高中三角函数常见题型与解法
三角函数十大题型
三角函数十大题型三角函数是数学中的重要概念，与几何图形和三角形的关系密切相关。
在学习三角函数时，有一些常见的题型是必须要熟练掌握的。
下面将介绍三角函数的十大题型以及解题方法。
1. 求角度的正弦、余弦、正切值对于给定的三角函数值，如正弦值sinα=1/2，我们需要求出对应的角度α。
对于求解这类问题，我们可以通过查表法或使用计算器进行近似计算。
2. 求角度的值域与周期对于三角函数中的角度，不同的函数具有不同的值域和周期。
例如，正弦函数的值域是[-1, 1]，周期是2π。
需要掌握各个三角函数的值域和周期，以便在解题过程中进行合理的计算和判断。
3. 角度的性质和恒等变换三角函数中的角度具有一些特殊的性质和恒等变换，如正弦函数的奇偶性、余弦函数的周期性等。
掌握这些性质和变换可以简化问题的求解过程。
4. 通过图像求解问题三角函数的图像可以帮助我们理解和解决问题。
例如，通过观察正弦函数的图像，我们可以确定其最大值、最小值、零点等信息，从而解决与角度相关的问题。
5. 解三角函数方程三角函数方程是指包含三角函数的方程，需要求解其中的未知量。
解三角函数方程时，我们可以通过恒等变换、化简和换元等方法，将其转化为简化的方程组或方程，从而求解出未知量的值。
6.求三角函数的导数求三角函数的导数是解决曲线变化问题的基础。
通过计算三角函数的导数，我们可以求解与速度、加速度等相关的问题。
7. 三角函数的图像变换通过对三角函数进行平移、伸缩和翻转等图像变换，可以得到新的三角函数图像。
掌握这些图像变换可以帮助我们更好地理解和运用三角函数。
8. 三角函数的复合运算在三角函数的求解过程中，经常会遇到要求解三角函数的复合运算，如sin(2x)、cos(2x)等。
掌握三角函数的复合运算可以帮助我们简化问题，并得到更简洁的解答。
9. 三角函数与三角恒等式的运用三角函数与三角恒等式是数学中的重要工具，可以帮助我们简化问题，并得到更方便的解答。
掌握三角函数与三角恒等式的运用可以提高解题的效率和准确性。
三角函数与解三角形题型归纳及习题含详解
题型 53 终边相同的角的集合的表示与区别 思路提示
（1） 终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方 法解决.
（2） 注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也 可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标
4. 熟练运用同角三角函数函数关系式和诱导公式进行三角函数式的化简、求值
和简单恒等式的证明.
命题趋势探究
1.一般以选择题或填空题的形式进行考查.
2.角的概念考查多结合函数的基础知识.
3.利用同角三角函数关系式和诱导公式进行三角函数式的化简、求值是重要考点. 知识点精讲 一、基本概念
正角---逆时针旋转而成的角； （1）任意角 负角---顺时针旋转而成的角；
二、任意角的三角函数 1.定义 已 知 角 终 边 上 的 任 一 点 P(x, y) （ 非 原 点 O ）， 则 P 到 原 点 O 的 距 离
r OP x2 y2 0 . sin y , cos x , tan y .
r
r
x
此定义是解直三角形内锐角三角函数的推广.类比，对 y ，邻 x ，斜 r ， 如图 4-2 所示.
的终边逆时针旋转整数圈，终边位置不变.
注：弧度或 rad 可省略 （5）两制互化：一周角= 3600 2 r 2 （弧度），即 1800 .
r
1（弧度）
180
0
57.30
57018
故在进行两制互化时，只需记忆 1800 ，10 两个换算单位即可：如： 180
5 5 1800 1500 ； 360 36 .
C. 0, ，是第一、二象限角
高中三角函数常见题型与解法
三角函数的题型和方法一、思想方法1、三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。
如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。
（3）降次与升次。
即倍角公式降次与半角公式升次。
（4）化弦（切）法。
将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。
（5）引入辅助角。
asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab确定。
（6）万能代换法。
巧用万能公式可将三角函数化成tan 2θ的有理式。
2、证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
4、解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
二、注意事项对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面：1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。
2、三角变换的一般思维与常用方法。
注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如ααββαββαα22122)()(⨯=⨯=+-=-+=．也要注意题目中所给的各角之间的关系。
全国通用2023高中数学必修一第五章三角函数题型总结及解题方法
全国通用2023高中数学必修一第五章三角函数题型总结及解题方法单选题1、已知函数f (x )=sin (2x +π3)，为了得到函数g (x )=cos (2x +π3)的图象只需将y =f (x )的图象（ ） A ．向左平移π4个单位B ．向右平移π4个单位 C ．向左平移π2个单位D ．向右平移π2个单位 答案：A分析：利用三角函数的平移结合诱导公式即可求解. 解：因为sin (2x +π3+π2)=cos (2x +π3) 所以sin(2x +π3)→sin(2x +π2+π3)，只需将f (x )的图象向左平移π4个单位， 故选：A.2、已知α，β为锐角，sinα=45，cos(α+β)=−√22，则cosβ=（ ）A ．3√210B ．√210C ．7√210D ．9√210答案：B分析：利用同角三角函数基本关系式，求出cosα,sin(α+β)，再利用角变换β=α+β−α，利用两角差的余弦公式求得答案．由α是锐角，sinα=45，则cosα=√1−sin 2α=35，又α，β是锐角，得α+β∈(0,π)， 又cos (α+β)=−√22，则sin(α+β)=√22， 则cosβ=cos[(α+β)−α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα =−√22×35+√22×45=−3√2+4√210= √210.故选：B ．3、中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇而的面积为（ ）A ．704cm 2B ．352cm 2C ．1408cm 2D ．320cm 2 答案：A解析：设∠AOB =θ，OA =OB =r ，由题意可得：{24=rθ64=(r +16)θ ，解得r ，进而根据扇形的面积公式即可求解．如图，设∠AOB =θ，OA =OB =r ， 由弧长公式可得：{24=rθ64=(r +16)θ ， 解得：r =485，所以，S 扇面=S 扇形OCD −S 扇形OAB =12×64×(485+16)−12×24×485=704cm 2．故选：A ．4、已知sin (π+α)=35，则sin(−α)cos(π−α)sin(π2−α)=（ ）A ．−45B ．45C ．−35D ．35答案：C解析：由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果. ∵sin(π+α)=35=−sinα，∴sinα=−35，则sin(−α)cos(π−α)sin(π2−α)=−sinα⋅(−cosα)cosα=sinα=−35，故选：C5、已知tanθ=2，则sin(π2+θ)−cos(π−θ)cosθ−sin(π−θ)=（ ）A ．2B ．-2C ．0D ．23答案：B分析：根据tanθ=2，利用诱导公式和商数关系求解. 因为tanθ=2， 所以sin(π2+θ)−cos(π−θ)cosθ−sin(π−θ)，=2cosθcosθ−sinθ， =21−tanθ=−2，故选：B6、若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r 为（ ） A ．5−1sin1B ．1sin1+32C ．5sin11+sin1D ．5+51+sin1答案：C分析：先根据扇形周长求解出面积取最大值时扇形的圆心角和半径，然后根据图形中的内切关系得到关于内切圆半径r 的等式，由此求解出r 的值.设扇形的半径为R ，圆心角为α，面积为S ，因为2R +αR =20， 所以S =12αR 2=(10−R )R ≤(10−R+R 2)2=25，取等号时10−R =R ，即R =5，所以面积取最大值时R =5,α=2， 如下图所示：设内切圆圆心为O ，扇形过点O 的半径为AP ，B 为圆与半径的切点， 因为AO +OP =R =5，所以r +r sin∠BPO=5，所以r +r sin1=5，所以r =5sin11+sin1， 故选：C.7、若f (x )=cos (x −π3)在区间[−a,a ]上单调递增，则实数a 的最大值为（ ）A ．π3B ．π2C ．2π3D ．π 答案：A分析：先求出函数的增区间，进而建立不等式组解得答案即可.易知将函数y =cosx 的图象向右平移π3得到函数f (x )=cos (x −π3)的图象，则函数f (x )=cos (x −π3)的增区间为[−23π+2kπ,π3+2kπ](k ∈Z )，而函数又在[−a,a ]上单调递增，所以{−a ≥−23πa ≤π3 ⇒a ≤π3，于是0<a ≤π3，即a的最大值为π3.故选：A.8、若tanθ=2，则sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ=（ ）A ．25B ．−25C ．65D ．−65 答案：A分析：由二倍角正弦公式和同角关系将sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ转化为含tanθ的表达式，由此可得其值. sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ=sinθ(sin 2θ+cos 2θ−sin2θ)sinθ−cosθ=sinθ(sinθ−cosθ)2sinθ−cosθ=sin 2θ−sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ−tanθtan 2θ+1=25．故选：A.9、小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴圣母的眼泪”．小刘是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的水滴（如图），由线段AB ，AC 和优弧BC 围成，其中BC 连线竖直，AB ，AC 与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为74，则cos∠BAC =（ ）．A ．1725B ．4√37C ．45D ．57答案：A分析：设优弧BC 的圆心为O ，半径为R ，连接OA ，OB ，OC ，如图，进而可得“水滴”的水平宽度为|OA |+R，竖直高度为2R ，根据题意求得OA =52R ，由切线的性质和正弦函数的定义可得sin∠BAO =25，结合圆的对称性和二倍角的余弦公式即可得出结果.设优弧BC 的圆心为O ，半径为R ，连接OA ，OB ，OC ，如下图所示易知“水滴”的水平宽度为|OA |+R ，竖直高度为2R ，则由题意知OA+R 2R=74，解得OA =52R ，AB 与圆弧相切于点B ，则OB ⊥AB ，∴在Rt △ABO 中，sin∠BAO =OB OA=R 52R=25，由对称性可知，∠BAO =∠CAO ，则∠BAC =2∠BAO ，∴cos∠BAC =1−2sin 2∠BAO =1−2×(25)2=1725， 故选：A ．10、若角α的终边上一点的坐标为(1，−1)，则cosα=( ) A ．−1B ．−√22C ．√22D ．1 答案：C分析：根据任意角三角函数的定义即可求解.∵角α的终边上一点的坐标为(1，−1)，它与原点的距离r =√12+(−1)2=√2， ∴cosα=xr =√2=√22， 故选：C. 填空题11、已知cos (π6+α)=√33，则cos (5π6−α)=________.答案：−√33分析：本题可根据诱导公式得出结果.cos (5π6−α)=cos [π−(π6+α)]=−cos (π6+α)=−√33， 所以答案是：−√3312、若函数f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最大值为2，则常数φ的一个取值为________． 答案：π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）分析：根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得f(x)=√cos 2φ+(sinφ+1)2sin(x +θ)，可得√cos 2φ+(sinφ+1)2=2，即可解出.因为f(x)=cosφsinx +(sinφ+1)cosx =√cos 2φ+(sinφ+1)2sin(x +θ)， 所以√cos 2φ+(sinφ+1)2=2，解得sinφ=1，故可取φ=π2.所以答案是：π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）.小提示：本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.13、函数f(x)=sinx的图象向左平移π6个单位得到函数g(x)的图象，则下列函数g(x)的结论：①一条对称轴方程为x=7π6；②点(5π6,0)是对称中心；③在区间(0,π3)上为单调增函数；④函数g(x)在区间[π2,π]上的最小值为−12.其中所有正确的结论为______.（写出正确结论的序号）答案：②③④解析：先求得g(x)，然后利用代入法判断①②，根据单调区间和最值的求法判断③④.函数f(x)=sinx的图象向左平移π6个单位得到函数g(x)=sin(x+π6)，g(7π6)=sin(7π6+π6)=sin4π3=sin(π+π3)=−sinπ3=−√32≠±1，所以①错误.g(5π6)=sin(5π6+π6)=sinπ=0，所以②正确.由2kπ−π2≤x+π6≤2kπ+π2，解得2kπ−2π3≤x≤2kπ+π3，k∈Z.令k=0得−2π3≤x≤π3，所以g(x)在区间(0,π3)上为单调增函数，即③正确.由π2≤x≤π得2π3≤x+π6≤7π6，所以当x=π,x+π6=7π6时，g(x)有最小值为sin7π6=sin(π+π6)=−sinπ6=−12，所以④正确.所以答案是：②③④小提示：解决有关三角函数对称轴、对称中心的问题，可以考虑代入验证法.考查三角函数单调区间的问题，可以考虑整体代入法.解答题14、已知函数f(x)=2cos2ωx−1+2√3sinωxcosωx(0<ω<1)，直线x=π3是函数f(x)的图象的一条对称轴. （1）求函数f(x)的单调递增区间;（2）已知函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g(2α+π3)=65,α∈(0,π2),求sinα的值.答案：（1）[−2π3+2kπ,π3+2kπ],k∈Z；（2）4√3−310解析：（1）首先化简函数f(x)=2sin(2ωx+π6)，再根据x=π3是函数的一条对称轴，代入求ω，再求函数的单调递增区间；（2）先根据函数图象变换得到g(x)=2cos12x，并代入g(2α+π3)=65后，得cos(α+π6)=35，再利用角的变换求sinα的值.（1）f(x)=cos2ωx+√3sin2ωx=2sin(2ωx+π6)，当x =π3时，ω×2π3+π6=π2+kπ,k ∈Z ，得ω=12+3k 2,k ∈Z ，∵0<ω<1，∴ω=12，即f (x )=2sin (x +π6)，令−π2+2kπ≤x +π6≤π2+2kπ， 解得：−2π3+2kπ≤x ≤π3+2kπ，k ∈Z ，函数的单调递增区间是[−2π3+2kπ,π3+2kπ],k ∈Z ；（2）g (x )=2sin [12(x +2π3)+π6]=2cos 12x ， g (2α+π3)=2cos (α+π6)=65，得cos (α+π6)=35， ∵α∈(0,π2)，α+π6∈(π6,2π3)，sin (α+π6)=√1−cos 2(α+π6)=45， sinα=sin [(α+π6)−π6]=sin (α+π6)cos π6−cos (α+π6)sin π6=45×√32−35×12=4√3−310小提示：方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及y =Asin (ωx +φ)的性质，属于中档题型，y =Asin (x +φ)的横坐标伸长（或缩短）到原来的1ω倍，得到函数的解析式是y =Asin (ωx +φ)，若y =Asinωx 向右（或左）平移φ（φ>0）个单位，得到函数的解析式是y =Asin [ω(x −φ)]或y =Asin [ω(x +φ)].15、已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过函数f (x )=−3−a x−3（a >0且a ≠1）的定点M .(1)求sinα−2cosα的值；(2)求sin (π+α)+cos(π2+α)cos (2π+α)+sin (−α)−tan (5π+α)的值. 答案：(1)−2 (2)5221分析：（1）易知函数f (x )=−3−a x−3的定点M 的坐标为(3,−4)，利用三角函数的定义则可求出sinα=−45，cosα=35则可求出答案；（2）利用诱导公式化简，再将sinα=−45，cosα=35，tanα=−43代入，即可得出答案. （1）∵函数f (x )=−3−a x−3（a >0且a ≠1）的定点M 的坐标为(3,−4)， ∴角α的终边经过点M (3,−4)，∴OM =√32+(−4)2=5（O 为坐标原点）， 根据三角函数的定义可知sinα=−45，cosα=35，∴sinα−2cosα=−45−2×35=−2. （2）sin (π+α)+cos(π2+α)cos (2π+α)+sin (−α)−tan (5π+α)=−sinα−sinαcosα−sinα−tanα=−2sinαcosα−sinα−(−43) =−2×(−45)35−(−45)+43=87+43=5221.。
高中数学三角函数题型
高中数学三角函数题型
1.三角函数的基本计算：包括计算给定角度的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割等函
数值。
2.三角函数的恒等式与解方程：通过使用三角函数的恒等式，解决各种类型的三角方程，
例如解三角方程sin(x) = 0或者cos(2x) = 1等。
3.三角函数的图像与性质：研究不同三角函数的图像特征、周期性、奇偶性、对称性以及
相应曲线的平移、伸缩等变换。
4.三角函数的复合与反函数：讨论如何计算和简化三角函数的复合表达式，并研究三角函
数的反函数及其应用。
5.三角函数的应用问题：将三角函数应用于实际问题，例如求解三角形中的边长或角度、
计算物体的运动轨迹等。
例题：
题目：已知直角三角形ABC，且∠C = 90°，AC = 5 cm，BC = 12 cm。
求角A的正弦值sin(A)和余弦值cos(A)。
解答过程：
根据直角三角形的性质，我们可以利用三角函数来求解该题。
首先，我们可以使用勾股定理求得边AB的长度。
根据勾股定理：c^2 = a^2 + b^2
代入已知数据：(12 cm)^2 = (5 cm)^2 + a^2
化简后得到：a^2 = (12 cm)^2 - (5 cm)^2
计算结果为：a ≈11.0 cm
接下来，可以求解正弦值sin(A)和余弦值cos(A)：
正弦值sin(A) = 对边/斜边= a/BC = 11.0 cm / 12 cm ≈0.917
余弦值cos(A) = 邻边/斜边= AC/BC = 5 cm / 12 cm ≈0.417
因此，角A的正弦值sin(A)约为0.917，余弦值cos(A)约为0.417。
高考三角函数题型归纳总结
高考三角函数题型归纳总结
高考解三角函数题型归纳总结
一、函数值的计算
1.由某个函数的定义求指定的函数值
2.由表达式求某个函数的值
3.由一切三角函数的基本等式求某个函数的值
二、函数的延长
1.函数的延长：对某个函数的符号或值作一定重新定义，以推广原函数的定义域，使原值可以成为新函数的值
2.求函数值时把原函数的值替换新定义的函数的值
三、函数的平移
1.对某个函数作一定的平移变换，使其实轴、值轴都做出一定的平移
2.函数按照平移变换规则，将原函数的值按比例地经过初始点再离开
四、函数的综合运用
1.记住一些常见的组合等式，如：sinα±cosα=sincosα、sin α-cosα=-2sinsinα/2
2.按延长或平移变换，用组合等式解决具体问题
3.用其他三角函数的关系转换，把一种函数转换成另一种，如tanα=sinα/cosα。
- 1 -。
三角函数常考题型及解题方法
直线和圆的位置关系知识点补充知识点1：判断直线和圆的位置关系：（1）利用圆心到直线的距离等于半径。
（2）直线过一定点，此定点在圆内，则直线和圆相交。
知识点2 圆),(,00222y x r y x 经过圆上点=+的切线方程为200r yy xx =+；点),(00y x 为圆,)()(222r b y a x =-+-上一点，则过该点的切线方程为200))(())((r b y b y x x a x =--+--知识点 3 ;过圆外一点可作出圆的两条切线，求切线方程时，通常),(,00222y x r y x 经过点=+设切线的点斜式方程，若求出的k 只有一个，则说明还有一条切线必垂直于x 轴（无斜率），。
应补上。
三角函数的图象和性质知识点1 ：只要求三角函数的周期，对称轴，对称中心，单调区间，值域，一般是将三角函数化为同角一次，在此使用辅助角公式。
)sin(ϕ+=wx A y ，使用对三角函数的整体思想去做。
知识点2 三角函数的两种图象平移：(1)先伸缩后平移；（2）先平移后伸缩知识点3 三角函数周期的求解方法（1）利用求解周期的定义（2）利用公式wT w T ππ==,2 （3）对于较为复杂的三角函数转化为)sin(ϕ+=wx A y +k 求解知识点4 确定三角函数的单调区间函数)sin(ϕ+=wx A y （A>0，w>0）的单调区间的确定：基本思路是讲ϕ+wx 看做一个整体，由函数名称对于的原单调区间求解对于的x 的范围若0<w ，方式（1）通过诱导公式将负号诱导，原函数的增区间变为减区间，减区间变为增区间。
(2)利用复合函数的单调性。
知识点5 已知函数图象上的点求解析式)sin(ϕ+=wx A y 的方法（1）绘出图象确定解析式)sin(ϕ+=wx A y 的题型，有时从寻找“五点法”的第一个零点（)0,wϕ-作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。
（2）已知函数图象求函数)sin(ϕ+=wx A y （)0,0>>w A 的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或者最小值确定A ，由周期确定w 的取值，由适合解析式的点的坐标来确定ϕ，但由图象求得的)sin(ϕ+=wx A y )0,0(>>w A 的解析式一般不唯一，只有限定了也的取值范围，才能得出唯一解，否则ϕ的值就不确定，解析式也就不唯一。
高中数学 三角函数5部分25个考点100道典型题!
三角函数超全考点与题型分析第一部分三角函数定义【思维导图】【常见考法】考点一：终边相同的角1．终边在第二、四象限的角平分线上的角可表示为。
【答案】180135,k k Z⋅︒+︒∈【解析】角的终边在第二象限的角平分线上，可表示为：13601352180135k k α=⋅︒+︒=⋅︒+︒，k Z ∈，角的终边在第四象限的角平分线上，可表示为：2360315(21)180135k k α=⋅︒+︒=+⋅︒+︒，k Z ∈．故当角的终边在第二、四象限的角平分线上时，可表示为：180135k α=⋅︒+︒，k Z ∈．2．下列各组角中，终边相同的角是。
A．2k π与()2k k Z ππ+∈B．3±k ππ与()3k k Z π∈C．()21+k π与()()41k k Z π±∈D．6k ππ+与()6k k Z ππ±∈【答案】C【解析】对于A 选项，()2k k Z π∈表示2π的整数倍，()()2122k k k Z πππ++=∈表示2π的奇数倍，2k π与()2k k Z ππ+∈的终边不一定相同；对于B 选项，()()3133k k k Z πππ±±=∈ ，()31k k Z +∈表示除3余数为1的整数，()()31312k k k Z -=-+∈表示除3余数为2的整数，而()3k k Z π∈表示3π的整数倍，所以，,,33k x x k k Z x x k Z πππ⎧⎫⎧⎫=±∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Ö，则3±k ππ与()3k k Z π∈的终边不一定相同；对于C 选项，对于()41k π±，取1k k Z =∈得()()14141k k ππ±=±，对于()21+k π，取2k k Z =∈得()()22121k k ππ+=+，()()()()12121241214222k k k k k k ππππ+-+=-=- ，()()()()1212124121422221k k k k k k ππππ--+=--=--均为2π的整数倍，则()21+k π与()()41k k Z π±∈的终边相同；对于D 选项，显然,66x x k k Z x x k k Z ππππ⎧⎫⎧⎫=+∈=±∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Ö，则6k ππ+与()6k k Z ππ±∈的终边不一定相同.故选：C.3．已知集合|22,42k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是。
三角函数的图象与性质6大题型(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
三角函数的图象与性质6大题型【题型目录】题型一：三角函数的周期性题型二：三角函数对称性题型三：三角函数的奇偶性题型四：三角函数的单调性题型五：三角函数的值域题型六：三角函数的图像【典例例题】题型一：三角函数的周期性【例1】（2022·全国·兴国中学高三阶段练习（文））下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）．A ．tan y x =B ．sin 2y x =C ．sin cos y x x =D ．sin y x=【例2】（2022江西景德镇一中高一期中（文））下列函数中①sin y x =；②sin y x =；③tan y x =；④12cos y x =+，其中是偶函数，且最小正周期为π的函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，sin y x =是偶函数，但不是周期函数，∴排除①；②的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，sin y x =是偶函数，最小正周期是π，∴②正确；③的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，tan y x =是偶函数，最小正周期为π，∴③正确；④的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，12cos y x =+是偶函数，最小正周期为2π，∴排除④.故选：B.【例3】（2022·全国·高三专题练习）函数ππ()sin 2cos 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是（）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π【例4】设函数()c x b x x f ++=sin 2cos ，则()x f 的最小正周期()A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【答案】B【解析】因x y 2cos =的最小正周期为ππ==22T ，x y sin =的最小正周期为ππ212==T 所以当0≠b 时，()x f 的最小正周期为π2；当0=b 时，()x f 的最小正周期为π；【例5】（2022·全国·高一课时练习）函数22cos 14y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小正周期为（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【例6】（2022·广西桂林·模拟预测（文））函数()2sin6cos6f x x x =+的最小正周期是（）A ．2πB ．3πC ．32πD ．6π【例7】（2022·全国·高一专题练习）()|sin ||cos |f x x x =+的最小正周期是（）A ．2πB ．πC ．2πD ．3π【题型专练】1.（2023全国高三题型专练）在函数①cos |2|y x =，②|cos |y x =，③πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，④πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（）A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】∵cos |2|y x ==cos2x ，∴T =22π=π；|cos |y x =图象是将y =cos x 在x 轴下方的图象对称翻折到x 轴上方得到，所以周期为π，由周期公式知，cos(2)6y x π=+为π，tan(2)4y x π=-为2π，故选：C .2.（2022·河北深州市中学高三阶段练习）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()()sin cos y x x ππ=+-C ．22cos cos 2y x x π⎛⎫=-+ ⎪D ．sin 2y x=3.（2022·北京昌平·高一期末）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 2y x =C ．sin cos y x x =D ．22cos sin y x x=-4.（2022·陕西渭南·高二期末（理））函数()2sin cos f x x x x =+的最小正周期是________．5．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()cos f x x x ωω=-(0)ω>的最小正周期为π，则ω=___．6．（2022·浙江·杭十四中高一期末）函数2cos cos cos 2y x x x π⎛⎫=+- ⎪的最小正周期为__________．题型二：三角函数对称性【例1】（江西省“红色十校”2023届高三上学期第一联考数学（文）试题）已知函数π()sin()0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的两个相邻的零点为12,33-，则()f x 的一条对称轴是（）A ．16x =-B ．56x =-C ．13x =D ．23x =，【例2】（2022全国高一课时练习）函数cos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．关于直线6x π=对称D ．关于直线3x π=对称【答案】D【解析】由题设，由余弦函数的对称中心为,2)0(k ππ+，令232x k πππ+=+，得212k x ππ=+，k Z ∈，易知A 、B 错误；由余弦函数的对称轴为x k π=，令23x k ππ+=，得26k x ππ=-，k Z ∈，当1k =时，3x π=，易知C 错误，D 正确；故选：D 【例3】（2022·江西省万载中学高一阶段练习）把函数4πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（）A ．5π6B ．2π3C ．5π12D ．π6【例4】（2023福建省福州屏东中学高三开学考试多选题）已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线3x π=对称，则（）A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 的图像向右平移()0a a >个单位长度得到的函数图像关于6x π=对称，则a 的最小值是3πD ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥上有2个不同实根12,x x ，则12x x -的最大值为2π故结合正弦函数的性质可知，若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根12,x x ，不妨设12x x <，则12x x -取得最大值时满足1266x ππ-=且25266x ππ-=，所以，12x x -的最大值为3π，故错误.故选：AC【例5】(2023江西省高三月考)若函数y cos 6x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(ω∈N +)图象的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则ω的最小值为()A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】B 【解析】当6x π=时，0y =，即cos 066πωπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，()662k k Z πωπππ∴+=+∈，解得62k ω=+，N ω*∈ ，故当0k =时，ω取最小值2.【例6】【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）（A ）()26k x k Z ππ=-∈（B ）()26k x k Z ππ=+∈（C ）()212k x k Z ππ=-∈（D ）()212k x k Z ππ=+∈【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B.【题型专练】1.(2020·四川省泸县第四中学高三开学考试)已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为()A ．,4x k k Z ππ=-∈B ．+,4x k k Z ππ=∈C ．1,2x k k Z π=∈D ．1+,24x k k Zππ=∈【答案】C【解析】由已知，()cos 2f x x =，令2,π=∈x k k Z ，得1,2x k k Z π=∈.故选：C.2.【2017·天津卷】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5(28f π=，(08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则A ．23ω=，12ϕπ=B ．23ω=，12ϕ11π=-C ．13ω=，24ϕ11π=-D ．13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕ<π得12ϕπ=，故选A ．3．（2023·全国·高三专题练习）将函数sin 22y x x =的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0）所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（）A ．712πB ．4πC ．12πD ．6π4.【2018·江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________．【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ5．（2022·广西南宁·高二开学考试多选题）把函数()sin f x x =的图像向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图像，下列关于函数()g x 的说法正确的是（）A ．最小正周期为πB ．单调递增区间5πππ,π()1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．图像的一个对移中心为π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．图像的一条对称轴为直线π12x =题型三：三角函数的奇偶性【例1】（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）已知函数()sin 2sin 23f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭向左平移θ个单位后为偶函数，其中0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦.则θ的值为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π【例2】（2022·广东·执信中学高一期中）对于四个函数sin y x =，cos y x =，sin y x =，tan y x =，下列说法错误的是（）A ．sin y x =不是奇函数，最小正周期是π，没有对称中心B ．cos y x =是偶函数，最小正周期是π，有无数多条对称轴C ．sin y x =不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴D ．tan y x =是偶函数，最小正周期是π，没有对称中心由图可知，函数sin y x =不是奇函数，最小正周期是π，没有对称中心，A 对；对于B 选项，如下图所示：由图可知，cos y x =是偶函数，最小正周期是π，有无数多条对称轴，B 对；对于C 选项，如下图所示：由图可知，sin y x =不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴，C 对；对于D 选项，如下图所示：由图可知，函数tan y x =是偶函数，不是周期函数，没有对称中心，D 错.故选：D.【例3】（2022·陕西师大附中高一期中）已知函数2π()sin ()24f x x =++，若(lg5)a f =，1(lg 5b f =，则（）A ．0a b +=B ．0a b -=C ．5a b +=D ．5a b -=【例4】（2022·江西省铜鼓中学高二开学考试）将函数()sin 22f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度得到一个偶函数，则ϕ的最小值为（）A ．12πB ．6πC ．3πD ．56π【例5】（2022·四川成都·模拟预测（理））函数2()ln(2)sin(1)211f x x x x x x -=+--+++在[0,2]上的最大值与最小值的和为（）A ．-2B ．2C ．4D ．6【例6】（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知函数()2cos(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若()g x 的图象关于原点对称，则ϕ=（）A ．3πB ．4πC ．6πD ．12π【例7】（2022·陕西·定边县第四中学高三阶段练习（理））已知函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=处取到最大值，则4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．奇函数B ．偶函数C ．关于点(),0π中心对称D ．关于2x π=轴对称【例8】（2023·全国·高三专题练习）写出一个最小正周期为3的偶函数()f x =___________.【题型专练】1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，既为偶函数又在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增的是（）A ．cos y x =B ．cos y x=C ．sin 2y x π⎛⎫=- ⎪D ．tan cos y x x=-2.（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（文））已知函数()e e sin x xf x x a -=-++，若()1ln 1,ln 3f m f m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则=a （）A ．1B ．2C ．1-D ．2-3.（2022·湖南·周南中学高二期末）函数为()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭偶函数的一个充分条件是（）A ．6π=ϕB ．3πϕ=C ．2ϕπ=D ．()3k k πϕπ=+∈Z故选：A4．（2022·贵州黔东南·高二期末（理））已知函数()πcos 2(0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（）A ．6πB ．π4C ．π3D ．π25.（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1f x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（）A ．1B ．2C ．3D ．4可得()h t 的最大值与最小值之和为0，那么()g t 的最大值与最小值之和为2．故选：B ．6.（2022辽宁丹东·高一期末）写出一个最小正周期为1的偶函数()f x =______．【答案】cos2πx【解析】因为函数cos y x ω=的周期为2π||ω，所以函数cos 2πy x =的周期为1.故答案为：cos2πx .（答案不唯一）7.（2022·全国·高三专题练习）已知()2sin()cos f x x x α=++是奇函数，则sin α的值为______．8．（2022·河南·高二开学考试）将函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移4π个单位长度后得到偶函数()g x 的图像，则ω的最小值是______．【答案】1039.（2022·全国·高一单元测试）写出一个同时具有性质①()02f =；②()()πf x f x +=的函数()f x =______（注：()f x 不是常数函数）．题型四：三角函数的单调性【例1】（湖南省永州市2023届高三上学期第一次高考适应性考试数学试题）将函数2()cos cos 1f x x x x =+-的图象向右平移6π个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则()g x 的单调递增区间是（）A ．ππππ,(Z)12262k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．ππ5ππ,(Z)242242k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．π2π2π,2π(Z)33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥D ．π5π2π,2π(Z)66k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥故选：A【例2】（2022·陕西师大附中高一期中）sin1,sin 2,sin 3按从小到大排列的顺序为（）A ．sin3sin2sin1＜＜B ．sin3sin1sin2＜＜C ．sin1sin2sin3＜＜D ．sin2sin1sin3＜＜【例3】（2022·全国·高一单元测试）下列四个函数中，以π为周期且在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增的偶函数有（）A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =C ．tan y x =D ．lg sin y x=也是以【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()cos 02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭＞，，4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6当ππ,π2u k k ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈时，函数sin y u =递增．即πππ,π42x k k ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，解得：πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，所以函数sin()4πy x =+的单调递增区间是πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.故答案为：πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.【例6】（2023·全国·高三专题练习）函数πsin(2)3y x =-+的单调递减区间是（）A ．π5π[π,π],Z 1212k k k -+∈B ．π5π[2π,2π],Z 1212k k k -+∈C ．π5π[π,πZ66k k k -+∈D ．π5π[2π,2πZ66k k k -+∈【题型专练】1．（2022·辽宁·新民市第一高级中学高一阶段练习）已知函数2sin()y x ωθ=+为偶函数(0)θπ<<，其图像与直线2y =的两个交点的横坐标分别为12x x 、，若21||x x -的最小值为π，则该函数的一个单调递增区间为（）A ．ππ,24⎛⎫-- ⎪B ．ππ,44⎛⎫- ⎪C ．π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭2.（2022·四川省成都市新都一中高二开学考试（理））已知函数()sin(),022f x x ππωϕϕω⎛⎫=+-<<> ⎪⎝⎭，若()00166f x f x ππ⎛⎫⎛⎫==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0min6x ππ-=，则函数()f x 的单调递减区间为（）A ．2,()63k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z B ．22,2()63Z k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭C ．,()36Z k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪D ．2,2()36Z k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪3.（2022六盘山高级中学）函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为（）A ．5,()212212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．5,()212212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭C ．5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．5,()1212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为函数tan y x =的单调递增区间为,()22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，所以2()223,k k k x Z πππππ-<-<+∈，解得5,()212212k k x k Z ππππ-<<+∈，所以函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为5,()212212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭.故选：B 4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中()0,2πϕ∈，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于一切R x ∈恒成立，则()f x 的单调递增区间是（）A ．,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z B ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z C ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥()k ∈Z D ．,2k k πππ⎡⎤-⎢⎥()k ∈Z 5.（2022·全国·高二单元测试）已知函数()cos f x x x =，()()g x f x '=，则（）．A ．()g x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()g x 图像的一条对称轴是π6x =C ．()g x 在5π5π,66⎛⎫- ⎪上递减D ．()g x 在ππ,33⎛⎫- ⎪的值域为(0,1)6．(2022天津市静海区大邱庄中学高三月考)设函数()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，给出下列结论：①()f x 的一个周期为π②()y f x =的图象关于直线12x π=对称③()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称④()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减其中所有正确结论的编号是()A ．①④B ．②③C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】对于①，2T ππω==，故①正确；对于②，12x π=时，(112f π=，函数取得最大值，故②正确；对于③，6x π=-时，()06f π-=，故③正确；对于④，2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，当712x π=时，7112f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数取得最小值，()f x ∴在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有增有减，故④不正确.故选：C ．7．（2022·全国·高一课时练习）关于函数1()sin sin f x x x=+，下列说法正确的是（）A ．()f x 的一个周期是πB ．()f x 的最小值为2C ．()f x 在π(0,2上单调递增D ．()f x 的图象关于直线π2x =对称上单调递减，而8．（2022·内蒙古包头·高三开学考试（文））若()sin cos f x x x =+在[]0,a 是增函数，则a 的最大值是（）A ．4πB ．2πC ．34πD ．π9．（2022·全国·高一专题练习）若函数()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()cos 4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭都在区间()(),0πa b a b <<<上单调递减，则b a -的最大值为（）A ．π3B ．π2C ．6πD ．π10．（2022·全国·高三专题练习）将函数()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,64ππ-上为增函数，则ω最大值为（）A ．32B ．2C ．3D ．11．（2022·全国·高一课时练习多选题）已知直线8x =是函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<图象的一条对称轴，则（）A ．π8f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数B ．3π8x =是()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 在ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．当π2x =时，函数()f x 取得最小值题型五：三角函数的值域【例1】（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（文））下列函数中，最大值是1的函数是（）A ．|sin ||cos |=+y x xB ．2cos 4sin 4y x x =+-C ．cos tan y x x =⋅D ．y =【例2】（2022·全国·高三专题练习）函数1ππ()sin()cos()363f x x x =++-的最大值是（）A ．43B ．23C ．1D ．13【答案】8【解析】【分析】由题意可得()22sin sin 1f x x x =-++,令[]sin 0,1x t ∈＝,可得[]221,0,1y t t t =-++∈,利用二次函数的性质可求f (x )的最大值．【详解】解:()22cos 2sin 2sin sin 12sin sin 1f x x x x x x x =+=-++=-++,令[]sin 0,1x t ∈＝,可得[]2219212,0,148y t t t t ⎛⎫=-++=--+∈ ⎪⎝⎭,当14t =时,y 取得最大值为98,故答案为:98．【例4】（2022·江西·高三开学考试（文））已知函数()()2πsin sin 022f x x x x ωωωω⎛⎫+--> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为（）A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．22⎡-⎢⎥⎣⎦C ．⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．⎡-⎢⎣⎦【例5】（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）已知函数()sin()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在区间,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且对任意实数x 均有4()33f f x f ππ⎛⎫⎛⎫≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则ϕ=（）A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()22sin s ()3in f x x x π+=+，则()f x 的最小值为（）A ．12B ．14C ．D ．2【例7】（2022·全国·高三专题练习）函数2()cos 2f x x x =+-0,2x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是__________．【答案】14-##-0.25【解析】【详解】22()1sin 2sin 1f x x x x x =--=--=21sin24x ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以当sin x =时，有最大值14-．故答案为14-.【例8】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++，则（）A ．()f x 的最大值为3，最小值为1B ．()f x 的最大值为3，最小值为-1C ．()f x的最大值为3，最小值为34D ．()f x的最大值为33【例9】（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的方程2cos sin 20x x a -+=在02π⎛⎤⎥⎝⎦，内有解，那么实数a 的取值范围（）A ．58a -≤B ．102a -≤≤C ．1122a -＜≤D ．12a -＜≤0【题型专练】1．（2022·江西九江·高一期末）函数()193sin cos 2R 24y x x x =+-∈的最小值是（）A ．14B ．12C ．234-D ．414-2．（2022·河南焦作·高一期末）函数2cos22cos y x x =+的最小值为（）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【答案】C【分析】利用二倍角的降幂公式化简函数解析式，利用余弦型函数的有界性可求得结果.【详解】2cos 22cos cos 2cos 212cos 21y x x x x x =+=++=+ ，min 211y ∴=-+=-.故选：C.3.【2018·北京卷】设函数f （x ）=πcos(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以π4f ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值，所以()()ππ22π 8463k k k k -=∈∴=+∈Z Z ，ωω，因为0>ω，所以当0k =时，ω取最小值为23.4．（2022·广西南宁·高二开学考试）已知函数ππ()sin ,0,36f x x x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢，则函数()f x 的最大值为__________．5．（2022·全国·高一课时练习）函数()1sin cos =++f x x x的值域为_____________．6．（2022·全国·高一专题练习）若奇函数()f x 在其定义域R 上是单调减函数，且对任意的R x ∈，不等式2(cos 3sin )(sin )0f x x f x a -+-≤恒成立，则a 取值范围是_________.【答案】(,2]-∞-【分析】根据给定条件，脱去法则“f ”，再利用含sin x 的二次函数求解作答.【详解】因奇函数()f x 在R 上单调递减，则R x ∀∈，2(cos 3sin )(sin )0f x x f x a -+-≤2(cos 3sin )(sin )f x x f a x ⇔-≤-22cos 3sin sin cos 2sin x x a x a x x ⇔-≥-⇔≤-，令222cos 2sin sin 2sin 1(sin 1)2y x x x x x =-=--+=-++，而1sin 1x -≤≤，因此当sin 1x =时，min 2y =-，即有2a ≤-，所以a 取值范围是(,2]-∞-.故答案为：(,2]-∞-【点睛】思路点睛：涉及求含正(余)的二次式的最值问题，可以换元或整体思想转化为二次函数在区间[-1,1]或其子区间上的最值求解.7.【2018·全国Ⅲ】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【答案】3【解析】0πx ≤≤ ，ππ19π3666x ∴≤+≤，由题可知πππ3π336262x x +=+=，或π5π362x +=，解得π4π,99x =，或7π9，故有3个零点.8.（2022·上海市第十中学高一期末）已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-（R x ∈）.求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥上的最大值和最小值.9．（2022·湖南·雅礼中学高一期末）已知函数()2cos sin 4f x x a x a =-++-，[]0,x π∈．(1)求()f x 的最小值()g a ；(2)若()f x 在[]0,π上有零点，求a 的取值范围，并求所有零点之和．题型六：三角函数的图像【例1】（2022·陕西师大附中高三开学考试（理））函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需将函数()y f x =的图象（）A ．向左平移6π个单位长度B ．向左平移12π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度【例2】（2022·陕西·延安市第一中学高一期中）函数()()sin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()2f π的值为（）A ．B ．C ．D ．1-的部分图象知，【例3】（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）如图表示电流强度I 与时间t 的关系()()()sin 0,0I A x A ωϕω=+>>在一个周期内的图像，则下列说法正确得是（）A ．50πω=B ．π6ϕ=C ．0=t 时，I =D ．1300100t I ==时，【例4】（2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习多选题）已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，则（）A ．2ω=B ．()f x 的图象关于直线23x π=对称C ．()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()f x 在5[,63ππ--上的值域为[2,1]-【例5】（2022·河北·沧县风化店中学高二开学考试多选题）函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且满足223f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，现将()f x 图象沿x 轴向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象.下列说法正确的是（）A ．()g x 在,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数B ．()g x 的图象关于56x π=对称C ．()g x 是奇函数D ．()g x 的最小正周期为23π【例6】（2022·福建·高三阶段练习多选题）函数()sin()(0,0,02π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图像如图所示，则（）A ．3π2ωϕ+=B ．(2)2f -=-C ．()f x 在区间()0,2022上存在506个零点D ．将()f x 的图像向右平移3个单位长度后，得到函数π()cos 4g x x ⎛⎫=- ⎪的图像【例7】（2022·江苏南通·高三开学考试多选题）已知函数()()sin 20,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象向右平移π12个单位后得到sin2y x =的图象C ．()f x 在区间π,2π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递増D ．π6f x ⎛⎫+ ⎪为偶函数【例8】（2022·全国·高一单元测试多选题）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，下列说法错误的是（）A ．()f x 的图象关于直线23x π=-对称B ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称C ．将函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位长度得到函数()f x 的图象D ．若方程()f x m =在,02π⎡⎤-⎢⎥上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,-【题型专练】1．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习多选题）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()f x 的图象向右平移316π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则（）A ．()2sin 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()g x 的图象关于直线8x π=-对称C ．()g x 的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．函数()()f x g x +的最小值为4-2．（2022·湖北·襄阳市襄州区第一高级中学高二阶段练习多选题）函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()12sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．若把()f x 图像上的所有点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，则函数()g x 在[],ππ-上是增函数C ．若把函数()f x 的图像向左平移2π个单位长度，得到函数()h x 的图像，则函数()h x 是奇函数D ．,33x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥，若()332f x a f π⎛⎫+≥ ⎪恒成立，则a 的取值范围为)2,+∞3．（2022·安徽·高三开学考试）已知函数π()2sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中ππ,2,,0123A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列说法错误的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后关于原点对称C ．()f x 在2ππ,3⎡⎤--⎢⎣⎦上单调递减D ．直线7π12x =为()f x 图象的一条对称轴4．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）已知函数π()sin()(R,0,0,)2f x A x x A ωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．直线πx =是()f x 图象的一条对称轴B ．()f x 图象的对称中心为π(π,0)12k -+，Z k ∈C ．()f x 在区间ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．将()f x 的图象向左平移π12个单位长度后，可得到一个奇函数的图象5．（2022·江苏省如皋中学高三开学考试多选题）函数()()sin 0,0,0πy A x A ωϕωϕ=+>><<在一个周期内的图象如图所示，则（）．A ．该函数的解析式为2π2sin 33y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．该函数图象的对称中心为ππ,03k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Zk ∈C ．该函数的单调递增区间是5ππ3π,3π44k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Zk ∈D ．把函数π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪的图象上所有点的横坐标伸长为原来的32倍，纵坐标不变，可得到该函数图象6．（2021·福建·福州十八中高三开学考试多选题）已知函数()sin()(010f x x ωϕω=+<<，0π)ϕ<<的部分图象。
高考必考三角函数题型及解题方法
2、 0 ，且 cos( ) 1 ， sin( ) 2 ，求 cos( ) 490
2
29
2
3
729
②三角函数名互化(切割化弦) 1、求值 sin 50 (1 3 tan10 ) 1
2、已知 sin cos 1, tan( ) 2 ，求 tan( 2) 的值
y sinx 的图象；
③ 函 数 y sin x 图 象 的 横 坐 标 不 变 ， 纵 坐 标 变 为 原 来 的 A 倍 ， 得 到 函 数
y Asin(x ) 的图象；
④函数 y Asin(x ) 图象的横坐标不变，纵坐标向上（ k 0 ）或向下（ k 0 ），得
到 y Asin x k 的图象。
-
-可修编.
.
.
2.和差角公式
① sin( ) sin cos cos sin ② cos( ) cos cos sin sin ③
tan(
)
tan 1 tan
tan tan
3.二倍角公式及万能公式
① sin 2 2sin cos 2tan
1 tan 2
② cos 2
1 sin2
x cos2
x
sec2
x tan2
x
tan
x cot
x
tan 4
sin
2
已知 tan 2 ，求 sin2 sin cos 3cos2 3 5
⑦正余弦的存联系 “知一求二”
(sin cos )2 1 2sin cos 1 sin 2 1、若 sin x cos x t ，则 sin x cos x t2 1
D、 f (x) 的最大值是 A
3.对于函数
f
x
专题10 三角函数性质、最值和ω题型归类(解析版)
专题10 三角函数性质、最值和ω题型归类一、重点题型目录【题型】一、整体代入法求三角函数的单调区间对称轴和对称中心 【题型】二、代入检验判定求三角函数的单调区间对称轴和对称中心 【题型】三、图像法求三角函数的最值或值域 【题型】四、换元法求三角函数的最值或值域【题型】五、利用三角函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性求参数 【题型】六、五点法求三角函数的解析式 【题型】七、利用图象平移求函数的解析式或参数 二、题型讲解总结【题型】一、整体代入法求三角函数的单调区间对称轴和对称中心 例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数π()sin()(0,0)2f x A x A ϕϕ=+>-<<在56x π=时取得最大值，则()f x 在[π,0]-上的单调增区间是（ ） A ．5ππ6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， B ．5ππ66⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， C ．π03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．π06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 【答案】D【分析】根据题意可得5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则可求出ϕ，由于0A >，所以利用正弦函数的性质可求出答案.【详解】解：因为函数π()sin()(0,0)2f x A x A ϕϕ=+>-<<在5π6x =取最大值所以5πsin 6A A ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以5πππ,Z 62k k ϕ+=+∈，得ππ,Z 3k k ϕ=-+∈ 又因为π02ϕ-<< 所以π3ϕ=-， 所以π()sin (0)3f x A x A ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，由πππ2π2π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈，得5ππ22,Z 66ππk x k k -+≤≤+∈， 所以()f x 的递增区间为()π5π2π,2πZ 66k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在[π,0]-上的单调增区间是π06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，， 故选：D ．例2．（2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高三阶段练习）函数()2cos 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的一个对称中心是（ ）A ．,112π⎛⎫⎪⎝⎭B ．7,012π⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,13π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据余弦型函数，求出其对称中心即可判断作答.【详解】在函数()2cos 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭中，由2,Z 62x k k πππ-=+∈得，,Z 23k x k ππ=+∈， 所以函数()2cos 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的对称中心是(,1)(Z)23k k ππ+∈，显然B ，D 不满足，A 不满足，当0k =是，对称中心为(,1)3π，C 满足.故选：C例3．（2022·湖北·宜都二中高三期中）已知函数π()sin()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的图象可由()cos g x A x ω=图象向右平移π9个单位长度得到B ．()f x 图象的一条对称轴的方程为5π9x =-C ．()f x 在区间29π17π,3636⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．()2f x ≥的解集为2k π2π2k π,()393k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】ABD【分析】根据函数的振幅、周期、及过点4,49π⎛⎫-⎪⎝⎭可求得π()4sin 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 对于选项A ：利用函数图象的平移检验即可；对于选项B ：令ππ3π,62x k k +=+∈Z 可解得()f x 图象对称轴的方程,检验是否能取到5π9x =-即可. 对于选项C ：求出π9π5π3,644x ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭，验证正弦函数在9π5π,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭是否单调增.对于选项D ： 直接解三角不等式π1sin 362x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭即可获得答案.【详解】由题意知34ππ4,4918A T ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，解得2π3T =，所以2π3T ω==， 所以()4sin(3)f x x ϕ=+.又点4,49π⎛⎫- ⎪⎝⎭在()f x 的图象上， 所以4π4sin 349ϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，所以4π3π2π,32k k ϕ+=+∈Z ， 解得π2π,6k k ϕ=+∈Z ，又||2ϕπ<，所以ϕ=π6， 所以π()4sin 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将π()4cos34sin 32g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭向右平移π9个单位可得πππ4sin 34sin 3()926y x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 正确；令ππ3π,62x k k +=+∈Z ，解得ππ,93k x k =+∈Z ，令2k =-得5π9x =- 所以()f x 图象的对称轴的方程为5π9x =-.故B 正确； 当29π17π,3636x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，π9π5π3,644t x ⎛⎫=+∈-- ⎪⎝⎭，sin y t =在9π5π,44t ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭上不是单调递增的，故C 错误；令()2f x ≥，即π1sin 362x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以ππ5π2π32π,666k x k k +≤+≤+∈Z ，解得2π2π2π,393k k x k ≤≤+∈Z ，即()2f x ≥的解集为2π2π2π,()393k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z ，故D 正确. 故选：ABD.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()[]π4sin 2,π,03f x x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是________．【答案】7ππ,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和π,012⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】利用正弦函数的单调性以及整体代入的方法，求出()f x 的单调递增区间，结合[]π,0x ∈-，得出答案．【详解】由()πππ2π22πZ 232k x k k -+≤-≤+∈，得()π5πππZ 1212k x k k -+≤≤+∈，当1k =-时，13π7π,1212x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦；当0k =时，π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；又因为[]π,0x ∈-，所以()f x 的单调递增区间为7ππ,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和π,012⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：7ππ,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和π,012⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【题型】二、代入检验判定求三角函数的单调区间对称轴和对称中心例5．（2023·全国·高三专题练习）已知α，β，γ是三个互不相同的锐角，则在sin cos αβ+，sin cos βγ+，sin cos γα+ ）个 A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】先根据辅助角公式得到三个式子的和小于得到在sin cos αβ+，sin cos βγ+，sin cos γα+三个值中，，再举出例子，得到三个值中，有2个值符合要求，故得到答案.【详解】因为α，β，γ是三个互不相同的锐角， 所以sin cos sin cos sin cos αββγγα+++++πππ444αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以在sin cos αβ+，sin cos βγ+，sin cos γα+若令π3α=，π4β=，π6γ=，则sin cos αβ+=>sin cos βγ+=+>sin cos 1γα+=<的个数最多有2个. 故选：C例6．（2023·全国·高三专题练习）已知()1cos cos 2222x x x f x ⎫=+-⎪⎭，若存在0ππ,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使不等式()205122f x m m ≤--有解，则实数m 的取值范围为（ ）A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(]5,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[)1,3,2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】先化简()f x 的解析式，不等式()205122f x m m ≤--在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上能成立等价于()2min 51,22f x m m -≤-求得()f x 的最小值后解不等式即可求解【详解】()21sin cos 2222x x xf x =+-1cos 11cos 222x x x x +=+-=+ cossin sin cos 66xx x π=+. sin 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0π ,33x π⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦，使不等式()205122f x m m ≤--有解则 ()2min 51,22f x m m -≤-π,33x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ πππ,662x ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦1sin 126x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭ 当3x π=-时，()f x 取得最小值，ππ1sin 362f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以 2511,222m m --≥-解之得：52m或0m m ∴的取值范围是(]5,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭故选：B例7．（2022·湖南·高三开学考试）若函数()22cos f x x x m ++在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为6，则下列结论正确的是（ ） A ．5π512f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2π是函数()f x 的一个周期C ．当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()4c f x c <<+恒成立，则实数c 的取值范围是[)2,3D ．将函数()f x 的图像向左移动6π个单位得到函数()g x 的图像，则函数()g x 是一个偶函数 【答案】BD【分析】先根据三角恒等变换整理得()π2sin 216f x x m ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，以π26x +为整体，结合正弦函数图像与性质运算求解，并运用图像平移处理求解判断．【详解】()2π2cos cos212sin 216f x x x m x x m x m ⎛⎫++=+++=+++ ⎪⎝⎭，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则ππ7π2,666x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当π6x =时，()f x 的最大值为6，即3m =，所以5π412f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，选项A 不正确； ∵()f x 的最小正周期2ππ2T ==，则2π是函数()f x 的一个周期，选项B 正确； 当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()36f x ≤≤，所以不等式()4c f x c <<+恒成立，则364c c <⎧⎨<+⎩，解得23c <<，选项C 不正确；函数()f x 的图像向左移动6π个单位得到函数()πππ2sin 242sin 242cos24662g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数()g x 是一个偶函数，选项D 正确. 故选：BD ．例8．（2023·广东·高三学业考试）已知函数22()cossin 22x xf x a =--，R a ∈ (1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()f x 在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有零点，求a 的取值范围．【答案】(1)22[]k k πππ-， ，k ∵Z (2)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用余弦的二倍角公式化简，再结合余弦函数的单调性求解即可；（2）转化为方程cos x a =在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解即可.（1）22()cos sin cos 22x xf x a x a =--=- 当22k x k πππ-≤≤ ，k ∵Z 时，()f x 单调递增，∵函数()f x 的单调递增区间为22[]k k πππ-，，k ∵Z ． （2）函数()f x 在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有零点，也就是cos x a =在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解．∵当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，1cos ,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．∵a 的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【题型】三、图像法求三角函数的最值或值域例9．（2023·全国·高三专题练习）若将()sin 214f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则()g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A1 B ．2C 1D ．2【答案】C【分析】先求平移后的函数解析式，再求()g x 在闭区间上的最值【详解】因为()si 1442n g x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为0,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,442x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()min 1g x =． 故选：C例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．()()f x f x π+=B ．6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象关于原点对称C ．若125012x x π<<<，则()()12f x f x < D ．对1x ∀，2x ，3,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()()132f x f x f x +>成立【答案】ACD【分析】利用正弦型函数的周期公式求周期判断A ，利用正弦型函数的对称性可判断B ，利用正弦型函数的单调性可判断C ，利用正弦型函数的值域可判断D.【详解】∵函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的周期22T ππ==，所以()()f x f x π+=恒成立， 故A 正确；又2sin 216f x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以2sin 11663f πππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，2sin 11663f πππ⎛⎫⎛⎫-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以6666f f ππππ⎛⎫⎛⎫+≠--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象不关于原点对称，故B 错误；当50,12x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,332x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在50,12π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确；因为,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，所以22,333x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦sin 213x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，()1,3f x ⎤∴∈⎦，又)213>，即min max 2()()f x f x >，所以对123,,[,],32x x x ππ∀∈有132()()()f x f x f x +>成立，故D 正确.故选：ACD.例11．（2023·全国·高三专题练习）如图，点D 位于以AB 为直径的半圆上（含端点A ，B ），ABC 是边长为2的等边三角形，则AD CB ⋅的取值可能是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．4【答案】BC【分析】建立坐标系，利用数量积的坐标表示求AD CB ⋅，化简求其范围，由此可得结论. 【详解】如图所示，以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则()1,0A -，()10B ,，(0,C .令()cos ,sin D θθ，其中0θπ≤≤，则()cos 1,sin AD θθ=+，(1,CB =，所以cos 12sin 16AD CB πθθθ⎛⎫⋅=++=++ ⎪⎝⎭.因为0θπ≤≤，所以7666πππθ≤+≤，所以1sin 126πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以[]2sin 10,36AD CB πθ⎛⎫⋅=++∈ ⎪⎝⎭.故选：BC.例12．（2023·全国·高三专题练习）函数()ππsin 36f x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为______．【答案】2【分析】利用三角诱导公式和恒等变换化简得到()2cos f x x =，从而求出最大值.【详解】()πππππsin cos 36362f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππππcos 2sin 2sin 2cos 33362x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故函数()f x 的最大值为2 故答案为：2【题型】四、换元法求三角函数的最值或值域例13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2sin cos f x x x x =，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．3x π=时()f x 取得最小值C ．()f x 关于3x π=对称 D ．512x π=时()f x 取得最大值 【答案】D【分析】结合二倍角正弦公式和辅助角公式化简()f x ，再结合正弦函数性质判断各选项.【详解】因为()2sin cos f x x x x =，所以()sin 2f x x x =，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==，A 错误，2sin 22333f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，BC 错误，552sin 2212123f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 正确.故选：D.例14．（2023·全国·高三专题练习）函数()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为（ ） A．1 B ．1C ．1D ．3【答案】C【分析】利用换元法，令sin cos t x x =+，则原函数可化为21y t t =+-，再根据二次函数的性质可求得其最大值【详解】()sin cos sin 2sin cos 2sin cos f x x x x x x x x =++=++，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以[t ∈，则22(sin cos )12sin cos t x x x x =+=+，所以22sin cos 1x x t =-，所以原函数可化为21y t t =+-，[t ∈，对称轴为12t =-，所以当t =时，21y t t =+-取得最大值，所以函数的最大值为211=，即()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为1 故选：C例15．（2023·全国·高三专题练习）函数2()sin cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（ ） A ．1 B ．2C ．32D ．3【答案】C【分析】先将函数用二倍角公式进行降幂运算，得到1()sin(2)26f x x π=+-，然后再求其在区间[,]42ππ上的最大值．【详解】解：因为2()sin cos f x x x x =，所以1cos 21()2sin(2)226x f x x x π-==+-，42ππx ≤≤，52366x πππ∴≤-≤，1sin 2126x π⎛⎫∴≤-≤ ⎪⎝⎭，∴13()122max f x =+=．故选：C ．例16．（2022·广东·汕头市达濠华侨中学高三阶段练习）已知函数()3sin 222f x x x =+，则下列选项正确的有（ ） A ．()f x 的最小正周期为πB ．曲线()y f x =关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C ．()f xD ．曲线()y f x =关于直线π6x =对称 【答案】ACD【分析】化简()πsin 26⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x .利用周期公式求出周期可判断A ；计算π3⎛⎫⎪⎝⎭f 可判断B ； 利用π1sin 216⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭x 可判断C ；计算π6f ⎛⎫⎪⎝⎭可判断D【详解】()3πsin 22sin 226f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 对于A ，()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 正确；对于B ，πππ20336f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C ，π1sin 216⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭x ，所以()max f x C 正确；对于D ，πππ2666f ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 正确.故选：ACD.【题型】五、利用三角函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性求参数例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()cos 02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭＞，，4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】C【分析】根据三角函数的性质，利用整体思想，由单调区间与周期的关系，根据零点与对称轴之间的距离，表示所求参数，逐个检验取值，可得答案.【详解】由f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，即12618T ππ≥-，可得29T π≥，则ω≤9；∵4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，根据三角函数的图象可知，零点与对称轴之间距离为：()1214T k ⨯-，k ∵N *．要求ω最大，则周期最小，∵()12142k T π-⨯=，则T 221k π=-；∵ω＝2k ﹣1；当9ω=时，由2πϕ≤，则4πϕ=-，可得()cos 94f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知()f x 在5,1836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单减，在5,366ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增，不合题意； 当7ω=时，由2πϕ≤，则4πϕ=，可得()cos 74f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，易知()f x 在3,1828ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单减，在3,286ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，不合题意；当5ω=时，由2πϕ≤，则4πϕ=-，可得()cos 54f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知()f x 在,186ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单减，符合题意；故选：C ．例18．（2023·全国·高三专题练习）若直线π4x =是曲线πsin (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的一条对称轴，且函数πsin()4y x ω=-在区间[0，π12]上不单调，则ω的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．11D ．3【答案】C【分析】根据给定条件，求出ω的关系式，再求出函数πsin()4y x ω=-含有数0的单调区间即可判断作答.【详解】因直线π4x =是曲线πsin (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的一条对称轴，则πππ,N 442k k ωπ-=+∈，即43,N k k ω=+∈， 由πππ242x ω-≤-≤得π3π44x ωω-≤≤，则函数πsin()4y x ω=-在π3π[,]44ωω-上单调递增， 而函数πsin()4y x ω=-在区间π[0,]12上不单调，则3π412πω<，解得9ω>， 所以ω的最小值为11. 故选：C例19．（2023·江苏南京·高三阶段练习）已知函数()()πsin 026f x x ωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，()()π0f x f x ++=，()()()0πf f αβαβ=<<<，则（ ）A ．()()4πf x f x =+B ．()()9π0f x f x ++=C ．()()12f f αββα+<-= D ．()()12f f βααβ-<+=【答案】AB【分析】推导出()()2πf x f x +=，可判断AB 选项；求出2π3αβ+=，并求出()f βα-的取值范围，可判断CD 选项.【详解】对于A 选项，对任意的R x ∈，()()πf x f x +=-，则()()()2ππf x f x f x +=-+=， 所以，()()()4π2πf x f x f x +=+=，A 对；对于B 选项，()()()9ππf x f x f x +=+=-，则()()9π0f x f x ++=，B 对； 对于CD 选项，由题意可知，()f x 的最小正周期为2π，则2π12πω==，则()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当()0,πx ∈时，ππ7π666x <+<， 由πππ662x <+<可得π03x <<，则函数()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 由ππ7π266x <+<可得ππ3x <<，则函数()f x 在π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，0παβ<<<，则πππ7π6666αβ<+<+<， 所以，πππ66αβ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2π3αβ+=，所以，()2ππ5π1sin sin 3662f αβ⎛⎫+=+==⎪⎝⎭，C 错， 因为πππ7π6666αβ<+<+<，则πππ662α<+<，所以，π03α<<， 则2π2π20,33βαα⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，所以，ππ5π,666βα⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ 故()1,12f βα⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦，则()()12f f βααβ->+=，D 错.故选：AB.【题型】六、五点法求三角函数的解析式例20．（2023·全国·高三专题练习）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线()cos y A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，0πϕ≤<2）的振幅为1，周期为2π，初相位为π2，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（ ）A ．sin y x =B ．cos y x =C ．sin y x =-D ．cos y x =-【答案】A【分析】由振幅可得A 的值，由周期可得ω的值，由初相位可得ϕ的值，即可得出声波曲线的解析式，进而可得主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式.【详解】解：因为噪音的声波曲线()cos y A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，0πϕ≤<2）的振幅为1，则1A =， 周期为2π，则2π2π12πT ω===，初相位为π2，π2ϕ=，所以噪声的声波曲线的解析式为πcos sin 2y x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为sin y x =．故选：A.例21．（2022·福建省连城县第一中学高三阶段练习）函数()()sin()0,f x A x b ωϕωϕπ=++><的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的解析式为()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭B ．函数()f x 的单调递增区间为5,(Z)1212k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 的图象关于点,1(Z)2k k π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对称 D ．为了得到函数()f x 的图象，只需将函数()2cos 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，再向上平移一个单位长度 【答案】ABD【分析】由题意求出()f x 的解析式可判断A ；利用正弦函数的单调性和对称性可判断BC ；由三角函数的平移变换可判断D.【详解】对于A ，由图可知，31A b A b +=⎧⎨-+=-⎩，可得21A b =⎧⎨=⎩，由π1sin 425π1sin 122ωϕωϕ⎧⎡⎤⎛⎫⨯-+=-⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎨⎛⎫⎪⨯+=- ⎪⎪⎝⎭⎩，则1122ππ+2π,Z 465π7π+2π,Z126k k k k ωϕωϕ⎧-+=-∈⎪⎪⎨⎪+=∈⎪⎩，两式相减得：()122π4π2π33k k ω=+-， 所以()1223k k ω=+-∵，又因为π2π5ππ33212425ππ2π2π31243T T ωωωω⎧⎧≤≤+⎧⎪⎪≥⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪≤≥+≥⎩⎪⎪⎩⎩，所以332ω≤≤，结合∵，2ω=， 因为π5ππ412212-+=，所以πππ21223ϕϕ⨯+=⇒=， 所以()π2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈，解得：()5ππππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈，故B 正确； 对于C ，令π2ππ,Z 3+=+∈x k k ，解得：ππ,Z 32=+∈k x k ， 函数()f x 的图象关于点()ππ,1Z 32k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭对称，所以C 不正确；对于D ，将函数π2cos 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭向右平移π4个单位得到πππ2cos 22sin 2433⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦x x ，向上平移一个单位长度可得π2sin 213y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ABD.例22．（2023·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））已知函数()sin 0,0,π()(||)f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象．(1)求函数()g x 的解析式；(2)若对于()()2π0,,303x g x mg x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎢⎥∀-⎣-⎦∈≤恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)π()2sin 36g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(2)1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）先根据函数图象求出()f x 的解析，再利用图象变换规律可求出()g x 的解析式； （2）由π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得ππ7π3,666x ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦+，从而可得[]()1,2g x ∈-，然后分()0g x =，()[1,0)g x ∈-和(,])2(0g x ∈求解即可.【详解】（1）由()f x 的图象可得2A =，5πππ212122T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 所以πT =，所以2ππω=，得2ω=，所以()()(|2sin 2π|)f x x ϕϕ=+<， 因为()f x 的图象过5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以52sin 2212πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，所以5sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以5ππ2π,Z 62k k ϕ+=-∈，得4π2π,Z 3k k ϕ=-∈， 因为||πϕ<，所以2π3ϕ=， 所以()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，可得32π2π2sin 22sin 3233y x x ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再将所得函数图象向右平移π6个单位长度，得 π2ππ2sin 32sin 3636y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以π()2sin 36g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）由π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得ππ7π3,666x ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦+，所以π1sin 3,162x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以[]π2sin 31,26x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以[]()1,2g x ∈-，当()0g x =时，30-≤恒成立，当()[1,0)g x ∈-时，则由()()230g x mg x -⎤⎦-⎣≤⎡， 得3()()m g x g x ≤-， 因为函数3y x x=-在[1,0)-上为增函数，所以min33()12()1g x g x ⎡⎤-=--=⎢⎥-⎣⎦ 所以2m ≤，当(,])2(0g x ∈，则由()()230g x mg x -⎤⎦-⎣≤⎡， 得3()()m g x g x ≥-， 因为函数3y x x=-在(0,2]上为增函数，所以max331()2()22g x g x ⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦ 所以12m ≥， 综上122m ≤≤，即实数m 的取值范围为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【题型】七、利用图象平移求函数的解析式或参数例23．（2023·全国·高三专题练习）要得到函数π3sin(2)3y x =+的图象，只需要将函数3cos 2y x =的图象（ ）A ．向右平行移动π12个单位 B ．向左平行移动π12个单位 C ．向右平行移动π6个单位D ．向左平行移动π6个单位【答案】A【分析】由三角函数的图象变换求解【详解】π3cos 23sin(2)2y x x ==+，要得到π3sin(2)3y x =+的图象，需要向右平移πππ23212-=个单位．故选：A例24．（2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）已知函数π()2sin 213f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．将函数2sin 2y x =的图象向右平移π6个单位，再向上平移1个单位得到()=y f x 的图象B ．函数()=y f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．函数()=y f x 的图象关于直线π12x =-对称 D ．函数()=y f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】AC【分析】根据图象平移写出解析式判断A ；利用正弦函数性质，整体法判断()f x 的区间单调性判断B ，代入法判断对称性，判断C 、D. 【详解】A ：根据平移过程πππ=()+1=2sin2()+1=2sin(2)+1663y g x x x ---，正确； B ：π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ2π2(,)333x -∈-，根据正弦函数性质()f x 在区间内不单调，错误；C ：πππ()=2sin()+1=11263f ----，此时ππ2=32x --，故直线π12x =-为对称轴，正确；D ：πππ()=2sin()+1=1633f -，故关于点π,16⎛⎫⎪⎝⎭对称，错误.故选：AC例25．（2022·广东·深圳中学高三阶段练习）将函数()π=2sin 3f x x ω-⎛⎫ ⎪⎝⎭的图像向左平移2π3个单位，所得图像关于原点对称．若01ω<<，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为4πB ．()f x 的对称中心为()2π2π+,0Z 3k k ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．对任意的R x ∈，都有()2π=3f x f x -⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()π=2sin +6g x x ω⎛⎫ ⎪⎝⎭与()f x【答案】AB【分析】利用平移后得函数是奇函数求出12ω=，则()f x 的最小正周期为2π=4π12，故A 正确；令()1π=πZ 23x k k -∈判断B 正确；由π=13f -⎛⎫⎪⎝⎭判断C 错误；令()=()f x g x 分析得到公，判断D 错误.【详解】将函数()π=2sin 3f x x ω-⎛⎫ ⎪⎝⎭的图像向左平移2π3个单位，可得2ππ()=2sin (+)33h x x ω-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()h x 为奇函数，则(0)0h =，即2ππ=π33k ω-，13=+,22k k Z ω∈， 因为01ω<<，所以1=0=2k ω，，则()1π=2sin 23f x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2π=4π12，故A 正确；令()1π=πZ 23x k k -∈，得2π=2π+3x k ，()f x 的对称中心为()2π2π+,0Z 3k k ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭，故B 正确；π1ππ=2sin(?)=13233f --⎛⎫⎪⎝⎭，所以3x π=不是对称轴，故C 错误；令()=()f x g x ，即1π1πsin =sin +2326x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1π1ππ1πsin +=sin +=cos 2623223x x x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1π1πsin =sin +=?2326x x ∴-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()π=2sin +6g x x ω⎛⎫ ⎪⎝⎭与()f x故D 错误； 故选：AB.。
三角函数中的常考题型及其解法
三角函数中的常考题型及其解法三角函数中常考题型及解法：一、求解三角函数值1、求正弦函数值解法：使用正弦定理进行求解，总结如下：（1）正弦定理（用于直角三角形）：a/sinA=b/sinB=c/sinC；（2）正弦表：常记正弦值，如15°的正弦值是0.2588；（3）半角公式：sin(x/2)=±√[(1-cosx)/2]；（4）倍角公式：sin2x=2sinxcosex。
2、求余弦函数值解法：使用余弦定理进行求解，总结如下：（1）余弦定理（用于直角三角形）：a²=b²+c²-2bc·cosA；（2）余弦表：常记余弦值，如45°的余弦值是0.7071；（3）化简余弦值：常用公式或知识点化简余弦值，如极限化简，勾股定理等；（4）半角公式：cos(x/2)=±√[(1+cosx)/2]；（5）倍角公式：cos2x=cos²x-sin²x。
三、求解三角函数表达式1、求正弦函数表达式解法：（1）可用图像法求解，如求函数y=2sin(x+π/6)的图形，可将之前已知的普通正弦图形向右移动π/6，并放大2倍；（2）也可用公式求解，如求函数y=2sin(x+π/6)，用单位正弦函数表示法，则有y=2sin(x)·cos(π/6)+2cos(x)·sin(π/6)。
2、求余弦函数表达式解法：（1）可用图像法求解，如求函数y=2cos(x+π/6)的图形，可先求出正弦函数的图像，再进行垂直翻转；（2）也可用公式求解，如求函数y=2cos(x+π/6)，用单位余弦函数表示法，则有y=2cos(x)·cos(π/6)-2sin(x)·sin(π/6)。
三角函数应用(常见题型)
三角函数应用(常见题型)一、求角的弧度和角度常用的角度单位有度和弧度两种，它们在三角函数的应用中经常被使用。
- 弧度是一个角所对应的弧长与半径之比，通常用符号“rad”表示。
角度为360度时，对应的弧度为2π弧度。
- 角度是用一个直角顶点处的一条封闭射线除以另外一条初始射线所得的比值。
通常用符号“°”表示。
角度为360度时，对应的弧度为2π弧度。
在实际计算中，经常需要将角度和弧度进行转换。
根据以上定义，可以得到下面的换算关系：- 弧度 = 角度× π / 180- 角度 = 弧度× 180 / π二、常见题型1. 根据已知边长求角度：题目描述：已知直角三角形一边长为a，另一边长为b，求其夹角C的度数。
解题思路：使用三角函数中的反函数来求解。
根据问题描述，已知a和b，可以计算出斜边长c，然后使用反正弦函数求解夹角C。
$$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$$$C = \arcsin \left(\frac{b}{c}\right)$$2. 根据已知角度求边长：题目描述：已知直角三角形一边长为a，另一边长为b，其中夹角C的度数已知，求斜边的长度。
解题思路：使用三角函数中的正弦函数来求解。
根据问题描述，已知a、b和夹角C，可以使用以下公式求解斜边c的长度。
$$c = \frac{b}{\sin(C)}$$3. 角度和边长之间的关系：题目描述：已知直角三角形一边长为a，另一边长为b，其中夹角C的度数已知，求另一个夹角A的度数。
解题思路：注意，直角三角形中，角A和角C的和为90度。
所以可以利用该关系来求解角A的度数。
$$A = 90 - C$$三、总结三角函数的应用在几何学和物理学中有广泛的使用。
通过掌握常见题型的解法，我们可以更好地理解和应用三角函数，解决实际问题。
三角函数的题型及解题方法
三角函数的题型及解题方法
1．转化思想
转化思想贯穿于本章的始终．例如，利用三角函数定义可以实现边与角的转化，利用互余两角三角函数关系可以实现“正”与“余”的互化；利用同角三角函数关系可以实现“异名”三角函数之间的互化．此外，利用解直角三角形的知识解决实际问题时，首先要把实际问题转化为数学问题．
2．数形融合思想
本章从概念的引出到公式的推导及直角三角形的解法和应用，无一不体现数形结合的`思想方法．例如，在解直角三角形的问题时，常常先画出图形，使已知元素和未知元素更直观，有助于问题的顺利解决．
3．函数思想
锐角的正弦、余弦、正切、余切都是三角函数，其中都蕴含着函数的思想．例如，任意锐角a与它的正弦值是一一对应的关系．也就是说，对于锐角a任意确定的一个度数，sina都有惟一确定的值与之对应；反之，对于sina在（01）之间任意确定的一个值，锐角a都有惟一确定的一个度数与之对应．
4．方程思想
在解直角三角形时，若某个元素无法直接求出，往往设未知数，根据三角形中的边角关系列出方程，通过解方程求出所求的元素．。
三角函数与解三角形题型
三角函数和解三角形是高中数学中的重要内容，它们在实际中应用广泛，如测量高度、角度、距离等。
下面简单介绍一些常见的三角函数应用和解三角形的题型。
1. 三角函数应用题型
(1) 根据两边求角/根据一边和一个角求另一个角/根据两角求第三角
这类题目通常需要用到三角函数的反函数和三角函数关系式，根据给定的两边或一个边和一个角或两个角，求第三个角的大小。
需要注意使用对应的三角函数和反函数，或者利用正弦定理和余弦定理。
(2) 根据两角求角平分线/垂直平分线等
这类题目通常需要应用三角函数、对称性质等知识，利用角平分线定理和垂直平分线定理求解。
(3) 根据角度求高度/距离等
这类题目常常需要使用正弦函数、余弦函数和三角函数关系
式，得出高度或距离与角度之间的关系，然后求解。
2. 解三角形题型
(1) 已知三角形其中两边和一个角
可以使用余弦定理和正弦定理，根据所求角的三角函数求解。
(2) 已知三角形的三边
可以使用余弦定理计算出角度，然后使用正弦定理求出其他角度或者用正弦函数/余弦函数计算出所求角对应的边。
(3) 已知三角形其中一个角和两边之比
可以用正弦函数或余弦函数计算出所求角的正弦值/余弦值，并根据三角函数关系式求解其他角度或边长。
在应用三角函数和解三角形的题型中，需要注意应用公式的正确性和相应角度的变化，考虑各种情况的可能性，带上单位，不要忘记计算结果的合理性等问题。
高考数学三角函数常考题型及解答方法总结
高考数学三角函数常考题型及解答方法总结
1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
如（1）已知 ， ，那么 的值是_____（答： ）
（2）已知 ，且 ， ，求 的值（答： ）；
(2)三角函数名互化(切割化弦)，
如（1）求值 （答：1）；
（2）已知 ，求 的值（答： ）
(3)公式变形使用（ 。
如（1）已知A、B为锐角，且满足 ，则 ＝_____（答： ）；
(2)设 中， ， ，则此三角形是____三角形（答：等边）
(4)三角函数次数的降升(降幂公式： ， 与升幂公式： ， )。
如(1)若 ，化简 为_____（答： ）；
（2）函数 的单调递增区间为___________（答： ）
(5)常值变换主要指“1”的变换（
等），
如已知 ，求 （答： ）.
(6)正余弦“三兄妹— ”的内存联系――“知一求二”，
如（1）若 ，则 __（答： )，特别提醒：这里 ；
（4）函数 的最小值是_____，此时 ＝__________（答：2； ）；
（5）若 ，求 的最大、最小值（答： ， ）。特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？
（3）周期性：① 、 的最小正周期都是2 ；② 和 的最小正周期都是 。
如(1)若 ，则 ＝___（答：0）；
三角函数的图象与性质6大题型
三角函数的图象与性质6大题型三角函数的图象与性质是高考的热点，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换以及三角函数的周期性、对称性、单调性之间逻辑关系则是重心。
随着新高考改革的推进，更加注重对以周期性为核心的三大性质之间的逻辑关系的考查，要求考生能用几何直观和代数运算来研究三角函数。
高考中的相关试题多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏下。
一、三角函数性质问题相关方法1、周期的计算公式:函数)0()cos(),sin(>+=+=ωϕωϕωx A y x A y 的周期为ωπ2=T ，函数)0()tan(>+=ωϕωx A y 的周期为ωπ=T 求解.2、奇偶性的判断方法:三角函数中奇函数一般可化为x A y ωsin =或x A y ωtan =的形式，而偶函数一般可化为b x A y +=ωcos 的形式.3、解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心.方法：整体处理法、代入验证法对于函数)0()cos(),sin(>+=+=ωϕωϕωx A y x A y ，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线0x x =或点)0,(0x 是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验)(0x f 的值进行判断.4、确定函数)0,0()sin(>>+=ωϕωA x A y 单调区间的方法采用“换元”法整体代换，将‘ϕω+x ’看作一个整体，可令“ϕω+=x z ”，即通过求z A y sin =的单调区间而求出函数的单调区间.若0<ω，则可利用诱导公式先将x 的系数转变为正数，再求单调区间.二、三角函数图形变换问题解决三角函数图像变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：1、定函数：一定要看准是将哪个函数的图像变换得到另一个函数的图像.2、变同名：函数的名称要一样.3、选方法：即选择变换方法.要注意：对于函数)0(sin >=ωωx y 的图像，向左平移ϕ个单位长度得到的是函数)(sin ϕω+=x y 的图象，而不是函数)sin(ϕω+=x y 的图像.【题型1【例1】（2023·湖南湘潭·统考二模）函数2cos2()sin xf x x+=的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【变式1-1】（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）函数()21sin 2f x x x x =-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【变式1-2】（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）函数()cos e =xf x 的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【变式1-3】（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）函数()cos ln xf x x xππ+=⋅-在(),ππ-上的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【变式1-4】（2022秋·四川遂宁·高三遂宁中学校考阶段练习）函数()(tan sin 2)22x x y x x -=--的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【题型2根据图象求三角函数解析式】【例2】（2023秋·湖南怀化·高三统考期末）已知函数()2cos()(0)f x x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则()0f =（）A ．1B ．1-CD ．【变式2-1】（2022秋·贵州铜仁·高三校考阶段练习）已知A ，B ，C ，D ，E 是函数sin()y x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫><< ⎪⎝⎭一个周期内的图像上的五个点，如图，A ,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 为y 轴上的点，C 为图像上的最低点，E 为该函数图像的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD 在x 轴上的投影为12π，则ωφ，的值为（）A ．2ω=，3πϕ=B ．2ω=，6πϕ=C ．12ω=，3πϕ=D ．12ω=，6πϕ=【变式2-2】（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图，BC x ∥轴，当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若不等式()sin 2f x m x ≥-恒成立，则m 的取值范围是（）A．⎛-∞ ⎝⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(-∞D ．(],1-∞【变式2-3】（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）已知函数π()sin()0,||2ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭f x x ，若()()1g x f x ⋅=，且函数()g x 的部分图象如图所示，则ϕ等于（）A ．π3-B ．π6-C ．π6D ．π3【变式2-4】（2023·全国·模拟预测）（多选）已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将()f x 的图象向右平移()0m m >个单位长度后得到函数()()sin 2g x A x ωϕ=-的图象，则m 的值可以是（）A ．π4B ．π3C ．4π3D ．9π4【题型3三角函数图象变换问题】【例3】（2023秋·江西赣州·高三统考期末）函数()()sin f x x ωϕ=+（其中0ω>，π2ϕ<）的图象如图所示，为了得到cos y x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有点（）A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π6个单位长度【变式3-1】（2022·四川·高三统考对口高考）为了得到函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有的点（）A ．向左平移4π个单位B ．向右平移4π个单位C ．向左平移2π个单位D ．向右平移2π个单位【变式3-2】（2022·陕西汉中·统考一模）为得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将sin2y x =的图象（）A ．向左平移512π个单位长度B ．向右平移512π个单位长度C ．向左平移23π个单位长度D ．向右平移23π个单位长度【变式3-3】（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知函数π()3sin (0)6f x x ωω⎛⎫-> ⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度后与其导函数()y f x '=的图象重合，则()f ϕ的值为（）A ．0B ．32C ．62D ．32【变式3-4】（2022·全国·模拟预测）已知函数()3sin cos f x x x =-的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位长度后得到()f x 的导函数()f x '的图象，则()f ϕ=（）A ．3-B ．3C ．1D ．1-【变式3-5】（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）将函数()sin 2c 2πos π63f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象上的所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），然后再将其图象向左平移()0θθ>单位得到图象()g x ，若函数()g x 图象关于y 轴对称，则θ的最小值为（）A ．π3B ．π6C ．π12D ．π24【题型4三角函数的四种性质】【例4】（2023秋·河南南阳·高三统考期末）已知函数()()()sin cos f x x x ϕϕ=+++是偶函数,则3sin 2cos 2sin 3cos ϕϕϕϕ-=+______．【变式4-1】（2023秋·河北邢台·高三邢台市第二中学校考期末）函数9cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为______.【变式4-2】（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考期中）已知函数()tan tan f x x x =+，则下列结论中正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为π2B ．点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心C ．()f x 的值域为[)0,∞+D ．不等式()2f x >的解集为()ππ2,2πZ 42k k k π⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭【变式4-3】（2023·四川内江·统考一模）已知函数()()1sin cos sin (0)2f x x x x ωωωω=-+>，若函数()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω不能取（）A ．23B ．13C ．58D ．14【变式4-4】（2023秋·江苏南通·高三统考期末）（多选）设函数()()sin f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，3πϕ<.若1409f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，419f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于52π，则（）A ．14ω=B ．6πϕ=C ．()f x 在()2,3ππ上单调递增D ．()f x 在()0,3π上存在唯一的极值点【变式4-5】（2023·安徽淮南·统考一模）（多选）已知函数()()πsin ,12,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭图像过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，且存在12,x x ，当122πx x -=时，()()120f x f x ==，则（）A ．()f x 的周期为4π3B ．()f x 图像的一条对称轴方程为5π9x =-C ．()f x 在区间4π10π,99⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减D ．()f x 在区间()0,5π上有且仅有4个极大值点【变式4-6】（2023秋·湖北·高三统考期末）（多选）已知函数()2sin sin 2f x x x =，则下列说法正确的是（）A ．π是()f x 的一个周期B ．()f x 的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C ．()f x 在区间[]0,2π上的零点个数为4D ．()f x 的最大值为8【变式4-7】（2023春·浙江·高三校联考开学考试）（多选）已知函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A ．()0f =B ．()f x 的最小正周期为π2C ．()f x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增【题型5三角函数的最值问题】【例5】（2022秋·北京·高三北京市八一中学校考阶段练习）定义运算,,,.a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩※例如，121=※，则函数()sin cos f x x x =※的值域为（）A ．1,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．22⎡-⎢⎣⎦【变式5-1】（2023秋·湖南株洲·已知定义域为R 的函数(),()f x g x 满足()()πf x f x +=-，且()()cos π,g x x f x =++()()sin πf x x g x =-+，则当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()y f x g x =的最小值为（）A ．0B ．2CD ．38【变式5-2】（2022秋·安徽·高三石室中学校联考阶段练习）如图是函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的部分图象，则()f x 在,9045⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π22π上的值域为（）A ．[]1,1-B ．1322⎡⎢⎣⎦C ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．32⎡-⎢⎣⎦【变式5-3】（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）函数()25cos 4sin 53cos f x x x x -+的最大值为（）.A ．22B ．23C ．5D ．3【变式5-4】（2023秋·北京丰台·高三统考期末）已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+>⎪⎝⎭，若ππ62f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值无最大值，则ω=___________．【变式5-4】（2020秋·吉林白城·高三校考阶段练习）已知向量1(cos ,)2a x = ，(3,cos 2),Rb x x x =∈，设函数()f x a b =⋅ ．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在π[0,]2上的最大值和最小值．【题型6三角函数的零点问题】【例6】（2022·四川宜宾·统考模拟预测）若函数()π2sin 213f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()f x 在区间[]0,2π上零点的个数是_______．【变式6-1】（2023·全国·高三对口高考）已知0ω>，函数()πsin 16f x x ω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间[]0,π上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是________．【变式6-2】（2022秋·河南濮阳·高三统考阶段练习）已知函数5π()cos (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有1个零点，则实数ω的取值范围为______.【变式6-3】（2023秋·福建宁德·高三校考阶段练习）若函数()1cos42f x x x m =-+-在π04⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上存在两个零点，则实数m 的取值范围为（）A ．3522⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．3522⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C．1522⎛⎤+ ⎥⎝⎦，D．1522⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭，【变式6-4】（2023秋·山西·高三校联考阶段练习）已知函数()()221sin 2π,,3213,,x a x a f x x a x a x a ⎧⎡⎤⎛⎫-+<⎪ ⎪⎢⎥=⎝⎭⎨⎣⎦⎪-+++≥⎩.若()f x 在()0,∞+上恰好有5个零点，则a 的取值范围是（）A ．411,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．411717,,3636⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦C ．1167,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．43117,,3263⎛⎤⎛⎤⋃ ⎝⎦⎝⎦【变式6-5】（2022秋·广西桂林·高三校考阶段练习）已知定义在R 上的函数()y f x =是偶函数，当0x ≥时，()2sin ,01213,122x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()()20,R f x af x b a b ++=∈⎡⎤⎣⎦，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．34,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．74,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．7734,222⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪⎝⎭⎝⎭D ．324,1,27⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【变式6-6】（2023秋·山东烟台·高三统考期末）已知定义在R 上的函数()f x 满足：2f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数，且()()8sin ,021,02x x f x f x x ππ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩；函数()lg 2g x x π=+，则当[]4,3x ππ∈-时，函数()()y f x g x =-的所有零点之和为（）A ．7π-B ．6π-C ．72π-D ．3π-（建议用时：60分钟）1．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）将函数()π3cos (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移π6ω个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()y g x =在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的最大值为（）A ．2B ．83C ．103D ．42．（2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习）已知函数()()sin f x x ϕ=-且2cos πcos 3ϕϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的一条对称轴是（）A ．5π6x =B ．7π12x =C ．π3x =D ．π6x =3．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）函数()πcos()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，且()302f =．则下列选项正确的是（）A ．π3ϕ=-B ．π122f ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 在区间2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数D ．()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数π()2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π上单调递增，且2π()3f x f ⎛⎫≥-⎪⎝⎭恒成立，则ω的值为（）A ．2B ．32C ．1D ．125．（2022·四川成都·成都市第二十中学校校考一模）已知函数()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论不正确的是（）A ．π为函数()f x 的一个周期B ．2π,03⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心C ．函数()f x 在区间[],a a -上单调递增，则实数a 的最大值为5π12D ．将函数()f x 的图象向右平移π12个单位长度后，得到一个偶函数的图象6．（2022·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）已知()()()π2tan 0,,02f x x f ωϕωϕ⎛⎫=+><= ⎪⎝，周期π3ππ,,446T ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是()f x 的对称中心，则π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A ．BC D ．3-7．（2023秋·山东东营·高三东营市第一中学校考期末）（多选）关于函数2()cos 4cos 1f x x x =++，下列说法正确的是（）A ．函数()f x 在π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为6B ．函数()f x 在π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2C ．函数()f x 在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减8．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）（多选）设()sin 22cos f x x x =+，x ∈R ，则（）.A ．()f x 在区间[]0,2π上有2个零点B ．()f x 的单调递增区间为π7ππ,π26k k ⎛⎫++⎪⎝⎭，k ∈Z C ．()f x 的图象关于直线ππ3x k =+对称D ．()f x 的值域为0,2⎡⎢⎣⎦9．（2023·湖南长沙·统考一模）已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>,若函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭中心对称,且关于直线π3x =轴对称,则ω的最小值为______．10．（2022秋·四川遂宁·高三校考阶段练习）已知函数()()7ππsin 12f x x x ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭则函数()f x 的对称中心_________11．（2021·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知函数23()sin sin cos (,,0)2f x a x x x a b a b a =-+<，（1）若当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域为[]5,1-，求实数,a b 的值；（2）在（1）条件下，求函数()f x 图像的对称中心和单调区间.12．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）已知函数()()(0,0f x x ωϕωϕ=+><<sin π的最小正周期为π，且直线π2x =-是其图像的一条对称轴.（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图像向右平移π4个单位，再将所得的图像上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图像对应的函数记作()y g x =，已知常数R λ∈，*n ∈N ，且函数()()212sin F x x g x λ=-+在()0,πn 内恰有2021个零点，求常数λ与n 的值.参考答案【题型1三角函数的图象辨析】【例1】（2023·湖南湘潭·统考二模）函数2cos2()sin xf x x+=的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】()f x 的定义域为{}π,Z x x k k ≠∈，关于原点对称，因为2cos(2)2cos2()()sin()sin x xf x f x x x+-+-==---，所以()f x 为奇函数，故排除C,D ,又π102f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以排除B,故选：A【变式1-1】（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）函数()21sin 2f x x x x =-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】()f x 的定义域为R ，2211()()()sin()sin ()22f x x x x x x x f x -=----=-=，所以()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除C ，D 选项；()21ππ02f =>，排除B 选项.所以A 选项正确.故选：A【变式1-2】（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）函数()cos e =xf x 的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意得函数定义域为R ，且()()()cos cos ee --===x xf x f x ，∴()f x 为偶函数，故排除选项B ，∵()()cos e2πe xf x f k =≤=，Z k ∈，()0e f =为最大值，∴排除选项D ，∵()()()cos 2πcos 2πee x xf x f x ++===，∴()f x 是2π为周期的周期函数，∴排除选项A.故选：C【变式1-3】（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）函数()cos ln xf x x xππ+=⋅-在(),ππ-上的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为()()cos lnxf x x f x xππ--=⋅=-+，所以f （x ）是奇函数，排除A ，D ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，ln0xxπ+>π-，所以()0f x >，排除C ，故选：B ．【变式1-4】（2022秋·四川遂宁·高三遂宁中学校考阶段练习）函数()(tan sin 2)22x x y x x -=--的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题得函数的定义域为π{|π,}2x x k k Z ≠+∈，定义域关于原点对称.设()()(tan sin 2)22x xf x x x -=--，所以()()(tan sin 2)22x x f x x x --=-+-()(tan sin 2)22()x xx x f x -=--=，所以函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项D.又(π)=0f ，所以排除选项B.当π2x →时，tan ,sin 20,x x →+∞→()220x x-->，所以此时()0f x >.故选：A【题型2根据图象求三角函数解析式】【例2】（2023秋·湖南怀化·高三统考期末）已知函数()2cos()(0)f x x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则()0f =（）A ．1B ．1-CD ．【答案】C【解析】观察函数图象得，函数()f x 的周期413()3123T πππ=-=，则22Tπω==，而13212f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即13cos 16πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则有132,Z 6k k πϕπ+=∈，因此132Z 6k k πϕπ=-∈，即有13()2cos(22)2cos(2)66f x x k x πππ=+-=-，所以()02cos()6f π=-故选：C【变式2-1】（2022秋·贵州铜仁高三校考阶段练习）已知A ，B ，C ，D ，E 是函数sin()y x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫><< ⎪⎝⎭一个周期内的图像上的五个点，如图，A ,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 为y 轴上的点，C 为图像上的最低点，E 为该函数图像的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD在x 轴上的投影为12π，则ωφ，的值为（）A ．2ω=，3πϕ=B ．2ω=，6πϕ=C ．12ω=，3πϕ=D ．12ω=，6πϕ=【答案】A【解析】因B 与D 关于点E 对称，CD 在x 轴上的投影为12π，则B 与图像最高点（最靠近B 点）连线所对应向量在x 轴上的投影为12π，又A ,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则A 与图像最高点(最靠近B 点)连线对应向量在x 轴上的投影为πππ6124+=，故函数最小正周期为24πππ=4ω⨯=，又0ω>，则2ω=.又因函数图像过点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2ππ,Z 3φk k -+=∈，得2ππ,Z 3φk k =+∈，又02πϕ<<，则0k =，得π3ϕ=.综上，有2ω=，π3ϕ=.故选：A【变式2-2】（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图，BC x ∥轴，当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若不等式()sin 2f x m x ≥-恒成立，则的取值范围是（）A ．⎛-∞ ⎝⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(-∞D ．(],1-∞【答案】A【解析】因为//BC x 轴，所以()f x 图象的一条对称轴方程为1π2π7π()22312x =+=，所以7πππ41234T =-=，则πT =，所以2π2T ω==，又π2π2π3k ϕ⨯+=+，Z k ∈，且0πϕ<<，所以π3ϕ=，故π()sin(23f x x =+，因为当π[0,]4x ∈时，不等式()sin 2f x m x ≥-恒成立，所以π3π()sin 2sin(2)sin 2sin 2cos 2sin(2)3226m f x x x x x x x ≤+=++=++，令()π26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ2π2,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以π())6g x x +的最小值为2，所以2m ≤，即m ⎛∈-∞ ⎝⎦．故选：A ．【变式2-3】（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）已知函数π()sin()0,||2ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭f x x ，若()()1g x f x ⋅=，且函数()g x 的部分图象如图所示，则ϕ等于（）A ．π3-B ．π6-C ．π6D ．π3【答案】B【解析】由图可知，函数()g x 过点π,13⎛⎫⎪⎝⎭和点5π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭，即π135π16g g⎧⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，又因为()()1g x f x ⋅=，所以π135π16f f ⎧⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，结合正弦型函数的性质可知，5ππ263T =-，解得πT =，所以2ππω=，解得2ω=±，因为0ω>，所以2ω=所以()sin(2)f x x ϕ=+，所以πsin(2)13ϕ⨯+=，即2ππ2π32k ϕ+=+，Z k ∈解得π2π6k ϕ=-+，Zk ∈因为π||2ϕ<，所以π6ϕ=-，故选：B.【变式2-4】（2023·全国·模拟预测）（多选）已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将()f x 的图象向右平移()0m m >个单位长度后得到函数()()sin 2g x A x ωϕ=-的图象，则m 的值可以是（）A ．π4B ．π3C ．4π3D ．9π4【答案】AD【解析】由图象可知：2A =，最小正周期5ππ4π126T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，2π2T ω∴==，ππ2sin 263f ϕ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()ππ2π32k k ϕ∴+=+∈Z ，解得：()π2π6k k ϕ=+∈Z ，又π2ϕ<，π6ϕ∴=，()π2sin 26f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()π2sin 226f x m x m g x ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭ ，()ππ22π63m k k ∴-+=-+∈Z ，解得：()ππ4m k k =-∈Z ，当0k =时，π4m =；当2k =-时，9π4m =.故选：AD.【题型3三角函数图象变换问题】【例3】（2023秋·江西赣州·高三统考期末）函数()()sin f x x ωϕ=+（其中0ω>，π2ϕ<）的图象如图所示，为了得到cos y x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有点（）A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π6个单位长度【答案】C【解析】由图象可知，712344Tπππ-==，所以T π=，又因为2T πω=，所以2ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，又因为771,sin 211212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=-∴⨯+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又||2ϕπ<，所以,3πϕ=所以()sin 2cos 2cos 2cos 2332612f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为()cos 2g x x =，所以只需把()y f x =的图象上所有点向左平移π12个单位长度可得()cos 2g x x=的图象.故选：C.【变式3-1】（2022·四川·高三统考对口高考）为了得到函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有的点（）A ．向左平移4π个单位B ．向右平移4π个单位C ．向左平移2π个单位D ．向右平移2π个单位【答案】A【解析】依题意，sin(2)sin(2)sin[2()]42444y x x x πππππ=+=+-=+-，所以把函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点向左平移4π个单位可以得到函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，A 正确.故选：A 【变式3-2】（2022·陕西汉中·统考一模）为得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将sin2y x =的图象（）A ．向左平移512π个单位长度B ．向右平移512π个单位长度C ．向左平移23π个单位长度D ．向右平移23π个单位长度【答案】A【解析】555cos 2cos 2sin 2sin 2362612y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故可由sin2y x =的图象向左平移512π个单位长度得到.故选：A.【变式3-3】（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫-> ⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度后与其导函数()y f x '=的图象重合，则()f ϕ的值为（）A ．0B ．2C ．2D ．32【答案】D【解析】因为π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以()ππcos sin (0)63f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=-=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，而函数()f x 的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度后得到()()ππsin (0)66f x x x ϕωϕωωϕω⎡⎤⎛⎫++-+-> ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，由题意得()()f x f x ϕ+='，所以ππ2π,Z 63k k ωϕ=⎨-=+∈⎪⎩,解得1π2π,Z 2k k ωϕ=⎧⎪⎨=+∈⎪⎩且0ϕ>，所以πππ3()2π2632f k ϕ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，故选：D 【变式3-4】（2022·全国·模拟预测）已知函数()3sin cos f x x x =-的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位长度后得到()f x 的导函数()f x '的图象，则()f ϕ=（）A ．3-B ．3C ．1D ．1-【答案】B【解析】因为()3sin cos f x x x =-，所以()3cos sin f x x x =+'，而()()()3sin cos 3sin cos 3cos sin cos cos sin sin f x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕϕ+=+-+=+-+()()3cos sin sin 3sin cos cos x x ϕϕϕϕ=++-⋅，由题意得()()f x f x ϕ+='，所以3cos sin 13sin cos 3ϕϕϕϕ+=⎧⎨-=⎩,解得sin 1cos 0ϕϕ=⎧⎨=⎩，所以()3sin cos 3f ϕϕ=-=，故选：B.另解：因为()3sin cos f x x x =-，所以()3cos sin f x x x =+'，由题意知()()f x f x ϕ+='对一切实数x 恒成立，所以令0x =，得()()03cos 0sin 03f f ϕ'==+=，故选：B.【变式3-5】（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）将函数()sin 2c 2πos π63f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象上的所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），然后再将其图象向左平移()0θθ>单位得到图象()g x ，若函数()g x 图象关于y 轴对称，则θ的最小值为（）A ．π3B ．π6C ．π12D ．π24【答案】C 【解析】()πsin 2cos 2sin 2co i ππs 22s n26366πππ62f x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+++-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,由()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变）得到π2sin 46⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x ，将其图象向左平移()0θθ>单位得到图象()46π2sin 4g x x θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，而()g x 图象关于y 轴对称，∴4π,Z 6π2πk k θ+=+∈，∵0θ>，∴当0k =时，θ取最小值π12.故选：C.【题型4三角函数的四种性质】【例4】（2023秋·河南南阳·高三统考期末）已知函数()()()sin cos f x x x ϕϕ=+++是偶函数,则3sin 2cos 2sin 3cos ϕϕϕϕ-=+______．【答案】15【解析】由题知数()()()sin cos f x x x ϕ=+++是R 上偶函数，所以()()ππ22f f =-,即()()()()ππππsin cos sin cos 2222ϕϕϕϕ+++=-++-+，即cos sin cos sin ϕϕϕϕ-=-+，即cos sin ϕϕ=，tan 1ϕ=,所以3sin 23sin 2cos 321cos 2sin 2sin 3cos 2353cos ϕϕϕϕϕϕϕϕ---===+++.故答案为:15【变式4-1】（2023秋·河北邢台·高三邢台市第二中学校考期末）函数9cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为______.【答案】()π5ππ,πZ 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】由9πcos 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭＝cos π24x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝cos π24x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，得2kπ≤2x －4π≤2k π＋π(k ∈Z )，解得kπ＋π8≤x ≤kπ＋58π(k ∈Z )，所以函数的单调递减区间为π5ππ,π88k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ).故答案为：()π5ππ,πZ 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.【变式4-2】（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考期中）已知函数()tan tan f x x x =+，则下列结论中正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为π2B ．点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心C ．()f x 的值域为[)0,∞+D ．不等式()2f x >的解集为()ππ2,2πZ 42k k k π⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】()π2tan ,[π,π),Z 2tan tan π0,(π,π),Z 2x x k k k f x x x x k k k ⎧∈+∈⎪⎪=+=⎨⎪∈-+∈⎪⎩，作出()f x的图象，如图，观察图象，()f x 的最小正周期为π，A 错误；()f x 的图象没有对称中心，B 错误；()f x 的值域为[)0,∞+，C 正确；不等式()2f x >，即π[π,π)(Z)2x k k k ∈+∈时，2tan 2x >，得tan 1x >，解得ππππ,Z 42k x k k +<<+∈，所以()2f x >的解集为ππ(π,π)()42Z k k k +∈+，故D 错误.故选：C【变式4-3】（2023·四川内江·统考一模）已知函数()()1sin cos sin (0)2f x x x x ωωωω=-+>，若函数()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω不能取（）A ．23B ．13C ．58D ．14【答案】A【解析】因为()()1sin cos sin 2f x x x x ωωω=-+21sin cos sin 2x x x ωωω=⋅-+11cos 21sin 2222x x ωω-=-+1(sin 2cos 2)2x x ωω=+(sin 2cos 2)222x x ωω=⋅⋅π)4x ω=+由ππ3π2π22π242k x k ω+≤+≤+，Z k ∈，得ππ5ππ88k k x ωωωω+≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递减区间为ππ5ππ,88k k ωωωω⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z .又函数()f x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭⊆ππ5ππ,88k k ωωωω⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ，所以πππ825πππ8k k ωωωω⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，Z k ∈，因为0ω>，所以15248k k ω+≤≤+，Z k ∈，当23ω=时，得1252438k k +≤≤+，得152424k ≤≤，不成立；所以23ω=不可取；当13ω=时，得1152438k k +≤≤+，得712412k -≤≤,因为Z k ∈，所以0k =时，13ω=可取到；当58ω=时，得1552488k k +≤≤+，得3016k ≤≤，因为Z k ∈，所以0k =时，58ω=可取到；当14ω=时，得1152448k k +≤≤+，得308k -≤≤，因为Z k ∈，所以0k =时，14ω=可取到.综上所述：ω不能取23.故选：A【变式4-4】（2023秋·江苏南通·高三统考期末）（多选）设函数()()sin f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，3πϕ<.若1409f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，419f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于52π，则（）A ．14ω=B ．6πϕ=C ．()f x 在()2,3ππ上单调递增D ．()f x 在()0,3π上存在唯一的极值点【答案】BC【解析】函数()()sin f x x ωϕ=+的最小正周期为T ，由1409f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭及419f π⎛⎫= ⎪⎝⎭得：414(21)()2,N 499T k k πππ*⋅-=--=∈，则8,N 21T k k π*=∈-，而52T π>，即有5822,N 1k k ππ*>∈-，解得21,N 10k k *<∈，即1k =或2k =，当1k =时，18,4T πω==，由419f π⎛⎫= ⎪⎝⎭得1114,Z 492k k ππϕπ⨯+=+∈，有117,Z 18k k πϕπ=+∈，而3πϕ<，显然不存在整数1k ，使得3πϕ<，当2k =时，83,34T πω==，由419f π⎛⎫= ⎪⎝⎭得2234,Z 492k k ππϕπ⨯+=+∈，有22,Z 6k k πϕπ=+∈，而3πϕ<，于是得20,6k πϕ==，符合题意，所以83,,346T ππωϕ===，A 不正确，B 正确；3()sin()46f x x π=+，当23x ππ<<时，532934612x πππ<+<，而函数sin y x =在529(,)312ππ上单调递增，所以函数()f x 在()2,3ππ上单调递增，C 正确；当03x π<<时，32964612x πππ<+<，而函数sin y x =在29(,)612ππ上两个极值点，一个极大值点，一个极小值点，所以函数()f x 在()0,3π上有两个极值点，一个极大值点，一个极小值点，D 不正确.故选：BC【变式4-5】（2023·安徽淮南·统考一模）（多选）已知函数()()πsin ,12,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭图像过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，且存在12,x x ，当122πx x -=时，()()120f x f x ==，则（）A ．()f x 的周期为4π3B ．()f x 图像的一条对称轴方程为5π9x =-C ．()f x 在区间4π10π,99⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减D ．()f x 在区间()0,5π上有且仅有4个极大值点【答案】ACD【解析】因为()f x 图像过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭且π2ϕ<，所以1sin 2ϕ=-，解得π6ϕ=-，因为存在12,x x ，当122πx x -=时，()()120f x f x ==，所以π2π2T k k ω⋅==，即2k ω=，*N k ∈，又因为12ω<<，所以32ω=，所以()3πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，选项A ：()f x 的周期2π4π332T ==，正确；选项B ：()f x 图像的对称轴为3πππ262x k -=+，解得4π2π93kx =+，Z k ∈，令5π4π2π993k-=+，k 无整数解，B 错误；选项C ：当4π10π,99x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，3ππ3π,2622x ⎡⎤-∈⎢⎣⎦，所以由正弦函数的图像和性质可得()f x 在区间4π10π,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，C正确；选项D ：当()0,5πx ∈时，3ππ22π,2663x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以由正弦函数的图像和性质可得()f x 在区间()0,5π有4个极大值点，3个极小值点，D 正确；故选：ACD【变式4-6】（2023秋·湖北·高三统考期末）（多选）已知函数()2sin sin 2f x x x =，则下列说法正确的是（）A ．π是()f x 的一个周期B ．()f x 的图象关于点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称C ．()f x 在区间[]0,2π上的零点个数为4D ．()f x 的最大值为8【答案】ABD 【解析】对于A ，因为()2(π)sin (π)sin 2(π)f x x x +=++()22sin sin 2sin sin 2()x x x x f x =-==，所以π是()f x 的一个周期，故A 正确；对于B ，()2π(2)(π)sin (π)sin 2(π)2f x f x x x ⨯-=-=--22sin sin(2)sin sin 2()x x x x f x =-=-=-，所以()f x 的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故B 正确；对于C ，由()2sinsin 2f x x x =0=，得πx k =或2πx k =，Z k ∈，得πx k =或π2k x =，Z k ∈，由0π2πk ≤≤及Z k ∈得0k =或1k =或2k =，所以0x =或2πx =或πx =，由π02π2k ≤≤及Z k ∈得0k =或1k =或2k =或3k =或4k =，所以0x =或π2x =或πx =或3π2x =或2πx =，所以()f x 在区间[]0,2π的零点为0x =，π2x =，πx =，3π2x =，2πx =,共5个,故C 错误；对于D ，()2sinsin 2f x x x =2sin 2sin cos x x x =⋅32sin cos x x =，所以()262()4sin cos f x x x =624sin (1sin )x x =-，设2sin [0,1]t x =∈，34(1)y t t =-3444(01)t t t =-≤≤，则23212164(34)y t t t t '=-=-，令0'>y ，得304t <<，令0'<y ，得314t <≤，所以3444(01)y t t t =-≤≤在3[0,)4上为增函数，在3(,1]4上为减函数，所以当3t 4=时，y 取得最大值为333274(1)4464⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，0=t 或1t =时，y 取得最小值为0，所以()2()f x y =27[0,64∈，所以()[f x ∈，所以()f x D 正确；故选：ABD 【变式4-7】（2023春·浙江·高三校联考开学考试）（多选）已知函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A ．()0f =B ．()f x 的最小正周期为π2C ．()f x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增【答案】BD【解析】()ππ0tan tan 66f ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭A 错误；函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为π2T =，故B 正确；π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,πππ666x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故()f x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 错误；π,06x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2,π626ππx ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，故()f x 在π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故D 正确．故选：BD ．【题型5三角函数的最值问题】【例5】（2022秋·北京·高三北京市八一中学校考阶段练习）定义运算,,,.a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩※例如，121=※，则函数()sin cos f x x x =※的值域为（）A．1,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．2⎡-⎢⎣⎦【答案】D【解析】根据题设中的新定义，得()sin ,sin cos cos ,sin cos x x x f x x x x≤⎧=⎨>⎩，由sin cos x x ≤可得sin cos 0x x -≤π04x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，所以π2ππ2π4k x k -≤-≤，Z k ∈，即3ππ2π2π+44k x k -≤≤，Z k ∈，由sin cos x x >可得sin cos 0x x ->π04x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以π2π2π+π4k x k <-<，Z k ∈，即π5π2π+2π+44k x k <<，Z k ∈，所以()3ππsin ,2π2π,Z 44π5πcos ,2π2π,Z44x k x k k f x x k x k k ⎧-≤≤+∈⎪⎪=⎨⎪+<<+∈⎪⎩，当3ππ2π2π+44x k x k ∈-≤≤，Z k ∈，()()()2πsin 2πsin f x x x f x +=+==，当π5π2π+2π+44x k x k ∈<<，Z k ∈时，()()()2πcos 2πcos f x x x f x +=+==，所以函数()f x 为周期函数，周期为2π，作出函数()f x 在一个周期内的图象（实线部分），观察图象，可知函数()f x 的值域为22⎡-⎢⎣⎦，故选:D.【变式5-1】（2023秋·湖南株洲·高三校联考期末）已知定义域为R 的函数(),()f xg x满足()()πf x f x +=-，且()()cos π,g x x f x =++()()sin πf x x g x =-+，则当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()y f x g x =的最小值为（）A ．0B ．2CD 【答案】A【解析】()cos ()=-g x x f x ，()()()()πcos ππcos +=+-+=-+g x x f x x f x ，所以()sin cos ()f x x x f x =+-，得sin cos ()2x x f x +=，cos sin ()2x xg x -=，所以22cos sin 1()()cos 244x x y f x g x x -===，π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以0cos 21x ≤≤，10()()4≤≤f x g x ，得()()y f x g x =的最小值为0.故选：A.【变式5-2】（2022秋·安徽·高三石室中学校联考阶段练习）如图是函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的部分图象，则()f x 在,9045⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π22π上的值域为（）A ．[]1,1-B ．122⎡⎢⎣⎦C ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．⎡-⎢⎣⎦【答案】D【解析】由图象知函数的周期13ππ2π230103T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，即2π2π=3ω，即3ω=，由五点对应法得ππ32π+()102k k ϕ⨯+=∈Z ，得π2π+5k ϕ=，则π()cos 35f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为π22π,9045x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π3,563x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦，所以πcos 31,52x ⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦.故选：D【变式5-3】（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）函数()3cos f x x 的最大值为（）.A ．B ．C ．D ．3【答案】D 【解析】2225cos 4sin 59cos 4cos 4sin 5x x x x x -+=--+()()22229cos 4sin 4sin 13cos 2sin 1x x x x x =+-+=+-，所以()3cos f x x ==故()f x 的最大值转化为点()3cos ,2sin P x x 到()0,1A 与()0,2sin B x 的距离之差的最大值，因为1sin 1x -≤≤，22sin 2x -≤-≤，112sin 3x -≤-≤，所以12sin 3PA PB AB x -≤=-≤，当且仅当sin 1x =-时，等号成立，则3PA PB -≤，经检验，此时cos 0x =，()303f x =⨯=，所以()3f x ≤，即()f x 的最大值为3.故选：D.【变式5-4】（2023秋·北京丰台·高三统考期末）已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+>⎪⎝⎭，若ππ62f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值无最大值，则ω=___________．【答案】4【解析】由于若ππ62f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值无最大值，πππ6223+=，则πππsin 1336f ω⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πππ2π,62,Z 362k k k ωω+=-=-∈，又ππππ,62366T ωω=≥-=≤，由于0ω>，所以ω的值为4.故答案为：4。
高考中常见的三角函数题型和解题方法-数学秘诀
第12讲 三角函数一、方法技巧1.三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。
如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。
（3）降次与升次。
（4）化弦（切）法。
（4）引入辅助角。
asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab确定。
2.证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
4.解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
四、例题分析例1．已知2tan =θ，求（1）θθθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin324122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ=. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
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三角函数的题型和方法一、思想方法1、三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。
如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。
（3）降次与升次。
即倍角公式降次与半角公式升次。
（4）化弦（切）法。
将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。
（5）引入辅助角。
asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab确定。
（6）万能代换法。
巧用万能公式可将三角函数化成tan 2θ的有理式。
2、证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
4、解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
二、注意事项对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面：1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。
2、三角变换的一般思维与常用方法。
注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如ααββαββαα22122)()(⨯=⨯=+-=-+=．也要注意题目中所给的各角之间的关系。
注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等。
熟悉常数“1”的各种三角代换：6sin24tan0cos 2sinsec cos tan sec cos sin 12222πππααβαβα====⋅=-=+=等。
注意万能公式的利弊：它可将各三角函数都化为2tan θ的代数式，把三角式转化为代数式．但往往代数运算比较繁。
熟悉公式的各种变形及公式的范围，如 sin α = tan α · cos α ，2cos 2cos 12αα=+，2tan sin cos 1ααα=-等。
利用倍角公式或半角公式，可对三角式中某些项进行升降幂处理，如2sin 2cos 12αα=-，22cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+ααα，22cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-ααα等．从右到左为升幂，这种变形有利用根式的化简或通分、约分；从左到右是降幂，有利于加、减运算或积和（差）互化。
3、几个重要的三角变换：sin α cos α可凑倍角公式； 1±cos α可用升次公式；1±sin α 可化为⎪⎭⎫⎝⎛-±απ2cos 1，再用升次公式；()ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a （其中 ab=ϕtan ）这一公式应用广泛，熟练掌握。
4、单位圆中的三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数y = sin x 、y = cos x 、y = tanx 、y = cot x 的图像都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的，因此应熟练掌握三角函数线并能应用它解决一些相关问题．5、三角函数的图像的掌握体现在：把握图像的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图。
6、三角函数的奇偶性结论：① 函数y = sin (x ＋φ)是奇函数πϕk =⇔()Z ∈k 。
② 函数y = sin (x ＋φ)是偶函数()Z ∈+=⇔k k 2ππϕ。
③ 函数y =cos (x ＋φ)是奇函数()Z ∈+=⇔k k 2ππϕ。
④ 函数y = cos (x ＋φ)是偶函数()Z ∈=⇔k k πϕ。
7、三角函数的单调性三、典型例题与方法题型一 三角函数的概念及同角关系式此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取。
1、三角函数的六边形法则。
2、几个常用关系式： （1），三式知一求二。
（2）21sin 1sin 2αα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭。
（3）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有sin tan x x x <<。
3、诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）。
4、。
5、熟记关系式sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
【例1】记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=（ ）A 、21k k -B 、﹣21k k - C 、21k - D 、﹣21k-解：Θ222sin801cos 801cos (80)1k =-=--=-o o o ,∴tan100tan80︒=-o2sin 801.cos80k -=-=-o o 。
故选B 评注：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互化这一转化思想的应用。
同时熟练掌握三角函数在各象限的符号。
【例2】cos300︒=（ ）A 、3、-12 C 、12D 3解：()1cos300cos 36060cos602︒=︒-︒=︒=评注：本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识。
练习：1、sin585°的值为（ ）A 、22-B 、22C 、32-D 、32 2、下列关系式中正确的是（ ）A 、000sin11cos10sin168<<B 、000sin168sin11cos10<<C 、000sin11sin168cos10<<D 、000sin168cos10sin11<< 3、若4sin ,tan 05θθ=->，则cos θ= ． 4、 “2()6k k Z παπ=+∈”是“1cos 22α=”的（ ） A 、充分而不必要条件 B 、必要而不充分条件 C 、充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件 5、cos 2sin tan ( )ααα+==若则A 、12B 、2C 、12- D 、2-题型二 化简求值这类题主要考查三角函数的变换。
解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值。
【例3】已知α为第三象限的角，3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= 。
解： Θα为第三象限的角 ∴ππ+k 2<α<ππ232+k∴ ππ24+k <2α<ππ34+k (Z K ∈)又Θ3cos 25α=-<0, ∴4sin 25α=,∴sin 24tan 2cos 23ααα==-∴tan(2)4πα+=41tan tan 2134471tan tan 2143παπα-+==--+. 评注：本题主要考查了同角三角函数的关系和二倍角公式的灵活运用。
是一道综合性较强的题目。
【例4】已知2tan =θ，求（1）θθθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值。
解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin 324122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ=评注：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
练习：1、已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=A 、43-B 、54C 、34-D 、452、函数()sin cos f x x x =最小值是（ ）A 、-1B 、12-C 、12D 、1 3、 “1sin 2α=”是“1cos 22α=”的（ ）A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件题型三 函数 的图像及其性质图像变换是三角函数的考察的重要内容，解决此类问题的关键是理解A 、的意义，特别是ω的判定，以及伸缩变换对的影响。
【例5】为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（ ）A 、向左平移4π个长度单位B 、向右平移4π个长度单位C 向左平移2π个长度单位D 向右平移2π个长度单位解：Θsin(2)6y x π=+=sin 2()12x π+，sin(2)3y x π=-=sin 2()6x π=-，∴将sin(2)6y x π=+的图像向右平移4π个长度单位得到sin(2)3y x π=-的图像，故选B.评注：本题主要考查三角函数的图象变换中的平移变换、伸缩变换，特别是函数sin()y A x ωϕ=+中的ω对函数图像变化的影响是历年考生的易错点，也是考试的重点。
【例6】设ω>0,函数y=sin(ωx+3π)+2的图像向右平移34π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（ ）A 、23 B 、43 C 、32D 、3 解：Θ将y=sin(ωx+3π)+2的图像向右平移34π个单位后为4sin[()]233y x ππω=-++4sin()233x πωπω=+-+∴43ωπ=2k π, 即32k ω=又Θ 0ω>， k ≥1故32k ω=≥32， 所以选C评注：本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对三角函数图像知识灵活掌握的程度。
【例7】函数()(1)cos f x x x =的最小正周期为（ ）A 、2πB 、32π C 、π D 、2π 【答案】A【解析】由()(1)cos cos 2sin()6f x x x x x x π===+可得最小正周期为2π,【例8】函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ 。
【答案】1【解析】()cos 2sin 21)14f x x x x π=++=++，所以最小值为：1【例9】若函数()(1)cos f x x x =+，02x π≤<，则()f x 的最大值为（ ）A 、1B 、2C 1D 2【答案】B【解析】因为()(1)cos f x x x =+=cos x x =2cos()3x π-当3x π=是，函数取得最大值为2。