高考数学专题直线和圆练习题

专题七：直线与圆

例1：不等式063<-+ay x )0(>a 表示的平面区域是在直线063=-+ay x （ ）

的点的集合。

（A ）左上方 （B ）右上方 （C ）左下方 （D ）右下方

[思路分析] 作出直线063=-+ay x ，又因为06003<-⨯+⨯a ，所以原点在区域内侧表示直线的左下方，故选取C 。

[简要评述] 用特殊值法解选择题是常用的方法。

例2：若直线k x y +=与曲线21y x -=恰有一个公共点，则k 的取值范围是 ( )

（A ）2±=k （B ）[)(]2,,2-∞-+∞ （C ）()

2,2- （D ）2-=k 或(-1,1] [思路分析] 数形结合的思想，k x y +=

表示一组斜率为1的平行直线，21y x -=

表示y 轴的右半圆。如图可知，选（D ）

[简要评述] 数形结合思想的灵活运用，此题 可以进一步拓展，21y x --=，21x y -±=等。

例3：如果实数x 、y 满足()322=+-y x ，那么x

y 的最大值是 。 [思路分析] 解法一：设直线l ：kx y =，则x

y 表示直线l 的斜率，直线l 与圆 ()322=+-y x

距离为半径即可。

解法二：设圆的参数方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+=θθsin 3cos 32y x 则 θ

θcos 32sin 3+=x y 据三角知识求解。 解法三：设x y =t ，则⎩⎨⎧==+-tx

y y x 3)2(22 只要解方程组，利用0=∆可得解。

解法四：如图，联结圆心C 与切点M ，则由OM ⊥CM ，又Rt △OMC 中，OC=2，CM=3 所以，OM=1，得3==OM

MC x y [简要评述] 小题小做，选方法四最为简单，数形结合的数学思想的灵活运用。

例4：已知两点)2,(m A ，)1,3(B ，求直线AB 的斜率与倾斜角。

[思路分析] 注意斜率存在的条件。当3=m 时，k 不存在。α=

2π，当3≠m 时， 31312tan -=--==m m k α；当3>m 时,3

1arctan -=m α，当3

1arctan -+=m πα [简要评述] 此题涉及到分类讨论的数学思想方法，分类讨论在历年的高考中，特别是综合性题目中常常出现，是重点考查的数学思想方法之一。

例5：过点)4,2(M 作两条互相垂直的直线，分别交x 、y 的正半轴于A 、B ，

若四边形OAMB 的面积被直线AB 平分，求直线AB 方程。

[思路分析] 命题有两种设方程的方案：①设MA 、MB 的点斜式方程，然后求出k ；②设AB 的截距式方程，经过估算，应选第②方案更好。设方程为1=+b

y a x （a>0,b>0） ∴)0,(a A 、),0(b B 。 ∵MA ⊥MB ∴b a b a 2100)4()4()2()2(-=⇒=-⋅-+-⋅- ∵a>0 0

∴M 到AB 的距离2

2|42|b a ab a b d +-+=

∴MAB ∆的面积208|208||42|||222121

1+-=+-=-+==b b b b ab a b AB d S

而OAB ∆的面积221

25b b ab S -==，

∵直线AB 平分四边形OAMB 的面积，∴21S S = ， 可得 ⎪⎩

⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==52524a b a b 或

故所求AB 方程为052=-+y x 和042=-+y x 。

[简要评述] 若命题中的直线与两坐标轴均有交点，应首先考虑选用截距式方程是否有利。

例6：已知122=+y x ，定点A(1,0)，B 、C 是圆上两个动点，保持A 、B 、C 在圆上逆时针排列，且3π

=∠BOC (O 为坐标原点)，求△ABC 重心G 的轨迹方程。

[思路分析] 设),(θθSin Cos B ，则))(),((33ππ

θθ++Sin Cos C ；设G （x ，y ）

则 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝

⎛+++=3131πθθCos Cos x ① ⎥⎦⎤⎢⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=331πθθSin Sin y ② ①2+②2 得 ()()33223132

2=+=+-πCos y x 即 ⎪⎭⎫ ⎝

⎛<<=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-350 313122πθy x [简要评述] 适当运用圆的参数方程，设B 、C 两点坐标，有利于寻求函数关系。

例7：过点P （-8，0），引圆C ：0410222=++-+y x y x

的割线，求被此圆截得的弦的中点的轨迹方程。

[思路分析] 方法一，()()225122=++-y x ∵CM ⊥PM ，∴弦AB 的中点M 的轨迹是以

P （-8，0）、C （1，-5）中点为圆心，|PC|

长为直径的圆。 25325272

2=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝

⎛+y x （圆C 的内部） 方法二，设M （x ，y ）为AB 中点，过点P （-8，0）的直线 ()8+=x k y ，又设A （1x ，y 1），B （x 2，y 2），

由方程组 0410222=++-+y x y x

()8+=x k y

可以得到()()

0480642101612222=+++-+++k k x k k x k 据韦达定理可以得解。

方法三，

()()()

()()()0

581-x 0 , y ,8PM ,5y ,1 ,y ,=+++⇒=⋅∴⊥+=+-=y y x PM CM PM CM x x CM x M 化简得 085722=-+++y y x x （圆C 的内部）

[简要评述] 方法一是据圆的定义得解的较为简单；方法二容易想到，但计算量太大；方法三是利用平面两向量垂直的性质与平面两向量的数量积，使解题过程简单化。

例8：已知气象台A 处向西300km 处，有个台风中心，已知台风以每小时40km 的速度向东北方向移动，距台风中心250km 以内的地方都处在台风圈内，问：从现在起，大约多长时间后，气象台A 处进入台风圈？气象台A 处在台风圈内的时间大约多长？

[思路分析] 如图建立直角坐标系，B 为台风中心，

处在台风圈内的界线为以B 为圆心，半径为250的

圈内，若t 小时后，台风中心到达B 1点，则

B 1(-300+40tCOS450,40tsin450)，则以B 1为圆心，

250为半径的圆的方程为 ()()222250*********=-+-+t y t x

那么台风圈内的点就应满足 ()()222250*********≤-+-+t y t x 。若气象台A 处进入台风圈，那么A 点的坐标就应满足上述关系式，把A 点的坐标(0，0)代入上面不等式，得()()222250*********≤+-t t ，解得4

75215475215+≤≤-t ，即为61.899.1≤≤t ；所以气象台A 处约在2小时后进入台风圈，处在台风圈内的时间大约6小时37分。

[简要评述] 学生怕做应用题，帮助学生分析题意尤其重要。关键是寻求有效信息，建立函数关系式，运算到位。

【热身冲刺】

一、选择题：

1． △ABC 中，三个顶点坐标A （2，4）、B （-1，2）、C （1，0），点P （x ，y ）在内部及