2019-2020年上海市北中学高三上数学期中试卷
上海市市北中学2019-2020学年高三上学期期中数学试题
试卷第1页，总17页…○…………○………绝密★启用前上海市市北中学2019-2020学年高三上学期期中数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．若a ，b 为实数，则“a 1<-”是“11a>-”的( ) A ．充要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件 D ．既非充分必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的概念，即可判断出结果. 【详解】 解不等式11a>-得a 1<-或a 0>； 所以由“a 1<-”能推出“a 1<-或a 0>”，反之不成立，所以“a 1<-”是“11a>-”的充分不必要条件. 故选B 【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的概念，熟记概念即可，属于基础题型.2．已知2log x 、2log y 、2成等差数列，则(,)M x y 的轨迹表示的图象为（ ）A. B.试卷第2页，总17页…………○……○……※…………○……○……C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据2log x 、2log y 、2成等差数列，可得24,0,0y x x y =>>，即可求解.【详解】22log ,log ,2x y Q 成等差数列，222log 2log y x ∴=+ 24,0,0y x x y ∴=>>(,)M x y ∴的轨迹图象为焦点为(1,0)的抛物线的一部分，0,0x y >>.故选：A 【点睛】本题主要考查了等差数列和对数的运算性质，抛物线的方程和图象，属于中档题. 3．对于正三角形T ，挖去以三边中点为顶点的小正三角形，得到一个新的图形，这样的过程称为一次“镂空操作“，设T 是一个边长为1的正三角形，第一次“镂空操作”后得到图1，对剩下的3个小正三角形各进行一次“镂空操作”后得到图2，对剩下的小三角形重复进行上述操作，设n A 是第n 次挖去的小三角形面积之和（如1A 是第1次挖去的中间小三角形面积，2A 是第2次挖去的三个小三角形面积之和），n S 是前n 次挖去的所有三角形的面积之和，则lim n n S →∞=（ ）A.4B.3C.2D.12【答案】A 【解析】 【分析】试卷第3页，总17页…装…__姓名：…装…A 1=当n ≥2时，A n 134n A -=，故数列{A n }是等比数列，求其前n 项和的极限即可．【详解】 解：依题意，A 1=n ≥2时，A n 134n A -=，所以{A n }34为公比的等比数列，又因为公比不为1，所以S n 3)34)34414n n ⎛⎤- ⎥⎛⎤⎝⎦==- ⎥⎝⎦-， 所以：n lim →∞S n 3)444n n lim →∞⎛⎤=-=⎥⎝⎦． 故选：A ． 【点睛】本题考查了等比数列的定义，前n 项和公式，数列极限等知识，属于基础题． 4．设集合,S T 是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈对任意12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( ) A.B.{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或C.{|05},A x x B R =<<=D.,A N B Q == 【答案】D 【解析】试题分析：对于集合A,存在*()1,,()y f x x x N f x N ==-∈∈；对于集合B,存在2),(1,3](){8,1x x y f x x +∈-==-=-；对于集合C,存在()tan(),(0,5)52y f x x x ππ==-∈ 因此选D.试卷第4页，总17页考点：函数单调性，新定义试卷第5页，总17页第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．已知集合{|12}A x x =-<<，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =I ______． 【答案】{}0,1 【解析】 【分析】直接利用交集运算得答案． 【详解】解：{}0,1A B ⋂=． 故答案为：{}0,1． 【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题． 6．不等式|1|||x x -<的解集为_______. 【答案】1(,)2+∞ 【解析】 【分析】根据不等式的性质，两边平方即可去掉绝对值号，即可求解. 【详解】因为|1|||x x -<， 所以22(1)()x x -<，即210x -+<，解得12x >， 所以不等式解集为1(,)2+∞. 故答案为：1(,)2+∞ 【点睛】本题主要考查了利用平方去掉绝对值，解绝对值不等式，属于中档题.7．已知函数()y f x =的图像与函数xy a = (0,1)a a >≠的图像关于直线y x =对称，试卷第6页，总17页且点()4,2P 在函数()f x 的图像上，则实数a =________ 【答案】2 【解析】 【分析】由题意可知函数y =f （x ）与函数y =a x （a ＞0且a ≠1）互为反函数，求出y =a x 的反函数，再将（4，2）代入可得答案． 【详解】∵函数y =f （x ）的图象与函数y =a x （a ＞0且a ≠1）的图象关于直线y =x 对称， ∴函数y =f （x ）与函数y =a x （a ＞0且a ≠1）互为反函数， 由y =a x （a ＞0且a ≠1），得x =log a y ， 则f （x ）=log a x ，∵点P （4，2）在函数y =f （x ）的图象上 由f （4）=2，得log a 4=2， 解得：a =2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了反函数的求法，考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，是基础题. 8．角θ的终边经过点()4,P y ，且3sin 5θ=-，则tan θ=______． 【答案】34- 【解析】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan θ的值． 【详解】解：角θ的终边经过点()4,P y ，且3sin 5θ=-=，3y ∴=-，则3tan 44y θ==-， 故答案为：34-． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 9．函数cos 2x y =，4[,]32x ππ∈-的最小值为________.试卷第7页，总17页【答案】12- 【解析】 【分析】根据角的范围求出2x的范围，利用余弦函数的性质即可求解. 【详解】因为4[,]32x ππ∈-， 所以2[,]234x ππ∈-， 所以12cos()cos cos01232xπ-=-≤≤=， 即cos 2xy =的最小值为12-.故答案为：12-.【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质，属于中档题.10．已知函数()(1)x x f x a k a -=--（0a >且1a ≠）是定义域为R 的奇函数，则k 的值为________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据奇函数的定义()()f x f x -=-即可求解. 【详解】因为函数()(1)x x f x a k a -=--（0a >且1a ≠）是定义域为R 的奇函数， 所以()(1)[(1)]()((1)]x x x x x x f x a k a k a a f x a k a ----=--=---=-=---所以11k -=，即2k =， 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了奇函数的定义，利用奇函数性质求参数，属于中档题.11．已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是__________． 【答案】(0,4)(4,8)⋃ 【解析】试卷第8页，总17页【分析】由无穷等比数列{}n a 的各项和为4得,141a q=-,，||1q <且0q ≠,从而可得1a 的范围. 【详解】由题意可得,14,||11a q q=<- ， 且0q ≠14(1)a q =- 108a ∴<<且14a ≠故答案为:(0,4)(4,8)⋃ 【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和,而无穷等比数列的各项和是指当,||1q <且0q ≠时前 n 项和的极限，属于基础题.12．若向量a r 、b r 满足()7a b b +⋅=r r r ，且||a =r ||2b =r ，则向量a r 在b r上的投影为_______. 【答案】32【解析】 【分析】根据数量积的运算及向量在向量上的投影的定义即可求解. 【详解】因为()7a b b +⋅=r r r，所以27a b b⋅+=r r r ，又||a =r ，||2b =r，所以227a b ⋅+=r r ，即3a b ⋅=r r ， 所以向量a r 在b r 上的投影为32||a b b ⋅=r rr ，故答案为：32【点睛】试卷第9页，总17页本题主要考查了数量积的运算，向量在向量上的投影，属于中档题. 13．若0a >，0b >且123a b +=，则a b的最大值为________. 【答案】98【解析】 【分析】根据均值不等式即可求出ab的最大值. 【详解】因为0a >，0b >， 所以123a b +=≥，当且仅当12a b =，即32,43a b ==时，等号成立. 所以98a b ≤， 故答案为：98【点睛】本题主要考查了利用均值不等式求最值，属于中档题.14．已知数列{}n a 、{}n b 满足12,n n a n b n +⎧⎪=为奇数为偶数，若{}n b 是等比数列，且22108a b +=，则数列{}n a 的通项公式为________.【答案】9nn a =【解析】 【分析】设{}n b 的公比为q ，由12n n b a +=，n 为奇数，可知21,k k a b k N -+=∈,可知{}na 是公比为2q 的等比数列，即可求解.【详解】设{}n b 的公比为q ,因为12,n n a n b n +⎧⎪=为奇数为偶数，试卷第10页，总17页所以21,k k a b k N -+=∈， 所以212121k k k k a b q a b ++-==，即数列{}n a 是以2q 为公比的等比数列. 又211b b a ==，可解得211a b q ==又22108a b +=，即431080q q +-=， 解得3q =， 所以1999n n n a -=⨯=.故答案为：9nn a =【点睛】本题主要考查了等比数列的定义，通项公式，等比数列基本量的计算，属于难题. 15．函数()25sin 1y x x π=--()010x ≤≤的所有零点之和等于__________. 【答案】60 【解析】 【详解】函数()25sin 1y x x π=-- ()010x ≤≤的零点，即为方程()25sin 10x x π--=在区间[]0,10上的解.等价于函数2sin y x π=的图象与函数15y x =-的图象，在区间[]0,10上的交点的横坐标.因为函数2sin y x π=的图象与函数15y x=-的图象，均关于点（5，0）对称，且在区间[]0,10上共有12个交点（6组对称点），每组对称点的横坐标之和为10，即这12个点横坐标之和为60.所以函数()25sin 1y x x π=--()010x ≤≤的所有零点之和等于60.16．设()f x 是定义在()0,∞+上的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()22log 4f f x x -=⎡⎤⎣⎦，则不等式()6f x <的解集为______.【答案】{}04x x << 【解析】 【详解】试卷第11页，总17页由题设，存在正常数c ，使得()4f c =，且对任意的()0,x ∈+∞，有()22log f x x c -=. 当x c =时，有()22log 4f c c c =+=，由单调性知此方程只有唯一解2c =.所以()22log 2f x x =+.不等式()6f x <，即22log 26x +<，解得04x <<.故不等式的解集为{}04x x <<. 三、解答题17．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且5cos 13B =. （1）若3cos 5A =，求cos C ； （2）已知4b =，求AB BC ⋅u u u r u u u r的最小值.【答案】（1）3365；（2）5-. 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系可求sin B ，sin A ，再由诱导公式及两角和的余弦公式即可求解（2）由余弦定理及基本不等式可求得13ac …，根据平面向量数量积的运算，诱导公式即可计算得解. 【详解】 （1）5cos 13B =Q ，可得12sin 13B ==， 3cos 5A =Q ，∴4sin 5A =， 33cos cos()sin sin cos cos 65C A B A B A B ∴=-+=-=， （2）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得：22101613a c ac +-=， 222a c ac +Q …，∴13ac …，当且仅当a c =时等号成立， 5cos()cos 513AB BC ac B ac B ac π∴⋅=-=-=--u u u r u u u r …,AB BC ⋅u u u r u u u r的最小值为5-.【点睛】试卷第12页，总17页○…………外○…………内本题主要考查了同角三角函数关系，两角和的余弦公式，余弦定理，均值不等式，属于中档题.18．已知函数2()2ax f x x -=+，其中a ∈R . （1）若2a =，解不等式()1f x ≤-；（2）求a 的取值范围，使函数()y f x =在区间(0,)+∞上单调减函数. 【答案】（1）(2,0]-；（2）1a <-. 【解析】 【分析】（1）化简分式不等式求解即可（2）化简函数解析式得222()22ax af x a x x ---==+++，由反比例函数单调性可得220a -->，解不等式即可. 【详解】（1）当2a =时，由原不等式可得：302xx ≤+， 即3(+2)0(20)x x x ≤+≠， 解得20x -<≤，所以不等式的解集为(2,0]-.（2）222()22ax af x a x x ---==+++Q ， 又222()22ax af x a x x ---==+++在区间(0,)+∞上是单调减函数， ∴220a -->，解得1a <-. 【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法，反比例函数的单调性，属于中档题.19．如图，有一块边长为1(hm )的正方形区域ABCD ，在点A 处装有一个可转动的小摄像头，其能够捕捉到图象的角PAQ ∠始终为45°（其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上），设PAB θ∠=，记tan t θ=.（1）用t 表示PQ 的长度，并研究CPQ ∆的周长l 是否为定值？试卷第13页，总17页（2）问摄像头能捕捉到正方形ABCD 内部区域的面积S 至多为多少？【答案】（1）211t PQ t+=+，2l =hm ；（2）(2-2hm .【解析】 【分析】（1）利用已知条件求出t 的关系式，进一步求出周长为定值（2）利用关系式的恒等变换和不等式的基本性质求出结果. 【详解】 （1）设,1(01)BP t CP t t ==-≤≤，所以()145,ADtan 451tDAQ DQ tθθ︒︒-∠=-=-=+， 则：12111t tCQ t t-=-=++， 所以211t PQ t +==+ 故221111211t t l CP CQ PQ t t t t t+=++=-++=-++=++所以CPQ ∆的周长l 是定值2hm . （2）ABP ADQ S S S S ∆∆=--正方形1112121222121t t t t t -⎛⎫=--⋅=-++- ⎪++⎝⎭…当且仅当1t =时，等号成立，所以摄像头能捕捉到正方形ABCD 内部区域的面积S 至多为2-2hm . 【点睛】本题主要考查了实际问题中函数解析式，均值不等式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题. ‘20．定义函数()f x 如：对于实数x （12x k ≠+，k ∈Z ），如果存在整数k ，使得1||2x k -<，则()f x k =. （1）若等差数列{}n a 满足：111(,)22a ∈-，1(1)n n a f a +=+，求数列{}n a 的通项公式；试卷第14页，总17页（2）证明：函数()y f x =是奇函数且()(1)f x f x <+；（3）已知等比数列{}n b 具有单调性，其首项11b =，且123()()()3f b f b f b ++=，求公比q 的取值范围.【答案】（1）1n a n =-；（2）证明见解析；（3）(2U .【解析】 【分析】（1）等差数列{}n a 中求出23,a a 即可写出公差及通项公式（2）根据新函数定义及奇函数的定义证明（3）利用新定义函数()f x ，对q 分类讨论即可. 【详解】（1）因为111(,)22a ∈-，1131(,)22a +∈，所以11|11|2a +-<，即21(1)1a f a =+=，故32(1)(2)2a f a f =+==， 因为{}n a 为等差数列，所以32121,0d a a a a d =-==-=， 所以1n a n =-.（2）1||||2x k x k -=-+<Q ， 则()f x k -=-，()()f x f x ∴-=-，()f x ∴是奇函数.若()f x k =，则1||2x k -<， 1|1(1)|2x k ∴+-+<， (1)1f x k ∴+=+，故()(1)f x f x <+.（3）因为等比数列{}n b 具有单调性，其首项11b =，试卷第15页，总17页所以10q >>或1q >，因为11b =，所以1()1f b =，23()()2f b f b +=， 若10q>>时，则2301,01b b <<<<，()20f b ∴=或()21f b =，()30f b =或()31f b =，又23()()2f b f b +=，()()231,1f b f b ∴==， 23111,122b b ∴-<-<，231313,2222b b ∴<<<<， 213221322q q ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<<⎪⎩，解得12q <<，若1q >，则231,1b b >>()()231,1f b f b ∴厖，()()()()23232,1,1f b f b f b f b +=∴==Q ， 23111,122b b ∴-<-<，231313,2222b b ∴<<<<， 213221322q q ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<<⎪⎩，解得12q << 综上：q 的取值范围为22U . 【点睛】本题主要考查了新函数的定义及应用，奇函数，等差数列，等比数列，分类讨论的思想，属于难题.21．已知以1a 为首项的数列{}n a 满足：1|||1|n n a a +=+（*n ∈N ）. （1）当113a =-时，且10n a -<<，写出2a 、3a ；试卷第16页，总17页（2）若数列{||}n a （110n ≤≤，*n ∈N ）是公差为1-的等差数列，求1a 的取值范围； （3）记n S 为{}n a 的前n 项和，当10a =时，给定常数m （4m ≥，*m ∈N ），求1m S -的最小值.【答案】（1）223a =-，313a =-；（2）(,9]-∞-；（3）当m 为奇数时，1m S -最小值为12m --；当m 为偶数时，1m S -最小值为22m --. 【解析】 【分析】（1）根据条件113a =-时，且10n a -<<及1|||1|n n a a +=+即可求出（2）由条件可得11,10a n n -=…时19a …，再分析出n a 的正负即可求解（3）根据条件得到231,2a a =±=±或0，43,1a =±±,归纳，求和即可求出结论.【详解】 （1）当113a =-时，且10n a -<<， 011n a ∴<+<，212221,33a a a ∴=+=∴=-，同理可得：313a =-.（2）{||}na Q （110n ≤≤，*n ∈N ）是公差为1-的等差数列，11(1)0,1n a a n a n ∴=--∴-厖，10n =时，19a …， ()*11n n a a n N +=+∈Q ，()11n a a n ∴+=±-，正号不成立，110n a a n ∴=-+-…19a ∴-…，（3）当10a =时，()11n n a a +=±+，231,2a a =±=±或0，43,1a =±±,⋯,所以，m 为奇数，1min()m S -=10101.102m --+--⋯⋯-+=-，试卷第17页，总17页m 为偶数，1min 20123((2))2m m S m --+-+-⋯⋯--=-=. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，分类讨论的方法，绝对值的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题.。
2019届上海市高三上学期期中数学试卷【含答案及解析】
2019届上海市高三上学期期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 函数f（x）=4 x ﹣1的反函数f ﹣1 （x）=___________ ．2. 设集合A={5，log 2 （a+3）}，B={a，b}，若A∩B={2}，则A ∪ B=___________ ．3. 若tanα=3，则的值等于___________ ．4. 函数f（x）= 的定义域为___________ ．5. 已知直线l经过点且方向向量为（2，﹣1），则原点O到直线l的距离为___________ ．6. 若自然数n满足C 6 n =20，则行列式 =___________ ．7. 已知关于x的方程（） x = 有一个正根，则实数a的取值范围是___________ ．8. 已知数列，则a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +…+a 99 +a100 =___________ ．9. 已知P（x，y）是双曲线 =1上任意一点，F 1 是双曲线的左焦点，O是坐标原点，则的最小值是 ____________________ ．10. 等比数列{a n }首项为sinα，公比为cosα，若（a 1 +a 2 +…+a n ）=﹣，则α= ___________________________________ ．11. 已知下列命题：①若＜0，则与的夹角为钝角；②a，b ∈ C，则“ab ∈ R”是“a，b互为共轭复数”的必要非充分条件；③一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为；④若n为正奇数，则6 n + + +…+ 被8除的余数是5，其中正确的序号是___________ ．12. 在一个底面半径为1，高为3的圆柱形容器中放满水，再把容器倾斜倒出水，此时圆柱体的母线与水平面所成角的大小是___________ ．13. 已知数列{a n }、{b n }的通项公式分布为a n =（﹣1） n﹣1 a﹣1，b n =（﹣1）n ，切对于一切的正整数n，恒有a n ＜b n 成立，则实数a的取值范围是_________ ．14. （文）在数列{a n }中，a 1 =2，且对任意大于1的正整数n，点（，）在直线y=x﹣上，则 =___________ ．15. 已知△ ABC 中，若sinA=m，sinB=n，当m、n满足条件___________ 时（只需写出满意的一个条件），cosC具有唯一确定的值．16. （文）已知△ ABC 中，cosA=a，sinB= ，当a满足条件___________ 时，cosC具有唯一确定的值．二、选择题17. 抛物线x 2 =4y的焦点坐标为（）A．（1，0）________ B．（﹣1，0）________ C．（0，1）________ D．（0，﹣1）18. 已知，，若k为满足的整数，则使△ ABC 是直角三角形的k的个数为（）A．7________ B．4________ C．3________ D．219. 已知a 2 +c 2 ﹣ac﹣3=0，则c+2a的最大值是（）A．2 ________ B．2 ________ C．2 ________ D．320. （文）已知a 2 + c 2 ﹣3=0，则c+2a的最大值是（）A．2 ________ B．2 ________ C．2 ________ D．321. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：①f（f（x））=0；②函数f（x）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x ∈ R恒成立；④存在三个点A（x 1 ，f（x 1 ）），B（x 2 ，f（x 2 ）），C（x 3 ，f（x 3 ）），使得△ ABC 为等边三角形．其中真命题的个数是（）A．1________ B．2________ C．3________ D．4三、解答题22. 已知四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ ABC=90° ，AD ∥ BC ，SA=AB=BC=2，AD=1，SA ⊥ 底面ABCD．（1）求四棱锥S﹣ABCD的体积；（2）（理）求SC与平面SAB所成角的大小（文）求异面直线SC与AD所成角的大小．23. 已知△ ABC 中，cosB= ，边c=12 ．（1）若函数y=3cos 2 x+sin 2 x﹣2 sinxcosx，当x=C时取得最小值，求变a，b的长；（2）若sin（A﹣B）= ，求sinA的值和边a的长．24. 为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为y= ．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用．（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．25. 已知数列{a n }的前n项和S n =﹣a n ﹣（） n﹣1 +2（n ∈ N * ），数列{b n }满足b n =2 n •a n（1）求a 1（2）求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（3）设c n =log 2 ，数列{ }的前n项和为T n ，求满足T n ＜（n∈ N * ）的n的最大值．26. 已知两个函数f 1 （x）=ln（|x﹣a|+2），f 2 （x）=ln（|x﹣2a+1|+1），a ∈ R．（1）若a=0，求使得f 1 （x）=f 2 （x）的x的值；（2）若|f 1 （x）﹣f 2 （x）|=f 1 （x）﹣f 2 （x）对于任意的实数x ∈ R恒成立，求实数a的取值范围；（3）求函数F（x）= ﹣的值域．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】第26题【答案】。
上海市上海中学2019-2020学年高三期中数学试卷(6页)
上海市上海中学2019-2020学年高三期中数学试卷2019.11一. 填空题度1. 已知集合{|42}M x x =-<<，2{|60}N x x x =--<，则M N =I2. 函数y 的定义域是3. 等比数列{}n a 的公比4q =，且前3项之和等于21，则其通项n a =4. 设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解 集为5. 设0x >，0y >，25x y +=的最小值为6. 若不等式20px qx r -+≥的解集为{|2x x ≤-或3}x ≥，则不等式2()(1)0qx px r x ++->的解集为7. 已知等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，令n b *n ∈N ，2020n <）， 当k b 是数列{}n b 的最大项时，k =8. 若命题：“存在整数x 使不等式2(4)(4)0kx k x ---<成立”是真命题，则实数k 的取值范围是9. 集合的容量是指几何中各元素的和，满足条件“{1,2,3,4,5,6,7}A ⊆，且若a A ∈时，必有8a A -∈”的所有非空集合A 的容量的总和为10. 已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零 点，则a 的取值范围为11. 若一个整数数列的首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，则我们称这个数列为“好数列”，例如：1，2，2，3，4，3，2，1，1是一个好数列，若一个好数列的各项之和是2019，则这个数列至少有 项12. 设220()|||1|0x ax x f x x a x x ⎧-+≤=⎨++->⎩，若()f x 的最小值为1a +，则实数a 的取值范围为二. 选择题13. 王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不归”，其中后一句中“破楼兰”是“返回家乡”的（ ）A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14. 在等比数列{}n a 中，11a =，公比||1q ≠，若12345m a a a a a a =，则m 的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 15. 若存在[1,2]x ∈，使得|21|20x a ⋅-->成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. 13(,)24- B. 13(,)(,)22-∞-+∞U C. 13(,)44- D. 13(,)(,)44-∞-+∞U 16. 给定函数()f x 和()g x ，令()max{(),()}h x f x g x =，对以下三个论断：（1）若()f x 和()g x 都是奇函数，则()h x 也是奇函数；（2）若()f x 和()g x 都是非奇非偶函数，则()h x 也是非奇非偶函数；（3）()f x 和()g x 之一与()h x 有相同的奇偶性； 其中正确论断的个数为（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个三. 解答题17. 已知实数a 、b 满足01a <<，01b <<. （1）若1a b +=，求11(1)(1)ab++的最小值；（2）若14ab =，求1111a b+--的最小值.18. 已知()|1|f x ax =-（a ∈R ），()1||g x x =-. （1）解关于x 的不等式()1f x ≤；（2）若()()f x g x ≥的解集为R ，求a 的取值范围.19. 若函数()y f x =与()y g x =在给定的区间上满足()()0f x g x ⋅≥恒成立，则称这两个函数在该区间上“和谐”.（1）若函数2()(1)22f x x a x a =+--+与2()22g x x ax a =+-在R 上和谐，求实数a 的 取值范围； （2）若函数30()f x a x =-与()lg()xg x a=在*N 上和谐，求实数a 的取值范围.20. 在数列{}n a 中，10a =，21n n a a m +=+，其中m ∈R ，*n ∈N . （1）若2a 、3a 、3a 依次成公差不为0的等差数列，求m ； （2）证明：“14m >”是“114n a +>（*n ∈N ）恒成立”的充要条件； （3）若14m >，求证：存在*k ∈N ，使得2019k a >.21. 已知2()||f x x a x b =--，其中0a >，0b >. （1）若2a =，1b =，写出()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 恰有三个不同的零点，且这些零点之和为2-，求a 、b 的值； （3）若函数()f x 在[2,2]-上有四个不同零点1x 、2x 、3x 、4x ，求1234||||||||x x x x +++的最大值.参考答案一. 填空题1. {|22}x x -<<2. [4,)+∞3. 14n -4. (1,0)(0,1)-U5.6. (3,1)(2,)-+∞7. 10108. [1,4]9. 224 10.(,[1,)-∞+∞U 11. 89 12. {2[1,1]---U二. 选择题13. B 14. C 15. D 16. A 三. 解答题 17.（1）9；（2）4.18.（1）当0a >，2[0,]a；当0a =，x ∈R ；当0a <，2[,0]a；（2）[1,1]-. 19.（1）[7,0]{2}-；（2）[5,6].20.（1）1m =-±（2）证明略；（3）证明略.21.（1）(,1]-∞-递减，[1,)-+∞递增；（2）4a =，1b =；（3）4.。
2019-2020年高三上学期期中数学试卷
2019-2020年高三上学期期中数学试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.已知全集，集合，，则 .2. 等差数列中，公差，是与的等比中项，则____________．3．已知数列的前项和为，若，则__________________.4. 已知，且，则＝_______________．5.已知函数2()(21)13f x x m x m =-+-+-在上是减函数，则实数的取值范围是__________________.6.在等比数列{a n }中，，，则的值是 .7. 在中，C B C B A sin sin sin sin sin 222⋅-+=，则=__________________.8. 为定义在上的奇函数，当， （为常数），则____________.9. 已知函数 （），与的图像关于直线对称，则___________________.10. 已知数列中， ，，则通项公式_______________.11．若函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，在上都是减函数，且，则使得的的取值范围是__________________.12.（理）若存在实数满足，则实数的取值范围是_________________.（文）若存在实数满足，则实数的取值范围是__________________.13.（理）对，记，设，，函数，若方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围是____________________.（文）对，记，函数} |2|, |1| max{)(-+=x x x f 的最小值是__________．14、函数的定义域为，若且时总有，则称为单函数，例如，函数是单函数．下列命题：①函数是单函数；②指数函数是单函数；③若为单函数，且，则；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数；⑤若为单函数，则函数在定义域上具有单调性。
上海市2020届高三数学上学期期中试题(含解析)
上海市2021届高三数学上学期期中试题（含解析）一. 填空题 1.设函数()f x A ，R 为全体实数集，则R C A =________【答案】{|11}x x -<< 【解析】 【分析】被开方数需大于等于0求得集合A ，再求A R.【详解】由题意得：2{|10}{|1A x x x x =-≥=≥或1}x ≤-， 因为R 为全体实数集，所以{|11}A x x =-<<R.故答案为：{|11}x x -<<.【点睛】本题考查函数定义域的求法、集合间的补集运算，考查对定义域概念的理解和基本的运算求解能力.2.若复数1z ，2z 满足112i z =+，234i z =+（i 是虚数单位），则12||z z ⋅=________【答案】【解析】 【分析】先要据复数相乘得到12510i z z ⋅=-+，再利用复数求模的公式，即得答案. 【详解】因为12(12i)(34i)510i z z ⋅=+⋅+=-+，所以12||z z ⋅==.故答案为：【点睛】本题考查复数相乘、复数模的计算，考查基本运算求解能力.3.在二项式51)x-的展开式中，展开式的系数和为________【答案】32 【解析】 【分析】利用赋值法令1x =即可得到展开式各项的系数和.【详解】由二项式51)x的展开式知，展开式的系数和是由展开式的各项的系数相加，所以1x =得：展开式的系数和为5(31)32-=. 故答案为：32.【点睛】本题考查二项展开式各项系数和的计算，求解过程中要学会用赋值法进行求解，考查对展开式各项系数的理解和基本的运算求解能力.4.双曲线22221x y a b-=的一个焦点是(5,0)，一条渐近线是340y x -=， 那么双曲线的方程是________【答案】221916x y -=【解析】 【分析】由双曲线的焦点坐标得c ，再由渐近线方程得ba，结合222c a b =+，从而求得,a b ，进而求得双曲线的方程.【详解】因为双曲线的焦点是(5,0)，所以5c =， 因为渐近线是340y x -=，所以43b a =，又222c a b =+， 所以3,4a b ==，所以双曲线的方程是221916x y -=.故答案为：221916x y -=.【点睛】本题考查利用待定系数法求双曲线方程，考查焦点坐标、渐近线方程的概念，考查基本运算求解能力，注意222c a b =+而不能记成222a b c =+. 5.若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，11a =，4d =，则2lim 1nn S n →∞=+________【答案】2 【解析】【分析】利用等差数列的前n 项和公式求得n S ，再代入极限式子中，分子分母同时除以2n ，进而计算求得答案.【详解】因为21(1(14222n S n n n n n a n d n n --=⋅+⋅=+⋅=-））， 所以2222122lim lim lim 21111n n n n S n n n n n n→∞→∞→∞--===+++. 故答案为：2. 【点睛】本题考查等差数列求和、数列极限，考查数列中的基本量法求和，考查基本的运算求解能力.6.已知函数34()log (2)f x x=+，则方程1()4f x -=的解x =________ 【答案】1 【解析】 【分析】根据互为反函数的两个函数间的关系知，欲求满足1()4f x -=的x 值，即求(4)f 的值． 【详解】由题意得x 值即为(4)f 的值，因为34()log (2)f x x =+， 所以34(4)log (2)14f =+=，所以1x =. 故答案为：1x =.【点睛】本题考查原函数与反函数之间的关系，即原函数过点(,)x y ，则反函数过点(,)y x ，考查对概念的理解和基本运算求解能力. 7.行列式sin 4cos 35x x的最大值为________【答案】13 【解析】 【分析】由行列式计算结合辅助角公式得13sin()x ϕ-，再由三角函数的值域，求得行列式的最大值. 【详解】因为sin 4cos 5sin 12cos 13sin()1335x x x x x ϕ=-=-≤，其中12tan 5ϕ=， 所以sin 4cos 35x x的最大值为13.故答案为：13.【点睛】本题考查行列式的计算、辅助角公式的运用及三角函数的最值，考查逻辑推理和运算求解能力.8.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】43【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的2，，所以该多面体的体积为21421(2).33⨯⨯⨯=点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．9.某学生选择物理、化学、地理三门学科参加等级考，已知每门学科考A +得70分，考A 得67分，考B +得64分，该生每门学科均不低于64分，则其总分至少为207分的概率为________ 【答案】427【解析】 【分析】先求出基本事件总数33327n =⨯⨯=，其总分至少为207分包含的基本事件个数3213314m C C C =+=，由此能求出其总分至少为207分的概率．【详解】某学生选择物理、化学、地理这三门学科参加等级考，每门学科考A +得70分，考A 得67分，考B +得64分，该生每门学科均不低于64分， 基本事件总数33327n =⨯⨯=，其总分至少为207分包含的基本事件个数：3213314m C C C =+=，∴则其总分至少为207分的概率427m p n ==． 故答案为：427． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()an n a a -=，那么99100log a =________【答案】1 【解析】 【分析】由已知数列递推式可得数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解．【详解】由11()an n a a -=，得991991log log n n a a a -=，∴199991991l 9og log 9n n a a a -==， 则数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列， ∴19999991001log (99)199a =⋅=． 故答案为：1．【点睛】本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式，考查运算求解能力，特别是对复杂式子的理解．11.已知a 、b 、2c 是平面内三个单位向量，若a b ⊥，则|4|2|32|a c a b c +++-的最小值是________【答案】【解析】 【分析】设2(,)c e x y ==，(1,0)a =，(0,1)b =，将问题转化为求|2||64|a e a b e +++-的最小值，再证明|2||2|a e a e +=+，从而将原问题转化为求|2||64|a e a b e +++-的最小值. 【详解】令2c e =，设(1,0)a =，(0,1)b =，e 对应的点C 在单位圆上， 所以问题转化为求|2||64|a e a b e +++-的最小值.因为2222(2)(2)330a e a e e a +-+=-=，所以|2||2|a e a e +=+，所以|64|(|22)|a e a b e x ++-=++ 表示C 点到点(2,0)-和(6,4)的距离之和， 过点(2,0)-和(6,4)的直线为220x y ，原点到直线220x y1=<，所以与单位圆相交，所以|2||64|a e a b e +++-的最小值为：点(2,0)-和(6,4)之间的距离，即故答案为：【点睛】本题考查平面向量的坐标运算与解析几何中直线与圆的位置关系的交会，求解的关键在于问题的等价转化，即将最小值转化为两点问的距离，考查数形结合思想、转化与化归思想的灵活运用，综合性很强．12.已知二次函数2()2019f x ax bx c =++（0a >），若存在0x ∈Z ，满足01|()|2019f x ≤，则称0x 为函数()f x 的一个“近似整零点”，若()f x 有四个不同的“近似整零点”，则a 的取值范围是________ 【答案】21(0,]2019【解析】【分析】设函数的四个“近似整零点”为,1,2,3m m m m +++，再利用绝对值不等式和01|()|2019f x ≤，求得a 的取值范围. 【详解】设函数的四个“近似整零点”为,1,2,3m m m m +++， 所以42019()(3)(1)(2)a f m f m f m f m ⨯=++-+-+|()||(3)||(1)||(2)|f m f m f m f m ≤++++++142019≤⨯所以212019a ≤. 故答案为：21(0,]2019. 【点睛】本题考查“近似整零点”的定义，求解的关键是读懂新定义，且理解“近似整零点”只与图象的开口大小有关，且四个整零点之间的最小距离为3，此时a 可取到最大值. 二. 选择题13.若函数()sin()f x x ϕ=+是偶函数，则ϕ的一个值可能是（ ） A. 0 B.2π C. πD. 2π【答案】B 【解析】 【分析】由函数的奇偶性的定义可得ϕ需满足的条件为2k πϕπ=+，k Z ∈，结合选项可得答案．【详解】函数()sin()f x x ϕ=+是偶函数，()()f x f x ∴-=，即sin()sin()x x ϕϕ-+=+，2x x k ϕϕπ∴-+=++或2x x k ϕϕππ-+++=+，k Z ∈，当2x x k ϕϕπ-+=++时，可得x k π=-，不满足偶函数定义中的任意性； 当2x x k ϕϕππ-+++=+时，2k πϕπ=+，k Z ∈，当0k =时，2ϕπ=. 故选：B.【点睛】本题考查正弦函数图象，涉及函数的奇偶性，求解过程中也可以采用代入法求解，重点学校 试卷 可修改 欢迎下载即直接把四个选项代入一一进行验证求得ϕ的值． 14.设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A. 充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件， 故选B 。
2019-2020学年上海中学高三(上)期中数学试卷(解析版)
2019-2020学年上海中学高三（上）期中数学试卷一.填空题1．已知集合{|42}M x x =-<<，2{|60}N x x x =--<，则M N = ．2．函数y = ．3．等比数列{}n a 中，公比4q =，且前3项之和是21，则数列的通项公式n a = ． 4．设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且f （1）0=，则不等式()()0f x f x x --<的解集是 ．5．设0x >，0y >，25x y +=的最小值为 ．6．若不等式20px qx r -+…的解集为{|2x x -…或3}x …，则不等式2()(1)0qx px r x ++->的解集为 ．7．已知等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，令*n b n N =∈，2020)n <，当k b 是数列{}n b 的最大项时，k = ．8．若不存在整数x 使不等式2(4)(4)0kx k x ---<成立，则实数k 的取值范围是 ． 9．定义：数集的容量是集合中所有元素的和．例如，数集{1，2，3}的容量为1236++=．则满足条件“{1A ⊆，2，3，4，5，6，7}，且若a A ∈时，必有8a A -∈”的所有非空集合A 的容量的总和是 ．10．a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--．如果函数()y f x =在区间[1-，1]上有零点，则a 的取值范围是 ．11．若一个整数数列的首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，则我们称这个数列为“好数列”，例如：1，2，2，3，4，3，2，1，1是一个好数列，若一个好数列的各项之和是2019，则这个数列至少有 项．12．设220()|||1|0x ax x f x x a x x ⎧-+=⎨++->⎩…，若()f x 的最小值为1a +，则实数a 的取值范围为 ．二.选择题13．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．在等比数列{}n a 中，11a =，公比||1q ≠．若12345m a a a a a a =，则(m = ) A ．9B ．10C ．11D ．1215．若存在[1x ∈，2]，使得|21|20x a -->成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．13(,)24-B ．13(,)(,)22-∞-+∞ C ．13(,)44-D ．13(,)(,)44-∞-+∞ 16．给定函数()f x 和()g x ，令(){()h x max f x =，()}g x ，对以下三个论断：（1）若()f x 和()g x 都是奇函数，则()h x 也是奇函数；（2）若()f x 和()g x 都是非奇非偶函数，则()h x 也是非奇非偶函数；（3）()f x 和()g x 之一与()h x 有相同的奇偶性； 其中正确论断的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个三.解答题17．已知实数a 、b 满足01a <<，01b <<． （1）若1a b +=，求11(1)(1)a b++的最小值；（2）若14ab =，求1111a b+--的最小值． 18．已知()|1|()f x ax a R =-∈，()1||g x x =-． （1）解关于x 的不等式()1f x …；（2）若()()f x g x …的解集为R ，求a 的取值范围．19．若函数()y f x =与()y g x =在给定的区间上满足()()0f x g x …恒成立，则称这两个函数在该区间上“和谐”．（1）若函数2()(1)22f x x a x a =+--+与2()22g x x ax a =+-在R 上和谐，求实数a 的取值范围；（2）若函数30()f x a x =-与()()xg x lg a=在*N 上和谐，求实数a 的取值范围． 20．在数列{}n a 中，10a =，21n na a m +=+，其中m R ∈，*n N ∈．（1）若2a 、3a 、4a 依次成公差不为0的等差数列，求m ； （2）证明：“14m >”是“*11()4n a n N +>∈恒成立”的充要条件； （3）若14m >，求证：存在*k N ∈，使得2019k a >． 21．已知2()||f x x a x b =--，其中0a >，0b >． （1）若2a =，1b =，写出()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 恰有三个不同的零点，且这些零点之和为2-，求a 、b 的值；（3）若函数()f x 在[2-，2]上有四个不同零点1x 、2x 、3x 、4x ，求1234||||||||x x x x +++的最大值．2019-2020学年上海中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．已知集合{|42}M x x =-<<，2{|60}N x x x =--<，则M N = {|22}x x -<< ．【解答】解：集合{|42}M x x =-<<，2{|60}{|23}N x x x x x =--<=-<<，{|22}MN x x ∴=-<<．故答案为：{|22}x x -<<．2．函数y = [4．)+∞ ． 【解答】解：由已知可得2log 20x x ⎧⎨>⎩…，解不等式可得{|4}x x …故答案为：[4，)+∞3．等比数列{}n a 中，公比4q =，且前3项之和是21，则数列的通项公式n a = 14n - ． 【解答】解：因为公比4q =，且前3项之和是21， 所以31(14)2114a -=-，解得11a =，所以11144n n n a a --==， 故答案为：14n -．4．设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且f （1）0=，则不等式()()0f x f x x--<的解集是 (1-，0)(0⋃，1) ． 【解答】解：函数()f x 是奇函数 ()()f x f x ∴-=- ∴不等式()()0f x f x x--<可转化为：()0f x x <根据条件可作一函数图象： ∴不等式()()0f x f x x--<的解集是(1-，0)(0⋃，1)故答案为：(1-，0)(0⋃，1)5．设0x >，0y >，25x y +=的最小值为【解答】解：0x >，0y >，25x y +=，==+；由基本不等式有：64xyxy=；当且仅当=时，即：3xy =，25x y +=时，即：31x y =⎧⎨=⎩或232x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时；等号成立，；故答案为：6．若不等式20px qx r -+…的解集为{|2x x -…或3}x …，则不等式2()(1)0qx px r x ++->的解集为 (3-，1)(2⋃，)+∞ ．【解答】解：20px qx r -+…的解集为{|2x x -…或3}x …，所以其对应的方程20px qx r -+=有两个根2-，3，且0p >，22(2)(3)6px qx r p x x px px p -+=+-=--，所以q p =，6r p =-． 2()(1)0qx px r x ++->，即2(6)(1)0p x x x +-->，即(3)(2)(1)0x x x +-->，由穿针引线法，得(3x ∈-，1)(2⋃，)+∞． 故答案为：(3-，1)(2⋃，)+∞．7．已知等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，令*n b n N =∈，2020)n <，当k b 是数列{}n b 的最大项时，k = 1010 ．【解答】x =y =，*n b n N =∈，2020)n <，∴根据基本不等式222222222()22()x y x y xy x y x y x y +=+++++=+…，得222020*********()2(2)4n n n b a a a a -=+==…，当且仅当2020n n a a -=时，n b 取到最大值， 此时1010n =，1010k ∴=． 故答案为：1010．8．若不存在整数x 使不等式2(4)(4)0kx k x ---<成立，则实数k 的取值范围是 14k 剟 ．【解答】解：设原不等式的解集为A ， 当0k =时，则4x >，不合题意，当0k >且2k ≠时，原不等式化为[(x -4)](4)0k x k +-<，44k k+>， ∴4(4,)A k k =+，要使不存在整数x 使不等式2(4)(4)0kx k x ---<成立，须45k k+…，解得：14k 剟； 当2k =时，A =∅，合题意，当0k <时，原不等式化为[(x -4)](4)0k x k +->，(A ∴=-∞，4)(4k k+⋃，)+∞，不合题意，故答案为：14k 剟． 9．定义：数集的容量是集合中所有元素的和．例如，数集{1，2，3}的容量为1236++=．则满足条件“{1A ⊆，2，3，4，5，6，7}，且若a A ∈时，必有8a A -∈”的所有非空集合A 的容量的总和是 224 ．【解答】解：若满足条件则下列同一括号里的数，同时属于或不属于A ，即(1,7)、(2,6)、(3,5)，4又(1,7)属于集合是一种情况，不属于集合又是一种情况，共两种情况，同理(2,6)，(3,5)，4同(1,7)类似各有两种情况，∴利用乘法原理，可得满足条件的集合个数为42(1,7)、(2,6)、(3,5)，4出现和不出现的次数是相等的， (1,7)∴、(2,6)、(3,5)，4出现的次数均为8， ∴总容量为：8(8884)224⨯+++=，故答案为：22410．a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--．如果函数()y f x =在区间[1-，1]上有零点，则a 的取值范围是 ([1，)+∞ ． 【解答】解：0a =时，不符合题意，所以0a ≠，2()2230f x ax x a =+--=在[1-，1]上有解，2(21)32x a x ∴-=-在[1-，1]上有解∴212132x a x-=-在[1-，1]上有解， 问题转化为求函数22132x y x -=-在[1-，1]上的值域．设32t x =-，[1x ∈-，1]，则23x t =-，[1t ∈，5]， 17(6)2y t t∴=+-，设7()g t t t =+，27()1g t t∴'=-，[1t ∈时，()0g t '<，此函数()g t 单调递减，t ∈，5]时，()0g t '>，此函数()g t 单调递增，y ∴的取值范围是3-，1]，∴13a∈-，1]，1a ∴…或a …．故答案为(-∞[1，)+∞． 11．若一个整数数列的首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，则我们称这个数列为“好数列”，例如：1，2，2，3，4，3，2，1，1是一个好数列，若一个好数列的各项之和是2019，则这个数列至少有 89 项．【解答】解：由题可知，数列要想项数最少，需要各项最大；又因为数列首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1， 所以需要数列前面递增，后面对称递减； 又各项之和是2019，中间可能存在相等的项，设除去相等项后的各项为：1，2，3⋯，(1)n -，n ，(1)n -，3⋯，2，1； ∴令各项和：2(1)[1(1)]123(1)(1)212[123(1)]2(1)20192n n n n n n n n n n n n -+-+++⋯+-++-+⋯++=+++⋯+-+=⨯+=-+=…， 得44n …，当n 为44时，项数为432187⨯+=项， 220194483-=，将83分成小于或等于44的项，最少可以分成两项， 故这个数列至少有87289+=项， 故答案为：89．12．设220()|||1|0x ax x f x x a x x ⎧-+=⎨++->⎩…，若()f x 的最小值为1a +，则实数a 的取值范围为{2[1---，1] ．【解答】解：（1）若0a -…，即0a …时，22,0()1,0121,1x ax x f x a x x a x ⎧-+⎪=+<⎨⎪+->⎩……， ()f x ∴在(-∞，0]上单调递减，最小值为(0)2f =，在(0,)+∞上最小值为1a +，故只需21a +…即可，解得01a 剟； （2）若01a <-…，即10a -<…时，则22,021,0()1,121,1x ax x x a x af x a a x x a x ⎧-+⎪--+<-⎪=⎨+-<<⎪⎪+-⎩………，()f x ∴在(-∞，0]上先减后增，最小值为2()224a a f =-，在(0,)+∞上最小值为1a +，故只需2214a a -+…即可，解得22a ---+， 又10a -<…，10a ∴-<…；（3）若1a ->，即1a <-时，22,021,01()1,121,x ax x x a x f x a x a x a x a⎧-+⎪--+<⎪=⎨--<<-⎪⎪+--⎩………，()f x ∴在(-∞，0]上先减后增，最小值为2()224a a f =-，()f x 在(0,)+∞上的最小值为10a -->，而()f x 的最小值为10a +<，故只需令2214a a -=+即可，解得2a =--2a =-+（舍)，综上，a的取值范围是{2[1---，1]．故答案为：{2[1---，1]． 二.选择题13．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件． 故选：B ．14．在等比数列{}n a 中，11a =，公比||1q ≠．若12345m a a a a a a =，则(m = ) A ．9B ．10C ．11D ．12【解答】解：根据等比数列的性质得，215243a a a a a ==， 又12345m a a a a a a =，所以53m a a =， 因为111m m m a a q q --==，2231a a q q ==， 所以125()m q q -=，所以110m -=，即11m =， 故选：C ．15．若存在[1x ∈，2]，使得|21|20x a -->成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．13(,)24-B ．13(,)(,)22-∞-+∞C ．13(,)44-D ．13(,)(,)44-∞-+∞ 【解答】解：命题存在[1x ∈，2]，使得|21|20x a -->成立的否定为[1x ∀∈，2]，使得|21|20x a --…成立．由[1x ∀∈，2]，使得|21|20x a --…成立，得2212x a --剟，即1322x xa -剟， 当[1x ∈，2]时，12x -的最大值为14-，32x 的最小值为34． ∴命题[1x ∀∈，2]，使得|21|20x a --…成立为真命题的a 的取值范围为1[4-，3]4， 则命题[1x ∀∈，2]，使得|21|20x a --…成立为假命题的a 的取值范围为13(,)(,)44-∞-+∞，即存在[1x ∈，2]，使得|21|20x a -->成立的实数a 的取值范围是13(,)(,)44-∞-+∞． 故选：D ．16．给定函数()f x 和()g x ，令(){()h x max f x =，()}g x ，对以下三个论断：（1）若()f x 和()g x 都是奇函数，则()h x 也是奇函数；（2）若()f x 和()g x 都是非奇非偶函数，则()h x 也是非奇非偶函数；（3）()f x 和()g x 之一与()h x 有相同的奇偶性； 其中正确论断的个数为( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解答】解：（1）若()f x x =-，3()g x x =，则3,0(),0x x h x x x -<⎧=⎨⎩…，则()h x 为非奇非偶函数，故（1）错误，（2）若()2xf x =，()2xg x -=，则2,0()2,0x x x h x x -⎧=⎨<⎩…，则()h x 为偶函数，故（2）错误，（3）由（1）（2）知，()f x 和()g x 与()h x 的奇偶性没有关系，故（3）错误， 故正确的个数为0个， 故选：A ． 三.解答题17．已知实数a 、b 满足01a <<，01b <<． （1）若1a b +=，求11(1)(1)a b++的最小值；（2）若14ab =，求1111a b+--的最小值．【解答】解：已知实数a 、b 满足01a <<，01b <<．（1）若1a b +=，11(1)(1)(1)(1)(2)(2)4419a b a b a ba b a b b a ++++=++=++++=…，当且仅当a b =成立，故最小值为9，（2）令11x a =-，11y b =-，所以1x a x-=，1y b y -=，1x >，1y >，所以2x y +>，由14ab =，得1114x y x y --=，化简得234()34()44x y xy x y +=+++…，当且仅当x y =时成立， 解得4x y +…，或者43x y +…（不成立） 故x y +的最小值为4．18．已知()|1|()f x ax a R =-∈，()1||g x x =-． （1）解关于x 的不等式()1f x …；（2）若()()f x g x …的解集为R ，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）()1f x …，|1|1ax ∴-…，111ax ∴--剟，02ax ∴剟，∴当0a >时，20xa 剟；当0a =时，x R ∈；当0a <时，20x a剟， ∴当0a >时，不等式的解集为2[0,]a；当0a =时，不等式的解集为R ； 当0a <时，不等式的解集为2[,0]a；（2）不等式()()f x g x …的解集为R ， 即|1|1||ax x --…的解集为R ． |1|y ax =-经过定点(0,1)， ∴当0a =时，||0x …，满足题意； 当0a ≠时，关于x 的不等式|1|1||ax x --…的解集为R ， 则11a …或11a-…，11a ∴-剟且0a ≠， a ∴的取值范围为[1-，1]．19．若函数()y f x =与()y g x =在给定的区间上满足()()0f x g x …恒成立，则称这两个函数在该区间上“和谐”．（1）若函数2()(1)22f x x a x a =+--+与2()22g x x ax a =+-在R 上和谐，求实数a 的取值范围；（2）若函数30()f x a x =-与()()xg x lg a=在*N 上和谐，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）由2()(1)22f x x a x a =+--+与2()22g x x ax a =+-是公共区间上的“和谐函数”，可得在公共定义域上()()0f x g x …， 若()f x ，()g x 对应的方程是同解方程， 则1222a a a a⎧-=⎪⎨⎪-+=-⎩，解得2a =； 此时22(2)(224)0x x x x +-+-…． 若()f x ，()g x 对应的方程不是同解方程，要保证对于定义域内的任意实数x ，函数值乘积均为正， 则需要两个二次函数的判别式均小于或等于0， 即22(1)4(22)042(2)0a a a a ⎧---+⎨-⨯⨯-⎩……， 解得70a -剟， 即a 的取值范围是70a -剟． 当0a =时，函数化为2()2f x x x =-+与2()2g x x =，()g x 大于等于0，()f x 的判别式小于0，()f x 大于0恒成立，函数值乘积恒非负，也满足条件．综上知，实数a 的取值范围是70a -剟或2a =； （2）由定义域可得0xa>，由题意可得0a >， 由()0f x =，可得30x a=，由()0g x =，可得x a =， 由题意可得两零点之间无正整数， 由于5630⨯=，所以当05a <<时，306a>，不满足题意； 当6a >时，3005a<<，不满足题意； 当56a 剟时，3056a剟，满足题意．所以a 的取值范围是[5，6]．20．在数列{}n a 中，10a =，21n na a m +=+，其中m R ∈，*n N ∈． （1）若2a 、3a 、4a 依次成公差不为0的等差数列，求m ； （2）证明：“14m >”是“*11()4n a n N +>∈恒成立”的充要条件； （3）若14m >，求证：存在*k N ∈，使得2019k a >． 【解答】解：（1）10a =，21n na a m +=+，其中m R ∈，*n N ∈． 当1n =时，20a m m =+=， 当2n =时，23a m m =+，当3n =时，224()a m m m m =++=，∴若2a 、3a 、4a 依次成公差不为0的等差数列，3242a a a ∴=+，得1m =-± （2）证明： 充分性：21n n a a m +=+，其中m R ∈，*n N ∈．1n a m +∴…，14m >， *11()4n a n N +∴>∈恒成立．∴ “14m >” ⇒ “*11()4n a n N +>∈恒成立”． 必要性：21n n a a m +=+，其中m R ∈，*n N ∈，1n a m +∴…，又*11()4n a n N +>∈恒成立，14m ∴>， ∴ “*11()4n a n N +>∈恒成立” ⇒ “14m >” （3）221111()()244n n n n n a a a m a a m m +-=+-=-+--…，又14m >，∴令104d m =->， 由1n n a a d --…， 12n n a a d ---…，⋯21a a d -…，将上述不等式相加，得： 1(1)n a a n d --…，即(1)n a n d -…，取正整数20191k d>+，就有 2019(1)()2019k a k d d d->=…． 21．已知2()||f x x a x b =--，其中0a >，0b >． （1）若2a =，1b =，写出()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 恰有三个不同的零点，且这些零点之和为2-，求a 、b 的值；（3）若函数()f x 在[2-，2]上有四个不同零点1x 、2x 、3x 、4x ，求1234||||||||x x x x +++的最大值．【解答】解：（1）2a =，1b =时，2222222,1(1)1,1()2|1|22,1(1)3,1x x x x x f x x x x x x x x ⎧⎧-+-+=--==⎨⎨+-<+-<⎩⎩厖， ()f x ∴在(-∞，1]-单调递减，在(1,1)-上单调递增，在[1，)+∞单调递增；（2）由题意2()||0f x x a x b =--=有三个解，且他们的和为2-，x b <时，2()0f x x ax ab =+-=必有两个解，x =，x b ∴>时，2()0f x x ax ab =-+=只有一解，△240a ab =-=，4a b =①，2x b =②，联立①②解得4a =，1b =，综上所述4a =，1b =；（3）2()||0f x x a x b =--=即20x ax ab -+=或20x ax ab +-=，设20x ax ab -+=的两根为1x ，2x ，则12x x a +=，10x >，20x >；设20x ax ab +-=的两根为3x ，4x ，则34x x a +=-，340x x ab =-<，23434||||||4x x x x a ab ∴+=-==+，1x ，2x ，3x ，4x 均在区间[2-，2]内，20x ax ab ∴+-=在区间[2-，2]内，∴2-，4a ∴+，1234||||||||4x x x x a ∴+++=+，综上所述1234||||||||x x x x a +++=+的最大值为4；。
2019-2020年高三(上)期中数学试卷
2019-2020年高三（上）期中数学试卷第一部分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）已知复数z满足z•（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z=1+i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：复数方程两边同乘1﹣i的共轭复数，然后化简即可．解答：解：由z•（1﹣i）=2，可得z•（1﹣i）（1+i）=2（1+i），所以2z=2（1+i），z=1+i．故答案为：1+i．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．2．（5分）（xx•上海）已知点A（﹣1，﹣5）和=（2，3），若=3，则点B的坐标为（5，4）．考点：平面向量的坐标运算．专题：计算题．分析：由的坐标求出的坐标，再由点A的坐标和向量的坐标表示即：终点的坐标减去起点的坐标，求出终点B的坐标．解答：解：由题意知，=3=（6，9），又因点A的坐标是（﹣1，﹣5），则点B的坐标为（6﹣1，9﹣5）=（5，4）．故答案为：（5，4）．点评：本题考查了向量的坐标运算，即根据运算公式和题意求出所求点的坐标．3．（5分）已知等比数列{a n}满足a1•a7=3a3a4，则数列{a n}的公比q=3．考点：等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由a1•a7=3a3a4，结合等比数列的性质可得a5=3a4，从而可求公比解答：解：∵a1•a7=3a3a4，∴a3•a5=3a3•a4∴a5=3a4∴q=3故答案为：3点评：本题主要考查了等比数列的性质及等比数列的通项公式的简单应用，属于基础试题4．（5分）若cos（2π﹣α）=，且α∈（﹣，0），则sin（π﹣α）=﹣．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：由题意求出cosα的值，利用诱导公式化简sin（π﹣α），结合同角三角函数的基本关系式，求出它的值即可．解答：解：cos（2π﹣α）=cosα=，又α∈（﹣，0），故sin（π﹣α）=sinα=﹣=﹣．故答案为：﹣．点评：本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式，诱导公式的应用，考查计算能力，常考题型．5．（5分）已知两个平面α，β，直线l⊥α，直线m⊂β，有下面四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l⊥m⇒α∥β；④l∥m⇒α⊥β．其中正确的命题是①、④．考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：证明题．分析：本题应逐个判断：①④需用熟知的定理即线线垂直，面面垂直来说明，②③可举出反例来即可．解答：解：∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又直线m⊂β，故有l⊥m，即①正确；∵l⊥α，α⊥β，∴l∥β，或l⊂β，此时l与m可能平行，相交或异面，即②错误；∵l⊥α，l⊥m，∴又m⊂β，此时α与β可能相交可能平行，故③错误；∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，又m⊂β，故有α⊥β，即④正确．故答案为：①④点评：本题考查直线的平行于垂直关系，熟练运用性质定理是解决问题的关键，属基础题．6．（5分）设x，y满足，则z=x+y的最小值为2．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入z=x+y中，求出z=x+y的最小值．解答：解：满足约束条件的平面区域如图示：由图得当过点B（2，0）时，z=x+y有最小值2．故答案为：2．点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．7．（5分）（xx•盐城三模）已知函数，则的值为．考点：二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：利用公式tanx=、sin2α=2sinαcosα、cos2α=2cos2α﹣1即可化简求值．解答：解：因为f（x）==，所以f（）=．点评：本题考查同角三角函数的基本关系及正余弦的倍角公式．8．（5分）已知命题p：|5x﹣2|＜3，命题q：，则p是q的充分不必要条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”、“充要”选择并进行填空）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；其他不等式的解法．专题：计算题．分析：根据绝对值不等式的性质及一元二次方程的解法分别求出命题p和q的范围，再根据充分必要条件的定义进行求解；解答：解：命题p：|5x﹣2|＜3，，解得{x|﹣＜x＜1}，命题q：，可得x2+4x﹣5＜0，解得{x|﹣5＜x＜1}，∴{x|﹣＜x＜1}⇒{x|﹣5＜x＜1}，∴p是q的充分不必要条件，故答案为：充分不必要；点评：考查不等式解法及充要条件的判断方法，注意：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；9．（5分）△ABC中，，，，则=5．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：由向量的数量积可得，=||||cos（π﹣B）=﹣9可求的BC与cosB的关系，然后结合余弦定理即可求解BC解答：解：由向量的数量积可得，=||||cos（π﹣B）=﹣9∴cosB=9∴|BC|cosB=3由余弦定理可得，cosB==∴|BC|=5故答案为：5点评：本题主要考查了向量的数量积的定义及余弦定理在求解三角形中的应用，属于知识的简单应用10．（5分）已知关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式的解集是（﹣1，2）．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；转化思想．分析：关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），可得=1，且a＜0，由此对于x的不等式求解即可．解答：解：由题意关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），可得=1，且a＜0，关于x的不等式，可变为（x﹣2）（x+1）＜0，即得（x﹣2）（x+1）＜0，∴﹣1＜x＜2不等式的解集：（﹣1，2）故答案为：（﹣1，2）．点评：本题考查一次不等式的解法，求解问题的关键是根据不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），解出参数a，b所满足的条件，求解分式不等式不等式．考查转化思想．11．（5分）已知等比数列{a n}的首项是1，公比为2，等差数列{b n}的首项是1，公差为1，把{b n}中的各项按照如下规则依次插入到{a n}的每相邻两项之间，构成新数列{c n}：a1，b1，a2，b2，b3，a3，b4，b5，b6，a4，…，即在a n和a n+1两项之间依次插入{b n}中n个项，则c xx= 1951．考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由题意可得，，b n=1+（n﹣1）×1=n，当n=62时，=xx即此时共有xx项，且第xx项为262，而c xx=b1951可求解答：解：由题意可得，，b n=1+（n﹣1）×1=n由题意可得，在数列{a n}中插入的项为，20，1，21，2，3，22，4，5，6，23…2n时，共有项为1+2+…+n+（n+1）==当n=62时，=xx即此时共有xx项，且第xx项为262∴c xx=b1951=1951故答案为：1951点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的应用，解题的关键是要准确判断所求项在已知数列中所处的项的位置．12．（5分）△ABC内接于以O为圆心半径为1的圆，且，则△ABC的面积S=．考点：向量在几何中的应用．分析：利用向量的平行四边形法则作出为，据已知条件知与为相反向量得到OD=5，据勾股定理易得OA⊥OB，将三角形分成三个三角形，利用三角形的面积公式求出各个三角形的面积．解答：解：如图，，则．易得OA⊥OB，且，所以．故答案为点评：本题考查向量的运算法则：平行四边形法则、勾股定理、三角形的面积公式．13．（5分）已知等差数列{a n}的首项为1，公差为2，若a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…对n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣12]．考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）=4（a2+a4+…+a2n），结合等差数列的性质及求和公式可得关于n的不等式，解不等式可求对n∈N*恒成立，转化为求解函数的最值即可解答：解：a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）=﹣4（a2+a4+…+a2n）=，所以﹣8n2+4n≥tn2，所以对n∈N*恒成立，t≤﹣12，故答案为（﹣∞，﹣12]点评：本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用及恒成立与最值求解的相互转化关系的应用．14．（5分）设x，y是正实数，且x+y=1，则的最小值是．考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：该题是考查利用基本不等式求最值问题，但直接运用基本不等式无从下手，可考虑运用换元思想，把要求最值的分母变为单项式，然后利用“1”的代换技巧转化为能利用基本不等式求最值得问题．解答：解：设x+2=s，y+1=t，则s+t=x+y+3=4，所以==．因为所以．故答案为．点评：本题考查了基本不等式，考查了换元法和数学转化思想，训练了整体代换技巧，解答此题的关键是运用换元后使分式的分母由多项式变为了单项式，展开后使问题变得明朗化．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知，B={x|x2﹣2x+1﹣m2≤0，m＞0}，（1）若m=2，求A∩B；（2）若A∪B=B，求实数m的取值范围．考点：一元二次不等式的解法；集合关系中的参数取值问题．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）把m=2代入可解得集合A、B，求交集即可；（2）把A∪B=B转化为A⊆B，构建不等式组求解集可得m的取值范围．解答：解：（1）由得，解得2＜x＜6，∴A={x|2＜x＜6}（3分）由m=2知x2﹣2x+1﹣m2≤0化为（x﹣3）（x+1）≤0，解得﹣1≤x≤3，∴B={x|﹣1≤x≤3}（6分）∴A∩B={x|2＜x≤3}（7分）（2）∵A∪B=B，∴A⊆B，（8分）又∵m＞0，∴不等式x2﹣2x+1﹣m2≤0的解集为1﹣m≤x≤1+m，（11分）∴解得，∴m≥5，∴实数m的取值范围是[5，+∞）（14分）点评：本题为不等式的解法，涉及集合的运算和转化的思想，属基础题．16．（14分）△ABC中，AC=3，三个内角A，B，C成等差数列．（1）若，求AB；（2）求的最大值．考点：等差数列的性质；正弦定理；余弦定理．专题：等差数列与等比数列；解三角形．分析：（1）由A，B，C成等差数列易得，进而可得，由正弦定理可得答案；（2）由余弦定理可得32=a2+c2﹣ac，结合基本不等式可得结论．解答：解：（1）∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，∴，（2分）又，∴，（4分）由正弦定理得：，所以；（7分）（2）设角A，B，C的对边为a，b，c，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即32=a2+c2﹣ac，（9分）又a2+c2≥2ac，当且仅当a=c时取到等号，所以9=a2+c2﹣ac≥ac（11分）所以，所以的最大值是．（14分）点评：本题为三角形与基本不等式的结合，涉及等差数列的定义和向量的数量积，属中档题．17．（15分）如图，四边形ABCD为正方形，在四边形ADPQ中，PD∥QA．又QA⊥平面ABCD，．（1）证明：PQ⊥平面DCQ；（2）CP上是否存在一点R，使QR∥平面ABCD，若存在，请求出R的位置，若不存在，请说明理由．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）要证明线面垂直PQ⊥平面DCQ，根据其判定定理，需要证明PQ垂直于平面DCQ内的两条相交直线，由已知可证明CD⊥PQ，只要再证明PQ⊥DQ即可．（2）只要分别取PC、CD的中点，再利用三角形的中位线和平行四边形的判定与性质即可得到结论．解答：解：（1）法一：∵QA⊥平面ABCD，∴QA⊥CD，由四边形ABCD为正方形知DC⊥AD，又QA、AD为平面PDAQ内两条相交直线，∴CD⊥平面PDAQ，∴CD⊥PQ．在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，∴PQ2+DQ2=PD2．由勾股定理得逆定理得：PQ⊥QD．又CD、QD为平面ADCB内两条相交直线，∴PQ⊥平面DCQ．法二：∵QA⊥平面ABCD，QA⊂平面PDAQ，∴平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD．又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，∴DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC．在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQ⊥QD．又CD、QD为平面ADCB内两条相交直线，∴PQ⊥平面DCQ．（2）存在CP中点R，使QR∥平面ABCD．证：取CD中点T，连接QR，RT，AT，由三角形的中位线定理得：RT∥DP，且RT=DP，又AQ∥DP，且AQ=DP，从而AQ∥RT，且AQ=RT，∴四边形AQRT为平行四边形，所以AT∥QR．∵QR⊄平面ABCD，AT⊂平面ABCD，∴QR∥平面ABCD．即存在CP中点R，使QR∥平面ABCD点评：掌握线面、面面平行和垂直的判定与性质定理是解题的关键．18．（15分）某啤酒厂为适应市场需要，2011年起引进葡萄酒生产线，同时生产啤酒和葡萄酒，2011年啤酒生产量为16000吨，葡萄酒生产量1000吨．该厂计划从xx年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%，葡萄酒生产量比上一年增加100%，试问：（1）哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低？（2）从2011年起（包括2011年），经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的？（生产总量是指各年年产量之和）考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（1）利用该厂计划从xx年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%，葡萄酒生产量比上一年增加100%，可得该厂第n年啤酒和葡萄酒年生产量，进而可得啤酒与葡萄酒的年生产量之和，利用基本不等式，可求最值；（2）利用葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的，建立不等式，即可求得结论．解答：解：设从2011年起，该厂第n年啤酒和葡萄酒年生产量分别为a n吨和b n吨，经过n 年后啤酒和葡萄酒各年生产量的总量分别为A n吨和B n吨．（1）设第n年啤酒和葡萄酒生产的年生产量为D n吨，依题意，=，=500×2n，（n∈N*），（4分）则D n=a n+b n=+500×2n=，当且仅当，即n=3时取等号，故xx年啤酒和葡萄酒生产的年生产量最低，为8000吨．（7分）（2）依题意，，得B n≥2A n，∵，，∴1000（2n﹣1）≥，∵2n﹣1＞0，∴2n≥64=26，∴n≥6，从第6年起，葡萄酒各年生产的总量不低于啤酒各年生产总量与葡萄酒各年生产总量之和的．（15分）点评：本题考查数列知识的运用，考查利用数学知识解决实际问题，考查数列的通项与求和，属于中档题．19．（16分）已知函数，且f（1）=1，f（﹣2）=4．（1）求a、b的值；（2）已知定点A（1，0），设点P（x，y）是函数y=f（x）（x＜﹣1）图象上的任意一点，求|AP|的最小值，并求此时点P的坐标；（3）当x∈[1，2]时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数最值的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（1）=1，f（﹣2）=4，代入可方程，解方程即可求解a，b得关于a，b的（2）由（1）可知，利用两点间的距离个公式代入，结合x的范围可求x+1=t＜0，然后结合基本不等式式即可求解（3）问题即为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，则0＜m＜1或m＞2．法一：问题化为对x∈[1，2]恒成立，mx﹣m≤x2≤mx+m对x∈[1，2]恒成立，从而可转化为求解函数的最值，利用函数的单调性即可求解法二：问题即为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，0＜m＜1或m＞2．问题转化为x|x﹣m|≤m对x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x|x﹣m|，结合函数的性质可求解答：解：（1）由f（1）=1，f（﹣2）=4．得解得：（3分）（2）由（1），所以，令x+1=t，t＜0，则=因为x＜﹣1，所以t＜0，所以，当，所以，（8分）即AP的最小值是，此时，点P的坐标是．（9分）（3）问题即为对x∈[1，2]恒成立，也就是对x∈[1，2]恒成立，（10分）要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．法一：在0＜m＜1或m＞2下，问题化为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，mx﹣m≤x2≤mx+m对x∈[1，2]恒成立，①当x=1时，或m＞2，②当x≠1时，且对x∈（1，2]恒成立，对于对x∈（1，2]恒成立，等价于，令t=x+1，x∈（1，2]，则x=t﹣1，t∈（2，3]，，t∈（2，3]递增，∴，，结合0＜m＜1或m＞2，∴m＞2对于对x∈（1，2]恒成立，等价于令t=x﹣1，x∈（1，2]，则x=t+1，t∈（0，1]，，t∈（0，1]递减，∴，∴m≤4，∴0＜m＜1或2＜m≤4，综上：2＜m≤4（16分）法二：问题即为对x∈[1，2]恒成立，也就是对x∈[1，2]恒成立，（10分）要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．故问题转化为x|x﹣m|≤m对x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x|x﹣m|①若0＜m＜1时，由于x∈[1，2]，故g（x）=x（x﹣m）=x2﹣mx，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，依题意g（2）≤m，，舍去；②若m＞2，由于x∈[1，2]，故，考虑到，再分两种情形：（ⅰ），即2＜m≤4，g（x）的最大值是，依题意，即m≤4，∴2＜m≤4；（ⅱ），即m＞4，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，故g（2）≤m，∴2（m﹣2）≤m，∴m≤4，舍去．综上可得，2＜m≤4（16分）点评：本题主要考查了利用待定系数法求解函数的解析式，及基本不等式在求解函数的值域中的应用，函数的恒成立问题与函数最值求解中的综合应用．20．（16分）（xx•昌平区二模）设数列{a n}，对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+a n）+p=2（a1+a2…+a n），（其中k、b、p是常数）．（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{a n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k=1，b=0，p=0时，设S n是数列{a n}的前n项和，a2﹣a1=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n}，使得对任意n∈N*，都有S n≠0，且．若存在，求数列{a n}的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：综合题；压轴题；等差数列与等比数列．分析：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+a n）﹣4=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是以首项为1，公比为3的等比数列，从而可求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是等差数列，从而可求数列{a n}的通项公式；（3）确定数列{a n}的通项，利用{a n}是“封闭数列”，得a1是偶数，从而可得，再利用，验证，可求数列{a n}的首项a1的所有取值．解答：解：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+a n）﹣4=2（a1+a2…+a n），①用n+1去代n得，3（a1+a n+1）﹣4=2（a1+a2…+a n+a n+1），②②﹣①得，3（a n+1﹣a n）=2a n+1，a n+1=3a n，（2分）在①中令n=1得，a1=1，则a n≠0，∴，∴数列{a n}是以首项为1，公比为3的等比数列，∴a1+a2+a3+…+a n=．（4分）（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n），③用n+1去代n得，（n+1）（a1+a n+1）=2（a1+a2…+a n+a n+1），④④﹣③得，（n﹣1）a n+1﹣na n+a1=0，⑤（6分）用n+1去代n得，na n+2﹣（n+1）a n+1+a1=0，⑥⑥﹣⑤得，na n+2﹣2na n+1+na n=0，即a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n，（8分）∴数列{a n}是等差数列．∵a3=3，a9=15，∴公差，∴a n=2n﹣3．（10分）（3）由（2）知数列{a n}是等差数列，∵a2﹣a1=2，∴a n=a1+2（n﹣1）．又{a n}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N*，必存在p∈N*使a1+2（n﹣1）+a1+2（m ﹣1）=a1+2（p﹣1），得a1=2（p﹣m﹣n+1），故a1是偶数，（12分）又由已知，，故．一方面，当时，S n=n（n+a1﹣1）＞0，对任意n∈N*，都有．另一方面，当a1=2时，S n=n（n+1），，则，取n=2，则，不合题意．（14分）当a1=4时，S n=n（n+3），，则，当a1≥6时，S n=n（n+a1﹣1）＞n（n+3），，，又，∴a1=4或a1=6或a1=8或a1=10．（16分）点评：本题考查数列的通项与求和，考查等差数列、等比数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．第二部分（加试部分）三、（共4小题，满分40分）21．（10分）已知圆的极坐标方程为：，将此方程化为直角坐标方程，并求圆心的极坐标．考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：选作题．分析：先将方程：展开并化为ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ，再利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可化为普通方程．解答：解：由，得ρ=2cosθ﹣2sinθ，∴ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ，∴x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心直角坐标是（1，﹣1），∴，，∴，∴圆心的极坐标为．点评：本题考查了极坐标方程化为普通方程，掌握互化公式及化简方法是解题的关键．22．（10分）如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，已知AB=3，AD=4，AA1=2，M是棱A1D1的中点，求直线AM与平面BB1D1D所成角的正弦值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角．专题：空间角．分析：先建立空间坐标系，分别求出向量与平面BB1D1D的法向量的坐标，再利用公式直线AM与平面BB1D1D所成的角是θ，则sinθ=即可求出．解答：解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1为坐标轴，建立O﹣xyz坐标系，则，，，设平面BDD1B1的一个法向量为=（x，y，z）由，可得z=0，令x=3，则y=﹣4，可得平面BB1D1D的一个法向量=（3，﹣4，0），∴．设直线AM与平面BB1D1D所成的角是θ，则sinθ====．故直线AM与平面BB1D1D所成角的正弦值是．点评：正确利用公式直线AM与平面BB1D1D所成的角θ，则sinθ==是解题的关键．23．（10分）袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机地抽取4个球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分．（1）求得分X不大于6的概率；（2）求得分X的数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：（1）取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，所以得分x=5，6，8，因为从袋中随机地抽取4个球，总共有种取法，然后根据概率公式进行求解；（2）根据题意求得分X的数学期望，x可以取5，6，7，8，分别求出相对应的概率，然后列出分布列，然后利用数学期望公式进行求解；解答：解：（1），，（4分）（2）得分X的所有可能值为：5，6，7，8，，，，，得分X的分布列为X 5 6 7 8PEX=．（10分）点评：此题主要考查离散型随机变量的期望与公式，这是高考必考的热点问题，比较简单，是一到中档题；24．（10分）设函数f（x）=x﹣sinx，数列{a n}满足a n+1=f（a n）．（1）若a1=2，试比较a2与a3的大小；（2）若0＜a1＜1，求证：0＜a n＜1对任意n∈N*恒成立．考点：数学归纳法；数列与函数的综合．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）直接利用函数f（x）=x﹣sinx，数列{a n}满足a n+1=f（a n），可得a3﹣a2＜0，从而可得结论；（2）证题的关键是n=k+1时，结论成立，利用函数是（0，1）上的单调递增函数即可．解答：（1）解：a1=2时，a2=f（2）=2﹣sin2∈（0，2），所以sina2＞0，所以a3﹣a2=﹣sina2＜0，所以a2＞a3．（4分）（2）证明：①n=1时，结论成立；②设n=k时，0＜a k＜1，则当n=k+1时，a k+1﹣a k=﹣sina k＜0，即a k+1＜a k＜1，（6分）当x∈（0，1）时，f'（x）=1﹣cosx＞0，即f（x）是（0，1）上的单调递增函数，所以a k+1=f（a k）＞f（0）=0，即0＜a k+1＜1即n=k+1时，结论成立，综上可得，当0＜a1＜1时，0＜a n＜1对任意n∈N*恒成立，（10分）点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，掌握数学归纳法的证题步骤是关键．。
2019-2020年高三(上)期中数学试卷
2019-2020年高三（上）期中数学试卷第一部分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）已知复数z满足z•（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z=1+i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：复数方程两边同乘1﹣i的共轭复数，然后化简即可．解答：解：由z•（1﹣i）=2，可得z•（1﹣i）（1+i）=2（1+i），所以2z=2（1+i），z=1+i．故答案为：1+i．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．2．（5分）（2004•上海）已知点A（﹣1，﹣5）和=（2，3），若=3，则点B的坐标为（5，4）．考点：平面向量的坐标运算．专题：计算题．分析：由的坐标求出的坐标，再由点A的坐标和向量的坐标表示即：终点的坐标减去起点的坐标，求出终点B的坐标．解答：解：由题意知，=3=（6，9），又因点A的坐标是（﹣1，﹣5），则点B的坐标为（6﹣1，9﹣5）=（5，4）．故答案为：（5，4）．点评：本题考查了向量的坐标运算，即根据运算公式和题意求出所求点的坐标．3．（5分）已知等比数列{a n}满足a1•a7=3a3a4，则数列{a n}的公比q=3．考点：等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由a1•a7=3a3a4，结合等比数列的性质可得a5=3a4，从而可求公比解答：解：∵a1•a7=3a3a4，∴a3•a5=3a3•a4∴a5=3a4∴q=3故答案为：3点评：本题主要考查了等比数列的性质及等比数列的通项公式的简单应用，属于基础试题4．（5分）若cos（2π﹣α）=，且α∈（﹣，0），则sin（π﹣α）=﹣．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：由题意求出cosα的值，利用诱导公式化简sin（π﹣α），结合同角三角函数的基本关系式，求出它的值即可．解答：解：cos（2π﹣α）=cosα=，又α∈（﹣，0），故sin（π﹣α）=sinα=﹣=﹣．故答案为：﹣．点评：本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式，诱导公式的应用，考查计算能力，常考题型．5．（5分）已知两个平面α，β，直线l⊥α，直线m⊂β，有下面四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l⊥m⇒α∥β；④l∥m⇒α⊥β．其中正确的命题是①、④．考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：证明题．分析：本题应逐个判断：①④需用熟知的定理即线线垂直，面面垂直来说明，②③可举出反例来即可．解答：解：∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又直线m⊂β，故有l⊥m，即①正确；∵l⊥α，α⊥β，∴l∥β，或l⊂β，此时l与m可能平行，相交或异面，即②错误；∵l⊥α，l⊥m，∴又m⊂β，此时α与β可能相交可能平行，故③错误；∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，又m⊂β，故有α⊥β，即④正确．故答案为：①④点评：本题考查直线的平行于垂直关系，熟练运用性质定理是解决问题的关键，属基础题．6．（5分）设x，y满足，则z=x+y的最小值为2．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入z=x+y中，求出z=x+y的最小值．解答：解：满足约束条件的平面区域如图示：由图得当过点B（2，0）时，z=x+y有最小值2．故答案为：2．点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．7．（5分）（2010•盐城三模）已知函数，则的值为．考点：二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：利用公式tanx=、sin2α=2sinαcosα、cos2α=2cos2α﹣1即可化简求值．解答：解：因为f（x）==，所以f（）=．点评：本题考查同角三角函数的基本关系及正余弦的倍角公式．8．（5分）已知命题p：|5x﹣2|＜3，命题q：，则p是q的充分不必要条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”、“充要”选择并进行填空）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；其他不等式的解法．专题：计算题．分析：根据绝对值不等式的性质及一元二次方程的解法分别求出命题p和q的范围，再根据充分必要条件的定义进行求解；解答：解：命题p：|5x﹣2|＜3，，解得{x|﹣＜x＜1}，命题q：，可得x2+4x﹣5＜0，解得{x|﹣5＜x＜1}，∴{x|﹣＜x＜1}⇒{x|﹣5＜x＜1}，∴p是q的充分不必要条件，故答案为：充分不必要；点评：考查不等式解法及充要条件的判断方法，注意：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；9．（5分）△ABC中，，，，则=5．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：由向量的数量积可得，=||||cos（π﹣B）=﹣9可求的BC与cosB的关系，然后结合余弦定理即可求解BC解答：解：由向量的数量积可得，=||||cos（π﹣B）=﹣9∴cosB=9∴|BC|cosB=3由余弦定理可得，cosB==∴|BC|=5故答案为：5点评：本题主要考查了向量的数量积的定义及余弦定理在求解三角形中的应用，属于知识的简单应用10．（5分）已知关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式的解集是（﹣1，2）．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；转化思想．分析：关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），可得=1，且a＜0，由此对于x的不等式求解即可．解答：解：由题意关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），可得=1，且a＜0，关于x的不等式，可变为（x﹣2）（x+1）＜0，即得（x﹣2）（x+1）＜0，∴﹣1＜x＜2不等式的解集：（﹣1，2）故答案为：（﹣1，2）．点评：本题考查一次不等式的解法，求解问题的关键是根据不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），解出参数a，b所满足的条件，求解分式不等式不等式．考查转化思想．11．（5分）已知等比数列{a n}的首项是1，公比为2，等差数列{b n}的首项是1，公差为1，把{b n}中的各项按照如下规则依次插入到{a n}的每相邻两项之间，构成新数列{c n}：a1，b1，a2，b2，b3，a3，b4，b5，b6，a4，…，即在a n和a n+1两项之间依次插入{b n}中n个项，则c2013= 1951．考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由题意可得，，b n=1+（n﹣1）×1=n，当n=62时，=2016即此时共有2016项，且第2016项为262，而c2013=b1951可求解答：解：由题意可得，，b n=1+（n﹣1）×1=n由题意可得，在数列{a n}中插入的项为，20，1，21，2，3，22，4，5，6，23…2n时，共有项为1+2+…+n+（n+1）==当n=62时，=2016即此时共有2016项，且第2016项为262∴c2013=b1951=1951故答案为：1951点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的应用，解题的关键是要准确判断所求项在已知数列中所处的项的位置．12．（5分）△ABC内接于以O为圆心半径为1的圆，且，则△ABC的面积S=．考点：向量在几何中的应用．分析：利用向量的平行四边形法则作出为，据已知条件知与为相反向量得到OD=5，据勾股定理易得OA⊥OB，将三角形分成三个三角形，利用三角形的面积公式求出各个三角形的面积．解答：解：如图，，则．易得OA⊥OB，且，所以．故答案为点评：本题考查向量的运算法则：平行四边形法则、勾股定理、三角形的面积公式．13．（5分）已知等差数列{a n}的首项为1，公差为2，若a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…对n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣12]．考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）=4（a2+a4+…+a2n），结合等差数列的性质及求和公式可得关于n的不等式，解不等式可求对n∈N*恒成立，转化为求解函数的最值即可解答： 解：a 1a 2﹣a 2a 3+a 3a 4﹣a 4a 5+…﹣a 2n a 2n+1=a 2（a 1﹣a 3）+a 4（a 3﹣a 5）+…+a 2n （a 2n ﹣1﹣a 2n+1）=﹣4（a 2+a 4+…+a 2n ） =，所以﹣8n 2+4n ≥tn 2， 所以对n ∈N *恒成立， t ≤﹣12，故答案为（﹣∞，﹣12]点评：本题主要考查了等差数列的性质及求和 公式的应用及恒成立与最值求解的相互转化关系的应用．14．（5分）设x ，y 是正实数，且x+y=1，则的最小值是 ．考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析： 该题是考查利用基本不等式求最值问题，但直接运用基本不等式无从下手，可考虑运用换元思想，把要求最值的分母变为单项式，然后利用“1”的代换技巧转化为能利用基本不等式求最值得问题．解答： 解：设x+2=s ，y+1=t ，则s+t=x+y+3=4， 所以==． 因为 所以． 故答案为．点评： 本题考查了基本不等式，考查了换元法和数学转化思想，训练了整体代换技巧，解答此题的关键是运用换元后使分式的分母由多项式变为了单项式，展开后使问题变得明朗化．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知，B={x|x 2﹣2x+1﹣m 2≤0，m ＞0}，（1）若m=2，求A∩B；（2）若A∪B=B，求实数m的取值范围．考点：一元二次不等式的解法；集合关系中的参数取值问题．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）把m=2代入可解得集合A、B，求交集即可；（2）把A∪B=B转化为A⊆B，构建不等式组求解集可得m的取值范围．解答：解：（1）由得，解得2＜x＜6，∴A={x|2＜x＜6}（3分）由m=2知x2﹣2x+1﹣m2≤0化为（x﹣3）（x+1）≤0，解得﹣1≤x≤3，∴B={x|﹣1≤x≤3}（6分）∴A∩B={x|2＜x≤3}（7分）（2）∵A∪B=B，∴A⊆B，（8分）又∵m＞0，∴不等式x2﹣2x+1﹣m2≤0的解集为1﹣m≤x≤1+m，（11分）∴解得，∴m≥5，∴实数m的取值范围是[5，+∞）（14分）点评：本题为不等式的解法，涉及集合的运算和转化的思想，属基础题．16．（14分）△ABC中，AC=3，三个内角A，B，C成等差数列．（1）若，求AB；（2）求的最大值．考点：等差数列的性质；正弦定理；余弦定理．专题：等差数列与等比数列；解三角形．分析：（1）由A，B，C成等差数列易得，进而可得，由正弦定理可得答案；（2）由余弦定理可得32=a2+c2﹣ac，结合基本不等式可得结论．解答：解：（1）∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，∴，（2分）又，∴，（4分）由正弦定理得：，所以；（7分）（2）设角A，B，C的对边为a，b，c，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即32=a2+c2﹣ac，（9分）又a2+c2≥2ac，当且仅当a=c时取到等号，所以9=a2+c2﹣ac≥ac（11分）所以，所以的最大值是．（14分）点评：本题为三角形与基本不等式的结合，涉及等差数列的定义和向量的数量积，属中档题．17．（15分）如图，四边形ABCD为正方形，在四边形ADPQ中，PD∥QA．又QA⊥平面ABCD，．（1）证明：PQ⊥平面DCQ；（2）CP上是否存在一点R，使QR∥平面ABCD，若存在，请求出R的位置，若不存在，请说明理由．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）要证明线面垂直PQ⊥平面DCQ，根据其判定定理，需要证明PQ垂直于平面DCQ内的两条相交直线，由已知可证明CD⊥PQ，只要再证明PQ⊥DQ即可．（2）只要分别取PC、CD的中点，再利用三角形的中位线和平行四边形的判定与性质即可得到结论．解答：解：（1）法一：∵QA⊥平面ABCD，∴QA⊥CD，由四边形ABCD为正方形知DC⊥AD，又QA、AD为平面PDAQ内两条相交直线，∴CD⊥平面PDAQ，∴CD⊥PQ．在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，∴PQ2+DQ2=PD2．由勾股定理得逆定理得：PQ⊥QD．又CD、QD为平面ADCB内两条相交直线，∴PQ⊥平面DCQ．法二：∵QA⊥平面ABCD，QA⊂平面PDAQ，∴平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD．又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，∴DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC．在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQ⊥QD．又CD、QD为平面ADCB内两条相交直线，∴PQ⊥平面DCQ．（2）存在CP中点R，使QR∥平面ABCD．证：取CD中点T，连接QR，RT，AT，由三角形的中位线定理得：RT∥DP，且RT=DP，又AQ∥DP，且AQ=DP，从而AQ∥RT，且AQ=RT，∴四边形AQRT为平行四边形，所以AT∥QR．∵QR⊄平面ABCD，AT⊂平面ABCD，∴QR∥平面ABCD．即存在CP中点R，使QR∥平面ABCD点评：掌握线面、面面平行和垂直的判定与性质定理是解题的关键．18．（15分）某啤酒厂为适应市场需要，2011年起引进葡萄酒生产线，同时生产啤酒和葡萄酒，2011年啤酒生产量为16000吨，葡萄酒生产量1000吨．该厂计划从2012年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%，葡萄酒生产量比上一年增加100%，试问：（1）哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低？（2）从2011年起（包括2011年），经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的？（生产总量是指各年年产量之和）考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（1）利用该厂计划从2012年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%，葡萄酒生产量比上一年增加100%，可得该厂第n年啤酒和葡萄酒年生产量，进而可得啤酒与葡萄酒的年生产量之和，利用基本不等式，可求最值；（2）利用葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的，建立不等式，即可求得结论．解答：解：设从2011年起，该厂第n年啤酒和葡萄酒年生产量分别为a n吨和b n吨，经过n 年后啤酒和葡萄酒各年生产量的总量分别为A n吨和B n吨．（1）设第n年啤酒和葡萄酒生产的年生产量为D n吨，依题意，=，=500×2n，（n∈N*），（4分）则D n=a n+b n=+500×2n=，当且仅当，即n=3时取等号，故2013年啤酒和葡萄酒生产的年生产量最低，为8000吨．（7分）（2）依题意，，得B n≥2A n，∵，，∴1000（2n﹣1）≥，∵2n﹣1＞0，∴2n≥64=26，∴n≥6，从第6年起，葡萄酒各年生产的总量不低于啤酒各年生产总量与葡萄酒各年生产总量之和的．（15分）点评：本题考查数列知识的运用，考查利用数学知识解决实际问题，考查数列的通项与求和，属于中档题．19．（16分）已知函数，且f（1）=1，f（﹣2）=4．（1）求a、b的值；（2）已知定点A（1，0），设点P（x，y）是函数y=f（x）（x＜﹣1）图象上的任意一点，求|AP|的最小值，并求此时点P的坐标；（3）当x∈[1，2]时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数最值的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（1）=1，f（﹣2）=4，代入可方程，解方程即可求解a，b得关于a，b的（2）由（1）可知，利用两点间的距离个公式代入，结合x的范围可求x+1=t＜0，然后结合基本不等式式即可求解（3）问题即为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，则0＜m＜1或m＞2．法一：问题化为对x∈[1，2]恒成立，mx﹣m≤x2≤mx+m对x∈[1，2]恒成立，从而可转化为求解函数的最值，利用函数的单调性即可求解法二：问题即为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，0＜m＜1或m＞2．问题转化为x|x﹣m|≤m对x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x|x﹣m|，结合函数的性质可求解答：解：（1）由f（1）=1，f（﹣2）=4．得解得：（3分）（2）由（1），所以，令x+1=t，t＜0，则=因为x＜﹣1，所以t＜0，所以，当，所以，（8分）即AP的最小值是，此时，点P的坐标是．（9分）（3）问题即为对x∈[1，2]恒成立，也就是对x∈[1，2]恒成立，（10分）要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．法一：在0＜m＜1或m＞2下，问题化为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，mx﹣m≤x2≤mx+m对x∈[1，2]恒成立，①当x=1时，或m＞2，②当x≠1时，且对x∈（1，2]恒成立，对于对x∈（1，2]恒成立，等价于，令t=x+1，x∈（1，2]，则x=t﹣1，t∈（2，3]，，t∈（2，3]递增，∴，，结合0＜m＜1或m＞2，∴m＞2对于对x∈（1，2]恒成立，等价于令t=x﹣1，x∈（1，2]，则x=t+1，t∈（0，1]，，t∈（0，1]递减，∴，∴m≤4，∴0＜m＜1或2＜m≤4，综上：2＜m≤4（16分）法二：问题即为对x∈[1，2]恒成立，也就是对x∈[1，2]恒成立，（10分）要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．故问题转化为x|x﹣m|≤m对x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x|x﹣m|①若0＜m＜1时，由于x∈[1，2]，故g（x）=x（x﹣m）=x2﹣mx，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，依题意g（2）≤m，，舍去；②若m＞2，由于x∈[1，2]，故，考虑到，再分两种情形：（ⅰ），即2＜m≤4，g（x）的最大值是，依题意，即m≤4，∴2＜m≤4；（ⅱ），即m＞4，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，故g（2）≤m，∴2（m﹣2）≤m，∴m≤4，舍去．综上可得，2＜m≤4（16分）点评：本题主要考查了利用待定系数法求解函数的解析式，及基本不等式在求解函数的值域中的应用，函数的恒成立问题与函数最值求解中的综合应用．20．（16分）（2013•昌平区二模）设数列{a n}，对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+a n）+p=2（a1+a2…+a n），（其中k、b、p是常数）．（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{a n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k=1，b=0，p=0时，设S n是数列{a n}的前n项和，a2﹣a1=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n}，使得对任意n∈N*，都有S n≠0，且．若存在，求数列{a n}的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：综合题；压轴题；等差数列与等比数列．分析：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+a n）﹣4=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是以首项为1，公比为3的等比数列，从而可求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是等差数列，从而可求数列{a n}的通项公式；（3）确定数列{a n}的通项，利用{a n}是“封闭数列”，得a1是偶数，从而可得，再利用，验证，可求数列{a n}的首项a1的所有取值．解答：解：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+a n）﹣4=2（a1+a2…+a n），①用n+1去代n得，3（a1+a n+1）﹣4=2（a1+a2…+a n+a n+1），②②﹣①得，3（a n+1﹣a n）=2a n+1，a n+1=3a n，（2分）在①中令n=1得，a1=1，则a n≠0，∴，∴数列{a n}是以首项为1，公比为3的等比数列，∴a1+a2+a3+…+a n=．（4分）（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n），③用n+1去代n得，（n+1）（a1+a n+1）=2（a1+a2…+a n+a n+1），④④﹣③得，（n﹣1）a n+1﹣na n+a1=0，⑤（6分）用n+1去代n得，na n+2﹣（n+1）a n+1+a1=0，⑥⑥﹣⑤得，na n+2﹣2na n+1+na n=0，即a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n，（8分）∴数列{a n}是等差数列．∵a3=3，a9=15，∴公差，∴a n=2n﹣3．（10分）（3）由（2）知数列{a n}是等差数列，∵a2﹣a1=2，∴a n=a1+2（n﹣1）．又{a n}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N*，必存在p∈N*使a1+2（n﹣1）+a1+2（m ﹣1）=a1+2（p﹣1），得a1=2（p﹣m﹣n+1），故a1是偶数，（12分）又由已知，，故．一方面，当时，S n=n（n+a1﹣1）＞0，对任意n∈N*，都有．另一方面，当a1=2时，S n=n（n+1），，则，取n=2，则，不合题意．（14分）当a1=4时，S n=n（n+3），，则，当a1≥6时，S n=n（n+a1﹣1）＞n（n+3），，，又，∴a1=4或a1=6或a1=8或a1=10．（16分）点评：本题考查数列的通项与求和，考查等差数列、等比数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．第二部分（加试部分）三、（共4小题，满分40分）21．（10分）已知圆的极坐标方程为：，将此方程化为直角坐标方程，并求圆心的极坐标．考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：选作题．分析：先将方程：展开并化为ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ，再利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可化为普通方程．解答：解：由，得ρ=2cosθ﹣2sinθ，∴ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ，∴x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心直角坐标是（1，﹣1），∴，，∴，∴圆心的极坐标为．点评：本题考查了极坐标方程化为普通方程，掌握互化公式及化简方法是解题的关键．22．（10分）如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，已知AB=3，AD=4，AA1=2，M是棱A1D1的中点，求直线AM与平面BB1D1D所成角的正弦值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角．专题：空间角．分析：先建立空间坐标系，分别求出向量与平面BB1D1D的法向量的坐标，再利用公式直线AM与平面BB1D1D所成的角是θ，则sinθ=即可求出．解答：解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1为坐标轴，建立O﹣xyz坐标系，则，，，设平面BDD1B1的一个法向量为=（x，y，z）由，可得z=0，令x=3，则y=﹣4，可得平面BB1D1D的一个法向量=（3，﹣4，0），∴．设直线AM与平面BB1D1D所成的角是θ，则sinθ====．故直线AM与平面BB1D1D所成角的正弦值是．点评：正确利用公式直线AM与平面BB1D1D所成的角θ，则sinθ==是解题的关键．23．（10分）袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机地抽取4个球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分．（1）求得分X不大于6的概率；（2）求得分X的数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：（1）取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，所以得分x=5，6，8，因为从袋中随机地抽取4个球，总共有种取法，然后根据概率公式进行求解；（2）根据题意求得分X的数学期望，x可以取5，6，7，8，分别求出相对应的概率，然后列出分布列，然后利用数学期望公式进行求解；解答：解：（1），，（4分）（2）得分X的所有可能值为：5，6，7，8，，，，，得分X的分布列为X 5 6 7 8PEX=．（10分）点评：此题主要考查离散型随机变量的期望与公式，这是高考必考的热点问题，比较简单，是一到中档题；24．（10分）设函数f（x）=x﹣sinx，数列{a n}满足a n+1=f（a n）．（1）若a1=2，试比较a2与a3的大小；（2）若0＜a1＜1，求证：0＜a n＜1对任意n∈N*恒成立．考点：数学归纳法；数列与函数的综合．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）直接利用函数f（x）=x﹣sinx，数列{a n}满足a n+1=f（a n），可得a3﹣a2＜0，从而可得结论；（2）证题的关键是n=k+1时，结论成立，利用函数是（0，1）上的单调递增函数即可．解答：（1）解：a1=2时，a2=f（2）=2﹣sin2∈（0，2），所以sina2＞0，所以a3﹣a2=﹣sina2＜0，所以a2＞a3．（4分）（2）证明：①n=1时，结论成立；②设n=k时，0＜a k＜1，则当n=k+1时，a k+1﹣a k=﹣sina k＜0，即a k+1＜a k＜1，（6分）当x∈（0，1）时，f'（x）=1﹣cosx＞0，即f（x）是（0，1）上的单调递增函数，所以a k+1=f（a k）＞f（0）=0，即0＜a k+1＜1即n=k+1时，结论成立，综上可得，当0＜a1＜1时，0＜a n＜1对任意n∈N*恒成立，（10分）点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，掌握数学归纳法的证题步骤是关键．。
2019-2020年高三(上)期中数学试卷(VI)
2019-2020年高三（上）期中数学试卷(VI)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）1．（5分）求值cos600°=﹣．考点：诱导公式的作用．专题：计算题．分析：由诱导公式知cos600°=cos240°，进一步简化为﹣cos60°，由此能求出结果．解答：解：cos600°=cos240°=﹣cos60°=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查诱导公式的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．2．（5分）设M={m∈Z|﹣3＜m＜2}，N={n∈Z|﹣1≤n≤3}，则M∩N={﹣1，0，1}．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：集合M，N都已给出，直接计算即可．解答：解：∵M={m∈Z|﹣3＜m＜2}，N={n∈Z|﹣1≤n≤3}，∴M={﹣2，﹣1，0，1}，N={0，1，2}，∴M∩N={0，1，﹣1}，故答案为{0，1，﹣1}．点评：本题主要考查了交集及其运算，注意题目的条件集合中的元素是整数．3．（5分）（2008•江苏）若将复数表示为a+bi（a，b∈R，i是虚数单位）的形式，则a+b=1．考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数除法的法则：分子分母同乘以分母的共轭复数．解答：解：．∵，∴a=0，b=1，因此a+b=1故答案为1点评：本小题考查复数的除法运算．4．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）+f（1）=0，则实数a=﹣3．考点：函数的值．专题：计算题．分析：当a＞0时，由f（a）+f（1）=0，可得a无解，当a＜0时，由f（a）+f（1）=0，可得a=﹣3．解答：解：当a＞0时，f（a）=2a，由f（a）+f（1）=0，可得2a+2=0，解得a=﹣1（舍去）．当a＜0时，f（a）=a+1，由f（a）+f（1）=0，可得a+1+2=0，解得a=﹣3，故答案为﹣3．点评：本题主要考查求函数的值，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．5．（5分）函数f（x）=x﹣lnx的单调减区间为{x|0＜x＜1}．考点：利用导数研究函数的单调性．分析：先求函数f（x）的导数，然后令导函数小于0求x的范围即可．解答：解：∵f（x）=x﹣lnx∴f'（x）=1﹣=令＜0，则0＜x＜1故答案为：{x|0＜x＜1}点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系．属基础题．6．（5分）已知cos（θ﹣）=，θ∈（，π），则cosθ=﹣．考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：把已知的等式左边利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，得到关于cosθ与sinθ的关系式，用cosθ表示出sinθ，代入同角三角函数间的平方关系sin2θ+cos2θ=1中，得到关于cosθ的方程，求出方程的解即可得到cosθ的值．解答：解：∵cos（θ﹣）=cosθcos+sinθsin=（cosθ+sinθ）=，∴cosθ+sinθ=，即sinθ=﹣cosθ，又sin2θ+cos2θ=1，∴（﹣cosθ）2+cos2θ=1，即2cos2θ﹣cosθ﹣=0，解得：cosθ=，cosθ=﹣，∵θ∈（，π），∴cosθ＜0，则cosθ=﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，同时注意根据角度的范围，舍去不合题意的cosθ的值．7．（5分）已知||=3，||=4，（+）•（+3）=33，则与的夹角为120°．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．分析：设与的夹角为θ，由已知利用两个向量的数量积的定义可得cosθ=﹣，由此求得与的夹角θ的值．解答：解：设与的夹角为θ，由已知||=3，||=4，（+）•（+3）=33可得+3+4 =33，即9+48+4 =33，解得=﹣6，即3×4cosθ=﹣6，cosθ=﹣．再由0°≤θ≤180°，可得θ=120°，故答案为120°．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，根据三角函数的值求角，属于中档题．8．（5分）（2013•浙江二模）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．考点：等比数列的性质．专题：计算题；压轴题．分析：先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比赛数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．解答：解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．9．（5分）已知函数．则函数f（x）在区间上的值域为．考点：三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析：利用三角函数的恒等变换花间函数的解析式为sin（2x﹣），根据x的范围求得2x ﹣的范围，可得sin（2x﹣）的范围，从而求得函数的值域．解答：解：∵=sin2x﹣+=sin（2x﹣）．当x∈，有2x﹣∈[﹣，]，﹣≤sin（2x﹣）≤，∴﹣≤sin（2x﹣）﹣1≤，故函数f（x）在区间上的值域为，故答案为．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．10．（5分）函数的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于4．考点：正弦函数的图象；函数的零点与方程根的关系．专题：计算题．分析：的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且对称点的横坐标之和为2解答：解：函数y1==2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，当1＜x≤4时，y1≥，而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在上是单调增且为正数函数，y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在上是单调减且为正数，∴函数y2在x=处取最大值为2≥，而函数y2在（1，2）、（3，4）上为负数与y1的图象没有交点，所以两个函数图象在（1，4）上有两个交点（图中C、D），根据它们有公共的对称中心（1，0），可得在区间（﹣2，1）上也有两个交点（图中A、B），并且：x A+x D=x B+x C=2，故所求的横坐标之和为4，故答案为：4．点评：本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查数形结合思想，发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinπx的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在．11．（5分）定义在[﹣4，4]上的偶函数f（x）在区间[0，4]上单调递减，若f（1﹣m）＜f（m），则实数m的取值范围是．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据函数是偶函数，可得f（x）=f（|x|），利用定义在[﹣4，4]上的偶函数f（x）在区间[0，4]上单调递减，f（1﹣m）＜f（m），建立不等式组，可求实数m的取值范围．解答：解：由题意，函数是偶函数，∴f（x）=f（|x|）∵定义在[﹣4，4]上的偶函数f（x）在区间[0，4]上单调递减，f（1﹣m）＜f（m），∴∴∴实数m的取值范围是故答案为：点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生分析转化问题的能力，正确建立不等式组是关键．12．（5分）已知存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=﹣x+b都不是曲线y=x3﹣3ax的切线，则实数a的取值范围是．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：由直线y=﹣x+b得直线斜率为﹣1，直线y=﹣x+b不与曲线f（x）相切知曲线f（x）上任一点斜率都不为﹣1，即f′（x）≠﹣1，求导函数，并求出其范围[﹣3a，+∞），得不等式﹣3a＞﹣1，即得实数a的取值范围．解答：解：设f（x）=x3﹣3ax，求导函数，可得f′（x）=3x2﹣3a∈[﹣3a，+∞），∵存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=﹣x+b都不是曲线y=x3﹣3ax的切线，∴﹣1∉[﹣3a，+∞），∴﹣3a＞﹣1，即实数a的取值范围为故答案为：点评：本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．13．（5分）已知函数f （x）=ax2+bx+与直线y=x相切于点A（1，1），若对任意x∈[1，9]，不等式f （x﹣t）≤x恒成立，则所有满足条件的实数t的值为2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；二次函数的性质．专题：导数的概念及应用．分析：对f（x）进行求导，根据它与直线y=x相切于点A（1，1），可得f′（1）=0，可得把点A代入得到方程，求出a，b，求出f（x）的解析式，根据题意对任意x∈[1，9]，不等式f （x﹣t）≤x恒成立，根据根与系数的关系进行求解；解答：解：∵已知函数f （x）=ax2+bx+与直线y=x相切于点A（1，1），f′（x）=2ax+b，∴f′（1）=1，可得2a+b=1①，又f（x）过点A（1，1）可得a+b+=1②，联立方程①②可得a=，b=，f（x）=x2+x+，∵对任意x∈[1，9]，不等式f （x﹣t）≤x恒成立，可得f（x﹣t）=（x﹣t+1）2≤x，化简可得，x2﹣2x（t﹣1）+（t﹣1）2﹣4x≤0，在[1，9]上恒成立，令g（x）=x2﹣2x（t+1）+（t﹣1）2≤0，在[1，9]上恒成立，∴，解①可得0≤t≤4，解②可得4≤t≤14，解③可得t≥4综上可得：t=4，故答案为2点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件；14．（5分）函数f（x）的定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数，②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[﹣b，﹣a]，那么y=f（x）叫做对称函数，现有是对称函数，那么k的取值范围是．考点：函数单调性的判断与证明；函数的定义域及其求法；函数的值域．专题：压轴题；新定义．分析：函数在定义域（﹣∞，2]上是减函数，由②可得f（a）=﹣a，f（b）=﹣b，由此推出a和b 是方程在（﹣∞，2]上的两个根．利用换元法，转化为∴k=﹣t2+t+2=﹣（t﹣）2+在[0，+∞）有两个不同实根，解此不等式求得k 的范围即为所求．解答：解：由于在（﹣∞，2]上是减函数，故满足①，又f（x）在[a，b]上的值域为[﹣b，﹣a]，∴所以a和b 是关于x的方程在（﹣∞，2]上有两个不同实根．令t=，则x=2﹣t2，t≥0，∴k=﹣t2+t+2=﹣（t﹣）2+，∴k的取值范围是，故答案为：．点评：本题考查函数的单调性的应用，求函数的值域，体现了转化的数学思想，得到a和b是方程在（﹣∞，2]上的两个根，是解题的难点，属中档题．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（10分）已知，且，．（1）求cosα的值；（2）证明：．考点：三角函数的恒等变换及化简求值；二倍角的余弦．专题：整体思想；三角函数的求值．分析：（1）直接利用二倍角的余弦函数，以及三角函数的平方关系，转化为，即可求解cosα．（2）求出α+β的正弦与余弦值，利用（1）求出α的正弦函数值，求出cosβ的值，即可证明结果．解答：解：（1）=…（6分）（2）证明：因为易得，又所以，…（8分）由（1）可得sinα=，所以…（10分）点评：本题考查二倍角的余弦函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查整体思想与计算能力．16．（10分）如图，空间几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，直角梯形ADFE所在平面与面ABCD垂直，且AE⊥AD，EF∥AD，其中P，Q分别为棱BE，DF的中点．（1）求证：BD⊥CE；（2）求证：PQ∥平面ABCD．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：（1）连接AC，在菱形ABCD中，AC⊥BD，由平面ADEF⊥平面ABCD，AE⊥AD，AE⊂平面ADEF，知AE⊥平面ABCD，由此能够证明BD⊥CE．（2）取AE的中点G，连接PG，QG，在△ABE中，BP=PE，AG=GE，故PG∥BA，由PG⊄平面ABCD，BA⊂平面ABCD，知PG∥平面ABCD，由此能够证明PQ∥平面ABCD．解答：证明：（1）连接AC，在菱形ABCD中，AC⊥BD，∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，AE⊥AD，AE⊂平面ADEF，∴AE⊥平面ABCD，∵BD⊂平面ABCD，∴AE⊥BD，∵AC∩AE=A，∴BD⊥平面AEC，∴BD⊥CE．（2）取AE的中点G，连接PG，QG，在△ABE中，BP=PE，AG=GE，∴PG∥BA，∵PG⊄平面ABCD，BA⊂平面ABCD，∴PG∥平面ABCD，在梯形ADEF中，DQ=QF，AG=GE，∴GQ∥AD，同理，GQ∥平面ABCD，∵PG∩GQ=G，PG⊂平面PGQ，GQ⊂PQG，∴平面PQG∥平面ABCD，∵PQ⊂平面PQG，∴PQ∥平面ABCD．点评：本题考查直线与直线垂直的证明，考查直线与平面平行的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．17．（12分）（2010•南通模拟）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5+a13=34，S3=9．（1）求数列{a n}的通项公式及前n项和公式；（2）设数列{b n}的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，b m（m≥3，m∈N）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．考点：等差数列的性质．专题：综合题；探究型．分析：（1）设出等差数列的公差为d，根据等差数列的性质及通项公式化简a5+a13=34，S3=9，即可求出首项和公差，分别写出通项公式及前n项和的公式即可；（2）把（1）求得的通项公式a n代入得到数列{b n}的通项公式，因为b1，b2，b m成等差数列，所以2b2=b1+b m，利用求出的通项公式化简，解出m，因为m与t都为正整数，所以得到此时t和m的值即可．解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d．由已知得即解得．故a n=2n﹣1，S n=n2（2）由（1）知．要使b1，b2，b m成等差数列，必须2b2=b1+b m，即，（8分）．整理得，因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5．当t=2时，m=7；当t=3时，m=5；当t=5时，m=4．故存在正整数t，使得b1，b2，b m成等差数列．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质、通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道中档题．18．（12分）已知椭圆E：的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，且圆C：过A，F2两点．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线PF2的倾斜角为α，直线PF1的倾斜角为β，当β﹣α=时，证明：点P在一定圆上．（3）直线BC过坐标原点，与椭圆E相交于B，C，点Q为椭圆E上的一点，若直线QB，QC的斜率k QB，k QC存在且不为0，求证：k QB•k QC为定植．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）求出圆与x轴交点坐标，即可确定椭圆E的方程；（2）确定tanβ、tanα，利用两角差的正切公式，化简可得结论；（3）求出直线QB，QC的斜率，利用点在椭圆上，代入作差，即可求得结论．解答：（1）解：∵圆与x轴交点坐标为，，∴，∴b=3，∴椭圆方程是：．…（4分）（2）证明：设点P（x，y），因为F1（﹣，0），F2（，0），所以=tanβ=，=tanα=，因为β﹣α=，所以tan（β﹣α）=﹣．因为tan（β﹣α）==，所以=﹣，化简得x2+y2﹣2y=3，所以点P在定圆x2+y2﹣2y=3上．…（10分）（3）证明：设B（m，n），Q（x′，y′），则C（﹣m，﹣n）∴k QB•k QC==∵，∴两式相减可得∴=∴k QB•k QC=…（12分）点评：本题考查椭圆的标准方程，考查两角差的正切公式，考查斜率的计算，属于中档题．19．（12分）（2010•江苏二模）如图是一块长方形区域ABCD，AD=2（km），AB=1（km）．在边AD的中点O处，有一个可转动的探照灯，其照射角∠EOF始终为，设∠AOE=α（0≤α≤），探照灯O照射在长方形ABCD内部区域的面积为S．（1）当0≤α＜时，写出S关于α的函数表达式；（2）当0≤α≤时，求S的最大值．（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE自OA转到OC，再回到OA，称“一个来回”，忽略OE在OA及OC反向旋转时所用时间），且转动的角速度大小一定，设AB边上有一点G，且∠AOG=，求点G在“一个来回”中，被照到的时间．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：（1）过O作OH⊥BC，H为垂足，讨论α的范围，当0≤α≤时，E在边AB上，F 在线段BH上，根据S=S正方形OABH﹣S△OAE﹣S△OHF，当＜α＜时，E在线段BH 上，F在线段CH上，S=S△OEF．（2）当0≤α≤时，利用基本不等式求出S的最大值，注意等号成立的条件；（3）在“一个来回”中，求出OE共转动的角度，其中点G被照到时，共转的角度，从而可求出“一个来回”中，点G被照到的时间．解答：解：（1）过O作OH⊥BC，H为垂足．①当0≤α≤时，E在边AB上，F在线段BH上（如图①），此时，AE=tanα，FH=，…（2分）∴S=S正方形OABH﹣S△OAE﹣S△OHF=．…（4分）②当＜α＜时，E在线段BH上，F在线段CH上（如图②），此时，EH=，FH=，…（6分）∴EF=．∴S=S△OEF=．综上所述，…（8分）（2）当0≤α≤时，S=，即S=．…（10分）∵0≤α≤，∴0≤tanα≤1．即1≤1+tanα≤2．∴≥2．∴S≤2﹣．当tanα=﹣1时，S取得最大值为2﹣．…（12分）（3）在“一个来回”中，OE共转了2×=．其中点G被照到时，共转了2×=．…（14分）则“一个来回”中，点G被照到的时间为（分钟）．…（16分）点评：本题主要考查了解三角形在实际问题中的应用，同时考查了利用基本不等式求最值问题，属于中档题．20．（14分）已知．（1）若函数f（x）在区间（a，a+1）上有极值，求实数a的取值范围；（2）若关于x的方程f（x）=x2﹣2x+k有实数解，求实数k的取值范围；（3）当n∈N*，n≥2时，求证：．考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．专题：常规题型；压轴题；转化思想．分析：（1）函数f（x）在区间（a，a+1）上有极值⇒f′（x）=0在（a，a+1）上有根，结合条件由函数的单调性可得函数有唯一极值点x=1，1∈（a，a+1）．（2）构造函数g（x）=x2﹣2x+k，若关于x的方程f（x）=x2﹣2x+k有实数解⇒f（x）=g（x）有实数解⇒g（x）min=g（1）≤f（x）max（法二）由f（x）=x2﹣2x+k分离系数k=，构造函数h（x）=，由题意可得，k≤h（x）max．（3）结合函数f（x）在（1，+∞）上的单调性可得，f⇒1+⇒，利用该结论分别把n=1，2，3，…代入叠加可证．解答：解：（1）∵，∴∴当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0；∴函数f（x）在区间（0，1）上为增函数；在区间（1，+∞）为减函数（3分）∴当x=1时，函数f（x）取得极大值，而函数f（x）在区间（a，a+1）有极值．∴，解得0＜a＜1（2）由（1）得f（x）的极大值为f（1）=1，令g（x）=x2﹣2x+k，所以当x=1时，函数g（x）取得最小值g（1）=k﹣1，又因为方程f（x）=x2﹣2x+k有实数解，那么k﹣1≤1，即k≤2，所以实数k的取值范围是：k≤2解法二：∵f（x）=x2﹣2x+k，∴，令h（x）=，所以h'（x）=+2﹣2x，当x=1时，h'（x）=0当x∈（0，1）时，h'（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0∴当x=1时，函数h（x）取得极大值为h（1）=2∴当方程f（x）=x2﹣2x+k有实数解时，k≤2．）（3）∵函数f（x）在区间（1，+∞）为减函数，而，∴，∴，即∴lnn=ln2﹣ln1+ln3﹣ln2+…+lnn﹣ln（n﹣1）＜∴而n•f（n）=1+lnn，，结论成立点评：本题考查函数存在极值的性质，函数与方程的转化，及利用函数的单调性证明不等式，要注意叠加法及放缩法在证明不等式中的应用．三、附加题21．选修4﹣1：几何证明选讲已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点A，C重合），延长BD至E．求证：AD的延长线平分∠CDE．考点：圆內接多边形的性质与判定．专题：综合题．分析：要证AD 的延长线平分∠CDE，即证∠EDF=∠CDF，根据A，B，C，D 四点共圆，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，从而得解．解答：解：设F 为AD 延长线上一点∵A，B，C，D 四点共圆，∴∠ABC=∠CDF 3分又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，5分且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，7分对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，即AD 的延长线平分∠CDE.10分点评：本题以圆为载体，考查圆的内接四边形的性质，考查等腰三角形的性质，主要基础题．22．选修4﹣2：矩阵与变换已知矩阵，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1=，属于特征值5的一个特征向量为α2=．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．考点：特征值与特征向量的计算．专题：计算题．分析：根据特征值的定义可知Aα=λα，利用待定系数法建立等式关系，解方程组即可求得矩阵A，再利用公式求其逆矩阵．解答：解：由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1=[]，即3a﹣b=3；3分由矩阵A属于特征值5的一个特征向量为α2=11，可得，即a+b=5，6分解得，7分A的逆矩阵是10分点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题．23．（极坐标与参数方程）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，求曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=1的交点Q的极坐标．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：先将原极坐标方程ρ=2sinθ与ρcosθ=1（0≤θ≤π）化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程求出交点，最后再转化成极坐标．解答：解：将直线ρcosθ=1与圆ρ=2sinθ分别化为普通方程得，直线x=1与圆x2+（y﹣1）2=1，（6分）易得直线x=1与圆x2+（y﹣1）2=1切于点Q（1，1），所以交点Q的极坐标是．（10分）点评：本题主要考查直线与圆的极坐标方程，考查运算求解能力．24．选修4﹣5不等式证明选讲设a，b，c均为正数，证明：．考点：不等式的证明；基本不等式．专题：证明题；压轴题．分析：将左边加上a+b+c，再使用基本不等式，从而可证解答：证明：3分≥2a+2b+2c 9分即得.10分点评：本题以不等式为载体，考查基本不等式的运用，关键是根据题目特征，创造符合基本不等式的条件．四、【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）（2011•北京）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤，求k的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．分析：（I）求导，令导数等于零，解方程，跟据f′（x），f（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间；（Ⅱ）根据若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤，利用导数求函数f（x）在区间（0，+∞）的最大值，即可求出k的取值范围．解答：解：（Ⅰ）=，令f′（x）=0，得x=±k当k＞0时，f′（x）f（x）随x的变化情况如下：所以，f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣k），和（k，+∞），单调递减区间是（﹣k，k）；当k＜0时，f′（x）f（x）随x的变化情况如下：所以，f（x）的单调递减区间是（﹣∞，k），和（﹣k，+∞），单调递增区间是（k，﹣k）；（Ⅱ）当k＞0时，有f（k+1）=，不合题意，当k＜0时，由（I）知f（x）在（0，+∞）上的最大值是f（﹣k）=，∴任意的x∈（0，+∞），f（x）≤，⇔f（﹣k）=≤，解得﹣，故对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤，k的取值范围是﹣．点评：此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性和在闭区间上的最值问题，对方程f'（x）=0根大小进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，特别是（II）的设置，有关恒成立问题一般转化为求函数的最值问题，体现了转化的思想，增加了题目的难度．26．（10分）在平面直角坐标系xoy中，已知焦点为F的抛物线x2=4y上有两个动点A、B，且满足，过A、B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M．（1）求：•的值；（2）证明：为定值．考平面向量数量积的运算；抛物线的简单性质．点：计算题；压轴题．专题：分（1）先设出动点A、B的坐标，结合，消去λ求出A、B的坐标之间的关系，析：即可得到•的值；（2）先求出过A、B两点的切线方程，联立求出M的坐标，再代入整理即可得到答案．解答：解：（1）设∵焦点F（0，1）∴∵∴，∴x1x2=﹣4∴y1y2==1∴=﹣3（定值）（2）抛物线方程为y=x∴过抛物线A 、B 两点的切线方程分别为y=即y=∴=0（定值）点评： 本题主要考查平面向量数量积的运算．本题比较麻烦的地方在于整理过程比较烦琐，要认真对待，避免出错．。