HE⊥BC，再证明GH∥AB，因为AB⊥BC，所以GH⊥BC，从而利用线面垂直的判定定理证明BC⊥平面EGH，再使用面面垂直的判定定理即可完成证明.(1)如图所示，连接DG ，设CD ∩GF ＝M ，连接MH ．在三棱台DEF ABC 中，AB ＝2DE ，所以AC ＝2DF ．因为G 是AC 的中点，所以DF ∥GC ，且DF ＝GC ，所以四边形CFDG 是平行四边形，所以DM ＝MC ．因为BH ＝HC ，所以MH ∥BD ．又BD ⊄平面FGH ，MH ⊂平面FGH ，所以BD ∥平面FGH ．(2)因为G ，H 分别为AC ，BC 的中点，所以GH ∥AB ．因为AB ⊥BC ，所以GH ⊥BC ．又H 为BC 的中点，所以EF ∥HC ，EF ＝HC ，所以四边形EFCH 是平行四边形，所以CF ∥HE ．因为CF ⊥BC ，所以HE ⊥BC ．又HE ，GH ⊂平面EGH ，HE ∩GH ＝H ，所以BC ⊥平面EGH ．又BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面EGH ．例5．（2022·全国·高一期中）在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是AB 、AD 的中点，E 、F 、P 分别是11B C 、1BB 、1DD 的中点.(1)证明：MN ∥平面11BDD B ；(2)证明：1CA MN ⊥；(3)请判断直线EF 与平面MNP 位置关系（不需说明理由）.【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解；(3)EF ⊂平面MNP ．【解析】【分析】（1）因为MN BD ∥，根据线面平行判定即可证明；（2）先证MN ⊥平面1A AC ，根据线面垂直性质即可证明线线垂直；（3）连接11C D 中点G 如图所示即可判断结果．(1)∵MN BD ∥，MN ⊂面11BDD B ，BD ⊂平面11BDD B ，∴MN ∥平面11BDD B ；(2)1AA ⊥平面ABCD ，MN ⊂平面ABCD ，∴1AA MN ⊥∵AC BD ⊥，MN BD ∥∴AC MN ⊥．又∵1AA AC A =，∴MN ⊥平面1A AC ，∴1CA MN ⊥．(3) EF ⊂平面MNP例6．（2022·河南开封·高一期中）在条件①AC BC ⊥；②1AB AC =；③平面1AB C ⊥平面11BB C C 中任选一个，补充到下面的问题中，并给出问题解答．问题：如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC CC =，且________，求证：11BC AB ⊥．【答案】证明见解析【解析】【分析】选条件①：将证明11BC AB ⊥转化为证明1BC ⊥平面1AB C ，再根据线面垂直的判定定理分析所需条件，将所需条件不断转化为线线垂直、线面垂直，结合已知可证；选择②：设11BC B C M ⋂=，连接AM ，利用等腰三角形的性质可证1BC ⊥平面1AB C ，然后可证；选择③：根据面面垂直的性质定理可证1BC ⊥平面1AB C ，然后可证.【详解】（情况一）补充条件①AC BC ⊥．证明：在直棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，因为AC ⊂平面ABC ，所以1BB AC ⊥．因为1,⊥=AC BC BC BB B ，BC ⊂平面11BB C C ，1BB ⊂平面11BB C C所以AC ⊥平面11BB C C ．因为1BC ⊂平面11BB C C ，所以1AC BC ⊥，因为1BC CC =，所以四边形11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥．因为1AC B C C ⋂=，AC ⊂平面1AB C ，1B C ⊂平面1AB C所以1BC ⊥平面1AB C ．因为1AB ⊂平面1AB C ，所以11BC AB ⊥．（情况二）补充条件②1AB AC =．证明：设11BC B C M ⋂=，连接AM ．因为1AB AC =，M 为1BC 的中点，所以1AM BC ⊥．因为1BC CC =，所以四边形11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥．因为AM ⊂平面11,AB C B C ⊂平面11,=AB C AMB C M ，所以1BC ⊥平面1AB C ．因为1AB ⊂平面1AB C ，所以11BC AB ⊥，（情况三）补充条件③平面1AB C ⊥平面11BB C C ．证明：在棱柱111ABC A B C -中，因为1BC CC =，所以四边形11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥．因为平面1AB C ⊥平面11BB C C ，平面1AB C平面1111,=⊂BB C C B C BC 平面11BB C C ，所以1BC ⊥平面1AB C ．因为1AB ⊂平面1AB C ，所以11BC AB ⊥．例7．（2022·全国·高一课时练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，,E F 分别为,AD PB 的中点．(1)求证：PE BC ⊥；(2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ；【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到PE AD ⊥，再根据//BC AD 可得PE BC ⊥；（2）根据面面垂直的性质定理得到AB ⊥平面PAD ，进一步得到AB PD ⊥，再根据线面垂直的判定定理得到PD ⊥平面PAB ，最后根据面面垂直的判定定理可证平面PAB ⊥平面PCD .(1)因为PA PD =，E 为AD 的中点，所以PE AD ⊥.因为底面ABCD 为矩形，所以//BC AD ，所以PE BC ⊥.(2)因为底面ABCD 为矩形，所以AB AD ⊥.又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD ，所以AB PD ⊥.又因为PA PD ⊥，PA AB A =，所以PD ⊥平面PAB .因为PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.例8．（2022·山西·大同一中高一阶段练习）如图，在四面体P ABD中，AD⊥平面P AB，PB ⊥P A(1)求证：PB⊥平面APD；(2)若AG⊥PD，G为垂足，求证：AG⊥BD．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质有AD PB⊥，再根据线面垂直的判定证结论.（2）由（1）及面面垂直的判定可得面PBD⊥面APD，再由面面垂直的性质有AG⊥面PBD，根据线面垂直的性质即可证结论.(1)由AD⊥平面P AB，PB⊂面PAB，则AD PB⊥，又PB⊥P A，PA AD A⋂=，则PB⊥平面APD；(2)由（1）及PB⊂面PBD，则面PBD⊥面APD，=，AG⊥PD，AG⊂面APD，又面PBD面APD PD所以AG⊥面PBD，而BD⊂面PBD，所以AG⊥BD．【过关测试】一、单选题1．（2022·江苏·海安县实验中学高一期中）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据线面平行的判定定理，结合图形逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】⋂=，连接QO，对于A：如图所示，连接BC、DE，设BC DE O∕∕，因为Q、O分别为所在棱的中点，所以AB QOMNQ Q，即直线QO与平面MNQ不平行，又QO⋂平面=所以直线AB与平面MNQ不平行，故A符合题意；对于B：如图所示，取DG的中点E，连接CB、AD、EQ、NE，则////MQ CB MN AC ，，且AC CB C MNMQ M ==，，所以平面//ACBD 平面MNQE ，又AB 平面ACBD ，AB ⊄平面MNQ ，所以AB ∕∕平面MNQ ，故B 不符合题意.对于C ：如图所示，连接DC ，则//AB DC ，因为M 、Q 为所在棱的中点，所以//MQ DC ，又MQ 平面MNQ ，DC ⊄平面MNQ ，所以//DC 平面MNQ ，所以//AB 平面MNQ ，故C 不符合题意；对于D ：如图所示，连接DC ，//AB DC ，因为Q 、N 为所在棱的中点，所以NQ CD ∕∕，所以//AB NQ ，又NQ ⊂平面MNQ ，AB ⊄平面MNQ ，所以AB ∕∕平面MNQ ，故D 不符合题意.故选：A.2．（2022·广东·海珠外国语实验中学高一期中）已知平面α平面l β=，直线//,//a a αβ，则直线a 与l 的位置关系是（） A ．平行或异面 B ．相交 C ．平行 D ．异面【答案】C【解析】【分析】过a 作平面m γα=、n ηβ=，由线面平行的性质得//m a 、//n a ，即//m n ，根据线面平行判定及性质有//m l ，最后由平行公理的推论判断直线a 与l 的位置关系.【详解】过a 作平面m γα=，//a α，则//m a ，过a 作平面n ηβ=，//a β，则//n a所以//m n ，m β⊄，n β⊂，则//m β，而m α⊂，平面α平面l β=，则//m l ，综上，//a l .故选：C3．（2022·广东·广州市第四十一中学高一阶段练习）已知直线m 、n 和平面αβ、，下列命题正确的是（）A ．若,m n n α∥∥，则m αB ．若,,m n m n ααβ⊂∥∥、，则αβ∥C ．若,,m n αβαβ⊂⊂∥，则m n ∥D ．若α∥,m ββ⊂，则m α 【答案】D【解析】【分析】本题考查平行关系的理解，常见错误有对平行线传递性的误解以及平行相关定义、定理的条件结论理解错误．【详解】A 中，可知m 与n 的位置关系：平行或相交或异面，A 不正确；B 中，根据面面平行的判定定理，前提m 与n 必须相交，B 不正确；C 中，可知m 与n 的位置关系：平行或异面，C 不正确；D 中，若α∥β，则平面α内任一条直线均平行平面β，D 正确．故选：D ．4．（2022·江苏省太湖高级中学高一期中）已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥nB ．若m ∥n ，m α⊄, n ⊂α则m ∥αC ．若m ∥α, n ∥α，m β⊂，n β⊂，则α∥βD ．若m ∥α，n ∥β， α∥β，则m ∥n【答案】B【解析】【分析】利用直线和平面平行的判定定理和直线与平面平行的性质定理即可求解.【详解】对于选项A ,由直线和平面的性质定理可知，直线m 只能和过这条直线的任意平面与平面α的交线平行，则直线m 和n 不一定平行，则A 不正确；对于选项B ，利用直线与平面平行的判定定理可知选项B 正确；对于选项C ，平面α和平面β可能相交，则选项C 不正确，对于选项D ，直线m 和直线n 可能相交或异面，则D 不正确；故选：B .5．（2022·全国·高一课时练习）下列说法中正确的是（）①过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直；②过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直；③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行；④过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直．A ．①②③B ．①③④C ．②③D ．②③④ 【答案】A【解析】【分析】根据空间中线面的关系，可以求解.【详解】由线面垂直的性质及线面平行的性质知①②③正确；④错，过直线外一点作平面与直线垂直，则平面内过这一点的所有直线都与该直线垂直．故选:A6．（2022·全国·高一课时练习）在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点P 是线段BC 1上任意一点，则下列结论中正确的是（）A ．AD 1⊥DPB ．AP ⊥B 1C C ．AC 1⊥DPD ．A 1P ⊥B 1C【答案】B【解析】【分析】由正方体的性质有B 1C ⊥BC 1，B 1C ⊥AB ，再根据线面垂直的性质判断B ，根据正方体性质判断A 、C 、D.【详解】在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，DP 与1BC 不垂直，而11//AD BC ，即DP 与1AD 也不垂直，A 错误；因为B 1C ⊥BC 1，B 1C ⊥AB ，BC 1∩AB ＝B ，所以B 1C ⊥平面ABC 1D 1，因为点P 是线段BC 1上任意一点，即AP 面ABC 1D 1，所以AP ⊥B 1C ，B 正确；若E 为AB 中点，则1//AC PE ，而DP 与PE 不垂直，则1AC 不与DP 垂直，C 错误；由下图知：结合正方体性质知，1A P 与1B C 不垂直，D 错误.故选：B7．（2022·全国·高一课时练习）如图，正四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是直线BD 上的动点，则（）A ．存在点G ，使PG ⊥EF 成立B ．存在点G ，使FG ⊥EP 成立C ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立D ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立【答案】C【解析】【分析】A 选项假设PG ⊥EF ，证得AC ⊥面ABD ，与题设矛盾即可判断；B 选项由PE BF ∥求出异面直线,PE FG 的夹角小于2π即可判断；C 选项取CD 中点N ，过B 作BH AN ⊥于H ，先证BH ⊥面ACD ，再由BH 与面EFG 相交即可判断；D 选项直接证明当G 与BD 中点M 重合时，面ABD ⊥面EFG 即可.【详解】在A 中，取BD 中点M ，连接,AM CM ，易得,AM BD CM BD ⊥⊥，,AM CM ⊂面ACM ，AM CM M ⋂=，故BD ⊥面ACM ，又AC ⊂面ACM ，故BD AC ⊥，若PG ⊥EF ，,PG BD ⊂面ABD ，PG BD G ⋂=，则AC ⊥面ABD ，显然不成立，故不存在点G ，使PG ⊥EF 成立，故A 错误；在B 中，连接,BF DF ，易得PE BF ∥，故BFG ∠或其补角即为异面直线,PE FG 的夹角，不妨设3AB =，在ABF 中，由余弦定理2222cos 3BF AB AF AB AF π=+-⋅⋅，即22213223272BF =+-⨯⨯⨯=，解得7BF 7DF =在BFD △中，222779cos 0227BF DF BD BFD BF DF +-+-∠==>⋅⨯，则2BFD π∠<，显然2BFG BFD π∠<∠<，故不存在点G ，使FG ⊥EP 成立，故B 错误；在C 中，取CD 中点N ，连接,AN BN ，过B 作BH AN ⊥于H ，易得,BN CD AN CD ⊥⊥，,AN BN ⊂面ABN ，AN BN N =，故CD ⊥面ABN ，又BH ⊂面ABN ，故CD BH ⊥，又,AN CD ⊂面ABN ，AN CD N ⋂=，故BH ⊥面ACD ，若平面EFG ⊥平面ACD ，则BH ⊂面EFG 或BH 面EFG ，显然BH 与面EFG 相交，故不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立，故C 正确；在D 中，当G 与BD 中点M 重合时，由A 选项知有BD ⊥面ACM ，即BD ⊥面EFG ，又BD ⊂面ABD ，故面ABD ⊥面EFG ，故存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立，故D 错误．故选：C ．8．（2022·内蒙古·呼和浩特市教育教学研究中心高一期末）如图，在三棱锥P ABC -中，不能证明⊥AP BC 的条件是（）A ．BC ⊥平面APCB ．AP PC ⊥，AP PB ⊥ C ．PC BC ⊥，平面APC ⊥平面BPCD ．BC PC ⊥，AB BC ⊥【答案】D【解析】【分析】 A 选项利用线面垂直（BC ⊥平面APC ）可推出线线垂直（⊥AP BC ），B 选项利用两组线线垂直（AP PC ⊥，AP PB ⊥）推出线面垂直（AP ⊥平面BPC ），再推出线垂直（⊥AP BC ），C 选项利用面面垂直的性质定理可推出⊥AP BC ，D 选项不能证明出⊥AP BC .【详解】BC ⊥平面APC ，AP ⊂平面APC ，BC AP ∴⊥ ，故A 选项可以证明，因此不选.AP PC ⊥，AP PB ⊥，,,PC PB P PC PB ⋂=⊂平面BPC ，AP ∴⊥平面BPC ，BC ⊂平面BPC ，BC AP ∴⊥.故B 选项可以证明，因此不选.平面APC ⊥平面BPC ，平面APC 平面=BPC PC ，PC BC ⊥，由面面垂直的性质定理知BC ⊥平面APC .AP ⊂平面APC ，BC AP ∴⊥，故C 选项可以证明，因此不选.由D 选项BC PC ⊥，AB BC ⊥并不能推出⊥AP BC .故选：D.二、多选题9．（2022·江苏·盐城中学高一期中）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 是11B CD 内部（不包括边界）的动点，若11AP B D ⊥，则线段AP 长度的可能取值为（）A ．1110B 23C ．65D 5 【答案】BC【解析】【分析】利用线面垂直得线线垂直，从而确定点P 的轨迹，再根据平面几何的知识求距离的最大、最小值，判断选项即可.【详解】取11B D 中点O ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11AB AD =，O 是11B D 的中点，11B D AO ∴⊥，同理11B D OC ⊥，11B D ∴⊥面AOC ，又点P 是11B CD 内部（不包括边界）的动点，11AP B D ⊥P ∴一定在线段OC 上运动在AOC △中，6AO CO ==2AC = 故cos OCA ∠=132AC OC =26sin 1cos OCA OCA ∠=-∠，故A 到OC 的距离23sin d AC OCA =⋅∠=232AP ≤故选BC ．10．（2022·广东·广州市白云中学高一期中）在三棱锥P ABC -中，从顶点P 向底面作垂线，垂足是H ，给出以下命题中正确的是（）A ．若,PA BC PB AC ⊥⊥，则H 是ABC 的垂心B ．若,,PA PB PC 两两互相垂直，则H 是ABC 的垂心C ．若PA PB PC ==，则H 是ABC 的外心D ．若H 是AC 的中点，则PA PB PC ==【答案】ABC【解析】【分析】作出图形，结合选项逐项分析即可求出答案.【详解】由题意知PH ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，所以PH BC ⊥，又因为PA BC ⊥，且PA PH P =，所以BC ⊥平面PAH ，又AH ⊂平面PAH ，因此BC AH ⊥；同理AC BH ⊥，所以H 是ABC 的垂心，故A 正确；由题意知PH ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，所以PH BC ⊥，又因为PA PC ⊥，PA PB ⊥，且PC PB P =，所以PA ⊥平面PBC ，又因为BC ⊂平面PBC ，所以PA BC ⊥，且PA PH P =，所以BC ⊥平面PAH ，又AH ⊂平面PAH ，因此BC AH ⊥；同理AC BH ⊥，所以H 是ABC 的垂心，故B 正确；PH ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，AB 平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以,,⊥⊥⊥PH AB PH AC PH BC ，又因为PA PB PC ==，所以≅≅Rt PAH Rt PBH Rt PCH ，因此AH BH CH ==，所以H 是ABC 的外心，故C 正确；由题意知PH ⊥平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以PH AC ⊥，又H 是AC 的中点，所以PA PC =，当12BH AC =时，有PA PB PC ==，当12≠BH AC ，PA PC PB =≠，故D 不一定成立；故选：ABC.11．（2022·云南师大附中高一期中）已知m ，n 是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（） A ．若m α⊂，n ⊂α，m n P =，//m β，//n β，则//αβB ．若m α⊥，m n ⊥，//αβ，则//n βC ．若//m α，//m β，n αβ=，则//m nD ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥【答案】ACD【解析】【分析】A 根据面面平行的判定判断；B 由线面、面面位置关系，结合平面的基本性质判断；C 过m 作平面l γα⋂=，由线面平行性质及平行公理的推论判断；D 由面面垂直的判定判断.【详解】A ：由//m β，//n β且,m n α⊂，m n P =，根据面面平行的判定知：//αβ，正确；B ：m α⊥，m n ⊥，//αβ，则//n β或n β⊂，错误；C ：过m 作平面l γα⋂=，而//m α，则//m l ，又//m β则l β//，n αβ=，故//l n ，所以//m n ，正确；D ：由m α⊥，m β⊂，根据面面垂直的判定知：αβ⊥，正确.故选：ACD12．（2022·河北省唐县第一中学高一期中）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，BC CD ⊥，AB CD ∥，3BC =12AA AB AD ===，点P ，Q ，R 分别在棱1BB ，1CC ，1DD 上，若A ，P ，Q ，R 四点共面，则下列结论正确的是（）A ．任意点P ，都有AP QR ∥B ．存在点P ，使得四边形APQR 为平行四边形C ．存在点P ，使得BC ∥平面APQRD ．存在点P ，使得△APR 为等腰直角三角形【答案】AC【解析】【分析】根据面面平行的性质，结合假设法逐一判断即可.【详解】对于A ：由直四棱柱1111ABCD A B C D -，//AB CD ，所以平面11//ABB A 平面11DCC D ，又因为平面APQR ⋂平面11ABB A AP =，平面APQR ⋂平面11DCC D QR =，所以//AP QR ，故A 正确；对于B ：若四边形APQR 为平行四边形，则//AR QP ，而AD 与BC 不平行，即平面11ADD A 与平面11BCC B 不平行，所以平面APQR ⋂平面11BCC B PQ =，平面APQR ⋂平面11ADD A AR =，直线PQ 与直线AR 不平行，与//AR QP 矛盾，所以四边形APQR 不可能是平行四边形，故B 不正确；对于C ：当BP CQ =时，R 为D 时，满足//BC 平面APQR ，故C 正确.对于D ：假设存在点P ，使得APR △为等腰直角三角形，令BP x =，过点D 作DE AB ⊥，则3DE BC ==DR 上取一点M 使得DM BP x ==，连接,BD PM ，则四边形BDMP 为矩形，所以2MP BD ==，则()2224PR PM MR DR x =+=+- 2224AP PB AB x +=+2224AR DR AD DR =+=+显然,AR PR AP PR ≠≠，若由AP AR =，则BP DR x ==且//BP DR ⇒四边形BPDR 为平行四边BPDR ，所以2222228282RP BC CD AP BP x +=++D 错误；故选：AC.【点睛】关键点睛：运用假设法进行求解是解题的关键.三、填空题13．（2022·广东·广州市白云中学高一期中）正四棱锥S ABCD -的底面边长为a ，侧棱长为2a ，点P ，Q 分别在BD 和SC 上，并且:1:2=BP PD ，//PQ 平面SAD ，则线段PQ 的长为__________． 66a 【解析】【分析】过P 作//PM BC ，交CD 于M ，连结QM ，即可证明平面//PQM 平面SAD ，根据面面平行的性质得到//MQ SD ，再分别求出PM 、QM ，利用余弦定理求出cos ADS ∠，由此利用余弦定理能求出线段PQ 的长．【详解】解：如图，过P 作//PM BC ，交CD 于M ，连结QM ，正四棱锥S ABCD -的底面边长为a ，侧棱长为2a ，点P ，Q 分别在BD 和SC 上， :1:2=BP PD ，//PQ 平面SAD ，因为//PM BC ，//AD BC ，所以//PM AD ，PM ⊄平面SAD ，AD ⊂平面SAD ，所以//PM 平面SAD ，又PM PQ P =，,PM PQ ⊂平面PQM ，所以平面//PQM 平面SAD ，平面PQM平面SDC MQ =，平面SDC 平面SAD SD =， //MQ SD ∴，2233PM BC a ∴==， //QM SD ∴，1233QM SD a ∴==， //SD QM ，//AD MP ，PMQ ADS ∴∠=∠，222222441cos 2224AD SD SA a a a ADS AD SD a a +-+-∠===⨯⨯⨯⨯， 22222244162cos 299492233a PQ PM QM PM QM PMQ a a a a =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 6PQ ∴=． ∴线段PQ 6．6 14．（2022·广东·海珠外国语实验中学高一期中）如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形.其侧面展开图是边长为4的正方形，E 、F 分别是侧棱11,AA CC 上的动点，点P 在棱1AA 上，且1AP =，若//EF 平面PBD ，则EF 的长=___________.6【解析】【分析】连接AC 与BD 交于点O ，取PQ =AP =1，连接QC ，得到//OP QC ，再由//EF 平面PBD ，利用线面平行的性质得到//EF OP ，进而得到//EF QC 求解.【详解】解：因为长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，所以底面边长为1AD =，高为14AA =，如图所示：连接AC 与BD 交于点O ，取PQ =AP =1，连接QC ，则//OP QC ，因为//EF 平面PBD ，且EF ⊂平面1A ACC ，平面11A ACC ⋂平面BPD OP =，所以//EF OP ，则//EF QC ，又//QE CF ，所以四边形QEFC 是平行四边形，所以26EF QC OP ===615．（2022·浙江浙江·高一期中）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，Q 为线段AD 的中点，P 为正方体内部及其表面上的一动点，且1PQ BD ⊥，则满足条件的所有点P 构成的平面图形的的周长等于________.【答案】32【解析】【分析】分别取111111,,,,CD CC B C A B A A 的中点E ，N ，M ，G ，F ，易证AC ⊥平面11D DBB ，则1AC BD ⊥，从而1QE BD ⊥，同理1QF BD ⊥，由线面垂直判定定理得到1BD ⊥平面ENMGFG ，进而得到所有点P 构成的平面图形为正六边形ENMGFG 求解.【详解】如图所示：分别取111111,,,,CD CC B C A B A A 的中点E ，N ，M ，G ，F ，则//QE AC ，易知AC BD ⊥，1AC DD ⊥，又1DD BD D =，所以AC ⊥平面11D DBB ，则1AC BD ⊥，所以1QE BD ⊥，同理 1QF BD ⊥，又1QE QF Q ⋂=，所以1BD ⊥平面ENMGFG ，即所有点P 构成的平面图形为正六边形ENMGFG ，因为正方体的棱长为1，所以正六边形ENMGFG 2，所以正六边形ENMGFG 2632= 故答案为：3216．（2022·全国·高一专题练习）如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E ，要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为________．【答案】12##0.5【解析】【分析】根据线面垂直得到线线垂直，根据三角形面积求出DE 3求出线段B 1F 的长.【详解】设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h . 又11AB A S =122＝221222+ ，所以h 23DE 3 在Rt △DB 1E 中，B 1E 2223623⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 在Rt △DB 1F 中，由面积相等得：2216212222x x ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得：x ＝12.即线段B 1F 的长为12.故答案为：12四、解答题17．（2022·江苏·无锡市第一中学高一期中）如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，AC BC ⊥，点D 是AB 的中点.(1)求证1AC B C ⊥；(2)求证：1//AC 平面1CDB .【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由侧棱与底面垂直可得1CC AC ⊥，结合AC BC ⊥，可得AC ⊥平面11BCC B ，即可得证；（2）连接1C B ，设1CB 与1C B 的交点为E ，连接DE ，则E 为1BC 中点，利用中位线的性质可知1//DE AC ，进而即可证明结论.(1)证明：在三棱柱111ABC A B C -中，因为1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1CC AC ⊥，又AC BC ⊥，1CC AC C =，1CC ，BC ⊂平面11BCC B ，所以AC ⊥平面11BCC B ，又1B C ⊂平面11BCC B ，所以1AC B C ⊥.(2)证明：连接1C B ，设1CB 与1C B 的交点为E ，连接DE ，则E 为1BC 中点，因为点D 是AB 的中点，所以1//DE AC ，因为DE ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，所以1//AC 平面1CDB .18．（2022·广东·广州六中高一期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥底面ABCD ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证：(1)//BE 平面PAD ；(2)CD ⊥平面BEF ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据线面平行的判定定理证明//BE 平面PAD ；(2)先根据平面与平面垂直的性质定理证明AB ⊥平面PAD ，再根据线面垂直的判定定理证明CD ⊥平面BEF ．(1)因为E 是CD 的中点，2CD AB =，所以AB DE =，因为//AB CD ，所以//AB DE ，所以四边形ABED 为平行四边形，所以//BE AD ，BE ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以//BE 平面PAD ；(2)因为平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD 底面ABCD AD =，AB AD ⊥，AB 底面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD ，又//AB CD ，所以CD ⊥平面PAD ，,AD PD ⊂平面PAD ，所以，CD AD ⊥，CD PD ⊥，因为//BE AD ，所以CD BE ⊥，因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点，所以//EF DP ，又CD PD ⊥，所以CD EF ⊥，BE EF E =，,BE EF ⊂平面BEF ，所以CD ⊥平面BEF ．19．（2022·山西·大同一中高一阶段练习）如图，等腰梯形ABCD 中，AD ＝DC ＝BC ＝2，AB ＝4，E 为AB 的中点，将△ADE 沿DE 折起、得到四锥P －DEBC ，F 为PC 的中点，M 为EB 的中点(1)证明：FM //平面PDE ；(2)证明：DE ⊥PC ；(3)当四棱锥P －DEBC 的体积最大时，求三棱锥E －DCF 的体积．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)12.【解析】【分析】（1）连接CM 并延长与DE 延长线交于G ，在△CPG 中//FM PG ，根据线面平行的判定即可证结论.（2）H 为DE 中点，连接,PH CH ，易得DEBC 为平行四边形、△PDE 为等边三角形且60EDC ∠=︒，进而可得PH DE ⊥、CH DE ⊥，再根据线面垂直的判定、性质证明结论. （3）首先确定四棱锥P －DEBC 的体积最大时面PDE ⊥面DEBC ，再确定P －DEBC 的体高，并求得F 到面DEBC 的距离，由E DCF F DEC V V --=及棱锥的体积公式求体积.(1)连接CM 并延长与DE 延长线交于G ，则G 在面PDE 内，M 为EB 的中点，则M 为CG 中点，在△CPG 中//FM PG ，又PG ⊂面PDE ，FM ⊄面PDE ，所以FM //平面PDE .(2)若H 为DE 中点，连接,PH CH ，由题设//CD EB 且2CD EB ==，即DEBC 为平行四边形，则2DE BC ==，所以△PDE 为等边三角形，故PH DE ⊥，又ABCD 为等腰梯形，则60EBC ∠=︒ 所以60EDC ∠=︒，又1DH =，2CD =，易知：CH DE ⊥，又PHCH H =，则DE ⊥面PHC ，PC ⊂面PHC ，故DE ⊥PC . (3)当四棱锥P －DEBC 的体积最大时，面PDE ⊥面DEBC ，则△PDE 的高PH 即为四棱锥P －DEBC 的体高，又F 为PC 的中点，所以F 到面DEBC 的距离32PH h ==，由（2）易知DEBC 为边长为2的菱形，又132DEC DEBC S S =1132E DCF F DEC DEC V V hS --===. 20．（2022·湖南·长沙市南雅中学高一期中）已知正方体1111-ABCD A B C D ．(1)求证：AD1//平面1C BD ；(2)求证：1AD ⊥平面1A DC ．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，证明11//AD BC ，再利用线面平行的判定推理作答.（2）利用线面垂直的性质证明1CD AD ⊥，再利用线面垂直的判定推理作答.(1)在正方体1111ABCD A B C D -中，1111////C D A B AB ，1111C D A B AB ==，则有四边形11ABC D 是平行四边形，有11//AD BC ，而1BC ⊂平面1C BD ，1AD ⊄平面1C BD ，所以1//AD 平面1C BD ．(2)在正方体1111ABCD A B C D -中，CD ⊥平面11A ADD ，1AD ⊂平面11A ADD ，则1CD AD ⊥，在正方形11A ADD 中，11A D AD ⊥，又1A D CD D =，1,A D CD ⊂平而1A DC ，所以1AD ⊥平而1A DC ．21．（2022·云南昆明·高一期中）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，1AA ⊥平面ABCD ，E 为1AA 中点，12AA AB ==.(1)求证：1AC ∥平面11B D E ；(2)求三棱锥11A B D E -的体积；(3)在1AC 上是否存在点M ，满足1AC ⊥平面11MB D ？若存在，求出AM 的长；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析 3(3)32【解析】【分析】（1）连11A C 交11B D 于点F ，连EF ，由中位线定理以及线面平行的判定证明即可；（2）过1B 作111⊥B H D A 的延长线于点H ，由线面垂直的判定证明1B H ⊥平面11AA D D ，最后由1111113AED B AED V S B H =⋅三棱锥-△得出体积；（3）由线面垂直的性质证明111AC B D ，作1⊥FM AC ，垂足为M ，由线面垂直的判定证明1AC ⊥平面11MB D ，最后得出AM 的长.(1)证明：连11A C 交11B D 于点F ，连EF ，∵1111D C B A 是菱形，∴F 是11A C 中点，∵E 是1AA 中点，∴1∥EF AC ，∵EF ⊂平面11B D E ，1AC ⊄平面11B D E ，∴1AC ∥平面11B D E .(2)解：过1B 作111⊥B H D A 的延长线于点H ，由1AA ⊥底面ABCD 知1AA ⊥平面1111D C B A ，则11⊥AA B H ，又1111=⋂AA A A ，1B H ⊥平面11AA D D .由11160∠=∠=︒A B C ABC 知1160︒∠=A H B ，又112A B =，则13B H =1111111113123332AED A B D E B AED V V S B H --==⋅=⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥 (3)解：∵1AA ⊥平面ABCD ，平面1111∥A B C D 平面ABCD ，∴1AA ⊥平面1111D C B A ，∵11B D ⊂平面1111D C B A ，∴111⊥B D AA ，∵菱形1111D C B A 中1111B D A C ⊥，1111A C AA A =，11A C ，1AA ⊂平面11AA C ，∴11B D ⊥平面11AA C ，又1AC ⊂平面11AA C ，∴111AC B D ，过F 在11Rt AAC △中，作1⊥FM AC ，垂足为M ，则由11⋂=M B F D F ，FM ，11B D ⊂平面11MB D 知1AC ⊥平面11MB D ，∴存在M 满足条件，在11Rt AAC △中，1112AA AC ==，122AC =F 是11A C 中点， ∴12==C M FM 23222==AM 22．（2022·江苏·盐城中学高一期中）如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2，3PC =E 是线段PC 上的一点，()R PE EC λλ=∈．(1)试确定实数λ，使//PA 平面BED ，并给出证明；(2)当2λ=时，证明：PC ⊥平面BED ．【答案】(1)1λ=，证明见解析。

立体几何平行垂直的证明

空间平行、垂直的判定与证明题型一线面平行的证明12.上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有： ①利用三角形、梯形中位线的性质；②利用平行四边形的性质；③利用平行线分线段成比例定理． ④构造面面平行1、如图，PAD ∆是边长为3的等边三角形，四边形ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD .点E 、F 分别为CD 、PD 上的点，且12PF CE FD ED ==，点G 为AB 上的一点，且12AG GB =.求证： //PG 平面AEF ；2、如图所示，P 是ABCD Y 所在平面外一点，E 、F 分别在PA 、BD 上，且PE ∶EA ＝BF ∶FD ．求证：EF ∥平面PBC ．12第一步：在一个平面内找出两条相交直线；第二步：证明这两条相交直线分别平行于另一个平面的一组交线；第三步：利用平面与平面平行的判定定理得出结论．1、如图所示的多面体中，下底面ABCD Y 与上底面111A B C 平行，且111////AA BB CC ，1122,,3AB AC AA A AC AC BC π==∠=⊥，平面11ACC A ⊥平面ABC ，点M 为11B C 的中点．过点1B 作一个平面α与平面AMC 平行，并说明理由；2、已知四棱锥中，平面，底面是边长为的正方形，与交于点，为的中点，，为中点，为上一点，且. 证明：平面；利用线面平行的性质定理证明线线平行一条直线与一个平面 ,则过这条直线的任一平面与此平面的与该直线平行.//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒I1、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，EF ⊥1A D ，EF ⊥AC ，求证：⑴1BD ⊥平面11A C D ；⑵1//EF BD ．2、如图，在多面体111A B D DCBA ，四边形11AA B B ，11,ADD A ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1,,A D E 的平面交1CD 于F. 证明：1//EF CB.3、已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH .求证：AP ∥GH.FEA B C DA 1B 1C 1D 112．利用判定定理证明直线与平面垂直的一般步骤:分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．常见的垂直关系： ①直线与平面垂直则直线与平面内任意一条直线都垂直；②三角形全等、等腰三角形底边的角平分线、中线、高三线合一；③菱形、正方形的对角线垂直平分；④三角形中勾股定理的逆定理等都是找线线垂直的方法．1、如图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD ＝2EC ， (Ⅰ)求证：BE ∥平面PDA ；②若N 为线段PB 的中点，求证：EN ⊥平面PDB.2、如图,三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =,160BAA ∠=.(Ⅰ)证明:1AB AC ⊥; (Ⅱ)若2AB CB ==,1AC =求三棱柱111ABC A B C -的体积. 11．平面与平面垂直的判定定理21、如图，已知AB ⊥平面ACD ，∥DE AB ，△ACD 是正三角形，2AD DE AB ==，且F 是CD 的中点.(1)求证：∥AF 平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .2、如图，四边形是矩形，沿对角线将折起，使得点在平面上的射影恰好落在边上．求证：平面平面；1、如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置.(1)证明：AC ⊥HD ′； (2)若AB ＝5，AC ＝6，AE ＝54，OD ′＝22，求五棱锥D ′－ABCFE 的体积.2、如图，四面体ABCD 中，ABC D 是正三角形，AD CD =(Ⅰ)证明：AC BD ^；(Ⅱ)已知ACD D 是直角三角形, AB BD =,若E 为棱BD 上与D 不重合的点,且AE EC ^,求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比.3、如图1，已知矩形ABCD 中，点E 是边BC 上的点，DE 与AC 相交于点H ，且1CE =，AB =3BC =，现将ACD ∆沿AC 折起，如图2，点D 的位置记为D '，此时ED '=．(Ⅰ)求证：D H AE '⊥.1．如图，已知四棱锥P –ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，∥BC AD ，CD ⊥AD ，PC =AD =2DC =2CB ，E 为PD 的中点．证明：∥CE 平面PAB .2．如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点．证明：直线CE ∥平面P AB .3．如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ．证明：平面ACD ⊥平面ABC .4．由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1- B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD.(1)证明：1A O∥平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.5．如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．6．在如图1-4所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1.(2)设D,E分别是线段BC,CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．。

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N
M
P
C B
A
新课标立体几何常考证明题汇总
考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角
1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点（1）求证：EFGH 是平行四边形
（2）若BD=23，AC=2，EG=2。

求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。

考点：线面垂直，面面垂直的判定
2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。

求证：（1）⊥AB 平面CDE;
（2）平面CDE ⊥平面ABC 。

考点：线面平行的判定
3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，求证： 1//A C 平面BDE 。

考点：线面垂直的判定
4、已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．
考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.
求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1
AC ⊥面11AB D ．
考点：线面平行的判定（利用平行四边形）
7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形
8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且2
2
EF AC =， 90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD
考点：三垂线定理 9、如图P 是ABC ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N
是AB 上的
A
E D 1
C
B 1 D
C B
A
A
H
G F
E
D C B
A
E
D
B C S
D
C
B A
A 1 A
B 1
C 1 C
D 1
D G E
F
D 1
O
D
B
A
C 1
B 1
A 1
C
点，3AN NB =
（1）求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=，24AB BC ==时，求MN 的长。

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）
10、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG .
考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定 11、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//A C 平面BDE ；（2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE . 考点：线面垂直的判定,构造直角三角形
12、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点．
（1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．
考点：线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）
13、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是0
60DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，
且平面PAD 垂直于底面ABCD ．
（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ；（2）求证：AD PB ⊥；
（3）求二面角A BC P --的大小．
考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直
14、如图1,在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1A O ⊥平面MBD ．考点：线面垂直的判定
15、如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ．
考点：线面垂直的判定，三垂线定理
16、证明：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C ⊥平面BC
考点：面面垂直的判定（证二面角是直二面角）
17、如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，
求证：平面ABC⊥平面BSC．。