大一下学期解析几何考试试卷及答案

证明：(1)
l1 的
标
准方程是
x 1
y 1
z 1，
0
l1 经 过 点
M1(0, 0, 1) ， 方
向 向 量 v1 {1, 1, 0}
l2
的标准方程是
x 1
y 1
z
0
2
，l2
经过点
M 2 (0, 0, 2)
，方
向
向
量
v2
{1,1, 0} ，
于是
003
(M1M 2, v1, v2 ) 1 1 0 6 0 ，所以 l1 和 l2 是 异 面 直 线 。
解 : 设点 P(a,b, c) 在平面 z 0 上的射影点为 M1(a,b, 0) ，在平面 x 0 上 的 射 影 点 为 M2 (0, a,b) ， 在 平 面 y 0 上 的 射 影 点 为 M3(a, 0, c) ， 则 M1M2 (a,0,c) ， M1M3 (0, b,c)
xa yb z
1t t2 1t t2 1t t2
(0, 1 ,0) , 半 径 为
2
1 2
的球面上。
2.证 明 :(1)双 曲 抛 物 面 的 同 族 的 所 有 直 母 线 都 平 行 于 同 一 平面:
(2)双 曲 抛 物 面 的 同 族 的 两 条 直 母 线 异 面 .
证明: (1) 双曲抛物面的 u 族直母线中任一条直母线都平行 于平面 x y 0,
1 1
y 3 y 3
与
x
2
x
2
z 5 z 5
1 1
y 3 y 3
，
即
15x 15x
10 10
y y
6z 6z
30 30
0 0
与
15x 10y 6z 30 0 15x 10y 6z 30 0
两 直 母 线 的 方 向 向 量 可 分 别 取 v1 (0,3,5) 和 v2 (0,3, 5) ， 设 两 直
ab
v 族直母线中任一条直母线都平行于平面 x y 0,
ab
因而结论成立.---------5 分
(2)不 妨 取 u 族 直 母 线 来 证 明 ，任 取 u 族 直 母 线 中 两 条 直 母 线
l1
：
ua1x(ax
y b
2u1 y) z b
①
和
l2
：
uax2 (ax
y b
2u2 y) z b
,
u1 b
,1)
(
1 b
,
1 a
,
2u1 ab
)
直线
l2
的方向向量为
v2
(1 a
, 1 ,0) (u2
b
a
, u2 b
,1)
( 1 , b
1wenku.baidu.coma
,
2u2 ab
)
由 于 u1 u2 ,因 此 l1 和 l2 不 会 平 行 ,从 而 证 明 了 双 曲 抛 物 面 的 同 族的两条直母线异面.
4.已 知 单 叶 双 曲 面 x2 y2 z2 1, P(2,0,0) 为 腰 椭 圆 上 的 点 ,
4 9 25
(1)求经过点 P两条直母线方程及其夹角; (2)求这两条直母线所在的平面 的方程及平面 与腰椭圆所 在平面的夹角.
解
：
(1)
设
单
叶
双
曲
面
两
直
母
线
方
程
是
w(
x 2
z 5
)
u (1
u(
x 2
z 5
)
w(1
y) 3 y) 3
与
t (
x 2
z 5
)
v(1
y 3
)
v(
x 2
z 5
)
t(1
y 3
)
把 点 P(2,0,0) 分 别 代 入 上 面 两 方 程 组 ，求 得 w u,t v 代 入 直 母 线
方
程
，得
到
过
点
P(2,0,0)
的
两
条
直
母
线
x
2
x
2
z 5 z 5
于是 M1 ， M1M2 ， M1M3 所确定的平面方程是 a 0 c 0
0 b c
即 bc(x a) ac( y b) abz 0 .
2.已
知
空
间
两
条
直
线
l1
:
x y
z
1
0 0
,
l2
:
x y
z
1
0.
0
(1) 证 明 l1 和 l2 是 异 面 直 线 ;(2) 求 l1 和 l2 间 的 距 离 ;(3) 求 公 垂 线方程.
___ x2 z2 2y _______________.
7.椭球面 x2 y 2 z 2 1的体积是_____
9 4 25
____________.
二、计算题（共 4 题,第 1 题 10 分,第 2 题 15 分,第 3 题 20 分, 第 4 题 10 分,共 55 分）
1. 过点 P(a,b,c) 作 3 个坐标平面的射影点,求过这 3 个射影点的平面 方程.这里 a,b,c 是 3 个非零实数.
1.求
证
:曲
线
r (t)
(
t
t2 ,
, t3 )在一个球面上,这里的
1t t2 1t t2 1t t2
t (,) .
证 明 :设 r(t) (x, y, z) ， 则 有 x2 y2 z2 y ， 即 x2 ( y 1)2 z2 1
2
4
所
以
曲
线
r (t
)
(
t
, t2
, t3 ) 在 球 心 为
x2
2y
绕
x
轴旋转产生的曲面方面.
z 1
解：设
M1
(
x1
,
y1
,
z1
)
是母线
x2 z
2y 1
上任意一点,则过
M1
(
x1
,
y1
,
z1
)
的纬圆方
程是
x2
y2
z2 x
x12 x1
0
y12
z12
，（1）
又
x12
2 y1
，（2）
z1 1
由（1）（2）消去 x1, y1, z1 得到 x2 2 y2 2z2 2 0 .
②
其 中 u1 u2 .由 于 ① 的 第 一 个 方 程 表 示 的 平 面 平 行 于 ② 的 第 一 个 方 程 表 示 的 平 面 ,即 l1 和 l2 在 两 个 平 行 平 面 上 ,因 而 l1 和 l2 不 会相交.
又
由
于
直
线
l1
的
方
向
向
量
为
v1
(1 a
,
1 b
,0)
( u1 a
一、填空题（共 7 题，2 分/空，共 20 分）
1. 四 点 O(0,0,0) , A(1, 0, 0) , B(0,1,1) , C(0,0,1) 组 成 的 四 面 体 的 体 积 是 ___ ___.
2.
已
知
向
量
a (1,1,1)
,
b (1,2,3)
,
c (0, 0,1)
,
则
(a
b)
c
z x 1
___ x2 x y2 1 0 ____,
对 yoz 坐标面的射影柱面是__ (z 1)2 y2 z 0 _________,对 xoz 坐标 面的射影柱面是____ z x 1 0 __________.
6. 曲 线
C:
x2 2y
绕
x
轴旋转后产生的曲面方程是
z0
__ x4 4( y2 z2 ) _____ ， 曲 线 C 绕 y 轴 旋 转 后 产 生 的 曲 面 方 程 是
110
(2) 由于 v1 v2 (0, 0, 2) ， v1 v2 2
l1 和
l2 间 的 距 离
d
(M1M 2 , v1, v2 ) v1 v2
6 2
3
x y z 1
1
1
0 0
(3
)公
垂
线
方
程
是
0
0
2
x y z2
，
即
x x
y y
0 0
。
1 1 0 0
0 0 2
3.求曲线
=__(-2,-1,0)____.
3.点
(1,0,1)
到直线
x 3x z
y
0
的距离是___
66 ___________.
11
4.点 (1,0,2) 到平面 3x y 2z 1的距离是__ 3 14 ___________.
7
5. 曲 线
C:
x2 y2 z 0
对
xoy
坐标面的射影柱面是
母 线 的 夹 角 是 ， 则 有 cos v1 v2 8 ， arccos 8 .
v1 v2 17
17
x2 y z
（2）两直母线所在平面 的方程是 0 3 5 0，即 x 2
0 3 5
显然平面 与腰椭圆所在的平面的夹角是 0.
四、证明题(共 2 题,第一题 10 分,第二题 15 分,共 25 分)