§1.1.1 四种命题
2021_2022学年高中数学第1章常用逻辑用语1.1.1四种命题(不作要求)1.1.2充分条件和必
1.1.1 四种命题(不作要求) 1.1.2 充分条件和必要条件学习目标核心素养1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件和充要条件的意义．(重点)2．结合具体命题，学会判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．(重点、难点)3．培养辩证思维能力.通过充要条件的学习，培养逻辑推理素养.1．符号⇒与的含义命题真假“假设p那么q〞为真“假设p那么q〞为假表示方法p⇒q p q读法p推出q p不能推出q2.充分、必要条件的含义条件关系含义p是q的充分条件(q是p的必要条件)p⇒qp是q的充要条件p⇔qp是q的充分不必要条件p⇒q，且q pp是q的必要不充分条件p q，且q⇒pp是q的既不充分又不必要条件p q，且q p 思考：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否一样？(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？[提示] (1)一样，都是p⇒q(2)等价1．“x>2”是“x2－3x＋2>0”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件A[由x2－3x＋2>0得x>2或x<1，应选A.]2．对于任意的实数a，b，c，在以下命题中，真命题是( )A．“ac＞bc〞是“a＞b〞的必要条件B．“ac＝bc〞是“a＝b〞的必要条件C．“ac＜bc〞是“a＜b〞的充分条件D．“ac＝bc〞是“a＝b〞的充分条件B[假设a＝b，那么ac＝bc；假设ac＝bc，那么a不一定等于b，故“ac＝bc〞是“a ＝b〞的必要条件．]3．设a，b是实数，那么“a＋b＞0”是“ab＞0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件D[此题采用特殊值法：当a＝3，b＝－1时，a＋b＞0，但ab＜0，故不是充分条件；当a＝－3，b＝－1时，ab＞0，但a＋b＜0，故不是必要条件．所以“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分又不必要条件．]4．用“充分不必要〞、“必要不充分〞、“充要〞和“既不充分也不必要〞填空．(1)“a2＋b2＝0”是“a＝b＝0”的________条件．(2)两个三角形全等是这两个三角形相似的________条件．(3)“a2>0”是“a>0”的________条件．(4)“sin α>sin β〞是“α>β〞的________条件．(1)充要(2)充分不必要(3)必要不充分(4)既不充分也不必要[(1)a2＋b2＝0成立时，当且仅当a＝b＝0.故应填“充要〞．(2)因为两个三角形全等⇒两个三角形相似，但两个三角形相似D两个三角形全等，所以填“充分不必要〞．(3)因为a2＞0a＞0，如(－2)2＞0，但－2＞0不成立；又a＞0⇒a2＞0，所以“a2＞0”是“a＞0”的必要不充分条件．(4)因为y＝sin x在不同区间的单调性是不同的，故“sin α>sin β〞是“α>β〞的既不充分也不必要条件．]充分条件、必要条件、充要条件的判断件〞“充分必要条件〞“既不充分也不必要条件〞中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；(2)对于实数x ，y ，p ：x ＋y ≠8，q ：x ≠2或y ≠6； (3)p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3； (4)p ：a ＜b ，q ：ab＜1.[思路探究] 判断p ⇒q 与q ⇒p 是否成立，当p 、q 是否认形式， 可判断綈q 是綈p 的什么条件．[解] (1)在△ABC 中，显然有∠A >∠B ⇔BC >AC ，所以p 是q 的充分必要条件． (2)因为x ＝2且y ＝6⇒x ＋y ＝8，即綈q ⇒綈p ，但綈p ⇒綈q ，所 以p 是q 的充分不必要条件．(3)由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0.因此，p 是q 的必要不充分条件．(4)由于a ＜b ，当b ＜0时，a b＞1；当b ＞0时，a b ＜1，故假设a ＜b ，不一定有a b＜1； 当a ＞0，b ＞0，a b ＜1时，可以推出a ＜b ； 当a ＜0，b ＜0，a b＜1时，可以推出a ＞b . 因此p 是q 的既不充分也不必要条件．充分条件与必要条件的判断方法1．定义法2．等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题． 3．逆否法：这是等价法的一种特殊情况．假设綈p ⇒綈q ，那么p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件； 假设綈p ⇒綈q ，且綈q綈p ，那么p 是q 的必要不充分条件；假设綈p ⇔綈q ，那么p 与q 互为充要条件； 假设綈p綈q ，且綈q綈p ，那么p 是q 的既不充分也不必要条件．1．(1)设a ，b 是实数，那么“a >b 〞是“a 2>b 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件D [令a ＝1，b ＝－1，满足a >b ，但不满足a 2>b 2，即“a >b 〞不能推出“a 2>b 2”；再令a ＝－1，b ＝0，满足a 2>b 2，但不满足a >b ，即“a 2>b 2”不能推出“a >b 〞，所以“a >b 〞是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件．](2)对于二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，以下结论正确的选项是( ) ①Δ＝b 2－4ac ≥0是函数f (x )有零点的充要条件； ②Δ＝b 2－4ac ＝0是函数f (x )有零点的充分条件； ③Δ＝b 2－4ac >0是函数f (x )有零点的必要条件； ④Δ＝b 2－4ac <0是函数f (x )没有零点的充要条件． A ．①④ B ．①②③ C ．①②③④D ．①②④D [①Δ＝b 2－4ac ≥0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根⇔f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点，故①正确．②假设Δ＝b 2－4ac ＝0，那么方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，因此函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点，故②正确．③函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，未必有Δ＝b 2－4ac >0，也可能有Δ＝0，故③错误．④Δ＝b 2－4ac <0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根⇔函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)无零点，故④正确．]充要条件的探求与证明(1)“x 2－4x <0”的一个充分不必要条件为( )A ．0<x <4B ．0<x <2C ．x >0D ．x <4(2)x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y的充要条件是xy >0.[思路探究] (1)先解不等式x 2－4x <0得到充要条件，那么充分不必要条件应是不等式x 2－4x <0的解集的子集．(2)充要条件的证明可用其定义，即条件⇒结论且结论⇒条件．如果每一步的推出都是等价的(⇔)，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“⇔〞写出证明．[解析] (1)由x 2－4x <0得0<x <4，那么充分不必要条件是集合{x |0<x <4}的子集，应选B.[答案] B(2)法一：充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >yxy， 即1x <1y.必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －xxy<0.因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0. 所以1x <1y的充要条件是xy >0.法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －x xy<0.由条件x >y ⇔y －x <0，故由y －xxy<0⇔xy >0. 所以1x <1y⇔xy >0，即1x <1y的充要条件是xy >0.1．探求充要条件一般有两种方法：(1)探求A 成立的充要条件时，先将A 视为条件，并由A 推导结论(设为B )，再证明B 是A 的充分条件，这样就能说明A 成立的充要条件是B ，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进展等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明．2．充要条件的证明(1)证明p 是q 的充要条件，既要证明命题“p ⇒q 〞为真，又要证明“q ⇒p 〞为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．(2)证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p 是q 的充要条件〞与“p 的充要条件是q 〞这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．2．(1)不等式x (x －2)<0成立的一个必要不充分条件是( ) A ．x ∈(0,2) B ．x ∈[－1，＋∞) C ．x ∈(0,1)D ．x ∈(1,3)B[由x(x－2)<0得0<x<2，因为(0,2)[－1，＋∞)，所以“x∈[－1，＋∞)〞是“不等式x(x－2)<0成立〞的一个必要不充分条件．](2)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.[证明] 假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0.①证明p⇒q，即证明必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.②证明q⇒p，即证明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一个根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.充分、必要条件的应用[探究问题]1．假设集合A B，那么“x∈A〞是“x∈B〞的什么条件？“x∈B〞是“x∈A〞的什么条件？[提示] 因为A B，所以x∈A成立时，一定有x∈B，反之不一定成立，所以“x∈A〞是“x∈B〞的充分不必要条件，而“x∈B〞是“x∈A〞的必要不充分条件．2．对于集合A和B，在什么情况下，“x∈A〞是“x∈B〞的既不充分也不必要条件？[提示] 当A B且B A时，“x∈A〞是“x∈B〞的既不充分也不必要条件．3．集合A＝{x|x≥a}，B＝{x|x≥2}．假设A是B的充要条件，实数a的值确定吗，假设集合A是B的充分不必要条件？实数a的值确定吗？[提示] 当A是B的充要条件时，A＝B，这时a的值是确定的，即a＝2；当A是B的充分不必要条件时，A B，这时a的值不确定，实数a的取值范围是(2，＋∞)．【例3】p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且p是q的充分不必要条件，那么实数m的取值范围为________．[思路探究] p是q的充分不必要条件→p代表的集合是q代表的集合的真子集→列不等式组求解{m|m≥9}(或[9，＋∞))[由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)．因为p 是q 的充分不必要条件，所以p ⇒q 且qD p .即{x |－2≤x ≤10}是{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}的真子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，m >0，1＋m >10，解得m ≥9.所以实数m 的取值范围为{m |m ≥9}．]1．本例中“p 是q 的充分不必要条件〞改为“p 是q 的必要不充分条件〞，其他条件不变，试求m 的取值范围．[解] 由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)得1－m ≤x ≤1＋m (m >0) 因为p 是q 的必要不充分条件，所以q ⇒p ，且p q .那么{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}{x |－2≤x ≤10}所以⎩⎪⎨⎪⎧m >01－m ≥－21＋m ≤10，解得0<m ≤3.即m 的取值范围是(0,3]．2．假设本例题改为：P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P 〞是“x ∈Q 〞的必要条件，求实数a 的取值范围．[解] 因为“x ∈P 〞是x ∈Q 的必要条件，所以Q ⊆P .所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1a ＋4≥3解得－1≤a ≤5即a 的取值范围是[－1,5]．利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围1．化简p 、q 两命题，2．根据p 与q 的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系， 3．利用集合间的关系建立不等关系， 4．求解参数范围．1．充分条件、必要条件的判断方法： (1)定义法：直接利用定义进展判断．(2)等价法：利用逆否命题的等价性判断，即要证p ⇒q ，只需证它的逆否命题綈q⇒綈p即可；同理要证q⇒p，只需证綈p⇒綈q即可．(3)利用集合间的包含关系进展判断．2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进展求解．1．判断(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)如果p是q的充分条件，那么命题“假设p那么q〞为真．( )(2)命题“假设p那么q〞为假，记作“q⇒p〞．( )(3)假设p是q的充分条件，那么p是唯一的．( )(4)假设“p q〞，那么q不是p的充分条件，p不是q的必要条件．( )[答案] (1)√(2)×(3)×(4)×2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，那么当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但x2－4x －5＝0时，x＝5不一定成立，应选B.]3．假设“x＜m〞是“(x－1)(x－2)＞0”的充分不必要条件，那么m的取值范围是________．(－∞，1] [由(x－1)(x－2)＞0可得x＞2或x＜1，由条件，知{x|x＜m}{x|x＞2或x＜1}，∴m≤1.]4．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实数根的充要条件是m≥2.[证明] (1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，所以方程x2＋mx＋1＝0有实根，设两根为x1，x2，由根与系数的关系知，x1·x2＝1>0，所以x1，x2同号．又x1＋x2＝－m≤－2<0，所以x1，x2同为负数．即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件是m≥2.(2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0有两个负实根，设其为x1，x2，且x1x2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4≥0，x 1＋x 2＝－m <0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2或m ≤－2，m >0，所以m ≥2，即x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的必要条件是m ≥2. 综上可知，m ≥2是x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充分必要条件．。
1.1.1命题及四种命题
§1.1.1命题和四种命题知识与技能：了解命题的概念，能判断命题的真假，能辨别命题的条件与结论构成，掌握四种命题的概念。
过程与方法：通过对具体实例的判断，掌握命题的概念与真假的辨别，并理解四种命题间的内在联系。
情感态度与价值观：学生领略数学的实际应用价值，感受数学学习的乐趣。
学习过程： 思考：下列语句的表述形式有什么特点？你能判断它们的真假吗？ （1）若直线//a b ，则直线a 和直线b 无公共点； （2）247+= （3）垂直于同一条直线的两个平面平行； （4）若21x =，则1x =； （5）两个全等三角形的面积相等； （6）3能被2整除 （一）句叫做命题，其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫做假命题。
那么上述语句中：其中真命题有 ，假命题有例1：下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题? （1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a 是素数，则a 是奇数； （3）指数函数是增函数吗？ （4）若空间有两条直线不相交，则这两条直线平行； （52=； （6）15x >.命题有 ，真命题有 假命题有. （二）P 则q 的形式例2 指出下列命题中的条件p 和结论q ： （1）若整数a 能被2整除，则a 是偶数； （2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平分. 解：（1）条件p ： 结论q ： （2）条件p ：结论q ： 变式：1、将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假：（1）垂直于同一条直线的两条直线平行；（2）负数的立方是负数； （3）对顶角相等。
变式练习： 1、判断下列命题的真假： （1） 能被6整除的整数一定能被3整除；（2） 若一个四边形的四条边相等，则这个四边形是正方形；（3） 二次函数的图象是一条抛物线； （4） 两个内角等于45︒的三角形是等腰直角三角形。
2、把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断它们的真假. (1) 等腰三角形两腰的中线相等；(2) 偶函数的图象关于y 轴对称； (3) 垂直于同一个平面的两个平面平行。
高中数学第一章常用逻辑用语1.1.1四种命题12111数学
题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.
例如： 原命题是：同位角相等，两直线平行。 否命题(mìng tí)是：同位角不相等，两直线不平行。
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课中共(zhōnɡ ɡò①nɡ)学如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；
④如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等。
逆否命题，并判断各命题的真假。
解 原命题(mìng tí)：若a=0,则ab=0是真命题； 逆命题：若ab=0，则a=0是假命题(mìng tí)；
否命题：若a 0，则ab 0 ”是假命题；
逆否命题：若ab 0，则a 0”是真命题；
原命题为真，它的否命题不一定为真；
原命题为真，它的逆否命题一定为真.
逆否命题 是：两直线不平行，同位角不相等。
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课中共(zhōnɡ 学 ɡònɡ)
探究 活动： (tànjiū)
1.探求(tànqiú)四种命题之间的关系，为 什么存在这种关系？
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课中共学
四种命题间的相互(xiānghù)关系：
原命题(mìng tí) 若p则q
互 否
例如：
原命题(mìng tí)是：同位角相等，两直线平行。 逆命题就是：两直线(zhíxiàn)平行，同位角相等。
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课中共(zhōnɡ ɡ①ònɡ如)学果两个三角形全等，那么它们的面积相等；
③如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等；
2.在两个命题中，一个命题的条件和结论分别 (fēnbié)是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这
第十三页，共二十一页。
课中共(zhōnɡ 学 ɡònɡ)
1.1.1 命题及四种命题
解
(1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；
否命题：如果一条直线不垂直于平面内的两条相交直线，
那么这条直线不垂直于平面；
逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直 线． (2)逆命题：如果x>0，那么x>10； 否命题：如果x≤10，那么x≤0； 逆否命题：如果x≤0，那么x≤10.
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例 2 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判 断命题的真假． (1)若 m· n<0，则方程 mx2－x＋n＝0 有实根； (2)若 ab＝0，则 a＝0 或 b＝0.
(2)逆命题： 若a＝0或b＝0，则ab＝0，真命题． 否命题： 若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题． 逆否命题： 若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题．
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达标检测 1.下列语句为命题的是( B ) A.对角线相等的四边形 B.同位角相等 C.x≥2 D.x2－2x－3<0 2.下列命题： ①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0； ③若a>b，则ac2>bc2；④矩形的对角线互相垂直． 4 其中假命题的个数是________ ． 3.命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( B ) A.若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数 B.若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数 C.若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数 D.若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
③x，y都是无理数，则x＋y是无理数；
④请把门关上； ⑤若直线l不在平面α内，则直线l与平面α平行． 其中是命题的是________．(填序号)
答案
②③⑤
高二数学上：选修2-1答案
高二数学上：选修2-1答案答案：选修2-1 §1.1.1 命题 §1.1.2 四种命题1.B2.B3.B4.B5.略6.若 $a^2>9$，则 $a>3$。
假。
7.若 $AB \neq B$，则 $AB \neq A$，真；8.3；9.原命题是真命题，则它的逆否命题是真命题。
10.略。
11.原命题真；逆命题：“已知 $\alpha,\beta \in \{x|x\neqk\pi+\pi,k\in Z\}$，若 $\tan\alpha=\tan\beta$，则 $\alpha=\beta$”假；否命题：“已知 $\alpha,\beta \in \{x|x\neq k\pi+\pi,k\in Z\}$，若 $\alpha\neq\beta$，则 $\tan\alpha\neq\tan\beta$”假；逆否命题：“已知 $\alpha,\beta \in \{x|x\neq k\pi+\pi,k\in Z\}$，若$\tan\alpha\neq\tan\beta$，则 $\alpha\neq\beta$”真。
改写：选修2-1 §1.1.1 命题 §1.1.2 四种命题1.B2.B3.B4.B5.略6.若 $a^2>9$，则 $a>3$。
这是错误的。
7.若 $AB \neq B$，则 $AB \neq A$，这是正确的；8.3；9.原命题是真命题，则它的逆否命题也是真命题。
10.略。
11.原命题是真命题；逆命题：“已知 $\alpha,\beta \in\{x|x\neq k\pi+\pi,k\in Z\}$，若 $\tan\alpha=\tan\beta$，则$\alpha=\beta$”是错误的；否命题：“已知 $\alpha,\beta \in\{x|x\neq k\pi+\pi,k\in Z\}$，若 $\alpha\neq\beta$，则$\tan\alpha\neq\tan\beta$”是错误的；逆否命题：“已知$\alpha,\beta \in \{x|x\neq k\pi+\pi,k\in Z\}$，若$\tan\alpha\neq\tan\beta$，则 $\alpha\neq\beta$”是正确的。
高二数学1.1.1 命题及其关系——四种命题 试题
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日命题及其关系——四种命题 班级：制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日姓名：1．理解命题的逆命题、否命题和逆否命题的含义，能写出给定命题的逆命题、否命题和逆否命题；2．会分析四种命题之间的互相关系；3．会利用互为逆否命题的两个命题之间的关系判别命题的真假．一．课前准备：我们知道，可以判断真假的语句叫做命题．例如，〔1〕假如两个三角形全等,那么它们的面积相等；〔2〕假如两个三角形的面积相等,那么它们全等； 〔3〕假如两个三角形不全等,那么它们的面积不相等； 〔4〕假如两个三角形的面积不相等,那么它们不全等. 二．探究新知：探究〔一〕：命题〔2〕、〔3〕、〔4〕与命题〔1〕有何关系？ 1．上面的四个命题都是 形式的命题， 可记为 ，其中p 是命题的条件，q 是命题的结论． 2．在上面的例子中，命题〔2〕的 分别是命题〔1〕的 ，我们称这两个命题为互逆命题．命题〔3〕的 分别是命题〔1〕的 ，这两个命题称为互否命题．命题〔4〕的 分别是命题〔1〕的 ，这两个命题称为互为逆否命题． 新知〔一〕逆命题、否命题和逆否命题的含义：一般地，设“假设p 那么q 〞为原命题，那么 就叫做原命题的逆命题； 就叫做原命题的否命题； 就叫做原命题的逆否命题． 新知〔二〕四种命题之间的关系：动手试试：例1．写出以下命题的逆命题、否命题与逆否命题．制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日〔1〕假设0a =,那么0ab =； 〔2〕假设b a =，那么b a =．变式1：写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题。
〔1〕假如直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面； 〔2〕当2x =或者4x =时，2680x x -+=。
§1.1.1四种命题
我们知道，能够判断真假的语句叫做命题。例如： 如果两个三角形全等，那么它们的面积相等;① 如果两个三角形的面积相等，那么它们全等;② 如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等;③ 如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等;④ 命题②，③，④与命题①有何关系？
学习目标: 1.了解四种命题的含义及它们之间的关系;
2.会写出给定命题的其他三种命题，会判断命题的真假。 自学指导:
1.互逆命题的题设和结论有何关系？互否命题和互为 逆否命题呢？
2.设“若p则q”为原命题，则它的逆命题，否命题，逆 否命题分别可表示为怎样的形式？ 3.四种命题之间具有怎样的关系？互为逆否命题的真 假性有何关联？ 自学检测：P7 练习 1
一般地,设“若p则q”为原命题,那么, “若q则p” 就叫做原命题的逆命题; “若非p则非q”就叫做原命题的否命题 ; “若非q则非p”就叫做原命题的逆否命题.
四种命题的关系如下图所示: 原命题 若p则q
互 为 否 命 题
互为逆命题
逆命题 若q则p
互 为 否 命 题
否命题 若非p则非q
互为逆命题
逆否命题 若非q则非p
一般地，互为逆否命题的两个命题，要么都是真命题， 要么都是假命题。
分层训练
一、必做题
P7:
P8: 1
2，
学学习中，会遇到如下的表述： (1)明天将举行全校运动会，除非天下雨； (2)只有当小张的各门课程的平均成绩在90分以上，并且 操行等第优秀时，他才可能获得本学期的特等奖学金； (3)如果两个三角形的两边及其夹角对应相等，那么这 两个三角形全等； ︳ (4)对于所有的实数a，都有 |a |≥0。 上述表述中都使用了逻辑用语。 在本章中，我们将研究： 如何用逻辑用语准确地表达数学内容？
1.1命题及四种命题间的关系
q：4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p，q一真 一假，求m的取值范围．
逆否命题的应用
• 某个命题与自然数n有关，如果当n=k(k∈N )时 该命题成立，那么推得当n=k+1时命题也成立， 现知当n=5时命题不成立，那么可推得( ) • A、当n=6时该命题不成立 • B、当n=6时该命题成立 • C、当n=4时该命题不成立 • D、当n=4时该命题成立
※
例 2.判断下列命题的真假： 对于实数 x 、y，若 x ＋y≠8，则 x ≠ 2 或 y≠6；
逆命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0； （真） （真） 否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2； （假） 逆否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0.
已知原命题：若x＞0，y＜0，则x＋y＞0， 那么其逆命题、否命题和逆否命题分别是 什么？这些命题的真假如何？
原命题：若x＞0，y＜0，则x＋y＞0（假） ；
2
例3.已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0； 命题q：0<x<4， 若命题p是真命题，命题q是假命题， 求实数x的取值范围． 变式练习：若命题P与命题q一真一假， 求实数x的取值范围。
“若p，则q” 思考2 对具有“若p，则q”形式的命 题，在逻辑上，p、q分别是什么地位？
例如：若两个三角形全等，则它们相似。 例：正方形的四条边相等。
1.1命题及四种命题
新课讲授
(1)命题: 一般地，在数学中，我们把 用语言、符号或式子表达的，可 以判断真假的陈述句叫做命题.
(2)真命题、假命题:
判断为真的语句叫做真命题； 判断为假的命题叫做假命题.
例1、判断下列语句是否是命题，并说明理由。 （1） 3是无理数； (2)福建真美啊！； （3）x R, x 4 x 4 0; (4) x 2 0;
1.1.1 四种命题
第1章 常用逻辑用语§1.1 命题及其关系1．1.1 四种命题一、基础过关1． “若函数f (x )＝sin(x ＋φ)为偶函数，则φ＝π2”的否命题是____________________． 2． 下列语句中命题的个数为________．①空集是任何非空集合的真子集．②三角函数是周期函数吗？③若x ∈R ，则x 2＋4x ＋7>0.④指数函数的图象真漂亮！3． 命题“正数a 的平方根不等于0”是命题“若一个数a 的平方根等于0，则a 不是正数”的________命题．4． “如果x 、y ∈R 且x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为0”的否命题是____________________．5． 给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．6． 有下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x 、y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中真命题的序号为________．7． 下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②正方形的四条边相等；③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有__________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．(填序号)二、能力提升8． 给定下列命题：①若k >0，则方程x 2＋2x －k ＝0有实数根；②若x ＋y ≠8，则x ≠2或y ≠6；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy＝0，则x、y中至少有一个为0”的否命题．其中真命题的序号是________．9．已知命题“若m－1<x<m＋1，则1<x<2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是___．10．已知命题“如果|a|≤1，那么关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集为∅”，它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有________个．11．把下列命题改写成“若p，则q”的形式：(1)各位数数字之和能被9整除的整数，可以被9整除；(2)斜率相等的两条直线平行；(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除．12．判断下列命题的真假，写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若a>b，则ac2>bc2；(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，则该函数图象与x轴有交点．13．求证：直角三角形的三边长不可能都是奇数．三、探究与拓展14．求证：如果p2＋q2＝2，则p＋q≤2.答案1．若函数f (x )＝sin(x ＋φ)不是偶函数，则φ≠π22．2 3.逆否4．如果x 、y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x 、y 不全为05．16．①③7．②和③ ①和③ ①和②8．①②④9．1≤m ≤210．211．解 (1)若一个整数的各位数数字之和能被9整除，则这个整数可以被9整除；(2)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；(3)若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除．12．解 (1)该命题为假命题，如c ＝0时，ac 2＝bc 2.逆命题：若ac 2>bc 2，则a >b .为真命题．否命题：若a ≤b ，则ac 2≤bc 2.为真命题．逆否命题：若ac 2≤bc 2，则a ≤b .为假命题．(2)该命题为假命题．逆命题：若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有交点，则b 2－4ac <0.为假命题． 否命题：若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，b 2－4ac ≥0，则函数图象与x 轴无交点．为假命题．逆否命题：若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴无交点，则b 2－4ac ≥0.为假命题．13．证明 假设三角形的三边长都是奇数，分别为a ，b ，c ，则有a 2，b 2，c 2为奇数．∵a 2＋b 2为偶数，c 2为奇数，∴a 2＋b 2≠c 2.∴此三角形不是直角三角形．∴原命题“直角三角形的三边长不可能都是奇数”的逆否命题“若一个三角形的三边长都是奇数，则该三角形就不是直角三角形”是真命题．∴直角三角形的三边长不可能都是奇数．14．证明 该命题的逆否命题为：若p ＋q >2，则p 2＋q 2≠2.p 2＋q 2＝12[(p ＋q )2＋(p －q )2] ≥12(p ＋q )2. ∵p ＋q >2，∴(p ＋q )2>4，∴p 2＋q 2>2，即p ＋q >2时，p 2＋q 2≠2成立．∴如果p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.。
人教A版选修1-1教案：1.1.1命题和四种命题(含答案)
§1．1 .1 命题、四种命题【学情分析】：命题、四种命题是逻辑学的基本知识，数学学科包含了大量的命题，了解命题的基本知识，认识命题的相互关系，对于掌握具体的数学知识很有帮助。
本节首先从熟悉的例子出发，引入命题、真命题和假命题的概念，引导学生能挖掘命题中的条件和结论，从而由条件和结论的关系引入四种命题。
【教学目标】：（1）知识目标：理解命题的概念；能判断命题的真假；能把命题写成若P则q的形式；能写出一个命题的另外三个命题。
（2）过程与方法目标：利用学生身边熟悉的事物引入命题和四种命题，让学生经历命题的概念和四种命题形成及运用过程，领会分析、总结的方法。
（3）情感与能力目标：通过提供适当的情境资料，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣；在合作讨论中学会交流与合作，启迪思维，提高创新能力；通过学生的举例，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力。
【教学重点】：判断命题的真假, 一个命题的另外三个命题。
【教学难点】：把命题写成若P则q的形式, 一个命题的另外三个命题。
1．下列语句不是命题的是（）A．2是奇数。
B．他是学生。
C．你学过高等数学吗？D．明天不会下雨。
2．下列语句中是命题的是（）A ．语文和数学B ．0sin 451= C ．221x x +- D ．集合与元素3．命题“内错角相等，则两直线平行”的否命题为（ ）A ．两直线平行，内错角相等B ．两直线不平行，则内错角不相等C ．内错角不相等，则两直线不平行D ．内错角不相等，则两直线平行 4．命题“若a b >，则1ab>”的逆否命题为（ ） A ．若1a b>，则a b > B ．若a ≤b ，则b a≤1C ．若a b >，则b a <D ．若ba≤1，则a ≤b5．命题“正数a 的平方不等于0”是命题“若a 不是正数，则它的平方等于0”的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定命题 6命题”02≤x ”是____________(真, 假)命题7.命题”若1x =，则220x x +-=”的逆命题是_________(真, 假)命题； 8命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是_ _______________________________________________9．写出“若x 2+y 2=0，则x =0且y =0”的逆否命题： ；10．命题“不等式x 2+x -6>0的解x <-3或x >2”的逆否命题是 11．把下列命题写成“若p 则q ”的形式，并判断其真假.(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除； (4)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧.12．写出命题“若a 和b 都是偶数，则a+b 是偶数”的否命题和逆否命题． 参考答案：1． C 2．B 3．C 4．D 5．B 6．真 ;7.假 8.逆否命题::圆的切线到圆心的距离等于圆的半径 9．逆否命题: 若x ≠0或y ≠0,则x 2+y 2≠0；10．若x 23≤-≥x 且,则x 2+x-60≤11．(1)原命题可以写成：若一个数是实数，则它的平方是非负数.这个命题是真命题.(2)原命题可以写成：若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形.这个命题是假命题. (3)原命题可以写成：若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除.这个命题是真命题.(4)原命题可以写成：若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧.这个命题是真命题.12．否命题为：若a 和b 不都是偶数，则a+b 不是偶数；逆否命题为：若a+b 不是偶数，则a 和b 不都是偶数。
课件2：1.1.1 命题~1.1.2四种命题
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①给定一个语句， ②判定其是否为命题并说明理由． 解答本题要严格验证该语句是否符合命题的概念．
[解析] (1)祈使句，不是命题． (2)x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，它包括 x2＋4x＋4>0， 或 x2＋4x＋4＝0，对于 x∈R，可以判断真假， 它是命题． (3)是疑问句，不涉及真假，不是命题． (4)是命题，人群中有的人喜欢苹果， 也存在着不喜欢苹果的人．
(2)从集合的观点看，我们建立集合A、B与命题中的 p、q之间的一种特殊联系：设集合A＝{x|p(x)成立}， B＝{x|q(x)成立}，就是说，A是全体能使条件p成立 的对象x所构成的集合，B是全体能使条件q成立的对 象x所构成的集合，此时，命题“若p，则q”为真，当 且仅当A⊆B时满足．
2．关于命题真假的判定方法 (1)一个命题的真假与命题所在环境有关． 对其进行判断时，要注意命题存在的前提条件． (2)一个命题的真假与人们的科学认识水平有关． 对其进行判断时，要参阅最科学的权威标准． 如“0∈N”以前是假命题，而现在却是真命题．
[解析] 本题考查三角函数的图象与性质； ①由正切函数的图象易知为真； ②真，不论 k 取奇数或偶数，函数名称不变，故为偶函数； ③假，因为 f(x)＝cos|x|＝cosx，故最小正周期仍为 2π； ④真，可以用分类讨论的思想来解决； ⑤真，y＝sin2x－cosx＝－cos2x－cosx＋1＝－cosx＋212＋45， 易知当 cosx＝1 时函数取得最小值－1.
[解析] (1)“f(x)＝3x(x∈R)是指数函数”是陈述句并且它是真的， 因此它是命题． (2)因为无法判断“x－2>0”的真假，所以它不是命题． (3)“集合{a，b，c}有3个子集”是假的，所以它是命题． (4)“这盆花长得太好了”无法判断真假，它不是命题.
课件1：1.1.1 命题 ~1.1.2四种命题
跟踪训练
答案： (1)是命题，真命题； (2)是命题，假命题； (3)是命题，假命题； (4)是命题，真命题； (5)不是命题．
典例精析
例3 把下列命题改写成“若p则q”的形式， 并判断真假． ①负数的立方是负数； ②等边三角形的三个内角相等． 分析：找准命题的条件和结论， 是解这类题目的关键，要注意大前提的写法．
跟踪训练
4．下列四个命题：①“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的
逆否命题；②“正方形是菱形”的否命题；③“若
ac2>bc2，则a>b”的逆命题；④若“m>2，则x2－2x＋
m>0，x∈R”．其中真命题的个数为( B )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
课时训练
判断下列说法的真假： ①原命题为真，则否命题为真( ); ②否命题为假，则逆命题也为假( )； ③原命题与逆否命题同真同假( )． 答案：× √ √
课堂小结
1．四种命题的相互关系如下：
课堂小结
2．当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其 等价命题的真假． 3．注意命题p⇒q的否定与它的否命题的区别： 命题p⇒q的否定是p⇒￢q；否命题是￢p⇒￢q. 命题与命题的否定直假相反，而原命题与否命题 可以同真假也可能真假相反．
典例精析
解析：(1)若ac>bc，则a>b； 假命题． (2)若m>14，则mx2－x＋1＝0无实根； 真命题． (3)若abc＝0，则a＝0或b＝0或c＝0； 真命题． (4)若x2－2x－3＝0，则x＝3或x＝－1； 真命题．
典例精析
例4 写出命题“能被4整除的数是偶数”的逆命题、否 命题、逆否命题，并判断真假． 解析：可先将命题写成“若p则q”的形式， 即：若一个数能被4整除，则这个数是偶数． 逆命题是：偶数能被4整除，假命题． 否命题是：不能被4整除的数不是偶数，假命题． 逆否命题是：不是偶数的数不能被4整除，真命题．
1.1.1四种命题
1.1.1四种命题
划上课日期：
通过实例理解命题的概念，会判断命题的真假；
2了解命题的四种形式，能正确判断四种命题之间的关系．学重难点利用四种命题的关系判断命题的真假
如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；
如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等；
④
3
是命题的条件，是命题的结论．
命题③的条件和结论分别是命题①的条件的否定和结论的否定，我们称这样的两个命题互为否命题；
命题④的条件和结论分别是命题①的结论的否定和条件的否定，我们称这样的两个命题互为逆否命题．
设“若”就叫做原命题的逆命题；
）四条边相等的四边形是正方形．
）若
命题“两个有理数的和是有理数”的否命题的逆否
．怎样写命题的条件和结论；
与逆否命题；
题的等价性判断命题的真假．。
§1.1.1 四种命题
§1.1.1 四种命题【教学目标】1．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；2．会分析四种命题之间的相互关系；3．会利用互为逆否命题的两个命题之间的关系判别命题的真假．【重点及难点】四种命题的关系．【教学过程】一、问题情境1．复习命题的概念．2．把下列命题写成“若p则q”的形式，并说明命题①与命题②、③、④的条件和结论之间分别有什么的关系？①同位角相等，两直线平行；②两直线平行，同位角相等；③同位角不相等，两直线不平行；④两直线不平行，同位角不相等．二、数学建构（一）四种命题1．原命题的概念：我们通常把所给的一个命题叫做原命题．如果用p和q分别表示原命题的条件和结论，则原命题可表示：若p则q．2．逆命题的概念：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题叫做互为逆命题．把其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题．用“若p则q”表示原命题结构，用“若q则p”表示逆命题结构．3．否命题的概念：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．把其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的否命题．用“若p则q”表示原命题结构，用“若非p则非q”表示否命题结构．4．逆否命题的概念：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．把其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆否命题．用“若p则q”表示原命题结构，用“若非q，则非p”表示逆否命题结构．（二）四种命题之间的关系例1写出下列三个命题的逆命题、否命题与逆否命题（1）两直线平行，同位角相等；（2）全等三角形的对应边相等；（3）四边相等的四边形是正方形．（4）“若0a =，则0ab =”问题：原命题、逆命题、否命题、逆否命题的真假有什么关系？例2 分别写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．并判断它们的真假：（1）若1m <，则220x x m ++=方程有实数根；（2）奇函数的图象关于原点对称；（3）若220x x +-=，则1x =；一般地，互为逆否命题地两个命题，要么都是真命题，要么都是假命题．即互为逆否命题的两个命题的真假相同．三、课堂练习课本P7 练习1、2四、课堂小结1．四种命题的准确表达及其相互关系；2．等价转化的思想方法：互为逆否的两个命题同真同假的应用．五、课外作业课本P8 习题1.1 1、2。
第一章 1.1.1 命 题~1.1.2 四种命题
§1.1 命题及其关系 1．1.1 命 题 1．1.2 四种命题学习目标 1.了解命题的概念，能判断给定的语句是不是命题.2.会判断命题的真假，能够把命题化为“若p ，则q ”的形式.3.理解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．知识点一 命题的定义及分类命题⎩⎪⎨⎪⎧定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.分类：⎩⎪⎨⎪⎧真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.形式：“若p ，则q ”.其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论.思考：如何判断命题的真假？提示：真命题需要证明，假命题只需举出一个反例即可． 知识点二 四种命题的表示形式及特点命题名称 表示形式 特点 原命题 若p ，则q逆命题 若q ，则p 把原命题的条件和结论互换 否命题 若綈p ，则綈q 把原命题的条件和结论都否定 逆否命题若綈q ，则綈p把原命题的条件和结论互换且都否定特别提醒 “綈p ”读作“非p ”，表示p 的否定．1．含有变量的语句也可能是命题．( √ )2．如果一个陈述句判断为假，那么它就不是命题．( × ) 3．有些命题在形式上可以不是“若p ，则q ”的形式．( √ )4．命题“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题是“若a <b ，则a 2<b 2”．( × )一、命题的概念及真假判断 命题角度1 识别命题例1 判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)π3是有理数； (2)3x 2≤5；(3)梯形是不是平面图形呢？ (4)若x ∈R ，则x 2＋4x ＋5≥0； (5)一个数的算术平方根一定是负数； (6)若a 与b 是无理数，则ab 是无理数．解 (1)“π3是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．(2)因为无法判断“3x 2≤5”的真假，所以它不是命题． (3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．(4)“若x ∈R ，则x 2＋4x ＋5≥0”是陈述句，并且它是真的，所以它是命题． (5)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． (6)“若a 与b 是无理数，则ab 是无理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． 反思感悟 判断一个语句是不是命题的两个关键点(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题． (2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题． 跟踪训练1 下列语句为命题的有________．(填序号) ①一个数不是正数就是负数； ②这座山真险啊！ ③22 020是一个很大的数； ④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC ≌△A ′B ′C ′. 答案 ①④解析 ①是陈述句，且能判断真假；②不是陈述句；③不能判断真假；④是陈述句，且能判断真假；⑤不是陈述句． 命题角度2 判断命题的真假 例2 给定下列命题： ①若a >b ，则2a >2b ；②命题“若a ，b 是无理数，则a ＋b 是无理数”是真命题； ③直线x ＝π2是函数y ＝sin x 的一条对称轴．其中为真命题的是________．(填序号) 答案 ①③解析 结合函数f (x )＝2x 的单调性，知①为真命题；而函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝π2＋k π，k ∈Z ，故③为真命题；取a ＝2，b ＝－2，a ＋b ＝0不是无理数，故②是假命题． 反思感悟 一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可． 跟踪训练2 给定下列命题：①若k >0，则方程x 2－2x －k ＝0有实数根； ②若a >b >0，c >d >0，则ac >bd ； ③对角线相等的四边形是矩形； ④若xy ＝0，则x ，y 中至少有一个为0. 其中是真命题的为________．(填序号) 答案 ①②④解析 ①中，当k >0时，Δ＝4－4(－k )＝4＋4k >0，所以①为真命题； ②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②为真命题； ③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，所以③是假命题； ④由等式性质知命题正确，所以④是真命题． 二、命题的结构形式例3 把下列命题写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假． (1)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．解 (1)原命题可以写成：若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除．这个命题是真命题．(2)原命题可以写成：若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧，这个命题是真命题．反思感悟 将命题改写为“若p ，则q ”形式的方法及原则跟踪训练3 指出下列命题中的条件p 和结论q ，并判断各命题的真假． (1)若四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分； (2)若a >0，b >0，则a ＋b >0； (3)面积相等的三角形是全等三角形．解 (1)条件p ：四边形是平行四边形，结论q ：四边形的对角线互相平分．真命题． (2)条件p ：a >0，b >0，结论q ：a ＋b >0.真命题．(3)条件p ：两个三角形面积相等，结论q ：它们是全等三角形．假命题． 三、四种命题的书写与辨析例4 写出下列各个命题的逆命题、否命题以及逆否命题． (1)若sin α＝12，则tan α＝3；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形； (3)当1<x <2时，x 2－3x ＋2<0.解 (1)逆命题：若tan α＝3，则sin α＝12.否命题：若sin α≠12，则tan α≠ 3.逆否命题：若tan α≠3，则sin α≠12.(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高． 否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等． 逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．(3)逆命题：若x2－3x＋2<0，则1<x<2.否命题：若x≤1或x≥2，则x2－3x＋2≥0.逆否命题：若x2－3x＋2≥0，则x≤1或x≥2.反思感悟四种命题的转换方法(1)逆命题：交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．(2)否命题：同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．(3)逆否命题：交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．跟踪训练4有下列命题：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；③正方形的四条边相等；④圆内接四边形的对角互补；⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．(填序号)答案②和④，③和⑥①和⑥，②和⑤①和③，④和⑤解析命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”，命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”，命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系进行判断即可．命题改写要关注大前提典例“已知c>0，当a>b时，ac>bc”．把该命题改写成“若p，则q”的形式，并写出该命题的否命题．解该命题的“若p，则q”的形式为已知c>0，若a>b，则ac>bc，其否命题为已知c>0，若a≤b，则ac≤bc.[素养提升](1)将含有大前提的命题改写成“若p，则q”的形式时，要注意其书写格式为“大前提，若p，则q”，对含有大前提的命题，在写其他三种命题时，应保持大前提不变．(2)掌握命题的基本形式和规则是进行逻辑推理的前提和基础，有利于培养学生有条理，合乎逻辑的思维素养．1．下列语句为命题的是()A．2x＋5≥0 B．求证对顶角相等C．0不是偶数D．今天心情真好啊答案 C解析结合命题的定义知C为命题．2．下列命题为真命题的是( ) A ．若1x ＝1y ，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2答案 A解析 对于A ，若1x ＝1y ，则x ＝y ；对于B ，若x 2＝1，则x ＝±1；对于C ，若x ＝y <0，则x 与y 均无意义； 对于D ，若x ＝－2，y ＝－1，满足x <y ，但x 2>y 2. 故选A.3．已知命题α：如果x <3，那么x <5，命题β：如果x ≥3，那么x ≥5，则命题α是命题β的( ) A ．逆命题 B ．否命题 C ．逆否命题 D ．无关命题 答案 B解析 命题α：如果x <3，那么x <5；命题β：如果x ≥3，那么x ≥5，即对命题α的条件和结论同时进行否定，则命题α是命题β的否命题．4．命题p ：“若不等式x ＋3≥0的解集是A ，则a ∈A 是假命题，则a 的取值范围是________________．” 答案 (－∞，－3)解析 ∵x ＋3≥0，∴A ＝{x |x ≥－3}． 又∵a ∈A 是假命题，即a ∉A ，∴a <－3.5．命题“正偶数不是质数”的逆否命题是_______，它是________(填“真”或“假”)命题． 答案 若一个数是质数，则这个数不是正偶数 假1．知识清单： (1)命题． (2)四种命题．2．方法归纳：定义法、反证法． 3．常见误区：定义不清．1．给出下列语句：①f (x)＝3x(x∈R)是指数函数；②x2＋2x－1>0；③集合{a，b，c}有3个子集；④这盆花长得太好了！⑤sin 45°＝1.其中，命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析由命题的定义知①③⑤为命题．2．下列说法正确的是()A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B．语句“标准大气压下，100 ℃时水沸腾”不是命题C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题答案 D解析对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；对于B，所给语句是命题；对于C，反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形对角线互相垂直，但不是菱形”来说明．3．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是()A．两个平面B．一条直线C．垂直D．两个平面垂直于同一条直线答案 D解析所给的命题可以改为“如果两个平面垂直于同一条直线，那么它们互相平行”，故选D.4．下列命题中真命题的个数为()①周长相等的三角形是相似三角形； ②若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0； ③若a >b ，则a ＋c >b ＋c ； ④矩形的对角线互相垂直． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 ①错；②中若x ＝3，y ＝0，则xy ＝0，但|x |＋|y |≠0，故②错；③正确；④中矩形的对角线相等但不一定互相垂直．5．命题“若x 2<2，则－3<x <3”的逆否命题是( ) A ．若x 2≥2，则x ≥3或x ≤－3 B ．若－3<x <3，则x 2<2 C ．若x ≥3或x ≤－3，则x 2>2 D ．若x ≥3或x ≤－3，则x 2≥2 答案 D解析 逆否命题就是将原命题的条件和结论互换位置，并且将条件和结论都否定．故题干中的逆否命题为“若x ≥3或x ≤－3，则x 2≥2”．6．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的________．(填“逆命题”“否命题”“逆否命题”) 答案 逆命题解析 由逆命题的定义可得．7．若命题“关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a ＝0有实根”，则a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，14 解析 由题意得，Δ＝1－4a ≥0，∴a ≤14.8．下列语句：①三角形的内角和为π； ②0是最小的偶数吗？ ③2不等于3；④若两直线不平行，则它们相交．其中，不是命题的序号为________，真命题的序号为________． 答案 ② ①③解析 ②是疑问句，不是命题，其余都是命题．①③是真命题．若两直线不平行，则它们相交或为异面直线，④是假命题．9．写出命题“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．解 逆命题：若x ，y 全为0，则x 2＋y 2＝0，是真命题； 否命题：若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0，是真命题； 逆否命题：若x ，y 不全为0，则x 2＋y 2≠0，是真命题． 10．将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假． (1)正n 边形(n ≥3)的n 个内角全相等； (2)负数的立方是负数；(3)已知x ，y 为正整数，当y ＝x －5时，y ＝－3，x ＝2.解 (1)若一个多边形是正n 边形，则这个正n 边形的n 个内角全相等，是真命题． (2)若一个数是负数，则这个数的立方是负数，是真命题．(3)已知x ，y 是正整数，若y ＝x －5，则y ＝－3，x ＝2，是假命题．11．下面的命题中是真命题的是( ) A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则ca >0C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则内角B 为锐角 答案 B解析 A 中，y ＝sin 2x ＝1－cos 2x 2，故其最小正周期为π，A 不正确；B 正确；C 中，如果M ⊆N ，可得M ∪N ＝N ，故C 不正确；D 中，在△ABC 中，若AB →·BC →>0，可知角B 为钝角，故D 也不正确．12．命题“若∠C ＝90°，则△ABC 是直角三角形”的否命题为________命题．(填“真”“假”) 答案 假解析 原命题是“若∠C ＝90°，则△ABC 是直角三角形”，其否命题为“若∠C ≠90°，则△ABC 不是直角三角形”，为假命题．13．能说明“若a >b ，则1a <1b ”为假命题的一组a ，b 的值依次为________． 答案 1，－1(答案不唯一)解析 只要保证a 为正b 为负即可满足要求．当a >0>b 时，1a >0>1b. 14．已知命题p ：关于x 的函数y ＝x 2－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数，命题q ：y ＝(2a －1)x 为减函数，若p 和q 都是真命题，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤12，23解析 命题p 等价于3a 2≤1，即a ≤23. 由y ＝(2a －1)x 为减函数，得0<2a －1<1，即12<a <1. 若p 和q 均为真命题，则12<a ≤23.15．已知命题“若2m －1<x <3m ＋2，则1<x <3”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤13，1解析 其逆命题为若1<x <3，则2m －1<x <3m ＋2.该命题为真命题，需满足⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≤1，3m ＋2≥3，解得13≤m ≤1， 故m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤13，1.16．已知A ：5x －1>a ，B ：x >1，请选择适当的实数a ，使得利用A ，B 构造的命题“若p ，则q ”为真命题．解 若视A 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x >1＋a 5， 则x >1”，由命题为真命题可知1＋a 5≥1，解得a ≥4；若视B 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x >1，则x >1＋a 5”，由命题为真命题可知1＋a 5≤1，解得a ≤4.故a 取任一实数均可利用A ，B 构造出一个真命题，比如取a ＝1，则有真命题“若x >1，则x >25”．。
1.1.1 命题1.1.2四种命题
1.1.1 命题1.1.2四种命题 姓名：一、新课引入1．在数学中，我们把用 、 或 表达的，可以 的 叫做命题，其中 的语句叫做真命题， 的语句叫做假命题.2.命题的数学形式：“若p ，则q ”，命题中的p 叫做命题的 ，q 叫做命题的 .3.四种命题的概念⑴对两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做 ，其中一个命题叫做 .原命题为：“若p ，则q ”，则逆命题为：“ ”.⑵一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做 ，其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的 .若原命题为：“若p ，则q ”，则否命题为：“ ”.⑶一个命题的条件和结论恰好是另个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做 ，其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的.若原命题为：“若p ，则q ”，则逆否命题为：“ ”.4.注意：“若p ，则q ”型的命题只是命题的一种类型，还有大量的命题写不成这种形式，例如：“某些三角形没有外接圆.”这个命题就不能写成“若p ，则q ”的形式.判断一个语句是不是命题，分为两步：第一步看他是不是陈述语句，第二步看它能不能判断真假.二、牛刀小试1.下列语句不是命题的是（ ）(A)地球是太阳系的行星 （B ）等腰三角形的两底角相等（C ）今天会下雪吗？ （D ）正方形的四个内角均为直角2.下列语句中，是命题的个数是（）.①难道平行四边形的对角线不是互相平分吗？②3>x ；③若3>x ，则5>x ；④ x 是无理数. （A ）1 （B ）2 （C ） 3 (D)33.“全等三角形一定是相似三角形”的逆否命题（ ）.（A ）不全等三角形不一定不是相似三角形 （B ）不相似三角形不一定是全等三角形（C ）不相似三角形一定不是全等三角形 （D ）不全等三角形不一定是相似三角形4.命题)(B A x ∈的否命题是 .三、例题讲解例1：判断下列命题的真假. ⑴形如6b a + 的数是无理数. ⑵正项等数列的公差大于零.⑶奇函数的图像关于原点对称. ⑷能被2整除的数一定.例2：设α，β为两个不同的平面，l ，m 为两条不同的直线，且βα⊆⊆m l ,，有如下两个命题：①若α∥β，则l ∥m ，②若m l ⊥，则βα⊥，那么（ ）（A ）①是真命题，②是假命题 （B ）①是假命题，②是真命题（C ）①②都是真命题 （D ）①②都是假命题例2 ：写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假.（1） 负数的平方式正数； （2）正方形的四条边相等.例3：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题.（1） 若022=+y x ，则y x ,全为0； (2)若b a +是偶数，则b a ,都是偶数.四、限时训练1.命题“若b a >，则55->-b a ”的逆否命题是（ ）.（A ）若b a <，则55-<-b a (B)若55->-b a ，则b a >（C ）若b a ≤，则55-≤-b a （D ）若55-≤-b a ，则b a ≤2.设ABC ∆的三边分别为,,,c b a 在命题“若222c b a ≠+，则ABC ∆不是直角三角形”及其逆命题中（ ）.(A)原命题真，逆命题假 （B ）逆命题真，原命题假（C ）两个命题都真 （D ）两个命题都假3.平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是m '和n '，给出下列四个命题：①若n m '⊥'，则n m ⊥；②若m '与n '相交，则m 与n 相交或重合；③若n m ⊥，则n m '⊥'；④若m '与n '平行，则m 与n 平行或重合.其中不正确的命题的个数是（ ）.（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44.命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的 （ ）.(A)逆命题 （B ）否命题 （C ）逆否命题 （D ）无关命题5.命题“若,0=ab 则0=a 或0=b ”的逆否命题是 .6．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假.（1）实数的平方式非负数；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
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§1.1.1四种命题
【教学目标】
1．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；
2．会分析四种命题之间的相互关系；
3．会利用互为逆否命题的两个命题之间的关系判别命题的真假．
【重点及难点】四种命题的关系．
【教学过程】
一、问题情境
1．复习命题的概念．
2．把下列命题写成“若p则q”的形式，并说明命题①与命题②、③、④的条件和结论之间分别有什么的关系？
①同位角相等，两直线平行；②两直线平行，同位角相等；
③同位角不相等，两直线不平行；④两直线不平行，同位角不相等．
二、数学建构
（一）四种命题
1．原命题的概念：我们通常把所给的一个命题叫做原命题．
如果用p和q分别表示原命题的条件和结论，则原命题可表示：若p则q．
2．逆命题的概念：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题叫做互为逆命题．把其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题．用“若p则q”表示原命题结构，用“若q则p”表示逆命题结构．
3．否命题的概念：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．把其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的否命题．用“若p则q”表示原命题结构，用“若非p则非q”表示否命题结构．
4．逆否命题的概念：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．把其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆否命题．
用“若p则q”表示原命题结构，用“若非q，则非p”表示逆否命题结构．
（二）四种命题之间的关系
§1。
1。
1命题及其关系 例1写出下列三个命题的逆命题、否命题与逆否命题
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）全等三角形的对应边相等；
（3）四边相等的四边形是正方形．
（4）“若0a =，则0ab =”
问题：原命题、逆命题、否命题、逆否命题的真假有什么关系？
例2 分别写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．并判断它们的真假：
（1）若1m <，则220x x m ++=方程有实数根；
（2）奇函数的图象关于原点对称；
（3）若220x x +-=，则1x =；
一般地，互为逆否命题地两个命题，要么都是真命题，要么都是假命题．即互为逆否命题的两个命题的真假相同．
三、课堂练习
课本P7 练习1、2
四、课堂小结
1．四种命题的准确表达及其相互关系；
2．等价转化的思想方法：互为逆否的两个命题同真同假的应用．
五、课外作业
课本P8 习题1.1 1、2。