角动量
角动量、角动量守恒
T
（3） ）
m, l
联立(1)、(2)、(3)式求解 式求解 联立
mg
1 T = mg 4
例5：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量 ： 可绕中心转动的细杆， 为 M、长为 2l 、可绕中心转动的细杆，有一质 、 量为 m 的小球以速度 v0 与杆的一端发生完全弹 性碰撞， 性碰撞，求小球的反弹速度 v 及杆的转动角速 度ω。 解：在水平面上，碰撞 在水平面上， 过程中系统角动量守恒， 过程中系统角动量守恒，
∆A/ ∆t = 恒 量
两个共轴飞轮转动惯量分别为J 例1：两个共轴飞轮转动惯量分别为 1、J2， 角速度分别为 ω1 、ω2，求两飞轮啮合后共同 啮合过程机械能损失。 的角速度 ω 。啮合过程机械能损失。 J1 J2 解：两飞轮通过摩 擦达到共同速度,合 擦达到共同速度 合 外力矩为0， 外力矩为 ，系统角 动量守恒。 动量守恒。
定义：力对某点 的力矩等于力的作用点 定义：力对某点O的力矩等于力的作用点 的矢量积。 的矢径 r 与力F的矢量积。 v v
v Mo
ϕ
注意： 注意： 1）大小： o = rF sin ϕ ）大小： M v v 的方向 2）方向： × F ）方向： r 3）单位：牛顿米 ）单位： v r 4）当 F ≠ 0 时， ） 有两种情况 Mo = 0 v A） r = 0 ） B）力的方向沿矢径的方向（ sin ϕ = 0） ）力的方向沿矢径的方向（
ω1 L0 = L = C J1ω1 + J2ω2 = (J1 + J2 )ω
ω2
J1ω1 + J2ω2 共同角速度 ω = J1 + J2
啮合过程机械能损失
∆E = E − E0
1 1 1 2 2 2 ∆E = (J1 + J2 )ω − ( J1ω1 + J2ω2 ) 2 2 2 J1ω1 + J2ω2 其中 ω = J1 + J2
角动量原理
角动量原理角动量是物体运动状态的重要物理量之一，它描述了物体围绕某一轴线旋转时的运动状态。
在物理学中，角动量原理是描述角动量守恒的基本定律之一，它对于理解物体旋转运动以及守恒定律的应用具有重要意义。
本文将对角动量原理进行详细介绍，包括角动量的定义、计算方法以及角动量守恒定律的应用等内容。
首先，我们来了解一下角动量的定义。
角动量是描述物体旋转运动状态的物理量，它的大小与物体的质量、速度以及旋转半径有关。
一般来说，角动量的大小可以用以下公式表示：L = Iω。
其中，L表示角动量，I表示物体的转动惯量，ω表示物体的角速度。
根据这个公式，我们可以看出角动量与物体的质量分布、转动半径以及角速度等因素密切相关。
其次，我们来看一下角动量的计算方法。
在实际问题中，我们常常需要计算物体的角动量，这时可以利用上面提到的公式进行计算。
首先需要确定物体的转动惯量和角速度，然后代入公式进行计算即可。
需要注意的是，在不同情况下，转动惯量和角速度的计算方法可能会有所不同，需要根据具体情况进行分析和计算。
接下来，我们将介绍角动量守恒定律的应用。
在物理学中，角动量守恒定律是一个非常重要的定律，它描述了在某些条件下，物体的角动量将保持不变。
这对于解决一些旋转运动问题以及理解自然界中的一些现象具有重要意义。
在实际问题中，我们可以利用角动量守恒定律来解决一些与旋转运动相关的问题，比如陀螺的稳定运动、天体运动等。
总之，角动量原理是描述物体旋转运动状态的重要定律之一，它对于理解物体的旋转运动、角动量的计算以及角动量守恒定律的应用具有重要意义。
通过对角动量原理的学习和理解，我们可以更好地认识物体的运动状态，解决一些与旋转运动相关的问题，为我们的生活和工作带来便利。
希望本文能够对您有所帮助，谢谢阅读！。
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角动量什么是角动量？在物理学中，角动量是描述物体旋转运动的一种物理量。
它与物体的惯性和旋转速度有关，用来描述物体围绕某个轴或中心进行旋转的能力或力矩。
角动量的定义角动量（L）的定义是物体的质量（m）与其线性速度（v）以及旋转半径（r）三个因素的乘积。
数学上可以表示为：L = mvr其中，L为角动量，m为物体的质量，v为物体的线速度，r为物体的旋转半径。
角动量的单位根据定义的公式可知，角动量的单位为千克·米²/秒（kg·m²/s）。
角动量的性质1.角动量是一个矢量量，具有大小和方向。
2.角动量是守恒量，即在没有外力矩作用下，系统的角动量保持不变。
3.当物体的质量或者速度增加时，角动量也会增加。
4.角动量的方向与线速度和旋转半径的方向相同。
角动量和力矩的关系角动量与力矩有着密切的关系。
根据角动量的定义，当物体受到力矩作用时，其角动量会发生变化。
根据牛顿第二定律和力矩的定义，我们可以得到以下公式：τ = ΔL/Δt其中，τ为力矩，ΔL为角动量的变化量，Δt为时间的变化量。
角动量守恒定律角动量守恒定律是一个重要的物理定律。
在一个孤立系统中，如果没有外力矩作用，系统的总角动量将保持不变。
这一定律的数学表达式为：L₁ + L₂ = L₃其中，L₁和L₂为系统中不同物体的角动量，L₃为系统的总角动量。
角动量在自然界中的应用角动量在自然界中的应用十分广泛。
以下是一些例子：1.行星绕太阳的运动：行星绕太阳的运动是一个典型的角动量守恒的例子。
根据开普勒定律，行星绕太阳的轨道面积速度是一个常数，即行星角动量守恒。
2.自行车或摩托车的稳定：自行车或摩托车在高速行驶时可以保持稳定，部分原因是由于车轮的角动量保持了平衡。
3.陀螺的稳定：陀螺通过旋转稳定自身的原理就是利用了角动量守恒。
结论角动量是描述物体旋转运动的重要物理量，它与物体的质量、线速度和旋转半径相关。
角动量具有一些重要的性质和守恒定律，对于理解自然界中旋转现象起到了重要的作用。
第八章 角动量定理
直升 飞机 的旋 转机
翼
在跳水运动员的跳水过程， 运动员从跳板向前跃起时， 绕一通过质心的水平轴有 一角速度，从而具有绕通 过质心的水平轴的角动量。
在空中时，他把手和腿都收
缩到靠近身体质心的位置， 使转动惯量迅速减小，由 于角动量守恒，使角速度 迅速增加，以便在空中多 翻几圈。快接近水面时， 他把身体伸直，以便加大 转动惯量，减小角速度， 从而平稳地入水。
§8-1 角动量定理和 角动量守恒定律
8.1.1 角动量、 角动量定理 8.1.2 角动量守恒定律 8.1.3 自然界中的角动量守恒现象
谈谈角动量
人们对角动量这个物理量的认识和应用比较 晚，18世纪在力学中才开始定义和应用它， 直到19世纪才把它看成力学中最基本的概念 之一。
角动量与动量、能量一起成为力学中最重要 的概念之一的原因是：角动量的概念与自然 界中普遍存在的物体的转动有关，大到星系， 小到粒子如：电子、中微子等都具有转动的 特性；更重要的原因在于很多情况下角动量 服从守恒定律。角动量守恒定律是自然界中 最基本、最普遍的规律之一。
宇宙中角动量守恒的表现 ——涡旋的星云m33
§8-2 角动量守恒定律与空间 旋转对称性
8.2.1 空间旋转对称性 8.2.2 角动量守恒与空间 旋转对称性
角动量守恒与空间旋转对称性
用一套实验装置做实验， 把实验装置旋转某一角度， 所得的实验结果是不会改 变的，这就是空间的各向 同性，或说空间的旋转对 称性。
宇宙中天体运动遵守角动量守恒
在宇宙中天体间的作用是引力。 引力是有心力，其力矩等于零。பைடு நூலகம் 在宇宙中天体的运动都遵守角动量守恒。
开普勒第二定律
行星对太阳的矢径在相同的时间内扫过的 面积相等。
2-(8)角动量
L r
2
mv
方向如图
L mvr sin rmv mr
Z Y O
ˆ L mvr sin mvd 或： L mvd k
L
r
X
mv
d
15 – 8 多普勒效应 质点系的角动量
1
此值为狄拉克h： h / 2
15 – 8
多普勒效应
4
第十五章 机械波
例3 一质量 m 1 . 20 10 kg 的登月飞船, 在离 月球表面高度 h 100 km 处绕月球作圆周运动.飞船 采用如下登月方式 : 当飞船位于点 A 时,它向外侧短 时间喷气 , 使飞船与月球相切地到达点 B , 且OA 与 OB 垂直 . 飞船所喷气体相对飞船的速度为 4 1 u 1 . 00 10 m s . 已知 v0 B vA 月球半径 R 1700 km ; vB 在飞船登月过程中,月球的 R 重力加速度视为常量 u v 2 g 1 . 62 m s . O A 试问登月飞船在登月过程 中所需消耗燃料的质量 h m 是多少?
i
第十五章 机械波 L Li r i p i
i
二 、力矩
中学时学过的力矩概念
二、力矩
M Fd Fr sin r F
o
d
r
M
F
定义：力对某点O的力矩等于力的 作用点的矢径r与力F的矢量积.
M
M r F
t2
Lz 2 z
M
t1
dt
dL
Lz 1
圆周运动：角动量和角动量守恒
角动量守恒在量子力学和粒子物理学中也有着重要的应用，对于理解微观世界的运动规律具有重要意义。
角动量守恒在未来的发展前景和影响将更加广泛，对于推动科学技术的发展和进步具有重要意义。
如何理解和掌握角动量守恒定律
6
学习角动量守恒定律的方法和技巧ຫໍສະໝຸດ 理解角动量守恒定律的难点和重点
角动量的定义：理解角动量的物理意义和数学表达式
角动量守恒可以帮助我们理解各种旋转运动现象，例如地球自转、陀螺旋转等。
角动量守恒还可以帮助我们解决一些实际问题，例如设计旋转机械、分析旋转物体的稳定性等。
角动量守恒在科技领域的应用价值
光学器件：利用角动量守恒原理，制造出高性能的光学器件，如光纤陀螺仪等
粒子加速器：利用角动量守恒原理，提高粒子加速器的性能和效率
角动量守恒定律
3
角动量守恒的条件
系统不受外力矩作用
系统的角动量守恒定律适用于旋转参考系和惯性参考系
系统的角动量变化率为零
系统内力矩之和为零
角动量守恒的证明方法
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
角动量守恒定律：L=mvr
牛顿第二定律：F=ma
角动量守恒的条件：系统不受外力矩作用
角动量守恒的证明：通过牛顿第二定律和角动量守恒定律，推导出角动量守恒的条件，从而证明角动量守恒定律。
角动量守恒定律：在圆周运动中，角动量保持恒定
角动量的大小：与物体的质量和速度成正比
角动量的变化：在圆周运动中，角动量不会发生变化，除非有外力作用
圆周运动中角动量守恒的证明
角动量守恒定律：在封闭系统中，系统内各物体的角动量之和保持不变
证明过程：假设物体在圆周运动中受到外力作用，根据牛顿第二定律，外力作用在物体上会产生加速度
角动量 角动量定理
d M (r P) dt
定义： L r P ——角动量
——角动量定理
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–5 角动量 角动量定理
3
作用在质点上的力矩等于质点角动量对时间的变化率。 此即质点对固定点的角动量定理。
t
t0
Mdt L L0
t
t0
Mdt
叫冲量矩
2–5 角动量 角动量定理
2
2 质点的角动量定理
M r F
dP F dt
dP d dr M r (r P) P dt dt dt
P mv
dr v dt
dL M dt
dr P v mv 0 dt
角动量
1. L r P
L 的方向符合右手法则.
L m vrsin
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
z L mv
r
2–5 角动量 角动量定理
4
2.质点在垂直于 z 轴平面
上以角速度
作半径为 r
的圆运动，相对圆心
z
o r
90
A
L r p r mv
mv0 (m M )v1
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–5 角动量 角动量定理
9
在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒
1 1 1 2 2 (m M) v 1 (m M) v 2 k (l l0 ) 2 2 2 2
在由A→B的过程中木块在水平面内只受指向O点的 弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设 v2 与OB方向成θ角，则有
物理：角动量
12
解 质点对 O 点的角动量 L＝rmv⊥＝4.0×2.0×5.0 ＝40（kg‧m2／s） 质点对 O' 点的角动量 L' ＝ r' mv⊥＝3.0×2.0×5.0 ＝30（kg‧m2／s）
13
范例6-10
质量为 m、摆长为 的锥
动摆，P 为悬点，O为圆 心，如右图所示，若摆线 与铅直线夹角为θ，请问 锥动摆对O 点的角动量量 值为多少？
14
概念 1. 角动量的定义。 2. 利用张力、重力的合成，提供向心力求出
锥动摆的速率。 策略
1. 角动量 L＝rmv⊥。
2. 圆轨迹之半径 r＝ sinθ。
3. 向心加速度 a v2 。 r
15
解
16
范例6-11 质量为 m 的质点甲，绕圆心 O 作等速圆周 运动，如图(A)，半径为 R、角速度为ω 、 角动量为 L，当质点甲旋转至图(B) 所示时， 施一向上的力 F 于质点甲上，则下列叙述 何者正确？
（6.21）
或 m1v1x＋m2v2x＝m1v1x'＋m2v2x' （6.23）
29
■ 系统总动量、总受力 1. 系统的总动量为系统中各质点动量的总和。
2. 系统所受的净力等于系统中各质点所受外力 的总和。
30
■ 角动量 质点所受合力矩等于其角动量的时变率 力矩愈大，角动量随时间变化愈大。
31
名词术语 动量、冲量、质心速度、质心加速度、 冲量－动量定理、动量守恒律、角动量。
10
范例6-9 如下图，质量为 2.0 kg 的质点位于 P 点， 以5.0 m／s 的速度运动，若 OP 之间距离为 4.0 m，OO' 之间距离为1.0 m，求质点对 O 点 及对 O' 点的角动量量值。11来自概念 1.角动量的定义。
机械原理机械工程中的角动量守恒原理
机械原理机械工程中的角动量守恒原理机械原理：机械工程中的角动量守恒原理机械工程是一门研究机械设备运动与力的学科，其中角动量守恒原理是机械工程中非常重要的一个概念。
本文将深入探讨机械工程中的角动量守恒原理及其应用。
一、角动量的定义与性质1. 角动量的定义角动量是描述物体旋转运动状态的物理量，它的大小与旋转物体的质量、角速度和旋转物体到旋转轴的距离直接相关。
一般而言，角动量的定义可以表示为：角动量 = 物体质量 ×角速度 ×距离。
2. 角动量的性质角动量具有一些重要的性质，包括以下几点：（1）角动量是矢量量，具有方向性；（2）角动量与质量、角速度和距离成正比；（3）角动量在守恒条件下不会改变。
二、角动量守恒原理机械工程中的角动量守恒原理是指，在没有外力或者外力矩作用下，一个物体的角动量将保持不变。
这个原理是建立在牛顿第二定律和动量守恒定律的基础上的。
与动量守恒原理类似，角动量守恒原理描述了物体在旋转运动过程中的性质。
三、角动量守恒定律的应用角动量守恒定律在机械工程中有着广泛的应用，如下所示：1. 陀螺的稳定性陀螺是一种利用角动量守恒原理来保持稳定的旋转物体。
陀螺通过旋转轴的转动来保持稳定，使得陀螺顶部的重力矩与陀螺底部的支撑力矩平衡，从而达到稳定旋转的效果。
2. 自行车的平衡骑自行车时，我们通过调整身体的倾斜角度来保持平衡。
这是因为倾斜角度的改变导致了自行车前轮与地面的接触点位置发生变化，即改变了旋转物体质心到旋转轴的距离，从而使得角动量守恒原理发挥作用，帮助我们保持平衡。
3. 卫星轨道的稳定卫星在轨道运动过程中，由于地球引力的作用，卫星将维持一定的高度并保持运动。
这是因为卫星的运动符合角动量守恒原理，通过调节速度和距离，使得卫星的角动量不变，从而维持在特定高度的轨道上运行。
4. 物体旋转的加速度计算在机械工程中，我们经常需要计算物体旋转的加速度。
通过利用角动量守恒原理，我们可以得到物体旋转加速度的表达式，从而进行相关计算和分析。
量子力学知识：量子力学中的角动量
量子力学知识：量子力学中的角动量角动量是量子力学中一个非常重要的概念，它是描述物体在旋转、转动过程中的量。
在量子力学中，所有的物体都可以看作是由粒子组成的，而这些粒子具有自旋、轨道角动量等属性。
这些角动量可以被量子化，因此在量子力学中，对角动量的研究十分重要。
旋转不变性与角动量守恒在经典力学中，角动量守恒的条件是系统具有旋转不变性。
同样，在量子力学中也是如此。
如果系统满足旋转不变性，那么它的角动量就会守恒。
量子力学中的角动量是以算符的形式存在的。
在三维空间中，我们可以定义三个角动量算符，它们分别对应着系统在每个方向上的角动量。
这些算符的本征态被称为角动量的量子态，它们的本征值就是系统的角动量大小。
旋转算符与角动量在量子力学中，存在一种特殊的算符，它被称为旋转算符。
旋转算符可以将一个量子态旋转到另一个量子态上，从而描述了一个量子系统在旋转时的变化。
在量子力学中，角动量与旋转算符之间存在非常重要的关系。
旋转算符是描述量子系统旋转时的变化，而角动量则描述了系统在旋转时所具有的性质。
因此，我们可以通过旋转算符来研究角动量的性质。
角动量的组合在量子力学中，对于任意两个粒子的角动量，我们都可以将它们组合起来得到一个新的角动量。
这个新的角动量可以是两个粒子各自的角动量的和，也可以是它们的差、积等不同形式的组合。
在组合两个角动量时，我们需要注意它们的量子态的对称性。
如果两个角动量的量子态之间有对称关系，那么组合后的角动量也应该具有相同的对称性。
角动量预处理在实际的计算过程中，对于一些常见的角动量问题，我们可以采用角动量预处理的方法来简化计算。
这种方法可以用于求解角动量算符的本征函数、本征值等问题。
角动量预处理的基本思想是，将角动量算符分解成一系列简单的算符的组合形式。
这样可以使得计算变得更加简单明了。
例如，在三维空间中，我们可以将角动量算符分解成三个单独的算符，分别对应着系统在每个方向上的角动量。
这样，我们就可以用单独的算符来描述系统的角动量。
角动量
内力对体系的总力矩为零，上式变为
dL ri Fi M i M dt i i
体系角动量定理的微分形式
8
体系角动量定理的积分形式
t L L0 Mdt
0
体系对给定点角动量的增量等于外力对该点的总冲量矩 质点系角动量定理指出，只有外力矩才对体系的角动量变化 有贡献.内力矩对体系角动量变化无贡献，但对角动量在体系内 的分配是有作用的.
解：⑴ 对于由两个质点构成的质点系，引入相对速度u
v2 u v12 v1 v2 v1
考虑到质心系是零动量参考系，即 可得
m2v2 0 m1v1
v2 m1 u m1 m2
15
v1
m2 u m1 m2
7
㈡
质点系角动量定理
一、质点系角动量定理
质点系对给定点的角动量等于各质点对该点的矢量和：
L li ri pi ri mi vi
i i i
对t求导，利用质点角动量定理，则得
dL dli ri Fi fi dt i dt i
1,开普勒行星运动定律 (1)轨道定律：行星沿椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一
个焦点上；
(2)面积定律：对任一行星，它的矢径在相等的时间内扫过 的面积相等；
(3)周期定律：行星绕太阳运动轨道半长轴a的立方正比 于公转周期T的平方.即 T a 3 2 22
利用角动量守恒定律证明开普勒面积定律
有心力对原点的力矩为零，故质点对原点的角动量守恒. 对②式两边乘r，再对时间积分得
r m 2rr r 2 0 mr 2r d 0 mr 2 dt Lconst mr 2
4.1 角动量
ω=
dθ dt
质点角动量定理 d ( 2 ω) dω dθ = (m1 + m2 ) · dt dθ dt dω = (m1 + m2 ) ω dθ m 例4，光滑轻滑轮半径 R，香蕉 。小猴重 m，抓住细绳从静止开始上爬而不下降， 2 相对绳子上爬 amin ＝？ 解：相对地面，猴 u，蕉 v du dv + 猴相对绳，u + v, a = dt dt (m2 − m1 )g cos θ = (m1 + m2 ) “猴＋绳＋蕉”系统：合外力矩？角动量？ mgR − 1 d 1 = ( mvR − muR) 2 dt 2
F m
v rC rB mg
C
3、角动量定理是由牛顿定律展开得到的第三组基本定理，结合力学问题，讨论如 下：
• 质点匀速圆周运动，所受合力指向圆心O 相对圆心O点，r × mv不变，L 守恒， M = 0； 相对圆心以外的任何点， L 均不守恒， M 0。 欲使力矩 M = 0，参考点O要选在 F 的作用线或其反延长线上。如何找呢？ 任取不同时刻 t1 , t2 ，做出相应的两条 F 的作用线，两线交点作为参考点O。 • 太阳—行星系统：行星只受太阳引力 Fg ，忽略其他行星的引力。 设太阳恒静，行星绕日运行，以日心为参考点：r × Fg = 0，L 守恒，即掠面速度不 变，这表明开普勒第二定律（面积定律）成立。 • 圆锥摆： 以O 为参考点，绳张力 T 不产生力矩 大小：mgr sin θ M = r × mg = 方向：与v同向 M 是水平旋转矢量，角动量 L = r × mv，L ⊥ M ， dL ？ 二者方向不同，能否满足角动量定理 M = dt ∵ M = M⊥ + M∥ , M⊥ = 0 ∴L⊥ 守恒量 L 变化方向沿着 v 方向，正交分解，验证分量守恒：L∥ = r cos θ · mv，大小、方向？ L⊥ = r sin θ · mv，大小、方向？ 2
角动量和动量矩
角动量和动量矩角动量和动量矩都是物理学中描述物体运动状态的重要概念，它们在运动学和动力学中有着关键的作用。
一、动量（Linear Momentum）：动量是描述物体运动状态的物理量，它是物体质量乘以其速度的乘积。
动量（p）的数学表示为：p=m⋅v其中，m是物体的质量，v是物体的速度。
动量是守恒的，即在封闭系统中，总动量保持不变。
二、角动量（Angular Momentum）：角动量是描述物体绕某一轴旋转的运动状态的物理量，它是物体的惯性矩乘以其角速度的乘积。
角动量（L）的数学表示为：L=I⋅ω其中，I是物体绕旋转轴的惯性矩（或称转动惯量），ω是物体的角速度。
类似于动量，角动量也是守恒的，即在没有外力矩作用的封闭系统中，总角动量保持不变。
三、动量矩（Torque）：动量矩是描述力对物体产生旋转运动影响的物理量，它是力对物体的作用点到旋转轴的距离与力的乘积。
动量矩（或力矩，τ）的数学表示为：τ=r⋅F其中，r是力的作用点到旋转轴的距离，F是力的大小。
动量矩的单位是牛顿·米（N·m）。
四、动量矩和角动量的应用：动量矩的作用：动量矩是引起物体绕轴旋转的原因，类似于力引起物体直线运动的原因。
例如，当你用力拉门时，产生的动量矩将导致门绕铰链旋转。
角动量的应用：角动量在自然界中有广泛的应用，例如行星绕太阳的运动、自行车轮的旋转等。
在工程学和物理学中，理解和控制角动量对设计和操作旋转系统非常重要。
这些概念的理解对于解释和预测物体的运动和旋转行为至关重要。
在物理学和工程学领域，动量和角动量的概念广泛用于解决各种问题，包括机械系统的运动、天体运动、核物理等。
动力学中的角动量定理及应用
动力学中的角动量定理及应用角动量定理是动力学中的一个重要定理，它描述了物体围绕某一点旋转时角动量的守恒性质。
具体的说，当物体受到外力作用时，它的角动量发生变化，并且这种变化率正比于该物体所受的外力矩。
在本文中，我们将从理论和实际应用两个方面介绍角动量定理及其相关问题。
一、角动量定理的理论分析在分析角动量定理之前，我们先了解一下角动量的定义。
角动量是一个物体的旋转惯量和旋转速度的乘积。
旋转惯量是物体旋转时所表现出的惯性，旋转速度是指物体围绕某一点的角速度。
因此，一个物体在旋转时所具有的角动量L可以表示为：L = Iω其中，I代表物体的旋转惯量，ω代表物体的角速度。
考虑一个物体受到一个外力矩M作用时，它所具有的角加速度α可以通过牛顿第二定律表示为：M = Iα因此，物体所受的外力矩M可以表示为：M = dL/dt也就是说，当一个物体所受的外力矩为零时，它的角动量将保持不变。
这就是角动量定理的基本内容。
二、角动量定理的实际应用角动量定理在现代物理学中有着广泛的应用。
下面我们来看一些常见的例子。
1、陀螺陀螺是一种旋转体，它的旋转轴与自身的主惯量轴不相重合。
当外力矩为零时，陀螺将保持自由旋转，这个过程中陀螺的角动量将会得到保持。
这是因为，陀螺的主惯量轴保持垂直于地面的意义下不变，而旋转轴则也不变化。
因此，陀螺的角动量在保持不变的情况下，它将绕着一个固定的点旋转。
2、行星运动行星的运动是一个非常复杂的问题，它涉及到很多因素，例如引力、惯性、角动量等等。
在这里，我们只介绍角动量的应用。
行星绕着太阳旋转时，它在运动过程中所具有的角动量是守恒的。
这可以通过角动量定理来证明。
当一个行星在距离太阳足够远的地方，外力矩可以被忽略。
因此，行星的角动量将会保持不变。
3、核磁共振成像（MRI）核磁共振成像是一种用于研究人体内部结构的医学成像技术。
它利用磁共振的原理，采集人体内部组织的磁信号，进而重建出一个高分辨率的图像。
在核磁共振成像的过程中，磁共振信号是由原子核所发射的。
动力学的角动量方程
动力学的角动量方程图像动力学的角动量方程动力学是物理学的一个分支，研究力对物体运动的影响。
而角动量是动力学中重要的概念之一，描述了物体围绕某个轴旋转时的运动特性。
本文将介绍动力学中的角动量方程及其应用。
1. 角动量的定义在物理学中，角动量（L）表示物体在旋转运动中具有的物理量。
它的定义可以表述为：L = Iω其中，L是角动量，I是物体的转动惯量，ω是物体的角速度。
转动惯量是描述物体对旋转运动的惯性的物理量，其数值取决于物体的质量分布以及物体围绕轴线旋转的方式。
角速度则表示物体绕某一轴旋转的速度。
2. 角动量方程的推导根据牛顿定律，对于一个作用在物体上的力产生的力矩，可以推导出角动量的变化率。
力矩（τ）由力（F）和力点到轴的距离（r）决定：τ = F × r根据牛顿第二定律，力可以表示为：其中，m是物体的质量，a是物体的加速度。
将这个力代入到力矩表达式中，可以得到：τ = mar由于线性加速度（a）等于半径（r）乘以角加速度（α），可以将上述表达式改写为：τ = mgrm是物体的质量，g是重力加速度，r是物体围绕轴旋转的半径。
进一步，可以将力矩表示为角动量的变化率：τ = dL/dt结合以上的推导，可以得到角动量方程：dL/dt = mgr3. 角动量方程的应用角动量方程在物理学中有广泛的应用。
以下几个例子展示了角动量方程在不同情况下的应用。
3.1 刚体旋转对于刚体的旋转运动，角动量方程可以帮助解释和预测其运动。
刚体的转动惯量（I）是一个重要参数，描述了刚体围绕轴旋转时的惯性。
当外力矩（τ）作用于刚体时，根据角动量方程可以计算角加速度（α）：这个方程在许多工程和力学问题中起着关键作用，例如机械工程中的转子设计和天体力学中的行星运动。
3.2 自转运动自转是指一个物体自身绕自身固定轴旋转的运动。
太阳和行星的自转运动是常见的例子。
角动量方程可以帮助解释自转运动的性质和规律。
通过测量物体的转动惯量和角速度，可以计算物体的角动量。
角动量的原理
角动量的原理角动量的原理是指在力矩作用下，物体自身的转动惯量和角速度之积保持不变的物理规律。
也就是说，当一个物体受到力矩作用时，它的角动量会发生变化，但其总角动量的大小保持不变。
在进行角动量的分析时，我们首先需要了解什么是角动量。
角动量是描述物体旋转状态的物理量，它与物体的转动惯量和角速度之间有关系。
角动量的大小等于物体转动惯量与角速度的乘积，方向则与角速度的方向相同。
角动量的计算公式为L = Iω，其中L代表角动量，I代表物体的转动惯量，ω代表物体的角速度。
正如之前所提到的，当一个物体受到力矩作用时，它的角动量会发生变化。
根据牛顿定律，力矩等于施力点到转轴的距离与力的乘积，即τ= rF。
这意味着当一个物体受到力矩的作用时，它的角动量会发生变化。
然而，根据角动量守恒定律，物体所受的合外力矩为零时，物体的总角动量保持不变。
这可以用数学公式表示为Στ= 0。
这意味着，在没有外力矩作用的情况下，物体的角动量大小保持不变。
通过对角动量守恒定律的分析，我们可以得出一些重要的结论。
首先，当一个物体自由转动时（即没有外力矩作用），其角动量的大小保持不变。
这可以解释为，自转为圆周运动，而角动量大小的保持不变则意味着转动惯量和角速度之积是一个常数。
其次，当一个物体受到外力矩作用时，它的角动量会发生变化。
这意味着外力会改变物体的角动量大小，使其增加或减少。
角动量守恒定律在许多实际情况下都非常有用。
例如，当花样滑冰运动员旋转时，他们可以通过改变身体的转动惯量和角速度来完成各种难度等级的动作。
同样，当自行车手在比赛中转弯时，他们可以靠身体倾斜来改变自身的转动惯量，从而保持平衡。
另一个重要的应用是在天体物理学中。
根据角动量守恒定律，当一个恒星凝聚成一个更紧密的球状物体（例如行星或恒星核心）时，它的转动惯量会发生变化，从而使其角速度增加。
这就是为什么行星和恒星核心旋转速度较高的原因。
此外，角动量守恒定律还可以帮助我们理解许多其他自然现象。
机械动力学角动量平衡原理
机械动力学角动量平衡原理机械动力学是研究物体受力作用下的运动规律的学科，而角动量平衡原理则是机械动力学中重要的一条基本原理。
角动量平衡原理指的是在一个系统中，如果没有外力和外力矩的作用，系统的角动量将保持不变。
本文将详细介绍机械动力学角动量平衡原理及其应用。
一、角动量的定义角动量是物体运动状态的度量，它的大小等于物体质量与它相对于某一轴线的距离的乘积。
角动量的计算公式为：L = m * r * v * sinθ其中，L为角动量，m为物体的质量，r为物体与旋转轴的距离，v 为物体的线速度，θ为物体速度的方向与连线方向之间的夹角。
二、角动量平衡原理的表述角动量平衡原理表述如下：在一个封闭系统中，如果没有外力和外力矩作用于该系统，该系统的角动量将保持不变。
三、角动量平衡原理的应用角动量平衡原理在机械动力学中有着广泛的应用，以下将介绍几个常见的角动量平衡原理的应用。
1. 运动中的角动量平衡在物体运动的过程中，如果物体受到的合外力矩为零，则物体的角动量将保持不变。
这是因为合外力矩为零意味着物体受到的外力和外力矩的合力矩为零，从而使系统的角动量保持不变。
2. 转子的平衡在转子的设计中，要保证转子在运动过程中能够平衡，即不产生震动或偏离旋转轴线。
根据角动量平衡原理，可以通过调整转子各部分的质量分布来实现转子的平衡。
3. 刚体的平衡刚体的平衡是指刚体在受力作用下不发生平动和转动的状态。
根据角动量平衡原理，如果一个刚体受力矩为零，则刚体将保持平衡。
根据这一原理，可以计算出刚体平衡所需要的力矩，从而设计出满足平衡条件的物体结构。
4. 力矩平衡力矩平衡是指一个物体所受到的力矩的合力矩为零，即物体处于力矩平衡的状态。
根据角动量平衡原理，力矩平衡可以得到保证。
综上所述，机械动力学中的角动量平衡原理是一个重要的原理，在各个方面都有广泛的应用。
通过合理运用角动量平衡原理，可以帮助解决物体运动状态和平衡问题，为机械设计和工程实践提供指导。
角动量专题知识
Lˆz i
x
y
y
x
4
3.轨道角动量分量旳算符间旳对易关系
[Lˆx , Lˆ y ] Lˆx Lˆ y Lˆ y Lˆx
为求上述对易子，先将算符 Lˆ y 作用于某个任意函数
f(x,y,z)，得：
Lˆ y f i
z
f x
x
f z
在将算符 Lˆx 作用于上面所得函数，得：
Lˆx Lˆ y f
20
➢对于原子核电荷数Z≥40旳重原子，因为其每个电子旳 轨道和自旋旳相互作用比各电子间旳相互作用都要大，
故采用j－j耦合将会得到很好旳成果。
➢对于Z≤40旳轻原子，各电子间旳相互作用要远不小于
每个电子本身旳轨道和自旋相互作用，于是L－S耦合将
是更加好、更以便旳近似措施。
21
多电子原子旳总角动量
2
y
f x
x
f y
2
y
x
x
y
f
所以： [Lˆx , Lˆ y ] i Lˆz
2 f 2 f (这对于品优波
其中用了下列关系式：
zx xz
函数总是成立旳)
6
一样，我们能够求得：
[Lˆ y , Lˆz ] i Lˆx [Lˆz , Lˆx ] i Lˆ y
Lˆ2 , Lˆ x Lˆ2x Lˆ2y Lˆ2z , Lˆ x Lˆ2x , Lˆ x Lˆ2y , Lˆ x Lˆ2z , Lˆ x Lˆ2y , Lˆ x Lˆ2z , Lˆ x Lˆ y Lˆ y , Lˆ x Lˆ y , Lˆ x Lˆ y Lˆz Lˆz , Lˆx Lˆz , Lˆx Lˆz i Lˆ y Lˆz i Lˆz Lˆ y i Lˆz Lˆ y i Lˆ y Lˆz 0
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导读考纲中刚体的要求中掌握刚体定轴转动。
其实对于平面平行运动，换一个参照系，就变成了定轴转动。
所以考纲神马的可以参考一下…例题精讲虽然转动惯量的计算是不要求的，但是不掌握总还是缺了些什么….【例1】利用量纲分析估算一下问题。
a)某天地球能量不够用了，大家决定把地球按比例缩小0.1%（保持质量和角动量守恒），问这样能放出多少能量？b)田亮同学可以在10米跳台项目中可以完成动作107C即“向前飞身翻腾三周半抱膝”。
现在我们想完成动作109C即“向前飞身翻腾四周半抱膝”。
能做的事情是把田亮同学按比例缩小（密度不变，身体结构不变，肌肉强度正比于横截面，离台过程视为质心的匀加速过程）。
问题：需要把他缩小到多少比例才可以完成这个动作？【例2】计算以下物体绕轴的转动惯量。
(1)均质杆，质量为m，长度为l，绕着垂直于杆所在平面并通过质心的轴旋转。
a)直接积分计算b)把一个根杆视为两个半截杆相加的结果，利用平行轴定理求解。
(2)匀质正三角板，质量为m，边长为l，绕着垂直于板平面并通过质心的轴旋转。
a)直接积分计算b)把一个正三角板视为4个小正三角板之和，利用平行轴定理求解。
(3)模仿前两问做法，匀质立方体，质量为m，边长为l，绕着通过面心和质心的轴旋转。
第11讲刚体和角动量【例3】一根轻杆，长度为l ，其中点固连在一个套筒上，套筒能绕固定的竖直轴以恒定的角速度ω旋转。
在两杆的两个端点各镶一个质量为m 的质点。
不记重力。
求竖直轴给套筒的力矩。
c) 方法一：分别对两个球写牛顿第二定律。
d) 方法二：对整体写方程。
体会角动量的方向可以和角速度的方向不一致。
【例4】一个质量为m ，半径为R ，转动惯量为I 的圆筒在地上做纯滚动。
圆筒上有一个半径为r 的轴，轴上绕有不可伸长的轻绳。
如图用恒力F 向右拉动绳子，求圆筒质心的加速度大小。
体会写角动量定理+牛顿第二定律，和写能量再求导两种做法。
【例5】生鸡蛋和熟鸡蛋从斜坡上滚下来，哪个会比较快？e) 分析能量f) 分析蛋壳的受力情况以及摩擦力大小θ/2l /2l mm ωF进动【例6】如图，一个转动惯量为I ，质量为m 的圆盘，绕着对称轴以恒定角速度ω自转。
转轴长为l ，一段铰接固定的竖直杆上。
转轴保持在水平面内。
求转轴绕着竖直轴旋转的角速度Ω。
【例7】汽车在转弯的时候，内侧轮的压力会比外侧小，从而可能引起侧翻事故。
为了解决这个问题，某人提议，在汽车上固定一个转动惯量为I 的圆盘，并保持圆盘的角速度与汽车行驶速度之间有关系kv ω=。
设汽车重心高度为h ，质量为m 。
结果汽车转弯的时候内外侧车轮压力变成一样了。
求圆盘的安装方向以及k 的大小。
碰撞【例8】重做第8讲的两道题。
比较使用角动量的做法。
g) 一个哑铃（两端视为等质量质点，中间是为轻的刚性杆）如图撞向光滑弹性墙面，质心初速度为0v ，垂直于墙面，角速度为0ω，求碰撞之后的速度和角速度。
使用角动量守恒。
思考：为什么角动量守恒的方程，和之前对每个球写的动量定理方程不独立？h) 接上一题，把哑铃的形状改成这个样子，三个质点之间不能相对运动，初态角速为0，求碰撞之后的质心速度和角速度。
是用角动量守恒。
思考：为什么现在用角动量守恒会比原方案简单得多？ω0v θv θl ωmgΩ【例9】在一个倾角为30θ>︒的粗糙斜面上，放一支截面为正六边形的匀质铅笔，边长为r ，铅笔的轴向沿着水平面方向。
铅笔稳定的滚下斜坡，接触点不滑动，每次都是铅笔一条棱与斜面发成完全非弹性碰撞。
稳定之后每次碰撞前铅笔的角速度都一样，求出稳定之后，每次碰撞前铅笔的角速度。
(铅笔绕轴的转动惯量为)【例10】光子沿着其动量方向的角动量分量只能为±。
一堆角动量分量为的频率为ν的光子沿着一个薄壁圆筒的轴向射向圆筒，并被蒙在圆筒的黑纸吸收。
圆筒半径为R ，静止释放，不受到其他力作用，求圆筒边缘一个点的轨迹。
奇文共欣赏神人泡利1．这位先生是上个世纪少有的天才之一，Pauli 出生于维也纳一个研究胶体化学的教授的家中，他的教父是著名的马赫先生。
马赫先生被爱因斯坦称为相对论的先驱，虽然马赫先生并不给爱因斯坦这个面子，声称他对于相对论的相信程度，像他对分子论的相信程度一样。
而众所周知，马赫先生极端反对分子论，而这种反对是使那个统计物理的天才波尔兹曼最终绝望而自杀的原因之一。
在Pauli 21岁的时候，他为德国的《数学科学百科全书》写了一篇长达237页的关于狭义和广义相对论的词条，该文，到今天仍然是该领域的经典文献之一，爱因斯坦曾经评价说，“任何该领域的专家都不会相信，该文出自一个仅21岁的青年之手，作者在文中显示出来的对这个领域的理解力，熟练的数学推导能力，对物理深刻的洞察力，使问题明晰的能力，系统的表述，对语言的把握，对该问题的完整处理，和对其评价，是任何一个人都会感到羡慕。
”2．少数年轻人大约以为这个物理学的王子的名字只是与不相容原理联系在一起，甚至他们以为这个原理只是量子力学的一个推论。
实际上，这个原理的提出是在1925年，甚至早于海森堡提出量子力学，Pauli 是用他天才的洞察力从浩如烟海的光谱数据中得出的不相容原理，其难度甚至远大过开普勒整理行星轨道的数据。
Pauli 的贡献遍及当时物理学的各个领域，他参与了量子力学的基础建设，量子场论的基础建设，相对论……Pauli 似乎在物理学领域是一个征服者而不是一个殖民者，他大量的工作没有发表，而是遗留在私人信件里。
今天能查到的信件中，我们发现大量这样的例子，他的关于矩阵力学和波动力学的等价性证明是写在给Jordan 的信件里，测不准原理首先出现在他给海森堡的信件里，Dirac 的泊松括号量子化被Hendrik Kramers 独立发现，而他指出，Pauli 早就指出了这种对易关系的表示方法。
或许有些天才的生命是注定短暂的，Pauli 生于1900年，于1958年去世，仅比他心中帝王晚去世3年，（爱因斯坦1879-1955），他唯一的遗憾就是一生中觉得没有做出像爱因斯坦一样伟大的工作。
3．Pauli 作为一个物理学家，眼光是相当锐利的。
比如Feynman 说的那个故事，Pauli 预言惠勒永远做不出那个什么超前推迟势的量子力学推广(果然他没作出)，Feynman 事后着实被Pauli 的眼光震惊了。
不过Pauli 一生最遗憾，他是那个时代公认最聪明的物理学家，却没有做一个划时代的发现。
他一α生喜欢评论别人的东西，经常是一针见血，不过很可惜，他一生反对错了最重要的两件事情，一个电子自旋，一个宇称不守恒。
可能一个人过于敏锐了，对于一些违反常规的想法有一种本能的抵制。
4．Pauli的刻薄在圈内无人能敌。
做Pauli 学生太可怜了，他曾经批评学生的论文，“连错误都算不上。
”他对一篇文章最好的评价就是：“这章几乎没有错。
”Kronig，最早提出电子自旋的概念，可是拿着论文去找泡利。
被骂了一顿，因为Pauli指出计算不符合相对论。
于是他们没敢发这篇文章。
海森堡得了Nobel奖以后经常还被他骂的狗血喷头。
不过Pauli有一点比较好。
他对所有人都很刻薄，不会因人而异。
有次爱因斯坦作报告，做完了，Pauli起立来了句，“看来爱因斯坦不是很蠢。
”后来有人这样说：“Pauli死后，来到天堂见到上帝。
上帝把他关于宇宙的设计给Pauli看。
Pauli看了一会，开始点头，后来又摇了摇头，说：“居然找不到什么错。
”5．Pauli大概天生不适合作实验。
据说他出现在哪里，那里的实验室仪器就会有故障。
有次，某人的实验室仪器突然失灵。
他们就开玩笑说，今儿Pauli没来这地方啊。
后来过了不久，Pauli告诉他们，那天他乘坐的火车在那个时刻在他们的城市短暂停留了一下。
有一次他在一个车站停半小时，就想顺便参观下附近的一个物理实验室。
实验室领导迫于他的声望，阻止不及，只好任他在实验室里捣鼓。
果然，等他半小时后回到车厢，那实验室已经是硝烟滚滚了。
6．关于Pauli和爱因斯坦的地位：对于所有人来说，爱因斯坦在上一世纪简直就是God。
波恩曾经认为，Pauli也许是比爱因斯坦还天才的科学家，不过他又补充说，Pauli完全是另一类人，“在我看来，他不可能像爱因斯坦一样伟大。
”那么Pauli是怎么看爱因斯坦的呢？在1945年，Pauli终于拿到了那个他觉得自己20年前就应该拿到的Nobel后，普林斯顿高等研究院为Pauli开了庆祝会，爱因斯坦为此在会上演讲表示祝贺。
Pauli后来写信给波恩回忆这一段，说“当时的情景就像物理学的王传位于他的继承者。
”Pauli倒是一点都不客气，认为自己就是继承者了。
7．一次Pauli外出，事先向一个同事探路。
第二天那同事问他路途是否顺利，他答，嗯，在不讨论物理的时候，你的脑子是清楚的。
Pauli一个朋友在论文中犯了一个错误，白纸黑字欲改不能，于是痛不欲生。
Pauli前去安慰，说没关系，不可能每个人都像我一样，写论文滴水不漏。
8．另外，泡利讲课也非常棒。
他给学生上课时，常常讲着讲着就忘了自己是在上课，自顾自地在课堂上推导起公式来，把学生扔在一边。
而且他的板书也很糟，从一个角斜到另一个角，字越写越小，底下学生糊里糊涂的。
但他讲课时这种投入的精神也恰恰能培养出特别出色的学生。
9．泡利由于过去曾翻译过一本德文谈《易经》的书，并因此和吴健雄认识。
他对吴健雄评价很高，并且后来也一直和吴健雄有着很亲近的情谊，在我所见到过的泡利的照片中，他和吴健雄合影的那张最精神，吴健雄也神采奕奕。
10．现代物理学中有一个很神秘的无量纲常数，叫作精细结构常数，大小等于1/137。
很多年来，物理学家们想对这个常数进行解释，至今未果。
泡利为此也曾花了大量的精力，后来他在苏黎世红十字医院住院，某次他搬到的了一个标号为137的房间，然后他死了…高二春季大纲：。