河东教育北师大高中数学选修22同步练习：第1章 综合法
数学北师大版选修2-2同步练习第一章§1归纳与类比含解析
高手支招6体验成功基础巩固1.根据给出的数塔猜测123 456×9+7等于( )1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=1 1111 234×9+5=11 11112 345×9+6=111 111A 。
1 111 110B 。
1 111 111C 。
1 111 112D 。
1 111 113答案:B思路分析：由数塔猜测应是各位数字都是1的七位数，即1 111 111。
2.在数列｛a n }中,a 1=0,a n+1=2a n+2，则a n 是( ）A.2n-221-B.2n —2C.2n-1+1D.2n+1—4答案:B思路分析：当n=1,2,3时，求得a 2=2,a 3=6，a 4=14，观察知a n =2 n —2.3。
已知等差数列｛a n }中,a 7+a 9=16，a 4=1，则a 12的值是（ ）A.15B.30 C 。
31 D.64答案：A思路分析：用等差数列的性质：等差数列中项数之和相等的对应两项的和也相等.a 7+a 9=a 4+a 12，故选A 项。
4。
已知322+=232,833+=383，1544+=4154,…,若b a +6=6b a(a,b 均为实数），请推测a=________________，b=________________。
答案:6 35思路分析:由前面三个等式，推测归纳被开方数的整数与分数的关系,发现规律.由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测b a +6中，a=6，b=62—1=35。
即a=6,b=35。
5.已知f （n ）=1+21+31+…+n1(n∈N +)，经计算：f(2）=23，f(4）＞24,f （8）＞25，f （16）＞3,f(32）＞27，推测当n≥2时，有_______________。
答案：f （2n )＞22+n 思路分析：对问题进行归纳时,要尽可能将结论的形式统一，这样便于找到共性特征,看出其规律,故本题应将所给的式子写成f （21）=23，f （22）＞2,f （23）＞25,f(24）＞26，f （25）＞27，从而归纳出当n≥2时的一般结论为n≥2时,f(2n ）＞22+n . 6。
数学北师大版选修2-2同步练习 第一章§1归纳与类比 含
高手支招6体验成功 基础巩固1.根据给出的数塔猜测123 456×9+7等于( ) 1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1 111 1 234×9+5=11 111 12 345×9+6=111 111A.1 111 110B.1 111 111C.1 111 112D.1 111 113 答案：B思路分析：由数塔猜测应是各位数字都是1的七位数,即1 111 111. 2.在数列{a n }中,a 1=0,a n+1=2a n+2,则a n 是( ) A.2n-221-B.2n -2C.2n-1+1D.2n+1-4 答案：B思路分析：当n=1,2,3时,求得a 2=2,a 3=6,a 4=14,观察知a n =2 n -2. 3.已知等差数列{a n }中,a 7+a 9=16,a 4=1，则a 12的值是（ ）A.15B.30C.31D.64 答案：A 思路分析：用等差数列的性质:等差数列中项数之和相等的对应两项的和也相等.a 7+a 9=a 4+a 12,故选A 项. 4.已知322+=232,833+=383,1544+=4154,…,若b a +6=6ba (a,b 均为实数),请推测a=________________,b=________________.答案：6 35思路分析：由前面三个等式,推测归纳被开方数的整数与分数的关系,发现规律.由三个等式知,整数和这个分数的分子相同,而分母是这个分子的平方减1,由此推测ba +6中,a=6,b=62-1=35. 即a=6,b=35. 5.已知f(n)=1+21+31+…+n 1(n ∈N +),经计算:f(2)=23,f(4)＞24,f(8)＞25,f(16)＞3,f(32)＞27,推测当n≥2时,有_______________. 答案：f(2n )＞22+n 思路分析：对问题进行归纳时,要尽可能将结论的形式统一,这样便于找到共性特征,看出其规律,故本题应将所给的式子写成f(21)=23,f(22)＞2,f(23)＞25,f(24)＞26,f(25)＞27，从而归纳出当n≥2时的一般结论为n≥2时,f(2n )＞22+n .6.若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2,则三角形面积之比为:212211OM OM S S N OM N OM =∆∆·21ON ON .若从点O 所作的不在同一个平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上分别有点P 1、P 2与点Q 1、Q 2和R 1、R 2,则类似的结论为:_______________. 答案：21222111OP OP V V R Q P O R Q P O =--=21OQ OQ ·21OR OR 思路分析：在平面中是两三角形的面积之比,凭直觉可猜想在空间应是体积之比,所以有21222111OP OP V V R Q P O R Q P O =--=21OQ OQ ·21OR OR 7.已知数列{a n }的通项公式a n =2)1(1+n (n ∈N +),f(n)=(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n ),试通过计算f(1),f(2),f(3)的值,推测出f(n)的值. 答案：(1)f(1)=1-a 1=14341=-,f(2)=(1-a 1)(1-a 2)=f(1)·(191-)=43·98=32=64, f(3)=(1-a 1)(1-a 2)(1-a 3)=f(2)·(1161-)=32·1615=85,由此猜想f(n)=)1(22++n n . 思路分析：利用题目所给的关系式,可以计算出函数值,根据f(1),f(2),f(3)的值,找到共性特征,进而可得f(n)的值.8.已知:sin 230°+sin 290°+sin 2150°=23,sin 25°+sin 265°+sin 2125°=23. 观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并证明之. 答案：一般性的命题为sin 2θ+sin 2(60°+θ)+sin 2(120°+θ)=23. 证明如下:sin 2θ+sin 2(60°+θ)+sin 2(120°+θ)=2)2240cos(12)2120cos(122cos 1θθθ+++++++ =2123+［cos2θ+cos(120°+2θ)+cos(240°+2θ)］ =2123+［2cos60°cos(60°+2θ)+cos(180°+60°+2θ)］ =2123+［cos(60°+2θ)-cos(60°+2θ)］=23. 思路分析：仔细分析两个式子中角的特点,就会发现角的度数成等差数列,从而找到了规律.对角的观察是本题的突破口,若从两个式子中未能找到规律,可将两个式子中的三个角同时变化较小的度数,即可发现角的关系,从而找到式子的规律. 综合应用9.设数列{a n }的首项a 1=a≠41,且a n+1=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+.,41,,21为奇数为偶数n a n a n n记b n =a 2n-141-,n ＝1,2,3,… （1）求a 2,a 3;（2）判断数列{b n }是否为等比数列,并证明你的结论.答案：（1）a 2＝a 1+41=a+41,a 3=21a 2=21a+81; （2）∵a 4=a 3+41=21a+83,所以a 5=21a 4=41a+163,所以b 1=a 1-41=a-41,b 2=a 3-41=21(a-41),b 3=a 5-41=41(a-41),猜想:{b n }是公比为21的等比数列.证明如下:∵b n+1＝a 2n+1-41=21a 2n -41=21(a 2n-1-41)=21b n ,(n ∈N *) ∴{b n }是首项为a-41,公比为21的等比数列.思路分析：本题是考查猜想归纳能力及等比数列的定义.10.如图,点P 为斜三棱柱状ABC-A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点,PM ⊥B 1B 交AA 1于点M,PN ⊥BB 1交CC 1于点N.(1)求证:CC 1⊥MN;(2)在任意△DEF 中有余弦定理:DE 2=DF 2+EF 2-2DF·EFcos ∠DFE.拓展到空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证明.答案：(1)证明:∵PM ⊥BB 1,PN ⊥BB 1,∴BB 1⊥平面PMN. ∴BB 1⊥MN.又CC 1∥BB 1,∴CC 1⊥MN. (2)解:在斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,有S a BB 1A 12=211B BCC S +211A ACC S -211B BCC S ·11A ACC S cosα.其中α为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所成的二面角. ∵CC 1⊥平面PMN,∴上述的二面角的平面角为∠MNP. 在△PMN 中,PM 2=PN 2+MN 2-2PN·MN·cos ∠MNPPM 2·CC 12=PN 2·CC 12+MN 2·CC 12-2(PN·CC 1)·(MN·CC 1)·cos ∠MNP, 由于11B BCC S =PN·CC 1,11A ACC S =MN·CC 1,11A ABB S =MP·BB 1, ∴211A AAB S =211B BCC S +211A ACC S -211B BCC S ·11A ACC S cosα.思路分析：考虑到三个侧面的面积需要作出三个侧面的高,由已知条件可得△PMN 为三棱柱的直截面,选取三棱柱的直截面三角形作类比对象.11.找出三角形和四面体的相似性质,并用三角形的下列性质类比四面体的有关性质. (1)三角形的两边之和大于第三边;(2)三角形的中位线等于第三边的一半且平行于第三边;(3)三角形的三条内角平分线交于一点,且这个点是三角形内切圆的圆心; (4)三角形的面积为S=21(a+b+c)r(r 为内切圆的半径). 解：三角形与四面体有下列共同性质：(1)三角形是平面内由线段围成的最简单的封闭图形,四面体是空间中由平面三角形所围成的最简单的封闭图形.(2)三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条直线段上的各点连线所形成的图形,四面体可以看作三角形外一点与这个三角形上各点连线所形成的图形.根据三角形的性质可以推测空间四面体的性质如下:有与另一类事物类似(或相同)的性质,充分分析出三角形和四面体之间所具有的共同性质,再进行类比推理.。
高中数学北师大版选修2-2第1章 分析法和综合法例题解析
分析法和综合法例题解析分析法和综合法是两种思路相反的证明与推理方法，综合法证明是“由因导果”，分析法证明是“执果索因”。
它们是两种思路截然相反的证明方法，分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述，因此要注意两种方法在解题中的联合运用，正如恩格斯所说的：“没有分析就没有综合”。
在数学的证明中不能把分析法和综合法绝对分开。
例1 设2()(0)f x ax bx c a =++≠，若函数(1)f x +与()f x 的图像关于y 轴对称，求证1()2f x +为偶函数。
证明1：要证1()2f x +为偶函数，只须证明其对称轴为0x =, 即只须证1022b a --=, 只须证a b =-（*）。
由已知，抛物线(1)f x +的对称轴12b x a -=-与抛物线的对称轴2b x a-=关于y 轴对称， 122b b a a--∴-=- 于是得a b =-（*）1()2f x ∴+为偶函数。
证明2：记F ()x 1()2f x =+,欲证F ()x 为偶函数，只须证F ()x -=F ()x ,即只须证11()()22f x f x -+=+（*） 由已知，函数(1)f x +与()f x 的图象关于y 轴对称，而函数()f x 与()f x -的图象也是关于y 轴对称的，()(1)f x f x ∴-=+于是有 11()[()]22f x f x -+=-- 1[()1]2f x =-+ 1()2f x =+（*） 1()2f x ∴+为偶函数。
评注：本题的证明过程把综合法和分析法较好的结合起来，前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法，本题也可以先用综合法后用分析法。
例2 设n N ∈,求证222111312321n n n ++++≥+ 证明：把结论分解为两个部分考察 设222111123n x n =++++, 321n n y n =+, 则由 1210(1)n n x x n +-=>+ 12304(1)1n n y y n +-=>+- 可知，数列{}n x 与{}n y 都是单调递增数列。
2018-2019学年北师大版高中数学选修2-2同步配套：1.2 综合法与分析法1.2.2
∵a2+b2≥2ab 对一切实数恒成立,∴
������2 + ������2
≥
2 2
(������
+
������)成立.
综上所述,不等式得证.
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一 用分析法证明不等式
【例 1】 用分析法证明:
若 a>0,则
������2
+
1 ������2
−
2≥a+
1 ������
=
������������
=
������������
.
要使不等式
������2+1+������ ������2+������
≥
1+������ ������
对任何实数x
都成立,
即
������2+1+������ ������2+������
−
1+������������≥0
对任何实数
x
都成立,
题型一 题型二 题型三 题型四
=
������+������1,
������2 + 1 + ������ 1 + ������ ������ + 1 1 + ������
故
−
������2 + ������
������ =
−
������
������
������(������ + 1)- ������(������ + 1) ( ������������-1)( ������- ������)
3.若用Q表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为: Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件
北师大版高中数学选修2-2第一章推理与证明同步练习(一)
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）第一章推理与证明同步练习(一)1. 观察右图的规律，在其下面一行的空格内画上合适的图形，应是（）☆●◇▲△★○◆◇▲☆●A. △★○◆B. ○◆△★C. ○★△◆D. ◇●☆▲2. 如图，把三角形数中三角形内的点去掉形成了下列数列，则第8个三角形点数是（）(5)(4)(3)(2)(1)A. 15B. 21C. 27D. 283. 数列 5，13，25，x ，61，… 中的x 等于（ ） A. 35 B. 39 C. 41 D. 534. 已知βαβα⊂⊂=b a l ,, ，若b a ,为异面直线，则（ ）A. b a ,都与l 相交B. b a ,至少有一条与l 相交C. b a ,至多有一条与l 相交D. b a ,都不与l 相交5. 用数学归纳法证明命题“当n 为正奇数时，x +1能整除1+n x ”的第二步假设递推过程时，正确的证法是（ ）A. 假设当)(*N k k n ∈=时命题成立，证明当1+=k n 时命题也成立B. 假设当k n =（k 是正奇数）时命题成立，证明当1+=k n 时命题也成立C. 假设当)(12*N k k n ∈+=时命题成立，证明当1+=k n 时命题也成立D. 假设当k n =（k 是正奇数）时命题成立，证明当2+=k n 时命题也成立6. 在否定结论“至少有三个解”的说法中，正确的是（ ）A. 至多有两个解B. 至多有三个解C. 有一个或两个解D. 有两个解7. 类比边长为a 2的正三角形内的一点到三边的距离之和为a 3，对棱长为a 6的正四面体，正确的结论是（ ）A. 正四面体内部的一点到六条棱的距离的和为a 32B. 正四面体内部的一点到四面的距离的和为a 62C. 正四面体的中心到四面的距离的和为a 62D. 正四面体的中心到六条棱的距离的和为a 298. 已知n a a a a ,,,,321 为各项都大于零的等比数列，公比1≠q ，则（ ）A ．5481a a a a +>+B ．5481a a a a +<+C ．5481a a a a +=+D ．81a a +与54a a +的大小关系不能由已知条件确定9. 某个命题与自然数n 有关，若n ＝k ( k ∈N ) 时该命题成立，那么推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知当n =5时该命题不成立，那么可推得（ ）A ．当n =6时该命题成立B ．当n ＝6时该命题不成立C ．当n ＝4时该命题成立D ．当n ＝4时该命题不成立10. 等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）A ．170B ．130C ．260D ．21011. 用数学归纳法证明等式)(!2)()33)(22)(11(*N n n n n n ∈⋅=++++ 时，从“k n =”到“1+=k n ”需要增添的因式是___________________。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章 综合法 参考教案
综合法一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法之一：综合法；了解综合法的思考过程、特点。
二、教学重点：了解综合法的思考过程、特点；难点：综合法的思考过程、特点。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、 教学过程（一）、复习：演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.（二）引入新课引例：四边形ABCD 是平行四边形，求证：AB=CD ，BC=DA证 连结AC ，因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB//CD ，BC//DA 又AC=CA 故 AB=CD ，BC=DA直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为直接证明，其一般形式为： 本题结论在数学证明中，综合法是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后1234∠=∠∠=∠故，ABC CDA ∆≅∆所以达到待证结论或需求问题。
对于解答证明来说，综合法表现为由因导果，它是寻求解题思路的一种基本思考方法，应用十分广泛。
从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法)用P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q 表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:P ⇒1Q →1Q ⇒2Q →23Q Q ⇒→…→n Q Q ⇒特点:“由因导果”（三）、例题探析：例1：求证：π是函数)42sin()(π+=x x f 的一个周期。
证明：)()42sin()422sin(4)(2sin )(x f x x x x f =+=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+ππππππ ∴由函数周期的定义可知：π是函数)42sin()(π+=x x f 的一个周期。
例2：（韦达定理）已知1x 和2x 是一元二次方程)04,0(022≥-≠=++ac b a c bx ax 的两个根。
求证：ac x x a b x x =-=+2121,。
数学北师大版选修2-2同步练习 第一章§4数学归纳法 含
高手支招6体验成功 基础巩固1.某个命题与正整数有关,如果当n=k(k ∈N *)时,该命题成立,那么可推得当n=k+1时命题也成立.现在已知当n=5时,该命题不成立,那么可推得（ ）A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立C.当n=4时该命题不成立D.当n=4时该命题成立 答案：C 思路分析：依题意,n=4时该命题成立,则n=5时该命题成立,而n=5时该命题不成立,却无法判断n=6时该命题成立还是不成立,故应选C 项.2.用数学归纳法证明“当n 为奇数时,x n ＋y n 能被x ＋y 整除”时,第二步的归纳假设应写成（ ）A.假设n=2k ＋1(k ∈N )时正确,再推证n=2k ＋3时正确B.假设n=2k-1(k ∈N )时正确,再推证n=2k ＋1时正确C.假设n=k(k ∈N )时正确,再推证n=k ＋1时正确D.假设n≤k(k≥1)时正确,再推证n=k ＋2时正确 答案：B思路分析:本题考查两个方面,一方面是对奇数表达形式的理解,如果n=2k ＋1(k ∈N ),则k=1时,第一个奇数就不是1而是3,明显错误,如果n=2k-1(k ∈N ),那么k=1时,第一个奇数就是1,再推证就应该是n=2(k+1)-1=2k+1. 3.用数学归纳法证明1+21+31+…+1-21n ＜n(n ∈N ,n ＞1)时,在第二步假设n=k 时命题成立的前提下，证明n=k+1时命题成立时，左边增加了的项数是（ ）A.2kB.2k -1C.2k-1D.2k +1 答案：A思路分析:项数为2k+1-2k =2k .4.用数学归纳法证明2n n b a +≥(2b a +)n(a,b 是非负实数,n ∈N )时,假设n=k 命题成立之后,证明n=k+1命题也成立的关键是_____________. 答案：两边同乘以2ba + 思路分析:要想办法出现a k+1+b k+1,两边同乘以2b a +,右边便出现了要求证的(2b a +)k+1. 5.用数学归纳法证明“n 3+5n 能被6整除”的过程中,当n=k+1时,对式子(k+1)3+5(k+1)应变形为______________________________________________________________________________. 答案：(k 3+5k)+3k(k+1)+6思路分析:采用配凑法,必须利用归纳假设. 6.用数学归纳法证明不等式11+n +21+n +…+n 21＞2413(n≥2且n ∈N *). （1）当n=2时,不等式的左边为____________；（2）当n=3时,不等式的左边为____________;（3）第二步从“k”到“k+1”的证明中,不等式左边增添的代数式是___________. 答案：31+41;31+41+51;1k 21+-2k 21+思路分析:(1)当n=2时,不等式的左边为31+41(两项之和); (2)当n=3时,不等式的左边为31+41+51(三项之和)； (3)当n=k 时,不等式的左边为11+k +21+k +…+k21(k 项之和).而当n=k+1时, 21+k +…+k 21+121+k +221+k ,则从“k”到“k+1”的证明中,不等式左边增添的代数式为121+k +221+k -11+k =121+k -221+k .7.已知点的序列A n (x n ,0),n ∈N ,其中,x 1＝0,x 2＝a(a ＞0),A 3是线段A 1A 2的中点,A 4是线段A 2A 3的中点,…,A n 是线段A n-2A n-1的中点,… (1)写出x n 与x n-1、x n-2之间的关系式(n≥3);(2)设a n ＝x n ＋1-x n 计算a 1,a 2,a 3,由此推测数列{a n }的通项公式,并加以证明. 答案：(1)解:当n ≥3时,x n ＝221--+n n x x . (2)解:a 1＝x 2-x 1＝a,a 2＝x 3-x 2＝212x x +-x 2=-21(x 2-x 1)=-21a ，a 3=x 4-x 3=223x x +-x 3=-21(x 3-x 2)=-21(-21a)=41a,由此推测a n ＝(-21)n-1a(n ∈N *). 用数学归纳法证明.(i)当n ＝1时,a 1＝x 2-x 1＝a ＝(-21)0a,公式成立. (ii)假设当n ＝k 时,公式成立,即a k ＝(-21)k-1a 成立.那么当n ＝k ＋1时, a k+1=x k+2-x k+1=21k k x x ++-x k+1=-21(x k+1-x k )=-21a k =-21(-21)k-1a=(-211)1()-+k a,公式仍成立.根据(i)与(ii)可知,对任意n ∈N ,公式a n ＝(-21)n-1a 成立. 思路分析:由于数列的通项公式不清楚,我们先需要猜测出来,再证明.运用“猜想——归纳——证明”的思想.在证明a k+1=x k +2-x k+1=21k k x x ++-x k+1=-21(x k+1-x k )时不要忘记运用归纳假设.8.求实数a,使下列等式对一切正整数n 都成立:)2)(1(1543143213211+-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n )2)(1(42+++=n n ann .解：令n=1,得3211⨯⨯=61=)21)(11(412+++a.∴a=3.下面用数学归纳法证明: （1）当n=1时,已证. (2)假设n=k 时,命题成立,即)2)(1(1543143213211++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯k k k )2)(1(432+++=k k kk . 则n=k+1时,左边=)2)(1(1543143213211++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯k k k +)3)(2)(1(44)3()3)(2)(1(41)2)(1(43)3)(2)(1(122+++++=+++++++=+++k k k k k k k k k k k k k k k )3)(2)(1(4)1(3)1()3)(2)(1(4)45)(1(22++++++=++++++=k k k k k k k k k k k . 所以,当n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)可知,当a=3时,等式对任意的n ∈N *均成立.思路分析:对于此类型的题目,一般先使用不完全归纳法取n 的特殊值,探求出待定系数再用数学归纳法证之.由于只有一个待定量,故只需取一个特殊值求a. 9.（2006福建高考,理22）已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=2a n +1(n ∈N *) (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若数列{b n }满足114-b 122-b …14-n b =(a n +1n b )(n ∈N *),证明:数列{b n }是等差数列;(3)证明:2n -31＜21a a +32a a +…+1+n n a a ＜2n(n ∈N *). 答案：(1)解:∵a n+1=2a n +1(n ∈N *),∴a n+1+1=2(a n +1),∴{a n +1}是以a 1+1=2为首项,2为公比的等比数列. ∴a n +1=2n .即a n =22-1(n ∈N *) (2)证法一:∵112144--k k …14-n k =(a n +1n k ),∴nk n nk k k n 24)(21=-+++ .∴2［(b 1+b 2+…+b n )-n ］=nb n ,①2［(b 1+b 2+…+b n +b n+1)-(n+1)］=(n+1)b n+1.② ②-①,得2(b n+1-1)=(n+1)b n+1-nb n , 即(n-1)b n+1-nb n +2=0,③nb n+2-(n+1)b n+1+2=0.④③-④,得nb n+2-2nb n+1+nb n =0,即b n+2-2b n+1+b n =0,∴b n +2-b n+1=b n+1-b n (n ∈N *), ∴{b n }是等差数列. 证法二:同证法一,得 (n-1)b n+1-nb n +2=0 令n=1,得b 1=2.设b 2=2+d(d ∈R ),下面用数学归纳法证明b n =2+(n-1)d. (1)当n=1,2时,等式成立.(2)假设当n=k(k≥2)时,b k =2+(k-1)d,那么 b k+1=1-k k b k -12-k =1-k k ［2+(k-1)d ］-12-k =2+［(k+1)-1］d.这就是说,当n=k+1时,等式也成立.根据(1)和(2),可知b n =2+(n-1)d 对任何n ∈N *都成立. ∵b n+1-b n =d,∴{b n }是等差数列.(3)证明:∵)212(212121211--=--=++k k k k k k a a ＜21,k=1,2,…,n, ∴13221++++n n a a a a a a ＜2n. ∵121211--=++k k k k a a =21-)12(211-+k =21-22231-+∙k k ≥21-31·k 21,k=1,2,…,n, ∴13221++++n n a a a a a a ≥2n -31(21+221+…+n 21)= 2n -31(1-n 21)＞2n -31,∴2n -31＜13221++++n n a a a a a a ＜2n(n ∈N *). 思路分析:本题主要考查数列、不等式等基本知识,化归的数学思想方法及综合解题能力.在运用数学归纳法的时候通过构造来运用ｎ＝ｋ时的假设. 综合应有10.已知定义在R 上的单调函数y=f(x),当x ＜0时,f(x)＞1,且对任意的实数x 、y ∈R ,有f(x+y)=f(x)f(y),(1)求f(0),并写出适合条件的函数f(x)的一个解析式; (2)数列{a n }满足a 1=f(0)且f(a n+1)=)2(1n a f --(n ∈N *),①求通项公式a n 的表达式; ②令b n =(21n a ),S n =b 1+b 2+…+b n ,T n =322111a a a a ++…+11+n n a a ,试比较S n 与34T n 的大小,并加以证明. 答案：(1)解：由题意,令y=0,x ＜0,得f(x)[1-f(0)]=0,∵x ＜0时,f(x)＞1. ∴1-f(0)=0.f(0)=1.适合题意的f(x)的一个解析式为f(x)=(21)x . (2)①解：由递推关系知f(a n+1)·f(-2-a n )=1,即f(a n+1-2-a n )=f(0). ∵f(x)的R 上单调,∴a n+1-a n =2,(n ∈N *), 又a 1=1,故a n =2n-1. ②解：b n =（21n a )=(2112)-n ,S n =b 1+b 2+…+b n =21+(21)3+…+(2112)-n = )411(32)21(1])21(1[2122n n -=--.T n =)12)(12(153131111113221+-++⨯+⨯=++++n n a a a a a a n n =21(1-31+31-51+…+1-n 21-1n 21+)=21(1-1n 21+) S n =34T n =32(1-n 41)-32(1-1n 21+)=32(1n 21+-n 41)=32·nn n n 4)12()12(4∙++-. 欲比较S n 与34T n 的大小,只需比较4n 与2n+1的大小. 由n=1,2,3代入可知4n ＞2n+1,猜想4n ＞2n+1. 下面用数学归纳法证明 (i)当n=1时,41＞2×1+1成立(ii)假设当n=k 时命题成立,即4k ＞2k+1 当n=k+1时,4k+1=4×4k ＞4(2k+1)=8k+4=2(k+1)+1+6k+1＞2(k+1)+1, 说明当n=k+1时命题也成立.由(i)(ii)可知,4n ＞2n+1对于n ∈N *都成立. 故S n ＞34T n . 注:证明4n ＞2n+1,除用数学归纳法证明以外,还可用其他方法证明,如:4n =(1+3)n =1+1n C ·3+2n C ·32+…+nn C ·3n ≥1+3n ＞2n+1.思路分析:本题从函数的开始考察结合数列和不等式考察.S n 与34T n 的大小,我们通过几个值来,先来猜想结果然后再来证明.11.已知数列{a n }满足条件(n-1)a n+1=(n+1)(a n -1),且a 2=6,设b n =a n +n(n ∈N *). (1)求a 1、a 3、a 4的值; (2)求数列{a n }的通项公式;(3)求∞→n lim (21212132-++-+-n b b b )的值. 解：(1)∵(n-1)a n+1=(n+1)(a n -1)(n ∈N *),且a 2=6,∴当n=1时,a 1=1;当n=2时,a 3=3(a 2-1)=15;当n=3时,2a 4=4(a 3-1)=56,∴a 4=28.(2)由a 2-a 1=5,a 3-a 2=9,a 4-a 3=13,猜想a n+1-a n =4n+1. ∴a n -a 1=(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)， ∴a n =2n 2-n(n ∈N *).下面用数学归纳法证明如下: ①当n=1时,a 1=2×12-1=1,故猜想正确,②假设当n=k 时成立,即a k =2k 2-k(k ∈N *且k≥1), ∴(k-1)a k+1=(k+1)(a k -1),即(k-1)a k+1=(k+1)a k =(k+1)(2k 2-k-1), ∴a k+1=(k+1)(2k+1),即当n=k+1时,命题也成立.综上可知,a n =2n 2-n 对任意的正整数都成立. (3)由(2)可知b n =a n +n,∴b n =2n 2, b n -2=2n 2-2=2(n-1)(n+1). ∴2-1n b =41(11-n -11+n ),∴∞→n lim (21212122-++++-n b b b ) =∞→n lim ［41(1-31+21-41+31-51+…+21-n -n 1+11-n -11+n )］=∞→n lim ［83-41(n 1+11+n )］=83. 思路分析:先列出数列的前几项,然后猜想数列的通项公式.运用数学归纳法证明即可.12.已知函数f(x)=x 3-x 2+2x +41,且存在x 0∈(0,21),使f(x 0)=x 0.(1)证明:f(x)是R 上的单调增函数;设x 1=0,x n+1=f(x n );y 1=21,y n+1=f(y n ),其中n=1,2,…;(2)证明:x n ＜x n+1＜x 0＜y n+1＜y n ; (3)证明:nn n n x y x y --++11＜21. 证明：(1)∵f′(x)=3x 2-2x+21=3(x-31)2+61＞0,∴f(x)是R 上的单调增函数.(2)∵0＜x 0＜21,即x 1＜x 0＜y 1，又f(x)是增函数,∴f(x 1)＜f(x 0)＜f(y 1)，即x 2＜x 0＜y 2.又x 2=f(x 1)=f(0)=41＞0=x 1,y 2=f(y 1)=f(21)=83＜21=y 1. 综上,x 1＜x 2＜x 0＜y 2＜y 1.用数学归纳法证明如下:(1)当n=1时,上面已证明成立.(2)假设当n=k(k≥1)时有x k ＜x k+1＜x 0＜y k+1＜y k .当n=k+1时,由f(x)是单调增函数,有f(x k )＜f(x k+1)＜f(x 0)＜f(y k+1)＜f(y k ), ∴x k+1＜x k +2＜x 0＜y k +2＜y k+1.由(1)(2)知对一切n=1,2,…,都有x n ＜x n+1＜x 0＜y n+1＜y n . (3)nn n n n n n n x y x f y f x y x y --=--++)()(11=y n 2+x n y n +x n 2-(y n +x n )+21≤(y n +x n )2-(y n +x n )+21 =[(y n +x n )-21]2+41. 由(2)知0＜y n +x n ＜1.∴-21＜y n +x n -21＜21, ∴11x y x y n n n --++＜(21)2+41=21.思路分析:虽然本题为函数题,但是与n 相关,我们可以利用数学归纳法,当n=1我们先来验证.当n=k 时利用函数的单调性易知.13.某地区原有森林木材存量为a,且每年增长率为25%,因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b,设a n 为n 年后该地区的森林木材存量， （1）求a n 的表达式;（2）为保护生态环境,防止水土流失,该地区每年的森林木材量应不少于97a,如果b=7219a,那么该地区今后会发生水土流失吗?若会,需要经过几年?(取lg2=0.30) 解：(1)设第一年的森林木材存量为a 1,第n 年后的森林木材存量为a n ,∴a 1=a(1+41)-b=45a-b, a 2=45a 1-b=45(45a-b)-b=(45)2a-(45+1)b,a 3=45a 2-b=(45)3a-[(45)2+45+1]b,由上面的a 1,a 2,a 3推测:a n =(45)n a-[(45)n-1+(45)n-2+…+45+1]b=(45)n a-4[(45)n -1]b(n ∈N *).证明:①当n=1时,a 1=45a-b,已证推测成立.②假设n=k 时,a k =(45)k a-4[(45)k -1]b 成立.则当n=k+1时, a k+1=45a k -b=45{(45)k a-4[(45)k -1]b}-b=(45)k+1a-4[(45)k+1-1]b. 也就是说当n=k+1时,公式也成立.由①②知,对n ∈N *公式成立.(2)当b=7219a 时,若该地区今后发生水土流失时,则森林木材存量必须小于97a, ∴(45)n a-4[(45)n -1]7219a ＜97a,即(45)n ＞5.两边取对数得nlg45＞lg5,n ＞2lg 312lg 12lg 25lg 5lg --=-≈7. ∴经过6年后该地区开始发生水土流失.思路分析:本题依题意先计算出第一年、第二年、第三年后的森林木材的存量,归纳猜想第n 年后的该地区森林木材的存量,并用数学归纳法加以证明,该地区若发生水土流失,则森林木材存量必须小于97a,建立起a n ＜97a 的不等式,解之就可求得相应的n 值.。
高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案第一章 §2 综合法与分析法
§综合法与分析法阅读下面的例题．例：若实数，满足＋＝，证明：＋≥.证明：因为＋＝，所以＋≥＝＝＝，故＋≥成立．问题：本题利用什么公式？提示：基本不等式．问题：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论．综合法()含义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明的思维方法，称为综合法．()思路：综合法的基本思路是“由因导果”．()模式：综合法可以用以下的框图表示：→→→…→其中为条件，为结论.你们看过侦探小说《福尔摩斯探案集》吗？尤其是福尔摩斯在探案中的推理，给人印象太深刻了．有时，他先假定一个结论成立，然后逐步寻找这个结论成立的一个充分条件，直到找到一个明显的证据．问题：他的推理如何入手？提示：从结论成立入手．问题：他又是如何分析的？提示：逐步探寻每一结论成立的充分条件．问题：这种分析问题方法在数学问题证明中可以借鉴吗？提示：可以．分析法()含义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．这种证明问题的思维方法称为分析法．()思路：分析法的基本思路是“执果索因”．()模式：若用表示要证明的结论，则分析法可以用如下的框图来表示：．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．[例]已知，是正数，且＋＝，求证：＋≥.[思路点拨]由已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论．[精解详析]法一：∵，为正数，且＋＝，∴＋≥，∴≤，∴＋＝＝≥.法二：∵，为正数，∴＋≥＞，＋≥＞，。
2018-2019学年北师大版高中数学选修2-2同步配套：1.2 综合法与分析法1.2.1
当且仅当
a=b=c=
1 3
时,等号成立.
题型一
题型二 题型三
题型二
用综合法证明几何问题
【例2】如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a,D,E分别为C1C 与AB的中点,A1B交AB1于点G.
求证:(1)A1B⊥AD; (2)CE∥平面AB1D.
分析:(1)为了证明A1B⊥AD,可证A1B⊥平面AB1D,连接DG,显然 A1B⊥AB1,所以证明A1B⊥DG,可利用△A1DB是等腰三角形以及点 G是A1B的中点得证.
明不等式.
题型一 题型二 题型三
证法一:∵x+y=1,∴
1
+
1 ������
1
+
1 ������
=
1
+
������+������ ������
2
+
������ ������
2
+
������ ������
=5+2
������ ������
+
������ ������
.
∵x>0,y>0,∴
������ ������
=
题型一 题型二 题型三
证法二:∵x>0,y>0,1=x+y≥2
������������,
当且仅当x=y=
1 2
时,等号成立,
∴xy≤14.
1
1
11 1
故 1 + ������ 1 + ������ = 1 + ������ + ������ + ������������
=1+
高中北师大数学选修2-2练习：第一章 §4 数学归纳法
[A组基础巩固]1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1<n(n∈N＋，n>1)时，第一步应验证不等式()A．1＋12<2B．1＋12＋13<2C．1＋12＋13<3D．1＋12＋13＋14<3解析：∵n∈N＋，n>1，∴n取第一个正整数为2，左端分母最大的项为1 22－1＝1 3.答案：B2．证明n＋22<1＋12＋13＋14＋…＋12n<n＋1(n>1)，当n＝2 时，中间式等于()A．1B．1＋1 2C．1＋12＋13D．1＋12＋13＋14解析：中间式中的12n表示中间式的最后一项，前面的保留，所以n＝1时，中间式为1＋12，n＝2时，中间式为1＋12＋13＋14.答案：D3．如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝14n(n＋1)(n＋a)(n＋b)对一切正整数n都成立，则a，b的值应该等于() A．a＝1，b＝3 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝2 D．a＝2，b＝3解析：当n＝1时，原式可化为ab＋a＋b＝11；①当n＝2时，原式可化为ab＋2(a＋b)＝16.②由①②可得a＋b＝5，ab＝6，验证可知只有选项D适合．答案：D4．用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n＞1324的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边的变化情况为()A．增加12(k＋1)B．增加12k＋1＋12(k＋1)C．增加12k＋1＋12(k＋1)，减少1k＋1D．增加12(k＋1)，减少1k＋1解析：当n＝k时，不等式的左边＝1k＋1＋1k＋2＋…＋1k＋k，当n＝k＋1时，不等式的左边＝1k＋2＋1k＋3＋…＋1k＋1＋k＋1，又1k＋2＋1k＋3＋…＋1k＋1＋k＋1－(1k＋1＋1k＋2＋…＋1k＋k)＝12k＋1＋12k＋1－1k＋1，所以由n＝k到n＝k＋1时，不等式的左边增加12k＋1＋12k＋1，减少1k＋1.答案：C5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)的过程如下：①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．②假设当n＝k时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝1－2k＋11－2＝2k＋1－1，所以，当n＝k＋1时等式成立．由此可知，对任何n∈N＋，等式都成立．上述证明的错误是________．解析：当n＝k＋1时正确的解法是1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k＝2k＋1－1，即一定用上第二步中的假设．答案：没有用上归纳假设进行递推6．n为正奇数，求证：x n＋y n能被x＋y整除，当第二步假设n＝k(k∈N＋)命题为真时，则需证n＝________时命题也为真．解析：n为正奇数，现在n＝k，说明k为正奇数，下一个正奇数应为k＋2.答案：k＋27．对于不等式n2＋4n<n＋2(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋4<1＋2，不等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即k2＋4k<k＋2，则n＝k＋1时，(k＋1)2＋4(k＋1)＝k2＋6k＋5<(k2＋6k＋5)＋4＝(k＋3)2＝(k＋1)＋2.∴当n＝k＋1时，不等式成立．上述证法第________步错误．解析：第(2)步中证明n＝k＋1时不等式成立时，未用归纳假设．答案：(2)8．用数学归纳法证明：2＋4＋6＋…＋2(n＋1)＝(n＋1)(n＋2)(n∈N＋)．证明：(1)当n＝1时，左边＝2＋4＝6，右边＝2×3＝6，等式成立．(2)假设当n＝k时等式成立，即2＋4＋6＋…＋2(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，则当n＝k＋1时，左边＝2＋4＋6＋…＋2(k＋1)＋2(k＋2)＝(k＋1)(k＋2)＋2(k＋2)＝(k＋2)(k＋3)＝[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]．这就是说，当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，对于任意的n ∈N ＋，等式都成立．9．用数学归纳法证明：(n 2－12)＋2(n 2－22)＋…＋n (n 2－n 2)＝ 14n 2(n 2－1)(n ∈N ＋)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝0，右边＝0，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，等式成立，即 (k 2－12)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＝14k 2(k 2－1)成立． 则当n ＝k ＋1时，[(k ＋1)2－12]＋2[(k ＋1)2－22]＋…＋k [(k ＋1)2－k 2]＋(k ＋1)[(k ＋1)2－(k ＋1)2] ＝[(k 2－12)＋(2k ＋1)]＋2[(k 2－22)＋(2k ＋1)]＋…＋k [(k 2－k 2)＋(2k ＋1)] ＝[(k 2－12)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)]＋(2k ＋1)·(1＋2＋…＋k ) ＝14k 2(k 2－1)＋(2k ＋1)·12k (k ＋1) ＝14(k ＋1)2[(k ＋1)2－1]．所以当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知等式对一切n ∈N ＋都成立．[B 组 能力提升]1．使不等式2n >n 2＋1对任意n ≥k 的自然数n 都成立的最小k 值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：25＝32,52＋1＝26，对n ≥5的所有自然数n,2n >n 2＋1都成立． 答案：D2．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足“当f (k )≥k 2成立时总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么下列命题总成立的是( ) A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1，均有f (k )≥k 2成立 B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立 C ．若f (7)＜49成立，则当k ≥8时，均有f (k )＜k 2成立D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立解析：对于A ，f (3)≥9，加上题设可推出当k ≥3时，均有f (k )≥k 2成立，故A 错误．对于B ，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B 错误．对于C ，没有奠基部分，故C 错误．对于D ，f (4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D. 答案：D3．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ·3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N ＋成立，那么a ＝________，b ＝________，c ＝________.解析：把n ＝1,2,3代入1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ·3n －1＝3n (na －b )＋c ，可得⎩⎨⎧1＝3(a －b )＋c ，1＋2×3＝32(2a －b )＋c ，1＋2×3＋3×32＝33(3a －b )＋c .整理并解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝14，c ＝14.答案：12 14 144．用数学归纳法证明：当n ∈N ＋，1＋2＋22＋23＋ (25)－1是31的倍数时，当n ＝1时，原式为__________________．从n ＝k 到n ＝k ＋1时需增添的项是__________________．解析：当n ＝1时，1＋2＋22＋…＋25×1－1＝1＋2＋22＋23＋24；1＋2＋22＋…＋25(k＋1)－1－(1＋2＋22＋…＋25k －1)＝25k ＋25k ＋1＋…＋25k ＋4.答案：1＋2＋22＋23＋24 25k ＋25k ＋1＋…＋25k ＋4 5．用数学归纳法证明3n >n 2(n ∈N ＋)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝3，右边＝1,3>1，不等式成立． 当n ＝2时，左边＝9，右边＝4,9>4，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，即3k >k 2， 则n ＝k ＋1时，左边＝3k ＋1＝3·3k >3·k 2， 右边＝(k ＋1)2＝k 2＋2k ＋1，∵3k 2－(k 2＋2k ＋1)＝2k 2－2k －1＝2(k －0.5)2－1.5， 当k ≥2，k ∈N 时，上式恒为正值． 则左边>右边，即3k ＋1>(k ＋1)2， 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)可知，对任何正整数n ，总有3n >n 2成立． 6．已知正项数列{b n }的前n 项和B n ＝14(b n ＋1)2. (1)求出b 1，b 2，b 3，b 4的值；(2)猜想{b n }的通项公式并用数学归纳法证明． 解析：(1)由已知B n ＝14(b n ＋1)2，数列{b n }为正项数列， 得B 1＝b 1＝14(b 1＋1)2⇒b 1＝1＝2×1－1， B 2＝b 1＋b 2＝14(b 2＋1)2，即1＋b 2＝14(b 2＋1)2⇒b 2＝3＝2×2－1，B 3＝b 1＋b 2＋b 3＝1＋3＋b 3＝14(b 3＋1)2⇒b 3＝5＝2×3－1， B 4＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝1＋3＋5＋b 4＝14(b 4＋1)2⇒b 4＝7＝2×4－1. (2)由此猜想出：b n ＝2n －1(n ≥1)为数列的通项公式， 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，b 1＝2×1－1＝1，公式成立； ②假设当n ＝k 时，公式成立，即b k ＝2k －1. 那么b k ＋1＝B k ＋1－B k ＝14(b k ＋1＋1)2－14(b k ＋1)2， 整理得(b k ＋1－1)2＝(b k ＋1)2， 故b k ＋1＝1±(b k ＋1)，又∵{b n}各项为正，∴b k＋1＝－b k(舍去)，∴b k＋1＝b k＋2＝2k＋1＝2(k＋1)－1，即当n＝k＋1时，结论成立．由①②知，对于所有n≥1，均有b n＝2n－1.由Ruize收集整理。
数学教案 北师大版选修2-2 同步备课-第1章至第5章 章末复习课
归纳推理【例1】 (1)观察式子：1＋22<2，1＋22＋32<3，1＋22＋32＋42<4，……，由此可归纳出的式子为( )A ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n －1B ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n ＋1C ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1nD ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n 2n ＋1(2)两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin(π＋α)＝0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝0，由此可以推知，四点等分单位圆时的相应正确关系为__________．思路探究：(1)观察各式特点，找准相关点，归纳即得． (2)观察各角的正弦值之间的关系得出结论．(1)C (2)sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝0 [(1)由各式特点，可得1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n.故选C.(2)用两点等分单位圆时，关系为sin α＋sin(π＋α)＝0，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差为(π＋α)－α＝π，用三点等分单位圆时，关系为sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝0，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，即有⎝⎛⎭⎪⎫α＋4π3－⎝⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3－α＝2π3.依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角为2π4＋α＝π2＋α，第三个角为π2＋α＋2π4＝π＋α，第四个角为π＋α＋2π4＝3π2＋α，即其关系为sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝0.]归纳推理的特点及一般步骤1．已知函数y ＝sin 4x ＋cos 4x(x∈R)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，则(1)函数y ＝sin 6x ＋cos 6x(x∈R)的值域是__________；(2)类比上述结论，函数y ＝sin 2nx ＋cos 2nx(n∈N ＋)的值域是__________．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1 (2)[21－n,1] [(1)y ＝sin 6x ＋cos 6x ＝(sin 2x ＋cos 2x)(sin 4x －sin 2 xcos 2 x ＋cos 4 x)＝sin 4x －sin 2xcos 2 x ＋cos 4x ＝(sin 2 x ＋cos 2 x)2－3sin 2xcos 2x ＝1－34sin 2(2x)＝1－38(1－cos 4x)＝58＋38cos 4x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1.(2)由类比可知，y ＝sin 2nx ＋cos 2nx 的值域是[21－n,1]．]类比推理【例2】 类比三角形内角平分线定理：设△ABC 的内角A 的平分线交BC 于点M ，则AC ＝MC .若在四面体PABC 中，二面角BPAC 的平分面PAD 交BC 于点D ，你可得到什么结论？并加以证明．思路探究：此题是平面图形与立体图形作类比，因为平面图形中得出的结论是线段的比，所以立体图形中可想到面积的比．S △BDP S △CDP ＝S △BPAS △CPA. [解] 画出相应图形，如图所示．由题意类比推理所探索结论为证明如下：由于平面PAD 是二面角BPAC 的平分面，所以点D 到平面BPA 与它到平面CPA 的距离相等．所以V DBPA V DCPA ＝S △BPA S △CPA.①又因为V DBPA V DCPA ＝V ABDP V ACDP ＝S △BDPS △CDP ，②由①②知S △BDP S △CDP ＝S △BPAS △CPA成立．类比推理的特点及一般步骤2．在Rt△ABC 中，若∠C＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，则在立体几何中，给出四面体相应结论的猜想． [解] 直角三角形类比三个侧面两两垂直的四面体；直角三角形的两个锐角类比上述四面体的三个侧面与底面所成的角，分别设为α，β，γ； 类比直角三角形中相应的结论猜想cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1．综合法与分析法【例3】 设a>0，b>0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.试用综合法和分析法分别证明．思路探究：(1)综合法：根据a ＋b ＝1，分别求1a ＋1b 与1ab 的最小值．(2)分析法：把1ab 变形为a ＋b ab ＝1a ＋1b 求证．[证明] 法一：(综合法) ∵a>0，b>0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b≥2ab ，ab ≤12，ab≤14，∴1ab≥4.又1a ＋1b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． 法二：(分析法) ∵a>0，b>0，a ＋b ＝1， 要证1a ＋1b ＋1ab≥8，只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋a ＋b ab ≥8， 只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8， 即证1a ＋1b≥4，也就是证a ＋b a ＋a ＋bb ≥4，即证b a ＋ab≥2，由基本不等式可知，当a>0，b>0时， b a ＋ab≥2成立，所以原不等式成立．分析法和综合法的证明特点1．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式．2．分析法和综合法是两种思路相反的推理方法．分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．3．(1)已知a ，b ，c 为互不相等的非负数， 求证：a 2＋b 2＋c 2>abc(a ＋b ＋c)．(2)用分析法证明：2cos(α－β)－sin (2α－β)sin α＝sin βsin α.[证明] (1)因为a 2＋b 2≥2ab， b 2＋c 2≥2bc，a 2＋c 2≥2ac，又因为a ，b ，c 为互不相等的非负数， 所以上面三个式子中都不能取“＝”， 所以a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac ，因为ab ＋bc≥2ab 2c ，bc ＋ac≥2abc 2， ab ＋ac≥2a 2bc ，又a ，b ，c 为互不相等的非负数， 所以ab ＋bc ＋ac>abc(a ＋b ＋c)， 所以a 2＋b 2＋c 2>abc(a ＋b ＋c)． (2)要证原等式成立，只需证：2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，① 因为①左边＝2cos(α－β)sin α－sin[(α－β)＋α]＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α ＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α ＝sin β＝右边，所以①成立，即原等式成立.反证法n (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q≠1，证明：数列{a n ＋1}不是等比数列．思路探究：(1)利用等比数列的概念及通项公式推导前n 项和公式；(2)利用反证法证明要证的结论． [解] (1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1， ① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n，②①－②得，(1－q)S n ＝a 1－a 1q n， ∴S n ＝a 1(1－q n)1－q ，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q，q≠1.(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k∈N ＋， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)， a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1， a 21q 2k＋2a 1q k＝a 1qk －1·a 1qk ＋1＋a 1q k －1＋a 1qk ＋1，∵a 1≠0，∴2q k＝qk －1＋qk ＋1．∵q≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．反证法证题思路反证法是间接证明的一种基本方法，用反证法证明时，假定原结论的对立面为真，从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定结论．反证法的思路：反设→归谬→结论．4．已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0)的图像与x 轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0<x<c 时，f(x)>0.(1)证明：1a 是f(x)＝0的一个根；(2)试比较1a与c 的大小．[解] (1)证明：∵f(x)的图像与x 轴有两个不同的交点， ∴f(x)＝0有两个不等实根x 1，x 2． ∵f(c)＝0，∴x 1＝c 是f(x)＝0的根． 又x 1x 2＝ca ，∴x 2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≠c ，∴1a 是f(x)＝0的一个根． (2)假设1a <c ，又1a >0，由0<x<c 时，f(x)>0，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >0与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾， ∴1a ≥c.又∵1a ≠c，∴1a>c.数学归纳法【例5】 已知正数数列{a n }(n∈N ＋)中，前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋a n，用数学归纳法证明：a n ＝n－n －1.[证明] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，所以a 21＝1(a n >0)，所以a 1＝1，又1－0＝1， 所以n ＝1时，结论成立．(2)假设n ＝k(k≥1，k∈N ＋)时，结论成立，即a k ＝k －k －1. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，解得a k ＋1＝k ＋1－k(a n >0)，所以n ＝k ＋1时，结论成立． 由(1)(2)可知，对n∈N ＋都有a n ＝n －n －1.数学归纳法使用的两个关注点关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n 0是多少．关注点二：由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除等式两边变化的项外还要利用n ＝k 时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．5．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a n ＋1)2(n∈N ＋)，a 2＝2．(1)求a 1，a 3；(2)猜想{a n }的通项公式，并证明．[解] (1)由S n ＝n (a n ＋1)2，得a 1＝1，又由a 2＝2，得a 3＝3.(2)猜想：a n ＝n.证明如下：①当n ＝1时，猜想成立．②假设当n ＝k(k≥2)时，猜想成立，即a k ＝k ， 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝(k ＋1)(a k ＋1＋1)2－k (a k ＋1)2＝(k＋1)(a k＋1＋1)2－k(k＋1)2.所以a k＋1＝k＋1，所以当n＝k＋1时，猜想也成立．根据①②知，对任意n∈N＋，都有a n＝n.导数的定义求导【例1】 利用导数的定义求函数y ＝x 2＋1的导数．思路探究：根据求导的步骤求解即可． [解] y′＝lim Δx→0Δy Δx ＝lim Δx→0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx→0(x ＋Δx )2＋1－x 2＋1Δx＝lim Δx→02x·Δx＋(Δx )2Δx [(x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1]＝lim Δx→02x ＋Δx(x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1＝xx 2＋1.导数定义的理解函数f(x)在点x ＝x 0处的导数是f(x)在x 0点附近的平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；当Δx 趋于0时的极限，即f′(x 0)＝lim Δx→0ΔyΔx，这是数学上的“逼近思想”． 对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和Δx→0的方式，掌握用定义求导数的三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形．1．设f(x)在x 处可导，则lim Δh→0f (x ＋h )－f (x －h )2h ＝( )A ．2f′(x)B ．12f′(x) C ．f′(x) D ．4f′(x)C [lim Δh→0f (x ＋h )－f (x －h )2h＝lim Δh→0f (x ＋h )－f (x )＋f (x )－f (x －h )2h＝12lim Δh→0 f (x ＋h )－f (x )h ＋12lim Δh→0 f (x )－f (x －h )h ＝f′(x)．]导数的几何意义的应用【例2】 已知函数f(x)＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． 思路探究：(1)点(2，－6)在曲线上，利用y －f(x 0)＝f′(x 0)(x －x 0)；(2)点(0,0)不在曲线上要先设切点(x 0，f(x 0))再将(0,0)代入切线方程求切点即可求得． [解] (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f(x)上． ∵f′(x)＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f′(2)＝13. ∴切线的方程为y －(－6)＝13(x －2)， 即y ＝13x －32． (2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f′(x 0)＝3x 20＋1， y 0＝x 30＋x 0－16，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16. 又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16， 整理得，x 30＝－8， ∴x 0＝－2．∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标为(－2，－26)，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ， 切点坐标为(－2，－26)．利用几何意义求切线时的关键利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x 1，y 1)，则切线方程为y －y 1＝f′(x 1)(x －x 1)，再由切线过点P(x 0，y 0)得y 0－y 1＝f′(x 1)(x 0－x 1)， ① 又y 1＝f(x 1)，②由①②求出x 1，y 1的值，即求出了过点P(x 0，y 0)的切线方程．2．已知曲线y ＝1x.(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q(1,0)的切线方程； (3)求满足斜率为－14的曲线的切线方程．[解] ∵y＝1x ，∴y′＝－1x 2.(1)∵点P(1,1)在y ＝1x 上，∴k＝y′|x ＝1＝－112＝－1．∴在点P(1,1)处的切线方程为：y －1＝－(x －1)． ∴切线方程为：x ＋y －2＝0.(2)∵点Q(1,0)不在曲线y ＝1x 上，可设切点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，1x 0， ∴在A 点处的切线方程为：y －1x 0＝－1x 20(x －x 0)．∴切线方程为：y ＝－1x 20x ＋2x 0.又∵切线过点Q(1,0)，∴－1x 20＋2x 0＝0，∴2x 0－1＝0，∴x 0＝12.∴切线方程为y ＝－4x ＋4. (3)设切点坐标为B ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，1x 1，则切线的斜率为k ＝－1x 21.又∵－1x 21＝－14，∴x 21＝4，∴x 1＝2或－2，∴切点为B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12或B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12，∴切线方程为：y －12＝－14(x －2)，或y ＋12＝－14(x ＋2)，∴切线方程为：y ＝－14x ＋1或y ＝－14x －1．求函数的导数【例3】 求下列函数的导数． (1)y ＝(1＋x 2)cos x ； (2)y ＝ln x x －2x；(3)y ＝e －ax 2＋bx.思路探究：认真分析解析式的特征，判断函数是由基本初等函数的和、差、积、商构成还是复合构成，然后选择相应的求导法则进行运算．[解] (1)∵y＝(1＋x 2)cos x ， ∴y′＝2xcos x ＋(1＋x 2)(－sin x) ＝2xcos x －sin x －x 2sin x. (2)∵y＝ln x x－2x ，∴y′＝(ln x )′x－x′ln x x 2－2x ln 2＝1－ln x x 2－2xln 2． (3)y ＝e u，u ＝－ax 2＋bx.y x ′＝y u ′·u x ′＝e u·(－ax 2＋bx)′ ＝e u·(－2ax ＋b)＝(－2ax ＋b)e －ax 2＋bx.运算法则求导的注意点求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题．3．求下列函数的导数．(1)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(2)y ＝3x 2－x x ＋5x －9x ；(3)y ＝1＋ln 2x.[解] (1)∵y＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2，∴y′＝3x 2－2x3.(2)∵y＝3x 32－x ＋5－9x －12，∴y′＝3(x 32)′－x′＋5′－9(x －12)′ ＝92x 12－1＋92x －32＝92 x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1． (3)y ＝u 12，u ＝1＋v 2，v ＝ln x. y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝12u －12·2v·1x＝12·11＋ln 2x·2ln x·1x ＝ln xx 1＋ln 2 x .导数的综合问题【例4】 设函数f(x)＝ax ＋x ＋b(a ，b∈Z)，曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y ＝3. (1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y ＝f(x)上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．思路探究：(1)用待定系数法求解，根据条件通过导数建立关于a ，b 的方程组，解方程组确定a ，b 从而得到f(x)的解析式．(2)设曲线上任一点坐标(x 0，y 0)，表示出该点的切线方程，然后证明三角形的面积与点(x 0，y 0)无关．[解] (1)f′(x)＝a －1(x ＋b )2，则依题意f′(2)＝0，f(2)＝3. 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋12＋b ＝3，a －1(2＋b )2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝94，b ＝－83.因为a ，b∈Z，故f(x)＝x ＋1x －1. (2)证明：在曲线上任取一点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0－1， 由f′(x 0)＝1－1(x 0－1)2，知在此点处的切线方程为y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(x 0－1)2(x －x 0)．令x ＝1，得y ＝x 0＋1x 0－1，即切线与直线x ＝1的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1；令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，即切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)； 又直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)， 从而所围成的三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0－1|2x 0－2|＝2．所以，所围成的三角形的面积为定值2．导数应用中的数学思想导函数本身就是一种函数，因此在解决有关导数的问题时，常常会用到函数方程思想．函数的思想是用运动和变化的观点、集合与对应的思想去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程思想就是分析数学问题中变量的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，从而使问题获得解决．4．已知直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，试在抛物线的弧︵AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大．[解] 设P(x 0，y 0)，过点P 与AB 平行的直线为l ，如图．由于直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A ，B 两点，所以|AB|为定值，要使△ABP 的面积最大，只要P 到AB 的距离最大，而P 点是抛物线的弧︵AOB 上的一点，因此点P 是抛物线上＝12x，由题平行于直线AB 的切线的切点，由图知点P 在x 轴上方，y ＝x ，y′意知k AB ＝12，所以k l ＝12x 0＝12，即x 0＝1，所以y 0＝1，所以P(1,1)．利用导数研究函数的单调性【例1】 设函数f(x)＝x －1x －aln x(a∈R)，讨论f(x)的单调性．思路探究：求出导函数的表达式→根据a 的取值情况对导数符号的影响进行分类讨论[解] 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝1＋1x 2－a x ＝x 2－ax ＋1x2. 令g(x)＝x 2－ax ＋1，则对于方程x 2－ax ＋1＝0，Δ＝a 2－4.(1)当－2≤a≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0，只有当a ＝2，x ＝1或a ＝－2，x ＝－1时，等号成立，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(2)当a<－2时，Δ>0，g(x)＝0的两根都小于0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，则在(0，＋∞)上g(x)>g(0)＝1，所以f′(x)>0，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(3)当a>2时，Δ>0，g(x)＝0的两根为x 1＝a －a 2－42，x 2＝a ＋a 2－42.当0<x<x 1时，f′(x)>0；当x 1<x<x 2时，f′(x)<0；当x>x 2时，f′(x)>0.故函数f(x)在(0，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减．综上，当a≤2时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>2时，函数f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递减．利用导数研究单调性的步骤利用导数研究函数的单调性是导数的主要应用之一，其步骤为： (1)求函数的定义域，并求导；(2)研究导函数f′(x)的符号，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)确定函数的单调性或单调区间．在求导这一环节中，往往要将导函数变形，其目的在于方便下一环节研究导函数的符号，常见的措施有化为基本初等函数、通分、因式分解等．1．已知函数f(x)＝x 3－ax －1，讨论f(x)的单调区间． [解] f′(x)＝3x 2－a.(1)当a≤0时，f′(x)≥0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数． (2)当a>0时，令3x 2－a ＝0，得x ＝±3a3， 当x>3a 3或x<－3a 3时，f′(x)>0； 当－3a 3<x<3a 3时，f′(x)<0. 因此f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数． 综上可知，当a≤0时，f(x)在R 上为增函数． 当a>0时， f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数.利用导数研究函数的极值与最值32行．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间[0，t](0<t<3)上的最大值和最小值；思路探究：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝0，f′(1)＝－3，求出a ，b 即可．(2)对t 分0<t≤2与2<t<3两种情况求最值．[解] (1)因为f′(x)＝3x 2＋2ax ，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f′(1)＝3＋2a ，即3＋2a ＝－3，a ＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b ＝0，b ＝2． 所以a ＝－3，b ＝2，f(x)＝x 3－3x 2＋2． (2)由f(x)＝x 3－3x 2＋2，得f′(x)＝3x 2－6x. 由f′(x)＝0，得x ＝0或x ＝2．①当0<t≤2时，在区间(0，t)上f′(x)<0，f(x)在[0，t]上是减函数，所以f(x)max ＝f(0)＝2，f(x)min＝f(t)＝t 3－3t 2＋2．②当2<t<3时，当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,2) 2 (2，t) t f′(x) 0 － 0 ＋ ＋ f(x)2单调递减↘极小值－2单调递增↗t 3－3t 2＋2f(x)min ＝f(2)＝－2，f(x)max 为f(0)与f(t)中较大的一个． f(t)－f(0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0. 所以f(x)max ＝f(0)＝2．本例在(1)的结论下，关于x 的方程f(x)＝c 在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围．[解] 令g(x)＝f(x)－c ＝x 3－3x 2＋2－c ， g′(x)＝3x 2－6x ＝3x(x －2)．在x∈[1,2)上，g′(x)<0；在x∈(2,3]上，g′(x)>0.要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (3)≥0，解得－2<c≤0.利用导数求极值和最值的步骤导数是求函数极值与最值的最有力工具，求函数极值的一般步骤为： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)解方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号． 若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是f(x)的极值点．对于求函数的最值问题，只需直接将极值与区间端点函数值比较即可．2．已知函数f(x)＝－x 3＋12x ＋m.(1)若x∈R，求函数f(x)的极大值与极小值之差； (2)若函数y ＝f(x)有三个零点，求m 的取值范围；(3)当x∈[－1,3]时，f(x)的最小值为－2，求f(x)的最大值．[解] (1)f′(x)＝－3x 2＋12． 当f′(x)＝0时，x ＝－2或x ＝2． 当f′(x)＞0时，－2＜x ＜2． 当f′(x)＜0时，x ＜－2或x ＞2．∴f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递减，在(－2,2)上单调递增． ∴f(x)极小值＝f(－2)＝－16＋m. f(x)极大值＝f(2)＝16＋m. ∴f(x)极大值－f(x)极小值＝32．(2)由(1)知要使函数y ＝f(x)有三个零点，必须⎩⎪⎨⎪⎧f (x )极小值＜0，f (x )极大值＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－16＋m ＜0，16＋m ＞0，∴－16＜m ＜16.∴m 的取值范围为(－16,16)．(3)当x∈[－1,3]时，由(1)知f(x)在[－1,2)上单调递增，f(x)在[2,3]上单调递减，f(x)的最大值为f(2)．又f(－1)＝－11＋m ，f(3)＝m ＋9， ∴f(－1)＜f(3)，∴在[－1,3]上f(x)的最小值为f(－1)＝－11＋m ， ∴－11＋m ＝－2，∴m＝9.∴当x∈[－1,3]时，f(x)的最大值为 f(2)＝(－2)3＋12×2＋9＝25.导数的实际应用【例3】 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x(cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．思路探究：根据侧面积和体积公式建立侧面积和体积关于x 的函数，利用配方法或导数法求出最值． [解] 设包装盒的高为h cm ，底面边长为a cm.由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x)，0<x<30.(1)S ＝4ah ＝8x(30－x)＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V′＝62x(20－x)． 由V′＝0，得x ＝0(舍)或x ＝20.当x∈(0,20)时，V′>0；当x∈(20,30)时，V′<0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值． 此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去． (2)在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．3．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？[解] 当速度为x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8×100x ＝11 280x 2＋800x －154(0<x≤120)．h′(x)＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x≤120)，令h′(x)＝0，得x ＝80.因为x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数； x∈(80,120]时，h′(x)>0，h(x)是增函数，所以当x ＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11．25(升)． 因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．答：汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11．25升.导数在最值中应用【例4】 已知函数f(x)＝－x 3＋ax 2＋bx 在区间(－2,1)内x ＝－1时取极小值，x ＝23时取极大值．(1)求函数y ＝f(x)在x ＝－2时的对应点的切线方程； (2)求函数y ＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值．思路探究：先求出a ，b 的值，然后求出对应点(即切点)的坐标和切线斜率，即可得出(1)的结论，列出x 变化时，f′(x)及f(x)的变化情况，从而得出(2)的结论．[解] (1)f′(x)＝－3x 2＋2ax ＋b.又x ＝－1，x ＝23分别在f(x)＝－x 3＋ax 2＋bx 上取得极小值、极大值，所以－1，23为方程－3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根．所以23a ＝－1＋23，－b 3＝(－1)×23.于是a ＝－12，b ＝2，则f(x)＝－x 3－12x 2＋2x.x ＝－2时，f(－2)＝2，即(－2,2)在曲线上． 又切线斜率为k ＝f′(x)＝－3x 2－x ＋2， f′(－2)＝－8，所求切线方程为y －2＝－8(x ＋2)， 即为8x ＋y ＋14＝0.(2)x 变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如表所示： x －2 (－2，－1)－1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23 23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 1 f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x)2↘极小值－32↗极大值2227↘12则f(x)在[－2,1]上的最大值为2，最小值为－32.导数是求函数极值与最值的最有力工具，函数y ＝f (x )的极值是其定义域内的一个局部概念，用f′(x )＝0的根，将f (x )的定义域分成若干个小区间，并列成表格，结合每个小区间内f′(x )的正负号来判定f (x )在相应区间上的增减性来确定f (x )的极值.f′(x )＝0的根x 不一定是函数的极值点.对于求函数的最值问题，只需将极值与区间端点函数值比较即可.4．设函数f(x)＝ae x＋1ae x ＋b(a>0)．求f(x)在[0，＋∞)内的最小值．[解] f′(x)＝ae x－1ae x ，令f′(x)＝0，得x ＝－ln a.当x>－ln a 时，f′(x)>0； 当x<－ln a 时，f′(x)<0.当0<a<1时，－ln a>0，所以f(x)在(0，－ln a)上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增，从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(－ln a)＝2＋b ；当a≥1时，－ln a≤0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(0)＝a ＋1a＋b.导数的综合应用(1)若函数f(x)在区间[e ，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围；(2)当a ＝1且k∈Z 时，不等式k(x －1)<f(x)在x∈(1，＋∞)上恒成立，求k 的最大值． 思路探究：(1)转化为f′(x)≥0恒成立，分离参数求解． (2)分离参数中，转化为求函数最值． [解] (1)f′(x)＝a ＋ln x ＋1，由题意知f′(x)≥0在[e ，＋∞)上恒成立， 即ln x ＋a ＋1≥0在[e ，＋∞)上恒成立， 即a≥－(ln x ＋1)在[e ，＋∞)上恒成立， 而[－(ln x ＋1)]max ＝－(ln e ＋1)＝－2， ∴a≥－2，即a 的取值范围为[－2，＋∞)． (2)当a ＝1时，f(x)＝x ＋xln x ， ∵x∈(1，＋∞)，∴原不等式可化为k<f (x )x －1，即k<x ＋xln x x －1对任意x>1恒成立．令g(x)＝x ＋xln x x －1，则g′(x)＝x －ln x －2(x －1)2. 令h(x)＝x －ln x －2(x>1)， 则h′(x)＝1－1x ＝x －1x >0，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增． ∵h(3)＝1－ln 3<0，h(4)＝2－2ln 2>0，∴存在x 0∈(3,4)使h(x 0)＝0，即g′(x 0)＝0. 即当1<x<x 0时，h(x)<0，即g′(x)<0. 当x>x 0时，h(x)>0，即g′(x)>0.∴g(x)在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增． 由h(x 0)＝x 0－ln x 0－2＝0，得ln x 0＝x 0－2， g(x)min ＝g(x 0)＝x 0(1＋ln x 0)x 0－1＝x 0(1＋x 0－2)x 0－1＝x 0∈(3,4)，∴k<g(x)min ＝x 0且k∈Z，即k max ＝3.恒成立问题的处理策略恒成立问题是导数的常见题型，往往靠分离参数后，转化为用导数求函数的最值问题，在函数中，导数与不等式紧密结合，要注意分类讨论和数形结合的思想．5．(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x －x ＋1x －1.(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；(2)设x 0是f(x)的一个零点，证明曲线y ＝ln x 在点A(x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x的切线． [解] (1)f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．因为f′(x)＝1x ＋2(x －1)2＞0，所以f(x)在(0,1)，(1，＋∞)单调递增．因为f(e)＝1－e ＋1e －1＜0，f(e 2)＝2－e 2＋1e 2－1＝e 2－3e 2－1＞0，所以f(x)在(1，＋∞)有唯一零点x 1，即f(x 1)＝0. 又0＜1x 1＜1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＝－ln x 1＋x 1＋1x 1－1＝－f(x 1)＝0，故f(x)在(0,1)有唯一零点1x 1. 综上，f(x)有且仅有两个零点．(2)因为1x 0＝e －ln x 0，故点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln x 0，1x 0在曲线y ＝e x上．由题设知f(x 0)＝0， 即ln x 0＝x 0＋1x 0－1，故直线AB 的斜率k ＝1x 0－ln x 0－ln x 0－x 0＝1x 0－x 0＋1x 0－1－x 0＋1x 0－1－x 0＝1x 0. 曲线y ＝e x在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln x 0，1x 0处切线的斜率是1x 0，曲线y ＝ln x 在点A(x 0，ln x 0)处切线的斜率也是1x 0，所以曲线y ＝ln x 在点A(x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x的切线．定积分的计算【例1】 求下列定积分．.思路探究：(1)可用定积分的几何意义求解； (2)先去绝对值号，然后结合定积分的性质求解． [解] (1)⎠⎛－224－x 2dx 表示的是图中阴影所示半径为2的半圆的面积．其面积为12×π×22＝2π，∴⎠⎛－224－x 2dx ＝2π.(2)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln 3x x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln 3x x ，1e≤x≤1，ln 3xx，1≤x≤e，求定积分的三种方法1．利用定义求定积分．步骤：(1)分割区间；(2)近似代替；(3)求和；(4)取极限． 2．利用定积分的几何意义求定积分．3．利用微积分基本定理求定积分．如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即F′(x)＝f(x)，则有⎠⎛abf (x )dx ＝F(b)－F(a)．1．计算下列定积分． (1)⎠⎛121x (x ＋1)dx ；(2)⎠⎜⎜⎛-π2π2(cos x ＋2x)dx. [解] (1)∵⎠⎛121x (x ＋1)dx ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x ＋1dx＝[ln x －ln(x ＋1)]| 21＝ln 43.(2)⎠⎜⎜⎛-π2π2(cos x ＋2x)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋2xln 2⎪⎪⎪⎪π2－π2＝2＋1ln 2(2π2－2-π2).用定积分求平面图形的面积【例2】 求由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成的平面图形的面积． 思路探究：画出草图→求交点坐标→确定被积函数及积分上、下限→求定积分[解] 画出草图，如图所示． 所求平面图形为图中阴影部分．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋4，y ＝5x ，得交点A(1,5)，B(4,20)．故所求平面图形的面积S ＝⎠⎛01(x 2＋4－5x)dx ＋⎠⎛14(5x －x 2－4)dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋4x －52x 2⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52x 2－13x 3－4x ⎪⎪⎪41＝13＋4－52＋52×42－13×43－4×4－52＋13＋4＝193.定积分在求平面图形面积中的应用及注意由积分的概念可知，定积分在研究求解曲边平面图形的面积中有广泛的应用．求解时应将相应问题画出草图，适当分割后转化为定积分求解．2．求由曲线y ＝1x及直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积．[解] 画出曲线y ＝1x (在第一象限)，直线y ＝x ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．画⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1x ，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13，y ＝3，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1x ，y ＝x得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1(舍去)，故B ()1，1；由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C ()3，3.用定积分求几何体的体积【例3】 求曲线y ＝sin x ，x∈[0，π]与x 轴所围成平面图形绕x 轴旋转一周所得到旋转体的体积．[解] 由体积公式V ＝⎠⎛0ππy 2dx ＝⎠⎛0ππ(sin x)2dx＝π⎠⎛0πsin 2xdx ＝π⎠⎛0π1－cos 2x 2dx ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫⎠⎛0π12dx －⎠⎛0πcos 2x 2dx ＝π2⎝ ⎛⎭⎪⎫⎠⎛0π1dx －⎠⎛0πcos 2xdx ＝π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ⎪⎪⎪π－12sin 2x ⎪⎪⎪π＝π2(π－0)＝π22.利用定积分也可以求出一些简单的几何体体积．如圆锥体、圆柱体、圆台、球体等．计算由曲线y ＝f(x)，直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而形成的旋转体的体积为V ＝⎠⎛abπ[f (x )]2dx.3．半椭圆x 24＋y22＝1(y≥0)绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积为( )A ．16π3B ．173πC ．5πD ．6πA [V ＝⎠⎛-22π·2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24dx＝2π·⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 33×4-22＝163π.]数形结合思想的应用【例4】 如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1与S 2之和最小．思路探究：确定被积函数，积分上、下限，求定积分，并用导数求最值．[解] S 1的面积等于边长分别为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴，直线x ＝t 围成的面积．即S 1＝t·t 2－⎠⎛0t x 2dx ＝23t 3；S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉一矩形面积，矩形边长分别为t 2,1－t ，即S 2＝⎠⎛t 1x 2dx －t 2(1－t)＝23t 3－t 2＋13.所以阴影部分面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t≤1)．令S′(t)＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12＝0，得t ＝0或t ＝12，易知当t ＝12时，S 最小，所以最小值为S ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14.数形结合在求定积分中的应用数形结合思想贯穿本章的始终，主要体现在利用定积分的几何意义求定积分及用定积分求曲边图形的面积．在做题前首先要画出图形，确定图形是在x 轴的上方还是下方，并且通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限．4．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．[解] 抛物线y ＝x －x 2与x 轴交点的横坐标分别为x 1＝0，x 2＝1，所以抛物线与x 轴所围成图形的面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33⎪⎪⎪1＝12－13＝16. 抛物线y ＝x －x 2与直线y ＝kx 交点的横坐标分别为x 1′＝0，x 2′＝1－k ， 所以S 2＝⎠⎛01-k (x －x 2－kx)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－x 33⎪⎪⎪1－k＝16(1－k)3，又知S ＝16， 所以(1－k)3＝12，于是k ＝1－312＝1－342.复数的概念【例1】 复数z ＝log 3(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)，当x 为何实数时，(1)z∈R；(2)z 为虚数． 思路探究：根据复数的分类列方程求解．[解] (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x －3>0， ①log 2(x －3)＝0， ②x －3>0， ③由②得x ＝4，经验证满足①③式． 所以当x ＝4时，z∈R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0， ①log 2(x －3)≠0， ②x －3>0， ③由①得x>3＋212或x<3－212.由②得x≠4，由③得x>3.所以当x>3＋212且x≠4时，z 为虚数．解决复数问题的三点注意1．正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．2．两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据． 3．求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义．1．(1)设i 是虚数单位，若复数a －103－i (a∈R)是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则复数z 的实部是__________．(1)D (2)1 [(1)因为a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝a －10(3＋i )10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a ＝3.(2)法一：设z ＝a ＋bi(a ，b∈R)，则i(z ＋1)＝i(a ＋bi ＋1)＝－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－3，a ＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故复数z 的实部是1．法二：由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得z ＋1＝－3＋2ii＝2＋3i ，故z ＝1＋3i ，即复数z 的实部是1．]复数的四则运算【例2】 (1)设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则i ＋i·z ＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i(2)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2iD ．3－2i思路探究：(1)先求出z 及zi ，结合复数运算法则求解．(2)利用方程思想求解并化简．(1)C (2)A [(1)∵z＝1＋i ，∴z －＝1－i ，z i ＝1＋i i ＝－i 2＋i i ＝1－i ，∴zi＋i·z －＝1－i ＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2．故选C.(2)由(z －2i)(2－i)＝5，得z ＝2i ＋52－i ＝2i ＋5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2i ＋2＋i ＝2＋3i.]复数的四则运算复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i 看作一个字母(i 2＝－1)，除法运算注意应用共轭的性质z·z 为实数．2．已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z z的值为( )A ．35＋45i B ．35－45i C ．－35＋45iD ．－35－45iA [因为(1＋2i)z ＝4＋3i ，所以z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )5＝2－i ，所以z ＝2＋i ，所以z z ＝2＋i2－i ＝(2＋i )25＝35＋45i.]复数的几何意义【例3】 (1)在复平面内，复数1＋i 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)在复平面内，复数1－2i2＋i 对应的点的坐标为( )A ．(0，－1)B ．(0,1)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35思路探究：先把复数z 化为复数的标准形式，再写出其对应坐标． (1)A (2)A [(1)复数i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i.∴复数对应点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12. ∴复数i1＋i在复平面内对应的点位于第一象限．故选A.(2)∵1－2i 2＋i ＝(1－2i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5i 5＝－i ，其对应的点为(0，－1)，故选A.]复数的几何意义1．复数的几何表示法：即复数z ＝a ＋bi(a ，b∈R)可以用复平面内的点Z(a ，b)来表示．此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．2．复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．3．(1)已知复数z 对应的向量如图所示，则复数z ＋1所对应的向量正确的是( )(2)若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H(1)A (2)D [(1)由题图知，z ＝－2＋i ，∴z＋1＝－2＋i ＋1＝－1＋i ，故z ＋1对应的向量应为选项A.(2)由题图可得z ＝3＋i ，所以z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i2＝2－i ，则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．]转化与化归思想【例4】 设z∈C，满足z ＋z ∈R，且z －4是纯虚数，求z.思路探究：本题关键是设出z 代入题中条件进而求出z. [解] 设z ＝x ＋yi(x ，y∈R)，则z ＋1z ＝x ＋yi ＋1x ＋yi ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i ，。
北师大版2019年高中数学选修2 2习题第1章 2122 综合法与分析法 活页作业2 含解析
二)综合法与分析法活页作业(B cos sin A)BABC中，A，B所对的边分别为a，b，且＝，则＝(1．在△ba A．30°．45°B ．90°C．60°D A sin B cos BA sin sin ＝的内角B sin B＝cos B，则△ABC知解析：由正弦定理＝及条件＝abba.45°B答案：) (＜6只需证－27．欲证2－322 67)－3)－＜(A．(222 (37)(2－－6)．B＜22．3(27)＋6)＜＋(C22＜(D．7)(2－3－－6) ，＞73＜30＋6，＋∵20＋7解析：欲证2＞－36＜6－7，，只需证2＋22. ＜＋7)(3∴只需证6)(2＋C答案：222) ＋yz＋zx，z满足x的取值范围是＋y(＋z，则＝1xyx3．若实数，y1??1－，．BA．[－1,1] ??2111????，－1，－．．CD ????222222222x＋yzxy＋z＋，＝1zx解析：xy＋yz＋≤＋＋22222221. ＝－)≥0z＋y＋)－－(xy＋1＋zxzxxy2(＋yz＋)＝(B答案：b＋a，y＝a＋b，则x，y的关系为(xa4．已知，b是不相等的正数，＝) 2B．x＞．A xy ＜yD．不确定＝．C xy3，y＝5，此时xx，得4b，＝a取解析：1＝＝＜y，2 用分析法证明如下：.y ＜x猜想．b＋a b，，即＜a＋x＜y2b2aba＋＋ba＋2ba，a≠b2ab＜?a＋b(a－b)，且＞0b＜a＋??＜a＋b?22 )，∈(0，＋∞恰是已知条件．(0，＋∞)，而a≠b，且ab∈. y故x＜B答案：恒成立，(x－1))上的函数，且对于任意实数x都有f(x＝f(x＋1)＋f5．已知f(x)是实数集R)的周期为(则函数f(x)B．4 ．6 A10．C．8D x－1)，(x＋1)＋f(f解析：∵(x)＝f 1)．x(x)－f(－∴f(x＋1)＝f．1)＝－f (x)x2)f(x＋－f(x＋1)＝f(x＋1)－f()－f(x＋x∴f(＋3)＝＝f(x)．f∴(x＋6)＝－f(x＋3) 6是它的一个周期．x)为周期函数，∴f(B答案：2222baa＋b＋2＋ab，只需证a6．将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥222，由于________b显然成立，因此原不等式成立．≥2ab，也就是证________，即证________22220ab≥0(≥0(a≥－ba－b)答案：a)＋b－2 b满足的一个条件是．若___________aa＋abb＞ab＋b，则实数a．、7两边平0.≥，b0＋aa，不等式两边均大于或等于bb＞ab＋ba，则a≥解析：若022********)a(b0，a(a－b＞ababa)＋b＋ba＋2abab，即a＋bb－abb－－a＞方得：a＋b＋2222满足的条ba＋b≥0，故a，b－ab))(a＋b＞0，又a≥0，≥0，故)((＞0，a－bab－0)＞，( .因而满足上式的任一个关于a，b的条件均可．≠≥件为a0，b≥0且ab b且a≠0答案：a≥0，b≥2 ________．＋＋mx4＜0恒成立，则m的取值范围是xx8．当∈(1,2)时，不等式，解析：∵x∈(1,2)4??2＋x＜－0?mx. ∴＋＋mx4＜??x4 (1,2)，＜上单调递减，得y5在xy由＝＋x4??＋x∴－5. ＞－??x5. －m∴≤5≤－答案：mca2.＋，c的等差中项，求证：＝y分别是a，b和bb9．设a，，c成等比数列，而x，yx2c＋bba ＋b y＝，由题意得c＝，x＝，证明：2a2ca2caac2 ＋＝则＋＝＋＝yxca＋bba＋b＋b＋c222b×2aba2a22＝＋＋＝2，2bb＋baa＋ba＋＋b aca2. ＝即＋yx1122.－10．已知a＞0，求证：－2≥aa＋＋2aa112，≥a＋a要证证明：－2＋－22aa1122.＋2≥＋aa＋只要证＋2aa∵，a＞011????2222＋a＋≥∴只要证. 2＋a＋2??a??a1111??222＋a44≥aa＋＋2＋＋22＋即＋2，a＋＋222??aaaa从而只要证11??2＋a2＋a2≥，2??aa11????22＋＋＋aa24只要证≥2，22????aa12，而上述不等式显然成立，≥即证a2＋2a故原不等式成立．2acbc＝0，－a则用分析法证明“设．分析法又称执果索因法，a＞b＞c，且求证＋b＋11) 3＜a”索的因应是(0 ＞a－c B．．A a－b＞0＜c)(－))(a－ba－c＞0b)a－(D．a(C．22222，只需证－a3＜ac－)c＋a(，只需证a3＜ac－b，只需证a3＜ac－b要证明解析：22220.)＞)(a－ba，即证(a－c)(2＋c)＞0，即证(2aa＋ac＋c2＜0，即证a－－ac－cc＞0C答案：1＋＋lg(1[lg(1＋a lg(112．设a＞0，b＞0，则下面两式的大小关系为)＋ab)________ 2 )]．b2＋a)(1＋b解析：∵(1)＋ab)＝－(1 a＋b)≤0，2ab－(2，(1＋a)(1＋∴(1b＋ab))≤2 )，lg(1＋a)(1lg(1＋＋ab)b≤1 )]．＋＋a)＋lg(1即lg(1b＋ab)≤[lg(1 2 答案：≤3434 ________．，则a，＋yb，b＝x＋yxy，＋∞13．已知x，y∈(0)，a＝x的大小关系是3343343344＝))(x＋xy－)＝(xy＋xyb，所以a－＝(xy＋y－)－(xy解析：因为a＝x＋yy，b＝x222.b0.故xa＋xy＋y≥)x(－y)≥( b答案：a≥22)f(x＝x＋－4x.那么，不等式是定义域为14．已知f(x)R 的偶函数，当x≥0时，f(x) 5的解集是________．＜x)是偶函数，f解析：∵( x|)．f(x)＝f(|∴2 4xx)＝x，－又当x≥0时，f(5 2|)＜5?f(|x＋不等式f(x＋2)＜25 2|＜－4|x＋?|x＋2|0 ＜x＋2|＋1)?(|x＋2|－5)(|5 ＜|x＋2|x?|＋2|－5＜0?3. 7＜x＜＜x＋2＜5?－5?－(－7,3)．∴解集为7,3)答案：(－|＋|b|a|2.，求证：≤，b，且a⊥b．已知非零向量15a|b|a＋0，?a·b＝证明：a⊥b|b||a＋| ，要证≤2|a＋b|≤2|a＋|bb|，|只需证|a＋|2222，)b＋b·a2＋a2(≤|b|＋|b||a2|＋|a|只需证．2222，22abb|＋|b|＋只需证|a|≤＋2|a||222≥0，|b|) |≥0，即(|a只需证|a||＋|b|－－2|a||b上式显然成立，故原不等式得证．16．(2017·江苏卷)对于给定的正整数k，若数列{a}满足：a＋a＋…＋a＋a n1nk1nnnk＋＋－－－＋…＋a＋a＝2ka，对任意正整数n(n＞k)总成立，则称数列{a}是“P(k)数列”．n1k1nnnk＋－＋(1)证明：等差数列{a}是“P(3)数列”；n(2)若数列{a}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{a}是等差数列．nn 证明：(1){a}是等差数列，设其公差为d，n则a＝a＋(n－1)d.从而1n当n≥4时，a＋a＝a＋(n－k－1)d＋a＋(n＋k－1)d＝2a＋2(n－1)d＝2a，k＝nk1kn11n＋－1,2,3，所以a＋a＋a＋a＋a＋a＝6a，n3n2n3n1n2nn1＋－＋－＋－因此等差数列{a}是“P(3)数列”．n(2)数列{a}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此n当n≥3时，a＋a＋a＋a＝4a，①n2n2nn1n1＋＋－－当n≥4时，a＋a＋a＋a＋a＋a＝6a.②n3n12n1nnn32n＋－＋－－＋由①知a＋a＝4a－(a＋a)，③1nn2n1nn3＋－－－a＋a＝4a－(a＋a)．④nn11n2nn3－＋＋＋将③④代入②，得a＋a＝2a，其中n≥4，nnn11＋－所以a，a，a，…是等差数列，设其公差为d′.534在①中，取n＝4，则a＋a＋a＋a＝4a，所以a＝a－d′，3542362在①中，取n＝3，则a＋a＋a＋a＝4a，所以a＝a－2d′，所以数列{a}是等差数n3112453列．。
河东教育北师大高中数学选修22同步练习：第1章 分析法
分析法 同步练习1. 设b a y b a x b a b a +=+=≠>>,2,,0,0，则y x ,的关系是（ ） A. y x > B. y x < C. y x 2> D. 不确定 2. 已知)2(2,21242>=-+=-+-a q a a p a a ，则（ ）A. q p >B. q p <C. q p ≥D. q p ≤3. 若26,37,2-=-==c b a ，则c b a ,,的大小关系是（）A. c b a <<B. c b a >>C. b c a >>D. c a b >>4. 求证：10183+>+5. 求证：2222d c b a bd ac +⋅+≤+6. 已知0,=++>>c b a c b a ，求证：32<-a acb 。
7. 设0,0>>y x ，求证：21223133)()(y x y x +<+。
8. 若c b a ,,是不全相等的正数，求证：c b a a c c b b a lg lg lg 2lg 2lg 2lg++>+++++参考答案1. B2. Ap q a a a a a p ≤=<<--=-+-≥+-+-=42,2)2(224,42212222 3. C4. 证：要证10183+>+ 即证：()()2210183+>+ 即10102182423++>++ 即证 102242>由于1024>显然成立所以原不等式成立。
5.证：若0≤+bd ac ，不等式显然成立若0>+bd ac ，要证原不等式成立，只要证()()()22222d c b a bd ac +⋅+≤+， 即证2222222222222d b c b d a c a d b abcd c a +++≤++ 即证0)(2≥-bc ad ，此式显然成立，故原不等式成立。
数学教案 北师大版选修2-2 同步备课-第1章 推理与证明学案第2节综合法与分析法
§2 综合法与分析法2.1 综合法学习目标核心素养1．了解综合法的思考过程、特点．(重点) 2．会用综合法证明数学命题．(难点) 1．通过对综合法概念和思维过程的理解的学习，培养逻辑推理的核心素养．2．通过对综合法应用的学习，提升逻辑推理和数学建模的核心素养.1．综合法的定义从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法．2．综合法证明的思维过程用P表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框图表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q思考：综合法的证明过程属于什么思维方式？[提示]综合法是由因导果的顺推思维．1．综合法是从已知条件、定义、定理、公理出发，寻求命题成立的( )A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案] B2．在△ABC中，若sin Asin B<cos Acos B，则△ABC一定是( )A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形C[由条件可知cos Acos B－sin Asin B＝cos(A＋B)＝－cos C>0，即cos C<0，∴C为钝角，故△ABC 一定是钝角三角形．]3．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x求导，得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x>0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”，应用了________的证明方法．综合法[证明过程符合综合法的证题特点，故为综合法．]用综合法证明三角问题【例1】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asin A ＝(2b －c)sin B ＋(2c －b)sin C.(1)求证：A 的大小为60°；(2)若sin B ＋sin C ＝ 3.证明：△ABC 为等边三角形．思路探究：(1)利用正弦定理将角与边互化，然后利用余弦定理求A. (2)结合(1)中A 的大小利用三角恒等变形证明A ＝B ＝C ＝60°. [证明] (1)由2asin A ＝(2b －c)sin B ＋(2c －b)sin C ， 得2a 2＝(2b －c)b ＋(2c －b)c ， 即bc ＝b 2＋c 2－a 2， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°.(2)由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＋C ＝120°，由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B)＝3， sin B ＋(sin 120°cos B－cos 120°sin B)＝3， 32sin B ＋32cos B ＝3， 即sin(B ＋30°)＝1． 因为0°<B<120°， 所以30°<B＋30°<150°， 所以B ＋30°＝90°，即B ＝60°， 所以A ＝B ＝C ＝60°， 即△ABC 为等边三角形．证明三角等式的主要依据1．三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式． 2．和、差、倍角的三角函数公式．3．三角形中的三角函数及三角形内角和定理． 4．正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式．1．若sin θ，sin α，cos θ成等差数列，sin θ，sin β，cos θ成等比数列，求证：2cos 2α＝cos 2β.[证明] ∵sin θ，sin α，cos θ成等差数列， ∴sin θ＋cos θ＝2sin α①又∵sin θ，sin β，cos θ成等比数列， ∴sin 2β＝sin θcos θ②将②代入①2，得1＋2sin 2β＝4sin 2α， 又sin 2 β＝1－cos 2β2，sin 2α＝1－cos 2α2，∴1＋1－cos 2β＝2－2cos 2α， 即2cos 2α＝cos 2β.用综合法证明几何问题【例2】 如图，在四面体BACD 中，CB ＝CD ，AD⊥BD，E ，F 分别是AB ，BD 的中点．求证： (1)直线EF∥平面ACD ； (2)平面EFC⊥平面BCD.思路探究：(1)依据线面平行的判定定理，欲证明直线EF∥平面ACD ，只需在平面ACD 内找出一条直线和直线EF 平行即可；(2)根据面面垂直的判定定理，欲证明平面EFC⊥平面BCD ，只需在其中一个平面内找出一条另一个面的垂线即可．[证明] (1)因为E ，F 分别是AB ，BD 的中点，所以EF 是△ABD 的中位线，所以EF∥AD，又EF 平面ACD ，AD平面ACD ，所以直线EF∥平面ACD.(2)因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD.因为CB ＝CD ，F 是BD 的中点，所以CF⊥BD.又EF∩CF＝F ，所以BD⊥平面EFC. 因为BD平面BCD ，所以平面EFC⊥平面BCD.证明空间位置关系的一般模式本题是综合运用已知条件和相关的空间位置关系的判定定理来证明的，故证明空间位置关系问题，也是综合法的一个典型应用．在证明过程中，语言转化是主旋律，转化途径为把符号语言转化为图形语言或文字语言转化为符号语言．这也是证明空间位置关系问题的一般模式．2．如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝a ，AB ＝2a ，E ，F 分别为C 1D 1，A 1D 1的中点．(1)求证：DE⊥平面BCE ； (2)求证：AF∥平面BDE. [证明](1)∵BC⊥侧面CDD 1C 1，DE侧面CDD 1C 1，∴DE⊥BC.在△CDE 中，CD ＝2a ，CE ＝DE ＝2a ，则有CD 2＝DE 2＋CE 2，∴∠D EC ＝90°，∴DE⊥EC. 又∵BC∩EC＝C ，∴DE⊥平面BCE.(2)连接EF ，A 1C 1，设AC 交BD 于点O ，连接EO ， ∵EF 12A 1C 1，AO 12A 1C 1， ∴EFAO ，∴四边形AOEF 是平行四边形， ∴AF∥OE. 又∵OE平面BDE ，AF平面BDE ，∴AF∥平面BDE.用综合法证明不等式[探究问题]1．综合法证明不等式的主要依据有哪些？ [提示] (1)a 2≥0(a∈R)．(2)a 2＋b 2≥2ab，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab，a 2＋b 2≥(a ＋b )22.(3)a ，b∈(0，＋∞)，则a ＋b 2≥ab ，特别地，b a ＋ab ≥2．(4)a －b≥0⇔a≥b；a －b≤0⇔a≤b. (5)a 2＋b 2＋c 2≥ab＋bc ＋ca. (6)b a ＋ab≥2(a，b 同号，即ab>0)．(7)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(a ，b∈R)．左边等号成立的条件是ab≤0，右边等号成立的条件是ab≥0. 2．使用基本不等式证明不等式时，应该注意什么？请举例说明．[提示] 使用基本不等式时，要注意①“一正、二定、三相等”；②不等式的方向性；③不等式的适度，如下例．[题] 已知，a ，b∈(0，＋∞)，求证：a b ＋b a≥a ＋ b.若直接使用基本不等式，a b ＋b a≥2ab ·b a＝24ab ，而a ＋b ≥24ab.从而达不到证明的目的，没掌握好“度”，正确的证法应该是这样的：[证明] ∵a>0，b>0， ∴ab ＋b ≥2a ，ba ＋a ≥2b ， ∴a b ＋b ＋ba ＋a ≥2a ＋2b ， 即ab ＋ba≥a ＋ b. 【例3】 已知x>0，y>0，x ＋y ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥9.思路探究：解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式利用综合法证明． [证明] 法一：因为x>0，y>0,1＝x ＋y≥2xy ， 所以xy≤14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ＝1＋1x ＋1y ＋1xy ＝1＋x ＋y xy ＋1xy ＝1＋2xy ≥1＋8＝9.法二：因为1＝x ＋y ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x y ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x . 又因为x>0，y>0，所以x y ＋yx ≥2，当且仅当x ＝y 时，取“＝”． 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥5＋2×2＝9.1．本例条件不变，求证：1x ＋1y≥4.[证明] 法一：因为x ，y∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝1， 所以x ＋y≥2xy ，当且仅当x ＝y 时，取“＝”， 所以xy ≤12，即xy≤14，所以1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝1xy ≥4.法二：因为x ，y∈(0，＋∞)，所以x ＋y≥2xy>0，当且仅当x ＝y 时，取“＝”， 1x ＋1y≥21xy>0， 当且仅当1x ＝1y时，取“＝”，所以(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥4. 又x ＋y ＝1，所以1x ＋1y≥4.法三：因为x ，y∈(0，＋∞)，所以1x ＋1y ＝x ＋y x ＋x ＋yy＝1＋y x ＋xy＋1≥2＋2x y ·yx＝4， 当且仅当x ＝y 时，取“＝”．2．把本例条件改为“a>0，b>0，c>0”且a ＋b ＋c ＝1，求证：ab ＋bc ＋ac≤13.[证明] ∵a>0，b>0，c>0， ∴a 2＋b 2≥2ab， b 2＋c 2≥2bc， a 2＋c 2≥2ac.∴a 2＋b 2＋c 2≥ab＋bc ＋ca.∴(a＋b ＋c)2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≥3(ab＋bc ＋ac)． 又∵a＋b ＋c ＝1， ∴ab＋bc ＋ac≤13.综合法的证明步骤1．分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等．2．转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．1．综合法的基本思路综合法的基本思路是“由因导果”，由已知走向求证，即从数学命题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后得到待证结论．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．2．综合法的特点(1)从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导果，逐步推理，寻找它的必要条件．(2)证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，易于表达推理的思维轨迹．(3)由综合法证明命题“若A，则D”的思考过程如图所示：1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是由因导果的顺推证法．( )(2)综合法证明的依据是三段论．( )(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件．( )(1)√(2)√(3)√[(1)正确．由综合法的定义可知该说法正确．(2)正确．综合法的逻辑依据是三段论．(3)正确．综合法从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．]2．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，mβ，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.其中正确的命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4B[若l⊥α，α∥β，则l⊥β，又mβ，所以l⊥m，①正确；若l⊥α，m β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确； 若l⊥α，mβ，α⊥β，l 与m 可能平行，③不正确；若l⊥α，l∥m，则m⊥α，又m β，所以α⊥β，④正确．]3．已知p ＝a ＋1a －2(a>2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a>2)，则p 与q 的大小关系是________． p>q [p ＝a －2＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4，－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2<2，∴q<22＝4≤p.]4．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ＝1,2,3，…)．求证：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[证明] (1)∵a n ＋1＝n ＋2n S n ，而a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴n ＋2nS n ＝S n ＋1－S n ， ∴S n ＋1＝2(n ＋1)n S n ，∴S n ＋1n ＋1S n n ＝2，又∵a 1＝1， ∴S 1＝1，∴S 11＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为1，公比为2的等比数列．(2)由(1)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公比为2，而a n ＝n ＋1n －1S n －1(n≥2)，∴S n ＋1n ＋1＝4S n －1n －1＝4n －1·a n (n －1)n ＋1， ∴S n ＋1＝4a n .2.2 分析法学 习 目 标核 心 素 养1．了解分析法的思考过程、特点．(重点) 2．会用分析法证明数学命题．(难点)1．通过对分析法概念和思维过程的理解的学习，培养逻辑推理的核心素养． 2．通过对分析法应用的学习，提升逻辑推理和数学建模的核心素养.1．分析法的定义从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法．2．分析法证明的思维过程用Q 表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为： Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件1．用分析法证明：要使①A>B，只需使②C<D.这里①是②的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [根据分析法的特点，寻找的是充分条件，∴②是①的充分条件，①是②的必要条件．] 2．欲证2－3<6－7，只需证( ) A ．(2＋7)2<(3＋6)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2－3)2<(6－7)2D ．(2－3－6)2<(－7)2A [欲证2－3<6－7，只需证2＋7<3＋6，只需证(2＋7)2<(3＋6)2．]3．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab，只需证a 2＋b 2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．[答案] a 2＋b 2－2ab≥0 (a －b)2≥0 (a －b)2≥0应用分析法证明不等式【例1】 已知a>b>0，求证：(a －b )28a <a ＋b 2－ab<(a －b )28b.思路探究：本题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要先将式子两边同时开方，再找出使式子成立的充分条件．[证明] 要证(a －b )28a <a ＋b 2－ab<(a －b )28b ，只需证(a －b )28a <(a －b )22<(a －b )28b .∵a>b >0，∴同时除以(a －b )22，得(a ＋b )24a <1<(a ＋b )24b ，同时开方，得a ＋b 2a<1<a ＋b 2b，只需证a ＋b<2a ，且a ＋b>2b ， 即证b<a ，即证b<a. ∵a>b>0，∴原不等式成立， 即(a －b )28a <a ＋b 2－ab<(a －b )28b.分析法证题思维过程1．分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式．2．分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论⇐…⇐…⇐…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误．1．已知a>0，求证：a 2＋1a 2－2≥a＋1a－2．[证明] 要证a 2＋1a 2－2≥a＋1a－2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a＋1a ＋2，即证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a＋22，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋1a 2＋2 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋4，只需证2a 2＋1a 2≥ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a2≥2．上述不等式显然成立，故原不等式成立．用分析法证明其他问题【例2】 设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，若函数y ＝f(x ＋1)的图象与f(x)的图象关于y 轴对称，求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数． 思路探究：由于已知条件较为复杂，且不易与要证明的结论联系，故可从要证明的结论出发，利用分析法，从函数图象的对称轴找到证明的突破口．[证明] 要证函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数，只需证明其对称轴为直线x ＝0， 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ax 2＋(a ＋b)x ＋14a ＋12b ＋c ，其对称轴为x ＝－a ＋b 2a ，因此只需证－a ＋b2a ＝0，即只需证a ＝－b ，又f(x ＋1)＝ax 2＋(2a ＋b)x ＋a ＋b ＋c ，其对称轴为x ＝－2a ＋b 2a ，f(x)的对称轴为x ＝－b 2a ，由已知得x ＝－2a ＋b 2a 与x ＝－b2a 关于y 轴对称，所以－2a ＋b 2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，得a ＝－b 成立，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数．分析法证题思路1．分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法．2．分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等．2．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．[证明] 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)， 只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12.∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1．∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证．综合法与分析法的综合应用1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？[提示] 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．2．综合法与分析法有什么区别？[提示] 综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．【例3】 在某两个正数x ，y 之间，若插入一个数a ，则能使x ，a ，y 成等差数列；若插入两个数b ，c ，则能使x ，b ，c ，y 成等比数列，求证：(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．思路探究：可用分析法找途径，用综合法由条件顺次推理，易于使条件与结论联系起来． [证明] 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝x ＋y ，b 2＝cx ，c 2＝by ，消去x ，y 得2a ＝b 2c ＋c2b ，且a>0，b>0，c>0.要证(a ＋1)2≥(b＋1)(c ＋1)， 只需证a ＋1≥(b ＋1)(c ＋1)， 因(b ＋1)(c ＋1)≤(b ＋1)＋(c ＋1)2，只需证a ＋1≥b ＋1＋c ＋12，即证2a≥b＋c.由于2a ＝b 2c ＋c2b ，故只需证b 2c ＋c2b≥b＋c ，只需证b 3＋c 3＝(b ＋c)(b 2＋c 2－bc)≥(b＋c)bc ， 即证b 2＋c 2－bc≥bc，即证(b －c)2≥0.因为上式显然成立，所以(a ＋1)2≥(b＋1)(c ＋1)．分析综合法特点综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证．3．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且三个内角A ，B ，C 构成等差数列．求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c.[证明] 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，即证c a ＋b ＋a b ＋c＝1，只需证c(b ＋c)＋a(a ＋b)＝(a ＋b)(b ＋c)， 只需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2. ∵A，B ，C 成等差数列， ∴2B＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝180°，∴B＝60°. ∵c 2＋a 2－b 2＝2accos B ， ∴c 2＋a 2－b 2＝ac ， ∴c 2＋a 2＝ac ＋b 2， ∴1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c成立．1．综合法与分析法的区别与联系区别：综合法 分析法 推理方向 顺推，由因导果 逆推，执果索因 解题思路 探路较难，易生枝节 容易探路， 利于思考(优点) 表述形式 形式简洁，条理清晰(优点)叙述烦琐，易出错 思考的 侧重点侧重于已知条 件提供的信息侧重于结论 提供的信息联系：分析法便于我们去寻找证明思路，而综合法便于证明过程的叙述，两种方法各有所长，因而在解决问题时，常先用分析法寻找解题思路，再用综合法有条理地表达证明过程，将两种方法结合起来运用2．分析综合法常采用同时从已知和结论出发，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点，从而构建出证明的有效路径．上面的思维模式可概括为下图：1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分析法就是从结论推向已知．( )(2)分析法的推理过程要比综合法优越． ( ) (3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明．( )(1)× (2)× (3)√ [(1)错误．分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程．(2)错误．分析法和综合法各有优缺点．(3)正确．一般用综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明题都可使用分析法证明．] 2．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a≥0)，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P>Q B ．P ＝QC ．P<QD ．由a 的取值决定C [当a ＝1时，P ＝1＋22，Q ＝2＋5，P<Q ，故猜想当a≥0时，P<Q.证明如下：要证P<Q ，只需证P 2<Q 2，只需证2a ＋7＋2a (a ＋7)<2a ＋7＋2(a ＋3)(a ＋4)，即证a 2＋7a<a 2＋7a ＋12，只需证0<12．∵0<12成立，∴P<Q 成立．]3．设a>0，b>0，c>0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________．9 [因为a ＋b ＋c ＝1，且a>0，b>0，c>0，所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca ≥3＋2b a ·a b＋2c a ·a c＋2c b ·b c＝3＋6＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．]4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan A cos B ＋tan Bcos A .证明：a ＋b ＝2c. [证明] 由题意知2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos Acos B ＋sin B cos Acos B，化简得2(sin Acos B ＋sin Bcos A)＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B)＝sin A ＋sin B ， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B)＝sin(π－C)＝sin C. 从而sin A ＋sin B ＝2sin C. 由正弦定理得a ＋b ＝2c. 命题得证．。
北师大版选修22高中数学121《综合法》同步训练
§2综合法与分析法2、1综合法双基达标限时20分钟1.设数列{a n}为等差数列，且a2＝－6，a8＝6,S n是数列{a n}的前n项和,则（）。
A。
S4＜S5 B.S4＝S5C。
S6＜S5D。
S6＝S5解析由a2＋a8＝0⇒a5＝0,则S4＝S5,故选B、答案B2.平面内有四边形ABCD和点O,O错误!＋O错误!＝O错误!＋O错误!,则四边形ABCD为( ).A.菱形B。
梯形C.矩形D.平行四边形解析∵O错误!＋O错误!＝O错误!＋O错误!,∴O错误!－O错误!＝O错误!－O 错误!,∴B错误!＝C错误!,∴四边形ABCD为平行四边形。
答案D3.在不等边三角形中，a为最长边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足条件（)。
A。
a2〈b2＋c2B。
a2＝b2＋c2C.a2>b2＋c2D.a2≤b2＋c2解析由cos A＝错误!＜0知,b2＋c2－a2＜0,所以a2＞b2＋c2、答案C4。
已知f(x）＝sin 错误!（x＋1）－错误!cos 错误!（x＋1），则f(1）＋f(2）＋…＋f（2 011)＝________、解析∵f（x)＝2sin 错误!x,∴f（x）的周期T＝6,∴原式＝335×（f（1）＋f（2)＋…＋f(6))＋f（2 011）＝0＋2sin 错误!＝错误!、答案错误!5。
若拋物线y＝4x2上的点P到直线y＝4x－5的距离最短,则点P的坐标为________.解析设P在y＝4x＋m上，将y＝4x＋m代入y＝4x2,得4x2－4x－m＝0、取Δ＝0,得m＝－1、∴4x2－4x＋1＝0⇒x＝错误!,y＝1、答案错误!6。
△ABC的三边长a，b,c的倒数成等差数列，求证:∠B＜90°、证明由题意知错误!＝错误!＋错误!,∴b(a＋c）＝2ac、∵cos B＝a2＋c2－b22ac≥错误!＝1－错误!＝1－错误!＝1－错误!又△ABC三边长a、b、c满足a＋c＞b，∴错误!＜1,∴1－错误!＞0、∴cos B＞0，即∠B＜90°、综合提高限时25分钟7.函数f（x)＝｜log3x｜在区间[a，b]上的值域为［0,1],则b－a的最小值为( ）.A。
北师大版数学选修2-2巩固提升：第一章 2.1 综合法 2.2 分析法
[A 基础达标]1．关于综合法和分析法的说法错误的是( )A ．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B ．综合法又叫顺推证法或由因导果法C ．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法D ．分析法又叫逆推证法或执果索因法解析：选C.由综合法和分析法的定义知C 是错误的，故选C. 2．若a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2＋b 2＋c 2≥4 B ．(a ＋b ＋c )2≥3 C ．a 2＋b 2＋c 2≥3D ．(a ＋b ＋c )2≥4解析：选B.因为a ，b ，c ∈R ，所以a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号同时成立，所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ＝1，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立，所以(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝a 2＋b 2＋c 2＋2≥3，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．3．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P >Q B ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定解析：选C.取a ＝1得P ＝1＋8<4，Q ＝2＋5>4，所以P <Q .证明如下：要证P <Q ，只需证P 2<Q 2，只需证2a ＋7＋2a （a ＋7）<2a ＋7＋2（a ＋3）（a ＋4），只需证a 2＋7a <a 2＋7a ＋12，只需证0<12，因为0<12成立，所以P <Q 成立，故选C.4．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选A.本题就是找哪一个函数在(0，＋∞)上是减函数，A 项中，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上为减函数．5．A ，B 为△ABC 的内角，“A >B ”是“sin A >sin B ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选C.若A >B ，则a >b ， 又a sin A ＝b sin B，所以sin A >sin B ， 若sin A >sin B ，则由正弦定理得a >b ， 所以A >B .6．已知sin θ＋cos θ＝15且π2≤θ≤3π4，则cos 2θ＝________．解析：因为sin θ＋cos θ＝15，所以1＋sin 2θ＝125，所以sin 2θ＝－2425.因为π2≤θ≤3π4，所以π≤2θ≤3π2.所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－725.答案：－7257．如图所示，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD ⊥A 1C (写上一个条件即可)．解析：要证BD ⊥A 1C ，只需证BD ⊥平面AA 1C . 因为AA 1⊥BD ，只要再添加条件AC ⊥BD ， 即可证明BD ⊥平面AA 1C ，从而有BD ⊥A 1C . 答案：AC ⊥BD (答案不唯一)8．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝________．解析：log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5 ＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 2a 53＝5log 2a 3 ＝5log 2a 1a 5＝5log 22＝5. 答案：59．已知a ，b 是不等正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证：1<a ＋b <43.证明：因为a 3－b 3＝a 2－b 2且a ≠b ，所以a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，由(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2>a 2＋ab ＋b 2得(a ＋b )2>a ＋b ， 又因为a ＋b >0，所以a ＋b >1， 要证a ＋b <43，即证3(a ＋b )<4，因为a ＋b >0，所以只需证明3(a ＋b )2<4(a ＋b )， 又因为a ＋b ＝a 2＋ab ＋b 2， 即证3(a ＋b )2<4(a 2＋ab ＋b 2)， 也就是证明(a －b )2>0. 因为a ，b 是不等正数，故(a －b )2>0成立．故a ＋b <43成立．综上，得1<a ＋b <43.10. 如图，几何体E -ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD .(1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 证明：(1)取BD 的中点O ，连接CO ，EO ，则由CB ＝CD 知，CO ⊥BD .又EC ⊥BD ，EC ∩CO ＝C ，所以BD ⊥平面OCE ，所以BD ⊥EO ，又O 为BD 的中点，所以BE ＝DE .(2)取AB 的中点N ，连接MN ，DN ，DM .因为M ，N 分别是AE ，AB 的中点，所以MN ∥BE . 又MN ⊆/平面BEC ，BE 平面BEC ，所以MN ∥平面BEC .因为△ABD 为正三角形，所以DN ⊥AB .由∠BCD ＝120°，CB ＝CD 知，∠CBD ＝30°，所以∠ABC ＝60°＋30°＝90°，即BC ⊥AB ，所以DN ∥BC . 又D N ⊆/平面BEC ，BC 平面BEC ， 所以DN ∥平面BEC .又MN ∩DN ＝N ，所以平面MND ∥平面BEC ， 又DM平面MND ，故DM ∥平面BEC .[B 能力提升]11．设m ≠n ，x ＝m 4－m 3n ，y ＝n 3m －n 4，则x 与y 的大小关系为( )A ．x >yB ．x ＝yC ．x <yD ．x ≠y解析：选A.因为x －y ＝m 4－m 3n －n 3m ＋n 4 ＝m 3(m －n )－n 3(m －n ) ＝(m 3－n 3)(m －n ) ＝(m －n )2(m 2＋mn ＋n 2) ＝(m －n )2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22＋3n 24由m ≠n ，得(m －n )2>0，⎝⎛⎭⎫m ＋n 22≥0，3n 24≥0且不同时为0，所以⎝⎛⎭⎫m ＋n 22＋3n24>0， 故x －y >0，所以x >y .故选A.12．函数y ＝a 1－x (a >0且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(m ·n >0)上，则1m ＋1n的最小值为________．解析：由函数y ＝a 1－x (a >0且a ≠1)恒过定点A (1，1)， 点A 在直线mx ＋ny －1＝0上， 所以m ＋n －1＝0即m ＋n ＝1. 又m ·n >0， 所以m >0，n >0.1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝2＋n m ＋mn ≥2＋ 2 n m ·mn＝2＋2＝4⎝⎛⎭⎫当且仅当m ＝n ＝12时取等号. 答案：413．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n . (1)设b n ＝a n2n －1，求证数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：因为a n ＋1＝2a n ＋2n ， 所以a n ＋12n ＝a n2n －1＋1.因为b n ＝a n2n －1，所以b n ＋1＝a n ＋12n ＝b n ＋1，所以数列{b n }是等差数列，其中b 1＝1，公差为1， 所以b n ＝n ，a n ＝n ·2n －1.(2)因为S n ＝1×20＋2×21＋…＋(n －1)·2n －2＋n ·2n －1， 所以2S n ＝1×21＋2×22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ， 两式相减得S n ＝n ·2n －1×20－1×21－…－1×2n －1 ＝n ·2n －2n ＋1＝2n (n －1)＋1.14．(选做题)已知函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且x 1≠x 2，求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.证明：要证12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22， 只需证12(tan x 1＋tan x 2)>tan x 1＋x 22，只需证12⎝⎛⎭⎫sin x 1cos x 1＋sin x 2cos x 2>sin （x 1＋x 2）1＋cos （x 1＋x 2），只需证sin （x 1＋x 2）2cos x 1cos x 2>sin （x 1＋x 2）1＋cos （x 1＋x 2），只需证sin （x 1＋x 2）cos （x 1＋x 2）＋cos （x 1－x 2）>sin （x 1＋x 2）1＋cos （x 1＋x 2），只需证明0<cos(x 1－x 2)<1. 由x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且x 1≠x 2，可知0<cos(x 1－x 2)<1成立． 即12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.由Ruize收集整理。
高中数学 1.2 综合法与分析同步精练 北师大版选修22
高中数学 1.2 综合法与分析同步精练 北师大版选修2-21.已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x ，若f (a )＝b ，则f (－a )＝( )．A ．bB ．－bC ．1bD ．1b-2．a ＞b ＞c ，n ∈N ＋，且11a b b c +--≥na c-恒成立，则n 的最大值为( )． A ．2B ．3C ．4D ．53．若x ，y ∈R ，且2x 2＋y 2＝6x ，则x 2＋y 2＋2x 的最大值为( )． A ．14B ．15C ．16D ．174．在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程3x 2－11x ＋9＝0的两根，则a 5的值为( )．A ．3B ．±3CD ．± 35. 正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( )．A ．ACB ．BDC ．A 1D 1D ．A 1A6．给出下列三个命题：①若a ≥b ＞－1，则1a a +≥1bb+；②若正整数m 和n 满足m≤n ≤2n ；③设P (x 1，y 1)为⊙O 1：x 2＋y 2＝9上任一点，⊙O 2是以Q (a ，b )为圆心且半径为1的圆，当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝1时，⊙O 1与⊙O 2相切．其中假命题的个数为( )．A ．0B ．1C ．2D ．37．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则( )． A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c8．若S －1，T ，则S 与T 的大小关系为__________． 9．在△ABC 中，若a 2＝b (b ＋c )，求证：∠A ＝2∠B ．10．已知a ≥3<参考答案1. 答案：B 解析：∵f(a)＝b，∴1lg1aa-+＝b.∴f(－a)＝1lg1aa+-＝1lg1aa--+＝－b.2. 答案：B 解析：∵a＞b＞c，且11na b b c a c+≥---恒成立，∴a c a c a b b c a b b ca b b c a b b c---+--+-+=+----＝2＋b c a ba b b c--+--≥4(当且仅当2b＝a＋c时，“＝”成立)，∴n的最大值为4.3.答案：B 解析：∵2x2＋y2＝6x，∴y2＝6x－2x2，∴x2＋y2＋2x＝x2＋6x－2x2＋2x＝－x2＋8x＝－(x2－8x)＝－(x－4)2＋16≤16，∴当x＝4时，x2＋y2＋2x取得最大值为16.4. 答案：B 解析：∵{a n}是等比数列，∴a3a7＝a52.又∵a3，a7是方程3x2－11x＋9＝0的两根，∴a3a7＝3，且a3，a7同号，∴a52＝3，∴a5＝3±.又∵a3＋a7＝11 3，∴a3，a7都大于0，∴a5＝3.5.答案：B解析：连接B1D1，∵B1D1⊥A1C1，CC1⊥B1D1，A1C1∩CC1＝C1，∴B1D1⊥平面CEC1.而CE平面CEC1，∴B1D1⊥CE.而B1D1∥BD，∴CE⊥BD.6. 答案：B 解析：要证1a a +≥1b b+，只需证a (b ＋1)≥b (a ＋1)，即证a ≥b ，而a≥b 2n ≤，只需证m (n －m )≤24n ，只需证22n m ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥0，而22n m ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥0显然成立，故②正确；⊙O 1上点到⊙O 2的圆心距离为1，两圆不一定相切，故③为假命题．7. 答案：B 解析：a －b ＝ln 2ln 33ln 22ln 312366--==＝16(ln 8－ln 9)＜0，所以a ＜b .同理，可得c ＜a ，因而c ＜a ＜b .8. 答案：S ＞T 解析：由S 2－T 2＝(－1)2－)2＝(8－)－(16－＝－4)>4，即S 2＞T 2.又S ＞0，T ＞0，∴S＞T .9. 答案：证明：∵a 2＝b (b ＋c )，∴a 2＝b 2＋bc .由余弦定理得cos A ＝222222()222b c a b c b bc c bbc bc b+-+-+-==.又∵cos 2B ＝2cos 2B －1＝222222a c b ac ⎛⎫+- ⎪⎝⎭－1＝2×22b c a +⎛⎫ ⎪⎝⎭－1＝22222()2()2222()2b c a b c b bc c ba b b c b+-+---==+. ∴cos A ＝cos 2B ，又∵∠A ，∠B 为三角形的内角，∴∠A ＝2∠B .10. <a ≥3)，<即证22<，即证a 2－3a ＜a 2－3a ＋2，即证0＜2，而0＜2显然成立．<a ≥3)．。