罗尔定理的进一步推广与应用
罗尔定理内容及证明
罗尔定理内容及证明罗尔定理是数学中重要的定理，它在不同的时期有不同的定义、证明和应用，它的定义、证明以及应用在一定程度上表明了拓扑的发展；因此，弄清楚罗尔定理是很有意义的。
本文从定义出发，介绍了罗尔定理的内容，然后讨论了罗尔定理的证明和应用。
一、罗尔定理的定义罗尔定理是拓扑学中的一个重要定理，由美国数学家Joseph L. Roer首次提出，故又称为“罗尔定理”。
它的定义如下：设G是一个有限的无向图，则G的每个非边界顶点都有至少三个邻接顶点。
二、罗尔定理的证明罗尔定理的证明主要分为三个部分：假设反证法、归纳法和极限技巧。
1、假设反证法假设反证法也称证明反述法，是一种常用的证明方法。
它的核心思想是假设目标结论不成立，然后通过合理推理得出一个矛盾结论，这样就可以证明目标结论的正确性。
对于罗尔定理而言，可以用假设反证法来证明：有G是一个有限的无向图，非边界顶点数为n，假设G的每个非边界顶点都有少于三个邻接顶点，也就是存在一个非边界顶点V1，有V1的邻接顶点数小于3；反证矛盾，则有G的其他n-1个非边界顶点必定都有3个邻接顶点，但此时n-1个顶点却只有n-2个，这就与G为有限无向图矛盾，所以假设不成立，即G的每个非边界顶点都有至少三个邻接顶点，即罗尔定理的结论成立。
2、归纳法归纳法是一种总结归纳的推理方法，从已知事实出发，按照归纳逻辑，对一定范围内的所有情况进行逐一分析，可以得出某种普遍结论。
对于罗尔定理而言，可以用归纳法来证明：假设G是一个有限的无向图，非边界结点数为n，那么有G的每个非边界结点的邻接结点数之和为3n，而G的边数必定小于等于3n。
通过归纳推理，可以把上述结论推广到n=1，2，3，…的情况，得出一般的结论，即G的每个非边界顶点至少有三个邻接顶点，即罗尔定理的结论。
3、极限技巧极限技巧也称定向法，是拓扑学中常用的一种证明方法。
它的核心思想是：用数量极限方法可以证明两个无关的定理及其它事实。
罗尔定理
2、费马（Fermat)引理
若函数 f ( x )在 ( a , b )内一点 x0取得最值， 且f ( x )在点x0可微，则 f ( x0 ) 0
y
y f ( x)
o a
1
2 b
x
二、
罗尔(Rolle)定理
如果函数 f ( x ) (1).在[a , b]上连续; (2).在( a , b ) 内可导; (3). f ( a ) f ( b ) . 那 么 在 ( a , b ) 内 至 少 有 一 点 ( a b ) , 使 得
则 f ( x )在[0,1]连续,
由介值定理
且 f (0) 1, f (1) 3.
x 0 (0,1), 使 f ( x 0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根.
设另有 x1 (0,1), x1 x 0 , 使 f ( x1 ) 0.
f ( x ) 在 x0 , x1 之间满足罗尔定理的条件,
至少存在一个 使得f ' ( )=0. 2、罗尔定理的结论
几何意义:曲线有水平切线. 3 、罗尔定理的条件是充分非必要条件. ' 4、罗尔定理研究的是导数方程 f (x)=0 的 根的存在性问题。
一、罗 尔（Rolle） 定 理
主讲人: 龙薇 (惠州广播电视大学)
罗尔简介
罗尔(1652-1719)法国数学家
罗尔年轻时因家境贫困，仅受过初等教育，靠自学精通了代数 和丢蕃图方程分析理论。1682年，他解决了数学家奥扎南提出的 一个数学难题，受到学术界的好评，从此他的生活有了转机。 罗尔在数学上的成就主要是在代数学方面，专长于丢蕃图方程 的研究。他在1691年出版了论著《方程的解法》这本论著本来和 微分学没有关系（当时还没有导数的概念和符号，不过根据定理 的结论恰好相当于多项式的导数）。 但在一百多年后，龙斯托.伯 拉维提斯将《方程的解法》中的一个定理推广到可微函数，并把 此定理命名为罗尔定理.
三大微分中值定理及其推广形式和应用
三大微分中值定理及其推广形式和应用
丁亚红
南京师范大学数学科学学院，南京（210046）
E-mail: dyahong@
摘 要：三大微分中值定理既有区别，又紧密相联。在这三大定理中，Rolle 定理是基础， Lagrange 中值定理是关键。本文介绍了一阶、高阶形式的中值定理及其应用。给出了一阶形 式的微分中值定理的相互证明。在高阶情形中，用高阶 Lagrange 中值定理证明了高阶 Cauchy 中值定理。其应用方面为:判断函数方程根的存在性,求极限,证明不等式,证明单调性。 关键词：中值定理，推广，应用
(1)
g (n) (ξ )
1
1L1
x0
x1 L xn
x02
x12
L
x
2 n
L LLL
x n−1 0
x n−1 1
L
x n−1 n
g(x0 ) g(x1 ) L g(xn )
3.3 用高阶 Lagrange 中值定理证明高阶 Cauchy 中值定理
在一阶形式中，我们可以运用 Lagrange 中值定理证明 Cauchy 中值定理。这里，我们将 运用高阶 Lagrange 中值定理来证明高阶 Cauchy 中值定理。
λi (x j )
= δ ij
=
⎧1,i = ⎩⎨0,i ≠
j; j.
n
∑ 则存在ξ ∈ (a,b), 使得， f (n) (ξ ) = f (xi )λ(in) (ξ ).
i=0
证 作辅助函数
n
F (x) = f (x) − ∑ f (xi )λi (x),
i=0
故
F (xi ) = 0,i = 0,1,L, n 反复运用罗尔定理，可得，存在 ξ ∈ (a, b), 使得
罗尔定理与微分中值定理
罗尔定理与微分中值定理在数学分析的领域中，罗尔定理与微分中值定理是非常重要的两个定理，它们在顺序和连续性方面提供了深刻的见解。
通过理解这两个定理，我们能够掌握函数的极值、增长和减少行为，从而为求解各种实际问题奠定基础。
一、罗尔定理1. 定义罗尔定理是微分学中的一个基本定理，描述了在某些条件下，连续可微函数的性质。
具体来说，假设函数 ( f ) 在闭区间 ([a, b]) 上是连续的，并且在开区间 ((a, b)) 上是可微的。
如果 ( f(a) = f(b) )，则存在至少一个点 ( c (a, b) )，使得( f’(c) = 0 )。
2. 准备条件连续性：函数在闭区间 ([a, b]) 上必须是连续的，这意味着没有跳跃或断点。
可微性：函数在开区间 ((a, b)) 上必须是可微的，即在该区间内的每一点都定义了导数。
边界条件：函数在端点处取值相等，即 ( f(a) = f(b) )。
3. 几何意义罗尔定理给我们提供了一个几何上的直观感受。
当我们画出函数曲线时，如果曲线在起点和终点处的高度相同，那么根据这一理论，必然在某个点上存在切线水平（即水平切线对应的导数为零），这代表着局部极值。
4. 应用罗尔定理在多个领域都有广泛应用，包括：优化问题：寻找最佳解决方案时，常常需要使用导数为零的特性来界定极值点。
函数行为分析：在研究函数的增长减少趋势时，罗尔定理可以帮助简单判断导数变化情况。
二、微分中值定理1. 定义微分中值定理，也称为拉格朗日中值定理，其内容是对罗尔定理的一种推广。
具体而言，假设函数 ( f ) 在闭区间 ([a, b]) 上是连续的，并且在开区间 ((a, b)) 上是可微的，则存在至少一个点 ( c (a, b) )，使得[ f’(c) = ]这个等式表明，在( c ) 点处的切线斜率等于整个区间端点之间的割线斜率。
2. 准备条件连续性：函数在闭区间 ([a, b]) 上继续是连续的。
罗尔定理的推广及证明
科技资讯 ＳＣＩＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
２３７
Hale Waihona Puke 罗 尔 定 理 ：若 函 数 满足：（１）在
上连续；（２）在 内可导；（３）
，则
至少存在一点
，使
。此 定 理
是 在 有 限 区 间 内 给 出 的 ，下 面 我 们 研 究 一
下如何将它推广到无限区间并给出严格证
明 。为 了 更 好 地 加 以 证 明 首 先 来 看 削 弱 定
理 条 件 后 定 理 的 正 确 性 ，并 利 用 削 弱 条 件
使
。
令
，则
，
而
故
。即 至 少 存 在 一 点
使
。证 毕 。
（２）若 函 数 满 足 ：① 在
内可
导 ；②
，则 至 少 存 在
一点
，使
。
证 明 ：与 １同 令
，
，则 ：
满 足 ：１）在
内可导；２）
，
即
。满 足 削
弱 条 件 中 定 理 的 条 件 ，故 至 少 存 在 一 点
使
。
令
，则
，而
故
。即 至 少 存 在 一 点
使 （３）若 函 数
。证 毕 。 满足：
内可导，
且
，则 至 少 存 在 一 点
，使
。
证 明 ：与 １、２同 ，
令
，
，
则： 满足：①在 ②
内可导；
即
。满 足 削 弱 条
件 中 定 理 的 条 件 ，故 至 少 存 在 一 点
罗尔定理的证明与应用案例
罗尔定理的证明与应用案例罗尔定理是微积分中的重要概念之一，它是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的。
罗尔定理是微积分中的一个基本定理，它与导数和函数的零点有关。
在本文中，我们将会介绍罗尔定理的证明以及一些应用案例。
一、罗尔定理的证明罗尔定理是微积分中的一个重要定理，它为函数在闭区间上的导数与函数在该闭区间的边界上的函数值之间建立了关系。
下面是罗尔定理的数学表述：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，且满足f(a) = f(b)，则在开区间(a, b)上至少存在一点ξ，使得f'(ξ) = 0。
证明罗尔定理的关键是使用了导数的连续性和介值定理。
首先，由于f(x)在闭区间[a, b]上连续且在开区间(a, b)上可导，根据导数的连续性定理，f'(x)在闭区间[a, b]上也连续。
然后，我们考虑函数g(x) = f(x) - f(a)，它在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导。
根据罗尔定理的条件，g(a) = g(b) = 0。
由于g(x)在闭区间[a, b]上连续且在开区间(a, b)上可导，根据介值定理，存在一个点ξ，使得g'(ξ) = 0。
而g'(ξ) = f'(ξ) - f'(a) = f'(ξ)，因此，我们得到了罗尔定理的结论：在开区间(a, b)上至少存在一点ξ，使得f'(ξ) = 0。
二、罗尔定理的应用案例罗尔定理在实际问题中有着广泛的应用。
下面我们将介绍一些罗尔定理的应用案例。
1. 寻找函数的极值点根据罗尔定理，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且满足f(a) = f(b)，则在开区间(a, b)上至少存在一点ξ，使得f'(ξ) = 0。
因此，我们可以利用罗尔定理来寻找函数的极值点。
通过求函数的导数，并找到导数为零的点，即可得到函数的极值点。
罗尔定理在函数零点问题中的应用(可编辑)
罗尔定理在函数零点问题中的应用（可编辑）罗尔定理在函数零点问题中的应用本科毕业论文题目罗尔定理在函数零点问题中的应用系别数学与信息科学学院专业数学与应用数学指导教师评阅教师班级级2班姓名学号年 5 月 10 日目录摘要…………………………………………………………………………………………………? Abstract……………………………………………………………………………………?引言……………………………………………………………………………………… (1)1概念及定理 (1)2罗尔定理在函数零点问题中的应用 (3)2.1 罗尔定理在函数零点存在性问题中的应用 (3)2.2 罗尔定理在函数零点个数问题中的应用 (4)2.3 罗尔定理在函数零点唯一性证明中的应用 (5)2.4 罗尔定理与几个特殊多项式函数的零点分布问题..........................................52.4.1 Laguerre多项式 (5)2.4.2 Hermite多项式....................................................................................6 2.4.3勒让德多项式 (8)2.5 多变元情形下的罗尔定理及其在几何学上的应用 (9)结束语……………………………………………………………………………………… (10)参考文献……………………………………………………………………………………… (11)致谢……………………………………………………………………………………… (12)摘要:在介绍了罗尔定理的基础上,通过综合应用类比法、分析法、演绎推理法将罗尔定理在一元实函数中进行了推广,得到了在“任意区间”上罗尔定理的结论成立,同时得到了在“函数在区间内除有限个点处存在正(或负)无穷的导数外,其他点均有有限导数”的情形下罗尔定理的结论仍然成立.将罗尔定理在复变函数(解析函数)中进行了推广,得到了向量值函数中的一个重要结论.结合典型例题,分析、讨论并证明了罗尔定理及推广后的罗尔定理在函数零点问题中的实际应用,同时证明了在几何学上的具体应用,用广义罗尔定理证明了三个特殊多项式,说明了罗尔定理不仅具有重要的理论意义,而且还有很好的应用价值.关键词:函数;函数零点;罗尔定理;应用Abstract: On the basis of the Rolle theorem, through analogy,combined application, analysis and deductive reasoning method, the promotion of Rolle theorem in the real function of one dollar. Thentheconclusion of Rolle Theorem set up in the “free range”. At thesame time,on the condition of “function in the range of a finite number of points in addition to positive or negative derivative of the infinite,the other points are limited derivative”, Rolle theorem remain valid. Rolle theorem promote in the complex function analytic functions.Vector-valued functions has been an important conclusion. Combined witha typical example, and analysis, discussion and proof of Rolle theoremand the promoted Rolle are application practically in the function against. At the same time, the specific application in the geometry isproved. Using the generalized Rolle theorem prove three special polynomial. Rolle theorem shows not only an important theoretical significance, but also very good practical value Key words: function; function against; rolle theorem; application引言对函数零点问题的研究一直是微积分理论研究中的一个重要课题,解决这一问题常用的工具是微积分中的零点定理、费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等,对于不同的理论和方法有不同的使用范围和各自的优缺点.罗尔定理是基于费马定理且能导出拉格朗日中值定理和柯西中值定理的一个著名定理,因此对罗尔定理的研究一直以来都是微积分理论研究中一个比较活跃的方向.根据罗尔定理,若函数在闭区间上连续、开区间内可导,则在端点和的取值就决定了内某点的微分性质,尽管的取值一般情况下不易求出,但它并不影响罗尔定理的应用.由于它的这个优越性质,将它应用于函数零点问题中就具有明显的优越性.因此,长期以来人们都想削弱罗尔定理的三个限制条件,以便将它用于更加广泛的领域.至今,人们在文献[1]-[5]中将其在一元实函数中进行了推广,将“有限区间”推广到了“任意区间、任意端值”上,并且将“处处可导”推广到了“在区间内除有限个点处存在正(或负)无穷的导数外,均有有限导数”,削弱了严格的限制,同时讨论了一些函数的零点问题.在罗尔定理的应用中,构造辅助函数十分重要.2003年,文献[6]利用找原函数的思想,通过不定积分的过程来寻求辅助函数,得到了应用罗尔定理构造辅助函数的一种方法.但罗尔定理只能用于一元实函数,能否将它推广到多元函数中呢?1995年Furi与Martelli经过研究将其推广到了向量值函数中,并将其应用到了几何学上.这样罗尔定理不仅可以用于实函数,也可以用于复变函数的零点问题中.本文根据大量的文献整理与综合,首先给出了罗尔定理及其推广形式,进而应用这些结论分析讨论了其在实函数和复变函数零点问题中的具体应用.1 概念及定理1.1 函数零点的定义如果存在实数,使得,则称为函数的零点. 函数的零点又称为方程的实根.讨论函数零点的存在性,确定函数零点的个数,证明函数零点的唯一性的问题,统称为函数的零点问题.1.2 罗尔定理[7]若函数满足如下条件:1 在闭区间上连续;2在开区间内可导;3,则在内至少存在一点,使得.罗尔定理的几何意义是说:在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相等,则至少存在一条水平切线.1.3 推广的罗尔定理推广1:若函数在有限区间或无限区间内满足:1可导;2 .则在内至少存在一点,使得.推广2:若函数满足:1在上连续;2在内除有限个点处存在正无穷或负无穷的导数外,均有有限导数;3.则在中至少存在一点,使得.推广3(广义罗尔定理):设函数在有限或无穷的区间中的任意一点处有有限的导数,且,则在中至少存在一点,使得.推广4向量值函数中的推广:设, (1)上连续; (2)内可微; (3)存在非零向量,使得对任意的成立; (4)存在非零向量,使得对任意的,恒为常数; (5)存在非零向量,使得对任意的,不变号.若除满足(1)(2)两个条件外,还满足(3)(4)(5)中的任意一个,则至少存在一点,使得(注意到为矩阵),即与向量组正交.罗尔定理仅仅适用于连续的一元实函数,推广1、2和3是对它在实函数中的进一步推广,这样可以让罗尔定理摆脱太严格的限制,同时推广的罗尔定理就可以在任意区间、任意端值上使用了,从而使其在实函数中的应用更加广阔.但是罗尔定理的最大缺陷就是只能用于一元连续实函数,因此推广4将其从本质上推广到了向量值函数中,从而能将罗尔定理从代数学中推广到几何学中,与日常的生产生活联系更加紧密.2 罗尔定理在函数零点问题中的应用零点问题就是指零点的存在性、唯一性以及个数的问题,这一问题的解决可以采用高等数学中的零点定理、费马定理、拉格朗日中值定理等微积分方法,不同的方法在不同的环境中有各自的优越性.罗尔定理在函数零点问题中的应用十分广泛,无论是零点的存在性、唯一性还是个数问题,应用罗尔定理都能得到很好的解决.2.1 罗尔定理在函数零点存在性问题中的应用在数学学科中,函数零点的存在性问题始终都是人们研究的热点课题.虽然这一问题的解决可以用零点定理,但在难以认定正负值点的时候,就需要换一种方法,其中罗尔定理就是一种很好的方法.用罗尔定理讨论函数零点问题时可以采用以下方法.对函数的原函数使用罗尔定理:若在闭区间上,并且,则在上至少存在一点,使得. 例1 设函数是定义在闭区间上的连续函数,且,证明存在,使得. 分析:如果用零点定理,则令,但的值是正还是负,难以确定,因此考虑改用罗尔定理.证明:令,则.那么 (因为),所以.又因为,所以由罗尔定理可知,存在,使得. 针对难以确定正负值点的函数零点存在性问题,采用罗尔定理能方便而又快速的给我们提供解决方法,因为它并不要求求出区间内的端点值或者说判断端点值的正负,而只需要知道它是否连续、可微就可以了.针对这一类问题,通常采用的方法就是对函数的原函数使用罗尔定理.但由于罗尔定理的限制太严格了,它要求三个限制条件必须同时满足,只要有一个条件不满足,罗尔定理就不一定成立,这就大大的限制了罗尔定理的使用范围,因此在难以确定函数是否连续、可微时直接使用罗尔定理反而会增加解题的难度,加大计算量.2.2 罗尔定理在函数零点个数问题中的应用在数学学习和生产生活中,零点的个数问题始终是一个重要的问题.讨论一个函数到底有几个零点,通常可以采用先确定至多有几个零点,再确定至少有几个零点,从而得出零点的个数,在这过程中罗尔定理就显示出了它的优越性.例2 讨论方程的零点个数. 解:设函数,显然在定义域内是连续函数.分别令得所以在区间各至少有一个零点,即方程至少有三个实根.令,这个函数在区间上连续且单调递增,,所以在有唯一的零点,所以由罗尔定理可知在至多有两个零点.同理可知在至多有三个零点.综上所述,方程在恰好有三个零点.将方程转化为函数,再利用微积分的方法解决问题,这是一种重要的思想,即化归的思想,是一种常用的解题策略.2.3 罗尔定理在函数零点唯一性证明中的应用在函数零点问题中,讨论某个函数的零点是否唯一,是一种常见的题型,并且在实际生活中也具有重要的意义.罗尔定理为这类题型提供了一个有力的工具.例3 已知在上二阶可微,,,,则在内只有一个实根.证明:首先证明存在性.过定点做曲线的切线:,则切线与轴的交点,由(向上凸的),显然有.下面采用反证法证明唯一性.若存在使得,则由罗尔定理可知,存在使得.这与是矛盾的.所以只有一点,使得.唯一性的证明通常都比较困难,一般从正面入手很难解决问题,然而从反面思考,往往有“柳暗花明又一村”的感觉.在零点唯一性的证明中,罗尔定理能较好地发挥它独特的性质.2.4 罗尔定理与几个特殊多项式函数的零点分布问题在研究有关多项式的问题时,多项式的零点分布是经常遇到并且非常重要的问题之一.在解决的方法中,罗尔定理是一个很好的工具,但是罗尔定理的要求非常严格,三个条件必须同时满足,定理才成立.因此我们利用推广的罗尔定理解决这个问题.以下就是用罗尔定理解决三种特殊多项式的例子.2.4.1 Laguerre多项式在区间上带权函数的正交多项式序列中的多项式称为Laguerre多项式,其表达式为.例4 证明多项式所有的根都是正根. 证明:因为, ,依此类推可知是次多项式.可见,至多只有个实根.设函数,则.由广义罗尔定理知,存在,使得.现设至少有个零点,且.分析的结构易知,是一个与一个次多项式的乘积,即 ,其中是一个多项式.则,由广义罗尔定理知,存在,使得.根据数学归纳法,至少有个正根.又由于恒不为零,所以至少有个正根.由前面可知最多只能有个实根,所以只有个实根,且都是正实根.2.4.2 Hermite多项式在实际生活中,函数在某区间上存在,但函数往往很复杂,甚至没有明显的解析表达式,因此常用插值法去构造一个既能反映函数特征又便于计算的较为简单的函数以替代函数.不同的实际问题,选用的插值函数也会不同.Hermite多项式就经常被选为插值函数.在区间上带权函数的正交多项式序列中的多项式称为Hermite多项式,其表达式为.例5 证明多项式所有的根都是实数. 证明:显然是一个次多项式. 设函数,则, ,可见有一个实数根,有两个相异的实数根. 现假设有个相异的实根,并记作.分析的结构可知.因为有个相异的实根,因此可令,即,其中为一个非零常数.又由于,根据罗尔定理得,存在使得,即在之间至少存在个相异实根.又由于,根据广义罗尔定理可知,必存在,使得.同理,,由广义罗尔定理知必存在,使得.综上所述,至少有个实根.所以由数学归纳法知至少有个相异的实根.从而至少有个相异的实根.但是是的一个次多项式,故恰有个根(实根或复根),即的所有根都是实根.2.4.3 勒让德多项式伴随勒让德多项式(Associated Legendre polynomials)有时被简称为勒让德多项式.数学上,勒让德函数指以下勒让德微分方程的解:为求解方便一般也写成如下斯图姆-刘维尔形式(Sturm-Liouville form): 上述方程及其解函数因法国数学家阿德里安-马里?勒让德而得名.勒让德方程是物理学和其他技术领域常常遇到的一类常微分方程.当试图在球坐标系中求解三维拉普拉斯方程(或相关的其他偏微分方程)时,问题便会归结为勒让德方程的求解. 例6 证明勒让德多项式的一切零点都是实数且含于区间中.证明:设,因为是次多项式,且恒不为0,所以是次多项式,由代数定理可知它至多只有个实零点.由于,由广义罗尔定理知,至少存在一点,使得.假设至少有个实零点.分析的结构可将写为以下结构 ,其中为次多项式. 因为,由罗尔定理可知存在,使得,即至少有个零点,并且全部在区间之间. 由数学归纳法可知至少有个实零点,且全部介于区间之间.由于恒不为0,所以至少有个实零点.而由前面知道是次多项式,它至多有个实零点.所以恰有个实零点,且全部介于区间之间.勒让德多项式的应用十分广泛,但如何证明它的零点是一个难点,以上例子就提供了一种很好的方法.2.5 多变元情形下的罗尔定理及其在几何学上的应用在微积分学中,关于多变元映像(从多元函数到向量值函数)的极限(包括连续性)、微分、积分及其性质,一般都是考虑一元函数的性质能否平移或推广过来.但罗尔定理的不足之处就是对向量值函数不成立,因此1995年Marden[8],1992年Evard 与Jafari[9]在复变(解析函数)情形下揭示了罗尔定理的本质,1995年Furi 与Martelli[10]对向量值函数进行了推广:在闭域上连续,开域内可微的向量值函数,罗尔定理情形下的边界函数值确定了开域内某点的微分性质.这样该结果就可以应用于几何学.例7 设定义为,并满足下列条件:在上连续;在内可微;存在中的平面,对任意的..则存在.使得在曲面上处的切平面平行于平面.这里表示的值域,或者表示的曲面.证明:设,则表示平面的法向量.由条件3)可知,对任意的,都有与正交.由罗尔定理的推广4知,存在,使得与向量组正交.又因为,在上处的切平面向量式参数方程为.这里,为参数.所以,切平面的法线与平行,从而切平面平行于平面. 罗尔定理仅仅适用于一元函数,这样就在很大程度上限制了罗尔定理的应用范围.但它的良好本质却能启发我们将其推广到向量值函数中,从而就能解决一类几何问题,为数学问题的解决提供了更多的工具.结束语利用罗尔定理的理论和方法,可以较细致的研究函数零点问题.根据罗尔定理的意义,可以将其从限制条件上和本质上进行多方位的推广,从而扩大应用领域. 通过对罗尔定理的简单分析探究,掌握了该定理的结构形式,学习了运用类比的思维方法推广该定理的过程,分析讨论了罗尔定理的实际应用.首先将罗尔定理在一元函数中进行推广,削弱了罗尔定理的限制条件.紧接着利用罗尔定理的实质将其在向量值函数中进行了推广,得到“在闭域上连续、开域内可微的向量值函数,罗尔定理情形下的边界函数值确定了开域内某点的微分性质”,从而将结果应用于几何学.最后,应用罗尔定理及其推广形式举例说明了它们在证明函数零点存在性、函数零点个数、函数零点唯一性、三类特殊多项式函数的零点分布问题,并举例说明了多变元情形下的罗尔定理在几何学上的应用.至于如何应用罗尔定理构造辅助函数,以及解决函数零点问题的各种微积分方法(如费马定理、拉格中值定理等)的优缺点比较这两个问题未做讨论.参考文献[1] 孙兰敏.洛尔定理的2个推广形式[J].衡水学院学报,2005,71:1-2.[2] 汪军.广义罗尔定理及其应用实例[J].辽宁工程技术大学学报,2000,191:93.[3] 张志军.多变元情形下的洛尔定理及其应用[J].西北师范大学学报,1998,34(1):84?87.[4] 潘黎霞.对广义罗尔定理证明并在求函数的零点上的应用[J].甘肃科技,2005,217:115-116.[5] 周敦.微分中值定理的推广及其应用[J].钦州师专钦州教院学报.1994,81:54-56.[6] 王艳萍,余学军.应用罗尔定理时一种辅助函数构造法[J].南阳师范学院,2003,29:18-21.[7] 华东师范大学数学系.数学分析:上册[M].北京:高等教育出版,2005.[8] Marden M.The search for a Rolle's theorem in the complexdomains[J].Amer,Math.Monthly,1985,92:643-650.[9] Evard J C,Jafari F.A complex Rolle'stheorem[J].Amer,Math.Monthly,1992,99:856-861.[10] Furi M,Martelli M.A multidimensional version of Rolle'stheorem[J].Amer.Math.Monthly,1995,102:243-249.致谢时光荏苒,岁月如梭,转眼毕业将至.值此论文完成之际,我谨向所有关心、爱护、帮助过我的人表示最诚挚的感谢与最美好的祝愿. 通过毕业论文的写作,我真正体会到了科学的严谨性.任何一门科学,我们都必须以认真严谨的态度去对待它,不能以自己的主观臆断去评判真理,而应以真理去认识客观世界.在论文写作过程中,我熟悉了电脑的一些基本操作,学会了论文的排版格式.经过一、二、三稿的整理和修改,我明白了一个道理??踏踏实实做人,明明白白做事.在这四年里,无论成功还是失败,许多长辈和朋友都给了我一如既往的支持与鼓励.在这里我要首先感谢我的父母、我的亲人朋友们,他们给了我无微不至的关怀,陪我一起度过二十多年的酸甜苦辣,对他们的感激之情,不知该如何表达,千言万语,只能化成实际行动,让我用一生报答他们!其次我要感谢内江师范学院可敬的老师们,尤其是我的导师――吕晓亚,她用为人师表的高尚品格和渊博深厚的学术造诣,为我们树立了的崇高的榜样,开启了人类智慧的大门.最后,衷心感谢程冲、邓平等寝室朋友们在学习时给予我的关心和帮助!。
微分中值定理推广及其应用
微分中值定理推广及其应用目录一、引言 (2)二、微分中值定理及其证明 (2)2.1罗尔定理 (3)2.2拉格朗日中值定理 (3)三、微分中值定理的应用 (4)3.1证明方程根的存在性 (4)3.2证明不等式 (5)3.3 利用微分中值定理求极限及证明相关问题 (6)3.4求极限 (7)3.5用来证明函数恒为常数 (7)3.6中值点存在性的应用 (8)3.6.1一个中值点的情形 (8)3.6.2.2 泰勒公式法 (10)四小结： (11)致谢 (12)参考文献： (12)微分中值定理推广及其应用【摘要】微分中值定理是数学分析中非常重要的基本定理, 它是沟通函数与其导数之间关系的桥梁. 本文主要对罗尔中值定理的条件做一些适当的改变，能得出如下一些结论，从而扩大罗尔定理的应用范围。
从拉格朗日中值定理的几何意义出发，通过几何直观，把数学分析空间解析几何知识有机的结合起来，改变传统的构造函数差的方法，通过构造行列式函数得出定理的新方法。
通过对这两个定理进行分析，并加以推广，结合几个常见的实例论述了罗尔中值定理、拉格朗日中值定理。
在证明不等式，求函数极限等方面的应用，从而加深对两个定理的理解。
【关键词】罗尔定理拉格朗日中值定理推广应用一、引言微分中值定理是微分学的基本定理，在数学分析中占有重要的地位，是研究函数在某个区间的整体性质的有力工具。
其中，拉格朗日定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是其推广。
通过查阅大量资料文献和网上查阅，我找到了很多相关资料。
本文以案例形式介绍了微分中值定理在数学分析中的应用，论述了微分中值定理在求极限、证明不等式以及泰勒公式和中值点存在性等几个方面的应用研究比较细致和深入。
其中证明某区间上满足一定条件的中值点的存在性是微分中值定理非常重要的应用，也是在历年考研试题中经常出现的题型之一。
利用中值定理证明中值点的存在性，要兼顾条件与结论，综合分析，寻求证明思路。
充分理解微分学的相关知识，掌握微分中值定理的内容，并会熟练的应用。
罗尔定理的进一步推广与应用
罗尔定理的几种类型及其应用彭丹（德州学院数学系，山东德州 253023）摘要：本文通过对罗尔定理的条件以及条件的几何意义、罗尔定理的证明以及运用构造函数的思想研究罗尔定理的一些性质及其应用、罗尔定理推广形式的总结与再推广，从而达到对罗尔定理的更深入的研究。
关键词：罗尔定理；性质；应用；推广引言微分中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。
如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是起这种作用的。
三大微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。
以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础。
本文着重对罗尔定理的性质、推广形式以及应用进行深入的研究，从而更好的了解微分中值定理.1 罗尔定理罗尔在数学上的成就主要是在代数学方面，专长于丢蕃图方程的研究。
他在1691年出版了论著《方程的解法》这本论著本来和微分学没有关系（当时还没有导数的概念和符号，不过根据定理的结论恰好相当于多项式的导数）。
但在一百多年后，龙斯托·伯拉维提斯将《方程的解法》中的一个定理推广到可微函数，并把此定理命名为罗尔定理.1.1. 罗尔(Rolle)定理的内容：如果函数 f (x)(1)在[a, b]上连续;(2)在(a, b)内可导;(3)f (a) = f (b).那么在 (a, b) 内至少有一点ξ(a < ξ < b),使得 f '(ξ) = 0.1.2．几何意义：罗尔定理的三个已知条件的几何意义是：f(x)在[a ，b]上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线；f(x)在内(a ，b)可导表明曲线y=f(x)在每一点处有切线存在；f(a)=f(b)表明曲线的割线（直线AB ）平行于x 轴.罗尔定理的结论的直观意义是：在(a ，b)内至少能找到一点ξ，使f'(ξ)=0，表明曲线上至少有一点的切线斜率为0，从而切线平行于割线AB ，也就平行于x 轴.符合罗尔定理条件的曲线至少有一条水平切线1.3．罗尔定理的条件的讨论（1）罗尔定理的条件缺一不可例1 f(x)= ⎩⎨⎧=<≤时时1x 01x 0x （1） f(x)∈C[0,1]；（⨯）（2） f(x)∈D （0,1）；（3） f （0） 则不存在ξ，使得f ′（ξ）=0.例２， f(x)=|x|,x∈[-1,1];（1）f(x)∈C[-1,1] ;（2）f(x)∈D[-1,1]; （⨯）（3）f(-1)=f(1).则不存在§，使得f′（§）=0.因为此例题中条件（2）不满足罗尔定理的条件。
罗尔定理论文
浅谈罗尔定理及拉格朗日定理推广及应用摘 要：微分中值定理是导数应用的理论基础.本文在罗尔定理及拉格朗日定理原有描述的基础上，对其进行了推广，使其定理的适用范围更加广泛；同时，对罗尔定理在讨论方程根的存在性问题中的应用及拉格朗日定理在证明不等式和求极限问题中的应用进行了讨论，证实所得推广定理的有效性及实用性.关键词：罗尔定理；拉格朗日中值定理；极限；导数一、罗尔定理推广及应用 （一）罗尔定理推广 1.罗尔定理描述若函数()f x 满足下列条件：在闭区间[],a b 连续；在开区间(),a b 可导；()()f b f a =；则在(),a b 内至少存在一点ξ，使()0f ξ'=. 2.罗尔定理的推广2.1罗尔定理推广 1 设(),a b 为有限或无限区间，()f x 在(),a b 内可微，且()()lim lim f x f x A x x a b ==+-→→（A 可为有限也可为+∞-），则至少存在一点(),a b ξ∈，使()0f ξ'=.证明：(1)设(),a b 为有限区间.若A 是有限值，令()()()()(0),,,,,0,.f a x a F x f x x a b f b x b ⎧+=⎪=∈⎨⎪-=⎩容易验证()F x 在[],a b 上满足罗尔定理的条件，故(),a b ξ∃∈，使()()0F f ξξ''==.(2)若A 为+∞， (),a b 为有限区间或无限区间，由()f x 在(),a b 内的连续性知，当0c >充分大时，直线y c =与曲线()y f x =至少有两个焦点()()11,x f x 与()()22,x f x ，即()()12f x f x c ==且()1,2,x x a b ∈.不妨设12x x <，对()f x 在[]()1,2,x x a b ⊂上应用罗尔定理，使得()0f ξ'=；(3)若A 为有限值，(),a b 为无限区间.做变量替换，即选择函数()x x t =，满足如下要求：(),t αβ∈，（这里(),αβ是有限区间），(),x a b ∈，()x t '存在且不变号.然后对符合函数()()f x t 在(),αβ应用(1) 的结果.1)当,a b =-∞=+∞，即()(),,a b =-∞+∞.做变换tan x t =，令()()tan g t f t =，则()g t 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上满足(1)式的全部条件.故,22ππτ⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，使()0g τ'=，而()2(tan ).sec g f τττ''=， 2sec 0τ>，于是取()tan ,ξτ=∈-∞+∞，就是()0f ξ'=；2)若当a 有限，b =+∞，即()(),,a b a =+∞，作变换()()t m a x t m t-=-，a t m <<，（其中m 为正数） 令()()()g t f x t =，则()g t 在a t m <<上满足(1)式的全部条件.故(),a m τ∃∈，使()0g τ'=，而()()()()2()m a m m a mg f m ττττ---''=-， 于是取()(),m a a m ττξ-∈+∞-=，就有()0f ξ'=.3)当a =-∞，b 为有限，即()(),,a b b =-∞，做变换()(),t b s x t t s-=- s t b <<，其中b 为负数，同理可得，取()b s sτξτ-=-，就有()0f ξ'=. 2.2 罗尔定理推广2 任意个函数的微分中值定理设()21,(),x f x f ⋯⋯,()n x f 在闭区间[],a b 连续；在开区间(),a b 可微；()()i i a b f f ≠，,1,2,n i j =⋯,，则(),a b ξ∃∈，使得()()()()(),110ni i j i j j j b a f f x f b a f f =⎡⎤-'-=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑ (1) 证明：根据题设，函数()()()()()(),11ni i ji j j j b a f f H x x fb a f f =⎡⎤-=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑,在闭区间[],a b 连续；在开区间(),a b 可微；()()()()()()()(),11ni i jj i j j j b a f f H b H a b a f f b a f f =⎡⎤-⎡⎤-=--⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦∑()()()(),10ni i jj i j b a b a f f ff =⎡⎤=---=⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑,即()()H b H a =，所以由罗尔定理知道(),a b ξ∃∈，使得()()()()()(),110ni i j i j j j b a f f x H f b a f f ξ=⎡⎤-''-==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑. 2.3罗尔定理推广3设()f x ，()g x ，()h x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则(),a b ξ∃∈，使得()()()()()()()()()0f a g a h a f b g b h b f g h ξξξ='''.证明：设()()()()()()()()()()f ag ah a F x f b g b h b f x g x h x =.由行列式性质知()()0F a F b ==，则由于满足罗尔定理，则(),a b ξ∃∈，使得()0f ξ'=，则问题得证. （二） 罗尔定理的应用1.在讨论方程根的存在性问题时，可以应用罗尔定理.罗尔定理的条件很宽松，给一个定义在闭区间[],a b 上的函数，只需函数在这个区间连续，可导（并不要求区间端点可导），在要求()f x 满足条件()()f a f b =.因此，可以应用罗尔中值定理解决一些复杂的代数方程的判根问题.其步骤一般是：分析命题条件→构造辅助函数()f x →验证()f x 满足罗尔定理的条件→应用罗尔定理→命题结论.例1：若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导()0a >，证明:在(),a b 内，方程()(){}()()222x f b f a b a f x '-=-至少存在一个根.证明：令()()(){}()()222F x f b f a x b a f x =---，显然，()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，而且()()()()22F a f b a b f a F b =-=，根据罗尔定理，至少存在一个(),a b ξ∃∈，使得()0F ξ'=，则有()(){}()()222f b f a b a f ξξ'-=-，故在(),a b 内，方程()(){}()()222x f b f a b a f x '-=-.至少存在一个根.2.罗尔定理的推广也有广泛的应用.在证明不等式时，首先我们可以根据不等式俩边的代数式选取不同的()F x ；其次，验证()F x 是否满足罗尔定理推广中的某种形式的条件；最后，应用定理进行解题，下面通过举例说明其应用.例2：设()f x 在),a +∞⎡⎣内可微，且满足不等式()0f x ≤≤， ()0,x ∀∈+∞,证明存在一点()0,ξ∈+∞，使得()221f ξξ'=+ 证明:由已知不等式知 ()00f =，()0lim x f x →+∞=.令()()F x f x =-，则()00F =，()()0lim lim lim x x x F x f x →+∞→+∞→+∞=-=，则由推广的罗尔定理，()0,ξ∃∈+∞，使得()0F ξ'=，即()221f ξξ'=+二、拉格朗日中值定理推广及应用 （一）拉格朗日中值定理推广 1.拉格朗日中值定理描述若函数()f x 满足下列条件：在闭区间[],a b 连续；在开区间(),a b 可导.则在开区间(),a b 内至少存在一点ξ，使()()()f b f a f b aξ-'=-.2.拉格朗日中值定理推广2.1 推广1在上述罗尔定理推广三中若令()g x x =，()1h x =并代入上式即得拉格朗日中值定理()()()f b f a f b aξ-'=-.则就有下面推广：设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则至少(),a b ξ∃∈，使()()()11010f a a f b b f ε='， 容易得到()()()f b f a f b aξ-'=-.2.2 推广2 拉格朗日推广到更一般的形式如果函数()()()12,,,n f x f x f n ⋯在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，则对于任意给定的一组实数12,,n k k k ⋯,，且120n k k k ++⋯+=，必存在(),a b ξ∈，使得()()()11222111||||||0n n n n n b b b b b bk f f f k f f f k f f f a a a a a a ξξξ-'''⋯+⋯+⋯⋯+⋯=，其中，()()|i i i b f f b f a a =-，1,2,,.i n =⋯特别地，当12|||0n b b bf f f a a a⋯≠，上式可写()()()()()()()()()121211220n n n n f f f k k k f b f a f b f a f b f a ξξξ'''++⋯+=---.证明：令()()()()11222111||||||n n n n n b b b b b bx k f x f f k f x f f k f x f f a a a a a aφ-=⋯+⋯+⋯⋯+⋯.显示()x φ在[],a b 上均满足罗尔定理的条件，由罗尔定理即可得证结论成立. 2.3 推广3 对于拉格朗日定理，若把条件减弱的话，定理应用将更加广泛. 命题 设函数()f x 在闭区间[],a b ，在开区间(),a b 内除了有限个点外可微，则存在(),a b ξ∈使得()()()()f b f a f b a ξ'-≤-.证明：不妨设()f x 在仅在(),d a b ∈不可微，分别在[][],,,a d d b 应用拉格朗日定理中值定理，则得到()()()()1f d f a f d a ξ'-=-， ()1,d a ξ∈， ()()()()2f b f d f b d ξ'-=-， ()2,b d ξ∈.令()()(){}12max ,f f f ξξξ'''=，使得()()()()f b f a f b a ξ'-≤-.2.4 推广4 设函数()f x 在区间[],a b 上连续，若()f x 在(),a b 内除了n 个点处可微，则存在1n +个点，211n a b ξξξ+<<<⋯<<及1n +个正数1,21,,,n ααα+⋯使得111n i i α+==∑且()()11()()n i i i f b f a f b a αξ+='-=-∑.证明：不妨设()f x 在仅在(),d a b ∈不可微，则由上述推广3得()()()()1f d f a f d a ξ'-=-， ()1,d a ξ∈， ()()()()2f b f d f b d ξ'-=-， ()2,b d ξ∈，取1,2αα使()()12,b a d a b a b d αα-=--=-则12121,0,0αααα+=>>且()()()1122()()f b f a f f b a αξαξ''-=+-⎡⎤⎣⎦.这个证明方法可以推广到()f x 在n 个点上不可微得情形，可以的以上的推论. 2.5 推广5 若函数()f x 在闭区间[],a b 连续，在开区间(),a b 内存在左，右导数,f f -+''，则存在()0,x a b ∈及0,0,1p q p q ≥≥+=，使得()()()()()pf x qf x b a f b f a -+''+-=-⎡⎤⎣⎦.证明：（1）先证明若()f x 在闭区间[],a b 连续，在开区间(),a b 内存在左，右导数,f f -+''，且()()f b f a =，则存在()0,x a b ∈，使得()()000f x f x -+''≤.事实上，由()f x 在[],a b 连续，得,,M m ∃使得()m f x M ≤≤又()()f b f a =，故()f x 必在区间(),a b 内取得至少一个最值，不防设最值点为0x ，()0f x M =，()()000lim 0x x f x f x x x +→-≤-或()()00lim 0x x f x f x x x -→-≥-，()()000f x f x -+''≤.（2）作辅助函数()()()()()()f b f a F x f x f a x a b a-=----，则由()f x 在闭区间[],a b 连续，在开区间(),a b 内存在左，右导数,f f -+''知()F x 在闭区间[],a b 连续，在开区间(),a b 内存在左，右导数F -'，F +'，且有因为()()0F b F a ==，故由上面的结论()1,x a b ∃∈使得()()000F x F x -+''≤.不妨设()()000,0,F x F x -+''≥≤则()()()()110f b f a F x f x b a ---''=-≥-，()()()()010f b f a F x f x b a++-''=-≤-，即()()()()11f b f a f x f x b a+--''≤≤-，又()()()()111G x xf x x f x -+''=+-在[]0,1上连续函数.且()()10G f x +'=，()()11G f x -'=，有介值定理，()0,1p ∃∈使得()()()f b f a G p b a-=-，即()()()()()111f b f a pf x p f x b a-+-''+-=⎡⎤⎣⎦-，又1q p =-，则()()()()()pf x qf x b a f b f a -+''+-=-⎡⎤⎣⎦.(二) 拉格朗日中值定理应用 1.利用拉格朗日定理证明不等式拉格朗日中值定理中只肯定了在(),a b 内至少有一点ξ，使得等式成立，但对ξ的确切位置未作任何断定，这并不影响定理在做理论探讨和解决具体问题中所起的作业. 利用拉格朗日中值定理证明不等式，关键是选择适当的函数()f x 和对应的区间[],a b ，使它满足拉格朗日中值定理，使得()()()(),,f b f a f a b b aξξ-'=∈-，在用不等式的性质可证明数学不等式.具体步骤如下： 第一步，选择适当的函数()f x 和对应的区间[],a b ；第二步，对所取的函数()f x 和对应的区间[],a b ，写出拉格朗日中值公式，()()()(),,f b f a f a b b aξξ-'=∈-，第三步，确定导函数()f ξ'在所讨论的区间上的单调性；第四步，分别,a b ξξ==，确定()f x '在区间端点上的导数值，由()f x '的单调性得出()f ξ'的范围：()()()f a f f b ξ'''<<， （当()f x '单调增加时） ()()()f a f x f b >>， （当()f x '单调减少时）由()()()f b f a f b aε-'=- ，(),a b ξ∈这个等式就得到数学不等式；若当()f x '单调增加时则有()()()()f b f a f a f b b a-''<<-，或有()()()()()()f a b a f b f a f b b a ''-<-<-.等,以下举例说明.例3 当0x >时，则有(1xIn x +>证明：设()(1f t tIn t =+ []0,t x ∈，并满足中值定理条件，且有()(1f t In t ⎛⎫'=++(0In t =>， []0,t x ∈， 所以()f t 在[]0,x 是单调递增的.故当0x >时，()()00f x f >= 则有(1xIn x +>2.拉格朗日定理在为求极限提供一种简单而有效的方法对于有些求极限的题，如果使用罗比达法则，则求导数的计算量很大.微分中值定理为求这样一些较难的极限提供了一种简单而有效地方法.其方法是对极限题中的某些部分构造辅助函数，使用微分中值定理，然后求出极限.例4 求1121lim n n x n a a +→∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中0a >.解：对()x f x a =应用拉格朗日定理，有()1122111lim lim |1x n n x x x n a a n a n n ε+=→∞→∞⎛⎫⎛⎫'-=⨯- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()2lim 1x n a Ina Ina n n ε→∞==+， 其中11,1n n ξ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭.参考文献：[1] 数学分析（上）（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社. 2001[2] 刘玉琏 傅沛仁.数学分析讲义（上）（第五版）[M]. 北京：高等教育出版社. 2008 [3] 陈绍东 宋苏罗. 微分中值定理的推广[J].河南:南阳理工学院.2008 [4] 陈守信.数学分析选讲[M]. 北京：机械工业出版社. 2009[5] 邵红 陈实.拉格朗日中值定理证明数学不等式[J].牡丹江大学学报. 2008。
罗尔定理的几种类型及其应用
罗尔定理的几种类型及其应用1 引言最原始的罗尔定理是由法国数学家罗尔于 1691 年在题为 《任意次方程的一个解法的证明》 的论 文中给出的 （罗尔 1652 年 4 月 21 日生于昂贝尔特， 1719 年 11月 8 日卒于巴黎 ） ，主要内容是 : 在多项式方程 f x =0 的两个相邻的实根之间，方程 f x 0 至少有一个根．在一百多年后， 1846 年尤斯托（ Giusto Bellavitis ）将这一定理推广到可微函数，尤斯托还 把此定理命名为罗尔定理，这就是现在我们常用的罗尔定理 .2 微分中值定理2.1 罗尔定理1 （P若函数 f x 满足以下条件：（ 1）在闭区间 a,b 上连续；（ 2）在开区间 a,b 上可导；（ 3） fa fb . 则至少存在一个数 a,b ，使得 f 0.罗尔定理的几何意义是：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相同，那 么曲线至少存在一条水平切线 . 罗尔定理是大学微分学中很重要的中值定理， 它演绎了拉格朗日中值 定理与柯西中值定理，这三个定理构成了微分学中值基本理论，在高等数学中占有十分重要的地 位．下面给出拉格朗日中值定理和柯西中值定理的内容和几何意义 .2.2 拉格朗日中值定理x 满足：（ 1） 在闭区间 a,b 连续；（ 2） 在开区间 a,b 上可导；则至少存在拉格朗日中值定理的几何意义是：在每一点都可导的的连续曲线上，如果两端点也连续，那么 至少存在一个点，该点的切线平行于两端点的连线 .2.3 柯西中值定理 1若函数 f x 和 g x 满足：（ 1）在闭区间 a,b 连续；（ 2）在开区间 a,b 上可导；（ 3） f x 和 g x 不同时为 0；（ 4） g a g b 则存在 a,b ；使得fa。
若函数个数 a,b ，使得 ff a f b ab柯西中值定理的几何意义与前两个定理的几何意义类似，只是要把f x 和g x 这两个函数写成以x 为参量的参量方程u g xv f x于是两函数联系在平面uOv 上一段连续曲线上了，若曲线的两端点也连续，则在曲线上至少存在一点，该点的切线与两端点的连线平行。
罗尔定理的重要性及应用
罗尔定理的重要性及应用在微积分学中，罗尔定理是非常基础且重要的一定理论，它与我们日常生活息息相关。
在本文中，我们将探讨罗尔定理的定义、证明、应用及其在实际生活中的应用。
1. 罗尔定理的定义罗尔定理是微积分学中的一个重要定理，其核心内容是探讨有一连续函数$f(x)$，如果在区间$[a,b]$上连续，$f(a)=f(b)$，那么在$(a,b)$上至少有一个点$c$，使得$f'(c)=0$。
其实际含义是，如果一个连续函数在区间两端取得相同的值，其导数在某个点为零。
2. 罗尔定理的证明为证明罗尔定理，我们需要用到回归法。
首先假设$f(x)$在区间$(a,b)$上处处可导。
由于$f(a)=f(b)$，因此$f(x)$必然在$(a,b)$上有一个极小值或极大值。
设$c$为这个点，可得$$\quad f'(c)=0$$如果$f(x)$在区间$(a,b)$上没有极值点，则根据连续函数的性质，它在这个区间上处处为常数，而由于$f(a)=f(b)$，此常数必然为$f(a)=f(b)$。
因此，无论$f(x)$在区间$(a,b)$上是否存在极值点，都可以得到结论：在区间$(a,b)$上，至少存在一个点$c$，使得$f'(c)=0$。
3. 罗尔定理的应用罗尔定理在实际生活中有着广泛的应用。
我们将就两个场景进行讨论。
3.1 寻找图像中的最高点和最低点在平面直角坐标系中，我们可以通过求解一条抛物线的顶点来确定其最高点和最低点。
然而，对于某些无法用一般公式表示的曲线，我们就需要用罗尔定理来确定其最高点和最低点。
具体做法是，将曲线函数表示为$f(x)$的形式，然后在定义域内寻找导数为零的点，这些点就是原曲线的最高点或最低点。
3.2 求解边值问题有一类求解边值问题，如求函数的最大值、最小值、极值点等，可以通过罗尔定理解决。
例如，有一个矩形的周长固定为$100\text{m}$，求其最大面积。
设矩形的长为$x$，宽为$y$，由于周长固定，可得$$\quad2x+2y=100$$因此，矩形的面积为$$\quad S=xy=\frac{1}{2}(100x-2x^2)$$将$S$对$x$求导可得，$$\quad S'=50-2x$$令导数为零，得到$x=25$，此时矩形的长和宽相等，即为正方形。
罗尔定理的推广
Science &Technology Vision 科技视界0前言罗尔定理(Rolle theorem)是数学分析[1]中的重要内容,它的应用非常广泛。
而柯西中值定理(Cauchy theorem)和洛必达法则(L’Hospital rules)是罗尔定理最重要的两个应用,其在求函数极限中发挥着重要作用。
但是在数学分析中,只给出了在有限区间上的罗尔定理、柯西中值定理,以及x →+∞时的洛必达法则,并没有讨论无限区间上的罗尔定理、柯西中值定理以及x →+∞时洛必达法则。
所以本文讨论了无限区间上的罗尔定理、柯西中值定理以及x →+∞时洛必达法则。
考虑到数学分析中洛必达法则是由柯西中值定理推广得到,而柯西中值定理是由罗尔定理推广得到,所以本文先将罗尔定理的应用范围从有限区间推广到无限区间,继而将柯西中值定理的应用范围推广到无限区间,最后给出x →+∞时的洛必达法则。
1主要结果以下先给出三个引理,其给出了函数f (x )在无穷区间上能取到最值的条件:引理1.f (x )在[a ,+∞)上连续,lim x →+∞f (x )存在,则f (x )在[a ,+∞)有界。
证:记lim x →+∞f (x )=c ,则对ε=1,N>0,当x >N 时,有:f (x )-c <ε=1,即:c -1<f (x )<c +1,由f (x )在[a ,N ]上连续知f (x )在[a ,N ]有最大值和最小值,分别记为B 1,B 2。
即在[a ,N ]上,有:B 1≤f (x )≤B 2,取A =min ﹛c -1,B 2﹜,B =max ﹛c +1,B 1﹜,则有:A ≤f (x )≤B ,x ∈[a ,+∞]所以f (x )在[a ,+∞)上有界。
引理2.f (x )在[a ,+∞)上连续,lim x →+∞f (x )=f (a ),则f (x )在[a ,+∞)有最大值和最小值。
罗尔定理的推广-最新文档资料
罗尔定理的推广Promotion of Rolle TheoremXIE Chen-long YANG Chuan-sheng（School of Mathematics， Zhejiang Ocean University，Zhoushan Zhejiang 316022， China）【】Rolle theorem is one of important basic theorems in mathematical analysis. In the paper it generalizes the application range of Rolle theorem from the finite to the infinite. Then using the generalization of Rolle theorem，we generalize the application range of cauchy theorem to the infinite. Finally we get the L’Hospital rules in the cases x→+∞.0 前言罗尔定理（Rolle theorem）是数学分析[1]中的重要内容，它的应用非常广泛。
而柯西中值定理（Cauchy theorem）和洛必达法则（L’Hospital rules）是罗尔定理最重要的两个应用，其在求函数极限中发挥着重要作用。
但是在数学分析中，只给出了在有限区间上的罗尔定理、柯西中值定理，以及x→+∞时的洛必达法则，并没有讨论无限区间上的罗尔定理、柯西中值定理以及x→+∞时洛必达法则。
所以本文讨论了无限区间上的罗尔定理、柯西中值定理以及x→+∞时洛必达法则。
考虑到数学分析中洛必达法则是由柯西中值定理推广得到，而柯西中值定理是由罗尔定理推广得到，所以本文先将罗尔定理的应用范围从有限区间推广到无限区间，继而将柯西中值定理的应用范围推广到无限区间，最后给出x→+∞时的洛必达法则。
罗尔定理的几种类型及其应用
罗尔定理的几种类型及其应用1引言最原始的罗尔定理是由法国数学家罗尔于1691年在题为《任意次方程的一个解法的证明》的论文中给出的(罗尔1652年4月21日生于昂贝尔特，1719年11月8日卒于巴黎)，主要内容是: 在多项式方程()f x =0的两个相邻的实根之间，方程()0f x '=至少有一个根．在一百多年后，1846年尤斯托（Giusto Bellavitis ）将这一定理推广到可微函数，尤斯托还把此定理命名为罗尔定理，这就是现在我们常用的罗尔定理.2 微分中值定理2.1 罗尔定理[]1(P若函数()f x 满足以下条件：（1）在闭区间[],a b 上连续；（2）在开区间(),a b 上可导；（3）()()f a f b =.则至少存在一个数(),a b ξ∈，使得()0f ξ'=.罗尔定理的几何意义是：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相同，那么曲线至少存在一条水平切线.罗尔定理是大学微分学中很重要的中值定理，它演绎了拉格朗日中值定理与柯西中值定理，这三个定理构成了微分学中值基本理论，在高等数学中占有十分重要的地位．下面给出拉格朗日中值定理和柯西中值定理的内容和几何意义.2.2 拉格朗日中值定理[]1若函数()f x 满足：（1） 在闭区间[],a b 连续；（2） 在开区间(),a b 上可导；则至少存在一个数(),a b ξ∈，使得()()()f a f b f a bξ-'=-.拉格朗日中值定理的几何意义是：在每一点都可导的的连续曲线上，如果两端点也连续，那么至少存在一个点，该点的切线平行于两端点的连线.2.3 柯西中值定理[]1若函数()f x 和()g x 满足：（1）在闭区间[],a b 连续；（2）在开区间(),a b 上可导；（3）()f x '和()g x '不同时为0；（4）()()g a g b ≠则存在(),a b ξ∈；使得()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ'-='-。
微分中值定理的证明、推广以及应用
微分中值定理的证明、推广以及应用作者：张迎喜来源：《读写算》2012年第08期【摘要】微分中值定理在高等数学中占有非常重要的地位，微分中值定理主要包括：拉格朗日中值定理，罗尔中值定理，以及柯西中值定理。
本文主要对罗尔中值定理的条件做一些适当的改变，能得出如下一些结论，从而扩大罗尔定理的应用范围。
从拉格朗日中值定理的几何意义出发，通过几何直观，把数学分析空间解析几何知识有机的结合起来，改变传统的构造函数差的方法，通过构造行列式函数得出定理的新方法。
通过对这两个定理进行分析，并加以推广，结合几个常见的实例论述了罗尔中值定理、拉格朗日中值定理。
在证明不等式，求函数极限等方面的应用，从而加深对两个定理的理解。
【关键词】罗尔定理拉格朗日中值定理证明推广应用1引言在高等数学中微分中值定理占有着非常重要的作用,微分中值定理不仅是微积分的重要结论之一,也是最基本的定理之一.它不仅沟通了函数与其导数的关系,也是应用数学研究函数在区间整体性态的有力工具之一.罗尔中值定理条件最强,因而结论更加特殊,拉格朗日中值定理可以看成罗尔中值定理的推广.本文将罗尔中值定理由区间推广到了区间由推广到了区间（-∞，+∞），由（a）=f（b）推广到(有限或±∞).而将拉格朗日中值定理中的可微条件适当放宽,使其具有更加广泛的意义.2罗尔定理若函数f满足如下条件：f在闭区间［a，b］上连续,f在开区间（a，b）内可导,f（a）=f（b）则在（a，b）內至少存在一点c,使得、（c）=0.2.1罗尔定理的推广定理1：设(a,b)为有限或无穷区间在(a,b)内可微且（有限或）±∞,则∈ ,使得、（c）= 0.证明：先证A为有限数的情形,若使f（x）=A ,则、（x）=0,所证显然成立.若f（x）=A不成立,则存在∈（a，b）,使得f（）≠A,设＞A （对＜A 同理可证）,由于=A,因函数f(x)在(a,b)内连续,对于任意取定的实数μ(A＜μ＜f(x) ）,∈使得（）=f（）在闭区间［］上用罗尔定理,可得使得、（c）0,再证A+∞,的情形（A=-∞, 的情形,同理可证）.由于=+∞,取定∈(a,b)及μ＞则由于f(x)在(a,b)内连续,故∈使得在闭区间［］上用罗尔定理,可得使得、（c）=0.2.2定理1的5条推论推论1：设f（x）在（a，b）内可导,且=A≠∞ ,则在区间(a，b)内至少存在一点c,使得、（c） 0.推论2：设f（x）在（a，b）内可导,且+∞ ,则在区间(a，b)内至少存在一点c,使得、（c） 0.若=-∞,结论同样成立.推论3：设f（x）在（-∞，+∞）可导,且==A,则在(-∞，+∞)至少存在一点 ,使得、（c）0.推论4: 设f（x）在（-∞，+∞）可导, 且+∞，=+∞ ,则在区间(-∞，+∞)内至少存在一点c,使得、（c） 0.若=-∞，=-∞ ,结论同样成立.推论5：设f（x）在（a，+∞）可导, 且==A ,则在(a，+∞）至少存在一点c,使得、（c） 0.3拉格朗日中值定理若函数f 满足如下条件：f(x)在［a，b］连续f(x)在(a,b)可导则在(a,b)中至少存在一点c,使、（c）=f（b）-f（a）b-a3.1拉格朗日中值定理几何证明方法多数教材都是通过构造辅助函数F(x)=f(x)-f(a)b-a(x-a)来证明拉格朗日中值定理的,故F(x)表示曲线y=f(x)与直线AB（y + (x-a)+f(b)-f(a)b-a(x-a)）之差从而使F(x)满足罗尔中值定理的要求,利用罗尔中值定理证得结论.无论通过何种方式,只要构造函数满足罗尔定理即可找到辅助函数满足罗尔定理条件.从几何意义上讲,就是找到一种几何量（长度,面积等）使得它在A,B值相等,在M点取得极值,满足罗尔定理,即可导出拉格朗日中值定理.已知f(x)在［a,b］连续,在(a,b)可导,证明在(a,b)中至少存在一点使、（）=f（b）-f （a）b-a.已知光滑曲线 T：证明：引理：在平面直角坐标系中,已知A 、B 、C三个顶点的坐标A(f（a），g （a））,B(f（b），g（b）)，C(f（c），g（c）)则ABC得面积为易知：S(x)记由(a,f（a） ),(b,f(b) ),(x,f(x)) 三点组成三角形的面积,又因为S(x)在［a，b］上连续,且在（a，b）可导,有S(a)=S(b)=0, 则由罗尔中值定理,存在一点∈(a,b) 使得、（）=0令g（x）=x，即3.2拉格朗日中值定理推广定理1如果函数f（x）满足：(1)在区间［a，+∞］连续,(2)在区间（a，a，+∞）可导,(3)=M那么在(a，+∞) 内至少存在一点c (a＜c＜+∞),使得、（c）=［M-f（a）］/（c-a+1）证明：令t=1x-a+1,即x=1t+a-1=φ(t)3.3拉格朗日中值定理推广定理2如果函数f(x)满足：(1)在区间(-∞，+∞)连续,(2)在区间(-∞，+∞)可导,3.4拉格朗日中值定理推广定理3设函数f在闭区间［a,b］上连续,若函数在(a,b)内除了有限个点外可微,则存在c∈(a,b),使得｜f(b)-f(a)｜≤｜、(c)｜（b-a）.证明：不妨设f仅在d∈（a，b）不可微,分别在区间［a,d］与［d,b］上应用拉格朗日中值定理,则得到3.5拉格朗日中值定理推广定理4这个证明方法显然可以推广到f在n个点（n＞1）上不可微的情形.4微分中值定理的应用1.设f(x)在［a,b］上二阶可导,f(a)=f(b),证明：对任意x∈［a,b］,存在c∈,［a,b］使得、、（c）2（x-a）（x-b）证明：固定x∈（a，b）令λ是使f(x)=λ2成立的常数（由于f(x),12(x-a)(x-b), 都是常数,这个λ必然存在）.于是我们只需要证明存在c∈［a,b］,使、、（c）2=λ,令F(t)=f（t）-λ2(t-a)（t-b）,由于f（a）=f（b）=0,得到、（瘙窞）、（瘙窞）=0,再从λ,的定义知,F(x)0.在区间［a，x］［x，b］, 上分别对F(t)应用罗尔定理,得到瘙窞，瘙窞，a＜瘙窞＜瘙窞＜b,使、（瘙窞）、（瘙窞）=0,在闭区间［瘙窞瘙窞］上,对、（t）应用罗尔定理,则得到c∈（瘙窞瘙窞）［a，b］ ,使、、（c）=0,即、、（C）=λ,证毕.2.设f为［a，b］上二阶可导函数,f（a）=f（b）=0,并存在一点c∈（a，b）,使得f（c）＞0.证明：至少存在一点∈(a,b),使得、、（）＜0.证明：由拉格朗日中值定理中,存在∈(a,c),使f(c)-、（）（c-a）,由于f（a）=0,f（c）＞0,c-a＞0故f（）＞0,又对f（x）在［c，b］上应用,拉格朗日中值定理,存在∈(c,b)使得f(b)-、（）（b-c）,因为f（b）=0,f（c）＞0,（b-c）＞0.故、（）＜0,由于α＜＜c＜＜b.∴、（x）在［］上可导,故存在∈（，），（，）（a，b）,使、（（）-、（（）=（-）、、（） .因此得出、、（＜参考文献［1］华东师范大学数学系：《数学分析上册》,高等教育出版社［2］同济大学.高等数学第五版（上册）.北京：高等教育出版社，［3］张玉莲杨要杰拉格朗日中值定理的推广,河南教育学院报［4］陈大均微积分基本公式和中值定理,工科数学［5］吕林根,许子道。
罗尔定理例题及解析
罗尔定理例题及解析摘要：一、罗尔定理简介二、罗尔定理的应用1.函数的零点2.函数的极值3.函数的单调性三、罗尔定理的推广四、罗尔定理的证明正文：罗尔定理是微积分学中的一个重要定理，它在解决一些复杂函数问题中具有很高的实用价值。
下面我们将详细介绍罗尔定理的概念、应用、推广以及证明。
一、罗尔定理简介罗尔定理指出，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且在区间端点处的函数值相等，即f(a) = f(b)，那么在开区间(a, b)内至少存在一点c，使得f"(c) = 0。
这里的f"(c)表示函数f在点c处的导数。
二、罗尔定理的应用1.函数的零点罗尔定理可以帮助我们判断函数在某一区间内是否存在零点。
如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且f(a)与f(b)异号，那么在开区间(a, b)内至少存在一个零点。
2.函数的极值罗尔定理可以用来寻找函数的极值点。
如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且在区间端点处的函数值相等，即f(a) = f(b)，那么在开区间(a, b)内的极值点即为f"(c) = 0的点。
3.函数的单调性罗尔定理可以用来判断函数在某一区间内的单调性。
如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且在每个子区间(a, c)和(c, b)内，导数f"(x)大于0（或小于0），那么函数f(x)在区间[a, b]上单调增加（或减少）。
三、罗尔定理的推广罗尔定理还有一个重要的推广，即柯西（Cauchy）定理。
柯西定理指出，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么在开区间(a,b)内至少存在一点c，使得f"(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。
四、罗尔定理的证明罗尔定理的证明可以通过构造一个辅助函数来实现。
微分中值定理的证明、推广以及应用_0
微分中值定理的证明、推广以及应用篇一：微分中值定理推广及其应用及其应用数学091班：龙超指导教师：马菊霞（陕西科技大学理学院陕西西安710021）摘要：拉格朗日中值定理与柯西中值定理都是罗尔中值定理，在本篇论文里，给出罗尔中值定理的其它多种推广来扩大其应用。
本文也举例说明了和性质,并给出了第二型曲面积分计算的几种方法。
关键词：拉格朗日中值定理，柯西中值定理，罗尔中值定理TheextensionandApplicationofTheDifferentialmean-valueTheoremAbsTRAcT：TheLagrangemean-valuetheoremandthecauchymean-valuetheoremareexte nsionoftheRollemean-valuetheorem.InthisarticletheRollemean-valuetheor emhasbeenconcludedanddeducedinfewmoreformsapplicationtoexpandthe useoftheRollemean-valuetheorem.Alsothearticlehasdemonstratedoftheapp licationofdifferentialmean-valuetheorem.KeYwoRDs：Lagrangemean-valuetheorem,cauchymean-valuetheorem,Rollemean-valuetheorem1引言在数学分析课程中罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理统称为微分中值定理,他们是微分中值学中最基本、最重要的定理,是连接函数与导数之间的桥梁,是应用导数局部性研究函数整体性的重要数学工具,是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使用价值,因此讨论微分中值定理的推广具.为加深学生对微分中值定理的理解,更好地掌握微分中值定理的应用,本文归纳介绍了微分中值定理的几种推广形式及在解题中的一些应用。
罗尔定理推导拉格朗日中值定理
罗尔定理推导拉格朗日中值定理怎么用罗尔定理证明拉格朗日中值定理？罗尔定理可知。
fa=fb时，存在某点e，使f′e=0。
开始证明拉格朗日。
假设一函数fx。
目标：证明fb-fa=f′e(b-a)，即拉格朗日。
假设fx来做成一个毫无意义的函数，fx-(fb-fa)/(b-a)*x，我们也不知道他能干啥，是我们随便写的一个特殊函数，我们令它等于Fx。
这个特殊函数在于，这个a和b，正好满足Fb=Fa，且一定存在这个a和b。
此时就有罗尔定理的前提了。
于是得出有一个e，能让F′e=0(罗尔定理)即(fx-(fb-fa)/(b-a)*x)′，上面求导等于f′x-(fb-fa)/(b-a)。
将唯一的x带换成e，并且整个式子等于0。
变成f′e-(fb-fa)/(b-a)=0→f′e=(fb-fa)/(b-a)→f′e(b-a)=(fb-fa)。
扩展资料证明过程证明：因为函数f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用M 和m 表示，分两种情况讨论：1. 若M=m，则函数f(x) 在闭区间[a,b] 上必为常函数，结论显然成立。
2. 若M>m，则因为f(a)=f(b) 使得最大值M 与最小值m 至少有一个在(a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件f(x) 在开区间(a,b) 内可导得，f(x) 在ξ处取得极值，由费马引理推知：f'(ξ)=0。
另证：若M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为0，得证。
几何意义若连续曲线y=f(x) 在区间[a,b] 上所对应的弧段AB，除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，且在弧的两个端点A,B 处的纵坐标相等，则在弧AB 上至少有一点C，使曲线在C点处的切线平行于x 轴。
拉格朗日中值定理是什么？拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。
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罗尔定理的几种类型及其应用彭丹（德州学院数学系，山东德州 253023）摘要：本文通过对罗尔定理的条件以及条件的几何意义、罗尔定理的证明以及运用构造函数的思想研究罗尔定理的一些性质及其应用、罗尔定理推广形式的总结与再推广，从而达到对罗尔定理的更深入的研究。
关键词：罗尔定理；性质；应用；推广引言微分中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。
如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是起这种作用的。
三大微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。
以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础。
本文着重对罗尔定理的性质、推广形式以及应用进行深入的研究，从而更好的了解微分中值定理.1 罗尔定理罗尔在数学上的成就主要是在代数学方面，专长于丢蕃图方程的研究。
他在1691年出版了论著《方程的解法》这本论著本来和微分学没有关系（当时还没有导数的概念和符号，不过根据定理的结论恰好相当于多项式的导数）。
但在一百多年后，龙斯托·伯拉维提斯将《方程的解法》中的一个定理推广到可微函数，并把此定理命名为罗尔定理.1.1. 罗尔(Rolle)定理的内容：如果函数 f (x)(1)在[a, b]上连续;(2)在(a, b)内可导;(3)f (a) = f (b).那么在 (a, b) 内至少有一点ξ(a < ξ < b),使得 f '(ξ) = 0.1.2．几何意义：罗尔定理的三个已知条件的几何意义是：f(x)在[a ，b]上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线；f(x)在内(a ，b)可导表明曲线y=f(x)在每一点处有切线存在；f(a)=f(b)表明曲线的割线（直线AB ）平行于x 轴.罗尔定理的结论的直观意义是：在(a ，b)内至少能找到一点ξ，使f'(ξ)=0，表明曲线上至少有一点的切线斜率为0，从而切线平行于割线AB ，也就平行于x 轴.符合罗尔定理条件的曲线至少有一条水平切线1.3．罗尔定理的条件的讨论（1）罗尔定理的条件缺一不可例1 f(x)= ⎩⎨⎧=<≤时时1x 01x 0x （1） f(x)∈C[0,1]；（⨯）（2） f(x)∈D （0,1）；（3） f （0） 则不存在ξ，使得f ′（ξ）=0.例２， f(x)=|x|,x∈[-1,1];（1）f(x)∈C[-1,1] ;（2）f(x)∈D[-1,1]; （⨯）（3）f(-1)=f(1).则不存在§，使得f′（§）=0.因为此例题中条件（2）不满足罗尔定理的条件。
例３，f(x)=x,x∈[0,1];（1）f(x)∈C[0,1] ;（2）f(x)∈D[0,1];（3）f(0)=f(1). （⨯）则不存在§，使得f′（§）=0.因为此例题中条件（2）不满足罗尔定理的条件(2)罗尔定理的条件之一不满足其结论仍然成立.例如 y=2)^1|(|1--x x ∈[-2,2]在x=0处不可导 y=2)^1(1--x x ∈[0,23] 在端点处的函数值不相等 y=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈--23023,0)1(12x x x 在闭区间上不连续对以上三个函数罗尔定理均成立．２．关于罗尔定理的进一步讨论罗尔定理是微分学中的一个重要定理，它不仅沟通了函数与其导函数的关系，也是微积分学中许多定理的基础，对罗尔定理进行深入系统的探讨和研究，给出在更弱条件下的各种区间类型（包括有限区间和无限区间）的罗尔定理的推广形式．2.1 广义罗尔定理１．１中罗尔定理对所涉及的函数的要求过于苛刻，我们希望能够得到一个更为宽泛的结论，因此有必要对其条件进行放宽，放宽条件后的罗尔定理（不妨将其称之为广义罗尔定理）有如下８种形式：推论１ 设函数f （x ）在区间（ａ，ｂ）上连续，在区间（ａ，ｂ）内可导，且+→a x lim f （x ）=-b x lim →f （x ）=A ，其中A 为常数，则存在§∈（ａ，ｂ），使得f ′（§）=0.推论2 设函数f （x ）在区间[ａ，ｂ）上连续，在区间（ａ，ｂ）内可导，且+→bx lim f （x ）= f （a ），则存在§∈（ａ，ｂ），使得f ′（§）=0. 推论3 设函数f （x ）在区间（ａ，ｂ]上连续，在区间（ａ，ｂ）内可导，且+→a x lim f （x ）= f （b ），则存在§∈（ａ，ｂ），使得f ′（§）=0.推论4 设函数f （x ）在区间[ａ,+∞）上连续，在区间（ａ,+∞）内可导，且+∞→x lim f （x ）= f （a ），则存在§∈（ａ,+∞），使得f ′（§）=0. 推论5 设函数f （x ）在区间（ａ,+∞）上连续，在区间（ａ,+∞）内可导， 且 +∞→x lim f （x ）=+→a x lim f （x ）=A ，其中A 为有限实数，则存在§∈（ａ,+∞），使得f ′（§）=0.推论6 设函数f （x ））在区间（-∞,a]上连续，在区间（-∞,a ）内可导， 且 ∞→-x lim f （x ）= f （a ），则存在§∈（-∞,a ），使得f ′（§）=0. 推论7 设函数ｆ（ｘ）在区间（-∞,a ）上连续，在区间（-∞,a ）内可导， 且∞→-x lim f （x ）=-a x lim →f （x ）=A ，其中A 为有限实数，则存在§∈（-∞,a ），使得f ′（§）=0.推论8 设函数f （x ）在区间（-∞, +∞）上连续，在区间（-∞, +∞）内可导，且∞→-x lim f （x ）=+∞→x lim f （x ）=A ，其中A 为有限实数，则存在§∈（-∞, +∞），使得f ′（§）=0.证明 ： 以下仅给出推论8的证明，其他推论的证明与此类似.若f(x)是常值函数，则结论显然成立.下面只讨论f(x)不是常值函数得情形.在此情形下，不妨设存在x 0∈（-∞, +∞），f （x 0）>A= ±∞→x lim f （x ）. 因为f （x ）在（-∞, +∞）上连续，根据连续函数介值定理的推广形式可知，存在1ξ∈（-∞, x 0），2ξ∈（x 0，+∞），使得f （1ξ）=f （2ξ）. 再由罗尔定理知，存在∈ξ（1ξ，2ξ）⊂（-∞, +∞），使得f ′（ξ）=0. 结论得证.2.2 罗尔定理的进一步推广推论1到推论8都要求区间两端的极限存在，下面我们将结论进一步推广. 定理1 若函数f （x ）在区间（ａ，ｂ）内可导，且+→a x lim f （x ）=-b x lim →f （x ）=±∞，则存在ξ∈（ａ，ｂ），使得f ′（ξ）=0.证明：不妨设+→a x lim f （x ）=-b x lim →f （x ）=+∞.并令 M=f(2b a +). 则存在δ（0＜δ＜2a -b ）,使得对满足 a ＜x ＜a+δ的一切x ，均有f （x ）＞M.故而存在x 1∈（a ，a+1δ），使得f （x 1）＞M.而对于上述f （x 1），存在2δ（0＜2δ＜2a -b ）,使得对 满足b-2δ＜b的一切x ，均有f(x) ＞f(x 1).故而存在2x ∈（b-2δ，b ），使得f （2x ）＞f(x 1)＞f(2b a +). 由连续函数介值定理知存在1ξ∈（2b a +，2x ），使得 f(x 1)=f （1ξ）.显然，f(x)在[x 1,1ξ]上满足罗尔中值定理的所有条件，由此可知存在ξ∈（x 1,1ξ）⊂（ａ，ｂ），使得f ′（ξ）=0.结论得证.定理2 若函数f （x ）在区间（ａ，ｂ）内可导，且对于δ（0＜δ＜2a -b ）， f （x ）在（a ，a+δ）和（b-δ，b ）内有不同的单调性，则存在ξ ∈（ａ，ｂ），使得f ′（ξ）=0.证明：不妨设f （x ）在（a ，a+δ）内单调递减，而在（b-δ，b ）内单调递增，则存在x 1∈（a ，a+δ），1ξ∈（x 1，a+δ）⊂（a ，a+δ），使得f （1ξ）＜f （x 1）.同理可以证明，存在2x ∈（b-δ，b ），2ξ∈（b-δ，2x ）⊂（b-δ，b ）,使得f （2ξ）＜f （2x ）.则f （x 1）和f （2x ）均不是f （x ）在[x 1,2x ]上的最小值，又f （x ）在[x 1,2x ]上连续，则存在ξ∈（x 1,2x ），使得f （x ）为f （x ）在[x 1,2x ]上的最小值.由Fermat 定理知，f ′（ξ）=0.结论得证.定理3 若f （x ）∈C[x 1,2x ]且在（ａ，ｂ）内可导， +→a x lim f （x ）=-b x lim →f （x ）=A 存在δ＞0, f （x ）在（a ，a+δ）,（b-δ，b ）内有相同的单调性， 则至少存在1ξ，2ξ∈（ａ，ｂ），1ξ≠2ξ，使得 f ′（1ξ）=0， f ′（2ξ）=0.证明: 不妨设f （x ）在（a ，a+δ）, （b-δ，b ）内均为增函数，设 F （x ）= f （x ）-A,则F （x ）在（a ，a+δ）, （b-δ，b ）内均为增函数，并且+→a x lim F （x ）=-b x lim → F （x ）= 0，由函数的单调性可以找到两点1δ和2δ，F （1δ）＞0, F （2δ）＜0.由零值定理可知，存在θ ∈（1δ，2δ）⊂（a ，b ），使得 F （θ）=0.由推论2可知在（a ，θ）和（θ，b ）内分别可以找到1ξ，2ξ， 并且 F ′（1ξ）=0，F ′（2ξ）=0，也即 f ′（1ξ）=0，f ′（2ξ）=0，结论得证.定理4 设函数f （x ）在区间[ａ，ｂ]上可导，且满足 f ′（a ）f ′（b ）＜0, 求证f ′（x ）可以取到f ′（a ）和f ′（b ）之间的一切数值. 证明： 不妨设f ′（a ）＞0, f ′（b ）＜0,现任取r ，使得f ′（a ）＜r ＜f ′（b ），构造函数G （x ）=ｆ（ｘ）- rx ，那么G ′（a ）= f ′（a ）- r ＜0，G ′（b ）= f ′（b ）- r ＞0.因此，则存在δ，使得G （x ）在（a ，a+δ）内单调递减，在（b-δ，b ） 内单调递增，由定理2知，存在c ∈（ａ，ｂ），使得G ′（c ）=0，也即f ′（c ）=r.定理得证.3 广义罗尔定理的应用下面给出广义罗尔定理的应用实例.例1 设F （x ）在（a ，b ）上可导，且+→a x lim F ′（x ）＞0，-b x lim →F ′（x ）＜0，证明存在ξ∈（ａ，ｂ）使得F ′（ξ）=0.证明： 根据题设所给条件，由极限的保号性知，存在δ＞0，当x ∈（a ，a+δ）时，F ′（x ）＞0，即F （x ）在（a ，a+δ）上单增；而当x ∈（b-δ，b ）时， F ′（x ）＜0，即F （x ）在（b-δ，b ）上单减，由上述定理2可知，一定存在点ξ∈（ａ，ｂ）使得F ′（ξ）=0.例2 设f （x ）在[0，+∞）上可导，且0≤f （x ）≤2x 1x+，试证明存在ξ＞0，使得f ′（ξ）=()2221-1ξξ+证明:不妨令g （x ）= f （x ）-2x 1x+,则g （x ）在[0,+∞）上连续且可导， -2x 1x+≤g （x ）≤0,从而+→0x lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2x 1x -≤+→0x lim g （x ）≤0， +∞→x lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2x 1x -≤+∞→x lim g （x ）≤0， 又因为+∞→x lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2x 1x -=0， +→0x lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2x 1x -=0， 所以，+∞→x lim g （x ）= 0 = g （0）, 由推论4知，存在ξ∈（0，+∞），使得g ′（ξ）=0,因此，f ′（ξ）=()2221-1ξξ+ ，结论得证. 4 结语罗尔定理是微分学中的一个基本定理 ,它基于费尔玛定理。