北师大版选修第三章《变化率与导数》word教案

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高中数学(北师大版)选修1-1教案：第3章知识归纳：变化率与导数

3.2 导数的概念及其几何意义变化率问题1.平均变化率：已知函数y =f (x )，令Δx=21x x -，21()()y f x f x =-，则当0x ≠时，比值2121()()f x f x x x --=y x，称作函数f (x )从1x 到2x 得平均变化率. 2.瞬时速度：物体在某一时刻的速度.3.求自变量的增量Δx=0x x -，函数的增量000()()()()y y y f x f x f x x f x =-=-=+-4.求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00，要注意Δx 、y 的值可正、可负，但0x ≠，y 可为零，若函数f (x )为常值函数，则y =0导数的概念1.导数：一般地，函数y =f (x )在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000= xy x ∆∆→∆0lim .我们称它为函数y =f (x )在0x x =处的导数，记作f ′(x 0)或f ′(x 0)，即f ′(x 0)=x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000. 2.对导数的定义要注意两点：第一：Δx 是自变量x 在0x 处的该变量，所以Δx 可正可负，但0x ≠；第二：函数在某点的导数，就是在该点的函数值改变量与自变量之比的极限值，因此它是一个常数而不是变数.3.求函数y =f (x )在点x 0处的导数的方法是：(1)求函数y =f (x )的增量Δy =f (x 0+Δx )-f (x 0);(2)求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00; (3)取极限，得函数f ′(x 0)=xy x ∆∆→∆0lim . 导数的几何意义1.导数的几何意义k=tanα=f′(x0)函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f′(x0).切线方程可表示为y-f(x0)=f′(x0)·(x-x0).2.可以利用导数求曲线的切线方程,方法：①求出函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0).②得切线方程y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).特例：如果曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数不存在，就是切线平行于y 轴，这时根据切线定义，可得切线方程为x=x0.3.导数与切线的关系.①f′(x0)>0,切线与x轴正向的夹角为锐角.②f′(x0)<0,切线与x轴正向的夹角为钝角.③f′(x0)=0，切线与x轴平行.④f′(x0)不存在，切线与y轴平行.。

高中数学第3章变化率与导数 2 导数的概念及其几何意

• 3．曲线y＝2x2－3x在点A(0,0)处的切线方程是________．
解析： f′(0)＝Δlixm→02Δx2－Δ3xΔx－0 ＝lim (2Δx－3)＝－3
Δx→0
∴切线方程：y＝－3x，即 3x＋y＝0.
答案： 3x＋y＝0
• 4．求函数y＝x2＋ax＋b(a、b为常数)在x＝1处的导数．
• 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点 PP((xx00，，ff((xx00))))处处的的切切线线的的斜斜__率率__是_，_也__就__是__说．，相曲应线地y，＝切f(线x)在方点程为_____________________． f′(x0)
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
•
(1)曲线的切线是用导数来定义的，是割线的
极限位置．
(2)如图所示，尽管直线l1与y＝f(x) 有两个交点，但l1也称为y＝f(x)在点A处的切线．尽管直线l2与y＝f(x)仅有一个交点，但 l2 也不是 y ＝ f(x) 在 B 处的切线．即切线与曲线交点个数无关，只是割线的极限位置．
求切点坐标
•
(12分)在曲线y＝x2上分别求一点P使得曲线在该
(2)由导数定义，可以得到求函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数的一般步骤为：
①求函数的改变量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； ②求平均变化率ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0； ③取极限，得导数 f′(x0)＝Δlixm→xΔΔyx. 上述求导方法可简记为：一差，二化，三极限．
2．导数的几何意义
x1→x0
fxx11－－fx0x0＝Δlixm→0fx0＋ΔΔxx－fx0.
(1)某点的导数即为函数在这点的变化率．某点的导数的概念包含着两层意义：①Δlixm→0ΔΔxy存在，则称 f(x)在 x ＝x0 处可导并且导数即为极限值；②Δlixm→0ΔΔyx不存在，则称 f(x)在 x＝x0 处不可导．

高中数学第三章变化率与导数3计算导数学案北师大版选修1_1

高中数学第三章变化率与导数3计算导数学案北师大版选修1_1对于函数y＝－x2＋2x.问题1：如何求f′(1)?提示：f′(1)＝.问题2：如何求f′(x)?提示：f′(x)＝.问题3：f′(x)与f′(1)有什么关系？提示：f′(1)可以认为把x＝1代入导函数f′(x)得到的值．1．导函数若一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝limΔx→0＋Δ－Δx则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，简称为导数．2．导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)1．导数公式表中(ax)′＝axln a与(logax)′＝较易混淆，要区分公式的结构特征，找出它们之间的差异去记忆．2．f′(x)与f′(x0)既有区别，又有联系，f′(x)是导函数，f′(x0)是当x＝x0时导函数f′(x)的一个函数值，是一个确定的值．[例1] 单位：s)的函数关系式为s(t)＝t2＋t.求s′(0)，s′(2)，s′(5)，并说明它们的意义．[思路点拨] 先求出s(t)的导函数，然后分别把t＝0,2,5代入即可．[精解详析] 由题意Δs＝s(t＋Δt)－s(t)＝(t＋Δt)2＋(t＋Δt)－(t2＋t)＝(Δt)2＋2t·Δt＋Δt.∴＝＝Δt＋2t＋1.当Δt趋于0时，可以得出导函数为s′(t)＝＝ (Δt＋2t＋1)＝2t＋1.因此，s′(0)＝2×0＋1＝1，它表示物体的初速度为1 m/s；s′(2)＝2×2＋1＝5，它表示物体在第2 s时的瞬时速度为5 m/s；s′(5)＝2×5＋1＝11，它表示物体在第5 s时的瞬时速度为11 m/s.[一点通]利用定义求函数y＝f(x)的导函数的一般步骤：(1)确定函数y＝f(x)在其对应区间上每一点都有导数；(2)计算Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；(3)当Δx趋于0时，得到导函数f′(x)＝.。

优秀教案21-变化率与导数

第三章导数及其应用 3.1 变化率与导数（1）教材分析导数是微积分的核心概念之一.它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具，因而也是解决诸如运动速度、物种繁殖率、绿化面积增长率，以及用料最省、利润最大、效率最高等实际问题的最有力的工具.在本章,我们将利用丰富的背景与大量实例,学习导数的基本概念与思想方法;通过应用导数研究函数性质、解决生活中的最优化问题等实践活动，初步感受导数在解决数学问题与实际问题中的作用.教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．课时分配本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A 版）数学选修1－1第三章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时，主要讲解导数的概念及利用定义求导数.教学目标重点: 通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念．难点：使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念．知识点：导数的概念.能力点：掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤教育点：通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验自主探究点：通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程.考试点：利用导数的概念求导数.易错易混点：对0x ∆→的理解，0,0,x x ∆>∆<0,0x x ∆>∆≠但0x ∆≠. 拓展点：导数的几何意义.教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、引入新课师生活动：教师：请说出函数()y f x =从x 1到x 2的平均变化率公式．学生：2121()()f x f x x x --．教师：如果用x 1与增量△x 表示，平均变化率的公式是怎样的？学生：11()()f x x f x x+∆-∆教师：高台跳水的例子中，在时间段650,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦里的平均速度是零，而实际上运动员并不是静止的．这说明平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.学生：在教师的讲述中思考用什么量来反映运动员的运动状态．提问：用一个什么样的量来反映物体在某一时刻的运动状态？学生：体会并明确瞬时速度的作用．提问：我们如何得到物体在某一时刻的瞬时速度？例如，要求物体在2s 的瞬时速度，应该怎么解决？【设计意图】让学生理解平均速度与瞬时速度的区别与联系，感受到平均速度在时间间隔很小时可以近似地表示瞬时速度.【设计说明】应使学生明确平均速度与瞬时速度的关系，为下一阶段实验活动作铺垫.二、探究新知已知跳水运动员在跳水过程中距离水面的高度与时间的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++，完成下列表格中02t =秒附近的平均速度的计算并填充好表格，观察平均速度的变化趋势．师：观察以上表格，你能发现平均速度有什么变化趋势吗？将结果投影，引导同学们一起观察.在学生观察的基础上指出：当t ∆趋近于0时，平均速度都趋近于一个确定的常数，这个常数就是瞬时速度．[设计意图] 让学生通过定量分析感受平均速度在时间间隔越来越小时向瞬时速度逼近的过程．给学生充分的感性材料, 使学生从感性上获得求瞬时速度的方法．培养学生归纳、概括能力.师:你认为通过实验所得结果（常数）就是瞬时速度吗？这个数据到底是精确值还是近似值？启发学生归纳出结论：0t ∆→时，平均速度所趋近的这个常数是可以得到的，它不是近似值，是一个精确值，它与变量t ∆无关，只与时刻0t 有关．[设计意图] 使学生认识到平均速度当时间间隔趋向于零时的极限就是瞬时速度，为给出导数概念提炼出一个具体的极限模型．一般地,函数()y f x =在x x =o 处的瞬时变化率是00()()limlim x x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆o o ,我们称它为函数()y f x =在x x =o 处的导数,记作()f x 'o 或|x x y ='o ,即()f x 'o =00()()lim lim x x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆o o .三、理解新知求函数()y f x =在点0x 处的导数的步骤大致分为以下三步：第一步，求函数增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；第二步，求平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆；第三步，求平均变化率的极限，即导数'00()lim x yf x x∆→∆=∆．[设计意图]为准确地运用新知，作必要的铺垫.四、运用新知例1求2y x =在点1x =处的导数．解:222(1)12()y x x x ∆=+∆-=∆+∆,22()2y x x x x x ∆∆+∆==+∆∆∆, ∴00limlim(2)2x x yx x ∆→∆→∆=+∆=∆.1'|2x y =∴=注意:2()x ∆括号别忘了写.变式训练: 求224y x x =+在点3x =处的导数.解:2222(3)4(3)(2343)2()16y x x x x ∆=+∆++∆-⨯+⨯=∆+∆,216yx x∆=∆+∆, 00lim lim(216)16x x y x x ∆→∆→∆=∆+=∆, 即3'|16x y ==.[设计意图]通过变式训练,便于学生全面的认识利用定义求导数的步骤, 提高理解、运用知识的能力．例2 已知21y x =+,求'y .解:[]2()1(21)y x x x ∆=+∆+-+2x =∆,2yx∆∴=∆,0lim2x yx∆→∆∴=∆,即'2y =.变式训练: 已知y =,求'y .解:y ∆=,y x x∆=∆∆,0limlimx x y x x ∆→∆→∆==∆∆=’ 'y ∴=[设计意图] 由一个问题引申为一类问题，提高学生的解题能力．同时,便于学生发现不同题目解题过程的区别与联系,有利于学生用联系的观点看问题．五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答： 1．知识：导数的概念.2．思想：特殊与一般、化归的思想．教师总结: 本节课学习了导数的概念，导数的概念表明：当自变量的增量趋向于零时，函数在某点的平均变化率的无限地趋向于函数在该点的瞬时变化率，这是非常重要的极限思想．求导数的步骤大致分为以下三步：第一步，求函数增量；第二步，求平均变化率并化简；第三步，求平均变化率的极限，即导数． [设计意图] 加强对学生学习方法的指导．六、布置作业1．阅读教材P74—76； 2.书面作业必做题： P79 习题3.1 A 组 1,2,3,4,5. 选做题：1.如果质点A 按照规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为 . 2.设函数()f x 可导，则0(1)(1)lim3x f x f x∆→+∆-=∆ .3. 设函数()f x 3ax =+，若'(1)3f =，则a = .4.函数1y x x=+在1x =处的导数等于 . 5.质点M 按规律223s t =+做直线运动(位移单位:cm ，时间单位：s)，求质点M 在2t =时的瞬时速度，并与运用匀变速直线运动速度公式求得的结果进行比较. 答案:1. 18 2.1(1)3f ' 3. 3 4. 0 5. 瞬时速度为8/cm s ,用两种方法求得的结果相同. 课外思考:函数()y f x =在一点处的导数有什么几何意义吗?[设计意图]设计作业1,2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是为了让学生能够运用导数的概念，解决简单的数学问题；课外思考的安排，是让学生深刻思考、领悟导数的意义，为下节课的学习做铺垫．七、教后反思1.“以学生为本”的教育观是教学设计的根本指导思想.学生通过“经历”、“体会”、“感受”，最后形成概念的学习过程，充分体现了学生为本的现代教育观.2.作业的布置尽量满足多样化的学习需求,做到因材施教,但在具体实施中,分寸的把握需视情况而定.八、板书设计。

高中数学第三章变化率与导数3.3计算导数课件北师大版选修1_1

Δ→0
Δ →0 (+Δ)
探究二
利用导数公式求导数
4
(1)y=ex;(2)y=10x;(3)y=x2·x3 ;(4)y= x3;(5)y=lo1x.
2
(4)∵y=
4
x3
=
3
3
y'=( 4)'=
3
4,
1
-4
=
4
∴
(5)y'=
1
1.
x 2
3
44 x
.
变式训练 2 求下列函数的导数.
y=ex
y'=ex
y=ln x
y'=
y=tan x
y'=2
y=cot x
y'=- 2

数
y'=
1
x a
1

f(x)= ,有 f(x)= =

,从而
数
导函数
1
x
1

f'(x)=( )'=

· -1.
【做一做 2】 (1)若 f(x)=x5 ,则 f'(x)=
学习目标
1.能根据导数的定义求几种
常用函数的导数,并能熟练
运用.在公式推导过程中注
意创新思维的培养.
2.掌握基本初等函数的求导
公式,并能利用这些公式求
基本初等函数的导数.
思维脉络
f(x+x)-f(x)
,
x
Δ→0
(2)f'(x)是关于 x 的函数且 f'(x)= lim
f'(x)= lim
220 -6

高中数学第三章变化率与导数 3.1 变化的快慢与变化

3.1 变化的快慢与变化率学习目标 1.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念.2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度.知识点一函数的平均变化率观察图形，回答下列问题：思考1 函数f (x )在区间[x 1，x 2]上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系？答案 (1)y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.(2)平均变化率的绝对值越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然. 思考2 怎样理解自变量的增量、函数值的增量？答案 (1)自变量的增量：用Δx 表示，即Δx ＝x 2－x 1，表示自变量相对于x 1的“增加量”. (2)函数值的增量：用Δy 表示，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，也表示为f (x 1＋Δx )－f (x 1)，表示函数值在x 1的“增加量”.(3)增量并不一定都是正值，也可以是负值，函数值的增量还可以是0，比如常数函数，其函数值的增量就是0. 梳理平均变化率 (1)定义式：Δy Δx＝f x 2－f x 1x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比. (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢.(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )图像上的两点，则平均变化率Δy Δx＝f x 2－f x 1x 2－x 1表示割线P 1P 2的斜率.知识点二瞬时变化率思考1 物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？答案不能.如高台跳水运动员从起跳高度到最高点然后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态.思考2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？答案可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态.梳理要求物体在t 0时刻的瞬时速度，设运动方程为s ＝s (t )，可先求物体在(t 0，t 0＋Δt )内的平均速度Δs Δt＝st 0＋Δt －s t 0Δt，然后Δt 趋于0，得到物体在t 0时刻的瞬时速度.类型一函数的平均变化率命题角度1 求函数的平均变化率例1 求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？解在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f＋Δx －fΔx＝＋Δx 2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f＋Δx －fΔx＝＋Δx 2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f＋Δx －fΔx＝＋Δx 2－32Δx＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大. 反思与感悟求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (3)得平均变化率Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝x 2＋2x －5的图像上的一点A (－1，－6)及邻近一点B (－1＋Δx ，－6＋Δy )，则ΔyΔx＝ .(2)如图所示是函数y ＝f (x )的图像，则函数f (x )在区间[－1，1]上的平均变化率为；函数f (x )在区间[0，2]上的平均变化率为 .答案 (1)Δx (2)12 34解析 (1)ΔyΔx ＝f－1＋Δx －f －Δx＝－1＋Δx2＋－1＋Δx －5－－Δx＝Δx .(2)函数f (x )在区间[－1，1]上的平均变化率为f－f －1－－＝2－12＝12. 由函数f (x )的图像知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0，2]上的平均变化率为f－f2－0＝3－322＝34.命题角度2 平均变化率的几何意义例2 过曲线y ＝f (x )＝x 2－x 上的两点P (1，0)和Q (1＋Δx ，Δy )作曲线的割线，已知割线PQ 的斜率为2，求Δx 的值.解割线PQ 的斜率即为函数f (x )从1到1＋Δx 的平均变化率ΔyΔx .∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(12－1)＝Δx ＋(Δx )2， ∴割线PQ 的斜率k ＝ΔyΔx＝1＋Δx .又∵割线PQ 的斜率为2，∴1＋Δx ＝2，∴Δx ＝1.反思与感悟函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率的实质是函数y ＝f (x )图像上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))连线P 1P 2的斜率，即12P P k ＝Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.跟踪训练2 (1)甲，乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，则在[0，t 0]这个时间段内，甲，乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( )A.v 甲>v 乙B.v 甲<v 乙C.v 甲＝v 乙D.大小关系不确定(2)过曲线y ＝f (x )＝x1－x 图像上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx ，－2＋Δy )作割线，则当Δx ＝0.5时割线的斜率为 . 答案 (1)B (2)23解析 (1)设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 乙＝k BC .因为k AC <k BC ，所以v 甲<v 乙.(2)当Δx ＝0.5时，2＋Δx ＝2.5，故－2＋Δy ＝ 2.51－2.5＝－53，故k PQ ＝－53＋22.5－2＝23.类型二求函数的瞬时变化率例3 以初速度v 0(v 0>0)竖直上抛的物体，t 秒时的高度s 与t 的函数关系为s ＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处的瞬时速度.解因为Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫v 0t 0－12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，所以Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt .当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于v 0－gt 0，故物体在时刻t 0处的瞬时速度为v 0－gt 0. 反思与感悟 (1)求瞬时速度的步骤 ①求位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；②求平均速度v ＝ΔsΔt；③当Δt 趋于0时，平均速度ΔsΔt 趋于瞬时速度.(2)求当Δx 无限趋近于0时ΔyΔx的值 ①在表达式中，可把Δx 作为一个数来参加运算；②求出ΔyΔx的表达式后，Δx 无限趋近于0就是令Δx ＝0，求出结果即可.跟踪训练3 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值. 解质点M 在t ＝2时的瞬时速度即为函数在t ＝2处的瞬时变化率. ∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率 Δs Δt＝s ＋Δt －sΔt＝a＋Δt 2－4aΔt＝4a ＋a Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于4a ，∴4a ＝8，得a ＝2.1.已知函数f (x )，当自变量由x 0变化到x 1时，函数值的增量与相应的自变量的增量之比是函数( ) A.在x 0处的变化率B.在区间[x 0，x 1]上的平均变化率C.在x 1处的变化率D.以上结论都不对答案 B 解析Δy Δx＝f x 1－f x 0x 1－x 0，由平均变化率的定义可知，故选B.2.一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2，2.1]这段时间内的平均速度是( ) A.0.4 B.2 C.0.3 D.0.2答案 B 解析s－s 2.1－2＝3＋2×2.1－＋0.1＝2.3.物体运动时位移s 与时间t 的函数关系是s ＝－4t 2＋16t ，此物体在某一时刻的瞬时速度为零，则相应的时刻为( )A.t ＝1B.t ＝2C.t ＝3D.t ＝4答案 B解析设此物体在t 0时刻的瞬时速度为0， Δs Δt ＝s t 0＋Δt －s t 0Δt＝－8t 0＋16－4Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－8t 0＋16，令－8t 0＋16＝0，解得t 0＝2.4.球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为 . 答案28π3解析 ∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴球的体积平均膨胀率为Δy Δx ＝28π3.5.设函数f (x )＝3x 2＋2在x 0＝1，2，3附近Δx 取12时的平均变化率分别为k 1，k 2，k 3，比较k 1，k 2，k 3的大小.解函数在[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为6x 0＋3Δx . 当x 0＝1，Δx ＝12时，函数在[1，1.5]上的平均变化率为k 1＝6×1＋3×0.5＝7.5；当x 0＝2，Δx ＝12时，函数在[2，2.5]上的平均变化率为k 2＝6×2＋3×0.5＝13.5；当x 0＝3，Δx ＝12时，函数在[3，3.5]上的平均变化率为k 3＝6×3＋3×0.5＝19.5，所以k 1<k 2<k 3.1.平均变化率反映函数在某个范围内变化的快慢；瞬时变化率反映函数在某点处变化的快慢.2.可以使用逼近的思想理解瞬时变化率，同时结合变化率的实际意义.40分钟课时作业一、选择题1.已知函数y ＝f (x )＝sin x ，当x 从π6变到π2时，函数值的改变量Δy 等于( )A.－12B.12C.π3D.32答案 B解析 Δy ＝f (π2)－f (π6)＝sin π2－sin π6＝12.2.一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( ) A.－3 B.3 C.6 D.－6 答案 D解析由平均速度和瞬时速度的关系可知，当Δt 趋于0时，－3Δt －6趋于－6，故该质点在t ＝1时的瞬时速度为－6.3.如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A.1B.－1C.2D.－2答案 B解析依题意可知Δy ＝y B －y A ＝1－3＝－2， Δx ＝x B －x A ＝3－1＝2，所以函数y ＝f (x )在x A 到x B 之间的平均变化率为 Δy Δx ＝－22＝－1. 4.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，则治污效果较好的是( )A.甲B.乙C.相同D.不确定答案 B解析在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，但是在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1t 0－W 1t 0－Δt Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2t 0－W 2t 0－Δt Δt ，所以在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小. 所以乙厂的治污效果较好.5.函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( ) A.k 1<k 2 B.k 1>k 2 C.k 1＝k 2 D.无法确定答案 D 解析 k 1＝f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f x 0－f x 0－ΔxΔx＝2x 0－Δx ，而Δx可正可负，故k 1、k 2大小关系不确定.6.如果函数y ＝f (x )＝ax ＋b 在区间[1，2]上的平均变化率为3，则( ) A.a ＝－3 B.a ＝3C.a ＝2D.a 的值不能确定答案 B 解析Δy Δx＝f－f 2－1＝a ＝3.7.一个物体的运动方程是s ＝2t 2＋at ＋1，该物体在t ＝1时的瞬时速度为3，则a 等于( ) A.－1 B.0 C.1 D.7答案 A 解析 Δs Δt ＝s＋Δt －sΔt＝＋Δt2＋a＋Δt ＋1－＋a ＋Δt＝a ＋4＋2Δt ，当Δt 趋于0时，a ＋4＋2Δt 趋于a ＋4，由题意知a ＋4＝3，得a ＝－1. 二、填空题8.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图像如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为 .答案 v 1<v 2<v 3解析 v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ，由图像知，k OA <k AB <k BC .9.函数f (x )＝1x2＋2在x ＝1处的瞬时变化率为 .答案－2 解析 ∵Δy ＝1＋Δx2＋2－(112＋2)＝1＋Δx2－1＝－2Δx －Δx 2＋Δx2，∴Δy Δx ＝－2－Δx ＋Δx2，当Δx 趋于0时，ΔyΔx趋于－2.10.已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图像上的一点A (－1，－2)及邻近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx＝ . 答案 3－Δx解析 ∵－2＋Δy ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )， ∴ΔyΔx ＝－－1＋Δx2＋－1＋Δx －－Δx＝3－Δx .11.函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率为2，则t ＝ . 答案 5解析函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是Δy Δx ＝f t －f －t －－＝t 2－t －－2－2t ＋2＝2，即t 2－t －6＝2t ＋4，t 2－3t －10＝0，解得t ＝5或t ＝－2(舍去).所以当函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2时，t 的值是5. 三、解答题12.若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2，2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的取值范围.解 ∵函数f (x )在[2，2＋Δx ]上的平均变化率为Δy Δx ＝f ＋Δx －fΔx＝－＋Δx2＋＋Δx －－4＋Δx＝－3－Δx ，∴由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2. 又∵Δx >0，∴Δx 的取值范围是(0，＋∞).13.若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 t ①29＋t －2 t②求：(1)物体在t ∈[3，5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0； (3)物体在t ＝1时的瞬时速度.解 (1)∵物体在t ∈[3，5]内的时间变化量为 Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3，5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3，5]内的平均速度为 Δs Δt ＝482＝24 (m/s). (2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度. ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f ＋Δt －fΔt＝29＋＋Δt －3]2－29－－2Δt＝3Δt －18，∴当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为－18，即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率. ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为 Δs Δt＝f ＋Δt －fΔt＝29＋＋Δt －3]2－29－－2Δt ＝3Δt －12. ∴当Δt 趋于0时，Δs Δt趋于－12， ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为－12. 即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。

2021_2022学年高中数学第三章变化率与导数3.1变化的快慢与变化率课件北师大版选修1_1202

B.6+Δt+
Δ
C.3+Δt
D.9+Δt
解析:Δs=[(3+Δt)2+3]-(32 +3)=6Δt+(Δt)2 ,
∴ =
Δ
Δ
答案:A
=
6Δ+(Δ)
Δ
2
=6+Δt.
探究一
探究二
思维辨析
探究二
求瞬时变化率
【例2】柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的,铺路
工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成粘稠液体状.如果开始
(2 )-(1)
(3)平均变化率表示为
2 -1
.
(4)平均变化率的意义:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.
名师点拨对函数平均变化率的两点说明
(1)函数的平均变化率是通过实际问题中的平均速度、气球的膨
胀率、曲线的割线斜率等问题抽象出来的一个数学概念.定义为函
数值的改变量Δy与自变量的改变量Δx的比值.
Δ
答案:B
=
3
4
)
5
1
2
3
4
5
3.在x=1附近,取Δx=0.3,在四个函数①y=x;②y=x2;③y=x3;④y=
1
中,

平均变化率最大的是(
)
A.④
B.③ C.② D.①
解析:①的平均变化率为1,②的平均变化率为2.3,③的平均变化率
为3.99,④的平均变化率约为-0.77.
答案:B
1
2
3
4
单位:s),物体在 t=3 s 这一时刻的速度是
1
2
1
2
1
2

高中数学教学课例《变化率与导数》课程思政核心素养教学设计及总结反思

高中数学教学课例《变化率与导数》教学设计及总结反思
学科
高中数学
教学课例名
《变化率与导数》
称
本节是选修 1-1 第三章导数及其应用的第一节，本
节的内容概念性很强。本节的重难点是教材分析
重点：理解平均变化率，瞬时变化率，导数的概念
难点：导数概念的理解
1、了解导数概念的实际背景
教学目标
2、会求函数在某一点附近的平均变化率
3、会利用导数的定义求函数在某点处的导数
学生学习能
学生的基础都很差，通过组内探究找出困惑，各个
力分析小组分别分析，老师做总结。
先从学生的认知角度出发，通过简单的图像了解到教学策略选
其变化率，让学生了解变化率，从而得出导数的概念。择与设计
先从一般抽象出来，得到导数的概念。
通过对函数图像的研究，了解到其变化率，最先感
受图形的变化，让学生认识到变化率，得出自变量的增教学过程
量与函数值的增量的比值是平均变化率。当自变量的增
量趋近于零时，得出瞬时变化率。从而得出导数的概念。
课例研究综
因为我们学生的基础相当糟糕，所以在讲解过程
述
Байду номын сангаас
中，讲解很慢，在讲解过程中我发现学生对这种抽象的
概念很难理解。应该给他们足够多的时间去消化，而且
对后面的求到公式很重要。
我在本节课中也有很多的不足，知识的把握程度不
够，综合能力较弱，为了更好的提升自己和给学生更深
的理解，我会更加努力认真上好每一节课

高中数学第三章变化率与导数1变化的快慢与变化率学案北师大版选修1_1

——教学资料参考参考范本——高中数学第三章变化率与导数1变化的快慢与变化率学案北师大版选修1_1______年______月______日____________________部门平均变化率某病人吃完退烧药，他的体温变化如下：x(min)0102030405060y(℃)3938.738.53837.637.336.8问题1：试比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30min体温变化情况，哪段时间体温变化较快？提示：从20 min到30 min变化快．问题2：如何刻画体温变化的快慢？提示：用平均变化率．问题3：平均变化率一定为正值吗？提示：不一定．可正，可负，可为零．平均变化率(1)定义：对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为.其中自变量的变化x2－x1称作自变量的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值的改变量，记作Δy.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝.(2)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.瞬时变化率王先生于近日接到了一份交通违规处罚单，原因是上月某周日在一限速70 km/h的路段超速行驶．王先生正上初中的儿子说：“一定是交警叔叔搞错了，那段路正好长60 km，我们用了一个小时，您当时还问我这段路我们的平均速度呢！”问题1：限速70 km/h是指的平均速度不超过70 km/h吗？提示：不是，是指瞬时速度．问题2：瞬时速度与平均速度有何区别？提示：瞬时速度刻画的是物体在某一时刻运动的快慢；平均速度刻画的是物体在一段时间内运动的快慢．问题3：王先生在该路段平均速度为60 km/h，是否可能超速行驶？提示：有可能．瞬时变化率(1)定义：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化率是＝＝.而当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率．(2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢．1.＝为平均变化率，其中Δx可正、可负，不能为零．2．瞬时变化率的实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值．[对应学生用书P35]求平均变化率[例1] 求函数y＝x3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并计算当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．[思路点拨] 直接利用定义求平均变化率，先求出表达式，再代入数据，就可以求出相应平均变化率的值．[精解详析] Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x30＝3xΔx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，∴函数y＝x3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为：Δy＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2.Δx当x0＝1，Δx＝时，平均变化率的值为3×12＋3×1×＋()2＝.[一点通]求平均变化率的步骤是：(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)；(2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0；(3)求平均变化率＝.1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx满足( )A．Δx＞0 B．Δx＜0C．Δx≠0 D．Δx＝0答案：C2．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( )A．0.41 B．3C．4 D．4.1解析：＝＝4.1.答案：D3．求函数y＝f(x)＝－2x2＋5在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率．解：∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx－2(Δx)2，∴＝－8－2Δx.即平均变化率为－8－2Δx.求瞬时变化率[例2] 以初速度v0(v0>0)竖直上抛的物体，t s时的高度s与t的函数关系为s＝v0t－gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度．[思路点拨] 本题可先求物体在t0到t0＋Δt之间的平均速度，然后求当Δt趋于0时的瞬时速度．[精解详析] ∵Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2，∴＝v0－gt0－gΔt.当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于v0－gt0，故物体在时刻t0处的瞬时速度为v0－gt0.[一点通]求函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率，可以先求函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx处的平均变化率，再求当Δx趋于0时平均变化率的值，即为函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率．4．一个物体的运动方程为s＝1－t，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( )A．1米/秒B．－1米/秒C．2米/秒D．－2米/秒解析：由＝＝＝－1，得物体在3秒末的瞬时速度是－1米/秒．答案：B5．求函数f(x)＝x2－3在x＝1处的瞬时变化率．解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2－3]－(12－3)＝(Δx)2＋2Δx－2＋2＝(Δx)2＋2Δx，∴＝＝Δx＋2.当Δx趋于0时，趋于2.所以函数y＝x2－3在x＝1时的瞬时变化率为2.1．平均变化率刻画的是函数值在区间[x0，x0＋Δx]上变化的快慢．2．瞬时变化率刻画的是函数值在某时刻变化的快慢．3．Δx趋于0时平均变化率就趋近于函数在某点处的瞬时变化率．1．在曲线y＝x2＋1上取一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则＝( )A．Δx＋B．Δx－－2C．Δx＋2 D．2＋Δx－1Δx解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝(Δx)2＋2Δx，∴＝Δx＋2.答案：C2．某质点的运动规律为s＝t2＋3，则在时间段(3,3＋Δt)内的平均速度等于( )A．6＋Δt B．6＋Δt＋9ΔtC．3＋Δt D．9＋Δt解析：＝＝ΔΔt＝＝6＋Δt.答案：A3．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系式为s＝t2，则t＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为( )A．2 B．1C. D.14解析：因为Δs＝(2＋Δt)2－×22＝Δt＋(Δt)2，所以＝＋Δt，当Δt趋于0时，＋Δt趋于，因此t＝2时，木块在水平方向瞬时速度为.答案：C4．水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，按顺序与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像相对应的一项是( )A．①②③④ B．②①③④C．②①④③ D．②④①③解析：以第二个容器为例，由于容器上细下粗，所以水以恒速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快，反映在图像上，①符合上述变化情况．而第三个容器在开始时高度增加快，后来时高度增加慢，图像④适合上述变化情况．故应选C.答案：C5．函数f(x)＝ln x＋1从e到e2的平均变化率为________．解析：Δy＝f(e2)－f(e)＝(ln e2＋1)－(ln e＋1)＝1，Δx＝e2－e，∴＝.答案：1e2－e6．质点的运动方程是s(t)＝，则质点在t＝2时的速度为________．解析：＝＝1Δ－14Δt＝－，当Δt趋于0时，＝－.答案：－147．设某跳水运动员跳水时，相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)的函数关系为h(t)＝－5t2＋6t＋10.(1)求该运动员从时间t＝1到时间t＝3的平均速度；(2)求该运动员在时间t＝1处的瞬时速度．解：(1)由h(t)＝－5t2＋6t＋10，得该运动员从时间t＝1到时间t＝3的平均速度：ΔhΔt＝＝－14.故该运动员从时间t＝1到时间t＝3的平均速度为－14 m/s；(2)∵＝ΔΔt＝ΔΔΔt＝ΔΔΔt＝－5·Δt－4，∴当Δt趋于0时，趋于－4，即该运动员在时间t＝1处的瞬时速度为－4 m/s.8．若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)s ＝⎩⎨⎧3t2＋2， ①②求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．解：(1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为＝＝24(m/s)． (2)求物休的初速度v0即求物体在t ＝0的瞬时速度． .∵物体在t ＝0附近的平均变化率为ΔsΔt＝ΔΔt＝＝3Δt －18，∴当Δt 趋于0时，趋于－18，即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为ΔsΔt＝ΔΔt＝＝3Δt －12.∴当Δt 趋于0时，趋于－12，即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。

数学选修《变化率与导数》高中教案

数学选修《变化率与导数》高中教案数学选修《变化率与导数》高中教案数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力的重任。

它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。

下面是整理的有关数学选修《变化率与导数》高中教案。

高中数学选修1-1《变化率与导数》教案1教学准备1.教学目标（1）理解平均变化率的概念.（2）了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念.（3）理解导数的概念（4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率.2.教学重点/难点教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成和理解教学难点：会求简单函数y=f（x）在x=x0处的导数3.教学用具多媒体、板书4.标签教学过程一、创设情景、引入课题【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。

【板演/PPT】【师】人们发现在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：米）与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h（t）=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?【板演/PPT】让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。

【设计意图】自然进入课题内容。

二、新知探究[1]变化率问题【合作探究】探究1气球膨胀率【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢?气球的体积V（单位:L）与半径r（单位:dm）之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数，那么【板演/PPT】【活动】【分析】当V从0增加到1时，气球半径增加了气球的平均膨胀率为（1）当V从1增加到2时，气球半径增加了气球的平均膨胀率为0.620.16可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了.【思考】当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少?解析：探究2高台跳水【师】在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：米）与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h（t）=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?（请计算）【板演/PPT】【生】学生举手回答【活动】学生觉得问题有价值，具有挑战性，迫切想知道解决问题的方法。

高中数学第三章变化率与导数2导数的概念及其几何意义学案北师大版选修1-1(new)

2 导数的概念及其几何意义学习目标 1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系。

2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义。

3。

理解导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程．知识点一导数的概念思考1 平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系?梳理定义式错误!错误!＝____________________记法实质函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f（x）在x＝x0处的________________知识点二导数的几何意义如图，P n的坐标为（x n,f（x n））(n＝1,2，3，4，…)，P的坐标为（x0，y0）,直线PT为过点P的切线．思考1 割线PP n的斜率k n是多少？思考2 当点P n无限趋近于点P时,割线PP n的斜率k n与切线PT的斜率k有什么关系?梳理（1)切线的定义：当P n趋近于点P时,割线PP n趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为________的切线．(2）导数f′（x0)的几何意义：函数f(x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k，即k＝________________________________________________________________________。

(3）切线方程：曲线y＝f(x)在点（x0，f（x0)）处的切线方程为________________________．类型一利用定义求导数例1 求函数f(x）＝3x2－2x在x＝1处的导数．反思与感悟求一个函数y＝f（x)在x＝x0处的导数的步骤如下：(1）求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0);（2)求平均变化率错误!＝错误!；（3)取极限,得导数f′(x0）＝lim，错误!.Δx→0跟踪训练1 利用导数的定义求函数f(x）＝－x2＋3x在x＝2处的导数．类型二求切线方程命题角度1 求在某点处的切线方程例2 已知曲线y＝2x2上一点A（1,2)，求：(1)点A处的切线的斜率；(2）点A处的切线方程．反思与感悟求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2 曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．命题角度2 曲线过某点的切线方程例3 求抛物线y＝错误!x2过点（4，错误!）的切线方程．反思与感悟过点(x1,y1）的曲线y＝f(x）的切线方程的求法步骤（1）设切点（x0,y0）；（2)建立方程f′（x0）＝y1－y0x1－x0；(3）解方程得k＝f′（x0），x0，y0，从而写出切线方程．跟踪训练3 求过点（－1，－2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程．类型三导数的几何意义的综合应用例4 已知曲线f（x)＝x2＋1与g（x）＝x3＋1在x＝x0处的切线互相垂直，求x0的值．引申探究若将本例的条件“垂直”改为“平行”，则结果如何？反思与感悟导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率,反过来，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何等知识相联系．跟踪训练4 已知直线l：y＝4x＋a与曲线C:y＝x3－2x2＋3相切,求a的值及切点坐标．1．设函数f（x)在点x0附近有定义,且有f（x0＋Δx）－f(x0)＝aΔx＋b（Δx）2（a，b为常数),则( ）A．f′（x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0）＝a D．f′（x0)＝b2．曲线f(x）＝错误!在点（3,3)处的切线的倾斜角等于( ）A．45° B．60°C．135° D．120°3.如图，函数y＝f（x)的图像在点P(2，y)处的切线是l,则f(2）＋f′（2）等于（）A．－4 B．3C．－2 D．14．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则错误!＝________。

高中数学北师大版选修1-1第三章转变的快慢与转变率导word学案

转变的快慢与转变率学习目标：了解瞬时速度的概念，能够区分平均速度和瞬时速度.能求出简单函数在某一点的导数(瞬时转变率)学习重点：导数概念的形成，导数内涵的理解一、自主学习[问题1] 一般地，函数12(),,y f x x x =是其概念域内不同的两点，那么函数的转变率能够用式子表示，咱们把那个式子称为函数()f x 从1x 到2x 的。

适应用来表示，即：。

（注：上式中x ∆、f ∆的值可正、可负，但不能为0，()f x 为常数时，f ∆=0） [问题2] 咱们把物体在某一时刻的速度称为________。

一般地，若物体的运动规律为)(t f s =，则物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在t 到t t ∆+这段时刻内，当_________时平均速度的极限，即t s v x ∆∆=→∆0lim=___________________[问题3]函数y=f(x)在x=x0处的瞬时转变率是: 。

咱们称它为函数()y f x =在0x x =处的___，记作'0()f x 或_____，即_________。

附注： ①导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时转变率；②概念的转变形式：()x f '=x x x f x f x y x x ∆∆--=∆∆→∆→∆)()(lim )(lim0000； ()x f '=00)()(lim )(lim 00x x x f x f x y x x x x --=∆∆→→；()x f '=x x f x x f x ∆--∆-→∆-)()(lim 000；0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以0000()()()lim x f x f x f x x x ∆→-'=- ③求函数()x f y =在0x x =处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。

[问题4]求函数()f x 在0x 处导数三步法：①求函数的增量：。