2019年中考数学专题复习分类练习圆综合解答题
中考数学总复习《圆综合解答题》专题训练-附答案
中考数学总复习《圆综合解答题》专题训练-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图△ABC内接于⊙O AB、CD是⊙O的直径E是DA长线上一点且∠CED=∠CAB．(1)求证：CE是⊙O的切线；求线段CE的长．(2)若DE=3√5tanB=122．如图在△ABC中AB=AC以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作DE⊥AC 垂足为E延长CA交⊙O于点F．(1)求证：DE是⊙O的切线；⊙O的半径为5 求线段CF的长．(2)若tanB=123．如图△ABC内接于⊙O直径DE⊙AB于点F交BC于点M DE的延长线与AC的延长线交于点N连接AM．（1）求证：AM＝BM；（2）若AM⊙BM DE＝8 ⊙N＝15° 求BC的长．4．如图△ABC内接于⊙O AB是⊙O的直径D是⊙O上的一点CO平分∠BCD CE⊥AD垂足为E AB与CD相交于点F．(1)求证：CE是⊙O的切线；时求CE的长．(2)当⊙O的半径为5sinB=355．如图1 锐角△ABC内接于⊙O⊙BAC=60°若⊙O的半径为2√3．(1)求BC的长度；(2)如图2 过点A作AH⊙BC于点H若AB+AC=12 求AH的长度．6．如图AB是⊙O的直径M是OA的中点弦CD⊥AB于点M过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．(1)连接AD则∠AOD=_______；(2)求证：DE 与⊙O 相切；(3)点F 在BC ⏜上 ∠CDF =45° DF 交AB 于点N ．若DE =6 求FN 的长．7．如图 AB 是⊙O 的直径 点C 为⊙O 上一点 OF ⊥BC 垂足为F 交⊙O 于点E AE 与BC 交于点H 点D 为OE 的延长线上一点 且∠ODB =∠AEC ．(1)求证：BD 是⊙O 的切线(2)求证：CE 2=EH ⋅EA(3)若⊙O 的半径为52 sinA =35 求BH 和DF 的长． 8．如图 在⊙ABC 中 ⊙C=90° 点O 在AC 上 以OA 为半径的⊙O 交AB 于点D BD 的垂直平分线交BC 于点E 交BD 于点F 连接DE ．（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线（2）若AB=5 BC=4 OA=1 求线段DE 的长．9．如图 AB 是⊙O 的直径 弦CD 与AB 交于点E 过点B 的切线BP 与CD 的延长线交于点P 连接OC CB ．(1)求证：AE ·EB =CE ·ED(2)若⊙O 的半径为 3 OE =2BE CE DE =95 求tan∠OBC 的值及DP 的长．10．如图菱形ABCD中AB=4以AB为直径作⊙O交AC于点E过点E作EF⊥AD于点F．(1)求证：EF是⊙O的切线(2)连接OF若∠BAD=60°求OF的长．(3)在（2）的条件下若点G是⊙O上的一个动点则线段CG的取值范围是什么？11．如图点C在以AB为直径的半圆O上（点C不与A B两点重合）点D是弧AC的中点DE⊥AB于点E连接AC交DE于点F连接OF过点D作半圆O的切线DP 交BA的延长线于点P．(1)求证：AC∥DP(2)求证：AC=2DE的值．(3)连接CE CP若AE⊙EO=1⊙2求CECP12．如图1 AB为⊙O直径CB与⊙O相切于点B D为⊙O上一点连接AD OC若AD//OC．（1）求证：CD为⊙O的切线（2）如图2 过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E连接BD交OC于点F若AB=3AE=12求BF的长．13．已知：如图在⊙O中∠PAD=∠AEP AF=CF AB是⊙O的直径CD⊥AB于点G．(1)求证：AP是⊙O的切线．(2)若AG=4tan∠DAG=2求△ADE的面积．(3)在（2）的条件下求DQ的长．14．如图已知AB是⊙O的直径点E是⊙O上异于A B的点点F是弧EB的中点连接AE AF BF过点F作FC⊙AE交AE的延长线于点C交AB的延长线于点D⊙ADC的平分线DG交AF于点G交FB于点H．(1)求证：CD是⊙O的切线(2)求sin⊙FHG的值(3)若GH＝4√2HB＝2 求⊙O的直径．15．如图⊙O的两条弦AB、CD互相垂直垂足为E且AB=CD．(1)求证：AC=BD．(2)若OF⊥CD于F OG⊥AB于G问四边形OFEG是何特殊四边形？并说明理由．(3)若CE=1，DE=3求⊙O的半径．16．【问题提出】如图1 △ABC为⊙O内接三角形已知BC=a圆的半径为R 探究a R sin∠A之间的关系．【解决问题】如图2 若∠A为锐角连接BO并延长交⊙O于点D连接DC则∠A=∠D在△DBC中BD为⊙O的直径BC=a所以BD=2R,∠BCD=90°．所以在Rt△DBC中建立a R sin∠D的关系为________________．所以在⊙O内接三角形△ABC中a R sin∠A之间的关系为________________．类比锐角求法当∠A为直角和钝角时都有此结论．【结论应用】已知三角形△ABC中∠B=60°,AC=4则△ABC外接圆的面积为________．17．已知AB为⊙O的直径PA PC是⊙O的的切线切点分别为A C过点C作CD//AB交⊙O于D．（1）如图当P D O共线时若半径为r求证CD=r（2）如图当P D O不共线时若DE=2CE=8求tan∠POA．18．如图1 已知矩形ABCD中AB=2√3AD=3 点E为射线BC上一点连接DE以DE为直径作⊙O（1）如图2 当BE=1时求证：AB是⊙O的切线（2）如图3 当点E为BC的中点时连接AE交⊙O于点F连接CF求证：CF=CD （3）当点E在射线BC上运动时整个运动过程中CF长度是否存在最小值？若存在请直接写出CF长度的最小值若不存在请说明理由．19．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形直径AC与对角线BD相交于点E作CH⊥BD于H CH与过A点的直线相交于点F∠FAD=∠ABD.（1）求证：AF为⊙O的切线（2）若BD平分∠ABC求证：DA=DC（3）在（2）的条件下N为AF的中点连接EN若∠AED+∠AEN=135°⊙O 的半径为2√2求EN的长.20．如图1 直线l1⊥l2于点M以l1上的点O为圆心画圆交l1于点A B交l2于点C D OM＝4 CD＝6 点E为弧AD上的动点CE交AB于点F AG⊙CE 于点G连接DG AC AD．（1）求⊙O的半径长（2）若⊙CAD＝40° 求劣弧弧AD的长（3）如图2 连接DE是否存在常数k使CE−DE=k·EG成立？若存在请求出k的值若不存在请说明理由（4）若DG⊙AB则DG的长为（5）当点G在AD的右侧时请直接写出⊙ADG面积的最大值．参考答案1．（1）证明：⊙AB是⊙O的直径⊙∠ACB=90°⊙∠CAB+∠B=90°⊙∠CED=∠CAB∠B=∠D⊙∠CED+∠D=90°⊙∠DCE=∠ACB=90°⊙CD⊥CE⊙CD是⊙O的直径即OC是⊙O半径⊙CE是⊙O的切线（2）由（1）知CD⊥CE在Rt△ABC和Rt△DEC中⊙∠B=∠D tanB=12⊙tan∠B=tan∠D=CECD =12⊙CD=2CE在Rt△CDE中CD2+CE2=DE2DE=3√5⊙(2CE)2+CE2=(3√5)2解得CE=3（负值舍去）即线段CE的长为3．2．解：（1）⊙OB=OD⊙∠ABC=∠ODB⊙AB=AC⊙∠ABC=∠ACB⊙∠ODB=∠ACB⊙OD∥AC⊙DE⊥AC OD是半径⊙DE⊥OD⊙DE是⊙O的切线．（2）连接BF AD⊙⊙O的半径为5 AB为直径⊙AB=10∠ADB=90°∠BFC=90°⊙tanB=1设AD=x则BD=2x2在Rt△ABD中由勾股定理得：AD2+BD2=AB2即x2+(2x)2=102解得：x=2√5或x=−2√5（舍去）⊙BD=2x=4√5⊙AB=AC∠ADB=90°⊙BD=CD⊙BC=2BD=8√5由（1）知OD∥AC⊙∠ODB=∠C⊙OB=OD⊙∠B=∠ODB=∠C⊙tanC=tanB=1即CF=2BF2在Rt△BCF中BF2+CF2=BC2即BF2+(2BF)2=(8√5)2解得BF=8或BF=−8（舍去）⊙CF=2BF=16．3．（1）证明：⊙直径DE⊙AB于点F⊙AF＝BF⊙AM＝BM（2）连接AO BO如图由（1）可得AM＝BM⊙AM⊙BM⊙⊙MAF＝⊙MBF＝45°⊙⊙CMN＝⊙BMF＝45°⊙AO＝BO DE⊙AB∠AOB⊙⊙AOF＝⊙BOF＝12⊙⊙N＝15°⊙⊙ACM＝⊙CMN+⊙N＝60° 即⊙ACB＝60°∠AOB．⊙⊙ACB＝12⊙⊙AOF＝⊙ACB＝60°．⊙DE＝8⊙AO＝4．得AF＝2√3在Rt⊙AOF中由sin∠AOF=AFAO在Rt⊙AMF中AM＝√2AF＝2√6．得BM= AM＝2√6得CM＝2√2在Rt⊙ACM中由tan∠ACM=AMCM⊙BC＝CM+BM＝2√2+2√6．4．（1）证明：⊙弧AC=弧AC⊙∠ADC=∠B．⊙OB=OC⊙∠B=∠OCB．⊙CO平分∠BCD⊙∠OCB=∠OCD⊙∠ADC=∠OCD．⊙CE⊥AD⊙∠ADC+∠ECD=90°⊙∠OCD+∠ECD=90°即CE⊥OC．⊙OC为⊙O的半径⊙CE是⊙O的切线．（2）连接OD得OD=OC⊙∠ODC=∠OCD．⊙∠OCD=∠OCB=∠B⊙∠ODC=∠B⊙CO=CO⊙△OCD≌△OCB⊙CD=CB．⊙AB是⊙O的直径⊙∠ACB=90°⊙AC=AB⋅sinB=10×35=6⊙CB=√AB2−AC2=√102−62=8⊙CD=8⊙CE=CD⋅sin∠ADC=CD⋅sinB=8×35=245．5．解：（1）连接OB OC过点O作OD⊙BC于点D⊙BD =CD =12BC⊙⊙A =60°⊙⊙BOC =2⊙A =120°⊙OB =OC⊙⊙OBC =⊙OCB =180°−∠BOC2=30°⊙OB =2√3⊙BD =OB •cos30°=2√3×√32=3⊙BC =2BD =6．（2）设点G 为此三角形ABC 内切圆的圆心（角平分线的交点） 过G 分别向ABAC BC 作垂线GM GN GQ⊙GM =GN =GQ CQ =CN BQ =BM AM =AN⊙AM +AN =AB +AC -BC =6⊙AM =AN =3．在Rt △AGM 中⊙⊙GAM =30°⊙GM =√3⊙S △ABC =12BC •AH =S △ABG +S △BCG +S △ACG=12AB •GM +12BC •GQ +12AC •GN=12GM（AB+AC+CB）=9√3∵BC=6, S△ABC=12BC•AH⊙AH=3√3．6．（1）解：如图1 连接OD AD⊙AB是⊙O的直径CD⊥AB⊙AB垂直平分CD⊙M是OA的中点⊙OM=12OA=12OD⊙cos∠DOM=OMOD =12⊙∠DOM=60°即∠AOD=60°故答案为：60°（2）解：⊙CD⊥AB AB是⊙O的直径⊙CM=MD⊙M是OA的中点⊙AM=MO又⊙∠AMC=∠DMO⊙△AMC≌△OMD⊙∠ACM=∠ODM⊙CA∥OD⊙DE⊥CA⊙∠E=90°⊙∠ODE=180°−∠E=90°⊙DE⊥OD⊙DE与⊙O相切（3）如图2 连接CF CN⊙OA⊥CD于M⊙M是CD中点⊙NC=ND⊙∠CDF=45°⊙∠NCD=∠NDC=45°⊙∠CND=90°⊙∠CNF=90°由（1）可知∠AOD=60°∠AOD=30°⊙∠ACD=12在Rt△CDE中∠E=90°∠ECD=30°DE=6=12⊙CD=DEsin30°在Rt△CND中∠CND=90°∠CDN=45°CD=12⊙CN=CD•sin45°=6√2⊙∠AOD=60°，OA=OD⊙△OAD是等边三角形⊙∠OAD=60°∠CAD=2∠OAD=120°⊙∠CFD=180°−∠CAD=60°在Rt△CNF中∠CNF=90°∠CFN=60°CN=6√2 =2√6．⊙FN=CNtan60°7．（1）证明：如图1所示⊙∠ODB=∠AEC∠AEC=∠ABC⊙∠ODB=∠ABC⊙OF⊥BC⊙∠BFD=90°⊙∠ODB+∠DBF=90°⊙∠ABC+∠DBF=90°即∠OBD=90°⊙BD⊥OB⊙AB是⊙O的直径⊙BD是⊙O的切线（2）证明：连接AC如图2所示⊙OF⊥BC⊙弧BE=弧CE⊙∠CAE=∠ECB⊙∠CEA=∠HEC⊙△AEC ∽△CEH⊙CE EH =EACE⊙CE 2=EH ⋅EA（3）解：连接BE 如图3所示⊙AB 是⊙O 的直径⊙∠AEB =90°⊙⊙O 的半径为52 sin∠BAE =35 ⊙AB =5 BE =AB ⋅sin∠BAE =5×35=3 ⊙EA =√AB 2−BE 2=4⊙弧BE =弧CE⊙BE =CE =3⊙CE 2=EH ⋅EA⊙EH =94⊙在Rt △BEH 中 BH =√BE 2+EH 2=√32+(94)2=154 ⊙∠A =∠C⊙sinC =sinA⊙OF ⊥BC 垂足为F⊙在Rt △CFE 中 FE =CE ⋅sinC =3×35=95 ⊙CF =√CE 2−EF 2=√32−(95)2=125 ⊙BF =CF =125⊙OF =√BO 2−BF 2=√(52)2−(125)2=710 ⊙∠ODB =∠ABC⊙tan∠ODB =tan∠ABC⊙BFDF =OFBF⊙BF 2=OF ⋅DF⊙(125)2=710DF ⊙DF =28835．8．解：（1）连接OD 如图⊙EF 垂直平分BD⊙ED=EB⊙⊙EDB=⊙B⊙OA=OD⊙⊙A=⊙ODA⊙⊙A+⊙B=90°⊙⊙ODA+⊙EDB=90°⊙⊙ODE=90°⊙OD⊙DE⊙直线DE 是⊙O 的切线（2）作OH⊙AD 于H 如图 则AH=DH 在Rt △OAB 中 sinA=BC AB =45在Rt △OAH 中 sinA=OH OA =45⊙OH=45⊙AH=√12−(45)2=35⊙AD=2AH=65 ⊙BD=5﹣65=195⊙BF=12BD=1910在Rt⊙ABC 中 cosB=45 在Rt⊙BEF 中 cosB=BF BE =45⊙BE=54×1910=198 ⊙线段DE 的长为198．9．(（1）证明：连接AD∵∠A =∠BCD ∠AED =∠CEB ∴ΔAED ∽ΔCEB∴ AECE =EDEB∴AE ·EB =CE ·ED（2）解：∵⊙O 的半径为 3 ∴OA =OB =OC =3∵OE =2BE∴OE =2 BE =1 AE =5 ∵ CEDE =95 ∴设CE =9x DE =5x∵AE ·EB =CE ·ED∴5×1=9x ·5x解得：x 1=13 x 2=−13（不 合题意舍去） ∴CE =9x =3 DE =5x =53 过点C 作CF ⊥AB 于F∵OC =CE =3∴OF =EF =12OE =1∴BF =2在RtΔOCF中∵∠CFO=90°∴CF2+OF2=OC2∴CF=2√2在RtΔCFB中∵∠CFB=90°∴tan∠OBC=CFBF =2√22=√2∵CF⊥AB于F∴∠CFB=90°∵BP是⊙O的切线AB是⊙O的直径∴∠EBP=90°∴∠CFB=∠EBP在ΔCFE和ΔPBE中{∠CFB=∠PBE EF=BE ∠FEC=∠BEP∴ΔCFE≅ΔPBE(ASA)∴EP=CE=3∴DP=EP−ED=3−53=43．10．:解：（1）证明：如图连接OE．⊙四边形ABCD是菱形∴∠CAD=∠CAB∵OA=OE∴∠CAB=∠OEA∴∠CAD=∠OEA∴OE∥AD∵EF⊥AD∴OE⊥EF又⊙OE是⊙O的半径⊙EF是⊙O的切线．（2）解：如图连接BE．⊙AB是⊙O的直径∴∠AEB=90°∵∠BAD=60°∴∠CAD=∠CAB=30°在Rt△ABE中AE=AB·cos30°=2√3在Rt△AEF中EF=AE·sin30°=√3AB=2在Rt△OEF中OE=12⊙OF=√OE2+EF2=√4+3=√7．（3）解：如图过点C作CM垂直AB交AB延长线于点M由（2）知∠BAD=60°∴∠ACB=∠CAB=30°，∠CBM=60°∴AB=BC=4，BM=2，CM=2√3∴AM=6，OM=6−2=4．⊙OC=√OM2+CM2=√42+(2√3)2=2√7⊙CG近=2√7−2CE远=2√7+2⊙线段CG的取值范围是：2√7−2≤CG≤2√7+211．（1）证明：连接OD∵D为弧AC的中点∴OD⊥AC又∵DP为⊙O的切线∴OD⊥DP∴AC∥DP（2）证明：∵DE⊥AB∴∠DEO=90°由（1）可知OD⊥AC设垂足为点M∴∠OMA=90°∴∠DEO=∠OMA AC=2AM又∵∠DOE=∠AOM OD=OA∴△ODE≌△OAM(AAS)∴DE=AM∴AC=2AM=2DE（3）解：连接OD OC CE CP∵∠ODP=∠OED=90°∠DOE=∠DOP ∴△DOE∽△POD∴ODOP =OEOD∴OD2=OE⋅OP ∵OC=OD∴OC2=OE⋅OP∴OCOE =OPOC又∵∠COE=∠POC ∴△COE∽△POC∴CECP =OEOC∵AE:EO=1:2∴OEOA =23∴OEOC =23∴CECP =23．12．解：（1）连接OD⊙CB与⊙O相切于点B⊙OB⊥BC⊙AD//OC⊙∠A=∠COB,∠ADO=∠DOC⊙OA=OD⊙∠A=∠ADO=∠COB=∠DOC⊙△DOC≌△BOC(SAS)⊙∠ODC=∠OBC=90°⊙OD⊥DC又OD为⊙O半径⊙CD为⊙O的切线（2）解：设CB=x⊙AE⊥EB⊙AE为⊙O的切线⊙CD CB为⊙O的切线⊙ED=AE=4,CD=CB=x,∠DOC=∠BCO⊙BD⊥OC过点E作EM⊥BC于M则EM=12,CM=x−4⊙(4+x)2=122+(x−4)2解得x=9⊙CB=9⊙OC=√62+92=3√13⊙AB是直径且AD⊙OC⊙⊙OFB=⊙ADB=⊙OBC=90°又⊙⊙COB=⊙BOF⊙⊙OBF⊙⊙OCB⊙OB BF =OCBC⊙BF=OB⋅BCOC =6×93√13=1813√1313．（1）证明：如图所示连接AC ⊙AB是⊙O的直径CD⊥AB⊙弧AD=弧AC⊙∠AEP=∠ADC⊙∠PAD=∠AEP⊙∠PAD=∠ADC⊙AP∥CD⊙AP⊥AB⊙AB是⊙O的直径⊙AP是⊙O的切线（2）解：如图所示连接BD⊙AF=CF⊙∠FAC=∠FCA⊙弧CE=弧AD⊙弧AD=弧AC⊙弧AD=弧AC=弧CE⊙∠ADG=∠QDG⊙AB⊥CD⊙∠AGD=∠QGD=90°又⊙OG=OG⊙△AGD≌△OGD(ASA)⊙QG=AG=4∠DQG=∠DAG=2在Rt△ADG中tan∠DAG=DGAG⊙DG=2AG=8⊙QD=√DG2+QG2=4√5连接OD过点E作EH⊥AB于H设圆O的半径为r则OG=r−4在Rt△ODG中由勾股定理得OD2=OG2+DG2⊙r2=(r−4)2+82解得r=10⊙AB=20⊙BQ=12⊙∠AEQ=∠DBQ，∠EAQ=∠BDQ⊙△AQE∽△DQB⊙QE BQ =AQDQ即QE12=84√5⊙QE=12√55⊙∠EQH=∠DQG=∠DAG⊙在Rt△EQH中tan∠EQH=EHQH=2⊙EH=2QH⊙EH2+QH2=QE2⊙4QH2+QH2=1445⊙QH=125⊙EH=245⊙S△ADE=S△ADQ+S△AEQ=12AQ⋅DG+12AQ⋅EH=12×8×8+12×8×245=70.4．（3）解：由（2）得DQ=4√5．14．（1）证明：连接OF．⊙OA＝OF⊙⊙OAF＝⊙OF A⊙EF̂=FB̂,⊙⊙CAF＝⊙F AB⊙⊙CAF＝⊙AFO⊙OF∥AC⊙AC⊙CD⊙OF⊙CD⊙OF是半径⊙CD是⊙O的切线．（2）⊙AB是直径⊙⊙AFB＝90°⊙OF⊙CD⊙⊙OFD＝⊙AFB＝90°⊙⊙AFO＝⊙DFB⊙⊙OAF＝⊙OF A⊙⊙DFB＝⊙OAF⊙GD平分⊙ADF⊙⊙ADG＝⊙FDG⊙⊙FGH＝⊙OAF+⊙ADG⊙FHG＝⊙DFB+⊙FDG⊙⊙FGH＝⊙FHG＝45°⊙sin⊙FHG=sin45°=√22（3）解：过点H作HM⊙DF于点M HN⊙AD于点N．⊙HD平分⊙ADF⊙HM＝HNS△DHF⊙S△DHB= FH⊙HB=DF ⊙DB⊙⊙FGH是等腰直角三角形GH＝4√2⊙FH＝FG＝4⊙DF DB =42=2设DB＝k DF＝2k⊙⊙FDB＝⊙ADF⊙DFB＝⊙DAF ⊙⊙DFB⊙⊙DAF⊙DF2＝DB•DA⊙AD＝4k⊙GD平分⊙ADF⊙FG AG =DFAD=12⊙AG＝8⊙⊙AFB＝90° AF＝12 FB＝6∴AB=√AF2+BF2=√122+622=6√5⊙⊙O的直径为6√515．（1）证明：⊙AB=CD⊙弧AB=弧CD⊙弧AB−弧BC=弧CD−弧BC即弧AC=弧BD⊙AC=BD（2）解：四边形OFEG是正方形.理由如下：⊙AB⊥CD OF⊥CD OG⊥AB⊙∠AED=∠OGE=∠OFE=90°⊙四边形OFEG是矩形．如图连接OA OD．⊙OF⊥CD OG⊥AB⊙CF=DF AG=BG．⊙CD=AB⊙AG=DF．⊙OG=√OA2−AG2OF=√OD2−DF2OA=OD⊙OG=OF⊙四边形OFEG是正方形（3）解：⊙CE=1 DE=3⊙CD=4⊙CF=DF=2⊙EF=CF-CE=2-1=1．⊙四边形OFEG是正方形⊙OF=EF=1．在Rt△OED中OD=√OF2+DF2=√5⊙⊙O的半径为√5．16．:解：【解决问题】如图连接BO并延长交⊙O于点D连接DC则∠A=∠D 在△DBC中⊙BD为⊙O的直径BC=a⊙BD=2R,∠BCD=90°⊙sinD=BCBD =a2R⊙sinA=a2R故答案为：sinD=a2R sinA=a2R【结论应用】解：设△ABC外接圆的半径为R ⊙∠B=60°,AC=4⊙sinB=AC2R⊙√3 2=42R解得：R=43√3⊙△ABC外接圆的面积为π×(43√3)2=163π．故答案为：163π17．（1）证明：连接OC⊙PA PC是⊙O的切线切点分别为A C ⊙PA=PC∠PAO=∠PCO=90°在RtΔPAO和RtΔPCO中{PA=PCPO=PO⊙RtΔPAO≌RtΔPCO(HL)⊙∠POA=∠POC⊙CD//AB⊙∠CDO=∠DOA⊙∠CDO=∠COD⊙CD=OC=r（2）解：设OP交CD于E连接OC过O作OH⊥CD于点H由（1）可知RtΔPAO≌RtΔPCO⊙∠POA=∠POC⊙CD//AB⊙∠CEO=∠EOA⊙∠CEO=∠COE⊙CE=CO=8⊙CD=CE+ED=10⊙OH⊥CD⊙CH=DH=5⊙EH=DH−DE=3在RtΔCHO中⊙OH=√OC2−CH2=√82−52=√39在RtΔOHE中⊙tan∠POA=tan∠HEO=OHEH =√393⊙tan∠POA=√393．18．解：（1）如图过点O作OM⊥AB且OM的反向延长线交CD于点N．由题意可知四边形BCNM为矩形⊙MN=AD=3⊙O为圆心即O为DE中点⊙N为DC中点即线段ON为△DEC中位线又⊙CE=BC−BE=3−1=2⊙ON=12CE=1⊙OM=MN -ON=3-1=2．在Rt △DEC 中 DE =√CD 2+CE 2=√(2√3)2+22=4． ⊙OD=DE=OM=2．即AB 为⊙O 的切线．（2）设⊙O 与AD 交于点G 连接CG EG DF FG ⊙DE 为直径⊙∠EGD =∠EFD =90°．⊙∠GEC =90°⊙CG 为直径．⊙∠CFG =∠CDG =90°⊙E 为BC 中点⊙G 为AD 中点在Rt △AFD 中 FG 为中线⊙AG=DG=FG在Rt △CFG 和Rt △CDG 中 {FG =DG CG =CG⊙△CFG ≅△CDG(HL)．⊙CF=CD ．（3）如图 取AD 中点H 连接CH FH FD ．由（2）可知FH =12AD =32 在Rt △CDH 中 CH =√CD 2+HD 2=√(2√3)2+(32)2=√572 ⊙CF ≥CH −FH =√572−32． ⊙当F 点在CH 上时CF 长有最小值 最小值为√572−32．19．解：（1）⊙AC 为⊙O 的直径⊙⊙ADC =90°⊙⊙DAC +⊙DCA =90°．⊙弧AD =弧AD⊙⊙ABD =⊙DCA ．⊙⊙F AD =⊙ABD⊙⊙F AD =⊙DCA⊙⊙F AD +⊙DAC =90°⊙CA ⊙AF⊙AF 为⊙O 的切线．（2）连接OD ．⊙弧AD =弧AD⊙⊙ABD=1⊙AOD．2⊙弧DC=弧DC⊙DOC．⊙⊙DBC=12⊙BD平分⊙ABC⊙⊙ABD=⊙DBC⊙⊙DOA=⊙DOC⊙DA=DC．（3）连接OD交CF于M作EP⊙AD于P．⊙AC为⊙O的直径⊙⊙ADC=90°．⊙DA=DC⊙DO⊙AC⊙⊙F AC=⊙DOC=90° AD=DC=√(2√2)2+(2√2)2=4 ⊙⊙DAC=⊙DCA=45° AF⊙OM．⊙AO=OCAF．⊙OM=12⊙⊙ODE+⊙DEO=90° ⊙OCM+⊙DEO=90°⊙⊙ODE=⊙OCM．⊙⊙DOE=⊙COM OD=OC⊙⊙ODE⊙⊙OCM⊙OE=OM．设OM=m⊙OE =m AE =2√2−m AP =PE =2−√22m⊙DP =2+√22m ． ⊙⊙AED +⊙AEN =135° ⊙AED +⊙ADE =135°⊙⊙AEN =⊙ADE ．⊙⊙EAN =⊙DPE⊙⊙EAN ⊙⊙DPE⊙AE DP =AN PE ⊙2√2−m 2+√22m =m2−√22m⊙m =2√23⊙AN =2√23 AE =4√23由勾股定理得：NE =2√103．20．解：（1）连接OD⊙AB 是⊙O 的直径 l 1⊥l 2 CD ＝6⊙CM =DM =12CD =3在Rt △DOM 中 OM ＝4⊙OD=√OM2+CM2=5即⊙O的半径长为5（2）⊙AB是⊙O的直径l1⊥l2⊙弧BC=弧BD⊙∠BAD=∠BAC=12∠CAD=20°⊙∠BOD=2∠BAD=40°⊙∠AOD=180°−∠BOD=140°⊙劣弧弧AD的长为140×π×5180=35π9（3）存在常数k=2理由如下：如图在CG上截取CH=DE连接AH AE⊙AB垂直平分CD⊙AC=AD又⊙⊙ACH=⊙ADE⊙⊙ACH⊙⊙ADE（SAS）⊙AH=AE⊙ AG⊙HE⊙HG=EG⊙CE-DE=2EG⊙k=2（4）⊙DG⊙AB⊙⊙CFM⊙⊙CGD⊙FM DG =CFCG=CMCD=12⊙CF=FG DG=2FM⊙⊙CMF=⊙AGF⊙CFM=⊙AFG ⊙⊙CFM⊙⊙AFG⊙CF AF =FMFG⊙FM×AF=CF×FG=CF2设FM=x则AF=9-x⊙x(9−x)=32+x2解得：x=32或3⊙DG=3或6（5）如图取AC的中点P当PG⊙AD时⊙ADG的面积最大在Rt△AMC中⊙CMA=90° CM=3 AM=OA+OM=5+4=9⊙AD=AC=√CM2+AM2=√32+92=3√10在Rt△AGC中⊙CGA=90° 点P为AC的中点⊙PG=12AC=3√102过点C作CN⊙AD于点N在Rt⊙CDN和Rt⊙ADM中⊙⊙CND=⊙AMD=90° ⊙CDN=⊙ADM ⊙Rt⊙CDN~Rt⊙ADM⊙CN AM =CDAD⊙CN=AM⋅CDAD =9×63√10=9√105设PG交AD于点K ⊙PK⊙AD CN⊙AD ⊙PK⊙CN⊙⊙APK⊙⊙CAN⊙PK CN =APAC=12⊙PK=12CN=9√1010⊙GK=PG−PK=3√102−9√1010=3√105⊙⊙ADG面积的最大值为12AD⋅GK=12×3√10×3√105=9．。
山东各2019年中考数学分类解析-专项11：圆
山东各 2019 年中考数学分类分析 - 专项 11：圆本卷须知1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考据号填写清楚，将条形码正确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2、选择题一定使用 2B 铅笔填涂；非选择题一定使用 0.5 毫米黑色笔迹的署名笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3、请依据题号次序在各题目的答题地区内作答，高出答题地区书写的答案无效； 在底稿纸、试题卷上答题无效。
4、保持卡面洁净，不要折叠，不要弄破、弄皱，禁止使用涂改液、修正带、刮纸 刀。
专题 11：圆选择题1. 〔 2018 山东德州 3 分〕假如两圆的半径分别为 4 和 6，圆心距为 10，那么这两圆的地点关系是【】A 、内含B 、外离C 、订交D 、外切 【答案】 D 。
【考点】圆与圆的地点关系。
【剖析】依据两圆的地点关系的判断：外切〔两圆圆心距离等于两圆半径之和〕， 内切〔两圆圆心距离等于两圆半径之差〕 ，相离〔两圆圆心距离大于两圆半径之和〕 ，相交〔两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差〕 ，内含〔两圆圆心距离小于两圆半径之差〕。
所以，∵两圆的半径分别为 4 和 6，圆心距为 10，∴ 4＋ 6＝ 10。
∴这两圆的地点关系是外切。
应选 D 。
2. 〔 2018 山东东营 3 分〕小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，扇形的半径为，弧长是6π，那么这个的圆锥的高是【】 5CMCMA 、4CMB 、 6CMC 、8CMD 、 2CM 【答案】 A 。
【考点】圆锥的计算，弧长的计算，勾股定理。
【剖析】一只扇形的弧长是 6πCM ，那么底面的半径即可求得，底面的半径，圆锥的高以及母线〔扇形的半径〕正好构成直角三角的三边，利用勾股定理即可求解：设圆锥的底面半径是R ，那么 2π R ＝ 6π，解得： R ＝ 3。
2 2那么圆锥的高是： 5 3 4〔 CM 〕。
应选 A 。
3.〔2018 山东济南 3 分〕⊙O1 和⊙ O2 的半径是一元二次方程 X2－ 5X ＋ 6＝ 0 的两根，假定圆心距 O1O2＝ 5，那么⊙ O1和⊙ O2的地点关系是【】A、外离B、外切C、订交D、内切【答案】 B。
2019年浙江省中考数学分类汇编专题圆(解析版)
2019年浙江省中考数学分类汇编专题:圆（解析版）一、单选题1.若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（）A. B. C. D.【答案】C【考点】弧长的计算【解析】【解答】解：把已知数导入弧长公式即可求得：。
故答案为：C。
【分析】求弧长，联想弧长公式，代入数字即可。
2.如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（）A. 2B.C.D.【答案】B【考点】圆周角定理，切线的性质【解析】【解答】解：连接OA∵∠ABC=30°弧AC=弧AC∴∠AOC=2∠ABC=60°∵AP是圆O的切线，∴OA⊥AP∴∠OAP=90°∴AP=OAtan60°=1× =故答案为：B【分析】连接OA，利用圆周角定理可求出∠AOC的度数，再根据切线的性质，可证△AOP是直角三角形，然后利用解直角三角形求出PA的长。
3.如图，△ABC内接于⊙O，∠B=65°，∠C=70°，若BC=2 ，则的长为（）A. πB. πC. 2πD. π【答案】A【考点】圆周角定理，弧长的计算【解析】【解答】解：连接OC、OB，∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB∴∠A=180°-65°-70°=45°∵弧BC=弧BC∴∠BOC=2∠A=2×45°=90°∵OB=OC在Rt△OBC中，∠OBC=45°∴OC=BCsin45°= =2∴弧BC的长为：故答案为：A【分析】利用三角形内角和定理求出∠A，再根据圆周角定理，求出∠BOC的度数，就可证得△BOC是等腰直角三角形，利用解直角三角形求出OC的长，然后利用弧长公式计算可求出弧BC的长。
4.如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为（）A. 2B. 3C. 4D. 4-【答案】A【考点】切线的性质，解直角三角形的应用，切线长定理【解析】【解答】解：设AB、AC的切点分别为D、E，连结OD、OE，如图，∵AB、AC与⊙O相切于点D、E，∴AD=AE，∠ODB=∠OEC=90°，又∵△ABC是边长为8的等边三角形，∴AB=AC=BC=8，∠B=60°，∴BD=CE，∵OD=OE，∴△ODB≌△OEC（SAS），∴OB=OC= BC=4，在Rt△ODB中，∴sin60°= ，即OD=OBsin60°=4× =2 ，∴⊙O的半径为2 .故答案为：A.【分析】设AB、AC的切点分别为D、E，连结OD、OE，根据切线的性质和切线长定理得AD=AE，∠ODB=∠OEC=90°，由等边三角形性质得AB=AC=BC=8，∠B=60°，等量代换可得BD=CE，根据全等三角形判定SAS 得△ODB≌△OEC，再由全等三角形性质得OB=OC=4，在Rt△ODB中，根据锐角三角函数正弦定义即可求得答案.5.已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（）A. 60πcm2B. 65πcm2C. 120πcm2D. 130πcm2【答案】B【考点】圆锥的计算【解析】【解答】解：设圆锥母线为R，圆锥底面半径为r，∵R=13cm，r=5cm，∴圆锥的侧面积S= ·2 r.R= ×2 ×5×13=65 （cm2）.故答案为：B.【分析】根据圆锥侧面展开图为扇形，再由扇形面积计算即可求得答案.6.如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（）A. 60°B. 70°C. 72°D. 144°【答案】C【考点】正多边形和圆【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠ABC=∠C= (5−2)×180°=108°，∵CD=CB，∴∠CBD== (180°−108°)=36°，∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=72°，故答案为：C.【分析】由正多边形的内角和公式可求得∠ABC和∠C的度数，又由等边对等角可知∠CBD=∠CDB，从而可求得∠CBD，进而求得∠ABD。
2019年初中数学学业水平考试中考数学专题训练及解析3.圆的综合题
圆的综合题类型一 与全等结合1. 如图,⊙O 的直径AB ＝4,C 为⊙O 上一点,AC ＝2.过点C 作⊙O 的切线DC ,P 点为优弧CBA ︵上一动点(不与A 、C 重合). (1)求∠APC 与∠ACD 的度数；(2)当点P 移动到劣弧CB ︵的中点时,求证：四边形OBPC 是菱形； (3)当PC 为⊙O 的直径时,求证：△APC 与△ABC 全等.第1题图(1)解：∵AC ＝2,OA ＝OB ＝OC ＝12AB ＝2,∴AC ＝OA ＝OC , ∴△ACO 为等边三角形,∴∠AOC ＝∠ACO ＝∠OAC ＝60°,∴∠APC ＝12∠AOC ＝30°, 又∵DC 与⊙O 相切于点C , ∴OC ⊥DC , ∴∠DCO ＝90°,∴∠ACD ＝∠DCO －∠ACO ＝90°－60°＝30°；第1题解图(2)证明：如解图,连接PB ,OP ,∵AB 为直径,∠AOC ＝60°, ∴∠COB ＝120°,当点P 移动到CB ︵的中点时,∠COP ＝∠POB ＝60°, ∴△COP 和△BOP 都为等边三角形, ∴OC ＝CP ＝OB ＝PB , ∴四边形OBPC 为菱形； (3)证明：∵CP 与AB 都为⊙O 的直径,∴∠CAP ＝∠ACB ＝90°, 在Rt △ABC 与Rt △CP A 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CP AC ＝AC , ∴Rt △ABC ≌Rt △CP A (HL).2. 如图,AB 为⊙O 的直径,CA 、CD 分别切⊙O 于点A 、D ,CO 的延长线交⊙O 于点M ,连接BD 、DM . (1)求证：AC ＝DC ； (2)求证：BD ∥CM ；(3)若sin B ＝45,求cos ∠BDM 的值.第2题图(1)证明：如解图,连接OD ,∵CA 、CD 分别与⊙O 相切于点A 、D , ∴OA ⊥AC ,OD ⊥CD , 在Rt △OAC 和Rt △ODC 中,⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OD OC ＝OC , ∴Rt △OAC ≌Rt △ODC (HL), ∴AC ＝DC ；(2)证明：由(1)知, △OAC ≌△ODC ,∴∠AOC ＝∠DOC , ∴∠AOD ＝2∠AOC , ∵∠AOD ＝2∠OBD , ∴∠AOC ＝∠OBD , ∴BD ∥CM ； (3)解：∵BD ∥CM ,∴∠BDM ＝∠M ,∠DOC ＝∠ODB ,∠AOC ＝∠B , ∵OD ＝OB ＝OM ,∴∠ODM ＝∠OMD ,∠ODB ＝∠B ＝∠DOC , ∵∠DOC ＝2∠DMO , ∴∠DOC ＝2∠BDM , ∴∠B ＝2∠BDM ,如解图,作OE 平分∠AOC ,交AC 于点E ,作EF ⊥OC 于点F ,第2题解图∴EF ＝AE ,在Rt △EAO 和Rt △EFO 中,∵⎩⎪⎨⎪⎧OE ＝OE AE ＝EF, ∴Rt △EAO ≌Rt △EFO (HL), ∴OA ＝OF ,∠AOE ＝12∠AOC , ∴点F 在⊙O 上,又∵∠AOC ＝∠B ＝2∠BDM , ∴∠AOE ＝∠BDM , 设AE ＝EF ＝y , ∵sin B ＝45,∴在Rt △AOC 中,sin ∠AOC ＝AC OC ＝45,∴设AC ＝4x ,OC ＝5x ,则OA ＝3x , 在Rt △EFC 中,EC 2＝EF 2＋CF 2, ∵EC ＝4x －y ,CF ＝5x －3x ＝2x , ∴(4x －y )2＝y 2＋(2x )2, 解得y ＝32x ,∴在Rt △OAE 中,OE ＝OA 2＋AE 2 ＝（3x ）2＋（32x ）2＝352x ,∴cos ∠BDM ＝cos ∠AOE ＝OA OE ＝3x 352x＝255.3. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AC 为直径,AB ︵＝BD ︵,BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E .(1)求证：∠1＝∠BCE ； (2)求证：BE 是⊙O 的切线； (3)若EC ＝1,CD ＝3,求cos ∠DBA .第3题图(1)证明：如解图,过点B 作BF ⊥AC 于点F ,∵AB ︵＝BD ︵, ∴AB ＝BD在△ABF 与△DBE 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF ＝∠BDE ∠AFB ＝∠DEB AB ＝DB, ∴△ABF ≌△DBE (AAS), ∴BF ＝BE , ∵BE ⊥DC ,BF ⊥AC , ∴∠1＝∠BCE ； (2)证明：如解图,连接OB ,∵AC 是⊙O 的直径,∴∠ABC ＝90°,即∠1＋∠BAC ＝90°, ∵∠BCE ＋∠EBC ＝90°,且∠1＝∠BCE , ∴∠BAC ＝∠EBC , ∵OA ＝OB ,∴∠BAC ＝∠OBA , ∴∠EBC ＝∠OBA ,∴∠EBC ＋∠CBO ＝∠OBA ＋∠CBO ＝90°, ∴∠EBO ＝90°, 又∵OB 为⊙O 的半径, ∴BE 是⊙O 的切线；第3题解图(3)解：在△EBC 与△FBC 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠BEC ＝∠CFB ，∠ECB ＝∠FCB ，BC ＝BC ，∴△EBC ≌△FBC (AAS), ∴CE ＝CF ＝1.由(1)可知：AF ＝DE ＝1＋3＝4, ∴AC ＝CF ＋AF ＝1＋4＝5,∴cos ∠DBA ＝cos ∠DCA ＝CD CA ＝35. 类型二 与相似结合4. 如图,△ABC 内接于⊙O ,AB ＝AC ,∠BAC ＝36°,过点A 作AD ∥BC ,与∠ABC 的平分线交于点D ,BD 与AC 交于点E ,与⊙O 交于点F . (1)求∠DAF 的度数； (2)求证：AE 2＝EF ·ED ； (3)求证：AD 是⊙O 的切线.第4题图(1)解：∵AB ＝AC ,∠BAC ＝36°,∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－36°)＝72°, ∴∠AFB ＝∠ACB ＝72°, ∵BD 平分∠ABC , ∴∠DBC ＝36°, ∵AD ∥BC ,∴∠D＝∠DBC＝36°,∴∠DAF＝∠AFB－∠D＝72°－36°＝36°；(2)证明：∵∠EAF＝∠FBC＝∠D,∠AEF＝∠AED,∴△EAF∽△EDA,∴AEDE＝EFEA,∴AE2＝EF·ED；(3)证明：如解图,过点A作BC的垂线,G为垂足,∵AB＝AC,∴AG垂直平分BC,∴AG过圆心O,∵AD∥BC ,∴AD⊥AG ,∴AD是⊙O的切线.第4题解图5. 如图,AB 为半圆的直径,O 为圆心,OC ⊥AB ,D 为BC ︵的中点,连接DA 、DB 、DC ,过点C 作DC 的垂线交DA 于点E ,DA 交OC 于点F . (1)求证：∠CED ＝45°； (2)求证：AE ＝BD ； (3)求AOOF 的值.第5题图(1)证明：∵∠CDA ＝12∠COA ＝12×90°＝45°,又∵CE ⊥DC ,∴∠DCE ＝90°, ∴∠CED ＝180°－90°－45°＝45°； (2)解：如解图,连接AC ,∵D 为BC ︵的中点,∴∠BAD ＝∠CAD ＝12×45°＝22.5°, 而∠CED ＝∠CAE ＋∠ACE ＝45°, ∴∠CAE ＝∠ACE ＝22.5°,∴AE ＝CE ,∵∠ECD ＝90°,∠CED ＝45°, ∴CE ＝CD , 又∵CD ︵＝BD ︵, ∴CD ＝BD ,∴AE ＝CE ＝CD ＝BD , ∴AE ＝BD ；第5题解图(3)解：设BD ＝CD ＝x ,∴AE ＝CE ＝x ,由勾股定理得,DE ＝2x ,则AD ＝x ＋2x , 又∵AB 是直径,则∠ADB ＝90°, ∴△AOF ∽△ADB ,∴AO OF ＝AD DB ＝x ＋2xx ＝1＋ 2.6. 如图,AB 为⊙O 的直径,P 点为半径OA 上异于点O 和点A 的一个点,过P 点作与直径AB 垂直的弦CD ,连接AD ,作BE ⊥AB ,OE //AD 交BE于E 点,连接AE 、DE ,AE 交CD 于点F . (1)求证：DE 为⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为3,sin ∠ADP ＝13,求AD ； (3)请猜想PF 与FD 的数量关系,并加以证明.第6题图(1)证明：如解图,连接OD ,∵OA ＝OD , ∴∠OAD ＝∠ODA , ∵OE ∥AD ,∴∠OAD ＝∠BOE ,∠DOE ＝∠ODA , ∴∠BOE ＝∠DOE , 在△BOE 和△DOE 中, ⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OD ∠BOE ＝∠DOE OE ＝OE,∴△BOE ≌△DOE (SAS), ∴∠ODE ＝∠OBE , ∵BE ⊥AB , ∴∠OBE ＝90°, ∴∠ODE ＝90°, ∵OD 为⊙O 的半径, ∴DE 为⊙O 的切线； (2)解：如解图,连接BD ,∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ADB ＝90°, ∴∠ABD ＋∠BAD ＝90°, ∵AB ⊥CD ,∴∠ADP ＋∠BAD ＝90°, ∴∠ABD ＝∠ADP ,∴sin ∠ABD ＝AD AB ＝sin ∠ADP ＝13, ∵⊙O 的半径为3,∴AB =6,∴AD ＝13AB ＝2；第6题解图(3)解：猜想PF ＝FD ,证明：∵CD ⊥AB ,BE ⊥AB , ∴CD ∥BE , ∴△APF ∽△ABE , ∴PF BE ＝AP AB , ∴PF ＝AP ·BEAB , 在△APD 和△OBE 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠APD ＝∠OBE ∠P AD ＝∠BOE , ∴△APD ∽△OBE ,∴PD BE ＝AP OB , ∴PD ＝AP ·BEOB , ∵AB ＝2OB , ∴PF ＝12PD , ∴PF ＝FD .7. 如图①,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 是⊙O 的直径,OD ∥AC ,OD 交⊙O 于点E ,且∠CBD ＝∠COD . (1)求证：BD 是⊙O 的切线；(2)若点E 为线段OD 的中点,求证：四边形OACE 是菱形. (3)如图②,作CF ⊥AB 于点F ,连接AD 交CF 于点G ,求FGFC 的值.第7题图(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径,∴∠BCA ＝90°,∴∠ABC＋∠BAC＝90°,∵OD∥AC,∴∠ACO＝∠COD.∵OA＝OC,∴∠BAC＝∠ACO,又∵∠COD＝∠CBD,∴∠CBD＝∠BAC,∴∠ABC＋∠CBD＝90°,∴∠ABD＝90°,即OB⊥BD,又∵OB是⊙O的半径,∴BD是⊙O的切线；(2)证明：如解图,连接CE、BE,∵OE＝ED,∠OBD＝90°,∴BE＝OE＝ED,∴△OBE为等边三角形,∴∠BOE＝60°,又∵AC∥OD,∴∠OAC＝60°,又∵OA＝OC,∴△OAC为等边三角形,∴AC＝OA＝OE,∴AC∥OE且AC＝OE,∴四边形OACE是平行四边形,而OA＝OE, ∴四边形OACE是菱形；第7题解图(3)解：∵CF⊥AB,∴∠AFC＝∠OBD＝90°,而AC∥OD,∴∠CAF＝∠DOB,∴Rt△AFC∽Rt△OBD,∴FCBD＝AFOB,即FC＝BD·AFOB,又∵FG∥BD,∴△AFG∽△ABD,∴FGBD＝AFAB,即FG＝BD·AFAB,∴FCFG＝ABOB＝2,∴FGFC＝12.8. 如图,AB是⊙O的直径,点E为线段OB上一点(不与O、B重合),作EC⊥OB交⊙O于点C,作直径CD过点C的切线交DB的延长线于点P,作AF⊥PC于点F,连接CB.(1)求证：AC平分∠F AB；(2)求证：BC2＝CE·CP；(3)当AB＝43且CFCP＝34时,求劣弧BD︵的长度.第8题图(1)证明：∵PF切⊙O于点C,CD是⊙O的直径,∴CD⊥PF,又∵AF⊥PC,∴AF∥CD,∴∠OCA＝∠CAF,∵OA＝OC,∴∠OAC＝∠OCA,∴∠CAF＝∠OAC,∴AC平分∠F AB；(2)证明：∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB＝90°,∵∠DCP＝90°,∴∠ACB＝∠DCP＝90°,又∵∠BAC＝∠D,∴△ACB∽△DCP,∴∠EBC＝∠P,∵CE⊥AB,∴∠BEC＝90°,∵CD是⊙O的直径,∴∠DBC＝90°,∴∠CBP ＝90°,∴∠BEC ＝∠CBP ,∴△CBE ∽△CPB ,∴BC PC ＝CE CB ,∴BC 2＝CE ·CP ；(3)解：∵AC 平分∠F AB ,CF ⊥AF ,CE ⊥AB ,∴CF ＝CE ,∵CF CP ＝34,∴CE CP ＝34,设CE ＝3k ,则CP ＝4k ,∴BC 2＝3k ·4k ＝12k 2,∴BC ＝23k ,在Rt △BEC 中,∵sin ∠EBC ＝CE BC ＝3k 23k ＝32,∴∠EBC ＝60°,∴△OBC 是等边三角形,∴∠DOB ＝120°,∴BD ︵＝120π·23180＝43π3.类型三 与全等相似结合9. 如图,四边形ABCD 内接于圆O ,∠BAD ＝90°,AC 为直径,过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点E ,过AC 的三等分点F (靠近点C )作CE 的平行线交AB 于点G ,连接CG .(1)求证：AB ＝CD ；(2)求证：CD 2＝BE ·BC ；(3)当CG ＝3,BE ＝92,求CD 的长.第9题图(1)证明：∵AC 为直径,∴∠ABC ＝∠ADC ＝90°, ∴∠ABC ＝∠BAD ＝90°,∴BC∥AD,∴∠BCA＝∠CAD,又∵AC＝CA,∴△ABC≌△CDA(AAS),∴AB＝CD；(2)证明：∵AE为⊙O的切线且O为圆心,∴OA⊥AE,即CA⊥AE,∴∠EAB＋∠BAC＝90°,而∠BAC＋∠BCA＝90°,∴∠EAB＝∠BCA,而∠EBA＝∠ABC,∴△EBA∽△ABC,∴EBAB＝BABC,∴AB2＝BE·BC, 由(1)知AB＝CD,∴CD 2＝BE ·BC ；(3)解：由(2)知CD 2＝BE ·BC ,即CD 2＝92BC ①,∵FG ∥BC 且点F 为AC 的三等分点,∴G 为AB 的三等分点,即CD ＝AB ＝3BG ,在Rt △CBG 中,CG 2＝BG 2＋BC 2,即3＝(13CD )2＋BC 2②,将①代入②,消去CD 得,BC 2＋12BC －3＝0,即2BC 2＋BC －6＝0,解得BC ＝32或BC ＝－2(舍)③,将③代入①得,CD ＝332.10.如图,AB 为⊙O 的直径,C 为圆外一点,AC 交⊙O 于点D ,BC 2＝CD ·CA ,ED ︵＝BD ︵,BE 交AC 于点F .(1)求证：BC 为⊙O 的切线；(2)判断△BCF 的形状并说明理由；(3)已知BC ＝15,CD ＝9,∠BAC ＝36°,求BD ︵的长度(结果保留π).第10题图(1)证明：∵BC 2＝CD ·CA ,∴BC CA ＝CD BC ,∵∠C ＝∠C ,∴△CBD ∽△CAB ,∴∠CBD ＝∠BAC ,又∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ADB ＝90°,即∠BAC ＋∠ABD ＝90°,∴∠ABD ＋∠CBD ＝90°,即AB ⊥BC ,又∵AB 为⊙O 的直径,∴BC 为⊙O 的切线；(2)解：△BCF 为等腰三角形.证明如下：∵ED ︵＝BD ︵,∴∠DAE ＝∠BAC ,又∵△CBD ∽△CAB ,∴∠BAC ＝∠CBD ,∴∠CBD ＝∠DAE ,∵∠DAE ＝∠DBF ,∴∠DBF ＝∠CBD ,∵∠BDF ＝90°,∴∠BDC ＝∠BDF ＝90°,∵BD ＝BD ,∴△BDF ≌△BDC ,∴BF ＝BC ,∴△BCF 为等腰三角形；(3)解：由(1)知,BC 为⊙O 的切线,∴∠ABC ＝90°∵BC 2＝CD ·CA ,∴AC ＝BC 2CD ＝1529＝25,由勾股定理得AB ＝AC 2－BC 2＝252－152＝20,∴⊙O 的半径为r ＝AB 2＝10,∵∠BAC ＝36°,∴BD ︵所对圆心角为72°.则BD ︵＝72×π×10180＝4π.。
天津市红桥区2019届中考数学复习《圆》专题综合训练题含答案
天津市红桥区普通中学2019届初三中考数学复习圆专题综合训练题1. 如果两个圆心角相等，那么( )A．这两个圆心角所对的弦相等 B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D．以上说法都不对2. 若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立( )A．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4B．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶1∶3∶4C．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶2∶1∶4D．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝4∶3∶2∶13. 下列直线是圆的切线的是( )A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆的直径外端点的直线4．在半径为12的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是( )A．6πB．4πC．2πD．π5. 圆的内接梯形一定是________梯形．6. 如图，已知直线EF经过⊙O上的点E，且OE＝EF，若∠EOF＝45°，则直线EF和⊙O的位置关系是________．7. 已知扇形的半径为3 cm，面积为3π cm2，则扇形的圆心角是________°，扇形的弧长是________cm.(结果保留π)8. 如图，∠BAC和∠BOC分别是⊙O中的弧BC所对的圆周角和圆心角，若∠BAC＝60°，那么∠BOC＝________.9. 如图，AB，AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD＝AB，如果∠ADB＝30°，那么∠BOC＝________.10. 120°的圆心角所对的弧长是12π cm，则此弧所在的圆的半径是________．11．如图，在4×4的方格中(共有16个方格)，每个小方格都是边长为1的正方形．O，A，B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的弧长等于________．(结果保留根号及π)12．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，以AD的长为半径的⊙A交BC边于点E，则图中阴影部分的面积为________．13．如图，若BC ︵的度数为100°，则∠BOC＝________，∠A ＝________.14．如图，四边形ABCD 中，∠B 与∠1互补，AD 的延长线与DC 所夹的∠2＝60°，则∠1＝________，∠B ＝________.15. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O，则∠A＋∠C＝________，∠B ＋∠ADC＝________；若∠B＝80°，则∠ADC ＝________，∠CDE ＝________；16. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O，∠AOC ＝100°，则∠D＝________，∠B ＝________；17. 四边形ABCD 内接于⊙O，∠A ∶∠C ＝1∶3，则∠A ＝________；18. 如图，梯形ABCD 内接于⊙O，AD ∥BC ，∠B ＝75°，则∠C＝________.19．如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC∥DE，若弦BE ＝3，求弦CE 的长．20．如图，在⊙O 中，C ，D 是直径AB 上两点，且AC ＝BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M ，N 在⊙O 上．(1)求证：AM ︵＝BN ︵；(2)若C ，D 分别为OA ，OB 中点，则AM ︵＝MN ︵＝BN ︵成立吗？21. 如图，在Rt △ABC 和Rt △ABD 中，∠C ＝90°，∠D ＝90°，点O 是AB 的中点．求证：A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心的同一圆上．22. 圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为58 cm ，高为20 cm ，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少纸？(结果精确到0.1 cm 2)23. 已知扇形的圆心角为120°，面积为300π cm 2. (1)求扇形的弧长；(2)若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？参考答案： 1—4 DBBB 5. 等腰 6. 相切7. 120 2π 8. 120° 9. 120° 10. 18 cm 11. .2π12. 2－12－14π13. 100° 50° 14. .120° 60°15. 180° 180° 100° 80° 16. 130° 50° 17. 45° 18. 75° 19. 320. (1)连接OM ，ON ，证明△MCO≌△NDO，得出∠MOA＝∠NOB，得出AM ︵＝BN ︵； (2)成立．21. 证明OA ＝OB ＝OC ＝OD 即可．22. 解：设纸帽的底面半径为r cm ，母线长为l cm ，则r ＝582π， l ＝（582π）2＋202≈22.03， S 纸帽侧＝πrl ≈12×58×22.03＝638.87(cm)，638．87×20＝12777.4(cm 2)，所以，至少需要12777.4 cm 2的纸． 23. 解：(1)如图所示：∵300π＝120πR2360，∴R＝30，∴弧长l ＝120×π×30180＝20π(cm)，(2)如图所示： ∵20π＝2πr ， ∴r ＝10，R ＝30，AD＝900－100＝202，∴S轴截面＝12×BC×AD＝12×2×10×202＝2002(cm2)，因此，扇形的弧长是20π cm，卷成圆锥的轴截面是200 2 cm2.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，矩形ABCD 的顶点A 和对称中心在反比例函数(0,0)ky k x x=≠>上，若矩形ABCD 的面积为8，则k 的值为（ ）A ．4B ．C ．D ．82．某车间6名工人日加工零件数分别为6，10，8，10，5，8，则这组数据的中位数是（ ） A ．6B ．8C ．9D ．103．若关于x 的分式方程2142x m xx x ++=--有增根，则m 的值是（ ） A ．2m =或6m = B ．2m = C ．6m = D ．2m =-或6m =-4．已知等腰三角形两边a ，b ，满足a 2+b 2﹣4a ﹣10b+29＝0，则此等腰三角形的周长为（ ） A ．9B ．10C ．12D ．9或125．如图所示，四边形ABCD 是边长为3的正方形，点E 在BC 上，BE ＝1，△ABE 绕点A 逆时针旋转后得到△ADF ，则FE 的长等于（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，直线AB ：y ＝12x ＋1分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，直线CD ： y ＝x ＋b 分别与x 轴、y 轴交于点C 、D ．直线AB 与CD 相交于点P ，已知S △ABD ＝4，则点P 的坐标是 ( )A ．(3，4)B ．(8，5)C ．(4，3)D ．(12，54) 7．下列运算正确的是( ) A ．x 8÷x 2=x 4B ．(x 2)3=x 5C ．(﹣3xy)2=6x 2y 2D ．2x 2y•3xy=6x 3y 28．某足球生产厂计划生产4800个足球，在生产完1200个后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共用了21天完成全部任务．设原计划每天生产x个足球，根据题意可列方程为（）A．12004800(120%)x++＝21B．120048001200(120%)x x-++＝21C．12004800120020%x x-+＝21D．480048001200(120%)x x-++＝219．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是( )A. B.C. D.10．某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品，将这些作品排成一个矩形（作品不完全重合）．现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉，如果作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉（例如用9枚图钉将4张作品钉在墙上如图）．若有28枚图钉可供选用，则最多可以展示绘画作品（）A.16张B.18张C.20张D.21张11．如图，函数y＝2x（x＞0）、y＝6x（x＞0）的图象将第一象限分成了A、B、C三个部分．下列各点中，在B部分的是（）A.（1，1）B.（2，4）C.（3，1）D.（4，3）12．若一个多边形的内角和等于1620°，则这个多边形的边数为（）A．9 B．10 C．11 D．12二、填空题13．如图，将一个直角的顶点P放在矩形ABCD的对角线BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点A，另一条直角边与边BC 相交于点E ．且AD ＝8，DC ＝6，则＝_____．14．如图，OC 是O 的半径，弦AB OC ⊥于点D ，点E 在O 上，EB 恰好经过圆心O ，连接EC .若B E ∠=∠，32OD =，则劣弧AB 的长为__________.15．因式分解：1﹣4a 2＝_____．16．已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是_______岁． 17．当1x =时，多项式226x x ++的值等于_______. 18．分式方程2111x x x+=-+的解为_____． 三、解答题19．如图所示，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，点G 是BA 延长线上一点，点F 是AC 上一点，AG ＝AF ，连接GF 并延长交BC 于E ． (1)若AB ＝8，BC ＝6，求AD 的长； (2)求证：GE ⊥BC ．20．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一条直线上．已知纸板的两条边DE ＝70cm ，EF ＝30cm ，测得AC ＝78m ，BD ＝9m ，求树高AB ．21．2011年，陕西西安被教育部列为“减负”工作改革试点地区．学生的学业负担过重会严重影响学生对待学习的态度．为此我市教育部门对部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A 级：对学习很感兴趣；B 级：对学习较感兴趣；C 级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了 名学生； （2）将图①补充完整；（3）求出图②中C 级所占的圆心角的度数；（4）根据抽样调查结果，请你估计我市近80000名八年级学生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A 级和B 级）？221011)2sin 452cos302018-︒︒⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭23．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，O 为BC 边上一点，以OC 为半径的圆O ，交AB 于D 点，且AD=AC ，延长DO 交圆O 于E 点，连接AE. （1）求证：DE ⊥AB ；（2）若DB=4，BC=8，求AE 的长.24．解不等式组()3841710x x x x <+⎧⎪⎨+≤+⎪⎩①②．请结合题意填空，完成本题的解答：(1)解不等式①，得：________；(2)解不等式②，得：________；(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(4)原不等式组的解集为：________．25．如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若OC＝3，AC＝4，求sin∠PAB的值．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．14．215．（1﹣2a）（1+2a）．16．1417．1518．x＝﹣3三、解答题19．(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意可知AD⊥BC，BD＝CD＝3，再根据勾股定理即可解答（2）根据题意可知GA＝GF，得到∠G＝∠AFG，再通过∠BAC＝∠G+∠AFG＝2∠AFG，∠BAC＝2∠CAD，得到AD∥EG，即可解答(1)∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ， ∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ＝3，在Rt △ABD 中，AD=． (2)∵GA ＝GF ， ∴∠G ＝∠AFG ，∵∠BAC ＝∠G+∠AFG ＝2∠AFG ，∠BAC ＝2∠CAD ， ∴∠AFG ＝∠CAD ， ∴AD ∥EG ， ∵AD ⊥BC ， ∴GE ⊥BC ． 【点睛】此题考查了直角三角形的定理和性质，解题关键在于利用两角相等证明两条线平行20【解析】 【分析】先判定△DEF 和△DBC 相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC 的长，再加上AC 即可得解． 【详解】解：在直角△DEF 中，DE ＝70cm ，EF ＝30cm ，则由勾股定理得到DF ==在△DEF 和△DBC 中，∠D ＝∠D ，∠DEF ＝∠DCB ， ∴△DEF ∽△DCB ， ∴DF EFDB BC=， 又∵EF ＝30cm ，BD ＝9m ，∴BC ＝58EF DB DF ⋅==（m ） ∵78AC m =，∴AB ＝AC+BC ＝7203858232++=，即树高203232+m ． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出△DEF 和△DBC 相似是解题的关键．21．(1)200，（2）补图见解析；（3）54°；（4）680000人. 【解析】（1）根据A级有50人，所占的比例是25%，据此即可求解；（2）求得C级所占的比例，乘以总人数即可求解，进而作出条形图；（3）利用360度，乘以C级所占的比例即可求解；（4）总人数乘以A，B两级所占的比例的和即可求解．【详解】解：（1）50÷25%＝200（名）；（2）C级的人数是：200×（1﹣25%﹣60%）＝30（人）．；（3）C级所占的圆心角的度数是：360×（1﹣25%﹣60%）＝54°；（4）80000×（25%+60%）＝68000（人）．【点睛】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°比．22．2019【解析】【分析】原式第一项利用绝对值的性质化简，第二项依据零指数幂运算，第三项和第四项利用特殊角的三角函数计算，最后一项依据负整数指数幂运算，即可求解.【详解】+-12018=20191222018【点睛】此题考查了实数的混合运算和特殊角的三角函数值，掌握实数混合运算的顺序和相应法则是解答此题的关键.23．（1）详见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接CD，证明90∠+∠=︒即可得到结论；ODC ADC（2）设圆O的半径为r，在Rt△BDO中，运用勾股定理即可求出结论.【详解】（1）证明：连接CD,∵OD OC =∴ODC OCD ∠=∠ ∵AD AC =∴ADC ACD ∠=∠90,90,OCD ACD ODC ADC DE AB ∠+∠=︒∴∠+∠=∴⊥.（2）设圆O 的半径为r ，()2224+8,3r r r ∴=-∴=，设()222,84,6,AD AC x x x x AE ==∴+=+∴=∴【点睛】本题综合考查了切线的性质和判定及勾股定理的综合运用．综合性比较强，对于学生的能力要求比较高． 24．(1)4x <；(2)2x ≥-；(3)数轴表示见解析；(4)24x -≤<. 【解析】 【分析】（1）先移项，两边同时除以2即可得答案；（2）去括号、移项，两边同时除以-3即可得答案；(3)根据不等式解集的表示方法解答即可；(4)根据数轴，找出不等式①②的公共解集即可. 【详解】 （1）3x<x+8 移项得：2x<8 系数化为1得：x<4. 故答案为：x<4 （2）4(x+1)≤7x+10 去括号得：4x+4≤7x+10 移项得：-3x≤6 系数化为1得：x≥-2. 故答案为：x≥-2（3）不等式①和②的解集在数轴上表示如图所示：（4）由数轴可得①和②的解集的公共解集为-2≤x<4， ∴原不等式组的解集为-2≤x<4， 故答案为：-2≤x<4 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集的应用，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键． 25．（1）详见解析；（2）45【解析】 【分析】（1）要证明是圆的切线，须证明过切点的半径垂直，所以连接OBB ，证明OB ⊥PE 即可； （2）证明∠PAB ＝∠AOC 即可得到结论. 【详解】（1）证明：连接OB ，∵PA 为⊙O 相切于点A ， ∴∠OAP ＝90° ∵PO ⊥AB ， ∴AC ＝BC ， ∴PA ＝PB ， 在△PAO 和△PBO 中PA PB AO B0PO P0=⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△PAO ≌△PBO （SSS ）， ∴∠OBP ＝∠OAP ＝90°， 即PB ⊥OB ， ∵OB 为⊙O 的半径， ∴PB 是⊙O 的切线；（2）在Rt △ACO 中，OC ＝3，AC ＝4， ∴AO ＝5，∵∠PAB+∠CAO ＝90°，∠AOC+∠CAO ＝90° ∴∠PAB ＝∠AOC ， ∴sin ∠PAB ＝AC AO ＝45． 【点睛】本题考查了切线的判定以及求三角函数值．能够通过角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45°后得到正方形AB 1C 1D 1，边B 1C 1与CD 交于点O ，则图中阴影部分的面积是（ ）A.24π--B.24π- C.142π+D.142π-2．已知P （x ，y ）是直线y ＝1322x -上的点，则4y ﹣2x+3的值为（ ） A ．3B ．﹣3C ．1D ．03．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 在第一象限内，边BC 与x 轴平行，A 、B 两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y ＝3x的图象经过A ，B 两点，则点D 的坐标为( )1，3) +1，3)1，3)+1，3)4．如图，在直角坐标系中，直线AB ：y ＝﹣2x+b ，直线y ＝x 与OA 的垂直平分线交于点C ，与AB 交于点D ，反比例函数y ＝k x 的图象过点C ．当S △CDE ＝32时，k 的值是（ ）A.18B.12C.9D.35．如图，在△ABC 中，∠B 的平分线为BD ，DE ∥AB 交BC 于点E ，若AB ＝9，BC ＝6，则CE 长为（ ）A.185B.165C.145D.1256．若关于x 的不等式组27412x x x k ++⎧⎨-⎩＜＜的解集为x ＜3，则k 的取值范围为（ ）A.k ＞1B.k ＜1C.k≥1D.k≤17．已知甲、乙、丙、丁四位射击运动员在一次比赛中的平均成绩是90环（总环为100环），而乙、丙、丁三位射击运动员的平均成绩是92环，则下列说法不正确的是（ ） A.甲的成绩为84环B.四位射击运动员的成绩可能都不相同C.四位射击运动员的成绩一定有中位数D.甲的成绩比其他三位运动员的成绩都要差 8．如图，AB 是O 的弦，点C 在AB 的延长线上，2AB BC =，连接OA 、OC ，若45OAC ∠=︒，则tan C ∠的值为（ ）A.1B.12C.13D.29．下列运算正确的是（ ） A ．2a ﹣a ＝2 B ．2a+b ＝2abC ．﹣a 2b+2a 2b ＝a 2bD ．3a 2+2a 2＝5a 410．分式方程11122x x=---的解为( ) A ．x ＝1B ．x ＝2C ．无解D ．x ＝411．“五一”长假期间，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动，顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据：下列说法不正确的是（ ）A ．当n 很大时，估计指针落子在”铅笔“区域的概率大约是0.70B ．假如你去转动转盘一次，获得“铅笔”概率大约是0.70C ．如果转动转盘3000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有900次D ．转动转盘20次，一定有6次获得“文具盒”12．如图，直线y ＝kx 和y ＝ax+4交于A （1，k ），则不等式kx ﹣6＜ax+4＜kx 的解集为（ ）A ．1＜x ＜52B ．1＜x ＜3C ．﹣52＜x ＜1 D ．52＜x ＜3 二、填空题13．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cosB ＝23，则BC 的长为_____． 14．在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．如果BC ＝5，CD ＝2，那么AD ＝_____．15．若关于x 的一元二次方程2230x x m -+-=有两个相等的实数根，则m 的值是______________. 16．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，点D 是AB 延长线上一点，∠CBD ＝75°，则∠AOC ＝_____．17．计算：2341()222--÷=______．18．老师用公式()()()22221210133310S x x x ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦计算一组数据1210,,x x x ⋅⋅⋅的方差，由此可知这组数据的和是__________． 三、解答题19．如图，等边△ABC 中，P 是AB 上一点，过点P 作PD ⊥AC 于点D ，作PE ⊥BC 于点E ，M 是AB 的中点，连接ME ，MD ． (1)依题意补全图形；(2)用等式表示线段BE ，AD 与AB 的数量关系，并加以证明； (3)求证：MD ＝ME ．20．（1）解方程：x 21x 1x-=- （2）化简求值：82(2)224x x x x x +-+÷--，其中12x =-.21．为了解八年级学生双休日的课外阅读情况，学校随机调查了该年级25名学生，得到了一组样本数据，其统计表如下：八年级25名学生双休日课外阅读时间统计表（1）请求出阅读时间为4小时的人数所占百分比； （2）试确定这个样本的众数和平均数．22．如图，在下列9×9的网格中，横纵坐标均为整数的点叫做格点，例如：A （1，1）、B （8，3）都是格点，E 、F 为小正方形边的中点，C 为AE 、BF 的延长线的交点． （1）AE 的长等于 ；（2）若点P 在线段AC 上，点Q 在线段BC 上，且满足AP ＝PQ ＝QB ，请在如图示所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ ，并直接写出P 、Q 两点的坐标．23．先化简，再求值：22222244x y x y x y x xy y --÷-+++，其中2x =-，y=12x x -1． 24．（1）计算：（1-22a -）228164a a a -+÷- （2）解不等式组()3321318x x x x -⎧+≥⎪⎨⎪---⎩＜，并求其最小整数解．25．图①、图②均是边长为1的小正方形组成的5X5的网格，每个小正方形的顶点称为格点线段AB 的端点均在格点上．（1）在图①中作正方形ABCD ，正方形ABCD 的面积为___ （2）在图②中作Rt △ABM ，使点M 在格点上，且sin ∠.【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．4 14．3 15．4 16．150°17．132 18．30三、解答题19．(1)见解析；(2)AD+BE ＝12AB ，理由见解析；(3)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题目要求，依据垂线和中点的概念作图即可得；（2）由△ABC是等边三角形知∠A=∠B=60°．结合PD⊥AC，PE⊥BC得∠APD=∠BPE=30°，据此知AD=12 AP，AD=12AP，再根据AD+BE=12（AP+BP）可得答案；（3）取BC中点F，连接MF．知MF=12AC，MF∥12AC．据此得∠MFB=∠ACB=∠A=∠MFE=60°．从而知AM=12AB，AB=AC，MF=MA．根据EF+BE=12BC得AD+BE=12AB．据此知EF=AD．即可证△MAD≌△MFE得出答案．【详解】(1)补全图形如图：(2)线段BE，AD 与AB 的数量关系是：AD+BE＝12 AB，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°．∵PD⊥AC，PE⊥BC，∴∠APD＝∠BPE＝30°，∴AD＝12AP，AD＝12AP．∴AD+BE＝12(AP+BP)＝12AB；(3)取BC中点F，连接MF．∴MF＝12AC．MF∥12AC，∴∠MFB＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠MFE＝60°，∵AM＝12AB，AB＝AC，∴MF＝MA，∵EF+BE＝12 BC，∴AD+BE＝12 AB，∴EF＝AD，∴△MAD≌△MFE(SAS)，∴MD＝ME．【点睛】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握等边三角形和直角三角形的性质、中位线定理及全等三角形的判定与性质等知识点．20．(1) x＝2;(2)3.【解析】【分析】（1）先去分母，把分式方程化为整式方程，求出x的值，再把x的值代入公分母进行检验；（2）先根据分式混合运算的法则把原式化简，再把x的值代入进行计算即可．【详解】（1）去分母得：x2﹣2x+2＝x2﹣x，解得：x＝2，检验：当x＝2时，方程左右两边相等，所以x＝2是原方程的解；（2）原式＝24482(2) ()222 x x x xx x x-+-+⋅--+＝2(+2)2xx-2(2)2xx-⋅+＝2（x+2）＝2x+4，当12x=-时，原式＝2×（﹣12）+4＝﹣1+4＝3．【点睛】本题考查的是分式的化简求值及解分式方程，在解分式方程时要注意验根．21．（1）28%；（2）众数4小时；平均数3.36小时【解析】【分析】（1）先求得阅读时间为4小时的人数，然后除以被调查的人数即可求得其所占的百分比；（2）利用众数及加权平均数的定义确定答案即可．【详解】（1）阅读量为4小时的有25﹣3﹣4﹣6﹣3﹣2=7，所以阅读时间为4小时的人数所占百分比为725⨯100%=28%；（2）阅读量为4小时的人数最多，所以众数为4小时，平均数为（1×3+2×4+3×6+4×7+5×3+6×2）÷25=3.36（小时）．【点睛】本题考查了确定一组数据的加权平均数和众数的能力，比较简单．22．（1）AE；（2）如图，线段PQ即为所求．见解析；P（3，4），Q（6，6）．【解析】（1）根据勾股定理即可得到结论；（2）取格点M ，连接AM ，并延长与BC 交于Q ，连接PQ ，则线段PQ 即为所求．【详解】（1）AE =故答案为：2； （2）如图，AC 与网格线相交，得到P ，取格点M ，连接AM ，并延长与BC 交于Q ，连接PQ ，则线段PQ 即为所求．故答案为：AC 与网格线相交，得到P ，取格点M ，连接AM ，并延长与BC 交于Q ，连接PQ ，则线段PQ 即为所求．∴P （3，4），Q （6，6）．【点睛】本题考查了作图﹣应用与设计作图，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．23．﹣x x y+；4﹣． 【解析】【分析】此题考查分式化简求值，解题关键在于将x ，y 的值代入化简后的式子求值．【详解】 原式＝2x y x y -+×2(2)()()x y x y x y +-+﹣2＝﹣x x y +；当x ＝2，y ＝﹣1时，4﹣． 【点睛】本题考查分式先化简再求值，解题关键在于分母有理化时要仔细．24．(1)24a a +-;(2) 最小整数解是x=-1 【解析】（1）直接将原式分解因式，将括号里面通分化简，进而求出答案；（2）分别解不等式，进而得出不等式的解集，进而得出答案．【详解】（1）（1-22a -）228164a a a -+÷- =()()222222(4)a a a a a +---⋅-- =()()22242(4)a a a a a +--⋅-- =24a a +-； （2）()33;21318;x x amp x x amp -⎧+≥⎪⎨⎪---⎩①＜②由不等式①，得x≤3由不等式②，得x ＞-2，故原不等式组的解集是-2＜x≤3，故该最小整数解是x=-1．【点睛】此题考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，分式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则25．（1）详见解析；（2）详见解析；【解析】【分析】（1）根据正方形的性质画出图形，利用勾股定理解答即可；（2）根据三角函数解答即可．【详解】（1）如图①所示：正方形ABCD 即为所求：正方形ABCD，正方形ABCD 的面积10，故答案为：10．（2）如图②所示：△ABM即为所求：【点睛】此题考查作图-复杂作图，解题关键在于掌握勾股定理.。
最新2019安徽中考数学专题训练——--圆的综合题
圆的综合题1.如图，在△ABC 中，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，AE 平分∠BAC 交BC 于点E ，交CD 于点F ，且CE ＝CF . (1)求证：直线CA 是⊙O 的切线； (2)若BD ＝43DC ，求CFDF的值．第1题图（1）证明：∵CE ＝CF ， ∴∠CEF ＝∠CFE ， ∵∠AFD ＝∠CFE ， ∴∠CEF ＝∠AFD . ∵BC 是⊙O 的直径， ∴DC ⊥AB ，即∠ADC ＝90°， ∴∠DAF ＋∠AFD ＝90°. ∵AE 平分∠BAC ， ∴∠DAF ＝∠EAC ， ∴∠EAC ＋∠AEC ＝90°， ∴∠ACB ＝90°，即AC ⊥BC ， ∵OC 是⊙O 的半径， ∴直线CA 是⊙O 的切线；(2)解：如解图，过点F 作FG ⊥AC 于点G ，第1题解图∵∠B ＋∠BCD ＝90°，∠BCD ＋∠ACD ＝90°， ∴∠ACD ＝∠B .∵AE 平分∠BAC ，∴FG ＝DF ，∵BD ＝43DC ，∴BC ＝22CD BD ＝53CD ，∴在Rt △BCD 中，sin B ＝BC CD ＝35， 在Rt △CFG 中，sin ∠FCG ＝FC FG＝sin B ＝35，∴CF DF ＝FC FG ＝35.2. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，OD ∥BC 交⊙O 于点D ，交AC 于点E ，连接AD ，BD ，CD . (1)求证：AD ＝CD ；(2)若AB ＝10，cos ∠ABC ＝35，求tan ∠DBC 的值．第2题图（1）证明：∵AB 为⊙O 直径， ∴∠ACB ＝90°. 又∵OD ∥BC ，∴∠AEO ＝∠ACB ＝90°， ∴OD ⊥AC ， ∴AD ＝CD ；（2）解：∵AB ＝10， ∴OA ＝OD ＝12AB ＝5，∵OD ∥BC ， ∴∠AOE ＝∠ABC . 在Rt △AEO 中，OE ＝OA ·cos ∠AOE ＝OA ·cos ∠ABC ＝5×35＝3，∴DE ＝OD －OE ＝5－3＝2.由勾股定理得，AE ＝22OE AO ＝52－32＝4，在Rt △AED 中，tan ∠DAE ＝AE DE ＝24＝12.又∵∠DBC ＝∠DAE ， ∴tan ∠DBC ＝12.3. 如图，点A ，B ，C 在 ⊙O 上，连接PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，(1)求∠P的度数；(2)若⊙O的半径长为4 cm，求图中阴影部分的面积．第3题图解：(1)如解图，连接OA，OB，第3题解图∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∴∠PAO＝90°，∠PBO＝90°，∴∠AOB＋∠P＝180°，∵∠AOB＝2∠ACB＝120°，∴∠P＝60°；(2)如解图，连接OP，∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∴∠APO＝12∠APB＝30°.在Rt△APO中，tan30°＝APOA，则AP＝30tanOA，∵OA＝4 cm，∴阴影部分的面积为2×(12×4×43－3604602⨯⨯π)＝(163－163π) cm 2.4.如图所示,AB 为⊙0的直径,PD 切⊙0于点C ,与BA 的延长线交于点D ,DE ⊥PO 交PO 延长线于点E ,连接PB , ∠EDB =∠EPB .(1)求证:PB 是⊙O 的切线; (2)若PB =6,DB =8,求⊙O 的半径.第4题图（1）证明：∵DE ⊥PE ， ∴∠E =90°， ∴∠DOE +∠EDO =90°， ∵∠EDB +∠EPB ,∠DOE =∠POB ， ∴∠EPB +∠POB =90°，∴∠OBP =90°，∴OB ⊥PB ， ∵OB 为⊙O 的半径， ∴PB 是⊙O 的切线；（2）解：设⊙O 的半径为x ，则OD =8-x ， 由（1）得∠PBD =90°，∴在Rt △PBD 中，PD =22BD PB =10， ∵PD 为⊙O 的切线，∴OC ⊥PD ，∴S △POD =21PD ×OC =21OD ×PB ，即10x =6（8-x ）， 解得x =3， ∴⊙O 的半径为3.5. 如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 为⊙O 的切线，A 和B 为切点，AC 为直径，连接BC ，PO ． (1)求证：BC ∥PO ；(2)若AP ＝8，BC ＝7.2，求PO 的长．第5题图(1)证明：如解图，连接AB 交OP 于点M ，连接BO ，第5题解图∵PA ，PB 是⊙O 的切线， ∴PA ＝PB ， ∵OA ＝OB ， ∴PO 垂直平分AB ， ∴∠AMO ＝90°， ∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠CBA ＝90°， ∴∠CBA ＝∠AMO ， ∴BC ∥OP ；(2)解：由(1)知PO 垂直平分AB ， ∴AB ⊥OP ，AM ＝BM ， ∵OA ＝OC ，∴OM 为△ABC 的中位线， ∴OM ＝12BC ＝3.6，∵∠PAO ＝∠PMA ＝90°，∠APO ＝∠MPA ， ∴△PAO ∽△PMA ， ∴PA PO PM PA =，即6.38-PO ＝8PO， 解得PO ＝10.6.如图,AD是⊙O的切线,切点为A,AB是⊙O的弦.过点B作BC//AD,交⊙O 于点C,连接AC,过点C作CD//AB,交AD于点D.连接AO并延长交BC于点M,交过点C的直线于点P,且∠BCP=∠ACD.（1）判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由;（2）若AB=9, BC=6.求PC的长.第6题图解：（1）直线PC与⊙O相切，理由如下：如解图，连接CO并延长交⊙O于点E，连接EB，第6题解图∵CE是⊙O的直径，∴∠EBC=90°，∴∠E+∠BCO=90°，∵CD∥AB，∴∠ACD=∠BAC，∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD，∴∠E=∠BCP，∴∠BCP +∠BCO =90°，即∠PCO =90°， ∴OC ⊥PC ， ∵OC 是⊙O 的半径， ∴PC 是⊙O 的切线； （2）∵AD 是⊙O 的切线， ∴OA ⊥AD ，∵BC ∥AD ，∴AM ⊥BC ， ∴BM =CM =21BC =3，AC =AB =9，在Rt △AMC 中，由勾股定理得22CM AC AM -==62, 设OC =r ，则OM =62-r ，在Rt △OMC 中，由勾股定理得222OC CM OM =+，即()222326r r =+-，解得8227=r ，即8227=OC ， ∴OM =62-8227=8221， ∵OC ⊥PC ，∴∠MCP +∠MCO =90°， 又∵AM ⊥BC ， ∴∠MOC +∠MCO =90°， ∴∠MOC =∠MCP ， ∵∠OMC =∠CMP ， ∴△OMC ∽△CMP ，∴CMOM PC OC =，即382218227=PC ，解得727PC ， ∴PC 的长为727.7.如图所示，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D ，E ，点F 在AC 的延长线上，且∠CBF =21∠CAB . （1）求证：直线BF 是⊙O 的切线； （2）若AB =5，BC =25，求cos ∠CBF .第7题图 （1）证明：如解图，连接AE ，第7题解图∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB =90°， ∵AB =AC ， ∴∠BAE =21∠CAB ， 又∵∠CBF =21∠CAB ， ∴∠BAE =∠CBF ， ∴∠EAB +∠ABE =90°，∴∠CBF+∠ABC=90°，即∠ABF=90°，∴AB⊥BF，又∵AB为⊙O的直径，∴直线BF为⊙O的切线；（2）由（1）得∠BAE=∠CBF，∠AEB=90°，∴cos∠CBF=cos∠BAE=ABAE，在Rt△ABE中，AB=5，BE=5，∴AE=22BEAB =25，∴cos∠CBF=552.8.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.(1)求证：PO平分∠APC；(2)连接BD，若∠C＝30°，求∠DBP的大小．第8题图(1)证明：如解图，连接OB.第8题解图∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP.∵OA ＝OB ， ∴PO 平分∠APC ；(2)解：∵OA ⊥AP ，OB ⊥BP ， ∴∠CAP ＝∠OBP ＝90°， ∵∠C ＝30°，∴∠APC ＝90°－∠C ＝90°－30°＝60°. ∵PO 平分∠APC ，∴∠OPC ＝12∠APC ＝12×60°＝30°，∴∠POB ＝90°－∠OPC ＝90°－30°＝60°， 又∵OD ＝OB ，∴△OBD 是等边三角形，∴∠OBD ＝60°， ∴∠DBP ＝90°－∠OBD ＝90°－60°＝30°.9.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以BC 为直径的 ⊙O 交AB 于点D ，E 是AC 的中点，OE 交CD 于点F . (1)若∠BCD ＝36°，BC ＝10，求BD ︵的长； (2)判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (3)求证：2CE 2＝AB ·EF .第9题图（1）解：如解图，连接OD ，第9题解图∵∠BCD ＝36°，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝2×36°＝72°， ∵BC 是⊙O 的直径，BC ＝10， ∴OB ＝5， ∴l BD ︵＝180572⨯π＝2π； (2)解：DE 是⊙O 的切线；理由如下： ∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝180°－∠BDC ＝90°， 又∵点E 是线段AC 中点， ∴DE ＝12AC ＝EC ，在△DOE 与△COE 中，⎪⎩⎪⎨⎧===CE DE OE OE OC OD ， ∴△DOE ≌△COE (SSS)． ∵∠ACB ＝90°， ∴∠ODE ＝∠OCE ＝90°， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴DE 是⊙O 的切线；(3)证明：由(2)知，△DOE ≌△COE ，∴OE 是线段CD 的垂直平分线， ∴点F 是线段CD 中点，∵点E 是线段AC 中点，则EF ＝12AD ，∵∠BAC ＝∠CAD ，∠ADC ＝∠ACB ， ∴△ACD ∽△ABC ， 则ACADAB AC，即AC 2＝AB ·AD ， 而AC ＝2CE ，AD ＝2EF ， ∴(2CE )2＝AB ·2EF ， 即4CE 2＝AB ·2EF ， ∴2CE 2＝AB ·EF .10.如图，点A ，B ，C ，D 是直径为AB 的⊙O 上的四个点，CD ＝BC ，AC 与BD 交于点E .(1)求证：DC 2＝CE ·AC ； (2)若AE ＝2EC ，求AOAD的值； (3)在(2)的条件下，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点H ，若S △ACH ＝9 3 ，求EC 的长．第10题图(1)证明：∵CD ＝BC ， ∴CD ︵＝BC ︵， ∴∠BDC ＝∠DAC ，∵∠DCE ＝∠ACD ， ∴△CDE ∽△CAD ， ∴CDCECA CD =， ∴DC 2＝CE ·AC ；(2)解：如解图，连接OE ，设CE ＝x ，第10题解图∵AE ＝2CE ， ∴AE ＝2x ， ∴AC ＝AE ＋CE ＝3x ， 由(1)知，CD 2＝x ·3x ＝3x 2， ∴CD ＝3x ， ∵CD ＝BC ， ∴BC ＝3x . ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，在Rt △ABC 中，根据勾股定理得，AB ＝22BC AC +＝23x ， ∴OA ＝OB ＝12AB ＝3x ，∴OB ＝OC ＝BC ， ∴△BOC 是等边三角形， ∵CD ︵＝BC ︵， ∴OC ⊥BE ，∴OE ＝12OB ＝32x ，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°＝∠OEB ， ∴OE ∥AD ， ∵OA ＝OB ， ∴AD ＝2OE ＝3x ， ∴OA AD ＝xx 33＝1； (3)解：由(2)知，△BOC 是等边三角形， ∴∠BOC ＝60°， ∵CH 是⊙O 的切线， ∴∠OCH ＝90°， ∴∠CHO ＝30°， ∴OH ＝2OC ，∵OH ＝OB ＋BH ＝OC ＋BH ， ∴OB ＝BH ， ∴OA ＝OB ＝BH ， ∴S △ACH ＝3S △BOC ＝93， ∴S △BOC ＝33，∵S △BOC ＝34OB 2＝34×(3x )2＝33，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2， ∴EC 的长为2.11.如图①，AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E . (1)求证：DE 是⊙O 的切线; (2)若AB ＝10，AC ＝6，求BD 的长；(3)如图②，若F 是OA 的中点，FG ⊥OA 交直线DE 于点G ，若FG ＝194，tan∠BAD ＝34，求⊙O 的半径．图① 图②第11题图（1）证明：如解图①，连接OD ，第11题解图①∵OA ＝OD ， ∴∠OAD ＝∠ODA ， ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠OAD ＝∠DAE ， ∴∠ODA ＝∠DAE ，∴OD∥AE，∴∠ODE＋∠AED＝180°，∵∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(2)解：如解图①，连接BC，交OD于点N，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∵OD∥AE，O是AB的中点，∴ON∥AC，且ON＝12 AC，∴∠ONB＝90°，且ON＝3，OB=5，则BN＝4，ND＝2，∴BD＝42＋22＝25；（3）解：如解图②，设FG与AD交于点H，过点G作GM⊥HD，交HD于点M，第11题解图②H根据题意，设AB ＝5x ，AD ＝4x ，则AF ＝54x ，FH ＝AF ·tan ∠BAD ＝54x ·34＝1516x ，AH ＝BADAF∠cos ＝5445x ＝2516x ，HD ＝AD －AH ＝4x －2516x ＝3916x ，由（1）可知，∠HDG ＋∠ODA ＝90°， 在Rt △HFA 中，∠FAH ＋∠FHA ＝90°， ∵∠OAD ＝∠ODA ，∠FHA ＝∠DHG ， ∴∠DHG ＝∠HDG ，∴GH ＝GD ， ∴MH ＝MD ，∴HM ＝12HD ＝12×3916x ＝3932x ，∵∠FAH ＋∠AHF ＝90°，∠MHG ＋∠HGM ＝90°， ∴∠FAH ＝∠HGM ，在Rt △HGM 中，HG ＝HGMHM ∠sin ＝533239x ＝6532x ， ∵FH ＋GH ＝194，∴1516x ＋6532x ＝194， 解得x ＝85，∴⊙O 的半径为5825⨯=4. 山西阳城阳泰集团伏岩煤业有限公司为贯彻落实国家安全监管总局、国家煤矿安监局关于开展煤矿全面安全“体检”专项工作，进一步加强公司安全生产基础工作，有效防范和坚决遏制重特大事故的发生，努力实现全年安全稳定目标，根据《国家安全监管总局国家煤矿安监局关于开展煤矿全面安全体检专项工作的通知》（安监总煤监【2017】11号）文件要求，结合公司实际，特制定本方案。
【中考专题】天津市南开区 2019年中考数学 圆 解答题 专题复习 15题(含答案)
2019年中考数学圆解答题专题复习1.如图，AC是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是弧CD的中点，连接AE交BC于点F，∠ABC=2∠EAC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若tanB=4/3，BD=6，求CF的长．2.如图,AB是⊙O的直径,过圆心O作弦AD垂线交半⊙O于点E,交AC于点C,使∠BED=∠C．（1）求证：AC是半⊙O的切线；（2）若AC=8，cos∠BED=0.8，求线段AD的长．3.如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G、F两点．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）若等边三角形ABC的边长是4，求线段BF的长？4.如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED=EA．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若⊙O半径为2.5，OE=10时，求DE的长．5.如图，在△ABC中，AB=AC．以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．过E点作⊙O的切线，交AB于点F．（1）求证：EF⊥AB；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．6.如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点P，连接BC．（1）求证：∠PCA=∠B；（2）已知∠P=40°，AB=12cm，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q与点C不重合），当△ABQ与△ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长．7.如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为点D．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若CD=3，tan∠DAC=0.5，求⊙O的直径．8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O，与斜边AB交于点D、E为BC边的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）填空：①若∠B=30°，AC=2，则DE= ；②当∠B= °时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．9.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E作直线l//BC．（1）判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F.求证：BE=EF；（3）在（2）的条件下，若DE=4,DF=3,求AF的长．10.如图，已知AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，与直径相交于点E，tan∠D=0.5.(1)求tan∠ABC；(2)若D为半圆中点，CE=4，DE=5，求BC及⊙O的半径.11.如图，△ABC内接于⊙O，且BC是⊙O的直径，AD⊥BC于D，F是弧BC中点，且AF交BC于E，连接OA，（1）求证：AE平分∠DAO；（2）若AB=6，AC=8，求OE的长．12.如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,点E在CB的延长线上,连结AC、AE,∠ACB=∠BAE=45°．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若AB=AD，AC=，tan∠ADC=3，求BE的长．13.如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线DE，F为射线BD上一点，连接CF.（1）求证：CBE=A；（2）若⊙O 的直径为5，BF=2，tanA=2.求CF的长．14.如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC，交⊙O于点D，交AC于点E，连接BD，BD交AC于点F，延长AC到点P，连接PB．（1）若PF=PB，求证：PB是⊙O的切线；（2）如果AB=10，cos∠ABC=0.6，求CE的长度．15.如图,直径为10的半圆O,tan∠DBC=0.75,∠BCD平分线交⊙O于F，E为CF延长线上一点，且∠EBF=∠GBF．（1）求证：BE为⊙O切线；（2）求证：BG2=FG∙CE;；（3）求OG的值．答案1.2.3.解：（1）过点O作OM⊥AB，垂足是M．∵⊙O与AC相切于点D．∴OD⊥AC，∴∠ADO=∠AMO=90°．∵△ABC是等边三角形，∴∠DAO=∠MAO，∴OM=OD．∴AB与⊙O相切；（2）过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF．∵AB=AC，AO⊥BC，∴O是BC的中点，∴OB=2．在直角△OBM中，∠MBO=60°，∴OM=OB•sin60°=，BM=OB•cos60°=1．∵BE⊥AB，∴四边形OMBN是矩形．∴ON=BM=1，BN=OM=．∵OF=OM=，由勾股定理得NF=．∴BF=BN+NF=+．4.5.解：（1）证明：如图1所示：连结OE．∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．又∵OE=OC，∴∠OEC=∠ACB，∴∠OEC=∠ABC．∴OE∥AB．∵EF与⊙O 相切，∴OE⊥EF．∴∠OEF=90°．∵OE∥AB，∴∠AFE=90°．∴OE⊥AB．（2）如图2所示：连结DE、AE．∵四边形ACED为⊙O的内接四边形，∴∠DEC+∠BAC=180°．又∵∠DEB+∠DEC=180°，∴∠BED=∠BAC．又∵∠B=∠B，∴△BED∽△BAC．∴BE:AB=BD:BC．∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°．∵在△ABC中，AB=AC，∴BE=CE=3，∴BC=6．∴3：AB=2：6，∴AB=9．即AC=AB=9．6.7.8.9.10.解：（1）连接AC，tan∠ABC=2；（2）证明△BCE∽△DCB，BC2=CE×CD，BC=6，半径r=6.11.（1）证明：连接OA，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∴∠C+∠B=90°，∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD=90°，∴∠BAD=∠C，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C，∴∠BAD=∠OAC，∵F是弧BC中点，∴∠BAF=∠CAF，∴∠DAE=∠OAE，即AE平分∠DAO；（2）解：连接OF，∵∠BOF=2∠BAF=∠BAC=90°，∴OF⊥BC，∵AD⊥BC，∴OF∥AD，∴DE：OE=AD：OF，∵AB=6，AC=8，∴BC=AB2+AC2=10，∴AD=AB•ACBC=4.8，∴BD=AB2−AD2=3.6，∴OD=OB-BD=5-3.6=1.4，∴DE：OE=4.8：5=24：25，∴OE=5/7.12.13.14.（1）证明：如图，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．又∵OD∥BC，∴∠CBD=∠ODB．∴∠CBD=∠OBD．∵PF=PB，∴∠PFB=∠PBF，又∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，即∠BCF=90°，∴∠PFB+∠CBD=90°，∴∠PBF+∠OBD=90°．又∵AB是直径，∴PB是⊙O的切线；（2）解：∵AB=10，cos∠ABC=0.6，∠ACB=90°，∴AC:AB=0.6，即AC:10=0.6，则AC=6．又∵OD∥BC，点O是AB的中点，∴OD垂直平分AC．则CE=0.5AC=3．15.。
【中考专题】2019年 中考数学 圆 解答题 专项练习(含答案)
2019年中考数学圆解答题专项练习1.如图，在△ABC中，AB=AC，E是BC中点，点O在AB上，以OB为半径的⊙O经过点AE上的一点M，分别交AB，BC于点F，G，连BM，此时∠FBM=∠CBM．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）当BC=6，OB：OA=1：2 时，求，AM，AF围成的阴影部分面积．2.如图，DC是⊙O的直径，点B在圆上，直线AB交CD延长线于点A，且∠ABD=∠C．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若AB=4cm，AD=2cm，求tanA的值和DB的长．3.如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC交OP于点D．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PD=，AC=8，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，若点E是的中点，连接CE，求CE的长．4.如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，（1）求证：OD∥BE；（2）如果OD=6cm，OC=8cm，求CD的长．5.如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC边上一点，且DA=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O 的直径，连接DE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若sinC=，AC=12，求⊙O的直径．6.如图，AC是⊙O的直径，BF是⊙O的弦，BF⊥AC于点H，在BF上截取KB=AB，AK的延长线交⊙O于点E，过点E作PD∥AB，PD与AC、BF的延长线分别交于点D、P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AK=，tan∠BAH=，求⊙O半径的长．7.已知点A、B在半径为1的⊙O上，直线AC与⊙O相切，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．（Ⅰ）如图①，若∠OCA=60°，求OD的长；（Ⅱ）如图②，OC与⊙O交于点E，若BE∥OA，求OD的长．8.如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA, ⊙0是△ABC的外接圆，AD是⊙0的直径，且交BP于点E.(1)求证：PA是⊙O的切线；(2)过点C作CF⊥AD于点F，延长CF交AB于点G，若AC·AB=48，求AC的长；(3)在满足(2)的条件下，若AF：FD=1：2, CF=2，求⊙0的半径及sin∠ACE的值.9.如图,己知AB是⊙O的直径,且AB=4,点C在半径OA上(点C与点O、点A不重合),过点C作AB的垂线交⊙O于点D.连接OD,过点B作OD的平行线交⊙O于点E,交CD的延长线于点F.(1)若点E是弧BC的中点,求∠F的度数;(2)求证:BE=2OC;(3)设AC=x,则当x为何值时BE·EF的值最大? 最大值是多少?10.如图，已知△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于F．（1）求证：AE=BE；（2）求证：FE是⊙O的切线；（3）若FE=4，FC=2，求⊙O的半径及CG的长．11.如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC中点，DE⊥AB，垂足为E，交AC的延长线于点F．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）若CF=3，cosA=0.4，求出⊙O的半径和BE的长；（3）连接CG，在（2）的条件下，求CG:EF的值．12.如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心，经过A，C两点且与BC边交于点E，点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若AB=BF．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若CF=4，DF=，求⊙O的半径r及sinB．13.如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径，过点A的切线与CB的延长线交于点E．（1）求证：EA2=EB•EC；（2）若EA=AC，cos∠EAB=0.8,AE=12，求⊙O的半径．14.如图，在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长．15.如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AE上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF•DB；（3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长和⊙O的半径．16.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E作直线l//BC．（1）判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F.求证：BE=EF；（3）在（2）的条件下，若DE=4,DF=3,求AF的长．答案1.解：（1）连结OM，∵AB=AC，E是BC中点，∴BC⊥AE，∵OB=OM，∴∠OMB=∠MBO，∵∠FBM=∠CBM，∴∠OMB=∠CBM，∴OM∥BC，∴OM⊥AE，∴AM是⊙O的切线；（2）∵E是BC中点，∴BE=BC=3，∵OB：OA=1：2，OB=OM，∴OM：OA=1：2，∵OM⊥AE，∴∠MAB=30°，∠MOA=60°，OA：BA=1：3，∵OM∥BC，∴△AOM∽△ABE，∴==，∴OM=2，∴AM==2，∴S阴影=×2×2﹣=2﹣π．2.（1）证明：连结OB，如图所示：∵OB=OD，∴∠ODB=∠OBD，∵DC是⊙O的直径，∴∠DBC=90°，∴∠CDB+∠C=90°，∵∠ABD=∠C，∴∠OBD+∠ABD=90°，即∠OBA=90°，∴OB⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）解：设半径为r，则OA=x+2，在Rt△AOB中，根据勾股定理得：x2+42=（x+2）2，解得：r=3，∴tanA==，∵∠A=∠A，∠ABD=∠C，∴△ADB∽△ACB，∴==，设DB=x，则BC=2x，∵CD=6，∴由勾股定理得：x2+（2x）2=62，解得：x=，即DB的长为．3.（1）证明：如图1，连接OC，∵PA切⊙O于点A，∴∠PAO=90°，∵BC∥OP，∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB，∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∴∠AOP=∠COP，在△PAO和△PCO中，，∴△PAO≌△PCO，∴∠PCO=∠PAO=90°，∴PC是⊙O的切线；（2）解：由（1）得PA，PC都为圆的切线，∴PA=PC，OP平分∠APC，∠ADO=∠PAO=90°，∴∠PAD+∠DAO=∠DAO+∠AOD，∴∠PAD=∠AOD，∴△ADP∽△ODA，∴，∴AD2=PD•DO，∵AC=8，PD=，∴AD=AC=4，OD=3，AO=5，由题意知OD为△的中位线，∴BC=6，OD=6，AB=10．∴S阴=S⊙O﹣S△ABC=﹣24；（3）解：如图2，连接AE、BE，作BM⊥CE于M，∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90°，∵点E是的中点，∴∠ECB=∠CBM=∠ABE=45°，CM=MB=3，BE=AB•cos45°=5，∴EM==4，则CE=CM+EM=7．4.5.（1）证明：∵AB=AC，AD=DC，∴∠C=∠B，∠1=∠C，∴∠1=∠B，又∵∠E=∠B，∴∠1=∠E，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°，∴∠E+∠EAD=90°，∴∠1+∠EAD=90°，即∠EAC=90°，∴AE⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：过点D作DF⊥AC于点F，如图，∵DA=DC，∴CF=AC=3，在Rt△CDF中，∵sinC==，设DF=4x，DC=5x，∴CF==3x，∴3x=3，解得x=1，∴DC=5，∴AD=5，∵∠ADE=∠DFC=90°，∠E=∠C，∴△ADE∽△DFC，∴=，即=，解得AE=，即⊙O的直径为．6.解：（1）连接OE，∵OE=OA，∴∠OEA=∠OAE，∵PD∥AB，∴∠PEA=∠BAE，∵KB=AB，∴∠AKB=∠BAE，∴∠PEA=∠AKB，∵BF⊥AC，H为垂足，∴∠OAE+∠AKB=90°∴∠OEA+∠PEA=90°，即OE⊥PD，∴PD是⊙O的切线；（2）解：∵tan∠BAH=，BF⊥AC，H为垂足，且KB=AB，在Rt△ABH和Rt△AKH中，设AH=3n，则BH=4n，AB=5n，KH=n，∴由AH2+KH2=AK2，即（3n）2+n2=（）2，解得n=1，∴AH=3，BH=4，设⊙O半径为R，则在Rt△OBH中，OH=R﹣3，由OH2+BH2=OB2，即（R﹣3）2+42=R2，解得：R=，∴⊙O半径的长为．7.解：（1）∵AC与⊙O相切，∴∠OAC=90°．∵∠OCA=60°，∴∠AOC=30°．∵OC⊥OB，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°．∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴OD=AD，∠DAC=60°∴AD=CD=AC．∵OA=1，∴OD=AC=OA•tan∠AOC=．（2）∵OC⊥OB，∴∠OBE=∠OEB=45°．∵BE∥OA，∴∠AOC=45°，∠ABE=∠OAB，∴OA=AC，∠OAB=∠OBA=22.5°，∴∠ADC=∠AOC+∠OAB=67.5°．∵∠DAC=90°﹣∠OAB=67.5°=∠ADC，∴AC=CD．∵OC==，∴OD=OC﹣CD=﹣1．8.解：9.解：（1）如图1，连接OE．∵弧DE=弧BE，∴∠BOE=∠EOD，∵OD∥BF，∴∠DOE=∠BEO，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，∵CF⊥AB，∴∠FCB=90°，∴∠F=30°；（2）连接OE，过O作OM⊥BE于M，∵OB=OE ，∴BE=2BM ，∵OD ∥BF ，∴∠COD=∠B ，在△OBM 与△ODC 中∠OCD=∠OMB=90°，∠COD=∠B ，OD=OM ，∴△OBM ≌△ODC ，∴BM=OC ，∴BE=2OC ；（3）∵OD ∥BF ，∴△COD ∽△CBF ，∴OC:BC=OD:BF ，∵AC=x ，AB=4，∴OA=OB=OD=2，∴OC=2-x ，BE=2OC=4-2x ， ∴BFx x 242=--， ∴x x BF --=228， ∴EF=BF-BE=xx x -+-2622， ∴BE •EF=xx x -+-2622•2（2-x ）=-4x2+12x=-4（x-1.5）2+9， ∴当x=1.5时，最大值=9．10.（1）证明：连接CE ，如图1所示：∵BC 是直径，∴∠BEC=90°，∴CE ⊥AB ；又∵AC=BC ，∴AE=BE ．（2）证明：连接OE ，如图2所示：∵BE=AE ，OB=OC ，∴OE 是△ABC 的中位线，∴OE ∥AC ，AC=2OE=6．又∵EG ⊥AC ，∴FE ⊥OE ，∴FE 是⊙O 的切线．（3）解：∵EF 是⊙O 的切线，∴FE 2=FC •FB ．设FC=x ，则有2FB=16，∴FB=8，∴BC=FB ﹣FC=8﹣2=6，∴OB=OC=3，即⊙O 的半径为3；∴OE=3，∵OE ∥AC ，∴△FCG ∽△FOE ，∴，即，解得：CG=．11.（1）证明：如图，连结OD ．∵CD=DB，CO=OA，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，即OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线；（2）解：∵OD∥AB，∴∠COD=∠A．在Rt△DOF中，∵∠ODF=90°，∴cos∠FOD=0.4，设⊙O的半径为R，则=，解得R=2，∴AB=2OD=4．在Rt△AEF中，∵∠AEF=90°，∴cos∠A===，∴AE=，∴BE=AB﹣AE=4﹣=；（3）解：连接CG，则∠AGC=90°，∵DE⊥AB，∴∠AEF=90°，∴CG∥EF，∴====．12.解:（1）证明：连OA、OD,如图,∵点D为CE下半圆弧中点,∴OD⊥BC,∴∠EOD=90°，∵AB=BF，OA=OD，∴∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D，而∠BFA=∠OFD，∴∠OAD+∠BAF=∠D+∠BFA=90°,即∠OAB=90°,∴OA⊥AB,∴AB是⊙O切线；（2）解：OF=CF﹣OC=4﹣r，OD=r，DF=，在Rt△DOF中，OD2+OF2=DF2，即r2+（4﹣r）2=（）2，解得r1=3，r2=1（舍去）；∴半径r=3，∴OA=3，OF=CF﹣OC=4﹣3=1，BO=BF+FO=AB+1．在Rt△AOB中，AB2+OA2=OB2，∴AB2+32=（AB+1）2，∴AB=4，OB=5，∴sinB=0.．13.14.（1）证明：连接CD,如图,∵AD是⊙O的直径,∴∠ACD=90°,∴∠CAD+∠D=90°，∵∠PAC=∠PBA，∠D=∠PBA，∴∠CAD+∠PAC=90°，即∠PAD=90°，∴PA⊥AD，∴PA是⊙O的切线；（2）解：∵CF⊥AD，∴∠ACF+∠CAF=90°，∠CAD+∠D=90°，∴∠ACF=∠D，∴∠ACF=∠B，而∠CAG=∠BAC，∴△ACG∽△ABC，∴AC：AB=AG：AC，∴AC2=AG•AB=12，∴AC=2．15.16.。
人教中考数学专题复习分类练习 圆的综合综合解答题附详细答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于F．（1）求证：AE=BE；（2）求证：FE是⊙O的切线；（3）若FE=4，FC=2，求⊙O的半径及CG的长．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.【解析】（1）证明：连接CE，如图1所示：∵BC是直径，∴∠BEC=90°，∴CE⊥AB；又∵AC=BC，∴AE=BE．（2）证明：连接OE，如图2所示：∵BE=AE，OB=OC，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，AC=2OE=6．又∵EG⊥AC，∴FE⊥OE，∴FE是⊙O的切线．（3）解：∵EF是⊙O的切线，∴FE2=FC•FB．设FC=x，则有2FB=16，∴FB=8，∴BC=FB﹣FC=8﹣2=6，∴OB=OC=3，即⊙O的半径为3；∴OE=3．∵OE∥AC，∴△FCG∽△FOE，∴，即，解得：CG=．点睛：本题利用了等腰三角形三线合一定理，三角形中位线的判定，切割线定理，以及勾股定理，还有平行线分线段成比例定理，切线的判定等知识．2．已知：如图，在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以OD的长为半径的⊙O与AD，BD分别交于点E、点F，且∠ABE=∠DBC．（1）判断直线BE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若sin∠ABE=33，CD=2，求⊙O的半径．【答案】（1）直线BE 与⊙O 相切，证明见解析；（2）⊙O 的半径为32． 【解析】分析：（1）连接OE ，根据矩形的性质，可证∠BEO =90°，即可得出直线BE 与⊙O 相切； （2）连接EF ，先根据已知条件得出BD 的值，再在△BEO 中，利用勾股定理推知BE 的长，设出⊙O 的半径为r ，利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r 的值． 详解：（1）直线BE 与⊙O 相切．理由如下：连接OE ，在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠ADB =∠DBC ． ∵OD =OE ，∴∠OED =∠ODE ． 又∵∠ABE =∠DBC ，∴∠ABE =∠OED ， ∵矩形ABDC ，∠A =90°，∴∠ABE +∠AEB =90°，∴∠OED +∠AEB =90°，∴∠BEO =90°，∴直线BE 与⊙O 相切；（2）连接EF ，方法1：∵四边形ABCD 是矩形，CD =2，∴∠A =∠C =90°，AB =CD =2． ∵∠ABE =∠DBC ，∴sin ∠CBD =33sin ABE ∠= ∴23DCBD sin CBD∠==在Rt △AEB 中，∵CD =2，∴22BC =． ∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ，∴2222DC AE AEAE BC AB ，，==∴=， 由勾股定理求得6BE =在Rt △BEO 中，∠BEO =90°，EO 2+EB 2=OB 2．设⊙O 的半径为r ，则222623r r +=（）（），∴r 3， 方法2：∵DF 是⊙O 的直径，∴∠DEF =90°． ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C =90°，AB =CD =2． ∵∠ABE =∠DBC ，∴sin ∠CBD =33sin ABE ∠=． 设3DC x BD x ==，，则2BC x =．∵CD =2，∴22BC =． ∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ，∴2222DC AE AEAE BC AB ，，==∴=，∴E为AD中点．∵DF为直径，∠FED=90°，∴EF∥AB，∴132DF BD==，∴⊙O的半径为3．点睛：本题综合考查了切线的性质、勾股定理以及三角函数的应用等知识点，具有较强的综合性，有一定的难度．3．等腰Rt△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O 与直线AB的距离为5．（1）若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，⊙O不动，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？（2）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？（3）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，同时△ABC的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大．△ABC的边与圆第一次相切时，点B运动了多少距离？【答案】（1）522；（2）52；（3）20423-【解析】分析：（1）分析易得，第一次相切时，与斜边相切，假设此时，△ABC移至△A′B′C′处，A′C′与⊙O切于点E，连OE并延长，交B′C′于F．由切线长定理易得CC′的长，进而由三角形运动的速度可得答案；（2）设运动的时间为t秒，根据题意得：CC′=2t，DD′=t，则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2t=4-t，由第（1）的结论列式得出结果；（3）求出相切的时间，进而得出B点移动的距离．详解：（1）假设第一次相切时，△ABC移至△A′B′C′处，如图1，A′C′与⊙O切于点E，连接OE并延长，交B′C′于F，设⊙O 与直线l 切于点D ，连接OD ，则OE ⊥A′C′，OD ⊥直线l ， 由切线长定理可知C′E=C′D ， 设C′D=x ，则C′E=x ， ∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠A=∠ACB=45°， ∴∠A′C′B′=∠ACB=45°， ∴△EFC′是等腰直角三角形， ∴C′F=2x ，∠OFD=45°， ∴△OFD 也是等腰直角三角形， ∴OD=DF ， ∴2x+x=1，则x=2-1，∴CC′=BD -BC-C′D=5-1-（2-1）=5-2， ∴点C 运动的时间为52-； 则经过52-秒，△ABC 的边与圆第一次相切； （2）如图2，设经过t 秒△ABC 的边与圆第一次相切，△ABC 移至△A′B′C′处，⊙O 与BC 所在直线的切点D 移至D′处，A′C′与⊙O 切于点E ，连OE 并延长，交B′C′于F ， ∵CC′=2t ，DD′=t ，∴C′D′=CD+DD′-CC′=4+t -2t=4-t ， 由切线长定理得C′E=C′D′=4-t ， 由（1）得：2-1， 解得：2，答：经过2秒△ABC 的边与圆第一次相切；（3）由（2）得CC′=（2+0.5）t=2.5t ，DD′=t ， 则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t -2.5t=4-1.5t ， 由切线长定理得C′E=C′D′=4-1.5t ， 由（1）得：4-1.5t=2-1， 解得：t=10223-， ∴点B 运动的距离为2×10223-=20423-．点睛：本题要求学生熟练掌握圆与直线的位置关系，并结合动点问题进行综合分析，比较复杂，难度较大，考查了学生数形结合的分析能力．4．函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。
【中考专题】天津市东丽区 2019年中考数学 圆 解答题 专题复习 15题(含答案)
2019年中考数学圆解答题专题复习1.如图,在⊙O中,AB为直径,OC⊥AB,弦CF与OB交于点E,过点F,A分别作⊙O的切线交于点H,且HF与AB的延长线交于点D．（1）求证：DF=DE；（2）若tan∠OCE=0.5,⊙O的半径为4,求AH的长．2.如图,已知AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F,交⊙O于点E,AE与BC交于点H,点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2=EH·EA；（3）若⊙O的半径为5,sinA=,求BH的长．3.如图1,AB为半圆的直径,O为圆心,C为圆弧上一点,AD垂直于过C点的切线,垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）如图2，连接OD交AC于点G，若=，求sin∠E的值．4.如图,△ABC内接与⊙O,AB是直径,⊙O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC交AC于AC点E,交PC于点F,连接AF．（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若⊙O的半径为4,AF=3,求AC的长．5.如图,点D为⊙O上的一点,点C在直径BA的延长线上,并且∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点B作O的切线,交CD的延长线于点E,若BC=12,tan∠CDA=，求BE的长．6.如图,△ABC是⊙O内接三角形,∠ACB=45°,∠AOC=150°，过点C作⊙O切线交AB延长线于点D．（1）求证：CD=CB；（2）如果⊙O的半径为，求AC的长．7.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．（1）求证：BE=CE；（2）求∠CBF的度数；（3）若AB=6，求的长．8.如图,已知AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB，垂足为F,E为BA延长线上的一点,连接CE、CA,∠ECA=∠ACD．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若EA=2，tanE=，求⊙O的半径．9.如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠CBD=∠A．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若E为弧AB中点，BD=6，sinBED=0.6，求BE的长．10.如图，△ABC中，E是AC上一点，且AE=AB，∠BAC=2∠EBC,以AB为直径的⊙O交AC于点D，交EB于点F.(1)求证：BC与⊙O相切；(2)若AB=8,sin∠EBC=0.25,求AC的长．11.如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点E．(1) 求证：DE⊥AC；(2) 连结OC交DE于点F，若sin∠ABC=0.75，求OF:CF的值．12.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP.（1）求证：直线CP是⊙O的切线；（2）若BC=2，sin∠BCP=，求⊙O的半径及△ACP的周长.13.已知等边三角形ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD，（1）求证：DF与⊙O的位置关系并证明；（2）求FG的长．14.如图，在△ABC中，AC=BC，D是BC上的一点，且满足2∠BAD=∠C，以AD为直径的⊙O与AB、AC分别相交于点E、F.（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）连接EF，若tan∠AEF=，AD=4，求BD的长.15.如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE=AB，∠BAC=2∠CBE，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AB=8，BC=6，求DE的长．答案1.（1）证明：连结OF，如图，∵DH为切线，∴OF⊥DH，∴∠1+∠2=90°，∵OC⊥AB，∴∠C+∠4=90°，∵OF=OC，∴∠2=∠C，而∠3=∠4，∴∠1=∠3，∴DE=DF；（2）解：在Rt△OEC中，∵tan∠OCE=，∴OE=OC=2，设DF=x，则DE=x，在Rt△OFD中，x2+42=（x+2）2，解得x=3，∴DF=3，DO=5，∵HF和HA为切线，∴HF=HA，DA⊥AH，设AH=t，则HF=t，在Rt△DAH中，t2+92=（t+3）2，解得t=12，即AH的长为12．2.（1）证明：∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，∴∠ODB=∠ABC，∵OF⊥BC，∴∠BFD=90°，∴∠ODB+∠DBF=90°，∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，∴BD⊥OB，∴BD是⊙O的切线；（2）证明：连接AC，如图1所示：∵OF⊥BC，∴，∴∠CAE=∠ECB，∵∠CEA=∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴，∴CE2=EHEA；（3）解：连接BE，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵⊙O的半径为5，sin∠BAE=，∴AB=10，BE=ABsin∠BAE=10×=6，∴EA===8，∵，∴BE=CE=6，∵CE2=EHEA，∴EH==，在Rt△BEH中，BH===．3.（1）证明：连结OC，如图1，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠1=∠3，∵OA=OC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∴AC平分∠DAB；（2）解：连结OC，如图2，∵OC∥AD，∴△OCG∽△DAG，∴==，设OC=3x，则AD=4x，∵OC∥AD，∴△EOC∽△EAD，∴EO：EA=OC：AD，即EO：（EO+3x）=3x：4x，∴EO=9x，在Rt△OCE中，sin∠E===．4.解：（1）AF为圆O的切线，理由为：连接OC，∵PC为圆O切线，∴CP⊥OC，∴∠O CP=90°，∵OF∥BC，∴∠AOF=∠B，∠COF=∠OCB，∵OC=OB，∴∠OCB=∠B，∴∠AOF=∠COF，∵在△AOF和△COF中，，∴△AOF≌△COF（SAS），∴∠OAF=∠OCF=90°，则AF为圆O的切线；（2）∵△AOF≌△COF，∴∠AOF=∠COF，∵OA=OC，∴E为AC中点，即AE=CE=AC，OE⊥AC，∵OA⊥AF，∴在Rt△AOF中，OA=4，AF=3，根据勾股定理得：OF=5，∵S△AOF=•OA•AF=•OF•AE，∴AE=，则AC=2AE=．5.（1）证明：连OD，OE，如图，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°，又∵∠CDA=∠CBD，而∠CBD=∠1，∴∠1=∠CDA，∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵EB为⊙O的切线，∴ED=EB，OE⊥DB，∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，∴∠ABD=∠OEB，∴∠CDA=∠OEB．而tan∠CDA=，∴tan∠OEB==，∵Rt△CDO∽Rt△CBE，（1）证明：连OD，OE，如图，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°，又∵∠CDA=∠CBD，而∠CBD=∠1，∴∠1=∠CDA，∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，∴CD是⊙O的切线；∴，∴CD=×12=8，在Rt△CBE中，设BE=x，∴（x+8）2=x2+122，解得x=5．即BE的长为5．6.（1）证明：连接OB，则∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°，∵OA=OB，∴∠OAB=OBA=45°，∵∠AOC=150°，OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=15°，∴∠OCB=∠OCA+∠ACB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC=∠OBC=60°，∴∠CBD=180°﹣∠OBA﹣∠OBC=75°，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠D=360°﹣∠OBD﹣∠BOC﹣∠OCD=360°﹣（60°+75°）﹣60°﹣90°=75°，∴∠CBD=∠D，∴CB=CD；（2）在Rt△AOB中，AB=OA=×=2，∵CD是⊙O的切线，∴∠DCB=∠CAD，∵∠D是公共角，∴△DBC∽△DCA，∴，∴CD2=AD•BD=BD•（BD+AB），∵CD=BC=OC=，∴2=BD•（2+BD），解得：BD=﹣1，∴AC=AD=AB+BD=+1．7.（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O直径，∴∠AEB=90°，即AE⊥BC，∵AB=AC，∴BE=CE．（2）解：∵∠BAC=54°，AB=AC，∴∠ABC=63°，∵BF是⊙O切线，∴∠ABF=90°，∴∠CBF=∠ABF﹣∠ABC=27°．（3）解：连接OD，∵OA=OD，∠BAC=54°，∴∠AOD=72°，∵AB=6，∴OA=3，∴弧AD的长是=．8.（1）证明：连接BC，OC，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴=，∴∠ACD=∠ABC，∵OB=OC，∴∠ABC=∠OCB，∴∠ACD=∠OCB，∵∠ECA=∠ACD．∴∠EAC=∠OCB，∵∠OCB+∠OCA=90°，∴∠ECA+∠OCA=90°，∴∠OCE=90°，∵点C在⊙O上，∴CE是⊙O的切线．（2）在Rt△ECO中，tan∠E=，设OC=R，∴CE=R，OE=R+2，∴（R）2+R2=（R+2）2，∴R=3或R=﹣（舍）．9.（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∴∠A+∠ABD=90°．又∵∠A=∠CBD，∴∠CBD+∠ABD=90°．∴∠ABC=90°．∴AB⊥BC．又∵AB是⊙O的直径，∴BC为⊙O的切线．（2）解：连接AE．如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=∠ADB=90°．∵∠BAD=∠BED，∴．∴在Rt△ABD中，．∵BD=6，∴AB=10．∵E为中点，∴AE=BE．∴△AEB是等腰直角三角形．∴∠BAE=45°．∴．10. (1)证明：连接AF. ∵AB为直径，∴∠AFB=90°.∵AE=AB，∴△ABE为等腰三角形.∴∠BAC=2∠BAF.∵BAC=2EBC，∴∠BAF∠EBC ∴∠FAB+∠FBA=∠EBC+∠FBA=90°.∴∠ABC=90° .∴BC与⊙0相切.(2) 解：过E作EG⊥BC于点G∵∠BAF=∠EBC，∴sin∠BAF=sin∠EBC=0.25.在△AFB中，∠AFB=90°，∵AB=8，∴BF=2∴BE=2BF=4.在△EGB中，∠EGB=90°，∴EG=1∵EG⊥BC，AB⊥BC，∴EG∥AB∴△CEG∽△CAB∴CE:CA=EG:AB.∴CE=8/7.∴AC=AE+CE=64/7.11. (1)证明：连接OD .∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，即∠ODE=90° .∵AB是⊙O的直径，∴O是AB的中点.又∵D是BC的中点，∴OD∥AC . ∴∠DEC=∠ODE= 90° .∴DE⊥AC .(2)连接AD .∵OD∥AC，∴.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB= ∠ADC =90° .又∵D为BC的中点，∴AB=AC.∵sin∠ABC=，故设AD=3x , 则AB=AC=4x , OD=2x .∵DE⊥AC，∴∠ADC= ∠AED= 90°.∵∠DAC= ∠EAD，∴△ADC∽△AED.∴.∴.∴.∴.∴.12.证明：（1）连接AN，∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵AC是⊙O的直径，∴AN⊥BC，∴∠CAN=∠BAN，BN=CN，∵∠CAB=2∠BCP，∴∠CAN=∠BCP，∵∠CAN＋∠ACN=90°，∴∠BCP＋∠ACN=90°，∴CP⊥AC∵OC是⊙O的半径∴CP是⊙O的切线.13.（1）证明：连接OD，∵以等边三角形ABC的边AB为直径的半圆与BC边交于点D，∴∠B=∠C=∠ODB=60°，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴∠CFD=∠ODF=90°，即OD⊥DF，∵OD是以边AB为直径的半圆的半径，∴DF是圆O的切线；（2）∵OB=OD=AB=6，且∠B=60°，∴BD=OB=OD=6，∴CD=BC﹣BD=AB﹣BD=12﹣6=6，∵在Rt△CFD中，∠C=60°，∴∠CDF=30°，∴CF=CD=×6=3，∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9，∵FG⊥AB，∴∠FGA=90°，∵∠FAG=60°，∴FG=AFsin60°=．14.证明：∵AC=BC，∴∠ CAB = ∠B.∵∠ CAB +∠B+∠C＝180º，∴2∠B+∠C＝180º.∴90º.∵2∠BAD＝∠C，∴＝90º.∴∠ADB＝90º.∴AD⊥BC.∵AD为⊙O直径的，∴直线BC是⊙O的切线.（2）解：如图，连接DF，∵AD是⊙O的直径，∴∠AFD = 90º. ∵∠ADC＝90º，∴∠ADF+∠FDC＝∠CD+∠FDC＝90º.∴∠ADF＝∠C.∵∠ADF＝∠AEF，tan∠AEF＝，∴tan∠C＝tan∠ADF＝.在Rt△ACD中，设AD＝4x，则CD＝3x.∴∴BC＝5x，BD＝2x.∵AD＝4，∴x＝1.∴BD＝2.15.（1）证明：∵AE=AB，∴△ABE是等腰三角形，∴∠ABE=0.5（180°﹣∠BAC=）=90°﹣0.5∠BAC，∵∠BAC=2∠CBE，∴∠CBE=0.5∠BAC，∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=（90°﹣0.5∠BAC）+0.5∠BAC=90°，即AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABC=90°，∴∠ADB=∠ABC，∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB，∴=，∵在Rt△ABC中，AB=8，BC=6，∴AC==10，∴，解得：AD=6.4，∵AE=AB=8，∴DE=AE﹣AD=8﹣6.4=1.6．。
2019中考数学专题练习-圆的相交弦定理(含解析)
2019中考数学专题练习-圆的相交弦定理（含解析）一、单选题1.如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=2 ，BD= ，则AB的长为（）A.2B.3C.4D.52.如图，⊙O中，弦AB与直径CD相交于点P，且PA=4，PB=6，PD=2，则⊙O的半径为（）A.9B.8C.7D.63.如图，在Rt⊙ABC中，⊙C=90°，，BC=1，如果以C为圆心，以CB长为半径的圆交AB于点P，那么AP的长为（）A. B. C. D.34.如图所示，⊙O中，弦AB，CD相交于P点，则下列结论正确的是（）A.PA AB＝PC PBB.PA PB＝PC PDC.PA AB＝PC CDD.PA⊙PB＝PC⊙PD5.如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP=QO，则的值为（）A.B.C.D.6.如图，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB=4，DE=CE+3，则CD的长为（）A.4B.5C.8D.107.如图，矩形ABCD为⊙O的内接四边形，AB=2，BC=3，点E为BC上一点，且BE=1，延长AE交⊙O于点F，则线段AF的长为（）A. B.5 C.+1 D.8.在⊙O中，弦AB与CD相交于点M，AM=4，MB=3，则CM•MD=（）A.28B.21C.12D.79.如图，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦CD经过点P，且CD=13，PD=4，则两圆组成的圆环的面积是（）A.16πB.36πC.52πD.81π10.如图，⊙O的直径AB=8，弧AC=弧BC，E为OB上一点，⊙AEC=60°，CE的延长线交⊙O于D，则CD的长为（）A.6B.4C.D.11.如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点，AE=6，BE=2，CD=2 ，则⊙AED的度数是（）A.30°B.60°C.45°D.36°12.如图，A、B、C、D为⊙O上的点，直线BA与DC相交于点P，PA=2，PC=CD=3，则PB=（）A.6B.7C.8D.913.如图，⊙O中弦AB，CD相交于点P，已知AP=3，BP=2，CP=1，则DP=（）A.3B.4C.5D.614.如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD=6cm，则直径AB的长是（）A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.4 cm二、填空题15.如图，在⊙O中，直径CD与弦AB相交于点E，若BE=3，AE=4，DE=2，则⊙O的半径是________．16.一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为________米．17.已知弦AB和弦CD相交于⊙O内一点P，AP=8，BP=3，PD=PC，则CD=________．18.如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，如果⊙O的半径为，则O点到BE的距离OM=________．19.一圆周上有三点A，B，C，⊙A的平分线交边BC于D，交圆于E，已知BC=2，AC=3，AB=4，则AD•DE=________．三、解答题20.已知G是⊙ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．21.如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE=5，BE=1，CD=4 ，求EC的长．四、综合题22.如图，（1）已知：P为半径为5的⊙O内一点，过P点最短的弦长为8，则OP=________（2）在（1）的条件下，若⊙O内有一异于P点的Q点，过Q点的最短弦长为6，且这两条弦平行，求PQ的长．（3）在（1）的条件下，过P点任作弦MN、AB，试比较PM•PN与PA•PB的大小关系，且写出比较过程．你能用一句话归纳你的发现吗？（4）在（1）的条件下，过P点的弦CD= ，求PC、PD的长．23.根据题意解答（1）九年级学生小刚是一个喜欢看书的好学生，他在学习完第二十四章圆后，在家里突然看到爸爸的初中数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），非常好奇，仔细阅读原来就是：PA•PB=PC•PD，小刚很想知道是如何证明的，可异证明部分污损看不清了，只看到辅助线的做法，分别连结AC、BD．聪明的你一定能帮他证出，请在图1中做出辅助线，并写出详细的证明过程．（2）小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是⊙O弦，P是AB上一点，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm，求⊙O的半径，愁坏了小刚，乐于助人的你肯定会帮助他，请写出详细的证明过程．答案解析部分一、单选题1.如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=2 ，BD= ，则AB的长为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【考点】勾股定理，垂径定理，相交弦定理【解析】【解答】解：连接OD．由垂径定理得HD= ，由勾股定理得HB=1，设圆O的半径为R，在Rt⊙ODH中，则R2=（）2+（R﹣1）2，由此得2R=3，或由相交弦定理得（）2=1×（2R﹣1），由此得2R=3，所以AB=3故选B．【分析】根据垂径定理和相交弦定理求解．2.如图，⊙O中，弦AB与直径CD相交于点P，且PA=4，PB=6，PD=2，则⊙O的半径为（）A.9B.8C.7D.6【答案】C【考点】相交弦定理【解析】【解答】解：由相交弦定理得：AP×BP=CP×DP，⊙PA=4，PB=6，PD=2，⊙CP=12，⊙DC=12+2=14，⊙CD是⊙O直径，⊙⊙O半径是7．故选C．【分析】根据相交弦定理得出AP×BP=CP×DP，求出CP，求出CD即可．3.如图，在Rt⊙ABC中，⊙C=90°，，BC=1，如果以C为圆心，以CB长为半径的圆交AB于点P，那么AP的长为（）A. B. C. D.3【答案】B【考点】勾股定理，相交弦定理【解析】【解答】解：如图，延长AC交⊙C于E，设与圆的另一个交点为Q，在Rt⊙ABC中，⊙C=90°，⊙ ，BC=1，⊙AB= = ，⊙CQ、CB、CE都是圆的半径，⊙CQ=CB=CE=1，根据割线定理得AQ•AE=AP•AB，⊙AP= = = ．故选B．【分析】如图，延长AC交⊙C与E，设与圆的另一个交点为Q，首先在Rt⊙ABC中，⊙C=90°，，BC=1，利用勾股定理即可求出AB的长度，根据题意可以知道CQ=CB=CE=1，然后根据割线定理即可求出AP的长度．4.如图所示，⊙O中，弦AB，CD相交于P点，则下列结论正确的是（）A.PA AB＝PC PBB.PA PB＝PC PDC.PA AB＝PC CDD.PA⊙PB＝PC⊙PD 【答案】B【考点】相交弦定理【解析】【解答】连接AC与BD，与是所对的圆周角，故答案为：B.【分析】可以根据圆的性质证明⊙BPD和⊙CPA相似，由此可得出PA ⊙ PB＝PC ⊙ PD，即为相交弦定理。
2019年江苏省中考数学试题分类汇编之圆(解析版)
2019江苏省中考数学试题分类汇编之圆一、选择题1．（2019江苏镇江）如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，DC CB =．若∠C ＝110°，则∠ABC 的度数等于（ ）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70° 【答案】A ．【解析】解：连接AC ，∵四边形ABCD 是半圆的内接四边形，∴∴DAB ＝180°﹣∴C ＝70°，∴DC CB =，∴∴CAB ＝12∴DAB ＝35°， ∴AB 是直径，∴∴ACB ＝90°，∴∴ABC ＝90°﹣∴CAB ＝55°，故选：A ．2．（2019年江苏无锡）如图，P A 是⊙O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交⊙O 于点B ，若∠P =40°，则∠B 的度数为（ ）A ．20°B ．25°C ．40°D ．50°OA B【答案】B.【解析】连结AO ，因为P A 是切线，所以∠P AO =90°，则∠AOP =90°-40°=50°，又因为同弧所对的圆周角=圆心角的一半，所以∴B =50°÷2=25°，故选B.3．（2019江苏苏州）如图，AB 为O ⊙的切线，切点为A ，连接AO BO 、，BO 与O ⊙交于点C ，延长BO 与O ⊙交于点D ，连接AD ，若36ABO ∠=，则ADC ∠的度数为（）A ．54B ．36C ．32D ．27【答案】D.【答案】由切线性质得到90BAO ∠=，903654AOB ∴∠=-=．OD OA =，OAD ODA ∴∠=∠．AOB OAD ODA ∠=∠+∠，27ADC ADO ∴∠=∠=．故选D.4．（2019江苏宿迁）一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积 是（ ）A ．20πB ．15πC ．12πD ．9π【答案】B ．【解析】解：由勾股定理可得：底面圆的半径＝3，则底面周长＝6π，底面半径＝3，PD由图得，母线长＝5，侧面面积＝12×6π×5＝15π． 故选：B ． 5．（2019江苏宿迁）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半 圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（ ）A ．πB ．2πC ．+πD ．+2π 【答案】A ．【解答】解：6个月牙形的面积之和＝3π﹣（22π﹣6×12×2）＝π， 故选：A ．二、填空题6．（2019江苏泰州）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若正三角形边长为6cm ，则该莱洛三角形的周长为 cm ．【答案】12π．【解析】∵l=180R n π=1806120⨯π=4π，∴4π×3=12π． 故答案为：12π．7．（2019江苏连云港）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，BC ＝6，∠BAC ＝30°，则⊙O 的半径为 ．【答案】6．【解析】连结OB，OC，因为∠BOC=2∠A=60°，则△BOC为等边三角形，所以半径为6. 8．（2019江苏盐城）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且AB的度数为50°，则∠E+∠C＝°．【答案】155．【解析】解：连接EA，∵AB为50°，∴∠BEA＝25°，∵四边形DCAE为⊙O的内接四边形，∴∠DEA+∠C＝180°，∴∠DEB+∠C＝180°﹣25°＝155°，故答案为：155．9．（2019江苏南京）如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A+∠C＝．【答案】219°．【解析】解：连接AB，∵P A、PB是⊙O的切线，∴P A＝PB，∵∠P＝102°，∴∠P AB＝∠PBA＝12（180°﹣102°）＝39°，∵∠DAB+∠C＝180°，∴∠P AD+∠C＝∠P AB+∠DAB+∠C＝180°+39°＝219°，故答案为：219°．10．（2019江苏常州）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝°．【答案】30．【解析】解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，∴∠CDB＝12∠BOC＝30°．故答案为30．11．（2019O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝．【答案】5．【解析】解：连接OB，作OD⊥BC于D，∵⊙O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，∴∠OBC＝∠OBA＝12∠ABC＝30°，∴tan∠OBC＝OD BD，∴BD ＝3tan303OD=3，∴CD＝BC﹣BD＝8﹣3＝5，∴tan∠OCB＝OD CD=故答案为5．12.（2019江苏扬州）如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n=.【答案】15.【解析】 解：连接OB ，∵AC 是⊙O 的内接正六边形的一边，∴∠AOC =360°÷6=60°，∵BC 是⊙O 的内接正十边形的一边，∴∠BOC =360°÷10=36°，∴∠AOB =60°-36°=24°，即360°÷n =24°，∴n =1513．（2019江苏连云港）一圆锥的底面半径为2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为 ．【答案】π6．【解析】根据圆锥侧面积公式πππ632=⨯⨯==rl S 侧.14．（2019年江苏无锡）已知圆锥的母线成为5cm ，侧面积为15πcm 2，则这个圆锥的底面圆半径为 cm ．【答案】3【解析】因为圆锥侧面积公式是：rl S π=侧，所以圆锥底面圆的半径r=15π÷5π=3.15．（2019江苏淮安）若圆锥的侧面积是15π，母线长是5，则该圆锥底面圆的半径是 ．【答案】3．【解析】解：设该圆锥底面圆的半径是为r ，根据题意得12×2π×r ×5＝15π，解得r ＝3． 即该圆锥底面圆的半径是3．故答案为3．16．（2019江苏徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的 底面圆的半径r ＝2cm ，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l 为 cm ．【答案】6．【解析】解：圆锥的底面周长＝2π×2＝4πcm ，设圆锥的母线长为R ，则：＝4π，解得R ＝6．故答案为：6．17.（2019江苏扬州）如图，将四边形ABCD 绕顶点A 顺时针旋转45°至AB′C′D′的位置，若AB =16cm ，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】32π.【解析】∵阴影部分面积=扇形BB′A 的面积+四边形ABCD 的面积-四AB′C′D′的面积 ∴阴影部分面积=扇形BB′A 的面积=ππ2451632360⨯=. 18．（2019江苏苏州）如图，扇形OAB 中，90AOB ∠=︒，P 为弧AB 上的一点，过点P 作PC OA ⊥，垂足为C ，PC 与AB 交于点D ，若2,1PD CD ==，则该扇形的半径长为___________．【答案】5．【解析】解：∵OA=OB ，90AOB ∠=︒∴∠OAB =∠OBA =45°，∵PC ⊥OA ，∴∠CAD =∠CDA =45°，∴CA=CD =1，∵PD =2，∴PC =3，设扇形半径为x ，连接OP ，则OP=x ，OC=x -1，在Rt △OPC 中，由勾股定理得：222OC PC OP +=，即2223(1)x x +-=，解得x =5. 所以扇形的半径长为5.19．（2019江苏泰州）如图，⊙O 的半径为5，点P 在⊙O 上，点A 在⊙O 内，且AP ＝3,过点A 作AP 的垂线交于⊙O 点B 、C.设PB=x ，PC=y ，则y 与x 的函数表达式为 ．【答案】y=x30. 【解析】如图，连接PO 并延长交⊙O 于点N ，连接BN ，∵PN 是直径，∴∠PBN =90°.∵AP ⊥BC ，∴∠P AC =90°，OC∴∠PBN =∠P AC ，又∵∠PNB =∠PCA ，∴△PBN ∽△P AC ， ∴PA PB =PC PN ，∴3x =y 10. ∴y =x30. 故答案为：y =x 30. 20．（2019年江苏无锡）如图，在△ABC 中，AC ：BC ：AB ＝5：12：13，⊙O 在△ABC 内 自由移动，若⊙O 的半径为1，且圆心O 在△ABC 内所能到达的区域的面积为103，则△ABC 的周长为 ． 【答案】25【解析】圆心能到达的面积为图中阴影区域，如图1，设OO 1=5x ，OO 2=12x ，则11051223x x =， 解得13x =，∴OO 1=53，∴DF =53，四边形ADO 1E 、四边形CFOG 、四边形MNO 2B 拼起来， 恰好拼成一个5：12：13的三角形，扇形O 1DE 、扇形OFG 、扇形O 2MN 恰好拼成一个整圆， 如图2设图2中的AC =5x ，BC =12x ，AB =13x ，则内切圆半径为51213212x x x x +-==， ∴12x =，∴AC =52，即AD +CF =52．∴图1中的AC =256，周长为25256AC BC AB AC ++⨯=．CBC图1 图221．（2019江苏连云港）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，以点C 为圆心作⊙C 与 直线BD 相切，点P 是⊙C 上一个动点，连接AP 交BD 于点T ，则ATAP的最大值是 ．【答案】3．【解析】连接AC ，由勾股定理得AC =5，依据等面积可得⊙C 半径r =3×4÷5=512.设⊙C 与 直线BD 相切于点Q ，则CQ =512.如图1，过点A 作AM ∥BD ，过点P 作PH ⊥AM 于点H ， 交BD 于点G ，则AP PH AT GH，∵GH=CQ =512，∴所以求ATAP的最大值就转化为求PH 的 最大值，即求PG 的最大值，显然当点P 在QC 的延长线上时PG 最大，如图2此时 PG =2CQ =2GH ，所以ATAP的最大值是3．图1 图2三、解答题22．（2019江苏南京）如图，⊙O 的弦AB 、CD 的延长线相交于点P ，且AB ＝CD ．F CBCB求证：P A ＝PC ．【答案】见解析． 【解析】证明：连接AC ， ∵AB ＝CD ， ∴AB CD =，∴AB BD CD BD +=+，即AD CB =， ∴∠C ＝∠A ， ∴P A ＝PC ．23．（2019年江苏无锡）一次函数b kx y +=的图像与x 轴的负半轴相交于点A ，与y 轴的正半轴相交于点B ，且sin∠ABOOAB 的外接圆的圆心M 的横坐标为﹣3． （1）求一次函数的解析式； （2）求图中阴影部分的面积．【答案与解析】（1）作MN BO ，由垂径定理得N 为OB 中点，MN =12OA ． ∵MN =3，∴OA =6，即A （-6,0）． ∵sin ∠ABO=2，OA =6， ∴OB=即B （0，．设y kx b ，将A 、B 带入得到3233yx ． （2）∵第一问解得∠ABO =60°，∴∠AMO =120°所以阴影部分面积为22132323=43334Sπ（）（）π．24．（2019江苏徐州）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，D 为的中点．过点D作直线AC 的垂线，垂足为E ，连接OD ． （1）求证：∠A ＝∠DOB ；（2）DE 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）DE 与⊙O 相切，理由见解析．【解析】（1）证明：连接OC，∵D为的中点，∴＝，∴∠BCD＝BOC，∵∠BAC＝BOC，∴∠A＝∠DOB；（2）解：DE与⊙O相切，理由如下：∵∠A＝∠DOB，∴AE∥OD，∵DE⊥AE，∴OD⊥DE，∴DE与⊙O相切．25．（2019江苏宿迁）在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）如图①，点O在斜边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆交AB于点D，交BC 于点E，与边AC相切于点F．求证：∠1＝∠2；（2）在图②中作⊙M，使它满足以下条件：①圆心在边AB上；②经过点B；③与边AC相切．（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】解：（1）证明：如图①，连接OF，∵AC是⊙O的切线，∴OE⊥AC，∵∠C＝90°，∴OE∥BC，∴∠1＝∠OFB，∵OF＝OB，∴∠OFB＝∠2，∴∠1＝∠2．（2）如图②所示⊙M为所求．①①作∠ABC平分线交AC于F点，②作BF的垂直平分线交AB于M，以MB为半径作圆，即⊙M为所求．证明：∵M在BF的垂直平分线上，∴MF＝MB，∴∠MBF＝∠MFB，又∵BF平分∠ABC，∴∠MBF＝∠CBF，∴∠CBF＝∠MFB，∴MF∥BC，∵∠C＝90°，∴FM⊥AC，∴⊙M与边AC相切．26．（2019江苏盐城）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E．（1）若⊙O的半径为52，AC＝6，求BN的长；（2）求证：NE与⊙O相切．【答案】（1）BN＝4；（2）见解析．【解析】解：（1）连接DN，ON，∵⊙O的半径为52，∴CD＝5．∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴BD＝CD＝AD＝5，∴AB＝10，∴由勾股定理得BC＝8，∵CD为直径，∴∠CND＝90°，且BD＝CD．∴BN＝NC＝4．（2）∵∠ACB＝90°，D为斜边的中点，∴CD＝DA＝DB＝12 AB，∴∠BCD＝∠B，∵OC＝ON，∴∠BCD＝∠ONC，∴∠ONC＝∠B，∴ON∥AB，∵NE⊥AB，∴ON⊥NE，∴NE为⊙O的切线．27．（2019江苏镇江）如图，在△ABC中，AB＝AC，过AC延长线上的点O作OD⊥AO，交BC的延长线于点D，以O为圆心，OD长为半径的圆过点B．（1）求证：直线AB与⊙O相切；（2）若AB＝5，⊙O的半径为12，则tan∠BDO＝．【答案】（1）见解析；（2）23．【解析】（1）证明：连接AB，如图所示：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠OCD，∴∠ABC＝∠OCD，∵OD⊥AO，∴∠COD＝90°，∴∠D+∠OCD＝90°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠D，∴∠OBD+∠ABC＝90°，即∠ABO＝90°，∴AB⊥OB，∵点B在圆O上，∴直线AB与⊙O相切；（2）解：∵∠ABO＝90°，∴OA13==，∵AC＝AB＝5，∴OC＝OA﹣AC＝8，∴tan∠BDO＝82123 OCOD==；故答案为：23．28．（2019江苏泰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E.（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为5，AB=8，求CE的长.【答案】（1）相切；（2）CE =425． 【解析】（1） DE 为⊙O 的切线， 理由：连接OD ，∵AC 为⊙O 的直径，D 为弧AC 的中点， ∴AD CD =，∴∠AOD ＝∠COD ＝90°， 又∵DE ∥AC ，∴∠EDO ＝∠AOD ＝90°， ∴DE 为⊙O 的切线.（2）解：∵DE ∥AC ， ∴∠EDO ＝∠ACD, ∵∠ACD ＝∠ABD, ∵∠DCE ＝∠BAD, ∴△DCE ∽△BAD ， ∴CE DCAD AB=， ∵半径为5，∴AC ＝10， ∵ D 为弧AC 的中点，∴AD＝CD＝，8，∴CE＝425.29.（2019江苏扬州）如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交于AB于P，且CP=CB.（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）已知∠BAO=25°，点Q是弧AmB上的一点，①求∠AQB的度数；②若OA=18，求弧AmB的长.【答案】（1）见解析；（2）①65°，②23π.【解析】解（1）连接OB，∵CP=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵OA⊥OC，∴∠AOC=90°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA.∵∠PAO+∠APO=90°，∴∠ABO+∠CBP=90°.∴∠OBC=90°，∴BC是⊙O的切线.（2）①∵∠BAO =25°，OA=OB ，∴∠BAO =∠OBA =25°.∴∠AOB =130°，∴∠AQB =65°.②∵∠AOB =130°，OB =18，∴l 弧AmB =（360°-130°）π×18÷180=23π.30.（2019江苏苏州）如图，AE 为O 的直径，D 是弧BC 的中点BC 与AD ，OD 分别交于点E ，F .（1）求证：DO AC ∥；（2）求证：2DE DA DC ⋅=；（3）若1tan 2CAD ∠=，求sin CDA ∠的值.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）35． 【解析】（1）证明：∵D 为弧BC 的中点，OD 为O 的半径，∴OD BC ⊥．又∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒．∴AC OD ∥．（2）证明：∵D 为弧BC 的中点，CA∴CD BD =．∴DCB DAC ∠=∠．∴DCE DAC ∆∆∽． ∴DC DE DA DC=． 即2DE DA DC ⋅=．（3）解：∵DCE DAC ∆∆∽，1tan 2CAD ∠=， ∴12CD DE CE DA DC AC ===． 设CD =2a ，则DE =a ，4DA a =，又∵AC OD ∥，∴△AEC ∽△DEF ， ∴3CE AE EF DE==． 所以83BC CE =． 又2AC CE =， ∴103AB CE =． 即3sin sin 5CA CDA CBA AB ∠=∠==． 31．（2019江苏淮安）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 交于点F ，弦AD 平分∠BAC ， DE ⊥AC ，垂足为E ．（1）试判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O 的半径为2，∠BAC ＝60°，求线段EF 的长．【答案】（1）DE 与⊙O 相切，理由见解析；（2）1．【解析】解：（1）直线DE 与⊙O 相切，理由如下：连结OD ．∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，即∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；（2）过O作OG⊥AF于G，∴AF＝2AG，∵∠BAC＝60°，OA＝2，∴AG＝12OA＝1，∴AF＝2，∴AF＝OD，∴四边形AODF是菱形，∴DF∥OA，DF＝OA＝2，∴∠EFD＝∠BAC＝60°，∴EF＝12DF＝1．32．（2019江苏镇江）【材料阅读】地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的⊙O）．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的．【实际应用】观测点A在图1所示的⊙O上，现在利用这个工具尺在点A处测得α为31°，在点A所在子午线往北的另一个观测点B，用同样的工具尺测得α为67°．PQ是⊙O的直径，PQ⊥ON．（1）求∠POB的度数；（2）已知OP＝6400km，求这两个观测点之间的距离即⊙O上AB的长．（π取 3.1）【答案】（1）67°；（2）3968 km．【解答】解：（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HD⊥BC于D，CH⊥BH交BC 于点C，如图所示：则∠DHC＝67°，∵∠HBD+∠BHD＝∠BHD+∠DHC＝90°，∴∠HBD＝∠DHC＝67°，∵ON∥BH，∴∠BEO＝∠HBD＝67°，∴∠BOE＝90°﹣67°＝23°，∵PQ⊥ON，∴∠POE＝90°，∴∠POB＝90°﹣23°＝67°；（2）同（1）可证∠POA＝31°，∴∠AOB＝∠POB﹣∠POA＝67°﹣31°＝36°，∴AB的长=366400180π⨯＝3968（km）．33．（2019江苏常州）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．（1）写出下列图形的宽距：①半径为1的圆：；②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形”：；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．①若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．【答案】（1）①1；②（2）①如图2﹣1中，点C所在的区域是图中正方形AEBF，面积为2．②M（﹣1，2）或（1，2），当点M在y轴的右侧时，满足条件的点M的横坐标的范围为1≤x≤1；当点M在y轴的左侧时，满足条件的点M的横坐标的范围为﹣≤x﹣．【解析】解：（1）①半径为1的圆的宽距离为1，故答案为1．②如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC．在Rt△ODC中，OC==∴OP+OC≥PC，∴PC≤∴这个“窗户形“的宽距为故答案为（2）①如图2﹣1中，点C所在的区域是图中正方形AEBF，面积为2．②如图2﹣2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊥x轴于T．∵AC≤AM+CM，又∵5≤d≤8，∴当d＝5时．AM＝4，∴AT=M（﹣1，2），当d＝8时．AM＝7，∴AT=M（1，2），∴满足条件的点M的横坐标的范围为1≤x≤1．当点M在y轴的左侧时，满足条件的点M的横坐标的范围为﹣≤x﹣．。
中考数学专题复习分类练习 圆的综合综合解答题附详细答案
中考数学专题复习分类练习圆的综合综合解答题附详细答案一、圆的综合1．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）．（1）求⊙M的半径；（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．（3）在（2）的条件下求AF的长．【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4．【解析】【分析】（1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；（2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论；（3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM，∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径，∴BT=TC=123∴124；（2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB，∴∠HBC+∠BCH=90°在△COF中，∵∠OFC+∠OCF=90°，∴∠HBC=∠OFC=∠AFH，在△AEH和△AFH中，∵AFH AEHAHF AHE AH AH∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEH≌△AFH（AAS），∴EH=FH；（3）由（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°，作直径BG，连CG，则∠BGC=∠BAC=60°，∵⊙O的半径为4，∴CG=4，连AG，∵∠BCG=90°，∴CG⊥x轴，∴CG∥AF，∵∠BAG=90°，∴AG⊥AB，∵CE⊥AB，∴AG∥CE，∴四边形AFCG为平行四边形，∴AF=CG=4．【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．2．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点一次落在直线y x=上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x=于点M，BC边交x轴于点N（如图）.（1）求边OA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 和AC 平行时，求正方形OABC 旋转的度数；（3）设MBN ∆的周长为p ，在旋转正方形OABC 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论.【答案】（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析【解析】试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA 在旋转过程中所扫过的面积； （2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM 的度数； （3）利用全等把△MBN 的各边整理到成与正方形的边长有关的式子．试题解析：（1）∵A 点第一次落在直线y=x 上时停止旋转，直线y=x 与y 轴的夹角是45°，∴OA 旋转了45°．∴OA 在旋转过程中所扫过的面积为24523602ππ⨯=． （2）∵MN ∥AC ，∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．∴∠BMN=∠BNM ．∴BM=BN ．又∵BA=BC ，∴AM=CN ．又∵OA=OC ，∠OAM=∠OCN ，∴△OAM ≌△OCN ．∴∠AOM=∠CON=12（∠AOC-∠MON ）=12（90°-45°）=22.5°． ∴旋转过程中，当MN 和AC 平行时，正方形OABC 旋转的度数为45°-22.5°=22.5°． （3）在旋转正方形OABC 的过程中，p 值无变化．证明：延长BA 交y 轴于E 点，则∠AOE=45°-∠AOM ，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM ，∴∠AOE=∠CON ．又∵OA=OC ，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN ．∴△OAE ≌△OCN ．∴OE=ON ，AE=CN ．又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM ，∴△OME ≌△OMN ．∴MN=ME=AM+AE ．∴MN=AM+CN ，∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．考点：旋转的性质.3．图1和图2，半圆O的直径AB=2，点P（不与点A，B重合）为半圆上一点，将图形延BP折叠，分别得到点A，O的对称点A′，O′，设∠ABP=α．（1）当α=15°时，过点A′作A′C∥AB，如图1，判断A′C与半圆O的位置关系，并说明理由．（2）如图2，当α= °时，BA′与半圆O相切．当α= °时，点O′落在上．（3）当线段BO′与半圆O只有一个公共点B时，求α的取值范围．【答案】（1）A′C与半圆O相切；理由见解析；（2）45；30；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【解析】试题分析：（1）过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，利用含30°角的直角三角形的性质可求得DE+OE=A′B=AB=OA，可判定A′C与半圆相切；（2）当BA′与半圆相切时，可知OB⊥A′B，则可知α=45°，当O′在上时，连接AO′，则可知BO′=AB，可求得∠O′BA=60°，可求得α=30°；（3）利用（2）可知当α=30°时，线段O′B与圆交于O′，当α=45°时交于点B，结合题意可得出满足条件的α的范围．试题解析：（1）相切，理由如下：如图1，过O作OD过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，∵α=15°，A′C∥AB，∴∠ABA′=∠CA′B=30°，∴DE=A′E，OE=BE，∴DO=DE+OE=（A′E+BE）=AB=OA，∴A′C与半圆O相切；（2）当BA′与半圆O相切时，则OB⊥BA′，∴∠OBA′=2α=90°，∴α=45°，当O′在上时，如图2，连接AO′，则可知BO′=AB，∴∠O′AB=30°，∴∠ABO′=60°，∴α=30°，（3）∵点P，A不重合，∴α＞0，由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段BO′与半圆只有一个公共点B；当α增大到45°时BA′与半圆相切，即线段BO′与半圆只有一个公共点B．当α继续增大时，点P逐渐靠近点B，但是点P，B不重合，∴α＜90°，∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B．综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．考点：圆的综合题．4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB， DF．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若DB平分∠ADC，AB=52AD，∶DE=4∶1，求DE的长．【答案】(1)见解析;(2)5【解析】分析：（1）直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF，再求出∠FDO=∠FCO=90°，得出答案即可；（2）首先得出AB=BC即可得出它们的长，再利用△ADC～△ACE，得出AC2=AD•AE，进而得出答案．详解：（1）连接OD．∵OD=CD，∴∠ODC=∠OCD．∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠EDC=90°．∵点F为CE的中点，∴DF=CF=EF，∴∠FDC=∠FCD，∴∠FDO=∠FCO．又∵AC⊥CE，∴∠FDO=∠FCO=90°，∴DF是⊙O的切线．（2）∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠ABC=90°．∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴¶AB=¶BC，∴BC=AB=52．在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=100．又∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°，∴△ADC～△ACE，∴ACAD =AEAC，∴AC2=AD•AE．设DE为x，由AD：DE=4：1，∴AD=4x，AE=5x，∴100=4x•5x，∴x=5，∴DE=5．点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出AC2=AD•AE是解题的关键．5．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，BC=6cm,AC=8cm,∠BAD=45°．点E在⊙O外，做直线AE，且∠EAC=∠D．（1）求证：直线AE 是⊙O 的切线．（2）求图中阴影部分的面积.【答案】(1)见解析;(2) 25-504π. 【解析】 分析：（1）根据圆周角定理及推论证得∠BAE=90°，即可得到AE 是⊙O 的切线； （2）连接OD ，用扇形ODA 的面积减去△AOD 的面积即可.详解：证明：（1） ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，即∠BAC+∠ABC=90°，∵∠EAC=∠ADC ，∠ADC=∠ABC ，∴∠EAC=∠ABC∴∠BAC+∠EAC =90°，即∠BAE= 90°∴直线AE 是⊙O 的切线；（2）连接OD∵ BC=6 AC=8∴ 226810AB =+=∴ OA = 5又∵ OD = OA∴∠ADO =∠BAD = 45°∴∠AOD = 90°∴AOD ODA S S S ∆-阴影扇形＝=90155553602π⨯⨯-⨯⨯ 25504π-= （2cm ）点睛：此题主要考查了圆周角定理和圆的切线的判定与性质，关键是利用圆周角定理和切线的判定与性质，结合勾股定理的和弓形的面积的求法求解，注意数形结合思想的应用.6．函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。
2019年中考数学真题分类 圆 解答题(12题)精选 一(含答案)
2019年中考数学真题分类 圆 解答题(12题)精选 一1.如图1，已知⊙O 外一点P 向⊙O 作切线PA ，点A 为切点，连接PO 并延长交⊙O 于点B ，连接AO 并延长交⊙O 于点C ，过点C 作CD ⊥PB ，分别交PB 于点E ，交⊙O 于点D ，连接AD ．（1）求证：△APO ～△DCA ；（2）如图2，当AD=AO 时①求∠P 的度数；②连接AB ，在⊙O 上是否存在点Q 使得四边形APQB 是菱形．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．2.如图，点P 在⊙O 外，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，直线PO 与⊙O 相交于点A 、B ．（1）若∠A=30°，求证：PA=3PB ；（2）小明发现，∠A 在一定范围内变化时，始终有∠BCP=21（90°-∠P ）成立．请你写出推理过程．3.如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．（1）求证：△BFG≌△CDG；（2）若AD=BE=2，求BF的长．4.如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA=5．C是直线l上一点，连结CP并延长交⊙O于另一点B，且AB=AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，求线段BP的长．5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A=∠ADE；（2）若AD=8，DE=5，求BC的长．6.如图，BM是以AB为直径的⊙O的切线，B为切点，BC平分∠ABM，弦CD交AB于点E，DE=OE．（1）求证：△ACB是等腰直角三角形；（2）求证：OA2=OE•DC：（3）求tan∠ACD的值．7.如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相切于点A，交DB的延长线于点F，∠F=30°，∠BAC=120°，BC=8．（1）求∠ADB的度数；（2）求AC的长度．8.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，以AB为直径作⊙O分别交于AC，BC于点D，E，过点E作⊙O的切线EF交AC于点F，连接BD．（1）求证：EF是△CDB的中位线；（2）求EF的长．9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF.(1)求证：∠BAC=2∠DAC；(2)若AF=10，BC=54，求tan∠BAD的值.10.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点P是半径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作射线1⊥AB，分别交弦BC，于D，E两点，在射线l上取点F，使FC=FD．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）当点E是的中点时，①若∠BAC=60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；②若tan∠ABC=，且AB=20，求DE的长．11.如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC．（1）连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；（2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．12.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC=CE，连接AE交BC于点D，延长DC至F点，使CF=CD，连接AF．（1）判断直线AF与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AC=10，tan ∠CAE=31，求AE 的长．答案1.解：（1）证明：如图1，∵PA切⊙O于点A，AC是⊙O的直径，∴∠PAO=∠CDA=90°∵CD⊥PB∴∠CEP=90°∴∠CEP=∠CDA∴PB∥AD∴∠POA=∠CAO∴△APO～△DCA（2）如图2，连接OD，①∵AD=AO，OD=AO∴△OAD是等边三角形∴∠OAD=60°∵PB∥AD∴∠POA=∠OAD=60°∵∠PAO=90°∴∠P=90°﹣∠POA=90°﹣60°=30°②存在．如图2，过点B作BQ⊥AC交⊙O于Q，连接PQ，BC，CQ，由①得：∠POA=60°，∠PAO=90°∴∠BOC=∠POA=60°∵OB=OC∴∠ACB=60°∴∠BQC=∠BAC=30°∵BQ⊥AC，∴CQ=BC∵BC=OB=OA∴△CBQ≌△OBA（AAS）∴BQ=AB∵∠OBA=∠OPA=30°∴AB=AP∴BQ=AP∵PA⊥AC∴BQ∥AP∴四边形ABQP是平行四边形∵AB=AP∴四边形ABQP是菱形∴PQ=AB∴==tan∠ACB=tan60°=2.解：（1）∵AB是直径∴∠ACP=90°，∵∠A=30°，∴AB=2BC∵PC是⊙O切线∴∠BCP=∠A=30°，∴∠P=30°，∴PB=BC，BC=0.5AB，∴PA=3PB（2）∵点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A、B，∴∠BCP=∠A，∵∠A+∠P+∠ACB+∠BCP=180°，且∠ACB=90°，∴2∠BCP=180°-∠P，∴∠BCP=0.5（90°-∠P）3.证明：（1）∵C是弧BC的中点，∴弧CD=BC，∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，∴弧BC=弧BF，∴弧CD=弧BF，∴CD=BF，在△BFG和△CDG中，∵∠F=∠CDG,∠FGB=∠DGC,BF=CD.∴△BFG≌△CDG（AAS）；（2）如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC，∵弧CD=弧BC，∴∠HAC=∠BAC，∵CE⊥AB，∴CH=CE，∵AC=AC，∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），∴AE=AH，∵CH=CE，CD=CB，∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），∴DH=BE=2，∴AE=AH=2+2=4，∴AB=4+2=6，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠BEC=90°，∵∠EBC=∠ABC，∴△BEC∽△BCA，∴BC2=AB•BE=6×2=12，2．∴BF=BC=54.（1）证明：如图，连结OB，则OP=OB，∴∠OBP=∠OPB=∠CPA，AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，而OA⊥l，即∠OAC=90°，∴∠ACB+∠CPA=90°，即∠ABP+∠OBP=90°，∴∠ABO=90°，OB⊥AB，故AB是⊙O的切线；（2）解：由（1）知：∠ABO=90°，而OA=5，OB=OP=3，由勾股定理，得：AB=4，过O 作OD ⊥PB 于D ，则PD=DB ，∵∠OPD=∠CPA ，∠ODP=∠CAP=90°，∴△ODP ∽△CAP ，∴PD:PA=OP:CP ，又∵AC=AB=4，AP=OA-OP=2，∴PC=25，PD=553,∴BP=2PD=556．5.解：（1）证明：连接OD ，∵DE 是切线，∴∠ODE=90°，∴∠ADE+∠BDO=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OD=OB ，∴∠B=∠BDO ，∴∠ADE=∠A ．（2）解：连接CD ．∵∠ADE=∠A ，∴AE=DE ，∵BC 是⊙O 的直径，∠ACB=90°，∴EC 是⊙O 的切线，∴ED=EC ，∴AE=EC ，∵DE=5，∴AC=2DE=10，在Rt △ADC 中，DC=6，设BD=x ，在Rt △BDC 中，BC 2=x 2+62，在Rt △ABC 中，BC 2=（x+8）2﹣102， ∴x 2+62=（x+8）2﹣102，解得x=，∴BC==．6.解：（1）证明：∵BM是以AB为直径的⊙O的切线，∴∠ABM=90°，∵BC平分∠ABM，∴∠ABC=∠ABM=45°∵AB是直径∴∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°∴AC=BC∴△ACB是等腰直角三角形；（2）如图，连接OD，OC∵DE=EO，DO=CO∴∠EDO=∠EOD，∠EDO=∠OCD∴∠EDO=∠EDO，∠EOD=∠OCD∴△EDO∽△ODC∴∴OD2=DE•DC∴OA2=DE•DC=EO•DC（2）如图，连接BD，AD，DO，作∠BAF=∠DBA，交BD于点F，∵DO=BO∴∠ODB=∠OBD，∴∠AOD=2∠ODB=∠EDO，∵∠CAB=∠CDB=45°=∠EDO+∠ODB=3∠ODB，∴∠ODB=15°=∠OBD ∵∠BAF=∠DBA=15°∴AF=BF，∠AFD=30°∵AB是直径∴∠ADB=90°∴AF=2AD，DF=AD∴BD=DF+BF=AD+2AD∴tan∠ACD=tan∠ABD===2﹣7.解：（1）∵AF与⊙O相切于点A，∴AF⊥OA，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，∵∠BAC=120°，∴∠DAC=30°，∴∠DBC=∠DAC=30°，∵∠F=30°，∴∠F=∠DBC，∴AF∥BC，∴OA⊥BC，∴∠BOA=90°﹣30°=60°，∴∠ADB=∠AOB=30°；（2）∵OA⊥BC，∴BE=CE=BC=4，∴AB=AC，∵∠AOB=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OB，∵∠OBE=30°，∴OE=OB，BE=OE=4，∴OE=，∴AC=AB=OB=2OE=．8.解：（1）证明：连接AE，如图所示：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠AEB=90°，∴AE⊥BC，BD⊥AC，∵AB=AC，∴BE=CE=3，∵EF是⊙O的切线，∴OE⊥EF，∵OA=OB，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，∴OE⊥BD，∴BD∥EF，∵BE=CE，∴CF=DF，∴EF是△CDB的中位线；（2）解：∵∠AEB=90°，∴AE===4，∵△ABC的面积=AC×BD=BC×AE，∴BD===，∵EF是△CDB的中位线，∴EF=BD=．9.解：(1)∵BD⊥AC，CD=CD，∴∠BAC=2∠CBD=2∠CAD;(2)∵DF=DC，∴∠BFC=∠BDC=∠BAC=∠FBC,∴CB=CF,又BD⊥AC，∴AC是线段BF的中垂线，AB= AF=10, AC=10.又BC=4，设AE=x, CE=10－x, AB2－AE2=BC2－CE2, 100－x2=80－(10－x)2, x=6 ∴AE=6,BE=8,CE=4,("1,2,";"3,4,5";Rt△组合)∴DE===3,作DH⊥AB，垂足为H，则DH=BD·sin∠ABD=11×=, BH= BD·cos∠ABD=11×=∴AH=10－=∴tan∠BAD===10.解：（1）证明：连接OC，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵PF⊥AB，∴∠BPD=90°，∴∠OBC+∠BDP=90°，∵FC=FD∴∠FCD=∠FDC∵∠FDC=∠BDP∴∠OCB+∠FCD=90°∴OC⊥FC∴FC是⊙O的切线．（2）如图2，连接OC，OE，BE，CE，①以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．理由如下：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°，∵点E是的中点，∴∠BOE=∠COE=60°，∵OB=OE=OC∴△BOE，△OCE均为等边三角形，∴OB=BE=CE=OC∴四边形BOCE是菱形；②若tan∠ABC=，且AB=20，求DE的长．∵=tan∠ABC=，设AC=3k，BC=4k（k＞0），由勾股定理得AC2+BC2=AB2，即（3k）2+（4k）2=202，解得k=4，∴AC=12，BC=16，∵点E是的中点，∴OE⊥BC，BH=CH=8，∴OE×BH=OB×PE，即10×8=10PE，解得：PE=8，由勾股定理得OP===6，∴BP=OB﹣OP=10﹣6=4，∵=tan∠ABC=，即DP=BP==3∴DE=PE﹣DP=8﹣3=5．11.解：（1）证明：连接OC，∵AF为半圆的切线，AB为半圆的直径，∴AB⊥AD，∵CD∥AB，BC∥OD，∴四边形BODC是平行四边形，∴OB=CD，∵OA=OB，∴CD=OA，∴四边形ADCO是平行四边形，∴OC∥AD，∵CD∥BA，∴CD⊥AD，∵OC∥AD，∴OC⊥CD，∴CD是半圆的切线；（2）解：∠AED+∠ACD=90°，理由：如图2，连接BE，∵AB为半圆的直径，∴∠AEB=90°，∴∠EBA+∠BAE=90°，∵∠DAE+∠BAE=90°，∴∠ABE+∠DAE，∵∠ACE=∠ABE ，∴∠ACE=∠DAE ，∵∠ADE=90°，∴∠DAE+∠AED=∠AED+∠ACD=90°．12.解：（1）直线AF 是⊙O 的切线，理由是：连接AC ， ∵AB 为⊙O 直径，∴∠ACB=90°，∴AC ⊥BC ， ∵CF=CD ，∴∠CAF=∠EAC ，∵AC=CE ，∴∠E=∠EAC ，∵∠B=∠E ，∴∠B=∠FAC ，∵∠B+∠BAC=90°，∴∠FAC+∠BAC=90°，∴OA ⊥AF ， 又∵点A 在⊙O 上，∴直线AF 是⊙O 的切线；（2）过点C 作CM ⊥AE ，∵tan ∠CAE=43，∴CM:AM=3：4， ∵AC=10，∴设CM=3x ，则AM=4x ，在Rt △ACM 中，根据勾股定理，CM 2+AM 2=AC 2， ∴（3x ）2+（4x ）2=100，解得x=2，∴AM=8， ∵AC=CE ，∴AE=2AE=2×8=16．。
2019全国中考数学真题分类汇编：与圆的有关计算及参考答案
一、选择题1．（2019·德州）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（）A．130°B．140°C．150°D．160°【答案】B．【解析】由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝140°，故选B．2．（2019·滨州）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（）A．60°B．50°C．40°D．20°【答案】B【解析】如图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠A和∠BCD都是弧BD所对的圆周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°－40°=50°．故选B．3、（2019·遂宁）如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠A=45°，⊙O 的半径r=4，则阴影部分的面积为 ( )A.4π-8B. 2πC.4πD. 8π-8 【答案】A【解析】由题意可知∠BOC=2∠A=45°2⨯=90°，S 阴=S 扇-S △OBC ，S 扇=14S 圆=14π42=4π， S △OBC =2142⨯=8，所以阴影部分的面积为4π-8，故选A. 4．(2019·广元)如图,AB,AC 分别是 O 的直径和弦,OD ⊥AC 于点D,连接BD,BC,且AB ＝10,AC ＝8,则BD 的长为( )A.B.4C.D.4.8第6题图 【答案】C【解析】∵AB 是直径,∴∠C ＝90°,∴BC ＝6,又∵OD ⊥AC,∴OD ∥BC,∴△OAD ∽△BAC,∴CD ＝AD＝12AC ＝4,∴BD =故选C.5．（2019·温州）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（ ） A ．32π B ．2π C ．3π D ．6π 【答案】D【解析】扇形的圆心角为90°，它的半径为6，即n=90°，r=6，根据弧长公式l=180n rπ，得6π．故选D. 6．（2019·绍兴 ）如图，△ABC 内接于圆O ，∠B=65°，∠C=70°，若BC=22，则弧BC 的长为 ( )A.πB.π2C.π2D.π22【答案】A【解析】在△ABC 中，得∠A＝180°-∠B -∠C＝45°， 连接OB ，OC ，则∠BOC＝2∠A＝90°，设圆的半径为r ，由勾股定理，得22r r +＝（22）2，解得r=2，所以弧BC 的长为902180π⨯=π．7．（2019·山西）如图,在Rt △ABC 中,∠ABC ＝90°,AB ＝＝2,以AB 的中点O 为圆心,OA 的长为半径作半圆交AC 于点D,则图中阴影部分的面积为( )2π- 2πC.πD.2π第10题图 【答案】A【解题过程】在Rt △ABC 中,连接OD,∠ABC ＝90°,AB ＝＝2,∴∠A ＝30°,∠DOB ＝60°,过点D 作DE ⊥AB 于点E,∵AB ＝∴AO ＝OD＝∴DE ＝32,∴S 阴影＝S △ABC －S △AOD －S扇形BOD＝－2π2π-,故选A.8．（2019·长沙）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是【 】A ．2π B．4π C．12π D．24π 【答案】C【解析】根据扇形的面积公式，S=120×π×62360=12π，故本题选：C ．9．（2019·武汉） 如图，AB 是⊙O 的直径，M 、N 是弧AB （异于A 、B ）上两点，C 是弧MN 上动点，∠ACB 的角平分线交⊙O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ．当点C 从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动路径长的比是（ ）A ．2B ．2πC ．23 D ．25【答案】A【解题过程】由题得∠1＝∠2＝12∠C ＝45°，∠3＝∠4，∠5＝∠6 设∠3＝∠4＝m ，∠5＝∠6＝n ，得m ＋n ＝45°，∴∠AEB ＝∠C ＋m ＋n90°＋45°＝135°∴E 在以AD 为半径的⊙D 上（定角定圆）4t 2t t165432QP EDAOBC MN如图，C的路径为MN,E的路径为PQ设⊙O的半径为1，则⊙D，∴MNPQ＝42136022360ttππ⨯⨯⨯10. (2019·泰安)如图,将O沿弦AB折叠,AB恰好经过圆心O,若O的半径为3,则AB的长为A.12π B.π C.2π D.3π【答案】C【解析】连接OA,OB,过点O作OD⊥AB交AB于点E,由题可知OD＝DE＝12OE＝12OA,在Rt△AOD中,sinA＝ODOA＝1 2,∴∠A＝30°,∴∠AOD＝60°,∠AOB＝120°,AB＝180n rπ＝2π,故选C.11. (2019·枣庄)如图,在边长为4的正方形ABCD中,以点B为圆心,AB为半径画弧,交对角线BD与点E,则图中阴影部分的面积是(结果保留π)A.8－πB.16－2πC.8－2πD.8－1 2π【答案】C【解析】在边长为4的正方形ABCD 中,BD 是对角线,∴AD ＝AB ＝4,∠BAD ＝90°,∠ABE ＝45°,∴S △ABD ＝12AD AB⋅⋅＝8,S 扇形ABE ＝2454360π⋅⋅＝8－2π,故选C.12. (2019·巴中)如图,圆锥的底面半径r ＝6,高h ＝8,则圆锥的侧面积是( )A.15πB.30πC.45πD.60π【答案】D【解析】圆锥的高,母线和底面半径构成直角三角形,其中r ＝6,h ＝8,所以母线为10,即为侧面扇形的半径,底面周长为12π,即为侧面扇形的弧长,所以圆锥的侧面积＝12×10×12π＝60π,故选D.13. （2019·凉山） 如图，在△AOC 中，OA =3cm ，OC =lcm ，将△AOC 绕点D 顺时针旋转90 °后得到△BOD ，则AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为( ▲ )cm 2 A ．2πB ．2πC ．178πD ．198π【答案】B【解析】AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积=S △OCA +S 扇形OAB - S 扇形OCD - S △ODB ①,由旋转知：△OCA ≌△ODB ，∴S △OCA =S△ODB ,∴①式=S 扇形OAB - S 扇形OCD =3603902⨯π-3601902⨯π=2π，故选B .14.（2019·自贡）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（）A. B. C. D.【答案】C.【解析】由题意可知，⊙O是正方形ABCD的外接圆，过圆心O点作OE⊥BC于E，在Rt△OEC中，∠COE=45°，∴sin∠COE=,设CE=k，则OC=CE=k，∵OE⊥BC，∴CE=BE=k，即BC=2k.∴S正方形ABCD=BC2=4k2，⊙O的面积为πr2=π×(k)2=2πk2.∴正方形==≈.15.（2019·湖州）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（）A．60πcm2 B．65πcm2 C．120πcm2 D．130πcm2【答案】B．【解析】∵r＝5，l＝13，∴S锥侧＝πrl＝π×5×13＝65π（cm2）．故选B．16. （2019·金华）如图，物体由两个圆锥组成，其主视图中，∠A=90°，∠ABC=105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（）32【答案】D．【解析】∵∠A=90°，∠ABC=105°，∴∠ABD=45°，∠CBD =60°，∴△ABD是等腰直角三角形，△CBD是等边三角形．设AB长为R，则BDR．∵上面圆锥的侧面积为1，即1＝12lR，∴l＝2R·∴下面圆锥的侧面积为12lR＝12·2R．故选D．17.(2019·宁波)如图所示,矩形纸片ABCD中,AD＝6cm,把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后,分别裁出扇形ABF和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,则AB的长为A.3.5cmB.4cmC.4.5cmD.5cm【答案】BDCBA【解析】AE＝124ABπ⋅⋅,右侧圆的周长为DEπ⋅,∵恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,∴,124ABπ⋅⋅＝DEπ⋅,AB＝2DE,即AE＝2ED,∵AE+ED＝AD＝6,∴AB＝4,故选B.18. （2019·衢州）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形。
【中考专题】天津市和平区 2019年中考数学 圆 解答题 专题复习 15题(含答案)
2019年中考数学圆解答题专题复习1.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=错误！未找到引用源。
，AD⊥BC,垂足为D，过A,D的⊙O分别与AB,AC交于点E,F，连接EF,DE,DF.（1）求证：△ADE≌△CDF；（2）当BC与⊙O相切时，求⊙O的面积.2.如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦．过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．(1)判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若AB=9，BC=6．求PC的长．3.如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC．（1）求证：AB=AC；（2）若AD=4，cos∠ABF=0.8，求DE的长．4.如图，已知⊙O内接于△ABC，BC为⊙O直径，延长AC至D，过D作⊙O切线，切点为E，且∠D=90°，连接CE.(1)求证：CE平分∠BCD；(2)若⊙O的半径为5，CD=2，求DE的长.5.如图，已知在△ABC中，AB=AC，A=45°，圆心O在AB上，O过B点，且与AC切于点D，连接BD，O半径为1.（1）求AC的长；（2）求BD2的长.6.如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，点B在⊙O上，PA=PB，PB的延长线与AC的延长线交于点M．（1）求证；PB是⊙O的切线；（2）当AC=6，PA=8时，求MB的长．7.如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结BD．（1）求证：∠A=∠BDC；（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．8.如图，点C是以AB为直径的圆O上一点，直线AC与过B点的切线相交于D，点E是BD的中点，直线CE交直线AB于点F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若ED=3，EF=5，求⊙O的半径．9.如图，已知△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于F．（1）求证：AE=BE；（2）求证：FE是⊙O的切线；（3）若FE=4，FC=2，求⊙O的半径及CG的长．10.如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC中点，DE⊥AB，垂足为E，交AC的延长线于点F．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）若CF=3，cosA=0.4，求出⊙O的半径和BE的长；（3）连接CG，在（2）的条件下，求CG:EF的值．11.如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OB，垂足为M，DE=4，连接AD，过E作AD平行线交AB延长线于点C．（1）求⊙O的半径；（2）求证：CE是⊙O的切线；（3）若弦DF与直径AB交于点N，当∠DNB=30°时，求图中阴影部分的面积．12.如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中点，以AD为直径的⊙O与AE交于点F．（1）求证：四边形AOCE为平行四边形；（2）求证：CF与⊙O相切；（3）若F为AE的中点，求∠ADF的大小．13.如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F．过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G．（1）求证：△EFD为等腰三角形；（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．14.如图，以矩形ABCD的边CD为直径作⊙O，交矩形的对角线BD于点E，点F是BC的中点，连接EF．（1）试判断EF与⊙O的关系，并说明理由．（2）若DC=2，EF=，点P是⊙O上除点E、C外的任意一点，则∠EPC的度数为（直接写出答案）15.如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，边BC是⊙O的切线，切点为D，AB经过圆心O并与圆相交于点E，连接AD．⑴求证：AD平分∠BAC；⑵若AC=8，tan∠DAC=0.75，求⊙O的半径．答案1.解：2.3.4.答案为：(1)证明略；(2)DE=4.5.答案为：(1)AC=1+错误！未找到引用源。
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O G
F E D
C
B A 2019年中考数学复习专题分类练习---圆综合解答题
1.如图，点A 在⊙O 上，点P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，连接OP 交⊙O 于点D ，作AB ⊥OP 于点C ，交⊙O 于点B ，连接PB ．
（1）求证：PB 是⊙O 的切线；
（2）若PC=9，AB=6，
①求图中阴影部分的面积；
②若点E 是⊙O 上一点，连接AE ，BE ，当AE=6时，BE= ．
2．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB=AD ，对角线BD 为⊙O 的直径，AC 与BD 交于点E ．点F 为CD 延长线上，且DF=BC.
（1）证明：AC=AF ；
（2）若AD=2，AF=13 ，求AE 的长；
（3）若EG ∥CF 交AF 于点G ，连接DG.证明：DG 为⊙O 的切线.
3.在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(06)，，点M 的坐标是(80)，，P 是射线AM 上一点，PB x ⊥轴，垂足为B ．设AP a =．
（1）AM = ；
（2）如图，以AP 为直径作圆，圆心为点C ．若C e 与x 轴相切，求a 的值；
（3）D 是x 轴上一点，连接AD ，PD ．若△OAD ∽△BDP ，试探究满足条件的点D 的个数(直接写出点D 的个数及相应a 的取值范围，不必说明理由)．
4.如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的圆O 交BC 于点D ，过点C 作CF ∥AB ，与⊙O 的切线BE 交于点E ，连接DE ．
（1）求证：BD=CD ；
（2）求证：△CAB ∽△CDE ；
（3）设△ABC 的面积为S 1，△CDE 的面积为S 2，直径AB 的长为x ，若∠ABC=30°，S 1、S 2 满足S 1+S 2=，试求x 的值．
5.如图，AB 为O e 的直径，直线BM AB ⊥于点B .点C 在O e 上，分别连接BC ，AC ，
且AC 的延长线交BM 于点D .CF 为O e 的切线交BM 于点F .
（1）求证：CF DF =；
（2）连接OF . 若10AB =，6BC =，求线段OF 的长.
6.如图，AB 是O e 的直径，M 是OA 的中点，弦
CD AB ⊥于点M ，
过点D 作DE CA ⊥交CA 的延长线于点E .
（1）连接AD ，则OAD ∠
= ︒ ；
（2）求证：DE 与O e 相切；
（3）点F 在»BC 上，45CDF ∠=︒，DF 交AB 于点N .若3DE =，求FN 的长.
7.如图,在△ABC 中,BA=BC,以AB 为直径的⊙O
分别交AC 、BC
于点D 、E,延长BC 到点F ，连接AF,使∠ABC=2∠CAF ．
（1）求证：AF 是⊙O 的切线；
（2）若AC=4，CE ：EB=1：3，求CE 的长．
O N M F D C
A
8.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是半圆O 上的一点，AC 平分∠DAB ，AD ⊥CD ，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E ，连接CE ．
（1）判断CD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；
（2）若E 是的中点，⊙O 的半径为2，求图中阴影部分的面积．
9.如图，在扇形AOB 中，∠AOB=120°，弦AB=，点M 是上任意一点（与端点A 、B 不重合），ME ⊥AB 于点E ，以点M 为圆心，ME 长为半径作⊙M ，分别过点A 、B 作⊙M 的切线，两切线相交于点C ．
（1）求的长；
（2）试判断∠ACB 的大小是否随点M 的运动而改变？若不变，请求出∠ACB 的大小；若改变，请说明理由．
10.如图，Rt ABC ∆内接于⊙O ，AC BC =，BAC ∠的平分线AD 与⊙O 交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连接CD ，G 是CD 的中
点，连接OG .
(1)判断OG 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明;
(2)求证:AE BF =;
(3)若3(2OG DE =g ，求⊙O 的面积.。